Непрерывная зависимость решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений от сдвигов аргумента

Аннотация

Изучаются краевые задачи для дифференциально-разностных операторов при наличии возмущений в сдвигах аргумента. Получены условия равномерной относительно сдвига аргумента положительной определенности семейства дифференциально-разностных операторов и непрерывной зависимости решений таких задач от сдвигов. Исследуется также проблема коэрцитивности дифференциально-разностных операторов с несоизмеримыми сдвигами аргументов и возможность аппроксимации этих операторов рациональными операторами.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В статье рассматриваются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений -(Rεu× (x))× = f (x), x ∈ Q, (1.1) u(x)= 0, x ∈/ Q, (1.2) где Q = (0, a), Rε : L2(R) → L2(R) - семейство симметричных разностных операторов (Rεu)(x)= (Au)(x)+ (Bu)(x), (1.3) B : L2(R) → L2(R) - разностный оператор с целыми (соизмеримыми) сдвигами N (Bu)(x)= b0u(x)+ ) bk (u(x + k)+ u(x - k)), (1.4) k=1 bi ∈ R; A : L2(R) → L2(R) - семейство разностных операторов, зависящих от малого параметра ε (ε ∈ R, ε > 0). Рассматривается случай, когда A = Aε - разностные операторы вида: p (Aεu)(x)= a0u(x)+ ) ai (u(x + iε)+ u(x - iε)), (1.5) i=1 и случай, когда A = Aε - семейство разностных операторов, возмущенных относительно j- целого сдвига аргумента: j (Aεu)(x)= a0u(x)+ aε (u(x + j + ε)+ u(x - j - ε)) , (1.6) ai - вещественные постоянные. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 14-01-00265. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 74 НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 75 Рассмотрен также случай, когда A = Aτ - разностные операторы: (Aτ u)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ )+ u(x - τ )) , где τ - иррациональный сдвиг аргумента (несоизмеримый с остальными сдвигами в операторе B). В статье изучаются условия равномерной по ε положительной определенности возмущенных разностных операторов вида (1.3), (1.5) и (1.3), (1.6), разрешимости семейства краевых задач (1.1)(1.2), непрерывной зависимости решений uε от малого параметра ε и возможности предельного перехода uε → ulim, ε → 0 к решению ulim предельной задачи с разностным оператором Rlim = Alim + B, p где Alim = alimI, alim = a0 +2 ), ai или alim = a0 + 2aj , и I - тождественный оператор. i=1 Краевые задачи вида (1.1)-(1.2) с дифференциально-разностными операторами, содержащими сдвиги аргумента в старших членах, впервые исследовались в работах [1, 2]. Интерес к этим задачам связан с различными приложениями [6]. Наиболее глубоко были изучены краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с целочисленными или соизмеримыми сдвигами пространственных переменных (оператор Rε = B, A = 0). Общая теория таких задач построена в монографии А. Л. Скубачевского [5]. Вопрос непрерывной зависимости решений эллиптических краевых задач для дифференциальноразностных уравнений от сдвигов аргумента и возможности предельного перехода при ε → 0 впервые исследовался Л. Е. Россовским. В работе [3] им изучается краевая задача для уравнений в частных производных, в которой дифференциально-разностный оператор содержит только возмущенную составляющую. В одномерном случае это разностные операторы вида (1.5) (Rε = A, B = 0). Им получен критерий равномерной сильной эллиптичности последовательности дифференциально-разностных операторов и возможности предельного перехода при ε → 0 к стационарной задаче в терминах скалярного символа, зависящего от коэффициентов разностного оператора. Предельное уравнение в этом случае не содержит сдвигов аргумента и является чисто дифференциальным (уравнением в частных производных). Л. Е. Россовским также исследовалась непрерывная зависимость решений функционально-дифференциальных уравнений от коэффициента сжатия аргумента. А. Л. Скубачевским была высказана идея использовать эти результаты для исследования краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с иррациональными (несоизмеримыми) сдвигами. Изучение таких задач осложняется рядом особенностей. Во-первых, это нарушение гладкости решений. Если решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с соизмеримыми сдвигами (назовем их рациональными задачами) сохраняют гладкость в некоторых подобластях [5], то решения краевых задач с несоизмеримыми сдвигами (иррациональных задач) могут иметь всюду плотное множество точек разрыва производной (см. [5, пример 3.10]). Во-вторых, если решения задач для дифференциально-разностных уравнений с рациональными сдвигами могут быть получены с помощью сведения их к нелокальным задачам (см. [5]), то такой метод к иррациональным задачам напрямую не применим. В-третьих, трудности связаны с проверкой условий положительной определенности иррациональных разностных операторов, действующих на ограниченных областях. Если для рациональных операторов с постоянными коэффициентами получен критерий их положительной определенности [5], то для иррациональных операторов известны только достаточные условия, выраженные в виде положительности скалярного символа, зависящего от коэффициентов разностного оператора. Поскольку в этом символе не учитываются свойства и размер области, на которой действует разностный оператор, то для небольших областей эти условия являются избыточными и далекими от необходимых. В данной статье исследуются условия положительной определенности дифференциально-разностных операторов с несоизмеримыми сдвигами и возможность аппроксимации этих операторов рациональными. Работа состоит из 5 разделов. В разделе 2 исследуются возмущенные разностные операторы вида (1.3), (1.5) и их поведение при ε → 0. Получен критерий равномерной положительной определенности семейства возмущенных операторов, действующих на ограниченных областях, в терминах коэффициентов этих операторов. В этом критерии совмещается оценка возмущенной части оператора с помощью символа, 76 Е. П. ИВАНОВА аналогичного символу Л. Е. Россовского, и оценка стационарной части в терминах положительной определенности некоторых контрольных матриц. В разделе 3 статьи исследуется возможность предельного перехода в семействе возмущенных краевых задач (1.1)-(1.2) при ε → 0 к невозмущенной задаче. Получены достаточные условия такого перехода и сходимости семейства обобщенных решений возмущенных задач к решению предельной задачи. Рассматриваются примеры, в которых нарушение этих условий приводит к нарушению сходимости. В разделе 4 изучаются разностные операторы с несоизмеримыми сдвигами (иррациональные операторы). Строится аппроксимация иррационального оператора с помощью операторов с соизмеримыми сдвигами. Получены достаточные условия равномерной положительной определенности семейства таких операторов, выраженные в терминах положительной определенности некоторых контрольных матриц, и условия положительной определенности предельного иррационального оператора. Эти условия, в отличие от известных ранее символьных условий, учитывают свойства области действия оператора и близки к необходимым. В разделе 5 работы исследуются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами. Доказана теорема об аппроксимации таких задач рациональными задачами, получены достаточные условия сходимости решений рациональных задач к решению иррациональной задачи. Предложенные алгоритмы аппроксимации реализованы в программной среде Maple, полученные в статье теоретические результаты проиллюстрированы примерами. 2. ВОЗМУЩЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Рассмотрим семейство симметричных разностных операторов Rε, Aε,B : L2(R) → L2(R) (Rεu)(x)= (Aεu)(x)+ (Bu)(x), (2.1) p (Aεu)(x)= a0u(x)+ ) ai (u(x + iε)+ u(x - iε)) (2.2) i=1 N -1 (Bu)(x)= ) bk (u(x + k)+ u(x - k)), (2.3) k=1 ai, bk - вещественные постоянные, ε ∈ R, ε > 0 - малый параметр. Введем также разностный оператор RC : L2(R) → L2(R): N -1 (RC u)(x)= a˜u(x)+ ) bk (u(x + k)+ u(x - k)) = a˜u(x)+ (Bu)(x). (2.4) k=1 Операторы Rε (ε> 0) назовем возмущенными операторами, RC - контрольным. Будем рассматривать действия операторов RC , {Rε}ε на функциях u ∈ L2(R), для которых u(x)=0 при x ∈/ Q = (0,N ), (2.5) N - натуральное. Более общий случай, когда Q = (0, a), a ∈ R, привносит некоторые технические усложнения, не являющиеся, однако принципиальными для рассматриваемой задачи. Для учета однородных краевых условий (2.5) введем операторы IQ : L2(Q) → L2(R) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем вне Q; PQ : L2(R) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(R) на Q. Q Введем также операторы RC Q = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q), Rε = PQRεIQ : L2(Q) → L2(Q), Aε ε Q = PQA IQ : L2(Q) → L2(Q). Определение 2.1. Самосопряженный оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) будем называть положительно определенным, если найдется c> 0, что для всех u ∈ L2(Q), u /=0 выполнено неравенство (RQu, u)L2 (Q) > c(u, u)L2(Q). Здесь (u, u)L2(Q) - скалярное произведение в пространстве L2(Q). Q Получим условия равномерной по ε ;;; 0 положительной определенности семейства самосопряженных разностных операторов Rε . Равномерная положительная определенность позволит в дальнейшем осуществить предельный переход при ε → 0. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 77 Будем оценивать спектр σ(Rε ) семейства возмущенных операторов {Rε } через спектр кон- Q Q ε>0 Q трольного оператора RC , подобрав соответствующим образом коэффициент a˜ (a˜ < a0). Для оценки спектра разностных операторов воспользуемся методом, разработанным в [5]. Рассмотрим разностный оператор R : L2(R) → L2(R) k (Ru)(x)= b0u(x)+ ) bk (u(x + ih)+ u(x - ih)), i=1 bk ,h ∈ R, h > 0 и оператор RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q), Q = (0, d). Пусть d = kh + θ, где 0 < θ h, k - натуральное. Если 0 < θ < h, обозначим Q1i = ((i - 1)h, (i - 1)h + θ) (i = 1, ..., k + 1) и Q2i = ((i - 1)h + θ, ih) (i = 1, ..., k). Если θ = h, обозначим Q1i = ((i - 1)h, ih) (i = 1, ..., k + 1). Если 0 < θ < h, то существует два класса интервалов Q1i и Q2i, если θ = h, то один класс интервалов Q1i. Для любого интервала Qsi и целого j либо найдется интервал Qsm из того же класса s, такой что Qsi + jh = Qsm, либо Qsi + jh ⊂ R\\Q. Совокупность интервалов Qsk называется разбиением области Q. Пусть Ps : L2(Q) → L2(J Qsk ) - оператор ортогонального проектирования на подпространство k L2(JQsk ), где L2(J Qsk ) = {u ∈ L2(Q)| u(x) = 0, x ∈/ L2(J Qsk )}. Если θ = h, то оператор k k k Ps - тождественный оператор. В силу [5, лемма 2.5] L2(Q) = ⊕ L2(J Qsi) и L2(J Qsi) является инвариантным подпространством оператора RQ. s i i 2 Введем изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2(J Qsi) → LM (Qs1) по формуле i 2 (Usu)i(x) = u(x + (i - 1)h) (x ∈ Qs1, i = 1, ..., M ), где LM (Qs1) = если s =1 и M = k, если s = 2. Обозначим R1 матрицу размерности (k + 1) × (k + 1) с элементами M ТТ L2(Qs1), M = k + 1, i=1 Эта матрица имеет вид rij = bj-i (j, i = 1, ..., k + 1), rji = rij . (2.6) ⎛ b0 b1 ··· bk ⎞ b1 b0 ··· bk-1 ⎟ ... ⎜ R1 = ⎜ ⎜ ⎝ ... . ⎟ . . . . . ⎟ ⎠ bk bk-1 ··· b0 и является симметричной теплицевой матрицей (см. [4]). Обозначим R2 матрицу размерности k × k, полученную из матрицы R1 вычеркиванием последней строки и столбца. Введем оператор RQs = UsRQU -1 : LM (Qs1) → LM (Qs1) , s = 1, 2, если θ < h и s = 1, s 2 2 если θ = h. В силу [5, лемма 2.6] оператор RQs есть оператор умножения на матрицу Rs. В силу [5, лемма 2.7] спектр σ(RQ)= σ(R1) ∪ σ(R2), θ < h; σ(RQ)= σ(R1), θ = h. Для удобства дальнейшего изложения сформулируем следующую лемму. Лемма 2.1 ([5, леммы 2.6-2.8]). Оператору RQ соответствует оператор умножения на матрицы R1, R2, спектр оператора RQ является объединением спектров этих матриц; оператор RQ является положительно определенным тогда и только тогда, когда матрица R1 положительно определена. Q Для оценки спектра оператора RC построим соответствующее ему разбиение области Q = (0,N ) и матрицу RC . В операторе RC минимальный сдвиг аргумента h = 1, при этом θ = h = 1. Разби- M Q ение области Q в этом случае состоит из одного класса подобластей: Q1i = (i - 1, i) (i = 1, ..., N ). Q Действию оператора RC M соответствует умножение на матрицу RC i,j=1 = lrij l N , построенную по формуле (2.6) rij = (a˜, i = j, bj-i, i /= j, rij = rji. (2.7) 78 Е. П. ИВАНОВА Q В силу леммы 2.1 оператор RC RC положительно определен тогда и только тогда, когда матрица C Q положительно определена. Матрицу RM назовем контрольной. Q Оценим теперь спектр возмущенных операторов Aε (ε > 0). Для фиксированного ε > 0 Q представим N в виде: N = εK + θ, K - натуральное, 0 < θ ε. Для оператора Aε разбиение области Q = (0,N ) состоит в общем случае из двух классов областей: Q11 = (0, θ), Q12 = (ε, ε+θ), ..., Q1m = (mε, mε+θ), ..., Q1P +1 = (Kε, N ); Q21 = (θ, ε), Q22 = (ε+θ, 2ε), ..., Q2m = ((m - 1)ε + θ, mε), ..., Q2K = ((K - 1)ε + θ, Kε). Q = lαij , В силу леммы 2.1 действие оператора Aε 1M сводится к умножению на матрицы Aε K+1 li,j=1 Aε 2M : ⎧ a0, i = j, αij = ⎨ aj -i, 0 <j - i p, αji = αij . (2.8) 2M Матрица Aε ⎩ 0, j - i> p, 1M размерности K × K - это матрица Aε без последней строки и столбца. Спектр Q оператора Aε 1M в силу леммы 2.1 совпадает со спектром матрицы Aε . В силу формулы (2.8) все 1M матрицы {Aε } при различных ε> 0 принадлежат к одному классу теплицевых матриц (см. [4]), ∞ изменяется только их размерность K(ε)+ 1. Обозначим этот класс {An}n=1, n = K(ε)+ 1 - размерность матрицы An. n=1 Введем в рассмотрение символ f (λ) класса {An}∞ p теплицевых матриц (см. [4]): f (λ) := a0 +2 ) ai cos(λi). (2.9) i=1 Замечание 2.1. Символ aR(λ), используемый в [3] для исследования коэрцитивности возмущенных дифференциально-разностных операторов, для семейства операторов вида Aε из формулы (2.2) принимает этот же вид: f (λ)= aR(λ). Обозначим M := supf (λ), m := inff (λ). (2.10) λ λ Из теории теплицевых матриц известна [4, лемма 4.1] равномерная по размерности n оценка спектра σ(An) = {τnk } класса симметричных теплицевых матриц An (τnk - собственные числа матрицы An, k - номер собственного числа): m τnk M. (2.11) Введем в рассмотрение предельный разностный оператор Rlim : L2(R) → L2(R) N -1 (Rlimu)(x)= alimu(x)+ ) bk (u(x + k)+ u(x - k)) = alimu(x)+ (Bu)(x), (2.12) k=1 где p alim = a0 +2 ) ai. (2.13) i=1 Рассмотрим также оператор Rlim : L2(Q) → L2(Q), Rlim = PQRlimIQ. Предельный оператор Rlim Q Q Q o lim 0 получается из оператора RQ подстановкой ε = 0, то есть RQ = RQ. Замечание 2.2. В силу формул (2.4), (2.12) операторы Rlim, RC отличаются только коэффициентами alim, a˜. Если в операторе RC положить a˜ := m = inf f (λ), то коэффициент alim предельного Q λ оператора Rlim и коэффициент a˜ оператора RC связаны неравенством Q Q p p alim = a0 +2 ) ai ;;; a˜ := inf (a0 +2 ) ai cos(λi)). λ i=1 i=1 Q В силу этого неравенства и из положительной определенности оператора RC следует положитель- Q ная определенность оператора Rlim. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 79 Лемма 2.2. Если при a˜ := m = inf f (λ) контрольный оператор RC является положительно λ M определенным (контрольная матрица RC Q является положительно определенной), то семей- Q ство возмущенных разностных операторов Rε равномерно относительно малого параметра o ;;; 0 положительно определено. Q Доказательство. Пусть оператор RC положительно определен, т. е. существует α > 0: Q (RC u, u) L2(Q) ;;; α(u, u)L2(Q) (2.14) Q для всех u ∈ L2(Q). Преобразуем оператор Rε : Q (Rε u, u) L2(Q) Q = (Aε u, u) L2(Q) + (BQu, u) L2(Q) Q = ((Aε - mI)u, u) L2(Q) + ((BQ + mI)u, u) L2(Q) = Q = (A˜ε u, u) L2(Q) Q + (RC u, u) L2(Q). Q Здесь I : L2(Q) → L2(Q) - тождественный оператор. В операторе RC положим a˜ = m. Семей- Q ству операторов A˜ε Q : L2(Q) → L2(Q), A˜ε Q = Aε § mI (ε > 0) соответствуют теплицевы матрицы A M M ˜ε = Aε § a˜E N (ε) (ε > 0) одного класса с символом f˜(λ) := f (λ) - m. Здесь E N (ε) - единичные матрицы размерности N (ε). Следовательно, в силу формул (2.9), (2.11) для их собственных чисел Q τ˜nk справедлива оценка τ˜nk ;;; infλf˜(λ) = infλf (λ) - a˜ = 0. Отсюда (A˜ε u, u) L2(Q) ;;; 0 для всех u ∈ L2(Q) и, следовательно в силу (2.14) (Rε u, u) = (A˜ε u, u) + (RC u, u) ;;; α(u, u)L (Q). Q L2(Q) Q L2(Q) Q L2(Q) 2 Для ε =0 утверждение леммы следует из замечания 2.2. Q Равномерная по ε положительная определенность операторов Rε понадобится в дальнейшем для осуществления предельного перехода при ε → 0. Аналогично лемме 2.2 доказывается следующая лемма. Лемма 2.3. Если при a˜ := m = inf f (λ) контрольный оператор RC является неотрицательно λ M определенным (контрольная матрица RC Q является неотрицательно определенной) то семей- Q ство возмущенных разностных операторов Rε равномерно относительно малого параметра o ;;; 0 неотрицательно определено. ∈ Рассмотрим частный случай, когда в операторе Aε из формулы (2.2) ε(n) = 1 , n N. Этот n случай будет важен для доказательства леммы 2.6 и построения алгоритма решения краевых задач для возмущенных дифференциально-разностных операторов в разделе 3. Возмущенные разностные операторы Aε примут вид p (Aε(n)u)(x)= a0u(x)+ ) ai i=1 ( u(x + i n )+ u(x - i )\\. (2.15) n Q Операторы Rε 1 Q = Rn Q будем в этом случае обозначать для упрощения обозначений Rn . При Q каждом фиксированном n ∈ N для оператора Rn Rn можно сформировать соответствующую матрицу 1 M . В этом случае минимальный сдвиг аргумента h = n, разбиение области Q = (0,N ) состоит ( i - 1 i \\ n из одного класса Nn подобластей Qi = матрицей размерности Nn × Nn: , n n Rn Nn , i = 1, ..., nN и матрица RM является блочной Nn M = A N + B . (2.16) Матрица BnN = lBij li,j=1 состоит из клеток Bij = Enrij , En - единичные матрицы размерно- Nn сти n, rij - элементы матрицы RC , заданные формулой (2.7). Матрица ANn = lαij l , где αij M определяются формулой (2.8). i,j=1 80 Е. П. ИВАНОВА Q В силу леммы 2.1 оператор Rn M положительно определен тогда и только тогда, когда матрица Rn положительно определена. Таким образом, задача оценки спектра семейства операторов {Rn } Q n∈N сводится к оценке спектра семейства матриц {Rn } через спектр контрольной матрицы RC . Из леммы 2.2 получим M n∈N M M Следствие 2.1. Если при a˜ := m = infλf (λ), контрольная матрица RC является положи- M тельно определенной, то матрицы Rn равномерно по n ∈ N положительно определены, т. е. для любого n ∈ N и всех x ∈ RnN M (Rn x, x)nN ;;; α(x, x)nN , (2.17) M где α > 0 - минимальное собственное значение матрицы RC . (Здесь (·, ·)nN - скалярное произведение в RnN .) Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 2.4. Если при a˜ := m = inf f (λ), контрольная матрица RC неотрицательно опреде- λ M M лена, то матрицы Rn для всех n ∈ N неотрицательно определены. M Равномерная по n ∈ N положительная определенности матриц Rn понадобится в дальнейшем для осуществления предельного перехода при n → ∞. M Обозначим B˜Nn = BNn + a˜EnN , A˜Nn = ANn - a˜EnN . Тогда матрицу Rn можно представить в виде M = A + B = A - a˜E + B + a˜E = A˜ + B˜ . (2.18) Rn Nn Nn Nn nN Nn nN Nn Nn M Лемма 2.5. Спектр σ(B˜Nn) блочных матриц B˜Nn совпадает со спектром σ(RC ) матрицы M : σ(B˜ )= σ(RM ). RC Nn C Доказательство. Утверждение леммы следует непосредственно из способа формирования матрицы B˜Nn на основе матрицы RC : на место каждого элемента rij матрицы RC в матрице B˜Nn M M подставляется диагональная матрица Bij = diag(rij ) размерности n. При этом размерность инва- M риантного подпространства, соответствующего собственному числу матрицы RC при переходе к B˜Nn возрастает в n раз. Замечание 2.3. Из [3, теорема 2.13] следует, что критерием равномерной положительной опре- Q деленности семейства операторов An = PQAε(n)IQ : L2(Q) → L2(Q), где разностный оператор определен формулой (2.21), является условие aR(λ) > 0 ∀λ ∈ R, а в силу замечания 2.1 и f (λ) > 0. ∈ И если m = inff (λ)= 0, то для любого ε> 0 найдется номер n и функция u L2(Q) такие, что λ Q (An u, u) L2(Q) < ε(u, u)L2(Q). M Лемма 2.6. Если совокупность матриц {Rn }n ∈N равномерно по n ∈ N положительно определена, т. е. существует α > 0, для которой выполнена формула (2.12), то контрольная M матрица RC также положительно определена. M Доказательство. Предположим противное: пусть матрица RC имеет собственное значение λb 0 M и собственный вектор h = (h1,..., hN )T : RC h = λbh. Тогда в силу леммы 2.5 матрица B˜nN также имеет собственное значение λb 0, с n - мерным подпространством собственных векторов H1 = (h1, 0,..., 0; h2, 0,..., 0; ... ; hN , 0,..., 0)T ∈ RnN , H2 = (0, h1, 0,..., 0; 0, h2, 0,..., 0; ... ; 0, hN , 0,..., 0)T ∈ RnN , ... Hn = (0,..., 0, h1; 0,..., 0, h2; ... ; 0,..., 0, hN )T ∈ RnN , где у вектора Hk ненулевые элементы расположены на месте k, k = 1,..., n. Следовательно, для любого u ∈ Rn (u /= 0n) вектор вида V = (h1u, h2u,..., hN u)T ∈ RnN является линейной комбинацией собственных векторов Hk