Нестационарная задача сложного теплообмена в системе полупрозрачных тел с краевыми условиями диффузного отражения и преломления излучения

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Задачи сложного (радиационно-кондуктивного) теплообмена, в которых необходим одновремен- ный учет распространения тепла излучением и теплопроводностью, возникают в самых разных областях науки и техники. Этим задачам посвящена обширная физическая литература (см., на- пример, [29, 30, 32, 33]). Результаты работы были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (зада- ние № 1.756.2014/К) и при частичной финансовой поддержке Совета по грантам при Президенте РФ (проект НШ- 2081.2014.1). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 5 6 А. А. АМОСОВ Математическая теория этих задач находится пока еще в стадии построения. Краткий обзор ре- зультатов о разрешимости задач сложного теплообмена в непрозрачных для излучения материалах по состоянию на 2008 год можно найти, например, в [9]; из более поздних работ в этом направ- лении отметим статьи [9, 10, 17-20]. Вопросам разрешимости задач радиационно-кондуктивного теплообмена в полупрозрачных средах посвящены работы [1-3, 7, 8, 22-24, 26-28, 31]. Отметим, что в статьях [1-3, 23, 24, 31] уравнение переноса излучения заменено его диффузионным P1-при- ближением. Настоящая статья посвящена исследованию нестационарной задачи, описывающей сложный теп- лообмен в системе полупрозрачных тел. Для описания распространения излучения используется уравнение переноса излучения с краевыми условиями диффузного отражения и диффузного пре- ломления излучения. Учтена зависимость интенсивности излучения и оптических свойств тел от частоты излучения. d d Статья организована следующим образом. В разделе 1 рассматривается исходная физическая по- становка решаемой задачи. В разделе 2 вводятся некоторые обозначения и используемые функци- ональные пространства. В разделе 3 дается формулировка краевой задачи для уравнения переноса излучения с условиями диффузного отражения и диффузного преломления излучения на границах раздела сред и напоминаются нужные для дальнейшего свойства этой задачи. Математическая по- становка рассматриваемой задачи Pd дается в разделе 4. Там же кратко формулируются основные результаты работы, доказательству которых посвящены разделы 5-9. В разделе 5 устанавливаются априорные оценки слабых решений задачи Pd и вспомогательной задачи P[n]. В разделе 6 дока- зывается теорема об устойчивости слабых решений задачи Pd по данным, следствиями которой являются теорема сравнения и теорема единственности. В разделе 7 устанавливается существова- ние слабого решения вспомогательной задачи P[n]. В разделе 8 приводится доказательство теорем о разрешимости задачи Pd, а в разделе 9 доказывается регулярность слабого решения. ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается задача нестационарного радиационно-кондуктивного теплообмена в системе m G = J Gj полупрозрачных тел, разделенных вакуумом. Каждое из тел Gj является ограниченной j=1 областью в R3 с границей ∂Gj класса C2; тело Gj заполнено оптически однородным материалом с постоянными значениями коэффициентов поглощения κj,ν > 0, рассеяния sj,ν ?: 0 и показателем преломления kj,ν > 1, зависящими от частоты излучения ν. Предполагается, что тела Gi и Gj попарно не пересекаются, но их границы могут пересекаться для некоторых i ∗= j. Искомыми являются функции u(x, t) и Iν (ω, x, t), имеющие физический смысл абсолютной тем- пературы в точке x ∈ G в момент времени t ∈ (0,T ) и интенсивности излучения на частоте ν, распространяющегося в направлении ω ∈ Ω. Здесь Ω = {ω ∈ R3 | |ω| = 1} - единичная сфера (сфера направлений). Излучение и поглощение энергии происходят на частотах ν ∈ N = N ∪ {νf} ⊂ (0, +∞). Множе- ство N предполагается измеримым. Через νf обозначены частоты, соответствующие спектральным линиям с шириной Δνf > 0. Множество {νf} может быть счетным, конечным или пустым; по- следнее - в случае, когда спектральные линии отсутствуют. Положим κν (x) = κj,ν , sν (x) = sj,ν , kν (x) = kj,ν для x ∈ Gj, 1 ::: j ::: m и ν ∈ N. Введем следующие обозначения: m Dj, Dj = Ω × Gj, 1 ::: j ::: m. QT = G × (0,T ), D = Ω × G = j∪=1 Для описания процесса радиационно-кондуктивного теплообмена будем использовать систему, состоящую из уравнения теплопроводности и уравнения переноса излучения: cpDtu-div(λ(x, u)∇u)+H(x, u)= [ κν [ Iν dω dν +), κνf [ Iνf dω Δνf +f0, (x, t) ∈ QT , (1.1) N Ω f Ω ν ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κνk2hν (u), (ω, x, t) ∈ D × (0,T ), ν ∈ N. (1.2) НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 7 Здесь cp(x) - коэффициент теплоемкости, λ(x, u) - коэффициент теплопроводности, f0(x, t) - за- данная плотность тепловых источников. Функция r H(x, u) = 4π κν (x)k2(x)hν (u) dν + 4π ) κν (x)k2 (x)hν (u)Δνf ν f νf f f N отвечает плотности излучаемой энергии, а первые два слагаемых в правой части уравнения (1.1) - плотности поглощаемой энергии. Функция 2ν2 c hν (u) = 2 0 exp ¯hν (¯hν/(Гku) - 1 при u > 0 отвечает спектральному распределению Планка; здесь ¯h > 0, Гk > 0 - постоянные Планка и Больцмана, c0 - скорость света в вакууме. Для удобства будем считать функцию hν доопределенной при u ::: 0 так, чтобы hν (u) = -hν (|u|) при u < 0 и hν (0) = 0. Напомним, что при [∞ u > 0 справедливо равенство π 0 hν (u) dν = σ0u4, где 0 < σ0 - постоянная Стефана-Больцмана. ∂ В (1.1) и всюду далее мы используем обозначение Dt для частной производной ∂t. 3 ∂ В уравнении (1.2) через ω · ∇Iν = ), ωi ∂x Iν обозначена производная функции Iν по направле- i=1 i нию ω. Через Sν обозначен оператор рассеяния 1 r Sν (Iν )(ω, x, t) = 4π Ω θj,ν (ωl · ω)Iν (ωl, x, t) dωl, (ω, x) ∈ Dj × (0,T ), 1 ::: j ::: m с индикатрисой рассеяния, обладающей следующими свойствами: θj,ν ∈ L1(-1, 1), θj,ν ?: 0, 1 1 r 2 θj,ν (μ) dμ = 1, 1 ::: j ::: m. -1 Кроме того, βν = κν + sν - это коэффициент экстинкции. Будем рассматривать R3 как евклидово пространство с элементами x = (x1, x2, x3) и скалярным 3 произведением x · y = ), xiyi. i=1 Обозначим через nj (x) внешнюю нормаль к границе ∂Gj в точке x, 1 ::: j ::: m. Введем множе- ства m Γ = J Γj, Γj = Ω × ∂Gj, 1 ::: j ::: m, j=1 m Γ- = J Γ-, Γ- = {(ω, x) ∈ Γj | ω · nj (x) < 0}, 1 ::: j ::: m, j j j=1 m Γ+ = J Γ+, Γ+ = {(ω, x) ∈ Γj | ω · nj (x) > 0}, 1 ::: j ::: m, j j j=1 m Γ0 = J Γ0, Γ0 = {(ω, x) ∈ Γj | ω · nj (x) = 0}, 1 ::: j ::: m. j j j=1 Дополним систему (1.1), (1.2) краевыми условиями λ(x, u)∇u · nj (x) = 0, (x, t) ∈ ∂Gj × (0,T ), 1 ::: j ::: m, (1.3) Iν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ )+ Cd,ν (J∗ν ), (ω, x, t) ∈ Γ- × (0,T ), ν ∈ N (1.4) и начальным условием u|t=0 = u0, x ∈ G. (1.5) 8 А. А. АМОСОВ Условие (1.3) означает отсутствие конвективных тепловых потоков на границах ∂Gj (напомним, что тела Gj разделены вакуумом). Краевое условие (1.4) описывает диффузное отражение и диф- фузное преломление излучения на границах тел Gj. Определение операторов Bd,ν и Cd,ν дано в разделе 3. Заметим, что величина ω · nj (x) представляет собой косинус угла между направлением распро- странения излучения ω и внешней нормалью nj (x). Таким образом, Iν |Γ- и Iν |Γ+ можно интер- претировать как значения интенсивности входящего в G и выходящего из G излучений. Через J∗ν обозначена интенсивность приходящего извне излучения. