О скорости стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами

Аннотация

Для параболического уравнения в полупространстве D = RN × [0, ∞), N>=3, рассматривается задача Коши L1u ≡ Lu + c(x, t)u - ut = 0, (x, t) ∈ D, u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . В зависимости от оценок на коэффициент c(x, t) уравнения доказана степенная либо экспоненциальная скорость стабилизации к нулю решения задачи Коши равномерно по x на каждом компакте K в RN для произвольной ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x).

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе будут изучены два случая близких к окончательным достаточных условий, налагаемых на младший коэффициент c(x, t) параболического уравнения, которые гарантируют стабилизацию к нулю с определенной скоростью решения соответствующей задачи Коши равномерно относительно x на каждом компакте K в RN , N 3, при любой ограниченной и непрерывной начальной функции. В первом случае, когда α2 c(x, t) ::: - r2 при больших r, мы получим степенную скорость стабилизации к нулю решения задачи Коши. Во втором случае, когда α2 1 c(x, t) ::: - r2k , 0 < k < 2 при больших r, мы получим экспоненциальную скорость стабилизации к нулю соответствующей задачи Коши. В полупространстве D = RN × [0, ∞) рассмотрим задачу Коши при N 3: L1u ≡ Lu + c(x, t)u - ut = 0, (x, t) ∈ D, (1.1) u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN , (1.2) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 15-01-00471. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 53 54 В. Н. ДЕНИСОВ где Lu = N i k aik (x, t)ux x . (1.3) Предполагается, что: i,k=1 1. Коэффициенты уравнения (1.1) действительны, aik = aki, (i, k = 1,...,N ), и существуют положительные постоянные λ0, λ1,такие, что λ2 0 = inf N 2 aik (x, t)ξiξk , λ1 = sup N aik (x, t)ξiξk , (1.4) где D,|ξ|=1 i,k=1 / D,|ξ|=1 i,k=1 |ξ| = ξ2 + ··· + ξ2 , ∀(x, t) ∈ D. 1 N 2. Коэффициенты уравнения (1.1) непрерывны, ограничены и удовлетворяют условию Гельдера (см. [11, с. 92, неравенства (4.14), (4.15)]). 3. Коэффициент c(x, t) неположителен в D и удовлетворяет условию (C), т. е. найдется постоянная α > 0 такая, что 1 x2 где r = / N + ··· + x2 . c(x, t) ::: aα(r)= -α2 min (1, r-2), (1.5) 4. Начальная функция u0(x) непрерывна и ограничена в RN : |u0(x)| ::: M, (1.6) Задача Коши (1.1), (1.2) изучалась во многих работах (см. например [8, 11, 15]). При сделанных здесь предположениях существует и единственно классическое ограниченное решение задачи (1.1), (1.2) (см. [11, с. 78, теорема 4]). Изучению скорости стабилизации решения параболических уравнений посвящено значительное число работ [4-6, 8, 11, 15]. В работе [11, с. 181] методом барьеров, основанным на принципе максимума, установлено, что для ограниченной начальной функции u0(x) решение задачи Коши (1.1), (1.2) с ограниченными коэффициентами удовлетворяет неравенству |u(x, t)| ::: M exp(-at),a > 0,t > 0, (1.7) равномерно по x во всем RN , если младший коэффициент уравнения (1.1) удовлетворяет неравенству c(x, t) ::: -α2. (1.8) Отметим, что в работах [4-6] были получены другие оценки стремления к нулю при t → ∞ решения задачи Коши и краевых задач, однако при этом от начальной функции u0(x) требовалось, чтобы u0(x) была достаточно гладкой и финитной [4, c. 5], или чтобы u0(x) была ограниченной и непрерывной и существовал интеграл [6, c. 44]: r u0(x)dx < ∞. RN Целью настоящей работы является существенное ослабление условия (1.8) на коэффициент c(x, t) уравнения и установление степенной либо экспоненциальной скорости стабилизации к нулю решения задачи Коши (1.1), (1.2), равномерно по x на каждом компакте K в RN для произвольной ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x). Методы доказательства основаны на построении антибарьеров [18] с точной оценкой на бесконечности с учетом поведения коэффициентов при больших |x| и не использует оценок фундаментального решения задачи Коши. Будем говорить, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) стабилизируется к нулю в точке x ∈ RN (равномерно относительно x на каждом компакте K в RN ), если существует предел lim u(x, t)=0 (1.9) t→∞ в точке x ∈ RN (равномерно относительно x на каждом компакте K в RN ). О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 55 Стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка для различных классов начальных функций изучалась в работах [7, 9, 10]. С обзором работ по стабилизации решений параболических уравнений можно ознакомиться в работе [8]. Много интересной информации по параболическим уравнениям содержится в [2]. Из теоремы 3, доказанной в работе [10], следует справедливость утверждения: Теорема 1.1. Если при некотором α > 0 выполнены условия (C) на коэффициент c(x, t), то для любой ограниченной непрерывной начальной функции u0(x) решение задачи (1.1), (1.2) стабилизируется к нулю равномерно относительно x на каждом компакте K в RN . Как показано в работе [7], это утверждение является точным, т. е. нельзя заменить компакт K в этой теореме на все пространство RN . Если при 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ 2 2 α2 > λ2(S - 1),S = (N - 1)λ1 + λ0 , (2.1) λ 1 2 0 для коэффициента c(x, t) выполнено условие (C), то для любой ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x) для решения задачи Коши (1.1), (1.2) справедливо неравенство λ1(α) |u(x, t)| ::: Mt- 3 ,M > 0,t > t1 > 0, (2.2) равномерно относительно x на каждом компакте K в RN , где 2 - S + √D1 λ1(α)= α 2 , D1 = (2 - S)2 + 4α2 (2.3) λ α = ,M = M (K, α, λ0, λ1) 1 Рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.2), когда Lu = Δu - оператор Лапласа, т. е. Δu + c(x, t)u - ut =0 в D, (2.4) u(x, t)= u0(x),x ∈ RN , (2.5) где для c(x, t) выполнены те же условия (C), что в задаче (1.1), (1.2), u0(x) - произвольная непрерывная ограниченная функция. Имеет место следующий результат. Теорема 2.1. Если при α2 > (N - 1) для коэффициента c(x, t) выполнено условие (C), то для любой ограниченной непрерывной в RN начальной функции u0(x) для решения задачи Коши (2.4), (2.5) справедливо неравенство λ1(α) |u(x, t)| ::: Mt- 3 ,t > t1 > 0, равномерно относительно x на каждом компакте K в RN , где 2 - N + √D1 λ1(α)= 2 , D1 = (2 - N )2 M = M (K, α). + 4α2, Доказательство теоремы 2.1 аналогично доказательству теоремы 1.1, ибо в случае L =Δ имеем λ2 2 1 = λ0 =1 и тогда S = N. Замечание 2.1. Теорема 1.1 уточняет теорему 3 из нашей работы [10]. Замечание 2.2. Нельзя усилить утверждение теоремы 1.1, заменив компакт K на все пространство RN . 56 В. Н. ДЕНИСОВ Замечание 2.3. Из формулы (2.3) следует lim α→∞ λ1(α)= +∞. (2.6) Поэтому из оценки (2.2) в теореме 1.1 и (2.6) вытекает, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) стабилизируется к нулю с произвольно большой степенной скоростью при α →∞ равномерно относительно x на каждом компакте K в RN и при любой непрерывной ограниченной функции u0(x). В полупространстве D = RN × [0, ∞), N 3 рассмотрим задачу Коши L1u = Δu + (b, ∇u)+ c(x, t)u - ut = 0, (x, t) ∈ D, (2.7) u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN , (2.8) где N i (b, ∇u)= bi(x, t)ux . Мы предполагаем, что i=1 1. Коэффициенты уравнения (2.7) действительны, непрерывны и ограничены в RN и удовлетворяют условию Гельдера, и в частности: N i=1 |bi(x, t)| ::: B, B > 0, (x, t) ∈ D. (2.9) 2. Коэффициенты bi(x, t)(i = 1,...,N ) удовлетворяют условию (B): существует постоянная B > 0 такая, что N i=1 bi(x, t)xi ::: B, |x| > 1,t > 0. (2.10) 3. Коэффициент c(x, t) удовлетворяет условию (C1), существуют α > 0 и k: 0 < k < 1/2 такие, что c(x, t) ::: bα(r)= -α2 min(1, r-2k ). (2.11) 4. Начальная функция u0(x) непрерывна и ограничена в RN , т. е. выполняется неравенство (1.6). Теорема 2.2. Если u(x, t) - решение задачи Коши (2.7), (2.8) с произвольной непрерывной и ограниченной начальной функцией u0(x), удовлетворяющей неравенству (1.6), коэффициенты bi(x, t) (i = 1,...,N ) удовлетворяют условию (B)(2.10) при B1 < N, коэффициент c(x, t) удовлетворяет условию (C1) при 0 < k < 1/2 и любом α > 0, то для решения задачи Коши (2.7), (2.8) справедливо неравенство 1 |u(x, t)| ::: M1 exp (-btn ),t t1 > 0, (2.12) равномерно по x на каждом компакте K, где M1 = M1(K),b = b(k, K, λ0, λ1, α) 1 = 1 - 2k . n 3 - 2k Теорема 2.2 является точной