Магнитный оператор Шредингера с точки зрения некоммутативной геометрии

Аннотация

Мы приводим интерпретацию магнитного оператора Шредингера в терминах некоммутативной геометрии. В частности, спектральные свойства оператора переформулируются в терминах C∗-алгебры. Используя эту переформулировку, можно применять такую технику некоммутативной геометрии, как когомология Хохшильда, к изучению свойств магнитного оператора Шредингера. Показано, что эта идея может быть применена к целочисленному квантовому эффекту Холла.

Полный текст

В этой статье мы даем интерпретацию магнитного оператора Шредингер в терминах некоммутативной геометрии (см., например, [3]). Другими словами, мы переформулируем некоторые основные свойства этого оператора в терминах C∗-алгебры линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Данную переформулировку можно рассматривать как вариант некоммутативной теории Блоха. Попытки построить такое обобщение классической теории Блоха уже предпринимались (см., например, [4]). В нашем подходе мы в основном следуем Шубину и др. [6]. Используя эту переформулировку, можно применять такую технику некоммутативной геометрии, как когомология Хохшильда, к изучению свойств магнитного оператора Шредингера. В качестве приложения рассматривается целочисленный квантовый эффект Холла, демонстрирующий квантование проводимости Холла при очень низких температурах (около абсолютного нуля). В терминах некоммутативной геометрии квантование проводимости Холла означает целочисленность некоторого циклического коцикла Хохшильда. Приведем краткое описание работы. В разделе 2 мы кратко опишем классическую теорию Блоха для периодического оператора Шредингера (см. более полное изложение в [2]). В разделе 3 мы вводим магнитный оператор Шредингера, инвариантный относительно магнитных сдвигов. Эти сдвиги порождают проективное представление дискретной группы симметрий. В разделе 4 дается интерпретация этого оператора в терминах C∗-алгебры наблюдаемых. В разделе 5 мы вводим цикличную когомологию Хохшильда и строим замкнутые коциклы Хохшильда на алгебре наблюдаемых. В заключительном разделе 6 мы показываем, как предложенная конструкция может быть применена к дискретному квантовому эффекту Холла. Данная работа частично поддержана грантом РФФИ 13-01-00622, программой ведущих научных школ (НШ-2928.2012.1), а также научной программой Президиума РАН «Нелинейная динамика». ∗c 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 192 МАГНИТНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 193 1. КРАТКО О НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основы некоммутативной геометрии лежат в коммутативных банаховых алгебрах и их связях с топологией, определенной Гельфандом, Наймарком, Шиловым, Мазуром и другими математиками в середине XX в. Центральной идеей их подхода была переформулировка основных топологических свойств компактов в терминах банаховых алгебр непрерывных функций над такими пространствами. Более строго, предположим, что X - компактное хаусдорфово топологическое пространство и A = C(X) - алгебра непрерывных функций над X с естественной топологией, задаваемой supнормой. Это коммутативная банахова алгебра, которая также является алгеброй с единицей, т. е. содержит единичный элемент. Более того, это C∗-алгебра, что означает, что она является алгеброй с инволюцией, т. е. имеет инволюцию (задаваемую комплексным сопряжением) и удовлетворяет следующему свойству: для всех a ∈ A. ∗a2∗ = ∗a∗a∗ Обозначим через M (A) спектр (множество характеров) алгебры A, т. е. гомоморфизмов алгебры μ : A → C. Другими словами, любой характер μ - это ненулевой линейный функционал над A, удовлетворяющий свойству мультипликативности: μ(ab) = μ(a)μ(b) для любых a, b ∈ A и переводящий единицу 1A в 1 ∈ C. Обычным примером характера над алгеброй A = C(X) является отображение εx : f ±-→ f (x), где f ∈ A и x - фиксированная