О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина

Аннотация

Для одномерных кинетических уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина получены условия локального равновесия для решений задачи Коши с ограниченной энергией и периодическими начальными данными. Более того, доказана экспоненциальная стабилизация к состоянию равновесия.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В этой статье мы продолжим исследование [2] стабилизации (асимптотической устойчивости) решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных на примере так называемых дискретных моделей кинетического уравнения Больцмана [1, 3]. Гипотеза такова: на больших Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 15-0103587, № 09-01-12024). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 23 24 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ временах решения задачи Коши с ограниченной энергией распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающих дисперсионных волн [5, 9, 10]. В этой статье мы ограничимся исследованием стабилизации решений задачи Коши для так называемых одномерных уравнений Карлемана [3, 4]: 1 2 ∂tu + ∂xu = - ε (u 2 - w ), x ∈ R, t > 0, (1.1) 1 2 ∂tw - ∂xw = ε (u 2 - w ), и Годунова-Султангазина u|t=0 = u0, w|t=0 = w0 1 2 ∂tu + ∂xu = ε (v - uw) (1.2) 2 2 ∂tv = - ε (v o uw) 1 2 ∂tw - ∂xw = ε (v o uw) v(0) = v0, u(0) = u0, w(0) = w0. (1.3) Здесь x ∈ S1 = [0, 2π] и U (t, 0) = U (t, 2π) - пространственно-периодические граничные условия, o - малый параметр, соответствующий числу Кнудсена. Система (1.1) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа [1], состоящего из частиц со скоростями c = 1, -1 (их плотности соответственно u = n1(x, t), w = n2(x, t)). Для этой модели не сохраняются импульс и энергия. На примере модели Карлемана хорошо видна суть уравнения Больцмана. Оно описывает смесь «конкурирующих» процессов: релаксации и свободного движения. Релаксация стремится сделать n1 равным n2 - «максвеллизировать». Свободное движение разгоняет эти две функции распределения в разные стороны (описывая слабо взаимодействующие солитоны). 2 Система же (1.2) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа [1], состоящего из частиц со скоростями c = 1, 0, -1 (их плотности соответственно u = n1(x, t), v = n2(x, t), w = n3(x, t)). Две частицы - одна первого, а вторая третьего типов, сталкиваясь с вероятностью, пропорциональной uw = n1(x, t)n3(x, t), вызывают реакцию, переводящую их в две частицы второго типа. В свою очередь, две частицы второго типа, сталкиваясь с вероятностью v2 = n2(x, t), переходят в одну частицу первого типа и в одну частицу третьего типа. Здесь сохраняется импульс, а энергия - нет. Модель (1.2) при всей схожести с моделью Карлемана не имеет квадратичных диссипирующих интегралов, в связи с чем, как отмечено в [3], получение глобальной теоремы существования затруднительно. Мы уточним результаты [7] о природе локального равновесия для дискретных кинетических моделей для периодических начальных данных. На наш взгляд, чрезвычайно простое доказательство глобальной разрешимости задачи Коши для одномерного кинетического уравнения (1.1) позволяет исследовать природу локального равновесия и установить скорость стабилизации к состоянию равновесия решений задачи Коши с ограниченной энергией и периодическими начальными данными. Здесь ε - малый параметр, соответствующий числу Кнудсена в кинетической теории. Система Карлемана хорошо исследована. Например, в [4] приводится доказательство Темама теоремы существования и единственности решения двумерной системы Карлемана в классах Соболева W 1,2. Приводимое нами доказательство позволяет выделить недиссипативную часть решения и свести задачу о существовании глобального решения к разрешимости соответствующего уравнения для секулярных членов. Как мы покажем ниже, для системы Карлемана такое уравнение имеет решение, аннулирующее недиссипативную часть решения задачи Коши. Мы приведем основные идеи доказательств и прежде всего исследуем интегродифференциальный оператор с трансляцией, определяющий линеаризацию задачи Коши. В заключение - коротко о структуре предлагаемой работы. Первые три пункта раздела 2 об уравнении Карлемана носят предварительный характер. В пунктах 2.4-2.6 этого раздела - вывод условия секулярности, исследование его разрешимости и исследование разрешимости нелинейного О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 25 уравнения для дисперсионной волны невозмущенной задачи Коши. В пункте 2.7 доказывается разрешимость линеаризованной задачи в весовых L2 классах. В последнем пункте этого раздела доказывается теорема существования и единственности глобального решения задачи Коши (1.1) и его экспоненциальной стабилизации к состоянию равновесия. Раздел 3 статьи посвящен исследованию стабилизации периодических решений задачи Коши с конечной энергией для модели Годунова-Султангазина. Здесь развиваются подходы и методы раздела 2 и устанавливается их универсальность для дискретных моделей типа Броудэла. Распределение материла раздела по пунктам идентично предыдущему разделу. 2. ЛОКАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА 1. Малые возмущения. Начнем наши исследования с периодических начальных данных задачи Коши. Мы исследуем задачу Коши (1.1) для малых возмущений состояния равновесия w2 = u2, e e ue = we > 0, системы (1.1). Положим u = ue + w1/2ε2u, w = we + w1/2ε2w (2.1) Тогда e e 1 1/2 w u)= u + )( - ), x ∈ R, t > 0, (2.2) ∂t u - 2we ε ( - 1 -εwe ( w u w 1/2 w - εwe ( + )( - ). ∂t w + 2we ε ( u)= u w u w u|t=0 u0, w|t=0 = w0. = Для периодических решении с нулевыми средними k u(t, x)= '\\" u (t)eikx, k∈Z0 2,γ введем весовые пространства Hσ, W 1 w(t, x)= '\\" wk (t)eikx, Z0 = {k ∈ Z,k /= 0}, k∈Z0 (R+; Hσ ), L2,γ (R+; Hσ ) с нормами: u|t=0 2 Hσ = '\\" k∈Z0 k2σ 0 2 |uk | , 2,γ (R+;Hσ ) d dt u L2,γ (R+;Hσ-1) u L2,γ (R+;Hσ ) u W 1 u 2 = r∞ = + e2γt '\\" k2σ |uk (t)|2 dt. L2,γ (R+;Hσ ) 0 k∈Z0 Теорема 2.1. Существуют такие постоянные γ > 0, γ = O(ε), q ∈ (0, 1), q = O(1), что для u0 w0 периодических начальных данных ( , ) с нулевыми средними и ограниченной нормой √ε u0 + w0 q (2.3) Hσ Hσ для σ > 2 существует глобальное решение ( ) ∈ W 1 (R+; Hσ ) задачи Коши (2.2). Отсюu, w 2,γ да следует принцип локального равновесия с экспоненциальной стабилизацией к состоянию равновесия. Из (2.2) следует закон сохранения ∂t( + )+ ∂x( - )= 0, u w u w Для коэффициентов Фурье имеем d d dtuk + ikuk = -( d 1 dtwk - ikwk ). dtwk - ikwk + 2we e ε (wk - uk )= εw1/2 '\\" k1+k2=k (uk1 + wk1 )(uk2 - wk2 ) 26 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Интегрируя первое уравнение, получим t r uk = -wk + (u0 + w0)e-ikt + 2ik eik(s-t)wkds, k /= 0, (2.4) k если предположить, что выполнено Условие 2.1. u0 k 0 u0 + w0 ≡ 0, 1 0 r 0 + w0 = 0 Для k =0 в силу условия (2.1) имеем (u0 + w0)dx = 0. d dtw0 + 4we e 1 w0 = εw1/2 ε '\\" ((uk1 - wk1 )(uk2 + wk2 ) или где d dtw0 + 4we k1+k2=0, k1/=0 e 1 w0 = εw1/2(d0 + 2l0(w)+ 4B0(w, w)), (2.5) ε d0 = '\\" (u0 + w0 )((u0 + w0 ), k1 k1/=0 k1 -k1 t r -k1 k1 l0(w)= '\\" J(u0 k1/=0 r t k1 + w0 )e-ik1t(-ik1 0 e-ik1(s-t)w -k1 ds)+ + ik1 eik1(s-t)wk 0 0 k1 k1 k ik1t 1 ds - w 1 0 t r ((u + w )e , - - t r B0(w, w)= '\\" (-ik1 k1/=0 0 Интегрируя (2.5), получим t e-ik1(s-t)w -k1 ds) ik1 0 1 eik1(s-t)wk ds - wk1 . если r e w0 = εw1/2 0 1 0 0 0 ds, e4we ε (s-t) d + 2l (w)+ 4B (w, w) w0 0 = 0. (2.6) Так же для коэффициентов Фурье wk для k /=0 имеем d dtwk - ikwk + 2we 1 o (wk - uk )= e = εw1/2 (u0 + w0)(uk - wk )+ (u0 - w0)(uk + wk ) + e +εw1/2 '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 (uk1 § wk1 )(uk2 + wk2 ). В силу (2.4) и (2.1) получим бесконечную систему обыкновенных уравнений. t d 1 1 r ik(s-t) Tk (wk )= dtwk - ikwk + 4we ε wk - 4ikwe ε e 0 wkds = (2.7) = w1/2 1 -ikt 1/2 add 1/2 e dke ε - εwe Tk (w)+ εwe 2lk (w)+ 4Bk (w, w) , k wk |t=0 = w0, k ∈ Z0, О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 27 где Tadd 0 0 -ikt t r ik(s-t) k (w)= 2w0 (uk + wk )e + 2ik e 0 wkds , dk = 2w1/2(u0 + w0) - ε2 '\\" (u0 + w0 )(u0 + w0 ), e k k k1 k1 k2 k2 k1+k2=k, k1k2/=0 t r (u k1 lk (w)= '\\" J 0 k1+k2=k, k1k2/=0 r t k1 + w0 )e-ik1t(ik2 0 2 eik2(s-t)wk ds)+ + ik1 eik1(s-t)wk 0 0 k -ik2t 1 ds - w 1 0 t )(uk2 + wk2 )e , t Bk (w, w)= '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 r ik2 0 2 ds eik2(s-t)wk r ik1 0 1 1 eik1(s-t)wk ds - wk . Теперь перейдем к нулевым начальным условиям, положив wk = w0e(ik 4w ε )t + yk. 1 - e k Имеем t 1 r -4ikwe ε 0 eik(s-t) t 1 r wkds = -4ikwe ε 0 eik(s-t) ykds - 2ik 1 1 wew0 (e(ik-4we ε )t - e-ikt), ε - (ik - 2we 1 ) k ε 1 '\\" J 0 0 ik2 0 lk (w)= lk (y) - 2 k1+k2=k, k1k2/=0 2 - (uk1 + wk1 )(ik 1 2we ε ) wk2 + + ik1 w0 (u0 + w0 ) e-ikt + ε (ik1 - 2we 1 ) k1 k2 1 k2 1 ik2 + e-4we ε t '\\" J(u0 0 -ik1t 0 k1+k2=k, k1k2/=0 k1 + wk1 )e 2 (ik2 - ) 1 wk2 + 2we ε + 1 ik1 w0 w0 )(u0 + w0 )e-ik2t , ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - k1 k2 k2 Bk (w, w)= '\\" J 1 ik2 w0 1 ik1 w0 e-ikt + k1+k2=k, k1k2/=0 1 ε 2 (ik2 - 2we 1 ) 1 ik2 ε k2 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 + e-4we ε t1 w0 eik2t × ε 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 1 ik1 1 w0 (e(ik1-4we ε )t w0e(ik1-4we )t 1 e-ik1t) ε ε × 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - - k - 1 ik2 w0 e-ik2t eik1t 1 ik1 w0 w0 + ε - 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 ε 2 (ik1 - 2we 1 ) t k1 - k1 1 ik2 1 r + w0 (e(ik2-4we ε )t - e-ik2t) ik1 eik1(s-t)yk ds - yk + ε 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 1 1 0 t r + ik2 eik2(s-t)yk 1 ik1 0 (ik1-4we 1 )t -ik1t o )t 0 (ik-4we 1 2 ds 0 2 (ik1 - ε ) 1 wk1 (e 2we ε - e ) - wke + 28 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Тогда t r + ik2 0 eik2(s-t)yk 2 ds t r ik1 0 eik1(s-t) yk1 ds - yk1 . Bk (y, y)= '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 t r ik2 0 2 ds eik2(s-t)yk t r ik1 0 1 1 eik1(s-t)yk ds - yk , Lk (y)= lk (y)+ + '\\" J 1 ik2 1 w0 (e(ik2-4we ε )t r t e-ik2t) ik1 eik1(s-t)yk ds yk1 + k1+k2=k, k1k2/=0 t ε 1 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 - - 0 r + ik2 eik2(s-t)yk 1 ik1 0 (ik1-4we 1 )t -ik1t o )t 0 (ik-4we 1 2 ds 0 2we 1 2 (ik1 - ε ) 1 wk1 (e 2we ε - e ) - wke , Dk = 2w1/2(u0 - ε w0)+ ε2 '\\" (u0 + w0 )(u0 + w0 ) - ε e k (ik - 2we 1 ) k k1 k1+k2=k, k1k2/=0 k1 k2 k2 - (u0 + w0 ) ik2 w0 ik1 - w0 (u0 + w0 )+ k1 k1 ε ε (ik2 - 2we 1 ) k2 (ik1 - 2we 1 ) k1 k2 k2 + ik2 w0 ik1 w0 = 2w1/2(u0 - o 2we 1 w0) - ε (ik2 - 2we 1 ) ε k2 (ik1 - 2we 1 ) k1 1 ε e k (ik - 2we 1 ) k 2we 1 u0 + ε 2 '\\" k1 k1+k2=k, k1k2/=0 2we ε ε - (ik1 - 2we 1 ) wk1 uk2 0 0 0 ε ε - (ik2 - 2we 1 ) wk2 , 2ik 0 1 ikt fk (t)= -(ik § 2w 1 e ε ) wewk εe + + 4εw1/2 e '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 J 1 ik2 ε 2 (ik2 - 2we 1 ) w0 eik2t × k2 1 ik1 1 w0 (e(ik1-4we ε )t w0e(ik1-4we )t 1 e-ik1t) ε ε × 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - - k - 1 ik2 w0 e-ik2t eik1t 1 ik1 w0 w0 + ε - 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - k1 + 2εw1/2 e '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 J 1 ik2 ε 2 (ik2 - 2we 1 ) w0 eik2t × k2 1 ik1 1 w0 (e(ik1-4we ε )t w0e(ik1-4we )t 1 e-ik1t) ε ε × 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - - k - 1 ik2 w0 e-ik2t eik1t 1 ik1 w0 w0 . ε - 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - k1 Это позволяет переписать систему (2.7) d 1 dtyk - ikyk + 4we ε t 1 r yk - 4ikwe ε eik(s-t)ykds = (2.8) = w1/2 1 -ikt 0 -4we 1 t e Dke ε + fk (t)e ε + +εw1/2 2Lk (y)+ 4Bk (y, y) - εw1/2Tadd(w), e e k k wk |t=0 = w0, k ∈ Z0. О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 29 k Здесь Tadd(w) - оператор возмущения базовой системы t d 1 dtyk - ikyk + 4we ε 1 r yk - 4ikwe ε eik(s-t)ykds = (2.9) = w1/2 1 -ikt -4we 1 t 0 1/2 e Dke ε + fk (t)e ε + εwe 2Lk (y)+ 4Bk (y, y) , k wk |t=0 = w0, k ∈ Z0, исследованию задачи Коши которой мы посвятим следующий пункт. Нулевая мода. Далее имеем l0(w)= l0(y)+ e 4w ε )tf L(t) - 1 - e 0 1 '\\" J 0 0 ik2 0 - 2 k1+k2=0, k1k2/=0 2 - (uk1 + wk1 )(ik 1 2we ε ) wk2 + + ik1 w0 (u0 + w0 ) , ε (ik1 - 2we 1 ) k1 k2 f L J k2 1 ik2 0 (t)= '\\" (u0 + w0 )e-ik1t w0 + k1 k1 k1+k2=0, k1k2/=0 ε 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 + 1 ik1 w0 w0 )(u0 + w0 )e-ik2t , ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - k1 1 k2 k2 B0(w, w)= f B (t)e-4we ε t + lB (y)+ B0(y, y)+ 0 0 + '\\" J 1 ik2 w0 1 ik1 w0 , k1+k2=k, k1k2/=0 ε 2 (ik2 - 2we 1 ) r t ε k2 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 t B0(y, y)= '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 Jik2 0 2 ds eik2(s-t)yk r ik1 0 1 1 eik1(s-t)yk ds - yk , t lB J 1 ik2 1 r + 0 (y)= '\\" w0 (e(ik2-4we ε )t - e-ik2t) ik1 eik1(s-t)yk ds - yk k1+k2=k, k1k2/=0 t ε 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 1 1 0 r + ik2 eik2(s-t)yk 1 ik1 0 (ik1-4we 1 )t -ik1t o )t 0 (ik-4we 1 2 ds 0 2 (ik1 - ε ) 1 wk1 (e 2we ε - e ) - wke , 1 f B ik2 0 ik2t 2 - 0 (t)= 2 (ik ) 1 wk2 e × 2we ε 1 ik1 1 w0 (e(ik1-4we ε )t w0e(ik1-4we )t 1 e-ik1t) ε ε × 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - - k - 1 ik2 w0 e-ik2t eik1t 1 ik1 w0 w0 . Отсюда ε - 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - k1 t r 1 1 e w0 = εw1/2 0 0 где L0(y)= l0(y)+ 2lB (y), e4we ε (s-t) D0 + 2L0(y)+ 4B0(y, y)+ f0(t)e-4we ε t ds, (2.10) u k1 D0 = '\\" 0 - k1∈Z0 o w 2we 1 0 ε (ik1 - 2we 1 ) k1 u 0 -k1 + o 2we 1 ε (ik1 + 2we 1 ) w 0 -k1 . 30 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Определение. Фурье-решением задачи Коши для системы (2.2) будем называть систему абсолютно непрерывных коэффициентов Фурье Uk = (uk, wk ), k ∈ Z, удовлетворяющих системе (2.7), (2.4), (2.6) для почти всех t ∈ R+. 