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть 1 ::: p ::: ∞. Через pl будем обозначать сопряженный по Гельдеру показатель такой, что pl ∈ [1, ∞] и 1/p + 1/pl = 1. Пусть E - измеримое множество в Rn, B - банахово пространство. Через M(E; B) будем обо- значать пространство заданных на E сильно измеримых (измеримых по Бохнеру) функций со значениями в B. Как обычно, положим M(E) = M(E; R) и M(0,T ; B) = M((0,T ); B). Пусть z ∈ Lr (0,T ; B), где B - банахово пространство, r ∈ [1, ∞]. Введем оператор интегрирова- t ния Itz(t) = [ z(s) ds и разность Δ(τ )z(t) = z(t + τ ) - z(t) с параметром τ ∈ (0,T ). Заметим, что 0 t+τ Δ(τ )Itz(t) = [ t z(s) ds, и обратим внимание на неравенство 1 1 1Δ(τ )Itz1 Lr1 (0,T -τ ;B) ::: τ 1-1/r+1/r1 z Lr (0,T ;B), 1 ::: r ::: r1 ::: ∞. (2.1) Пространства функций, заданных на G и QT . Будем использовать следующие обозначе- ния: r (f, g)G = G r f (x)g(x) dx, (f, g)Q = Q f (x, t)g(x, t) dxdt, где G и Q - измеримые подмножества множеств G и QT соответственно. Обозначим через Lr,q (QT ) пространство Lr (0,T ; Lq (G)) (где r, q ∈ [1, ∞]) с нормой f Lr,q (QT ) = 1 f Lq (G)1 . 1 1Lr (0,T ) Напомним, что Lr,r (QT ) = Lr (QT ), L∞,∞(QT ) ⊂ L∞(QT ) ⊂ L∞,r (QT ) для всех r ∈ [1, ∞). m Подчеркнем, что множество G = понимается пространство функций ∪ Gj j=1 не является связным. В связи с этим под W 1,2 (G) W 1,2(G) = {u ∈ L2(G) | u ∈ W 1,2(Gj ), 1 ::: j ::: m} (где W 1,2(Gj ) - классические пространства Соболева) с нормой L2(G) u W 1,2(G) = ( u 2 + ∇u 2 L2(G) )1/2. Следуя [4], введем пространство V2(QT ) = L2(0,T ; W 1,2(G)) ∩ L∞,2(QT ) с нормой u V2(QT ) = u L∞,2(QT ) + ∇u L2(QT ) 2 и пространство V 1,0(QT ) = V2(QT ) ∩ C([0,T ]; L2(G)). Известно [4], что для всех показателей, удовлетворяющих условиям r ∈ [1, ∞], q ∈ [1, 6], 2/r + 3/q ?: 3/2, (2.2) справедливо неравенство u Lr,q (QT ) ::: C(G, T ) u V2(QT ) ∀ u ∈ V2(QT ). (2.3) Из неравенства (2.3) следует, что V2(QT ) ⊂ L10/3(QT ) и, если |u|γ-1u ∈ V2(QT ) с γ ?: 1, то u ∈ L10γ/3(QT ), причем справедлива оценка u γ L10γ/3(QT ) 2 T ::: C(G, T ) |u|γ-1u V (Q ) . (2.4) НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 9 Пусть v - вещественное число или вещественнозначная функция. Введем срезки v[L,M ] = max{L, min{v, M }}, где -∞ ::: L < M ::: +∞ и v[M ] = v[-M,M ], где M > 0. Положим также [0,M ] [M ] [M ] [M ] v+ = max{v, 0} и v- = max{-v, 0}. Заметим, что (-v)+ = v- и v M > 0. = v+ , (-v)+ = v- при Пусть u ∈ W 1,2(G), w ∈ C1(R), wl ?: 0. Известно (см., например [21]), что u[L,M ] ∈ W 1,2(G), w(u[L,M ]) ∈ W 1,2(G), причем ∇u[L,M ] = ∇u, ∇w(u[L,M ]) = wl(u)∇u п.в. (почти всюду) на G[L,M ] = {x ∈ G | L < u(x) < M } и ∇u[L,M ] = 0, ∇w(u[L,M ]) = 0 п.в. на G \\ G[L,M ]. Пространства функций, заданных на D и Γ. Через dω и dσ(x) будем обозначать меры, индуцированные мерой Лебега в R3 на Ω и ∂G соответственно. Будем предполагать, что на Γ введена мера dΓ(ω, x) = dω dσ(x). Введем на Γ- и Γ+ меры j dГΓ-(ω, x) = |ω · nj (x)| dωdσ(x), (ω, x) ∈ Γ-, 1 ::: j ::: m, j dГΓ+(ω, x) = ω · nj (x) dωdσ(x), (ω, x) ∈ Γ+, 1 ::: j ::: m. Напомним, что D = Ω × G = m J Dj, где Dj = Ω × Gj, 1 ::: j ::: m. j=1 Пусть 1 ::: p ::: ∞. Через Lp(D) обозначим банахово пространство заданных на D и измеримых относительно меры dω dx функций f, обладающих конечной нормой f Lp(D) = ⎧([ ⎨ ⎪ D |f (ω, x)|p dωdx 1/p , 1 ::: p < ∞, ess sup |f (ω, x)|, p = ∞. ⎪ ⎩ (ω,x)∈D Обозначим через Wp(D) банахово пространство функций f ∈ Lp(D), обладающих обобщенной производной ω · ∇f ∈ Lp(D), оснащенное нормой ⎧( p p 1/p ⎨ f Wp(D) = f Lp(D) + ω · ∇f Lp(D) , 1 ::: p < ∞, ⎩max{ f L∞(D), ω · ∇f L∞(D)}, p = ∞. Пусть E± - измеримое относительно меры dΓ подмножество множества Γ±. Через MΓ(E±) будем обозначать множество функций, заданных на E± и измеримых относительно меры dΓ. Через LГp(E±), где 1 ::: p ::: ∞, обозначим банаховы пространства функций g ∈ MΓ(E±), обладающих конечными нормами ⎧( [ ⎪ |g(ω, x)|p dГΓ±(ω, x) 1/p , 1 ::: p < ∞, ⎨ g LГp(E±) = ⎪⎩ E± ess sup (ω,x)∈E± . |g(ω, x)|, p = ∞. loc Определим пространство Lp (Γ±) как множество всех функций g ∈ MΓ(Γ±) таких, что g ∈ Lp(K) для любого компактного подмножества K ⊂ Γ±. Будем также использовать пространства LГ1,p(E±), элементами которых являются функции g ∈ MΓ(E±), которые после доопределения нулем на Γ± \\ E± обладают конечными нормами ⎧ m r r p 1/p ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ g LГ1,p(E±) = ⎪ ) j=1∂Gj r Ω± j (x) |g(ω, x)||ω · nj (x)| dω r dσ(x) , 1 ::: p < ∞, Здесь и всюду ниже Ω+ max ⎪1:::j:::m ⎪⎩ ess sup x∈∂Gj Ω± j (x) |g(ω, x)||ω · nj (x)| dω, p = ∞. - j (x) = {ω ∈ Ω | ω · nj (x) > 0}, Ωj (x) = {ω ∈ Ω | ω · nj (x) < 0}. Ясно, что LГ1(E±) = LГ1,1(E±). 10 А. А. АМОСОВ Будем использовать обозначения r (f, g)E± = E± f (ω, x)g(ω, x) dГΓ±(ω, x), r (f, g)D = D p f (ω, x)g(ω, x) dω dx. p Напомним, что для f ∈ W (D), 1 ::: p < ∞ определены следы f |Γ± ∈ Lloc(Γ±), причем операторы ± loc f → f |Γ являются линейными непрерывными операторами из Wp(D) в Lp (Γ±). Сужение следа j Γ j f |Γ± на Γ± будем обозначать через f | ± . Введем пространства W-- (D) = {f ∈ W (D) I f |Γ- ∈ L (Γ ), f |Γ+ ∈ L (Γ ) , 1 ::: p ::: ∞. p p p - p + I Г Г Заметим, что W--∞(D) = W∞(D). Более подробную информацию о свойствах пространств Wp(D) и следов функций из этих пространств можно найти, например, в [6, 11, 14-16]. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ С УСЛОВИЯМИ ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ И ДИФФУЗНОГО ПРЕЛОМЛЕНИЯ В данном разделе дается краткое изложение постановки краевой задачи для уравнения пере- носа излучения с краевыми условиями диффузного отражения и диффузного преломления. Вывод краевых условий и доказательство используемых свойств задачи приведены в [12, 13]. Граничные операторы. Пусть ν - фиксированная частота излучения, ν ∈ N. Напомним, что каждое из тел Gj заполнено оптически однородной средой с коэффициентами поглощения и рассеяния κν (x) = κj,ν > 0, sν (x) = sj,ν ?: 0 и показателем преломления kν (x) = kj,ν > 1, где x ∈ Gj, 1 ::: j ::: m. Введем операторы R+ и R- диффузного внешнего отражения и диффузного внутреннего отра- жения формулами d d ρ- j,ν (x) [ Ω+ - d,ν (ϕ)(ω, x) = ϕ(ω , x) ω · nj (x) dω , (ω, x) ∈ Γj , 1 ::: j ::: m, R π l l l - j (x) + + Rd,ν (ψ)(ω, x) = ρj,ν (x) π [ Ω- j (x) j ψ(ωl, x) |ωl · nj (x)| dωl, (ω, x) ∈ Γ+, 1 ::: j ::: m. Здесь ρ+ (x) и ρ- (x) - отражательные способности поверхности ∂Gj в точке x. Эти величины j,ν j,ν удовлетворяют неравенствам 0 < ρ+ (x) < 1, 0 < ρ- (x) < 1 и связаны равенством ρ- (x) = 1 k 1 - 2 j,ν j,ν (1 - ρ+ (x)). j,ν j,ν j,ν Мы предполагаем дополнительно, что ρ+ , ρ- ∈ L∞(∂Gj ) для всех 1 ::: j ::: m и j,ν ρ+ j,ν + ν = max 1:::j:::m ρj,ν L∞(∂Gj ) < 1. d,ν Введем также операторы P- и P + d,ν диффузного преломления внутрь G и диффузного прелом- ления вне G P- формулами j,ν [ 1 - ρ+ (x) Ω π j d,ν (ψ)(ω, x) == j -(x) ψ(ωl, x)|ωl · nj (x)| dωl, (ω, x) ∈ Γ-, 1 ::: j ::: m, + Pd,ν (ϕ)(ω, x) = j,ν 1 - ρ- (x) π [ Ω+ j (x) j ϕ(ωl, x) ωl · nj (x) dωl, (ω, x) ∈ Γ+, 1 ::: j ::: m. