Топологические алгебры измеримых и локально измеримых операторов

Аннотация

В работе дается обзор результатов по топологическим ∗-алгебрам S(M), S(M,τ) и LS(M) измеримых, τ -измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана M. Кроме того, рассматриваются взаимосвязи между этими алгебрами для различных классов алгебр фон Неймана, устанавливается непрерывность операторнозначных функций относительно сходимости локально по мере. Описываются также максимальные коммутативные ∗-подалгебры алгебры LS(M).

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Исследования по теории операторных алгебр были начаты в работах Дж. фон Неймана и Дж. Мюррея [32-34, 36], где изучались слабо замкнутые алгебры линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, которые впоследствии были названы алгебрами фон Неймана. Позднее был выделен класс C∗-алгебр и дана их характеризация как равномерно замкнутых ∗-алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве (И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк [4]). Главными мотивировками этих исследований были, с одной стороны, применение полученных результатов к теории унитарных представлений групп, а с другой - анализ математических аспектов квантово-механического формализма. Плодотворное взаимодействие математических и физических идей позволило построить содержательную структурную теорию операторных алгебр и получить важные приложения в квантовой статистической механике. Подробное изложение физических приложений приведено в известной монографии У. Брателли, Д. Робинсона [3]. Отметим, также, две обстоятельные монографии по алгебрам неограниченных операторов [17, 42]. В настоящий момент теория операторных алгебр активно развивается и занимает центральное место в исследованиях по алгебре, функциональному анализу, теории представлений и их приложениям. Пусть H - гильбертово пространство, а B(H) - алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в H. ∗-Подалгебра M ⊂ B(H), содержащая тождественный оператор I, и замкнутая в слабой операторной топологии, называется алгеброй фон Неймана. Заметим, что если M∗ = {S ∈ B(H): TS = ST для любого T ∈ M} - коммутант алгебры фон Неймана M, то она удовлетворяет следующему характеристическому равенству: M∗∗ = M. Алгебры фон Неймана являются естественными некоммутативными аналогами алгебр комплексных ограниченных в существенном измеримых функций L∞(Ω, Σ, m), где (Ω, Σ, m) - измеримое пространство с полной локально конечной мерой m (см., например, [23, 39]). Этот факт послужил толчком к построению естественных некоммутативных аналогов алгебры S(Ω, Σ, m) всех комплексных измеримых функций, заданных на пространстве (Ω, Σ, m). Один из первых подходов к введению некоммутативного варианта кольца измеримых функций был предложен И. Сигалом [43], который рассмотрел ∗-алгебру S(M) измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Неймана M. Впоследствии, для целей некоммутативного интегрирования, изучались ∗-подалгебры S(M, τ ) ⊂ S(M) всех τ -измеримых операторов, ассоциированные с точным нормальным полуконечным следом τ на M (см., например, [25, 35, 48]). Алгебры S(M, τ ) и S(M) являются ∗-алгебрами замкнутых, плотно определенных линейных операторов, действующих в том же гильбертовом пространстве H, что и сама алгебра фон Неймана M. При этом все эти операторы присоединены к M, а алгебраические операции в этих ∗-алгебрах совпадают с операциями «сильной» суммы, «сильного» произведения, перехода к сопряженному оператору и обычного умножения на скаляры. Сама алгебра фон Неймана M является ∗-подалгеброй как в S(M, τ ), так и в S(M) и совпадает с множеством всех ограниченных операторов из S(M, τ ) и из S(M). Особо следует отметить, что ∗-алгебра S(M, τ ) содержит в себе как линейные подпространства все некоммутативные версии функциональных банаховых пространств, таких как Lp-пространства, пространства Орлича, Лоренца, Марцинкевича и т. п. Другой важный класс ∗-алгебр A замкнутых операторов, действующих в гильбертовом пространстве H и присоединенных к алгебре фон Неймана M, у которых ∗-подалгебра Ab ограниченных операторов удовлетворяет равенству: Ab = {T ∈ A: T ∈ B(H)} = M, был введен П. Диксоном [24], который назвал их EW ∗-алгебрами. Помимо указанных выше ∗-алгебр S(M) и S(M, τ ), EW ∗-алгебрами являются ∗-алгебры LS(M) локально измеримых операторов, присоединенных к M [40, 47]. В работах [5, 6] Б. С. Закирова, В. И. Чилина была приведена абстрактная характеризация EW ∗-алгебр и было показано, что любая EW ∗-алгебра A, у которой Ab = M, является ∗-подалгеброй в LS(M), что объясняет уникальность ∗-алгебры LS(M) для алгебры фон Неймана M в классе EW ∗-алгебр. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 117 Исследования алгебр S(M), S(M,τ ) и LS(M) были связаны, в первую очередь, с построением некоммутативной теории меры и теории некоммутативного интегрирования для точных нормальных полуконечных следов, заданных на алгебре фон Неймана M. В отмеченной выше работе И. Сигала [43] были впервые введены и изучены банаховы пространства интегрируемых и интегрируемых с квадратом операторов, рассмотрена сходимость почти всюду последовательностей измеримых операторов. Там же была неявно введена и сходимость по мере как звездная к сходимости почти всюду. В этой работе были установлены некоммутативные варианты таких основных результатов теории меры, как теоремы Фишера-Рисса, Радона-Никодима, теоремы Лебега о монотонной сходимости, теоремы Фубини, а также выдвинута идея изучения свойств операторов и последовательностей операторов, принадлежащих алгебре фон Неймана или присоединенных к ней, при помощи методов теории меры и теории вероятностей. После появления работы И. Сигала в этом направлении был получен целый ряд новых результатов. В первую очередь следует отметить работы следующих авторов: W. F. Stinespring [44], 2. J. Yeadon [47, 48], E. Nelson [35], S. Sankaran [40, 41], A. R. Padmanabhan [37] и др. Важное место в этих работах занимают исследования свойств топологий сходимости по мере и локально по мере, относительно которых ∗-алгебры S(M,τ ) и LS(M) становятся топологическими ∗-алгебрами. В настоящей работе дается обзор основных результатов, относящихся к теории ∗-алгебр S(M), S(M,τ ) и LS(M). Кроме того, рассматриваются взаимосвязи между этими алгебрами для различных классов алгебр фон Неймана, устанавливается непрерывность операторнозначных функций относительно сходимости локально по мере. Также описываются максимальные коммутативные ∗-подалгебры алгебры LS(M). Используются обозначения и результаты теории алгебр фон Неймана из [23, 39, 45, 46] и теории измеримых и локально измеримых операторов из [9, 43, 47]. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этом разделе приводятся необходимые сведения из теории алгебр фон Неймана и общей теории линейных неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Подробное изложение теории алгебр фон Неймана можно найти, например, в монографиях [23, 39, 45, 46], а изложение теории замкнутых операторов в книгах [11, 13, 38, 45]. 1. Алгебры фон Неймана и их классификация. Пусть H - гильбертово пространство и B(H) - C∗-алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в H. Для произвольного подмножества M⊂ B(H) через M∗ обозначим его коммутант M, т. е. M∗ = {S ∈ B(H): TS = ST для каждого T ∈ M}. Ясно, что M∗ является унитальной подалгеброй в B(H) и что бикоммутант M∗∗ = (M∗)∗ содержит M. ∗-Подалгебра M ⊂ B(H) называется алгеброй фон Неймана, если M = M∗∗. В этом случае говорят, что алгебра фон Неймана M действует в H. Так как M∗∗ - замкнутое подмножество в B(H) в равномерной топологии, порожденной нормой ±· ±B(H), то алгебра фон Неймана M сама является C∗-алгеброй. Норма оператора T из алгебры фон Неймана M обозначается через ±T ±M. Простейшими примерами алгебр фон Неймана являются алгебра B(H) и алгебра CH = {λI : λ ∈ C} всех скалярных кратных тождественного оператора I в B(H). Подмножество A⊂ B(H) называется самосопряженным, если из T ∈A следует T ∗ ∈ A. Если A - самосопряженное подмножество, то A∗ = A∗∗∗, и поэтому A∗ есть алгебра фон Неймана. Если M - алгебра фон Неймана, то множество Z(M) = {T ∈ M: TS = ST для любого S ∈ M} называется центром M. Легко видеть, что Z(M) = M∩ M∗ = M∗∗ ∩ M∗ = Z(M∗); в частности, Z(M) - коммутативная алгебра фон Неймана, при этом, CH ⊂ Z(M) ⊂ M. 118 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Если M - коммутативная алгебра фон Неймана, то M ⊂ M∗, и потому Z(M) = M. Если Z(M) = CH , то алгебра фон Неймана M называется фактором. Так как (B(H))∗ = CH [11, § 34], то Z(B(H)) = B(H) ∩ CH = CH , т. е. B(H) - фактор. В дальнейшем через Mh обозначается множество всех самосопряженных операторов из M. Оператор T ∈ Mh называется положительным, если он имеет вид T = S∗S для некоторого S ∈ M. Множество всех положительных операторов из Mh является выпуклым собственным конусом в Mh и обозначается через M+. С помощью M+ в Mh определятся частичный порядок по следующему правилу: T S, если (S - T ) ∈ M+. Пусть (Ω, Σ, m) - пространство с полной локально конечной мерой m, для которой булева алгебра всех классов равных почти всюду измеримых множеств из Σ является порядково полной (такие пространства с мерой в дальнейшем будем называть пространствами с локально конечной мерой). Для каждой функции f ∈ L∞(Ω, Σ, m) определим линейный оператор Tf на H = L2(Ω, Σ, m) с помощью равенства Tf (g) = fg, g ∈ H. Теорема 2.1 ([23, § 7]). 1. Множество M = {Tf : f ∈ L∞(Ω, Σ, m)} является коммутативной алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве L2(Ω, Σ, m); при этом M∗ = M. Более того, отображение ϕ : L∞(Ω, Σ, m) → M, задаваемое как ϕ(f ) = Tf , является ∗-изоморфизмом из L∞(Ω, Σ, m) на M. 2. Для каждой коммутативной алгебры фон Неймана N существует пространство (Ω, Σ, m) с локально конечной мерой m такое, что N ∗-изоморфна алгебре фон Неймана L∞(Ω, Σ, m), т. е. можно считать, что N действует в L2(Ω, Σ, m) и N = {Tf : f ∈ L∞(Ω, Σ, m)}. Пусть {Aj }j∈J - семейство C∗-алгебр, где J - некоторое множество индексов. Обозначим через A множество всех наборов {xj }j∈J , где xj ∈ Aj , j ∈ J и sup ±xj ±Aj < ∞. Тогда множество A j∈J является C∗-алгеброй относительно покоординатных алгебраических операций: 3. {xj }j∈J + {yj }j∈J = {xj + yj }j∈J , 4. λ{xj }j∈J = {λxj }j∈J , 5. {xj }j∈J {yj }j∈J = {xj yj }j∈J , j∈J 4. {xj }∗ j = {x∗}j∈J и нормы, определяемой равенством ±{xj }j∈J ±A = sup ±xj ±Aj . j∈J C∗-алгебра A называется C∗-произведением C∗-алгебр Aj и обозначается A = C∗ТТ Aj . Ясj∈J но, что A является ∗-подалгеброй в прямом произведении ТТ Aj (определение алгебраических j∈J операций и инволюции в последней алгебре точно такое же, как и в A). Более того, C∗Aj = Aj тогда и только тогда, когда card(J ) < ∞. j∈J j∈J Для произвольного семейства гильбертовых пространств {Hj }j∈J определена гильбертова сумма H = ), Hj как множество j∈J 2 {{ξj }j∈I : ξj ∈ Hj для любого j ∈ J, \\"' ±ξj ± < ∞}, j∈J алгебраические операции в котором определяются покоординатно, а скалярное произведение задается равенством: j ({ξj }j∈J , {ηj }j∈J ) = \\"'(ξj , ηj )H . j∈J ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 119 Пусть Mj - алгебры фон Неймана, действующие в гильбертовых пространствах Hj , j ∈ J, соответственно. Для каждого элемента {Tj }j∈J из C∗-произведения C∗ТТ Mj определим оператор j∈J T в H = ), Hj следующим равенством: j∈J T ({ξj }j∈J ) = {Tj ξj }j∈J . Множество всех таких операторов T, действующих в гильбертовой сумме H = ), Hj , образует j∈J алгебру фон Неймана, которая называется C∗-произведением алгебр фон Неймана Mj , j ∈ J, и обозначается через M = C∗MJ j∈J (так же, как и для C∗-алгебр). В случае, когда множество индексов J конечно, например, J = {1, 2,..., n}, то C∗-произведение алгебр фон Неймана записывается в виде n M1 ⊕ M2 ⊕ ··· ⊕ Mn = \\"' Mj . j=1 2. Решетка ортопроекторов алгебры фон Неймана. Обозначим через P(M) множество всех самосопряженных проекторов (ортопроекторов) из алгебры фон Неймана M, т. е. P(M) = {P ∈ M: P = P ∗ = P 2}. Следующее предложение перечисляет наиболее важные свойства множества P(M). Предложение 2.1 ([45, § 3]). 1. Множество P(M) является полной решеткой с ортогональным дополнением относительно частичного порядка, индуцированного из Mh, в которой нулем является нулевой проектор 0, единицей - тождественный оператор I, а ортогональным дополнением проектора P - проектор P ⊥ = I - P. 2. Если M - коммутативная алгебра фон Неймана, то множество P(M) является полной булевой алгеброй, в частности, P(Z(M)) есть полная булева подалгебра в P(M), и sup |P(M){P : P ∈ F } = sup |P(Z(M)){P : P ∈ F } для каждого подмножества F в P(Z(M)). 3. Если семейство {Pj }j∈J ⊂ P(M) таково, что PiPj = 0 для i /= j, то sup Pj = ), Pj , где j∈J j∈J сходимость ряда рассматривается в сильной операторной топологии ((so)-топологии). Из предложения 2.1 следует, что для каждого T ∈M определен проектор z(T ) = inf{Z ∈ P(Z(M)): ZT = T }, который называется центральным носителем оператора T. Пусть T - произвольный оператор из B(H). Обозначим через n(T ) проектор на ядро Ker(T ) = {ξ ∈ H : Tξ = 0} оператора T, а через l(T ) - проектор на замыкание Ran(T ) = {Tξ : ξ ∈ H} образа оператора T. Проектор r(T ) = I - n(T ) называется правым носителем оператора T, а проектор l(T ) - его левым носителем. Если T = T ∗, то проектор s(T ) = r(T ) = l(T ) называют носителем оператора T. Легко видеть, что 1. r(T ) = l(T ∗); 1. r(T ) есть наименьший из проекторов E ∈ P(B(H)), для которых TE = T ; 120 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН 2. l(T ) есть наименьший из проекторов E ∈P(B(H)), для которых ET = T ; 3. r(T ) = s(|T |), l(T ) = s(|T ∗|), где |T | = √T ∗T - модуль оператора T. Проекторы E и F из P(M) называются эквивалентными (обозначение: E ∼ F ), если существует частично изометрический оператор V ∈ M, для которого проектор E является начальным, а проектор F - конечным, т. е. V ∗V = E и VV ∗ = F. Очевидно, что VE = V = FV и EV ∗ = V ∗ = V ∗F. Отношение «∼» является отношением эквивалентности на решетке P(M). Говорят, что проектор E ∈ P(M) мажорируется проектором F ∈ P(M) (обозначение: E ;:) F ), если существует такой проектор Q ∈ P(M), что Q F и Q ∼ E. Приведем основные свойства указанного выше отношения эквивалентности «∼». Предложение 2.2 ([45, § 4]). Пусть M алгебра фон Неймана. 4. Если E, F ∈ P(M), E ;:) F и F ;:) E, то E ∼ F. 5. Если E ∼ F, то z(E) = z(F ). 6. Если E ∼ F, Z ∈ P(Z(M)), то EZ ∼ FZ. 7. Если {Ej }j∈J , {Fj }j∈J ⊂ P(M) такие, что EiEj = 0, FiFj = 0, как только i /= j, i, j ∈ J, и Ej ∼ Fj для всех j ∈ J, то sup Ej ∼ sup Fj . 8. Если T ∈ M, то l(T ) ∼ r(T ). j∈J j∈J 9. Для любых E, F ∈ P(M) существует такой центральный проектор Z ∈ Z(P(M)), что ZE ;:) ZF и Z⊥F ;:) Z⊥E. 10. Для любых E, F ∈ P(M) имеют место следующие соотношения: (E ∨ F - F ) ∼ (E - E ∧ F ), E - E ∧ (I - F ) ∼ F - (I - E) ∧ F ; в частности, если E ∧ F = 0, то E ;:) F ⊥ (через E ∨ F и E ∧ F обозначаются супремум и инфимум проекторов E, F ∈ P(M)). Ненулевой проектор E ∈ P(M) называется минимальным (или атомом), если из 0 /= Q E, Q ∈ P(M) следует, что Q = E. Проектор E называется абелевым, если алгебра фон Неймана EME является коммутативной. Проектор E называется конечным, если из F ∈ P(M), F E и F ∼ E следует, что E = F. Ненулевой проектор E называется собственно бесконечным, если из условий Z ∈ P(Z(M)), ZE - конечный проектор, следует, что ZE = 0. Проектор E называется проектором счетного типа, если любое семейство ненулевых попарно ортогональных проекторов из P(EME) не более чем счетно. Если I ∈ M является проектором счетного типа, то алгебра фон Неймана M называется алгеброй счетного типа, или σ-конечной алгеброй фон Неймана. Предложение 2.3 ([45, § 4]). Пусть M - алгебра фон Неймана и E, F ∈ P(M). 