Псевдопараболическая регуляризация возвратно-поступательных параболических уравнений с ограниченными нелинейностями

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В данной статье представлены недавние результаты для начально-краевой задачи ⎧ ut = [ϕ(u)]xx + ε[ψ(u)]txx в Q := Ω × (0,T ], (P ) ⎨ ϕ(u)+ ε[ψ(u)]t =0 в ∂ Ω × (0,T ], ⎩ u = u0 в Ω × {0}, где ε и T - положительные постоянные, Ω ≡ (a, b) - ограниченный интервал, а u0 - положительная конечная мера Радона на Ω (за доказательствами читатель отсылается к [4-6], а также к [17, 18]). Функции ϕ, ψ : [0, ∞] 1→ [0, ∞) удовлетворяют следующим условиям: 1. ϕ(0) = ϕ(∞) = 0 и существует такое положительное α, что ϕ возрастает в интервале (0, α) и убывает в интервале (α, ∞); 2. ψ(0) = 0, ψ(∞)= γ ∈ (0, ∞), ψ возрастает на полуоси (0, ∞) и ψ×(u) → 0 при u → ∞. (см. условия (H1)-(H2) пункта 3.1). Поскольку ϕ немонотонна, предельная задача ⎧ ut = [ϕ(u)]xx в Q, ⎨ ϕ(u)=0 в ∂ Ω × (0,T ], ⎩ u = u0 в Ω × {0}, (0.1) соответствующая задаче (P ) при ε → 0+, некорректна. Первое уравнение в (0.1) называется уравнением возвратно-поступательного типа, а сама задача (P ), возникающая как псевдопараболическая регуляризация задачи (0.1), является вырожденной, поскольку ψ×(u) → 0 при u → ∞. Интерес к данной тематике обусловлен уравнением Пероны-Малика (см. [13]) с одной пространственной переменной: здесь, как правило, функция ϕ имеет вид u zt = [ϕ(zx)]x; (0.2) u ϕ(u)= u2 + α - либо ϕ(u)= u exp ( α \\ (α > 0). (0.3) Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 164 ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 165 Положим u := zx. Тогда, формальное дифференцируя уравнение (0.2) по переменной x, получим дифференциальное уравнение из задачи (0.1). Задача (0.1) с ϕ, определенной формулами из (0.3), возникает в моделях агрегации популяций (см. [12]), а для ϕ, ведущей себя, как кубическая функция - в теории фазовых переходов (см. [7, 10]). Уравнение zt = [ϕ(zx)]x + ε[ψ(zx)]tx (0.4) (где ψ - такая же, как и выше), являющееся вырожденной псевдопараболической регуляризацией уравнения (0.2), естественным образом возникает в одномерной модели формирования слоев постоянной температуры в океане (см. [1]). Здесь слагаемое ε[ψ(zx)]tx уравнения (0.4) является формальным приближением первого порядка модифицированной версии уравнения (0.2), учитывающей эффекты запаздывания. Отметим, что, формально дифференцируя ε[ψ(zx)]tx и полагая u := zx, мы получаем слагаемое ε[ψ(u)]txx в первом уравнении задачи (P ). В работе [1] обнаружено, что решения уравнения (0.4) могут иметь особенности при положительных значениях t; более того, с ростом времени такие особенности не исчезают. Это означает, что решение z уравнения (0.4) может стать разрывным по переменной x; эвристически, в терминах неизвестной функции u = zx, это показывает, что в решении задачи (P ) возникают массы Дирака. Значения решений задачи (P ) фактически являются внутренними мерами Радона, поскольку положительные меры Радона могут возникать спонтанно даже в том случае, когда функция u0 ограничена (см. теорему 3.4 ниже). Исследуя возникновение особенностей, естественно применить к задаче (P ) преобразование t → T - t, обращающее время (см. [1, 4]). Тогда возникновение особенностей в (P ) соответствует исчезновению особенностей в следующей «обратной» задаче для неизвестной функции z(·, t) := u(·,T - t): (B) ⎧ zt = [χ(z)]xx + ε[ψ(z)]txx в Q ⎨ χ(z)+ ε[ψ(z)]t = ϕ(α) в ∂ Ω × (0,T ) ⎩ z = u(·,T ) в Ω × {0}, где χ(u) := ϕ(α)-ϕ(u) (u ∈ [0, ∞)). Отметим, что перейти к задаче (B) означает исследовать задачу (P ) при других условиях на ϕ, в частности, при предположении, что ϕ ограничена и возрастает на бесконечности (см. условие (H3)). Поведение функции ϕ на бесконечности играет ключевую роль для определения качественных свойств (в частности, регулярности) решений задачи (P ). В разделе 2 это будет подробно рассмотрено для случая, когда ϕ ведет себя как кубическая функция, где ϕ(u) → ∞ при u → ∞ (см. условие (A)), сравнительно со случаем, когда ϕ задана формулами (0.3) (в более общем случае, удовлетворяет условию (H1)). Поведение ψ на бесконечности - это важное свойство задачи (P ). Как сказано выше, первое уравнение в (P ) является вырожденным псевдопараболическим, поскольку ψ×(u) → 0 при u → ∞. Этот случай существенно отличается от так называемой соболевской регуляризации, используемой в [12, 16], которая формально соответствует выбору ψ(u) = u. В [3] задача (P ) рассмотрена в предположении, что ψ имеет степенной рост, а именно, ψ(u) = (1 + u)θ - 1 (θ ∈ (0, 1]). В этом случае сингулярная (относительно меры Лебега) часть us решения u не меняется со временем (в частности, не может возникать спонтанно). Напротив, в логарифмическом случае, т. е. при ψ(u) = ln(1 + u), сингулярная часть us может возрастать по переменной t, однако она никогда не возникает спонтанно (см. [2]). Отметим, что, хотя ψ×(u) → 0 при u → ∞ для θ ∈ (0, 1) в обоих случаях (в степенном и логарифмическом), в логарифмическом случае ψ×(u) стремится к нулю быстрее, а значит, регуляризация является более слабой. Таким образом, упомянутый выше эффект спонтанного возникновения особенностей представляется естественным: он возникает при выполнении условия (H2), т. е. когда ψ× обращается в нуль на бесконечности быстрее (а значит, регуляризация является более слабой), чем в логарифмическом или степенном случае (см. раздел 2). В разделе 1 настоящей работы мы определяем рамки математического исследования. В разделе 2 рассматривается случай, когда ϕ ведет себя, как кубическая функция. В разделе 3 приводятся основные результаты для случая, когда функция ϕ ограничена и убывает на бесконечности, в разделе 5 - для случая, когда она ограничена и возрастает на бесконечности. Идея доказательства 166 А. ТЕСЕИ результатов о существовании приводится в разделе 3; для случая, когда u0 - непрерывная функция с компактным носителем, ее можно найти в разделе 4. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Через M(Ω) обозначим пространство конечных мер Радона на Ω, а через M+(Ω) ⊂ M(Ω) - конус неотрицательных конечных мер Радона на Ω. Носитель меры μ из M+(Ω), обозначаемый через supp μ, определяется как дополнение максимального открытого подмножества E множества Ω, для которого μ(E) = 0. Будем говорить, что μ ∈ M-(Ω), если -μ ∈ M+(Ω). По теореме Рисса-Маркова справедливо равенство M(Ω) = (Cc(Ω))∗; таким образом, M(Ω) есть банахово пространство с нормой lμlM(Ω) := | μ |(Ω), где | μ | обозначает полную вариацию меры μ. Символ (·, ·)Ω , обозначающий отображение двойственности между пространством M(Ω) и Cc(Ω), а именно r (μ, ζ)Ω = Ω ζ(x) dμ(x), распространяется на любую μ-интегрируемую функцию ζ (в том числе на любую ζ из C(Ω)). Для любой μ из M(Ω) и любого борелевского множества E ⊆ Ω сужение μ E меры μ на множество E определяется следующим образом: (μ E)(A) := μ(E ∩ A) для любого борелевского множества A ⊆ Ω. Если μ, ν - неотрицательные меры, то мера μ называется сингулярной относительно ν, если существует борелевское множество E, для которого μ = μ E и ν(E)= 0. Через Ms(Ω) ⊂ M(Ω) и Mac(Ω) ⊂ M(Ω) обозначим множества мер, сингулярных и абсолютно непрерывных (соответственно) относительно меры Лебега (далее обозначаемой через |· |). Напомним, что Ms(Ω) ∩ Mac(Ω) = {0}. Кроме того, в силу лебеговского разложения и теоремы Радона-Никодима следующие утверждения справедливы для любой μ из M(Ω): 1. существует и единственна пара мер μac ∈ Mac(Ω), μs ∈ Ms(Ω), для которой μ = μac + μs; (1.1) 2. существует и единственна μr из L1(Ω) (называемая плотностью меры μac), для которой r μac(E)= E + μr (x)dx для любого борелевского множества E ⊆ Ω. + Если μ ∈M (Ω), то μac, μs ∈M (Ω) и μr ;;: 0 п. в. в Ω. Любая мера μ из M(Ω) может быть представлена единственным образом в виде разности μ = μ+ - μ- двух положительных взаимно сингулярных мер μ± (называемых соответственно положительной и отрицательной частями меры μ.). Легко видеть, что [μac]± = [μ±]ac, [μs]± = [μ±]s. Мера μ из M(Ω) называется дискретной, если существует счетное борелевское множество E ⊆ Ω, для которого μ = μ E, и непрерывной, если μ({x}) = 0 для любого x из Ω. Согласно равенству (1.1) любая μ из M(Ω) может быть представлена единственным образом в виде суммы μ = μac + μsc + μd, где 3. μac абсолютно непрерывна, μsc и μd сингулярны относительно меры Лебега, μsc сингулярна относительно μd; 4. μac и μsc непрерывны, μd дискретна. Меры μsc и μd называются сингулярно непрерывной и дискретной (соответственно) частями меры μ. Подобные замечания и обозначения остаются справедливыми (соответственно, неявно используются) для мер Радона и вещественных функций на Q := Ω×(0,T ) ⊂ RN +1 и на (0,T ) ⊂ R. ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 167 Определение 1.1. Через L∞(0,T ; M+(Ω)) обозначим множество неотрицательных мер Радона z из M+(Q), обладающих следующим свойством: почти для любого t из (0,T ) существует мера z(·, t) из M+(Ω), для которой справедливы следующие утверждения: 5. для любого ζ ∈ Cc(Q) отображение t 1→ (z(·, t), ζ(·, t))Ω принадлежит L1(0,T ) и T r (z, ζ)Q = (z(·, t), ζ(·, t))Ω dt; (1.2) 0 6. отображение t 1→ lz(·, t)lM(Ω) принадлежит L∞(0,T ). Аналогично, через L∞(Ω; M+(0,T )) обозначим множество таких мер Радона z из M+(Q), что почти для любого x из Ω существует мера z(x, ·) из M+(0,T ), обладающая следующими свойствами: (i)× для любого ζ из Cc(Q) отображение x 1→ (z(x, ·), ζ(x, ·))(0,T ) принадлежит L1(Ω) и r (z, ζ)Q = (z(x, ·), ζ(x, ·))(0,T ) dx; Ω (ii)× отображение x 1→ lz(x, ·)lM(0,T ) принадлежит L∞(Ω). Через C([0,T ]; M+(Ω)) обозначим множество таких мер z из L∞(0,T ; M+(Ω)), что след z(·, t) определен для любого t из [0,T ] и для любого t0 из [0,T ]. t t0 lim lz(·, t) - z(·, t0)lM(Ω) =0 → Согласно (ii) и (ii)× используем обозначения lzlL∞(0,T ;M(Ω)) := ess sup t∈(0,T ) lz(·, t)lM(Ω) < ∞, lzlL∞(Ω;M(0,T )) := ess sup lz(x, ·)lM(0,T ) < ∞. x∈Ω Если z ∈ L∞(0,T ; M+(Ω)), то, очевидно, и zac, zs ∈ L∞(0,T ; M+(Ω)), а zr ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)) (аналогичное утверждение справедливо для z из C([0,T ]; M+(Ω))). Кроме того, из равенства (1.2) следует, что rr (zac, ζ)Q = Q и T r zr ζ dxdt для любой ζ из Cc(Q) (zs, ζ)Q = (zs(·, t), ζ(·, t))Ω dt 0 + Через [z(·, t)]ac, [z(·, t)]s ∈ M+(Ω) обозначим абсолютно непрерывную и сингулярную части (соответственно) меры z(·, t) ∈ M (Ω). Стандартными методами можно доказать, что для почти всех t из (0,T ) выполняются равенства [z(·, t)]ac = zac(·, t), [z(·, t)]s = zs(·, t). (1.3) Из первого из этих равенств следует, что [z(·, t)]r = zr (·, t), где [z(·, t)]r обозначает плотность меры [z(·, t)]ac. Аналогичные соображения имеют место и в том случае, когда z ∈ L∞(Ω; M+(0,T )). Будем говорить, что конечная мера Радона z из M(Q) принадлежит L∞(0,T ; M(Ω)), если ее положительная часть z+ и отрицательная часть z- принадлежат L∞(0,T ; M+(Ω)). Отметим, что условия (i) и (ii) определения 1.1 выполняются при z(·, t) := z+(·, t) - z-(·, t). 