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 11 Пусть ∂Gij = ∂Gi ∩ ∂Gj ∗= ∅ для некоторых i ∗= j. Заметим, что nj (x) = -ni(x). Положим Γ- - + + - + - ij = Γi ∩ Γj , Γij = Γji = Γi ∩ Γj . d,ij,ν Введем операторы R- и P - d,ij,ν ρ- формулами - d,ij,ν (ϕ)(ω, x) = ij,ν (x) [ ϕ(ω , x) ω ni(x) dω , (ω, x) ∈ Γij, Ω+ R π l l l - i (x) где - Pd,ij,ν (ψ)(ω, x) = 1 - ρ - ji,ν π (x) [ Ω+ j (x) ψ(ωl, x) ωl ij nj (x) dωl, (ω, x) ∈ Γ-, (1 - ρ- )(1 - ρ+ ) k2 (1 - ρ+ )(1 - ρ- ) ρ- i,ν j,ν , 1 - ρ- - i,ν = i,ν j,ν . ij,ν = 1 - 1 ρ+ + ji,ν = (1 - ρij,ν ) k2 1 ρ+ + - i,νρj,ν j,ν - i,νρj,ν ij,ν Заметим, что ρ- i,ν ∈ L∞(∂Gij ), причем 0 < ρ- < ρ - ij,ν < 1. Из [12] следует следующее утверждение. Лемма 3.1. d,ν Для всех 1 ::: p ::: ∞ операторы R- и R + d,ν являются линейными ограниченными опера- торами из LГ1,p(S+) в LГp(S-) и из LГ1,p(S-) в LГp(S+) соответственно. d,ν и P Для всех 1 ::: p ::: ∞ операторы P- + d,ν являются линейными ограниченными операто- рами из LГ1,p(S-) в LГp(S-) и из LГ1,p(S+) в LГp(S+) соответственно. d,ij,ν Пусть ∂Gij ∗= ∅ при некоторых i ∗= j. Тогда для всех 1 ::: p ::: ∞ операторы R- и P - d,ij,ν являются линейными ограниченными операторами из LГ1,p(Γ+) в LГp(Γ-) и из LГ1,p(Γ+) в ij LГp(Γ-) соответственно. Введем множества S- - ij ij ji m - - j = {(ω, x) ∈ Γj | x ∈ ∂Gj \\ ∪ ∂Gi}, S i±=j =1 = j∪ Sj , ∗ S- = {(ω, x) ∈ S-| {x - tω | t > 0} ∩ G = ∅}. ∗ Пусть (ω, x) ∈ S- \\ S- = {(ω, x) ∈ S-| {x - tω | t > 0} ∩ G ∗= ∅}. Положим τ -(ω, x) = inf {t > 0 | x - tω ∈ G}, X-(ω, x) = x - τ -(ω, x)ω и заметим, что X-(ω, x) ∈ ∂G, причем (ω, X-(ω, x)) ∈ Γ+ ∪ Γ0. Введем множество ∗ S - = {(ω, x) ∈ S- \\ S-| (ω, X-(ω, x)) ∈ Γ+} и определим оператор трансляции T формулой ∈ (ϕ(ω, X-(ω, x)), (ω, x) S-, Tϕ(ω, x) = 0, (ω, x) ∈ S- \\ S -. Лемма 3.2 (см. [11, 13]). Пусть S - ∗= ∅. Тогда для всех 1 ::: p ::: ∞ оператор T является линейным ограниченным оператором из LГp(S+) в LГp(S-), причем T LГp(S+)→LГp(S-) = 1. j j Формулировка краевых условий диффузного отражения и преломления. Значения на множествах Γ± и Γ± интенсивности Iν распространяющегося в G излучения мы будем обозначать через Iν |Γ± и Iν |Γ± соответственно. Значения на множестве Γ- интенсивности распространяюще- гося в вакууме излучения будем обозначать через Jν. ∗ Для (ω, x) ∈ S- падающее из вакуума на ∂G излучение Jν приходит извне и может считаться заданным: ∗ Jν = J∗ν, (ω, x) ∈ S-. 12 А. А. АМОСОВ Для (ω, x) ∈ S - падающее из вакуума на ∂G излучение Jν приходит от точки X-(ω, x) ∈ ∂G. Оно складывается из диффузно отраженного и диффузно преломленного в точке X-(ω, x) излучений: d,ν Jν = T R+ d,ν (Jν )+ T P+ (Iν |Γ+ ), (ω, x) ∈ S -. Для (ω, x) ∈ S- входящее в G излучение складывается из диффузно отраженного и диффузно преломленного излучений: d,ν Iν |Γ- = R- d,ν (Iν |Γ+ )+ P- (Jν ), (ω, x) ∈ S-. ij Пусть ∂Gij = ∂Gi ∩ ∂Gj ∗= ∅ для некоторых i ∗= j. Как показано в [12], условие диффузного отражения-преломления для (ω, x) ∈ Γ- имеет следующий вид: Iν |Γ- = R- (Iν | + )+ P- (Iν | + ), (ω, x) ∈ Γ-. i d,ij,ν Γi d,ij,ν Γj ij Предварительная формулировка рассматриваемой краевой задачи. Таким образом, рас- сматриваемая в данном разделе задача на «физическом» уровне строгости может быть сформули- рована следующим образом: требуется найти функцию Iν, определенную на множестве D = Ω× G, и функцию Jν, определенную на множестве S-, которые удовлетворяют уравнению ν ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κνk2Fν, (ω, x) ∈ D (3.1) и условиям d,ν Iν |Γ- = R- d,ν (Iν |Γ+ )+ P- (Jν ), (ω, x) ∈ S-, (3.2) Iν |Γ- = R- (Iν | + )+ P- (Iν | + ), (ω, x) ∈ Γ-, i ∗= j, (3.3) i d,ij,ν Γi d,ij,ν Γj ij d,ν Jν = T R+ d,ν (Jν )+ T P+ (Iν |Γ+ ), (ω, x) ∈ S -, (3.4) ∗ Jν = J∗ν, (ω, x) ∈ S-. (3.5) В [12] показано, что функцию Jν, входящую в условия (3.4), (3.5), можно исключить из задачи, представив ее в виде Jν = Bd,ν (Iν |Γ+ )+ Cd,ν (J∗ν ), ∗ где Bd,ν : LГ1,p(S+) → LГ1,p(S-) и Cd,ν : LГ1,p(S-) → LГ1,p(S-) - операторы, определяемые сходящи- мися в LГ1,p(S-) рядами ∞ d,ν Bd,ν (Iν |Γ+ ) = )(T R+ f=0 d,ν ∗ν )fT P+ (Iν |Γ+ ), Cd,ν (J ∗ ∞ d,ν ) = )(T R+ f=0 ) J f ∗ν. ∗ν Предполагается, что Iν |Γ+ ∈ LГ1,p(S+) и J ∗ S- \\ S-. ∗ν ∈ LГ1,p(S-), причем функция J продолжена нулем на Краевая задача для уравнения переноса с условиями диффузного отражения-прелом- ления и ее свойства. Исключая из задачи (3.1)-(3.5) функцию Jν = Bd,ν (Iν |Γ+ ) + Cd,ν (J∗ν ), приходим к краевой задаче ν ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κνk2Fν, (ω, x) ∈ D, (3.6) Iν |Γ- = R- (Iν |Γ+ )+ P- Bd,ν (Iν |Γ+ )+ P- Cd,ν (J∗ν ), (ω, x) ∈ S-, (3.7) d,ν Iν |Γ- = R- (I| d,ν + )+ P- (I| d,ν + ), (ω, x) ∈ Γ-, i ∗= j. (3.8) i d,ij,ν Γi d,ij,ν Γj ij ∗ ∗ν Будем предполагать, что Fν ∈ Lp(D), J ∈ LГ1,p(S-), 1 ::: p ::: ∞. Заметим, что Γ- = S- ∪ ( ∪ Γ-), и введем оператор Bd,ν : LГ1,p(Γ+) → LГp(Γ-) следующим образом: i±=j ij ( Bd,ν (ϕ)(ω, x) = R - d,ν d,ν (ϕ)(ω, x)+ P- Bd,ν (ϕ)(ω, x), (ω, x) ∈ S-, d,ij,ν (ϕi)(ω, x)+ Pd,ij,ν (ϕj )(ω, x), (ω, x) ∈ Γij, i ∗= j, R- - - НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 13 где ϕi и ϕj - сужения функции ϕ ∈ LГ1,p(Γ+) на Γ+ и Γ+ соответственно. i j ∗ Введем также оператор Cd,ν : LГ1,p(S-) → LГp(Γ-) следующим образом: ( Cd,ν (J∗ν )(ω, x) = - Pd,ν Cdν (J∗ν )(ω, x), (ω, x) ∈ S-, 0, (ω, x) ∈ Γ- \\ S- и запишем задачу (3.6)-(3.8) в следующей компактной форме: ν ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κνk2Fν, (ω, x) ∈ D, (3.9) Iν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ )+ Cd,ν (J∗ν ), (ω, x) ∈ Γ-. (3.10) -- Назовем решением задачи (3.9), (3.10) функцию Iν ∈ Wp(D), которая удовлетворяет уравне- нию (3.9) почти всюду на D, а условию (3.10) - почти всюду на Γ-. Сформулируем некоторые результаты о свойствах этой задачи, доказанные в [12]. -- Теорема 3.1. Пусть 1 ::: p ::: ∞ и Iν ∈ Wp(D) является решением задачи (3.9), (3.10). Тогда при 1 ::: p < ∞ справедливы оценки 1/p -2/p1 1/p 2/p p 1 p 1/p κν kν Iν Lp(D) ::: 1 ν ν ν 1Lp(D) πp 1 ∗ν ∗ 1κ k F 1 + - J , LГ1,p(S-) 1 1 1 1 1/p κ-1/p -2/p 2 1 1/p 2/p p p ν k ω · ∇I p ::: 1 L 1κν kν F 1 + J , ν а при p = ∞ - оценки ν L (D) - wmax,ν ν Lp 1 (D) πp-1 ∗ν 1,p Г ∗ (S-) -2 kν Iν L∞(D) ::: max{ Fν L∞(D), π J∗ν ∗ , κ-1k-2 LГ1,∞(S-) 2 { 1 ν ω · ∇Iν L∞(D) ::: 1 - w max Fν L∞(D), π J∗ν ∗ . Здесь wmax,ν = max 1:::j:::m wj,ν < 1, где wj,ν = max,ν sj,ν . κj,ν + sj,ν LГ1,∞(S-) Следствие 3.1. Если задача (3.9), (3.10) имеет решение, то оно единственно. Замечание 3.1. В [12] показано также, что из Fν ?: 0, J∗ν ?: 0 следует, что Iν ?: 0. ∗ ∗ν Теорема 3.2. Пусть Fν ∈ Lp(D), J ∈ LГ1,p(S-), где p ∈ (3/2, ∞]. Тогда у задачи (3.9), (3.10) p существует единственное решение Iν ∈ W-- (D). Замечание 3.2. Используемое в данной статье предположение ∂Gj ∈ C2, 1 ::: j ::: m в некото- рых случаях можно ослабить. Так, для Fν ∈ L∞(D), J∗ν ∈ LГ 1,∞ ∗ (S- ) существование и единствен- ность решения Iν ∈ W∞(D) имеют место и в предположении, что ∂Gj ∈ C1 для 1 ::: j ::: m. Теорема 3.2 не охватывает математически трудный, но физически важный случай p = 1, когда ∗ ∗ν данные задачи Fν ∈ L1(D) и J ∈ LГ1(S-). Следующая теорема содержит результат об одно- значной разрешимости рассматриваемой задачи в этом случае при наличии двух дополнительных предположений: (H1) Для всех i ∗= j множества ∂Gij пусты либо имеют нулевую меру на ∂G; (H2) Справедливо неравенство 1 r α(x) = χ (ω, x) |ω · n (x)| dω ::: α < 1 ∀ x ∈ ∂G , 1 ::: j ::: m, π Ω- j (x) S - j j в котором χ S - - характеристическая функция множества S -. Обратим внимание на то, что α(x) ≡ 0, если G - выпуклая область. 