11. Если проекторы E, F - конечные, то проектор E ∨ F тоже конечен. 12. Ненулевой проектор E является собственно бесконечным тогда и только тогда, когда n=1 существует такая последовательность попарно ортогональных проекторов {En}∞ ⊂ P(M), что E = sup En и En ∼ E для каждого n = 1, 2,... n)1 Алгебра фон Неймана M называется: атомической, если для любого ненулевого проектора E ∈ P(M) существует такой минимальный проектор P ∈ P(M), что P E; конечной, если I - конечный проектор; полуконечной, если для любого ненулевого центрального проектора Z ∈ Z(M) существует такой ненулевой конечный проектор E ∈ P(M), что E Z; типа I, если для любого ненулевого центрального проектора Z ∈ Z(M) существует такой ненулевой абелев проектор E ∈ P(M), что E Z; типа II, если M - полуконечная алгебра, не содержащая ненулевых абелевых проекторов; типа III, если M не содержит ненулевых конечных проекторов; типа Ifin, если M - конечная алгебра типа I; типа I∞, если M - не конечная алгебра типа I; типа II1, если M - конечная алгебра типа II; ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 121 типа II∞, если M - не конечная алгебра типа II; собственно бесконечной, если I - собственно бесконечный проектор; чисто бесконечной, если M - типа III. Теорема 2.2 ([45, § 4]). Каждая алгебра фон Неймана M содержит такие однозначно определенные центральные проекторы Zi, i = 1, 2, 3, 4, 5, что 5 1. ), Zi = I; i=1 13. Z1M - алгебра фон Неймана типа Ifin; 14. Z2M - алгебра фон Неймана типа I∞; 15. Z3M - алгебра фон Неймана типа II1; 16. Z4M - алгебра фон Неймана типа II∞; 17. Z5M - алгебра фон Неймана типа III. Как следует из теоремы 2.2, произвольная алгебра фон Неймана M представима в виде 5 M = \\"' Mi, i=1 где каждая из алгебр M1, M2, M3, M4, M5 является алгеброй фон Неймана соответствующего типа Ifin, I∞, II1, II∞, III (некоторые слагаемые могут отсутствовать). Следствие 2.1 ([45, § 4]). Если алгебра фон Неймана M - фактор, то она одного (и только одного) из следующих пяти типов: Ifin, I∞, II1, II∞, III. Заметим, что алгебра фон Неймана M = B(H) является фактором типа I. 3. Следы на алгебрах фон Неймана. Функционал τ : M+ → [0, ∞] называется следом на M+, если 1. τ (T + S) = τ (T )+ τ (S) для любых T, S ∈ M+; 2. τ (λT ) = λτ (T ) для каждого T ∈ M+ и λ ) 0 (считается, что 0 ·∞ = 0); 3. τ (U ∗TU ) = τ (T ) для любого T ∈ M+ и любого унитарного оператора U ∈ M. След τ называется: конечным, если τ (T ) < ∞ для каждого T ∈ M+; полуконечным, если τ (T ) = sup{τ (S): 0 S T, τ (S) < ∞} для каждого T ∈ M+; точным, если из τ (T ) = 0, T ∈ M+ следует, что T = 0. нормальным, если из Tα ↑ T, T, Tα ∈ M+ следует, что τ (Tα) ↑ τ (T ). Пример 2.1 (канонический след на B(H) [23, § 1.6]). Пусть {ej }j∈J - ортонормированный базис гильбертова пространства H. Для каждого T ∈ B(H)+ положим tr(T ) = \\"'(Tej , ej ). j∈J Функционал tr является точным нормальным полуконечным следом на B(H)+, который не зависит от выбора базиса {ej }j∈J . Мы будем называть этот след каноническим следом на B(H). Пример 2.2 (коммутативная алгебра фон Неймана [23, § 1.7]). Пусть (Ω, Σ, m) - пространство с локально конечной мерой m и M = {Tf : f ∈ L∞(Ω, Σ, m)} - коммутативная алгебра фон Неймана мультипликаторов (см. теорему 2.1). Линейный функционал τ : M+ → [0, ∞], определяемый равенством r τ (Tf ) = fdm, Ω является точным нормальным полуконечным следом на M+. Следующее предложение характеризует конечные и полуконечные алгебры фон Неймана в терминах следов. 122 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Предложение 2.4 ([23, § 1.7], [46, § 5.2]). Пусть M - алгебра фон Неймана. 1. M является конечной тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого оператора T ∈ M+ существует конечный след τ такой, что τ (T ) /= 0; 2. M является полуконечной тогда и только тогда, когда на M+ существует точный нормальный полуконечный след. 4. Центрозначный след. Размерностная функция. В следующей теореме устанавливается существование центрозначного следа на конечной алгебре фон Неймана. Теорема 2.3 ([46, § 5.2]). Пусть M - алгебра фон Неймана. Следующие условия эквивалентны: 1. M - конечная; 2. Существует линейное отображение Φ: M→ Z(M), обладающее следующими свойствами: 2.1. Φ(T ∗T ) = Φ(TT ∗) ) 0; 2.2. Φ(ZT ) = ZΦ(T ) для всех Z ∈ Z(M) и T ∈ M; 2.3. Φ(I) = I; 2.4. Если T ∈ M, T /= 0, то Φ(T ∗T ) /= 0. Линейное отображение, определенное в теореме 2.3, называется (каноническим) центрозначным следом. Как следует из этой теоремы, для не конечной алгебры фон Неймана центрозначного следа не существует. С другой стороны, для произвольной алгебры фон Неймана M на структуре P(M) всех проекторов можно определить отображение со значениями во множестве измеримых функций подходящего пространства с мерой, свойства которого аналогичны свойствам центрозначного следа (см. ниже теорему 2.4). Пусть M - произвольная алгебра фон Неймана. Тогда ее центр Z(M) является коммутативной алгеброй фон Неймана, и потому по теореме 2.1, существует ∗-изоморфизм ϕ между Z(M) и алгеброй L∞(Ω, Σ, μ), где (Ω, Σ, μ) - некоторое пространство с локально конечной мерой μ. Обозначим через L+ множество всех измеримых функций f : (Ω, Σ, μ) → [0, ∞] (равные почти всюду функции отождествляются). Теорема 2.4 ([43, § 1]). Существует отображение d : P(M) → L+, обладающее следующими свойствами: 1. d(E) конечна тогда и только тогда, когда проектор E конечен; 2. d(E + Q) = d(E)+ d(Q), если EQ = 0; 3. d(U ∗U ) = d(UU ∗) для каждой частичной изометрии U ∈ M; 4. d(ZE) = ϕ(Z)d(E) для любых Z ∈ P(Z(M)) и E ∈ P(M); 5. Если {Eα}α∈J ,E ⊂ P(M) и Eα ↑ E, то d(E) = sup d(Eα). α∈J Отображение d : P(M) → L+, обладающее свойствами 1-5, называется размерностной функцией на P(M). 5. Функциональное исчисление для самосопряженных операторов. Линейный оператор T в H называется положительным, если его область определения D(T ) плотна в H и (Tξ, ξ) ) 0 для всех ξ ∈ D(T ). Согласно [38, теорема VII.3], положительный оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда Ran(T ± iI) = H. Кроме того, положительный оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда Ran(T ± I) = H. Если T - положительный оператор, то для каждого ξ ∈ D(T ) имеем, что 2 2 2 2 ±(T + I)ξ±H = ±Tξ±H + 2(T ξ, ξ)+ ±ξ±H ) ±ξ±H . Отсюда следует, что линейное отображение T + I инъективно, и поэтому на Ran(T + I) определен обратный оператор (T + I)-1. Более того, ±(T + I)-1ξ±H ±ξ±H ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 123 для каждого ξ ∈ Ran(T + I). Если T - положительный самосопряженный оператор, то Ran(T + I) = H, и поэтому, (T + I)-1 ∈ B(H), 0 (T + I)-1 I и s((T + I)-1) = I. Обозначим через R = R({(T + I)-1}) коммутативную подалгебру фон Неймана в B(H), порожденную оператором (T + I)-1. Проекторы n+1 ,+∞) En = χ( 1 ((T + I)-1), n = 1, 2,... принадлежат алгебре R, где χ(·) - характеристическая функция соответствующего интервала (см. [45, § 9.9]). Тогда для каждого n = 1, 2,... существует такой однозначно определенный оператор Tn ∈ R, что Так как En Tn (n + 1)En, En = (T + I)-1Tn. (T + I)-1(H) = D(T ), то En(H) ⊂ D(T ), и поэтому D(TEn) = H. Кроме того, Tn - En = (I - (T + I)-1)Tn = T (T + I)-1Tn = TEn. Следовательно, TEn ∈ R и 0 TEn nEn. Для каждого компактного подмножества K ⊂ (-∞, +∞) через B(K) обозначим C∗-алгебру всех ограниченных борелевских комплексных функций на K, а через B([0, ∞)) (соответственно, B(-∞, +∞)) C∗-алгебру всех борелевских комплексных функций на [0, +∞) (соответственно, на (-∞, +∞)), ограниченных на компактных подмножествах. Сужение каждой функции f ∈ B([0, +∞)) на спектр σ(TEn) оператора TEn является функцией из B(σ(TEn)). Поэтому f (TEn) ∈ B(H) (см. [45, § 9.9]). Определим множество n=1 D(f (T )) = {ξ ∈ H : {f (TEn)ξ}∞ сходится в H}. Ясно, что D(f (T )) является линейным подпространством в H. Определим линейный оператор f (T ) в H следующим образом: для каждого ξ ∈ D(f (T )). f (T )ξ = lim n→∞ f (TEn)ξ Теорема 2.5 ([45, §§ 9.11, 9.12]). Пусть T - положительный линейный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда 1. Если f0(λ) ≡ c, c ∈ C, для любого λ ∈ [0, +∞), то f0(T ) = cI. Если f1(λ) ≡ λ для любого λ ∈ [0, +∞), то f1(T ) = T. 2. Для каждой функции f ∈ B([0, +∞)) линейный оператор f (T ) является замкнутым и ∞ 1 En(H) ⊂ {ξ ∈ H : sup ±f (TEn)ξ±H < ∞} = D(f (T )). n=1 n)1 ∞ Более того, оператор f (T ) является замыканием сужения f (T ) на 3. Для каждой функции f ∈ B([0, +∞)) верно равенство f (T )∗ = f (T ). n=1 En(H). 124 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН 4. Если f, g ∈ B([0, +∞)), то линейный оператор f (T )+ g(T ) является предзамкнутым, D(f (T )+ f (S)) = D(f (T )) ∩ D(f (S)) и f (T )+ g(T ) = (f + g)(T ). 5. Если f, g ∈ B([0, +∞)), то линейный оператор f (T )g(T ) является предзамкнутым, D(f (T )g(T )) = D((fg)(T )) ∩ D(g(T )) и f (T )g(T ) = (fg)(T ). 6. Если f, g ∈ B([0, +∞)), |f | |g|, то D(g(T )) ⊂ D(f (T )) и ±f (T )ξ±H ±g(T )ξ±H для всех ξ ∈ D(g(T )). В частности, если функция f ограничена, то f (T ) ∈ B(H) и ±f (T )± sup{|f (λ)|: λ ∈ [0, +∞)}. 7. Если f, g ∈ B([0, +∞)) и одна из функций f, g является ограниченной, то (f + g)(T ) = f (T )+ g(T ), (fg)(T ) = f (T )g(T ). Из теоремы 2.5 непосредственно вытекает следующее Следствие 2.2 ([45, §§ 9.13, 9.14]). Пусть T - положительный самосопряженный оператор в H. Тогда: 1. f (T ) является самосопряженным (положительным самосопряженным) оператором для каждой действительной (неотрицательной) функции f ∈ B([0, +∞)); 2. f (T ) является проектором для каждой характеристической функции f ∈ B([0, +∞)); 3. Существует такой однозначно определенный положительный самосопряженный оператор S в H, что S2 = T (оператор S называется квадратным корнем из оператора T и обозначается через √T ). В следующей теореме приводится важное свойство положительных самосопряженных операторов. Теорема 2.6 ([45, § 9.28]). Если T - замкнутый линейный оператор в гильбертовом пространстве H, то оператор T ∗T является положительным самосопряженным оператором, причем T совпадает с замыканием сужения T на D(T ∗T ). Из теоремы 2.6 и следствия 2.2 вытекает, что для каждого замкнутого линейного оператора T однозначно определен положительный самосопряженный оператор (T ∗T )1/2. Этот оператор называется абсолютной величиной (или модулем) оператора T и обозначается через |T |. Для замкнутого оператора T в H, как и для ограниченного линейного оператора, обозначим через n(T ) ортогональный проектор на Ker(T ), а через l(T ) - ортогональный проектор на Ran(T ). Проектор r(T ) = I - n(T ) называется правым носителем оператора T, а проектор l(T ))- левым носителем оператора T. Если T = T ∗, то проектор s(T ) = r(T ) = l(T ) называется носителем оператора T. Теорема 2.7 (полярное разложение неограниченного оператора [45, § 9.29]). Для каждого замкнутого линейного оператора T в H существуют положительный самосопряженный оператор A в H и частичная изометрия V ∈ B(H), такие что T = VA и V ∗V = s(A). Операторы A и V этими условиями определяются однозначно. Более того, A = |T |, V ∗V = r(T ) и VV ∗ = l(T ). ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 125 Представление замкнутого линейного оператора в виде T = V |T |, где V ∗V = s(|T |), называется полярным разложением оператора T. Так как линейный оператор V |T |V ∗ является положительным и самосопряженным, то из соотношений T ∗ = V ∗(V |T |V ∗) и VV ∗ = s(V |T |V ∗) получается полярное разложение оператора T ∗. В частности, |T ∗| = V |T |V ∗, T = |T ∗|V, V V ∗ = s(|T ∗|) (см. [45, § 9.30]). Следствие 2.3 ([45, § 9.31]). Для каждого линейного самосопряженного оператора T в H существуют такие положительный самосопряженные операторы T+, T- в H, что T = T+ - T-, s(T+)s(T-) = 0. Эти соотношения определяют операторы T+, T- однозначно и |T | = T+ + T-. С помощью следствия 2.3 функциональное счисление для положительных линейных самосопряженных операторов расширяется на класс произвольных самосопряженных линейных операторов [45, § 9.32]. Пусть T - линейный самосопряженный оператор в H и T = T+ - T-. Для каждой функции f ∈ B(-∞, +∞) определим функцию fˆ ∈ B(-∞, +∞) соотношением fˆ(λ) = f (-λ),λ ∈ (-∞, +∞). Положим Так как f (T ) = (f χ(0,+∞))(T+)+ (fˆχ(0,+∞))(T-)+ f (0)(I - s(T )). H = s(T+)(H) ⊕ s(T-)(H) ⊕ (I - s(T ))(H), и для положительных самосопряженных операторов верны равенства T+ = T+s(T+), T- = T-s(T-), причем первый из них действует в пространстве s(T+(H)), а второй - в пространстве s(T-(H)), то для T сохраняется вариант теоремы 2.5. Следовательно f (T ) - замкнутый линейный оператор в H и для f (T ) выполняются все утверждения теоремы 2.5 с соответствующей заменой проекторов En на проекторы χ( 1 n+1 ,+∞) ( ,+ ) ((T+ + I)-1)+ χ 1 n+1 ∞ ((T- + I)-1), n = 1, 2,... Пусть T - произвольный линейный самосопряженный оператор в H, χλ - характеристическая функция множества (-∞, λ) и Eλ = χλ(T ), λ ∈ R. Согласно следствию 2.2, все Eλ являются проекторами в H и имеет место следующее предложение. Предложение 2.5. 1. Eλ Eμ, если λ μ; 2. inf Eλ = 0, sup Eλ = I; λ∈R λ∈R 3. Eμ = sup Eλ; λ<μ 4. T (Eμ - Eλ) ∈ Bh(H) для всех λ μ и λ(Eμ - Eλ) T (Eμ - Eλ) μ(Eμ - Eλ); 5. EλS = SEλ для каждого оператора S ∈ B(H) такого, что S коммутирует с T (т. е. ST ⊂ TS). Семейство проекторов {Eλ}λ∈R называется спектральным семейством для линейного самосопряженного оператора T. Как и в случае ограниченного линейного оператора, функция Eξ,η (λ) = (Eλξ, η), λ ∈ R, определяет комплекснозначную борелевскую меру на R для всех ξ, η ∈ H. 126 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Теорема 2.8 ([13]). Пусть T - линейный самосопряженный оператор в H и Eλ = χλ(T ). Тогда для каждой функции f ∈ B(-∞, +∞) имеет место следующее равенство: +∞ r (f (T )ξ, η) = -∞ и f (λ)dEξ,η (λ), ξ ∈ D(f (T )), η ∈ H, ⎧ +∞ ⎫ r ⎬ D(f (T )) = ⎨ξ ∈ H : ⎩ В частности, если f (λ) = λ, то |f (λ)|2dEξ,ξ (λ) < ∞ . ⎭ -∞ +∞ ⎧ +∞ ⎫ r ⎨ r ⎬ (Tξ, η) = -∞ λdEξ,η (λ), ξ ∈ D(T ), η ∈ H, и D(T ) = ⎩ ξ ∈ H : |λ|2dEξ,ξ (λ) < ∞ . ⎭ -∞ 3. ∗-АЛГЕБРЫ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ В этом разделе описываются ∗-алгебры S(M) и LS(M) замкнутых измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана M. В случае, когда на M существует точный нормальный полуконечный след τ, рассматриваются также ∗-алгебры S(M,τ ) τ -измеримых операторов, присоединенных к M. ∗-Алгебры S(M) впервые были введены И. Сигалом [43], ∗-алгебры S(M,τ ) - E. Нельсоном [35] и Ф. Йедоном [48], а ∗-алгебры LS(M) - С. Санкараном [40] и Ф. Йедоном [47]. 