Нарушения устойчивости намагниченных потоков, вызванные диссипацией

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Динамика течения вязкой несжимаемой жидкости, проводящей электрический ток и взаимодействующей с магнитным полем, описывается следующей системой, состоящей из уравнения Навье- Стокса для скорости жидкости u и уравнения индукции для магнитного поля B (см. [14]): ∂u ∂t + u · ∇u - ∂B 1 μ0ρ B · ∇B + ρ 1 ∇P - ν∇2u = 0, ∂t + u · ∇B - B · ∇u - η∇2B = 0. (1.1) 2 В уравнениях (1.1) полное давление обозначается через P = p + B 2μ0 , p обозначает гидродинамическое давление, ρ = const - плотность, ν = const - кинематическая вязкость, η = (μ0σ)-1 - коэффициент магнитной диффузии, σ - проводимость жидкости, а μ0 - магнитная проницаемость свободного пространства. Кроме того, несжимаемый поток и соленоидальное магнитное поле удовлетворяют следующим ограничениям: ∇· u = 0, ∇· B = 0. (1.2) Предположим, что в стационарном состоянии поток жидкости дифференциально вращается в пределах между радиусами R1 и R2 > R1, причем профиль угловой скорости Ω(R) зависит только от радиальной координаты R в цилиндрической системе координат (R, φ, z). Предположим, что у Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 82 НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 83 φ стационарного магнитного поля есть только азимутальная компонента и B0 (R) - ее радиальный профиль, а гидродинамическое давление зависит только от R: φ u0(R) = R Ω(R) eφ, p = p0(R), B0(R) = B0 (R)eφ. (1.3) В [12] найдено, что Ω = B 0 φ R√ρμ0 и P = const являются точным стационарным решением системы (1.1)-(1.2) в идеальном случае, т. е. когда ν = 0 и η = 0. На этом решении скорость жидкости в каждой точке параллельна направлению магнитного поля в этой же точке (см. [14]), а их относительные величины таковы, что кинетическая и магнитная энергии равны друг дру- 2 гу: ρ(ΩR) 2 (B0 )2 = φ 2μ0 . В [12, 14] доказано, что это решение идеальной магнитогидродинамики (называемое эквипартицией) маргинально устойчиво, что, как впоследствии отмечал в своих воспоминаниях (см. [15]) автор указанных работ, несколько удивило его самого: «Так или иначе, один замечательный результат в то время появился - доказательство устойчивости эквипартиции. Вентцель и Гольдбергер проверили мой анализ, так как я сам не очень поверил в результат.» Введем угловую скорость Альфвена B0 φ = R√ρμ ωA φ 0 (1.4) (см. [47]), а также гидродинамическое число Россби R и магнитное число Россби Ro := R 2Ω ∂RΩ (1.5) Rb := ∂ φ 2B0 R-1 φ ∂R(B0 R-1) (1.6) (см. [31]), где ∂R = ∂R. Из эквипартиции Чандрасекара следует (см. [33, 34]), что Ω = ωAφ , Ro = Rb = -1. (1.7) Последнее равенство следует из условия постоянства полного давления и того факта, что в устойчивом состоянии центробежное ускорение фонового потока компенсируется градиентом давления: RΩ2 = 1 ∂ ρ R p0. Отметим, что значение Ro = -1 соответствует профилю скорости Ω(R) ∼ R-2, а значение Rb = -1 соответствует магнитному полю, порожденному осевым током I, изолированным от жидкости: B0 (R) = μ0I (см. [34]). φ 2πR Эквипартиция Чандрасекара принадлежит широкому классу точных решений устойчивого состояния для уравнения идеальной магнитогидродинамики (МГД); это - решения с постоянным полным давлением. О свежих результатах в этой области можно узнать в [7, 22]. Если магнитное поле отсутствует, то вращающийся поток идеальной жидкости устойчив относительно осесимметрических возмущений тогда и только тогда, когда Ro > -1 (см. критерий Рэлея в [50]). В противном случае он становится центробежно неустойчивым из-за бифуркации устойчивого состояния (см. [30]). Отметим, что идеальный поток с кеплеровским профилем вращения, 3 4 т. е. такой, для которого Ω(R) ∝ R-3/2, гидродинамически устойчив, поскольку Ro = - > -1. Согласно критерию Майкла (см. [45]), вращающийся поток идеальной полностью проводящей жидкости, на который действует азимутальное магнитное поле, устойчив относительно осесимметрических возмущений, если где δ := Ro - RbN2 > -1, (1.8) ωAφ N = . (1.9) Ω Очевидно, неравенство (1.8) справедливо для чандрасекаровской эквипартиции (1.7). Неустойчивости вращающегося потока невязкой полностью проводящей жидкости, отличные от осесимметрических, изучались в [3, 47, 64]. Как показывают коротковолновые приближения, 84 О. Н. КИРИЛЛОВ если осевые и азимутальные волновые