в том смысле, что в утверждении нельзя заменить компакт K на все RN . О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 57 3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Вначале построим в области D стационарное решение Γα(r) неравенства N L2Γα(r) ≡ i k aik (x, t)Γαx x + aα(r)Γα ::: 0 в D, (3.1) i,k=1 / 1 r = x2 N + ... + x2 , в котором коэффициент aα(r) определен по формуле (1.5) Отметим, что коэффициент aα(r) непрерывен в RN и удовлетворяет условию Гельдера. Лемма 3.1. Пусть выполняются условия (C) на c(x, t), тогда существует функция Γ = Γα(r) такая, что α Γα(r) > 0, r 0, Γ/ (r) 0, L2Γα(r) ::: 0 в D и справедливо неравенство где Γ(r) > C1 rλ1(α),r r1 > 1, (3.2) 2 λ1(α)= - 2 S + √D - , D = (2 S)2 2 + 4α2, (N - 1)λ2 + λ2 α λ 2 S = 1 0 Доказательство. Применяя формулы 0 , α = λ , C1 > 0. 1 xi = xi Γ , Γ = r xixk xixk rΓ r2 Γ/ - r , Γ/ / // x2 r // Γ / / Γ// i Γ// - + Γ получим равенство (см. (3.1)): xixi = r2 Γ/ r N ), aii Γ/ , r aα(r)Γα l где α Γ// r L2Γα = Qfr - α + α i=1 r Q N + Q xix , (3.3) Q = Q(x, t)= aik (x, t) k . r2 i,k=1 Из определения постоянных λ2, λ2 в (1.4) следует, что 0 1 N ), aii 2 2 λ2 2 i=1 (N - 1)λ1 + λ0 0 ::: Q(x, t) ::: λ1 в D, При r ::: 1 и t > 0 из (3.3) и (3.4) получим λ Q ::: 2 0 (S - 1) в D. (3.4) Γ L2Γα ::: λ2r + , Γ - α2Γα где // / 1 α r α 0 (N - 1)λ2 + λ2 α λ S = 2 0 1 , α = . λ1 Полагая в последнем неравенстве Γα = Zα(r), где Zα(r) - решение следующей задачи: Z// (S - 1) / 2 получим неравенство: r α(r)+ Zα(r) - α Zα(r)= 0, 0 < r ::: 1, (3.5) α Zα(0) = 1, Z/ (0) = 0, (3.6) L2Γα(r) ::: 0, 0 < r ::: 1, t > 0. (3.7) 58 В. Н. ДЕНИСОВ Из теории функций Бесселя [3, с. 91] следует, что решение задачи (3.5), (3.6) существует, единственно и представимо в виде: IS-2 (rα) S 2 S Zα(r)= q1(S) 2 S-2 - , q1(S)=2 2 Γ( , (3.8) (rα) 2 2 α где Γ(S) - функция Эйлера, Iν (r) - модифицированная функция Бесселя первого рода. Из представления (3.8) и формул [3, п. 3.71] следует, что Zα(r) > 0, Z/ (r) > 0, при r > 0 b0(α)= Zα(1) = q(S)α 2-S 2 IS-2 (α > 0), 2 2 S α b1(α)= Z/ (1) = q(S)α - 2 IS (α) > 0. (3.9) Так как aα(r)= - 2 α2 α , α = r2 λ1 при r 1, то, применяя в (3.3) все неравенства (3.4), будем иметь при r > 1 Γ L2Γα(r) ::: λ2r + (S - 1) Γ α2 - Γα . (3.10) где // 1 α r α α = . λ1 / α r2 Из неравенств (3.4) очевидно следует, что коэффициенты в правой части неравенства (3.10) не зависят от t. Рассмотрим для функции Yα(r) задачу: Yα(r) - Yα(r)= 0, r > 1, (3.11) (S - 1) α2 // Yα (r)+ / r r2 α Yα(1) = b0(α), Y / (1) = b1(α), (3.12) где были использованы обозначения (3.9) для b0(α) и b1(α). Уравнение (3.11) является уравнением Эйлера [1], поэтому будем искать его решение в виде Zα(r)= rλ. Дважды дифференцируя rλ по r и вставляя в уравнение (3.11), получим определяющее уравнение: λ2 + (S - 2) - α2 = 0, которое имеет корни: 2 - S + √D1 2 - S - √D1 2 2 λ1 = > 0, λ2 = 2 2 < 0, D1 = (2 - S) + 4α . Решение уравнения (3.11) представляет собой сумму линейно независимых решений rλ1 и rλ2 с коэффициентами C1 и C2, т. е. Yα(r)= C1rλ1(α) + C2rλ2(α),r 1. (3.13) Коэффициенты C1 и C2 в (3.13) определяются из системы уравнений: α b0(α)= Zα(1) = C1 + C2, b1(α)= Z/ (1) = λ1C1 + λ2C2, которая имеет решение b0(α)λ2 - b1(α) b1(α) - b0(α)λ1 (3.14) λ C1 = 2 Таким образом, полагая в (3.10) - λ1 > 0, C2 = . λ2 - λ1 ( Yα(r) при r 1, Γα(r)= мы получим в силу (3.7), (3.10) неравенство Zα(r), 0 ::: r ::: 1, (3.15) L2Γα(r) ::: 0 в D. (3.16) О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 59 Очевидно, что функция (3.15) непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные. В самом деле, непрерывность функции и указанных производных при r ⊗=1 очевидна, а при r =1 по построению справедливы «условия склейки» (3.12). Поэтому из непрерывности коэффициентов уравнений (3.5) и (3.11) при r =1 и условий (3.12) следует, что Z// // 2 α(1) = Yα (1) = α , т. е. следует непрерывность и вторых производных у функции (3.15). Учитывая неравенство C1 > 0 из представления (3.13) и отрицательность λ2 < 0, получим, что найдется постоянная r1 > 1 такая, что справедливо неравенство Γα(r) > C1 r 2 λ1(α) при r r1, (3.17) из которого и (3.16) следует, что функция (3.15) является антибарьером [18], т. е. справедливо неравенство (3.16) и справедливы соотношения: Γ > 0, Γ → +∞,r → +∞. Рассмотрим функцию ( r2 p(r)= 4h2 1 - при r ::: h. (3.18) Лемма 3.2. Функция (3.18) обладает следующими свойствами: 1. -1 ::: p(r) ::: при r ::: 2h (h > 0), 4 2. -1 ::: p(r) ::: - 3 при r ::: h, 1. Lp(r)+ λp(r) 0 при r ::: h, где λ = Nλ2 0 . 2h2 Доказательство. Докажем свойство 3. Учитывая формулы xi 1 и неравенства (3.4) pxi (r)= 2h2 , pxixk (r)= 0, pxixk (r)= 2h2 N ), aii(x, t) Lp(r)+ λp(r)= i=1 2 + λ( r 0 Nλ2 - 1 - λ = 0, получаем доказательство свойства 3. 2h2 4h2 2h2 Свойства 1 и 2 очевидны. Лемма 3.2 доказана. Вводим функцию Nλ2 P1(x, t)= p(r)e-λt, (3.19) где r ::: h, t > 0, λ = 0 , p(r) - функция (3.18). 2h2 Лемма 3.3. Функция (3.17) обладает следующими свойствами: ∂P1(x, t) LP1(x, t) при r ::: h, t > 0, (3.20) ∂t существует предел P1(x, 0) = p(r), при r ::: h, lim P1(x, t)=0 t→∞ равномерно относительно x в шаре r ::: h. 60 В. Н. ДЕНИСОВ Доказательство. В силу формулы (3.19) существование предела очевидно. Докажем справедливость неравенства (3.20). Применяя свойства функции (3.18) из леммы 3.2, будем иметь: где LP1(x, t) - ∂P1(x, t) λt ∂t e- (-λp(r)+ λp(r)) = 0, λ = p(r) - функция (3.18). Лемма 3.3 доказана. Так как функция u0(x) ограничена: Nλ2 0 , 2h2 |u0(x)| ::: M, то, заменяя в уравнении (1.1) решение u(x, t), отвечающее функции u0(x), по формуле u(x, t) мы приходим к задаче Коши u1(x, t)= , M ∂u1 Lu1(x, t)+ c(x, t)u1(x, t)= ∂t (x, t) в D, u1(x, t)= u1(x),x ∈ RN , u0(x) где для начальной функции u1(x)= справедливо неравенство: M u0(x) |u1(x)| = | M | ::: 1. Используя этот простой факт и принцип максимума [11, c. 24], получаем, что для доказательства теоремы 1.1 достаточно установить для решения задачи Коши LV + aα(r)V - Vt =0 в D, (3.21) V (x, t)= 1,x ∈ RN , (3.22) оценку вида (2.2), (2.3), т. е. оценку где |V (x, t)| ::: M1t- λ1(α) 3 , λ1(α)= , 2 - S + √D1 2 α λ D1 = (2 - S)2 + 4α2, α = . 1 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.1 Фиксируем произвольный компакт K в RN и выберем число l > 1 так, чтобы компакт K содержался в замкнутом шаре: Bl = {|x| ::: l}. В шаре Bl функция Γα(r) из леммы 3.1 в силу известной теоремы Вейерштрасса [1, c. 90] достигает максимального значения Γ(l). Так как Γα(r) > 0, то эту функцию можно нормировать: Γα(r) Ясно, что Γα(r) ::: 1 при r ::: l. Γ Γα(r)= α . (l) Для выбранного l > 0 фиксируем произвольное ε > 0 из неравенства 0 < ε < Γ(l). (4.1) Затем для фиксированного ε > 0 выберем δ > 0, полагая δ = ε, тогда δΓ(r) ::: ε при r ::: l. (4.2) О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 61 Введем функцию где W (x, t)= δΓ(r) - V (x, t), (4.3) Γα(r) Γ(r)= , Γα(l) Γα(r) определена по формуле (3.15), а функция V (x, t) - решение задачи (3.21), (3.22). При выбранном l > 1 выберем h > r1 > l, где r1 из (3.17), так, чтобы выполнялось неравенство: W (x, t)||x|=h > 0, для всех t > 0. (4.4) Такой выбор h > r1 > l всегда возможен, ибо функция V (x, t) очевидно ограничена: V (x, t) ::: 1, а функция Γ(r) в силу (3.17) является неограниченно растущей функцией при r → +∞. Так как в силу неравенства (3.17) δΓ(h) > C1 hλ1(α) 2 ε , Γα(l) то для обеспечения неравенства (4.4) при всех t > 0 достаточно выбрать h из условия C1 εhλ1(α) 2 Γα(l) = 1, (4.5) ибо тогда V (x, t) ::: 1, а δΓ(h) > 1 и (4.4) заведомо выполняется. Для фиксированного ε > 0 решим уравнение (4.5) относительно h, при этом получим 1 1 h = ( 2Γα(l) λ1 ε- λ1 . (4.6) Отметим, что lim ε→+0 C1 h(ε)= +∞. Очевидно, что функция W (x, t) удовлетворяет соотношениям ∂W LW + aα(r)W - ∂t ::: 0, |x| < h, t > 0, (4.7) Введем функцию W ||x|=h > 0 для всех t > 0, (4.8) W (x, 0) = δΓ(r) - 1, r < h. (4.9) Γα(r) Γ ϕ(r)= δΓ(r) - 1, Γ(r)= α . (4.10) (l) Из неравенств (4.1) и (4.2) следует, что функция ϕ(r) является отрицательной при r ::: l и что при r = h в силу выбора h > 0 из условия (4.5) следует, что ϕ(h) > 0. В силу непрерывности функции (4.10) имеет смысл следующее представление для этой функции: где ϕ(r)= ϕ-(r)+ ϕ+(r) при r ::: h, ϕ(r) -|ϕ(r)| ϕ-(r)= 2 = min(0, ϕ(r)) ::: 0, ϕ+(r)= ϕ(r)+ |ϕ(r)| = max(0, ϕ(r)) 0. 