2. Конечная аппроксимация. Для любого m ∈ N рассмотрим конечную аппроксимацию: t T (m) (m) d (m) (m) 1 (m) 1 r ik(s-t) (m) k (yk )= dtyk - ikyk + 4we ε yk - 4ikwe ε e 0 yk ds = (2.11) = w1/2 1 D e (m) ikt (m) 4we 1 t 1/2 (m) (m) (m) (m) (m) - e ε k + fk (t)e- ε + εwe 2Lk (y )+ 4Bk (y ,y ) , Для нулевой моды положим k wk |t=0 = w0, k ∈ Z0. t r e w(m) 0 = εw1/2 0 4we 1 e ε (s-t) (m) D0 + 2L (m) 0 (y(m))+ (2.12) +4B(m) (m) 1 Здесь 0 (y(m), y(m) + f0 (t)e-4we ε t) 1 ds. D(m) 1/2 0 2we ε 0 k = 2we (uk - (ik - 2w 1 e ε ) wk )+ u0 + ε 2 '\\" k1 k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε 2we 1 ε - (ik1 - 2we 1 ) 0 wk1 0 uk2 ε 2we 1 ε - (ik2 - 2we 1 ) 0 wk2 , L(m) (m) +2 '\\" J 1 ik2 k (y)= lk (y)+ 1 w0 (e(ik2-4we ε )t r t e-ik2t) ik1 eik1(s-t)yk ds yk1 + k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m t ε 1 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 - - 0 r + ik2 eik2(s-t)yk 1 ik1 0 (ik1-4we 1 )t -ik1t o )t 0 (ik-4we 1 2 ds 0 2 (ik1 - ε ) 1 wk1 (e 2we ε - e ) - wke . Остальные функции f (m)(t), B(m)(y, y),f (m)(t), B(m)(y, y), D(m), L(m) определяются аналогично. k k 0 0 0 0 Теорема 2.2. Пусть σ > 1, u|t=0, v|t=0, w|t=0 ∈ Hσ (0, 2π) и средние значения u0 = v0 = w0 = 0. 0 0 0 Пусть m ∈ N фиксировано. Тогда существует T ∗ > 0, возможно, зависящее от m, такое что (2.11), (2.12) имеет единственное решение на интервале [0,T ∗]. Как мы поусеченная система кажем ниже, решение U (m) = {w(m)(t), y(m)(t), |k| = 1 ..., m}, при дополнительных так называ- 0 k max емых условиях несекулярности, может быть продолжено на максимальный интервал [0,T ∗ ) max такой, что T ∗ статочно мала. = +∞, если сумма норм u|t=0 Hσ (0,2π) + v|t=0 Hσ (0,2π) + w|t=0 Hσ (0,2π) до- Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда существует глобальное Фурье-решение задачи Коши для системы (2.2). 3. Невозмущенная задача Коши. Решим сначала невозмущенную задачу Коши t d y(m) (m) 1 (m) 1 r ik(s-t) (m) dt k - ikyk + 4we ε yk - 4ikwe ε e 0 yk ds = (2.13) = w1/2 1 D e (m) ikt (m) 4we 1 t 1/2 (m) (m) (m) (m) (m) - e ε k + fk (t)e- ε + εwe 2Lk (y )+ 4Bk (y ,y ) , k wk |t=0 = w0, k ∈ Z0. О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 31 (m) (m) Введем векторное пространство Qm ∈ Hσ , Qm = (Qk , |k| m, k /= 0) с нормой 2 Qm (m) = '\\" k2σ Q . (m) 2 | k | Hσ k, |k| m,k/=0 Как мы покажем ниже (лемма 2.3), для некоторого γ > 0 для любого k ∈ Z0 существует единственное решение задачи Коши 2,γ принадлежащее xk (t) ∈ W 1 Tk (xk )= e-ikt, xk |t=0 =0 (2.14) k (R+). Такое решение будем обозначать через xk (t) = T -1(e-ikt). Так же, единственное решение задачи Коши Tk (xk )= zk, xk |t=0 = 0, zk (t) ∈ L2,γ (R+), (2.15) 2,γ xk (t) ∈ W 1 k (R+), будем обозначать через xk (t)= T -1(zk ). Решение (2.13) будем искать в виде y(m) (m) 1 -ikt -1 (m) (m) k k = Qk T - (e (m) )+ Tk (m) (zk 1 ), z k (m) |t=0 = 0, Qm ∈ Hσ , z ∈ W2,γ (R+; Hσ ), где x(m) = (x(m), |k| m, k /= 0), z(m) = (z(m), |k| m, k /= 0), норма k W 1 x(m) (m) k = d x(m) (m) + x(m) (m) , 2,γ (R+;Hσ ) dt L2,γ (R+;Hσ-1) r∞ L2,γ (R+;Hσ ) x (m) 2 (m) = e2γt '\\" k2σ x (m) | (t)|2 dt. Тогда L2,γ (R+;Hσ ) 0 k k, |k| m,k/=0 z(m) 1/2 1 (m) ikt (m) 4we 1 t k = we - k D Q e- o k + fk (t)e- ε + (2.16) +εw1/2 2L(m)(Qk T -1(e-ikt)) + 2L(m)(T -1(z(m)))+ +4B(m) e (m) k 1 -ikt k -1 (m) k (m) 1 k k -ikt -1 (m) Имеем k k (Qk T - (e )+ Tk (zk ), Qk k T - (e )+ Tk (zk )) , B(m) (m) 1 -ikt -1 (m) (m) 1 -ikt -1 (m) k k (Qk T - (e )+ Tk (zk ), Qk k T - (e )+ Tk (zk )) = = LB (T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) + k k k k k k k k t r + '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m t Jik2 0 eik2(s-t)(Q(m) -1 k2 Tk2 (e -ik2t r × ik1 eik1(s-t)Q(m) -1 -ik1t (m) -1 -ik1t k1 Tk1 (e 0 )ds - Qk1 Tk1 (e ) , t LB -1 (m) J r ik2(s-t) (m) -1 -ik2t k (Tk (zk )) = '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m t ik2 e 0 T (Qk2 k2 (e ) × r × ik1 eik1(s-t)T -1 (m) -1 (m) k1 (zk1 )ds - Tk1 (zk1 ) + 0 t r + ik2 eik2(s-t)T -1 (m) k2 (zk2 )ds × 0 32 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ t r × ik1 eik1(s-t)Q(m) -1 -ik1t (m) -1 -ik1t k1 Tk1 (e 0 )ds - Qk1 Tk1 (e ) , t B(m) 1 (m) 1 (m) J r ik2(s-t) -1 (m) k k (T - (zk k ),T - (zk )) = '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ik2 e 0 Tk2 (zk2 )ds × t r × ik1 eik1(s-t)T -1 (m) -1 (m) k1 (zk1 ds - Tk1 (zk1 ) . 0 Теперь применим трюк, который позволит выделить в (2.16) неинтегрируемые в R+ члены (солитонную часть). Заметим, что t r k (e ik eik(s-t)Qk T -1 0 iks - ε - )ds = 4we Qke -ikt + Gk, (2.17) k где в силу приведенных выше свойств оператора T -1 функция o d 1 k (e -ikt ) - ikT -1(e -ikt )+ 4we 1 T -1(e -ikt) ∈ L2,γ (R+). Тогда e Gk = 4w Qk T - dt '\\" k t r Jik2 k ε eik2(s-t)(Q(m) -1 -ik2t k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m 0 t k2 Tk2 (e )ds× r × ik1 eik1(s-t)Q(m) -1 -ik1t (m) -1 -ik1t k1 Tk1 (e 0 )ds - Qk1 Tk1 (e ) = Отсюда следует, что k = HB (t)+ '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε 4we Q ε k2 4we Qk1 e-ikt. B(m) (m) 1 -ikt -1 (m) (m) 1 -ikt -1 (m) k k (Qk T - (e )+ Tk (zk ), Qk k T - (e )+ Tk (zk )) = = HB (t)+ LB (T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m)))+ k k k k k k k k k Так же получим, что + '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε 4we Q ε k2 4we Qk1 e-ikt. L(m) 1 -ikt (m) 1 -ikt L L -4we 1 t k k (Qk T - (e )) = lk k (Qk T - (e )+ hk (t)+ gk (t)e ε + + '\\" J ik2 ε ε w0 Qk + ik1 Qk2 k1 w0 e-ikt, k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε 1 (ik2 - 2we 1 ) k2 4we 4we ε (ik1 - 2we 1 ) l(m) 1 -ikt l J 0 0 ε ε 0 0 -ikt k k (Qk T - (e )= hk (t) - '\\" k1+k2=k, k1k2/=0 (uk1 + wk1 ) 4we Qk2 + 4we Qk1 (uk2 + wk2 ) .e Окончательно получим L(m) 1 -ikt L L -4we 1 t k k (Qk T - (e )) = Hk (t)+ gk (t)e ε + + 1 '\\" J ik2 w0 ε ε Qk + 0 ik1 Q k w - 2 k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε (ik2 - 2we 1 ) k2 2we 1 ε 2we 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 - (u0 + w0 ) ε Q + ε Q (u0 1 + w0 ) e-ikt = HL(t)+ gL(t)e-4we ε t + k1 k1 2we k2 2we k1 k2 k2 k k О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 33 1 '\\" ε J 0 2we 1 0 ε - 2 k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m 1 - (uk1 - (ik e ε e 2w 1 ) wk1 ) 2w Qk2 + ε 0 ε 2we 1 0 -ikt Отсюда + 2we 2 - e ε Qk1 (uk2 - (ik 2w 1 ) wk2 ) e . 4B(m) (m) 1 -ikt -1 (m) (m) 1 -ikt -1 (m) k k (Qk T - (e )+ Tk (zk ), Qk k T - (e )+ Tk (zk )) + + 2L(m) 1 -ikt -1 (m) L L -4we 1 t k k (Qk T - (e )+ Tk (zk )) = 2(Hk (t)+ gk (t)e o )+ + 4HB (t)+ 4LB (T -1(z(m))) + 4B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) + 2L(m)(T -1(z(m))+ k k k k '\\" k k k J k k 2we 1 k k k ε - k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m (u 0 k1 - o ε (ik1 - 2we 1 ) w ) 0 k1 2we Qk2 + ε 0 ε 2we 1 0 ε ε -ikt Положим + 2we 2 - e ε Qk1 (uk2 - (ik 2w 1 ) wk2 ) - 2we Qk2 2we Qk1 e . Sk (Q)= - '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m (u J 0 k1 - o 2we 1 ε (ik1 - 2we 1 ) w ) 0 ε k1 2we Qk2 + ε 0 ε 2we 1 0 ε ε + 2we 2 - e ε Qk1 (uk2 - (ik 2w 1 ) wk2 ) - 2we Qk2 2we Qk1 . В переменных (z(m), Q(m)) система (2.16) k z(m) k 1/2 1 (m) (m) 1/2 (m) (m) ikt (m) 4we 1 t k = we - e D Q + εw S (Q o k k k ) e- + fk (t)e- ε + (2.18) +εw1/2 2(HL(t)+ gL(t)e-4we 1 t)+ e k k ε +4HB (t)+ 4LB (T -1(z(m))) + 4B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) + 2L(m)(T -1(z(m)), Здесь k k k k (m) 2 z L ( ; k k k ∞ r 2γt ) = e |||z k k (m)(t)|||2 dt. k k k 2,γ R+ Hσ,m 0 Если выполнено условие секулярности Hσ,m w1/2 1 (m) (m) 1/2 (m) (m) - e D Q + εw S (Q e k k k ε )= 0, |k|- 1,..., m. (2.19) получаем нелинейное уравнение z(m) (m) 1/2 L -4we 1 t 1/2 L B k = fk (t)+ εwe gk (t))e ε + εwe (2(Hk (t)+ 4Hk (t))+ (2.20) +εw1/2 4LB (T -1(z(m))) + 4B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) + 2L(m)(T -1(z(m)) e k k k k k k k k k k k в гильбертовом пространстве L2,γ (R+; Hσ,m). Нулевая мода. Теперь сделаем подстановку yk = Qk T -1(e-ikt)+ T -1(zk ), k ∈ Z0 k k в уравнении (2.12) нулевой моды. Тогда, так же как выше, получим L0(Qk T -1(e-ikt)= lB (Qk T -1(e-ikt)+ l0(Qk T -1(e-ikt)= k 0 k k L0(T -1(zk )) = lB (T -1(zk )) + l0(T -1(zk )= k lB -1 0 -ikt k B,l -4we 1 t k B,l 0 (Qk Tk (e )= f0 (t)e ε + h0 (t)+ + 1 '\\" J ik2 w0 ε ε Qk + Q 0 ik1 k w , 4 k1+k2=k, k1k2/=0 ε (ik2 - 2we 1 ) k2 2we 1 2we ε 2 (ik1 - 2we 1 ) k1 34 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 1 l0(Qk T -1(e-ikt)) = hl (t) - '\\" J(u0 + w0 ) ε Q eik1t + ε Qk ((u0 + w0 ) , k 0 2 k1 k1/=0 k1 2we -k1 1 2we ε 1 -k1 ε -k1 B0((Qk T -1(e-ikt), (Qk T -1(e-ikt)) = hB (t)+ '\\" Q Qk ds. Отсюда k k 0 4 k1/=0 2we -k1 4we 1 2L0(Qk T -1(e-ikt)) + 4B0(Qk T -1(e-ikt), Qk T -1(e-ikt)= k k k = 2hl (t)+ 4f B,l(t)e-4we 1 t + 4hB,l(t)+ 4hB (t) 0 0 ε + '\\" J ε Q 0 0 - ε Q ds + 2we 1 k1/=0 ε 2we -k1 2we k1 ε 2we 1 - (u0 - o ) Q k - Qk (u0 + ε w0 ) . Положим ε k1 (ik1 - 2we 1 ) 2we - 1 2we ε 1 -k1 ε ε (ik1 + 2we 1 ) -k1 Q S0(Q)= '\\" J 2we -k1 2we Qk1 ds + - (u0 - o 2we 1 k1/=0 ε ε ) Q k - Qk (u0 + o 2we 1 w0 ) ε k1 (ik1 - 2we 1 ) 2we - 1 2we 1 -k1 ε (ik1 + 2we 1 ) -k1 Теперь заметим, что (2.12) можно переписать в виде t r e w(m) 0 = εw1/2 0 4we 1 D e ε (s-t) 0 + S0(Q)+ (2.21) 1 + 2hl (t)+ (4f B,l(t)+ f0(t))e-4we ε t + 4(hB,l(t)+ hB (t)) + 0 0 0 0 + 2L0(T -1(z(m))) + 4B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) ds, k k k k k k где L0(y) = l0(y)+ 2lB (y)+ 2B0(y, Qk T -1(e-ikt)) + 2B0(Qk T -1(e-ikt), y). Условие секулярности 0 k k нулевой моды записывается в виде Тогда (2.12) сводится к уравнению D0 + S0(Q)= 0. (2.22) w(m) t r e 1 2h (t)+ (4f B,l(t)+ f (t))e-4w 1 + (2.23) e 0 = εw1/2 0 4we ε (s-t) l 0 e ε t 0 0 + 4(hB,l(t)+ hB (t)) + 2L0(T -1(z(m))) + 4B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) ds, 0 0 k k k k k k k где правая часть принадлежит L2,γ (R+), если z(m) ∈ L2,γ (R+), |k| = 1,..., m. Окончательно получили систему нелинейных уравнений z(m) (m) 1/2 L -4we 1 t 1/2 L B k = (fk (t)+ εwe gk (t))e ε + εwe (2(Hk (t)+ 4Hk (t)) - (2.24) + εw1/2 4LB (T -1(z(m))) + 4B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) + 2L(m)(T -1(z(m)) , e k k k t k k k k k k k k w(m) r e 1 2h (t)+ (4f B,l(t)+ f (t))e-4w 1 + e 0 = εw1/2 0 4we ε (s-t) l 0 e ε t 0 0 + 4(hB,l(t)+ hB (t)) + 2L0(T -1(z(m))) + 4B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) ds 0 0 k k k k k k О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 35 в гильбертовом пространстве (L2,γ (R+))2m. Таким образом, окончательно, условие секулярности запишется в виде: w1/2 1 (m) (m) 1/2 (m) (m) - e D Q + εw S (Q e k k k ε )= 0, |k|- 1,..., m, (2.25) D0 + S0(Q)= 0. 4. Локальное равновесие. Теперь заметим, что конечная аппроксимация первой компоненты скорости k = u(m) u - 0 k ik ε w 2we 1 0 2w 1 k e-ikt 0 § wke ε -4we 1 t e -ikt - e ik ikt 1 - (2.26) - e ε (m) t r ik(s-t) (m) ik - 2we ε - yk + 2ik e 0 yk ds, k /= 0, в силу (2.17) в переменных (Qk, zk ) запишется в виде 1 k = u(m) u - 0 k ik w 2we ε 0 ε § 2we 1 k - ε Qk 2we e-ikt + (2.27) d ε + Qk T -1(e-ikt) - ikT -1(e-ikt)+ 4we 1 T -1(e-ikt) - (2.28) 4we 2we(1 - 1 0 a(m)ε4) dt k 1 k ε k ik - w0e-4we ε t e-ikt - eikt - ε k ik - 2we 1 (m) 1 -ikt -1 (m) t r ik(s-t) -1 (m) k - Qk T - (e ) - Tk (zk )+ 2ik e 0 Tk (zk )ds, k /= 0, При выполнении условия секулярности (3.28) из приведенных выше оценок получим 1 u (m) k → u - 0 k ik w(m) w 2we ε 0 ε § 2we 1 k - ε Qk 2we e-ikt , (2.29) k → 0, t →∞ Таким образом, при выполнении принципа локального равновесия, Qk = 2we ε u - 0 k ik ε w 2we 1 0 ε § 2we 1 k , |k| = 1 ..., m, (2.30) должно быть решением условия секулярности (2.25) 5. Условие секулярности. Итак, проверим, что Qk = 2we ε u - 0 k ik ε w 2we 1 0 ε § 2we 1 k , |k| = 1,..., m. (2.31) есть решение условия секулярности (2.25). Действительно, в этом случае 1 D(m) 1/2 0 2we ε 0 k = 2we (uk - (ik - 2w 1 e ε ) wk )+ а также u0 + ε 2 '\\" k1 k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε 2we 1 ε - (ik1 - 2we 1 ) 0 wk1 0 uk2 ε 2we 1 ε - (ik2 - 2we 1 ) 0 wk2 , Sk (Q)= - '\\" u0 - o 0 0 2we 1 w u - 2we 1 o w0 , k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε k1 (ik1 - 2we 1 ) k1 ε k2 ik2 - 2we 1 k2 откуда следует справедливость первых 2m уравнений(|k| = 1,..., m) условия секулярности (2.25). 36 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Теперь проверим, что (2.31) удовлетворяет и последнему уравнению условия секулярности (2.25). В этом случае имеем S0(Q)= - '\\" u0 J -k1 k1/=0 2we 1 ε + ε w ik1 + 2we 1 0 -k1 0 uk1 ε 2we 1 0 ik 2w - 1 wk1 , 1 - e ε откуда следует справедливость последнего уравнения в условии секулярности (2.25). Тем самым разрешимость системы условий секулярности доказана. (m) (m) Теперь докажем единственность решения в классе решений Q(m) ∈ Hσ , Q(m) = (Qk , |k| m, (1) 2we 0 2we 1 0 k /= 0). Пусть помимо решения Qk = ε ε ε uk - ik-2we 1 wk , |k| = 1,..., m, есть второе решение условия секулярности Q(2), |k| = 1,..., m. Положим Qk = Q(2) - Q(1). В силу (2.25) получим k k k 2we 1 ε e (u w ) Qk = εw1/2 '\\" k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m J 0 k1 - o ε (ik1 - 2we 1 ) 0 k1 2we Qk2 + ε 0 ε 2we 1 0 ε 2 (2) (1) + 2we 2 - e ε Qk1 (uk2 - (ik 2w 1 ) (j) wk2 ) - ( (2) 2we ) (Qk2 Qk1 + Qk1 Qk1 . Сделаем нормировку 2weXk = εQk, 2weQ k = εQk ,j = 1, 2. Тогда 1 Xk = ε2 '\\" (u0 - o 2we 1 w0 (2) - Q )Xk . (2.32) Введем нормы e 2w1/2 k1 k1+k2=k, |k1|,|k2|=1,...,m ε (ik1 - 2we 1 ) k1 k1 2 |||X|||σ,m = sup 2 |k|σ |Xk |, X (m) = '\\" |k|2σ |Xk |2. Тогда |k|=1,...,m Hσ |k|=1,...,m,k/=0 |||X|||σ,m (2.33) где ε2 Cσ,m e 2w1/2 |||X||| σ,m (m) |||Q ||| σ,m + |||u0||| σ,m + |||w0||| , σ,m Cσ,m = 1 sup '\\" 1 σ + 1 σ 4we 2we(1 - 1 0 a(m)ε4) |k|=1,...,m k1+k2=k, k1k2/=0,|k|,|k1|,|k2| m |k2| |k1| cσ , cσ = '\\" 1 . 4we we(1 - 1 0 a(m)ε4) |k| 1 |k|σ Отсюда следует, что если для некоторого q ∈ (0, 1) имеем ε2 Cσ,m e 2w1/2 |||Q (2) 0 |||σ,m + |||u |||σ,m + |||w0 |||σ,m q < 1 то X = 0, т. е. решение системы секулярности единственно в классе решений если |||Q (2)|||σ,m < e 2qw1/2 ε2Cσ,m - |||u0|||σ,m + |||w0|||σ,m 2qw1/2 (2.34) В то же время имеем ε2 |||u0|||σ,m + |||w0|||σ,m e Cσ,m (2.35) |||Q (1)|||σ,m |||u0|||σ,m + |||w0|||σ,m , О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 37 и это решение лежит в окрестности (2.34), если ε2 |||u0|||σ,m + |||w0|||σ,m e qw1/2 Cσ,m . (2.36) Лемма 2.1. Для любых σ > 1, ε 0 существует единственное решение условия секулярности (2.25), если для некоторого q ∈ (0, 1) справедлива оценка (2.36). σ 6. Нелинейное уравнение. Теперь перейдем к исследованию нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве L2,γ (R+; H(m)): z(m) 1 4we 1 t (m) (m) k = εe- ε Fk (t)+ εGk (t)+ (2.37) + εw1/2J4B(m)(T -1(z(m)), Qk T -1(e-ikt)) + 4B(m)(Qk T -1(e-ikt),T -1(z(m))) + e k + 2L(m) k k 1 (m) k (m) 1 (m) k k 1 (m) add k k -1 (m) k k (T - (zk )) + 4Bk k (T - (zk k ),T - (zk )) - T (Tk (zk ) . ∞ + m,σ m k где Zm, Gm ∈ L2,γ (R+; Hm,σ ) и Fm ∈ L (R ; H ). Здесь Z (t) = (z(m)(t), |k| m, k /= 0); (m) (m) Gm(t)= (Gk (t), |k| m, k /= 0), Fm(t)= (Fk (t), |k| m, k /= 0), 1 Tadd(T -1 (m) 0 2we ε 0 -ikt ik 0 (ik-4we 1 )t k (zk )= 2w0 t r (uk - (ik - 2w 1 e ε ) wk )e + ε (ik - 2we 1 ) t r wke ε + + 2ik eik(s-t)(Q(m) -1 -ikt ik(s-t) -1 (m) 0 где в силу (2.17) имеем t r k Tk (e )ds + 2ik e 0 ε Tk (zk )ds , 2ik eik(s-t)(Q(m) -1 -ikt -ikt k Tk (e 0 e )ds = - 2w Qke + 2Gk (t), o d 1 -ikt -1 -ikt 1 -1 -ikt Отсюда e 2Gk = 2w Qk T - (e dt k ) - ikTk (e )+ 4we ε Tk (e ) . 