числа возмущений бесконечно растут, то устойчивость гидродинамического потока нарушается слабым азимутальным магнитным полем при N 2 < - 4Ro n2 , (1.10) где n ± 1 - азимутальное волновое число, а Ro < 0. Более того, при переходе к пределу при n →∞ скорость роста возмущения стремится к значению Оорта |ΩRo| (см. [47]). Следовательно, в случае идеальной магнитогидродинамики, т. е. при ν = 0 и η = 0, для гидродинамически устойчивых потоков, для которых -1 < Ro < 0, включая кеплеровский поток, для которого Ro = - 3 , 4 возможно развитие азимутальной магнитовращательной неустойчивости, если выполнено условие (1.10). Для чандрасекаровской эквипартиции (1.7) условие неустойчивости (1.10) нарушается уже при n> 2. Физический механизм указанных нарушений устойчивости в случае идеальной магнитогидродинамики заключается в нарушении устойчивости медленных кориолисовских магнитных волн (см. [64]), что весьма сходно со стандартной магнитовращательной неустойчивостью по Велихову и Чандрасекару (см. [2, 13, 60]), имеющими место в намагниченном вращающемся потоке, находящемся под воздействием осевого магнитного поля (см. [29, 30]). Магнитовращательные неустойчивости (как стандартные, так и азимутальные) считаются наиболее вероятными кандидатами на роль триггеров турбулентности в аккреционных дисках, в протопланетарных дисках и даже в звездах и внутренностях планет (см. [2, 3, 34, 52, 53]). Стандартная магнитовращательная неустойчивость подобно нарушениям устойчивости, возникающим в таких связанных искусственных космических системах, как пара соединенных спутников или даже кольцо связанных между собой спутников на орбите планеты (см. [2, 4, 41]). Азимутальная магнитовращательная неустойчивость имеет своим аналогом вязкоупругую устойчивость вращающихся полимерных потоков в предельном случае, т. е. при бесконечном времени релаксации сложной жидкости (см. [48, 49]). Обе аналогии возможны, поскольку линии магнитного поля, замороженные в идеально проводящей жидкости в силу теоремы Альфвена, «усиливают» жидкость и фактически превращают ее в сложную или неньютоновскую жидкость (см. [14]). Эти аналогии не только позволяют лучше понять механизм нарушения устойчивости в приложениях, не имеющих, на первый взгляд, никакого отношения друг к другу, но и открывают путь для изучения магнитогидродинамической неустойчивости в компактных лабораторных экспериментах с полимерными жидкостями (см. [8]). Реалистичное моделирование астрофизических явлений, для которых важна магнитовращательная неустойчивость, требует учета диссипативных эффектов различной физической природы (см. [46]). Каждый отдельный диссипативный механизм может быть довольно слаб, но сила одного из них может отличаться от силы другого на несколько порядков. Это требует трудоемких численных вычислений. Поэтому, чтобы поддержать численные и теоретические исследования магнитовращательной неустойчивости, проводятся лабораторные эксперименты с электропроводящими средами (такими, как жидкие металлы или плазмы) в магнитных полях (см. [17, 23, 57]). К настоящему времени спиралевидная и азимутальная магнитовращательная неустойчивость продемонстрирована лабораторными экспериментами с потоком Куэтта-Тейлора, состоящим из жидкого металла с особыми профилями скоростей в спиралевидном (т. е. осевом плюс азимутальном) либо чисто азимутальном магнитном поле (см. [51, 54]). Жидкие металлы - это материалы, характеризуемые очень малым отношением вязкости жидкости к ее электрическому сопротивлению. Это отношение, называемое магнитным числом Прандтля (Pm = ν ), для таких материалов η составляет, как правило, от 10-6 до 10-5. Поэтому один цикл стандартной магнитовращательной неустойчивости требует очень высоких скоростей вращения цилиндров ячейки Куэтта-Тейлора, что не обеспечивает ламинарность потока даже в отсутствие магнитного поля (см. [23]). То же самое свойство жидких металлов препятствует дестабилизации кеплеровских потоков в успешных экспериментах с азимутальными или спиралевидными полями, если азимутальная компонента создается осевым электрическим током, изолированным от жидкости (см. [23]). Действительно, для Rb = -1 диапазон гидродинамически устойчивых потоков, допускающих дестабилизацию азимутальным или спиралевидным магнитным полем, ограничен числами Россби от Ro = -1 до НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 85 √ 3 Ro = 2 - 2 2, что не содержит кеплеровского профиля, для которого Ro = - 4 (см. [32, 42]). Следовательно, существующие эксперименты с жидкими металлами нуждаются в дальнейших улучшениях, чтобы их можно было использовать для лабораторного моделирования значимых для астрофизических приложений нарушений устойчивости (см. [23]). В [31] показана возможность нарушить устойчивость гидродинамически устойчивого потока Куэтта-Тейлора жидкого металла, если снять ограничение Rb = -1. С физической точки зрения это становится возможным за счет вклада в азимутальное поле, добавляемого электрическими токами через жидкий металл к полю, создаваемому изолированным осевым током (см. [33, 34]). В [31] найдено имеющее сравнительно простой вид условие неустойчивости, выражающееся при помощи гидродинамического и магнитного чисел Россби и получающееся в пределе при Pm, стремящемся к нулю: 1 (Ro + 2)2 Rb > - 8 . (1.11) Ro + 1 - Отсюда вытекает нарушение устойчивости кеплеровского потока при Rb > Rbcrit = 25 , т. е. в 32 случае, когда радиальный профиль азимутального поля является чуть более плоским, чем R-1. Отметим, как значительно отличаются условия дестабилизации кеплеровского потока азимутальным магнитным полем для случая идеальной МГД, когда неустойчивость, не являющаяся осесимметрической, возможна уже при Rb = -1, и для случая, когда есть вязкость и сопротивление (при Pm « 1) - в этом случае существует предельная крутизна Rbcrit > -1 радиального профиля магнитного поля. Различие между порогами устойчивости идеальной системы без диссипации и системы с диссипацией (включая предельный случай, в котором диссипация стремится к нулю) является универсальным явлением, давно известным для многих областей физики и техники (см. [35]). В физике плазмы и магнитогидродинамике это уже привело к довольно радикальным выводам (см. [46]): «Очень много времени потрачено на анализ равновесий в идеальной МГД, которых невозможно достичь предельным переходом от равновесий в МГД с малым, но ненулевым сопротивлением. В результате мы получили неточные концепции, которые, видимо, будет очень трудно уточнить. Возможно, в этом причина того, что в настоящее время теория используется скорее как декорация для эксперимента, чем как руководство, куда двигаться дальше.» Такое же явление известно в гидродинамике, например, для бароклинной неустойчивости (см. [36, 58]), модуляционной неустойчивости Бенджамина-Фейра (см. [11, 26]) и неустойчивости устойчиво стратифицированного сдвигового потока (см. [59]). В механике этот эффект известен с 1952 г. как парадокс Циглера (см. [63]), который в [9] был назван «проблемой, представляющей наибольший теоретический интерес». В [10] была найдена связь между парадоксом Циглера и особенностью «зонтик Уитни» в области асимптотической устойчивости диссипативной системы. После работы [1], посвященной типичным особенностям многопараметрических семейств матриц, прикладники постепенно приняли эту точку зрения и стали развивать для исследования парадокса дестабилизации и нарушений устойчивости, вызванных диссипацией, в системах с множественными механизмами затухания, методы, основанные на возмущениях кратных собственных значений, теории индекса и применении фундаментальных симметрий идеальной системы (см. [6, 25, 27, 35, 40, 43, 44]). Отметим, что роль взаимного влияния различных диссипационных механизмов на пороги устойчивости отмечалась еще в тридцатых годах прошлого века (см. работы [24, 55] о динамике ротора). В [34] впервые получены признаки того, что азимутальное нарушение устойчивости магнитного поля или вращения может быть вызвано диссипативным возмущением чандрасекаровской эквипартиции для идеальной МГД. В настоящей работе мы развиваем эту идею, заново выводя уравнения ВКБ для этой задачи, выписывая гамильтонову форму соответствующей алгебраической задачи на собственные значения (она определяет отношение дисперсии для идеальной системы) и систематически изучая ее негамильтоновы возмущения вязкими членами и членами с ненулевым сопротивлением. Мы находим условия, при которых азимутальное нарушение устойчивости магнитного поля или вращения действительно является неустойчивостью чандрасекаровской эквипартиции либо ее расширений, и эта неустойчивость вызвана диссипацией. 