О некоторых задачах гемодинамики на графах

Аннотация

В работе рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах. Получены точные или аналитические решения рассматриваемых задач.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Задача математического моделирования внутреннего движения жидкости по системе эластичных трубок, в том числе и моделирования течения крови по сердечно-сосудистой системе, является актуальной и имеет широкую область применения. Для математического описания течения крови в сосудах наиболее простыми и распространенными являются квазиодномерные модели. Применение квазиодномерного приближения позволяет исследовать широкий круг задач гемодинамики на геометрических графах. Примерами таких исследований могут служить работы [1-4] и многие другие (подробные обзоры и библиографии имеются в [3, 4]). Дифференциальные уравнения на графах и других разветвленных многообразиях являются математическими моделями многих процессов в физике и биологии. Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии [6]. В последнее время значительно усилился интерес к различным задачам математической физики на графах, сингулярных и разветвленных многообразиях (см., например, [5, 8, 9, 11, 12]). В [11, 12] исследован спектр оператора Шредингера на графе и асимптотические свойства в квантовых задачах на сингулярных пространствах. В [5, 8, 9] исследуются самосопряженные расширения оператора Шредингера на разветвленных многообразиях, а также полугруппы, задаваемые определенными самосопряженными расширениями. При исследовании математических моделей гемодинамики важное значение имеют как точные, так и приближенные решения модельных задач. В данной работе рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах. Для задач на графах с одной вершиной и конечным множеством ребер методом распространяющихся волн (см. [10]) получены явные формулы (хотя и достаточно сложные) точных решений. Эти результаты, в частности, дополняют исследования в [1] и ряде других работ. Существование решения в классе C1 начально-краевой задачи гемодинамики на графе с двумя вершинами (на одном сосуде) доказано с помощью метода Фурье. Известные результаты, позволяющие использовать этот метод для гиперболических систем, в данном случае неприменимы из-за неконсервативности рассматриваемой задачи. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 5 6 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ Уравнения гемодинамики в квазиодномерном приближении представляют собой гиперболическую систему двух дифференциальных уравнений в частных производных и одного алгебраического соотношения. В качестве пространственной переменной x выбирается длина дуги, проходящей через центры круговых поперечных сечений сосуда. Скорость движения крови считается направленной вдоль оси сосуда и одинаковой во всем круговом сечении сосуда. Обозначим через U (x, t) скорость кровотока (cм/с), P (x, t) - давление (мм рт. ст.), S(P ) - площадь поперечного сечения сосуда (cм2), ρ - плотность крови (г/см3). Тогда неоднородные уравнения гемодинамики для одного сосуда в квазиодномерном приближении имеют вид (см., например, [1]) ∂U ∂U + U ∂t ∂x 1 ∂P + ρ ∂x 1 = ρqf , ∂S ∂US + ∂t ∂x = 0, (1.1) S = S(P ), где первое уравнение описывает закон сохранения импульса, второе - закон сохранения массы крови, а третье - это уравнение состояния, которое отражает упруго-механические свойства сосуда. В первом уравнении qf (x, t) - объемная плотность внешней среды. Из физиологических исследований известно, что пульсационное отклонение давления от среднего значения в норме невелико. Это позволяет провести линеаризацию исходной нелинейной системы уравнений (1.1) относительно средних, фоновых значений всех величин, входящих в уравнения (см. [1]). Линейные уравнения, описывающие эволюцию