Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения и их приложения

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Данная работа является изложением доклада авторов на международной конференции в Ростове-на-Дону [17], а также соответствующей лекции, прочитанной в Крымской осенней математической школе (Ласпи-Батилиман) [18]. Исходным толчком для авторов заняться исследованием краевых и спектральных задач в липшицевых областях, а также соответствующих задач сопряжения, стали работы М. С. Аграновича (см. [2, 3, 28]) и его лекции в ежегодной Крымской осенней математической школе. С другой стороны, многочисленные приложения, в частности, в задачах гидродинамики (колебания жидкости в частично заполненном сосуде, колебания жидкого топлива в баке космической ракеты), которыми много лет занимался первый из авторов статьи Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 67 68 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ (см. [4, 5, 16, 30-32]), требовали детального рассмотрения краевых задач в негладких, в частности, в липшицевых областях. Наконец, общие подходы, которые применялись при исследовании этих проблем, побуждали рассматривать их на базе абстрактной формулы Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа) и теории слабых (вариационных) решений краевых задач. Отсюда возник интерес к развитию теории абстрактной формулы Грина. Сначала первый автор данной статьи считал, что первый вариант абстрактной формулы Грина был выведен в монографии [16, c. 119], и этот вывод принадлежит С. Г. Крейну. Однако позже выяснилось, что еще раньше один из вариантов такой формулы доказал Ж.-П. Обэн (см. [22, гл. 6], а также [29]). Далее, в монографии Р. Шоуволтера [35] существенно использовалась абстрактная формула Грина в форме Ж.-П. Обэна без ссылки на [22] или [29]. Дальнейшее исследование в этом направлении, а также применение этой теории в приложениях, отражено, в частности, в работах [6-8, 11-13, 23-25, 36, 37]. Данная статья посвящена разработке общего подхода к изучению абстрактных смешанных краевых и спектральных задач сопряжения, а также применению этого подхода к различным конфигурациям пристыкованных областей в задачах сопряжения с использованием обобщенной формулы Грина в основном для оператора Лапласа. Другие аналогичные задачи математической физики, гидродинамики, теории упругости и т. д. исследуются по этой предлагаемой общей схеме. В первом разделе излагаются без доказательств теоремы о существовании абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа, а также аналогичные факты для абстрактных смешанных краевых задач. Приводятся формулировки обобщенной формулы Грина на основе оператора Лапласа. Во втором разделе приводится общая схема рассмотрения абстрактных краевых задач сопряжения на примере конфигурации пристыкованных областей, которую авторы для простоты называют «дважды разрезанный банан» (см. рис. 2.1). В третьем разделе эта схема реализуется для этой конфигурации и оператора Лапласа. Далее рассматривается другой пример трех областей, когда две области вложены в третью и расстояние между частями этих границ положительно (рис. 3.1). Здесь общие рассмотрения, связанные с оснащением гильбертовых пространств на границах, упрощаются. Наконец, изучается еще один пример, когда имеется лишь одна область, граница которой гомеоморфна сфере с тремя разрезанными ручками, а на границах разреза задаются условия сопряжения. Четвертый раздел посвящен изучению спектральных проблем для смешанных краевых задач в одной области, а также аналогичных спектральных задач сопряжения. Здесь установлено, что как для одной области, граница которой разбита на четыре липшицевых куска с различными условиями на этих кусках, так и для двух пристыкованных областей, границы которых в общей сложности разбиты на 15 липшицевых кусков, исходные спектральные проблемы математической физики приводятся к исследованию одного и того же операторного пучка (см. (4.17), (4.18), а также (4.31), (4.32)) с самосопряженными операторными коэффициентами, являющегося операторфункцией двух комплексных параметров, один из которых считают фиксированным, а другой - спектральным. Частными случаями такой задачи являются спектральные проблемы, возникающие при исследовании нормальных колебаний вязкой жидкости (пучок Крейна), задач конвекции (см. [32]), задач дифракции (см. [28]) и других. Авторы благодарят М. С. Аграновича за многочисленные обсуждения данного круга проблем и полезные советы. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00066, выполняемый в Воронежском госуниверситете). 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и оператора следа. Приведем сначала необходимые сведения, которые будут далее использоваться в работе. Доказательства соответствующих утверждений можно найти в [14]. Пусть {E, (·, ·)E }, {F, (·, ·)F } и {G, (·, ·)G} - сепарабельные гильбертовы пространства с введенными в них скалярными произведениями. Будем считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 69 1◦. Пространство F плотно вложено в E (обозначение F '→ E), т. е. F плотно в E и u E :: a u F , a > 0, ∀u ∈ F. Иными словами, пространства F и E с указанными свойствами образуют гильбертову пару (F ; E). 2◦. На F задан оператор γ, называемый (абстрактным) оператором следа и ограниченно действующий из F в G, причем γ отображает F на плотное множество R(γ) =: G+ ⊂ G: γ : F → G+ '→ G, γu G :: b u F , b > 0, ∀u ∈ F. 3◦. Ядро оператора γ, т. е. ker γ =: N, плотно вложено в E: N '→ E, u E :: c u F , c > 0, ∀u ∈ N. Теорема 1.1. Пусть для тройки гильбертовых пространств E, F, G (с введенными на них скалярными произведениями) и для оператора следа γ выполнены условия 1◦-3◦. Тогда существует абстрактное дифференциальное выражение Lu ∈ F ∗ и абстрактная производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа) (η, u)F = ⊕η, Lu)E + ⊕γη, ∂u)G ∀η, u ∈ F. (1.1) При этом ∂u по элементам u ∈ F и Lu ∈ F ∗ определяются однозначно. Замечание 1.1. При доказательстве этой теоремы (см. [14]) дифференциальное выражение Lu и производная ∂u строятся неоднозначно. Именно, их сужения на подпространство M = F 8 N определяются однозначно, а сужения на N связаны линейной связью. Однако в приложениях, в частности, в задачах математической физики, конкретный вид дифференциального выражения Lu определяется однозначно, исходя из исследуемого физического процесса. Поэтому далее будем считать, что выражение для Lu ∈ F ∗ в формуле Грина (1.1) задано, а потому однозначно определено и ∂u ∈ (G+)∗. В связи с этим все дальнейшие построения будут проводиться на базе выбранной формулы Грина. Отметим еще, что уже в классической работе [21] указывалось, что краевые задачи Дирихле, Неймана и др. следует изучать относительно выбранной формула Грина, а неоднозначность выбора дифференциального выражения Lu подробно обсуждалось в [33], а также в [1]. Замечание 1.2. Типичным примером, когда выполнены условия 1◦-3◦, является тройка пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, Ω ⊂ Rm, с введенными на них стандартными нормами и обычным оператором следа: γu := u|Γ, ∀u ∈ H1(Ω). (1.2) При этом область Ω имеет липшицеву границу Γ = ∂Ω. В этом случае имеем три пары гильбертовых пространств 0 H1(Ω) '→'→ L2(Ω), H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ), N := H1(Ω) '→'→ L2(Ω), (1.3) причем вложения в (1.3) компактные. Отметим еще, что в этом примере имеет место свойство (H1/2(Γ))∗ = H-1/2(Γ), (1.4) см., например, [33, с. 98], [26, с. 149]. Теорема 1.2. Для тройки пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω и оператора следа γ (см. (1.2)) имеет место следующая обобщенная формула Грина для оператора Лапласа: r ∂u (∇η · ∇u + ηu)dΩ =: (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - Δu)L2(Ω) + ⊕γη, ∂n )L2(Γ), ∀η, u ∈ H Ω 1(Ω), (1.5) ∂u u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, ∂n Γ ∈ H-1/2(Γ). (Здесь, как и в (1.1), символом ⊕η, v)E обозначается значение функционала v ∈ F ∗ на элементе η ∈ F, аналогичный смысл имеют другие выражения с косыми скобками.) 70 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Другие примеры обобщенных формул Грина для равномерно эллиптического дифференциального выражения, для систем линейных эллиптических уравнений, для уравнений линейной теории упругости приведены в работе [14, п. 1.3]. 2. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач. В математической физике часто рассматривают такие краевые задачи, когда на одной части границы Γ = ∂Ω области Ω ⊂ Rm задают краевое условие Дирихле, на другой - условие Неймана, а на третьей - так называемое третье краевое условие, или условие Ньютона. Задачи подобного вида называют смешанными. Для таких задач функционал, связанный с Γ = ∂Ω и фигурирующий в формуле Грина (1.5), естественно разбить на части, отвечающие тому или иному краевому условию. Переходя к рассмотрению этой проблемы в абстрактной форме, приходим к выводу, что в формуле (1.1) желательно выражение ⊕γη, ∂u)G заменить при определенных дополнительных условиях l на выражение ), ⊕γkη, ∂ku)Gk , где γkη - абстрактный аналог следа элемента η ∈ F на части Γk k=1 границы Γ, а ∂ku - соответствующий аналог производной по внешней нормали на этой части границы. Предположим, что для тройки пространств E, F, G и оператора γ выполнены условия 1◦-3◦ пункта 1.1, а также следующие условия. 