О коэрцитивной разрешимости параболических уравнений с переменным оператором

Аннотация

В произвольном банаховом пространстве E рассматривается задача Коши vt(t)+ A(t)v(t)= f (t) (0 >t > 1), v(0) = v0 для дифференциального уравнения с линейным сильно позитивным оператором A(t), имеющим не зависящую от t, всюду плотную в E область определения D = D(A(t)), порождающим аналитическую полугруппу exp{-sA(t)} (s < 0). При естественных предположениях относительно A(t) устанавливается коэрцитивная разрешимость задачи Коши в банаховом пространстве C0β,γ (E). Доказана более сильная оценка решения по сравнению с известными ранее при меньших ограничениях на f(t) и v0.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ. ОЦЕНКИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ vt(t)+ A(t)v(t)= f (t) (0 ::: t ::: 1), v(0) = v0 (1.1) в произвольном банаховом пространстве E. Здесь v(t) и f (t) - искомая и заданная функции, определенные на [0, 1] со значениями в E; vt(t) - производная, понимаемая как предел по норме E соответствующего конечно-разностного отношения; A(t) - действующий в E линейный неограниченный оператор, имеющий не зависящую от t, всюду плотную в E область определения D; v0 ∈ D. К такой задаче сводятся различные краевые задачи для эволюционных уравнений в частных производных [3]. Будем предполагать, что 1. при любых t ∈ [0, 1] и λ с Reλ 0 оператор A(t)+ λI имеет ограниченный обратный, причем 1 11 1 1[A(t)+ λI]- 1 ::: M (1 + |λ|)- 1 1 E→E (согласно [2], оператор A(t) принято называть сильно позитивным); 2. для любых t, s, τ ∈ [0, 1] справедливо неравенство 1 1 1[A(t) - A(s)]A-1(τ )1 E→E ::: M |t - s|ε, 0 < ε ::: 1. (1.2) Функцию v(t) назовем решением задачи (1.1), если выполнены следующие условия: 1. функция v(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1]. Производная в концах отрезка понимается как соответствующая односторонняя производная; 2. элемент v(t) принадлежит D = D(A(t)) при каждом t ∈ [0, 1] и A(t)v(t) непрерывна на [0, 1]; 3. функция v(t) удовлетворяет уравнению и начальному условию (1.1). ∗c 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 164 О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 165 Задача (1.1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение v(t) при определенных ограничениях на v0 и достаточно гладких функциях f (t), а для ее решения справедлива формула t r v(t)= v(t, 0)v0 + 0 v(t, s)f (s)ds, где v(t, s) - фундаментальное решение уравнения (1.1), называемое также эволюционной оператор-функцией [3, 10]. Оно определяется из соотношения t или r v(t, s)= exp{-(t - s)A(t)} + s t r v(t, s)= exp{-(t - s)A(s)} + s exp{-(t - t1)A(t)}[A(t) - A(t1)]v(t1, s)dt1 v(t, t1)[A(s) - A(t1)] exp{-(t1 - s)A(s)}dt1 и удовлетворяет следующим условиям: 1. оператор v(t, s) сильно непрерывен по t и s (0 ::: s ::: t ::: 1); 2. v(t, s)= v(t, τ )v(τ, s), v(t, t)= I, 0 ::: s ::: τ ::: t ::: 1; 1. оператор v(t, s) отображает область D = D(A(t)) в себя, оператор u(t, s)= A(t)v(t, s)A-1(s) ограничен, сильно непрерывен по t и s (0 ::: s ::: t ::: 1); 2. на области D оператор v(t, s) сильно дифференцируем по t и s, причем ∂v(t, s) ∂t = -A(t)v(t, s), ∂v(t, s) ∂s = v(t, s)A(s). Определение. Говорят, что задача (1.1) коэрцитивно разрешима в некотором банаховом пространстве F (E) = F ([0, 1], E) функций f (t) со значениями в E на [0, 1], если для всякой f (t) ∈ F (E) существует единственное решение задачи (1.1), причем vt и A(t)v принадлежат тому же пространству F (E) [4]. Введем банахово пространство Cβ,γ (E) = Cβ,γ ([0, 1], E) (0 ::: γ ::: β, 0 < β < 1), полученное 0 0 замыканием множества всех гладких функций f (t), определенных на отрезке [0, 1], со значениями из E в норме 0 (E) lf lCβ,γ = lf lC(E) + sup 0:::t<t+τ :::1 (t + τ )γ lf (t + τ ) - f (t)lE τ β . Здесь под C(E)= C([0, 1], E) понимается банахово пространство определенных на [0, 1] со значениями в E непрерывных функций f (t) с нормой l lC(E) l lE f = max f (t) . 