малых отклонений от стационарных решений уравнений гемодинамики (1.1), получаются следующим образом. Давление, скорость и площадь поперечного сечения, входящие в систему уравнений (1.1), представим в виде p¯+p(x, t), u¯+u(x, t), s¯+θp(x, t) соответственно. Здесь постоянные величины u¯, p¯, s¯ = S(p¯), θ = S×(p¯) > 0 соответствуют некоторому стационарному решению уравнений (1.1), а функции u(x, t) и p(x, t) - малые отклонения от данного стационарного решения. Подставляя указанные выше представления давления, скорости и площади поперечного сечения в систему уравнений (1.1) и оставляя в ней только слагаемые, линейные относительно p и u, получим линейную систему уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами ⎧ 1 1 1 s¯ ⎨ut + u¯ux + ρpx = ρqf , ⎩pt + ρc2ux + u¯px = 0, (1.2) где c = - скорость распространения пульсовой волны. Уравнения (1.2) представляют собой ρθ линеаризованные гемодинамические уравнения для одного сосуда. Важно отметить, что скорость кровотока значительно ниже скорости пульсовой волны, поэтому всюду далее будем придерживаться условия u¯ < c. 2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ГЕМОДИНАМИКИ Рассмотрим задачу Коши для системы однородных линеаризованных уравнений гемодинамики ⎧ ⎪ut + u¯ux + ⎪ 1 ρpx = 0 (-∞ <x< +∞, t > 0), ⎪⎨pt + ρc2ux + u¯px = 0, ⎪u(x, 0) = φ(x), ⎪⎪ ⎩p(x, 0) = ψ(x), (2.1) где φ ∈ C1(R) и ψ ∈ C1(R) - заданные функции, а u(x, t) и p(x, t) - искомые функции. Пусть Π = {(x, t) : -∞ < x < +∞, t > 0}. Классическим решением задачи (2.1) будем называть пару функций (u, p) из C1(Π) ∩ C(Π¯ ), которые поточечно удовлетворяют всем условиям этой задачи. О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 7 Используя инварианты Римана (см., например, [7]), получим представление общего решения системы (1.2) в виде u(x, t) = 2 1 (f (x - λ+t)+ g(x - λ-t)), (2.2) ρc p(x, t) = 2 (f (x - λ+t) - g(x - λ-t)), где функции f и g из C1(R), λ+ = u¯ + c> 0, λ- = u¯ - c< 0. Как видно из (2.2), общим решением уравнений (1.2) является суперпозиция двух бегущих волн f и g произвольной формы, одна из которых распространяется по направлению движения крови в сосуде, а вторая - в противоположном направлении. Теорема 2.1. Классическое решение задачи Коши (2.1) существует, единственно и выражается формулами 1 u(x, t) = 2 (φ(x - λ+t)+ φ(x - λ-t)) + 1 2ρc (ψ(x - λ+t) - ψ(x - λ-t)), (2.3) ρc p(x, t) = 2 (φ(x - λ+t) - φ(x - λ-t)) + 2 1 (ψ(x - λ+t)+ ψ(x - λ-t)). Доказательство. Подставляя общее решение (2.2) в начальные условия задачи (2.1), получим f (x)+ g(x) = φ(x), 2 Отсюда ρcf (x) - g(x) 2 ψ(x) = ψ(x). ψ(x) f (x) = φ(x)+ ρc , g(x) = φ(x) - ρc , а значит, решение задачи Коши (2.1) имеет вид (2.3). Рассмотрим теперь задачу Коши для системы неоднородных линеаризованных уравнений гемодинамики. Представим эту задачу в векторной форме (Yt + AYx = F (x, t) (-∞ <x< +∞, t > 0), Y |t=0 = Φ(x), (2.4) u(x, t) ⎛ 1 ⎞ u¯ ⎛ 1 ⎞ q(x, t) φ(x) где Y = p(x, t) , A = ⎝ρc2 ρ ⎠ , F (x, t) = ⎝ ρ u¯ 0 ⎠ , Φ(x) = ψ(x) . Здесь q(x, t) - плотность внешних сил. Теорема 2.2. Пусть q ∈ C1(Π¯ ), φ ∈ C1(R) и ψ ∈ C1(R). Тогда классическое решение задачи Коши (2.4) (u ∈ C1(Π) ∩ C(Π¯ ) и p ∈ C1(Π) ∩ C(Π¯ )) существует, единственно и выражается формулами + ⎛ φ(x - λ+t)+ φ(x - λ-t) ⎜ 2 ⎜ t + ψ(x - λ+t) - ψ(x - λ-t) ⎞ 2ρc ⎟ ⎟ 1 r ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Y = ⎜ ⎟ ⎟ + [q(x - λ+(t - τ ),τ )+ q(x - λ-(t - τ ),τ )]dτ ⎟ 2ρ ⎟ ⎟ 0 ⎟ . (2.5) ⎜ ⎜ ρc ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ φ(x - λ+t) - φ(x - λ-t) 2 t r ψ(x - λ+t)+ ψ(x - λ-t) ⎟ + + ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎝ 2 c [q(x - λ+(t - τ ),τ ) - q(x - λ-(t - τ ),τ )]dτ ⎟ 0 8 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ Доказательство. Пусть Y = V + W, где V - решение задачи (Vt + AVx = 0, V |t=0 = Φ(x), (2.6) а W - решение задачи (Wt + AWx = F (x, t), W |t=0 = 0. (2.7) Для получения решения задачи (2.6) достаточно воспользоваться теоремой 2.1, а задачи (2.7) - принципом Дюамеля. Лемма 2.1 (принцип Дюамеля). Пусть Z = Z(x, t; τ ) - решение задачи (Zt + AZx = 0 (-∞ <x< +∞, 0 <τ < t), Z|t=τ = F (x, τ ). Тогда функция является решением задачи (2.7). Доказательство. Так как t r W (x, t) = 0 Z(x, t; τ )dτ t r Wt(x, t) = Z(x, t; t)+ 0 t Zt(x, t, τ )dτ, r Wx = 0 Zx(x, t, τ )dτ и Z(x, t; t) = F (x, t), то функция W (x, t) является решением задачи (2.7). Окончание доказательства теоремы 2.2. Делая замену t˜ = t - τ, сведем задачу о нахождении функции Z(x, t; τ ) к задаче (Z˜˜ x t + AZ˜ = 0 (-∞ <x< +∞, t˜ > 0), Z˜|t˜=0 = F (x, τ ), где Z(x, t˜+ τ ; τ ) ≡ Z˜(x, t˜; τ ). По теореме 2.1 имеем ⎛ 1 [q(x - λ+t˜, τ )+ q(x - λ-t˜, τ )]⎞ Z˜(x, t˜; τ ) = ⎜ 2ρ ⎟ и, следовательно, 2 ⎝ c [q(x - λ+t˜, τ ) - q(x - λ-t˜, τ )] ⎠ ⎛ 1 [q(x - λ+(t - τ ),τ )+ q(x - λ-(t - τ ),τ )]⎞ Z(x, t; τ ) ≡ Z˜(x, t - τ ; τ ) ≡ ⎜ 2ρ ⎟ . Отсюда и из леммы 2.1 2 ⎝ c [q(x - λ+(t - τ ),τ ) - q(x - λ-(t - τ ),τ )] ⎠ ⎛ 1 t ⎞ t - - r W (x, t) = ⎜ Z(x, t; τ )dτ = ⎜ г [q(x λ+t˜, τ )+ q(x λ-t˜, τ )]dτ 2ρ 0 t ⎟ ⎟ . (2.8) 2 0 ⎝ c г [q(x - λ+t˜, τ ) - q(x - λ-t˜, τ )]dτ ⎠ 0 Таким образом, используя формулы (2.3) и (2.8), получим решение задачи (2.4) в виде (2.5). О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 9 Будем называть задачу Коши (2.4) C1-корректной, если она имеет классическое решение для любых q ∈ C1(Π¯ ), φ ∈ C1(R) и ψ ∈ C1(R), это решение единственно и непрерывно зависит от q, φ и ψ. Теорема 2.3. Задача Коши (2.4) C1-корректна. Это утверждение непосредственно следует из теоремы 2.2. 3. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ГРАФЕ С ОДНОЙ ВЕРШИНОЙ И ОДНИМ РЕБРОМ Рассмотрим один полуограниченный сосуд. Представим его ориентированным графом Γ1, состоящим из одной вершины и выходящего из нее прямолинейного ребра бесконечной длины, направленного вдоль оси сосуда. Введем на ребре систему координат с началом в вершине и осью, направленной вдоль ребра. Пусть на ребре графа заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (1.2) и начальные данные, а в вершине определены краевые условия 1-го рода, согласованные с начальными данными. Тогда получим следующую начально-краевую задачу на графе Γ1: ⎧ ⎪ut + u¯ux + ⎪ 1 ρpx = 0 (0 <x< +∞, t > 0), ⎪⎨pt + ρc2ux + u¯px = 0, ⎪u(x, 0) = φ(x), p(x, 0) = ψ(x), ⎪⎪ ⎩u(0, t) = ν(t), p(0, t) = μ(t), (3.1) где φ, ψ, ν, μ - заданные функции из C1(R¯ +), где R+ = {x : x > 0}, причем φ(0) = ν(0), ψ(0) = μ(0). Пусть Π2 = {(x, t) : 0 < x < +∞, t > 0}. Классическим решением задачи (3.1) будем называть пару функций (u, p), которые принадлежат классу C1(Π2) ∩ C(Π¯ 2) и поточечно удовлетворяют всем условиям этой задачи. Теорема 3.1. Классическое решение начально-краевой задачи (3.1) существует, единственно и выражается формулами ⎧ φ(x - λ+t)+ φ(x - λ-t) ⎪ + ψ(x - λ+t) - ψ(x - λ-t) , x λ+t, ) = u(x, t ⎨ 2 + φ( λ- 2ρc - ⎪ν( x-λ t \\ - λ+ x-λ-t)-φ(x-λ-t) λ + ψ( λ+ x-λ-t)-ψ(x-λ-t) ⎩ - λ+ + , x < λ t, 2 2ρc (3.2) ⎧ ⎪⎨ρc + φ(x - λ+t) - φ(x - λ-t) 2 - - ψ(x λ+t)+ ψ(x λ-t) , x λ+t, 2 p(x, t) = + ⎪⎩μ(- x-λ t \\ -ρc λ+ ψ( λ- - - φ( λ- x-λ-t)+φ(x-λ-t) + λ+ x-λ t)+ψ(x-λ t) , x < λ+t. λ+ 2 2 Доказательство. В формулах (2.2) общего решения линеаризованных уравнений гемодинамики определим функции f и g так, чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям системы (3.1). Областью определения функции f (x - λ+t) в данном случае является вся прямая (-∞, +∞), а функции g(x - λ-t) - полуось [0, +∞). Подстановка общего решения в начальные условия позволяет определить f и g на полуоси [0, +∞) следующим образом f (z) = φ(z)+ ψ(z) ρc , g(z) = φ(z) - ψ(z) ρc , z 0. (3.3) Осталось определить функцию f на оставшейся части ее области определения, т. е. на интервале (-∞, 0). Для этого, используя краевое условие u(0, t) = ν(t) и первую формулу в (2.2), получим - - f (z) = 2ν ( z \\ φ λ+ λ- λ+ z 1 λ- + ρcψ λ+ z , z < 0, (3.4) а используя условие p(0, t) = μ(t), получим 2 f (z) = ρc - μ ( z λ+ \\ + φ λ- λ+ z 1 - ρcψ λ- λ+ z , z < 0. (3.5) 10 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ Таким образом, из формул (3.3)-(3.5) и (2.2) получим решение смешанной задачи (3.1) на графе Γ1 в виде (3.2). 