Устойчивость решений начально-краевой задачи аэрогидроупругости

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ При разработке и эксплуатации конструкций, устройств и механизмов различного назначения, взаимодействующих с воздушным потоком или жидкостью, важной задачей является обеспечение надежности их функционирования и долговечности. Аналогичные задачи характерны для различных инженерных отраслей. В частности, эти задачи возникают в ракетостроении, самолетостроении, инструментарии, в разработке антенных систем, высотных конструкций с большой поверхностью и т. д. Важным значением для расчета конструкций, взаимодействующих с воздушным потоком, является устойчивость деформируемых элементов, так как при воздействии потока оно может нарушаться. Примерами потери динамической устойчивости являются: вибрация крыла самолета; вибрация пластин и полок в потоке, например вибрация обшивки самолета или ракеты; вибрация лопастей турбины и винтов; отклонения проводов, труб, подвесных мостов и т. д. С другой стороны, явления вибрации при аэрогидродинамическом воздействии, являющиеся нежелательными для одних устройств, для других устройств необходимы. Примерами таких устройств в технике являются устройства для ускорения технологических процессов, например, Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 35 36 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ приготовления однородных смесей, в частности для подвода смазочно-охлаждающей жидкости в рабочую зону [6]. Таким образом, при разработке конструкций и устройств, взаимодействующих с воздушным потоком, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их надежной работы и долговечности. Устойчивость упругих тел, взаимодействующих с воздушным потоком, рассматривалась в последнее десятилетие во многих теоретических и экспериментальных работах. Среди последних работ о динамике, устойчивости и вибрации частей самолета, включая профиль крыла, следует отметить работы российских ученых [5, 13, 14, 19, 23] и др., а также зарубежных [17, 18, 20, 21, 24, 26] и т. д. Большая часть этих работ посвящена аналитическому и численному исследованию аэроупругих колебаний профиля крыла в сверхзвуковом потоке воздуха. Для случая дозвукового потока в основном использовались численные методы. Среди недавних работ по динамике и устойчивости длинных трубопроводов и их частей во время протекания в них жидкости или газа следует отметить работы [9-11, 15, 16, 22, 25] и многие другие. Среди работ авторов настоящей статьи, посвященных динамике и устойчивости упругих элементов, взаимодействующих с воздушным потоком, отметим монографии [1-4, 7, 8]. Определение устойчивости упругого тела, принятое в данной работе, соответствует идее устойчивости динамических систем Ляпунова. Задача может быть сформулирована следующим образом: для всевозможных значений параметров, характеризующих систему «жидкость - твердое тело» (основными параметрами являются скорость потока, прочность и инерционные характеристики тела, сжимающее и растягивающее усилие, сила трения) малые деформации тел в начальный момент времени t = 0 (т. е. малые отклонения от положения равновесия) будут соответствовать малым деформациям в любой момент времени t> 0. 