точка в X. Снабдим M (A) ⊂ A∗ слабой∗ топологией сопряженного пространства A∗, т. е. топологией поточечной сходимости на элементах A. В случае A = C(X) пространство A∗ состоит из комплексных мер над X со стандартной топологией. Из теоремы Банаха-Алаоглу следует, что во введенной топологии спектр M (A) компактен. Для любой банаховой алгебры A с единицей мы можем рассмотреть преобразование Гельфанда G : A -→ C(M (A)), задаваемое формулой A ⊕ a ±-→ aˆ : M (A) → C где aˆ(μ) := μ(a). Это отображение непрерывно и *-гомоморфно, если алгебра A инволютивна. Последнее означает, что оно коммутирует с инволюциями в A и C(M (A)). Более того, теорема Гельфанда-Наймарка гарантирует, что это изометрический *-изоморфизм A на C(M (A)). Непрерывное отображение f : X → Y компактных топологических пространств порождает гомоморфизм Cf : C(Y ) → C(X) их алгебр непрерывных функций, действующий по формуле: ϕ ±→ ϕ ◦ f. Это унитальный (т. е. сохраняющий единицу) *-гомоморфизм, имеющий следующее функториальное свойство: если существует другое непрерывное отображение g : Y → Z компактных топологических пространств, то C(g ◦ f )= Cf ◦ Cg. Соответствие F : X ±-→ C(X), f ±-→ Cf определяет контравариантный функтор из категории компактных хаусдорфовых топологических пространств (с морфизмами, задаваемые непрерывными отображениями) в категорию коммутативных C∗-алгебр с единицей (с морфизмами, задаваемыми унитальными *-гомоморфизмами). Обратный функтор Φ определяется следующим образом. Пусть ϕ : A → B - унитальный *гомоморфизм коммутативных C∗-алгебр с единицей. Обозначим через Mϕ : M (B) → M (A) отображение, задаваемое формулой μ ±→ μ ◦ ϕ. Оно непрерывно и имеет функториальное свойство: если ψ : B → C - другой унитальный *-гомоморфизм коммутативных C∗-алгебр с единицей, то M (ψ ◦ ϕ)= Mϕ ◦ Mψ. Другими словами, построенные функторы дают эквивалентность построенных категорий (компактные топологические1 (коммутативные C∗-алгебры1 пространства ←→ с единицей . Более того, две коммутативные C∗-алгебры с единицей изоморфны тогда и только тогда, когда их спектры гомеоморфны. Отсюда следует, что группа автоморфизмов Aut A коммутативной C∗алгебры с единицей A изоморфна группе Homeo(M (A)) гомеоморфизмов ее спектра. 194 А. Г. СЕРГЕЕВ Построенная эквивалентность позволяет установить словарь соответствия топологических терминов алгебраическим: топология ←→ алгебра гомеоморфизм ←→ автоморфизм компактность ←→ унитальность компактификация ←→ добавление единицы открытое подмножество ←→ идеал замкнутое подмножество ←→ фактор-алгебра метризуемость ←→ сепарабельность связность ←→ отсутствие нетривиальных идемпотентов Еще один пример, демонстрирующий, как топологические понятия преобразуются в алгебраические. Покажем алгебраическую интерпретацию комплексного векторного расслоения над компактным многообразием, задаваемое теоремой Серра-Суона. Пусть E → M - комплексное векторное расслоение над компактным топологическим многообразием M. Тогда Γ(M, E) ≡ Γ(E) - множество его непрерывных сечений, - является правым модулем над коммутативной банаховой алгеброй C(M ) с действием (sa)(x) := s(x)a(x) при s ∈ Γ(E), a ∈ C(M ). Это контравариантный функтор из категории комплексных векторных расслоений над M в категорию правых модулей над алгеброй C(M ). Действительно, каждому морфизму расслоения τ : E → E∗ можно сопоставить гомоморфизм C(M )-модулей Γτ : Γ(E) -→ Γ(E∗), определяемый по формуле (Γτ )s = τ ◦ s. Этот гомоморфизм линеен, т. е. (Γτ )(sa)= (Γτ )(s)a при a ∈ C(M ). Более того, функтор Γ переводит операции сопряжения, прямой суммы и тензорного произведения на расслоениях в соответствующие операции на C(M )-модулях. Опишем, какие модули соответствуют комплексным векторным расслоениям над M при этом соответствии. Правый A-модуль P над алгеброй A называется проективным, если он является прямым слагаемым в свободном A-модуле. Покажем, что C(M )-модуль