4. ЗАДАЧА ТРАНСМИССИИ НА ГРАФЕ С ОДНОЙ ВЕРШИНОЙ И ДВУМЯ РЕБРАМИ Рассмотрим два стыкованных полуограниченных сосуда. Представим их ориентированным графом Γ2, состоящим из одной вершины и двух полупрямых, одна из которых направлена к вершине, а другая - из нее. Введем систему координат с началом в этой вершине, а оси направим вдоль ребер так, что отрицательные координаты будут соответствовать входящему в вершину ребру, а положительные - выходящему из нее. Пусть на каждом ребре i (i = 1, 2) графа Γ2 заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (1.2) и начальные данные, а в вершине выполняются линеаризованные условия сопряжения, первое из которых выражает закон сохранения массы крови (т. е. поток крови в первом сосуде равен потоку крови во втором), а второе - равенство давлений на стыке сосудов (см. [1]). Таким образом получаем задачу трансмиссии для системы линейных уравнений с кусочнопостоянными на графе Γ2 коэффициентами вида ⎧ ∂ui ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ∂p + u¯i ∂ui + ∂x ∂u 1 ∂pi ρ ∂x ∂p = 0 (-∞ <x< 0, 0 <x< +∞, t > 0), ⎪ i 2 i i ⎨ ∂t + ρci ∂x + u¯i ∂x = 0, i i i i u (x, 0) = φ (x), p (x, 0) = ψ (x), ⎪ ⎪ ⎪s¯1u1(0, t)+ θ1u¯1p1(0, t) = s¯2u2(0, t)+ θ2u¯2p2(0, t), ⎪⎩p1(0, t) = p2(0, t), (4.1) где i = 1, если x < 0, и i = 2, если x > 0. Здесь φi ∈ C1(R¯ i), ψi ∈ C1(R¯ i), R1 = {x : x < 0}, R2 = {x : x > 0}, причем функции φi(x) и ψi(x) удовлетворяют условиям согласования, следующим из трех последних равенств в задаче (4.1). Пусть Π1 = {(x, t) : -∞ < x < 0, t > 0} и Π2 = {(x, t) : 0 < x < +∞, t > 0}. Классическим решением задачи (4.1) будем называть пару функций (u, p), где u = ui ∈ C1(Πi) ∩ C(Π¯ i) и p = pi ∈ C1(Πi) ∩ C(Π¯ i) (i = 1, 2), которые в классическом смысле удовлетворяют всем условиям этой задачи. Общие решения линеаризованных уравнений гемодинамики на каждом ребре определяются по формулам (2.2). Области определения функций fi и gi находятся из того, что эти функции удовлетворяют начальным условиям и условиям сопряжения. Таким образом получаем, что областью определения функции f1 является полуось (-∞, 0], функций g1 и f2 - вся прямая (-∞, +∞), а функции g2 - полуось [0, +∞). Подстановка общих решений в начальные условия позволяет определить f1 и g1 на полуоси (-∞, 0], а f2 и g2 - на полуоси [0, +∞): fi(z) = φi(z)+ где z ::: 0, если i = 1, и z 0, если i = 2. ψi(z) ρci , gi(z) = φi(z) - ψi(z) ρci , (4.2) Функции g1 и f2 на оставшихся частях их областей определения найдем, подставляя общие решения (2.2) в условия сопряжения. Переобозначая их соответственно G1 и F2, получим G1(z) = k1→1 f1 F2(z) = k1→2 f1 λ + 1. z λ - 1 1 z λ + λ + 2 + k2→1 g2 + k2→2 g2 λ - 2. z λ - 1 2 z λ - λ + 2 , z > 0, , z < 0, (4.3) где λ+ = u¯i + ci, λ- = u¯i - ci, а k1 1,k ,k ,k - коэффициенты, вычисляемые по формулам i i → 2→1 1→2 2→2 2s¯i 2s¯i ki→i = 1 - ( s¯ (c -u¯ ) s¯ (c +u¯ ) \\ , ki→j = - ( s¯ (c -u¯ ) s¯ (c +u¯ ) \\ , i ∓= j. ρci 1 1 1 1 ρc2 + 2 2 2 2 ρc2 ρcj 1 1 1 1 ρc2 + 2 2 2 2 ρc2 О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 11 Из формул (4.3) видно, что волны G1 и F2, распространяющиеся по ребрам графа Γ2 по направлению от его вершины, представляют собой суперпозиции волн f1 и g2, распространяющихся по ребрам графа по направлению к вершине. При этом коэффициент ki→j показывает, во сколько раз изменится