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРЫЛА С УПРУГИМ ЭЛЕРОНОМ Пусть в плоскости, в которой происходят совместные колебания упругого элерона и дозвукового потока идеального газа (жидкости), отрезок [a, b] оси Ox соответствует крылу, а отрезок [b, c] - элерону (рис. 2.1). РИС. 2.1. Профиль крыла. В бесконечно удаленной точке скорость газа равна V и направлена вдоль оси Ox. Предположим также, что отклонение (напряжение) упругого элерона и возмущение однородного набегающего потока малы. Введем обозначения u(x, t) и w(x, t) для деформаций упругого элерона в направлении осей Ox и Oy соответственно; φ(x, y, t) - потенциал скорости возмущенного потока. Предложенная математическая модель задается следующими уравнениями и краевыми условиями: потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа Δφ ≡ φxx + φyy = 0, (x, y) ∈ G = R2\\[a, c], (2.1) линеаризованные граничные условия ± φy (x, 0, t) = lim y→±0 ± φy (x, y, t) = V f ∗ (x), x ∈ (a, b), (2.2) y (x, 0, t) = w˙ (x, t)+ Vw (x, t), x ∈ (b, c), (2.3) φ± ∗ условие отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке |∇φ|2 ≡ (φ2 + φ2 + φ2) = 0. (2.4) ∞ x y t ∞ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 37 Уравнение колебаний упругого элерона имеет вид ⎧ ( 2 ∗ 2 ⎪ -EF ⎪⎨ u∗(x, t)+ 1 w∗ (x, t) ( + M u¨(x, t) = 0, ∗ -EF w∗(x, t) 2 u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) + EJw∗∗∗∗(x, t)+ M w¨(x, t)+ β0w(x, t - τ )+ (2.5) ⎪ ∗∗∗∗ + - + - + β1w˙ (x, t)+ β2w˙ ⎪ (x, t) = ρ(φt (x, 0, t) - φt (x, 0, t)) + ρV (φx (x, 0, t) - φx (x, 0, t)), ⎩ x ∈ (b, c). Нижние индексы x, y, t означают частные производные по x, y, t; штрих и точка - частные производные по x и t соответственно; ρ - плотность газа; EJ = Eh3/(12(1 - ν2)) - изгибная жесткость элерона; h - толщина элерона; M = hρpl - линейная масса элерона; F = h/(1 - ν2); E, ρpl - модуль упругости и линейная плотность элерона; ν - коэффициент Пуассона; β2, β1 - коэффициенты внутреннего и внешнего торможения; β0 - коэффициент жесткости основы (сжимаемого слоя); τ - время задержки реакции основы; f±(x) - функции, описывающие форму верхней (+) и нижней (-) недеформируемой части поверхности профиля. Используя методы теории функции комплексной переменной [4], решение задачи (2.1)-(2.5) можно свести к изучению системы уравнений для неизвестной функции смещения (u, w) элерона: ⎧ ⎪ -EF ⎪ 2 (u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) ∗ + M u¨(x, t) = 0, ⎪ ⎪ -EF w∗(x, t) (u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) ∗ + EJw∗∗∗∗(x, t)+ M w¨(x, t)+ β0w(x, t - τ )+ ⎪ 2 ⎪ ⎨ + β w˙ (x, t)+ β w˙ ∗∗∗∗(x, t) = c ρ Г [w¨(x , t)+ V w˙ ∗(x , t)]K(x , x)dx 1 2 - π 1 b ⎪ 1 1 1 - (2.6) c Vρ ⎪ ⎪ Г [w˙ (x1, t)+ V w∗(x1, t)] ∂K(x1,x) dx1 + V 2ρ b Г [f ∗ (x1)+ f ∗ (x1)]G(x1, x)dx1, ⎪ - π ⎪ b ∂x π a + - где ⎪⎩ x ∈ (b, c), K(x , x) = 2 ln 1 1 /(x - a)(c - x )+ /(x 1 1 , - a)(c - x) 1 1 1 1 1 1 /(x - a)(c - x1) - /(x1 - a)(c - x) 1 1 1 /(x - a)(c - x)+ /(x1 - a)(c - x1) G(x1, x) = /(x § a)(c - x)(x - , x1 ±= x. x1) Пусть профиль крыла симметричный, т. е. f+(x) = -f-(x) (это имеет место для киля самолета с эластичным рулем (рис. 2.2)). РИС. 2.2. Профиль киля самолета. В этом случае система (2.6) будет однородной: ⎧ ( ∗ 1 ∗2 ∗ -EF ⎪ u (x, t)+ 2 w (x, t) + M u¨(x, t) = 0, ⎪ ⎪ -EF w∗(x, t) (u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) ∗ + EJw∗∗∗∗(x, t)+ M w¨(x, t)+ β0w(x, t - τ )+ ⎨⎪ 2 c π + β1w˙ (x, t)+ β2w˙ ∗∗∗∗(x, t) = - ρ Г [w¨(x1, t)+ V w˙ ∗(x1, t)]K(x1, x)dx1 - ⎪ b ⎪ c (2.7) ⎪ ⎩⎪ - VρГ π b [w˙ (x1, t)+ V w∗(x1, t)] ∂K(x1,x) ∂x dx1, x ∈ (b, c). Краевые условия на концах элерона при x = b и x = c имеют вид: w(b, t) = 0, w∗∗(b, t) = αw∗(b, t), u(b, t) = 0, 2 w∗∗(c, t) = 0, w∗∗∗(c, t) = 0, u∗(c, t)+ 1 w∗2(c, t) = 0, (2.8) 38 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ что соответствует упругому соединению левого конца и свободному правому концу. Число α - коэффициент жесткости упругого соединения между крылом и элероном. 