1 Tadd(T -1 (m) (m)J 0 2we ε 0 ε -ikt k (zk )= 2w0 ik uk - (ik 1 - 2w 1 e ε ) t r wk - Qk e + 2we + w0e(ik-4we ε )t + 2Gk (t)+ 2ik eik(s-t)T -1(z(m))ds . ε (ik - 2we 1 ) k k k 0 При выполнении условия секулярности (3.28) получим Tadd(T -1 (m) (m)J ik 0 (ik-4we 1 )t k (zk )= 2w0 t r (ik 1 - 2w e ε ) wke ε + (2.38) + 2Gk (t)+ 2ik eik(s-t)T -1(z(m))ds , k k 0 t w(m) r 1 2h (t)+ (4f B,l(t)+ f (t))e-4w 1 + e 0 0 = -εw1/2 0 e4we ε (s-t) l e ε t 0 0 + 4(hB,l(t)+ hB (t)) + 2L0(T -1(z(m))) + 4B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) ds. 0 0 k k k k k k k В силу свойств оператора T -1 (см. пункт 3.11) получим 1 Tadd(T -1 (m) 0 0 (m) -4we ε t k (zk )(t) L2,γ (R+;Hσ,m) (||||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m ) w0 (t) e L2,γ (R+) + 38 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ + |||Q(m)||| d " T -1(e-ikt) - ikT -1(e-ikt)+ 4w 1 T -1(e-ikt) + Hσ,m dt k k t (m) r (m) e ε k L2,γ (R+;H0,m) Далее + w0 (t)(ik 0 t k k eik(s-t)T -1(z )ds) L 2,γ (R+;H0,m). (m) 1 r 1 B,l 1 B,l |w0 (t)| εw1/21 e4we ε (s-t) l 0 4we ε t B 0 e 1 2h0(t)+ (4f 0 t r 1 (t)+ f0(t))e- + 4(h (t)+ h0 (t)) ds + + εw1/2 e4we ε (s-t) 2L0(T -1 (m) 1 (m) 1 (m) k e k (zk )) + 4B0(T - (zk 0 k ),T - (zk )) ds Теперь заметим, что для функции g(t) ∈ L2,γ (R+) имеем t t r r ε ε ε| g(s)ds| = ε| 0 0 e-γs(eγsg(s))ds| g L 2,γ √2 γ , √2 γ = O(√ε). (2.39) Фиксируем σ > 1. Это позволяет получить следующую оценку: t εw1/21 r 4we 1 B,l e 1 B,l 1 1 e 1 e 0 o (s-t) 0 0 0 2hl (t)+ (4f (t)+ f0(t))e -4w ε t + 4(h0 (t)+ hB (t)) ds1 1 √ε cσ |||u0||| Перейдем к оценке интегралов Hσ,m t r + |||w0||| 1 Hσ,m + |||Q(m)||| Hσ,m J1 = 2εw1/2 e4we ε (s-t)L0(T -1 (m) e k (zk ))ds, 0 t r 1 J2 = 4εw1/2 e4we ε (s-t)B0(T -1 (m) 1 (m) k e k (zk ),T - (zk 0 )ds. k В силу соотношения (2.17) и свойств оператора T -1 получим |J1(t)| √ε c(1) L0(T -1(z(m)) , o k k L2,γ (R+;Hσ,m) |J2(t)| √ε c(1) B0(T -1(z(m)),T -1(z(m)) . Теперь оценим σ (m) k k (m) k k L2,γ (R+;Hσ,m) k k l0 (T -1(z )) L t r 2,γ (R+;Hσ,m) = = '\\" (u0 + w0 )e-ik1t(-ik1 e-ik1(s-t)T -1 (m) k1 k1 |k1|=1,...,m t r -k1 (z-k1 ))ds L2,γ (R+;Hσ,m) + 0 + '\\" ik1 eik1(s-t)T -1 (m) -1 (m) 0 0 ik1t |k1|=1,...,m 0 k1 (zk1 )ds - Tk1 (zk1 ) k1 k1 ((u + w )e - - L2,γ (R+;Hσ,m) t r × (ik σ cl |||u0||| e-ik(s-t)T -1 (m) Hσ,m + |||w0||| Hσ,m × -1 (m) . k (zk1 ))ds L2,γ (R+;Hσ,m) + Tk (zk1 )s L2,γ (R+;Hσ,m) 0 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 39 В силу (2.17) имеем t r ik1 eik1(s-t)T -1 (m) ε (m) 0 ε d e k1 (zk1 )ds = - 4w zk1 + (2.40) 1 + T -1(z(m)) - ikT -1(z(m))+ 4we T -1(z(m)) . Отсюда 4we t r dt k k1 k k1 o k k1 ε (ik e-ik(s-t)T -1 (m) z (m) e 0 ε d k (zk1 ))ds L2,γ (R+;Hσ,m) = 4w 1 k1 L2,γ (R+;Hσ,m) + + T -1(z(m)) - ikT -1(z(m))+ 4we T -1(z(m)) L ( ; ) 4we dt k k1 ε k k1 (m) o k k1 2,γ R+ Hσ,m 4we (1 + c3) zk1 L2,γ (R+;Hσ,m). k Здесь мы опять воспользовались свойствами оператора T -1. Окончательно получаем l0 (T -1(z (m) k o (m) k )) L 2,γ (R+;Hσ,m) cl c3(1 + (1 + c3)) |||u0||| z . + |||w0||| (m) o 4we Hσ,m Hσ,m k1 L2,γ (R+;Hσ,m) Аналогичная оценка справедлива для L(m) 0 (T -1 (m) (m) 0 -1 (m) k (zk )) = l (Tk (zk )) + +2 '\\" J 1 ik2 1 w0 (e(ik2-4we ε )t e-ik2t) k1+k2=0, |k1|,|k2|=1,...,m t ε 2 (ik2 - 2we 1 ) k2 - × r × ik1 eik1(s-t)T -1 (m) -1 (m) k1 (zk1 )ds - Tk1 (zk1 ) + 0 t r + ik2 eik2(s-t)T -1 (m) 1 ik1 0 (ik1-4we 1 )t -ik1t o )t 0 (ik-4we 1 0 Имеем k2 (zk2 )ds 2 (ik1 - ε ) 1 wk1 (e 2we ε - e ) - wke . L0 (T -1(z (m) k o (m) k )) L 2,γ (R+;Hσ,m) 2cl c3(1 + (1 + c3)) |||u0||| z . + |||w0||| (m) L ( ; ) o 4we Hσ,m Hσ,m k1 2,γ R+ Hσ,m Теперь воспользуемся аналогом оценки (2.39): t r ε|ik1 eik1(s-t)T -1 (m) o -1 (m) o (m) k1 (zk1 )ds| √2γ k1Tk1 (zk1 ) L2,γ √2γ c4 zk1 L2,γ . (2.41) 0 k Здесь мы опять воспользовались свойствами оператора T -1. Это позволяет оценить норму B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) L ( ; ). Имеем: k k k k 2,γ R+ Hσ,m ε B0(T -1(z(m)),T -1(z(m))) k k k t r k L2,γ (R+;Hσ,m) t r ε '\\" (-ik1 e-ik1(s-t)T -1 (m) ik1(s-t) -1 (m) k1/=0 0 -k1 (z-k1 )ds t r ik1 e 0 Tk1 (zk1 )ds L2,γ (R+;Hσ,m) + + ε '\\" (-ik1 e-ik1(s-t)T -1 (m) -1 (m) k1/=0 0 -k1 (z-k1 )ds) Tk1 (zk1 ) L2,γ (R+;Hσ,m) 40 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ o B (m) 2. Суммируя, получим √2γ c4 cσ z L2,γ (R+;Hσ,m) Tadd(T -1 (m) T ε |||u0||| + |||w0||| + (2.42) k (zk )(t) L2,γ (R+;Hσ,m) √γ cσ Hσ,m Hσ,m + |||Q(m)||| Hσ,m 2,γ + Hσ,m + z(m) L (R ; ) z(m) L (R ; ) 2,γ + Hσ,m Итерации. Рассмотрим последовательность итераций X(j) (0) 1/2J (m) 1 (j-1) 1 (j-1) k - Xk = εwe k Bk (T - (Xk k ),T - (Xk )) + (2.43) + 4B(m) 1 (j-1) 1 -ikt (m) 1 -ikt -1 (j-1) k k (T - (Xk k ), Qk T - (e )) + 4Bk k (Qk T - (e ), Tk (Xk )) + + 2L(m) 1 (j-1) add -1 (j-1) k k (T - (Xk )) - T (Tk (Xk ) , j 1, X(0) 1 4we 1 t (m) (m) Так же, как выше, получим k = εe- o Fk (t)+ εGk (t). 2γ (X(j) - X(0))(t) L (R+;Hσ,m ε √γ cσ |||u0||| Hσ,m + |||w0||| Hσ,m + (2.44) + |||Q(m)||| Hσ,m 2,γ + Hσ,m + X(j-1) L (R ; ) X(j-1) L (R ; ) . 2,γ + Hσ,m Неравенство (2.44) можно переписать в виде ε (m) 2γ (X(j) - X(0))(t) L (R+;Hσ,m √γ cσ E∗ X(0) L 2,γ (R+;Hσ,m ) + (2.45) где ε + √γ cσ X (j-1) X (0) - L2,γ (R+;Hσ,m) ∗ E(m) + X (0) , L2,γ (R+;Hσ,m) E(m) 0 0 (m) (0) ∗ = |||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + + |||Q |||Hσ,m + X L2,γ (R+;Hσ,m). Отсюда следует ограниченность итераций ε 2cσ (m) 2γ (X(j) - X(0))(t) L (R+;Hσ,m ) √γ 1 - q E∗ X(0) L 2,γ (R+;Hσ,m), если ε √γ cσ Таким образом, справедлива ∗ E(m) + X (0) L2,γ (R+;Hσ,m) q, q ∈ (0, 1). Теорема 2.3. Пусть σ > 1 и существует q ∈ (0, 1), не зависящее от m, σ, ε, такое что ε √γ cσ 0 0 |||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q (m) |||Hσ,m + 2 X (0) L2,γ (R+;Hσ,m) q, q ∈ (0, 1). (2.46) Тогда для любого j 1 справедлива оценка ε 2cσ (m) 2γ (X(j) - X(0))(t) L (R+;Hσ,m √γ E 1 - q ∗ X(0) L 2,γ (R+;Hσ,m ). (2.47) Для l, 0 <l < j, (2.43) можно переписать в виде X(j) (l) 1/2J (m) 1 (j-1) 1 (l-1) 1 -ikt k - Xk = εwe k 4Bk (T - (Xk k ) - T - (Xk k ), Qk T - (e )) + (2.48) + 4B(m) 1 -ikt -1 (j-1) 1 (l-1) k k (Qk T - (e ), Tk (Xk k ) - T - (Xk )+ + 2L(m) 1 (j-1) 1 (l-1) add -1 (j-1) 1 (l-1) k k (T - (Xk k ) - T - (Xk ) - T (Tk (Xk k - T - (Xk )+ + B(m) 1 (j-1) 1 (l-1) 1 (j-1) k k (T - (Xk k ) - T - (Xk k ),T - (Xk )) + + B(m) 1 (l-1) 1 (j-1) 1 (l-1) k k (T - (Xk k ),T - (Xk k ) - T - (Xk )) , О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 41 откуда следует аналог оценки (2.44): ε 2γ (X(j) - X(l))(t) L (R+;Hσ,m √γ cσ |||u0||| Hσ,m + |||w0||| Hσ,m + + |||Q(m)||| Hσ,m 2,γ + Hσ,m + X(j-1) - X(l-1) L (R ; ) X(j-1) - X(l-1) L (R ; ) + 2,γ + Hσ,m ε + √γ cσ X(j-1) L2,γ (R+;Hσ,m) + X (l-1) L2,γ (R+;Hσ,m) + Положим + X(j-1) - X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m) X(j-1) - X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m). (m) ε 0 0 (m) E∗ = √γ cσ |||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q |||Hσ,m + . + X(j-1) L Тогда имеем 2,γ (R+;Hσ,m ) + X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m ) + 2 X(j-1) - X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m) 2γ (X(j) - X(l))(t) L (R+;Hσ,m ε √γ cσ (E (m) ∗ )j-l X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m ) (2.49) σ ε2 2c2 (m) (0) (m) j-l γ Как следствие, получается E X 1 - q ∗ L2,γ (R+;Hσ,m) (E∗ ) . Теорема 2.4. В условиях теоремы 2.3 последовательность X(j) фундаментальна в пространстве L2,γ (R+; Hσ,m), если Таким образом, справедлива (m) E∗ q1, q1 ∈ (0, 1). Теорема 2.5. Пусть σ > 1. В условиях теоремы 2.3 существует единственное решение Zm ∈ L2,γ (R+; Hm,σ ) нелинейного уравнения (2.37), если ε √γ cσ 0 J 0 |||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q (m) |||Hσ,m + (2.50) ε 2cσ (m) (0) +6 1+ √γ E 1 - q ∗ X L2,γ (R+;Hσ,m) q1 < 1. Теперь отметим, что в рассматриваемом случае (m) (m) 1/2 L Fk (t)= (fk (t) - εwe gk (t)), (m) 1/2 L B где Gk (t)= -εwe (2(Hk (t)+ 4Hk (t)), 1 w1/2 L -4we ε t (m) e gk (t)e L2,γ (R+;Hσ,m) + Gk L2,γ (R+;Hσ,m) (2.51) ε √γ cσ 0 0 |||u |||Hσ,m + |||w 1 |||Hσ,m + |||Q we (m) |||Hσ,m , f L(t)e-4we ε t |||w0||| + k L2,γ (R+;Hσ,m) ε 0 0 4we - εγ (m) Hσ,m + √γ cσ |||u |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q |||Hσ,m . (2.52) Здесь мы воспользовались тем, что r∞ 0 1 e-2( ε 4we-γ)tdt ε . 4we - εγ 42 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Теорема 2.6. Построенное в теореме 2.5 решение нелинейного уравнения (2.37) определяет аппроксимацию 2,γ (u(m)(x, t), w(m)(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ,m) ( e ε - w0(t)+ '\\" 4we 1 (uk - wk )e + (2.53) u(m) = ue + w1/2 2 ε |k|=1,...,m 1 0 ε 2iks - 4we 1 0 ik(x-t) + '\\" 4we ε 1 )w0e(ik-4we ε )t+ |k|=1,...,m t r ε 2iks - 4we 1 k +2ik eik(s-t)(Q(m) -1 -ikt -1 (m) (m) -1 -ikt -1 (m) ikx k Tk (e 0 )+ Tk (zk )ds - Qk Tk (e ) - Tk (zk ) e , e ε w(m) = we + w1/2 2 w0(t)+ '\\" k (w0e 1 (ik-4we ε )t+ |k|=1,...,m +Q(m) 1 k (e -ikt )+ T -1(z (m) ))e ikx k k T - k 2,γ решения задачи Коши (1.1) (см. ниже), в том смысле, что в W 1 2,γ (u(m)(x, t), w(m)(x, t)) → (u(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ) (R+; Hσ ), где (u(x, t), w(x, t)) - решение задачи Коши (1.1). 7. Интегродифференциальное уравнение. Задача этого пункта - получить условия разрешимости задачи Коши для интегродифференциального уравнения t d ( dt - ∂x + 1. 1 r o 4we)u + ε (-4we∂xu(x - (t - s), s)ds = f, ut=0 = 0, 0 в классе периодических по x функций c нулевым средним, u(t, x),f (t, x) - периодичны по x на интервале x ∈ (-1, 1). Сделав преобразование Фурье по x, для k ∈ Z0 получим u( d 1 - ik + 4w u(t, k)- (2.54) Tk ( t, k)) = dt ε e t 4ikw 1 r e-ik(t-s)u(s, k)ds = f (t, k), - e ε 0 u(t, k)|t=0 =0 оператор, рассмотренный выше (2.11). Преобразование Лапласа L по t приводит к алгебраическому уравнению u)(p, k)) = L(f )(p, k) ⇒ L(u)(p, k)= где символ σ(p, k) оператора Tk : L(f )(p, k) , σ(p, k) 1 1 4ikwe σ(p, k)= p - ik + ε 4we - ε p + ik . Докажем существование γ > 0 такого, что для любого k ∈ Z0 функция 1/σ(p, k) аналитична в полуплоскости Re p -γ. В этой статье мы исследуем случай ue = we > 0. Тогда p2 + k2 + 1 4wep (p - p )(p - p ) где σ(p, k)= ε = p + ik - + , p + ik 1 1 1 εk 2 2 2 p- = -( ε 2we + ( 2we) ε e - k ), p+ = - 2w + /(2we)2 , - ε2k2 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 43 корни уравнения Pk (p)= p2 + 1 4wep + k2 = 0. Имеем ε 1 Re p- - ε 2we ∀k ∈ Z0, Re p+ = - o e 2we , |k| 2w /ε, Следовательно, e Re p+ = - 2w εk2 + /(2we)2 εk2 - - ε2k2 4we , 1 |k| 2we/ε. ε e min(Re p-, Re p+) - 4w , ∀k ∈ Z0. Лемма 2.2. Функция 1/σ(p, k) для любого k ∈ Z0 аналитична в полуплоскости ε e Re p -γ, γ = 5w (2.55) Более того, 1 |σ(p, k)| |p + ik| |p - p-| 1 Re(p - p+) c0 20we ε , (2.56) 1 0 |p| + |k| c , k ∈ Z , Re p -γ. |σ(p, k)| Здесь |p + ik| c0|p - p-| ∀k ∈ Z0, Re p γ. Определение 2.1. Назовем пространством Харди H2(Re p > -γ, H), γ > 0, класс векторфункций f-(p) со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H, голоморфных в полуплоскости {p ∈ C : Re p> -γ}, для которых +∞ r sup x>-γ 2 f (---x + iy) Hdy < ∞, p = x + iy. -∞ Сформулируем теорему Пэли-Винера для пространств Харди. Теорема 2.7 (Пэли-Винер). 1. Пространство H2(Re p > -γ, H) совпадает со множеством вектор-функций (преобразований Лапласа), допускающих представление r∞ 1 f-(p)= √2π 0 ept f (t)dt (2.57) для f (t) ∈ L2,γ (R+,H), p ∈ C, Re p> -γ 0. 2. Для любой вектор-функции f-(p) ∈ H2(Re p > -γ, H) существует единственное представление (2.57), где вектор-функция f (t) ∈ L2,γ (R+,H), причем справедлива формула обращения 1 r∞ f (t)= √2π -∞ - e(-γ+iy)tf ( ---γ + iy)dy, t ∈ R+, γ > 0. 3. Для вектор-функций f-(p) ∈ H2(Re p > -γ, H) и f (t) ∈ L2,γ (R+,H), связанных соотношением (2.57), справедливо равенство r 2 r +∞ ∞ 2 2 f 2 H2(Re p>-γ,H) ≡ sup x>-γ -∞ f (---x + iy) Hdy = 0 2,γ R+ e-2γt f (t) N dt ≡ f L ( ;H) Лемма 2.3. Для любой f ∈ L2,γ (R+; Hσ ) решение задачи Коши (2.54) 1 L(f )(p, k) 1 u(t, k)= L- ( σ(p, k) ), k ∈ Z0}∈ H2,γ (R+; Hσ ) (2.58) u(t) H1 cγ f (t) (2.59) 2,γ (R+;Hσ ) L2,γ (R+;Hσ ) 44 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Рассмотрим случай f (t, k)= e-ikt. Тогда 1 u)(p, k)= ⇒ L( p, k)= 1 . (2.60) σ(p, k)L( p + ik u)( (p - p- )(p - p+) Лемма 2.4. Решение (2.60) задачи Коши k T (u(t, k)) = e- ikt , u(t, k)|t=0 = 0, (2.61) принадлежит u(t, k)= L-1( (p § p- 1 )(p § p+ ) 2,γ ), k ∈ Z0}∈ H1 (R+; Hσ ), (2.62) u(t, k) H1 cγ |||Q|||H . (2.63) Qk 2,γ (R+;Hσ ) σ Доказательство лемм следует из результатов теоремы 2.7 и оценок (2.56). 8. Существование решения задачи Коши. Теперь покажем, что аппроксимационное решение (u(m)(x, t), w(m)(x, t)) 2,γ (u(m)(x, t), w(m)(x, t)) → (u(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ) (2.64) 2,γ в смысле W 1 (R+; Hσ ), к решению (u(x, t), w(x, t)) задачи Коши (1.1). Теорема 2.8. Пусть равномерно по m выполнено условие теорем 2.4, 2.5 на начальные дан- 2,γ ные. Тогда существует решение (u(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ) задачи Коши (1.1). Прежде всего, докажем утверждение (2.64), т. е. существование предела (u(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 2,γ (R+; Hσ ). Из полученных выше результатов следует ограниченность нормы 2,γ (R+;Hσ,m) (u(m)(x, t), w(m)(x, t)) W 1 C∗, (2.65) с постоянной C∗, не зависящей от m, если равномерно по m выполнено условия теорем 2.4- 2.6 на начальные данные. Более того, эта последовательность фундаментальна при m → ∞. 