4◦. Имеет место ортогональное разложение и оснащения: l G = Gk, ∃(G+)k, (G+)∗ : (G+)k '→ Gk '→ (G+)∗ , k = 1, l. k k k=1 5◦. В пространстве G+ действуют прямые ограниченные проекторы l pk : G+ → (---G+)k , pk = I+, (1.6) k=1 причем pk = ωkρk, k = 1, l, где ρk : G+ → (G+)k - абстрактный оператор сужения на часть границы, а ωk : (G+)k → (---G+)k - абстрактный оператор продолжения нулем из (G+)k на будем предполагать, что (---G+)k ⊂ G+. Кроме того, ρkωk = (I+)k, k = 1, l. (1.7) Требуется также, чтобы ρk и ωk были ограниченными операторами, а потому и pk = ωkρk - ограничены. Теорема 1.3. Пусть для тройки пространств E, F, G и оператора следа γ выполнены условия 1◦-3◦ пункта 1.1, а также условия 4◦ и 5◦. Тогда имеет место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в следующем виде: q k (η, u)F = ⊕η, Lu)E + ⊕γkη, ∂ku)G k=1 ∀η, u ∈ F, γkη := ρkγη ∈ (G+)k, ∂ku := ω∗∂u ∈ (G+)∗ , k = 1, l. k k Здесь γk - абстрактный оператор следа на часть границы области, а ∂k - абстрактный оператор производной по внешней нормали, действующий на этой части границы. Для иллюстрации свойств 4◦ и 5◦ вернемся к рассмотрению примера из замечания 1.2, т. е. тройке пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω и оператора следа (1.2). Будем считать, что липшицева граница Γ области Ω ⊂ Rm неодносвязна и состоит из трех частей: внешней границы Γ1 и двух внутренних границ Γ2 и Γ3, причем все Γk, k = 1, 3, находятся на положительном расстоянии друг от друга. Тогда, очевидно, 3 k=1 L2(Γ) = L2(Γk ), H1/2(Γ) = (+)3 H1/2(Γk ), k=1 АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 71 и так же, как и для односвязной области (см. (1.4)), имеют место соотношения (H1/2(Γk ))∗ = H-1/2(Γk ), k = 1, 3. Отсюда следует, что для этого примера имеют место свойства 4◦. Переходя к рассмотрению свойств 5◦, введем для любого ϕ = (ϕ1; ϕ2; ϕ3) ∈ H1/2(Γ) операторы ρkϕ := ϕk := ϕ|Γk , k = 1, 3. Введем также операторы ωk продолжения нулем на оставшуюся часть границы: ωkϕk := (ϕk ; 0; 0), k = 1, 3. Исходя из определения нормы в пространстве H1/2(Γ), можно проверить (см. [14, с. 92-94]), что ρk : H1/2(Γ) → H1/2(Γk ) - ограниченный оператор с нормой, не превышающей единицы, а ωk : H1/2(Γk ) → H1/2(Γ) - при условии dist(Γk, Γj ) ;?: d > 0 - также ограничен. Кроме того, очевидно, что для ωk и ρk выполнено свойство (1.7), т. е. ρkωk - единичный оператор в H1/2(Γk ). Отсюда следует, что pk = ωkρk, k = 1, 3, является ограниченным проектором: pk : H1/2(Γ) → H---1/2(Γk ), где H---1/2(Γk ) - подпространство в H1/2(Γ), у которого ненулевые элементы имеются лишь на Γk, k = 1, 3. Эти факты показывают, что в разбираемом примере выполнены также свойства 5◦, сформулированные выше (см. (1.6)-(1.7)). Опираясь на разобранный пример, а также теорему 1.3, сформулируем следующий вывод. Теорема 1.4. Пусть для тройки пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω, Ω ∈ Rm и оператора следа γ (см. (1.2)), липшицева граница Γ неодносвязна и разбита на части Γk, k = 1, l, находящиеся на положительном расстоянии друг от друга, т. е. dist(Γk, Γj ) ;?: d > 0, k, j = 1, l, k /= j. Тогда имеет место следующая обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач: (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - D.u)L2(Ω) + l k=1 ⊕γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀ η, u ∈ H 1(Ω), (1.8) γkη := η |Γk ∈ H 1/2 k k ∂n (Γ ), ∂ u = ∂u Γk ∈ H-1/2 (Γk ), k = 1, l. (1.9) 3. Случай примыкающих друг к другу областей. Будем теперь считать, в отличие от примера, рассмотренного в п. 1.2, что липшицева граница Γ области Ω ∈ Rm односвязна. Разобьем ее на односвязные открытые части Γk, k = 1, l, с липшицевыми границами ∂Γk. Такое разбиение называют разбиением на липшицевы куски. Как известно, функции ϕk ∈ H1/2(Γk ) не всегда продолжимы нулем на всю Γ в классе H1/2(Γ) (см. [21, с. 78], а также [9, с. 116-117]). Введем важные понятия, связанные с этим обстоятельством. Пусть r(x), x ∈ Γk, - гладкая функция в Γk, строго положительная в Γk, положительно определенная вне некоторой окрестности границы ∂Γk, а в окрестности этой границы эквивалентная (в смысле двусторонних оценок) расстоянию от точки x ∈ Γk до ∂Γk. 0 Обозначим через H s(Γk ), |s| :: 1, множество (линеал), состоящее из (обобщенных) функций с носителем в Γk. Как указано в [1, с. 76], H s(Γk ) - это пополнение множества функций из C∞(Γk ), для которых имеется продолжение нулем вне Γk в классе Hs(Γ). Лемма 1.1. Справедливо соотношение H 1/2(Γk ) = {ϕ ∈ H1/2(Γk ) : r-1/2ϕ ∈ L2(Γk )}. При этом следующая норма эквивалентна стандартной норме (которая наследуется из H1/2(Γ)) на классе H 1/2(Γk ): ϕ 2 = ϕ 2 L (Γ ) + r-1/2ϕ 2 . H 1/2(Γk ) H1/2(Γk ) 2 k Лемма 1.2. При любом s ∈ R, |s| :: 1, пространства тельно спаривания в L2(Γk ). В частности, H s(Γk ) и H-s(Γk ) дуальны относи- (H 1/2(Γk ))∗ = H-1/2(Γk ), (H1/2(Γk ))∗ = H -1/2(Γk ), k = 1, l. (1.10) 72 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Как хорошо известно, пространство H1(Ω) со стандартной нормой (см. (1.5)) имеет ортогональное разложение, которое называют разложением Вейля: H1(Ω) = H1(Ω) ⊕ H1(Ω), (1.11) 0 h H1 1 1 1 0 (Ω) = {u ∈ H (Ω) : γu = 0}, Hh (Ω) := {v ∈ H (Ω) : v - Δv = 0}. (1.12) h Для простоты H1(Ω) будем называть подпространством гармонических элементов из H1(Ω). При исследовании линейных смешанных краевых задач, содержащих заданные функции как в уравнениях, так и в краевых условиях на разных частях границы, естественно решения таких задач разыскивать в виде суперпозиции решений вспомогательных краевых задач, в которых заданные функции (неоднородности) содержатся лишь в одном месте, т. е. в уравнении либо в одном из краевых условий. В связи с этим при использовании обобщенных формул Грина вида (1.8) следует выделять такие множества (подпространства) из H1(Ω), для которых указанное свойство суперпозиции имеет место. Переходя к рассмотрению этого подхода, введем следующие классы функций: H 1/2(Γ) := {ϕ ∈ H1/2(Γ) : ρkϕ ∈ H 1/2(Γk ), k = 1, l}⊂ H1/2(Γ), (1.13) H 1(Ω) := H1(Ω) ⊕ {(+)l H1 (Ω)}⊂ H1(Ω), (1.14) 0 H1 1 k=1 h,Γk h,Γk (Ω) := {u ∈ Hh (Ω) : γu = 0 на Γ\\Γk } = ker((I+ - ρk )γ), k = 1, l. (1.15) Определение 1.1. Назовем след γu элемента u ∈ H1(Ω) регулярным следом первого типа по отношению к разбиению Γ = ∂Ω на липшицевы куски Γk, k = 1, l, если для любого k выполнено γku = ρkγu ∈ H 1/2(Γk ), т. е. элемент продолжи´ м нулем на всю Γ в классе H1/2(Γ). h Нетрудно видеть, учитывая свойства (1.10), что регулярным следом первого типа обладают слабые решения w ∈ H1(Ω) смешанной краевой задачи w - Δw = 0 (в Ω), w = 0 (на Γ\\Γk ), ∂w ∂n Γk = ψk ∈ H- 1/2 (Γk ). Отметим еще, что, согласно определениям (1.13)-(1.15), элементы из H 1(Ω) имеют регулярный след первого типа: для любого u ∈ H 1(Ω) получаем представление l u = u0 + uk, u0 ∈ H1(Ω), uk ∈ H1 (Ω), k = 1, l, 0 k=1 h,Γk γu0 = 0, γkuk =: ϕk ∈ H 1/2(Γk ), γkuj = 0 (k /= j), j, k = 1, l. При этом элементы γu ∈ H 1/2(Γ) имеют сужения на Γk, продолжимые нулем на всю Γ в классе H1/2(Γ). Итогом проведенных рассмотрений является следующее утверждение. Теорема 1.5. Для тройки пространств L2(Ω), H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω и оператора следа γ : H 1(Ω) → L2(Γ), γη := η|Γ, η ∈ H 1(Ω), в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ, разбитой на липшицевы куски Γk, k = 1, l, справедлива следующая обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач: ⊕η, u - D.u)L2(Ω) = (η, u)H1(Ω) - l k=1 ⊕γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀ η, u ∈ H 1(Ω), (1.16) k u - D.u ∈ (H1(Ω))∗, γkη := η |Γ ∈ H 1/2(Γk ), k ∂n Γ ∂ u = ∂u k ∈ H- 1/2 (Γk ), k = 1, l. (1.17) АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 73 4. Более общая формулировка абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач. Формулировка абстрактной формулы Грина, выраженная теоремой 1.3, не всегда соответствует тем классам смешанных краевых задач, которые встречаются в приложениях. Именно, оператор ωk продолжения нулем с (G+)k на (---G+)k , как было видно из рассмотрений пунктов 1.2, 1.3, полезно использовать в случаях, когда односвязные куски Γk границы Γ = ∂Ω расположены на положительном расстоянии либо когда на разных кусках границы ставят краевые условия Дирихле с заданными функциями класса H 1/2(Γk ). Поэтому целесообразно получить другую форму абстрактной формулы Грина с тем, чтобы можно было использовать и краевые условия Неймана либо Ньютона. Переходя к рассмотрению этого вопроса в абстрактной форме, будем считать, что выполнены свойства 4◦ пункта 1.2, т. е. l k G = Gk, (G+)k '→ Gk '→ (G+)∗ , k = 1, l, (1.18) а также следующие свойства. k=1 (5◦)!. Для операторов pk : G+ → (---G+)k имеем соотношения l pk = ωkρk, k = 1, l, ρkωk = (I+)k, k = 1, l, pk = I+, (1.19) k=1 где (I+)k - единичный оператор в (G+)k. При этом ρk - оператор сужения с G+ на (G+)k, а ωk - оператор продолжения с (G+)k на (---G+)k , но не обязательно нулем. Предполагается также, что ρk : G+ → (G+)k и ωk : (G+)k → (---G+)k - непрерывные операторы. Заметим, что в сформулированных предположениях ∗ k = ρkωk, ρk : (G+)k → (G+) , ωk : (---G+)k → (G+)k, k = 1, l, (1.20) p∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ где ω∗ - ограниченный оператор сужения с (---G+) на (G+)∗ , а ρ∗ - ограниченный оператор проk k должения с (G+)∗ на (G+)∗. k k k Теорема 1.6. Пусть для тройки пространств E, F, G и оператора следа γ выполнены условия 1◦-3◦ пункта 1.1, условие 4◦ пункта 1.2 (см. (1.18)), а также условие (5◦)! (см. (1.19)) либо условие (1.20). Тогда имеет место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в следующей форме: l k ⊕η, Lu)E = (η, u)F - ⊕γkη, ∂ku)G k=1 ∀η, u ∈ F, γkη := ρkγη ∈ (G+)k, ∂ku := ω∗∂u ∈ (G+)∗ , k k k где ρk и ω∗ - операторы со свойствами (1.19), (1.20). Вернемся снова к тройке пространств L2(Ω), H1(Ω) и L2(Γ), Γ= ∂Ω, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей Γ, разбитой на липшицевы куски Γk, k = 1, l. Введем одно важное понятие, относящееся к возможности продолжения элементов из Hs(Γk ), |s| :: 1, до элементов из Hs(Γ). Оказывается, при сформированных выше предположениях такое продолжение возможно многими способами, однако один из них является универсальным, и он предложен в работе [34] для случая, когда функции из Hs(Ω) продолжаются до функций из Hs(Rm). Как указано в работе [26], аналогичный факт имеет место и для продолжения функций из Hs(Γk ), |s| :: 1, до функций из Hs(Γ). При этом в обоих случаях оператор продолжения не зависит от s. Сформулируем итоговое утверждение в виде леммы, которая понадобится в дальнейшем. Лемма 1.3 (В. С. Рычков [34], М. С. Агранович [26]). Пусть липшицева граница Γ = ∂Ω области Ω ⊂ Rm разбита на липшицевы куски Γk, k = 1, l. Тогда существует линейный оператор ωk (оператор Рычкова) продолжения функций из Hs(Γk ) с Γk на всю Γ функциями из Hs(Γ). При этом ωkϕk Hs(Γ) :: ck ϕk Hs(Γk ) ∀ϕk ∈ H s(Γk ), |s| :: 1, 74 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ причем ck не зависит от s. Введем теперь операторы сужения и продолжения такие, что для них выполнены общие требования из теоремы 1.6. Пусть ρk : H1/2(Γ) → H1/2(Γk ) - ограниченный оператор сужения