86 О. Н. КИРИЛЛОВ 2. УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ Линеаризуем уравнения (1.1)-(1.2) вблизи стационарного решения (1.3), вводя общие возмущения u = u0 + u×, p = p0 + p× и B = B0 + B× и оставляя только члены первого порядка относительно первых производных. Получим выражения 1 2 × 1 1 0 ∂tu× + u0 · ∇u× + u× · ∇u0 - ρμ (B0 · ∇B×+B× · ∇B0) - ν∇ u 0 = - ρ ∇p× - ρμ ∇(B0 · B×), ∂tB× + u0 · ∇B× + u× · ∇B0 - B0 · ∇u× - B× · ∇u0 - η∇2B× = 0 (2.1) (см. [34, 38]), где возмущения удовлетворяют ограничениям ∇· u× = 0, ∇· B× = 0. (2.2) Введем градиенты фоновых полей, представимые следующими двумя матрицами размерности 3×3: ⎛ 0 -1 0 ⎞ B - ⎝ 1 + 2Rb 0 0 ⎠ . (2.3) 0 0 0 0 ⎛ 0 1 0 ⎞ φ R U(R) = ∇u0 = Ω ⎝ 1 + 2Ro 0 0 ⎠ , B(R) = ∇B0 = 0 0 0 Тогда линеаризованную систему магнитогидродинамики можно записать в следующем виде (см. [34]): ⎛ ∂t + U + u0 ·∇ - ν∇2 - ⎝ 1 ρμ0 (B + B0 · ∇) ⎞ ( u× \\ ⎠ B× + ⎛ ∇ p× + ⎝ 1 μ (B0 · B×) 0 ⎞ ⎠ = 0. (2.4) B- B0 ·∇ ∂t -U + u0 ·∇ - η∇2 ρ 0 Решения линеаризованных уравнений (2.4) ищутся в виде асимптотических рядов «геометрической оптики» по малому параметру α, 0 <α « 1 (см. [27]): u×(x, t, α) = eiΦ(x,t)/E (u(0)(x, t)+ αu(1)(x, t)) + αu(r)(x, t), B×(x, t, α) = eiΦ(x,t)/E (B(0)(x, t)+ αB(1)(x, t) + αB(r)(x, t), p×(x, t, α) = eiΦ(x,t)/E (p(0)(x, t)+ αp(1)(x, t)) + αp(r)(x, t), (2.5) где x - вектор координат, Φ - вещественнозначная скалярная функция, представляющая фазу колебаний, u(j), B(j) и p(j) (j = 0, 1, r) - комплекснозначные амплитуды, а индекс r обозначает остаточные члены. Следуя [16, 18, 39], мы полагаем, что ν = α2ν˜ и η = α2η˜. Подставляя разложения (2.5) и (2.4) и приводя подобные при α-1 и α0, мы приходим к следующим двум системам уравнений (см. [34]): ⎛ ∂tΦ+ (u0 · ∇Φ) - 1 ⎞ ⎛ (B0 · ∇Φ) u(0) ⎞ ⎛ Φ p(0) + 1 (B0 · B(0)) ⎞ ⎝ ρμ0 -(B0 · ∇Φ) ∂tΦ+ (u0 · ∇Φ) ⎠ ⎝ B(0) ρ ⎠ = - ∇ ⎝ μ0 0 ⎠ , (2.6) ⎛ ∂tΦ+ (u0 · ∇Φ) - 1 ⎞ ⎛ (B0 · ∇Φ) u(1) ⎞ ⎛ Φ p(1) + 1 (B0 · B(1)) ⎞ i ⎝ ρμ0 -(B0 · ∇Φ) ∂tΦ+ (u0 · ∇Φ) ⎠ ⎝ B(1) 1 ⎠ ⎝ + i ∇ ρ μ0 ⎠ + 0 (0) ⎛ ∂t + U + u0 ·∇ + ν˜(∇Φ)2 - + ⎝ ρμ0 (B + B0 · ∇) ⎞ ⎛ u ⎞ ⎠ ⎝ ⎠ + B- B0 ·∇ ∂t -U + u0 ·∇ + η˜(∇Φ)2 B(0) 0 ⎛ p(0) + 1 (B · B(0)) ⎞ ⎝ + ∇ μ0 ρ 0 ⎠ = 0. (2.7) Из условия соленоидальности (2.2) следует, что u(0) · ∇Φ = 0, ∇· u(0) + iu(1) · ∇Φ = 0, B(0) · ∇Φ = 0, ∇· B(0) + iB(1) · ∇Φ = 0. (2.8) НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 87 Скалярно умножая первое уравнение системы (2.6) на ∇Φ, удовлетворяющее ограничению (2.8), получаем, что 2 1 p(0) (∇Φ) + (B \\ · B(0)) = 0. (2.9) Следовательно, если ∇Φ /= 0, то ρ ρμ0 0 - p(0) = 1 (B μ0 0 · B(0)). (2.10) При условии (2.10) уравнение (2.6) имеет нетривиальное решение, если определитель матрицы размерности 6 × 6 в его левой части обращается в нуль. Это дает нам два характеристических корня, соответствующих двум волнам Альфвена (см. [19, 20, 38]), порождающим следующие два уравнения Гамильтона-Якоби для фазы Φ: ( B0 \\ ∂tΦ+ 0 u0 ± √ρμ · ∇Φ = 0. (2.11) ( B0 \\ Характеристические корни торами 0 -u0 ± √ρμ § ∇Φ - тройные и полупростые, с собственными век- На поверхности ⎛ 0 ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ±1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ √ρμ0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ 1 ⎛ 0 ⎞ ⎜ ±1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ √ρμ0 ⎟ ⎜ ⎟ , 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠ 0 ⎛ ±1 ⎜ √ρμ0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . (2.12) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ B0 · ∇Φ = 0 (2.13) тройные корни Альфвена сливаются в полупростой характеристический корень кратности 6 (см. [19, 20, 38]). Тогда DΦ = 0, (2.14) Dt где D Dt := ∂t + u0 § ∇ - производная по направлению потока жидкости. Вычислим градиент от (2.14): ∇∂tΦ+ ∇(u0 · ∇)Φ = ∂t∇Φ+ (u0 · ∇)∇Φ+ U T ∇Φ = D Dt ∇Φ+ U T ∇Φ = 0. (2.15) Аналогично ∇(B0 · ∇Φ) = (B0 · ∇)∇Φ+ BT ∇Φ = 0. (2.16) Используя соотношения (2.10), (2.13) и (2.14), мы упрощаем уравнения (2.7) следующим образом: ( D \\ ∇ U + ν˜( Φ)2 + Dt u(0) - 1 ρμ0 (B + B0 · ∇)B(0) = - i ( p(1) + ρ 1 \\ μ (B0 · B(1)) 0 ∇Φ, ( D \\ Dt + η˜(∇Φ)2 -U B(0) + (B- B0 · ∇)u(0) = 0. (2.17) Исключим давление из первого из уравнений (2.17), умножив его на ∇Φ, и учтем ограничения (2.8). Тогда уравнение примет вид ( D \\ ∇ U + ν˜( Φ)2 + Dt u(0) - 1 ρμ0 (B + B0 · ∇)B(0) = = ∇Φ |∇Φ|2 · ( D \\ U + Dt u(0) 1 (B - ρμ0 + B0 · ∇)B(0) ∇Φ (2.18) 88 О. Н. КИРИЛЛОВ (соответствующая стандартная процедура описана, например, в [61]). Дифференцируя первое из тождеств (2.8), получаем, что ∇ · D ( Φ u(0)) = Dt D∇Φ Dt · u(0) + ∇Φ · Du(0) Dt = 0. (2.19) С другой стороны, из третьего тождества (2.8) следует, что (B0 · ∇)(∇Φ · B(0)) = ((B0 · ∇)∇Φ) · B(0) + ∇Φ · (B0 · ∇)B(0) = 0. (2.20) Используя тождества (2.19) и (2.20), приведем уравнение (2.18) к виду ( D \\ ∇ U + ν˜( Φ)2 + Dt u(0) - 1 ρμ0 (B + B0 · ∇)B(0) = = ∇Φ |∇Φ|2 · u (0) U 1 - ρμ0 B (0) B 1 0 ∇Φ+ ρμ Φ 2 0 ∇Φ ((B ·∇)∇Φ) ·B |∇ | (0) ∇Φ - |∇Φ|2 D∇Φ Dt · u (0). (2.21) Учитывая тождества (2.16) и (2.15), приводим уравнение (2.21) и, следовательно, первое из уравнений (2.17) к виду ( D \\ ∇ U + ν˜( Φ)2 + Dt u(0) - 1 ρμ0 (B + B0 · ∇)B(0) = = ∇Φ ∇Φ 1 · U u(0) - BB(0) - 1 T (0) ∇Φ B ∇Φ · B + ∇Φ T (0) Φ u = U ∇ · |∇Φ|2 ρμ0 ρμ0 |∇Φ|2 |∇Φ|2 T = 2 ∇Φ(∇Φ) |∇Φ|2 U u(0) - 1 ρμ0 BB(0) . (2.22) Вводя обозначение k = ∇Φ, из фазового уравнения (2.15) получаем, что Dk -U = T k. (2.23) Dt Аналогично уравнения переноса для амплитуд (2.17) принимают окончательный вид Du(0) Dt DB(0) ( = - I- 2kkT \\ |k|2 U u(0) - ν˜|k|2u(0) + 1 ρμ0 (( 2kkT \\ I- |k|2 \\ B + B0 ·∇ B(0), Dt = U B(0) - η˜|k|2B(0) - (B- B0 · ∇)u(0), (2.24) где I - единичная матрица размерности 3 × 3. Напомним, что уравнения (2.23) и (2.24) выполняются при предположении, что выполнено условие (2.13). Локальные уравнения в частных производных (2.24) эквивалентны уравнениям переноса, выведенным в [27, 33, 34]. В случае идеальной МГД (с нулевыми вязкостью и сопротивлением) уравнения (2.24) в точности совпадают с уравнениями из [38] и эквивалентны уравнениям переноса, выведенным в [21, 61]. Если магнитное поле отсутствует, то эти уравнения можно рассматривать как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно конвективной производной D . Тогда Dt они сводятся к уравнениям из работы [18], исследующей устойчивость вязкого потока Куэтта- Тейлора. Отметим, что амплитудные уравнения той же формы (с другой матрицей U) возникают при изучении эллиптической неустойчивости (см. [39]) и трехмерных локальных неустойчивостей вязких и невязких потоков более общего вида (см. [16]). 3. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ Пусть ортогональные единичные векторы eR(t), eφ(t) и ez (t) образуют базис в цилиндрической координатной системе, движущейся вдоль траектории движения жидкости. Если k(t) = kReR(t)+ kφeφ(t)+ kz ez (t), u(t) = uReR(t)+ uφeφ(t)+ uz ez (t), а матрица U - такая, как в (2.3), то e˙ R = Ω(R)eφ, e˙ φ = -Ω(R)eR. (3.1) Следовательно, уравнение (2.23) в координатной форме имеет вид k˙ R = -R∂RΩkφ, k˙ φ = 0, k˙ z = 0. (3.2) НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 89 Согласно [18, 21], чтобы исследовать потенциально неустойчивые режимы, имеющие физический смысл, нужно выбирать ограниченные решения системы (3.2), не затухающие на бесконечности. Для таких решений kφ ≡ 0, а kR и kz не зависят от времени. Отметим, что такое решение удовлетворяет ограничению B0 · k = 0, вытекающему из (2.13). Введем обозначение α = kz |k|-1, где |k|2 = k2 + k2. Тогда kRk-1 = √1 - α2α-1, и мы можем R z z представить локальные амплитудные уравнения в частных производных (2.24) в координатном виде. Тогда уравнения для осевых компонент отделены от уравнений для радиальных и азимутальных компонент. Последние имеют следующий вид (см. [33, 34]): ν (0) B 0 (0) φ (0) B 0 φ (0) (∂t + Ω∂φ + |k|2) uR - 2α2Ωuφ - ρμ0R ∂φBR + 2α2 ρμ0R Bφ = 0, ν (0) B 0 (0) 2 φ B 0 (0) 1 φ (0) (∂t + Ω∂φ + |k|2) uφ + 2Ω(1 + Ro)uR - ρμ0 R (1 + Rb)BR - 0 ρμ0 R ∂φBφ = 0, η (0) Bφ (0) (∂t + Ω∂φ + |k|2) BR - R ∂φuR = 0, 0 0 η (0) (0) Bφ (0) Bφ (0) R (∂t + Ω∂φ + |k|2) Bφ - 2ΩRoBR + 2Rb uR - R ∂φuφ = 0. (3.3) u Решение уравнений (3.3) ищется в модальной форме: u(0) = eαΩλt+imφ, B(0) = √ρμ0B eαΩλt+imφ. Введем вязкую и резистивную частоты, модифицированное азимутальное волновое число и гидродинамическое и магнитное числа Рейнольдса (см. [33, 34]): ν|k|2, ωη = η|k|2, n = m , Re = αΩ , Rm = αΩ . (3.4) ων = α ων ωη Запишем амплитудные уравнения (3.3) в матричной форме Az = λz, (3.5) где z = (uR, , B , B )T , A = A + A и uφ R φ 0 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ -in 2α inN -2αN ⎞ 0 0 0 Re ⎜ A0 = ⎜ - 2(1 + Ro) α - ⎟ 2(1 + Rb) ⎟ in N inN α ⎜ ⎜ 1 0 ⎜ Re ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ , A1 = - ⎜ 1 ⎟ . (3.6) ⎜ ⎟ ⎜ inN 0 -in 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ 2Rb - N inN α 2Ro ⎠ α -in ⎝ ⎠ ⎜ Rm 1 ⎟ 0 0 0 Rm (см. [31, 33, 34, 56]). Записав условие разрешимости для этой системы алгебраических уравнений, получим дисперсионное соотношение p(λ) := det(A - λI) = 0, (3.7) где I - единичная матрица размерности 4 × 4, а p(λ) - следующий комплексный полином четвертого порядка: p(λ) = (a0 + ib0)λ4 + (a1 + ib1)λ3 + (a2 + ib2)λ2 + (a3 + ib3)λ + a4 + ib4. (3.8) В частном случае, когда ων = 0 и ωη = 0, коэффициенты дисперсионного соотношения (3.7) в точности совпадают с коэффициентами, найденными в [21, 47]. Если магнитное поле отсутствует, то дисперсионное соотношение (3.7) сводится к тому, которое было выведено в [37]. 4. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА Матрица A0 в (3.6) соответствует идеальной системе, а A1 представляет собой ее возмущение членами с ненулевыми вязкостью и сопротивлением. Наша цель - переформулировать задачу на собственные значения для матрицы A = A0 + A1 в виде задачи на спектре диссипативно возмущенной гамильтоновой системы (см. [44]). 90 О. Н. КИРИЛЛОВ Введем эрмитову матрицу ⎜ ⎛ 0 -i 0 iN ⎞ ⎜ i 0 -iN 0 ⎟ G = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 iN 4 Ro - Rb αn ⎟ ⎟ . (4.1) - i ⎟ ⎟ ⎠ -iN 0 i 0 Тогда матрица H0 = -iGA0 - тоже эрмитова. Действительно, ⎛ 2(N2Rb - Ro - 1) 2 2N(1 + Rb - Ro) ⎞ - in(N ⎜ α ⎜ + 1) - α -2inN ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ H0 = ⎜ -in(N2 + 1) 2α 2inN -2αN ⎟ ⎟ ⎟ . (4.2) - ⎜ 2N(1 + Rb Ro) ⎜ - ⎜ α ⎝ -2inN 2(N2Rb + N2 + 2Rb - 3Ro) α in(N2 ⎟ + 1) ⎟ ⎟ ⎠ 2inN -2αN -in(N2 + 1) 2αN2 Следовательно, задача на собственные значения A0z = λz может быть записана в гамильтоновой форме с гамильтонианом H0 (см. [27, 62]): H0z = i-1Gλz. (4.3) Из фундаментальной симметрии T A0 = -G-1A0 G, (4.4) где черта сверху означает комплексное сопряжение, следует симметрия спектра матрицы A0 относительно мнимой оси (см. [27, 62]). Таким образом, полная задача на собственные значения (3.5) является следующим диссипативным возмущением гамильтоновой задачи (4.3) на собственные значения: (H0 + H1)z = i-1Gλz, (4.5) где H1 = -iGA1 - это комплексная неэрмитова матрица ⎛ 1 0 ⎜ Re ⎜ 1 N ⎞ ⎟ 0 - Rm N ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ - 0 ⎟ ⎜ H1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Re N - 0 4i Re N Rm Ro - Rb αnRm 1 1 Rm ⎟ ⎟ . (4.6) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Re 0 - Rm 0 5. ЛОКАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИДЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Идеальная система (4.3) без вязкости и сопротивления имеет характеристический полином p(λ) = λ4 + 4inλ3 + (2N2n2 - 6n2 +4+ 4δ) λ2 + (5.1) + 4in (2δ + (n2 - 2)(N2 - 1)) λ + n2(N2 - 1) (4δ + (n2 - 4)(N2 - 1)) , где δ = Ro - RbN2. Дисперсионное соотношение, соответствующее (5.1), можно представить в более компактном виде (см. [21, 33, 34, 47, 64]): 4δ((iλ - n)2 - n2N2)+ 4(iλ - n + nN2)2 - ((iλ - n)2 - n2N2)2 = 0. (5.2) Если δ = 0, т. е. Ro = RbN2, то уравнение (5.2) упрощается, а его корни имеют вид λ1,2 = -i(n + 1) ± irN2(n + 1)2 +1 - N2, (5.3) НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 91 РИС. 1. Частоты и скорости роста корней (5.3) и (5.4) дисперсионного соотношения (5.2) при ограничении Ro = RbN2 для (а) N = 0,8, (b) N = 1 и (c,d) N = 1,2. λ3,4 = -i(n - 1) ± irN2(n - 1)2 +1 - N2. (5.4) Эти корни показаны на рис. 1 для разных значений N. Если 0 ::: N < 1, то собственные значения мнимы и просты для всех 0 <n ::: 2; при n = 0 ноль является двукратным собственным значением с жордановым блоком и парой простых мнимых собственных значений, как показано на рис. 1(a). Если N = 1, то ноль является двукратным собственным значением, полупростым для всех n из (0, 2), кроме случая n = 1; в этом случае у него есть жорданов блок второго порядка. Две остальные ветви собственных значений состоят из простых собственных значений, как показано на рис. 1(b), и соответствуют значениям N = 1 и Ro = Rb, что включает в себя и чандрасекаровскую эквипартицию. Если N > 1, то возникает пузырь комплексно сопряженных собственных значений, как показано на рис. 1(c,d); случай, когда n принадлежит области, ограниченной кривой 1 показан на рис. 2(a). N = r 1 - (n - , (5.5) 1)2 На границе (5.5) имеем двойные