амплитуда соответствующей волны при ее прохождении через вершину графа из i-го ребра в j-ое, а коэффициент ki→i характеризует изменение амплитуды волны, распространяющейся по i-му ребру после ее отражения от вершины графа. Подставляя полученные функции из (4.2)-(4.3) в формулы (2.2) на каждом ребре, окончательно получим единственное решение задачи трансмиссии на графе Γ2 в следующем виде (t 0): ⎧ + - 1 1 f1(x - λ t)+ g1(x - λ t) ⎪ 1 - , x ::: λ t, x < 0, ⎪ 2 ⎪ ⎪ f1(x - λ+t)+ G (x - λ-t) 1 ⎪⎨ u(x, t) = 1 1 1 2 , x > λ-t, x < 0, (4.4) f2(x - λ+t)+ g2(x - λ-t) ⎪ 2 2 + 2 , x λ t, x > 0, ⎪ 2 ⎪ F2(x - λ+t)+ g2(x - λ2 t) + ⎪ 2 ⎩⎪ 2 ⎧ + - , x < λ t, x > 0, 2 - ⎪ f1(x - λ1 t) - g1(x - λ1 t) - 1 ρc , x ::: λ t, x < 0, ⎪ 2 ⎪ ⎪ f1(x - λ+t) - G1(x - λ-t) 1 ⎨ ⎪ρc 1 p(x, t) = 2 1 , x > λ-t, x < 0, (4.5) f2(x - λ+t) - g2(x - λ-t) ⎪ 2 2 + 2 ρc , x λ t, x > 0, ⎪ 2 ⎪ F2(x - λ+t) - g2(x - λ2 t) + ⎩ 2 ⎪⎪ρc Таким образом, нами доказана - 2 , x < λ t, x > 0. 2 Теорема 4.1. Классическое решение задачи трансмиссии (4.1) существует, единственно и выражается формулами (4.4), (4.5). 5. ГЕМОДИНАМИКА НА ГРАФЕ ТИПА «ПУЧОК» Рассмотрим граф типа «пучок» - ориентированный граф Γn, состоящий из одной вершины и n направленных полуограниченных ребер, соединяющихся в ней. На каждом ребре введем систему координат с началом в этой вершине, ось которой направлена вдоль ребра. Пусть на каждом ребре графа Γn заданы система уравнений гемодинамики (1.2) и начальные данные, а в вершине выполняются линеаризованные условия сопряжения. Таким образом определена задача трансмиссии с кусочно-постоянными на графе Γn коэффициентами ⎧ ∂ui ⎪ ∂t + u¯i ∂ui ∂x + 1 ∂pi ρ ∂x = 0 (zixi < 0, t > 0), ⎪ ⎪ ∂p i i ⎪ i 2 ∂ui ∂pi ⎪⎨ ∂t + ρci ∂xi i + u¯i ∂x = 0, ui(xi, 0) = φi(xi), pi(xi, 0) = ψi(xi), ⎪ n ⎪>: (5.1) ⎪ ⎪i=1 ⎪ zi(s¯iui(0, t)+ θiu¯ipi(0, t)) = 0, ⎩pi(0, t) = pj (0, t), i ∓= j, где i = 1, 2,...,n - номер ребра. Здесь zi = 1, если i-ое ребро является входящим в вершину, и zi = -1, если i-ое ребро является выходящим из вершины. Будем предполагать, что φi(xi) ∈ C1(zixi ::: 0) и ψi(xi) ∈ C1(zixi ::: 0), а также выполнены условия согласования на функции φi(xi) и ψi(xi), определяемые тремя последними формулами в задаче (5.1) (i = 1,..., n). Под классическим решением задачи (5.1) будем понимать пару функций (u, p) на Γn × (t 0), для которых u(xi, t) = ui(xi, t) ∈ C1(zixi < 0, t > 0) ∩ C(zixi ::: 0, t 0), p(xi, t) = pi(xi, t) ∈ C1(zixi < 0, t > 0) ∩ C(zixi ::: 0, t 0) для i = 1,...,n и для которых поточечно выполнены все условия задачи (5.1). 12 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ Теорема 5.1. Классическое решение задачи трансмиссии (5.1) существует, единственно и выражается формулами ⎧ 1 zi ⎪ ⎪ (ψi(vi) - ψi(wi)) + φi(vi)+ φi(wi) , ziwi ::: 0, ⎨ 2 ρci \\⎞ λ λ z j ui(xi, t) = ⎪ ⎪ ⎛ 1 zi ⎝ n ψi(vi)+ φi(vi)+ ( kj→i zj ( j ψj -zi wi\\ + φj zj ( j λ-zi wi\\ ⎠ , ziwi > 0, ⎩ 2 ρci j=1 ρcj λi i ⎧ ziρci zi ⎪ (ψi(vi)+ ψi(wi)) + φi(vi) - φi(wi) , ziwi ::: 0, ⎪⎨ pi(xi, t) = ⎪ ⎪⎩ 2 ziρci 2 ρci ⎛ zi ⎝ ρci ψi(vi)+ φi(vi) - n j=1 kj→i ( zj ρcj zj λ ( j λ ψj -zi i wi\\ + φj zj λ ( j λ -zi i ⎞ \\\\ wi ⎠ , ziwi > 0, (5.2) где vi = xi - λzi t и wi = xi - λ-zi t, i = 1, 2,..., n, а kj i - коэффициенты, вычисляемые по i формулам i ki→i = 1 - → 2s¯i n , ρci >: m=1 m s¯m(cm-zmum) ρc2 (5.3) ki→j = - 2zizj s¯i n , i ∓= j. ρcj >: m=1 m s¯m(cm-zmum) ρc2 Доказательство. Общим решением уравнений гемодинамики на каждом ребре являются формулы fzi (xi - λzi t)+ f-zi (xi - λ-zi t) ui(x, t) = i i i i , 2 (5.4) fzi (xi - λzi t) - f-zi (xi - λ-zi t) pi(x, t) = ziρci i i i i , 2 где λz = u¯i + zici, λ-zi = u¯i - zici, i = 1, 2,..., n. i i Конкретный вид функций fzi и f-zi на области определения каждой из них задается так, чтобы i i i они удовлетворяли начальным условиям и условиям