k ( ρk H1/2(Γ)→H1/2(Γk ) :: 1), а ρ∗ : (H 1/2 (Γk ))∗ = H -1/2 (Γk ) → (H 1/2 (Γ))∗ = H-1/2 (Γ) - сопряженный ему ограниченный оператор продолжения нулем: ( ψ ρ∗ k (на Γk ), ψk ∈ H -1/2(Γk ), k = 1, l. kψk = 0 (на Γ\\Γk ). Введем также ограниченный оператор продолжения (оператор Рычкова) ωk : H1/2(Γk ) → H1/2(Γ). Тогда ω∗ k : (H 1/2 (Γ))∗ = H-1/2 (Γ) → (H 1/2 (Γk ))∗ = H -1/2 (Γk ) - ограниченный оператор сужения. Введем еще пространство k=1 Hˇ -1/2(Γ) := (+)l Hˇ -1/2(Γk ) ⊂ H-1/2(Γ), (1.21) k Hˇ -1/2(Γk ) := {ρ∗ ψk : ψk ∈ H -1/2(Γk )}⊂ H-1/2(Γ), а также ограниченные операторы p∗ ∗ ∗ -1/2 -1/2 k = ρkωk : H k Очевидно, операторы p∗ обладают свойствами (Γ) → H (Γ). ω∗ ∗ -1/2 kρkψk = ψk ∈ H а потому в пространстве Hˇ -1/2(Γ) имеем (Γk ), k = 1, l, l p∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗ - где (Iˇ - k = (pk ) , pkpj = 0 (k /= j), ) - единичный оператор в Hˇ -1/2(Γ). k=1 pk = (Iˇ ), Таким образом, в пространстве Hˇ -1/2(Γ) выполнены общие требования (1.18)-(1.20), где k (G+)k = H1/2(Γk ), Gk = L2(Γk ), (G+)∗ = H -1/2(Γk ), k = 1, l. Введем теперь по аналогии с (1.13)-(1.15) классы функций, связанных не с задачей Дирихле, а с задачей Неймана. Именно, введем пространство (1.21), а также пространство Hˇ 1(Ω) := H1(Ω) ⊕ {(+)l Hˇ 1 (Ω)}⊂ H1(Ω), (1.22) 0 Hˇ 1 k=1 1 h,Γk 1 h,Γk (Ω) = Hh (Ω) ∩ HΓ\\Γk (Ω), (1.23) H1 Γ\\Γk (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : ∂u ∂n Γ\\Γk = 0}. (1.24) Определение 1.2. Назовем след γu элемента u ∈ H1(Ω) регулярным следом второго типа, если для любого k ∈ 1,l элемент k ∂ku = ω∗∂u = (∂u/∂n)Γk ∈ H -1/2(Γk ), т. е. он продолжи´ м нулем на всю Γ в классе H-1/2(Γ) = (H1/2(Γ))∗. Согласно определениям (1.22)-(1.24) элементы из Hˇ 1(Ω) имеют регулярный след второго типа: для любого u ∈ Hˇ 1(Ω) имеет место представление l u = u0 + uk, u0 ∈ H1(Ω), uk ∈ Hˇ 1 (Ω), k = 1, l, 0 k=1 h,Γk 1/2 γu0 = 0, ∂kuk = (∂uk /∂n)Γk ∈ H - ∂kuj = 0 (k /= j), k, j ∈ 1, l. (Γk ), В качестве следствия из теоремы 1.6 и проведенных выше построений приходим к такому выводу. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 75 Теорема 1.7. Для тройки пространств L2(Ω), Hˇ 1(Ω) ⊂ H1(Ω), L2(Γ), Γ = ∂Ω, и оператора следа γ : H1(Ω) → H1/2(Γ), γη := η|Γ, в области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ, разбитой на липшицевы куски Γk, k = 1, l, справедлива следующая обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач: (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - D.u)L2(Ω) + 1/2 l k=1 ⊕γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀ η, u ∈ Hˇ -1/2 1(Ω), (1.25) γkη := η |Γk ∈ H (Γk ), ∂ku = (∂u/∂n)Γk ∈ H (Γk ), k = 1, l. (1.26) Рассмотрения этого раздела (см. теоремы 1.3-1.7) показывают, что вид обобщенной формулы Грина для смешанных краевых задач при исследовании классических проблем следует выбирать, исходя из вида области Ω ⊂ Rm и характера краевых условий, заданных на Γ = ∂Ω. 2. ОБЩАЯ СХЕМА РАССМОТРЕНИЯ АБСТРАКТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ 1. К постановке задачи. Рассмотрим сначала простой пример задачи сопряжения для проблемы математической физики, порожденной оператором Лапласа, точнее дифференциальным выражением u-Δu. Будем считать, что конфигурация областей, в которых рассматривается эта задача, представляет собой «дважды разрезанный банан» (см. рис. 2.1) РИС. 2.1 Обозначим через Γjj, j = 1, 3, внешние свободные границы, а через Γkj (k /= j) - ту часть границы Γj = ∂Ωj, которая стыкуется с частью Γjk границы Γk = ∂Ωk. При этом очевидно, что Γjk = Γkj. Полагаем, что области Ωk ⊂ Rm имеют липшицевы границы, разбитые на липшицевы куски Γkj. Будем обозначать через γkjuj след функции uj, заданной в области Ωj, на границе Γkj, а через ∂kjuj - соответствующую производную по внешней нормали. Сформулируем теперь постановку задачи сопряжения для данной совокупности областей Ωj, j = 1, 3. Требуется найти такие функции uj (x) ∈ H1(Ωj ), j = 1, 3, что для них выполнены уравнения uj - Δuj = fj (в Ωj ), j = 1, 3, (2.1) внешние граничные условия Дирихле γjjuj = ϕj (на Γjj ), j = 1, 3, (2.2) а также условия сопряжения на стыках: γ21u1 - γ12u2 = ϕ21, ∂21u1 + ∂12u2 = ψ21 (на Γ21 = Γ12), (2.3) γ32u2 - γ23u3 = ϕ32, ∂32u2 + ∂23u3 = ψ32 (на Γ32 = Γ23). (2.4) Здесь fj - заданные функции в Ωj, j = 1, 3, ϕj - заданные функции на внешних границах Γjj, j = 1, 3, функции ϕ21 и ϕ32 задают разрывы следов, а ψ21 и ψ32 - разрывы производных по внешним нормалям на границах стыка областей. Приведем теперь формулировку абстрактной задачи сопряжения, частным случаем которой является проблема (2.1)-(2.4). 76 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Пусть имеется набор пространств Ej, Fj, Gj и операторов следа γj, j = 1, 3, таких, что для них выполнены условия теоремы 1.1 и потому имеется три абстрактные формулы Грина: ⊕ηj, Ljuj )Ej = (ηj, uj )Fj - ⊕γjηj, ∂juj )Gj ∀ηj, uj ∈ Fj. Более того, будем считать, что для каждого j = 1, 3 выполнены свойства (1.18)-(1.20) и потому справедливы утверждения теоремы 1.6. Тогда по аналогии с проблемой (2.1)-(2.4) (см. рис. 2.1) будем считать, что для граничных пространств Gj, j = 1, 3, выполнены соотношения G1 = G11 ⊕ G21, G2 = G22 ⊕ G12 ⊕ G32, G3 = G33 ⊕ G23, (2.5) причем каждое из этих подпространств имеет оснащение: jj (G+)jj '→ Gjj '→ (G+)∗ , j = 1, 3, +) (G+)21 = (G +)12 '→ G21 = G12 21 '→ (G ∗ = (G 12 +)∗ , (2.6) (G+)32 = (G+)23 '→ G32 = G23 '→ (G+)32 = (G+)23. ∗ ∗ При этих предположениях по теореме 1.6 будем иметь следующие тождества (абстрактные формулы Грина для смешанных краевых задач): (η1, u1)F1 = ⊕η1, L1u1)E1 + ⊕γ11η1, ∂11u1)G11 + ⊕γ21η1, ∂21u1)G21 ∀η1, u1 ∈ F1, (2.7) (η2, u2)F2 = ⊕η2, L2u2)E2 + ⊕γ22η2, ∂22u2)G22 + +⊕γ12η2, ∂12u2)G12 + ⊕γ32η2, ∂32u2)G32 ∀η2, u2 ∈ F2, (2.8) (η3, u3)F3 = ⊕η3, L3u3)E3 + ⊕γ33η3, ∂33u3)G33 + ⊕γ23η3, ∂23u3)G23 ∀η3, u3 ∈ F3. (2.9) Формулировка абстрактной задачи сопряжения в рассматриваемом случае такова: требуется найти элементы uj ∈ Fj, j = 1, 3, для которых выполнены уравнения Ljuj = fj (j = 1, 3), (2.10) внешние граничные условия γjjuj = ϕj (j = 1, 3), (2.11) а также условия сопряжения на стыковых граничных пространствах: γ21u1 - γ12u2 = ϕ21, ∂21u1 + ∂12u2 = ψ21 (на Γ21 = Γ12), (2.12) γ32u2 - γ23u3 = ϕ32, ∂32u2 + ∂23u3 = ψ32 (на Γ32 = Γ23). (2.13) Элементы fj и ϕ jj заданы, j = 1, 3, а ϕ21, ϕ32, ψ 21 и ψ 32 задают разрывы следов элементов uj и их производных по нормали. Таким образом, абстрактная задача сопряжения, порожденная проблемой (2.1)-(2.4), состоит в решении проблемы (2.10)-(2.13) на основе использования абстрактных формул Грина (2.7)-(2.9). 2. Общая схема исследования абстрактных задач сопряжения. Целью дальнейших рассмотрений является получение необходимых и достаточных условий разрешимости задачи (2.10)- (2.13), а также представление этого решения через операторы вспомогательных (абстрактных) краевых задач. При этом будет использован, как уже упоминалось, принцип суперпозиции, позволяющий представить решение задачи (2.10)-(2.13) в виде суммы решений вспомогательных краевых задач, содержащих неоднородности (заданные элементы) лишь в одном месте, т. е. либо в уравнении, либо в одном из краевых условий. Эта общая схема состоит из четырех этапов. Именно, слабое (вариационное) решение задачи (2.10)-(2.13), т. е. будем разыскивать в виде суммы 3 u = (u1, u2, u3) ∈ Fk =: F, (2.14) k=1 4 (u1, u2, u3) = (uj1, uj2, uj3), (2.15) j=1 где uj = (uj1, uj2, uj3), j = 1, 4, - слабые решения формулируемых ниже вспомогательных задач. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 77 1. Первая вспомогательная задача (задача Зарембы). L1u11 = 0, γ11u11 = ϕ1; ∂21u11 = 0, (2.16) L2u12 = 0, γ22u12 = ϕ2; ∂12u12 = 0, ∂32u12 = 0, (2.17) L3u13 = 0, γ33u13 = ϕ3; ∂23u23 = 0. (2.18) Здесь уравнения и условия Неймана на стыке однородные, а условия Дирихле на внешних границах неоднородные. При этом задача (2.16) распадается на три независимые задачи Зарембы для функций u1k, k = 1, 3. Переходя к рассмотрению задачи (2.16)-(2.18), заметим, что для ее решения u11 ∈ F1 должно выполняться необходимое условие (см. (2.6)) γ11u11 = ϕ1 ∈ (G+)11 ⊂ G11. (2.19) Будем считать, что это условие выполнено, и воспользуемся оператором продолжения ω11 : (G+)11 → (G+)1, который в условиях теоремы 1.6 существует и ограничен. Тогда элемент ϕ1 := ω11ϕ1 ∈ (G+)1. Будем разыскивать решение задачи (2.16) в виде суммы где v11 и w11 - слабые решения задач u11 = v11 + w11, ϕ1, (2.20) L1v11 = 0, γ1v11 = L1w11 = 0, γ11w11 = 0, ∂21w11 = -∂21v11 =: δ21. (2.21) Напомним (см. [14]), что имеет место ортогональное разложение F1 = N1 ⊕ M1, N1 := ker γ1, M1 = ker L1, причем между элементами v11 ∈ M1 и их следами γ1v11 имеет место изоморфизм и даже изомет- ϕ1 рия при соответствующем выборе нормы в (G+)1. Отсюда следует, что при любом ∈ (G +)1 v11 γ-1ϕ1 = γ˜-1ω11ϕ1 ∈ M1 ⊂ F1, где γ1 = γ1|M . задача (2.20) имеет единственное решение = 1 1 1 Тогда, как следует из рассмотрений первого раздела, 21 δ21 := -∂21v11 ∈ (G+)∗ . (2.22) Назовем слабым решением задачи (2.21) такой элемент w11 ∈ M1, для которого выполнено тождество (η1, w11)F1 = ⊕γ21η1, δ21)G21 ∀η1 ∈ F0,G11 , (2.23) F0,G11 := {η1 ∈ F1 : γ11η1 = 0}. В (2.23) правая часть является линейным ограниченным функционалом в (G+)21 тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.22). Поэтому задача (2.23) имеет единственное слабое решение w11 ∈ F0,G11 ∩ M1 =: M0,G11 ⊂ F1. (2.24) Эти рассмотрения, а также аналогичные рассмотрения задач (2.17), (2.18) приводят к следующему выводу. Теорема 2.1. Каждая из задач Зарембы (2.16)-(2.18) имеет единственное слабое решение u1k ∈ Mk ⊂ Fk, k = 1, 3, тогда и только тогда, когда выполнены условия ϕk ∈ (G+)kk ⊂ Gkk, k = 1, 3. (2.25) Отсюда следует, что решение задачи (2.16)-(2.18) имеет вид kk u(1) = (u11; u12; u13), u1k = γ-1ϕk, k = 1, 3, (2.26) γ-1 γkk G где kk : (G+)kk → Mk ⊂ Fk - ограниченные (и ограниченно обратимые) операторы, := γ| kk . 