1. ∗-Алгебра S(M) измеримых операторов. Пусть H - гильбертово пространство, M - алгебра фон Неймана операторов, действующих в H, и P(M) - полная решетка всех проекторов из M. Линейное подпространство D в H называется присоединенным к алгебре фон Неймана M (обозначение: D η M), если U (D) ⊂ D для каждого унитарного оператора U ∈ M∗. Если D - замкнутое линейное подпространство в H и PD - проектор на D, то D η M в том и только в том случае, когда PD ∈ P(M). Линейное подпространство D ⊂ H называется сильно плотным в H относительно алгебры фон n=1 Неймана M, если D η M и существует последовательность проекторов {Pn}∞ из P(M) такая, n что Pn ↑ I, Pn(H) ⊂ D и P ⊥ - конечный проектор для каждого n = 1, 2,... В этом случае говорят, что сильно плотное линейное подпространство D определено последовательностью проекторов n=1 {Pn}∞ . Из условия Pn ↑ I непосредственно следует, что каждое сильно плотное линейное подпространство является плотным в H. Линейный оператор T с областью определения D(T ), действующий в гильбертовом пространстве H, называется присоединенным к алгебре фон Неймана M (обозначение: T η M), если UT ⊂ TU для каждого унитарного оператора U ∈ M∗, т. е. D(T ) η M и UTξ = TUξ для любого ξ ∈ D(T ). Легко видеть, что ограниченный линейный оператор T ∈ B(H) присоединен к алгебре фон Неймана M тогда и только тогда, когда T ∈ M. Предложение 3.1 ([9, § 2.1], [11, § 35.1]). 1. Если T η M, S η M, то (T + S) η M, (TS) η M и (λT ) η M для любого комплексного числа λ ∈ C. 2. Если T - предзамкнутый линейный оператор и T η M, то T η M и T ∗ η M. 3. Если T - замкнутый линейный оператор и T = W |T | - его полярное разложение, то T η M тогда и только тогда, когда W ∈M и |T | η M. В этом случае правый носитель r(T ) и левый носитель l(T ) оператора T принадлежат M и l(T ) ∼ r(T ) в M. 4. Если T - самосопряженный линейный оператор, T η M, и T = T+ - T-, то T+η M и T-η M. 5. Если T - самосопряженный линейный оператор и T η M, то 1. f (T ) η M для каждой борелевской функции f ∈ B(R); ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 127 2. f (T ) ∈M для каждой ограниченной борелевской функции f ∈ B(R); 3. EA(T ) = χA(T ) ∈ P(M) для каждого борелевского подмножества A ⊂ R. Замкнутый линейный оператор T, действующий в гильбертовом пространстве H, называется измеримым относительно алгебры фон Неймана M, если T η M и его область определения D(T ) сильно плотна в H. n=1 Пусть оператор T измерим и {Pn}∞ - последовательность проекторов из P(M), определяющая его область определения D(T ). Так как T замкнут и Pn(H) ⊂ D(T ), то T Pn - замкнутый оператор, отображающий Pn(H) в H. При этом D(T Pn) = Pn(H). Поэтому в силу теоремы о замкнутом графике (см., например, [13, п. 2.15]) получим TPn ∈ B(H). Кроме того, если U - унитарный оператор из M∗ и ξ ∈ H, то UTPnξ = TUPnξ = T PnUξ, n = 1, 2,..., т. е., U (T Pn) = (T Pn)U. Это означает, что T Pn ∈M для любого n = 1, 2,... Предложение 3.2 ([43]). Если T - замкнутый линейный оператор с плотной областью определения и T = W |T | его полярное разложение, то оператор T измерим относительно алгебры фон Неймана M тогда и только тогда, когда W ∈ M и |T | измерим относительно M. λ Предложение 3.3 ([47]). Пусть T - замкнутый линейный оператор в H, присоединенный к алгебре фон Неймана M, с плотной областью определения D(T ), и {Eλ}λ)0 - спектральное семейство проекторов оператора |T |. Если Q ∈ P(M), Q(H) ⊂ D(T ), то TQ ∈ B(H) и E⊥ ;:) Q⊥ для любого λ с ±TQ±B(H) < λ. В следующем предложении дается критерий измеримости замкнутого линейного оператора T, присоединенного к алгебре фон Неймана M, в терминах спектрального семейства проекторов оператора |T |. Предложение 3.4 ([47]). Пусть T - замкнутый линейный оператор, присоединенный к алгебре фон Неймана M и пусть {Eλ}λ)0 - спектральное семейство проекторов оператора |T |. Следующие условия эквивалентны: 1. Оператор T измерим относительно M. λ 2. Область определения D(T ) оператора T плотна в H и E⊥ является конечным проектором для некоторого λ > 0. Следствие 3.1. Если M - конечная алгебра фон Неймана, то любой замкнутый линейный оператор T, действующий в H и присоединенный к M, измерим относительно M. Предложение 3.5 ([9, утверждение 2.2.6]). Пусть T - симметрический линейный оператор, присоединенный к алгебре фон Неймана M, и пусть его область определения D(T ) сильно плотна в H. Тогда самосопряженный линейный оператор T измерим относительно M. Следствие 3.2. Пусть M - конечная алгебра фон Неймана и {Eλ}λ∈R - семейство проекторов из P(M), обладающее следующими свойствами: 3. EλEμ = Eλ, если λ μ; 4. inf Eλ = 0, sup Eλ = I; λ∈R λ∈R 5. sup Eλ = Eμ. λ<μ Тогда существует самосопряженный оператор T, измеримый относительно алгебры фон Неймана M, такой, что (Tξ, ζ) = +∞ r λdEξ,ζ (λ) для любых ξ ∈ D = ∞ n=1 -n EnE⊥ -∞ (H) и ζ ∈ H. Предзамкнутый линейный оператор T, действующий в гильбертовом пространстве H с областью определения D(T ), называется предызмеримым относительно алгебры фон Неймана M, если n=1 T η M и существует такая последовательность проекторов {Pn}∞ из P(M), что Pn ↑ I, Pn(H) ⊂ 128 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН n D(T ), TPn ∈ B(H) и P ⊥ - конечный проектор для каждого n = 1, 2,... (в этом случае говорят, n=1 что оператор T сильно определен на последовательности {Pn}∞ ). Ясно, что любой измеримый оператор является предызмеримым. Обратно, если оператор T предызмерим относительно алгебры фон Неймана M, то его замыкание T является измеримым n=1 оператором относительно M. При этом TPn = T Pn ∈ M, где {Pn}∞ - последовательность из P(M), на которой сильно определен оператор T. В следующем предложении приведены наиболее важные свойства предызмеримых операторов. Предложение 3.6 ([43]). 6. Если T - предызмеримый оператор, то оператор T ∗ является измеримым. 7. Если T и S - предызмеримые операторы, совпадающие на сильно плотном подпространстве D, то T = S. 8. Если измеримый оператор T сильно определен на последовательности проекторов n=1 {Pn}∞ D = ∞ n=1 ⊂ P(M), то T совпадает с замыканием сужения T на подпространство Pn(H). Обозначим через S(M) множество всех операторов, измеримых относительно алгебры фон Неймана M. Ясно, что M⊂ S(M). Следующее предложение позволяет определить алгебраические операции в S(M). Предложение 3.7 ([43]). Если операторы T и S предызмеримы относительно алгебры фон Неймана M, то операторы T + S и TS тоже предызмеримы относительно M. Пусть T и S - операторы, измеримые относительно алгебры фон Неймана M. Согласно предложению 3.7, замыкания T + S и TS операторов T + S и TS являются измеримыми относительно M операторами. Эти замыкания называются сильной суммой и сильным произведением операторов T и S соответственно, и обозначаются T + S = T + S, TS = T · S. В [43] показано, что если T ∈ S(M) и S ∈ M, то T + S = T + S, T · S = TS. Теорема 3.1 ([43]). Множество S(M) является ∗-алгеброй над полем комплексных чисел C с единичным элементом I относительно операций сильной суммы, сильного произведения и операции перехода к сопряженному оператору (умножение на скаляры определяется обычным образом, причем считается, что 0 · T = 0). Отметим, что из определения алгебраических операций в S(M) следует, что алгебра фон Неймана M является ∗-подалгеброй в S(M). В дальнейшем, если не возникает необходимость, операции сильной суммы и сильного произведения измеримых операторов мы будем обозначать обычным образом. В случае коммутативной алгебры фон Неймана понятие измеримого оператора, по существу, эквивалентно понятию измеримой функции (см., например, [43]). Пример 3.1 ([31, § 4.4]). Пусть M - коммутативная алгебра фон Неймана. Согласно предложению 2.1 алгебра фон Неймана M отождествляется с алгеброй фон Неймана L∞(Ω, Σ, m) всех измеримых ограниченных комплекснозначных функций, заданных на пространстве (Ω, Σ, m) с локально конечной мерой m. Считаем, что алгебра фон Неймана M действует в гильбертовом пространстве H = L2(Ω, Σ, m) по правилу: T (f )(ω) = T (ω)f (ω), где T ∈ M ∼= L∞(Ω, Σ, m), f ∈ H, ω ∈ Ω. Обозначим через S(Ω, Σ, m) ∗-алгебру всех измеримых почти всюду конечных комплекснозначных функций, заданных на пространстве (Ω, Σ, m) (как обычно, равные почти всюду функции отождествляются). Для каждой функции f ∈ S(Ω, Σ, m) положим D(f ) = {g ∈ H : fg ∈ H}. Ясно, что D(f ) - всюду плотное линейное подпространство в H. Определим линейный оператор Tf : D(f ) → H, полагая Tf (g) = fg. В следующем предложении дается описание ∗-алгебры S(M) с помощью операторов Tf . ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 129 Предложение 3.8. 9. Оператор Tf принадлежит ∗-алгебре S(M) для каждой функции f ∈ S(Ω, Σ, m). 10. Для каждого оператора T ∈ S(M) существует единственная функция f ∈ S(Ω, Σ, m) такая, что T = Tf . Следствие 3.3. ∗-Алгебры S(Ω, Σ, m) и S(M) ∗-изоморфны. Отметим следующее полезное свойство измеримых операторов. Предложение 3.9 ([14, глава V, § 1]). Пусть T ∈ S(M), P ∈ P(M) и PT = I - r(P ⊥T ), T где r(P ⊥T ) - правый носитель оператора P ⊥T. Тогда T PT = PT PT и P ⊥ ;:) P ⊥. Более подробное изложение свойств измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана M, можно найти, например, в [9, 14, 43]. 2. ∗-Алгебра LS(M) локально измеримых операторов. Замкнутый линейный оператор T, действующий в гильбертовом пространстве H, называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана M⊂ B(H), если T η M и существует такая последовательность центральных n=1 проекторов {Zn}∞ ⊂ P(Z(M)), что Zn ↑ I и TZn ∈ S(M) для всех n = 1, 2,... Предзамкнутый линейный оператор T, действующий в гильбертовом пространстве H, называется локально предызмеримым относительно алгебры фон Неймана M ⊂ B(H), если T η M и n=1 существует такая последовательность центральных проекторов {Zn}∞ ⊂ P(Z(M)), что Zn ↑ I и операторы TZn предызмеримы относительно алгебры фон Неймана M для всех n = 1, 2,... Очевидно, что любой локально измеримый оператор является локально предызмеримым. Обратно, если T - локально предызмеримый линейный оператор, то оператор T - локально измерим. Обозначим множество всех линейных операторов, локально измеримых относительно алгебры фон Неймана M, через LS(M). Ясно, что S(M) ⊂ LS(M и S(M) = LS(M), если M - фактор. Предложение 3.10 ([9, утверждение 2.3.3]). Если T - замкнутый оператор с плотной областью определения и T = W |T | - его полярное разложение, то оператор T локально измерим относительно M тогда и только тогда, когда W ∈ M и |T | локально измерим относительно M. В следующем предложении даются необходимые и достаточные условия локальной измеримости линейного оператора. Предложение 3.11 ([9, утверждение 2.3.4]). Пусть T - замкнутый оператор с областью определения D(T ), присоединенный к алгебре фон Неймана M. Следующие условия эквивалентны: 1. Оператор T локально измерим относительно M. 2. Существует возрастающая сеть {Zα}α∈J центральных проекторов из Z(M), для которых sup Zα = I и TZα ∈ S(M) для всех α ∈ J. α n=1 3. Существует возрастающая последовательность {Zn}∞ центральных проекторов из n M, для которых sup Zn = I и ZnE⊥ - конечные проекторы для всех n = 1, 2,..., где n)1 {Eλ}λ∈R - спектральное семейство проекторов для |T |. n=1 4. Существуют такие последовательность проекторов {Qn}∞ ⊂ P(M) и последователь- ∞ ность центральных проекторов {Zn}n=1 ⊂ P(Z(M)), что Qn ↑ I, Zn ↑ I, Qn(H) ⊂ D(T ) и ⊥ ZnQn - конечные проекторы для всех n = 1, 2,.... Из предложения 3.11 непосредственно вытекает следующее следствие. Следствие 3.4. Если M - конечная алгебра фон Неймана, то S(M) = LS(M). Линейное подпространство D в гильбертовом пространстве H называется локально измеримым относительно алгебры фон Неймана M, если D η M и существуют такие последовательности n=1 проекторов {Pn}∞ n=1 ⊂ P(M) и {Zn}∞ n ⊂ P(Z(M)), что Pn ↑ I, Zn ↑ I, Pn(H) ⊂ D и ZnP ⊥ - 130 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН конечные проекторы для всех n = 1, 2,... В этом случае говорят, что линейное подпространство D n=1 определено последовательностями {Pn}∞ n=1 и {Zn}∞ . Из предложения 3.11 следует, что замкнутый линейный оператор T, присоединенный к алгебре фон Неймана M локально измерим относительно M в том и только в том случае, когда его область определения D(T ) локально измерима относительно M. Предложение 3.12 ([9, утверждение 2.3.7]). Пусть T - предзамкнутый линейный оператор, присоединенный к алгебре фон Неймана M. Следующие условия эквивалентны: 1. Оператор T локально предызмерим относительно M; n=1 2. Существуют такие последовательность проекторов {Pn}∞ ⊂ P(M) и последователь- ∞ ность центральных проекторов {Zn}n=1 ⊂ P(Z(M)), что Pn ↑ I, Zn ↑ I, Pn(H) ⊂ D(T ), - конечные проекторы, n = 1, 2,..., и TZnPm ∈ B(H) для всех n, m = 1, 2,... n ZnP ⊥ Если T - линейный оператор, локально предызмеримый относительно алгебры фон Неймана n=1 M, и {Pn}∞ n=1 , {Zn}∞ - последовательности проекторов из утверждения 3.12, то говорят, что n=1 оператор T определен последовательностями {Pn}∞ n=1 и {Zn}∞ . В следующем предложении приведены основные свойства локально предызмеримых операторов (см., например, [9, 14, 40, 47]). Предложение 3.13. 3. Если T - симметрический оператор, присоединенный к M, и его область определения D(T ) локально измерима относительно M, то его замыкание T является самосопряженным оператором, локально измеримым относительно M. 4. Если T - линейный оператор, локально предызмеримый относительно M, то оператор T ∗ является локально измеримым относительно M. 5. Если локально предызмеримые операторы T и S совпадают на локально измеримом подпространстве D, то T = S. 6. Если оператор T ∈ LS(M) и его область определения D(T ) определена последовательноn=1 стями проекторов {Pn}∞ n=1 ⊂ P(M) и {Zn}∞ ∞ ⊂ P(Z(M)), то оператор T совпадает с замыканием сужения T на D = n=1 Pn(H). 7. Если T и S - операторы, локально предызмеримые относительно алгебры фон Неймана M, то операторы T + S и TS также локально предызмеримы относительно M. Так же как и для измеримых операторов, будем обозначать сильную сумму и сильное произведение операторов T, S ∈ LS(M) через T + S и T · S соответственно. Согласно предложению 3.13 имеем, что T + S, T · S, T ∗ ∈ LS(M). Отметим, что если T ∈ LS(M), S ∈ M, то T + S = T + S и T · S = TS. Кроме того, если T ∈ LS(M), P ∈ P(M) и P (H) ⊂ D(T ), то TP ∈ M. Теорема 3.2 ([47]). Множество LS(M) является ∗-алгеброй над полем комплексных чисел с единицей I относительно сильного сложения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору (умножение на скаляры определяется обычным образом, причем считается, что 0 · T = 0). При этом алгебра S(M) есть ∗-подалгебра в LS(M). 3. Частичный порядок на LSh(M). Обозначим множество всех самосопряженных операторов из LS(M) через LSh(M) и определим частичный порядок на LSh(M), полагая T S, если (S - T ) - положительно определенный оператор. Ясно, что T ∗T ) 0 для любого T ∈ LS(M). Множество всех положительных операторов из LS(M) обозначим через LS+(M). Для каждого оператора T ∈ LS+(M) оператор √T тоже принадлежит LS+(M) (см. ниже предложение 5.1). В следующем предложении приведены основные свойства введенного на LSh(M) отношения частичного порядка. Предложение 3.14. 1. Для любого неотрицательного числа λ и для любых операторов T, S, R ∈ LSh(M), A ∈ LS(M) верны следующие соотношения: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 131 1. Если T S, то T + R S + R и λT λS; 2. Если T ) 0, S ) 0, TS = ST, то TS ) 0; 3. Если T S, то A∗TA A∗SA. 2. Если T ∈ LS+(M) и в LS(M) существует обратный оператор T -1, то T -1 ) 0. 3. Если T ∈ LS+(M), 0 T I и в LS(M) существует обратный оператор T -1, то T -1 ) I. 4. Если T, S ∈ LS+(M), 0 T S и в LS(M) существуют обратные операторы T -1 и S-1, то 0 S-1 T -1. 