168 А. ТЕСЕИ Более того, если z ∈ L∞(0,T ; M(Ω)), то [z(·, t)]± = z±(·, t), а равенства (1.3) по-прежнему справедливы для почти всех t из (0,T ). Аналогичные определения можно ввести и для множества мер Радона L∞(Ω; M(0,T )), причем соответствующие замечания будут верны. Введем еще несколько обозначений, используемых ниже. Для п. в. определенной измеримой функции z : Ω → R, z ;;: 0, существенный верхний предел в точке x0 из Ω определяется (и обозначается) следующим образом: ess lim sup z(x) := lim / esssup \\ z(x) = inf / esssup \\ z(x) , где x→x0 δ→0+ x∈Iδ (x0) δ>0 x∈Iδ (x0) Iδ (x0) := (x0 - δ, x0 + δ) ∩ Ω (x0 ∈ Ω, δ > 0). Тогда для каждого x0 из Ω определена функция lim z : Ω → R, (lim z)(x0) := ess lim sup z(x). x→x0 Положим ( { lim z = ∞ := ( x0 ∈ Ω | ess lim sup z(x)= ∞ = x→x0 = x0 ∈ Ω | (∀L> 0) (∃δ¯ > 0) (∀δ ∈ (0, δ¯)) esssup x∈Iδ (x0) z(x) >L = ( = x0 ∈ Ω | (∀δ > 0) esssup x∈Iδ (x0) и z(x)= ∞ { lim z < ∞ := Ω \\ { lim z = ∞ . Иными словами, имеем соотношение { lim z < ∞ = {x0 ∈ Ω | ∃ Iδ (x0), для которого z ∈ L∞(Iδ (x0))}. 2. СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ϕ Одним из главных свойств задачи (P ) является поведение функции ϕ на бесконечности. Изучим случай, когда ϕ удовлетворяет следующему условию: ⎧ (i) ϕ ∈ C2(R), ϕ(u) → ±∞ при u → ±∞, (A) ⎨ (ii) ϕ×(u) > 0 в (-∞, a1) ∪ (a2, ∞) (-∞ < a1 < a2 < ∞), ⎩ (iii) ϕ×(u) < 0 в (a1, a2). Рассмотрим задачу (C) ⎧ ut = Δ[ϕ(u)] + εΔut в Q, ⎨ ϕ(u)+ εut =0 в ∂ Ω × (0,T ], ⎩ u = u0 в Ω × {0}, где ε> 0, T > 0, а Ω ⊂ RN (N ;;: 1) - ограниченная связная область с гладкой границей ∂Ω (если N ;;: 2). Функция v := ϕ(u)+ εut называется химическим потенциалом. Задача (C) называется соболевской регуляризацией задачи ⎧ ut = Δ[ϕ(u)] в Q, ⎨ ϕ(u)=0 в ∂ Ω × (0,T ], ⎩ u = u0 в Ω × {0}. (2.1) Если N = 1, то задача (C) формально соответствует задаче (P ) с ψ(u) = u; аналогично, задача (2.1) соответствует задаче (0.1). ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 169 loc Теорема 2.1. Пусть u0 ∈ L∞(Ω) и выполняется условие (A). Тогда существует единственная u из C1([0,T ]; L∞(Ω)), для которой v ∈ C([0,T ]; C0(Ω) ∩ W 2,p(Ω)), p > N, Δv ∈ C([0,T ]; L∞(Ω)), удовлетворяющая задаче (C) в классическом смысле, и существует положительное M, зависящее только от lu0lL∞(Ω), для которого ||u||L∞(Q) M, (2.2) 0 lvlL2(0,T ;H1(Ω)) + √ε lutlL2(Q) M, (2.3) lvlL∞(Q) M. (2.4) Замечание 2.1. Из определения химического потенциала и равенства ut = Δv следует, что v(·, t) удовлетворяет эллиптической задаче для любого t из (0,T ] ( -εΔv(·, t)+ v(·, t)= ϕ(u)(·, t) в Ω, v(·, t)=0 на ∂Ω (2.5) Отметим, что все неравенства (2.2)-(2.4) можно вывести из неравенства (2.7) (см. ниже), выбирая функцию g в (2.6) различным образом. Предложение 2.1. Пусть u удовлетворяет задаче (C), g ∈ C1(R), g× ;;: 0, g(0) = 0 и u r G(u) := 0 Тогда r g(ϕ(s))ds + K (K ∈ R). (2.6) r для любого t из [0,T ]. G(u)(x, t) dx Ω Ω G(u0)(x) dx (2.7) Доказательство. Из [11] известно, что в Q справедливо равенство t rG(u)l = g(ϕ(u))ut = g(v) Δv + rg(ϕ(u)) - g(v)l Δv = ε = div rg(v)∇vl - g×(v)|∇v|2 + rg(ϕ(u)) - g(v)l v - ϕ(u) . (2.8) ;;: 0 0 Поскольку v = 0 на ∂Ω × (0,T ) и g(0) = 0, интегрируя это равенство по области Ω × (0, t) (t ∈ (0,T ]), получаем (2.7). Замечание 2.2. Аналогично доказывается, что для любых неотрицательных ζ из пространства c C1([0,T ]; C1(Ω)) и любых t1, t2 из [0,T ], для которых t1 t2, справедливо неравенство r r G(u)(x, t2)ζ(x, t2) dx - Ω Ω t2 rr G(u)(x, t1)ζ(x, t1) dx t1 Ω {G(u)ζt - g(v)∇v · ∇ζ - g×(v)|∇v|2ζ dxdt. Последнее неравенство называют неравенством энтропии для задачи (C), по аналогии с неравенством энтропии для вязкого закона сохранения (например, см. [15]). Главное следствие из неравенства (2.7) - существование положительно инвариантных областей для задачи (C). Это является содержанием следующего утверждения. Предложение 2.2. Пусть существуют такие вещественные u1, u2, что u1 < u2 и ϕ(u1) ϕ(u) ϕ(u2) для любой u из [u1, u2]. (2.9) Пусть u удовлетворяет задаче (C) с такой начальной функцией u0, что u1 u0 u2 п. в. в Ω. Тогда u1 u u2 п. в. в Q. 170 А. ТЕСЕИ Доказательство. Не ограничивая общности, полагаем, что ϕ(u) < ϕ(u1) для u < u1 и ϕ(u) > ϕ(u2) для u > u2 (при необходимости можно доопределить ϕ вне отрезка [u1, u2]). Зафиксируем такое g из C1(R), что g× ;;: 0, g ≡ 0 в [ϕ(u1), ϕ(u2)], g(z) < 0 для z < ϕ(u1) и g(z) > 0 для u z > ϕ(u2). Возьмем такую постоянную K в (2.6), что G(u)= Г g(ϕ(s))ds. Тогда G ≡ 0 в [u1, u2] и u1 G> 0 в (-∞, u1) ∪ (u2, ∞). Тогда доказываемое утверждение следует из неравенства (2.7). Теперь мы можем доказать теорему 2.1. Доказательство теоремы 2.1. Существование и единственность решений доказывается стандартными методами теории полугрупп. Оценка (2.2) очевидно следует из предложения 2.2, условия которого в данном случае выполнены для всех достаточно больших |u1| и |u2|, поскольку u0 ∈ L∞(Ω) и ϕ(u) → ±∞ при u → ±∞ в силу условия (A). Полагая g(z)= z в (2.8), получаем равенство v - φ(u)|2 ε [G(u)]t = v Δv - | = v Δv - ε |ut|2, откуда вытекает (2.3). Поскольку v(·, t) удовлетворяет