2,γ Отсюда следует существование подпоследовательности (u(mt)(x, t), w(mt)(x, t)) ∈ W 1 (R+; H2σ,mt ), 2,γ сходящейся при m± →∞ в W 1 (R+; Hσ,mt ) 2,γ к элементу (u(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ). Теперь покажем, что полученное в (1.1), в образах Фурье получим 1 (u(x, t), w(x, t)) - решение задачи Коши (1.1). Подставляя ε '\\" (∂tuk + ikuk )eikx - (ue + '\\" ukeikx)2 - (we + '\\" wkeikx)2 = F1(u, w), k∈Z0 k∈Z0 k∈Z0 F(u, w)= '\\" (m) (m) (∂t(uk - u )+ ik(uk - u ))eikx + |k|=1,...,m + '\\" k∈Z0,|k|>m 1 k (∂tuk + ikuk )eikx - k 1 o Q(u, w), ε '\\" (∂twk - ikwk )eikx + (ue + '\\" ukeikx)2 - (we + '\\" wkeikx)2 = F2(u, w), k∈Z0 k∈Z0 k∈Z0 F2(u, w)= '\\" (m) (m) (∂t(wk - w ) - ik(wk - w ))eikx + где |k|=1,...,m + '\\" k∈Z0,|k|>m k (∂twk - ikwk )eikx + k 1 · Q(u, w), Q(u, w)=( '\\" k∈Z0, |k|>m ukeikx)2 - ( '\\" k∈Z0, |k|>m wkeikx)2 + + 2(ue + '\\" |k|=1,...,m ukeikx)( '\\" k∈Z0, |k|>m ukeikx) - О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 45 - 2(we + '\\" |k|=1,...,m wkeikx)( '\\" k∈Z0, |k|>m wkeikx)+ + 2ue '\\" |k|=1,...,m (uk - u )eikx - 2we '\\" (m) k |k|=1,...,m (wk - w )eikx + (m) k +( '\\" ukeikx)2 - '\\" '\\" u(m)u(m)eikx - |k|=1,...,m k1 k2 |k|=1,...,m k1+k2=k,|k1|,|k2| m - ( '\\" wkeikx))2 + '\\" '\\" w(m)w(m)eikx. |k|=1,...,m k1 k2 |k|=1,...,m k1+k2=k,|k1|,|k2| m Из приведенных выше оценок следует, что F1(u, w) L2,γ (R+;Hσ ) + F2(u, w) L2,γ (R+;Hσ ) → 0, m → ∞. Это завершает доказательство теоремы 2.8. В заключение докажем следующую лемму: 2 Лемма 2.5. Периодическое решение (u, w) ∈ W 1,1(R+ × (0, 1)) ∩ CB (R+ × (0, 1)) задачи Коши (1.1) с вещественными начальными условиями является вещественным. Доказательство. В силу (1.1) для X = u - u, Y = w - w имеем 1 ∂tX + ∂xX = ε (AX - BY ), x ∈ R, t > 0, (2.66) 1 ∂tw - ∂xw = - ε (AX - BY ), X|t=0 = 0, Y |t=0 = 0, где A = u + u, B = w + w. Отсюда 1 1 d r 2 1 r 2 dt |X| dx = ε 0 0 1 ((A + A)|X| 1 - BY X - XBY )dx, t > 0, (2.67) d r 2 1 r 2 dt |Y | dx = - ε 0 0 (AXY + Y AX - (B + B)|Y | )dx. Для вещественного решения Интегрируя, получим X|t=0 = 0, Y |t=0 = 0. 1 1 r r |X(x, t)|2dx = CT max t∈[0,T ] 0 0 1 1 1 r |X(x, t)|2dx + 0 1 |Y (x, t)|2dx , (2.68) r r |Y (x, t)|2dx CT max t∈[0,T ] 0 0 r |X(x, t)|2dx + 0 |Y (x, t)|2dx , ∀t ∈ (0,T ), где C =2 max (x,t)∈R+×[0, 1] (|A|+|B|) 4 max (x,t)∈R+×[0, 1] (|u|+|w|). Выбирая T достаточно малым, так чтобы CT < 1, получим, что 1 r |X(x, t)|2dx = 0 1 r |Y (x, t)|2dx ≡ 0, t ∈ (0,T ), 0 откуда следует вещественность u и w. 46 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 3. О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА В этом разделе мы рассмотрим задачу Коши для одномерной модели Годунова-Султангазина (типа Бродуэлла) (см. [3]): 1 2 ∂tu + ∂xu = ε (v - uw), (3.1) 2 2 ∂tv = - ε (v o uw), 1 2 ∂tw - ∂xw = ε (v o uw), v(0) = v0, u(0) = u0, w(0) = w0. (3.2) Здесь x ∈ S1 = [0, 2π] и U (t, 0) = U (t, 2π) - пространственно-периодические граничные условия, ε - малая величина, которую мы выберем ниже. Все полученные результаты переносятся на двумерную и трехмерную модели, приведенные в [3]. 1. Малые возмущения. Наша задача исследовать природу локального равновесия для модели Годунова-Султангазина (3.1) для периодических начальных данных с ограниченной энергией. e Рассмотрим окрестность состояния равновесия v2 = uewe, ve, ue, we > 0 u = ue + ε2u1/2u, w = we + ε2w1/2w, v = ve + ε2v1/2v. Тогда можно переписать в виде 1 e 1/2 e 1/2v - u1/2w - w1/2u e 1/2 v2 uw ∂t u - εwe 2ve e e = ε we - , (3.3) v + 2 v1/2 1,2v - u1,2w - w1,2u = -2εv1/2 v2 uw , ∂t ε e 2ve e e e - 1 1/2 1/2v - u1/2w - w1/2u 1/2 v2 uw ∂t w - εue 2ve e e = εue - , v(0) = v0, Два независимых закона сохранения: u(0) = u0, w(0) = w0. (3.4) e 1 w1/2 v, ∂t e u = - 2 v1/2 ∂t 1 u1/2 e v. В образах Фурье: ∂t d e w = - 2 v1/2 ∂t e 1 w1/2 d dtuk + ikuk = - d e 1. v1/2 dt e 1 u1/2 d vk, (3.5) Отсюда dtwk - ikwk = - e 2 v1/2 dt vk. t k uk = (u0 + e 1 w1/2 2 v1/2 k v0)e-ikt - e 1 w1/2 2 v1/2 vk + ik e 1 w1/2 r 2 v1/2 eik(s-t)vkds, (3.6) k wk = (w0 + e e 1 u1/2 2 v1/2 k v0)eikt - e e 1 u1/2 2 v1/2 vk - ik e e 1 u1/2 r 2 v1/2 0 t e-ik(s-t)vkds. Для k =0 имеем e u0 = (u0 + e 1 w1/2v0) - e e 1 w1/2 0 v0, 0 2 e 0 e 2 v1/2 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 47 w0 = (w0 + 1 u1/2v0) - e 1 u1/2 v0. Потребуем, чтобы выполнялось Условие 3.1. 0 2 e 0 u0 0 0 e 2 v1/2 Тогда 0 = w0 = v0 = 0. e 1 w1/2 e 1 u1/2 u0(t)= - 2 v1/2 v0(t), w0(t)= - 2 v1/2 v0(t). Далее d 2 v - v1/2 e 1/2w - v1/2 1/2u e 1/2 v2 uw Заметим, что dtvk + ε 2ve e ue 1 e we e = -2εve - k. 1 v - v1/2 1/2w - v1/2 1/2ue e e e k 1/2 1/2 0 0 ikt 2ve e ue e we = (4v 2 § u - w )v t r § (ve ue wk + 2 uevk )e - - (v1/2 1/2 0 1 0 -ikt 1 -ik(s-t) ik(s-t) Таким образом, e we uk + 2 wevk )e § ik 2 0 t uee - wee vkds. d dtvk + 1 1 r · Le vk - εik 0 uee-ik(s-t) - weeik(s-t) vkds = (3.7) 1 =2 v1/2 1/2 0 e 0 1 u1/2 ikt 1 1/2 1/2 0 e 0 1 w1/2 -ikt 1/2 v2 uw , e o e ue (wk + 2 v1/2 vk )e v k ε +2 ve we (uk + k vk |t=0 = v0, 2 v )e 1/2 e - 2εve - k где Le = 4ve + ue + we > 0, таким образом, выполнено условие диссипации Le > 0. 1. Комплексификация. Для упрощения Фурье-анализа решений задачи Коши (3.7) удобно перейти к комплексификации (3.7): d dtvk + t 1 1 r · Le vk - εik 0 uee-ik(s-t) - weeik(s-t) vkds = (3.8) 1 1 u1/2 1 1 w1/2 =2 v1/2 1/2 0 e 0 ikt 1/2 1/2 0 e 0 -ikt 1/2 vv - uw - wu , e o e ue (wk + 2 v1/2 vk )e v k ε 2 +2 ve we (uk + v )e 1/2 e - εve 2 k k vk |t=0 = v0. Очевидно, что вещественные решения этой системы являются решениями системы (3.7). Доказательство этого утверждения мы приводим в пункте 2.8. Здесь для нулевой моды k =0 имеем уравнение Риккати d 1 3 dtv0 + e ε Le v0 = -εv1/2 2 v0v0 - d0 + L0(v)+ B0(v, v)) , (3.9) где v0|t=0 = 0, 1 1 u1/2 d0 = '\\" (u0 + w1/2v0 )(w0 + e v0 )+ k1+k2=0,k1,k2/=0 k1 2 e k1 e k2 2 v1/2 k2 1/2 1/2 + (w0 1 ue + v0 )(u0 1 we + v0 ) , e k2 2 v1/2 k2 e k1 2 v1/2 k1 48 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 1 w1/2 1 u1/2 t 1 u1/2 r (u k1 L0(v)= - '\\" J 0 + k1+k2=0,k1,k2/=0 e e 2 v1/2 k1 v0 )e-ik1t(- e e 2 v1/2 vk2 + ik2 e e 2 v1/2 0 2 eik2(s-t)vk ds)+ 1/2 t 1/2 r 1/2 + - 1 we v + ik 1 we eik1(s-t)v ds (w0 1 ue + v0 )e-ik2t + e 2 v1/2 k1 e 1 2 v1/2 0 k1 k2 e 2 v1/2 k2 1/2 1/2 t 1/2 r + ((w0 1 ue + v0 )eik2t - 1 we v + ds - ik 1 we e-ik1(s-t)v e e k2 2 v1/2 k2 2 v1/2 k1 e 1 2 v1/2 k1 0 1/2 t 1/2 r 1/2 + - 1 ue v - ik 1 ue e-ik2(s-t)v ds (u0 1 we + v0 )eik1t , e 2 v1/2 k2 e 2 2 v1/2 0 k2 k1 e 2 v1/2 k1 ( B0(v, v)= '\\" k1+k2=0,k1,k2/=0 t vk1 vk2 + vk2 vk1 - t 1 w1/2 1 w1/2 r 1 u1/2 1 u1/2 r e e ik1(s-t) e e ik2(s-t) - (- 2 v1/2 vk1 + ik1 2 v1/2 e vk1 ds)(- 2 v1/2 vk2 + ik2 2 v1/2 e vk2 ds) - e e 0 t e e 0 t 1 u1/2 1 u1/2 r 1 w1/2 1 w1/2 r e e -ik2(s-t) e e -ik1(s-t) - (- 2 v1/2 vk2 - ik2 2 v1/2 e vk2 ds)(- 2 v1/2 vk1 - ik1 2 v1/2 e vk1 ds) . e e 0 e e 0 Очевидно, что правая часть - вещественная функция. Положим vk = v0e ε L t + yk, k ∈ Z0, 1 - e k где, как мы покажем ниже, существует γ = O(ε) > 0, такое что yk (t) ∈ L2,γ (R+). Здесь r∞ Тогда d 1 y 2 L2,γ (R+) = 0 3 e2γt|y|2dt. 1 где dty0 + e ε Le y0 = -εv1/2 2 y0y0 - D0 + L0(y)+ B0(y, y) + f0(t)e- ε Let, (3.10) v0|t=0 = 0, L0(v0e- ε Let)+ B0(v0e- ε Let, v0e- ε Let) = d(1) + f0(t)e- ε Let, 1 1 1 1/2 1 0 1/2 d(1) 0 = '\\" k J(u0 + 1 we v0 ) ik2 1 ue v0 + k1+k2=0,k1,k2∈Z0 e 1 2 v1/2 ε k1 (ik2 - 1 Le) e 2 v1/2 k2 ik1 1 w1/2 1 u1/2 + e v0 (w0 + e v0 )+ (ik1 - 1 Le) 2 v1/2 k1 k2 2 v1/2 k2 1/2 o e 1/2 e 1/2 1/2 + (w0 1 ue + v0 ) ik1 1 we 2 ik v0 + 1 ue v0 (u0 1 we + v0 ) , e k2 2 v1/2 ε k2 (ik1 + 1 Le) 2 v 1/2 k1 e ε (ik2 + 1 Le) 2 (1) v v 2 1/2 k2 k1 e 1/2 k1 e D0 = d0 - d0 = = '\\" 0 J u 1 w L 1/2 1 e ε e w0 v0 ( e 1 u1/2 1 o Le v0 + k1 - 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 - 2 v1/2 (ik2 - 1 Le) k2 k1+k2=0,k1,k2∈Z0 1/2 e 1 Le ε 1/2 e ε 1 Le + w0 1 ue - o v0 1 we u0 - o v0 , k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1 2 v1/2 (ik1 + 1 Le) k1 e ε e ε 1 1 L0(y)= L0(y)+ B0(v0e- ε Let, y)+ B0(y, v0e- ε Let), О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 49 1 f0(t)e- ε Let = -εv1/2 (v0e- 1 Let)+ B (v0e- 1 Let, y)+ B (y, v0e- 1 Let) . e Невозмущенное уравнение d 3 L0 ε 0 ε 0 ε 1 2Le 2 3 v0 = -εv1/2 v0(v0 + ) - D0 = εv1/2 (v+ - v0)(v0 - v-). dt e 2 Стационарные точки e ε2 3v1/2 (v )2 + 1 2Le e 0 ε2 3v1/2 3 v0 - e 2 0 0 2 3 D0 = 0, v± 1 1 2Le 2 / 1 2Le 8 . 0 = 2 e - ε2 3v1/2 ± ( ) e ε2 3v1/2 + D0 3 Невозмущенное уравнение имеет ограниченное сепаратрисное решение v- sp + если выполняется Условие 3.2. 0 < v0 (t) < v0 , Отсюда следует, что задача Коши ( 2Le e 3v1/2 )2 + ε4 8 3 D0 > 0. e d 0 - v = εv1/2 dt 3 2 v0(v0 + 1 2Le ) e ε2 3v1/2 - 2 D0 , (3.11) 3 v0|t=0 =0 0 имеет ограниченное решение v0(t)= vsp(t), t 0, если выполняется Условие 3.3. 1/2 1 1 u1/2 1 D0 = '\\" 0 J u 1 we o Le v0 (w0 e ε Le v0 + k1 - 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 - 2 v1/2 (ik2 - 1 Le) k2 k1+k2=0,k1,k2/=0 1/2 e 1 Le ε 1/2 e ε 1 Le + w0 1 ue - o v0 1 we u0 - o v0 0. k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1 2 v1/2 (ik1 + 1 Le) k1 e ε e ε Если D0 =0 имеем тривиальное решение v0(t) ≡ 0. 1. k-мода. Так же, как выше для k ∈ Z0, имеем 2vv - uw - wu 1 0 = (v v k k 0 + v v ) - k 2 t 1 w1/2 1 u1/2 1 u1/2 r + e e 2 v1/2 k v0((w0 + 1/2 e e 2 v1/2 k v0)e-ikt + ik t 1/2 r e e 2 v1/2 0 eik(s-t)vkds)+ 1/2 + ((w0 + 1 ue v0)eikt - ik 1 ue e-ik(s-t)v 1 we ds) v + e e k 2 v1/2 k 2 v1/2 0 e k 2 v1/2 0 1/2 t 1/2 r 1/2 + ((u0 + 1 we v0)e-ikt + ik 1 we eik(s-t)v 1 ue ds) v + e k 2 v1/2 k e 2 v1/2 0 e k 2 v1/2 0 t 1 u1/2 1 w1/2 1 w1/2 r + e e 2 v1/2 k v0((u0 + e e 2 v1/2 k v0)eikt - ik e e 2 v1/2 0 e-ik(s-t)vkds)+ + '\\" k1+k2=k,k1,k2/=0 1 2 Jvk vk + vk2 vk1 - 50 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ - (u0 e 1 w1/2 + 1 w 1/2 v0 )e-ik1t - e v + ik 1 w1/2 r t e eik1(s-t)v ds × v k1 2 v 2 1/2 k1 e 1/2 k1 e v 2 1 1/2 k1 e 0 t 1 u1/2 1/2 1 u1/2 r × (w0 + e v0 )e-ik2t - 1 ue v + ik e eik2(s-t)v ds + k2 1/2 e e 2 v1/2 k2 1/2 2 v1/2 k2 t 1/2 r e 2 2 v1/2 0 k2 1/2 (w 0 - k2 1 ue + e 2 v1/2 k2 2 v1/2 v0 )eik2t - 1 ue e vk2 - ik2 1 ue e 2 v1/2 0 e-ik2(s-t) vk2 (u 0 ds k1 + 1 we e 2 v1/2 v k 0 )e 1 ik1t - - (w0 e 1 u1/2 + 1 u 1/2 v0 )eik2t - e v - ik 1 u1/2 r t e e-ik2(s-t)v ds × v k2 2 v 2 1/2 k2 e 1/2 k2 e v 2 2 1/2 k2 e 0 t 1 w1/2 1 w1/2 r e e -ik1(s-t) × - 2 v1/2 vk1 - ik1 2 v1/2 e vk1 ds . Отсюда e e 0 t d 1 1 r dtvk + 1 · Le vk - εik 0 1 uee-ik(s-t) - weeik(s-t) vkds = (3.12) =2 v1/2 + ikt 1/2 - -ikt 1/2 add o e Dk e ε +2 ve Dk e - εve Tk (v) - e -εv1/2 Lk (v)+ Bk (v, v) k vk |t=0 = v0, D+ 1/2 0 e 0 1 u1/2 1 2 '\\" e 0 0 0 1 u1/2 e 0 1 w1/2 k = ue (wk + 2 v1/2 vk )+ 2 ε (wk2 + 2 v1/2 vk2 )(uk1 + 2 v1/2 vk1 ), D- 1/2 0 e 1 we 0 k1+k2=k,k1,k2/=0 1 2 '\\" 0 e 1 we 0 e 0 1 ue 0 k = we (uk + 2 v1/2 vk )+ 2 ε (uk1 + 2 v1/2 vk1 )(wk2 + 2 v1/2 vk2 ), 1 '\\" e 1/2 w J e k1+k2=k,k1,k2/=0 w1/2 r t e e ik1(s-t) e e 0 0 1 u1/2 -ik2t Lk (v)= - 2 - v1/2 vk1 + ik1 v1/2 e vk1 ds (wk2 + 2 v1/2 vk2 )e + k1+k2=k,k1,k2/=0 e 1/2 e 0 1/2 e t 1/2 r + (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ue v + ds ue - ik e-ik2(s-t)v e v k1 2 v1/2 k1 1/2 t 1/2 r v1/2 1/2 k2 2 e e 0 k2 1/2 + - ue v ue - ik e-ik2(s-t)v ds (u0 1 we + v0 )eik1t + v v1/2 1/2 k2 2 e e 0 k2 k1 e 2 v1/2 k1 + (w0 e 1 u1/2 + w 1/2 v0 )eik2t - e v + ik w1/2 r t , ds e eik1(s-t)v e v k2 2 v1/2 k2 v1/2 1/2 k1 1 k1 e e 0 Bk (v, v)= '\\" k1+k2=k,k1,k2/=0 t 1 2 vk vk + vk2 vk1 - t w 1 1/2 e e w1/2 r ik1(s-t) u 1/2 e e u1/2 r -ik2(s-t) - 4 - v1/2 vk1 + ik1 v1/2 e vk1 ds - v1/2 vk2 - ik2 v1/2 e vk2 ds + e e 0 e e 0 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 51 u 1 1/2 e e t u1/2 r -ik2(s-t) w 1/2 e e t w1/2 r ik1(s-t) - 4 - v1/2 vk2 - ik2 v1/2 e vk2 ds - v1/2 vk1 + ik1 v1/2 e vk1 ds , e e 0 Tadd e e 0 1 k (v)= 2 (v0vk + vkv0) - t 1 w1/2 1 u1/2 1 u1/2 r + e e 2 v1/2 k v0((w0 + 1/2 e e 2 v1/2 k v0)e-ikt + ik t 1/2 r e e 2 v1/2 0 eik(s-t)vkds)+ 1/2 + ((w0 + 1 ue v0)eikt - ik 1 ue e-ik(s-t)v 1 we ds) v + e e k 2 v1/2 k 2 v1/2 0 e k 2 v1/2 0 1/2 t 1/2 r 1/2 + ((u0 + 1 we v0)e-ikt + ik 1 we eik(s-t)v 1 ue ds) v + e k 2 v1/2 k e 2 v1/2 0 e k 2 v1/2 0 t 1 u1/2 1 w1/2 1 w1/2 r + e e 2 v1/2 k v0((u0 + e e 2 v1/2 k v0)eikt - ik e e 2 v1/2 0 e-ik(s-t)vkds). Определение. Фурье-решением задачи Коши для системы (3.3) будем называть систему абсолютно непрерывных коэффициентов Фурье Uk = (uk, vk, wk ), k ∈ Z, удовлетворяющих системе (3.12), (3.6), (3.8) для почти всех t ∈ R+. Теорема 3.1. Пусть σ > 1, u|t=0, v|t=0, w|t=0 ∈ Hσ (0, 2π) и средние значения u0 = v0 = w0 = 0. 0 0 0 Пусть m ∈ N фиксировано. Тогда существует T ∗ > 0, возможно зависящее от m, такое что усечение системы (3.12), (3.8) d v(m) 1 t (m) 1 r ik(s-t) ik(s-t) (m) dt k + ε Le vk - εik 0 uee- - wee vk ds = (3.13) 1 =2 v1/2 + ikt 1 1/2 - -ikt 1/2 add (m) o e Dk,me ε +2 ve Dk,me - εve Tk (v ) - - εv1/2 (m) (m) (m) (m) (m) e v(m) Lk (v )+ Bk (v 0 ,v ) k |t=0 = vk, |k| = 1,..., m, d 1 3 v(m) (m) 1/2 (m) (m) (m) dt 0 + ε Le v0 = -εve 2 0 0 0 v v - d + (3.14) + L(m) (m) 0 (v(m))+ B0 (v(m), v(m))) , v0|t=0 =0 имеет единственное решение на интервале [0,T ∗]. Как мы покажем ниже, решение U (m) = (m) {vk (t), |k| = 0, 1 ..., m}, при дополнительных так называемых условиях несекулярности моmax жет быть продолжено на максимальный интервал [0,T ∗ max ), такой что T ∗ = +∞, если сумма норм u Здесь |t=0 Hσ (0,2π) + v|t=0 Hσ (0,2π) + w| t=0 Hσ (0,2π) достаточно мала. d(m) 0 = '\\" (u0 + 1 w1/2v0 )(w0 + 1 u 1/2 e v0 )+ k1+k2=0,|k1|,|k2|=1,...,m k1 2 e k1 e k2 2 v1/2 k2 1/2 1/2 + (w0 1 ue + v0 )(u0 1 we + v0 ) . e k2 2 v1/2 k2 e k1 2 v1/2 k1 Величины L(m)(v(m)), B(m)(v(m), v(m)), D± , L(m)(v(m)), B(m)(v(m), v(m)) определяются аналогич- 0 0 но. k,m k k 52 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Следствие 3.1. Пусть u|t=0, v|t=0, w|t=0 ∈ Hσ (0, 2π), σ > 1. Тогда при выполнении условий теоремы 3.1 существует глобальное Фурье-решение задачи Коши для системы (3.3). 1. Однородные данные Коши. Положим vk = v0e ε L t + yk, k ∈ Z0. 