78 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ 2. Вторая вспомогательная задача (задача Стеклова). Найти набор элементов 3 u(2) = (u21; u22; u23) ∈ F = Fk (2.27) k=1 из следующей системы уравнений и краевых условий: Lku2k = 0, γkku2k = 0, k = 1, 3, γ21u21 - γ12u22 = ϕ21 := ϕ21 - γ21 u11 + γ12 u12, ∂21u21 + ∂12u22 = 0, (2.28) γ32u22 - γ23u23 = ϕ32 := ϕ32 - γ32 u12 + γ23 u13, ∂32u22 + ∂23u23 = 0. Здесь ϕ21 и ϕ32 - заданные элементы, а u11, u12 и u13 - компоненты решения u(1) первой вспомогательной задачи (2.16)-(2.18). Представим последнюю группу условий на стыках в виде ∂21u21 = -∂12u22 =: χ21, ∂32u22 = -∂23u23 =: χ32. Если элементы χ21 и χ32 известны, то для нахождения u2k, k = 1, 3, возникают три задачи вида (2.21): L1u21 = 0, γ11u21 = 0; ∂21u21 = χ21; (2.29) L2u22 = 0, γ22u22 = 0; ∂1 2u22 = -χ21, ∂32u22 = χ32; (2.30) L3u23 = 0, γ33u23 = 0; ∂23u23 = -χ32. (2.31) Определим, как и в (2.23), слабое решение задачи (2.29) посредством тождества (η1, u21)F1 = ⊕γ21η1, χ21)G21 ∀η1 ∈ F0,G11 . (2.32) 21 Если χ21 ∈ (G+)∗ , то существует единственное слабое решение 21 где V21 ∈ L((G+)∗ , M0,G11 u21 =: V21χ21 ∈ M0,G11 ⊂ M1 ⊂ F1, (2.33) ), т. е. является линейным ограниченным оператором, действующим ∗ из (G+)21 в M0,G11 . Заметим еще, что если χ21 ∈ G21 (см. (2.5), (2.6)), то задача (2.29) имеет единственное обобщенное решение. Аналогичным образом, представляя решение задачи (2.30) в виде суммы двух слагаемых, которые определяются элементами -χ21 и χ32, используя формулу Грина (2.8) и определяя для этих слагаемых слабые решения посредством тождеств вида (2.32), приходим к выводу, что при условиях χ21 ∈ (G+)∗ , χ32 ∈ (G+)∗ 21 32 задача (2.30) имеет единственное слабое решение, выражаемое формулой u22 = V12(-χ21)+ V32(χ32), (2.34) 21 V12 ∈ L((G+)∗ , M0,G22 32 ), V32 ∈ L((G+)∗ , M0,G22 ), M0,G22 = F0,G22 ∩ M2, F0,G22 = {η2 ∈ F2 : γ22η2 = 0}. (2.35) Если χ21 ∈ G21, χ32 ∈ G32 (см. (2.5)), то задача (2.30) имеет единственное обобщенное решение, также выражаемое формулой (2.34). 32 Наконец, при условии χ32 ∈ (G+)∗ задача (2.31), аналогично задаче (2.29), имеет единственное слабое решение 32 u23 = V23(-χ32), V23 ∈ L((G+)∗ , M0,G33 ), (2.36) а при χ32 ∈ G32 формула (2.36) дает ее обобщенное решение. Имея представления (2.33), (2.34) и (2.36) для слабых решений вспомогательных задач (2.29)- (2.31) и опираясь на первую группу граничных условий на стыке в (2.28), получим следующие уравнения для нахождения неизвестных до сих пор элементов χ21 и χ32: ϕ21 γ21V21χ21 - γ12(V12(-χ21)+ V32χ32) = , γ32(V12(-χ21)+ V32χ32) - γ23(-V23χ32) = . (2.37) ϕ32 АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 79 Перепишем эту систему в виде: ϕ C11 C12 χ21 = 21 , (2.38) ϕ C21 C22 χ32 32 ∗ 21 32 C11 := γ21V21 + γ12V12 ∈ L((G+)∗ , (G+)21), C12 := -γ12V32 ∈ L((G+)∗ , (G+)21), C21 := -γ32V12 ∈ L((G+)21, (G+)32), (2.39) C22 := γ32 V32 + γ23 V23 ∈ L((G 32 +)∗ , (G +)32) и будем рассматривать (2.38) как отображение ϕ, C := (Cjk )2 , (2.40) Cχ = ϕ32 τ + 21 j,k=1 + 32 ϕ21; ) ∈ (G ) (+)(G ) ; χ := (χ21; χ32)τ ∈ (G+)∗ (+)(G+)∗ . 21 32 Назовем операторную матрицу C матрицей Стеклова; в задаче (2.28) она переводит данные Неймана в данные Дирихле. Опираясь на свойства операторов γjk = ρjkγk, Vjk, а также слабых и обобщенных решений вспомогательных задач (2.29)-(2.31), изучим общие свойства оператора Стеклова из (2.40), (2.39). Лемма 2.1. Операторы γjk : Fk → Gjk и Vjk : (Gjk )∗ → M0,Gkk ⊂ Fk взаимно сопряжены. Доказательство. Проверим сначала, что γ21 и V21 взаимно сопряжены. С этой целью подставим представление (2.33) для слабого решения вспомогательной задачи (2.29) в тождество (2.32); будем иметь соотношение 21 (η1, V21χ21)F1 = ⊕γ21η1, χ21)G21 ∀η1 ∈ F0,G11 ∀χ21 ∈ (G+)∗ . (2.41) Аналогично проверяется, исходя из тождества 32 (η3, u23)F3 = ⊕γ23η3, (-χ32))G32 ∀η3 ∈ F0,G33 ∀χ32 ∈ (G+)∗ , (2.42) а также представления (2.36) для u23, что γ23 и V23 тоже взаимно сопряжены. Наконец, свойства взаимной сопряженности γ12 и V12, а также γ32 и V32, следуют из тождеств 21 (η2, v22)F2 = ⊕γ12η2, (-χ21))G21 ∀η2 ∈ F0,G22 ∀χ21 ∈ (G+)∗ , (2.43) 32 (η2, w22)F2 = ⊕γ32η2, χ32)G32 ∀η2 ∈ F0,G22 ∀χ32 ∈ (G+)∗ , (2.44) а также соотношений (см. (2.34)) v22 = V12(-χ21), w22 = V32χ32, u22 = v22 + w22, (2.45) которые выполнены для слабых решений задачи (2.30). Лемма 2.2. Оператор C из (2.39), (2.40), C : (G+)∗ (+)(G+)∗ → (G+)21(+)(G+)32, 21 32 является положительным оператором: 3 2 ⊕Cχ, χ) = u2k F , (2.46) k k=1 где u2k, k = 1, 3, - слабые решения вспомогательных задач (2.29)-(2.31). Доказательство. Оно основано на тождествах (2.32), (2.43), (2.44), представлениях (2.33), (2.36), (2.45) и свойствах взаимной сопряженности операторов γjk и Vjk. Имеем ⊕Cχ, χ) = ⊕C11χ21, χ21)G21 + ⊕C12χ32, χ21)G21 + ⊕C21χ21, χ32)G32 + +⊕C22χ32, χ32)G32 = ⊕γ21V21χ21, χ21)G21 + {-⊕γ12(V32χ32 + V12(-χ21)), χ21)G21 + +⊕γ32(V32χ32 + V12(-χ21)), χ32)G32 } + ⊕γ23V23(-χ32), (-χ32))G32 = 3 2 2 2 2 = V21χ21 F1 + V32χ32 + V12(-χ21) F2 + V23(-χ32) F3 = k=1 u2k Fk . 80 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Из тождества (2.46), а также из (2.5), (2.6), получаем, что существует обратный оператор C-1, действующий из (G+)21(+)(G+)32 на (G+)∗ (+)(G+)∗ , тогда этот оператор по теореме Банаха 21 32 ограничен. Поэтому задача (2.40) имеет единственное решение χ = (χ21; χ32)τ = C-1ϕ = C-1(ϕ21; ϕ32)τ . Итогом проведенных рассмотрений является такой вывод. Теорема 2.2. Задача Стеклова (2.27) имеет единственное слабое решение 3 u(2) = (u21; u22; u23)τ ∈ M0,G k=1 kk ⊂ 3 k=1 Fk, k = 1, 3, тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.25), а также условия ϕ21 ∈ (G+)21, ϕ32 ∈ (G+)32. (2.47) При этом имеет место следующее представление для ее решения: u(2) = (u21; u22; u23)τ = (V21χ21; V32χ32 - V12χ21; -V32χ32)τ , (2.48) χ = (χ21; χ32)τ = C-1(ϕ21 - γ21γ-1ϕ1 + γ12γ-1ϕ2; ϕ32 - γ32γ-1ϕ2 + γ23γ-1ϕ3)τ . 11 22 22 γ-1 33 Здесь операторы Vjk введены в (2.33), (2.34), (2.36), операторы kk -в (2.26), операторная матрица C задана формулами (2.40), (2.39), а γjk - оператор следа из Fk на (G+)jk (см. (2.5), (2.6)). 3. Первая вспомогательная задача Крейна. Такое название происходит от подхода, примененного С. Крейном при исследовании проблемы колебаний тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде (см. [19, 20], а также [16, гл. 6]). Эта задача в исследуемой проблеме состоит в нахождении набора элементов 3 u(3) = (u31; u32; u33)τ ∈ Fk, k=1 которые являются решением следующей системы уравнений и краевых условий: Lku3k = fk, γkku3k = 0, k = 1, 3, γ21u31 - γ12u32 = 0, ∂21u31 + ∂12u32 = 0, γ32u32 - γ23u33 = 0, ∂32u32 + ∂23u33 = 0. Здесь все граничные условия однородные, а уравнения неоднородные. (2.49) Для исследования проблемы (2.49) введем в рассмотрение подпространство, отвечающее «главным» краевым условиям: 3 W0,γ := {u = (u1; u2; u3)τ ∈ Fk : γkkuk = 0, k = 1, 3; k=1 3 kk γ21u1 - γ12u2 = 0, γ32u2 - γ23u3 = 0}⊂ F0,G k=1 3 ⊂ Fk. (2.50) k=1 Для элементов η = (η1; η2; η3)τ и u = (u1; u2; u3)τ из W0,γ в силу тождеств (2.7)-(2.8) получаем следующую формулу Грина 3 k (ηk, uk )F k=1 3 k = ⊕ηk, Lkuk )E k=1 + ⊕γ21η1, ∂21u1 + ∂12u2)G21 + ⊕γ32η2, ∂32u2 + ∂23u3)G32 . (2.51) На ее основе определим слабое решение задачи (2.51) как такой элемент u(3) = (u31; u32; u33)τ из W0,γ , для которого имеет место тождество 3 k (ηk, u3k )F k=1 3 k = ⊕ηk, fk )E k=1 ∀η = (η1; η2; η3)τ ∈ W0,γ . (2.52) АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 81 Теорема 2.3. Первая вспомогательная задача Крейна (2.49) имеет единственное слабое решение u(3) ∈ W0,γ тогда и только тогда, когда выполнено условие f := (f1; f2; f3)τ ∈ (W0,γ )∗. (2.53) В этом случае решение выражается формулой u(3) = A-1f, (2.54) k=1 где A - оператор гильбертовой пары (W0,γ ; E), E := ffi3 Ek. В частности, если 3 f := (f1; f2; f3)τ ∈ E := Ek, (2.55) k=1 то задача (2.49) имеет единственное обобщенное решение, выражаемое той же формулой (2.54). Доказательство. Перепишем коротко тождество (2.52) в виде (η, u(3))F = ⊕η, f )E ∀η ∈ W0,γ . (2.56) k=1 Заметим теперь, что W0,γ плотно вложено в E := ffi3 3 Ek, так как 3 N := Nk ⊂ W0,γ ⊂ F = Fk, k=1 k=1 а Nk и Fk плотно вложены в Ek (см. свойства 1◦ и 3◦ из пункта 1.1). Поэтому W0,γ и E образуют гильбертову пару пространств. Отсюда следует, что правая часть в (2.56) является линейным ограниченным функционалом в W0,γ тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.53). Поэтому по теореме Рисса получаем, что существует единственный элемент u(3) ∈ W0,γ , для которого выполнено тождество (2.56). Пусть A - оператор гильбертовой пары (W0,γ ; E). Тогда из (2.56) и определения оператора этой пары имеем (η, u(3))F = ⊕η, Au(3))E = ⊕η, f )E ∀η ∈ W0,γ . Отсюда и следует представление (2.54). Если же f ∈ E (см. (2.55)), то можно считать, что оператор A задан на области определения D(A) ⊂ W0,γ = D(A1/2) ⊂ E и имеет область значений R(A) = E. В этом случае ⊕η, f )E = (η, f )E, и u(3) = A-1f ∈ D(A) - обобщенное решение задачи (2.49). 4. Вторая вспомогательная задача Крейна. Эта проблема является аналогом неоднородной задачи Неймана для уравнения Лапласа, в то время как первая вспомогательная задача Крейна - аналог однородной задачи Неймана для уравнения Пуассона. Требуется найти такой набор элементов u(4) = (u41; u42; u43)τ ∈ W0,γ , которые являются решением следующей системы уравнений и граничных условий: L1u41 = 0, γ11u41 = 0, L2u42 = 0, γ22u42 = 0, L3u43 = 0, γ33u43 = 0, γ21u41 - γ12u42 = 0, ∂21u41 + ∂12u42 = ψ21, γ32u42 - γ23u43 = 0, ∂32u42 + ∂23u43 = ψ32. Здесь неоднородными являются лишь граничные условия типа Неймана. (2.57) Из формулы Грина (2.51) получаем определение слабого решения задачи (2.57): это такой элемент u(4) ∈ W0,γ , для которого выполнено тождество 3 k (η, u(4))F = (ηk, u4k )F = ⊕γ21η1, ψ21)G21 + ⊕γ32η2, ψ32)G32 ∀η ∈ W0,γ . (2.58) k=1 82 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Теорема 2.4. Вторая вспомогательная задача Крейна (2.57) имеет единственное слабое решение u(4) ∈ W0,γ тогда и только тогда, когда выполнено условие ψ21 ∈ (G+)∗ , ψ32 ∈ (G+)∗ . (2.59) Это решение имеет вид 21 32 u(4) = B21ψ21 + B32ψ32, (2.60) B21 ∈ L((G+)∗ ; M0,γ ), B32 ∈ L((G+)∗ ; M0,γ ), (2.61) 21 32 3 M0,γ = W0,γ ∩ M0, M0 := M0,G k=1 (Определение подпространств M0,Gkk см. в (2.24), (2.35).) kk . Доказательство. Оно проводится по схеме доказательства существования слабого решения задачи (2.30) и основано на том, что правая часть в (2.58) является суммой линейных ограниченных функционалов в W0,γ тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.59). Поэтому слабое решение задачи (2.57) представляется в виде суммы двух слагаемых и имеет вид (2.60) со свойствами операторов из (2.61). Лемма 2.3. Операторы B21 и B32 из (2.60), (2.61) обладают свойствами γ21ρ1 = γ12ρ2 = (B21)∗, γ32ρ2 = γ23ρ3 = (B32)∗, (2.62) где ρk : F → Fk, k = 1, 3, - операторы сужения. Доказательство. Свойства γ21ρ1 = γ12ρ2 и γ32ρ2 = γ23ρ3 следуют из определения (2.50) подпространства W0,γ , а свойства γ21ρ1 = (B21)∗ и γ32ρ2 = (B32)∗ - из определения слабых решений двух слагаемых, сумма которых дает слабое решение задачи (2.57): u(4) = v(4) + w(4), (η, v(4))F = ⊕γ21ρ1η, ψ21)G21 , (η, w(4))F = ⊕γ32ρ2η, ψ32)G32 ∀η ∈ W0,γ , v(4) = B21ψ21, w(4) = B32ψ32. 