5. Если {Tα}α∈J - возрастающая сеть операторов из LSh(M) и Tα S ∈ LS(M) для каждого α ∈ J, то существует точная верхняя грань sup Tα в LSh(M). α∈J Отметим еще одно важное свойство частичного порядка в LSh(M). Теорема 3.3 ([9, 15, теорема 2.4.5]). Для любых операторов T, S ∈ LS(M) существуют такие частично изометрические операторы U, V ∈ M, что верно неравенство: |T + S| U |T |U ∗ + V |S|V ∗. 4. ∗-Алгебра S(M,τ ) τ -измеримых операторов. Пусть τ - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана M, действующей в гильбертовом пространстве H. Линейное подпространство D в H называется τ-плотным, если D η M и для любого ε > 0 существует такой проектор P ∈ P(M), что P (H) ⊂ D и τ (I - P ) ε. Предложение 3.15. Если D - τ -плотное подпространство в H, то существует такая поn=1 следовательность проекторов {Pn}∞ ⊂ P(M), что Pn ↑ I, Pn(H) ⊂ D, n = 1, 2,..., и ⊥ τ (Pn ) → 0 при n → ∞. Из предложения 3.15 следует, что каждое τ -плотное подпространство D в H является сильно плотным. Замкнутый линейный оператор T, действующий в H, называется τ-измеримым относительно алгебры фон Неймана M, если T η M и D(T ) τ -плотно в H. Обозначим через S(M,τ ) множество всех τ -измеримых операторов. Очевидно, что M⊂ S(M,τ ) ⊂ S(M), при этом T ∈ S(M,τ ) в том и только в том случае, когда T ∈ S(M) и D(T ) τ -плотно в H. Предложение 3.16 ([9, утверждение 2.6.5]). Пусть T - замкнутый оператор с плотной областью определения D(T ) такой, что T η M, и пусть T = U |T | - полярное разложение оператора T, а {Eλ}λ>0 - спектральное семейство проекторов для оператора |T |. Следующие условия эквивалентны: 1. T ∈ S(M,τ ); 2. U ∈M и |T |∈ S(M,τ ); λ 3. τ (E⊥) < ∞ для некоторого λ > 0; λ 4. τ (E⊥) → 0 при λ → +∞; 5. существует такой проектор Q ∈ P(M), что Q(H) ⊂ D(T ) и τ (Q⊥) < ∞. Замечание 3.1. 1. Если M - фактор типа I и τ - точный нормальный полуконечный след на M, то M = S(M,τ ) = S(M) = LS(M). 2. Пусть M - фактор типа II∞, τ - точный нормальный полуконечный след на M. Тогда τ (P ) < ∞ в том и только в том случае, когда P - конечный проектор. Поэтому из утверждений 3.4 и 3.16 следует, что M /= S(M,τ ) = S(M). 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ∗-АЛГЕБРАМИ S(M), LS(M) И S(M,τ ) Пусть M - алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H. Как уже отмечалось выше, M⊂ S(M,τ ) ⊂ S(M) ⊂ LS(M). Рассмотрим условия на алгебру фон Неймана M, при выполнении которых эти алгебры попарно совпадают, или соответствующие вложения строгие (см. [7-9, 30]). 132 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН 1. Соотношения между ∗-алгебрами M и S(M). В следующем примере приведены условия, при выполнении которых существуют неограниченные операторы, измеримые относительно алгебры фон Неймана M, т. е. вложение M⊂ S(M) - строгое. Пример 4.1. Пусть в алгебре фон Неймана M существует возрастающая последовательность n=1 проекторов {En}∞ ⊂ P(M) такая, что E = sup En - конечный проектор, и En /= E для всех n)1 n = 1, 2,.... Покажем, что тогда S(M) /= M. Положим Pn = E⊥ + En, n = 1, 2,... n Тогда Pn ↑ I и P ⊥ = E - En - конечные проекторы в M. Рассмотрим в гильбертовом пространстве H всюду плотное линейное подпространство ∞ D = 1 Pn(H) n=1 и определим линейный оператор T на D, полагая Tξ = nξ для всех ξ ∈ (Pn -Pn-1)(H),n = 1, 2,..., где P0 = 0. Покажем, что оператор T допускает замыкание. k=1 Если {ξk }∞ ⊂ D, ±ξk ±H → 0 и ±Tξk - η±H → 0 при k → ∞, η ∈ H, то для каждого фиксированного n = 1, 2,... имеем, что ±Pnξk ±H → 0 и ±T Pnξk - Pnη±H → 0 при k → ∞. Полагая Qm = Pm - Pm-1, получим, что 1 n 12 n n при k →∞ и 2 2 1 \\"' 1 1 1m=1 1 1 Qmξk 1 1H = \\"' m=1 ±Qmξk ±H = \\"' m=1 ±Pmξk - Pm-1ξk ±H → 0 1 n 2 1 \\"' n 12 \\"' 1 1 ±TPnξk - Pnη±H = 1T 1 m=1 Qmξk - m=1 Qmη1 = 1 1H 1 n n 12 n 1 = 1 \\"' 1 1m=1 mQmξk - 2 \\"' m=1 1 Qmη1 1 1H = \\"' m=1 ±Qm(mξk - η)±H → 0. Отсюда следует, что Qmη = 0 для всех m = 1, 2,..., n, т. е. Pnη = 0 для любых n =1, 2,.... Так как Pn ↑ I, то это означает, что η = 0, и потому оператор T допускает замыкание T, которое в силу определения T является положительно определенным оператором, присоединенным к M. Обозначим через {Eλ}λ)0 спектральное семейство проекторов для оператора T = |T |. Поскольку ±T Pn±B(H) = ±T Pn±B(H) n < n + 1, n+1 то в силу предложения 3.3 E⊥ n ;:) P ⊥, n+1 Действительно, допустим, что P = Pn ∧ E⊥ /= 0 и рассмотрим ненулевой вектор ξ ∈ P (H). Тогда ξ ∈ D(T ) и Eμξ = 0 для всех μ ∈ [0,n + 1]. Следовательно, ∞ 2 2 r 2 ∞ ∞ r 2 2 r 2 2 2 2 ±Tξ±H = (|T | ξ, ξ) = 0 μ d(Eμξ, ξ) = 0 μ d±Eμξ±H = n+1 μ d±Eμξ±H ) (n + 1) ±ξ±H . Отсюда ±Tξ±H ) (n + 1)±ξ±H , что противоречит неравенству ±TPn±B((H) < n + 1. Это означает, что n+1 P = 0, и поэтому E⊥ n+1 ;:) Q⊥ (см. предложение 2.2). Следовательно, E⊥ - конечный проектор. Отсюда согласно предложению 3.4 получим, что T ∈ S(M). Так как En /= E для каждого n = 1, 2,..., то найдутся такие номера n1 < n2 < ..., что Pnk+1 - Pnk /= 0, в частности, ±Tξk ±H ) nk для некоторых ξk ∈ (Pnk+1 - Pnk )(H) с нормой ±ξk ±H = 1, k = 1, 2,.... Это означает, что T /∈ M, и потому S(M) /= M. Предложение 4.1. Если M - алгебра фон Неймана типа II, то S(M) /= M. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 133 Доказательство. Возьмем произвольный ненулевой конечный проектор E ∈ P(M). Так как M имеет тип II, то в P (M) нет атомов. В частности, найдется такая последовательность ненулевых n=1 проекторов {Qn}∞ ⊂ P(M), что Qn E, QnQm = 0 при n /= m, где n, m = 1, 2,..., и E = sup Qn. n)1 Положим En = sup 1 m n Qm = n ), m=1 Qm. Тогда En ∈ P(M), En ↑ E и En /= E при каждом n = 1, 2,.... Из примера 4.1 непосредственно следует, что S(M) /= M. В следующей теореме даются необходимые и достаточные условия для совпадения ∗-алгебр S(M) и M. Теорема 4.1. Следующие утверждения эквивалентны: 1. S(M) = M. 2. M представима в виде прямой суммы M = m ), Mn, где M0 - алгебра фон Неймана n=0 типа III, а Mn - факторы типа I, n = 1, 2,..., m, m - некоторое натуральное число (некоторые из слагаемых могут отсутствовать). Доказательство. 1 ⇒ 2. Пусть S(M) = M. Используя предложение 4.1 и представление алгебры фон Неймана M в виде прямой суммы алгебр фон Неймана типов I, II и III (см. предложение 2.2), получим, что M = M0 ⊕ N , где M0 - алгебра фон Неймана типа III, а N - алгебра фон Неймана типа I. Существует такой центральный проектор Z ∈ P(Z(N )), что ZN - атомическая алгебра фон Неймана, а в решетке P((IN - Z)N ) нет атомов, где IN - единица алгебры фон Неймана N . Допустим, что Z /= IN . Так как (IN -Z)N имеет тип I, то в P((IN -Z)N ) существует ненулевой конечный проектор. Повторяя рассуждения примера 4.1, получим, что в этом случае S(M) /= M, что не так. Следовательно, Z = IN , т. е. N - атомическая алгебра фон Неймана типа I. Пусть {Qi}i∈J - множество всех атомов в P(Z(N )), где J - некоторое множество индексов. Обозначим: Mi = QiN , i ∈ J. Тогда из равенства Z(Mi) = QiZ(N ) = QiC получим, что Mi - факторы типа I. Предположим, что J - бесконечное множество. Выберем ненулевые конечные проекторы Ei ∈ Mi и положим E = sup Ei. Поскольку Ei = EiQi, i∈J QiQj = 0 при i /= j, Qi ∈ Z(M), то E - конечный проектор. Поэтому, как и в примере 4.1, получим, что S(M) /= M, что не так. Следовательно, J - конечное множество, т. е. M представима m в виде прямой суммы M = типа I, n = 1, 2,..., m. ), Mn, где M0 - алгебра фон Неймана типа III, а Mn - факторы n=0 2 ⇒ 1. Пусть алгебра фон Неймана M представима в виде прямой суммы M = m ), Mn, где n=0 M0 - алгебра фон Неймана типа III, а Mn - факторы типа I, n = 1, 2, ..., m. Если T ∈ S(M), n=1 то найдется такая последовательность {Pn}∞ n ⊂ P(M), что Pn ↑ I, Pn(H) ⊂ D(T ) и P ⊥ - конечные проекторы, n = 1, 2,.... n Поскольку P ⊥ ↓ 0 и в каждом факторе Mi, i = 1, 2,..., m, может быть только конечная ⊥ последовательность конечных проекторов, убывающая к нулю, то Pn = 0, начиная с некоторого номера. Это означает, что D(T ) = H , т. е., S(M) = M. Следствие 4.1. Если M - алгебра фон Неймана типа III или фактор типа I, то M = S(M), в частности, S(B(H)) = B(H). 2. Соотношения между ∗-алгебрами LS(M) и S(M). В следующем предложении приводятся условия для алгебры фон Неймана M, при выполнении которых алгебры LS(M) и S(M) не совпадают, т. е. вложение S(M) ⊂ LS(M) является строгим. Предложение 4.2. Если в алгебре фон Неймана M существует такая последовательность n=1 центральных проекторов {Zn}∞ , что Zn ↑ I и (I - Zn) - не конечный проектор, n = 1, 2,..., то LS(M) /= S(M). 134 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Доказательство. Положим ∞ D = 1 Zn(H), Pn = Zn, n = 1, 2,... n=1 Ясно, что D - локально измеримое подпространство относительно алгебры фон Неймана M, опреn=1 деляемое последовательностями проекторов {Pn}∞ n=1 и {Zn}∞ . Линейный оператор T с областью определения D(T ) = D, определяемый равенством Tξ = nξ для ξ ∈ (Zn - Zn-1)(H), Z0 = 0, n = 1, 2,..., является положительно определенным оператором, присоединенным к M. Согласно предложению 3.13, имеем: T = T ∗ ∈ LS(M). Так как n TZn = \\"' k(Zk - Zk-1), k=1 то спектральный проектор для T, соответствующий множеству (-∞, n), совпадает с Zn-1, и поэтому, в силу предложения 3.4, оператор T не принадлежит S(M). Следствие 4.2. Если алгебра фон Неймана M = C∗ТТ Mj является C∗-произведением не j∈J конечных алгебр фон Неймана Mj , где J - бесконечное множество индексов, то LS(M) /= S(M). В следующей теореме приводятся необходимые и достаточные условия для совпадения ∗-алгебр LS(M) и S(M). Теорема 4.2. Следующие утверждения эквивалентны: 1. LS(M) = S(M). 2. M представима в виде прямой суммы M = m ), Mn, где M0 - конечная алгебра фон Нейn=0 мана, а Mn - факторы типа I∞, II∞, III, n = 1, 2, ..., m, и m - некоторое натуральное число (некоторые из слагаемых могут отсутствовать). Доказательство. 1 ⇒ 2. Пусть LS(M) = S(M). Выберем центральный проектор Z0 из P(Z(M)) так, чтобы M = Z0M + (I - Z0)M, где Z0M = M0 - конечная алгебра фон Неймана, а в алгебре фон Неймана (I - Z0)M = N нет ненулевых конечных центральных проекторов. Если булева алгебра P(Z(N )) содержит бесконечn=1 ное число элементов, то найдется такая последовательность {Zn}∞ ненулевых проекторов из P(Z(N )), что ZnZm = 0 при n /= m и sup Zn = I - Z0. n)1 Положим Pn = n ), m=0 Zm. Тогда Pn ∈ P(Z(M)), Pn ↑ I и (I - Pn) - ненулевой центральный проектор из N , т. е. (I - Pn) - не конечный проектор в M, n = 1, 2,.... Следовательно, в силу предложения 4.2 выполнено LS(M) /= S(M), что противоречит предположению. Таким образом, булева алгебра P(Z(N )) содержит только конечное число элементов. Пусть m {Qn}n=1 - множество всех атомов в P(Z(N )) и Mn = QnN = QnM. m Тогда Mn - не конечный фактор, т. е. Mn имеет один из типов I∞, II∞ или III, n = 1, 2,..., m, при этом M = ), Mn. n=0 2 ⇒ 1. Пусть M = m ), Mn, где M0 - конечная алгебра фон Неймана, а Mn - факторы одного n=0 из типов I∞, II∞ или III, n = 1, 2,..., m. Обозначим через Qn единицу в алгебре Mn, n = 0, 1,..., m. k=1 Предположим, что T ∈ LS(M) и {Zk }∞ ⊂ P(Z(M)) - такая последовательность центральных проекторов, что Zk ↑ I и TZk ∈ S(M), k = 1, 2,.... Так как Mn - факторы, n = 1, 2,..., m, то ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 135 найдется такой номер k0, что QnZk = Qn при всех k ) k0, n = 1, 2,..., m. В частности, m m 0 T (I - Q0) = \\"' TQn = \\"' TZk Qn ∈ S(M). n=1 n=1 Так как Q0 - конечный центральный проектор, то LS(Q0M) = S(Q0M), и поэтому TQ0 принадлежит S(M). Следовательно, T = TQ0 + T (I - Q0) ∈ S(M). Это означает, что LS(M) = S(M). 3. Прямое произведение алгебр локально измеримых операторов. Пусть {Mi}i∈J - семейство алгебр фон Неймана, действующих в гильбертовых пространствах Hi, i ∈ J, соответственно, где J - некоторое множество индексов. C∗-произведение M = C∗ТТ Mi является алгеброй фон i∈J Неймана, действующей в гильбертовом пространстве H = ), Hi. i∈J Рассмотрим прямое произведение A = LS(Mi) = {{Ti}i∈J : Ti ∈ LS(Mi), i ∈ J } i∈J ∗-алгебр LS(Mi) операторов, локально измеримых относительно алгебр фон Неймана Mi, i ∈ J. Множество A является ∗-алгеброй над полем комплексных чисел относительно покоординатных операций умножения на скаляр, сложения, умножения и инволюции. Обозначим через Zj = {Pi}i∈J центральный проектор из M, где Pi = 0 для i /= j и Pj = IMj . Ясно, что TZi ∈ LS(Mi) для каждого T ∈ LS(M). Зададим отображение ϕ : LS(M) 1→ A, полагая ϕ(T ) = {TZi}i∈J . Предложение 4.3. Отображение ϕ является ∗-изоморфизмом между ∗-алгебрами LS(M) и A. Доказательство. Очевидно, что отображение ϕ является ∗-гомоморфизмом из ∗-алгебры LS(M) в ∗-алгебру A. Если ϕ(T ) = 0, то TZi = 0 для каждого i ∈ J, и поскольку sup Zi = IM, то T = 0. i∈J Следовательно, ϕ - инъективное отображение. Возьмем произвольный элемент {Ti}i∈J ∈ A и рассмотрим в гильбертовом пространстве H линейное подпространство D, полагая D = {{ξi}i∈J ∈ \\"' Hi : ξi ∈ D(Ti)}. i∈J Если U - унитарный оператор из M∗, то UZi ∈ (Mi)∗ (мы отождествляем LS(Mi) с ∗-подалгеброй Ai в A, где Ai = {{Tj }j∈J ∈ A: Tj = 0 при j /= i}). Следовательно, UZi(D(Ti)) ⊂ D(Ti), и поэтому U ({ξi}i∈J ) = {UZiξi}i∈J ∈ D для любого {ξi}i∈J ∈ D. Это означает, что D η M. Обозначим через {Qi }∞ ⊂ P(Mi) и {Zi }∞ ⊂ P(Z(Mi)) последовательности проектоn n=1 n n=1 ров, определяющие локально измеримые операторы Ti, i ∈ J. Тогда {Qn}∞ = {{Qi }i J }∞ n=1 n ∈ n=1 и {Zn}∞ = {{Zi }i J }∞ возрастающие последовательности проекторов из M, такие, что n=1 n ∈ n=1 n sup Qn = sup Zn = IM, Qn(H) ⊂ D и проекторы ZnQ⊥ являются конечными для всех n = 1, 2,... n)1 n)1 Это означает, что линейное подпространство D является локально измеримым относительно алгебры фон Неймана M. Рассмотрим линейный оператор T с областью определения D, задаваемый равенством T ({ξi}i∈J ) = {Ti(ξi)}i∈J . 136 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Так как Ti = Ti для каждого i ∈ J, то T = T (последнее условие следует из поточечной сходимости в ), Hi, и из определения оператора T ). Это означает, что T ∈ LS(M) и ϕ(T ) = {Ti}i∈J . i∈J Следовательно, ϕ является ∗-изоморфизмом. Согласно предложению 4.3, можно считать, что / \\ LS C∗Mi i∈J = LS(Mi). i∈J Таким образом, конструкция алгебр локально измеримых операторов выдерживает операцию взятия прямого произведения. Для алгебр измеримых операторов, вообще говоря, это не так. Пример 4.2. Пусть Mn - факторы типа III, n = 1, 2,..., и пусть ∞ M = C∗Mn. n=1 Так как в M не существует ни одного ненулевого конечного проектора, то по предложению 3.4 S(M) = M. Далее, так как Mn - факторы типа III, n = 1, 2,..., то по предложению 3.13 LS(Mn) = Mn = S(Mn). В тоже время, согласно предложению 4.2 LS(M) /= M = S(M). Поэтому в силу предложения 4.3 ∞ ∞ S(Mn) = LS(Mn) = LS(M) /= S(M). n=1 n=1 В следующей теореме приводятся необходимые и достаточные условия совпадения ∗-алгебр LS(M) и M. Теорема 4.3. Следующие условия эквивалентны: 1. LS(M) = M; 2. M представима в виде прямой суммы M = m ), Mn, где Mn - факторы типа I или типа n=1 III, n = 1, 2,...,m и m - некоторое натуральное число (некоторые из слагаемых могут отсутствовать). Доказательство. 1 ⇒ 2. Предположим, что булева алгебра P(Z(M)) всех проекторов из центра Z(M) алгебры фон Неймана M содержит бесконечное число элементов. Тогда существует такая n=1 последовательность проекторов {Zn}∞ ⊂ P(Z(M)), что ZnZm = 0 при n /= m и ∞ sup Zn = \\"' Zn = I. n)1 n=1 Положим Mn = ZnM. C∗-произведение алгебр фон Неймана Mn совпадает с M и потому согласно предложению 4.3 имеем, что ∞ LS(Mn) = LS(M) = M. n=1 n=1 Однако элемент T = {nZn}∞ принадлежит ∗-алгебре ТТ∞ n=1 LS(Mn), но не принадлежит M. Противоречие показывает, что булева алгебра P(Z(M)) содержит только конечное число элементов. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 137 }n=1 Пусть {Qn m - множество всех атомов в P(Z(M)) и Mn = QnM, где n = 1, 2,..., m. Так как Qn - атом в P(Z(M)), то из равенства Z(Mn) = QnZ(M) = QnC следует, что Mn - фактор для каждого n = 1, 2,..., m, при этом M = m ), Mn. n=1 Если для некоторого n фактор Mn имеет тип II, то LS(Mn) = S(Mn) /= Mn (см. предложение 4.1). Тогда в силу предложения 4.3 получим, что m m LS(M) = LS(Mn) /= \\"' Mn = M, что неверно. n=1 n=1 M Следовательно, n - факторы либо типа I, либо типа III для любого n = 1, 2,..., m. m 2 ⇒ 1. Пусть M = Тогда ), Mn, где Mn - факторы либо типа I, либо типа III, n = 1, 2,..., m. n=1 LS(Mn) = S(Mn) = Mn для каждого n = 1, 2,...,m и потому m m LS(M) = LS(Mn) = \\"' Mn = M. n=1 n=1 4. ∗-Алгебры S(M,τ ), ассоциированные с различными следами. Пусть τ - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана M, действующей в гильбертовом пространстве H, и S(M,τ ) - ∗-алгебра всех τ -измеримых операторов, присоединенных к M. Если M - фактор типа I, то M = S(M,τ ) = S(M) = LS(M). Если же M - фактор типа II∞, то τ (P ) < ∞ тогда и только тогда, когда P - конечный проектор. Поэтому в этом случае M /= S(M,τ ) = S(M). Следующий пример показывает, что, вообще говоря, ∗-алгебра S(M,τ ) зависит от точного нормального полуконечного следа τ. Пример 4.3. Пусть M = l∞ - коммутативная алгебра фон Неймана ограниченных последовательностей комплексных чисел с покоординатными алгебраическими операциями. В этом случае M = L∞(Ω, Σ, m), где Ω представляет собой множество N всех натуральных чисел, Σ - σ-алгебра всех подмножеств из N, и m - считающая мера на Σ. Мера m определяет точный нормальный полуконечный след τ на M+ формулой: ∞ n=1 τ ({cn}∞ ) = \\"' cn, cn ) 0, n = 1, 2,.... n=1 n=1 Элемент P = {cn}∞ ∈ l∞ является проектором тогда и только тогда, когда для каждого n = 1, 2,... либо cn = 0, либо cn = 1. Поэтому τ (P ) < ∞ тогда и только тогда, когда cn = 0 для всех n, кроме конечного числа индексов. Согласно предложению 3.8 ∗-алгебру S(l∞) = S(Ω, Σ, m) можно отождествить с ∗-алгеброй s всех комплексных последовательностей с покоординатными алгебраическими операциями. λ Предположим, что T ∈ S(l∞,τ ). Тогда по предложению 3.16 τ (E⊥) < ∞ для некоторого λ > 0, где {Eλ }λ)0 λ - спектральное семейство проекторов для оператора |T |. Следовательно, |T |E⊥ ∈ l∞. Так как то 0 |T |Eλ λEλ ∈ l∞, λ |T | = |T |Eλ + |T |E⊥ ∈ l∞. Поэтому T ∈ l∞ и, следовательно, S(l∞,τ ) = l∞. 138 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Рассмотрим на M+ другой точный нормальный конечный след τ1, определяемый формулой: ∞ n=1 τ1({cn}∞ ) = \\"' 2-ncn, cn ) 0, n = 1, 2,.... n=1 Так как след τ1 конечен, то S(l∞, τ1) = S(l∞) /= l∞ = S(l∞,τ ). Обозначим через Tr(M) множество всех точных нормальных полуконечных следов на алгебре фон Неймана M. Так как M⊂ S(M,τ ) ⊂ S(M) для любого τ ∈ Tr(M), то M⊂ n S(M,τ ) ⊂ 1 S(M,τ ) ⊂ S(M). τ ∈Tr(M) Следующий пример показывает, что вложение τ ∈Tr(M) M⊂ n S(M,τ ) τ ∈Tr(M) может быть строгим, т. е. существуют алгебры фон Неймана M и присоединенные к ним неограниченные операторы, которые τ -измеримы относительно любого точного полуконечного нормального следа на M. Пример 4.4. Пусть M - фактор типа II∞. Тогда Tr(M) = {αμ : α ∈ (0, +∞)}, где μ - некоторый фиксированный точный нормальный полуконечный след на M. Поэтому S(M,τ ) = S(M, μ) для любого τ ∈ Tr(M), и в силу примера 4.1 M /= S(M, μ) = n τ ∈Tr(M) S(M,τ ). В следующем примере рассматривается алгебра фон Неймана M, для которой вложение 1 τ ∈Tr(M) S(M,τ ) ⊂ S(M) является строгим, т. е. существуют алгебры фон Неймана M и присоединенные к ним неограниченные измеримые операторы, которые не являются τ -измеримыми ни для какого точного нормального полуконечного следа τ на M. Пример 4.5. Пусть M - коммутативная алгебра фон Неймана, являющаяся C∗-произведением континуального числа экземпляров алгебры фон Неймана L∞([0, 1], m) всех ограниченных измеримых комплекснозначных функций, заданных на отрезке [0, 1] с мерой Лебега m (равные почти всюду функции отождествляются), т. е. M = C∗Mj , Mj = L∞([0, 1], m) j∈J для всех j ∈ J, cardJ = card[0, 1]. Для каждого X = {Xj }j∈J ∈ M, X ) 0, положим 1 j μ(X) = \\"' r X j∈J 0 dm. Ясно, что μ - точный нормальный полуконечный след на M. Будем считать, что M действует в гильбертовом пространстве ⎧ ⎫ ⎨ 2 ⎬ H = L2(M, μ) = 2 {ξj }j∈J : ξj ∈ L2([0, 1], m), \\"' ||ξj ||L ([0, 1],m) < ∞ ⎩ j∈J ⎭ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 139 по правилу {Xj }j∈J ({ξj }j∈J ) = {Xj ξj }j∈J , {ξj }j∈J ∈ H. Разобьем множество J на счетное число попарно непересекающихся континуальных подмножеств Jn, n = 1, 2,..., и положим En = {Pj }j∈J ∈ P(M), где Pj = 1 при j ∈ Jn и Pj = 0 при j ∈ J \\ Jn. Ясно, что EnEk = 0 при n /= k, sup En = I, и En n)1 не является проектором счетного типа (напомним, что проектор E имеет счетный тип, если любое семейство ненулевых попарно ортогональных проекторов в P(EME) не более чем счетно). Положим Zn = sup Ek . k n Так же как и в доказательстве предложения 4.2, определим линейный оператор T на всюду плот- ∞ ном линейном подпространстве D = n=1 Zn(H), полагая Tξ = nξ для всех ξ ∈ En(H),n = 1, 2,.... Тогда замыкание T оператора T является положительно определенным оператором, присоединенным к M, причем спектральный проектор для T, отвечающий λ = n, совпадает с Zn. Поскольку M - коммутативная алгебра фон Неймана, то M - конечна, и поэтому T ∈ S(M) (см. предложение 3.4). Предположим, что существует след τ ∈ Tr(M), для которого T ∈ S(M,τ ). Тогда, в силу предложения 3.16, найдется такое натуральное n, что τ (Z⊥) < ∞. Так как Z⊥ = sup Ek , то n n k>n n τ (En+1) < τ (Z⊥) < ∞, что влечет счетность типа проектора En+1. Из полученного противоречия следует, что T не принадлежит S(M,τ ), и потому 1 τ ∈Tr(M) S(M,τ ) /= S(M). Рассмотрим теперь связь между алгебрами S(M, τ1) и S(M, τ2) для различных следов τ1, τ2 ∈ Tr(M). Для каждого τ ∈ Tr(M) положим P(M,τ ) = {P ∈ P(M): τ (P ) < ∞}. Теорема 4.4. Для τ1, τ2 ∈ Tr(M) следующие условия эквивалентны. 1. S(M, τ2) ⊂ S(M, τ1); 2. P(M, τ2) ⊂ P(M, τ1). Доказательство. 1 ⇒ 2. Пусть S(M, τ2) ⊂ S(M, τ1). Предположим, что существует такой проектор P ∈ P(M), что τ1(P ) = ∞ и τ2(P ) < ∞. Поскольку след τ1 - полуконечный, то найдется n=1 такая возрастающая последовательность проекторов {En}∞ , что τ1(En) < ∞, sup En = E P, τ1(E) = ∞, n)1 в частности, En /= E для всех n = 1, 2,.... Так же как и в примере 4.1, определим линейный оператор T на всюду плотном линейном подпространстве ∞ D = 1 Pn(H), n=1 полагая Tξ = nξ для всех ξ ∈ (Pn -Pn-1)(H), где Pn = E⊥ +En,n = 1, 2,..., P0 = 0. Как показано в примере 4.1, положительно определенный оператор T является измеримым оператором, при этом спектральный проектор для T, отвечающий собственному значению λ = n, совпадает с Pn. Поскольку τ1(P ⊥) = τ1(E - En) = ∞ и τ2(P ⊥) τ2(P ) < ∞, n = 1, 2,..., то n n T ∈ S(M, τ2) \\ S(M, τ1), что противоречит вложению S(M, τ2) ⊂ S(M, τ1). Следовательно, P(M, τ2) ⊂ P(M, τ1). Импликация 2 ⇒ 1 следует непосредственно из предложения 3.16. 140 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Из теоремы 4.4 вытекает, что для τ1, τ2 ∈ Tr(M) S(M, τ1) = S(M, τ2) ⇐⇒ P(M, τ1) = P(M, τ2). Заменяя в доказательстве предложения 4.4 условие τ2(P ) < ∞ на условие: P - конечный проектор, и используя предложения 4.3 и 3.16, получим следующее предложение. Предложение 4.4. Для τ ∈ Tr(M) следующие условия эквивалентны: 1. S(M) = S(M,τ ); 2. P(M,τ ) = {P ∈ P(M): P- конечный проектор}. 5. ЗАПОЛНЕННЫЕ ∗-ПОДАЛГЕБРЫ В LS(M) ∗-Подалгебра A в LS(M) называется заполненной, если из соотношений 0 T S ∈ A, T ∈ LS(M) следует, что T ∈ A. Ясно, что M есть заполненная ∗-подалгебра в LS(M). 1. Заполненность ∗-подалгебр S(M) и S(M,τ ). Для установления свойства заполненности у ∗-подалгебр S(M) и S(M,τ ) нам понадобится следующее предложение. Предложение 5.1. 1. Если операторы T, S ∈ LS(M) и l(T )l(S) = 0, то T + S = T + S. 2. Если T - самосопряженный оператор из S(M) (соответственно, из LS(M)) и f ∈ B(R), то f (T ) ∈ S(M) (соответственно, f ∈ LS(M)). Доказательство. 1. Пусть ξn ∈ D(T + S) = D(T ) ∩ D(S) и ξn → ξ, (T + S)ξn → η, где ξ, η ∈ H. Так как l(T )l(S) = 0, то Tξn = l(T )(T + S)ξn → l(T )η. Оператор T замкнут, поэтому ξ ∈ D(T ) и Tξ = l(T )η. Рассуждая аналогично, получим, что ξ ∈ D(S) и Sξ = l(S)η. Следовательно, ξ ∈ D(T + S) и (T + S)ξ = (l(T ) + l(S))η. Осталось заметить, что из сходимости (T + S)ξn → η вытекает сходимость (T + S)ξn = (l(T )+ l(S))(T + S) → (l(T )+ l(S))η, и поэтому η = (l(T )+ l(S))η = (T + S)η. Следовательно, T + S = T + S = T + S. 2. Пусть T ∈ Sh(M). Согласно определению оператора f (T ) (см. пункт 2.5) имеем f (T ) = (fχ(0, +∞))(T+)+ (fˆχ(0, +∞))(T-)+ f (0)(I - s(T )), где fˆ(λ) = f (-λ), λ ∈ R. Поэтому в силу первой части предложения достаточно доказать, что f (T ) ∈ S(M) для T ) 0. Линейный оператор f (T ) является замкнутым и f (T ) η M. Так как T ∈ S(M), то по пред- λ ложению 3.4, мы получаем, что E⊥ 0 является конечным проектором для некоторого λ0 > 0, где Eλ = χ(-∞,λ)(T ). Пусть Pn = Eλ0+n. Тогда Pn ↑ I и, как уже было показано в доказательстве импликации 1 ⇒ 2 предложения 3.4, Pn(H) ⊂ D(T ) для всех n = 1, 2,.... Поэтому (см. пункт 2.5) ⎧ +∞ ⎫ r ⎬ D(f (T )) = ⎨ξ ∈ H : ⎩ |f (λ)|2dEξ,ξ (λ) < ∞ , ⎭ -∞ где Eξ,ξ (λ) = (Eλξ, ξ). Если ξ ∈ Pn(H), то Eξ,ξ (λ) = Eξ,ξ (λ0 + n) для всех λ > λ0 + n и, так как T ) 0, то Eξ,ξ (λ) = 0, если λ < 0. Поэтому +∞ r |f (λ)|2dEξ,ξ (λ) = -∞ λ0+n r |f (λ)|2dEξ,ξ (λ) sup 0 λ∈[0,λ0+n] |f (λ)|2 λ0+n r dEξ,ξ (λ) < ∞. 0 Таким образом, ξ ∈ D(f (T )), что равносильно включению Pn(H) ⊂ D(f (T )). Так как проектор ⊥ Pn является конечным для любого n = 1, 2 ..., то f (T ) ∈ S(M). Используя доказанное включение f (T ) ∈ S(M) и определение локально измеримого оператора, получаем, что для самосопряженного оператора T ). из LS(M) и f ∈ B(R) также верно включение LS(M ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 141 Предложение 5.2. Если T ∈ S(M,τ ) - самосопряженный оператор и f ∈ B(R), то f (T ) ∈ S(M,τ ). Доказательство. Так же как и при доказательстве предложения 5.1, можно считать, что T ) 0. Так как T ∈ S(M,τ ) ⊂ S(M), то в силу предложения 5.1 f (T ) ∈ S(M). Далее, по предложению 3.16 существует такое λ0 > 0, λ0 для которого τ (E⊥ ) < ∞. Положим Pn = Eλ0+n. Тогда Pn ↑ I, τ (P ⊥) τ (E⊥ ) < ∞, и поскольку след τ нормален, то n τ (P ⊥) → 0 при n → ∞. n λ0 Далее, P (H) ⊂ D(f (T )) (см. доказательство предложения 5.1) и поэтому, согласно предложениям 3.15 и 3.16 получим, что f (T ) ∈ S(M,τ ). В следующем предложении приведены некоторые дополнительные свойства введенного на LSh(M) отношения частичного порядка. Предложение 5.3. 1. Если Tα, T ∈ LSh(M) для всех α ∈ J, Tα ↑ T, то для любого оператора A ∈ LS(M) A∗TαA ↑ A∗T A. 2. Если T ∈ LSh(M), {Pα}α∈J ,P ⊂ P(M ), Pα ↑ P и PαT Pα = 0 для всех α ∈ J, то PTP = 0. При этом если T ) 0, то TP = 0. Доказательство. 1. Поскольку Tα T, то в силу предложения 3.14 имеем, что для любого оператора A ∈ LS(M) сеть {A∗TαA}α∈J возрастает и A∗TαA A∗TA для всех α ∈ J. Предположим сначала, что оператор A ∈ LS(M) обратим. Согласно предложению 3.14, в LSh(M) существует точная верхняя грань S = sup(A∗TαT ) A∗T A. α∈J Так как A∗TαA S для любого α ∈ J, то Tα (A-1)∗SA-1. Следовательно, T = sup Tα (A-1)∗SA-1. α∈J Поэтому A∗TA S, что влечет равенство sup(A∗TαT ) = A∗T A. α∈J 1 1 Пусть теперь Tα, T, A ∈ LS+(M). Рассмотрим оператор B = A + n I. Тогда B ) n I и, следовательно, оператор B обратим. Поэтому, по доказанному выше, sup(BTαB) = BTB. α∈J Далее имеем 1 1 1 1 BTαB = (A + n I)Tα(A + n I) = ATαA + n (ATα + TαA)+ n2 Tα Так как Tα ) 0, то 1 sup(ATαA)+ α∈J n 1 (ATα + TαA)+ n2 Tα. Поэтому Следовательно, (A - I)Tα(A - I) ) 0. ATαA - TαA - ATα + Tα ) 0. ATαA + Tα ) TαA + ATα. Аналогично, рассматривая неравенство (I - A)T (I - A) ) 0, получим, что TA + AT ) -AT A - T. 142 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Поэтому 1 BTαB sup(ATαA)+ α∈J n 1 (ATα + TαA)+ n2 1 Tα sup(ATαA)+ α∈J n 1 (ATαA + Tα)+ n2 Tα 1 sup(ATαA)+ α∈J n 1 (AT A + T )+ T n2 для всех α ∈ J. Следовательно, 1 sup(BTαB) = BTB sup(ATαA)+ 1 (AT A + T )+ T. Кроме того, α∈J BTB = (A + 1 I)T (A + n α∈J 1 I) = AT A + n 1 n n2 1 1 (AT + T A)+ T ) n n2 1 Поэтому ) AT A - n (AT A + T )+ n2 T. 1 1 1 1 α∈J AT A - n (AT A + T )+ n2 T BTB sup(ATαA)+ n (AT A + T )+ n2 T. Следовательно, 2 AT A sup(ATαA)+ α∈J n (AT A + T ). Так как AT A + T ) 0 и n - произвольное натуральное число, то AT A sup(ATαA). α∈J С другой стороны, из Tα T следует, что ATαA AT A для любого α ∈ J. Поэтому sup(ATαA) AT A, α∈J что влечет равенство sup(ATαA) = AT A. α∈J Рассмотрим теперь общий случай, когда оператор A ∈ LS(M) - произвольный. Зафиксируем α0 ∈ J и положим Sα = Tα - Tα0 . Так как Tα ↑ T, то сеть {Sα}α∈J возрастает и Sα ) 0 при α ) α0. Рассмотрим оператор B = AA∗ ) 0. По доказанному, sup(BSαB) = BSB, где S = sup Sα. Из α∈J неравенства Sα S следует, что A∗SαA A∗SA для любого α ∈ J. Поэтому sup(A∗SαA) A∗SA. α∈J Обозначим sup(A∗SαA) = Z и предположим, что Z /= A∗SA. α∈J Рассмотрим оператор α∈J H = A∗SA - Z. Тогда H ) 0 и, по нашему предположению, H /= 0. Так как для любого α ∈ J A∗SαA + H Z + H = A∗SA, то умножая это неравенство слева на A, а справа - на A∗, получим: AA∗SαAA∗ + AHA∗ AA∗SAA∗, т. е. BSαB + AHA∗ BSB для любого α ∈ J. Следовательно, B(Tα - Tα0 )B + AHA∗ B(Tα - Tα0 )B, откуда BTαB + AHA∗ BTB ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 143 и, значит, Следовательно, BTαB BTB - AHA∗. BTB = sup(BTαB) BTB - AHA∗. α∈J Поэтому AHA∗ = 0. Так как, с другой стороны, H ) 0, то существует оператор W = √H ∈ LS+(M). Тогда (AW )(AW )∗ = AW 2A∗ = AHA∗ = 0. т. е. AW = 0. Кроме того, так как Z ) 0, то H = A∗SA - Z A∗SA. Следовательно, H2 = WHW W A∗SAW = 0, что влечет равенство H = 0, и потому sup(A∗SαA) = A∗SA. α∈J Но Sα = Tα - Tα0 и, следовательно, Поэтому S = sup Sα = T - Tα0 . α∈J A∗SαA = A∗TαA - A∗Tα0 A и sup(A∗SαA) = sup(A∗TαA) - A∗Tα0 A. α∈J ∈J Но Следовательно, sup(A∗SαA) = A∗SA = A∗TA - A∗Tα0 A. α∈J sup(A∗TαA) = A∗T A. α∈J 2. Так как PαT Pα = 0 для всех α ∈ J, то PαT Pβ = PαPβ T Pβ = 0 для всех β ) α. Поэтому I -r(PαT ) ) sup Pβ = P. В частности, PαTP = 0, откуда PT Pα = 0 для всех α ∈ J. Следовательно, β т. е. PTP = 0. Если T ) 0, то I - r(PT ) ) sup Pα = P, α (√TP )∗(√TP ) = PTP = 0, и потому √TP = 0, откуда следует, что TP = 0. Предложение 5.4. Если T, S ∈ LS(M) и 0 T S, то √T √S. Доказательство. Зафиксируем ε > 0. Так как 0 T S, то εI T + εI S + εI. Отсюда в силу предложения 3.14 следует, что операторы T + εI и S + εI обратимы в LS(M) и 0 (S + εI)-1 (T + εI)-1 1 I. ε Это означает, что (S + εI)-1, (T + εI)-1 ∈ M+ и в силу [31, теорема 2.2.6] имеем, что -1 √S + εI -1 = (S + εI) (T + εI)-1 = √T + εI -1 . 