мнимые собственные значения с жордановым блоком второго порядка. Следовательно, на пересечении маргинальная устойчивость пропадает за счет бифуркации Гамильтона-Хопфа, как показано на рис. 1(c,d). Если N = 1 и n = 1, то двойное собственное значение с жордановым блоком - это нуль. Если его разбить на фиксированное N = 1 и переменное n, то полученная функция будет линейной по n; она вырождается, поскольку это происходит вдоль направления, касательного к границе устойчивости. Отметим, что такой тип разбиения, 92 О. Н. КИРИЛЛОВ 1. b) РИС. 2. (a) Диаграмма устойчивости идеальной системы (плоский случай), удовлетворяющей ограничению δ := Ro - RbN2 = 0, с границей (5.5) является сечением полной диаграммы устойчивости (b) с границей (5.6), имеющей особенность типа «ласточкин хвост» при n = 1, N = 1 и δ = 0. равно как и соответствующие изменения кривых собственных значений, показанные на рис. 1, аналитически описан в [27, 28]. На рис. 2(a) показана только часть диаграммы неустойчивости полинома (5.1). удовлетворяющего ограничению δ = 0. Чтобы представить себе. что происходит при δ /= 0, рассмотрим дискриминантное множество полинома (5.1): 4δ5 + (N2n2 - 4N2 + 16)δ4 + (8N4n2 + 12N2n2 - 12N2 + 24)δ3 + + (2N6n4 - 8N6n2 + 2N4n4 - 22N4n2 + 22N2n2 - 12N2 + 16)δ2 + + 4(N2 - 1)(N6n4 - 2N4n4 + 5N4n2 - 3N2n2 - 1)δ + + N2n2(N2 - 1)2(N4n4 - 4N4n2 + 2N2n2 + 1) = 0. (5.6) Уравнение (5.6) определяет сингулярную поверхность в пространстве параметров n, N, δ с особенностью типа «ласточкин хвост» в точке n = 1, N = 1, δ = 0, как показано на рис. 2(b). Гладкие части этой поверхности соответствуют двойным мнимым собственным значениям с жордановыми блоками второго порядка; на двух ребрах возврата имеем тройные мнимые собственные значения с жордановыми блоками третьего порядка. Для чандрасекаровской эквипартиции имеем N = 1 и δ = Ro - Rb = 0. следовательно, имеет смысл рассмотреть сечение полной диаграммы устойчивости, показанной на рис. 2(b), плоскостью N = 1. Из (5.6) получаем границу на плоскости (n, δ): 1 / 4 n = -2δ2 - 40δ + 16 ± 2rδ(δ - 8)3. (5.7) Результат изображен на рис. 3(a), где область неустойчивости плоской идеальной системы закрашена светло-серым цветом. Отметим, что стабилизация при n = 0 и δ > -1 соответствует критерию Майкла (см. [45]), а ветвь границы устойчивости при n> 1 имеет следующее асимптотическое представление при δ → -∞: √ ( 1 \\ n = 2 -δ + O √ ; (5.8) -δ НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 93 РИС. 3. (a) При N = 1 область неустойчивости идеальной системы с границей (5.7) закрашена светло-серым цветом и показаны границы (6.3) областей неустойчивости диссипативной системы с Re = Rm, которые при Rm → ∞ стремятся к границе области неустойчивости идеальной системы. (b) При N = 1 область неустойчивости идеальной системы (закрашена светло-серым цветом) сравнивается с областью неустойчивости диссипативной системы (закрашена темно-серым цветом) для Re = 106, Rm = 10 и Pm = 10-5, чтобы показать неустойчивость, вызванную диссипацией. это полностью соответствует порогу азимутального нарушения устойчивости магнитного поля или вращения (1.10) в идеальном случае (см. [47, 64]). Прямая δ = 0, которой принадлежит эквипартиция, находится в области устойчивости идеальной системы, как показано на рис. 3(a). Соответствующие кривые мнимых собственных значений показаны на рис. 4(a); видно, что они пересекаются при n = 1, т. е. в случае, когда существуют чисто мнимое собственное значение, собственное значение - простой нуль и собственное значение - двойной нуль с жордановым блоком второго порядка. При δ > 0 пересечения нет, как показано на рис. 4(b), и все собственные значения мнимы (маргинальная устойчивость). При δ < 0 кривые собственных значений сливаются и образуется пузырь комплексных собственных значений, как показано на рис. 4(c,d). Неустойчивость имеет место в результате бифуркации Гамильтона-Хопфа на пороге (см. (5.7)). 