Γ(M, E) ≡ Γ(E) - проективный. В самом деле, в силу хорошо известного результата из теории векторных расслоений (см., например, [5]), для заданного расслоения E → M можно найти дополнительное векторное расслоение E∗ → M со свойством E ⊕ E∗ ∼= M × CN . Так как Γ(E) ⊕ Γ(E∗)= Γ(M × CN )= C(M )N , то C(M )-модуль Γ(E) является прямым слагаемым в свободном C(M )-модуле C(M )N . Из этого построения также очевидно, что C(M )-модуль Γ(E) - конечно порожденный. В соответствии с теоремой Серра-Суона эти два свойства полностью определяют модули, соответствующие комплексным векторным расслоениям над M. Более точно, справедлива Теорема 1.1 (Серр-Суон). Функтор Γ устанавливает эквивалентность следующих категорий: (комплексные векторныеJ расслоения над компактным многообразием M ⎧конечно порожденные⎫ ⎨ ⎬ ←→ проективные модули . ⎩над алгеброй C(M ) ⎭ Основная задача некоммутативной геометрии - обобщить описанное соответствие между топологией и коммутативными банаховыми алгебрами на анализ и дифференциальную геометрию. Другими словами, мы хотим перевести основные понятия топологии, анализа и дифференциальной геометрии на алгебраический язык. Однако, чтобы достичь этой цели, мы не можем, как раньше, МАГНИТНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 195 ограничиться случаем коммутативных банаховых алгебр, - мы должны использовать некоммутативные банаховы алгебры, более точно, операторные C∗-алгебры. Возникает естественный вопрос: зачем нам нужен такой перевод? Вот один из возможных ответов. Квантовая теория поля, и теория струн в частности, до сих пор остаются в значительной мере разделами физики без надежного математического основания. В отличие от квантовой механики, которая может рассматриваться (с небольшими оговорками) как строго математическая теория, многие результаты теории квантового поля и теории струн основываются только на «физическом уровне» строгости и не имеют корректного математического доказательства. Мы считаем, что это связано с отсутствием подходящего математического языка для описания задач, возникающих в этих теориях. В частности, этот язык должен служить рабочим аппаратом в дифференциальной геометрии гладких бесконечномерных многообразий. Классические понятия дифференциальной геометрии, такие как связность, кривизна и т. д., не переносятся на бесконечные размерности. Например, различные определения связности, которые эквивалентны в конечномерном случае, имеют различные значения для бесконечномерных многообразий. Это еще более заметно в случае кривизны, которая вообще не может быть корректно определена в бесконечномерных многообразиях по аналогии с конечномерным случаем. В этой ситуации кажется естественным выбрать наиболее «грубый» язык для описания основных понятий анализа и дифференциальной геометрии, а именно алгебраический. Этот язык имеет наибольшую возможность выдержать перенос на конечномерный случай. Одной из целей некоммутативной геометрии является создание «словаря», переводящего основные понятия топологии, анализа и геометрии в алгебраические термины, используемые в конечномерном случае. В этой работе мы пытаемся сделать это для оператора Шредингера, переводя его спектральные свойства на язык некоммутативной геометрии. В качестве примера применения такого перевода мы приводим интерпретацию целочисленного квантового эффекта Холла в терминах когомологии Хохшильда. 