1 k - e Тогда d dtyk + t 1 1 r · Le yk - εik 0 y uee-ik(s-t) - weeik(s-t) k ds = (3.15) 1 =2 v1/2 + ikt 1 1/2 - -ikt 1 - ε Let L B o e Dk e ε +2 ve Dk e + e (fk (t)+ fk (t)) - - εv1/2 add 1/2 e Tk (v) - εve Lk (y)+ Bk (y, y) , Здесь yk |t=0 = 0. t 1 r - εik 0 uee- ik(s-t) - wee ik(s-t) k v0e 1 - ε Les ds = 1 0 ik 1 - Let ikt 1 ik - Let -ikt o Le) = - εvk [-ue (ik + 1 (e ε - e ) - we - (e ε e )= ε (ik - 1 Le) 1 1 ik ik = v0e- ε Let ue + we - ε ε o k (ik + 1 Le) (ik - 1 Le) 1 0 ik - εvkue (ik + 1 L ) e ikt 1 0 - εvkwe (ik ik -ikt 1 L ) e , o e - ε e 1 1 Lk (y)= Lk (y)+ Bk (v0e- ε Let, y)+ Bk (y, v0e- ε Let), 1 1 J 1 w1/2 1 u1/2 Lk (v0e- ε Let)= - '\\" - e- ε Let e v0 (w0 + e v0 )e-ik2t + k 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 v 1/2 k1 k2 e e 2 v1/2 k2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 + (u0 1 we + v0 )e-ik1t ue ue v0 + v0 (u0 1 we + v0 )eik1t + (w0 1 ue + v0 )eik2t we v0 + e v k1 2 v1/2 k1 v 1/2 k2 e 1/2 k2 k1 e 1/2 e 2 v1/2 k1 k2 1/2 e v 2 v1/2 k2 1/2 k1 e + v0 ik1 1 we (e- ε Let - e-ik1t)(w0 1 ue + v0 )e -ik2t + k1 (ik1 - 1 Le) v1/2 k2 2 v1/2 k2 + (u0 ε e 1 w1/2 + e v0 )e-ik1t v0 ik2 u 1/2 e e 1 (e- ε Let - eik2t)+ e k1 2 v1/2 k1 ε k2 (ik2 + 1 Le) v 1/2 e + v0 e - ik2 u1/2 1 k1 (e e 1 w1/2 k2 (ik2 + 1 Le) v1/2 o Let - eik2 )(u0 + 2 v1/2 k v0 )eik1t + 1 + (w0 ε e 1 u1/2 + e v0 )eik2t v0 ik1 w 1/2 e e 1 (e- ε Let - e-ik1t ) = e k2 2 v1/2 k2 ε k1 (ik1 - 1 Le) 1 v 1/2 e k = f L(t)e- ε Let + + 1 '\\" e 0 0 ik1 w1/2 v (w + 1 u 1/2 e v0 )+ 2 k1 (ik1 - 1 Le) v1/2 k2 2 v1/2 k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 ε 1/2 e e 1/2 + (u0 1 we + v0 )v0 ik2 ue ) e-ikt + e k1 2 v1/2 k1 ε v k2 (ik2 - 1 Le) 1/2 e + 1 '\\" e 0 0 ik2 u1/2 v (u + 1 w 1/2 e v0 )+ 2 k2 (ik2 + 1 Le) v1/2 k1 2 v1/2 k1 k1+k2=k,k1,k2/=0 ε e e О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 53 1/2 1/2 + (w0 1 ue + v0 ) v0 ik1 we eikt. Также получим e k2 2 v1/2 k2 ε v k1 (ik1 + 1 Le) 1/2 e 1 1 1 k (t)e Bk (v0e- ε Let, v0e- ε Let) == f B · ε Let - 1 '\\" 0 ik1 ik2 0 e-ikt - - 4 vk1 (ik 1 L ) (ik 1. L ) vk2 k1+k2=k,k1,k2/=0 1 - ε e 2. - ε e 1 '\\" 0 ik2 0 ik1 eikt. - 4 vk2 (ik + 1 L ) vk1 (ik + 1 L ) Теперь положим k1+k2=k,k1,k2/=0 2 ε e 1 1 ε e 1/2 2v1/2 1 + 1/2 1/2 1 0 1 o Le ue 0 e ε Dk = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk )+ + εv1/2 '\\" (w0 - 1 Le u 1 1/2 o e v0 )(u0 e 1 w1/2 + Le 1 ε v0 ). e k2 2 (ik2 + 1 Le) v1/2 k1 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k1+k2=k,k1,k2/=0 ε e e ε 1. Конечномерная аппроксимация. Перейдем к конечномерной аппроксимации t d y(m) 1 (m) 1 r ik(s-t) ik(s-t) (m) dt k + ε Le yk - εik 0 1 1 uee- - wee 1 (m) yk ds = (3.16) (m) =2 v1/2 + ikt 1/2 - -ikt - ε Let o e Dk,me ε +2 ve Dk,me + e (fk,L (t)+ fk,B (t)) - - εv1/2 add (m) 1/2 (m) (m) (m) (m) (m) e Tk (y ) - εve y(m) Lk (y )+ Bk (y ,y ) , k |t=0 = 0, |k| = 1,...,m 2v1/2 1 - 1/2 1/2 1 0 e 1 w1/2 1 o Le 0 (3.17) e ε Dk,m = 2ve we o 2 v1/2 (ik (uk - e 1 - ε Le) vk )+ 1/2 1 1 1 w1/2 + εv1/2 '\\" w0 1 ue + o Le v0 u0 o Le e v0 , e k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1 - 2 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e ε ε e 2v1/2 1 + 1/2 1/2 1 0 1 1 § Le u 1/2 e 0 e ε Dk,m = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk )+ (3.18) + εv1/2 '\\" (w0 - 1 Le u 1 1/2 § e v0)(u0 e 1 w1/2 + Le 1 ε v0 ), e k 2 (ik + 1 Le) v1/2 k k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m ε e e ε k (y B(m) (m) , y(m) )= '\\" k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m t y (m) k1 y (m) k2 k + y(m) 2 y (m) k1 - t w 1 1/2 e (m) e w1/2 r ik1(s-t) (m) u 1/2 e (m) e u1/2 r -ik2(s-t) (m) - 4 - v1/2 yk1 + ik1 v1/2 e yk1 ds - v1/2 yk2 - ik2 v1/2 e yk2 ds + e e 0 t e e 0 t u 1 1/2 e (m) e u1/2 r -ik2(s-t) (m) w 1/2 e (m) e w1/2 r ik1(s-t) (m) - 4 - v1/2 yk2 - ik2 v1/2 e yk2 ds - v1/2 yk1 + ik1 v1/2 e yk1 ds , e (m) (m) e 0 (m) (m) (m) 1 0 - Let e (m) (m) e (m) 0 1 0 - Let Lk (y )= Lk (y )+ Bk (vke ε ,y )+ Bk (y , vke ε ), k (y L(m) (m))= 54 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 1/2 t 1/2 r 1/2 1 '\\" we (m) we ik1(s-t) (m) 0 1 ue 0 -ik2t = - 2 - v1/2 yk1 + ik1 v1/2 e yk1 ds (wk2 + 2 v1/2 vk2 )e + k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e 1/2 e 0 1/2 e t 1/2 r + (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ue y(m) - ik ue e-ik2(s-t)y(m)ds + e v k1 2 v1/2 k1 v1/2 1/2 k2 2 k2 e e 0 1/2 t 1/2 r 1/2 + - ue y(m) ue e-ik2(s-t)y(m) 0 1 we v0 ik1t v 1/2 e v1/2 k2 - ik2 e 0 1/2 1/2 k2 ds e (uk1 + 2 v1/2 t 1/2 r k1 )e + + (w0 1 ue + v0 )eik2t - we y(m) + ik we eik1(s-t)y(m)ds , e v k2 2 v1/2 k2 v1/2 1/2 k1 1 k1 e e 0 Tadd (m) 1 1 0 - Let (m) 1 0 - Let (m) k (y 1 w1/2 0 )= (v (v e ε 2 k 1 u1/2 + yk )+ (vke ε t 1 u1/2 r + yk )v0) - 1 + e v0((w0 + e v0)e-ikt + ik e eik(s-t)(v0e- ε Let + y(m))ds)+ e 2 v1/2 k 1/2 e 2 v1/2 k t 1/2 r e 2 v1/2 k 0 1 k 1 w1/2 + ((w0 + 1 ue v0)eikt - ik 1 ue e-ik(s-t)(v0 - ε Les (m) e v + e e k 2 v1/2 k 2 v1/2 0 ke + yk )ds) 0 e 2 v1/2 1/2 t 1/2 r 1/2 + ((u0 + 1 we v0)e-ikt + ik 1 we 1 eik(s-t)(v0 - Les (m) 1 ue v + e k 2 v1/2 k e 2 v1/2 0 ke ε t e + yk )ds) 2 v1/2 0 1 u1/2 1 w1/2 1 w1/2 r 1 + e v0((u0 + e v0)eikt - ik e e-ik(s-t)(v0e- ε Les + y(m))ds). e 2 v1/2 e e k 2 v1/2 k 2 v1/2 k k 0 2. Невозмущенная задача. Начнем с доказательства существования решения невозмущенной задачи Tk (y(m) d (m) 1 t (m) 1 r ik(s-t) ik(s-t) (m) k )= dtyk + ε Le yk - εik 0 uee- - wee yk ds = (3.19) 1 =2 v1/2 + ikt 1 1/2 - -ikt 1 - ε Let (m) (m) o e Dk,me ε +2 ve Dk,me + e (fk,L (t)+ fk,B (t))- -εv1/2 L(m)(y(m))+ B(m)(y(m), y(m)) , e k k y(m) Положим k |t=0 = 0, |k| = 1,..., m. yk = Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ T -1(zk ), k ∈ Z0. (3.20) k k k k k Если подставить yk = Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ T -1(zk ), k ∈ Z0 в Lk (y), Bk (y, y) и сделать k k k k k соответствующие преобразования, выделяющие секулярные члены, то можно найти секулярное уравнение для невозмущенной задачи. А именно, t r -ik e-ik(s-t)(Q+ -1 iks - -1 -iks t r -ik(s-t) + -1 iks k Tk (e 0 )+ Qk Tk (e ))ds = -ik e 0 Qk Tk (e )ds - О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 55 t r - ik e-ik(s-t)Q- -1 -iks t Здесь г e-ik(s-t)Q- -1 0 -iks k Tk (e )ds k Tk (e 0 )ds стремится к нулю при t → ∞, в то время как t r -ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks 0 Надо выделять секулярный член, используя Tk. Также k Tk (e )ds =? t r ik eik(s-t)(Q+ -1 iks - -1 -iks t r ik(s-t) + -1 iks k Tk (e 0 )+ Qk Tk (e t ))ds = ik e 0 Qk Tk (e ds + r + ik eik(s-t)Q- -1 -iks t где ik г eik(s-t)Q+ -1 iks k Tk (e 0 ))ds, k Tk (e 0 ))ds стремится к нулю при t → ∞, в то время как t r ik eik(s-t)Q- -1 -iks k Tk (e 0 )ds =? Надо выделять секулярный член, используя Tk. Опять делаем трюк: t r -ik eik(s-t)Q- -1 -iks ε - -ikt d - -1 -ikt k Tk (e 0 )ds = we t Qk e - dt Qk Tk (e ) - (3.21) 1 1 -ikt 1 r -ik(s-t) - -1 -iks - ε Le Q-T - (e ) - εik uee Q T (e )ds , k k k k 0 t r ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks o + ikt d + -1 ikt k Tk (e 0 )ds = ue t Qk e - dt Qk Tk (e ) - (3.22) 1 + -1 ikt 1 r ik(s-t) + -1 iks Отсюда - ε Le Qk Tk (e )+ ik ε 0 wee Qk Tk (e )ds . B(m) + -1 ikt - -1 -ikt + -1 ikt - -1 -ikt (m) k (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ), Qk Tk (e t )+ Qk Tk (e )) = Gk,B (t) - 1 '\\" ( r ik1(s-t) - -1 -ik1s - 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m t ik1 e 0 Qk1 Tk1 (e )ds × r × - ik2 e-ik2(s-t)Q+ -1 ik2s k2 Tk2 (e 0 t t r r )ds - - ik2 e-ik2(s-t)(Q+ -1 ik2s ik1(s-t) - -1 ik1s k2 Tk2 (e 0 ) ik1 e 0 Qk1 Tk1 (e- )ds = 56 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ = G(m) k,B (t) ∈ L2,γ (R+). Теперь опять воспользуемся (3.22), (3.21) t 1 '\\" ( r ik1(s-t) - -1 -ik1s - 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m - ik1 e 0 Qk1 Tk1 (e )ds × t r × ik2 e-ik2(s-t)Q+ -1 ik2s k2 Tk2 (e 0 t t r r )ds + + ik2 e-ik2(s-t)(Q+ -1 ik2s ik1(s-t) - -1 ik1s k2 Tk2 (e 0 ) - ik1 e 0 Qk1 Tk1 (e- )ds = 1 ε ε '\\" Q- + -ikt + - ikt Далее имеем e = - 4 w u e k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m k1 Qk2 e + Qk2 Qk1 e . (m) + -1 ikt - -1 -ikt Lk (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )= = L(m) + -1 ikt - -1 -ikt (m) 1 0 - Let + -1 ikt - -1 -ikt k (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) + Bk (vke ε , (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) + + B(m) + -1 ikt - -1 -ikt 1 0 - Let где k ((Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ), vke ε ), L(m) + -1 ikt - -1 -ikt L k (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) = hk (t) - 1/2 t 1/2 r 1 '\\" J 0 1 ue 0 -ik2t we ik1(s-t) - -1 -ik1t - 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e 1 (wk2 + 2 v1/2 vk2 )e 1/2 ik e v 1/2 e 0 t 1/2 r Qk1 Tk1 (e )ds + + (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ik ue e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s)ds + e v1/2 k1 2 v1/2 k1 2 k2 k2 e 0 1/2 t 1/2 r + (u0 1 we + v0 )eik1t - ik ue e-ik2(s-t)Q+ -1 ik2s e v1/2 v k1 2 1/2 k1 2 e 0 k2 Tk2 (e )ds + + (w0 e 1 u1/2 + v0 )eik2t ik w1/2 r t e eik1(s-t)Q- T -1(e-ik1s)ds . e v1/2 v k2 2 1/2 k2 1 e 0 k1 k1 В силу (3.22), (3.21) получим 1/2 t 1/2 r (w0 1 ue + v0 )e-ik2tik we eik1(s-t)Q- -1 -ik1t e v1/2 k2 2 v1/2 k2 1/2 1 e 0 t 1/2 r k1 Tk1 (e )ds + + (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ik ue e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s)ds + e v1/2 k1 2 v1/2 k1 2 k2 k2 e 0 1/2 t 1/2 r + (u0 1 we + v0 )eik1t - ik ue e-ik2(s-t)Q+ -1 ik2s e v1/2 v k1 2 1/2 k1 2 e 0 k2 Tk2 (e )ds + + (w0 e 1 u1/2 + v0 )eik2t ik w1/2 r t e eik1(s-t)Q- T -1(e-ik1s)ds = e v1/2 v k2 2 1/2 k2 1 e 0 k1 k1 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 57 1 u1/2 1/2 ε 1 w1/2 = - (w0 + e v0 ) we Q- + (u0 + e v0 ) ε Q+ e-ikt + e k2 2 v1/2 k2 e v1/2 we k1 e k1 2 v1/2 k1 ue k2 1 w1/2 1/2 1/2 - (u0 + e v0 ) ε Q+ + (w0 1 ue + v0 ) ε we Q- eikt. Отсюда e k1 2 v1/2 k1 ue k e k2 2 v1/2 e k2 we v1/2 k1 L(m) + -1 ikt - -1 -ikt L k (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) = Hk (t)+ 1/2 1/2 ε 1/2 + 1 '\\" (w0 1 ue + v0 ) we Q- + (u0 1 we + v0 ) ε Q+ e-ikt + 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 v k2 2 v 1/2 k2 e e 1/2 we k1 v k1 2 1/2 e k1 ue k2 1/2 1/2 1/2 + 1 '\\" (u0 1 we + v0 ) ε Q+ + (w0 1 ue + v0 ) ε we Q- eikt. Далее 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e k1 2 v1/2 k1 ue k e k2 2 v1/2 e k2 we v1/2 k1 B(m) 1 0 - Let + -1 ikt - -1 -ikt B,2 1 Let B,2 k (vke ε , (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) = Fk (t)e- ε + Hk (t) - 1 '\\" ( ik1 o ε ik1 v0 Q+ e-ikt + Q+ 1 v0 eikt . - 4 k1+k2=k,k1,k2/=0 ε (ik1 - 1 Le) k1 ue k2 ue k2 ε (ik1 + 1 Le) k1 Так же получим B(m) + -1 ikt - -1 -ikt 1 0 - Let B,1 1 Let B,1 k ((Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ), vke ε )= Fk (t)e- ε + Hk (t) - 1 '\\" J ε Q- ik2 v0 e-ikt +( ik2 ε v0 Q- eik . Положим - 4 k1+k2=k,k1,k2/=0 ε we k1 (ik2 - 1 Le) k2 ε (ik2 + 1 Le) k2 we k1 S+(Q-, Q+)eikt + S-(Q-, Q+)e-ikt = 1 '\\" ( 1/2 1/2 ε 1 w1/2 = (w0 1 ue + v0 ) we Q- + (u0 + e v0 ) ε Q+ e-ikt + 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e k2 2 v1/2 k2 e v1/2 we k1 e k1 2 v1/2 k1 ue k2 1/2 1/2 1/2 + (u0 1 we + v0 ) ε Q+ + (w0 1 ue + v0 ) ε we Q- eikt - e k1 2 v1/2 k1 ue k e k2 2 v1/2 e k2 we v1/2 k1 1 ik1 + 0 o ε v Q + Q- ik2 v0 e-ikt - ε - 2 (ik1 - 1 Le) k1 ue k2 ε we k1 (ik2 - 1 Le) k2 1 ik2 v0 - + 0 ikt ε ε ik1 1 Q + Q v e . ε - 2 (ik2 + 1 Le) k2 we k1 ue k2 ε (ik1 + 1 Le) k1 Суммируя, получим сведение задачи Коши (3.19) к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+) вида z(m) + ikt - -ikt + - + ikt - - + -ikt k + Qk e + Qk e 1 = S (Q ,Q )e 1 + S (Q ,Q )e + (3.23) +2 v1/2 + ikt 1/2 - -ikt o e Dk,me 1 ε +2 ve Dk,me + + e- ε Let(F (m)(t)+ F (m)(t)) + H(m)(t)+ H(m)(t) - k,L k,B k,B k,B - εv1/2 U(m)(T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) , где (m) 1 (m) e k (m) k 1 (m) (m) k k + -1 ikt k - -1 -ikt -1 (m) k Uk (T - (z )) = Lk k (T - (z )+ Bk (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ), Tk (z )) + + B(m) 1 (m) + -1 ikt - -1 -ikt k k (T - (z ), Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )), функции F (m)(t),F (m)(t) ограничены, а H(m)(t),H(m)(t) ∈ L2,γ (R+). k,L k,B k,L k,B Чтобы свести задачу Коши (3.19) к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+), мы должны аннулировать секулярные члены, потребовав, чтобы Q+ e +ikt k k + Q- e -ikt = S+ (Q- , Q+ )eikt + S- (Q- , Q+ )e-ikt + 58 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ +2 1 v1/2 + ikt 1 1/2 - -ikt ε Тогда окончательно получим e Dk,me ε +2 ve Dk,me , |k| = 1,..., m. z(m) 1 Let (m) (m) (m) (m) k = e- ε (Fk,L (t)+ Fk,B (t)) + Hk,B (t)+ Hk,B (t) - (3.24) - εv1/2 U(m)(T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) . e k k k k k Условие на секулярные члены можно переписать как алгебраическую систему для (Q+, Q-): 1 Q+ 1/2 + k k + - + ε k =2 ve Dk,m + S 1 (Q ,Q ), (3.25) Q- 1/2 - - - + ε k =2 ve Dk,m + S Нулевая мода. Теперь сделаем подстановку (Q ,Q ), |k| = 1,..., m. yk = Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ T -1(zk ), k ∈ Z0 k k k k k в уравнении (3.8) нулевой моды. Тогда получим d dtv0 + e 1 ε Le v0 = -εv1/2 3 v 2 0v0 - D0 - (3.26) 1 - εv1/2 L(1)(T -1(z)) + B0(T -1(z),T -1(z)) + f0(t)e- ε Let + h0(t) где e 0 (1) v0|t=0 =0 L0 (T -1(z)) = B0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt),T -1(zk )) + k k k k k + B0(T -1(zk ), Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)) + L0(T -1(zk )), k k k k k k L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ k k k k + B0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt, Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)= h0(t)+ D(1), k k k k k k k k 0 0 D0(Q+, Q-)= D0 - D(1), 1/2 1 1/2 D(1) 1 '\\" J 0 1 we o Le v0 ε ue + 0 = 2 (uk1 - 2 v1/2 (ik 1 k1 ) u Q + v1/2 k k1+k2=0,k1,k2/=0 e 1 - ε Le) e e u 1/2 + e § Q+(u0 e 1 w1/2 - Le w 1 1/2 § v0 )+ e § Q- (w0 e 1 u1/2 - Le 1 ε v0 )+ v1/2 ue k k1 2 v1/2 (ik1 - 1 k1 v1/2 we k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 k2 e e ε Le) e e ε Le) 1/2 1 Le 1/2 ε 1 ε2 + (w0 1. ue - o v0 ) we Q- - '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 v1/2 we k 2. weue k1 k2 k2 k1 Здесь e ε e k1+k2=0,k1∈Z0 L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)= hL(t)+ k k 1/2 k k 1/2 0 1/2 1/2 + 1 '\\" J(u0 1 we + v0 ) ε ue Q+ + we ε Q- (w0 1 ue + v0 )+ 2 k1+k2=0,k1,k2/=0 v k1 2 v 1/2 e k1 ue v 1/2 k e v e 2 1/2 we k1 k2 1/2 k2 e 1/2 1/2 1/2 ε 1/2 + (w0 1 ue + v0 ) we o ue Q- + Q+(u0 1 we + v0 ) , e k2 2 v1/2 k2 e v1/2 we k e v1/2 ue k k1 1 e 2 v1/2 k1 1 B0((Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t), v0e- ε Let)= f B,1 - ε Let B,1 k1 k1 k1 k1 k 0 (t)e + h0 (t) - 1 '\\" ( ε 0 ik2 0 ik2 ε - 4 ik1 w Q- v + vk Q- , k1+k2=0,k1,k2/=0 1 e k1 ε k2 (ik2 + 1 Le) ε 2 (ik2 + 1 Le) we k1 1 B0(v0e- ε Let, (Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t)) = f B,2(t)e- ε Let + hB,2(t) - k k1 k1 k1 k1 0 0 1 '\\" 0 ( ik1 v ε Q+ + ε Q+ ik1 v0 . - 4 k1+k2=0,k1,k2/=0 ε (ik1 - 1 Le) k1 ue k2 ε ue k2 (ik1 - 1 Le) k1 