эллиптической задаче (2.5) для любого t из (0,T ], неравенство (2.4) следует из (2.2) и принципа максимума. Поскольку оценки (2.2)-(2.4) равномерны относительно ε, они позволяют исследовать предельные точки семейства решений задачи (C) при ε → 0+. В дальнейшем в этом разделе это семейство обозначается через {uε}, а соответствующий химический потенциал - через {vε}. В си- 0 лу (2.2)-(2.4) имеет место *-слабая компактность семейств {uε} и {vε} в L∞(Q) и слабая компактность семейства {vε} в L2(0,T ; H1(Ω)). Следовательно, существуют такие u из L∞(Q) и v из 0 n L2(0,T ; H1(Ω)) ∩ L∞(Q) и такие последовательности {uε }⊆ {uε} и {vεn }⊆ {vε}, что uεn δ∗ vεn δ∗ u в L∞(Q), (2.10) v в L∞(Q), (2.11) 2 1 vεn δv в L (0,T ; H0 (Ω)). (2.12) Учитывая (2.10) и (2.12), перейдем к пределу при n → ∞ в слабой формулировке задачи (C). Полагая ε = εn; получаем, что rr r {u ζt - ∇v · ∇ζ} dxdt + Q Ω u0(x) ζ(x, 0) dx = 0. (2.13) Из последнего равенства можно получить решение задачи (2.1) в смысле мер Янга. Если последовательность {uεn } равномерно ограничена в L∞(Q), то существует подпоследовательность (снова обозначаемая через {uεn }) и семейство вероятностных мер ν(x,t), определенных для п. в. (x, t) из Q, для которых для любой f из C(R); здесь f (uεn ) δ∗ fˆ в L∞(Q) (2.14) fˆ(x, t) := r R f (ξ) dν (x,t) (ξ) для п. в. (x, t) из Q (2.15) (см., например, [8]). Семейство ν(x,t) называется семейством мер Янга, связанным с подпоследовательностью {uεn }. Как доказано в [14], для п. в. (x, t) из Q мера ν(x,t) является суперпозицией мер Дирака, сосредоточенных на монотонных ветвях графика функции v = ϕ(u). Иными словами, предположим, что u := β1(v), v ∈ (-∞, ϕ(a1)) ⇔ v = ϕ(u), u ∈ (-∞, a1), u := β0(v), v ∈ (ϕ(a2), ϕ(a1)) ⇔ v = ϕ(u), u ∈ (a1, a2). u := β2(v), v ∈ (ϕ(a2), ∞) ⇔ v = ϕ(u), u ∈ (a2, ∞). Тогда справедливо следующее утверждение (см. [14]): 0 Теорема 2.2. Пусть u из L∞(Q),v из L2(0,T ; H1(Ω))∩L∞(Q) - функции из равенства (2.13). Тогда существуют λi ∈ L∞ (Q), λi ;;: 0 (i = 0, 1, 2), обладающие следующими свойствами: ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 171 (i) 2 ), λi(x, t)= 1, λ1(x, t)=1 при v(x, t) < ϕ(a2), λ2(x, t)=1 при v(x, t) > ϕ(a1) для п. в. (x, t) i=0 из Q; (ii) семейство мер Янга ν(x,t), связанное с подпоследовательностью {uεn } из (2.14), имеет вид 2 ν(x,t)(ξ)= , λi(x, t)δ(ξ - βi(v(x, t)) (2.16) i=0 для п. в. (x, t) из Q и любого вещественного ξ. Если в (2.10) и в (2.14)-(2.16) положить f (ξ)= ξ, а в (2.15) положить f (ξ)= ϕ(ξ), то получим r 2 ξ dν(x,t)(ξ)= , λi(x, t)βi(v(x, t)) = u(x, t) (2.17) R i=0 и r 2 ϕ(ξ) dν(x,t)(ξ)= , λi(x, t)ϕ(βi(v(x, t))) = v(x, t) (2.18) R i=0 (соответственно) для п. в. (x, t) из Q (здесь мы используем теорему 2.2-(i)). Следовательно, из (2.13) мы получаем, что t rr {ζ r Q R ξ dν (x,t) (ξ) r -∇ζ ·∇ R ϕ(ξ) dν (x,t) (ξ) dxdt + r Ω u0(x)ζ(x, 0)dx = 0, (2.19) т. е. получаем решение задачи (P ) в смысле мер Янга. Отметим, что, если ϕ монотонна, то такое решение сводится к слабому решению в обычном смысле. Представляется естественным попытаться применить вышеприведенные рассуждения, справедливые при условии (A), к случаю, в котором ϕ имеет вид (0.3). Как и ранее, для любого u0 из L∞(Ω) существует единственное сильное решение uε задачи (C). Однако L∞-оценка (2.2) семейства {uε}, являющаяся главным инструментом приведенного выше анализа, в новой ситуации не имеет места. В самом деле, если ϕ удовлетворяет условию (A), то условие (2.9) выполняется для любого достаточно большого отрезка [u1, u2], что и влечет за собой (2.2). Если же ϕ имеет форму (0.3), то условие (2.9) выполняется только при [u1, u2] ⊆ [-α, α]. Следовательно, L∞-оценка семейства {uε} выполняется только в том случае, когда {uε} принимает значения из «устойчивой фазы», т. е. в тривиальном случае. Однако, можно доказать следующий результат (см. [16]): Предложение 2.3. Пусть ϕ имеет форму (0.3), а u0 ∈ L∞(Ω), u0 ;;: 0. Пусть uε и vε - соответствующее решение задачи (C) и соответствующий химический потенциал. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. uε неотрицательна; 2. существует положительное M, для которого luε(·, t)lL1(Ω) lu0lL1(Ω) для любого t из (0,T ], (2.20) 0 vε ϕ(α) п. в. в Q, (2.21) 0 lvlL∞(0,T ;H1(Ω)) M. (2.22) Доказательство. Доказательство (i) аналогично доказательству предложения 2.2, поэтому мы опустим его (подробности см. в [16]). Чтобы доказать (ii), заметим, что из (i) и (0.3) следует, что 0 ϕ(uε) ϕ(α) в Q, откуда, применяя принцип максимума к эллиптической задаче (2.5), выводим неравенство (2.21). Поскольку vε(·, t) ;;: 0 в Ω, а vε(·, t) = 0 на ∂Ω × (0,T ) для любого t из (0,T ], интегрируя первое уравнение из (C) по x, получаем, что d r r dt uε(x, t) dx = Ω Ω r Δvε(x, t) dx = ∂Ω ∂vε ∂ν (x, t) dσ < 0 (t ∈ (0,T ]). 172 А. ТЕСЕИ Тогда r luε(·, t)lL1(Ω) = Ω r uε(x, t) dx Ω u0(x) dx = lu0lL1(Ω) для любого t из (0,T ], из чего следует (2.20). Неравенство (2.22) легко выводится из (2.5) и (2.21). 