14 А. А. АМОСОВ Теорема 3.3. Пусть ∂Gj ∈ C1, 1 ::: j ::: m и выполнены условия (H1), (H2). Пусть Fν ∈ Lp(D), J∗ν ∈ LГ p 1,p ∗ (S- ), 1 ::: p ::: ∞. Тогда у задачи (3.9), (3.10) существует единственное решение Iν ∈ W-- (D). Предположим теперь, что объемные источники излучения изотропны, т. е. Fν = Fν (x). Обозначим через Ad,ν линейный оператор, ставящий в соответствие функции Fν ∈ Lp(G) реше- -- ние Iν ∈ Wp(D) задачи ν ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κνk2Fν, (ω, x) ∈ D, Iν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ ), (ω, x) ∈ Γ-. Через Dd,ν обозначим линейный оператор, ставящий в соответствие функции J∗ν ∈ LГ -- решение Iν ∈ Wp(D) задачи 1,p ∗ (S-) ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν ), (ω, x) ∈ D, Iν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ )+ Cd,ν (J∗ν ), (ω, x) ∈ Γ-. С использованием введенных операторов решение задачи (3.9), (3.10) может быть представлено в виде Введем также операторы Iν = Ad,ν (Fν )+ Dd,ν (J∗ν ). 1 r 1 r ◦Ad,ν •Ω(Fν ) = 4π Ω Ad,ν (Fν ) dω, ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) = 4π Ω ∗ Dd,ν (J∗ν ) dω, действующие из Lp(G) в Lp(G) и из LГ1,p(S-) в Lp(G) соответственно. Операторы Ad,ν, Bd,ν, ◦Ad,ν •Ω, ◦Bd,ν •Ω определены для p ∈ (3/2, ∞], а при выполнении условий (H1), (H2) - для всех p ∈ [1, ∞]. Из теоремы 3.1 (с учетом замечания 3.1) следуют оценки κν ◦Ad,ν •Ω(Fν ) L1(G) ::: κνk2Fν 1 ∀ Fν ∈ Lp(G), p ∈ (3/2, ∞], (3.11) k-2 ν L (G) ∞ ν ◦Ad,ν •Ω(Fν ) L∞(G) ::: Fν L∞(G) ∀ Fν ∈ L (G), (3.12) и оценка ν 0 ::: k-2◦Ad,ν •Ω(1) ::: 1 (3.13) 1/p1 1/p1 2/p1 1,p ∗ - 4π κν ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) Lp(G) ::: 4 κmax,ν kmax,ν J∗ν ∗ ∀ J∗ν ∈ LГ (S ), p ∈ (3/2, ∞], (3.14) где κmax,ν = max 1:::j:::m κj,ν , kmax,ν = max 1:::j:::m kj,ν . LГ1,p(S-) В [13] установлен следующий результат о самосопряженности оператора κν ◦Ad,ν •Ω. Теорема 3.4. Для всех p, q ∈ (3/2, ∞], 1/p + 1/q ::: 1 справедливо тождество (κν ◦Ad,ν •Ω(F ), v)G = (F, κν ◦Ad,ν •Ω(v))G ∀ F ∈ Lp(G), ∀ v ∈ Lq (G). (3.15) ЗАДАЧА Pd И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ О ЕЕ СВОЙСТВАХ Предположения о данных, оператор Hd и функция f∗. Будем считать выполненными следующие предположения о данных: (A1) κν,j > 0, sν,j ?: 0, kν,j > 1 для всех ν ∈ N и 1 ::: j ::: m. Кроме того, κν,j, sν,j, kν,j ∈ M(N ) для всех 1 ::: j ::: m. (A2) θj,ν ∈ L1(-1, 1), θj,ν ?: 0, 1 1 [ 2 -1 θj,ν (μ) dμ = 1 для всех ν ∈ N и 1 ::: j ::: m; кроме того, θj,ν ∈ M(N ; L1(-1, 1)) для всех 1 ::: j ::: m. (A3) ρ+ ∈ L∞(∂Gj ), 0 < ρ+ и ρ+ L∞(∂G ) < 1 для всех ν ∈ N и 1 ::: j ::: m; кроме того, j,ν ρ+ j,ν ∞ j,ν j j,ν ∈ M(N ; L (∂Gj )) для всех 1 ::: j ::: m. (A4) cp ∈ L∞(G); 0 < cp ::: cp(x) ::: cp для п.в. x ∈ G, где cp, cp - постоянные. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 15 (A5) Функция λ(x, u) определена на G × R и удовлетворяет условиям Каратеодори, т. е. для п.в. x ∈ G она непрерывна по u, а при любом u ∈ R измерима по x. Кроме того, справедливо неравенство 0 < λmin ::: λ(x, u) ::: λmax ∀ (x, u) ∈ G × R (4.1) с некоторыми постоянными λmin и λmax. (A6) Функция r H(x, u) = 4π κν (x)k2(x)hν (u) dν + 4π ) κν (x)k2 (x)hν (u)Δνf, (4.2) ν f νf f f N определена на G × R и удовлетворяет неравенству |H(x, u)| ::: cH (|u|s + 1) ∀ (x, u) ∈ G × R (4.3) с некоторыми постоянными s > 3/2, cH > 0. (A7) u0 ∈ Lp(G) и f0 ∈ Lr0,q0 (QT ), где p, r0, q0 ∈ [1, ∞]. ∗ (A8) Функция J∗ν определена на N × S- × (0,T ). Существуют показатели r∗ ∈ [1, ∞] и q∗ ∈ (3/2, ∞] такие, что J∗ν ∈ M(N × (0,T ); LГ ν ∈ {νf}. Кроме того, конечна величина 1,q∗ ∗ (S-)) и J∗ν ∈ M(0,T ; LГ 1,q∗ ∗ (S-)) для всех 1/q1 1r 1/q1 2/q1 ) 1/q1 2/q1 1 1 | J∗ |r∗,q∗ = 4 ∗ 1 κmax∗,ν kmax∗,ν J∗ν ∗ dν + κmax∗,νf kmax∗,νf J∗νf ∗ Δνf1 1L . (0,T ) Г L1,q∗ (S-) f N LГ1,q∗ (S-) r∗ Заметим, что из непрерывности и монотонности функции hν (u) по u следует непрерывность и монотонность H(x, u) по u. Обратим также внимание на то, что функция H(x, u) удовлетворя- ет условиям Каратеодори, так как при фиксированном u ∈ R она является кусочно постоянной функцией аргумента x. Для математической формулировки рассматриваемой в статье задачи нам потребуется оператор Hd[u], задаваемый формулой r Hd[u] = 4π κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)) dν + 4π ) κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)) Δν . (4.4) f f f f f N Лемма 4.1. Пусть выполнены условия (A1)-(A3), (A6) Тогда Hd : Ls(G) → L1(G), причем справедливы оценки Hd[u] L1(G) ::: H(·, u) L1(G) ::: cH |u|s + 1 L1(G) ∀ u ∈ Ls(G), (4.5) Hd[u] - Hd[u] L1(G) ::: H(·, u) - H(·, u) L1(G) ∀ u, u ∈ Ls(G). (4.6) Доказательство. Из непрерывности функции hν (u) по u и очевидной оценки 2ν2 |hν (u)| ::: c 2 Гk |u| ∀ u ∈ R (4.7) 0 вытекает, что из u ∈ Ls(G) следует hν (u) ∈ Ls(G) для всех ν ∈ N. Значит, ◦Ad,ν •Ω(hν (u)) ∈ Ls(G) для всех ν ∈ N. Покажем, что ◦Ad,ν •Ω(hν (u)) ∈ M(N × G). Поскольку функция hν непрерывна по ν и удовлетво- ряет оценке (4.7), то hν (u) ∈ C(N ; Ls(G)). Поэтому существует последовательность определенных n=1 на N простых функций {hν (u)(n)}∞ со значениями в Ls(G) такая, что hν (u)(n) → hν (u) в Ls(G) для почти всех ν ∈ N . Из предположений (A1)-(A6) для всех 1 ::: j ::: m следует существование последовательностей ν,j n=1 определенных на N простых функций {κ(n)}∞ , {s (n) ν,j } ∞ n=1 , {k (n) ν,j } ∞ n=1 , последовательности опреде- j,ν n=1 ленных на N простых функций {θ(n)}∞ +,(n) со значениями в L1(-1, 1) и последовательности опре- (n) n=1 деленных на N простых функций {ρj,ν }∞ со значениями в L∞(∂Gj ) таких, что: κ ν,j → κν,j, s(n) (n) (n) +,(n) j,ν ν,j → sν,j, kν,j → kν,j для п.в. ν ∈ N , θj,ν → θj,ν в L1(-1, 1) для п.в. ν ∈ N и ρj,ν → ρ+ в 16 А. А. АМОСОВ (n) (n) (n) (n) L∞(∂Gj ) для п.в. ν ∈ N . Кроме того, можно считать, что κj,ν > 0, sj,ν ?: 0, kj,ν > 1, θj,ν ?: 0, 1 1 [ θ(n) +,(n) +,(n) 2 -1 j,ν (μ) dμ = 1, 0 < ρj , max 1:::j:::m ρj L∞(∂Gj ) < 1. Заменяя в задаче (3.9), (3.10) данные κν,j, sν,j, βν, kν,j, θj,ν , ρ+ , Fν на κ(n), s(n), β(n) = κ(n) (n) (n) (n) +,(n) (n) j,ν ν,j ν,j ν ν + sν , kν,j , θj,ν , ρj,ν , hν (u) и полагая J∗ν = 0, приходим к последовательности задач (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν )+ κν (kν )2hν (u), (ω, x) ∈ D, I(n) (n) (n) ν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ ), (ω, x) ∈ Γ-. (n) n=1 Решая эти задачи для всех n ?: 1 и ν ∈ N , получаем последовательность {Iν }∞ простых -- функций, определенных на N и принимающих значения в Ws(D). Из теоремы о непрерывной зависимости решения задачи (3.9), (3.10) от данных, доказан- ν ной в [13], следует, что I(n) → Ad,ν (hν (u)) в W1(D) для почти всех ν ∈ N . Таким образом, Ad,ν (hν (u)) ∈ M(N ; W1(D)). Как следствие, ◦A d,ν •Ω(hν (u)) ∈ M(N ; L1(G)) ⊂ M(N × G). Пользуясь оценкой (3.11) c Fν = hν (u), имеем: Hd[u] L1(G) ::: 4π [ κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)) L1(G) dν + 4π ), κνf ◦Ad,νf •Ω(hνf (u) L1(G)Δνf ::: N ::: 4π [ κνk2hν (u) 1 f dν + 4π ), κν k2 hν (u) 1 Δνf = = 1 2 ν L (G) N 2 f νf f f 1 L (G) s 14π [ κνkνhν (|u|) dν + 4π ), κνf kνf hνf (|u|)Δνf1 = H(·, |u|) L1(G) ::: c |u| + 1 1 . 