0:::t:::1 Таким образом, при β = α и γ = 0 пространство Cα,0(E) = Cα,0([0, 1], E) (0 < α < 1) совпадает 0 0 с пространством Cα(E) = Cα([0, 1], E) (0 < α < 1). А если γ = β = α, то тогда пространство Cα,α α,α 0 (E)= C0 ([0, 1], E) (0 < α < 1) совпадает с пространством Cα(E)= Cα([0, 1], E) (0 < α < 1), 0 0 причем нормы этих пространств равномерно по α ∈ (0, 1) эквивалентны. α = E Обозначим через Et t α,∞ α lulEt (A(t), E) (0 < α < 1) дробные пространства с нормой = sup z1-α lA(t) exp{-zA(t)}ulE + lulE , z>0 состоящие из всех элементов u ∈ E, для которых эта норма конечна. α Из результатов работы [7] следует, что пространство Et не зависит от t в силу предположения α D(A(t)) = D, т. е., что норма lulEt α эквивалентна lulEs при любых t, s ∈ [0, 1]. В дальнейшем α пространство Et обозначается просто Eα. Известно, что в случае произвольного неограниченного сильно позитивного оператора A(t) и любого банахова пространства E коэрцитивная разрешимость задачи (1.1) отсутствует в C(E). В условиях настоящей работы коэрцитивная разрешимость задачи (1.1) в пространстве Гельдера 166 А. Р. ХАНАЛЫЕВ Cα 0 (E) с весом tα 0 < α < ε ::: 1. установлена в [6], и в пространстве C(Eα)= C([0, 1], Eα) установлена в [8] при Известно, что для аналитической полугруппы справедливы оценки [5, 10]: lexp{-(t - s)A(t)}lE E → ::: M exp{-δ(t - s)}, t > s, M > 0, δ > 0, (1.3) 1A1+α(t) exp{-(t - s)A(t)}1 M ::: , 0 ::: α ::: 1, (1.4) 1 1 E→E (t - s)1+α 1 1 1z1-αA1-α(t) exp{-zA(t)}1 E→E ::: M, z > 0, 0 < α < 1, (1.5) ε lexp{-(t + τ - s)A(t + τ )}- exp{-(t + τ - s)A(t)}lE E ::: Mτ , 0 < ε ::: 1. (1.6) → Как показано в [5, 10], для v(t, s) справедливы следующие леммы: Лемма 1.1. Для любых 0 ::: s < t ::: 1, 0 ::: α ::: 1, 0 < ε ::: 1 верны оценки lv(t, s)lE E ::: M, → 1A1+α(t)v(t, s)A-1(s)1 M ::: , (1.7) 1 1 E→E (t - s)α 1A1+α(t)v(t, s)1 M ::: , (1.8) 1 1 E→E (t - s)1+α ε lv(t, s) - exp{-(t - s)A(t)}lE E - ::: M (t s) , → 1 1 1A1+α(t)[v(t, s) - exp{-(t - s)A(t)}]1 E→E 1 1 M ::: (t - s)1+α-ε , 1A1+α(t)[v(t, s) - exp{-(t - s)A(t)}]A-1(s)1 где M не зависит от t, s, α и ε. E→E ::: M (t - s)ε-α, (1.9) Лемма 1.2. Для любых 0 ::: s < t < t + τ ::: 1, 0 ::: α ::: 1, 0 < ε ::: 1 справедливы оценки lv(t + τ, s) - v(t, s)lE E ::: Mϕ, → Mϕ (1.10) lA(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)lE 1 ::: , →E t - s 1 α где ϕ = τ ε + τ 1A(t + τ )v(t + τ, s)A-1(s) - A(t)v(t, s)A-1(s)1 и M не зависит от t, s, τ, α и ε. E→E ::: Mϕ, (1.11) (t - s)α Приведем одно тождество для vt(t): t t r r vt(t)= 0 A(t)v(t, s)(f (t) - f (s))ds + 0 A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)ds+ +A(t)v(t, 0)A-1(0)(f (t) - f (0)) + A(t)v(t, 0)A-1(0)[A(0) - A(t)]A-1(t)f (t)+ где 0 +A(t)v(t, 0)A-1(0)vt = W1(t)+ W2(t)+ W3(t)+ W4(t)+ W5(t), t r W1(t)= 0 t A(t)v(t, s)(f (t) - f (s))ds, r W2(t)= 0 A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)ds, W3(t)= A(t)v(t, 0)A-1(0)(f (t) - f (0)), W4(t)= A(t)v(t, 0)A-1(0)[A(0) - A(t)]A-1(t)f (t), 0 W5(t)= A(t)v(t, 0)A-1(0)vt 0 (vt = f (0) - A(0)v0). О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 167 1. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ Справедлива следующая теорема. 0 Теорема 2.1. Пусть vt = f (0) - A(0)v0 ∈ Eβ-γ , f (t) ∈ C β,γ 0 (E) при некоторых 0 ::: γ < β < 0 o ::: 1, 0 < β < 1. Тогда задача (1.1) коэрцитивно разрешима в Cβ,γ (E) и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство коэрцитивности 1 1 1 1 г 1 1 1 1 l 0 (E) 1vt1Cβ,γ + lA(.)vl 0 Cβ,γ (E) + 1vt1 C(Eβ-γ ) 0 ::: M β - γ 1vt 1 Eβ-γ + β(1 - β) lf l 0 Cβ,γ (E) (2.1) 0 с постоянной M, не зависящей от β, γ, vt и f (t). - 0 1 β-γ Доказательство. Для доказательства нужно получить оценки функций W1(t), W2(t), W3(t), W4(t), W5(t) в нормах C(Eβ γ ) и Cβ,γ (E). Сначала оценим W (t) в C(E ): z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}W1(t)lE ::: t r 1A (t) exp{-zA(t)}v(t, s)1 lf (t) - f (s)l ds ::: ::: z1-β+γ 1 2 0 t 1E→E E t r ::: Mz1-β+γ г 1 min 1 l , (t - s)β t-γ ds lf l β,γ r ::: M1z1-β+γ (t - s)β ds lf l β,γ . z2 (t - s)2 0 C0 (E) (z + t - s)2tγ 0 C0 (E) Пусть сначала z ::: t, тогда t r z1-β+γ (t - s)β ds t 1-β r ds 1 0 Пусть теперь z > t, тогда t (z + t - s)2tγ ::: z (z + t - s)2-β ::: 1 - β . 0 t r z1-β+γ (t - s)β ds 1 r ds tβ-γ 1 0 Поэтому для любого z > 0 (z + t - s)2tγ ::: zβ-γ tγ 0 t = < . (t - s)1-β βzβ-γ β r z1-β+γ (t - s)β ds 1 Итак, установили оценку (z + t - s)2tγ ::: β(1 - β) . 