сопряжения. Здесь аргумент функции fzi i f-zi может принимать значения, удовлетворяющие условию zi(xi - λzi t) ::: 0, а областью определения функции i является вся прямая (-∞, +∞). Введем обозначения vi = xi - λzi t и wi = xi - λ-zi t. Подстановка общего решения в начальные i fzi i -zi условия позволяет определить i при zivi ::: 0 и fi при ziwi ::: 0: fzi i (vi) = φi(vi)+ zi ψi(vi) ρci i , f-zi (wi) = φi(wi) - zi ψi(wi) ρci . (5.5) i Функцию f-zi на оставшейся части ее области определения найдем, подставляя общее решение в условия сопряжения f-zi n zj λ ( zj \\ j i (wi) = j=1 kj→i fj λ -zi wi i , ziwi > 0, i = 1, 2,..., n, (5.6) где коэффициенты kj→i определяются по формулам (5.3). Используя теперь в формулах (5.4) найденные в (5.5)-(5.6) функции на всех ребрах, получим окончательное решение смешанной задачи на графе Γn в виде (5.2). Замечание 5.1. С помощью принципа Дюамеля и полученных в данной работе формул решений задач для однородных систем гемодинамики на графах с одной вершиной нетрудно найти решения аналогичных задач для неоднородных систем и доказать их C1-корректность. О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 13 6. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА НА ГРАФЕ С ДВУМЯ ВЕРШИНАМИ В этом разделе с помощью метода Фурье будет построено решение смешанной задачи гемодинамики в одном ограниченном сосуде. Особенность применения метода Фурье к рассматриваемой задаче состоит в том, что суммами «стоячих волн» удобнее представить вначале не искомые функции u(x, t) и p(x, t), а соответствующие им инварианты Римана. Это позволяет затем достаточно просто обосновать применяемый метод, получить аналитические выражения для пары функций (u, p) и, тем самым, доказать существование классического решения исходной гемодинамической задачи. Построим сначала формальное решение смешанной задачи гемодинамики, определенной ниже. Рассмотрим один изолированный сосуд, который представим ориентированным графом Γ, состоящим из двух вершин, соединенных ребром длины l, направленным вдоль оси сосуда, причем направление ребра соответствует направлению движения крови в сосуде. Введем на ребре систему координат с началом в той вершине, из которой выходит ребро. Пространственную ось направим вдоль ребра. Тогда той вершине, из которой выходит ребро, будет соответствовать значение x = 0, а другой вершине - x = l. Пусть на ребре справедлива система уравнений гемодинамики ⎧ 1 ⎨ut + u¯ux + ρpx = 0 (0 <x< l, t > 0), ⎩pt + ρc2ux + u¯px = 0, и заданы начальные данные (6.1) u(x, 0) = φ(x), p(x, 0) = ψ(x), (6.2) а в вершинах выполняются краевые условия u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. (6.3) Введем инварианты Римана для системы уравнений (6.1) по формулам r(x, t) = u(x, t)+ 1 ρcp(x, t), s(x, t) = u(x, t) - 1 p(x, t). (6.4) ρc Тогда смешанная задача (6.1)-(6.3) эквивалентна смешанной задаче (rt + λ+rx = 0 (0 <x< l, t > 0), st + λ-sx = 0, (6.5) 1 r(x, 0) = φ(x)+ ρc ψ(x), s(x, 0) = φ(x) - 1 ψ(x), (6.6) ρc r(0, t)+ s(0, t) = 0, r(l, t)+ s(l, t) = 0 (6.7) (λ+ = u¯ + c> 0, λ- = u¯ - c< 0). Найдем формальное решение смешанной задачи (6.5)-(6.7). Пусть r˜(x, t) = T (t)R(x), s˜(x, t) = T (t)S(x) - решения системы (6.5), удовлетворяющие краевым условиям (6.7). Тогда T × T = - T × T = - λ+R× R λ-S× S = -λ, = -λ, где λ = const . Отсюда, R(0) + S(0) = 0, R(l)+ S(l) = 0, (6.8) т. е. R× = λ λ R, S× = S, λ+ λ- λ λ R(x) = Ae λ+ x, S(x) = Beλ- x, где A и B - постоянные. Краевые условия (6.8) приводят к системе линейных уравнений (A + B = 0, λ λ Ae λ+ l + Beλ- l = 0, 14 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ которая имеет ненулевые решения только при l 1 1 λ l λ = 0, eλ+ eλ- 2πλ-λ+ т. е. при λ = λk = iω0k, где k ∈ Z, ω0 = (λ- - λ+)l > 0 (i - мнимая единица). Таким образом, «стоячие волны» для задачи (6.5)-(6.7) определяются формулами k + λ r˜(x, t) = rk (x, t) = Akeλ+ (x-λ t), k λ - s˜(x, t) = sk (x, t) = -Akeλ- (x-λ t), где Ak - произвольные ненулевые постоянные, k ∈ Z. Следовательно формальное по методу Фурье решение задачи (6.5)-(6.7) будет иметь вид где r(x, t) = ∞ k=-∞ A0 eλ (x λ λk + + - k t), s(x, t) = - ∞ k=-∞ A0 eλ- (x λ λk - - k t), (6.9) ⎛ l λ - r A0 ⎜ - λk z 0 r λ - ⎞ λk - z ⎟ (6.10) k = (λ- - λ+)l ⎝ 0 r0(z)e 1 λ+ dz - s0 λ+l/λ- λ+ z 1 e λ+ dz⎠ , r0(z) = φ(z)+ ρcψ(z), s0(z) = φ(z) - ρcψ(z). k Формулы (6.10) для коэффициентов A0 (k ∈ Z) будут обоснованы ниже. Из (6.4) и (6.9) теперь получаем формальное решение задачи (6.1)-(6.3) 1 1 ∞ λk λk u(x, t) = 2 (r(x, t)+ s(x, t)) = 2 k=-∞ k A0 e-λkt(eλ+ x - eλ- x), (6.11) ρc ρc ∞ λk λk p(x, t) = 2 (r(x, t) - s(x, t)) = 2 k=-∞ k A0 e-λkt(eλ+ x + eλ- x). Пусть Π¯ ∞ = {(x, t) : 0 ::: x ::: l, t 0}. Для обоснования сходимости в C 1(Π¯ ∞) функциональных рядов в формулах (6.9) и (6.11) наложим на начальные функции φ(x) и ψ(x) в (6.2) следующие условия. Пусть φ ∈ C2([0, l]), ψ ∈ C2([0, l]) и выполнены условия согласования φ(0) = φ(l) = 0, + ψ×(0) λ φ×(0) + ρc + λ- φ×(0) - ψ×(0) ρc = 0, + ψ×(l) λ φ×(l)+ ρc + λ- φ×(l) - ψ×(l) ρc = 0, (6.12) (λ+)2 (λ+)2 ψ××(0) φ××(0) + ρc ψ××(l) φ××(l)+ ρc + (λ-)2 + (λ-)2 φ××(0) - φ××(l) - ψ××(0) ρc ψ××(l) ρc = 0, = 0. Как будет видно из дальнейшего, условия согласования (6.12) - вполне естественные условия сходимости в C1(Π¯ ∞) рядов Фурье (по x) в (6.9). Теорема 6.1. Пусть φ ∈ C2([0, l]), ψ ∈ C2([0, l]) и выполнены условия согласования (6.12). Тогда ряды в (6.11) сходятся в C1(K) для любого компакта K ⊂ Π¯ ∞, а определяемые ими функции u ∈ C1(Π¯ ∞ ) и p ∈ C1(Π¯ ∞) представляют собой классическое решение задачи (6.1)-(6.3). О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 15 Доказательство. Общее решение системы уравнений (6.5) имеет вид r(x, t) = f (x - λ+t), s(x, t) = g(x - λ-t), (6.13) где f и g - произвольные функции из C1(R). В силу начальных условий (6.6) функции f и g однозначно определяются на отрезке 0 ::: x ::: l формулами 1 f (x) = φ(x)+ ρc ψ(x), g(x) = φ(x) - 1 ψ(x). (6.14) ρc Таким образом, решение (r, s) задачи (6.5), (6.6) определяется формулами (6.13), (6.14) внутри характеристического треугольника x - λ+t 0, x - λ-t ::: l, t 0. Методом продолжения построим решение задачи (6.5)-(6.7) на всей полосе Π¯ ∞ = {(x, t) : 0 ::: x ::: l, t > 0}. Для этого доопределим функции f (x) и g(x), задаваемые формулами (6.14) на отрезке 0 ::: x ::: l, до функций f˜(x) и g˜(x), где x ∈ R. При этом на функции f˜(x) и g˜(x) наложим условия f˜(x) = -g˜ λ- λ+ x , f˜(l - x) = -g˜ λ- l - λ+ x (6.15) при всех x ∈ R, ˜ - λ ( + \\ f (x) - периодическая функция с периодом 1 λ- l, а g˜(x) - периодическая функция с периодом (1 - λ ˜ - \\ l. Построим требуемые функции f (x) и g˜(x) следующим образом. Пусть f˜(x) = -g λ+ λ- λ+ x при + λ l ::: x ::: 0 и f˜(x) = f (x) при 0 ::: x ::: l, λ- g˜(x) = -f λ+ x λ- при λ- λ+ l ::: x ::: 0 и g˜(x) = g(x) при 0 ::: x ::: l. Полученные таким образом функции ˜ ( λ + f (x) λ- l ::: x ::: l\\ и g˜(x) ( λ- λ+ l ::: x ::: l\\ продолжим ( λ + \\ периодически, соответственно, с периодами 1 - λ- l и ( λ - \\ 1 - λ+ 1. Нетрудно проверить, что условия согласования (6.12) обеспечивают принадлежность построенных функций пространству C2(R), а также выполнение условий (6.15). Формулы f˜(x) и g˜(x) r(x, t) = f˜(x - λ+t), s(x, t) = g˜(x - λ-t) дают теперь решение задачи (6.5)-(6.7), так как из условий (6.15) следует выполнение краевых условий (6.7). Поскольку функции f˜(x) и g˜(x) принадлежат пространству C2(R) и являются ( λ + \\ периодическими с периодами, соответственно, 1 - λ- l и ( λ - \\ 1 - λ+ l, то они разлагаются в соответствующие комплексные ряды Фурье. Эти ряды Фурье сходятся в норме пространства C1([a, b]) для