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО ЭЛЕРОНА Получим достаточные условия устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений (2.7) по отношению к возмущению начальных условий. Введем функционал c r Φ(t) = b r M (u˙ 2 + w˙ 2)+ EJw∗∗2 + EF t t ( 1 2 u∗ + w∗2 2 + β0w2 + (3.1) r + β0 r dt1 w˙ 2 (x, s)ds} dx + αEJw∗2(b, t)+ I(t)+ J (t), где t-τ t1 c c ρ r r I(t) = π b dx w˙ (x, t)w˙ (x1, t)K(x1, x)dx1, b c c J (t) = - ρV 2 r π b r dx w∗(x, t)w∗(x1, t)K(x1, x)dx1. b t Найдем производную Φ по t. В силу равенства w(x, t - τ ) = w(x, t) - Г t-τ w˙ (x, s)ds для функций w(x, t) и u(x, t), удовлетворяющих уравнениям (2.7), выражение для Φ˙ (t) имеет вид: c 1 r Φ˙ (t) = 2 b t r r EF u˙ ( ∗ u∗ + w∗2 2 + EF w˙ ρ г ( 1 w∗ u∗ + w∗2 2 c r ∗ - EJ w˙ w∗∗∗∗ - β0w˙ w + + β0w˙ t-τ w˙ (x, s)ds - β1w˙ 2 - β2w˙ w˙ ∗∗∗∗ - c w˙ (x, t) π b (w¨(x1, t)+ V w˙ ∗(x1, t))K(x1, x)dx1 - Vρ r ∂K(x1,x) ( 1 2 (3.2) - π w˙ (x, t) b (w˙ (x1, t)+ V w∗(x1, t)) dx1 + EJw∗∗w˙∗∗ + EF u˙∗ ∂x t u∗ + w∗ + 2 ⎫ 1 ( r ⎬ + EFw∗w˙ ∗ u∗ + w∗2 β0τ 2 β0 + β ww˙ + w˙ (x, t) - w˙ 2(x, s)ds dx + 2 0 2 ⎭ 2 t-τ + 2αEJ w∗(b, t)w˙ ∗(b, t)+ I˙(t)+ J˙(t). Интегрируя по частям и учитывая (2.8), получим c c 1b r r w˙ w∗∗∗∗dx = w˙ w∗∗∗1c - b b c 1b r w˙ ∗w∗∗∗dx = - w˙ ∗w∗∗1c + b c r c r w˙ ∗∗w∗∗dx = αw˙ ∗(b, t)w∗(b, t)+ b c r w˙ ∗∗w∗∗dx, w˙ w˙∗∗∗∗dx = αw˙ ∗2(b, t)+ w˙ ∗∗2dx, b c r ( 1 ∗ ( b c c 1 1 1 1c r ( r ( u˙ u∗ + b w∗2 2 dx = u˙ u∗ + w∗2 2 - 1 1 u˙ ∗ 1b b u∗ + w∗2 2 dx = - b u˙ ∗ u∗ + w∗2 2 dx, УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 39 c r г w˙ w∗ b ( u∗ + 1 w∗2 2 ∗ dx = w˙ w∗ ( 1 u∗ + w∗2 2 c 1c r 1 1 1b - b w˙ ∗w∗ ( 1 u∗ + w∗2 2 c r dx = - b w˙ ∗w∗ ( 1 u∗ + w∗2 2 dx. Меняя порядок интегрирования, снова интегрируем по частям: c c r r dx w˙ (x, t)w˙ (x1, t) b b ∂K(x1,x) dx = ∂x 1 c c r r dx1 b b w˙ (x, t)w˙ (x1, t) ∂K(x1,x) dx = ∂x c c r r b = w˙ (x, t)w˙ (x1, t)K(x1, x)|cdx1 - b b c r dx1 b w˙ ∗(x, t)w˙ (x1, t)K(x1, x)dx = c c r r = - dx b b w˙ ∗(x1, t)w˙ (x, t)K(x1, x)dx1, где в последнем равенстве переменные интегрирования x и x1 переставлены друг с другом, так как K(x1, x) = K(x, x1). Аналогично получаем c c r r dx w˙ (x, t)w∗(x1, t) b b r r c c ∂x 1 ∂K(x1,x) dx = - dx b b w˙ ∗(x, t)w∗(x1, t)K(x1, x)dx1. Подставляя данные соотношения в (3.2), имеем r c ⎧ t t ⎫ Φ˙ (t) = r ⎨2β0w˙ r w˙ (x, s)ds + β0τ w˙ 2(x, t) - β0 w˙ 2(x, s)ds - 2β1w˙ 2 - 2β2w˙ ∗∗2⎬ dx - b ⎩ t-τ c ⎧ c t-τ ⎭ ⎫ 2ρ r - π b ⎨w˙ (x, t) r ⎩ b w¨(x1, t)K(x1, x)dx1⎬ ⎭ dx + (3.3) c ⎧ c ⎫ 2ρV 2 r + π b ⎨w˙ ∗(x, t) r ⎩ b w∗(x1, t)K(x1, x)dx1⎬ ⎭ dx - - 2β2αw˙ ∗2(b, t)+ I˙ + J˙. Используя неравенство 2ab a2 +b2, получаем, что 2w˙ (x, t)w˙ (x, s) w˙ 2(x, t)+w˙ 2(x, s). Подставляя эту оценку в (3.3), окончательно находим c r Φ˙ (t) b {2β0τ w˙ 2(x, t) - 2β1w˙ 2 - 2β2w˙ ∗∗2} dx - 2β2αw˙ ∗2(b, t) - c ⎧ c ⎫ 2ρ r - π b ⎨w˙ (x, t) r ⎩ b w¨(x1, t)K(x1, x) dx1⎬ ⎭ dx + (3.4) c ⎧ c ⎫ 2ρV 2 r + π b ⎨w˙ ∗(x, t) r ⎩ b w∗(x1, t)K(x1, x)dx1⎬ ⎭ dx + I˙ + J˙. Преобразуем интеграл I˙(t): c I˙(t) = d ρ r c r dx w˙ (x, t)w˙ (x , t)K(x , x)dx c c ρ r r = dx w¨(x, t)w˙ (x , t)K(x , x)dx + dt π b b 1 1 1 π b b 1 1 1 40 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ c c ρ r r + dx π w˙ (x, t)w¨(x1, t)K(x1, x) dx1. b b Так как K(x1, x) = K(x, x1), то, меняя сначала порядок интегрирования, а затем переменные x1 и x, получаем: c c ρ r r dx π b b w˙ (x1, t)w¨(x, t)K(x1, x)dx1 = c c ρ r r dx π 1. b w˙ (x, t)w¨(x1, t)K(x1, x)dx1. Для I˙(t) получается следующее выражение: c I˙(t) = 2ρ r c r dx w˙ (x, t)w¨(x , t)K(x , x)dx . (3.5) π 1 1 1 b b Аналогично преобразованиям I˙(t) получаем выражение для J˙(t) 2 r r c c J˙(t) = - 2ρV dx w˙ ∗(x, t)w∗(x , t)K(x , x)dx . (3.6) π 1 1 1 b b Подставляя (3.5) и (3.6) в правую часть (3.4), получаем c r Φ˙ (t) 2 b {β0τ w˙ 2(x, t) - β1w˙ 2 - β2w˙ ∗∗2} dx - 2β2αw˙ ∗2(b, t). (3.7) Рассмотрим краевую задачу для уравнения ψIV (x) = μψ(x), x ∈ [b, c] с краевыми условиями (2.8). Эта задача самосопряженная и полностью определена при условии α ) 0. (3.8) Действительно, интегрируя по частям, легко убеждаемся, что c r u(x)vIV (x) dx = b c r v(x)uIV (x)dx, b c r u(x)uIV (x)dx > 0, b для произвольных функций u (x) и v (x) , которые удовлетворяют рассматриваемым краевым условиям и имеют на [b, c] непрерывные производные четвертого порядка. Для функции w˙ (x, t) запишем неравенство Рэлея [12]: c c r r w˙ (x, t)w˙ IV (x, t)dx ) μ1 b b w˙ (x, t)w˙ (x, t)dx, где μ1 - наименьшее собственное значение рассматриваемой краевой задачи. Интегрируя по частям, перепишем это неравенство в виде c c r r w˙ ∗∗2(x, t)dx + αw˙ ∗2(b, t) ) μ1 b b w˙ 2(x, t)dx. (3.9) Таким образом, учитывая (3.9), неравенство (3.7) примет вид c r Пусть выполнено условие - Φ˙ (t) 2 μ1 b (β1 + μ1β2 - β0τ )w˙ ∗∗2dx. (3.10) β0τ - β1 - μ1β2 0, (3.11) тогда Φ˙ (t) 0. Интегрируя от 0 до t, получим: Φ(t) Φ(0). (3.12) УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 41 В [3] доказана следующая теорема. Теорема 3.1. Предположим, что: 1. функция f (x) непрерывна при x ∈ [a, c]; 2. функция K(x1, x, c) определена и непрерывна по x и x1 при x ∈ [a, c], x1 ∈ [a, c] (за исключением, может быть, линии x = x1) и интегрируема на этом множестве; ∂K 3. функция K(x1, x, c) непрерывно дифференцируема по c и выполняется равенство ∂d = φ(x, d) · φ(τ, d); 4. для всех α ∈ (c, d], x, τ ∈ (c, α) выполняется равенство K(α, x, α) = K(x1, α, α) = 0; c c 5. lim Г dx Г K(x1, x, c)dx1 = 0. c→a a a Тогда повторный (собственный или несобственный) интеграл неотрицателен: а также 2. c r r dx f (x)f (x1)K(x1, x, c)dx1 ) 0, a a c c r r dx f (x)f (x1)K(x1, x, c)dτ = a a c ⎛ α r r ⎝ a a ⎞2 f (x)φ(x, α)dx⎠ dα. Теорема 3.1 будет применена к функции r 0, x ∈ [a, b]; f (x) = w˙ (x, t0), x ∈ [b, c]. 1 /(x - a)(c - x )+ /(x - a)(c - x) 1 1 1 Ядро K(x1, x, c) = ln 1 1 1 1 , где в качестве параметра берется c, 1 /(x - a)(c - x1) - /(x1 - a)(c - x) 1 1 1 удовлетворяет условиям теоремы 3.1: / √ √ 1. ∂K = (x - a)(x1 - a) = x - a x1 - a = φ(x, c) · φ(x1, c); ∂c (c - a)/(c - x)(c - x1) 1 √c - x 1 /(c - a)(c - x) /(c - a)(c - x1) 1 √c - x1 1 2. K(c, x, c) = ln 1 √ 1 = 0, K(x1, c, c) = ln 1 √ 1 = 0 ∀x, x1 ∈ (a, c); 1 1 1 1 c - x 1 1 1 c - x1 1 1. так как ядро K(x1, x, c) ∈ [0, +∞) при x ∈ [b, c], x1 ∈ [b, c] и оно интегрируемо на этом множестве, то по теореме о среднем существуют числа θ1 ±= θ2, 0 < θ1, θ2 < 1, такие что 1 1 c c / / r r lim dx ln 1 (x - a)(c - x )+ (x - a)(c - x) 1 dx = 1 1 1 1 1 c→a 1 /(x - a)(c - x1) - /(x1 - a)(c - x) 1 a a 1 1 1 / / 1 = lim(c - a)2 ln 1 θ (1 - θ )+ θ (1 - θ ) 1 = 0. 1 2 1 1 2 1 c→a 1 /θ2(1 - θ1) - /θ1(1 - θ2) 1 1 1 Тогда в силу теоремы 3.1 несобственный интеграл неотрицателен: c c c ⎛ α ⎞2 r r r r √x - af (x) dx f (x)f (x1)K(x1, x, c)dx1 = ⎝ a a a a ⎠ /(α o a)(α dx o x) dα ) 0. Подставляя функцию f (x), получаем c c r r dx w˙ (x, t0)w˙ (x1, t0)K(x1, x)dx1 ) 0. b b В силу неотрицательности интеграла при любом t = t0 c c r r dx w˙ (x, t)w˙ (x1, t)K(x1, x)dx1 ) 0. (3.13) b b 42 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ Аналогично c c r r dx w∗(x, t)w∗(x1, t)K(x1, x)dx1 ) 0. (3.14) 3. b Продолжим исследование функционала. Принимая во внимание выражение (3.1) и неравенства (3.13), (3.14), правую и левую части в (3.12) оценим следующим образом: Φ(t) ) r 2 r 4. c EJw∗∗2dx - ρV