1 1 L1(G) f N H L (G) Аналогично u] L1(G) Hd[u] - Hd[ r ::: u)) L1(G) dν + 4π ) κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u) - hν ( L1(G)Δνf ::: ::: 4π N κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u) - hν ( r f f f f f u)) ::: 4π κνk2|hν (u) - hν (u)| L1(G) dν + 4π ) κν k2 |hν (u) - hν (u)| 1 Δνf = ν f νf f f N f L (G) = 2 1 1 r u) dν +4π ) κ k2 h (u) 1 h (u) Δν 1 = H( , u) H( , u) 1 . 14π N κνkν |hν (u)-hν ( | νf νf | νf f - νf | f1L1(G) · - · L (G) Последнее равенство имеет место в силу монотонности hν (u) по u при всех ν. Следствие 4.1. Оператор Hd является непрерывным оператором, действующим из Ls(G) в L1(G). Следствие 4.2. Оператор Hd является непрерывным оператором, действующим из Ls(QT ) в L1(QT ), причем справедливы оценки s Hd[u] L1(QT ) ::: H(·, u) L1(QT ) ::: cH |u| T + 1 L1(Q ) ∀ u ∈ Ls(QT ), (4.8) u] L1(QT ) Hd[u] - Hd[ u) L1(QT ) ::: H(·, u) - H(·, u ∈ L ∀ u, s(QT ). (4.9) Лемма 4.2. Справедливы неравенства L∞(G) H[u] L∞(G) ::: H(·, u L∞(G)) L∞(G) ::: cH ( u s + 1) ∀ u ∈ L∞(G). Доказательство. Пользуясь оценкой (3.12), имеем H[u] L∞(G) ::: 14π [ κν ◦Ad,ν •Ω(hν (|u|)) dν + 4π ), κνf ◦Ad,νf •Ω(hνf (|u|))Δνf1 ::: 1 N ::: 1 [ ν f ), f ν f 1L∞(G) 1 14π N f κνk2hν ( u L∞(G)) dν + 4π κν k2 hν ( u L∞(G))Δνf1 f L∞(G) = L∞(G) = H(·, u L∞(G)) L∞(G) ::: cH ( u s + 1). НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 17 Лемма 4.3. Пусть выполнены условия (A1)-(A3), (A8). Тогда функция r f∗ = 4π κν ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) dν + 4π ) κν ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) Δνf f f f f N принадлежит пространству Lr∗,q∗ (QT ), причем справедлива оценка f∗ Lr∗,q∗ (QT ) ::: |J∗ |r∗,q∗ . (4.10) Доказательство. Из сделанных предположений следует существование последовательности опре- ∗ν n=1 деленных на N × (0,T ) простых функций {J (n)}∞ со значениями в LГ1,q∗ ∗ (S-) и для каждого ∗ν n=1 ν ∈ {νf} - последовательности определенных на (0,T ) простых функций {J (n)}∞ со значениями ∗ ∗ν ∗ ∗ν в LГ1,q∗ (S-) таких, что: J (n) → J ∗ν ∗ν в LГ1,q∗ (S-) для п.в. (ν, t) ∈ N × (0,T ) и J (n) → J ∗ в LГ1,q∗ (S-) для п.в. t ∈ (0,T ) и всех ν ∈ {νf} при n → ∞. Заменяя в задаче (3.9), (3.10) данные κν,j, sν,j, βν, kν,j, θj,ν , ρ+ на те же данные κ(n), s(n), β(n), k(n) (n) +,(n) j,ν ν,j ν,j (n) ν,j , θj,ν , ρj,ν , что и в доказательстве леммы 4.1, полагая Fν = 0 и заменяя J∗ν на J∗,ν , приходим к последовательности задач (n) (n) (n) (n) (n) (n) ω · ∇Iν + βν Iν = sν Sν (Iν ), (ω, x) ∈ D, I(n) (n) (n) (n) (n) ν |Γ- = Bd,ν (Iν |Γ+ )+ Cd,ν (J∗ν ), (ω, x) ∈ Γ-. (n) n=1 Решая эти задачи для всех n ?: 1 и ν ∈ N, получаем последовательность {Iν }∞ простых -- функций, определенных на N × (0,T ) и принимающих значения в Wq∗ (n) (D), а также для всех νf ⊂ n=1 {νf} - последовательности {Iνf }∞ простых функций, определенных на (0,T ) и принимающих -- значения в Wq∗ (D). Из [13] следует, что I(n) → D (J ) в W1(D) для п.в. (ν, t) ∈ N × (0,T ) и I(n) → D (J ) ν d,ν ∗ν νf d,νf ∗νf ∗ν в W1(D) для п.в. t ∈ (0,T ) и всех νf ∈ {νf}. Таким образом, Dd,ν (J 1 ) ∈ M(N × (0,T ); W1(D)) 1 и Dd,νf (J∗νf ) ∈ M((0,T ); W 1 (D)), Значит, ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) ∈ M(N × (0,T ); L (G)) ⊂ M(N × QT ) и ◦Dd,νf •Ω(J∗νf ) ∈ M(0,T ; L (G)) ⊂ M(QT ). Для завершения доказательства леммы осталось заметить, что в силу оценки (3.14) справедли- вы неравенства f∗ Lr∗,q∗ (QT ) ::: 14π ::: 1 r κν ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) Lq∗ (G) dν + 4π ) κν ◦Dd,ν •Ω(J∗ν ) Lq∗ (G)Δνf1 ::: |J∗ |r ,q . 1Lr∗ (0,T ) ∗ ∗ f N Задача Pd и формулировка результатов об ее свойствах. В силу описанных в разде- ле 3 результатов входящая в задачу (1.1)-(1.5) неизвестная функция Iν может быть выражена формулой Iν = Ad,ν (hν (u)) + Dd,ν (J∗,ν ), (т. е. формулой (3.4) с Fν = hν (u)) и исключена из задачи. Как следствие, исходная задача может быть сведена к следующей задаче, которую далее будем называть задачей Pd: cpDtu - div(λ(x, u)∇u)+ H(x, u) = Hd[u]+ f, (x, t) ∈ QT , (4.11) λ(x, u)∇u · nj = 0, (x, t) ∈ ∂Gj × (0,T ), 1 ::: j ::: m, (4.12) u(x, 0) = u0(x), x ∈ G. (4.13) Введем следующие обозначения: a(u, v) = (λ(·, u)∇u, ∇v)G = r λ(x, u(x))∇u(x) · ∇v(x) dx, G r b(u, v) = (H(·, u) - Hd[u], v)G = 4π f bν (u, v) dν + 4π ) bν (u, v)Δνf, f N 18 А. А. АМОСОВ где ν bν (u, v) = (κνk2hν (u), v)G - (κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)), v)G. Введем пространства функций V(QT ) = V2(QT ) ∩ C([0,T ]; L1(G)) ∩ Ls(QT ), V = W 1,2(G) ∩ L∞(G). 0 ∈ Наряду с пространством C∞[0,T ] бесконечно дифференцируемых финитных на [0,T ] функций мы будем использовать пространство C∞[0,T ] функций η C∞[0,T ] таких, что η(t) = 0 для всех ∗ t ∈ [T - δ, T ], где δ = δ(η) ∈ (0,T ]. Функцию u ∈ V(QT ) назовем слабым решением задачи Pd, если она удовлетворяет интеграль- ному тождеству T T r d r - (cpu(t), v)G dtη(t) dt + 0 0 T r a(u(t), v)η(t) dt + 0 T r b(u(t), v)η(t) dt = = (cpu0, v)G · η(0) + 0 ∗ (f (t), v)Gη(t) dt ∀ v ∈ V, ∀ η ∈ C∞[0,T ]. (4.14) Сформулируем теперь кратко основные результаты статьи. Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (A1)-(A8) и пусть показатели p, r0, q0, r∗, q∗, входя- щие в условия (A7), (A8), дополнительно таковы, что p ∈ [2, ∞), 2/r0 + 3/q0 ::: 2+ 3/p, 2/r∗ + 3/q∗ ::: 2+ 3/p, (4.15) и пусть u - слабое решение задачи Pd. Тогда |u|γ-1u ∈ V2(QT ) для всех γ ∈ [1, p/2], причем справедлива оценка |u|γ-1u 1/γ V2(QT ) T ::: C( u0 Lp(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ ). (4.16) Здесь и всюду ниже через C (с индексами или без) обозначаются различные положительные постоянные, которые могут зависеть от G, T, cp, cp, λmin, λmax и p, r0, q0, r∗, q∗. Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (A1)-(A8) и пусть показатели p, r0, q0, r∗, q∗, входя- щие в условия (A7), (A8), дополнительно таковы, что p = ∞, 2/r0 + 3/q0 < 2, 2/r∗ + 3/q∗ < 2, (4.17) и пусть u - слабое решение задачи Pd. Тогда u ∈ L∞(QT ), причем справедлива оценка 0 u L∞(QT ) ::: M∞ = C( u L∞(G) + f0 Lr0,q0 (QT ) + |J∗ |r∗,q∗ ). (4.18) Поскольку по физическому смыслу задачи u - это абсолютная температура, важно показать, что при естественных предположениях на данные эта величина неотрицательна. Справедлив сле- дующий результат. Теорема 4.3. Пусть выполнены условия (A1)-(A8) и пусть u - слабое решение задачи Pd. Если u0 ?: 0 и f ?: 0, то u ?: 0. Справедлива следующая теорема об устойчивости слабых решений задачи Pd по данным. Теорема 4.4. Пусть выполнены условия (A1)-(A6) и дополнительное условие (A9) Функция λ удовлетворяет следующему условию Гельдера по переменной u: |λ(x, u + v) - λ(x, u)| ::: Lv1/2 ∀ (x, u) ∈ G × R, ∀ v ∈ [0, 1], где L - положительная постоянная. Пусть u1, u2 - два слабых решения задачи Pd, отвечающие данным u0,1, u0,2 ∈ L1(G) и f 1,f 2 ∈ L1(QT ). Тогда справедливы оценки T cp(u1 - u2)+ C([0,T ];L1(G)) ::: cp(u0,1 - u0,2)+ L1(G) + (f 1 - f 2)+ L1(Q ), (4.19) cp(u1 - u2) 1 ::: c (u0,1 - u0,2) 1 + (f 1 - f 2) 1 (4.20) - C([0,T ];L (G)) p - L (G) - L (QT ) НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 19 и оценка T cp(u1 - u2) C([0,T ];L1(G)) ::: cp(u0,1 - u0,2) L1(G) + f 1 - f 2 L1(Q ). (4.21) Очевидными следствиями теоремы 4.4 являются следующие два результата. Теорема 4.5 (теорема единственности). Пусть выполнены условия (A1)-(A9). Если слабое ре- шение задачи Pd существует, то оно единственно. Теорема 4.6 (теорема сравнения). Пусть выполнены условия (A1)-(A6), (A9). Пусть u1, u2 - два слабых решения задачи Pd, отвечающие данным u0,1, u0,2 ∈ L1(G) и f 1,f 2 ∈ L1(QT ). Если u0,1 ::: u0,2 и f 1 ::: f 2, то u1 ::: u2. Справедливы следующие результаты о разрешимости задачи Pd. 2 Теорема 4.7. Пусть выполнены условия теоремы 4.2. Тогда у задачи Pd существует слабое решение u ∈ V 1,0(QT ) ∩ L∞(QT ). Теорема 4.8. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, условие (A9) и пусть p ?: 3s/5. Тогда у задачи Pd существует слабое решение и оно единственно. Сформулируем результат о регулярности слабого решения задачи Pd в предположении, что в одной из областей Gj коэффициент λ удовлетворяет следующему условию: (A10) λ(x, u) = λj (u) для всех x ∈ Gj, причем функция λj удовлетворяет следующему условию Гельдера: |λj (u + v) - λj (u)| ::: Lv1/2 ∀ u ∈ R, ∀ v ∈ [0, 1], где L - положительная постоянная. Обозначим через uj сужение слабого решения u задачи Pd на QjT = Gj × (0,T ) и поло- u жим Λj (u) = [ λj (s) ds. Заметим, что при выполнении условия (A10) справедливо равенство 0 λj (uj )∇uj = ∇Λj (uj ). Назовем слабое решение u задачи Pd регулярным в области Gj, если Dtuj ∈ L2(QjT ), Λj (uj ) ∈ L2(0,T ; W 2,2(Gj )), уравнение cpDtuj - div(λj (uj )∇uj )+ H(x, uj ) = Hd[u]+ f, (x, t) ∈ QjT (4.22) выполняется в L2(QjT ), а краевое условие λj (uj )∇uj · nj = 0, (x, t) ∈ ∂Gj × (0,T ) (4.23) выполняется в L2(0,T ; W 1/2,2(∂Gj )). Теорема 4.9. Пусть выполнены условия теоремы 4.2. Пусть для некоторого j, 1 ::: j ::: m, выполнено условие (A10) и дополнительно u0 ∈ W 1,2(Gj ). Тогда слабое решение задачи Pd регулярно в области Gj и справедлива оценка Dtuj L2(QjT ) + Λj (uj ) L2(0,T ;W 2,2(Gj )) ::: ::: C( s u0 L2(G ) + u0 s + f0 r ,q + |J |s +1 (4.24) ∇ j L∞(G) L 0 0 (QT ) ∗ r∗,q∗ с постоянной C, зависящей от G, T, cp, cp, λmin, λmax, r0, q0, r∗, q∗ и cH. Справедливость теорем 4.1-4.9 следует из результатов разделов 5-9. d АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ Pd И P[n] [n] Для доказательства разрешимости задачи Pd нам потребуется вспомогательная задача Pd , которая отличается от задачи Pd только тем, что в ее формулировке функция hν (u) заменена на hν (u[n]), где 0 < n - параметр. Напомним, что u[n] = max{-n, min{u, n}}. 20 А. А. АМОСОВ Функцию u ∈ V 1,0(QT ) назовем слабым решением задачи P[n], если она удовлетворяет инте- 2 d гральному тождеству T T r d r - (cpu(t), v)G dtη(t) dt + 0 0 T r a(u(t), v)η(t) dt + 0 T r b(u [n] (t), v)η(t) dt = (cpu0, v)G · η(0) + = (f (t), v)Gη(t) dt ∀ v ∈ W 1(G), ∀ η ∈ C∞[0,T ]. (5.1) 2 ∗ 0 [n] Выведем априорные оценки слабых решений задачи Pd и задачи Pd , считая выполненными условия (A1)-(A8). Важную роль в дальнейшем играет следующее утверждение. w Лемма 5.1. Пусть - заданная на R неубывающая непрерывная ограниченная функция (0) = 0. такая, что w Тогда для всех ν ∈ N, n > 0 справедливы неравенства w(u)) ?: 0, bν (u[n], w(u)) ?: 0 ∀ u ∈ Ls(G). (5.2) bν (u, N Доказательство. Пусть сначала u - простая функция вида u(x) = ), uiχi(x), где χi - характе- i=1 ристические функции измеримых попарно непересекающихся множеств Ei, 1 ::: i ::: N таких, что N G = J Ei. Заметим, что i=1 bν (u, (u)) = (κνk2hν (u) - κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)), (u))G = ν w w = (κνk2hν w ν (u)[1 - k-2◦Ad,ν ν •Ω(1)], (u))G + (κν hν (u)◦Ad,ν w •Ω(1) - κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)), (u))G. w Первое слагаемое в правой части этого равенства неотрицательно, потому что hν (u) (u) ?: 0 и ν 1 - k-2◦Ad,ν •Ω(1) ?: 0 (см. (3.13)). Поэтому w(u))G. w(u), κν ◦Ad,ν •Ω(1))G - (κν ◦Ad,ν •Ω(hν (u)), Пользуясь свойством (3.15) самосопряженности оператора κν ◦Ad,ν •Ω и элементарными формулами N N N h(u) = ) h(ui)χi, (u) = ) (ui)χi, 1 = ) χj, имеем: i=1 w w i=1 j=1 w(u))G - w(u), κν ◦Ad,ν •Ω(1))G + (κν ◦Ad,ν •Ω(1), hν (u) w(u))G - (hν (u), κν ◦Ad,ν •Ω(w(u)))G = N N N N = ), ), hν (ui) (ui)(χi, κν ◦Ad,ν •Ω(χj ))G + ), ), hν (uj ) (uj )(κν ◦Ad,ν •Ω(χi), χj )G - w i=1 j=1 w i=1 j=1 N N N N - ), ), hν (ui) (uj )(κν ◦Ad,ν •Ω(χi), χj )G - ), ), hν (uj ) (ui)(χj, κν ◦Ad,ν •Ω(χi))G = w i=1 j=1 N N w i=1 j=1 = ), ), [hν (ui) - hν (uj )][ (ui) - (uj )](κν ◦Ad,ν •Ω(χi), χj )G ?: 0. w w i=1 j=1 w Последнее неравенство следует из монотонности функций hν, и неотрицательности функции ◦Ad,ν •Ω(χi). k=1 Пусть теперь u ∈ Ls(G). Построим последовательность простых функций {u(k)}∞ такую, что w u(k) → u в Ls(G) при k → ∞. В силу доказанного выше bν (u(k), (u(k))) ?: 0. hl Заметим, что sup | u∈R ν (u)| < ∞. Поэтому hν (u (k) ) → hν (u) в Ls(G) и, как следствие, ◦Ad,ν •Ω(u(k)) → ◦Ad,ν •Ω(u) в L1(G). Кроме того, (u(k)) → (u) ∗-слабо в L∞(G). Поэтому w w w(u)) = lim bν (u(k), w(u(k))) ?: 0. bν (u, k→∞ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 21 Первое из неравенств (5.2) доказано. Аналогично доказывается и второе неравенство. Следствие 5.1. Пусть w - заданная на R неубывающая непрерывная функция такая, что w(0) = 0. Тогда для всех n > 0, M > 0 справедливы неравенства b(u, w(u[0,M ])) ?: 0, b(u[n], w(u[0,M ])) ?: 0 ∀ u ∈ Ls(G). (5.3) w Доказательство. Взяв (u) = w(u[0,M ]) в лемме 5.1, имеем: f b(u, w(u[0,M ]) = 4π [ bν (u, w(u[0,M ])) dν + 4π ), bν (u, w(u[0,M ])) Δνf ?: 0, N f f b(u[n], w(u[0,M ])) = 4π [ bν (u[n], w(u[0,M ])) dν + 4π ), bν (u[n], w(u[0,M ])) Δνf ?: 0. N f Справедливо следующее утверждение. Лемма 5.2. Пусть функция u ∈ V2(QT ) удовлетворяет интегральному тождеству T r d - (cpu(t), v)G dtη(t) dt = T r (F (t), ∇v)G η(t) dt + T r K ) (fk (t), v)G η(t) dt 0 0 k=1 0 ∀ v ∈ W 1(G), ∀ η ∈ C∞[0,T ], (5.4) 2 0 где F ∈ L2(0,T ; (L2(G))3), fk ∈ Lrk ,qk (QT ), 1 ::: k ::: K с показателями rk ∈ [1, ∞], qk ∈ [6/5, ∞], удовлетворяющими условию 2/rk + 3/qk ::: 7/2. Тогда u ∈ C([0,T ]; L2(G)). Это утверждение при cp = const > 0 является стандартным для теории параболических уравне- ний. В случае, когда cp удовлетворяет условию (A4), его доказательство можно найти, например, в [10, лемма 4.1]. Напомним, что u0 0 0 + = max{u , 0}, u- = max{-u, 0}, f+ = max{f, 0}, f- = max{-f, 0}, u+ = max{u, 0}, u- = max{-u, 0}. Лемма 5.3. Пусть функция u ∈ V2(QT ) ∩ C([0,T ]; L1(G)) удовлетворяет интегральному тождеству T r d - (cpu(t), v)G dtη(t) dt = 0 T T r r (F (t), ∇v)G η(t) dt+ 0 0 0 (g(t), v)G η(t) dt ∀ v ∈ V, ∀ η ∈ C∞[0,T ], (5.5) в котором F ∈ L2(0,T ; (L2(G))3), g ∈ L1(QT ). Пусть w ∈ C1(R), wl ?: 0, w(0) = 0 и W (M )(u) = [ w(s[M ] u + ) ds, где M > 0. Тогда для всех t ∈ [0,T ] справедливы равенства 0 [M ] t cpW (M )(u+(t)) L1(G) = cpW (M )(u+(0)) L1(G) + (F, ∇w(u+ ))Q + (g, w(u [M ] + ))Qt , cpW (M )(u (t)) 1 = c W (M )(u (0)) 1 [M ] - (F, ∇w(u ))Q [M ] - (g, w(u ))Q . - L (G) p - L (G) - t - t Доказательство