2 Рассмотрим функцию q(x, t), которая удовлетворяет соотношениям Lq(x, t)+ aα(r)q(x, t) - qt(x, t)= 0,r < h,t > 0, (4.11) q(x, t)||x|=h = 0,t > 0, (4.12) q(x, 0) = ϕ-(r) = min(0, ϕ(r)), (4.13) где ϕ(r) - функция (4.10). Лемма 4.1. Для функций W (x, t) из (4.3) и q(x, t) из (4.11)-(4.13) справедливо неравенство W (x, t) q(x, t) при |x| ::: h, t > 0. (4.14) 62 В. Н. ДЕНИСОВ Доказательство. Рассмотрим функцию k(x, t)= W (x, t) - q(x, t). (4.15) Учитывая соотношения (4.7)-(4.9) для функции W (x, t) и соотношения (4.11)-(4.13) для функции q(x, t), будем иметь ∂k Lk(x, t)+ aα(r)k(x, t) - ∂t (x, t) ::: 0, r < h, t > 0, (4.16) k(x, t)||x|=h > 0, t > 0, (4.17) k(x, 0) = ϕ(r) - ϕ-(r)= ϕ+(r)= max(0, ϕ(r)) > 0. (4.18) Из (4.16)-(4.18) и принципа максимума [11, теорема 1, с. 15] вытекает, что k(x, t) 0 при r < h и t > 0. Лемма 4.1 доказана. Лемма 4.2. Существует постоянная A > 0 такая, что функция q(x, t) из (4.11)-(4.13) и функция P2(x, t)= AP1(x, t), (4.19) где P1(x, t) - функция (3.19), удовлетворяет неравенству q(x, t) P2(x, t) при r < h, t > 0. (4.20) Доказательство. Рассмотрим функцию m(x, t)= q(x, t) - P2(x, t). (4.21) Выберем число A > 0 так, чтобы выполнялось неравенство m(x, 0) = ϕ-(r) - Ap(r) 0 при r < h. Такой выбор числа A > 0 возможен, так как функция p(r) из (3.18) удовлетворяет свойству 2 из леммы 3.2, а функция ϕ-(r)(4.13) ограничена снизу на множестве r < h числом ν < 0: 0 ϕ-(r) min ϕ-(r)= ν = ( ε 1 - . (4.22) |x|:::h 4 ( ε Γα(l) В самом деле, полагая A = - 3 ν, где ν = 4 из леммы 3.2 -1 ::: p(r) ::: - 3 , будем иметь 4 Γ(l) - 1 4 и учитывая неравенство (4.22) и свойство 2 3 при r ::: h. Ap(r)= - 3 νp(r) ::: - 3 ν(- 4 )= ν ::: ϕ-(r) ::: 0 (4.23) Из леммы 3.3 и леммы 4.2 вытекает, что функция (4.19) удовлетворяет соотношениям ∂P2(x, t) ΔP2(x, t) - > 0 при r < h, t > 0, (4.24) ∂t P2(x, t)||x|=h < 0,t > 0, (4.25) P2(x, 0) = Ap(r) при r < h, A = - 4 ( ε 1 - . (4.26) 3 Γα(l) где p(r) - функция (3.18). Из (4.11) и (4.24) следует, что функция (4.21) удовлетворяет неравенству L(q(x, t) - P2(x, t)) + aα(r)(q(x, t) - P2(x, t)) + ∂ + aα(r)P2(x, t) - ∂t (q(x, t) - P2(x, t)) ::: 0 при r < h, t > 0. Используя введенное нами обозначение (4.21), перепишем последнее неравенство в виде: ∂m(x, t) при |x| < h, t > 0. Lm(x, t)+ aα(r)m(x, t) - ∂t ::: -aα(r)P2(x, t) ::: 0, (4.27) В силу (4.12) и (4.25) при |x| = h справедливо неравенство m(x, t)||x|=h > 0,t > 0, (4.28) О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 63 и в силу (4.23) при t =0 справедливо неравенство m(x, 0) = ϕ-(r) - Ap(r) 0,r < h. (4.29) Из (4.27)-(4.29) и принципа максимума [11, теорема 1, c. 15] следует, что m(x, t) 0 при r < h, t > 0. Лемма 4.2 доказана. Из неравенств (4.14) и (4.20) следует, что P2(x, t) ::: q(x, t) ::: W (x, t) при r < h, t > 0, (4.30) где W (x, t) - функция (4.3), q(x, t) - функция из (4.11)-(4.13), 0 N λ2 P2(x, t)= Ap(r)e- 2h2 t, p(r) - функция (3.18), 4 A = - 3 ν > 0. Учитывая (4.3), перепишем неравенство (4.30) в следующем виде: V (x, t) ::: δΓ(r) - P2(x, t) при r < h, t > 0. (4.31) Рассмотрим неравенство (4.31) при r ::: l, тогда в силу (4.2) имеем неравенство δΓ(r) < ε, r ::: l. (4.32) Поэтому из (4.31) и (4.32) следует 0 N λ2 V (x, t) < ε - Ap(r)e- 2h2 t,r ::: l. (4.33) Учитывая в (4.33) очевидное неравенство 4 ε 4 0 < -Ap(r) ::: 3 (1 - Γ(l)) ::: 3 , для фиксированного ε > 0 выберем t1 из условия Тогда при ∀t > t1 неравенство 4 e- 3 0 Nλ2 2h2 t1 = ε. 4 e- 3 0 Nλ2t 2h2 < ε. (4.34) будет тем более справедливым, и кроме того: 0 Nλ2 4 Следовательно, 2h2 t1 = ln 3ε. (4.35) 2h2 4 0 t1 = Nλ2 ln 3ε. (4.36) Далее учитываем, что в силу (4.6) для h справедливо равенство 2 2 h2 = ( 2Γα(l) λ1 ε- λ1 . (4.37) Из (4.36) и (4.37) вытекает, что C1 2 4 где t1 = Fε- λ1 ln , 3ε 2 F = ( 2Γα(l) λ1 2 . (4.38) 0 C1 Nλ2 64 В. Н. ДЕНИСОВ Из правила Лопиталя [12, c. 168] очевидно вытекает, что для любого фиксированного s1 из интервала 0 < s1 < 1 существует предел lim ε→+0 Поэтому, очевидно, справедливо неравенство εs1 ln 4 3ε = 0. 