c r dx w∗(x, t)w∗(x , t)K(x , x)dx + αEJw∗2(b, t), (3.15) π b b b 1 1 1 Φ(0) r c r M (u˙ 2 + w˙ 2)+ EJw∗∗2 + EF ( 1 2 2 u∗ + w∗ +β w2 dx + 0 0 0 b c c 0 2 0 0 0 (3.16) ρ r r + dx π w˙ (x, 0)w˙ (x1, 0)K(x1, x)dx1 + αEJw∗2(b, 0), b b 0 где использованы следующие обозначения: w˙ 0 = w˙ (x, 0), u∗ = u∗(x, 0), w0 = w(x, 0), u˙ 0 = u˙ (x, 0), 0 = w (x, 0), w0 = w (x, 0). w∗ ∗ ∗∗ ∗∗ Используя неравенства 2ab a2 + b2, -2ab ) -(a2 + b2), симметричность и неотрицательность ядра K(x1 , x), и краевые условия (2.8), получим: c c r r dx w˙ (x, 0)w˙ (x1, 0)K(x1, x)dx1 b b c c r r dx w˙ 2(x, 0)K(x1, x)dx1 b b c r K0w˙ 2(x, 0)dx, b K0 = sup c r K(x1, x)dx1. Аналогично x∈(b,c) b c c r r dx w∗(x, t)w∗(x1, t)K(x1, x)dx1 b b c r K0w∗2(x, t)dx. b Учитывая эту оценку, неравенства (3.15) и (3.16) принимают вид Φ(t) ) r r c EJw∗∗2 - ρV 2 K0 w∗2 dx + αEJw∗2(b, t), (3.17) r c r( b ρK0 2 2 π 2 2 ( 1 2 2 2 Φ(0) M + π w˙ 0 + M u˙ 0 + EJw∗∗ + EF u∗ + w∗ 2 + β0w dx + αEJw∗ (b, 0). 0 b В силу неравенства Коши-Буняковского 0 0 0 (3.18) c r w∗∗2(x, t)dx ) 2 (c - b)2 b c r (w∗(x, t) - w∗(b, t) 2 dx, (3.19) b c r w2(x, t) (c - b) b w∗2(x, t)dx. (3.20) УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 43 Используя (3.19), из (3.17) получаем c ∗2 r r 2πEJ - ρK0V 2(c - b)2 4EJ ∗ ∗ Φ(t) ) b w π(c - b)2 (x, t) - (c - b)2 w (x, t)w (b, t)+ (3.21) + (2 + α(c - b))EJ (c - b)2 w∗2(b, t) dx. В силу критерия Сильвестра квадратичная форма от w∗(x, t), w∗(b, t) положительно определена, если выполнено следующее условие: V 2 < 2παEJ (c - b)ρK0(2 + α(c - b)) . (3.22) Тогда в силу (3.20), (3.21) получаем (2EJπ - ρK0V 2(c - b)2 (2 + α(c - b)) - 4EJπ 2 (3.23) Φ(t) ) w π(c - b)3(2 + α(c - b)) (x, t). Таким образом, из (3.12), (3.18) и (3.23) получаем неравенство 3 w2(x, t) π(c - b) (2 + α(c - b)) (2EJπ - ρK0V 2(c - b)2) (2 + α(c - b)) - 4EJπ × ⎛ c r 2 ⎞ r ( ρK0 2 2 ∗∗2 ( ∗ 1 ∗ 2 2 ∗2 × ⎝ M + π b w˙ 0 + M u˙ 0 + EJw0 + EF u0 + 2 w0 + β0w0 dx + αEJw (b, 0)⎠ , из которого вытекает следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (3.8), (3.11), (3.22). Тогда решение w(x, t) системы уравнений (2.7) устойчиво по отношению к возмущениям начальных данных w˙ 0, w0, w∗ , w∗∗, 0 0 0 u˙ 0, u∗ , если функция w(x, t) удовлетворяет краевым условиям (2.8). 1. ПРИМЕР КРЫЛА Приведем пример механической системы. Предположим, что крыло находится в воздушном потоке (ρ = 1), и элерон сделан из алюминия (E = 7 · 1010, ρpl = 8480). Другие параметры механической системы: a = 0; b = 3; c = 4; ν = 0,31; β0 = 4; β1 = 0,4; β2 = 0,4; α = 0,1 (все значения приводятся в системе СИ). Для неравенства (3.22) построена область устойчивости (выделена серым цветом) в плоскости «толщина элерона h - скорость потока V » (рис. 4.1). РИС. 4.1. Область устойчивости в плоскости (h, V ). 44 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ УСТРОЙСТВА Рассмотрим плоский поток в прямоугольном канале J = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < x0, 0 < y < y0}. Скорость невозмущенного равномерного потока равна V и направлена вдоль оси Ox. Часть стенки y = y0 при x ∈ [b, c] упругая (рис. 5.1). РИС. 5.1. Стенка канала, содержащая деформируемый элемент. Введем обозначения: u(x, t) and w(x, t) - деформация упругого элемента стенки канала в направлении осей Ox и Oy соответственно; φ(x, y, t) - потенциал скорости возмущенного потока. Сформулируем математическую постановку задачи. Потенциал скорости удовлетворяет уравнению φtt(x, y, t)+ 2V φxt(x, y, t)+ V 2φxx(x, y, t) = a2(φxx(x, y, t)+ φyy (x, y, t)), (x, y) ∈ J, t ) 0 (5.1) (что соответствует модели идеально сжимаемой среды), условия