0 M1 Отсюда имеем lW1(t)lEβ ::: lf l -γ β(1 - β) M1 C β,γ 0 β,γ (E) . . (2.2) lW1lC(Eβ -γ ) ::: β(1 - β) lf lC0 (E) 0 Теперь оценим W1(t) в Cβ,γ (E). Для этого установим оценки lW1(t)lE ::: M 0 (E) β ||f ||Cβ,γ , 0 ::: t ::: 1, (2.3) Mτ β β,γ (2.4) lW1(t + τ ) - W1(t)lE ::: β(1 - β)(t + τ )γ lf lC0 (E) , 0 ::: t < t + τ ::: 1. В силу (1.8) при α =0 получаем t r lW1(t)lE ::: 0 lA(t)v(t, s)lE → E lf (t) - f (s)lE ds ::: 168 А. Р. ХАНАЛЫЕВ t r ds β,γ ::: Mtβ-γ lf lCβ,γ . ::: M 0 (t - s)1-β tγ lf lC0 (E) β 0 (E) Итак, для любого 0 ::: t ::: 1 получена оценка lW1(t)lE ::: Mtβ-γ 0 (E) β lf lCβ,γ . (2.5) Из последнего неравенства, во-первых, следует (2.3), во-вторых, (2.4) при t ::: τ. Действительно, в силу (2.5) и неравенства треугольника имеем lW1(t + τ ) - W1(t)lE ::: lW1(t + τ )lE + lW1(t)lE ::: Mβ-1[(t + τ )β-γ + tβ-γ ] lf l 0 Cβ,γ (E) ::: ::: 2Mβ-1(t + τ )β-γ lf l 0 Cβ,γ (E) ::: M 21+β τ β β(t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) = M1τ β β(t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) . Пусть теперь t > τ. Разобьем W1(t + τ ) - W1(t) в сумму следующих интегралов: t-τ r W1(t + τ ) - W1(t)= 0 t-τ r A(t + τ )v(t + τ, s)ds(f (t + τ ) - f (t))+ + [A(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)](f (t) - f (s))ds+ 0 t+τ r + t-τ A(t + τ )v(t + τ, s)(f (t + τ ) - f (s)ds- t r - A(t)v(t, s)(f (t) - f (s)ds = I1 + I2 + I3 + I4, где t-τ I1 = t-τ r t-τ r 0 A(t + τ )v(t + τ, s)ds(f (t + τ ) - f (t)), I2 = 0 [A(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)](f (t) - f (s))ds, t+τ r I3 = t-τ A(t + τ )v(t + τ, s)(f (t + τ ) - f (s)ds, t r I4 = - A(t)v(t, s)(f (t) - f (s)ds. t-τ Оценим I1, I2, I3 и I4 в отдельности. Сначала оценим I1. Воспользовавшись тождеством t-τ r A(t + τ )v(t + τ, s)ds = A(t + τ )[v(t + τ, t - τ ) - v(t + τ, 0)]A-1(t)+ 0 t-τ r + A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(s)]A-1(t)ds, (2.6) 0 оценками (1.2) и (1.7), (1.8) при α = 0, получим lI1lE ::: [1A(t + τ )v(t + τ, t - τ )A-1(t)1 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(t)1 + 1 1E→E 1 1E→E О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 169 t-τ r 1 1 1 + lA(t + τ )v(t + τ, s)lE→E 1[A(t) - A(s)]A- (t)1E 0 →E ds] lf (t + τ ) - f (t)lE ::: ⎡ t-τ r ⎤ (t - s)εds τ β t-τ r ::: ⎣M + M1 + M2 0 τ β ds β,γ t + τ - s ⎦ (t + τ )γ lf lC0 (E) M3τ β (t + τ )ε ::: M3τ β ::: M3 0 (t + τ - s)1-ε(t + τ )γ lf lC β,γ 0 (E) ::: ε(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) ::: β(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) . Оценим теперь I2. В силу (1.10) при α =1 имеем t-τ r lI2lE ::: 0 lA(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)lE→E lf (t) - f (s)lE ::: ⎡ t-τ r τ εds t-τ r ⎤ τds 1 ::: M ⎣ 0 + (t - s)1-β 0 β,γ (t - s)2-β ⎦ tγ lf lC0 (E) ::: M1τ β ::: β(1 - β)tγ lf lC β,γ 0 (E) ::: M2τ β β(1 - β)(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) . Далее, воспользовавшись оценкой (1.8) при α = 0, получаем оценку для I3, t+τ r lI3lE ::: t+τ t-τ lA(t + τ )v(t + τ, s)lE→E lf (t + τ ) - f (s)lE ds ::: ::: M r t-τ ds (t + τ - s)1-β (t + τ )γ lf lC β,γ 0 (E) ::: M1τ β β(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) . Точно так же получаем оценку для I4, t lI4lE ::: t r t-τ lA(t)v(t, s)lE→E lf (t) - f (s)lE ds ::: r ds β,γ ::: M1τ β lf l β,γ . ::: M t-τ (t - s)1-β tγ lf lC0 (E) β(t + τ )γ C0 (E) Объединив оценки для I1, I2, I3 и I4, получим (2.4). Из (2.3) и (2.4) вытекает, что M 0 (E) lW1lCβ,γ ::: β(1 - β) 0 (E) lf lCβ,γ . (2.7) Теперь аналогичные оценки установим для W2(t). Сначала оценим W2(t) в C(Eβ-γ ): z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}W2(t)lE ::: t r 1A (t) exp{-zA(t)}v(t, s)1 1[A(s) - A(t)]A (t)1 lf (t)l ds ::: ::: z1-β+γ 1 2 0 t 1E→E 1 -1 1 t E→E E r ::: z1-β+γ 0 г 1 min , z2 1 l (t - s)2 (t - s)εds lf l 0 Cβ,γ (E) r ::: M1z1-β+γ 0 (t - s)εds (z + t - s)2 lf l 0 Cβ,γ (E) . 170 А. Р. ХАНАЛЫЕВ Пусть z ::: t, тогда t r z1-β+γ (t - s)εds t 1-β γ r ds tγ 1 0 Пусть теперь z > t, тогда t (z + t - s)2 ::: z t (z + t - s)2-β ::: 1 - β ::: 1 - β . 0 t r z1-β+γ (t - s)εds 1 r ds tε tε 1 (z + t - s)2 ::: zβ-γ 0 0 = < ::: . (t - s)1-ε εzβ-γ εtβ-γ β Поэтому для любого z > 0 получим t r z1-β+γ (t - s)εds 1 Итак, установили, что (z + t - s)2 ::: β(1 - β) . 