5. Итоговый результат. Итогом рассмотрения исходной смешанной краевой задачи сопряжения (2.10)-(2.13) является следующее утверждение. Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (см. раздел 1, теорема 1.6), обеспечивающие существование абстрактных формул Грина (2.7)-(2.9). Тогда задача сопряжения (2.10)-(2.13) имеет единственное слабое решение в форме (2.14), (2.15) в том и только в том случае, когда выполнены условия теорем 2.1-2.4, т. е. условия (2.25), (2.47), (2.53), (2.59). При этом 4 4 u = (u1; u2; u3)τ = (uj1; uj2; uj3)τ =: u(j), j=1 j=1 где u(j) при j = 1, 4, даются соответственно формулами (2.26), (2.48), (2.54) и (2.60), т. е. выражаются через исходные данные с помощью операторов введенных выше абстрактных краевых задач. Замечание 2.1. То, что сумма решений четырех вспомогательных краевых задач (Зарембы, Стеклова и двух задач Крейна) действительно дает решение исходной задачи (2.10)-(2.13), легко проверяется непосредственно. Кроме того, можно проверить, опираясь на формулы Грина (2.7)- (2.9), что однородная задача имеет лишь нулевое решение. Отсюда следует единственность представления решения исходной задачи в виде суммы решений упомянутых четырех вспомогательных задач, выражаемых приведенными итоговыми формулами. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 83 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩЕЙ СХЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ 1. Скалярные искомые функции, оператор Лапласа, конфигурация «дважды разрезанный банан». Вернемся к задаче (2.1)-(2.4) (см. рис. 2.1) и применим к ее исследованию общую схему, изложенную во втором разделе. При этом будем использовать обобщенные формулы Грина в форме (1.16), (1.17) (теорема 1.5) либо в форме (1.25), (1.26) (теорема 1.7), а также уточним функциональные пространства, в которых будет происходить рассмотрение вспомогательных краевых задач. Итак, в составной области, представленной на рис. 2.1, рассмотрим следующую задачу сопряжения: u1 - D.u1 = f1 (в Ω1), γ11u1 = ϕ1 (на Γ11), u2 - D.u2 = f2 (в Ω2), γ22u2 = ϕ2 (на Γ22), u3 - D.u3 = f3 (в Ω3), γ33u3 = ϕ3 (на Γ33); γ21u1 - γ12u2 = ϕ21, ∂21u1 + ∂12u2 = ψ21 (на Γ12 = Γ21), γ32u2 - γ23u3 = ϕ32, ∂32u2 + ∂23u3 = ψ32 (на Γ23 = Γ32). Ее решение ищем в виде набора u = (u1; u2; u3)τ , причем (3.1) 4 4 u = (u1; u2; u3)τ = (uj1; uj2; uj3)τ =: u(j), j=1 j=1 где u(j), j = 1, 4, - решения четырех вспомогательных задач, которые сейчас будут рассмотрены. Для u(1) = (u11; u12; u13)τ имеем задачу Зарембы, которая распадается на три независимые задачи: u11 - D.u11 = 0 (в Ω1), γ11u11 = ϕ1 (на Γ11), ∂21u11 = 0 (на Γ12 = Γ21); (3.2) u12 - D.u12 = 0 (в Ω2), γ22u12 = ϕ2 (на Γ22), ∂12u12 = 0 (на Γ12 = Γ21), ∂32u12 = 0 (на Γ32 = Γ23); (3.3) u13 - D.u13 = 0 (в Ω3), γ33u13 = ϕ3 (на Γ33), ∂23u13 = 0 (на Γ32 = Γ23). (3.4) h Рассматривая первую из них, т. е. задачу (3.2), будем считать, что ее решение u11(x) есть функция из H1(Ω1) (см. (1.11), (1.12)). Тогда ее след γ1u11(x) на ∂Ω1 есть функция из H1/2(∂Ω1), а на Γ11 - след является функцией из H1/2(Γ11). Таким образом, необходимым условием разрешимости задачи (3.2) является условие ϕ1 ∈ H1/2(Γ11). (3.5) Покажем, что это условие является и достаточным для существования слабого решения задачи (3.2). Продолжим функцию ϕ1, заданную на Γ11, на всю границу ∂Ω1 липшицевой области Ω1. Это можно сделать согласно лемме 1.3, так как по предположению ∂Γ11 - липшицева граница липшицевой поверхности Γ11. Тогда функция := ω ϕ ∈ H1/2(∂Ω ), где ω : H1/2(Γ ) → ϕ1 11 1 1 11 11 H1/2(∂Ω1) - ограниченный оператор продолжения Рычкова. Поскольку между элементами из H1 h (Ω1) и H 1/2 (∂Ω1) имеет место взаимно однозначное соответствие (и даже изометрия при соответствующем выборе эквивалентной нормы в H1/2(∂Ω1)), то существует единственный элемент γ-1 1 который является решением задачи v11 = 1 ω11ϕ1 ∈ Hh (Ω1), (3.6) v11 - Δv11 = 0 (в Ω1), γ1v11 = ω11ϕ1 (на ∂Ω1). (3.7) Для функции w11 := u11 - v11 из (3.2), (3.7) возникает задача Неймана w11 - Δw11 = 0 (в Ω1), γ11w11 = 0 (на Γ11), ∂21w11 = -∂21v11 (на Γ12 = Γ21). (3.8) Ее слабое решение естественно рассматривать в пространстве H1 0,Γ11 (Ω1) := {u1 ∈ H 1(Ω1) : γ11u1 = 0 (на Γ11)}. (3.9) 84 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Из условия на Γ11 в (3.8) следует, что γ21w11 ∈ H 1/2(Γ21) (см. пункт 1.3), и тогда по лемме 1.2 получаем, что в задаче (3.8) должно быть выполнено необходимое условие ∂21v11 ∈ H-1/2(Γ21). (3.10) Покажем, что это условие является и достаточным для существования слабого решения задачи (3.8), причем оно действительно имеет место. Воспользуемся формулой Грина (η1, w11)H1(Ω1) = ⊕η1, w11 - D.w11)L2(Ω1) + ⊕γ21η1, ∂21w11)L2(Γ21), (3.11) 0,Γ11 γ21η1 ∈ H 1/2(Γ21), ∂21w11 ∈ H-1/2(Γ21) ∀η1, w11 ∈ H1 (Ω1), (3.12) которая следует из формулы (1.16) (теорема 1.5). На ее основе естественно определяется слабое 0,Γ11 решение w11 ∈ H1 h (Ω1) ∩ H1(Ω1) задачи (3.8) как такая функция, для которой выполнено тождество 1 2 21 0,Γ11 (η1, w11)H1(Ω ) = ⊕γ21η1, (-∂21v11))L (Γ ) ∀η1 ∈ H1 (Ω1). (3.13) Здесь в силу (3.10) и леммы 1.2 правая часть является линейным ограниченным функци- 0,Γ оналом в H1 11 (Ω1). Поэтому при любом ϕ1 ∈ H1/2(Γ11) существует единственная функция w11 ∈ H 1 0,Γ11 h (Ω1) ∩ H1(Ω1), являющаяся слабым решением задачи (3.8): 0,Γ11 где V21 : H-1/2(Γ21) → H1 1 w11 =: V21(-∂21v11) = -V21∂21γ-1ω11ϕ1, h (Ω1) ∩ H1(Ω1) - ограниченный оператор. h Окончательно приходим к выводу, что условие (3.5) является необходимым и достаточным условием существования слабого решения u11 ∈ H1(Ω1), и это решение выражается формулой γ-1 γ-1 γ-1 где γ-1 : H 11 1/2 u11 = v11 + w11 = 1 ω11ϕ1 - V21∂21 1 ω11ϕ1 =: 11 ϕ1, (3.14) h (Γ11) → H1(Ω1) - ограниченный оператор. Аналогично рассматриваются задачи (3.3) и (3.4), и итогом рассмотрения является следующее утверждение. Теорема 3.1. Каждая из задач Зарембы (3.2)-(3.4) имеет единственное слабое решение u1k ∈ H 1 0,Γkk h (Ωk ) ∩ H1(Ωk ) тогда и только тогда, когда выполнено условие ϕk ∈ H1/2(Γkk ), k = 1, 3, (3.15) и это решение выражается формулой (см. (3.14)) γ-1 γ-1 1/2 1 u1k = kk ϕk, kk ∈ L(H (Γkk ); Hh (Ωk )), k = 1, 3. (3.16) Перейдем теперь ко второму этапу - рассмотрению задачи Стеклова применительно к проблеме (3.1). Как следует из абстрактной постановки этой задачи (см. (2.27), (2.28)), необходимо исследовать проблему нахождения набора u(2) = (u21; u22; u23)τ из следующих уравнений и краевых условий: u21 - D.u21 = 0 (в Ω1), γ11u21 = 0 (на Γ11), u22 - D.u22 = 0 (в Ω2), γ22u22 = 0 (на Γ22), u23 - D.u23 = 0 (в Ω3), γ33u23 = 0 (на Γ33), (3.17) ϕ γ21u21 - γ12u22 = 21 := ϕ21 - γ21 u11 + γ12 u12, ∂21 u21 = -∂12 u22 (=: χ21 ) (на Γ21 = Γ12), (3.18) γ32 u22 - γ23 u23 = ϕ32 := ϕ32 - γ32 u12 + γ23 u13, ∂32u22 = -∂23u23(=: χ32) (на Γ32 = Γ23). Здесь (u11; u12; u13)τ = u(1) - решение задачи Зарембы (см. (3.2)-(3.4)), а ϕ21 и ϕ32 - заданные функции. Если функции χ21 и χ32 известны, то вместо (3.17), (3.18) возникают три распадающиеся задачи Неймана. В частности, для функции u21 имеем задачу u21 - Δu21 = 0 (в Ω1), γ11u21 = 0 (на Γ11), ∂21u21 = χ21 (на Γ21 = Γ12), слабое решение которой будем разыскивать в пространстве H1 1 1 0,Γ11 (Ω1) ∩ Hh (Ω1) =: H0,Γ11,h(Ω1). АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 85 Эта задача уже рассмотрена выше (см. (3.8)-(3.13)). Для ее слабой разрешимости необходимо и достаточно (см. (3.10)), чтобы выполнялось условие χ21 ∈ H-1/2(Γ21), а тогда решение выражается формулой 0,Γ11,h u21 = V21χ21, V21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 (Ω1)). (3.19) Аналогичное рассмотрение двух других задач Неймана, возникающих из проблемы (3.17), (3.18) и основанное на обобщенных формулах Грина (η2, u22)H1(Ω2) = ⊕η2, u22 - Δu22)L2(Ω2) + ⊕γ12η2, ∂12u22)L2(Γ12)+ 2 32 0,Γ22 +⊕γ32η2, ∂32u22)L (Γ ) ∀η2, u22 ∈ H1 (Ω2), 3 2 3 2 23 0, 33 (η3, u23)H1(Ω ) = ⊕η3, u23 - Δu23)L (Ω ) + ⊕γ23η3, ∂23u23)L (Γ ) ∀η3, u23 ∈ H1 Γ (Ω3), приводит к следующему выводу: u22 = V12χ21 - V32χ32, 0,Γ22,h V12 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 0,Γ22,h (Ω2)), V32 ∈ L(H-1/2(Γ32); H1 (Ω2)), (3.20) 0,Γ33,h u23 = -V23χ32, V23 ∈ L(H-1/2(Γ32); H1 (Ω3)). Имея представления (3.19), (3.20), из главных граничных условий в (3.18) приходим к системе уравнений (см. (2.37), (2.38)): ϕ C11 C12 χ21 = 21 , (3.21) ϕ C21 C22 χ22 32 C11 := γ21V21 + γ12V12 ∈ L(H-1/2(Γ21); H 1/2(Γ21)), C12 := -γ12V32 ∈ L(H-1/2(Γ32); H 1/2(Γ21)), C21 := -γ32V12 ∈ L(H-1/2(Γ21); H 1/2(Γ32)), C22 := γ32V32 + γ23V23 ∈ L(H-1/2(Γ32); H 1/2(Γ32)). Здесь матрица Стеклова (3.22) j,k=1 C := (Cjk )2 (3.23) отображает H-1/2(Γ21)(+)H-1/2(Γ32) на H 1/2(Γ21)(+)H 1/2(Γ32) и является положительным оператором: подсчет, основанный на преобразованиях, описанных в лемме 2.2 и на определениях операторов Vjk, аналогичных (2.41)-(2.45) (см. лемму 2.1), приводит к формуле (см. (2.46)) 3 2 ⊕Cχ, χ) = u2k H1(Ω ). k k=1 Отсюда следует, что существует обратный оператор C-1 ∈ L(H 1/2(Γ21)(+)H 1/2(Γ32); H-1/2(Γ21)(+)H-1/2(Γ32)), и тогда решение задачи (3.21) существует и единственно при ϕ = (ϕ21; )τ ∈ H 1/2(Γ )(+)H 1/2(Γ ). ϕ32 21 32 Теорема 3.2. Пусть в задаче (3.17), (3.18) выполнены условия (3.15), а также условия согласования ϕ21 ϕ32 := ϕ21 := ϕ32 - γ21 - γ32 u11 u12 + γ12 + γ23 u12 u13 ∈ H 1/2(Γ21), ∈ H 1/2(Γ32), (3.24) где (u11; u12; u13)τ - слабое решение вспомогательной задачи Зарембы (3.2)-(3.4). Тогда задача Стеклова (3.17), (3.18) имеет единственное слабое решение 0,Γ11,h u(2) = (u21; u22; u23)τ ∈ H1 0,Γ22,h (Ω1)(+)H1 0,Γ33,h (Ω2)(+)H1 (Ω3), представимое формулами u(2) = (V21χ21; V32χ32 - V12χ21; -V32χ32)τ , χ := (χ21; χ32)τ = C-1(ϕ21 ; ϕ32 )τ , (3.25) 86 