непротекаемости стенок канала φy (x, y0, t) = w˙ (x, t)+ V w∗(x, t), x ∈ (b, c), t ) 0, (5.2) φy (x, y0, t) = 0, x ∈ (0, b] ∪ [c, x0), t ) 0, (5.3) φy (x, 0, t) = 0, x ∈ (0, x0), t ) 0 (5.4) и условия на входе и выходе канала φ(0, y, t) = φ1(y, t), φ(x0, y, t) = φ2(y, t), y ∈ (0, y0). так как уравнение (5.1) линейное, для исследования устойчивости без ограничения общности можно считать, что φ1 = φ2 = 0. Тогда эти условия примут вид φ(0, y, t) = 0, φ(x0, y, t) = 0, y ∈ (0, y0), t ) 0. (5.5) Условия (5.5) выполнены для достаточно длинного канала, это условия отсутствия возмущений в граничных областях. Аэродинамическое воздействие на упругий элемент имеет вид P (x, t) = -ρ(φt(x, y0, t)+ V φx(x, y0, t)), x ∈ (b, c), t ) 0. (5.6) Нелинейная модель колебаний упругого тела с продольной и поперечной компонентами деформации элемента приближается упругой пластиной с учетом влияния действия силы P : ⎧ ⎪⎨ -EF 2 (u∗(x, t)+ 1 w∗2 (x, t) ∗ + M u¨(x, t) = 0, EF - w∗ ⎪ (x, t) (u∗(x, t)+ w 1 ∗2 2 (x, t) ∗ + EJw ∗∗∗∗ (x, t)+ M w¨(x, t)+ (5.7) ⎩ + N (t)w∗∗(x, t)+ β2w˙∗∗∗∗(x, t)+ β1w˙ (x, t)+ β0w(x, t) = P (x, t). Здесь N (t) - сжимающая (N > 0) или растягивающая (N < 0) силы элемента; a - скорость звука в невозмущенном потоке газа (a>V ). УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 45 Сжимающая (растягивающая) сила элемента N (t) может зависеть от времени. Например, при нестационарном нагреве элемента N (t) имеет следующий вид: 0 T T 1 ν 0 T N (t) = N + N , N = - T0 , T = Eα - h/2 r -h/2 T (z, t) dz, где αT - коэффициент линейного температурного роста, T (z, t) - закон изменения температуры в зависимости от толщины элемента, N0 - константа силы, возникающей при фиксации элемента. Краевые условия на концах элемента в точках x = b и x = c можно записать в виде: 1. жесткое защемление (рис. 5.2(a)): w(x, t) = w∗(x, t) = u(x, t) = 0; (5.8) 2. шарнирное закрепление (рис. 5.2(b)): w(x, t) = w∗∗(x, t) = u(x, t) = 0; (5.9) 3. жесткое подвижное защемление (рис. 5.2(c)): w(x, t) = w∗(x, t) = u∗(x, t) = 0; (5.10) 4. шарнирное подвижное закрепление (рис. 5.2(d)): w(x, t) = w∗∗(x, t) = u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) = 0. (5.11) 2 (a) (b) (c) (d) РИС. 5.2. Способы фиксации. Таким образом, соответствующая задача (5.1)-(5.11) содержит три неизвестные функции - деформации упругого элемента и стенки канала u(x, t) и w(x, t) и потенциал скорости жидкости (газа) φ(x, y, t). 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА Исследуем устойчивость по Ляпунову нулевого решения φ(x, y, t) ≡ 0, w(x, t) ≡ 0, u(x, t) ≡ 0 системы (5.1)-(5.11). Введем функционал rr Φ(t) = (φ2(x, y, t)+ (a2 - V 2)φ2 (x, y, t)+a2φ2 (x, y, t))dxdy - 2a2V c r φ(x, y0, t)w∗(x, t)dx t x y J b c 2 a2 r + ρ b ( ( EF u∗(x, t)+ 1 w∗2(x, t) 2 + M (u˙ 2(x, t)+ w˙ 2(x, t) + EJw∗∗2(x, t) (6.1) - N (t)w∗2(x, t)+ β0w2(x, t) dx. Для функций φ(x, y, t), u(x, t), w(x, t), удовлетворяющих уравнениям (5.1) и (5.6), (5.7) и условиям (5.2)-(5.5), (5.8)-(5.11), производная Φ по t имеет вид ( c 2 r Φ˙ (t) = - 2a β w˙ ∗∗2(x, t)+ β w˙ 2(x, t) - 1 N˙ (t)w∗2(x, t) dx. (6.2) ρ 2 1 2 b 46 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ Рассмотрим краевую задачу для уравнений ψ∗∗∗∗ = -λψ∗∗, ψ∗∗∗∗ = μψ, x ∈ (b, c) с краевыми условиями (5.8)-(5.11) относительно функции w(x, t). Эти задачи самосопряженные и полностью определены. Используя неравенство Рэлея [12] для w(x, t), получим оценку c c 1 r w˙∗∗2(x, t)dx ) μ r b b c r w˙ 2(x, t)dx, b c r w∗∗2(x, t)dx ) λ1 b c r w∗2(x, t)dx, b c r w∗∗2(x, t)dx ) μ1 b w2(x, t)dx, (6.3) где λ1, μ1 - наименьшие собственные значения соответствующих краевых задач. Используя первое неравенство в (6.3), получаем c 2 r Φ˙ (t) - 2a ( (β μ + β )w˙ 2(x, t) - 1 N˙ (t)w∗2(x, t) dx. (6.4) ρ b Пусть выполнены условия 2 1 1 2 β2μ1 + β1 ) 0, N˙ (t) > 0, (6.5) тогда из (6.4) следует, что Φ˙ (t) 0. Интегрируя от 0 to t, получаем неравенство Φ(t) Φ(0). (6.6) Оценим функционал с краевыми условиями (5.8)-(5.11). Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (6.3) и очевидное неравенство -2ab a2 + b2: c rr Φ(0) J c φ x0 t0 ( 2 + (a2 - V 2)φ2 y0 + a2φ2 dxdy + a2 r b φ2(x, y0, 0)dx + (6.7) a2 r + ( M (u˙ 2 + w˙ 2)+ EF ( 1 2 2 u∗ + w∗ ( + EJ + |N (0)| + ρV 2 β0 + \\ w∗∗2 dx = Ω. ρ 0 0 b 0 2 0 λ1 μ1 0 Здесь использованы следующие обозначения: φt0 = φt(x, y, 0), φx0 = φx(x, y, 0), φy0 = φy (x, y, 0), 0 u˙ 0 = u˙ (x, 0), u∗ 0 = u∗(x, 0), w˙ 0 = w˙ (x, 0), w0 = w(x, 0), w∗ 0 = w∗(x, 0), w∗∗ = w∗∗(x, 0). Оценим Φ(t) снизу: rr Φ(t) ) (φ2(x, y, t)+ (a2 - V 2)φ2 (x, y, t)+ a2φ2 (x, y, t) dxdy - t x y J c c (6.8) r - 2a2V b φ(x, y0, t)w∗(x, t)dx + a2 r ρ b (λ1EJ - N )w∗2(x, t)dx. Рассмотрим краевую задачу ψ∗∗ = -ηψ, x ∈ (0, x0), с условиями ψ(0) = 0, ψ(x0) = 0. Используя неравенство Рэлея для функции φ(x, y, t), получим rr π2 rr φ2 2 x x(x, y, t)dxdy ) 2 0 J J φ (x, y, t)dxdy. (6.9) Применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем 2 rr rr φ2 2 y y (x, y, t)dxdy ) 2 0 J J (φ(x, y0, t) - φ(x, y, t)) dxdy. (6.10) Применяя (6.9) и (6.10) к (6.8), получаем неравенство rr ( 2a2 2 2 2 2 π2 2 Φ(t) ) J y 2 (φ(x, y0, t) - φ(x, y, t)) 0 c r + φt (x, y, t)+ (a c a2 r x 2 - V ) φ (x, y, t) 0 dxdy - (6.11) - 2a2V b φ(x, y0, t)w∗(x, t)dx + ρ b (λ1EJ - N (t))w∗2(x, t)dx. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 47 ⎧ ⎨ 0, x ∈ (0, b), Рассмотрим функцию f (x, t) = w∗(x, t), x ∈ (b, c), тогда из (6.11) получаем неравенство rr г ⎩ 0, x ∈ (c, x0), ( 2 2 2 Φ(t) ) J t + φ2(x, y, t)+ x2 y 2 (a2 - V 2) π 2a 0 0 y2 φ2(x, y, t) - 4a 0 φ(x, y0, t)φ(x, y, t)+ (6.12) 2a2 y + 2 0 φ2(x, y0, t) - 2a2V y0 φ(x, y0, t)f (x, t)+ a2(λ1EJ - N (t)) ρy0 f 2(x, t) dxdy. Введем следующие обозначения: (a2 - V 2)π2 2a2 2a2 V a2(λ1EJ - N (t)) d11 = x2 + y2 , d22 = d12 = y2 , d23 = y2 , d33(t) = ρy . (6.13) 0 0 0 0 0 Рассмотрим квадратичную форму относительно φ(x, y, t), φ(x, y0, t), f (x, t) в (6.12), с матрицей d11 d12 0 d12 d22 d23 0 d21 d33(t) ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ . По критерию Сильвестра мы можем написать условие положительной определенности этой формы N (t) < λ1EJ - 0 V 2x2ρy0 2(a2 - V 2)π2 ((a2 - V 2)π2 x 2 0 2a2 y + 2 0 . (6.14) Используя метод Лагранжа, приведем квадратичную форму в (6.12) к каноническому виду: c Φ(t) ) Δ3y0 r Δ2 b w∗2(x, t)dx, Φ(t) ) d22 Δ3 rr d 23 d33 - 2 J φ2(x, y, t)dxdy. (6.15) Используя неравенство Коши-Буняковского, получим оценку c r w2(x, t) (c - b) b и тогда первое неравенство в (6.15) примет вид Δ3y0 w∗2(x, t)dx, 2 (6.16) 2 Φ(t) ) Δ (c - b) w (x, t). Учитывая (6.6), (6.7), (6.15), (6.16), получаем неравенства w2(x, t) Δ2(c - b) Ω, rr Δ3y0 J 2 φ2(x, y, t)dxdy d22d33 - d23 Ω. (6.17) Δ3 Из (6.17) вытекает следующая теорема. Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (6.5), (6.14). Тогда решение w(x, t) задачи (5.1)- (5.11) устойчиво, и решение φ(x, y, t) системы уравнений (5.1)-(5.11) устойчиво в среднем (в интегральном смысле) по отношению к возмущениям начальных данных φt0, φx0, φy0, φ(x, y0, 0), u˙ 0, u∗ , w˙ 0, w∗ , w∗∗. 