6. АЗИМУТАЛЬНАЯ МАГНИТОВРАЩАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ МАЛОМ Pm КАК НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ПОРОЖДЕННАЯ ДИССИПАЦИЕЙ Рассмотрим влияние вязкости и сопротивления жидкости на порог неустойчивости идеальной системы. Вначале заметим, что при Ro = RbN2 и Re = Rm корни характеристического полинома (3.7) могут быть найдены в явном виде: 1 r 2 2 2 λ1,2 = -i(n + 1) - Rm ± i N (n + 1) +1 - N , (6.1) 1 r 2 2 2 λ3,4 = -i(n - 1) - Rm ± i N (n - 1) +1 - N . (6.2) Это означает, что при Pm = 1 чисто мнимые собственные значения (5.3) и (5.4) сдвигаются диссипацией влево на комплексной плоскости (асимптотическая устойчивость). Кроме того, если 94 О. Н. КИРИЛЛОВ РИС. 4. Частоты и скорости роста корней дисперсионного соотношения (5.2) при выполнении ограничения N = 1 для (a) Ro = -0,75 и Rb = -1 (δ = 0,25), (b) Ro = -0,75 и Rb = -0,75 (δ = 0) и (c,d) Ro = -0,75 и Rb = -0,7 (δ = -0,05). РИС. 5. Частоты и скорости роста в диссипативной системе при Re = 106, Rm = 10, Pm = 10-5 и Ro = -0,75, Rb = -0,7, N = 1. Увеличение интервала неустойчивости из-за несовершенного объединения мод в случае, когда Re и Rm не равны друг другу. НАРУШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НАМАГНИЧЕННЫХ ПОТОКОВ, ВЫЗВАННЫЕ ДИССИПАЦИЕЙ 95 1. b) c) Im l Im l Re l n Re l n РИС. 6. Частоты и скорости роста в диссипативной системе при Re = 106, Rm = 10, Pm = 10-5, Ro = -0,75, Rb = -0,75, N = 1. Отсутствие пересечения частот и положительные скорости роста эквипартиции. РИС. 7. Частоты и скорости роста в диссипативной системе при Re = 106, Rm = 10, Pm = 10-5, Ro = -0,75, Rb = -0,76, N = 1. Порожденная диссипацией неустойчивость для случая, когда параметры находятся в области устойчивости для идеальной системы. гидродинамическое и магнитное числа Рейнольдса равны друг другу, то диссипация уменьшает область неустойчивости. Мы демонстрируем это явление, применяя критерий Бильхарца (см. [5]) к полиному (3.7) и полагая Re = Rm, N = 1 и δ = Ro - Rb, чтобы получить следующую границу области устойчивости: ( \\ ( 2 \\ 4δ3 + n2 + 12+ 9 Rm2 δ2 +2 10n2 +6+ 3n Rm2 9 + Rm2 3 + δ+ Rm4 ( + 4+ 1 Rm2 1 \\( (n + 1)2 + Rm2 \\( 1 \\ - (n 1)2 + Rm2 = 0. (6.3) Из рис. 3(a) видно, что при Pm = 1 плоская область неустойчивости системы с диссипацией меньше, чем область неустойчивости идеальной системы, растет с ростом Rm и стремится к области неустойчивости идеальной системы при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности. Изучим вопрос, что происходит с порогом устойчивости идеальной системы, если отношение вязкости к сопротивлению меньше единицы и особенно если Pm « 1. На рис. 3(b) изображена (темно-серым цветом) область неустойчивости системы с вязкостью и сопротивлением, в которой 96 О. Н. КИРИЛЛОВ N = 1, Re ± Rm и Pm = 10-5. Область, закрашенная светло-серым цветом, является частью области неустойчивости идеальной системы, закрашенной светло-серым цветом на рис. 3(a). Темносерым цветом на рис. 3(b) закрашена область неустойчивости для тех значений параметров, которые соответствуют маргинальной устойчивости идеальной системы. Прямая δ = 0, которой при- - надлежит чандрасекаровская эквипартиция, пересекает область неустойчивости, вызванной диссипацией. Если Pm фиксировано, а Re и Rm бесконечно возрастают, то область неустойчивости, вызванной диссипацией, расширяется и стремится к некоторому пределу. Например, при Ro = 3 4 3 25 1 разность δ := Ro- Rb не может превзойти величину - 4 + 32 = 32 = 0,03125. Указанная величина может быть достигнута только в предельном безиндукционном случае Pm = 0 (см. [31, 33, 34]). Собственные значения диссипативной системы, показанной на рис. 5-7, показывают расширение области маргинальной устойчивости под воздействием двух различных диссипативных механизмов: вязкости и сопротивления. В отличие от случая, в котором коэффициенты вязкости и сопротивления совпадают, преобладание сопротивления над вязкостью действительно приводит к азимутальным нарушениям устойчивости магнитного поля или вращения для тех значений параметров, для которых указанные нарушения для идеальной системы запрещены. В частности, несовпадение вязкости и сопротивления нарушает устойчивость чандрасекаровской эквипартиции. Представляет интерес дальнейшее изучение этого эффекта с использованием фундаментальной симметрии гамильтоновой системы, чтобы классифицировать режимы идеальной системы и понять, какое воздействие на режимы с положительным или отрицательным симплектическим знаком (см. [27, 62]) могут оказывать возмущения вязкости и сопротивления. Эти вопросы будут изучены впоследствии.

Об авторах

О. Н. Кириллов

Helmholtz-Zentrum Dresden Rossendorf

Email: o.kirillov@hzdr.de
Дрезден, Германия

Список литературы