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЛОХА (ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ) Физические корни теории Блоха лежат в теории кристаллов. Симметрии кристалла описываются его решеткой Браве, которая является решеткой Γ в пространстве Rd с d = 3. Математически Γ - это дискретная абелева группа, изоморфная Zd, действующая в Rd как группа переносов. Поведение свободных электронов в кристалле описывается оператором Шредингера H = -Δ+ V с потенциалом V, задаваемым ограниченной функцией, инвариантной относительно Γ. Операторы сдвига Tγ, γ ∈ Γ, определяют унитарное представление группы Γ в пространстве L2(Rd), а оператор Шредингера H коммутирует со всеми операторами Tγ. Обозначим через Γ∗ сопряженную поверхность в сопряженном пространстве (Rd)∗, а именно: Γ∗ = {k ∈ (Rd)∗ : (k, γ) ∈ 2πZ для некоторого γ ∈ Γ}. Ее фундаментальная область называется зоной Бриллюэна. Собственные функции Блоха оператора H - это функции вида ψjk (x)= ei(k,x)ϕjk (x), где k принадлежат зоне Бриллюэна и ϕjk - собственные функции оператора Hk, определенного соотношением H (ei(k,x)ϕ(x) = ei(k,x)Hkϕ(x). Область определения оператора Hk совпадает с подпространством ⎧ ⎫ ⎨ t ⎬ D(Hk )= ϕ(x)= \\"" cγt ei(γ ,x) : \\"" (1 + |γ∗|2)|cγt |2 < ∞ . ⎩ γt∈Γt γt∈Γt ⎭ Оператор Hk имеет дискретный спектр, а его собственные функции ϕjk образуют полную ортогональную систему в пространстве H0 = L2(Rd/Γ). 196 А. Г. СЕРГЕЕВ Спектр оператора Шредингера H состоит из конечного числа непересекающихся интервалов σ(H)= [c1, d1] ∪ [c2, d2] ∪ ... [cl, dl] ∪ [cl+1, +∞), и собственные функции Блоха образуют полную ортогональную систему обобщенных собственных функций оператора H. 3. МАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ БЛОХА Предположим, что задана вещественная замкнутая 2-форма B в Rd, инвариантная относительно группы Γ. Эта форма будет играть роль магнитного поля. Тогда B = dA для некоторой вещественной 1-формы A, играющей роль электромагнитного векторного потенциала. Магнитный оператор Шредингера - это оператор вида H = -(d + iA)∗(d + iA)+ V. Как и в периодическом случае, мы можем построить операторы, называемые магнитными операторами сдвига, которые коммутируют с магнитным оператором Шредингера. А именно, т. к. магнитная форма B инвариантна относительно Γ, имеем: 0= B - γ · B = d(A - γ · A) для некоторого γ ∈ Γ. Иначе говоря, 1-форма A - γ · A замкнута, откуда следует, что она может быть представлена в виде A - γ · A = dhγ, где hγ - гладкие вещественные функции, определенные с точностью до константы. Магнитный оператор Шредингера H инвариантен относительно магнитных сдвигов вида Tγ : f ±-→ Tγf = eihγ γ · f. В отличие от периодического случая, магнитные сдвиги Tγ удовлетворяют соотношениям Tγ1 Tγ2 = σ(γ1, γ2)Tγ1γ2 , где σ(γ1, γ2) ∈ U(1). Иначе говоря, они определяют унитарное проективное представление группы Γ в пространстве L2(Rd). Если форма A периодична относительно Γ, то это проективное представление переходит в прямое представление. 4. C∗-АЛГЕБРЫ НАБЛЮДАЕМЫХ При обычных предположениях о потенциале V (например, V = |df |2, где f - функция Морса в Rd, инвариантная относительно Γ) магнитный оператор Шредингера H является самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка в L2(Rd). Его спектральные проекторы - это ограниченные операторы в L2(Rd), коммутирующие с магнитными сдвигами Tγ. Это наблюдение мотивирует введение следующей операторной алгебры, связанной с H: A(σ)= {A - ограниченный оператор в L2(Rd), коммутирующий с Tγ для любого γ ∈ Γ}. Мы дадим интерпретацию этой алгебры, которая полностью определяет оператор H, в терминах группового кольца фон Неймана. Имея проективное представление T группы Γ, можно построить естественное левое проективное представление TL этой группы в пространстве t'2(Γ), действующее по правилу: TL ∗ -1 ∗ -1 ∗ ∗ γ f (γ )= f (γ γ )σ(γ, γ γ ), γ, γ ∈ Γ. Это представление порождает правое групповое кольцо фон Неймана aR(σ): γ aR(σ)= {A - ограниченный оператор в t'2(Γ), коммутирующий с TL при всех γ ∈ Γ}. МАГНИТНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 197 Аналогичным образом можно построить левое групповое кольцо фон Неймана aL(σ), связанную с правым проективным представлением TR группы Γ в пространстве t'2(Γ). Это представление задается формулой TR ∗ ∗ ∗ ∗ γ f (γ )= f (γ γ)σ(γ, γ γ), γ, γ ∈ Γ, и левое групповое кольцо фон Неймана, определенное этим представлением, задается