0 M1 Отсюда получаем lW2(t)lEβ ::: lf l -γ β(1 - β) M1 C β,γ 0 β,γ (E) . . (2.8) β,γ lW2lC(Eβ -γ ) ::: β(1 - β) lf lC0 (E) Теперь оценим W2(t) в C0 (E). Установим оценку M 0 (E) lW2lCβ,γ ::: β(1 - β) 0 (E) lf lCβ,γ . (2.9) Для этого достаточно доказать, что lW2(t)lE ::: M 0 (E) β lf lCβ,γ , 0 ::: t ::: 1, (2.10) Mτ β β,γ (2.11) lW2(t + τ ) - W2(t)lE ::: β(1 - β)(t + τ )γ lf lC0 (E) , 0 ::: t < t + τ ::: 1. Сначала установим (2.10). Воспользовавшись оценками (1.2) и (1.8) при α = 0, получаем t r 1 -1 1 lW2(t)lE ::: 0 t lA(t)v(t, s)lE → E 1[A(s) - A(t)]A (t)1E → E lf (t)lE ds ::: r ds β,γ ::: Mtε lf lCβ,γ ::: Mtβ-γ lf l β,γ . ::: M 0 (t - s)1-εtγ lf lC0 (E) ε 0 (E) β C0 (E) Поэтому для любого 0 ::: t ::: 1 справедливо неравенство Mtβ-γ lW2(t)lE ::: 0 (E) β lf lCβ,γ . (2.12) Из последнего неравенства, во-первых, следует (2.10), во-вторых, (2.11) при t ::: τ. Действительно, в силу (2.12) и неравенства треугольника получим lW2(t + τ ) - W2(t)lE ::: lW2(t + τ )lE + lW2(t)lE ::: Mβ-1[(t + τ )β-γ + tβ-γ ] lf l 0 Cβ,γ (E) ::: ::: 2Mβ-1(t + τ )β-γ lf l 0 Cβ,γ (E) ::: M 21+β τ β β(t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) = M1τ β β(t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) . Пусть теперь t > τ. Тогда представим разность W2(t + τ ) - W2(t) в виде суммы следующих интегралов: W2(t + τ ) - W2(t)= t-τ r {A(t + τ )v(t + τ, s)[A(s) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )- 0 О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 171 t+τ r + -A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)}ds+ A(t + τ )v(t + τ, s)[A(s) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )ds+ t-τ t r + A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)ds = I5 + I6 + I7, где I5 = t-τ t-τ r {A(t + τ )v(t + τ, s)[A(s) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )- 0 I6 = t+τ r t-τ -A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)}ds, A(t + τ )v(t + τ, s)[A(s) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )ds, t I7 = r t-τ A(t)v(t, s)[A(s) - A(t)]A-1(t)f (t)ds. Сначала оценим I5. Для этого преобразуем I5 в виде t-τ r I5 = 0 A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )ds- t-τ r t-τ r - [A(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)][A(t) - A(s)]A-1(t)f (t)ds- 0 t-τ r - A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(s)]A-1(t)(f (t + τ ) - f (t))ds+ 0 где + A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(s)]A-1(t)[A(t + τ ) - A(t)]A-1(t + τ )f (t + τ )ds = 0 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4, Q1 = t-τ r 0 A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t + τ )ds, Q2 = - Q3 = - t-τ r t-τ r [A(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)][A(t) - A(s)]A-1(t)f (t)ds, 0 t-τ r A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(s)]A-1(t)(f (t + τ ) - f (t))ds, 0 Q4 = 0 A(t + τ )v(t + τ, s)[A(t) - A(s)]A-1(t)[A(t + τ ) - A(t)]A-1(t + τ )f (t + τ )ds. Оценим Q1, Q2, Q3 и Q4 в отдельности. Оценим сначала Q1. Воспользовавшись тождеством (2.6), оценками (1.2) и (1.7), (1.8) при α = 0, получаем 1 1 1 1 lQ1lE ::: {1A(t + τ )v(t + τ, t - τ )A-1(t)1 E→E + 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(t)1 E→E + 172 А. Р. ХАНАЛЫЕВ t-τ r + 1 1 1 1 1A(t + τ )v(t + τ, s)||E→E 1[A(t) - A(s)]A- (t)1E 0 →E ds}× 1 1 → × E E ⎡ t-τ r ⎣ ⎤ (t - s)εds ⎦ C (E) 1[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )1 t-τ lf (t + τ )lE ::: M + M1 + M2 0 t + τ - s τ ε lf l β,γ 0 ::: r ::: M3 0 τ εds (t + τ - s)1-ε lf lC β,γ 0 (E) ::: M3τ β β(t + τ )γ lf lC β,γ 0 (E) . Точно так же получаем оценки для Q3 и Q4: t-τ r 1 1 1 lQ3lE ::: 0 lA(t + τ )v(t + τ, s)lE→E 1[A(t) - A(s)]A- (t)1E →E lf (t + τ ) - f (t)lE ::: ::: M t-τ r 0 (t - s)ετ β ds β,γ (t + τ - s)(t + τ )γ lf lC0 (E) M (t + τ )ετ β ::: M t-τ r 0 τ β ds (t + τ - s)1-ε(t + τ )γ Mτ β lf l β,γ C0 (E) ::: ::: t-τ r β,γ ε(t + τ )γ lf lC0 (E) ::: β(t + τ ) 0 γ lf lCβ,γ (E) , 1 lQ4lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, s)||E→E 1[A(t) - A(s)]A- (t)1 ds× 1 1 0 × 1 →E 1E→E t-τ 1[A(t + τ ) - A(t)]A-1(t + τ )||E t-τ lf (t + τ )lE ::: r ::: M 0 (t - s)ετ εds t + τ - s lf lC M (t + τ )ετ ε β,γ 0 (E) r ::: M 0 τ εds (t + τ - s)1-ε Mτ β lf l C β,γ 0 (E) ::: ::: 0 (E) o lf lCβ,γ ::: β(t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) . Наконец, оценим Q2. В силу (1.2) и (1.10) при α =1 имеем t-τ r 1 1 1 lQ2lE ::: 0 lA(t + τ )v(t + τ, s) - A(t)v(t, s)lE→E 