4 ln < 3ε при 0 < ε < ε0 и S1 из интервала 0 < S1 < 1. При этом из (4.36)-(4.39) получим 1 εs1 (4.39) 2 t1ε+ λ1(α) +s1 ::: F. (4.40) Пусть α удовлетворяет неравенству (2.1), тогда легко проверить, что выполняется неравенство λ1(α) > 1. Полагая в (4.40) 1 1 s1 = λ (α) , где α - из неравенства (2.1), получим неравенство 3 t1ελ1(α) ::: F. (4.41) Из неравенства (4.41) следует, что где 1 ε < t- λ1(α) 3 F1, (4.42) Из (4.33), (4.34) и (4.42) вытекает, что F1 = F λ1(α) 3 . при V (x, t) < 2ε < M1t -λ1(α) 3 , M1 = 2F1 1 α2 > λ2(S - 1) ∀t > t1, равномерно относительно x на каждом компакте K в RN . Теорема 1.1 доказана. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ ДЛЯ ТЕОРЕМЫ 2.2 В области D мы построим стационарное решение Γ= Γα(r) неравенства N i L1Γα = ΔΓα + bi(x, t)Γαx i=1 + bα(r)Γα ::: 0, (5.1) где bα(r) - функция (2.11), такое, что Γα(r) > 0, Γ/ (r) 0, Γ// (r) 0 α и f α2 α 1-2k l (5.2) Γα(r) ∼ C exp при r → ∞, где C > 0, 0 < k < 1/2. Применяя формулы (r B(1 - 2k) xi - 1) / Γxi = x2 r Γ/, r Γ / / Γ// i Γ// - + Γ мы получим xixi = r2 r r , N α L1Γα = Γ// + Γ Γ N - 1 / r α + (bixi) i=1 / α + bα(r)Γα. (5.3) r О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 65 При r ::: 1 и t > 0 из (5.3) и (2.9) следует неравенство N - 1+B где L1 - оператор в (5.1). Если ввести обозначение α Γ r α L1Γα ::: Γ// + / - α2Γ, S = N + B (5.4) и положить затем Γα(r)= Zα(r), где Zα(r) - решение задачи (S - 1) Z// / 2 r α(r)+ Zα(r) - α Zα(r)= 0, r ::: 1, (5.5) α Zα(0) = 1, Z/ (0) = 0, (5.6) то мы получим из последнего неравенства и (5.5), что L1Γα(r) ::: 0, r ::: 1, t > 0, (5.7) где оператор L1 - из (5.1). Отметим, что с точностью до переобозначения (5.4) и замены α на α задача (5.5), (5.6) совпадает с задачей (3.5), (3.6). Поэтому для решения задачи (5.5), (5.6) справедливы те же формулы (3.8), (3.9) с заменой α на α, так как λ1 = 1. Так как при r 1 имеем bα(r)= -α2(r-2k ), то учитывая, что в силу условия (2.9) N xi sup |bi(x, t)|| | ::: B, мы получим неравенство где L1 - из (5.1). D α L1Γα ::: [Γ// + i=1 Γ N - 1 / r α r α + BΓ/ - α2r-2k Γα], (5.8) Для функции yα(r) при r 1 рассмотрим задачу N - 1 y// / / 2 -2k r α(r)+ yα(r)+ Byα(r) - α yα(r)r = 0, r > 1, (5.9) α yα(1) = b0(α), y/ (1) = b1(α). (5.10) Ясно из [1], что задача (5.9), (5.10) имеет единственное решение. Полагая в (5.8) Γα(r) = yα(r), где yα(r) - решение задачи (5.9), (5.10), мы получим из (5.9) и (5.7) неравенство где L1Γα(r) ::: 0 в D, (5.11) ( zα(r) при 0 ::: r ::: 1, Γ= Γα(r)= yα(r) при r 1. (5.12) Замечание 5.1. Очевидно, что функция (5.12) непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные. В самом деле, непрерывность функций и указанных производных при r ⊗= 1 очевидна, а при r = 1 по построению справедливы «условия склейки» (5.10). Поэтому из непрерывности коэффициентов уравнений (5.5) и (5.9) при r =1 условия (5.10) получим, что z// // 2 α(1) = yα(1) = α , т. е. следует непрерывность и вторых производных у функции (5.12). Лемма 5.1. Решение yα(r) задачи (5.9), (5.10) обладает при r > 1 следующими свойствами: 1. yα(r) > 0, α 2. y/ (r) > 0, 3. yα(r) → +∞, r → ∞, 66 В. Н. ДЕНИСОВ 4. выполнено равенство ( α2 1-2k (N - 1)(N - 3) ( 1 (5.13) yα(r)= C1 exp (r B(1 - 2k) - 1) + 4B 1 - r [1 + ε(r)], где C1 > 0, lim ε(r)= 0, r→∞ 5. L1Γα(r) ::: 0. Доказательство. Из уравнения (5.9) и условий (5.10) получаем y// 2 2 α(1) = α yα(1) = α > 0. α В силу непрерывности yα(r) при r > 1 отсюда следует, что y/ (r) > 0 в некоторой правой окрестности точки r = 1. Тогда yα(r) > 1 при всех r > 1. Пусть это не так, тогда yα(r) < 1 в некоторой точке r2 > 1 и функция yα(r) достигает максимума в некоторой точке r1 из интервала (1, r2). Поэтому в этой точке справедливо следующее: yα(r1) > 0, y/ (r1)= 0, y// (r1) ::: 0. α α α α Но тогда в точке r = r1, очевидно, не выполняется уравнение (5.9). Полученное противоречие доказывает, что yα(r) > 1 > 0 при r > 1. Так как y/ (r) > 0 в некоторой точке r3 > 1 и yα(r3) > 0, то yα(r)y/ (r) > 0 при r > r3 в силу известного свойства решений уравнения (5.6) с отрицательным младшим коэффициентом [13, c. 165]. Свойства 1 и 2 леммы 5.1 доказаны. α Докажем свойство 3. Легко видеть из (5.9), что Γ// (r) 0 при r r0 > 1. Так как Γ// (r) = y// (r) 0 при r r0 > 1, то y/ (r) не убывает по r. Отсюда легко получаем α α α справедливость свойства 3 в лемме 5.1, ибо α yα(r) yα(r0)+ y/ (r0)(r - r0)) → +∞, при r → +∞ Докажем асимптотическую формулу (5.13). Сделав замену в (5.9) yα(r)= V (r)r 1-N 2 e- B(r-1) 2 , мы получим, что функция V (r) является решением задачи ( 2 V // - V α2r-2k + B 4 P Q + + r2 r = 0, r > 1, (5.14) N - 1+B где V (1) = b0(α), V /(1) = b1(α)+ b0(α) = b2, (5.15) 2 P = (N - 1)(N - 3) 4 , Q = B(N - 1) , 2 постоянные b0(α) и b1(α) - из (3.9) с заменой α на α. Пусть B2 q(r)= 4 + α2r-2k + P r2 Q + , r > 1, (5.16) r тогда задачу (5.14), (5.15) можно записать в виде V //(r) - q(r)V (r)= 0, r > 1, (5.17) N - 1+B V (1) = b0(α), V /(1) = b2 = b0(α)+ b1(α). (5.18) 2 Ясно, что q(r) > 0 для r > 1, q/(r) - непрерывная функция при r 1, и легко видеть, что r∞ где |β(r)|dr < ∞, 1 и существует предел β(r)= - 1 q//(r) 8 q 3 2 (r) 5 (q/(r))2 5 , 32 q 2 (r) lim q/(r) 3 = 0. r→∞ q 2 (r) О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 67 Поэтому мы можем применить известные формулы Грина-Лиувилля для решений уравнения (5.17) (см. [13, 14, 16]). Согласно этим формулам уравнение (5.17) имеет фундаментальную систему решений t1(r), t2(r) таких, что - 1 t1,2(r)= q 4 (r) exp {±S(r)}[1 + ε1,2(r)], (5.19) где ε1,2(r) → 0,r → ∞, r r S(r)= 1 и эту асимптотику можно дифференцировать 1 jq(τ )dτ, / t1,2(r)= ±q 4 (r) exp {±S(r)}[1 + ε3,4(r)], (5.20) ε3,4(r) → 0 при r → ∞, Применяя формулу Остроградского-Лиувилля и формулы (5.19), (5.20), мы получаем t1(r)t/ (r) - t2(r)t/ (r)= -2. (5.21) 2 1 Поэтому решения t1(r) и t2(r) являются независимыми. r Так как lim г jq(τ )dτ = +∞, то решение t1(r) монотонно возрастает и r→∞ 1 ∞ lim t1(r)= + , (5.22) r→∞ в то время как t2(r) является монотонно убывающим и lim t2(r)= 0. (5.23) r→∞ Мы ищем решение задачи (5.17), (5.18) в виде: V (r)= C1t1(r)+ C2t2(r), (5.24) при r 1, где постоянные C1 и C2 определяются из системы b0(α)= C1t1(1) + C2t2(1), b2 = C1t/ (1) + C2t/ (1), 1 2 с ненулевым детерминантом Вронского (5.21). Очевидно, что C1 > 0. (5.25) В противном случае C1 < 0, и мы получили бы тогда, что Γα(r)= yα(r)= V (r)r f - - 1 N B 2 exp 2 l (r - 1) → -∞ при r → ∞, что противоречит свойству 4 в лемме 5.1. Таким образом, из (5.24), (5.25), (5.23), (5.22) вытекает, что V (r) ∼ C1t1(r) при r → +∞. Подставляя (5.16) в (5.19), мы получим из (5.24) искомую формулу (5.13). Свойство 5 доказано в (5.11). Лемма 5.1 доказана. Рассмотрим функцию r2 d(r)= (1 - 4h2 ) при r ::: h, h > 0. (5.26) Лемма 5.2. Если постоянная B в условии (B)(2.10) удовлетворяет неравенству B < N, (5.27) то функция (5.26) удовлетворяет неравенству N i Ld(r)= Δd(r)+ bi(x, t)dx (r)+ bα(r)d(r)+ λd(r) ::: 0,r ::: h, (5.28) i=1 68 В. Н. ДЕНИСОВ где 2 , λ = N - B 2h 3 4 ::: d(r) ::: 1 при r ::: h. Доказательство. Учитывая формулы и условия (B), получим: xi (d(r))/ 2h2 xixi = - xi , (d(r))// 1 = - 2h2 , N Ld(r)= - 2h2 - N ), bixi i=1 2h2 + bα(r)d(r)+ λd(r) ::: - N - B 2h2 + λ = 0. Мы здесь учли, что в bα(r)d(r) ::: 0, d(r) ::: 1. Неравенство (5.28) доказано. Неравенства 3 ::: d(r) ::: 1 очевидны. 4 Лемма 5.2 доказана. Рассмотрим функцию G1(x, t)= d(r)e-λt, (5.29) где r ::: h, t > 0, λ1 - из (5.29), d(r) - функция (5.26). Лемма 5.3. Если постоянная B в условии (B)(2.10) удовлетворяет неравенству (5.27), то функция (5.29) удовлетворяет соотношениям N i ΔG1 + bi(x, t)G1x i=1 + bα(r)G1 ::: ∂G1 ∂t ,r ::: h, t > 0, (5.30) где d(r) - функция (5.26). G1(x, 0) = d(r),r ::: h, (5.31) Доказательство. Докажем (5.30), так как (5.31) очевидно. Применяя неравенство (5.28) и формулу (5.29), получим N i ΔG1 + bi(x, t)G1x i=1 + bα(r)G1 ::: -λG1 = ∂G1 ∂t ,r ::: h, t > 0. Лемма 5.3 доказана. 