0 0 ∞ Сравним данный случай с тем, что имеет место при выполнении условия (A). Для семейства {vε} мы, как и ранее, из оценок (2.21)-(2.22) получаем равномерную ограниченность в L2(0,T ; H1(Ω)) ∩ L∞(Q), а значит, слабую *-компактность в L∞(Q) и слабую компактность в L2(0,T ; H1(Ω)). Для семейства {uε}, вместо слабой *-компактности в L (Q), вытекающей из (2.2), имеет место лишь слабая *-компактность в пространстве M(Q) мер Радона, вытекающая из равномерной оценки (2.20) в пространстве L∞(0,T ; L1(Ω)). Поэтому можно предположить, что последующая процедура получения равенств (2.13) и (2.19) даст решение задачи (2.1) со значениями в пространстве мер Радона. Это предположение можно формализовать следующим образом. Пусть {εn} - любая последовательность, для которой выполняется (2.12). По лемме захвата (см., например, [9]) последовательности {uεn } можно сопоставить равномерно интегрируемую подпоследовательность; тогда эта подпоследовательность слабо компактна в L1(Q) по теореме Витали. Точнее, можно найти подпоследовательность {uεj ≡ J j uεn ⊆ {uεn } , убывающую последовательность измеримых множеств Aj ⊆ Q, |Aj |→ 0, и меру μ из M(Q), для которых rr Q при j →∞ для любого ζ из C(Q) и uεj χAj ζ dxdt →< μ, ζ >Q (2.23) 1 uεj χQ\\Aj δ uˆ в L (Q). (2.24) Здесь χE обозначает характеристическую функцию любого измеримого E ⊆ Q, r uˆ(x, t) := [0,∞) ξ dν(x,t)(ξ) для п. в. (x, t) из Q, (2.25) а ν(x,t), как и ранее, обозначает семейство мер Янга, связанное с последовательностью {uεn }. В силу (2.12), (2.23) и (2.24), переходя к пределу при j →∞ в слабой постановке задачи (C), где ε = εj, получаем, что rr r (uˆ ζt - ∇v · ∇ζ) dxdt + Q Ω u0 ζ(x, 0) dx = - < μ, ζt >Q (2.26) для любого ζ из C1(Q), для которого ζ(., T ) = 0 в Ω. Далее можно исследовать связь между uˆ и v подобно тому, как это сделано для u и v в равенстве (2.13). Теперь можно доказать, что для п. в. (x, t) из Q мера ν(x,t) есть суперпозиция двух мер Дирака с носителем на ветвях сужения ϕ на [0, ∞); таким образом, из (2.26) получаем равенство, обобщающее (2.19). Более подробно это изложено в [16, 18]. Если выполнено (2.2), то при μ =0 равенство (2.26) сводится к (2.13), потому что равномерная L∞-оценка влечет за собой равномерную интегрируемость семейства {uε} . Следовательно, возникновение меры μ связано с вырождением ϕ на бесконечности; в этом - принципиальное отличие случая функций вида (0.3) от случая кубических нелинейных членов. Из последнего замечания ясно, что, если ϕ имеет вид (0.3) (или, в более общей постановке, удовлетворяет условию (H1) ниже), то решения задачи (2.1) могут при положительных t иметь значения в M+(Ω) даже в том случае, когда начальная функция u0 принадлежит L1(Ω). Как указано во введении к настоящей работе, то же самое имеет место и для регуляризованной задачи (P ) с вырождающейся псевдопараболической регуляризацией (отметим, что в данном разделе используется соболевская регуляризация, а она не является вырожденной). Таким образом, изучая задачу (P ), нельзя пренебречь решениями со значениями в классе мер Радона. ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 173 3. СЛУЧАЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ϕ, УБЫВАЮЩЕЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ: РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Исходные допущения и определение решения. В этом разделе мы считаем, что функции ϕ и ψ удовлетворяют следующим условиям: ⎧ (i) существует такое p из [1, ∞), что ϕ ∈ C∞([0, ∞)) ∩ Lp((0, ∞)), ϕ(0) = 0, (H1) ⎨ (ii) существует такое положительное α, что ϕ× > 0 в [0, α), ϕ× < 0 в (α, ∞), ⎩ (iii) ϕ(j) ∈ L∞((0, ∞)) для любого натурального j, ⎧ (i) ψ ∈ C∞([0, ∞)), ψ(0) = 0, ψ× > 0 в [0, ∞), ⎪ ⎪ существует такое положительное γ, что ψ(u) → γ при u → ∞, ⎪ (H2) ⎪ (ii) ψ×× 0 в [0, ∞), ⎪⎨ (iii) существует такое положительное k1, что |ϕ×(u)| k1 ψ×(u) для любого неотрицательного u, ⎪ ⎪ (iv) существуют такие положительные k2, k3, σ, ⎪ ⎪ что k2 (1 + u)1+σ ψ×(u) k3 в [0, ∞), ⎪ ⎩ (v) ψ(j) ∈ L∞((0, ∞)) для любого натурального j ∈ N. Здесь ϕ(j), ψ(j) обозначают производные порядка j от функций ϕ, ψ соответственно (j ∈ N), но для первой и второй производных используются обычные обозначения ϕ×, ϕ××, ψ×, ψ××. Положим ϕ(∞) := 0, ψ(∞) := γ. Введем следующее определение. ∈M Определение 3.1. Пусть u0 +(Ω). Пара (u, v) называется решением задачи (P ) с химическим потенциалом v, если выполняются следующие условия: (i) u ∈ C([0,T ]; M+(Ω)), v ∈ L∞((0,T ); C0(Ω)), vt ∈ L∞(Ω; M((0,T ))), vx ∈ L∞(Q), vxx ∈ L∞((0,T ); M(Ω)), ⎧ lim ⎨ v(x, τ ) при t ∈ [0,T ) v(x, t)= τ →t+ (x ∈ Ω), (3.1) ⎩ τ lim →T - v(x, τ ) при t = T 1. Множество замкнуто и 2. [ψ(ur )]t ∈ L∞ (Q \\N ), v(·, t)=0 на ∂Ω для любого t из (0,T ). N := {(x, t) ∈ Q | v(x, t)= 0} us = us N . (3.2) [ψ(ur )]t ψ (u ) ∈ L∞ (Q \\N ) и loc × r loc v = ϕ(ur )+ ε[ψ(ur )]t п. в. в Q \\N . 3. Для любого ζ из C1([0,T ]; Cc(Ω)), для которого ζ(·,T )=0 в Ω, имеет место равенство T T r r (u(·, t), ζt(·, t))Ω dt + 0 0 (vxx(·, t), ζ(·, t))Ω dt = - (u0, ζ(·, 0))Ω . (3.3) Замечание 3.1. Легко видеть, что отображение v(x, ·) принадлежит пространству BV (0,T ) для любого x из Ω. Таким образом, пределы в правой части формулы (3.1) существуют и конечны. Из стандартных свойств одномерных функций ограниченной вариации следует существование такого множества меры нуль E ⊂ [0,T ], что равенство (3.1) справедливо для любого t из [0,T ] \\ E. Требуя выполнения формулы (3.1) для любого t из [0,T ], мы подразумеваем, что v(x, ·) определена формулой (3.1) для любого t из E. Легко доказать, что, если t ∈ [0,T ], то v(·, t) ∈ W 1,∞(Ω), [v(·, t)]xx ∈ M(Ω) и справедливы следующие утверждения: (i) для п. в. x из Ω, [v(x, ·)]t = vt(x, ·) в M(0,T ) 174 А. ТЕСЕИ (ii) (iii) для п. в. t из (0,T ), для п. в. t из (0,T ). [v(·, t)]x = vx(·, t) п. в. в Ω [v(·, t)]xx = vxx(·, t) в M(Ω) Кроме того, v принадлежит BV (Q). Отметим, что требование замкнутости множества N накладывается не только для того, чтобы определение 3.1 имело смысл; это требование является необходимым условием единственности решения задачи (P ). В работе [6] приводится пример, где бесконечно много пар (u, v) обладают всеми свойствами, перечисленными в определении 3.1 (с одной и той же начальной функцией u0), кроме замкнутости множества N . 