и также будет собственным вектором матрицы B˜nN : B˜nN V = λbV. То есть (B˜nN V, V )nN = (λbV, V )nN . (2.19) НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 81 Подберем вектор u ∈ Rn таким образом, чтобы V был собственным вектором также и для матрицы A˜nN . Пусть n достаточно велико, так что p n p - < 1 , и все сдвиги оператора Aε(n) при n p p T n - ∈ x , 1 n n происходят внутри интервала (0, 1). Если взять вектор u = (u1,..., un) ∈ R с 0 координатами ui = 0, i = 1,..., p, i = n - p + 1,..., n, то (A˜nu, u)n = (A˜nu, u)n 0 , где матрица A˜n - 0 это матрица, полученная из A˜n наложением на нее «рамки» нулей ширины p. Матрица A˜n - это ∈ матрица A˜n-2p, т. е. принадлежит к тому же классу теплицевых матриц, что и матрица A˜n. В силу замечания 2.2, если inf f˜(λ)= 0, то для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется n N такое, λ min что λa min < ε, где λa 0 - минимальное собственное значение матрицы A˜n и собственный вектор 0 u ∈ Rn : ˜(Anu, u)n = λ a min (u, u)n . (Вектор u имеет нулевые координаты по краям.) Если взять V = (h1u, h2u,..., hN u)T ∈ RnN , hi - координаты собственного вектора h матрицы M , то (A˜ V, V )nN = (AblockV, V )nN , где матрица Ablock - блочная матрица, она состоит из RC nN 0 матриц A˜n, т. е. это прореженная нулями исходная матрица A˜nN . Используя соотношение N N i (V, V )nN = ) (hiu, hiu)n = (u, u)n ) h2, получаем i=1 i=1 N (A˜nN V, V )nN = (AblockV, V )nN = ) h2(A˜nu, u) N = ) hi2λa (u, u) = i 0 i=1 n i=1 = λ a min min (u, u)n n N min ) h2i = λa i=1 (V, V ) Nn. (2.20) То есть вектор V является собственным вектором матрицы A˜nN . Подставляя в (2.13) соотношения (2.19), (2.20), получим M (Rn V, V )nN = (B˜nN V, V )nN + (A˜nN V, V )nN = λb(V, V )nN + λ a min (V, V )Nn (0 + ε)(V, V )nN . M Таким образом, для любого ε > 0 найдется n ∈ N и вектор V : (Rn V, V )nN < ε(V, V )nN , что противоречит условию (2.12) равномерной положительной определенности матричного семейства M {Rn }n ∈N. M Лемма 2.7. Если совокупность матриц {Rn }n ∈N неотрицательно определена, то контроль- M ная матрица RC также неотрицательно определена. Доказательство аналогично. Таким образом, из лемм 2.3, 2.6 следует Q Теорема 2.1. Совокупность операторов {Rε } равномерно по ε ;;; 0 положительно определе- Q на тогда и только тогда, когда контрольный оператор RC является положительно опреде- M ленным (контрольная матрица RC является положительно определенной). Из лемм 2.4, 2.7 следует Q Теорема 2.2. Совокупность операторов {Rε } равномерно по ε ;;; 0 неотрицательно опре- C C делена тогда и только тогда, когда контрольный оператор RQ (контрольная матрица RM ) является неотрицательно определенным. Рассмотрим далее семейство симметричных разностных операторов Rε : L2(R) → L2(R) (Rεu)(x)= (Aεu)(x)+ (Bu)(x), (2.21) где разностные операторы B : L2(R) → L2(R) определены формулой (2.3); Aε : L2(R) → L2(R) - семейство возмущенных (относительно j - целого сдвига аргумента) разностных операторов: j (Aεu)(x)= a0u(x)+ aε (u(x + j + ε)+ u(x - j - ε)) , (2.22) где ε ∈ R, ε > 0 - малый параметр. 82 Е. П. ИВАНОВА Для интервала Q = (0,N ) введем операторы: Rε ε ε ε Q = PQR IQ : L2(Q) → L2(Q), AQ = PQA IQ : L2(Q) → L2(Q). Исследуем вопрос равномерной по ε положительной определенности семейства разностных опе- Q раторов Rε и в дальнейшем возможности предельного перехода при ε → 0. Q Используем метод оценки спектра операторов Rε , описанный выше. Для фиксированного ε обозначим jε := j + ε и представим N в виде: N = jεk + θ, k = k(ε)- Q натуральное, 0 <θ jε. Для оператора Aε разбиение области Q = (0,N ) состоит из двух классов. Первый класс состоит из областей: Q11 = (0, θ), Q12 = (jε, jε + θ), ..., Q1m = (mjε, mjε + θ), ..., Q1k = (kjε,N ). Второй класс областей: Q21 = (θ, jε), Q22 = (jε + θ, 2jε), ..., Q2m = ((m - 1)jε + θ, mjε), ..., Q2k = ((k - 1)jε + θ, kjε). Q В силу леммы 2.1 действие оператора Aε 1 сводится к умножению на матрицы Rε 2 и Rε где Rε k+1 ε 1 = ||rij ||i,j=1, rii = a0, ri,i+1 = ri+1,i = aj , i = 1,..., k, остальные элементы матрицы равны нулю. Матрица Rε размерности k × k - это матрица Rε без последней строки и столбца. Спектр Q оператора Aε 2 1 1 совпадает со спектром матрицы Rε . 1 Для 0 ε < 1 матрицы Rε могут отличаться только размерностью k(ε): min ε k(ε) = k(1) k(ε) max ε k(ε) = k(0), следовательно, число таких матриц конечно. Обозначим λmin - мини- 1 мальное собственное значение матриц Rε для всех 0 ε < 1. Тогда для любого u ∈ L2(Q) и любого 0 ε< 1 следовательно, Q (Aε u, u) L2(Q) ;;; λmin(u, u)L2(Q), где I - тождественный оператор. Q ((Aε - λminI)u, u) L2(Q) ;;; 0, (2.23) Q Введем контрольный разностный оператор RC = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q), где RC : L2(R) → L2(R) разностный оператор (RC u)(x)= a˜u(x)+ (Bu)(x), a˜ = λmin. Действию оператора RC , как и в разделе 2, соответствует умножение на матрицу RC , Q M определенную формулой (2.7). Q Теорема 2.3. Если оператор RC M (матрица RC ) положительно определен, то семейство Q разностных операторов Rε равномерно относительно малого параметра ε ;;; 0 положительно определено. Q Доказательство. Пусть оператор RC положительно определен, т. е. для некоторого c> 0 Q (RC u, u) L2(Q) ;;; c(u, u)L2(Q) для всех u ∈ L2(Q). В силу формулы (2.23) для всех ε ;;; 0 и u ∈ L2(Q) Q (Rε u, u) L2(Q) Q = (Aε u, u) L2(Q) + (BQu, u) L2(Q) = Q = ((Aε - λminI)u, u) L2(Q) + ((BQ + λminI)u, u) L2(Q) ;;; Q ;;; (RC u, u) L2(Q) ;;; c(u, u)L2(Q). НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 83 3. РАЗРЕШИМОСТЬ СЕМЕЙСТВА ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ Рассмотрим семейство краевых задач для дифференциально-разностных уравнений Q -(Rε u×ε(x))× = f (x), x ∈ Q, (3.1) Q где Q = (0,N ), ε ;;; 0, Rε = PQRεIQ, Rε - разностные операторы, определенные формулой (2.1), и f ∈ L2(Q). Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений вида (3.1), вообще говоря, не имеют гладких классических решений, и естественно определить решение в обобщенном смысле (см. [5]). Для Q = (0, a) введем в рассмотрение H˚1(Q) - пространство Соболева функций, у которых существует и принадлежит пространству L2(Q) обобщенная производная, H˚1(Q) = {u ∈ H1(Q)|u(0) = u(a)= 0 . Эквивалентная норма ||u||H˚1(Q) в 2 a H˚1(Q) определяется формулой ||u||2H˚1(Q) = Г (u×(x)) dx. 0 Определение 3.1. Обобщенным решением краевой задачи (3.1) будем называть функцию uε ∈ H˚1(Q), если для любой v ∈ H˚1(Q) выполнено интегральное тождество Q (Rε uε×, v×) L2(Q) = (f, v)L2(Q). (3.2) Введем в рассмотрение предельную задачу Q u -(Rlim ×lim (x))× = f (x), x ∈ Q, (3.3) Q где Rlim Q : L2(Q) → L2(Q), Rlim Q = PQRlimIQ, где оператор Rlim : L2(Q) → L2(Q) определен формулой (2.12) Решение задачи (3.3) также определяется интегральным тождеством Q u (Rlim ×lim 2 , v×)L (Q) = (f, v)L2(Q), (3.4) выполненным для любой функции v ∈ H˚1(Q). Замечание 3.1. Поскольку в силу замечания 2.2 из положительной определенности операто- Q ра RC Q следует положительная определенность оператора Rlim, условия существования решения предельной задачи являются более слабыми, чем условия возможности предельного перехода к ней. Этот свойство впервые было обнаружено Л. Е. Россовским в [3] для эллиптических задач со сжатием и растяжением аргумента и задач для дифференциально-разностных уравнений в случае, когда все отклонения аргумента пропорционально стремятся к нулю. Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству [3, лемма 2.11 и следствие 2.4]. Теорема 3.1. Пусть оператор RC является положительно определенным (матрица RC яв- Q M ляется положительно определенной). Тогда для любого ε > 0 существует единственное решение uε ∈ H˚1(Q) задачи (3.2) и существует единственное решение ulim ∈ H˚1(Q) предельной задачи (3.4). При этом uε → ulim (ε → 0) в норме пространства H˚1(Q). Q Доказательство. Из теоремы 2.1 следует, что все операторы Rε равномерно по ε ;;; 0 положительно определены и для некоторого c> 0 для всех u ∈ L2(Q) выполнено соотношение Q (Rε u, u) L2(Q) ;;; c(u, u)L2(Q), (3.5) Q где c не зависит от ε ;;; 0 и u ∈ L2(Q). Из положительной определенности операторов Rεn для всех ε > 0 следует существование и единственность решений uε ∈ H˚1(Q) задач (3.2) (см. [5]). Q В силу замечания 2.2 оператор Rlim также является положительно определенным и задача (3.4) имеет единственное решение ulim ∈ H˚1(Q). Из непрерывности производной u× ∈ L2(Q) в среднеквадратичном получим, что Q |(Rε u×, v×) L2(Q) Q · (Rlimu×, v×) L2(Q)| = |((Rε · Rlim)u×, v×) | l (Rε · Rlim)u× l v× hε(u)lvl˚1 , (3.6) Q Q L2(Q) Q Q L2(Q) L2(Q) H (Q) 84 Е. П. ИВАНОВА где hε(u) → 0 при ε → 0 для любой фиксированной функции u ∈ тождеств (3.2), (3.4) следует H˚1(Q). Из интегральных (Rε u× , v×) = (Rlimu×lim, v×) . Q ε Отсюда для любого v ∈ H˚1(Q) L2(Q) Q L2(Q) (Rε u×ε - Rε u×lim, v×) = (Rlimu×lim - Rε u×lim, v×) . Q Q L2(Q) Q Q L2(Q) Q Полагая v = uε - ulim, из равномерной положительной определенности операторов Rε и неравенства (3.6) получим c 2 ε ×ε ×lim ε lim 2 u×ε - u×lim L (Q) (RQ(u - u ), u× - u× )L2(Q) = Q u = (Rlim ×lim , u×ε - u×lim ) - (R u ε L2(Q) Q ×lim , u×ε - u×lim )L2(Q) hε(u lim) u×ε ×lim - u L2(Q), где c> 0, hε(ulim) → 0, ε → 0. Отсюда 2 hε(ulim) 2 u×ε - u×lim L (Q) c → 0, ε → 0, и, значит, luε - ulimlH˚1(Q) → 0, ε → 0. Пример 3.1. Рассмотрим семейство краевых задач для дифференциально-разностных уравнений Q -(Rn u×n(x))× = f (x), x ∈ Q = (0, 2), n ∈ N, (3.7) где Rn : L2(Q) → L2(Q), Rn = PQRnIQ, Rn - разностные операторы: Q Q (Rnu)(x)= a0u(x)+ aε(u(x + 1/n)+ u(x - 1/n)) + b1(u(x + 1)+ u(x - 1)). (3.8) Это задача вида (3.2) при ε = 1 n → 0, n → ∞. Везде ниже в примерах будем рассматривать этот случай. Получим условия на коэффициенты разностного оператора a0, aε, b1, при которых существует последовательность un ∈ H˚1(Q) обобщенных решений краевых задач (3.7), сходящаяся при n →∞ в пространстве H˚1(Q) к обобщенному решению ulim ∈ H˚1(Q) предельной задачи: Q u -(Rlim ×lim (x))× = f (x), x ∈ Q, (3.9) где Rlim : L2(Q) → L2(Q), Rlim = PQRlimIQ, Rlim - предельный разностный оператор: Q Q (Rlim u)(x)= (a0 + 2aε)u(x)+ b1(u(x + 1)+ u(x - 1)). Введем контрольный оператор (RC u)(x)= a˜u(x)+ b1(u(x + 1)+ u(x - 1)). Символ теплицевых матриц возмущенных операторов: f (λ)= a0 + 2aε cos(λ), a˜ := m = inff (λ)= λ a0 - 2|aε|. Контрольная матрица: ( a˜ b \\ (a - 2 |a | b \\ . (3.10) RC 1 = 0 ε 1 M = b1 a˜ b1 a0 - 2 |aε| M Условие положительной определенности матрицы RC : a0 - 2 |aε|- |b1| > 0. (3.11) В силу теоремы 2.1 условия (3.11) являются необходимыми и достаточными для положительной определенности семейства возмущенных операторов. Если использовать стандартный символ дифференциально-разностных операторов (см. [5]), достаточным условием положительной опреде- 0 ε 1 ∀ ∈ λ ленности будет условие g(λ)= a + 2a cos + 2b cos(λ) > 0 λ R или n a0 - 2|aε|- 2|b1| > 0. (3.12) Для решения задач используется программная среда Maple. Решения строятся аналитически, методом сведения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений к нелокальным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, см. [5]. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 85 РИС. 1. Графики решений ulim(x) и u100(x) из РИС. 2. Графики обобщенных производных примера 3.1. Сходимость возмущенных решений к ulim(x). u ! 100 lim (x) и u! (x) решений из примера 3.1. Значения коэффициентов разностных операторов, удовлетворяющих равенству a0 - 2 |aε|- |b1| = 0, (3.13) назовем критическими. Рассмотрим поведение семейства решений краевых задач в окрестности критических значений коэффициентов. Пусть коэффициенты a0 = 1, aε = 0,33, b1 = -0,33. Последовательность разностных операторов: (Rnu)(x)= u(x)+ 0,33(u(x + 1/n)+ u(x - 1/n)) - 0,33(u(x + 1)+ u(x - 1)). Неравенство (3.11) выполнено: 1 - 0,99 = 0,01 > 0, и в силу теоремы 3.1 при n →∞ решения возмущенных задач (3.7) сходятся в пространстве H˚1(Q) к ulim - решению предельной задачи (3.9) с разностным оператором (Rlimu)(x)= 1,66u(x) - 0,33(u(x + 1)+ u(x - 1)). Минимальное собственное значение λC матрицы RC : λC = 0,01 > 0. При этом условие (3.12) min M min не выполняется и мы находимся за рамками традиционных достаточных условий положительной определенности разностных (и соответствующих дифференциально-разностных операторов). Для f (x)= -10 получено решение ulim ∈ H˚1(0, 2) предельной задачи (3.9): - (3,76x2 6,27x, 0 <x 1, ulim(x)= 3,76x2 - 8,77x + 2,49, 1 x< 2. Обобщенная производная предельной задачи u×lim ∈ L2(0, 2): - (7,52x 6,27, 0 <x 1, u×lim(x)= Минимальное собственное значение λ100 7,52x - 8,77, 1 <x< 2. (n = 100) матрицы Rn : λ100 = 0,0103 > λC > 0. min M min min На рис. 1 представлены графики решений ulim(x) и u100(x). На рис. 2 даны графики обобщенных производных решений. Два отрезка параллельных прямых - график функции u×lim(x), кривые в форме XX - график обобщенной производной u×100(x). Пример 3.2. Рассмотрим задачу из примера 3.1 с коэффициентами разностного оператора: a0 = 1, aε = 1/3, b1 = -1/3. Это критический случай: коэффициенты удовлетворяют равенству (3.13). Условие теоремы 2.1 не выполнено. Однако предельный разностный оператор 86 Е. П. ИВАНОВА РИС. 3. Графики решений ulim(x) и u100(x) из примера 3.2. Критический случай: сходимость возмущенных решений к ulim(x) только в L2(Q). РИС. 4. Графики обобщенных производных u!lim(x) и u!100(x) решений из примера 3.2. Rlim lim lim 5 1 Q = PQR - - IQ, (R u)(x) = u(x) (u(x + 1)+ u(x 1)) остается положительно опреде- 3 3 ленным и решение ulim ∈ H˚1(0, 2) задачи (3.9) существует и единственно: - (3,75x2 6,25x, 0 <x 1, ulim(x)= 3,75x2 - 8,75x + 2,50, 1 x< 2. Возмущенные разностные операторы также положительно определены (результат компьютерного моделирования) и существуют и единственны решения un ∈ H˚1(0, 2) соответствующих за- M дач (3.7). Совокупность матриц Rn в силу леммы 2.3 является неотрицательно определенной. M Однако в силу теоремы 2.1 равномерная по n положительная