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ где операторы Vjk введены формулами (см. (2.41), (2.43)-(2.45)) 1 2 21 0, 11 (η1, V21χ21)H1(Ω ) := ⊕γ21η1, χ21)L (Γ ) ∀η1 ∈ H1 Γ (Ω1) ∀χ21 ∈ H 3 2 32 0, 33 (η3, V23χ32)H1(Ω ) := ⊕γ23η3, χ32)L (Γ ) ∀η3 ∈ H1 Γ (Ω3) ∀χ32 ∈ H -1/2 -1/2 (Γ21); (3.26) (Γ32); (η2, V12χ21)H1(Ω2) := ⊕γ12η2, χ21)L2(Γ21), (η2, V32χ32)H1(Ω2) := ⊕γ32η2, χ32)L2(Γ32) ∀η2 ∈ H 1 0,Γ22 (Ω1) ∀χ21 ∈ H-1/2(Γ21) ∀χ21 ∈ H-1/2(Γ21). Соответственно, операторная матрица Стеклова C (см. (3.23)) введена посредством ее эле- 0,Γkk ментов (3.22), а операторы γjk - это операторы следа из H1 (Ωk ) на H 1/2(Γjk ) (j /= k). Третьим этапом, согласно общей схеме раздела 2, является рассмотрение первой вспомогательной задачи Крейна, порожденной проблемой (3.1), (3.2): 3 u(3) = (u31; u32; u33)τ ∈ H1(Ωk ) =: H1(Ω), k=1 u3k - D.u3k = fk (в Ωk ), γkku3k = 0 (на Γkk ), k = 1, 3; (3.27) γ21u31 - γ12u32 = 0, ∂21u31 + ∂12u32 = 0 (на Γ21), γ32u32 - γ23u33 = 0, ∂32u32 + ∂23u33 = 0 (на Γ32). (3.28) 0,Γ Введем в H1(Ω) подпространство H1 (Ω) наборов элементов (u31; u32; u33), для которых выполнены главные (с вариационной точки зрения) краевые условия задачи (3.27), (3.28), т. е. H1 0,Γ(Ω) := {(u1; u2; u3) ∈ H 1(Ω), γkkuk = 0 (на Γkk), k = 1, 3, γ21u1 - γ12u2 = 0 (на Γ21), γ32u2 - γ23u3 = 0 (на Γ32)}. Это подпространство плотно вложено в 3 L2(Ω) := L2(Ωk ), k=1 так как оно содержит подпространство H1 1 00,Γ(Ω) := {(u1; u2; u3) : uk ∈ H0 (Ωk ), k = 1, 3}, где H1(Ωk ) плотно вложено в L2(Ωk ), k = 1, 3. Поэтому (H1 (Ω); L2(Ω)) - гильбертова пара 0 пространств. 0,Γ Для функций η = (η1; η2; η3)τ и u(3) = (u31; u32; u33) из H1 0,Γ (Ω) имеем следующую обобщенную формулу Грина: 3 3 (ηk, u3k )H1(Ω ) = ⊕ηk, u3k - Δu3k )L (Ω )+ k=1 k 2 k k=1 +⊕γ21η1, ∂21u31 + ∂12u32)L2(Γ21) + ⊕γ32η2, ∂32u32 + ∂23u23)L2(Γ32). Отсюда и из (3.27), (3.28) естественно дается определение слабого решения этой задачи: это такой 0,Γ набор u(3) = (u31; u32; u33)τ ∈ H1 3 (Ω), для которого выполнено тождество 3 (ηk, u3k )H1(Ω ) = ⊕ηk, fk )L (Ω ) ∀u(3) ∈ H1 Γ(Ω). k=1 k 2 k 0, k=1 Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 2.3, приходим к следующему результату. Теорема 3.3. Первая вспомогательная задача Крейна (3.27), (3.28) имеет единственное сла- 0,Γ бое решение u(3) ∈ H1 (Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие 0,Γ f := (f1; f2; f3)τ ∈ (H1 (Ω))∗. (3.29) Это решение выражается формулой u(3) = A-1f, (3.30) 0,Γ где A - оператор гильбертовой пары (H1 (Ω); L2(Ω)). АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 87 Если, в частности, 3 f := (f1; f2; f3)τ ∈ L2(Ω) = L2(Ωk ), k=1 то задача (3.27), (3.28) имеет единственное обобщенное решение 0,Γ u(3) ∈ D(A) ⊂ D(A1/2) = H1 (Ω), выражаемое той же формулой (3.30). Рассмотрим, наконец, четвертый этап - вторую вспомогательную задачу Крейна, порожденную проблемой (3.1), (3.2). Здесь для набора функций 0,Γ u(4) = (u41; u42; u43)τ ∈ H1 (Ω) следует рассмотреть следующую задачу: u4k - D.u4k = 0 (в Ωk ), γkku4k = 0 (на Γkk ), k = 1, 3; (3.31) γ21u41 - γ12u42 = 0, ∂21u41 + ∂12u42 = ψ21 (на Γ21 = Γ12), γ32u42 - γ23u43 = 0, ∂32u42 + ∂23u43 = ψ32 (на Γ32 = Γ23). (3.32) 0,Γ Согласно условиям (3.31) для решений из H1 (Ω) имеем свойства γ21u41 = γ12u42 ∈ H 1/2(Γ21), γ32u42 = γ23u43 ∈ H 1/2(Γ32), а потому необходимые условия разрешимости задачи (3.31), (3.32) таковы: ψ21 ∈ H-1/2(Γ21), ψ32 ∈ H-1/2(Γ32). (3.33) При этом слабое решение определяется из тождества 3 (ηk, u4k )H1(Ω ) = ⊕γ21η1, ψ21)L (Γ ) + ⊕γ32η2, ψ32)L (Γ ), k k=1 2 21 2 32 0,Γ ∀η = (η1; η2; η3)τ ∈ H1 (Ω). Теорема 3.4. Вторая вспомогательная задача Крейна (3.31)-(3.32) имеет единственное сла- 0,Γ бое решение u(4) ∈ H1 (Ω) тогда и только тогда, когда выполнены условия (3.33). Это решение имеет вид u(4) = B21ψ21 + B32ψ32, (3.34) 0,Γ,h B21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 0,Γ,h (Ω)), B32 ∈ L(H-1/2(Γ32); H1 3 (Ω)), (3.35) H1 1 1 1 1 0,Γ,h(Ω) := H0,Γ(Ω) ∩ Hh (Ω), Hh (Ω) := k=1 Hh (Ωk ). (3.36) При этом операторы B21 и B32 обладают свойствами (см. (2.62)) γ21ρ1 = γ12ρ2 = (B21)∗, γ32ρ2 = γ23ρ3 = (B32)∗, (3.37) где ρkη = ρk (η1; η2; η3) := ηk, k = 1, 3, - операторы сужения. Доказательство. Оно проводится по схеме доказательства теоремы 2.4 и леммы 2.3. Подводя итог рассмотрения четырех вспомогательных задач, порожденных исходной задачей сопряжения (3.1), приходим к следующему выводу. Теорема 3.5. Пусть области Ωk (k = 1, 3) из Rm имеют липшицевы границы ∂Ωk, разбитые на липшицевы куски Γjk, и примыкают друг к другу, как это показано на рис. 2.1 (конфигурация - «дважды разрезанный банан»). Пусть, кроме того, выполнены условия существования решений четырех вспомогательных задач (см. задачи (3.2)-(3.4), (3.17)-(3.18), (3.27)-(3.28), (3.31)-(3.32)), т. е. условия (3.15), (3.24), (3.29), (3.33). Тогда задача сопряжения (3.1) имеет единственное слабое решение 4 4 3 u = (u1; u2; u3)τ = (uj1; uj2; uj3)τ =: u(j) ∈ H1(Ω) := H1(Ωk ), j=1 j=1 k=1 88 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ где слагаемые u(j) при j = 1, 4, представлены соответственно формулами (3.14), (3.16); (3.25), (3.26); (3.30); (3.34)-(3.36). Замечание 3.1. Если, в частности, в задаче (3.1) граничные условия Дирихле на внешних границах Γkk, k = 1, 3, однородные, т. е. на них выполнены условия γkkuk = 0 (на Γkk ), k = 1, 3, то решение задачи Зарембы нулевое, т. е. u(1) = 0. В этом случае вместо условий согласования заданных граничных функций (3.24) имеем лишь естественные необходимые и достаточные условия ϕ21 ∈ H 1/2(Γ21), ϕ32 ∈ H 1/2(Γ32). Замечание 3.2. Если конфигурация примыкающих друг к другу липшицевых областей будет представлять собой не «дважды разрезанный банан», как это показано на рис. 2.1, а аналогичную фигуру, разрезанную n раз, то приведенный в данном разделе подход примени´ м и в этом случае. Отличием является лишь тот факт, что матрица Стеклова во второй вспомогательной задаче будет задана как оператор, действующий из прямой суммы не двух, а n экземпляров пространств функционалов, заданных на границах стыка (производных по нормали от решений на этих границах), в прямую сумму n экземпляров следов решений на границах стыка. При этом все общие свойства решений всех четырех вспомогательных задач и соответствующие утверждения об их разрешимости сохраняются. 2. Другой пример конфигурации пристыкованных областей. Рассмотрим теперь кратко задачу, в математическом отношении более простую, чем разобранная выше задача сопряжения (3.1). Будем считать, что область Ω1 ⊂ Rm (m ;?: 3) с внешней липшицевой границей Γ11 содержит внутри себя две области Ω2 и Ω3 с липшицевыми границами Γ12 = Γ21 и Γ13 = Γ31, находящимися друг от друга и от Γ11 на положительном расстоянии (см. рис. 3.1). РИС. 3.1 В этой составной области рассмотрим задачу сопряжения снова на основе дифференциального выражения для оператора Лапласа, хотя аналогичные общие построения можно провести и на основе равномерно эллиптического дифференциального выражения, а также для соответствующих дифференциальных выражений, возникающих для векторных полей в теории упругости, гидродинамики и в других проблемах математической физики. Итак, для искомых функций u1(x), u2(x) и u3(x) имеем следующую задачу сопряжения: u1 - D.u1 = f1 (в Ω1), γ11u1 = ϕ1 (на Γ11), (3.38) u2 - D.u2 = f2 (в Ω2), u3 - D.u3 = f3 (в Ω3), (3.39) γ21u1 - γ12u2 = ϕ21, ∂21u1 + ∂12u2 = ψ21 (на Γ21), γ31u1 - γ13u3 = ϕ31, ∂31u1 + ∂13u3 = ψ31 (на Γ31). Как и ранее, будем разыскивать слабое решение в виде (3.40) 4 4 3 u = (u1; u2; u3)τ = u(j) = (uj1; uj2; uj3)τ ⊂ H1(Ω) := H1(Ωk ). (3.41) j=1 j=1 k=1 АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 89 Здесь на первом этапе в проблеме Зарембы возникает краевая задача лишь для функции u11, и формально можно считать, что u12 = 0, u13 = 0. Имеем задачу u11 - D.u11 = 0 (в Ω1), γ11u11 = ϕ1 (на Γ11), ∂21u11 = 0 (на Γ11), ∂31u11 = 0 (на Γ31). Как и при рассмотрении задачи (3.2), приходим к выводу, что условие ϕ1 ∈ H1/2(Γ11) (3.42) h является необходимым и достаточным для существования слабого решения u11 ∈ H1(Ω1), и оно выражается формулой (см. (3.14)) γ-1 γ-1 1/2 1 u11 = 11 ϕ1, 11 ∈ L(H (Γ11); Hh (Ω1)). (3.43) На втором этапе, т. е. для вспомогательной задачи Стеклова, возникает проблема u21 - D.u21 = 0 (в Ω1), γ11u21 = 0 (на Γ11), u22 - D.u22 = 0 (в Ω2), u23 - D.u23 = 0 (в Ω3), (3.44) γ21u21 - γ12u22 = ϕ21 γ31u21 - γ13u23 = ϕ31 := ϕ21 := ϕ31 - γ21 - γ31 u11 u11 , ∂21 , ∂31 u21 u21 = -∂12 = -∂13 u22 u23 (=: χ21 (=: χ31 ) (на Γ21 ) (на Γ31 = Γ12), = Γ13). Упрощающей особенностью задачи (3.38)-(3.40) является тот факт, что здесь, как и в (1.4), имеют место свойства (H1/2(Γ11))∗ = H-1/2(Γ11), (H1/2(Γ21))∗ = H-1/2(Γ21), (H1/2(Γ31))∗ = H-1/2(Γ31). Поэтому, используя соответствующие формулы Грина вида (1.8), (1.9) для областей Ωk, k = 1, 3, а также общие рассуждения для задачи Стеклова, приходим к выводу, что u21 = V21χ21 + V31χ31, u22 = -V12χ21, u23 = -V13χ31, (3.45) 0,Γ11,h V21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 0,Γ11,h (Ω1)), V31 ∈ L(H-1/2(Γ31); H1 (Ω1)), V12 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1(Ω2)), V13 ∈ L(H-1/2(Γ31); H1(Ω3)). h h Соответствующая операторная матрица Стеклова C11 C12 = γ21V21 + γ12V12 γ21V21 C = C21 C22 γ31V21 γ31V31 + γ13V13 действует из H-1/2(Γ21)(+)H-1/2(Γ31) на H1/2(Γ21)(+)H1/2(Γ31) и обладает свойством 3 2 k ⊕Cχ, χ) = u2k H1(Ω ), χ = (χ21, χ31)τ . Отсюда следует, что k=1 ϕ21 ϕ31 τ -1 ( ; ) = C χ, (3.46) и потому слабое решение u(2) = (u21; u22; u23)τ задачи (3.44) существует, единственно и выражается формулами (3.45), (3.46). При этом необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3.42), а также условия ϕ21 ∈ H1/2(Γ21), ϕ31 ∈ H1/2(Γ31). (3.47) Заметим, что в этой задаче не требуется выполнение условий согласования типа (3.19). Рассмотрим теперь третий этап, связанный с проблемой (3.38)-(3.40), - первую вспомогательную задачу Крейна: u3k - D.u3k = fk (в Ωk ), γ11u31 = 0 (на Γ11), γ21u31 - γ12u32 = 0, ∂21u31 + ∂12u32 = 0 (на Γ21), γ31u31 - γ13u33 = 0, ∂31u31 + ∂13u33 = 0 (на Γ31). Введем подпространство (3.48) H1 0,Γ(Ω) := {(u1; u2; u3)τ 1 ∈ H (Ω) : γ11u1 = 0 (на Γ11), γ21u1 - γ12u2 = 0 (на Γ21), γ31u1 - γ13u3 = 0 (на Γ31)}, 90 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ содержащее плотное