2. Существование: случай непрерывной начальной функции. Пусть u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0. Положим u ψn(u) := ψ(u)+ n (u ∈ [0, ∞),n ∈ N) и рассмотрим нелинейную аппроксимирующую задачу ⎧ unt = vnxx в Q, (Pn) где ⎨ vn =0 на ∂Ω × (0,T ), ⎩ un = u0 ;;: 0 в Ω × {0} (n ∈ N), vn := ϕ(un)+ ε[ψn(un)]t. (3.4) Изучая предельные точки последовательностей {un}, {vn}, можно доказать следующие результаты о существовании (см. [4]). Теорема 3.1. Пусть выполняются (H1)-(H2) и u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0. Тогда существует решение (u, v) задачи (P ), удовлетворяющее неравенству lulL∞(0,T ;M(Ω)) lu0lM(Ω), (3.5) и справедливы следующие утверждения: 1. мера множества N равна нулю, 2. ψ(ur ) ∈ C(Q), ϕ(ur ) ∈ C(Q), ur ∈ C(Q \\N ), и ψ(ur )= γ, ϕ(ur )=0 на N , lim dist((x,t), N )→0 ur (x, t)= ∞ 3. для всех t1, t2 из [0,T ], удовлетворяющих неравенству t1 t2, имеем N (t2) ⊇ N (t1) и k2 ur (x, t2) ;;: e- ε (t2-t1)ur (x, t1) для п. в. x из Q \\N (t2). (3.6) Приведем несколько оценок решения, существование которого установлено теоремой 3.1. Теорема 3.2. Пусть выполняются (H1)-(H2), u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0, а (u, v) - решение задачи (P ), существование которого установлено теоремой 3.1. Тогда 0 v ϕ(α) п. в. в Q, (3.7) ϕ(α) l[ψ(ur )]tlL∞(Q) (3.8) ε и существует такая положительная постоянная M, зависящая только от lu0lL1(Ω), что 1 1 v 1 1 1 1 M, (3.9) 1 ψ×(ur ) 1L∞(0,T ;L1(Ω)) 0 lvlL∞(0,T ;H1(Ω)) M, (3.10) lutlL∞(0,T ;M(Ω)) = lvxxlL∞(0,T ;M(Ω)) M, lvxlL∞(Q) M, ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 175 lvtlL∞(Ω;M(0,T )) M. t Кроме того, положительная часть v+ функции vt абсолютно непрерывна относительно меры t r Лебега, а ее плотность (v+) удовлетворяет неравенству l (v+) t r lL∞(Q) M. (3.11) ∈ M 3. Существование: случай начальной функции общего вида. Опираясь на результат о существовании, полученный в теореме 3.1, докажем существование решений задачи (P ) для случая начальной функции общего вида, т. е. для u0 +(Ω). Подберем для этого удобную процедуру аппроксимации. Вначале аппроксимируем u0 из M+(Ω) следующим образом: + ∞ Лемма 3.1. Если u0 ∈M (Ω), то существует такое {u0n}⊆ Cc (Ω), u0n ;;: 0, что lu0nlL1(Ω) lu0lM(Ω) для n ∈ N, u0n δ∗ u0 в M(Ω) и u0n → u0r п. в. в Ω при n → ∞. Кроме того, если существуют x0 из Ω и Iδ (x0), для которых u0s (Iδ (x0)) = 0, u0r ∈ L∞(Iδ (x0)), то для любого δˆ из (0, δ) существует такое натуральное nˆ, что lu0nlL∞(Iδˆ(x0)) lu0r lL∞(Iδ (x0)) для любого n ;;: nˆ. Выберем {u0n} согласно лемме 3.1. Пусть (un, vn) - решение задачи ⎧ ut = [ϕ(u)]xx + ε[ψ(u)]txx в Q, n (P × ) ⎨ ϕ(u)+ ε[ψ(u)]t =0 на ∂Ω × (0,T ), ⎩ u = u0n в Ω × {0}, разрешимость которого установлена теоремой 3.1. Отметим, что в этой процедуре аппроксимации ψ не заменяется на ψn. В частности, vn удовлетворяет соотношению vn = ϕ(unr )+ ε[ψ(unr )]t п. в. в Q \\ Nn, где Nn := {(x, t) ∈ Q | vn(x, t)= 0} (n ∈ N), что отличается от (3.4). В [4] доказан следующий результат о существовании. ∈M Теорема 3.3. Пусть u0 +(Ω) и выполнены условия (H1)-(H2). Тогда существует такое решение (u, v) задачи (P ), что u удовлетворяет неравенству (3.5). loc 4. Возникновение особенностей. Как указано выше, исходя из [1, Theorem 3.4], мы предполагаем, что существует такая начальная функция u0 из L∞ (Ω), что в соответствующем решении задачи (P ) при t> 0 возникают массы Дирака. Обращаясь к доказательству в [1], можно доказать следующий более общий результат (см. [6]). Теорема 3.4. Пусть Ω= (-3, 3), (H1)-(H2) выполняются, а p0 из M+(Ω) обладает следующими свойствами: 1. p0 четно, 2. p0r ;;: α п. в. в Ω, 3. p0s сосредоточена на множестве (-2, -1) ∪ (1, 2), 4. supp u0s ⊆ { lim u0r = ∞ . Тогда существует такое положительное ξ0, что, если 6α p0(Ω) 6α + ξ0, loc то существует такое u0 из L∞ (Ω), u0 ;;: 0, и такое соответствующее решение (u, v) задачи (P ) с T ;;: 1, что u(·, 1) = p0. 176 А. ТЕСЕИ Применяя указанный результат, можно показать, что спонтанно может возникнуть гораздо больше особенностей, чем рассмотрено в [1]. Можно построить такие примеры меры p0, что условия теоремы 3.4 выполняются, а сингулярная часть p0s содержит счетное либо канторово множество мер Дирака (а именно, сингулярно непрерывна). В работе [6] содержится подробное исследование этого явления. 4. СЛУЧАЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ϕ, УБЫВАЮЩЕЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ: ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В этом разделе приводятся идеи доказательств результатов существования, сформулированных в предыдущем разделе. Для простоты мы ограничиваемся случаем непрерывной начальной функции (см. пункт 3.2). Для решения аппроксимирующей задачи (Pn) и соответствующего химического потенциала можно доказать следующие априорные оценки: Предложение 4.1. Пусть u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0, un - решение задачи (Pn), а vn - соответствующий химический потенциал, определенный формулой (3.4). Тогда lunlL∞(0,T ;L1(Ω)) lu0lL1(Ω), (4.1) ϕ(α) l[ψn(un)]tlL∞(Q) ε и существует такое положительное M, зависящее только от lu0lL1(Ω), что 1 1 1 vn 1 1 1 M, 1 ψn× (un) 1L∞(0,T ;L1(Ω)) 0 lvnlL∞(0,T ;H1(Ω)) M, luntlL∞(0,T ;L1(Ω)) = lvnxxlL∞(0,T ;L1(Ω)) M, (4.2) lvnxlL∞(Q) M, lv+ l ∞ M nt L nt (v+ - положительная часть функции vnt), (Q) lvntlL∞(Ω;L1(0,T )) M, lvnlBV (Q) M. Из этих оценок вытекают следующие результаты о сходимости. Предложение 4.2. Пусть u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0. Пусть un - решение задачи (Pn), а vn определена формулой (3.4) (n ∈ N). Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Существуют такие подпоследовательности последовательностей {un} и {vn} (для простоты мы снова обозначаем их через {un} и {vn}) и такие функции u из C([0,T ]; M+(Ω)) и v из L∞(0,T ; C0(Ω)) с ut из L∞(0,T ; M(Ω)), vt из L∞(Ω; M(0,T )), vx из L∞(Q) и vxx из L∞(0,T ; M(Ω)), что для п. в. t из (0,T ), un(·, t) δ∗ unt(·, t) δ∗ u(·, t) в M(Ω), (4.3) ut(·, t) в M(Ω) vn → v в L1(Q), vn → v п. в. в Q, 0 vn δv в Lp(0,T ; W 1,p(Ω)) (p ∈ (1, ∞)), 0 vn(·, t) δ v(·, t) в W 1,p(Ω) (p ∈ (1, ∞)), для п. в. t из (0,T ), vnxx(·, t) δ∗ vnx δ∗ vnt δ∗ vxx(·, t) в M(Ω) (4.4) vx в L∞(Q), vt в M(Q). ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 177 2. Существует такая w из C(Q), что 0 w γ в Q, wt ∈ L∞(Q) и (с точностью до подпоследовательности) и где ψn (un) → w в C(Q), ψ(un) → w п. в. в Q un → ψ-1(w) в C(K) для любого компактного K ⊂ Q \\ S, S := {(x, t) ∈ Q | w(x, t)= γ . (4.5) Кроме того, справедливо предельное соотношение [ψn (un)]t δ∗ wt в L∞(Q). Приведенные ниже предложения 4.3-4.6 показывают, что предельные точки u, v и w предложения 4.2 можно использовать для построения решения задачи (P ). Предложение 4.3. Пусть u, v и w - такие же, как в предложении 4.2. Тогда выполняются неравенства (3.5) и (3.7)-(3.11), v = ϕ(ur )+ ε[ψ(ur )]t п. в. в Q и ϕ(α) lwtlL∞(Q) ε . Предложение 4.4. Пусть u и w - такие же, как в предложении 4.2. Тогда множество S, определенное формулой (4.5), замкнуто, его мера Лебега равна нулю, ψ-1(w) ∈ L∞(0,T ; L1(Ω)), us = us (S∩ Q) и Из равенства (4.6) следует, что ur = ψ-1(w) п. в. в Q. (4.6) w = ψ(ur ) п. в. в Q. Будем отождествлять w из C(Q) с непрерывным представителем элемента ψ(ur ). В частности, из предложения 4.2 следует, что где и ψn(un) → ψ(ur ) в C(Q), un → ur п. в. в Q, un → ur в C(K) для любого компактного K ⊂ Q \\ S, S = {(x, t) ∈ Q | ψ(ur )(x, t)= γ , (4.7) [ψn(un)]t δ∗ [ψ(ur )]t в L∞(Q). Предложение 4.5. Пусть u - такая же, как в предложении 4.2, а S - множество, определенное равенством (4.7). Тогда справедливы следующие утверждения: 3. ϕ(ur ) ∈ C(Q), ur ∈ C(Q \\ S), ϕ(ur )=0 на S и lim dist((x,t),S)→0 ur (x, t)= ∞. (4.8) 4. S(t1) ⊆ S(t2) для любых 0 < t1 t2 < T, где S(t) := {x ∈ Ω | ψ(ur )(x, t)= γ} (t ∈ (0,T )), (4.9) и неравенство (3.6) выполняется для любых 0 < t1 t2 <T и любого x из Ω \\ S(t2). 178 А. ТЕСЕИ Предложение 4.6. Пусть u0 ∈ Cc(Ω), u0 ;;: 0, u и v - такие же, как в предложении 4.2, t ∈ [0,T ] и S(t) определена формулой (4.9). Тогда v(·,t) ϕ(ur )(·,t) × -εvxx(·, t)+ ψ×(u )(·, t) = ψ×(u )(·, t) в D (Ω \\ S(t)) r r и где S(t) ∩ Ω= N (t) ∩ Ω для п. в. t из (0,T ), N (t) := {x ∈ Ω | v(x, t)= 0}. Теперь мы можем доказать теоремы 3.1 и 3.2. Доказательство теорем 3.1 и 3.2. Покажем, что пара (u, v), где u и v - такие, как в предложении 4.2, является решением задачи (P ). В силу предложений 4.2-4.6 свойства (i)-(iii) определения 3.1 и пункты (i)-(iii) теоремы 3.1 выполнены. Чтобы доказать равенство (3.3), рассмотрим слабую постановку задачи (Pn): rr r {unζt - vnxx ζ} dxdt = - Q Ω u0 ζ(x, 0) dx (4.10) для любой ζ из C1([0,T ]; Cc(Ω)), для которой ζ(·,T )=0 в Ω. Из (4.3) следует, что для любого ρ из Cc(Ω) справедливо соотношение r lim n→∞ Ω un(x, t)ρ(x) dx = (u(·, t), ρ)Ω для п. в. t из (0,T ) . Следовательно, поскольку r un(x, t)ζt(x, t) dx lu0lL1(Ω)lζtl C(Q) Ω для п. в. t из (0,T ) в силу неравенства (4.1), из теоремы о мажорируемой сходимости вытекает, что rr lim n→∞ Q un(x, t)ζt(x, t) dxdt = T r (u(·, t), ζt(·, t))Ω dt. (4.11) 0 Аналогично, из (4.2), (4.4) и теоремы о мажорируемой сходимости следует, что T rr lim n→∞ Ω r vnxx(x, t)ζ(x, t) dxdt = 0 (vxx(·, t), ζ(·, t))Ω dt. (4.12) Переходя к пределу при n →∞ в (4.10) и используя (4.11)-(4.12), получаем (3.3). Этим завершается доказательство теоремы 3.1. Теорема 3.2 следует из предложений 4.1 и 4.2. 5. СЛУЧАЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ϕ, ВОЗРАСТАЮЩЕЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 1. Исходные допущения и определение решения. В этом разделе предполагается, что функция ϕ удовлетворяет следующим условиям: ⎧ (i) ϕ ∈ C∞([0, ∞)), ϕ(0) = 0, ϕ(u) ;;: 0, ⎪ ⎪ (ii) ϕ× > 0 в [0, α), ϕ× < 0 в (α, β), ϕ× > 0 в (β, ∞) (0 <α< β), (H3) ⎨ (iii) ϕ(u) → γ∗ при u → ∞, 0 ϕ(u) γ∗ для любого неотрицательного u ⎪ (0 < γ∗ < ∞), ⎪ ⎩ (iv) ϕ(j) ∈ L∞((0, ∞)) для любого натурального j. Кроме того, полагаем ϕ(∞) := γ∗. Введем следующее определение (ср. определение 3.1). + Определение 5.1. Пусть u0 ∈ M (Ω). Решением задачи (P ) мы называем любую u из пространства C([0,T ]; M+(Ω)), обладающую следующими свойствами: ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 179 [ψ(ur )]t 1 1. [ψ(ur )]t ∈ L∞(Q) и ψ (u ) ∈ L∞(0,T ; L (Ω)). × r 2. Химический потенциал v := ϕ(ur )+ ε[ψ(ur )]t принадлежит L∞(0,T ; C(Ω)), vt ∈ L∞(Ω; M(0,T )), vx ∈ L∞(Q), vxx ∈ L∞(0,T ; M(Ω)), ( lim v(x, τ ) при t ∈ (0,T ] v(x, t)= τ →t- lim τ →0+ v(x, τ ) при t =0 (x ∈ Ω), v(·, t)= γ∗ на ∂Ω для любого t из (0,T ). 