этой леммы содержится в [10]. d Лемма 5.4. Пусть u - слабое решение задачи Pd или слабое решение задачи P[n]. Пусть u u U ∈ C1(R), U l ?: 0, w(u) = [ (U l(s))2 ds, W (u) = [ w(s) ds. 0 0 Тогда для всех t ∈ [0,T ] справедливы неравенства [M ] [M ] 2 0 [M ] cpW (u+ (t)) L1(G) + λmin ∇U (u+ ) L2(Qt) ::: cpW (u+) L1(G) + (f+, w(u+ ))Qt , (5.6) [M ] [M ] 2 0 [M ] cpW (u- (t)) L1(G) + λmin ∇U (u- ) L2(Qt) ::: cpW (u-) L1(G) + (f-, w(u- ))Qt . (5.7) 22 А. А. АМОСОВ Доказательство. В силу определения слабого решения задачи Pd функция u удовлетворяет тож- деству (5.5) с F (t) = -λ(·, u(t))∇u(t), g(t) = -H(·, u(t)) + Hd[u(t)] + f (t). u + Положим W (M )(u) = [ w(s[M ]) ds. Пользуясь неравенствами 0 W (u[M ] [M ] - + ) ::: W (M )(u+) ::: W (u+), W (u - ) ::: W (M )(u ) ::: W (u-) и леммой 5.3, приходим к справедливым для всех t ∈ [0,T ] неравенствам [M ] [M ] [M ] cpW (u+ (t)) L1(G) + (λ(·, u)∇u, ∇w(u+ ))Qt + (H(·, u) - Hd[u], w(u+ ))Qt ::: ::: cpW (M )(u0 ) 1 + (f, w(u[M ]))Q ::: cpW (u0 ) 1 + (f+, w(u[M ]))Q , (5.8) + L (G) + t + L (G) + t [M ] [M ] [M ] cpW (u- (t)) L1(G) + (λ(·, u)∇u, ∇w(u- ))Qt - (H(·, u) - Hd[u], w(u- ))Qt ::: ::: cpW (M )(u0 ) 1 + (f, w(u[M ]))Q ::: cpW (u0 ) 1 + (f , w(u[M ]))Q . (5.9) Заметим, что - L (G) - t [M ] - L (G) - - t 2 [M ] (λ(·, u)∇u, ∇w(u+ ))Qt = (λ(·, u)∇u, (U l(u)) ∇u+ )Qt = [M ] [M ] [M ] 2 Аналогично = (λ(·, u)∇U (u+ ), ∇U (u+ ))Qt ?: λmin ∇U (u+ ) L2(Qt). [M ] [M ] 2 (λ(·, u)∇u, ∇w(u- ))Qt ?: λmin ∇U (u- ) L2(Qt). Кроме того, в силу следствия 5.1 справедливы неравенства [M ] t [M ] (H(·, u) - Hd[u], w(u+ ))Qt = [ b(u(tl), w(u+ (tl))) dtl ?: 0, 0 [M ] t [0,M ] -(H(·, u) - Hd[u], w(u- ))Qt = [ b(-u(tl), w((-u) 0 (tl))) dtl ?: 0. Поэтому из неравенств (5.8) и (5.9) следуют неравенства (5.6) и (5.7). d H(·, u) - Hd[u] Совершенно аналогично устанавливаются неравенства (5.6) и (5.7) для слабого решения зада- чи P[n]. Единственное отличие состоит в том, что в неравенствах (5.8), (5.9) следует заменить на H(·, u[n]) - Hd[u[n]] и воспользоваться справедливыми в силу следствия 5.1 неравенствами + t (H(·, u[n]) - Hd[u[n]], w(u[M ]))Q t + = [ b(u[n](tl), w(u[M ](tl))) dtl ?: 0, 0 - t -(H(·, u[n]) - Hd[u[n]], w(u[M ]))Q t = [ b((-u)[n](tl), w((-u)[0,M ](tl))) dtl ?: 0. 0 Следствие 5.2. Пусть выполнены условия леммы 5.4 и функция U нечетна. Тогда для всех t ∈ [0,T ] справедливо неравенство 2 0 [M ] t cpW (u[M ](t)) L1(G) + λmin ∇U (u[M ]) L2(Q ) ::: cpW (u ) L1(G) + (|f |, w(|u |))Qt . (5.10) d Теорема 5.1. Пусть u - слабое решение задачи Pd или слабое решение задачи P[n]. Если u0 ?: 0 и f ?: 0, то u ?: 0. Если u0 ::: 0 и f ::: 0, то u ::: 0. - Доказательство. Пусть u0 ?: 0 и f ?: 0. Тогда u0 = 0 и f- = 0. Воспользуемся неравенством (5.7) с U (u) = u, w(u) = u, W (u) = 1 u2 и получим неравенство 2 1 1/2 [M ] 2 [M ] 2 2 cp u- (t) L2(G) + λmin ∇u- L2(Qt) ::: 0 ∀ t ∈ [0,T ], - из которого следует, что u[M ] = 0 для всех M > 0. Следовательно u - = 0, т. е. u ?: 0. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 23 + Пусть u0 ::: 0 и f ::: 0. Тогда u0 = 0 и f+ = 0. Воспользовавшись неравенством (5.6), приходим к неравенству 1 1/2 [M ] 2 [M ] 2 2 cp u+ (t) L2(G) + λmin ∇u+ L2(Qt) ::: 0 ∀ t ∈ [0,T ], из которого следует, что u+ = 0, т. е. u ::: 0. Следствие 5.3. Справедлива теорема 4.3. Следствие 5.4. Если u0 = 0 и f = 0, то u = 0. [n] Теорема 5.2. Пусть для показателей p, r0, q0, r∗, q∗, входящих в условия (A7), (A8), выпол- нены предположения (4.15) и пусть u - слабое решение задачи Pd или слабое решение задачи Pd . Тогда |u|γ-1u ∈ V2(QT ) для всех γ ∈ [1, p/2], причем справедлива оценка (4.16). Доказательство. Пусть γ ∈ [1, p/2]. Положим u γ Uγ (u) = |u|γ-1u, wγ (u) = [ (U l (s))2 ds = 0 γ2 2γ - 1 |u|2γ-2u, Поскольку u Wγ (u) = [ wγ (s) ds = 0 γ 2(2γ - 1) |u|2γ. 1 (Uγ (u))2 ::: Wγ (u) ::: 4 1 2 (Uγ (u))2, |wγ (u)| ::: γ|Uγ (u)|2-1/γ , то из неравенства (5.10) с учетом оценки (4.10) следует неравенство 2 0 2γ 2 T Uγ (u[M ]) V (Q ) ::: C( u L2γ (G)+ [M ] 2-1/γ [M ] 2-1/γ ) + γ f0 Lr0,q0 (QT ) Uγ (u ) Lr0,q0 (QT ) + γ |J∗ |r∗,q∗ Uγ (u ) Lr∗,q∗ (QT ) . (5.11) Здесь r0 = (2 - 1/γ)rl , q = (2 - 1/γ)ql , r∗ = (2 - 1/γ)rl , q = (2 - 1/γ)ql . Несложно проверить, что 0 0 0 ∗ ∗ ∗ эти показатели в роли r, q удовлетворяют условиям (2.2). Используя неравенство (2.3), выводим из (5.11) равномерную по M > 0 оценку 1/γ |u[M ]|γ-1u[M ] ::: C ( 0 ) V2(QT ) u Lp(G) + f0 Lr0,q0 (QT ) + |J∗ |r∗,q∗ . (5.12) Поскольку u[M ] → u в L2(0,T ; W 1,2(G)) при M → ∞, то из (5.12) следует, что |u|γ-1u ∈ V2(QT ) и справедлива оценка (4.16). Следствие 5.5. Справедлива теорема 4.1. [n] Теорема 5.3. Пусть для показателей p, r0, q0, r∗, q∗, входящих в условия (A7), (A8), выпол- нены предположения (4.17) и пусть u - слабое решение задачи Pd или слабое решение задачи Pd . Тогда u ∈ L∞(Q) и справедлива оценка (4.18) T Доказательство. Положим A = u0 L∞(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ . Если A = 0, то u = 0 в силу следствия 5.4 и доказываемое утверждение очевидно. Пусть A > 0. Поделим на A2γ обе части неравенства (5.11), полученного при доказательстве теоремы 5.2, и получим неравенство 2 0 2γ 2 T Uγ (u[n]) V (Q ) ::: C u L2γ (G)+ [n] 2-1/γ [n] 2-1/γ + Cγ( f 0 Lr0,q0 (QT ) Uγ (u ) Lr0,q0 (Q ) + J ∗ r ,q Uγ (u ) Lr ,q ), (5.13) ∗ в котором u = u/A, u0 = u0/A, f 0 = f0/A, J Учитывая, что T ∗ ∗ = J∗/A, n = M/A. ∗ ∗ (QT ) T u0 L∞(G) + f 0 Lr0,q0 (Q и загрубляя неравенство (5.13), приходим к оценке ) + J ∗ r∗,q∗ = 1, 2 г 2 [n] 2 l 2 " γ T Uγ (u[n]) V (Q ) ::: C1γ U (u[n]) L2r1 ,2q1 + Uγ (u ) L2r1 ,2q1 +1 . 0 0 (QT ) ∗ ∗ (QT ) 24 А. А. АМОСОВ В силу предположения (4.17) без ограничения общности можно считать, что с некоторым δ ∈ (0, 1) выполнены неравенства 2/r0 + 3/q0 ::: 2 - 3δ, 2/r∗ + 3/q∗ ::: 2 - 3δ. Положим γ = γk = (1 + δ)k, k ?: 0 и получим неравенство [n] 2 г [n] 2(1+δ) [n] 2(1+δ) l Uγk (u ) V2(QT ) ::: C1γk Uγk-1 (u ) L , + Uγk-1 (u ) r∗ q∗ +1 , k ?: 1, в котором = 2(1 + δ)rl , = 2(1 + δ)ql , r0 q0 (QT ) = 2(1 + δ)rl , L , (QT ) = 2(1 + δ)ql . r0 0 q0 0 r∗ ∗ q∗ ∗ Несложно проверить, что эти показатели в роли r, q удовлетворяют условиям (2.2). Используя оценку (2.3), приходим к неравенству 2 г 2(1+δ) l 2 |u | u T |u[n]|γk -1u[n] V (Q ) ::: C2γk [n] γk -2 [n] V2(QT ) +1 , k ?: 1, V2(Q T из которого для yk = |u[n]|γk -1u[n] 2/γk ) +1 следует неравенство 3 (1 + δ) yk ::: C1/γk k/γk yk-1, k ?: 1. Итерируя это неравенство, имеем 3 yk ::: C4y0 = Cμ(1 + δ)ρy0, k ?: 1, где ∞ μ = ) 1 γf f=1 ∞ = ) f=1 2 1 (1 + δ)f ∞ , ρ = ) γf f=1 2 ∞ = ) f=1 (1 + δ)f , Таким образом, 2 T y0 = u[n] V (Q ) +1 ::: y0 = u V2(QT ) + 1. √ 1/γk u[n] L2γ ::: T |u[n])|γk -1u[n] ::: Tyk ::: C5( u V (Q ) + 1), k ?: 1. k (QT ) V2(QT ) 2 T Предельный переход при k → ∞ дает оценку T u[n] L∞(Q ) ::: C5( u V2(QT ) + 1) ∀n ?: 1. Из нее следует, что u ∈ L∞(QT ) и верна оценка + A). u L∞(QT ) ::: C5( u V2(QT ) Принимая во внимание оценку (4.16) с γ = 1, приходим к неравенству (4.18). Следствие 5.6. Справедлива теорема 4.