144 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Отсюда в силу предложения 3.14 получим, что √T √T + εI √S + εI. Для последовательности чисел εn ↓ 0 имеем Sn = (S + εnI) ↓ S в LS(M) (см. предложение 3.14) и SnSk = Sk Sn, n, k = 1, 2,.... Пусть A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), содержащая операторы S, Sn, n = 1, 2,.... Отождествим A с ∗-подалгеброй в S(Ω, Σ, m) для некоторого пространства (Ω, Σ, m) с локально конечной мерой m. Ясно, что Sn(ω) ↓ S(ω) при n →∞ для всех ω ∈ Ω. Следовательно, Sn(ω) ↓ S(ω) при n →∞. Поэтому √Sn ↓ √S в A и, следовательно, √Sn ↓ √S в LS(M). Наконец, так как √T √Sn, то √T √S. Предложение 5.5 ([18, предложение 6.1]). Если T, S ∈ LSh(M), 0 T S, то существует оператор A ∈M такой, что ±A±M 1 и √T = A · √S. Предложение 5.6. ∗-Алгебра S(M) является заполненной ∗-подалгеброй в LS(M). Доказательство. Пусть 0 T S, T ∈ LS(M), S ∈ S(M). В силу предложения 5.5 существует такой оператор A ∈ M, что √ √ T = A S. Согласно предложению 5.1 √S ∈ S(M), откуда √T ∈ S(M), и поэтому T ∈ S(M). Аналогично устанавливается следующее предложение. Предложение 5.7. ∗-Алгебра S(M,τ ) является заполненной ∗-подалгеброй в LS(M). 2. ∗-Алгебры τ -локально измеримых операторов. Если алгебра фон Неймана M коммутативна, то, как уже отмечалось выше, M можно отождествить с ∗-алгеброй L∞(Ω, Σ, μ) всех ограниченных в существенном измеримых комплекснозначных функций, заданных на пространстве (Ω, Σ, μ) с локально конечной мерой μ. В этом случае ∗-алгебра S(M) отождествляется с ∗-алгеброй S(Ω, Σ, μ) всех измеримых почти всюду конечных комплекснозначных функций, заданных на пространстве (Ω, Σ, μ) (см. следствие 3.3). Если Z(M) - центр алгебры фон Неймана M, то S(Z(M)), вообще говоря, не содержится в S(M). В связи с этим естественно возникает вопрос о выделении тех заполненных ∗-подалгебр A в LS(M) с ограниченной частью Ab = M, для которых S(Z(M)) ⊂ A. Можно было бы предположить, что среди всех заполненных ∗-подалгебр A с Ab = M только ∗-алгебра LS(M) содержит S(Z(M)). Оказалось, что это не так. Ниже вводятся ∗-алгебры LS(M,τ ) τ -локально измеримых операторов, для которых S(Z(M)) ⊂ LS(M,τ ), при этом LS(M,τ ) являются заполненными ∗-подалгебрами в LS(M), вообще говоря, не совпадающими с LS(M). Пусть A - произвольная ∗-подалгебра в LS(M). Обозначим через E(A) множество всех тех операторов T ∈ LS(M), для которых существует разбиение единицы {Zj }j∈J и набор операторов {Tj }j∈J ⊂ A такие, что TZj = Tj Zj для всех j ∈ J. Ясно, что E(A) - ∗-подалгебра в LS(M), A⊂ E(A) и E(E(A)) = E(A). ∗-Алгебру E(A) называют центральным расширением ∗-алгебры A (см. [10]). Пусть M - полуконечная алгебра фон Неймана и τ - точный нормальный полуконечный след на M. Оператор T ∈ LS(M) называется τ-локально измеримым, если существует такая послеn=1 довательность {Zn}∞ центральных проекторов из M, что Zn ↑ I и ZnT ∈ S(M,τ ) для всех n = 1, 2,.... Множество всех τ -локально измеримых операторов обозначим через LS(M,τ ). Ясно, что S(M,τ ) ⊂ LS(M,τ ) ⊂ E(S(M,τ )) ⊂ LS(M) и S(M,τ ) = LS(M,τ ) в случае, когда след τ конечен или когда M - фактор. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 145 Теорема 5.1. LS(M,τ ) является заполненной ∗-подалгеброй в LS(M), причем S(Z(M)) совпадает с центром Z(LS(M,τ )) алгебры LS(M,τ ). Доказательство. Пусть T, S ∈ LS(M,τ ) и {Z∗ }∞ , {Z∗∗}∞ - такие последовательности ценn n=1 n n=1 тральных проекторов из P (Z(M)), что Zn ↑ I, Zn ↑ I и ZnT, Zn S ∈ S(M,τ ), n = 1, 2,.... ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ Положим Zn = Z∗ Z∗∗. Тогда Zn ∈ P (Z(M)), Zn ↑ I и ZnT, ZnS ∈ S(M,τ ), n = 1, 2,.... Следоваn n тельно, Zn(T + S) = ZnT + ZnS ∈ S(M,τ ), Zn(TS) = (ZnT )(ZnS) ∈ S(M,τ ), ZnT ∗ = (ZnT )∗ ∈ S(M,τ ). Это означает, что T +S, T ·S, T ∗ ∈ LS(M,τ ). Таким образом, LS(M,τ ) является ∗-подалгеброй в LS(M). Поскольку Zn|T | = |ZnT |, то |T |∈ LS(M,τ ). Возьмем произвольный оператор L ∈ LS(M), для которого |L| |T |. Тогда |ZnL| = Zn|L| Zn|T | = |ZnT |∈ S(M,τ ). Так как ∗-алгебра S(M,τ ) - заполненная в LS(M), то ZnL ∈ S(M,τ ) для всех n = 1, 2,..., т. е. L ∈ LS(M,τ ). Следовательно, LS(M,τ ) - заполненная ∗-подалгебра в LS(M). n=1 Пусть теперь T ∈ S(Z(M)) и {Zn}∞ - такая последовательность проекторов из P (Z(M)), для которой Zn ↑ I и Zn|T |∈M для всех n = 1, 2,... Поскольку M⊂ S(M,τ ), то |T |∈ LS(M,τ ), и потому T ∈ LS(M,τ ), т. е. S(Z(M)) ⊂ LS(M,τ ). Обратно, пусть T - центральный оператор из LS(M,τ ) и T = U |T | - его полярное разложение. Если V - унитарный оператор из M, то VT = TV и потому T = VTV ∗ = (V UV ∗)(V |T |V ∗); при этом (V UV ∗)∗(V UV ∗) = V r(T )V ∗ = r(T ). В силу единственности полярного разложения, получим, что V UV ∗ = U и V |T |V ∗ = |T |, т. е. VU = UV и V |T | = |T |V. Отсюда следует, что U ∈ Z(M). Поэтому |T | = U ∗T принадлежит центру Z(LS(M,τ )) алгебры LS(M,τ ). Следовательно, спектральное семейство проекторов {Eλ} для оператора |T | лежит в Z(M), что влечет включение |T | ∈ S(Z(M)). Таким образом, S(Z(M)) = Z(S(M,τ )). Если центр Z(M) есть σ-конечная алгебра фон Неймана, то для любого оператора T ∈ n=1 E(S(M,τ )) существует такое счетное разбиение единицы {Zn}∞ , что TZn ∈ S(M,τ ) при n = 1, 2,.... Следовательно, T ∈ LS(M,τ ), т. е. в этом случае LS(M,τ ) = E(S(M,τ )). На самом деле, σ-конечность центра Z(M) обеспечивает совпадение ∗-алгебр LS(M,τ ) и LS(M). Теорема 5.2. Пусть M - полуконечная алгебра фон Неймана, τ - точный нормальный полуконечный след на M. Тогда 1. Если центр Z(M) σ-конечен, то LS(M,τ ) = LS(M). 2. Если M имеет тип II и LS(M,τ ) = E(S(M,τ )), то центр Z(M) σ-конечен и E(S(M,τ )) = LS(M). Доказательство. 1. Случай 1. Пусть алгебра фон Неймана M имеет конечный тип. Рассмотрим центрозначный след Φ : M 1→ Z(M) (см. теорему 2.3). Для каждого оператора T ∈ M значение следа Φ(T ) принадлежит замыканию по норме ±· ±M выпуклой оболочки элементов вида UTU ∗, где U - унитарный оператор из M [45, 7.11]. Поэтому τ (Φ(T )) = τ (T ). Если 0 /= Z ∈ P (Z(M)), 0 /= Q Z, Q ∈ P (M), τ (Q) < ∞, то τ (Φ(Q)) < ∞, и потому существует такой проектор Z0 ∈ P (Z(M)), что 0 /= Z0 Z и τ (Z0) < ∞. Поскольку алгебра Z(M) σ-конечна, то найдется счетное n=1 разбиение единицы {Zn}∞ , для которого τ (Zn) < ∞, n = 1, 2,..., в частности, TZn ∈ S(M,τ ) для всех T ∈ LS(M). Это означает, что LS(M,τ ) = LS(M). Случай 2. Пусть M - полуконечная алгебра фон Неймана. Рассмотрим 0 T ∈ S(M) и λ0 > 0 такие, что {T > λ0} = E⊥ (T ) ∈ Pfin(M). Тогда алгебра фон Неймана N = E⊥ (T )ME⊥ (T ) λ0 λ0 λ0 конечна и сужение τN следа τ на N является полуконечным следом. Согласно первой части 146 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН n=1 доказательства (случай 1), найдутся такие проекторы {Zn}∞ E (T )) - центральный носитель проектора ⊂ P (Z(M)), что ZnZm = 0 при (T ), и λ0 λ0 n /= m, sup Zn = z(E⊥ ⊥ n)1 TZn ∈ S(N , τN ) ⊂ S(M,τ ). λ0 Поскольку TEλ0 (T ) ∈ M, то T (I -z(E⊥ (T ))) ∈ M. Следовательно, T ∈ LS(M,τ ). Таким образом, S(M) ⊂ LS(M,τ ), и потому LS(M,τ ) = LS(M). 2. Пусть алгебра фон Неймана M имеет тип II и центр Z(M) не является σ-конечным. Поскольку след τ полуконечен, то существуют такое несчетное разбиение единицы {Zq }q∈Δ и проекторы Pq ∈ P(MZq ), что τ (Pq ) < ∞ и z(Pq ) = Zq , q ∈ Δ. Строим теперь такие операторы Tq ∈ S(MZq ,τ ), что {Tq ) n + 1}· Z /= 0 для всех 0 /= Z ∈ P (Z(MZq )) и рассмотрим оператор T0 ∈ E(S(M,τ )), для которого T0Zq = Tq для всех q ∈ Δ. Поскольку E(S(M,τ )) = LS(M,τ ), то существует такая последовательность {Z∗ }∞ ⊂ P (Z(M)), что Z∗ ↑ I и T0Z∗ ∈ S(M,τ ), в частности, τ (E⊥ (T0Z∗ )) < ∞ при некотором n n=1 n n m0 n n0 натуральном m0 ) 2. Так как множество Δ несчетно, то найдется номер n0, для которого Z∗ Zq /= 0 для всех q из некоторого несчетного подмножества Δ∗ ∗ ⊂ Δ. Следовательно, {Tq ) m0}Zn0 Zq /= для всех q ∈ Δ∗. Поэтому проектор E⊥ (T0Z∗ ) не является σ-конечным, что противоречит 0 неравенству τ (E⊥ (T0Z∗ )) < ∞. m0 n m0 n Следствие 5.1. 3. Если M - алгебра фон Неймана типа II, у которой центр Z(M) не σ-конечен, то LS(M,τ ) /= LS(M). 4. LS(M,τ ) /= LS(M) в том и только в том случае, когда существует такой центральный проектор Z из M, что алгебра фон Неймана MZ имеет тип II и не имеет σ-конечный центр. 5. Если M - алгебра фон Неймана типа I, то LS(M,τ ) = LS(M). Напомним, что ненулевой проектор P ∈ P(M) называется атомом, если из Q P, Q ∈ P(M) следует, что Q = 0 или Q = P. Алгебра фон Неймана M называется атомической, если каждый ее ненулевой проектор мажорирует атом. В следующей теореме приводятся достаточные условия совпадения ∗-алгебр LS(M) и LS(M,τ ). Теорема 5.3. Пусть M - полуконечная алгебра фон Неймана, τ - точный нормальный полуконечный след на M, и M удовлетворяет одному из следующих условий: 6. M - коммутативная алгебра; 7. M - атомическая алгебра. Тогда LS(M) = LS(M,τ ). Доказательство. 1. Если M - коммутативная алгебра фон Неймана, то Z(M) = M, LS(M) = n=1 S(M), и поэтому для каждого T ∈ LS(M) существует такая последовательность {Zn}∞ центральных проекторов, что Zn ↑ I и ZnT ∈ M ⊂ S(M,τ ). Следовательно, T ∈ LS(M,τ ), что влечет равенство LS(M,τ ) = LS(M). 2. Пусть M - произвольная атомическая алгебра фон Неймана. В этом случае M отождествляется с C∗-произведением C∗ТТ q∈Δ Mq , где Mq = Zq M = B(Hq ) - факторы типа I, {Zq }q∈Δ - множество всех атомов в P(Z(M)). Согласно предложению 4.3, имеем LS(M) = LS(Mq ) = Mq . Пусть q∈Δ q∈Δ Тогда т. е. T ∈ LS(M,τ ). T = {Tq }q∈Δ ∈ LS(M), Zn = sup{Zq : ±Tq ±Mq n}. Zn ∈ Z(M), Zn ↑ I, ZnT ∈M⊂ S(M,τ ), ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 147 Приведем теперь пример алгебры фон Неймана M и точного нормального полуконечного следа τ на M, для которых LS(M,τ ) /= LS(M). Пример 5.1. Пусть M0 - фактор типа II1 или II∞, τ0 - канонический след на M0. Тогда τ0(P ) < ∞, P ∈ P(M) ⇐⇒ P ∈ Pfin(M). Пусть Δ - несчетное множество индексов. Положим M = C∗ТТ q∈Δ Mq , где Mq = M0 для каждого q ∈ Δ. Ясно, что τ ({Tq }q∈Δ) = \\"' τ0(Tq ) q∈Δ есть точный нормальный полуконечный след на M. Выберем положительный неограниченный оператор T0 из S(M0, τ0) = S(M0) = LS(M0), и рассмотрим оператор T = {Tq }q∈Δ ∈ LS(M) = S(M0, τ0), q∈Δ для которого Tq = T для всех q ∈ Δ. Пусть Z = {Zq }q∈Δ - не σ-конечный центральный проектор из Z(M), т. е. Zq = IMq для всех q из некоторого несчетного множества Δ∗ ⊂ Δ и Zq = 0 для q ∈ Δ \\ Δ∗. λ0 Если ZT ∈ S(M,τ ), то существует такое λ0 > 0, что τ (E⊥ (ZT )) < ∞, где {Eλ(ZT )} - спектральное семейство проекторов для оператора ZT. Поскольку λ0 (ZT ) = ZEλ0 (T ) = {Eq }q∈Δ, E⊥ ⊥ где Eq = E⊥ (T0) /= 0 для всех q ∈ Δ∗ и Eq = 0 для q ∈ Δ \\ Δ∗, то E⊥ - не σ-конечный проектор λ0 λ0 λ0 в M, что противоречит неравенству τ (E⊥ (ZT )) < ∞. Следовательно, ZT не принадлежит S(M,τ ) для любого не σ-конечного проектора Z ∈ P (Z(M)). Осталось заметить, что из сходимости Zn ↑ IM, Zn ∈ P (Z(M)) и не σ-конечности IM в Z(M) следует не σ-конечность Zn в Z(M) начиная с некоторого номера. Следовательно, оператор T не является τ -локально измеримым. Замечание 5.1. 8. Если в примере 5.1 M0 есть фактор типа II1, то M - конечная алгебра фон Неймана и S(M) = LS(M). Таким образом, в этом случае в примере 5.1 имеем, что LS(M,τ ) /⊂ S(M). 9. Если в примере 5.1 множество Δ счетное, то Z(M) - σ-конечная атомическая алгебра фон Неймана, и в этом случае LS(M,τ ) = LS(M) (см. теорему 5.2). 10. Поскольку LS(Mq ) = S(M0, τ0) = LS(M0, τ0) = LS(Mq , τq ), где τq - сужение следа τ на Mq , то LS(Mq , τq ) = LS(Mq ) = LS(M) /= LS(M,τ ), q∈Δ q∈Δ т. е. в отличии от конструкции ∗-алгебр локально измеримых операторов, прямое произведение ∗-алгебр τ -локально измеримых операторов ТТ LS(Mi, τi) не совпадает с ∗-алгеброй i∈J τ -локально измеримых операторов, присоединенных к C∗-произведению алгебр фон Неймана (Mi, τi). 3. ∗-Алгебры компактных локально измеримых операторов. Пусть M - произвольная алгебра фон Неймана. Оператор T ∈ LS(M) называется компактным относительно M, если для любого числа ε > 0 существует такой проектор P ∈ Pfin(M), что TP ⊥ ∈M и ±TP ⊥±M < ε. Обозначим множество всех компактных относительно M операторов из LS(M) через S0(M). Если T = U |T | - полярное разложение оператора T ∈ LS(M), то |T | = U ∗T, и поэтому T ∈ S0(M) тогда и только тогда, когда |T |∈ S0(M). Предложение 5.8. Для оператора T ∈ LS(M) следующие условия эквивалентны: 1. T ∈ S0(M); 148 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН λ 2. E⊥ ∈ Pfin(M) для всех λ > 0, где {Eλ} - спектральное семейство проекторов для оператора |T |. Доказательство. 1 ⇒ 2. Пусть T ∈ S0(M) и {Eλ} - спектральное семейство проекторов для оператора |T |. Фиксируем λ > 0 и выбираем проектор P ∈ Pfin(M) так, чтобы ±TP ⊥±M < λ. Тогда E⊥ ;:) P (см. предложение 3.3), и потому E⊥ ∈ Pfin(M). λ λ Импликация 2 ⇒ 1 следует из неравенства ±TEλ±M = ±U |T |Eλ±M ±|T |Eλ±M λ для всех λ > 0, где T = U |T | - полярное разложение оператора T. Следствие 5.2. S0(M) ⊂ S(M). Теорема 5.4. S0(M) -заполненная ∗-подалгебра в LS(M), причем MS0(M)M⊂ S0(M). Доказательство. Пусть T, S ∈ S0(M) и ε > 0. Ясно, что αT ∈ S0(M) для всех α ∈ C. Выберем проекторы P, Q ∈ Pfin(M) так, чтобы o ε ±TP ⊥±M < 2 , ±SQ⊥±M < 2 . Проектор L = P ∨ Q тоже конечен. При этом L⊥ = P ⊥ ∧ Q⊥, и потому ±(T + S)L⊥±M ±TP ⊥L⊥±M + ±SQ⊥L⊥±M < ε. Таким образом, (T + S) ∈ S0(M). Далее, положим G = I - r(PS), где r(PS) - правый носитель оператора PS. Тогда SG = P ⊥SG и G⊥ ;:) P (предложение 3.9). Следовательно, проектор F = Q ∨ G⊥ конечен, при этом TSF ⊥ = TSGF ⊥ = T (P ⊥SG)F ⊥ = (TP ⊥)(SQ⊥)F ⊥, в частности, Следовательно, TS ∈ S0(M). ε2 ±TSF ⊥±M < 4 . Пусть T = U |T | - полярное разложение оператора T. Положим G1 = I - r(PU ). В силу предложения 3.9 G⊥ ;:) P, откуда следует, что проектор G⊥ конечен. При этом 1 1 T ∗G1 = U ∗TUG1 = U ∗(TP ⊥)UG1 ∈M и ε ±T ∗G1±M ±TP ⊥±M < 2 . Следовательно, T ∗ ∈ S0(M). Таким образом, S0(M) - ∗-подалгебра в LS(M). Покажем теперь, что S0(M) - заполненная ∗-подалгебра в LS(M). Для этого достаточно показать, что из соотношений O T S, T ∈ LS(M), S ∈ S0(M) следует, что T ∈ S0(M). Зафиксируем ε > 0 и, используя предложение 5.8, выберем спектральный проектор E так, чтобы проектор E⊥ ∈ Pfin(M) и ES = SE εE. Поскольку √T ∈ LS(M), то √TE ∈ LS(M), при этом √ 0 (√TE)∗(√TE) = ETE ESE εE. √ Следовательно, TE ∈ M и ± T = √T √T ∈ S0(M). ± TE 2 M ε. Это означает, что √T ∈ S0(M) и, следовательно, ⊥ -1 Пусть теперь 0 /= A ∈ M, T ∈ S0(M), ε > 0. Выберем проектор P ∈ Pfin(M) так, чтобы ±TP ±M < ε±A±M . Тогда AT ∈ LS(M), (AT )P ⊥ AT ∈ S0(M), т. е. MS0(M) ⊂ S0(M). Отсюда ∈ M и ±(AT )P ⊥±M < ε. Следовательно, S0(M)M = (MS0(M))∗ ⊂ (S0(M))∗ = S0(M). Таким образом, MS0(M)M⊂ S0(M). ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 149 Предложение 5.9. S(M) = S0(M) тогда и только тогда, когда M - конечная алгебра фон Неймана. Доказательство. Если M - конечная алгебра фон Неймана, то S(M) = S0(M) (см. предложение 5.8). Если же I /∈ Pfin(M), то I /∈ S0(M), и в этом случае S(M) /= S0(M). 4. ∗-Алгебры τ -компактных операторов. Пусть τ - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана M. Оператор T ∈ S(M,τ ) называется τ-компактным, если для любого ε > 0 существует такой проектор P ∈ P(M), что τ (P ⊥) < ∞, TP ∈M и ±TP ±M < ε. Множество S0(M,τ ) всех τ -компактных операторов является ∗-подалгеброй в S(M,τ ), при этом M⊂ S0(M,τ ) ⇐⇒ τ (I) < ∞ ⇐⇒ S0(M,τ ) = S(M,τ ). Если T - замкнутый линейный оператор с плотной областью определения в H и T = U |T | - полярное разложение оператора T, то T ∈ S0(M,τ ) в том и только в том случае, когда U ∈M и |T |∈ S0(M,τ )) [9, § 2.6]. Замечание 5.2. 1. Если τ (I) < ∞, то из предложений 3.16, 5.8 и следствия 3.4 вытекает, что S0(M,τ ) = S(M,τ ) = S(M) = LS(M). 