как γ aL(σ)= {A - ограниченный оператор в t'2(Γ), коммутирующий с TR при всех γ ∈ Γ}. γ Алгебра aR(σ) порождена операторами {TR : γ ∈ Γ}, а алгебра aL(σ) порождена операторами L {Tγ : γ ∈ Γ}. В пространстве t'2(Γ) существует естественный ортонормальный базис {δγ }γ дельта-функцией Кронекера ∈Γ, задаваемый (1 при γ∗ = γ, δγ (γ∗)= 0 в остальных случаях. Определим след на введенных групповых кольцах по формуле traA := (Aδe, δe), где e - единичный элемент Γ. Функции {δγ }γ∈Γ порождают групповое кольцо C0(σ), состоящее из комплекснозначных финитных функций на Γ, снабженное операцией свертки в виде (f ∗ g)(γ)= \\"" γ1γ2=γ σ(γ1, γ2)f (γ1)g(γ2). Отображения γ ±-→ TL, γ ±-→ TR определяет представление групповых колец C0(σ) и C0(σ) со- γ γ ответственно в пространстве t'2(Γ). Слабое пополнение образов этих отображений в пространстве B(t'2(Γ)) ограниченных операторов в t'2(Γ) совпадает соответственно с алгебрами фон Неймана aL(σ) и aR(σ), введенными выше. Пополнение этих образов в равномерной операторной топологии совпадает с C∗-алгебрами, обозначаемыми соответственно C(σ) и C(σ). Можно также определить групповые кольца фон Неймана с коэффициентами в произвольном комплексном гильбертовом пространстве H. Для этого мы просто продолжим проективные представления TL and TR, действующие в пространстве t'2(Γ), до тензорного произведения t'2(Γ) ⊗ H, так что aL (σ)= aL(σ) ⊗ B(H), aR (σ)= aR(σ) ⊗ B(H). H H ∈ Произвольный оператор A aL (σ) представляется в виде (см. [6]): H γ A = \\"" TL ⊗ A(γ), γ∈Γ где A(γ) - ограниченный оператор в H и ряд с правой стороны сходится в сильной операторной топологии. Определим след на введенных алгебрах aL (σ) и aR (σ), положив H H TrH := tra ⊗ Tr, где Tr обозначает обычный след на алгебре B(H) всех ограниченных операторов, принимающий конечные значения на ядерных операторах. Мы готовы дать интерпретацию алгебры A(σ) ограниченных операторов в пространстве L2(Rd), коммутирующих с магнитными сдвигами, в терминах групповых колец фон Неймана. Для этого обозначим через F фундаментальную область группы Γ и рассмотрим гильбертово пространство H := L2(F ) квадратично интегрируемых функций на этой области. Тогда отображение W : f ±-→ W (f )= \\"" δγ ⊗ i∗(Tγf ), γ∈Γ 198 А. Г. СЕРГЕЕВ где i : F α→ Rd - естественное включение, определяет изометрию пространства L2(Rd) на пространство t'2(Γ) ⊗ H. Эта изометрия порождает изоморфизм алгебры A(σ) с алгеброй aL (σ). L H Используя построенное отображение, мы можем перенести след TrH из алгебры aH(σ) в алгебру A(σ). При таком определении спектральные проекторы E(λ) магнитного оператора Шредингера H будут иметь конечный след, а тогда спектральная плотность NH (λ)= TrHE(λ) корректно определена. Спектр оператора Шредингера H состоит из точек роста этой функции. Выберем в качестве алгебры наблюдаемых C∗-алгебру C(σ) ⊗ K(H), ∈ где K(H) - алгебра всех компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H. Эта алгебра совпадает с пополнением по равномерной норме алгебраического тензорного произведения алгебры C0(σ), определенной выше, и алгебры K(H). В частности, она содержит все операторы A aL (σ) вида H γ A = \\"" TL ⊗ A(γ) γ∈Γ с коэффициентами A(γ) ∈ K(H), для которых ряд ), ∗A(γ)∗ < ∞ сходится. γ 5. КОГОМОЛОГИЯ ХОХШИЛЬДА Пространство Ck (a) - цепной k-комплекс Хохшильда алгебры a - состоит из (k + 1)-линейных функционалов на этой алгебре. Определим кограничный оператор bk : Ck (a) -→ Ck+1(a) формулой k bkφ(a0,..., ak+1)= \\""(-1)iφ(a0,..., aiai+1,..., ak+1)+ (-1)k+1φ(ak+1a0,..., ak ). i=0 Коцепь Хохшильда φ ∈ Ck (a) называется циклической, если φ(a0,..., ak )= (-1)k φ(ak, a0,..., ak Когомологии Хохшильда алгебры a определяются как -1). HHk (a)= Ker bk/Im bk -1. Приведем конструкцию циклических коциклов алгебры наблюдаемых. Эти коциклы могут быть построены из любого коцикла ϕ группы Γ, удовлетворяющего следующему условию нормализации: ϕ(γ1,..., γk )= 0, если хотя бы один элемент γi или произведение γ1 ... γk равны единице. Из такого коцикла ϕ можно получить циклический коцикл τϕ на алгебре C0(σ), заданный на базисных функциях формулами 0 (ϕ(γ1,..., γk )tra(δγ ∗ ... ∗ δγk ), если γ0γ1 ... γk = e, τϕ(δγ0 ,..., δγk )= 0 в остальных случаях. Построенный коцикл τϕ может быть продолжен до циклического коцикла τϕ ⊗Tr, определенного на гладкой подалгебре C0(σ) ⊗ S алгебры наблюдаемых C(σ) ⊗ K(H) (см., например, [6]), полагая τϕ ⊗ Tr(a0,..., ak )= \\"" γ0·...