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 59 В то же время имеем B0((Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt), (Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)) = hB (t) - k k k k 1 ε2 k k k k 0 '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . Суммируя, получим - 4 weue k1+k2=0,k1∈Z0 k1 k2 k2 k1 1 L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ B0(v0e- ε Let, (Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t)) + k k k k k k1 k1 k1 k1 + B0((Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt), (Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)) = k k k k k k k k = hL(t)+ f B,1(t)e- 1 Let + hB,1(t)+ f B,2(t)e- 1 Let + hB,2(t)+ hB (t)+ 0 0 ε 0 0 ε 0 0 1 '\\" J 1/2 1 Le 1/2 e + (u0 1 we - o v0 ) ε u Q+ + 2 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 ue v1/2 k k1+k2=0,k1,k2/=0 e ε e u 1/2 + e § Q+(u0 e 1 w1/2 - Le w 1 1/2 § v0 )+ e § Q- (w0 e 1 u1/2 - Le 1 ε v0 )+ v1/2 ue k k1 2 v1/2 (ik1 - 1 k1 v1/2 we k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 k2 e e ε Le) e e ε Le) 1/2 1 Le 1/2 ε 1 ε2 + (w0 1. ue - o v0 ) we Q- - '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 v1/2 we k 2. weue k1 k2 k2 k1 e ε e k1+k2=0,k1∈Z0 Чтобы завершить сведение задачи Коши (3.16) к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+), мы должны дополнительно аннулировать секулярные члены нулевой моды, потребовав, чтобы D0(Q+, Q-)= 0. (3.27) Тогда, положив v0 = z0 в последнем уравнении системы интегральных уравнений в гильбертовом пространстве, получим L2,γ (R+): t 3 1/2 r 1 Le(s-t)Г 2 (1) z0 = - 2 εve e ε 0 z0z0 - 1 l 3 + L0 (T -1(z)) + B0(T -1(z),T -1(z) + f0(s)e- ε Les + h0(s) ds. Невозмущенное уравнение Риккати d z0 = - 3 εv1/2z0 z0 + 2 1 Le dt 2 e e 3 ε2 v1/2 имеет единственное тривиальное решение y0 ≡ 0, отвечающее начальному условию z0|t=0 = 0. Лемма 3.1. Для любой экспоненциально стремящейся к нулю при t → 0 вещественной функ- 2,γ ции f ∈ L2,γ (R+; Hσ ) существует единственное решение z0 ∈ H1 (R+; Hσ ) задачи Коши (3.19). Таким образом, суммарно мы получили систему секулярных уравнений 1 Q+ 1/2 + + - + ε k =2 ve Dk,m + S 1 (Q ,Q ), (3.28) Q- 1/2 - - - + ε k =2 ve Dk,m + S (Q ,Q ), |k| = 1,..., m, D0(Q+, Q-)= 0, 60 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ решение которой сводит задачу (3.23), (3.26) к системе уравнений z(m) 1 Let (m) (m) (m) (m) k = e- ε (Fk,L (t)+ Fk,B (t)) + Hk,B (t)+ Hk,B (t) - (3.29) - εv1/2 U(m)(T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) , e k k k k k t z(m) 3 1/2 r 1 Le(s-t)Г (m) (m) 2 (1) 0 = - 2 εve e ε 0 z0 z0 - 1 l 3 + L0 (T -1(z(m))) + B0(T -1(z(m)),T -1(z(m)) + f0(s)e- ε Les + h0(s) ds в гильбертовом пространстве (L2,γ (R+; Hσ,m))2m. Так же как при исследовании уравнения Карлемана, покажем, что ее единственное решение Q+ 1/2 1/2 1 0 1 1 · Le u 1/2 e 0 k,m = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk ), Q- 1/2 1/2 1 0 e 1 w1/2 1 · Le 0 k = 2ve we o 2 v1/2 (ik (uk - e 1 · ε Le) vk ), |k| = 1,..., m, определяется локальным равновесием. 1. Локальное равновесие. Выше мы получили представление коэффициентов Фурье скоростей и : u w 1 w1/2 1 Le 1 w1/2 1 Le 1 uk = u0 - e § v0 e-ikt - v0 e § e- ε Let - k 2 v1/2 ik - 1 k k 2 v1/2 ik - 1 e e 1 w1/2 · Le e t 1 w1/2 r e ik(s-t) o Le (3.30) - 2 v1/2 yk + ik 2 v1/2 e ykds, 1 u1/2 e 1 Le e 0 1 u1/2 1 Le 1 wk = w0 - e o v0 eikt + e v0 o e- ε Let - k 2 v1/2 (ik + 1 Le) k 2 v1/2 k ik + 1 Le e ε e 1 u1/2 e t 1 u1/2 r e ε -ik(s-t) - 2 v1/2 yk - ik 2 v1/2 e ykds e e 0 Если подставить yk = Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ T -1(zk ), k ∈ Z0 и сделать соответствующие k k k k k преобразования, выделяющие секулярные члены, то можно найти решение секулярного уравнения для невозмущенной задачи. А именно: t r -ik e-ik(s-t)(Q+ -1 iks - -1 -iks t r -ik(s-t) + -1 iks k Tk (e 0 )+ Qk Tk (e t ))ds = -ik e 0 Qk Tk (e )ds - r - ik e-ik(s-t)Q- -1 -iks t Здесь г e-ik(s-t)Q- -1 0 -iks k Tk (e )ds. k Tk (e 0 )ds стремится к нулю при t → ∞, в то время как t r -ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks 0 Надо выделять секулярный член, используя Tk. k Tk (e )ds =? О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 61 Также t r ik eik(s-t)(Q+ -1 iks - -1 -iks t r ik(s-t) + -1 iks k Tk (e 0 )+ Qk Tk (e ))ds = ik e 0 Qk Tk (e ds + t r + ik eik(s-t)Q- -1 -iks k Tk (e 0 ))ds, t ik г eik(s-t)Q+ -1 iks k Tk (e 0 ))ds стремится к нулю при t → ∞, в то время как t r ik eik(s-t)Q- -1 -iks k Tk (e 0 )ds =? Надо выделять секулярный член, используя Tk. Опять делаем трюк: t r -ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks ε + +ikt k Tk (e 0 )ds = ue Qk e - o d Q+T -1(eikt)+ 1 L Q+T -1(eikt)+ 1 ikw t r eik(s-t)Q+T -1(eiks)ds . - ue dt k k Так же получим o e k k ε e k k 0 t r ik eik(s-t)Q- -1 ε -iks - -ikt k Tk (e 0 )ds = we Qk e - o d Q-T -1(e-ikt)+ 1 L Q-T -1(e-ikt) - 1 iku t ds r e-ik(s-t)Q-T -1(e-iks) . Отсюда - we dt k k o e k k ε e k k 0 uk = u0 - e 1 w1/2 Le 1 ε v0 - 1 ε Q- e-ikt - (3.31) k 2 v1/2 ik - 1 k 2 w1/2 1/2 k 1/2 1 Le e 1 1 w1/2 · Le e ve - v0 1 we o e- ε Let - e (Q-T -1(e-ikt)+ Q+T -1(eikt)+ T -1(z )) + k 2 v1/2 ik - 1 2 v1/2 k k k k k k e ε Le + ik e t 1 w1/2 r e eik(s-t)(Q+T -1(eiks)+ zk )ds + 1 ε d e 2 v1/2 k k 0 t 1 1 r + Q-T -1(e-ikt)+ Le Q-T -1(e-ikt) - ikue e-ik(s-t)Q-T -1(e-iks)ds , 2 w1/2 1/2 dt k k o k k ε k k e ve 0 62 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ wk = w0 - e 1 u1/2 Le 1 ε v0 - 1 ε Q+ eikt - (3.32) k 2 v1/2 (ik + 1 Le) k 2 u1/2 1/2 k e 0 1 u1/2 1 o Le e 1 - Let e 1 u1/2 ε + -1 ikt e ve - -1 -ikt -1 ε - 2 v1/2 vk ik + 1 e - 2 (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )+ Tk (zk )) - e ε Le e t 1 u1/2 r v 1/2 e -ik(s-t) - -1 -ikt -1 e - ik 2 v1/2 e 0 (Qk Tk (e )+ Tk (zk ))ds - t + 1 ε d Q+T -1(eikt)+ 1 Le Q+T -1(eikt)+ 1 r ikwe ds eik(s-t)Q+T -1(eiks) . 2 u1/2 1/2 dt k k o k k ε k k e ve 0 Из условия локального равновесия следует, что должны быть выполнены равенства e 1 w1/2 u0 1 o Le v0 1 ε Q- = 0, (3.33) k - 2 v1/2 ik - 1 k - 2 w1/2 1/2 k e 1/2 · Le 1 e ve w0 1 ue 1 · Le v0 ε Q+ = 0, k - 2 v1/2 (ik + 1 Le) k - 2 u1/2 1/2 k e ε e ve определяющие решение условия секулярности невозмущенной задачи: w1/2 1/2 1 w1/2 1 Q- e ve 0 e ε Le 0 (3.34) k =2 ε e uk - 2 v1/2 ik 1 vk , - ε Le 1/2 1/2 1/2 1 Q+ ue ve 0 1 ue o Le 0 . k =2 ε wk - 2 v1/2 (ik + 1 L ) vk e ε e Таким образом, если справедлив принцип локального равновесия (стабилизации решений задачи для возмущений к нулю при t → +∞), то соотношения (3.34) должны определять решения условия секулярности (3.25). Проверим это предположение в следующем пункте. 1. Редукция секулярных членов. Приведенные исследования двух моделей дискретных кинетических уравнений показывают универсальность предлагаемых методов для исследования моделей типа Броудела. Позднее мы опубликуем исследование еще двух моделей: двумерной модели Броудела и трехмерной модели Годунова-Султангазина [3]. Чтобы понять основные трудности проверки принципа локального равновесия, еще раз проанализируем вывод секулярной системы (3.25). 1. Секулярные члены k-моды перехода к однородным данным Коши. 1 1 k Lk (v0e- ε Let)= f L(t)e- ε Let - t 1/2 r 1/2 1 - 1 1 '\\" J we ik1(s-t) 0 - Les 0 1 ue 0 -ik2t ik e 2 v1/2 vk1 e ε ds (wk2 + 2 v1/2 vk2 )e + k1+k2=k,k1,k2/=0 e 0 1/2 e t 1/2 r + (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ik ue e-ik2(s-t)v0 e- ε Lesds + e k1 2 v1/2 k1 t 1 v1/2 2 k2 e 0 u1/2 r 1 1 w1/2 v + - ik2 e e-ik2(s-t)v0 - ε Les 0 e v0 ik1t 1/2 e 0 1/2 k2 e t 1 ds 1/2 r e (uk1 + 2 v1/2 k1 )e + + (w0 1 ue + v0 )eik2t ik we ds eik1(s-t)v0 e- ε Les = e v1/2 v k2 2 1/2 k2 1 k1 e 0 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 63 1 = f L(t)e- ε Let + 1 '\\" J1 ik1 w 1/2 e v0 (w0 e 1 u1/2 + v0 )+ k 2 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 k2 2 v1/2 k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 1/2 o e e 1/2 + (u0 1 we + v0 ) ik2 ue v0 e-ikt + e k1 2 v1/2 k1 ε v (ik2 + 1 Le) 1/2 1/2 e k2 1/2 + ik2 ue v0 (u0 1 we + v0 )+ (ik2 + 1 Le) v1/2 k2 k1 2 v1/2 k1 + (w0 ε e 1 u1/2 + e v0 ) ik1 e w 1/2 e v0 eikt , e k2 2 v1/2 k2 ε (ik1 - 1 Le) v 1/2 k1 e k (v B(m) 0 1 e- ε Let , v0e 1 § ε Let k )= f B (t)e 1 § ε Let - 1 '\\" - 4 w1/2 r t ik1 e v1/2 eik1(s-t) v e 1 ds o × 0 - Les k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e 0 t e u1/2 r 1 × - ik2 t v 1/2 e 0 k e-ik2(s-t)v0 e- ε Lesds + 2 t + - ik2 e u1/2 r v1/2 k2 e e-ik2(s-t)v0 1 - ε Les e w1/2 r ds ik1 v1/2 k e eik1(s-t)v0 1 1 ds - ε Les = e 0 e 0 1 1 J ik1 ik2 = FB (t)e- ε Let - '\\" v0 v0 e-ikt + k 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m ε (ik1 - 1 Le) k1 ε (ik2 + 1 Le) k2 + ik2 v0 v0 ik1 eikt . Отсюда ε (ik2 + 1 Le) k2 1 1 ε k1 (ik1 - 1 Le) 1 1 1 Lk (v0e- ε Let)+ B(m)(v0e- ε Let, v0e- ε Let)= f B - ε Let L - ε Let k + 1 '\\" 1/2 J1 ik1 we k (t)e v0 (w0 + fk (t)e + 1 u 1/2 + e v0 )+ 2 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 k2 2 v1/2 k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 1 Le w1/2 o e ik2 e u1/2 + u0 - 1 ε e v0 e v0 e-ikt + k1 2 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 (ik2 + 1 Le) v1/2 k2 o e 1/2 o e 1/2 + 1 ik2 ue v0 (u0 1 we + v0 )+ (ik2 + 1 Le) v1/2 k2 k1 2 v1/2 k1 + w0 e 1 u1/2 - o e e Le 1 ε v0 ik1 w 1/2 e v0 eikt . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 e ε ε e Если добавить нелинейную часть 21 v1/2D+ 1 eikt +2 v1/2D- e-ikt, o e k,m o e k,m 1/2 1/2 I(m) k = - '\\" k (w0 + 1 ue k v0 )(u0 + 1 we v0 )e ikt + k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e 2 2 v1/2 2 e k1 2 v1/2 k1 1/2 1/2 '\\" - (u0 1 we + v0 )(w0 1 ue + v0 )e-ikt, получим v 2 k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m 1/2 k1 e v k2 2 1/2 k2 e I(m) 0 k + Lk (v 1 e- ε Let k )+ B(m)(v0 1 e- ε Let , v0e 1 § ε Let k )= f B (t)e 1 § ε Let k + f L(t)e 1 § ε Let k + J (m), 64 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ J (m) J 0 1 1 § Le w 1/2 e 0 e 1 u1/2 1 § Le ikt k = - '\\" uk - vk w0 - v0 e- + 1 2 (ik1 - 1 Le) v1/2 1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 1 Le o e u1/2 1 Le e ε w1/2 + w0 - ε e v0 u0 - ε e v0 eikt . k2 (ik2 + 1 Le) v1/2 k2 k1 (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 o e ε e 2. Секулярные члены k-моды перехода к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+). Секулярные члены перехода к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+) возникают из следующих членов: B(m) + -1 ikt - -1 -ikt + -1 ikt - -1 -ikt B k ((Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ), (Qk Tk (e t 1/2 r )+ Qk Tk (e )) = hk (t)+ 1 '\\" J we ik1(s-t) - -1 -ik1s - 4 k1+k2=k,k1,k2/=0 1 ik e v 1/2 e 0 t Qk1 Tk1 (e )ds × × - ik2 e u1/2 r ds e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s + v 1/2 e 0 t k2 k2 t + - ik2 e u1/2 r ds e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s) ik1 e w1/2 r ds eik1(s-t)Q- T -1(e-ik1s) = v 1/2 e 0 k2 k2 2 v 1/2 e 0 k1 k1 = HB (t) - 1 ε '\\" Q- Q+ e-ikt + Q- Q+ eikt e k в силу соотношений 4 v2 k1+k2=k,k1,k2/=0 k1 k2 k1 k2 t r -ik eik(s-t)Q- -1 ε -iks - -ikt k Tk (e 0 )ds = we Qk e - t r o d Q-T -1(e-ikt)+ 1 L Q-T -1(e-ikt) - 1 iku e-ik(s-t)Q-T -1(e-iks)ds , - we dt k k o e k k ε e k k 0 t r ε ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks + +ikt k Tk (e 0 )ds = ue Qk e - t o d Q+T -1(eikt)+ 1 L Q+T -1(eikt)+ 1 ikw r eik(s-t)Q+T -1(eiks)ds . - ue dt k k o e k k ε e k k 0 Здесь hB (t),HB (t) ∈ L2,γ (R+). k k Далее L(m) + -1 ikt - -1 -ikt L k (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )= hk (t) - 1/2 rt 1/2 1 '\\" J we ik eik1(s-t)Q- -1 -ik1s 0 1 ue 0 -ik2t - 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 u1/2 v 1/2 1 e 0 1/2 k1 Tk1 (e t r )ds e (wk2 + 2 v1/2 vk2 )e + + e (u0 1 we + v0 )e-ik1t - ik e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s)ds + v 1/2 k1 e e 2 v1/2 k1 t 2 k2 k2 0 e u1/2 r 1 w1/2 + - ik2 e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s)ds (u0 + e v0 )eik1t + v 1/2 e 0 k2 k2 e k1 2 v1/2 k1 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 65 w 1/2 + e (w0 1 u1/2 + e v0 )eik2t t ds ik r eik1(s-t)Q- T -1(e-ik1s) = HL(t)+ v 1/2 k2 e e 2 v1/2 k2 1 0 k1 k1 k 1/2 1/2 1/2 1/2 + 1 '\\" J1 we ε Q- (w0 + 1 ue v0 )+ ue (u0 + 1 we v0 ) ε Q+ e-ikt + 2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e v1/2 we k1 k2 e 2 v1/2 k2 v 1/2 k1 e e 2 v1/2 k1 ue k2 ε 1/2 1/2 1/2 1/2 + 1 ue Q+ (u0 1 we + v0 )+ we (w0 1 ue + v0 ) ε Q- eikt . e v1/2 ue k2 k1 e v 2 v1/2 k1 1/2 k2 e e 2 v1/2 k2 we k1 Если воспользоваться соотношениями локального равновесия 1 1/2 Q+ 1/2 1/2 1 0 1 § Le ue 0 k,m = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk ), Q- 1/2 1/2 1 0 e 1 w1/2 1 § Le 0 получим k = 2ve we o 2 v1/2 (ik (uk - e 1 - ε Le) vk ), 1/2 1/2 1/2 1/2 S- 1 '\\" 1 we ε - 0 1 ue 0 ue 0 1 we 0 ε + = k,m = 2 v1/2 w Qk1 (wk2 + 2 v1/2 vk2 )+ v1/2 (uk1 + 2 v1/2 vk1 ) u Qk2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e e 1/2 e e 1 Le e e 1/2 = '\\" 1(u0 1 we - ε v0 )(w0 1 ue + v0 )+ k1 2 v1/2 (ik - 1 Le) k1 k2 2 v1/2 k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e 1/2 ε 1 Le e u1/2 + (u0 1 we + v0 )(w0 - 1 ε e v0 ) . Далее e ε k1 2 v1/2 k1 v k2 2 (ik + 1 Le) 1/2 k2 e B(m) 1 0 - L2t + -1 ikt - -1 -ikt B,1 1 - L2t B,1 k (v e ε , (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) = fk (t)e ε 1/2 + hk (t) - 1 '\\" J ik1 we v0 e-ik1t × - 4 - (ik1 - 1 Le) v1/2 k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m ε e t × - ik2 e u1/2 r ds e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s) + v 1/2 e 0 t k2 k2 + - ik2 e u1/2 r ds e-ik2(s-t)Q+ T -1(eik2s) × v 1/2 e 0 ik1 k2 k2 w1/2 e × - (ik1 - 1 Le) v1/2 k v0 e-ik1t = 1 = FB,1 o e 1 L2t B,1 k (t)e- ε + Hk (t) - 1 '\\" J ik1 v0 ε Q+ e-ikt + - 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m ε (ik1 - 1 Le) k1 ue k2 + ε Q+ ik1 v0 e+ikt . Так же получим ue k2 ε (ik1 - 1 Le) k1 B(m) + -1 ikt - -1 -ikt 1 0 - L2t B,2 1 - L2t B,2 k ((Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ),v e ε )= Fk (t)e ε + Hk (t) - 1 '\\" J ε Q- ik2 v0 e-ikt + - 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m we k1 ε (ik2 + 1 L2) k2 66 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ + ik2 v0 ε Q- eikt . Отсюда ε (ik2 + 1 Le) k2 we k1 B(m) 1 0 - L2t + -1 ikt - -1 -ikt (m) + -1 ikt - -1 -ikt 1 0 - L2t k (v e ε , (Qk Tk (e )+ Qk Tk (e )) + Bk ((Qk Tk (e )+ Qk Tk (e ),v e ε )= = FB,1 1 L2t B,1 B,2 1 - L2t B,2 k (t)e- ε + Hk (t)+ Fk (t)e ε + Hk (t) - 1 '\\" J1 ik2 v0 ε Q- + ε Q+ ik1 v0 e+ikt + - 4 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m ε (ik2 + 1 Le) k2 we k1 ue k2 ε (ik1 - 1 Le) k1 + 1 ε Q- ik2 v0 + ik1 v0 ε Q+ e-ikt . Если we k1 ε (ik2 + 1 L2) k2 ε (ik1 - 1 Le) 1 k1 ue k2 1/2 Q+ 1/2 1/2 1 0 1 § Le ue 0 k,m = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk ), Q- 1/2 1/2 1 0 e 1 w1/2 1 § Le 0 k = 2ve we o 2 v1/2 (ik (uk - e 1 § ε Le) vk ), 1 R+ '\\" J ik2 0 ε Q- + ε Q+ ik1 0 = k,m = - 4 (ik + 1 L ) vk2 w k1 u k2 (ik 1 L ) vk1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m 2 ε e e e 1 - ε e 1/2 1/2 1 Le = - '\\" J 1 ue ik2 v0 u0 1 we o v0 + 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1 - 2 v1/2 (ik - 1 Le) k1 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e 1 Le u1/2 § e ε 1 w1/2 ik + w0 - 1 ε e v0 e 1 v0 . k2 2 (ik + 1 Le) v1/2 k2 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 Положим § e e 1/2 1 ε 1 u1/2 ik R- k,m = - '\\" k ( (u0 1 we o Le 1 0 e v + 2 k 1 vk ) 1 0 k1+k2=k,|k1|,|k2|=1,...,m e 1 - 2 v1/2 (ik - § Le) e 2 v1/2 (ik2 + § L2) 2 1/2 1 1/2 + 1 we ik1 v0 (w0 1 o Le ue v0 ) . 