любого отрезка [a, b] в силу принадлежности функций f˜ и g˜ пространству C2(R). Заменяя в указанных разложениях аргумент x на x - λ+t и x - λ-t, соответственно, получим разложения функций f˜(x - λ+t) и g˜(x - λ-t), т. е. функций r(x, t) и s(x, t). Нетрудно проверить, что найденные разложения будут иметь вид (6.9), (6.10), причем ряды (6.9) будут сходиться в C1(K) для любого компакта K ⊂ Π¯ ∞. Так как функции f˜(x) и g˜(x) принадлежат C2(R), то коэффициенты A0 и -A0 их разложений k k → ∞ в ряды Фурье имеют порядок O( 1 \\ при k . Это гарантирует абсолютную (и равномерную) k2 сходимость рядов в (6.9) при всех (x, t) ∈ R2, а значит, и возможность представления функций u(x, t) и p(x, t) рядами (6.11). Замечание 6.1. Из формул (6.9)-(6.10) и (6.11), представляющих решения задач (6.5)-(6.7) и (6.1)-(6.3) в комплексной форме, нетрудно получить решения этих задач в вещественной форме. 16 В. И. БЕЗЯЕВ, Н. Х. САДЕКОВ Например, вещественная форма решения задачи (6.5)-(6.7) относительно инвариантов Римана r(x, t) и s(x, t) имеет вид a0 r(x, t) = 2 ∞ + ak cos k=1 ω0k λ+ (x - λ+t)+ bk sin ω0k λ+ (x - λ+t), (6.16) где 2 s(x, t) = - a0 - l ∞ k=1 ak cos - ω0k (x λ- λ- t)+ bk sin - ω0k (x λ- λ- l t), 2λ- r ω0k 2λ+ r ω0k ak = (λ- - λ+)l r0(z) cos 0 l λ+ zdz + (λ- - λ+)l 0 l s0(z) cos zdz, λ- 2λ- r ω0k 2λ+ r ω0k bk = (λ- - λ+)l 0 r0(z) sin λ+ zdz + (λ- - λ+)l 0 s0(z) sin zdz. λ- Из формул (6.16) видно, что инвариант r(x, t) представляет собой ограничение на отрезок 0 ::: x ::: l суперпозиции «элементарных» периодических волн, имеющих формы постоянной, а также косинусов и синусов с частотами ω0k/λ+, перемещающихся без искажения вправо со скоростями ω0k, k = 1, 2,.... Аналогично, инвариант s(x, t) является ограничением на отрезок 0 ::: x ::: l суперпозиции «элементарных» периодических волн того же вида, но с частотами ω0k/λ- и перемещающихся без искажения влево со скоростями ω0k, k = 1, 2,.... 7. ПРИМЕРЫ Для двух простых примеров применения результатов, полученных в данной работе, будут использованы близкие к реальным данные, присущие вполне конкретным сосудам. Пример 7.1. Рассмотрим линейную модель гемодинамики в сонной артерии, фоновые значения скорости, давления и площади поперечного сечения которой равны, соответственно, u¯ = 20, p¯ = 90, s¯ = 0,5. Пусть, далее, коэффициент эластичности θ = 0,025, а плотность крови ρ = 1,05. Кроме того, выберем начальные возмущения скорости и давления: φ(x) = 0, ψ(x) = 20 cos x. Поставим следующую задачу Коши: ⎧ut + 20ux + 0,95px = 0 (-∞ <x< +∞, t > 0), ⎪ ⎪⎨pt + 20ux + 20px = 0, u(x, 0) = 0, ⎪ ⎪⎩p(x, 0) = 20 cos x. Используя теорему 2.1, получим точное решение поставленной задачи в виде u(x, t) = 2,18 cos(-x + 24,4t) - 2,18 cos(-x + 15,6t), p(x, t) = 10 cos(-x + 24,4t)+ 10 cos(-x + 15,6t). Пример 7.2. Рассмотрим задачу гемодинамики в аорте, для которой будем использовать следующие данные: u¯ = 50, p¯ = 100, s¯ = 5,5, θ = 0,18, ρ = 1,05. Зададим начальные возмущения \\ скорости и давления: φ(x) = 0 и ψ(x) = 20 cos ( 1 x - 3,6 , а также граничные условия: ν(t) = 0 29 и μ(t) = 80. Аорту представим графом Γ1, определенным в разделе 3. Тогда смешанная задача будет иметь вид ⎧ut + 50ux + 0,95px = 0 (0 <x< +∞, t > 0), ⎪ ⎪⎨pt + 30,5ux + 50px = 0, ( 1 \\ - u(x, 0) = 0, p(x, 0) = 20 cos ⎪ ⎪⎩u(x, 0) = 0, p(x, 0) = 80. x 3,6 , 29 О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГЕМОДИНАМИКИ НА ГРАФАХ 17 Воспользовавшись теоремой 2.2, получим точное решение данной задачи: - - - - (1,8 cos( 0,034x + 1,9t + 3,6) 1,8 cos( 0,034x + 1,6t + 3,6), 0 ::: x 55t, u(x, t) = 1,8 cos(-0,028x + 1,6t + 3,6) - 1,8 cos(-0,034x + 1,6t + 3,6), x - 55t< 0, - - - (9,99 cos( 0,0345x+1,91t+3,6)+9,99 cos( 0,0345x+1,53t+3,6), 0 ::: x 55,5t, p(x, t) = 79,8-9,99 cos(-0,0277x+1,53t+3,6)+9,99 cos(-0,0345x+1,53t+3,6), x-55,5t< 0.