1[A(t) - A(s)]A- (t)1E →E lf (t)lE ds ::: ⎡ t-τ r τ εds t-τ r ⎤ τds ⎡ τ εtε t-τ r ⎤ τds ::: M ⎣ 0 + (t - s)1-ε 0 β,γ (t - s)2-ε ⎦ lf lC0 (E) ::: M ⎣ ε + 0 (t - s)2-β ⎦ β,γ lf lC0 (E) ::: г τ β tε τ l Mτ β ::: M + β (1 - β)τ 1-β 0 lf lCβ,γ (E) ::: β(1 - β)(t + τ )γ lf l β,γ C0 (E) . Объединив оценки для Q1, Q2, Q3 и Q4 получим, что Mτ β β,γ . lI5lE ::: β(1 - β)(t + τ )γ lf lC0 (E) Воспользовавшись оценками (1.2) и (1.8) при α = 0, получим оценку для I6, t+τ r 1 1 1 lI6lE ::: t-τ t+τ lA(t + τ )v(t + τ, s)lE→E 1[A(s) - A(t + τ )]A- (t + τ )1E →E lf (t + τ )lE ds ::: ::: M r t-τ ds (t + τ - s)1-ε lf lC β,γ 0 (E) ::: M (t + τ )ετ ε ε(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) ::: Mτ β β(t + τ )γ lf l C β,γ 0 (E) . О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 173 Точно так же оцениваем I7: t r 1 1 1 lI7lE ::: t t-τ lA(t)v(t, s)lE→E 1[A(s) - A(t)]A- (t)1E →E lf (t)lE ds ::: ::: M r t-τ ds β,γ (t - s)1-ε lf lC0 (E) ::: M (t + τ )γ τ ε ε(t + τ )γ lf l β,γ C0 (E) ::: Mτ β β(t + τ )γ lf l β,γ C0 (E) . Объединив оценки для I1, I2, I3 и I4, получаем (2.11). - 0 3 β-γ Оценим теперь W3(t) в C(Eβ γ ) и Cβ,γ (E). Сначала оценим W (t) в C(E ). Воспользовавшись оценками (1.5) и (1.7), получаем z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}W3(t)lE ::: 1 ::: 1 1-(β-γ) 1-(β-γ) 1 1 1 1 1 1 1+β-γ - 1 1z A (t) exp{-zA(t)}1 Mtβ-γ A E→E 1 (t)v(t, 0)A (0)1 E→E lf (t) - f (0)lE ::: Отсюда для любого 0 ::: t ::: 1 ::: 0 (E) tβ-γ lf lCβ,γ = M lf l 0 Cβ,γ (E) . Поэтому lW3(t)lEβ γ - ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . lW3lC(Eβ - γ ) ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . (2.13) 0 Теперь оценим W3(t) в норме Cβ,γ (E). В силу (1.7) при α =0 имеем lW3(t)lE ::: 1A(t)v(t, 0)A-1(0)1 lf (t) - f (0)lE ::: Mtβ-γ lf l β,γ , т. е. 1 1E→E lW3(t)lE ::: Mtβ-γ lf l 0 Cβ,γ (E) . C0 (E) Отсюда, во-первых, следует оценка 0 (E) lW3(t)lE ::: M lf lCβ,γ , 0 ::: t ::: 1, (2.14) во-вторых, Mτ β 0 (E) lW3(t + τ ) - W3(t)lE ::: (t + τ )γ lf lCβ,γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1, (2.15) при t ::: τ. Действительно, lW3(t + τ ) - W3(t)lE ::: lW3(t + τ )lE + lW3(t)lE ::: M [(t + τ )β-γ + tβ-γ ] lf l β,γ ::: ::: 2M (t + τ )β-γ lf l β,γ ::: M 21+β τ β lf l β,γ M1τ β = lf l β,γ C0 (E) . C0 (E) (t + τ )γ C0 (E) (t + τ )γ C0 (E) Пусть теперь t > τ, тогда преобразуем разность W3(t + τ ) - W3(t) в виде W3(t + τ ) - W3(t)E = A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)(f (t + τ ) - f (t))+ +[A(t + τ )v(t + τ, 0) - A(t)v(t, 0)]A-1(0)(f (t) - f (0)) = I8 + I9, где I8 = A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)(f (t + τ ) - f (t)), I9 = [A(t + τ )v(t + τ, 0) - A(t)v(t, 0)]A-1(0)(f (t) - f (0)). Воспользовавшись формулой (1.7) при α = 0, оценим I8: Mτ β lI8lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)1 lf (t + τ ) - f (t)lE ::: lf l β,γ . 1 1E→E (t + τ )γ C0 (E) Далее, воспользовавшись оценкой (1.11), оценим I9: lI9lE ::: 1[A(t + τ )v(t + τ, 0) - A(t)v(t, 0)]A-1(0)1 lf (t) - f (0)lE ::: 1 1E→E 174 А. Р. ХАНАЛЫЕВ ::: M ( β τ ε + τ tβ-γ lf l β,γ ::: M ( τ εtβ τ β + lf l β,γ ::: ( 2γ τ β tβ tβ 2γ τ β C0 (E) tγ tγ M 21+γ τ β C0 (E) M1τ β ::: M (t + τ )γ + (t + τ )γ 0 (E) lf lCβ,γ ::: (t + τ ) 0 γ lf lCβ,γ (E) = (t + τ ) 0 γ lf lCβ,γ (E) . Объединив оценки для I8 и I9, получаем (2.15). В силу (2.14) и (2.15) имеем 0 (E) lW3lCβ,γ ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . (2.16) Теперь аналогичные оценки установим и для W4(t). Сначала оценим W4(t) в норме C(Eβ-γ ). В силу (1.2), (1.5) и (1.7) имеем z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}W4(t)lE ::: 1 ::: 1 1-(β-γ) 1-(β-γ) 1 1 1 1 1 1 1+β-γ - 1 1z A (t) exp{-zA(t)}1 A E→E 1 ε (t)v(t, 0)A (0)1 × E→E 1 1 × 1[A(0) - A(t)]A-1(t)1 E→E lf (t)l Mt ::: E tβ-γ lf l 0 Cβ,γ (E) 0 ::: M lf lCβ,γ (E) . Отсюда для любого 0 ::: t ::: 1 получаем lW4(t)lEβ Поэтому γ - ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . lW4lC(Eβ - γ ) ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . (2.17) 0 Оценим теперь W4(t) в норме Cβ,γ (E), т. е. установим оценку 0 (E) lW4lCβ,γ ::: M lf l 0 Cβ,γ (E) . (2.18) Для этого достаточно доказать, что 0 (E) lW4(t)lE ::: M lf lCβ,γ , 0 ::: t ::: 1, (2.19) Mτ β 0 (E) lW4(t + τ ) - W4(t)lE ::: (t + τ )γ lf lCβ,γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1. (2.20) Сначала установим (2.19). Воспользовавшись оценками (1.2) и (1.7), при α =0 получаем lW4(t)lE ::: 1A(t)v(t, 0)A-1(0)1 1[A(0) - A(t)]A-1(t)1 lf (t)lE ::: 1 1E→E 1 1E→E Поэтому ::: Mtε lf l 0 Cβ,γ (E) ::: Mtβ-γ lf l 0 Cβ,γ (E) . lW4(t)lE ::: Mtβ-γ lf l 0 Cβ,γ (E) (2.21) при любом 0 ::: t ::: 1. Из последнего неравенства, во-первых, следует (2.19), во-вторых, (2.20) при t ::: τ. Действительно, в силу (2.21) и неравенства треугольника имеем lW4(t + τ ) - W4(t)lE ::: lW4(t + τ )lE + lW4(t)lE ::: M [(t + τ )β-γ + tβ-γ ] lf l β,γ ::: ::: 2M (t + τ )β-γ lf l β,γ ::: M 21+β τ β lf l β,γ M1τ β = lf l β,γ C0 (E) . C0 (E) (t + τ )γ C0 (E) (t + τ )γ C0 (E) Пусть теперь t > τ, тогда представим разность W4(t + τ ) - W4(t) в виде W4(t + τ ) - W4(t)= A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(0) - A(t + τ )]A-1(t + τ )(f (t + τ ) - f (t))+ +A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t)+ +A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(0) - A(t)]A-1(t + τ )[A(t) - A(t + τ )]A-1(t)f (t)+ +[A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0) - A(t)v(t, 0)A-1(0)][A(0) - A(t)]A-1(t)f (t)= = I10 + I11 + I12 + I13, где I10 = A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(0) - A(t + τ )]A-1(t + τ )(f (t + τ ) - f (t)), I11 = A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )f (t), I12 = A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)[A(0) - A(t)]A-1(t + τ )[A(t) - A(t + τ )]A-1(t)f (t), О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 175 I13 = [A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0) - A(t)v(t, 0)A-1(0)][A(0) - A(t)]A-1(t)f (t). Оценим I10, I11, I12 и I13 в отдельности. Сперва оценим I10. В силу (1.2) и (1.7) при α =0 имеем lI10lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)1 1[A(0) - A(t + τ )]A-1(t + τ )1 lf (t + τ ) - f (t)lE ::: 1 1E→E 1 Mτ β (t + τ )ε 0 (E) Mτ β 1E→E γ lf lC (E) ::: (t + τ )γ lf lCβ,γ ::: (t + τ ) 0 β,γ . Точно так же оцениваем I11 и I12: lI11lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)1 1[A(t) - A(t + τ )]A-1(t + τ )1 lf (t)lE ::: 1 Mτ ε(t + τ )γ 1E→E 1 0 (E) Mτ β γ lf lC (E) 1E→E ::: (t + τ )γ lf lCβ,γ ::: (t + τ ) 0 β,γ , lI12lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)1 1[A(0) - A(t)]A-1(t + τ )1 × 1 1E→E 1 1 1 → × E E 1E→E 1[A(t) - A(t + τ )]A-1(t)1 Mτ β lf (t)lE ::: ::: Mtετ ε lf l 0 Cβ,γ (E) ::: (t + τ )γ lf l 0 Cβ,γ (E) . Наконец, воспользовавшись оценками (1.2) и (1.11), оценим I13: lI13lE ::: 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0) - A(t)v(t, 0)A-1(0)1 1[A(0) - A(t)]A-1(t)1 lf (t)lE ::: 1 ::: M ( β τ ε + τ tε lf l β,γ 1E→E 1 Mτ β ::: lf l β,γ . 1E→E tβ C0 (E) (t + τ )γ C0 (E) Объединив оценки для I10, I11, I12 и I13, получаем (2.20). β,γ В конце доказательства оценим W5(t) в нормах C(Eβ-γ ) и C0 (E). Вначале оценим W5(t) в C(Eβ-γ ). Преобразуем W5(t) в виде W5(t)= exp{-tA(t)}vt + exp{-tA(t)}[A(t) - A(0)]A-1(0)vt + где 0 0 +A(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A-1(0)vt 0 = F1(t)+ F2(t)+ F3(t), (2.22) 0 F1(t)= exp{-tA(t)}vt , 0 F2(t)= exp{-tA(t)}[A(t) - A(0)]A-1(0)vt , 1 t F3(t)= A(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A- (0)v0. Сначала оценим F1(t). В силу (1.3) имеем 1 t 1 1 t 1 Отсюда lF1(t)lEβ γ - ::: lexp{-tA(t)}lE→E 1v01 Eβ-γ ::: M 1v01E . β-γ 1 t 1 lF1lC(Eβ - γ ) ::: M 1v01 Eβ-γ . (2.23) Воспользовавшись оценками (1.2) и (1.4) при α = 0, получаем оценку для F2(t): z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}F2(t)lE ::: ::: z1-(β-γ) lA(t) exp{-(z + t)A(t)}l 1[A(t) - A(0)]A-1(0)1 1vt 1 ::: ::: Mz1-(β-γ)tε 1 z + t E→E 1 1 0 ::: M 1 01 1E→E 1 . 