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 - 2 (ik + 1 Le) v1/2 k2 Отсюда e ε ε e k,m + Rk,m = S- 1/2 - 1 Le 1/2 = '\\" J(u0 1 we - ε v0 )(w0 1 ue + v0 )+ k1 2 v1/2 (ik - 1 Le) k1 k2 2 v1/2 k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e 1/2 ε 1 Le e u1/2 + (u0 1 we + v0 )(w0 - 1 ε e v0 ) - e ε k1 2 v1/2 k1 1/2 v k2 2 (ik + 1 Le) 1/2 1/2 k2 e - (u0 Le 1 we - 1 o v0 ) 1 ue ik2 v0 + v k1 2 1/2 e (ik - ε 1 Le) k1 v 2 1/2 e (ik2 + ε 1 L2) k2 e 1 w1/2 ik1 v0 (w0 - 1 Le u 1 1/2 o e v0 ) = - 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 2 (ik + 1 Le) v1/2 k2 e ε 1/2 1 Le o e 1/2 1 L2 =2 '\\" u0 1 we - o v0 1 ue w0 - o v0 . k1 2 v1/2 (ik - 1 Le) k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 L2) k2 k1+k2=k,k1,k2/=0 e ε e ε Отсюда следует, что J - - - + + + k,m + Sk,m + Rk,m = 0, Jk,m + Sk,m + Rk,m = 0, |k| = 1,..., m, О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 67 что соответствует выполнению уравнения секулярности (3.25) невозмущенной задачи для w1/2 1/2 1 w1/2 1 Q- e ve 0 e ε Le 0 (3.35) k =2 ε e uk - 2 v1/2 ik 1 vk , - ε Le 1/2 1/2 1/2 1 Q+ ue ve 0 1 ue o Le 0 . k =2 ε wk - 2 v1/2 (ik + 1 L ) vk e ε e 3. Секулярные члены нулевой моды перехода к однородным данным Коши. Чтобы закончить проверку принципа локального равновесия, проанализируем вывод секулярного уравнения нулевой моды (3.28). Так же, как выше, получим L0(v0e- ε Let)+ B0(v0e- ε Let, v0e- ε Let) = d(1) + f (t)e- Let, где 1 1 1 1/2 1 0 0 ε 1/2 d(1) 0 = '\\" k J(u0 + 1 we v0 ) ik2 1 ue v0 + k1+k2=0,k1,k2∈Z0 e 1 2 v1/2 ε k1 (ik2 - 1 Le) e 2 v1/2 k2 ik1 1 w1/2 1 u1/2 + e v0 (w0 + e v0 )+ (ik1 - 1 Le) 2 v1/2 k1 k2 2 v1/2 k2 1/2 o e 1/2 e 1/2 1/2 + (w0 1 ue + v0 ) ik1 1 we 2 ik v0 + 1 ue v0 (u0 1 we + v0 ) . e k2 2 v1/2 ε k2 (ik1 + 1 Le) 2 v 1/2 k1 e ε (ik2 + 1 Le) 2 v v 2 1/2 k2 k1 e 1/2 k1 e Тогда секулярный член уравнения нулевой моды (3.28) 0 D0 = d0 - d(1) = = '\\" 0 J u 1 w L 1/2 1 e ε e w0 v0 ( e 1 u1/2 1 o Le v0 + k1 - 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 - 2 v1/2 (ik2 - 1 Le) k2 k1+k2=0,k1,k2∈Z0 1/2 e 1 Le ε 1/2 e ε 1 Le + w0 1 ue - o v0 1 we u0 - o v0 . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 k1 2 v1/2 (ik1 + 1 Le) k1 e ε e ε 4. Секулярные члены нулевой моды перехода к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+). Секулярные члены нулевой моды перехода к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+) возникают из следующих членов: L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ k k k k + B0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt, Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)= h0(t)+ D(1), k k k k k k k k 0 0 D0(Q+, Q-)= D0 - D(1), 1/2 1 1/2 D(1) 1 '\\" J 0 1 we o Le v0 ε ue + 0 = 2 (uk1 - 2 v1/2 (ik 1 k1 ) u Q + v1/2 k k1+k2=0,k1,k2/=0 e 1 - ε Le) e e u 1/2 + e § Q+(u0 e 1 w1/2 - Le w 1 1/2 o v0 )+ e § Q- (w0 e 1 u1/2 - Le 1 ε v0 )+ v1/2 ue k k1 2 v1/2 (ik1 - 1 k1 v1/2 we k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 k2 e e ε Le) e e ε Le) 1/2 1 Le 1/2 ε 1 ε2 + (w0 3. ue - o v0 ) we Q- - '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 v1/2 we k 4. weue k1 k2 k2 k1 Здесь e ε e k1+k2=0,k1∈Z0 L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)= hL(t)+ k k 1/2 k k 1/2 0 1/2 1/2 + 1 '\\" J(u0 1 we + v0 ) ε ue Q+ + we ε Q- (w0 1 ue + v0 )+ 2 k1+k2=0,k1,k2/=0 v k1 2 v 1/2 e k1 ue v 1/2 k e v e 2 1/2 we k1 k2 1/2 k2 e 1/2 1/2 1/2 ε 1/2 + (w0 1 ue + v0 ) we o ue Q- + Q+(u0 1 we + v0 ) , e k2 2 v1/2 k2 e v1/2 we k e v1/2 ue k k1 e 2 v1/2 k1 68 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 1 1 B0((Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t), v0e- ε Let)= f B,1(t)e- ε Let + hB,1(t) - k1 k1 1 '\\" k1 k1 ( ε k 0 ik2 0 0 0 ik2 ε - 4 ik1 w Q- v + vk Q- , k1+k2=0,k1,k2/=0 1 e k1 ε k2 (ik2 + 1 Le) ε 2 (ik2 + 1 Le) we k1 1 B0(v0e- ε Let, (Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t)) = f B,2(t)e- ε Let + hB,2(t) - k k1 k1 k1 k1 0 0 1 '\\" 0 ( ik1 v ε Q+ + ε Q+ ik1 v0 . - 4 k1+k2=0,k1,k2/=0 ε (ik1 - 1 Le) k1 ue k2 ε ue k2 (ik1 - 1 Le) k1 В то же время имеем B0((Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt), (Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)) = hB (t) - k k k k 1 ε2 k k k k 0 '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . Суммируя, получим - 4 weue k1 k2 k1+k2=0,k1∈Z0 1 k2 k1 L0(Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)+ B0(v0e- ε Let, (Q+ T -1(eik1t)+ Q- T -1(e-ik1t)) + k k k k k k1 k1 k1 k1 + B0((Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt), (Q+T -1(eikt)+ Q-T -1(e-ikt)) = k k k k k k k k = hL(t)+ f B,1(t)e- 1 Let + hB,1(t)+ f B,2(t)e- 1 Let + hB,2(t)+ hB (t)+ 0 0 ε 0 1 '\\" J 0 ε 1/2 1 Le 0 0 1/2 e + 2 k1+k2=0,k1,k2/=0 (u e 0 1 we k1 - 2 v1/2 o ε (ik1 - 1 Le) v0 ) ε k1 ue u v 1/2 e k Q+ + 2 u 1/2 + e § Q+ (u0 e 1 w1/2 - Le w 1 1/2 § v0 )+ e § Q- (w0 e 1 u1/2 - Le 1 ε v0 )+ v1/2 ue k2 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 k1 v1/2 we k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 k2 e e ε Le) e e ε Le) 1/2 1 Le 1/2 ε 1 ε2 + (w0 1 ue - o v0 ) we Q- - '\\" Q- Q+ )+ Q+ Q- . k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 v1/2 we k1 2 weue k1 k2 k2 k1 e ε e k1+k2=0,k1∈Z0 k Для значений (Q+, Q-k), определяемых локальным равновесием k-мод Q+ 1/2 1/2 1 0 1 1 § Le u 1/2 e 0 k,m = 2ve ue ε 2 (ik + 1 Le) v1/2 (wk - o e vk ), (3.36) Q- 1/2 1/2 1 0 e 1 w1/2 1 § Le 0 Получим k = 2ve we o 2 v1/2 (ik (uk - e 1 - ε Le) vk ). 1 J 1 w1/2 1 Le ε u1/2 S0(Q+, Q-)= '\\" (u0 - e o v0 ) e Q+ + 2 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 ue v1/2 k2 k1+k2=0,k1,k2/=0 e ε e u 1/2 + e § Q+ (u0 e 1 w1/2 - Le w 1 1/2 § v0 )+ e § Q- (w0 e 1 u1/2 - Le 1 ε v0 )+ v1/2 ue k2 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 k1 v1/2 we k1 k2 2 v1/2 (ik2 + 1 k2 e e ε Le) e e ε Le) 1/2 1 Le 1/2 ε 1 ε2 + (w0 1 ue - o v0 ) we Q- - '\\" Q- Q+ + Q+ Q- = k2 2 v1/2 (ik2 + 1 Le) k2 v1/2 we k1 2 weue k1 k2 k2 k1 e ε e 1/2 1 Le k1+k2=0,k1∈Z0 1 Le u1/2 = '\\" J(u0 1 we - ε v0 )(w0 - 1 ε e v0 )+ k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 k2 2 (ik + 1 Le) v1/2 k2 k1+k2=0,k1,k2/=0 e 1 Le ε u1/2 1/2 o e 1 Le + (w0 - 1 ε e v0 )(u0 1 we - ε v0 ) . k2 2 (ik + 1 Le) v1/2 k2 k1 2 v1/2 (ik1 - 1 Le) k1 Отсюда o e e ε D0 = D0 - S0(Q+, Q-)= 0. О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 69 Таким образом, пара (3.36) есть решение последнего уравнения (3.28) (секулярного уравнения нулевой моды). Это завершает сведение задачи Коши (3.8), (3.16) к интегральному уравнению в гильбертовом пространстве L2,γ (R+) 1 zk = e- ε Let(F (m)(t)+ F (m)(t)) + H(m)(t)+ H(m)(t) - (3.37) k,L k,B k,B k,B - εv1/2 U(m)(T -1(z(m))) + B(m)(T -1(z(m)),T -1(z(m))) , |k| = 1,..., m, e k k k k t 3 1/2 r k 1 Le(s-t)Г 2 (1) z0 = - 2 εve e ε 0 z0z0 - 1 l 3 + L0 (T -1(z)) + B0(T -1(z),T -1(z) + f0(s)e- ε Les + h0(s) ds. k 1 2. Возмущенная задача. Возмущение задачи (3.8), (3.16) определяется Tadd(v), где |k| = 1,..., m. Для vk = y(m) + v0e- ε t, y(m) = T -1(Q+ eikt )+ T -1(Q- e-ikt )+ T -1(z (m) ) имеем k k k Tadd k (m) k,m add k add k,m k k k (v )= v0Tk,m + v0Tk,m , (3.38) add 1 1 0 - Let (m) Tk.m = 2 (vke ε + yk )+ 1 w1/2 1/2 1 Le 1/2 1 + e (w0 - 1 ue o v0)eikt + ik 1 ue v0e- ε Let - 2 v1/2 k 2 v1/2 (ik + 1 k 1 v1/2 k e e ε Le) 1 u1/2 r t e -ik(s-t) (ik + ε Le) 2 e (m) e - ik 2 v1/2 e 0 yk ds + 1/2 r t e 1 u1/2 + 1 w 1/2 (u0 + e v0)e-ikt + ik 1 we eik(s-t)v0 1 - Les e 2 v1/2 e k 2 v1/2 k t 1 w1/2 r e 2 v1/2 0 ke ε ds + + ik e e 2 v1/2 0 k eik(s-t)y(m)ds . 3. Нелинейное уравнение в L2,γ (R+). Приемы и методы доказательства существования глобального решения нелинейного уравнения в пространстве (L2,γ (R+; Hσ,m))2m пунктов раздела об уравнении Карлемана переносятся на уравнение (3.29). Рассмотрим итерации X(j) (0) k - Xk = (3.39) = -εv1/2 U(m)(T -1(X(j-1))) + B(m)(T -1(X(j-1)),T -1(X(j-1))) , e k k k t k k k k k X(j) 3 1/2 r 1 Le(s-t)Г (j-1) (j-1) 2 (1) 0 = - 2 εve e ε 0 X0 X0 - 1 l 3 + L0 (T -1(X(j-1))) + B0(T -1(X(j-1)),T -1(X(j-1)) + f0(s)e- ε Les + h0(s) ds, X(0) 1 Let (m) (m) (m) (m) k = e- ε Сформулируем результаты: (Fk,L (t)+ Fk,B (t)) + Hk,B (t)+ Hk,B (t). Теорема 3.2. Пусть σ > 1, и существует q ∈ (0, 1), не зависящие от m, σ, ε, такое, что E(m) ε 0 0 0 (m) ∗ = √γ cσ (m) |||u |||Hσ,m + |||w (0) |||Hσ,m + |||v |||Hσ,m + (3.40) |||Q+ |||Hσ,m + |||Q- |||Hσ,m + 2 X L2,γ (R+;Hσ,m) q, q ∈ (0, 1). 70 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ Тогда для любого j 1 справедлива оценка ε 2cσ (m) 2γ (X(j) - X(0))(t) L (R+;Hσ,m √γ E 1 - q ∗ X(0) L 2,γ (R+;Hσ,m ). (3.41) Теорема 3.3. В условиях теоремы 3.2 последовательность X(j) фундаментальна в пространстве L2,γ (R+; Hσ,m), если где (m) E∗ q1, q1 ∈ (0, 1). (m) ε 0 0 0 (m) (m) E∗ = √γ cσ |||u |||Hσ,m + |||v |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q+ |||Hσ,m + |||Q- |||Hσ,m + . + X(j-1) L 2,γ (R+;Hσ,m ) + X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m ) + 2 X(j-1) - X(l-1) L 2,γ (R+;Hσ,m) Таким образом, справедлива Теорема 3.4. Пусть σ > 1. В условиях теоремы 3.2 существует единственное решение Zm ∈ L2,γ (R+; Hm,σ ) нелинейного уравнения (3.29), если ε J 0 0 0 (m) (m) √γ cσ |||u |||Hσ,m + |||v |||Hσ,m + |||w |||Hσ,m + |||Q+ |||Hσ,m + |||Q- |||Hσ,m + (3.42) ε 2cσ (m) (0) + 6(1 + √γ E ) X 1 - q ∗ L2,γ (R+;Hσ,m) q1 < 1. Теорема 3.5. Построенное в теореме 3.4 решение нелинейного уравнения (3.29) определяет аппроксимацию 2,γ (u(m)(x, t), v(m)(x, t), w(m)(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ,m) 2,γ решения задачи Коши (3.3), в том смысле, что в W 1 (R+; Hσ ) 2,γ (u(m)(x, t), v(m)(x, t), w(m)(x, t)) → (u(x, t), v(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ), где (u(x, t), v(x, t), w(x, t)) - решение задачи Коши (3.3). 4. Интегродифференциальный оператор. Теперь исследуем задачу Коши для линеаризованного оператора t d 1 1 r ik(s-t) ik(s-t) Tk (zk )= dtzk + ε Le zk - εik 0 uee- - wee zkds = fk (t), (3.43) k для f ± = e±ikt и fk ∈ L2,γ (R+). zk |t=0 =0 Сделав преобразование Лапласа, получим σ(p, k)L(zk )(p)= L(fk )(p) =⇒ L(zk )(p)= L(fk )(p) , σ(p, k) σ(p, k)= p + 1 § Le - 1 § ik ue 1 p - ik § we 1 = p + ik ε ε p(p2 + k2)+ 1 Le(p2 + k2)+ 1 ik ue(p + ik) - we(p - ik) = = 1 1 (p + ik)(p - ik) P3(p, k) p2 + k2 , P3 = p3 + Lep2 + k2p + ε ε 4vek2 - 1 oik(ue - we)p. Нам нужны оценки символа σ(p, k; ε) снизу. Ниже мы приведем результаты, касающиеся свойств символа σ(p; ε, k) оператора Tk и прежде всего условий его строгой устойчивости, когда корни σ(p) = 0 находятся в левой полуплоскости Re p < -μ0ε0 параметра p ∈ C для некоторого μ0 ∈ (0, 1). Лемма 3.2. Существует достаточно малое μ∗ > 0, не зависящее от ε и k ∈ Z0, такое, что функция 1/σ(p, k) аналитична по p в полуплоскости Re p -εμ∗ ∀k ∈ Z0. О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 71 0. Полином P3 для p = iy, y ∈ R, P3(iy)= -iy3 + ik2y - 1 Ley2 + ε 1 ε 4vek2 - 1 § k(ue - we)y = 0, 1 - Le Re P3(iy)= y2 + 1 L k(ue - we)y - e 4ve Le k2 = 0, Im P3(iy)= -y(y2 - k2)= 0. a). Если y = ±|k|, б). Если y = 0, - Re P3(iy)= k2 ue + we ± (ue - we) /= 0, k ∈ Z0. 1 2 P3(0) = ε 4vek /=0 k ∈ Z0. Таким образом, P3 /=0 на мнимой оси (Re p = 0). 1. В то же время, σ(p, k) 1 1 =1 + Le ik 1 1 + ue - we 1 = p ε p ε p(p - ik) p(p + ik) =1 + 1 1 § Le p + 1 § ue( 1 (p - ik) 1 § p )+ we( 1 1 (p + ik) - p ) = где =1 + 1 1 § (Le - ue - we) p + 1 § ue 1 (p + ik) + we 1 , (p - ik) тогда Le - ue - we = 4ve > 0, Re σ(p, k) =1 + 1 Re p (L 1 1 e - u - w ) + u + w e 1 1, p если Re p 0. o e e e |p|2 |p + ik|2 |p - ik|2 Отсюда следует, что σ(p, k) /= 0, Re p 0 ∀k ∈ Z0 1 3. p = x + iy, y ∈ R,, x = -εμ, μ = O(1) > 0 =⇒ x3 + Lex2 = O(ε) ε Re P3 = x3 + 1 ε Lex2 - ( 1 1 Le + 3x)y2 +( § ε 4ve + x)k2 - 1 § k(ue - we)y = 1 2 (4ve + εx) 2 (ue - we) (εx + Le)x2 = -( ε Le + 3x) y - (Le k + 3εx) + (Le - ky + 3εx) (Le , + 3εx) Im P3 = - Положим y = kz, |k| 1. Тогда y2 - (k2 + 3x2 + 1 o 2Lex) 1 y + εk(ue - we)x. 1 ε Re P3 = -k3( Le + 3x) z2 + (ue - we) z (Le + 3εx) - (4ve + εx) (Le + 3εx) (εx + Le)x2 - k2(Le + 3εx) = 0, если Im P3 = -k2 z3 - (1 + ε (3x2 + 1 2Le)x k2 )z + 1 x (ue - we) o k2 = 0, Q2(z, ε)= z2 + (ue - we) z (Le + 3εx) - (4ve + εx) (Le + 3εx) - (εx + Le)x2 k2(Le + 3εx) = 0, Q3(z, ε)= z3 - (1 + где x = -εμ. Невозмущенные по ε ε (3x2 + 1 2Le)x k2 )z + 1 x (ue - we) § k2 = 0, Q2(z, 0) = z2 + - (ue - we) z Le 4ve Le = 0, Q3(z, 0) = z3 - (1 - 2μLe k2 )z - μ(ue - we) k2 = 0. Невозмущенные по μ корни Q3(z, 0): ± z0 = 1, z0 = 0, ± 72 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ где 2 L Q (0) = - 4ve e 1 L , Q2(1) = e 1 e e e e L (L + (u - w ) - 4v )= 2ue e 2we /= 0, L Q2(-1) = e L (Le - (ue - we) - 4ve)= e /= 0. Отсюда следует существование достаточно малого μ∗ > 0, не зависящего от ε, такого, что |P3(x + iy)| c∗ > 0 ∀y ∈ R, x ∈ [-εμ0, 0] что влечет аналитичность 1/σ(p, k) в полуплоскости Re p -εμ∗. Теперь уточним полученную выше оценку. Лемма 3.3. Существуют положительные μ0 ∈ (0, 1), c0 > 0 такие, что равномерно по k ∈ Z0 sup 1 p 1 c , (3.44) 1 1 0 Re p -μ0ε, k∈Z0 1 σ(p, k) 1 Доказательство. Для этого оценим снизу модуль функцию Zk (p)= σ(p, k)/p. 0. Как мы показали выше, o Re Zk (p)= ε + Re p (ue + we) 1 (Re p)2 + (Im p + k)2 + 1 1 Откуда следует, что + (ve + ue)(Re p)2 + (Im p - k)2 + 4ve (Re p)2 + (Im p)2 . Re Zk (p) 1, Re p 0. 