в L2(Ω) = ffi3 L2(Ωk ) подпространство H1(Ω) := ffi3 H1(Ωk ). Как и k=1 0 k=1 0 ранее, для задачи (3.48) приходим к следующему выводу. Задача (3.48) имеет единственное слабое 0,Γ решение u(3) ∈ H1 (Ω) тогда и только тогда, когда 0,Γ f := (f1; f2; f3)τ ∈ (H1 (Ω))∗. (3.49) 0,Γ При этом u(3) = A-1f, где A - оператор гильбертовой пары (H1 (Ω); L2(Ω)). Если f ∈ L2(Ω), то u(3) = A-1f ⊂ D(A) - обобщенное решение задачи (3.48). Вторая вспомогательная задача Крейна для проблемы (3.38)-(3.40) формулируется следующим образом: u4k - D.u4k = 0 (в Ωk ), k = 1, 3, γ11u41 = 0 (на Γ11), γ21u41 - γ12u42 = 0, ∂21u41 + ∂12u42 = ψ21 (на Γ21), γ31u41 - γ13u43 = 0, ∂31u41 + ∂13u43 = ψ31 (на Γ31). Здесь для определения слабого решения используем обобщенную формулу Грина (3.50) 3 3 (ηk, u4k )H1(Ω ) = ⊕ηk, u4k - D.u4k )L (Ω ) + ⊕γ21η1, ∂21u41 + ∂12u42)L (Γ )+ k=1 k 2 k k=1 2 21 +⊕γ31η1, ∂31u41 + ∂13u43)L2(Γ31), 0,Γ ∀η = (η1; η2; η3)τ , u(4) = (u41; u42; u43)τ ∈ H1 (Ω), 0,Γ и обычным образом устанавливаем, что задача (3.50) имеет слабое решение из H1 (Ω) тогда и только тогда, когда выполнены условия ψ21 ∈ H-1/2(Γ21), ψ31 ∈ H-1/2(Γ31). (3.51) Таким образом, приходим к следующему итогу. Задача сопряжения (3.38)-(3.40) имеет слабое решение u = (u1; u2; u3)τ ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнены условия (3.42), (3.47), (3.49), (3.51). Это решение выражается формулами (3.41), (3.43), (3.45), (3.46) u(3) = A-1f а также формулами u(4) = B21ψ21 + B31ψ31, 0,Γ,h B21 ∈ L(H-1/2(Γ21); H1 0,Γ,h (Ω)), B31 ∈ L(H-1/2(Γ31); H1 (Ω)), причем для B21 и B31 выполнены свойства, аналогичные свойствам (3.37). Отметим еще раз, что в проблеме сопряжения (3.38)-(3.40) никаких условий согласования заданных граничных функций не требуется. 3. Третья конфигурация: одна область с границей, гомеоморфной сфере с тремя разрезанными ручками. Задачу сопряжения по предполагаемой схеме можно исследовать и в случае, когда имеется лишь одна область, в которой разыскивается искомая функция, а условия сопряжения задаются на двух или более примыкающих друг к другу участках границы этой области. Так будет, в частности, если область Ω односвязна, а граница ∂Ω этой области Ω ⊂ Rm (m ;?: 3) гомеоморфна сфере с тремя разрезанными ручками (см. рис. 3.2) k Обозначим часть ∂Ω вне стыков через Γ0, а на стыках Γk выделим экземпляры Γ! k и Γ!!, по которым можно достичь этих стыков по непрерывности изнутри Ω. При этом, очевидно, на Γk = Γ! = Γ!! возможны разрывы с двух сторон как у предельных функций γ! u и γ!!u, так и k k k k у производных по внешней нормали ∂! u и ∂!!u. Будем считать также, как обычно, что куски k k Γk (k = 1, 3) - липшицевы. В итоге возникает следующая задача сопряжения. Необходимо найти функцию u(x), x ∈ Ω, из уравнения и граничных условий: u - Δu = f (в Ω), γ0u = ϕ0 (на Γ0), ku - γk u = ϕk, ∂ku + ∂k u = ψk (на Γk ), k = 1, 3. (3.52) γ! !! ! !! Здесь заданными функциями являются f, а также ϕ0, ϕk (k = 1, 3) и ψk (k = 1, 3). Будем разыскивать слабое решение задачи (3.52) из пространства H1(Ω) по общей схеме, предложенной выше. Тогда на первом этапе возникает задача Зарембы для функции u1(x): u1 - Δu1 = 0 (в Ω), γ0u1 = ϕ0 (на Γ0), ku1 = 0 (на Γk ) ∂k u1 = 0 (на Γk ), k = 1, 3. (3.53) ∂! ! !! !! АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 91 РИС. 3.2 h Если слабое решение этой задачи принадлежит H1(Ω) ⊂ H1(Ω), то его след на ∂Ω является функцией из H1/2(∂Ω). Поэтому возникает следующее дополнительное условие: существует функция ϕ ∈ H1/2(∂Ω) такая, что ее сужение на Γ0 совпадает с ϕ0, т. е. ρ0ϕ = ϕ0 ∈ H1/2(Γ0), (3.54) где ρ0 : H1/2(∂Ω) → H1/2(Γ0) - оператор сужения (он ограничен). h Тогда так же, как для рассмотренной выше задачи (3.2), в частности, для задачи (3.8), приходим к выводу, что задача (3.53) имеет единственное слабое решение u1 ∈ H1(Ω), выражаемое формулой γ-1 γ-1 1/2 1 u1 = 0 ϕ0, 0 ∈ L(H (Γ0); Hh (Ω)). (3.55) Здесь при доказательстве (3.55), как и в (3.11), (3.12), снова используется обобщенная формула Грина в форме (1.16): (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - D.u)L2(Ω) + 3 ⊕γ! η, ∂! u) 3 + ⊕γ!!η, ∂!!u)L (Γ ), (3.56) k k=1 k L2(Γk ) k k=1 k 2 k η, u ∈ H 1(Ω) ⊂ H1(Ω), γ! η, γ!!η ∈ H 1/2(Γk ), ku, ∂k u ∈ H ∂! !! k k -1/2(Γk ), k = 1, 3. На втором этапе исследования проблемы (3.52) возникает следующая задача Стеклова: u2 - Δu2 = 0 (в Ω), γ0u2 = 0 (на Γ0), (γ! - γ!!)u2 = := ϕ - (γ! - γ!!)u1, ∂! u2 = -∂!!u2(=: χk ) (на Γk ), k = 1, 3. (3.57) k k ϕk k k k k k С использованием формулы Грина (3.56) ее решение через функции χk выражается в виде 3 u(2) = (V ! - V !!)χk, V ! ! ∗ -1/2 ! 1 k k=1 !! k !! ∗ -1/2 !! 1 k = (γk ) ∈ L(H (Γk ); H0,Γ0,h(Ω)), Vk = (γk ) ∈ L(H (Γk ); H0,Γ0,h(Ω)), (3.58) 92 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ а условия для следов функций на стыках дают уравнение ⎛γ! !!⎞ ⎛ ⎞ ⎛ϕ1⎞ 1 - γ1 2 - γ2 χ1 (V1 - V1 ; V2 - V2 , V3 - V3 ) χ2 = (3.59) ⎝γ! γ! !!⎠ ! !! !! ! !! ! !! ⎝ ⎠ ⎝ϕ2⎠ ϕ3 3 - γ3 χ3 для нахождения неизвестных χk, k = 1, 3. В силу (3.58) матрица C из (3.59), очевидно, самосопряженная, т. е. χ) = ⊕C χ), χ, ∈ (+)3 H -1/2 (Γk ), k=1 ⊕Cχ, χ, χ и, кроме того, положительная: 3 2 2 ⊕Cχ, χ) = (V ! - V !!)χk = u2 H1(Ω). k k=1 k H1(Ω) Поэтому система уравнений (3.59) имеет единственное решение χ := (χ1; χ2; χ3)τ = C-1ϕ, ϕ := (ϕ1; ϕ2, ϕ3)τ ∈ (+)3 H1/2(Γk ). k=1 ϕ Значит, при выполнении этого требования на задача (3.57) имеет единственное слабое реше- ∈ H ние u(2) 1 0,Γ0,h (Ω). На третьем этапе имеем проблему u3 - Δu3 = f (в Ω), γ0u3 = 0 (на Γ0), (γ! - γ!!)u3 = 0, (∂! + ∂!!)u3 = 0 (на Γk ), k = 1, 3. (3.60) k k k k Введем подпространство H1 1 ! !! плотное в L2(Ω), т. е. (H1 0,Γ(Ω) := {u ∈ H0,Γ0 (Ω) : (γk - γk )u = 0 (на Γk )}, (Ω); L2(Ω)) - гильбертова пара. Из формулы Грина (3.56) для элементов из H 1 0,Γ 0,Γ (Ω) будем иметь тождество (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - Δu)L2(Ω) + 3 ⊕γ! η, (∂! + ∂!!)u) . k k=1 k k L2(Γk ) 0,Γ Отсюда, определяя слабое решение задачи (3.60), получаем, что при f ∈ (H1 (Ω))∗ эта задача 0,Γ имеет решение u(3) = A-1f, где A - оператор гильбертовой пары (H1 (Ω); L2(Ω)). Наконец, на четвертом этапе возникает задача u4 - Δu4 = 0 (в Ω), γ0u4 = 0 (на Γ0), (γ! - γ!!)u4 = 0, (∂! + ∂!!)u4 = ψk (на Γk ), k = 1, 3, k k k k слабое решение которой при условиях ψk ∈ H-1/2(Γk ), k = 1, 3, существует, единственно и выражается формулой 3 0,Γ,h u(4) = Bkψk, Bk ∈ L(H-1/2(Γk ); H1 (Ω)). k=1 Подводя итоги рассмотрения задачи (3.52), приходим к выводу, что при предположении (3.54), а также при других необходимых условиях эта задача имеет единственное слабое решение u = 4 ), uk ∈ H1(Ω), где составляющие uk выражаются приведенными выше формулами. k=1 Замечание 3.3. Проведенные построения показывают, что аналогичным образом рассматривается проблема в области с границей, гомеоморфной сфере с произвольным числом n разрезанных ручек. Замечание 3.4. По такой же схеме можно рассмотреть проблемы, в которых для области Ω вместо разрезов с поверхностями Γk = Γ! = Γ!! имеются разведенные липшицевы куски Γ! и Γ!! с k k k k одинаковыми свойствами, т. е. имеются оснащения H 1/2(Γ! 1/2 !! ! !! -1/2 ! -1/2 !! k ) = H (Γk ) '→'→ L2(Γk ) = L2(Γk ) '→'→ H (Γk ) = H (Γk ), k = 1, n. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 93 4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ СМЕШАННЫМИ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ И ЗАДАЧАМИ СОПРЯЖЕНИЯ 1. Смешанная спектральная задача в одной области. Рассмотрим область Ω ⊂ Rm с липшицевой границей ∂Ω =: Γ, разбитой на четыре липшицевых куска Γk с липшицевыми границами ∂Γk, k = 1, 4. В этой области будем исследовать следующую спектральную задачу: u - Δu = λu =: f (в Ω), γ1u := u|Γ1 = 0 (на Γ1), (4.1) ∂2u = μγ2u =: ψ2 (на Γ2), ∂3u = λγ3u =: ψ3 (на Γ3), (4.2) ∂4u = λ-1γ4u =: ψ4 (на Γ4). (4.3) Здесь на Γ1 задано однородное условие Дирихле, на Γ2 - условие типа Стефана (или Стеклова), на Γ3 - условие Аграновича (см. [28]), или условие, возникающее в задачах дифракции, на Γ4 - условие типа Крейна, появившееся в задачах о нормальных движениях тяжелой вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. Отметим еще, что в этой проблеме имеется два параметра, т. е. λ и μ, один из которых можно считать спектральным, а второй - фиксированным. В частности, в задачах дифракции спектральным является параметр μ ∈ C (см. [28]). Другой вариант, когда спектральным является λ ∈ C, рассматривается в работах В. И. Горбачук (см. [10]). Задачу (4.1)-(4.3) можно исследовать с помощью общей схемы, которая обсуждалась в первых трех разделах. С этой точки зрения здесь подлежит рассмотрению одна первая вспомогательная задача Крейна и три вторых вспомогательных задачи Крейна. Именно, слабое решение задачи (4.1)-(4.3), в силу однородного условия Дирихле на Γ1, естественно искать в пространстве H1 0,Γ1 (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : γ1u = 0 (на Γ1)}⊂ H 1(Ω). 