01E Итак, для любого 0 ::: t ::: 1 1vt 1E β-γ 1 t 1 1vt 1E β-γ Отсюда lF2(t)lEβ γ - ::: M 1v01 . Eβ-γ 1 t 1 lF2lC(Eβ - γ ) ::: M 1v01 Eβ-γ . (2.24) Наконец, оцениваем F3(t) в C(Eβ-γ ). Пусть сначала z ::: t, тогда в силу (1.3) и (1.9) при α =1 имеем z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}F3(t)lE ::: ::: z1-(β-γ) lexp{-zA(t)}l 1A2(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A-1(0)1 1vt 1 ::: E→E 1 1E→E 1 01E 176 А. Р. ХАНАЛЫЕВ E = Mt 1v01E ::: M 1v01E . (2.25) ::: Mt1-(β-γ)tε-1 1 t 1 ε-β+γ 1 t 1 1 t 1 β-γ Пусть теперь z > t, тогда воспользовавшись оценками (1.4) и (1.9) при α = 0, получим z1-(β-γ) lA(t) exp{-zA(t)}F3(t)lE ::: z 1 -1 1 1 t 1 ::: tβ-γ lA(t) exp{-zA(t)}lE→E 1A(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A Mtε (0)1E E E 1v01 → ::: t ε-β+γ 1 t 1 1 t 1 ::: tβ-γ lv0lE = Mt 1v01E ::: M 1v01Eβ . (2.26) -γ Из (2.25) и (2.26) следует, что при любом 0 ::: t ::: 1 1 t 1 Отсюда lF3(t)lEβ γ - ::: M 1v01 . Eβ-γ 1 t 1 lF3lC(Eβ - γ ) ::: M 1v01 Eβ-γ . (2.27) Используя оценки (2.23), (2.24) и (2.27), получаем для W5(t) неравенство 1 t 1 lW5lC(Eβ - γ ) ::: M 1v01 Eβ-γ . (2.28) 0 Теперь оценим W5(t) в норме Cβ,γ (E), т. е. докажем оценку lW5lCβ,γ ::: M 1vt 1 . (2.29) Для этого достаточно установить, что 0 (E) β - γ 1 01Eβ-γ lW5(t)lE ::: M 1vt 1E , 0 ::: t ::: 1, (2.30) 1 1 0 β-γ Mτ β 1 t 1 (2.31) - lW5(t + τ ) - W5(t)lE ::: (β - γ) (t + τ )γ 1v01Eβ γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1. Сначала установим неравенство (2.30). В силу (1.7) при α =0 имеем lW5(t)lE ::: 1A(t)v(t, 0)A-1(0)1 1vt 1 ::: M 1vt 1 . 1 1E→E 1 01E 1 01Eβ-γ Далее, установим (2.31). Пусть t ::: τ, тогда воспользовавшись тождеством (2.22), оценим сначала разность F1(t + τ ) - F1(t). Преобразуем разность F1(t + τ ) - F1(t) в виде 0 F1(t + τ ) - F1(t) = [exp{-(t + τ )A(t + τ )}- exp{-(t + τ )A(t)}]vt + 0 +[exp{-(t + τ )A(t)}- exp{-tA(t)}]vt = Δ1 + Δ2. Вначале оценим Δ1. В силу (1.6) имеем 1 t 1 lΔ1lE ::: lexp{-(t + τ )A(t + τ )}- exp{-(t + τ )A(t)}lE β → E 1v01E ::: ::: Mτ ε 1vt 1 Mτ ::: 1vt 1 . (2.32) Теперь оценим Δ2: E (t + τ )γ 1 01Eβ-γ lΔ2lE ::: 1[exp{-(t + τ )A(t)}- exp{-tA(t)}]vt 1E ::: 1 01 τ τ r r ds ::: 1 1 1 1 0 0 1A(t) exp{-(t + s)A(t)}vt 1E ds ::: M 0 0 (t + s)1- β+γ 1vt 1 Eβ-γ ::: M1τ β 1 t 1 (2.33) Из (2.32) и (2.33) следует, что - ::: (β - γ) (t + τ )γ 1v01Eβ γ . M1τ β 1 t 1 (2.34) - lF1(t + τ ) - F1(t)lE ::: (β - γ) (t + τ )γ 1v01Eβ γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1. Теперь оценим разность F2(t + τ ) - F2(t) при t ::: τ. Сначала воспользовавшись оценками (1.2) и (1.3), оценим F2(t) в норме E: 1 1 1 1 1 0 lF2(t)lE ::: lexp{-tA(t)}lE→E 1[A(t) - A(0)]A- (0)1E → E 1vt 1E ::: О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 177 ::: Mtε 1vt 1 ::: Mtβ-γ 1vt 1 . Итак, Eβ-γ 1 01Eβ-γ lF2(t)lE ::: Mtβ-γ 1vt 1 . (2.35) Отсюда следует оценка M1τ β 1 1 0 E 1 01 β-γ lF2(t + τ ) - F2(t)lE ::: (t + τ )γ 1vt 1E β-γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1. (2.36) Действительно, в силу (2.35) и неравенства треугольника имеем lF2(t + τ ) - F2(t)lE ::: lF2(t + τ )lE + lF2(t)lE ::: M [(t + τ )β-γ + tβ-γ ] 1vt 1 ::: ::: 2M (t + τ )β-γ 1vt 1 M 21+β τ β ::: 1vt 1 M1τ β ::: 1 1vt 1 1 0 Eβ-γ . Eβ-γ (t + τ )γ 1 01Eβ-γ (t + τ )γ 1 01Eβ-γ Наконец, оценим разность F3(t + τ ) - F3(t). Для этого сначала F3(t) оценим в E: 1 1 1 1 1 0 lF3(t)lE ::: lexp{-tA(t)}lE→E 1A(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A- (0)1E → E 1vt 1E ::: ::: Mtε 1vt 1 ::: Mtβ-γ 1vt 1 . Eβ-γ 1 01Eβ-γ Отсюда в силу неравенства треугольника получаем оценку M1τ β 1 1 0 lF3(t + τ ) - F3(t)lE ::: (t + τ )γ 1vt 1E β-γ , 0 ::: t < t + τ ::: 1. (2.37) Используя оценки (2.34), (2.36) и (2.37), получим (2.31). Пусть теперь t > τ. Преобразуем разность W5(t + τ ) - W5(t) в виде W5(t + τ ) - W5(t)= [A(t + τ ) - A(t)]v(t + τ, 0)A-1(0)vt + A(t)[v(t + τ, 0) - v(t, 0)]A-1(0)vt = где 0 0 = I14 + I15, 0 I14 = [A(t + τ ) - A(t)]v(t + τ, 0)A-1(0)vt , 0 I15 = A(t)[v(t + τ, 0) - v(t, 0)]A-1(0)vt . Оценим I14 и I15 в отдельности. Воспользовавшись оценками (1.2) и (1.7), для I14 получим lI14lE ::: 1[A(t + τ ) - A(t)]A-1(t + τ ) 1 1A(t + τ )v(t + τ, 0)A-1(0)1 1vt 1 ::: 1 ::: Mτ ε 1vt 1 1E→E 1 Mτ β ::: 1vt 1 . 