определенность матриц Rn отсутствует: infλn =0 (λn → 0 при n → ∞). n min min min На рис. 3 приведены графики решений ulim(x) и u100(x) для n = 100, при этом λ100 = 3·10-4 > 0. На рис. 4 приведен график функции u×lim(x): - (7,5x 6,25, 0 <x 1, u×lim(x)= 7,5x - 8,75, 1 <x< 2, и график функции u×100(x) - штрих-пунктирные линии («реплика» функции Дирихле). На рис. 5 приведены графики решений ulim(x) и u200(x). Минимальное собственное значение матрицы R200: λ200 =8 · 10-5 > 0, и λn → 0 с ростом n. M min min Условия теоремы 3.1 не выполнены, решения возмущенных задач un при n → ∞ не сходятся в норме H˚1(0, 2) к решению предельной задачи ulim, однако, как показывает компьютерное моделирование, в норме L2(0, 2) сходимость сохраняется. Пример 3.3. В задаче из примера 3.1 положим значения коэффициентов разностного оператора a0 = 1, aε = 0,35, b1 = -0,33. Условие (3.11) нарушается: 1 - 0,7 - 0,33 = -0,03 < 0. При M достаточно больших n появляются отрицательные собственные значения матриц Rn разностных min операторов. Так, λ200 = -0,03 < 0. На рис. 6 представлены графики решений ulim(x) и u200(x) - пилообразный. На рис. 7 приведены графики обобщенных производных решений. График функции u×200(x) ∈ L2(0, 2) - «облако» точек. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 87 РИС. 5. Графики решений ulim(x) и u200(x) из примера 3.2. Критический случай: сходимость в L2(Q). РИС. 6. Графики решений ulim(x) и u200(x) из РИС. 7. Графики обобщенных производных примера 3.3. Возмущенные решения расходятся. u ! lim 200 (x) и u! (x) решений из примера 3.3. Последовательность решений un(x) при n → ∞ расходится как в пространстве H˚1(0, 2), так и в L2(0, 2). Рассмотрим далее семейство краевых задач для дифференциально-разностных уравнений Q -(Rε u×ε(x))× = f (x), x ∈ Q, (3.14) Q где ε > 0 - малый параметр (возмущение относительно сдвига аргумента), Q = (0,N ), Rε = PQRεIQ, Rε - разностные операторы, определенные формулой (2.21), f ∈ L2(Q). 88 Е. П. ИВАНОВА Решения uε ∈ H˚1(Q) краевой задачи (3.14) будем понимать в смысле определения 3.1: если для любой v ∈ H˚1(Q) выполнено интегральное тождество Q (Rε u×ε, v×) L2(Q) = (f, v)L2(Q). (3.15) Введем в рассмотрение предельную задачу Q u -(Rlim ×lim (x))× = f (x), x ∈ Q, (3.16) где Rlim : L2(Q) → L2(Q), Rlim = PQRlimIQ, Q Q N j (Rlimu)(x)= a0u(x)+ aε (u(x + j)+ u(x - j)) + ) bk (u(x + k)+ u(x - k)). k=1 Решение ulim ∈ H˚1(Q) уравнения (3.16) также определяется интегральным тождеством Q u (Rlim ×lim 2 , v×)L (Q) = (f, v)L2(Q), (3.17) выполненным для любой функции v ∈ H˚1(Q). Аналогично теореме 1.4 доказывается следующая теорема. M Теорема 3.2. Пусть матрица RC положительно определена. Тогда при любых достаточно малых ε > 0 существуют единственные решения uε ∈ H˚1(Q) задач (3.14) и существует единственное решение ulim ∈ H˚1(Q) предельной задачи (3.16). При этом uε → ulim (ε → 0) в норме пространства H˚1(Q). Пример 3.4. Рассмотрим семейство возмущенных краевых задач для дифференциально-разностных уравнений Q -(Rn u×n(x))× = f (x), x ∈ Q = (0, 2), n ∈ N, (3.18) n n n n где RQ : L2(Q) → L2(Q), RQ = PQR IQ, R - разностные операторы: (Rnu)(x)= a0u(x)+ aε(u(x +1+ 1/n)+ u(x - 1 - 1/n)) + b1(u(x + 1)+ u(x - 1)). ∈ Это краевые задачи вида (3.14), где ε = 1 , n N. Получим условия на коэффициенты разностn ного оператора aε, b1, при которых последовательность un ∈ H˚1(Q) обобщенных решений краевых задач (3.18), сходится при n →∞ в H˚1(Q) к решению ulim ∈ H˚1(Q) предельной задачи: Q u -(Rlim ×lim (x))× = f (x), x ∈ Q, (3.19) где Rlim : L2(Q) → L2(Q), Rlim = PQRlimIQ, Rlim - предельный разностный оператор: Q Q (Rlimu)(x)= a0u(x)+ (b1 + aε)(u(x + 1)+ u(x - 1)). Q Для разностных операторов An = PQAnIQ : L2(Q) → L2(Q), (Anu)(x)= a0u(x)+ aε(u(x +1+ 1/n)+ u(x - 1 - 1/n)), n ∈ N, построим разбиение области Q = (0, 2) на два класса подобластей: Q11 = 0, 1 - 1 , Q12 = n 1+ 1 , 2 n , Q21 = 1 1 1 - , 1+ . В силу леммы 2.1 первому классу областей соответствуют умножение на матрицу n n R1 = (a0 aε\\ . aε a0 Второму классу областей (одной области Q21) соответствуют умножение на константу a0. Минимальное собственное значение λmin матрицы R1: λmin = a0 - |aε|. Положим a˜ = λmin = a0 - |aε|. Контрольная матрица: ( a˜ b \\ (a - |a | b \\ . RC 1 = 0 ε 1 M = b1 a˜ b1 a0 - |aε| M Условие положительной определенности матрицы RC : a0 - |aε|- |b1| > 0. (3.20) НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 89 РИС. 8. Графики решений ulim(x) и u100(x) из примера 3.4. Случай сходимости возмущенных решений un к ulim(x). РИС. 9. Графики решений ulim(x) и u100(x) из примера 3.4. Случай расходимости возмущенных решений. В силу теоремы 2.3 условие (3.20) является достаточным для равномерной положительной определенности семейства возмущенных операторов. 1. Пусть коэффициенты a0 = 1, aε = 0,58, b1 = -0,4,f (x)= -10. Последовательность разностных операторов примет вид: (Rnu)(x)= u(x)+ 0,58(u(x +1+ 1/n)+ u(x - 1 - 1/n)) - 0,4(u(x + 1)+ u(x - 1)). Неравенство (3.20) выполнено: 1 - 0,4 - 0,58 = 0,02 > 0, и в силу теоремы 3.2 при n → ∞ решения возмущенных задач (3.18) сходятся в H˚1(Q) к ulim - решению предельной задачи (3.19) с разностным оператором (Rlimu)(x)= u(x)+ 0,18(u(x + 1)+ u(x - 1)). Минимальное собственное значение λ100 (n = 100) матрицы Rn : λ100 = 0,02 > 0. На рис. 8 min представлены графики решений ulim(x) и u100(x), f (x)= -10. M min 2. Пусть коэффициенты a0 = 1, aε = 0,62, b1 = -0,4. Последовательность разностных операторов примет вид: (Rnu)(x)= u(x)+ 0,62(u(x +1+ 1/n)+ u(x - 1 - 1/n)) - 0,4(u(x + 1)+ u(x - 1)). Неравенство (3.20) не выполнено: 1-0,4-0,62 = -0,02 < 0. При достаточно больших n появляются M отрицательные собственные значения матриц Rn min разностных операторов. Так, λ100 = -0,2 < 0. При этом существует ulim ∈ H˚1(Q) - решение предельной задачи (3.19) c разностным оператором (Rlimu)(x)= u(x)+ 0,22(u(x + 1)+ u(x - 1)). На рис. 9 представлены графики решений ulim(x) и u100(x). Последовательность решений un(x) при n →∞ расходится в пространстве H˚1(0, 2). Приведенные примеры иллюстрируют резкое изменение характера поведения семейства решений краевых задач при небольших изменениях коэффициентов разностных операторов в окрестности критических значений. Это говорит о том, что полученные в статье условия равномерной положительной определенности семейства возмущенных дифференциально-разностных операторов и условия возможности осуществления предельного перехода являются точными. 1. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ Рассмотрим разностный оператор Rτ : L2(R) → L2(R) (Rτ u)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ )+ u(x - τ )) + (Bu)(x), (4.1) 90 Е. П. ИВАНОВА где B : L2(R) → L2(R) - разностный оператор N -1 (Bu)(x)= ) bk (u(x + k)+ u(x - k)), k=1 a0, aτ , bk - вещественные постоянные, τ - иррациональное, 0 < τ < N. В общем случае это означает наличие в разностном операторе Rτ несоизмеримых сдвигов. Назовем оператор Rτ иррацио- Q нальным. Введем оператор Rτ Q : L2(Q) → L2(Q), Rτ = PQRτ IQ, где Q = (0,N ). Q Получим условия положительной определенности оператора Rτ . Исследуем также вопрос аппроксимации этого оператора последовательностью операторов с соизмеримыми сдвигами (рациональными операторами). Рассмотрим сначала случай малых τ ∈ (0; 0,5). Зададим τ с помощью дихотомии отрезка [0, 1] (опираясь на лемму Кантора о вложенных отрезках). Поставим τ в соответствие последовательность T = (T1, T2, T3,..., Tn,.. .), Ti =0 или 1. Если на n-м шаге при делении отрезка пополам τ попадает в левую половину, полагаем T (n) := 0, если в правую, то T (n) := 1. Получаем число τ в двоичной системе: τ = 0, T1T2 ... Tn .... Обозначим τ (0) := 0, τ (n) := τ (n - 1) + T (n)/2n. Так как τ ∈ (0; 0,5), то T (1) = 0. Последовательность τ (n) ∈ Q фундаментальна и τ (n) → τ, n → ∞. Изменению τ (n) соответствует номер k(n) := 2k(n - 1) + T (n), k(0) := 0. При этом τ (n)= k(n)/2n. Рассмотрим последовательность рациональных разностных операторов Rn : L2(R) → L2(R), (Rnu)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ (n))) + u(x - τ (n)) + (Bu)(x)= = a0u(x)+ aτ ( u x + k(n) 2n x + u - k(n) 2n \\ + (Bu)(x). (4.2) Введем соответствующие операторы Rn : L2(Q) → L2(Q), Rn = PQRnIQ. Q Получим достаточные условия равномерной по купности рациональных разностных операторов { Q n ∈ N положительной определенности всей совоn Q}n∈N (и соответствующих им дифференциаль- R но-разностных операторов), а, следовательно, и возможности перехода к пределу при n → ∞. Для оценки введем контрольный разностный оператор RC : L2(R) → L2(R), (RC u)(x)= a˜u(x)+ (Bu)(x). Q Рассмотрим также оператор RC Q : L2(Q) → L2(Q), RC = PQRC IQ. Так же как и в разделе 2, оценим спектр последовательности операторов {Rn }n N через спектр контрольного оператора RC , Q ∈ Q подобрав соответствующий коэффициент a˜. M Контрольная матрица RC Q определена как в разделе 2 по формуле (2.7). Оператору Rn соответ- M ствует умножение на матрицу Rn размерности N 2n × N 2n: Rn n,k(n) 2n M = A + B . Матрицы B2n = lBij li,j=1,..,N состоят из клеток Bij ij = E2n r , где E2n - единичные матрицы размерности 2n, rij - элементы матрицы RC . Матрицы An,k(n) = lαij l таковы, что M aii = a0, ai,i+k(n) = aτ , aij = aji, остальные aij = 0. i,j=1,...,N 2n Доказательство следующей леммы 4.1 аналогично доказательству леммы 2.2. Отличие в том, что размерность матриц на каждом шаге удваивается, и класс теплицевых матриц An,k(n), n ∈ N, меняется от шага к шагу. Однако если T (n)= 0, то при переходе от n - 1 к n класс не меняется. M Лемма 4.1. Если при a˜ := a0 - 2|aτ | контрольная матрица RC положительно определена, то матрицы {Rn }n N равномерно по n положительно определены, т. е., если c - минимальное M ∈ n M собственное значение матрицы RC и c> 0, то для всех x ∈ RN 2 , n ∈ N, (Rn x, x) M N 2n ;;; c(x, x)N 2n . λ Доказательство. Матрицы An,k(n), n ∈ N, принадлежат, вообще говоря, к разным классам теплицевых матриц за счет «плывущей» побочной диагонали, состоящей из элементов aτ . Однако при этом для всех этих матриц символы fn(λ)= a0 + 2aτ cos(λk(n)) имеет одну и ту же нижнюю грань a˜ = m := inffn(λ) = a0 - 2|aτ |. Следовательно, все собственные значения τnp множества матриц {An,k(n)}n ∈N удовлетворяют неравенству τnp ;;; m. Далее доказательство повторяет доказательство леммы 2.2. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 91 Замечание 4.1. В отличие от случая леммы 2.2 это условие не является необходимым. Оно тем ближе к необходимому, чем меньше τ. Получим теперь условия положительной определенности иррациональных разностных операто- Q ров Rτ для произвольного τ : 0 <τ < N. Разделим N с остатком на τ : N = τk+θ, k - натуральное, 0 <θ τ. Так же как в разделе 2, построим разбиение области Q = (0,N ) на два класса непересекающихся подобластей. Первый класс состоит из областей: Q11 = (0, θ), Q12 = (τ, τ + θ), ..., Q1i = (iτ, iτ + θ), ..., Q1k = (ik, N ). Второй класс областей: Q21 = (θ, τ ), Q22 = (τ + θ, 2τ ), ..., Q2i = ((i - 1)τ + θ, iτ ), ..., Q1k = ((k - 1)τ + θ, kτ ). Введем вспомогательный разностный оператор Ra : L2(R) → L2(R), (Rau)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ )+ u(x - τ )). Q В силу леммы 2.1 действие оператора Ra Q : L2(Q) → L2(Q), Ra = PQRaIQ сводится к умножению i,j=1 на матрицы R1,R2: R1 = ||rij ||k+1 , rii = a0, ri,i+1 = ri+1,i = aτ , i = 1,..., k, остальные элементы матрицы равны нулю. Матрица R2 размерности k × k - это матрица R1 без последней строки Q и столбца. Спектр оператора Ra также в силу леммы 2.1 совпадает со спектром матрицы R1. Обозначим λmin - минимальное собственное значение матрицы R1. Тогда для любого u ∈ L2(Q) Q (Ra u, u) L2(Q) ;;; λmin(u, u)L2(Q). (4.3) Q Введем контрольный разностный оператор RC = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q), где RC : L2(R) → L2(R) разностный оператор (RC u)(x)= a˜u(x)+ (Bu)(x), a˜ = λmin. (4.4) Действию оператора RC , как и в разделе 2, соответствует умножение на матрицу RC , опре- Q M деленную формулой (2.7). Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 2.3. Q Теорема 4.1. Если оператор RC M (матрица RC ) является положительно определенным, то Q оператор Rτ также положительно определен. Замечание 4.2. Для оператора Rτ с произвольным иррациональным τ можно методом, изложенным ранее, построить аппроксимирующую последовательность рациональных операторов (Rnu)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τn)+ u(x - τn)) + (Bu)(x), (4.5) где τn ∈ Q, τn → τ, n → ∞. Начиная с некоторого номера Nτ , матрицы соответствующих Q операторов Rn = PQRnIQ совпадают с матрицами R1,R2, следовательно, условия положительной определенности иррационального и аппроксимирующих рациональных операторов совпадают. Замечание 4.3. Теорема 4.1 верна также и для малых τ. Но в этом случае размерности матриц R1, R2 велики и вычисление их собственных значений трудоемкая задача, удобнее применять для оценки положительной определенности лемму 4.1. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ СДВИГАМИ Рассмотрим краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения Q -(Rτ u× (x))× = f (x), x ∈ Q, (5.1) Q где Rτ = PQRτ IQ : L2(Q) → L2(Q), Rτ - иррациональный разностный оператор, определенный формулой (4.1), f ∈ L2(Q). Обобщенное решение uτ ∈ H˚1(Q) краевой задачи (5.1) будем понимать в смысле определения 3.1: если для любого v ∈ H˚1(Q) выполнено интегральное тождество Q (Rτ u×τ , v×) L2(Q) = (f, v)L2(Q). (5.2) Рассмотрим также последовательность рациональных краевых задач Q -(Rn u×n(x))× = f (x), x ∈ Q, n ∈ N, (5.3) 92 Е. П. ИВАНОВА Q где Rn = PQRnIQ, а разностные операторы Rn определяются формулой (4.5). Решения un ∈ H˚1(Q), n ∈ N задач (5.3) также определяется интегральными тождествами Q (Rn u×n, v×) L2(Q) 2 = (f, v)L (Q), ∀v ∈ H˚1(Q) (5.4) Теорема 5.1. Пусть контрольный оператор RC (контрольная матрица RC ) положительно Q определен. Тогда существует единственное решение uτ ∈ M H˚1(Q) задачи (5.1) и начиная с некоторого Nτ ∈ N при n > Nτ решения un ∈ H˚1(Q) рациональных задач (5.3). При этом n=1 последовательность решений {un}∞ фундаментальна в H˚1(Q) и un → uτ ∈ H˚1(Q) при n →∞ в пространстве H˚1(Q). Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1 и опирается на лемму 4.1 и теорему 4.1. Пример 5.1. Рассмотрим краевую задачу (5.1) с разностным оператором (Rτ u)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ )+ u(x - τ )) + b1(u(x + 1)+ u(x - 1)), (5.5) где 0 <τ < 0,5, τ - иррациональное, Q = (0, 2), f (x)= -10. M Матрица RC , как и в примере 3.1, задается формулой (3.10), а условие ее положительной определенности a0 - 2|aτ |- |b1| > 0. (5.6) В силу леммы 4.1 это достаточное условие финальной (при n → ∞) равномерной положительной определенности семейства рациональных операторов Rn ,n ∈ N, Rn = PQRnIQ, Q Q (Rnu)(x)= a0u(x)+ aτ (u(x + τ (n)) + u(x - τ (n))) + b1(u(x + 1)+ u(x - 1)), где τ (n) → τ, n →∞, τ (n) ∈ Q. 1. Пусть τ = √ /16. В двоичной системе τ = 0,00001011 ..., τ (7) = 5/128, τ (8) = 11/256 = 2 11/28. Для коэффициентов a0 = 1, aτ = 0,1, b1 = 0,79 условие теоремы 4.1 (2aτ + b1 = 0,99 < a0 = 1) выполнено. Минимальное собственное значение λC матрицы RC : λC = 0,01 > 0. min M min Последовательность рациональных разностных операторов положительно определена, последовательность решений рациональных краевых задач существует, фундаментальна в H˚1(Q) и сходится к решению предельной задачи uτ ∈ H˚1(Q). В программной среде Maple реализован алгоритм, изложенный в разделе 4, рациональные задачи решаются аналитически, методом сведения их к нелокальным задачам [5]. На рис. 10 приведены графики решений u7, u8 краевых задач (5.4). На рис. 11 приведены графики соответствующих обобщенных производных этих решений. Минимальное собственное min значение λ8 M матрицы R8 : λ 8 min min = 0,0105 > λC = 0,01. 2. Пусть a0 = 1, aτ = 0,33, b1 = 0,34. Достаточное условие (5.6) положительной определенности рациональных операторов нарушается (2aτ + b1 = 1,01 > a0 = 1); при этом оказывается, что оно близко к необходимому: у разностных операторов появляются отрицательные собственные min значения: λ8 = -0,08 < 0. В этом случае последовательность решений un, n → ∞, расходится как в пространстве H˚1(0, 2), так и в L2(0, 2). На рис. 12 приведены графики решений u7, u8 краевых задач (5.3), на рис. 13 графики u×7, u×8. Пример 5.2. Пусть теперь в разностном операторе Rτ из примера 5.1 иррациональный сдвиг τ Q таков, что 0,7 < τ < 1. Обозначим θ := 2 - 2τ. Для оператора Ra = PQRaIQ : L2(Q) → L2(Q), (Ra u)(x) = a0u(x)+ aτ (u(x + τ )+ u(x - τ )) по алгоритму, описанному в разделе 4, построим разбиение области Q на два класса подобластей: Q11 = (0, θ), Q12 = (τ, τ + θ), Q13 = (2τ, 2τ + θ); Q21 = (θ, τ ), Q22 = (τ + θ, 2τ ). В силу леммы 2.1 первому классу областей соответствуют умножение на матрицу ⎛a0 aτ 0 ⎞ R1 = ⎝aτ a0 aτ ⎠ . 0 aτ a0 НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 93 РИС. 10. Графики решений u7, u8 рациональных задач из примера 5.1. Последовательность решений сходится в H˚1(Q). РИС. 11. Графики обобщенных производных u!7, u!8 решений из примера 5.1. Сходимость в H˚1(Q). РИС. 12. Графики решений u7, u8 рациональных задач из примера 5.1. Случай расходимости решений. РИС. 13. Графики обобщенных производных u!7, u!8 решений из примера 5.1. Случай расходимости решений. Ее собственные значения λ1 = a0, λ2 = a0 + √2|aτ |, λ3 = a0 - √2|aτ |. Второму классу областей соответствует умножение на матрицу R2 = (a0 aτ \\ . aτ a0 Ее собственные значения λ4 = a0 + |aτ |, λ5 = a0 - |aτ |. Минимальное собственное значение - | | λmin := min λi = λ3 = a0 √2 aτ . Оператор RC примет вид 1 i 5 (RC u)(x)= (a0 - √2|aτ |)u(x)+ b1(u(x + 1)+ u(x - 1)). 94 Е. П. ИВАНОВА РИС. 14. Графики решений u7, u8 рациональных задач из примера 5.2. Последовательность решений сходится в H˚1(Q). 7 РИС. 15. Графики обобщенных производных u! , u 8 ! решений рациональных задач из примера 5.2. Сходимость решений в H˚1(Q). Q Действию оператора RC = PQRC IQ : L2(Q) → L2(Q) соответствует умножение на матрицу = RC (a0 √ · 2|aτ | b1 \\ . M b1 √ a0 - 2|aτ | Критерий ее положительной определенности: √ a0 - 2|aτ |- |b1| > 0. (5.7) Q Следовательно, в силу теоремы 4.1 это достаточное условие положительной определенности оператора Rτ . Q Если для оценки оператора Rτ использовать стандартный символ, основанный на преобразова- Q нии Фурье, то достаточным условием положительной определенности Rτ будет: a0 - 2|aτ |- 2|b1| > 0. 1 1 Значения параметров a0 = 1, aτ = √ , b1 = - в данной задаче являются критическими: 2 2 2 √ a0 - 2|aτ |- |b1| = 0. 1. Пусть τ = √2/2. В двоичной системе τ = 0,10110101 .... Тогда τ (7) = 45/64, τ (8) = 181/256 = 181/28. Мелкость разбиения 1/256. Для коэффициентов разностного оператора: a0 = 1, aτ = 1 1 √ , b1 = - + 0,05 условие (5.7) теоремы 5.1 выполнено: √2|aτ | + |b1| = 0,95 < a0 = 1. 2 2 2 Следовательно, последовательность рациональных разностных операторов положительно определена, последовательность решений un рациональных краевых задач фундаментальна в H˚1(Q) и сходится при n →∞ к решению uτ ∈ H˚1(Q) предельной задачи (5.1). На рис. 14 приведены графики решений u7, u8 рациональных краевых задач. На рис. 15 приведены графики обобщенных производных этих решений. 2. Пусть в операторе Rτ коэффициенты a0 = 1, aτ = 1 1 √ , b1 = - · 0,02. В этом случае √ 2 2 2 Q 2|aτ | + |b1| = 1,02 > a0 = 1 и условие (4.2) не выполнено. Оператор RC имеет отрицательные Q собственные значения. У операторов Rn также появляются отрицательные собственные значения. Последовательность решений un рациональных краевых задач расходится в H˚1(Q). На рис. 16 приведены графики решений u7, u8 краевых задач (5.4), на рис. 17 приведены графики u×7, u×8. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ СДВИГОВ АРГУМЕНТА 95 РИС. 16. Графики решений u7, u8 рациональных задач из примера 5.2. Случай расходимости решений. РИС. 17. Графики обобщенных производных u!7, u!8 решений рациональных задач из примера 5.2. Случай расходимости решений. Замечание 5.1. Результаты компьютерного моделирования демонстрируют, что даже при небольших изменениях коэффициентов, приводящих к нарушению выполнения полученного в статье условия положительной определенности, могут появляться отрицательные собственных значения рациональных операторов и последовательность рациональных решений расходятся. Полученные в статье достаточные условия положительной определенности операторов с несоизмеримыми сдвигами близки к необходимым. Замечание 5.2. Теоремы 4.1, 5.1 можно обобщить на случай нескольких несоизмеримых отклонений. Результаты статьи также обобщаются на случай дифференциально-разностных уравнений для функций многих переменных. Автор выражает благодарность Л. Е. Россовскому и А. Л. Скубачевскому за постановку задачи, полезные обсуждения результатов работы и ряд ценных советов, способствующих ее развитию.