1. Теперь посмотрим на поведение |Zk (p)| вне окрестности мнимой оси. k 1 2 1 1 а). Вне полюсов p = 0, ±k функции |Z (p)|, для μ ∈ (0, 1 ), если | Im p| μ , | Im p - k| μ , | Im p + k| μ1, k 1, имеем 1 2 1 1 |ε Re Zk (p)| ε - μ2 | Re p|(μ1(10ve + we)+ (ve + ue) ε - μ2 | Re p|(11ve + ue + we) > 2 ε 1 при условии, что 1 1 1 2 e | Re p| 2 (11v + ue μ1ε. + we) б). В случае | Im p - k| μ1, | Re p| μ2ε имеем 1 1 1 σ(p, k) 1 |p||p + k | |P3(p, k)| (| Re p|2 + 4k2 - μ3)1/2(| Re p|2 + k2 - μ3)1/2 1 1 c0(|p|2 + k2 1 (| Re p|2 + μ2)1/2, если в этой области |P3(p, k)| c0(|p|2 + k2), что есть следствие следующей леммы: Лемма 3.4. Существуют μ1, 0 < μ1 < 0; c0 > 0 такие, что равномерно по k ∈ Z0 имеем |P3(p, k, ε)| c0(|p|2 + k2), Re p -μ1ε. (3.45) Доказательство. 2. Начнем с области {κ0 Re p > | Im p|}. Здесь оценим главную часть символа P3(p, k, ε). Покажем, что в этой области |p(p2 + k2)| c1(|p|2 + k2) при |p| c0 для достаточно большого c0 = c0(κ0) » 1. Положим p = y(±i + μ), y R0, μ κ0. Рассмотрим три случая: min(|y - k|, |y + k|) δk, |y - k| δk и |y + k| δk, где 0 <δ < 1, k 1 (случай целых k -1 исследуется так же). В первом случае справедливы следующие неравенства |p(p2 + k2)| = |y||i + μ|(μ2y2 + δ2k2) 2 |y||i + μ| min(δ2, μ 2 )(|p|2 + k2) R (1 + μ2)1/2 min(δ2, μ )(|p|2 + k2). 1+ μ2 0 1+ μ2 О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 73 Во втором случае |y| (1 - δ)k имеем |p(p2 + k2)| |y|(1 + μ2)1/2μ|y|(μ2y2 + (2 - δ)2k2)1/2 1 2 2 1/2 2 1/2 2 1/2 2 2 2 R0μ(min(μ , (2 - δ) ) min((1 + μ ) , (1 + μ ) (1 - δ))(|p| + k ). Теперь выберем R0 = R0(κ0) из условия R0 min 1 min (1 + μ2)1/2 min(δ2, μ κ0 1 μ2 1+ μ2 ), 2 (min(μ2, (2 - δ)2)1/2 min((1 + μ2)1/2, (1 + μ2)1/2(1 - δ)) 1 ε (4ve + we + ue) max 2 1 1p + ik (ue - we) p + 4k 1. 2 ve 1 |p| +k =1 1 (4ve + we + ue) (4ve + we + ue) 1 2 2 Третий случай рассматривается аналогично. 3. Теперь рассмотрим случай | Im p| κ0| Re p|, и | Re p| μ1ε. Напомним, что все оценки проводятся для |k| 1. a). Начнем со случая Re p = 0. Тогда Im(P3(p, k; ε))|Re p=0 = Im p(k2 - (Im p)2)2, 3 Re p=0 ε Re(P (p, k; ε))| = 1 (4ve + we + ue)(Im p)2 + k(ue - we) Im p - 4k2ve Пусть для определенности k 1. Рассмотрим три случая, когда Im p - k δk, k (1 - δ) Im p 0 или | Im p - k| δk. В первом случае | Im p(k2 - (Im p)2)2| 1 [ 1 δk| Im p| (| Im p| + (2+ δ)k)+ δ2| Im p|k2] 1 min( 1 δ, δ2)(| Im p|2 + k2) 2 2 2 2 Во втором случае используем тот факт, что при условии | Im p ± k| δ|k|, 0 <δ < 1 так же, как выше, имеем 2 | Im p(k2 - (Im p)2)2| δ2| Im p| k2 1 δ2| Im p|(1 - δ)2(k2 + | Im p|2). Отсюда следует, что для | Im p| c1 справедливо неравенство | Im p(k2 - (Im p)2)2| 1 δ2c |(1 - δ)2(k2 + | Im p|2). 2 1 В третьем случае | Im p| (1 - δ)k, Im p (1 + δ)k и 1 2 | Re(P3(p, k; ε))||Re p=0 ε [2ue - (4ve + we + ue)(2 + δ)δ - |ue - we|δ)]k 1 2 1 2 -2 2 1 -2 2 2 εuek 2εue(k + (2+ δ) | Im p| ) 2εue(2 + δ) (k + | Im p| ) для достаточно малого δ. В то же время для достаточно малого c1 при | Im p| c1 1 2 | Re(P3(p, k; ε))||Re p=0 = ε |4ve + we + ue)(Im p) Следовательно, + k(ue - we) Im p - 4k2 1 2 ve| εk ve, |k| 1. |P3(p, k; ε)||Re p=0 c0(k2 + | Im p|2), | Im p| 0, |k| 1. Отсюда следует существование достаточно малого μ1 > 0 такого, что |P3(p, k; ε)| c0(μ1)(|p|2 + k2) для | Im p| κ0| Re p|, | Re p| μ1ε. б). Теперь рассмотрим случай | Im p| > κ0 Re p, Re p μ1ε. Заметим, что корни полинома (4ve + we + ue)p2 + ik(ue - we)p + 4k2ve = (4ve + we + ue)(p - p+)(p - p-)=0 74 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ чисто мнимые: p± = i k 2(4ve + we + ue) (-(ue - we) ± /(ue - we)2 + 16ve(4ve + we + ue)) = ikh±. Положим p = kz, B = 1 (4v o e + we + ue). Тогда P3(p, k, ε)= k2 k z(z + i)(z - i)+ B(z - ih+)(z - ih-) . Рассмотрим случай Ω+ = {Im p > κ0 Re p, Re p μ1ε} (случай Im p < -κ0 Re p, Re p μ1ε рассматривается аналогично). В Ω+ имеем 1 |z(z + i)(z - i)| μ1ε|z|(|z|2 + 1)1/2 √ μ2ε2(|z|2 + 1). 2 1 Отсюда 1 k |P3(p, k, ε)| k2 2 1 √ μ2ε2(|z|2 + 1) - -B max(1, |h-|)(|z| + 1)2 c0k2(|z|2 + 1) = c0(|p|2 + k2) для достаточно большого |k| 2√2B max(1, |h-|)(μ1ε)-2. Теперь рассмотрим случай | Im p| > κ0 Re p, Re p μ1ε и 1 |k| k0. Тогда |P3(p, k, ε)| = k3|(z + i)(z - i)| |z + B 1 (z - ih+)(z - ih-) k (z + i)(z - i) | 1 2 √2 μ1ε(|z| Очевидно, что в области Ω+ 1 + 1) |z + k B (z - ih+)(z - ih-) (z + i)(z - i) | Отсюда min |z + z∈Ω+ B 1 (z - ih+)(z - ih-) k (z + i)(z - i) | = c1 > 0. 1 2 |P3(p, k, ε)| c1 √2 μ1ε(|z| k2 √2 1 + 1) c1 1 μ ε(|p|2 0 + k2). Суммирование полученных оценок приводит к неравенству (3.45). 5. Разрешимость интегродифференциального уравнения. Исследуем следующую задачу Коши: d dtyk + 1 § Le yk - A(k, ε)yk = fk (t)+ hk (t), (3.46) vk |t=0 = 0, t 1 r A(k, ε)yk = ik ε 0 [eik(t-s) ue - e -ik(t-s) we]ykds. Здесь fk (t) ∈ L2,γ (R+) для γ = -μ0ε, 0 < μ0 < 1 и hk (t) линейная комбинация экспонент -k hk (t)= ηkeikt + η e-ikt, η±k - постоянные. Норму весового пространства g(t) ∈ L2,γ (R+) определим следующим образом r∞ g(t) 2 L2,γ (R+) = 0 | e-2γt g(t)|2.dt О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 75 Теорема 3.6. Пусть функция fk ∈ L2,γ (R+) и hk = 0. Тогда задача (3.46) однозначно разре- 2,γ шима в пространстве W 1 (R+) и для ее решения справедлива равномерная по k оценка yk W 1 2,γ (R+) + Akyk L2,γ (R+) d0 fk L2,γ (R+) (3.47) с постоянной d0, не зависящей от k и fk, к тому же yk |t=0 = 0. W 1 Если fk = 0 и hk /= 0, тогда задача (3.46) также однозначно разрешима в пространстве 2,γ (R+), справедлива равномерная по k оценка yk W 1 2,γ (R+) -k d0(|ηk |2 + |η 2 1/2 | ) (3.48) с постоянной d0, не зависящей от k и ηk, η-k. Также yk |t=0 = 0. Однако в этом случае Akyk не принадлежит L2,γ (R+). Имеем Akyk ∈ L∞(R+). Сделав преобразование Лапласа по t, получим [p + 1 o (4ve + we + ue)+ ε ik 1 p - ik ue - ε ik 1 p + ik we]yk (p)= f k (p)+ h k (p). Символ σ(p) = P3(p, k)/(p2 + k2). Формально преобразование Лапласа по t решения уравнения (3.46) можем записать в виде: k y (p, k)= + (p2 + k2)(f k (p)) P3(p, k) (p2 + k2)h k (p) P3(p, k) , Re p> 0. (3.49) Чтобы получить оценки этого решения в соболевских нормах, приведем сначала широко известные факты, которые мы будем использовать в дальнейшем. Определение. Назовем пространством Харди H2(Re p > γ, H) класс вектор-функций f-(p) со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве H, голоморфных в полуплоскости {p ∈ C : Re p> -γ < γ > 0}, для которых +∞ r sup x>-γ 2 f (---x + iy) Hdy < ∞, p = x + iy. -∞ Сформулируем теорему Пэли-Винера для пространств Харди. Теорема 3.7 (Пэли-Винер). 1. Пространство H2(Re p > γ, H) совпадает с множеством вектор-функций (преобразований Лапласа), допускающих представление r∞ 1 f-(p)= √2π 0 для f (t) ∈ L2,γ (R+,H), p ∈ C, Re p> -γ. ept f (t)dt (3.50) 2. Для любой вектор-функции f-(p) ∈ H2(Re p > -γ, H) существует единственное представление (3.50), где вектор-функция f (t) ∈ L2,γ (R+,H), причем справедлива формула обращения 1 r∞ f (t)= √2π -∞ - e(-γ+iy)tf ( ---γ + iy)dy, t ∈ R+, γ > 0. 3. Для вектор-функций f-(p) ∈ H2(Re p > -γ, H) и f (t) ∈ L2,γ (R+,H), связанных соотношением (3.50), справедливо равенство +∞ 2 r 2 ∞ r -2γt 2 2 f H2(Re p>γ,H) ≡ sup x>-γ -∞ f (---x + iy) Hdy = e 0 f (t) N dt ≡ f L2(R+;H). 76 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ yk Начнем с доказательства первой части теоремы 3.6. Если мы установим, что функция в (3.49) такова, что p , и A принадлежат пространству Харди f-(p) ∈ H (Re p > γ) при некотором yk yk kyk 2 d γ ∈ R, то по теореме Пэли-Винера функции yk и Akyk принадлежат пространству L2,γ (R+) и, dt 2,γ W 1 следовательно, yk (t) ∈ W 1 (R+). Отсюда следует разрешимость уравнения (3.46) в пространстве 2,γ (R+). Здесь yk W 1 2,γ (R+) + Akyk L2,γ (R+) d0 Tkyk L2,γ (R+). Вторая часть теоремы 3.6 связана со случаем, когда правая часть не принадлежит L2,γ (R+). Преобразование Лапласа h k (p)= η + k p - ik η - + k p + ik имеет чисто мнимые полюса p = ±k. Однако, решение задачи (3.46) для fk =0 γ+iR yk (t) = lim R→+∞ 1 r √ 2π γ-iR -k Σ(p, k, ε)-1[(p + ik)η + (p - ik)ηk ] eptdp -k для γ -μ0ε, поскольку Σ(p, k, ε)-1[(p + ik)η -μ0ε, , где + (p - ik)ηk ] аналитично в полуплоскости Re p 2 -k Σ(p, k, ε)-1[(p + ik)η + (p - ik)ηk ] H2(Re p>γ,H) = = sup x>γ +∞ r -k |Σ(p, k, ε)-1[(p + ik)η + (p - ik)ηk ]|2dy ∞. -∞ Отсюда получаем, что для -με < γ < 0 имеем γ+iR d yk (t) = lim dt R→+∞ 1 r √ 2π γ-iR -k pΣ(p, k, ε)-1[(p + ik)η + (p - ik)ηk ] eptdp, поскольку в силу оценки (3.44) для -μ0ε γ r∞ sup p=Re p+ix, Re p γ 1 1pΣ(p, k, ε)-1[(p + ik)η 1 - k + (p - ik)ηk ]|2dx c0(|ηk |2 + |η 2 -k | ). -∞ Отсюда следует, что равномерно по k yk W 1 2 2,γ (R+) 2 c∗(|ηk | -k + |η |2), (3.51) более того, yk (0) = 0 в силу оценки символа Σ(p, k, ε). Имеем sup 1 r∞ 1pΣ(p, k, ε)-1[(p + ik)η- + (p - ik)η+]|2dx c1(1 + | Re p|2)-1/2 → 0 p=Re p+ix, Re p γ 1 k k -∞ при Re p → +∞. Замечание 3.1. В чем проблема существования глобального решения усеченной системы (3.12)? Как в самой системе (3.12), так и при переходе к однородным данным Коши, к системе (3.16), в правой части k-моды возникают осцилляции D+eikt, D-e-ikt и D+eikt, D-e-ikt k k k k соответственно, которые определяют часть решения (3.20) задачи Коши y(1) + -1 ikt - -1 -ikt k = Qk Tk (e )+ Q T (e ). -k -k О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 77 Теперь заметим, что t r -ik eik(s-t)Q- -1 ε -iks - -ikt + k Tk (e 0 t r )ds = we Qk e ε + hk (t), (3.52) ik e-ik(s-t)Q+ -1 iks + +ikt k Tk (e 0 )ds = ue Qk e , k где в силу свойств оператора T -1 функции h+ ε d 1 -ikt 1 - -1 -ikt k (t)= - w ε Q-T - (e dt )+ Le Q T (e ) - k k k k e t 1 r ik(s-t) - -1 -iks - εikue e- 0 Qk Tk (e )ds ∈ L2,γ (R+), h- ε d + -1 ikt 1 + -1 ikt u k (t)= - e t Q T (e dt k k e )+ L Q T (e )+ o k k 1 r + ikwe eik(s-t)Q+ -1 iks Но интегралы o k Tk (e 0 t r )ds t r ∈ L2,γ (R+). k ds, -ik ik e-ik(s-t)y(1) 0 0 eik(s-t) k y(1)ds входят в нелинейную часть уравнения (3.16) и порождают также секулярные члены. Последнее и приводит к условию секулярности (3.28) как условию сведения уравнения (3.16) к интегральному уравнению в весовом пространстве L2,γ (R+), т. е. аннулированию секулярных членов. 6. Существование. Суммируя полученные результаты, по аналогии с приведенными выше результатами для уравнения Карлемана, можно показать, что Теорема 3.8. Пусть равномерно по m выполнены условия теорем 3.2-3.6 на вещественнозначные начальные данные. Тогда существует глобальное вещественнозначное решение задачи Коши для системы (3.3) Действительно, как мы показали выше, для вещественных начальных данных из окрестности k состояния равновесия существует Фурье-решение uk, vk, wk,k ∈ Z. Рассмотрим разность uΔ = uk - , vΔ = vk - vk, wΔ = wk - wk,k ∈ Z, которая удовлетворяет однородной задаче Коши для uk k системы k u1/2 d Δ 1 1/2 Δ 1/2 Δ 1/2 Δ e ( dt + ik)uk + ε (weue uk + uewe wk - 2veve vk )= 0, (3.53) w1/2 d Δ 1 1/2 Δ 1/2 Δ 1/2 Δ e ( dt - ik)wk + ε (weu uk + uewe wk - 2veve vk )= 0, 1 1/2 d Δ 1 1/2 Δ 1/2 Δ 1/2 Δ - 2 ve dt ε vk + (weue uk + uewe wk - 2vev vk )= 0, uΔ Δ Δ k (0) = vk (0) = wk (0) = 0. k Также как выше, сводим к системе уравнений для vΔ. Для нулевой моды имеем e 1 v1/2 uΔ vΔ Δ e Δ 1 v1/2 e 0 = - 2 u1/2 e k , wk = - 2 w1/2 vk , 78 О. А. ВАСИЛЬЕВА, С. А. ДУХНОВСКИЙ, Е. В. РАДКЕВИЧ 1 d vΔ Δ 0 Отсюда следует, что vΔ ≡ 0. dt 0 + ε Levk = 0, (3.54) vΔ 0 (0) = 0. Для старших мод e 1 v1/2 uΔ vΔ 1 v1/2 r t e e-ik(t-s) d Δ e k = - 2 u1/2 e k k + ik 2 u1/2 1/2 0 t 1/2 r v ds, dt wΔ 1 ve Δ 1 ve ik(t-s) Δ k = - 2 w1/2 vk - ik 2 w1/2 e vk , e e 0 d 1 vΔ Δ Δ dt k + ε Levk + Tkvk = 0, (3.55) vΔ k (0) = 0. k Из обратимости оператора Tk в классе L2,γ (R+) следует, что vΔ ≡ 0. Таким образом, решение задачи Коши для системы (3.16), (3.8) с вещественнозначными начальными условиями является вещественнозначным. Как следствие этой теоремы получаем, что аппроксимационное решение 2,γ (u(m)(x, t), v(m)(x, t), w(m)(x, t)) → (u(x, t), v(x, t), w(x, t)) ∈ W 1 (R+; Hσ ) (3.56) стремится к решению (u(x, t), v(x, t), w(x, t)) задачи Коши (3.3). Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.8 существует глобальное вещественнозначное решение задачи Коши для системы (3.1), стабилизирующееся экспоненциально быстро к состоянию равновесия. 1. ВЫВОДЫ Приведенные исследования принципа локального равновесия двух моделей дискретных кинетических уравнений показывают универсальность предлагаемых методов для исследования моделей типа Броудела. Позднее мы опубликуем исследование еще двух моделей: двумерной модели Броудела и трехмерной модели Годунова-Султангазина [3]. Для этих моделей справедлив принцип локального равновесия, когда на больших временах задачи Коши с ограниченной энергией распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающих дисперсионных волн [3]. Более того, мы имеем экспоненциальную стабилизацию к состоянию равновесия с показателем γ = O(ε) > 0. Переход от периодических начальных данных к L2-теории на всей прямой будет опубликован позднее. Рис. 1а Рис. 1б w На рис. 1а слева направо графики w(x, t) = 1 + (x, t) для значений t1 = 0 (синий), t2 = 0,05 u( (красный), t3 = 0,1 (зеленый), на рис. 1б соответственно справа налево графики u(x, t)= 1+ x, t) для тех же значений t; здесь ε = 0,1; v( На рис. 2а слева направо графики v(x, t) = 1 + x, t) для значений t1 = 0 (синий), t2 = 0,25 (красный), t3 = 0,5 (зеленый), на рис. 2б соответственно справа налево графики u(x, t) = 0,5+ u(x, t) для тех же значений t; О ПРИРОДЕ ЛОКАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УРАВНЕНИЙ КАРЛЕМАНА И ГОДУНОВА-СУЛТАНГАЗИНА 79 Рис. 2а Рис. 2б Рис. 2в w На рис. 2в соответственно справа налево графики w(x, t) = 2 + (x, t) для тех же значений t; здесь ε = 0,02. Мы представили результаты численного счета решений задачи Коши для системы (1.1) с непериодическими начальными данными ограниченной энергии в L2(R): u0 ≡ 1 и w0 = 1 + w(x), г∞ wdx =0 (см. рис. 1). -∞ Второй численный пример (см. рис. 2) касается задачи Коши для системы (1.2) с непери- 1 ≡ одическими начальными данными ограниченной энергии в L2(R): u(0, x) ≡ г∞ , w(0, x) 2 и 2 v(0, x)=1 + v0(x), -∞ v0dx = 0.