1E→E 1 01E Eβ-γ (t + τ )γ 1 01Eβ-γ Далее, оценим I15. Воспользовавшись тождеством v(t + τ, 0) - v(t, 0) = [v(t + τ, t) - I]v(t, 0), где v(t + τ, t) - I = exp{-τ A(t)}- I + t+τ r t v(t + τ, t1)[A(t) - A(t1)] exp{-(t1 - t)A(t)}dt1 = τ r = - A(t) exp{-t1A(t)}dt1 + 0 t+τ r t v(t + τ, t1)[A(t) - A(t1)] exp{-(t1 - t)A(t)}dt1, преобразуем I15 в виде τ τ r r I15 = - 0 0 A(t) exp{-(t + t1)A(t)}vt dt1 - 0 τ r 0 A(t) exp{-(t + t1)A(t)}[A(t) - A(0)]A-1(0)vt dt1- 0 - exp{-t1A(t)}A2(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A-1(0)vt dt1 + 0 178 А. Р. ХАНАЛЫЕВ + где t+τ r t 0 A(t)v(t + τ, t1)[A(t) - A(t1)] exp{-(t1 - t)A(t)}v(t, 0)A-1(0)vt dt1 = Δ3 + Δ4 + Δ5 + Δ6, τ r Δ3 = - 0 τ r 0 A(t) exp{-(t + t1)A(t)}vt dt1, Δ4 = - 0 τ r 0 A(t) exp{-(t + t1)A(t)}[A(t) - A(0)]A-1(0)vt dt1, Δ5 = - 0 t+τ r 0 exp{-t1A(t)}A2(t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A-1(0)vt dt1, Δ6 = t 0 A(t)v(t + τ, t1)[A(t) - A(t1)] exp{-(t1 - t)A(t)}v(t, 0)A-1(0)vt dt1. Сначала оценим Δ3: τ r 1 1 lΔ3lE ::: 1(t + t1)1-β+γ A(t) exp{-(t + t1)A(t)}vt 1 (t + t1)β-γ-1dt1 ::: 1 0 τ γ 1-β 01E β β r dt1 1vt 1 τ 1vt 1 2 τ τ 1vt 1 M1τ 1vt 1 . ::: 0 (t + t1)1-β+γ 1 01Eβ-γ ::: t1-β+γ 1 01Eβ-γ ::: t1-β (t + τ )γ 1 01Eβ-γ ::: (t + τ )γ 1 01Eβ-γ Теперь воспользовавшись оценками (1.2) и (1.4) при α = 0, оценим Δ4: τ r 1 1 1 1 1 0 lΔ4lE ::: 0 τ lA(t) exp{-(t + t1)A(t)}lE→E 1[A(t) - A(0)]A- (0)1E → E 1vt 1E dt1 ::: r tεdt1 1vt 1 1 1 Mτtε vt 1 1 Mτ 1-β τ β vt Mτ β 1vt 1 . ::: 0 t + t1 1 01Eβ-γ ::: t 1 01Eβ-γ ::: t1-β 1 01Eβ-γ ::: (t + τ )γ 1 01Eβ-γ Для Δ5 имеем τ r 1 2 -1 1 1 t 1 lΔ5lE ::: 0 lexp{-t1A(t)}lE→E 1A (t)[v(t, 0) - exp{-tA(t)}]A (0)1E→E 1v01E dt1 ::: Mτ 1 t 1 Mτ 1-β τ β 1 1 Mτ β 1 1 t ::: t1-ε 1v01Eβ ::: -γ t1-β t 1v01E β-γ ::: (t + τ )γ 1v01E . β-γ Наконец, оценим Δ6. В силу (1.2), (1.3) и (1.7), (1.8) при α =0 получаем t+τ r 1 1 1 lΔ6lE ::: t lA(t)v(t + τ, t1)lE→E 1[A(t) - A(t1)]A- (t)1E →E lexp{-(t1 - t)A(t)}lE→E dt1× 1 1 1 1 → × E E 0 t+τ r |t - t1|εdt1 1 1 0 E t+τ 1A(t)v(t, 0)A-1(0)1 1vt 1E ::: M t t + τ - t1 1vt 1 β-γ ::: r dt1 1 1 1 ε 1 1 Mτ β 1 1 0 ::: M t (t + τ - t1)1-ε 0 1vt 1E β-γ ::: Mε- τ 0 1vt 1E β-γ ::: (β - γ) (t + τ )γ 1vt 1E . β-γ О КОЭРЦИТИВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 179 Объединив оценки для Δ3, Δ4, Δ5 и Δ6 получаем, что Mτ β 1 1 t -γ lI15lE ::: (β - γ) (t + τ )γ 1v01Eβ . Наконец, объединив оценки для I14 и I15, получаем (2.31). Используя оценки (2.2), (2.8), (2.13), (2.17) и (2.28), получим оценку для vt(t) в норме C(Eβ-γ ), т. е. 1 1 г1 1 1 l 0 1vt1C(E β-γ ) ::: M 1vt 1E β-γ + β(1 - β) 0 (E) lf lCβ,γ , (2.38) 0 а используя оценки (2.7), (2.9), (2.16), (2.18) и (2.29), получим оценку для vt(t) в норме Cβ,γ (E), т. е. 1 1 г 1 1 1 1 l 0 (E) 0 1vt1Cβ,γ ::: M β - γ 1vt 1E β-γ + β(1 - β) 0 (E) lf lCβ,γ . (2.39) 0 Оценку для A(t)v(t) в норме Cβ,γ (E) получаем в силу неравенства треугольника из уравнений (1.1): lA(.)vlCβ,γ г 1 ::: M 1vt 1 1 + lf lCβ,γ l . (2.40) 0 (E) β - γ 1 01Eβ-γ β(1 - β) 0 (E) Остается, используя оценки (2.38), (2.39) и (2.40), получить неравенство коэрцитивности (2.1). Теорема доказана. 2. СЛЕДСТВИЕ 0 Теорема 3.1. Пусть A(0)v0 = f (0), f (t) ∈ Cβ,γ (E) при некоторых 0 ::: γ ::: β < ε ::: 1, 0 0 < β < 1. Тогда задача (1.1) коэрцитивно разрешима в Cβ,γ (E) и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство коэрцитивности 1 1 M 0 (E) 0 (E) 1vt1Cβ,γ + lA(.)vl 0 Cβ,γ (E) ::: β(1 - β) lf lCβ,γ с постоянной M, не зависящей от β, γ и f (t). Если в доказанной теореме β = α и γ = 0, тогда получаем (см. [1]): 0 Теорема 3.2. Пусть vt = f (0) - A(0)v0 ∈ Eα, f (t) ∈ Cα(E) при некоторых 0 < α < ε ::: 1. Тогда задача (1.1) коэрцитивно разрешима в Cα(E) и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство коэрцитивности 1 1 1 1 г 1 1 1 1 l 0 α 1vt1Cα(E) + lA(.)vlCα(E) + 1vt1C(E ) ::: M α α 1vt 1E + α(1 - α) lf lCα(E) , 0 где M не зависит от α, vt и f (t). Теорема 3.3. Пусть A(0)v0 = f (0), f (t) ∈ Cα(E) при некоторых 0 < α < ε ::: 1. Тогда задача (1.1) коэрцитивно разрешима в Cα(E) и справедливо неравенство коэрцитивности 1 1 M - 1vt1Cα(E) + lA(.)vlCα(E) ::: α(1 где M не зависит от α и f (t). α) lf lCα(E) , 0 Теперь введем банахово пространство Eβ,γ , состоящее из элементов w ∈ E, для которых конечна норма |w|β,γ 1 1 1 1 0 = max 1e-zA(t)w1 -β γ 1 -(z+τ )A(t) -zA(t) 1 0:::z:::1 1 1E + sup τ 0:::z<z+τ :::1 (z + τ ) 1(e - e )w1E . Тогда справедлива следующая теорема [10]: 180 А. Р. ХАНАЛЫЕВ Теорема 3.4. Пусть vt = f (0) - A(0)v0 ∈ Eβ,γ , f (t) ∈ Cβ,γ (E) при некоторых 0 ::: γ ::: β, 0 0 0 0 0 < β < ε ::: 1. Тогда задача (1.1) коэрцитивно разрешима в Cβ,γ (E) и для ее единственного решения v(t) справедливо неравенство коэрцитивности 1 1 г β,γ 1 l 0 (E) 1vt1Cβ,γ + lA(.)vl 0 Cβ,γ (E) ::: M 0 |vt |0 + β(1 - β) 0 (E) lf lCβ,γ 0 с M, не зависящей от β, γ, vt и f (t).