0,Γ1 Будем разыскивать решение u ∈ H1 (Ω) в виде суммы решений четырех задач, т. е. 4 0,Γ1 u = uk, uk ∈ H1 (Ω), (4.4) k=1 где uk - слабые решения таких задач соответственно: (4.5) u1 - D.u1 = f := λu (в Ω), γ1u1 = 0 (на Γ1), ∂2u1 = 0 (на Γ2), ∂3u1 = 0 (на Γ3), ∂4u1 = 0 (на Γ4); (4.6) u2 - D.u2 = 0 (в Ω), γ1u2 = 0 (на Γ1), ∂2u2 = ψ2 := μγ2u (на Γ2), ∂3u2 = 0 (на Γ3), ∂4u2 = 0 (на Γ4); (4.7) u3 - D.u3 = 0 (в Ω), γ1u3 = 0 (на Γ1), ∂2u3 = 0 (на Γ2), ∂3u3 = ψ3 := λγ3u (на Γ3), ∂4u3 = 0 (на Γ4); (4.8) u4 - D.u4 = 0 (в Ω), γ1u4 = 0 (на Γ1), ∂2u4 = 0 (на Γ2), ∂3u4 = 0 (на Γ3), ∂4u4 = ψ4 := λ-1γ4u (на Γ4). Желая представить решение u в виде (4.4), естественно ввести пространство ∂u Hˇ 1(Ω) := {u ∈ H1(Ω) : ∂ku = (см. (1.22)) и его подпространство ∂n Γk ∈ H -1/2(Γk ), k = 1, 4} Hˇ 1 ˇ 0,Γ1 (Ω) := H 0,Γ1 1(Ω) ∩ H1 (Ω). (4.9) 0,Γ Для элементов из Hˇ 1 1 (Ω) имеем формулу Грина, следующую из (1.25), (1.26): 4 (η, u)H1(Ω) = ⊕η, u - D.u)L2(Ω) + k=2 1 1 ⊕γkη, ∂ku)L2(Γk ) ∀ η, u ∈ Hˇ0,Γ (Ω), (4.10) k γkη ∈ H1/2(Γk ), ∂ku = (∂u/∂n)Γ ∈ H -1/2(Γk ), k = 2, 4. Из этой формулы следует, что слабое решение задачи (4.5) определяется тождеством 1 (η, u1)H1(Ω) = ⊕η, f )L2(Ω)(= ⊕η, λu)L2(Ω)) ∀ η ∈ Hˇ0,Γ (Ω), 1 94 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ и предыдущие рассмотрения показывают, что u1 = A-1f = λA-1u, (4.11) 0,Γ где A - оператор гильбертовой пары (Hˇ 1 1 (Ω); L2(Ω)). Далее, слабое решение задачи (4.6) определяется тождеством 1 (η, u2)H1(Ω) = ⊕γ2η, ψ2)L2(Γ2) = ⊕γ2η, μγ2u)L2(Γ2) ∀ η ∈ Hˇ0,Γ1 (Ω). Это решение задается формулой 0,Γ1,h u2 = V2ψ2 = λV2γ2u, V2 ∈ L(H -1/2(Γ2); Hˇ 1 2 (Ω)), V2 = γ∗, (4.12) Hˇ 1 1 1 0,Γ1,h(Ω) := Hˇ0,Γ1 (Ω) ∩ Hh (Ω). Аналогично рассматриваются задачи (4.7) и (4.8), и их решения выражаются формулами 0,Γ1,h u3 = V3ψ3 = λV3γ3u, V3 ∈ L(H -1/2(Γ3); Hˇ 1 u4 = V4ψ4 = λ-1V4γ4u, V4 ∈ L(H -1/2(Γ4); Hˇ 1 3 (Ω)), V3 = γ∗, (Ω)), V4 = γ∗. (4.13) 0,Γ1,h 4 Складывая левые и правые части соотношений (4.11), (4.12), (4.13), получаем, что слабое решение u задачи (4.1)-(4.3) должно быть решением следующей спектральной проблемы: 0,Γ1 u = λ(A-1 + V3γ3)u + μV2γ2u + λ-1V4γ4u, u ∈ Hˇ 1 (Ω). (4.14) Это уравнение можно привести к более симметричной форме, воспользовавшись тем, что имеют место свойства A1/2Vk = (γk A-1/2)∗ ∈ L(H-1/2(Γk ); L2(Ω)), k = 1, 3. (4.15) 0,Γ1 Действительно, представим элемент u ∈ H1 (Ω) = D(A1/2), R(A1/2) = L2(Ω), в виде u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω), (4.16) подставим это выражение в (4.14) и подействуем на обе части полученного соотношения оператором A1/2 (это можно сделать в силу (4.15)). Тогда взамен (4.14) возникает спектральная задача 1 L(λ, μ)v := (I - λ(A-1 + B3) - μB2 - λ-1B4)v = 0, v ∈ L2(Ω), (4.17) k ∞ Bk := (A1/2Vk )(γk A-1/2) = B∗ ;?: 0, Bk ∈ S (L2(Ω)), k = 2, 4, (4.18) для операторного пучка L(λ, μ) с параметрами λ и μ, один из которых можем считать спектральным, другой - заданным фиксированным. Не проводя подробного анализа свойств решений задачи (4.17), (4.18), сделаем несколько предварительных выводов. 1◦. Если μ :: 0, то I - μB2 ;?: I ≡ 0; тогда задача (4.17) приводится к уравнению η = (I - μB2)-1/2(λ(A-1 + B3)+ λ-1B4)(I - μB2)-1/2η, η ∈ L2(Ω), и возникает хорошо изученный операторный пучок Крейна. 2◦. Если μ > 0 и ker(I - μB2) = {0}, то возникает индефинитная метрика (пространство Понтрягина Πκ). Такие проблемы встречаются в задачах конвекции. 3◦. Если Im μ /= 0, то оператор I - μB2 обратим. В этом варианте имеем спектральную проблему для пучка, близкого к пучку Крейна (вращающаяся тяжелая вязкая жидкость). 4◦. Если Γ4 - пустое множество, то B4 = 0 и возникает проблема, аналогичная задаче сопряжения из теории дифракции (μ - спектральный параметр). 5◦. Если λ - фиксированный параметр, то (4.17) приводится к задаче на собственные значения слабо возмущенного самосопряженного оператора (проблема Келдыша). Таким образом, задача (4.17), (4.18) содержит в себе много известных спектральных проблем, встречающихся в приложениях. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 95 РИС. 4.1 2. Спектральная задача сопряжения для двух примыкающих областей. Рассмотрим теперь более сложную задачу - конфигурацию из двух примыкающих областей, причем на отдельных участках границы этих областей заданы однородные условия, содержащие спектральный либо фиксированный параметр. Итак, будем считать, что две области Ω1 и Ω2 из Rm с липшицевыми границами примыкают друг к другу, как это показано на рис. 4.1. Их внешние границы Γ11 и Γ22 являются липшицевыми кусками и сами разбиты на липшицевы куски: 4 kk Γkk = ( I Γkk,j ) ∪ ∂Γ0 , k = 1, 2, j=1 а граница стыка Γ12 = Γ21 разбита на семь липшицевых кусков: 7 21 Γ12 = Γ21 = ( I Γ21,j ) ∪ ∂Γ0 , Γ21,j = Γ12,j . kl Здесь символом ∂Γ0 j=1 обозначено объединение внутренних границ при разбиении Γkl на части Γkl,j. Опираясь на эти определения, сформулируем постановку спектральной задачи сопряжения для искомых функций uk (x), заданных в областях Ωk, k = 1, 2, с соответствующими граничными условиями. Имеем: в областях Ω1 и Ω2 - u1 - D.u1 = f1 := λu1 (в Ω1), u2 - D.u2 = f2 := λu2 (в Ω2); (4.19) на внешних границах: γ11,1u1 = 0 (на Γ11,1), γ22,1u2 = 0 (на Γ22,1); (4.20) ∂11,2u1 = ψ11,2 := μγ11,2u1 (на Γ11,2), ∂22,2u2 = ψ22,2 := μγ22,2u2 (на Γ22,2); ∂11,3u1 = ψ11,3 := λγ11,3u1 (на Γ11,3), ∂22,3u2 = ψ22,3 := λγ22,3u2 (на Γ22,3); ∂11,4u1 = ψ11,4 := λ-1γ11,4u1 (на Γ11,4), ∂22,4u2 = ψ22,4 := λ-1γ22,4u2 (на Γ22,4); на границах стыка: (4.21) γ21,1u1 - γ12,1u2 = 0, ∂21,1u1 + ∂12,1u2 = 0 (на Γ21,1); (4.22) γ21,2u1 - γ12,2u2 = 0, ∂21,2u1 + ∂12,2u2 = ψ21,2 := μγ21,2u1 (на Γ21,2), (4.23) γ21,3u1 - γ12,3u2 = 0, ∂21,3u1 + ∂12,3u2 = ψ21,3 := λγ21,3u1 (на Γ21,3), (4.24) γ21,4u1 - γ12,4u2 = 0, ∂21,4u1 + ∂12,4u2 = ψ21,4 := λ-1γ21,4u1 (на Γ21,4); (4.25) ∂21,5u1 = -∂12,5u2 = ψ21,5 := λ(γ21,5u1 - γ12,5u2) (на Γ21,5); (4.26) ∂21,6u1 = -∂12,6u2 = ψ21,6 := λ(γ21,6u1 - γ12,6u2) (на Γ21,6); (4.27) ∂21,7u1 = -∂12,7u2 = ψ21,7 := λ-1(γ21,7u1 - γ12,7u2) (на Γ21,7). (4.28) 96 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, К. А. РАДОМИРСКАЯ Здесь λ и μ, как и в задаче (4.1)-(4.3), - параметры, один из которых является спектральным, а другой - фиксированным. Отметим еще, что условия (4.23), (4.25), (4.27) называют условиями первой задачи сопряжения, а (4.24), (4.26), (4.28) - условиями второй задачи сопряжения (см. [28]). Из постановки задачи (4.19)-(4.28) видно (см. (4.20)), что ее слабое решение u = (u1; u2) 0,Γ естественно искать в пространстве H1 11,1 (Ω1) ⊕ H 1 0,Γ22,1 (Ω2). Более того, это решение должно Γ принадлежать подпространству H1 (Ω) тех элементов, для которых выполнены главные (с вариационной точки зрения) однородные краевые условия на стыках - это группа первых условий в (4.21)-(4.25). Значит, H1 1 1 Γ(Ω) := {(u1; u2) ∈ H0,Γ11,1 (Ω1) ⊕ H0,Γ22,1 (Ω2) : γ21,k u1 - γ12,k u2 = 0 (на Γ21,k ), k = 1, 4}. Γ Далее, представляя решение задачи в виде суммы вспомогательных задач, в которых неоднородности, т. е. формально полагаемые заданными функции в (4.19)-(4.28), содержатся либо в уравнениях, либо в одном из краевых условий для областей Ωk, k = 1, 2, следует воспользоваться обобщенными формулами Грина в форме (1.25)-(1.26). Тогда для элементов из H1 (Ω) будем иметь обобщенную формулу Грина в следующем виде: 2 2 (η, u)H1(Ω) := (ηk, uk )H1(Ω ) = ⊕ηk, uk - D.uk )L (Ω )+ k=1 2 4 k 2 k k=1 4 2 + ⊕γkk,jηk, ∂kk,juk )L (Γ k=1 j=2 7 + kk,j 2 ) + ⊕γ21,j η1, ∂21,j u1 + ∂12,j u2)L (Γ j=1 21,j )+ j=5 ⊕γ21,j η1 - γ12,j η2, ∂21,j u1)L2(Γ21,j ), (4.29) где следы γkl,jηl ∈ H1/2(Γkl,j ), а производные по нормали ∂kl,jul ∈ H -1/2(Γkl,j ), т. е. из сопряженного пространства (см. (4.9), (4.10)). Γ Отметим еще, что пространство H1 (Ω) плотно в L2(Ω) := L2(Ω1)⊕L2(Ω2), так как оно содержит подпространство H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2), плотное в L2(Ω). 0 0 Следуя схеме, уже изложенной для задачи (4.1)-(4.3), приходим к выводу, что первая вспомогательная задача Крейна, отвечающая неоднородным членам лишь в уравнениях (4.19) с заданными f1 и f2, определяется как слабое решение u(1) = (u11; u12) на основе тождества 2 (η, u(1))H1(Ω) = ⊕ηk, fk )L (Ω ), η = (η1; η2) ∈ H1 (Ω), 2 k Γ k=1 следующего из формулы Грина (4.29). Поэтому Γ u(1) = A-1f = λA-1u, f = (f1, f2) ∈ (H1 (Ω))∗. (2) Далее, заданным функциям ψ11,2 и ψ22,2 из (4.27) отвечают слабые решения uI (2) и uII , соответственно, определяемые тождествами (2) (η, uI )H1(Ω) = ⊕γ11,2η1, ψ11,2)L2(Γ 11,2 Γ ) ∀η ∈ H1 (Ω), (η, uII )H1(Ω) = ⊕γ22,2η2, ψ22,2)L (Γ ) ∀η ∈ H1 (2) 2 22,2 Γ(Ω). Обозначая эти решения через V11,2ψ11,2 и V22,2ψ22,2, приходим к выводу, что u(2) = uI II (2) + u(2) = μ(V11,2γ11,2p1 + V22,2γ22,2p2)u, где pku = pk (u1; u2) := uk, k = 1, 2. Отметим еще, что имеют место свойства Vkk,2 = (γkk,2pk )∗, k = 1, 2. Аналогично определяются слабые решения задач, отвечающие элементам ψ11,3 и ψ11,4 соответственно. Тогда u(3) = λ(V11,3γ11,3p1 + V22,3γ22,3p2)u, Vkk,3 = (γkk,3pk )∗, k = 1, 2. АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ 97 Таким же образом имеем u(4) = λ-1(V11,4γ11,4p1 + V22,4γ22,4p2)u, Vkk,4 = (γkk,4pk )∗, k = 1, 2. Рассмотрим теперь вспомогательные задачи, отвечающие заданным элементам ψ21,j из (4.23)- (4.25), j = 1, 3. Решение, соответствующее ψ21,2, определяется из тождества 2 21,2 Γ (η, u(5))H1(Ω) = ⊕γ21,2η1, ψ21,2)L (Γ ), η ∈ H1 (Ω), и при ψ21,2 ∈ H -1/2(Γ21,2) имеем единственное решение u(5) = V21,2ψ21,2 = μV21,2γ21,2p1u, V21,2 = (γ21,2p1)∗. Аналогично получаем формулы, отвечающие ψ21,3 и ψ21,4: u(6) = λV21,3γ21,3p1u, V21,3 = (γ21,3p1)∗, u(7) = λ-1V21,4γ21,4p1u, V21,4 = (γ21,4p1)∗. Перейдем теперь к рассмотрению решений, отвечающих элементам ψ21,j , j = 5, 7, из (4.26)- (4.28). Решение u(8), отвечающее ψ21,5, как следует из формулы Грина (4.29), определено тождеством 2 21,5 Γ (η, u(8))H1(Ω) = ⊕γ21,5η1 - γ12,5η2, ψ21,5)L (Γ ) ∀η ∈ H1 (Ω). При любом ψ21,5 ∈ H -1/2(Γ21,5) существует единственное решение u(8) = V21,5ψ21,5 = μV21,5(γ21,5p1 - γ12,5p2)u, V21,5 = (γ21,5p1 - γ12,5p2)∗. Аналогичным образом получаем формулы для оставшихся двух решений u(9) и u(10) вспомогательных задач, отвечающих заданным ψ21,6 и ψ21,7 соответственно из (4.27), (4.28). Имеем u(9) = λV21,6(γ21,6p1 - γ12,6p2)u, V21,6 = (γ21,6p1 - γ12,6p2)∗, u(10) = λ-1V21,7(γ21,7p1 - γ12,7p2)u, V21,7 = (γ21,7p1 - γ12,7p2)∗. Итогом проведенных построений является такой вывод. Слабое решение u = (u1; u2) задачи (4.19)-(4.28) удовлетворяет уравнению 10 Γ u = u(j) = λ(A-1 + C3)u + μC2u + λ-1C4u, u ∈ H1 (Ω), (4.30) j=1 C3 := V11,3V ∗ + V21,3V ∗ 21,6 21,6, 21,5, 21,7. Таким образом, для спектральной проблемы сопряжения (4.19)-(4.28) получилось уравнение (4.30) такого же общего вида, как уравнение (4.14) для более простой спектральной проблемы (4.1)- (4.3). Осуществляя еще в (4.30) такую же замену, как в (4.16), т. е. u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω) = L2(Ω1) ⊕ L2(Ω2), и действуя оператором A1/2, приходим окончательно к спектральной задаче L(λ, μ)v := (I - λ(A-1 + B3) - μB2 - λ-1B4)v = 0, v ∈ L2(Ω), (4.31) k ∞ 0 :: Bk = A1/2Ck A-1/2 = B∗ ∈ S (L2(Ω)), k = 1, 4, (4.32) равносильной исходной проблеме (4.19)-(4.28). Очевидно, для задачи (4.31), (4.32) имеют место те же предварительные выводы, которые были указаны в свойствах 1◦-5◦ для задачи (4.17).

Об авторах

Н. Д. Копачевский

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: kopachevsky@list.ru
295007, Симферополь, проспект Вернадского, 4

К. А. Радомирская

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Email: radomirskaya@mail.ru
295007, Симферополь, проспект Вернадского, 4

Список литературы