2. Если τ (I) = ∞, то I /∈ S0(M,τ ), в частности, S0(M,τ ) /= S(M,τ ). 3. Если T ∈ S0(M,τ ), A ∈ M, то T A, AT ∈ S0(M,τ ). Действительно, для каждого ε > 0 1 M существует такой проектор P ∈ P (M), что τ (P ⊥) < ∞, TP ∈ M и ±TP ±M < ε±A±- (считаем, что A /= 0). Положим Q = I - r(P ⊥A). Тогда AQ = P AQ и Q⊥ ;:) P ⊥. Отсюда τ (Q⊥) < ∞, TAQ = (TP )(AQ) ∈M и т. е. -1 ±T AQ±M < ε±A±M ±AQ±M < ε, TA ∈ S0(M,τ ). Аналогично, из неравенства 1 ±AT P ±M < ±A±M ε ±A±- = ε M следует, что AT ∈ S0(M,τ ). 4. Если τ (s(T )) = ∞, T = T ∗ ∈ S0(M,τ ), f0(λ) = 1 для всех λ ∈ R, то f0 ∈ B(R), но f0(T ) = s(T ) не принадлежит S0(M,τ ). В следующем предложении устанавливается связь между ∗-алгебрами S0(M) и S0(M,τ ). Предложение 5.10. Пусть τ - точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана M. Тогда S0(M,τ ) ⊂ S0(M) и равенство S0(M,τ ) = S0(M) достигается в том и только в том случае, когда Pfin(M) = {P ∈ P(M) : τ (P ) < ∞}. Доказательство. Очевидно, что равенство Pfin(M) = {P ∈ P(M) : τ (P ) < ∞} влечет равенство S0(M) = S0(M,τ ). Всякий проектор P ∈ P(M), для которого τ (P ) < ∞, является конечным проектором. Поэтому S0(M,τ ) ⊂ S0(M), и неравенство Pfin(M) /= {P ∈ P(M) : τ (P ) < ∞} влечет существование такого проектора P0 ∈ Pfin(M), для которого τ (P0) = ∞. Это означает, что P0 ∈ S0(M) и P0 /∈ S0(M,τ ), т. е. S0(M) /= S0(M,τ ). 150 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ В ∗-АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ Если на алгебре фон Неймана M существует точный нормальный конечный след τ, ∗-алгебры LS(M), S(M) и S(M,τ ) совпадают, и естественной топологией, наделяющая эти ∗-алгебры структурой топологической ∗-алгебры, является топология сходимости по мере tτ , порожденная следом τ [35]. Если след τ является полуконечным, но не конечным, топология tτ рассматривается лишь в ∗-алгебре S(M,τ ) и относительно этой топологии S(M,τ ) является полной метризуемой ∗алгеброй [35]. Для полуконечных следов в работах [1, 2] А. М. Бикчентаева рассматривались и исследовались также свойства топологии τ -локальной сходимости по мере и топологии слабо τ локальной сходимости по мере. Однако, для алгебр фон Неймана M, не имеющих конечного типа, умножение не является непрерывным по совокупности переменных в этих топологиях. В связи с этим, в ∗-алгебре LS(M) рассматривается топология локальной сходимости по мере t(M), которая определяется для произвольной алгебры фон Неймана M [47]. Эта топология наделяет LS(M) структурой полной топологической ∗-алгебры (см. [47], [9, § 3.5]). Для каждого оператора T ∈ LSh(M) и для каждой функции f ∈ B(R) корректно определен локально измеримый оператор f (T ) ∈ LS(M) (см. пункт 2.5). Поэтому естественно рассматривать операторнозначную функцию T 1→ f (T ) из LSh(M) в LS(M) и исследовать условия ее непрерывности в топологии t(M) локальной сходимости по мере. Для случая M = B(H) = LS(M) и сильной операторной топологии эта задача была исследована И. Капланским [28], Р. Кадисоном [26] и Е. Девисом [21]. Случай ∗-алгебры S(M,τ ) и топологии tτ сходимости по мере этот вопрос был исследован О. Е. Тихоновым [16]. Ниже мы доказываем, что для {Tα}⊂ LSh(M), T ∈ LSh(M) и борелевской функции f, непреt(M) t(M) рывной на спектре σ(T ) оператора T, из сходимости Tα -→ T следует сходимость f (Tα) -→ f (T ). 1. Топология сходимости локально по мере. Пусть M - коммутативная алгебра фон Неймана. В силу теоремы 2.1 M ∗-изоморфна ∗-алгебре L∞(Ω, Σ, μ), где (Ω, Σ, μ) - пространство с локально конечной мерой μ. Рассмотрим ∗-алгебру LS(M) = S(M) = L0(Ω, Σ, μ) всех измеримых почти всюду конечных комплекснозначных функций, определенных на (Ω, Σ, μ) (функции, равные почти всюду, отождествляются). На L0(Ω, Σ, μ) определим топологию локальной сходимости по мере t(M) как хаусдорфову векторную топологию, базис окрестностей нуля которой образуют множества W (B, ε, δ) = {f ∈ L0(Ω, Σ, μ): существует множество E ∈ Σ такое что E ⊂ B, μ(B \\ E) δ, fχE ∈ L∞(Ω, Σ, μ), ±fχE ±L∞(Ω,Σ,μ) ε}, где ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞. M t( ) Сходимость сети {fα} к f в топологии t(M) (запись: fα -→ f ) означает, что fαχB -→ fχB по мере μ для каждого B ∈ Σ с μ(B) < ∞. Ясно, что топология t(M) не изменится, если заменить меру μ на эквивалентную ей меру. Пусть теперь M - произвольная алгебра фон Неймана, ϕ - ∗-изоморфизм из ее центра Z(M) на ∗-алгебру L∞(Ω, Σ, μ) и L+(Ω, Σ, m) - множество всех измеримых функций, определенных на (Ω, Σ, μ), значения которых лежат в полупрямой [0, +∞] (функции, равные почти всюду, отождествляются). Пусть d : P(M) → L+(Ω, Σ, μ) - размерностная функция на P(M). Для произвольных чисел ε, δ > 0 и произвольного множества B ∈ Σ, μ(B) < ∞ положим V (B, ε, δ) = {T ∈ LS(M): существуют такие P ∈ P(M), Z ∈ P(Z(M)), что TP ∈ M, ±TP ±M ε, ϕ(Z⊥) ∈ W (B, ε, δ), d(ZP ⊥) εϕ(Z)}. В [47] установлено, что система множеств {{T + V (B, ε, δ)}: T ∈ LS(M), ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞} (6.1) определяет в LS(M) хаусдорфову векторную топологию t(M), в которой множества (6.1) образуют базу окрестностей оператора T ∈ LS(M). Топология t(M) называется топологией сходимости локально по мере. Как уже отмечалось выше, (LS(M), t(M)) является полной топологической ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 151 ∗-алгеброй, при этом топология t(M) не зависит от выбора размерностной функции d и от выбора ∗-изоморфизма ϕ (см. [47], [9, § 3.5]). Приведем критерий сходимости сетей в топологии t(M). Предложение 6.1 ([9, § 3.5]). 1. Сеть {Pα}α∈A ⊂ P(M) сходится к нулю в топологии t(M) тогда и только тогда, когда существует сеть {Zα}α∈A ⊂ P(Z(M)) такая, что ZαPα ∈ Pfin(M) для любого α ∈ A, α ϕ(Z⊥) t(L0(Ω)) -→ 0, и d(ZαPα) t(L0(Ω)) -→ 0, где t(L0(Ω)) - топология локальной сходимости по мере на L0(Ω, Σ, μ), ϕ - ∗-изоморфизм из Z(M) на L∞ (Ω, Σ, μ). 2. Сеть {Tα}α∈A ⊂ LS(M) сходится к нулю в топологии t(M) тогда и только тогда, когда t(M) ⊥ ⊥ Eλ (|Tα|) -→ 0 для любого λ > 0, где {Eλ (|Tα|)} - спектральное семейство проекторов для оператора |Tα|. Как следует из предложения 6.1, топология t(M) индуцирует топологию t(Z(M)) на LS(Z(M)); следовательно, S(Z(M)) является замкнутой ∗-подалгеброй в (LS(M), t(M)). Ясно, что X · V (B, ε, δ) ⊂ V (B, ε, δ) для каждого X ∈M с ±X±M 1. Поскольку V ∗(B, ε, δ) ⊂ V (B, 2ε, δ) [9, § 3.5], то V (B, ε, δ) · Y ⊂ V (B, 4ε, δ) для каждого Y ∈ M, удовлетворяющего условию ±Y ±M 1. Следовательно, X · V (B, ε, δ) · Y ⊂ V (B, 4ε, δ) (6.2) для любых ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞, X, Y ∈ M, таких что ±X±M 1, ±Y ±M 1. Инволюция непрерывна в топологии t(M), и поэтому множество LSh(M) замкнуто в (LS(M), t(M)). Конус LS+(M) положительных элементов также является замкнутым в (LS(M), t(M)) [47]. Как следует из определения, сходимость сети {Tα}α∈J к оператору T в топологии t(M) означает, что для любых ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞, существует α0 = α(B, ε, δ) такое, что для любого α ) α0 найдутся такие проекторы P (α) ∈ P(M), Z(α) ∈ P(Z(M)), Z(α)P ⊥(α) ∈ Pfin(M), что ±(Tα - T )P (α)±M ε (6.3) и ϕ(Z⊥(α)) ∈ W (B, ε, δ), d(Z(α)P ⊥(α)) εϕ(Z(α)). Если вместо неравенства (6.3) имеет место неравенство ±P (α)(Tα - T )P (α)±M ε, (6.3∗) то говорят, что сеть {Tα}α∈J сходится к T двусторонне локально по мере. Двусторонняя сходимость локально по мере равносильна сходимости в векторной топологии LS(M), базу окрестностей нуля которой образуют множества U (B, ε, δ) = {T ∈ LS(M) : существуют такие P ∈ P(M),Z ∈ P(Z(M)), ZP ⊥ ∈ Pfin(M), такие что PTP ∈ M, ±PTP ±M ε, ϕ(Z⊥) ∈ W (B, ε, δ), d(ZP ⊥) εϕ(Z)}, где ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞. Из соотношения V (B, ε, δ) ⊂ U (B, ε, δ) ⊂ V (A, 2ε, δ), ε, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞ следует, что эта векторная топология совпадает с топологией t(M). Приведем критерий метризуемости топологии t(M) на LS(M). Предложение 6.2 ([9, теорема 3.5.2]). Топология сходимости локально по мере t(M) на LS(M) метризуема тогда и только тогда, когда центр Z(M) является σ-конечным. Отметим также следующее полезное свойство топологии сходимости локально по мере. 152 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Предложение 6.3 ([19, предложение 8]). Пусть {Zj }j∈J ⊂ P(Z(M)) - семейство ненулевых попарно ортогональных центральных проекторов такое, что sup Zj = I. Для {Tα}α∈A ⊂ j∈J LS(M), T ∈ LS(M) следующие условия эквивалентны: α -→ 1. T t(M) T ; j α -→ j ∈ 2. Z T t(M) Z T для всех j J ; t(Zj M) 3. Zj Tα -→ Zj T для всех j ∈ J. 2. Непрерывность операторнозначных функций. В этом пункте устанавливается непрерывность операторнозначной функции T 1→ f (T ) из LSh(M) в LS(M) относительно топологии сходимости локально по мере (см. [20]). α -→ Теорема 6.1. Пусть f ∈ B(R) - функция, непрерывная на спектре σ(T ) оператора T ∈ LSh(M). Если сеть операторов {Tα} ⊂ LSh(M) сходится к оператору T в топологии t(M), то f (T ) t(M) f (T ). Для доказательства теоремы 6.1 нам понадобятся несколько лемм. Прежде всего заметим, что из определения оператора f (T ) (см. пункт 2.5) следует, что Zf (T ) = f (ZT ) для любых f ∈ B(R), Z ∈ P(Z(M)) и T ∈ LSh(M). Поэтому согласно предложению 6.3 для доказательства теоремы 6.1 достаточно рассмотреть только случай σ-конечности центра Z(M) алгебры фон Неймана M. Следовательно, в силу предложения 6.2, нам нужно только проверить импликацию t(M) t(M) (Tn -→ T ) ⇒ (f (Tn) -→ f (T )). Лемма 6.1. Пусть Tk ,T ∈ LSh(M) и f, fn ∈ B(R) таковы, что lim sup |fn(t) - f (t)| = 0 и t(M) t(M) n→∞ t∈R fn(Tk ) -→ fn(T ) при k →∞ для каждого n ∈ N. Тогда f (Tk ) -→ f (T ) при k → ∞. Доказательство. Так как топология сходимости локально по мере t(M) и топология двусторонней сходимости локально по мере совпадают, достаточно показать, что для любых ε > 0, δ > 0, B ∈ Σ, μ(B) < ∞, существует такое K = K(B, ε, δ) ∈ N, что для любого k ) K существуют проекторы Pk ∈ P(M) и Zk ∈ P(Z(M)), такие, что Pk (f (Tk ) - f (T ))Pk ∈ M, ±Pk (f (Tk ) - f (T ))Pk ±M ε, ϕ(Z⊥) ∈ W (B, ε, δ), d(Zk P ⊥) εϕ(Zk ). k k Так как lim sup |fn(t) - f (t)| = 0, то существует номер n0 такой, что n→∞ t∈R ε sup |fn0 (t) - f (t)| < . t∈R 3 Это означает, что (fn0 (T ) - f (T )) ∈ M, (fn0 (Tk ) - f (Tk )) ∈ M, и o ε ±fn0 (T ) - f (T )±M < 3 и ±fn0 (Tk ) - f (Tk )±M < 3 для всех k ∈ N. t(M) Так как fn0 (Tk ) -→ fn0 (T ), то существует K = K(B, ε, δ) ∈ N такое, что для каждого k ) K существуют проекторы Pk ∈ P(M) и Zk ∈ P(Z(M)), для которых ε Pk (fn0 (Tk ) - fn0 (T ))Pk ∈ M, ±Pk (fn0 (Tk ) - fn0 (T ))Pk ±M 3 , o ε ϕ(Z⊥) ∈ W (B, 3 , δ), d(Zk P ⊥) 3 ϕ(Zk ). k k Так как f (Tk ) - f (T ) = [f (Tk ) - fn0 (Tk )]+ [fn0 (Tk ) - fn0 (T )] + [fn0 (T ) - f (T )], то в силу теоремы 3.3 существуют такие частично изометрические операторы U, V и W из алгебры фон Неймана M, что Pk |f (Tk ) - f (T )|Pk U Pk |f (Tk ) - fn0 (Tk )|Pk U ∗ + V Pk |fn0 (Tk ) - fn0 (T )|Pk V ∗+ +W Pk |fn0 (T ) - f (T )|Pk W ∗. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 153 Таким образом, имеют место включение Pk (f (Tk ) - f (T ))Pk ∈M и условия ε k ±Pk (f (Tk ) - f (T ))Pk ±M ε, ϕ(Z⊥) ∈ W (B, 3 , δ) ⊂ W (B, ε, δ), k d(Zk P ⊥) ε 3 ϕ(Zk ) εϕ(Zk ) для каждого k ) K. Это означает, что t(M) f (Tk ) -→ f (T ), k → ∞. t(M) t(M) Лемма 6.2. Если λ ∈ C \\ R, Tn,T ∈ LSh(M) и Tn -→ T, то (Tn - λI)-1 -→ (T - λI)-1. Доказательство. Операторы Tn и T - самосопряженные, и поэтому σ(T ) ⊂ R, σ(Tn) ⊂ R, и для любого λ ∈ C\\R существуют (Tn -λI)-1 и (T -λI)-1. Эти операторы являются значениями непрерывной операторнозначной функции f (t) = (t - λ)-1, t ∈ R, от операторов Tn и T соответственно. К тому же в силу предложения 5.1 имеем (Tn - λI)-1, (T - λI)-1 ∈ LS(M). Так как |f (t)| = 1 1 1 = , |t - Reλ - iImλ| получим, что (Tn - λI)-1, (T - λI)-1 ∈M и 1 (t - Reλ)2 + (Imλ)2 |Imλ| 1 Равенства M ±(Tn - λI)-1± |Imλ| M , ±(T - λI)-1± . |Imλ| (Tn - λI)-1 - (T - λI)-1 = (T - λI)-1[(T - λI) - (Tn - λI)](Tn - λI)-1 = = (T - λI)-1[T - Tn](Tn - λI)-1. n -→ и сходимость T t(M) T обеспечивают сходимость n - -→ - → ∞ (T λI)-1 t(M) (T λI)-1, n . Лемма 6.3. Пусть f - непрерывная функция на R такая, что f (z) → 0 при |z|→ +∞. Если t(M) t(M) Tn,T ∈ LSh(M) и Tn -→ T, то f (Tn) -→ f (T ). Доказательство. Если функция f (z) = p(z) - рациональная, где q(z) не имеет вещественных q(z) корней, то f (z) представима в виде суммы полинома r(z) и конечного числа слагаемых вида b t(M) ϕ(z) = (z - λ)k , b ∈ C, λ ∈ C \\ R. Так как Tn мость r(Tn) -→ T и (LS(M), t(M)) является топологической ∗-алгеброй, то имеет место сходи- M t( ) -→ r(T ). Непрерывность произведения относительно топологии t(M) и лемма 6.2 t(M) обеспечивают сходимость ϕ(Tn) -→ ϕ(T ). Следовательно, n -→ f (T ) t(M) f (T ). Если f ∈ B(R) - произвольная непрерывная функция, такая что f (z) → 0 при |z| → +∞, то pn(z) n / q существует последовательность рациональных функций fn(z) = n , для которых q (z) = 0 при (z) z ∈ R, и fn сходится равномерно к f на R. Тогда по лемме 6.1 мы получаем, что M t( ) f (Tn) -→ f (T ). 154 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Лемма 6.4. Если Tn,T ∈ LSh(M) и Tn -→ T, то E⊥(|Tn|) t(M) λ M t( ) -→ 0 при λ → +∞ равномерно по n, где {Eλ(|Tn|)}λ)0 - спектральное семейство проекторов для оператора |Tn|. n Доказательство. Обозначим S = T 2, Sn = T 2 и зафиксируем произвольную окрестность нуля V (B, ε, δ) в топологии t(M). Так как S ∈ LS(M), то в силу предложения 6.1 и предложения 3.11 t(M) λ имеем, что E⊥(S) λε -→ 0 при λ → +∞. Следовательно, существует такое λε > 1, что E⊥ (S) ∈ 2 ( ε δ \\ V B, , . 2 2 t(M) t(M) Из Tn -→ T следует, что Sn -→ S. Поэтому из предложения 6.1 имеем, что ⊥ M t( ) Eλ (|Sn - S|) -→ 0 o δ 2 λε при n →∞ для любого λ > 0. Следовательно, существует такое nε, что E⊥ (|Sn - S|) ∈ V (B, 2 , 2 ) для всех n ) nε. Обозначим Qλ = Eλ (|Sn - S|) ∧ Eλ (S). Из неравенств 2 2 λ λ λ получим, что - 2 Qλ Qλ(Sn - S)Qλ 2 Qλ, 0 QλSQλ 2 Qλ -λQλ Qλ(Sn - S)Qλ + QλSQλ = QλSnQλ = Qλ(Sn - S)Qλ + QλSQλ λQλ. Следовательно, QλSnQλ ∈ M и ±QλSnQλ±M λ. Это значит, что TnQλ ∈ M и ±TnQλ±M 1 λ 2 < λ при λ ) λε. Таким образом, в силу предложения 3.3 имеем E⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ λ (|Tn|) ;:) Qλ = Eλ (|Sn - S|) ∨ Eλ (S) Eλ (|Sn - S|) + Eλ (S) ∈ V (B, ε, δ). 