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.2 Фиксируем произвольный компакт K в RN , выберем l > 1 так, чтобы замкнутый шар Bl = (|x| ::: l) содержал компакт внутри. По теореме Вейерштрасса [12, с. 90] функция Γα(r)(5.12) достигает максимума Γ(l) в шаре Bl. Так как Γα(r) > 0, то нормируем эту функцию, полагая: Γα(r) Γ(r)= Γα(l) . (6.1) Ясно, что Γ(r) ::: 1 при r ::: l. Для фиксированного l > 1 фиксируем произвольное ε из интервала 0 < ε < Γ(l). Для фиксированного выше ε > 0 выберем δ > 0, полагая δ = ε. (6.2) Тогда очевидно Рассмотрим задачу Коши δΓ(r) ::: ε при r ::: l. (6.3) N i L2V ≡ ΔV + bi(x, t)Vx i=1 + bα(r)V - Vt = 0, (6.4) О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 69 где bα(r) - функция (2.11), V (x, 0) = 1,x ∈ RN . (6.5) Из принципа максимума [11, с. 28] и однородности линейных уравнений (1.1) и (6.4) вытекает, что для доказательства теоремы 2.2 достаточно установить для решения задачи Коши (6.4), (6.5) оценки вида (2.12), т. е. 1 |V (x, t)| ::: M1 exp (-btn ), (6.6) 1 1 - 2k (6.7) t t1,b = b(k, K, λ0, λ1, α), M1 = M (K), n = 3 - 2k , равномерно относительно x на компакте K в RN . Рассмотрим функцию W (x, t)= δΓα(r) - V (x, t), (6.8) где Γα(r) - функция (6.1), V (x, t) - решение задачи (6.4), (6.5). Из оценки (5.13) и формулы (5.12) следует, что при некотором rl l справедлива при r rl оценка где α δΓ (r) ε C1 exp (arS 2 Γ(l) α2 ), (6.9) a = (1 - 2k)B , S =1 - 2k. Для ε > 0 выберем h > rl > l так, чтобы W (x, t)||x|=h > 0, для всех t > 0. (6.10) Такой выбор h возможен, так как функция V (x, t) является ограниченной:V (x, t) ::: 1, а функция δΓα(r) является неограниченно возрастающей при r → ∞. В силу (6.9) достаточно выбрать h = h(ε) из условия Из (6.11) получим C1ε 2Γ(l) exp (ahS )= 1. (6.11) где Из (6.12) получим B2 = 2Γ(l) C1 ahS = ln B2 , (6.12) ε α2 > 0,a = ,S =1 - 2k. (1 - 2k)B 2 h2(ε)= a- S ( ln 2 B2 S . (6.13) ε Очевидно, что при этом функция (6.8) удовлетворяет соотношениям L2W (x, t) ::: 0, |x| < h, t > 0, (6.14) W (x, t)||x|=h > 0,t > 0, (6.15) W (x, 0) = δΓα(r) - 1, |x| < h, (6.16) где L2 - оператор, определенный в (6.4). Рассмотрим функцию G2(x, t)= AG1(x, t), |x| < h, t > 0, (6.17) где A < 0 мы выберем ниже, G1(x, t) - функция (5.29) из леммы 5.2. Докажем, что если выбрать достаточно большое отрицательное A, то мы получим неравенство W (x, t) G2(x, t), |x| ::: h, t > 0. (6.18) Для доказательства (6.18) введем функцию g(x, t)= W (x, t) - G2(x, t), (6.19) где W (x, t) - функция (6.8), G2(x, t) - функция (6.17). Из (5.30), (6.14) и (6.17) следует неравенство L2g(x, t) ::: 0, при |x| < h, t > 0. (6.20) 70 В. Н. ДЕНИСОВ При |x| < h из (6.10), (5.29) и того, что A < 0, следует неравенство g(x, t)||x|=h > 0, для всех t > 0. (6.21) При t =0 из (6.16) и (6.19) получаем g(x, 0) = δΓα(r) - 1 - Ad(r), (6.22) где d(r) - функция (5.26). Функция Γα(r) возрастает в силу леммы 5.1 и удовлетворяет неравенству ε δΓα(r) - 1 > δΓα(0) - 1= Γα(l) - 1. Выберем A < 0 из условия q(x, 0) 0, при |x| < h. (6.23) 3 Учитывая неравенство 1 d(r) 4 , получим 3 Отсюда следует -Ad(r) - 4 A. ( ε 3 δΓα(r) - 1 - Ad(r) > Γα(l) - 1 - 4 A = 0. - Поэтому при A = 4 ( 3 o 1 - Γ(l) < 0 получим неравенство (6.23). Из (6.20), (6.21), (6.23) и принципа максимума [11, с. 15] следует справедливость неравенства (6.18). Запишем неравенство (6.18) в следующем виде: V (x, t) ::: δΓ(r) - G2(x, t), |x| < h, t > 0. (6.24) Пусть |x| ::: l, тогда первое слагаемое в (6.24) удовлетворяет неравенству (6.3). Для оценки второго слагаемого в (6.24) используем неравенства 4 ε 4 -A = 3 (1 - Γα(l)) < 3 , d(r) ::: 1. Для фиксированного ε > 0 найдем t1 = t1(ε) > 0 из условия 4 4 exp (-λ1t1)= ε , (6.25) где λ = N - B > 0,B 3 > 0 - постоянная из (6.12). 3 B2 2h2 2 Тогда при любом t > t1 тем более выполняется неравенство 4 4 2 -G2 < 3 exp (-λt) < 3B Решая уравнение (6.25) относительно t1, получим ε. (6.26) 2h2 t1 = N - B ln Учитывая равенство (6.13) в (6.27), получаем: B2 . ε (6.27) 2 ( B2 1+ 2 где S t1 = N - B ln ε α2 2 a- S , (6.28) S =1 - 2k, a = (1 - 2k)B , B2 Вводя обозначения: - постоянная в (6.12). 2 N - B 2 запишем (6.28) в виде: m1 =1 + S , B3 = a S , 2 1 B m1 1 m1 B2 1 1 - 2k 3 t1 = ln ε , = . m1 3 - 2k О СКОРОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 71 1 1 Отсюда из тождества ln (exp (B m1 tm1 )) = ln B2 получим 3 3 ε 1 m1 1 m1 ε = B2 exp(-B3 t1 ). (6.29) Из неравенств (6.3) и (6.26), (6.24) получим 4 2 |V (x, t)| < ε(1 + 3B ) при t > t1. Поэтому из (6.29) и последнего неравенства получаем 1-2k |V (x, t)| ::: M1 exp (-bt 3-2k ), t > t1, где Теорема 2.2 доказана.