·γk =e Tr (a0(γ0) · ... · ak (γk )) τϕ(δγ0 ,..., δγk ), где ai = ), δγ ⊗ ai(γ) ∈ C0(σ) ⊗ S, i = 0, 1,..., k. γ∈Γ МАГНИТНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 199 6. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА Классический эффект Холла описывает следующее физическое явление. Поместим тонкую прямоугольную металлическую пластину (лежащую в плоскости (xy)) в постоянное однородное магнитное поле Bδ , направленное вдоль оси (z). Если пустить электрический ток Jx в направлении оси (x), то в направлении оси (y) возникнет разность потенциалов Vy в соответствии с выражением Jx где величина σ Vy = , H σH = neδ B называется проводимостью Холла (здесь n - плотность электронов, δ - толщина пластины). Проводимость Холла обычно описывается следующим безразмерным выражением: nδh ν = , eB называемым степенью наполнения, таким, что ν где RH = h/e2 - сопротивление Холла. R σH = , H В соответствии с последней формулой график зависимости проводимости Холла σH в зависимости от степени наполнения ν - прямая. Однако в квантовом случае (который реализуется при очень низких температурах порядка 1◦K) на этом графике наблюдаются горизонтальные «плато», соответствующие целым значениям σH (в единицах e2/h), что означает, иными словами, что проводимость Холла «квантуется». Начиная с первых теоретических работ по квантовому эффекту Холла [7, 8], стало ясно, что этот эффект имеет топологическую природу. Его объяснение в духе некоммутативной геометрии было предложено в работах Белиссара и др. [1] и Ксиа [9]. Основная идея заключалась в том, что при введении магнитного поля нужно заменить классическую теорию Блоха некоммутативным аналогом, который может быть исследован в некоммутативной геометрии. Чтобы применить разработанные методы некоммутативной геометрии к математическому описанию квантового эффекта Холла, мы выбрали базис в пространстве L2(F ), состоящий из собственных функций Блоха {ψj }, и зафиксировали унитарный изоморфизм L2(F ) → t'2(N), сопоставляя функциям ψj функции δj. С другой стороны, у нас есть унитарный изоморфизм L2(R2) → t'2(Γ) ⊗ L2(F ), построенный выше. Композиция двух унитарных изоморфизмов дает унитарный изоморфизм U : L2(R2) -→ t'2(Γ) ⊗ t'2(N), H порождая изоморфизм алгебры A(σ) и алгебры aL (σ), где H = t'2(N). Обозначим через ∂1 = ∂x (соответственно ∂2 = ∂y ) оператор дифференцирования алгебры наблюдаемых C(σ) ⊗ K(H). Тогда для произвольного оператора T0, T1, T2 ∈ C(σ) ⊗ K(H) мы можем определить следующий циклический 2-коцикл c(T0, T1, T2)= TrH(T0[∂1T1, ∂2T2]), называемый коциклом Холла. Он будет совпадать с циклическим коциклом τϕ ⊗ Tr, введенным ранее, если мы возьмем в качестве 2-коцикла ϕ :Γ × Γ → R на группе Γ коцикл ϕ(γ1, γ2)= площадь треугольника Δ(γ1, γ2) с вершинами в точках O, γ1 · O, γ2 · O. Чтобы из этой формулы получить выражение проводимости Холла, нужно заменить операторы дифференцирования ∂j ковариантными производными ∂A,j, и взять в качестве операторов T0 = T1 = T2 = PF спектральный проектор на уровень Ферми. Тогда мы получим следующую формулу Кубо-Черна для проводимости Холла: e2 1 σH = h 2πi TrH (PF [∂A,1PF , ∂A,2PF ]) , 200 А. Г. СЕРГЕЕВ где величина Ch(P )= 1 Tr (P [∂ P , ∂ P ]) F 2πi H F A,1 F A,2 F называется характеристикой Черна проектора PF . Это целочисленный топологический инвариант, отвечающий за явление квантового эффекта Холла.