2 2 2 2 для всех λ ) λε и n ) nε. Используя свойство размерностной функции d, мы получим d(E⊥(|Tn|)) d(Q⊥), откуда следует включение λ λ ⊥ Eλ (|Tn|) ∈ V (B, ε, δ) для λ ) λε и n ) nε. n ∈ h M ∈ n -→ Доказательство теоремы 6.1. Пусть T ,T LS ( ),n N, и T t(M) T. Покажем сначала, что если f - действительная непрерывная функция на R, то n -→ f (T ) t(M) f (T ). Зафиксируем произвольную окрестность нуля V (B, ε, δ) топологии t(M), где 0 < ε < 1. Тогда по ( ε δ \\ λ лемме 6.4 существует λV > 0 такое, что E⊥(|Tn|) ∈ V t(M) B, , 3 3 для любых λ ) λV и n ∈ N. λ Кроме того, в силу сходимости E⊥(|T |) -→ 0 при λ → +∞ можно выбрать число λV так, что ( ε δ \\ ⊥ Eλ (|T |) ∈ V B, , 3 3 для всех λ ) λV . Пусть g(t) - непрерывная действительная функция на R такая, что g(t) = f (t) при t ∈ [-λV , λV ] и g(t) → 0 при |t|→ +∞. Пусть ϕ(t) = f (t) - g(t). Так как f (Tn) - f (T ) = g(Tn) - g(T )+ ϕ(Tn) - ϕ(T ), то в силу теоремы 3.3 существуют частичные изометрии U, V, W ∈M такие, что |f (Tn) - f (T )| U |g(Tn) - g(T )|U ∗ + V |ϕ(Tn)|V ∗ + W |ϕ(T )|W ∗. (6.4) n -→ В силу леммы 6.3 имеем, что g(T ) t(M) g(T ). Следовательно, в силу включения (6.2) существует число nV такое, что ( ε δ \\ для всех n ) nV . U |g(Tn) - g(T )|U ∗ ∈ V B, , 3 3 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 155 Так как ϕ(t) = 0 при t ∈ [-λV , λV ], то ϕ(|T |) = ϕ(|T |(EλV (|T |)+ E⊥ (|T |)) = ϕ(|T |E⊥ (|T |)) = (ϕ(|T |))E⊥ (|T |). λV λV λV Из определения окрестности V (B, ε, δ) следует, что включение Q ∈ V (B, ε, δ) ∩ P(M) для 0 < ε < 1 влечет включение TQ ∈ V (B, ε, δ) для всех T ∈ LS(M). Отсюда, из включения ( ε δ \\ ( ε δ \\ ( ε δ \\ ⊥ EλV (|T |) ∈ V B, , 3 3 следует, что ϕ(|T |) ∈ V B, , 3 3 . Аналогично, ϕ(|Tn|) ∈ V B, , 3 3 для всех n ∈ N. Наконец, из неравенства (6.4), предложения 6.1 и включения (6.2) получаем, что M t( ) |f (Tn) - f (T )|∈ V (B, ε, δ) для всех n ) nV . Это означает, что f (Tn) -→ f (T ). Пусть теперь f - произвольная непрерывная функция на σ(T ) из B(R). Покажем, что и в этом случае n -→ f (T ) t(M) f (T ). Так как алгебраические операции в (LS(M), t(M)) непрерывны и f (S) = (Ref )(S)+˙ (i Imf )(S) для всех S ∈ LSh(M), без ограничения общности можно предположить, что f - действительная функция из B(R). Допустим сначала, что |f (t)| 1 для всех t ∈ R. Так как спектр σ(T ) оператора T замкнут в R, по теореме Титце-Урысона о продолжении (см., например, [22, теорема 4.5.1]), существует непрерывная функция g : R → [-1, +1] такая, что g(t) = f (t) для всех t ∈ σ(T ). Пусть ( 1 1 σn = t ∈ R : |f (t) - g(t)| ) 2n . Ясно, что σ(T ) ∩ σn = ∅ для любого n ∈ N. Так как функция g непрерывна на R, а функция f непрерывна на σ(T ), то σ(T ) ∩ σn = ∅. Для t ∈ R и A ⊂ R обозначим через ρ(t, A) = inf |t - a| расстояние от точки t до множества A. a∈A Рассмотрим следующую функцию: ∞ h(t) = \\"' n=0 2-nρ(t, σ(T )) . ρ(t, σ(T )) + ρ(t, σn) Так как расстояние ρ(t, A) есть непрерывная функция на R, то функция h(t) тоже непрерывна на R. Более того, ∞ 0 h(t) \\"' 2-n = 2, h(t) = 0 для всех t ∈ σ(T ) n=0 и g - h f g + h. Так как функции g(t) и h(t) непрерывны на R, по доказанному выше имеем, что n -→ h(T ) t(M) h(T ) = 0, n -→ g(T ) t(M) g(T ) = f (T ). Используя неравенство 0 f - g + h 2h, получим - n n -→ 0 (f g + h)(T ) 2h(T ) t(M) 0. - n -→ Следовательно, (f g + h)(T ) t(M) 0 и n - n n - n -→ f (T ) = (f g + h)(T )+ g(T ) h(T ) t(M) f (T ). Таким образом, теорема 6.1 доказана в случае, когда |f (t)| 1, t ∈ R. Пусть теперь условие |f (t)| 1, t ∈ R, не выполняется. Так как sup t∈[n,n+1] |f (t)| < ∞ для всех n ∈ N, 156 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН можно выбрать кусочно-линейную непрерывную функцию ϕ(t) на R так, чтобы ϕ(t) ) |f (t)| +1 для всех t ∈ R. Как было доказано выше, для функции f (t) ϕ(t) ( f \\ получим сходимость t(M) ( f \\ ϕ (Tn) -→ (T ). ϕ С другой стороны, из непрерывности функции ϕ следует, что n -→ ϕ(T ) t(M) ϕ(T ). Так как (LS(M), t(M)) - топологическая ∗-алгебра, получаем ( f \\ ( f \\ t(M) ( f \\ f (Tn) = ϕ · ϕ (Tn) = ϕ(Tn) ϕ (Tn) -→ ϕ(T ) · (T ) = f (T ). ϕ Таким образом, теорема 6.1 полностью доказана. Из теоремы 6.1 непосредственно вытекают два полезных следствия. t(M) Следствие 6.1. Если {Tα} - сеть операторов из LS(M), T ∈ LS(M) и Tα -→ T, то t(M) |Tα|p -→ |T |p для всех p > 0. Доказательство. Так как (LS(M), t(M)) - топологическая ∗-алгебра, то |Tα|2 = T ∗Tα -→ T ∗T = |T |2. t(M) α Используя теорему 6.1 для непрерывной функции f (t) = |t|p/2, получим, что |Tα|p всех p > 0. t(M) -→ |T |p для Обозначим через {Eλ(T )}λ∈R спектральное семейство проекторов оператора T ∈ LSh(M). Так как Eλ(T ) = ϕλ(T ), где ϕλ(t) = 1 при t λ и ϕλ(t) = 0 при t > λ, то из теоремы 6.1 получаем следующее Следствие 6.2. Если λ не принадлежит спектру оператора T ∈ LSh(M), {Tα} - сеть таких t(M) t(M) операторов из LSh(M), что Tα -→ T, то Eλ(Tα) -→ Eλ(T ). 7. МАКСИМАЛЬНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ∗-ПОДАЛГЕБРЫ В АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ Пусть M - произвольная алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H. Для каждого подмножества A⊂ LS(M) обозначим через A∗ коммутант подмножества A в алгебре LS(M): A∗ = {T ∈ LS(M) : TS = ST для любого S ∈ A}. Поскольку (LS(M), t(M)) - топологическая ∗-алгебра, то коммутант A∗ произвольного подмножества A всегда замкнут в топологии сходимости локально по мере t(M). Если M = B(H), то LS(M) = M и топология t(M) совпадает с равномерной топологией на B(H). Поэтому в этой ситуации существуют замкнутые в топологии t(M) коммутативные ∗-подалгебры A в LS(M), самосопряженные части которых Ah = {T ∈ A : T ∗ = T } не являются векторными решетками относительно частичного порядка, индуцированного из LS(M)h. Ниже будет показано, что для максимальных коммутативных ∗-подалгебр A в LS(M) линейное пространство Ah всегда является условно полной векторной решеткой относительно частичного порядка, индуцированного из LSh(M). Следующее предложение устанавливает совпадение максимальной коммутативной ∗-подалгебры в LS(M) со своим коммутантом. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 157 Предложение 7.1. Если A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), то A = A∗, в частности, A = A∗∗. Доказательство. Пусть A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M). Если T ∈ A∗, T = ReT + iImT, где ReT, ImT ∈ LS(M)h, то из TS = ST, S ∈ A, следует, что S∗T ∗ = T ∗S∗. Так как A - ∗-алгебра, то S ∈ A ⇔ S∗ ∈ A. Поэтому T ∗S = ST ∗ для всех S ∈ A, т. е. T ∗ ∈ A∗. Следовательно, ReT = T + T ∗ ∗ и ImT = T - T ∗ ∗. 2 ∈A 2i ∈A Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что из T ∈ A∗, T = T ∗, следует, что T ∈ A. Если T ∗ = T ∈ A∗, то множество ( n B = \\"' αk Sk T k : αk ∈ C, Sk ∈ A,k = 0, 1, 2,..., n, n ∈ N k=0 является коммутативной ∗-подалгеброй в LS(M), которая содержит A и T. В силу максимальности коммутативной ∗-подалгебры A, получим, что A = B, т. е. T ∈ A и значит, A∗ ⊂ A ⊂ A∗. Таким образом, A = A∗, и потому A = A∗∗. Пусть T = T ∗ ∈ LS(M). Рассмотрим борелевскую функцию f ∈ B(R), задаваемую равенством λ - i f (λ) = λ + i , и положим UT = f (T ) = (T - iI)(T + iI)-1. Оператор UT называется преобразованием Кэли оператора T (см. [12, глава VIII, § 3.123]). Так как |f (λ)| = 1, то UT - унитарный оператор из M. Предложение 7.2. Если T = T ∗ ∈ LS(M), S ∈ LS(M), то TS = ST ⇐⇒ UT S = SUT . Если при этом S = S∗, то TS = ST ⇐⇒ UT US = US UT . Доказательство. Функция g(λ) = (λ + i)-1, λ ∈ R, принадлежит B(R). Поэтому согласно предложению 5.1 имеем X = g(T ) ∈ LS(M) и в силу теоремы 2.5 (T + iI)X = (T + iI)(T + iI)-1 = I и X(T + iI) = (T + iI)-1(T + iI) = I, т. е. X = (T + iI)-1 - обратный элемент к (T + iI) в алгебре LS(M). Если TS = ST, то (T + iI)S = S(T + iI) и поэтому (T + iI)-1S = XS = SX = S(T + iI)-1. Отсюда получаем, что UT S = (T - iI)(T + iI)-1S = S(T - iI)(T + iI)-1 = SUT . Отсюда, в частности, следует, что если S = S∗, то UT US = US UT . Докажем противоположную импликацию. Пусть UT S = SUT . Так как λ = i то, в силу теоремы 2.5, имеем, что ( λ - i \\( 1+ λ + i 1 - - λ i \\-1 , λ + i T = i(I + UT )(I - UT )-1. Поскольку (I - UT )-1S = S(I - UT )-1, то TS = ST. Наконец, если UT US = US UT и при этом S = S∗, то в силу доказанного выше, UT S = SUT , и, следовательно, TS = ST. Теорема 7.1. Если A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), то Ab = A ∩ M является коммутативной подалгеброй фон Неймана в M. 158 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН Доказательство. Очевидно, что Ab есть ∗-подалгебра в M. Если T = T ∗ ∈ A, то TS = ST для всех S ∈ A, и поэтому, согласно утверждению 7.2, UT S = SUT для всех S ∈ A, т. е., в силу предложения 7.1, UT ∈ A∗ ∩M = A∩ M, откуда UT ∈ Ab. Пусть A ∈ M и AD = DA для всех D ∈ A. Тогда AUT = UT A для всех T = T ∗ ∈ A и потому AT = TA (предложение 7.2). Так как A - ∗-алгебра, то каждый элемент X ∈ M имеет вид X = ReX + iImT, где ReX ∈ Ah, ImT ∈ Ah. Следовательно, AX = XA для всех X ∈ A, т. е. A ∈ A∗ = A (предложение 7.1). Таким образом, A ∈ A∩M = Ab. Так как Ab ⊂ M, то Отсюда (Ab) ∗ B(H) B(H) = {D ∈ B(H): AD = DA для всех A ∈ Ab}⊇ (M)∗ . M = ((M)∗ )∗ ⊇ ((Ab)∗ )∗ = (Ab)∗∗ . B(H) B(H) B(H) B(H) B(H) ∈ Ab Поэтому, если A ( )∗∗ B(H) B(H) , то A ∈ M и AD = DA для всех D ∈ (Ab)∗ . Но алгебра Ab - B(H) коммутативная. Следовательно, Ab ⊂ (Ab)∗ и в силу доказанного выше, получим, что A ∈ Ab. Ab Ab Следовательно, = ( )∗∗ B(H) , т. е. Ab - коммутативная подалгебра фон Неймана в M. Пусть A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), Ab = A∩ M. В силу теоремы 7.1, Ab - коммутативная алгебра фон Неймана, действующая в том же гильбертовом пространстве H, что и алгебра фон Неймана M. В частности, Ab - конечная алгебра фон Неймана, и потому LS(Ab) = S(Ab) (см. следствие 3.4). Пусть T ∈ Ah, Eλ = χ(-∞,λ)(T ), λ ∈ R. Согласно предложению 2.5, если A ∈ M и TA = AT, то EλA = AEλ для всех λ ∈ R. В силу предложения 7.2 получим, что если S∗ = S ∈ A∗, то EλUS = US Eλ, откуда следует, что EλS = SEλ для любого S ∈ A∗, т. е. Eλ ∈ A∗∗ = A для всех λ ∈ R. Таким образом, получено следующее предложение. Предложение 7.3. Если T ∈ Ah, где A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), то Eλ = χ(-∞,λ)(T ) ∈ Ab для всех λ ∈ R. Теорема 7.2. Пусть A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M). Тогда A - заполненная ∗-подалгебра в S(Ab). Доказательство. Пусть T ∈ Ah, Eλ = χ(-∞,λ)(T ), λ ∈ R. Для каждого ξ ∈ H положим Tnξ = n+0 ( λdEλξ. Операторы Tn, n = 1, 2,... принадлежат Ab и являются самосопряженными. Обозначим -n -n Qn = EnE⊥ . Тогда для всех n = 1, 2,... и m > n TnQn = QnTn = Tn и TmQn = TnQn = Tn. ∞ Так как Qn ↑ I, то D = n=1 Qn(H) плотно в H. Для каждого ξ ∈ D положим T0ξ = Tnξ, где n - такой номер, что ξ ∈ Qn(H). Оператор T0 определен корректно, является линейным и удовлетворяет условию (T0ξ, ξ) = (Tnξ, ξ) = (ξ, Tnξ) = (ξ, T0ξ) для каждого ξ ∈ Qn(H), т. е. оператор T0 является симметрическим. b Если U - унитарный оператор из A∗ и ξ ∈ Qn(H), то Uξ = UQnξ = QnUξ ∈ Qn(H) ⊂ D(T0) = D и UT0ξ = UTnξ = TnUξ = T0Uξ. Это означает, что T0 η Ab и, согласно предложению 3.1, оператор T = T0 η Ab. Так как Ab - конечная алгебра фон Неймана и Qn ↑ I, то линейное подпространство D сильно плотно в H. Поэтому, в силу следствия 3.1 и утверждения 3.5, оператор T ∈ Sh(Ab). Если ξ ∈ D, ζ ∈ H, и n - такой номер, что ξ ∈ Qn(H), то (Eλξ, ζ) = 0 для λ -n и (Eλξ, ζ) = (Enξ, ζ) для λ ) n. Поэтому (T ξ, ζ) = (T0ξ, ζ) = (Tnξ, ζ) = n+0 r λdEξ,ζ (λ) = +∞ r λdEξ,ζ (λ). -n -∞ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗМЕРИМЫХ И ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 159 n Из представления T = T+ - T-, T+, T- ∈ LS+(M) и предложения 3.11 следует, что существует такая последовательность центральных проекторов Zn ∈ M, что Zn ↑ I и ZnQ⊥ - конечный проектор. Это означает, что D - локально измеримо относительно M. Заметим, что для любого унитарного оператора U ∈ M∗ имеем, что EλU = UEλ, и поэтому U (D) ⊂ D, т. е. DηM. Из предложения 3.13 вытекает, что Это означает, что T ∈ S(Ab). T = T |D = T0 = T . Таким образом, для любого оператора T ∈ Ah существует локально измеримое относительно M подпространство D ⊂ D(T ) такое, что T = T |D и D сильно плотно относительно алгебры фон Неймана Ab. Если T ∈A - произвольный, то T = Re T + iIm T, Re T, Im T ∈ Ah ⊂ Sh(Ab). Пусть D1 и D2 - локально измеримые относительно M подпространства такие, что Re T = Re T |D, Im T = Im T |D, и D1 и D2 сильно плотны относительно Ab. Тогда D1 ∩ D2 локально измеримо относительно M и сильно плотно относительно Ab. Из предложений 3.6 и 3.13 имеем, что Re T = Re T |D1∩D2 , Im T = Im T |D1∩D2 ∈ S(Ab), и T = T |D1∩D2 = Re T |D1∩D2 + i Im T |D1∩D2 ∈ S(Ab). Аналогично показывается, что если T, S ∈ A, то сумма T + S в A совпадает с суммой T + S в S(Ab). Так как инволюция определяется независимо от M и Ab, то T ∗ ∈ S(A) есть сопряженный оператор к T в S(Ab). С помощью предложения 3.6 и 3.13 аналогично показывается, что если T, S ∈ A, то произведение T · S в A есть произведение T · S в S(Ab). Таким образом, A - ∗-подалгебра в S(Ab). n Покажем теперь, что A - заполненная ∗-подалгебра в S(Ab). Если 0 T S ∈ Ab, T ∈ S(Ab), то ±T ±Ab ±S±Ab < ∞, т. е. T ∈ Ab. Пусть теперь S ∈ A и Eλ = χ(-∞,λ)(S). Согласно предложению 3.11, существует такая последовательность центральных проекторов Zn ∈ M, что Zn ↑ I и ZnE⊥ - конечный проектор относительно M для всех n. Так как A - максимальная в LS(M ), то Z(M) ⊂ Ab, в частности, {Zn}⊂ Ab. Из предложения 3.14 следует, что 0 ZnEn+mTEn+m ZnEn+mSEn+m (n + m)ZnEn+m, т. е. √ √ " TZnEn+m±Ab n + m < n + m. n+m Из предложения 3.3 следует, что G⊥ ∼ E ⊥ n+m , где Gm = χ (∞,m) (√TZn). В частности, ZnG ⊥ n+m n+m ∼ ZnE⊥ n+m , и поэтому ZnG⊥ - конечный проектор для любого m. Так как ZnGm+m ↑ Zn при m → ∞, то √TZn - измеримый относительно M оператор для любого n = 1, 2,.... Из предложения 3.11 следует, что √T ∈ LS(M). Поэтому T = √T · √T ∈ LS(M). Следовательно, A - заполненная ∗-подалгебра в S(Ab). Так как Ab - коммутативная алгебра фон Неймана, то в силу следствия 3.3 S(Ab) отождествляется с S(Ω, Σ, μ) для соответствующего пространства с локально конечной мерой. Следовательно, если A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), то A отождествляется с заполненной ∗-подалгеброй в S(Ω, Σ, μ). Отсюда, в частности, вытекает Теорема 7.3. Если A - максимальная коммутативная ∗-подалгебра в LS(M), то Ah - условно полная векторная решетка относительно частичного порядка, индуцированного из LSh(M). При этом, если M - конечная алгебра фон Неймана, то Ah - расширенная условно полная векторная решетка. Доказательство. Если T ∈ A и T ) 0, то (Tξ, ξ) ) 0 для всех ξ ∈ D(T ). Это определение не зависит от M и Ab. Следовательно, T ∈ A+ ⇐⇒ T ∈ S(Ab) и T ) 0 в S(Ab). 160 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН таким образом, частичный порядок из Sh(Ab) индуцирует исходный частичный порядок в Ah. Пусть T, S ∈ Ah ⊂ Sh(Ab) = Sh(Ω, Σ, μ). Тогда T+ = T · (χ(-∞,0)(T ))⊥ ∈ Ah и T+ = T ∨ 0 в Sh(Ω, Σ, μ), т. е. T ∨ 0 ∈ Ah. Аналогично, T- = (-T ) ∨ 0 ∈ Ah и |T | = T+ - T- ∈ Ah. Отсюда T ∨ S = ((T - S) ∨ 0) + S ∈ Ah и T ∧ S = (T + S) - T ∨ S ∈ Ah. Следовательно, Ah - векторная решетка. Пусть B ⊂ Ah и S T ∈ Ah для любого S ∈ B. Тогда в S(Ab) существует точная верхняя грань sup B T. Поскольку A - заполненная подалгебра в S(Ab) (теорема 7.2), то sup B ∈ Ah. Это означает, что Ah - условно полная векторная решетка. Покажем теперь, что Ah - расширенная условно полная векторная решетка, т. е. любое семейство {Tj }j∈J положительных попарно дизъюнктных элементов из Ah имеет точную верхнюю грань в Ah. Поскольку проекторы {s(Tj )}j∈J попарно ортогональны и M - конечная алгебра фон Неймана, то существует такой измеримый оператор T ∈ S(M) = LS(M), что Ts(Tj ) = Tj для всех j ∈ J и s(T ) = sup s(Tj ), в частности, Tj T для всех j ∈ J. Так как {Tj }j∈J ⊂ Ah, то j∈J TS = ST для всех S ∈ A, т. е. T ∈ A∗ = A. Если S ∈ Ah и Tj S для всех j ∈ J, то T S, что влечет равенство T = sup Tj . j∈J Следует отметить, что в случае не конечных алгебр фон Неймана свойство расширенности векторных решеток Ah для максимальных коммутативных ∗-подалгебр A в LS(M), вообще говоря, не выполняется. Более точно, верна следующая Теорема 7.4. Если для любой максимальной коммутативной ∗-подалгебры A в LS(M) векторная решетка Ah является расширенной, то M - конечная алгебра фон Неймана.