3. Для любого t из (0,T ) имеем где us(·, t)= us(·, t) N (t), (5.1) N (t) := {x ∈ Ω | v(x, t)= γ∗}. (5.2) 4. Для любого ζ из C1([0,T ]; Cc(Ω)), для которого ζ(·,T )=0 в Ω, справедливо равенство T T r r (u(·, t), ζt(·, t))Ω dt + 0 0 (vxx(·, t), ζ(·, t))Ω dt = - (u0, ζ(·, 0))Ω . Отметим, что из равенства (5.1) следует, что supp us(·, t) ⊆ N (t) для любого t из (0,T ). ∈M 2. Существование решений и их свойства. Как и в случае убывающей на бесконечности ϕ, существование решения доказывается с помощью процедуры аппроксимации. Пусть u0 +(Ω), а последовательность {u0n}⊆ C(Ω) такова, что u0n ;;: 0 в Ω, lu0nlL1(Ω) lu0lM(Ω), u0n δ∗ u0 в M(Ω), u0n → u0r п. в. в Ω. Для любого натурального n рассмотрим регуляризованную задачу ⎧ unt = vnxx в Q, n ) (P ×× ⎨ vn = γ∗ на ∂Ω × (0,T ), где ⎩ un = u0n в Ω × {0}, vn := ϕ(un)+ ε[ψ(un)]t. Изучая сходимость последовательностей {un}, {vn} и рассуждая, как в разделе 4, доказываем следующий результат (см. [5]): Теорема 5.1. Если условия (H2)-(H3) выполнены, то существует решение u задачи (P ). Приведем некоторые свойства решений задачи (P ), имеющие место в рассматриваемом случае (см. доказательства в [5]). Химический потенциал обладает следующими свойствами. Предложение 5.1. Если условия (H2)-(H3) выполнены, то для любого решения u задачи (P ) справедливы следующие утверждения: 1. для любого t из (0,T ) химический потенциал v(·, t) удовлетворяет уравнению v(·,t) ϕ(ur (·,t)) ( ) -ε [v(·, t)]xx + ψ×(u (·, t)) = ψ×(u (·, t)) в M Ω \\ supp us(·, t) , r r 2. неравенство 0 v(x, t) γ∗ выполняется для любого (x, t) из Q, 3. для любого t из (0,T ) сингулярная мера rvxx(·, t)ls дискретна и принадлежит M-(Ω). Следующая теорема устанавливает свойства монотонности решений по переменной t. 180 А. ТЕСЕИ Теорема 5.2. Пусть условия (H2)-(H3) выполнены, а u - любое решение задачи (P ). Тогда для любых t1, t2 из (0,T ), для которых t1 t2, выполняются следующие неравенства: lu(·, t2)lM(Ω) ;;: lu(·, t1)lM(Ω), k0(t2-t1) [1 + ur (x, t2)] e o [1 + ur (x, t1)] для п. в. x из Ω, us(·, t2) us(·, t1) в M(Ω). (5.3) По условию (H3)-(ii) промежутки [0, α) и (β, ∞) соответствуют «устойчивым фазам» функции ϕ, а интервал (α, β) - ее «неустойчивой фазе». Следующее предложение показывает, что при подходящих условиях на химический потенциал v «устойчивые фазы не могут убывать по переменной t». Предложение 5.2. Пусть условия (H2)-(H3) выполнены, Ω0 ⊆ Ω, 0 t1 < t2 T и Q0 := Ω0 × (t1, t2). Тогда для любого решения u задачи (P ) выполняются следующие утверждения: 1. если v ϕ(α) в Q0 и 0 ur (x, t1) α для п. в. x из Ω0, то 0 ur α п. в. в Q0, 2. если v ;;: ϕ(β) в Q0 и ur (x, t1) ;;: β для п. в. x из Ω0, то ur ;;: β п. в. в Q0. 3. Регуляризация. Следующее предложение показывает, что для п. в. t из (0,T ) множество Ω ∩ N (t) (где N (t) определен формулой (5.2)) - «плохое», поскольку оно содержит все такие точки x0 из Ω, что us(·, t)(Iδ (x0)) > 0 и (или) lur (·, t)lL∞(Iδ (x0)) = ∞, где Iδ (x0) - любая окрестность точки x0. Предложение 5.3. Пусть условия (H2)-(H3) выполнены, а u - любое решение задачи (P ). Тогда для п. в. t ∈ (0,T ) l Ω ∩ rsupp us(·, t) ∪ { lim ur (·, t)= ∞ для п. в. t из (0,T ) и справедливы следующие утверждения: 1. Если ϕ(α) < γ∗, то ⊆ Ω ∩N (t) l Ω ∩N (t)=Ω ∩ rsupp us(·, t) ∪ { lim ur (·, t)= ∞ . 2. Если ϕ(α)= γ∗, то для любого x0 из Ω ∩N (t) либо x0 ∈ Ω ∩ rsupp us(·, t) ∪ { lim ur (·, t) l , либо существует такой интервал I ≡ (x0 - δ1, x0 + δ2) (δ1, δ2 > 0), что us(·, t) I = 0, v(·, t)= γ∗ в I, ur (·, t)= α п. в. в I. Отметим, что из свойств монотонности, установленных в теореме 5.2, следует, что при ϕ(α) < γ∗ «плохое множество» не растет с течением времени; более того, для п. в. положительных t его мера равна нулю. Это доказывается в следующей теореме: Теорема 5.3. Пусть ϕ(α) < γ∗. Тогда для любого решения задачи (P ) справедливы следующие утверждения: 1. N (t2) ⊆ N (t1) для п. в. t1, t2 из (0,T ), для которых t1 t2, 2. |N (t)| =0 для п. в. t из (0,T ). Исходя из неравенства (5.3), можно предположить, что сингулярная часть us(·, t) решения (P ) может обращаться в нуль для некоторых τ из (0,T ) (а значит, и для некоторых t из (τ, T )) даже в том случае, когда u0s(Ω) > 0. Например, это имеет место при Ω= (-1, 1), ψ(u)= γ r1 - (1 + u)-σ l (γ, σ > 0) (5.4) и 0 ⎧ (i) u ⎨ = u0ac + Aδ0, |x| 0r ⎩ (ii) x 1→ ψ×(1 + u (x)) ∈ L 1 loc (Ω) (5.5) для некоторой положительной постоянной A (здесь δ0 обозначает меру Дирака в начале координат). Можно доказать следующую теорему (см. [5]): ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 181 Теорема 5.4. Пусть ϕ(α) < γ∗ и выполняется (5.4). Тогда существует такое положительное m, что, если u0 удовлетворяет условию (5.5) при A< mT, то A us(·, t)=0 для любого t из m,T для любого решения u задачи (P ).

Об авторах

А. Тесеи

Istituto per le Applicazioni del Calcolo «M. Picone» Consiglio Nazionale delle Ricerche

Email: albertotesei@gmail.com
Rome, Italy

Список литературы