0 0 0 Замечание 6.1. Если ввести функцию Φ1(t) = e-γtΦ(t), где γ - положительный числовой параметр, то можно ослабить второе условие (6.5) на убывание функции N (t). Замечание 6.2. Рассмотренная задача может быть обобщена на случай переменной толщины элемента или неоднородного материала, т. е. когда коэффициенты системы (5.7) являются функциями от x. 48 П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. АНКИЛОВ Замечание 6.3. Предложенный метод исследования устойчивости допускает наличие нелинейных членов во втором уравнении (5.7) ⎛ c r f (x, t, w)+ g(x, t, w, w˙ ) - w∗∗ ⎝μ b c w∗2dx + ν ∂ r ∂t b ⎞ w∗2dx⎠ , где f, g - нелинейные компоненты реакции основы (или иных внешних воздействий); нелинейные интегральные слагаемые учитывают влияние нелинейной продольной силы (μ, ν - постоянные). В этом случае условия устойчивости должны быть дополнены следующим: w r f (x, t, z)dz ) 0, 0 w r ∂f (x, t, z) dz 0, ∂t 0 w˙ g(x, t, w, w˙ ) ) 0, μ ) 0, ν ) 0. Кроме того, система уравнений (5.7) должна быть однородной. Это выполнено в частности, если f (x, t, 0) + g(x, t, 0, 0) = 0. Замечание 6.4. На основе построения функционалов вида (6.1) можно получить условия динамической устойчивости для произвольного числа упругих элементов, расположенных на верхней и нижней стенках. 2. ПРИМЕР КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ЭЛЕМЕНТА Рассмотрим пример механической системы. Рабочая среда - воздух (ρ = 1), пластина изготовлена из алюминия (E = 7 · 1010, ρpl = 8480). Другие параметры механической системы: a = 331, x0 = 5, y0 = 0,1, b = 2, c = 3, h = 0,005, ν = 0,31, EJ = Eh3/(12(1 - ν2)) = 806,7. Пусть концы упругой пластины закреплены шарнирно, тогда при этих параметрах λ1 = π2. Все значения приведены в системе СИ. Для неравенства (6.14) построены области устойчивости (серый регион) на плоскости «сила N - скорость потока V » (рис. 7.1). РИС. 7.1. Области устойчивости на плоскости (N, V ). На рис. 7.1(a) скорость V ∈ [0, 30], на рис. 7.1(b) - V ∈ [0, a]. Из неравенства (6.14) следует, что линия V = a является асимптотой границы области устойчивости. Это видно на рис. 7.1(b). 3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основываясь на предложенной математической модели потока вокруг крыла с упругим элероном в дозвуковом течении жидкости или газа (в модели идеальной несжимаемой среды), получены достаточные условия динамической устойчивости элерона. Эти условия накладывают ограничения на скорость потока воздуха, изгибную жесткость упругого элерона и другие параметры механической системы. Рассмотрен случай упругого закрепления на одном конце и свободного второго УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ 49 конца упругого элерона. Для конкретных примеров механических систем построена область устойчивости на плоскости двух параметров (h, V ). На примере предложенной математической модели колеблющегося устройства в виде канала с упругим элементом получены достаточные условия динамической устойчивости упругого элемента канала с дозвуковой скоростью потока жидкости или газа (в модели идеальной сжимаемой среды). Условия накладывают ограничения на скорость газа, сжимающую (растягивающую) силу элемента, изгибную жесткость упругого элемента и другие параметры механической системы. Приведены примеры построения области устойчивости для конкретных параметров механической системы. Для конкретных примеров механических систем построены области устойчивости на плоскости параметров (N, V ).

Об авторах

П. А. Вельмисов

Ульяновский государственный технический университет

Email: velmisov@ulstu.ru
432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32

А. В. Анкилов

Ульяновский государственный технический университет

Email: ankil@ulstu.ru
432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32

Список литературы