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4.4 Приведенное в этом разделе доказательство использует некоторые идеи предложенного в [25] метода доказательства теорем сравнения для квазилинейных эллиптических уравнений. Для задач радиационно-кондуктивного теплообмена специальные варианты этого метода были использованы в [9, 10]. Положим Δu = u1 - u2, Δu0 = u0,1 - u0,2, Δf = f 1 - f 2, + Δu+ = max{Δu, 0}, Δu0 0 = max{Δu0, 0}, Δf+ = max{Δf, 0}, 0 Δu- = max{-Δu, 0}, Δu- = max{-Δu , 0}, Δf- = max{-Δf, 0} и введем множества Q(+) (-) T = {(x, t) ∈ QT | Δu(x, t) > 0}, QT = {(x, t) ∈ QT | Δu(x, t) ::: 0}, Qδ T = {(x, t) ∈ QT | Δu(x, t) ?: δ}, + где 0 < δ < 1, δ - параметр. Введем функцию vδ = δ-1Δu[δ] = min{δ-1Δu+, 1}. Заметим, что 0 ::: vδ ::: 1, причем vδ (x, t) = 0 для (x, t) ∈ Q(-), vδ (x, t) = 1 для x ∈ Qδ и lim vδ (x, t) = 1 для T (x, t) ∈ Q(+). T T δ→0 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 25 Вычитая из тождества (4.14), отвечающего определению решения u1, аналогичное тождество, отвечающее определению решения u2, замечаем, что функция Δu в роли u удовлетворяет тожде- ству (5.5) с F = λ(·, u2)∇u2 - λ(·, u1)∇u1, g = -H(·, u1)+ H(·, u2)+ Hd[u1] - Hd[u2]+ Δf. u + Воспользуемся леммой 5.3 с w(u) = δ-1u, M = δ, W (δ)(u) = δ-1 [ s[δ] ds. Из неравенства (5.6) с учетом неравенств W (δ)(Δu0 0 0 [δ] δ следует, что +) ::: Δu+, 0 ::: w(Δu+ ) = v ::: 1 t cpW (δ)(Δu+(t)) L1(G) + (λ(·, u1)∇u1 - λ(·, u2)∇u2, ∇vδ )Q + It[b(u1, vδ ) - b(u2, vδ )] ::: ::: cpW (δ)(Δu0 ) 1 + (Δf+, vδ )Q ::: cpΔu0 1 + Δf+ 1 ∀ t ∈ (0,T ]. (6.1) + L (G) t + L (G) L (Qt) Воспользуемся тем, что ∇vδ = δ-1∇(u1 - u2) почти всюду на Q(+) \\ Qδ и ∇vδ = 0 почти всюду на Q(-) T T T T ∪ Qδ . Используя предположения (A5), (A9), имеем: t (λ(·, u1)∇u1 - λ(·, u2)∇u2, ∇vδ )Q = t = δ(λ(·, u1)∇vδ, ∇vδ )Q + ([λ(·, u1) - λ(·, u2)]∇u2, ∇vδ ) t Q(+) t \\Qδ ?: 2 1/2 2 δ L2 2 2 ?: δ λmin ∇vδ L2(Q ) - Lδ ∇u L2(Q(+)\\Qδ ) ∇v L2(Qt) ?: - ∇u L2(Q(+) Qδ ) . (6.2) t Введем функции t t 4λmin t \\ t Δhν (x, t) = hν (u1(x, t)) - hν (u2(x, t)), ΔH(x, t) = H(x, u1(x, t)) - H(x, u2(x, t)). Учитывая, что Δhν > 0 на Q(+), Δhν ::: 0 на Q(-), верно равенство t t bν (u1, vδ ) - bν (u2, vδ ) = (κνk2Δhν - κν ◦Ad,ν •Ω(Δhν ), vδ )G = (κνk2Δhν, vδ - k-2◦Ad,ν •Ω(vδ ))G ν ν ν (мы воспользовались свойством (3.15) самосопряженности оператора κν ◦Ad,ν •Ω) и справедливы неравенства 0 ::: k-2◦Ad,ν •Ω(vδ ) ::: k-2◦Ad,ν •Ω(1) ::: 1, ν ν имеем It[bν (u1, vδ ) - bν (u2, vδ )] = (κνk2Δhν, vδ - k-2◦Ad,ν •Ω(vδ ))Q = ν = (κνk2Δhν, vδ - k-2◦Ad,ν •Ω(vδ )) ν t - (κν Δhν, ◦Ad,ν •Ω(vδ )) ?: Q Q ν ν (+) t (-) t ?: (κνk2Δhν, vδ - k-2◦Ad,ν •Ω(1)) ?: (κνk2Δhν, vδ - 1) = Q Q ν ν (+) ν t (+) t ν = (κνk2Δhν, vδ - 1) Q(+) ν ?: - κνk2Δhν (+) . Таким образом, r t 1 t \\Qδ L (Qt t \\Qδ ) It[b(u1, vδ ) - b(u2, vδ )] = 4π It[bν (u1, vδ ) - bν (u2, vδ )] dν + 4π ) It[bν (u1, vδ ) - bν (u2, vδ )] Δνf ?: r ?: -4π N κνk2Δhν f dν - 4π ) κν k2 Δhν f (+) f Δνf = t t \\Qδ ) ν L1(Q(+) N 1 r f νf f f L1(Qt t \\Qδ ) = -14π κνk2Δhν dν + 4π ) κν k2 Δhν Δνf1 = - ΔH . (6.3) 1 ν f νf f 1 (+) L1(Q(+) δ t f 1L1(Qt \\Qδ ) N t \\Qt ) 26 А. А. АМОСОВ Из неравенства (6.1) с учетом оценок (6.2), (6.3) следует, что cpW (δ)(Δu+(t)) L1(G) - L2 4λmin ∇u L2(Q(+) 2 2 t t \\Qδ ) - ΔH t t L1(Q(+)\\Qδ ) ::: ::: cpΔu0 1 + Δf+ 1 ∀ t ∈ (0,T ]. (6.4) + L (G) L (Qt) Поскольку Δu+ - δ ::: W (δ)(Δu+) ::: Δu+, то cpW (δ)(Δu+(t)) L1(G) → cpΔu+(t) L1(G) при δ → 0. t Второе и третье слагаемые в левой части (6.4) стремится к нулю при δ → 0, так как meas (Q(+) \\ Qδ t ) → 0. Переходя к пределу в (6.4), выводим неравенство cpΔu+(t) L1(G) ::: cpΔu0 1 + Δf+ 1 ∀ t ∈ (0,T ]. (6.5) + L (G) L (Qt) Совершенно аналогично доказывается неравенство 0 cpΔu-(t) L1(G) ::: cpΔu- L1(G) + Δf- L1(Qt) ∀ t ∈ (0,T ]. (6.6) Складывая (6.5) и (6.6), приходим к неравенству t cpΔu(t) L1(G) ::: cpΔu0 L1(G) + Δf L1(Q ) ∀ t ∈ (0,T ]. (6.7) Из неравенств (6.5)-(6.7) следуют оценки (4.19)-(4.21). d РАЗРЕШИМОСТЬ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ P[n] Теорема 7.1. Пусть выполнены условия (A1)-(A8). Пусть показатели p, q0, r0, p∗, q∗, входя- щие в условия (A7), (A8), таковы, что: p = 2, r0, r∗ ∈ [1, 2], q0, q∗ ∈ [6/5, 2], 2/r0 + 3/q0 = 7/2, 2/r∗ + 3/q∗ = 7/2. (7.1) [n] 1,0 Тогда у задачи Pd существует слабое решение u ∈ V2 (QT ). f=1 Доказательство. Возьмем в W 1,2(G) базис {ef}∞ , ортонормированный в L2(G) с весом cp. Как нетрудно видеть, можно считать, что ef ∈ V = W 1,2(G) ∩ L∞(G) для всех ?: 1. Положим d Vk = span {e1,..., ek }, k ?: 1. Будем искать приближенное решение задачи P[n] в виде u(k)(t) = k ), d(k) (k) f=1 f (t)ef, определяя коэффициенты df из системы уравнений метода Галеркина: (cp ,v d u(k)(t) dt G + a(u(k)(t), v)+ b((u(k))[n](t), v) = (f (t), v)G ∀v ∈ Vk, (7.2) k u(k)(0) = u0,k = ), (cpu0, ef)Gef. f=1 Заметим, что u0,k → u0 в L2(G) при k → ∞, причем c1/2u0,k 2 1/2 ::: c u0 2 . (k) p L (G) p L (G) Существование локального по t решения u следует из теоремы Каратеодори. То, что решение u(k) определено на всем интервале (0,T ), следует из глобальной по времени априорной оценки u(k) V (Q ) ::: C1 ( u0 L2(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + f Lr ,q ) . (7.3) 2 T T ∗ ∗ ∗ (QT ) Для того, чтобы получить эту оценку, подставим в (7.2) v = u(k)(t), воспользуемся условием (A5), справедливым в силу следствия 5.1 неравенством 0 ::: b((u(k))[n], u(k)) и получим неравенство 1 d 1/2 (k) 2 (k) 2 (k) (k) 2 dt cp u (t) L2(G) + λmin ∇u (t) L2(G) ::: (f0(t),u (t))G + (f∗(t),u (t))G. Интегрируя его и используя неравенство Гельдера, выводим на (0,T ) неравенство 1 1/2 (k) 2 (k) 2 1 1/2 0 2 2 cp u (t) L2(G) + λmin ∇u L2(Qt) ::: 2 cp u L2(G)+ (k) (k) + f0 Lr0,q0 (QT ) u Lr1 1 + f∗ Lr∗,q∗ (QT ) u Lr1 1 (7.4) 0,q0 (QT ) ∗,q∗ (QT ) НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 27 с показателями rl , rl ∈ [2, ∞], ql , ql ∈ [2, 6], которые в силу предположения (7.1) удовлетворяют 0 ∗ 0 ∗ равенствам 2/rl + 3/ql = 3/2, 2/rl + 3/ql = 3/2. Применяя неравенство (2.3), приходим от (7.4) к 0 0 ∗ ∗ оценке (7.3). Выведем еще одну оценку. Применяя к (7.2) оператор Δ(τ )It и учитывая оценку (2.1) и следу- ющую из леммы 4.2 оценку |b((u(k))[n], v)| ::: ( H(·, (u(k))[n]) L∞(G) + H[(u(k))[n]] L∞(G)) v L1(G) ::: имеем ::: 2 H(·, n) L∞(G) v L1(G) ::: 2cH (ns + 1) v L1(G), (cpΔ(τ )u(k)(t), v)G = Δ(τ )It r-a(u(k), v) - b((u(k))[n], v)+ (f, v)G ::: ::: λmaxΔ(τ )It ∇u(k) L2(G) ∇v L2(G) + 2τ cH (ns + 1) v L1(G)+ + Δ(τ )It f0 Lq0 (G) v 1 Lq0 (G) + Δ(τ )It f Lq ∗ ∗ (G) v Lq1 . ∗ (G) Взяв v = Δ(τ )u(k)(t), проинтегрировав полученное неравенство по t от 0 до T - τ и воспользо- вавшись неравенством (2.1), получим cp Δ u (τ ) (k) 2 L2(Q T -τ ) ::: 2τλmax ∇u (k) (k) 2 L2(QT ) + 4τ cH (ns + 1) u (k) (k) L1(QT ) + +2τ f0 Lr0,q0 (QT )) u Lr1 1 + 2τ f∗ Lr∗,q∗ (QT ) u Lr1 1 . 0,q0 (QT ) Принимая во внимание оценку (7.3), приходим к неравенству ∗,q∗ (QT ) Δ(τ )u(k) L2(Q ) ::: C2τ 1/2( u0 L2(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + f Lr ,q + ns + 1). (7.5) T -τ T ∗ ∗ ∗ (QT ) f=1 В силу оценки (7.3) существуют функция u ∈ V2(QT ) и подпоследовательность {u(kf)}∞ такие, что u(kf) → u слабо в L2(0,T ; W 1,2(G)) и -слабо в L∞(0,T ; L2(G)). Оценки (7.3), (7.5) в силу критерия Рисса предкомпактности в L2(QT ) позволяют выделить подпоследовательность такую, что u(kf) → u сильно в L2(QT ) и п.в. в QT . Заметим, что λ(·, u(kf))∇u(kf) → λ(·, u)∇u слабо в L2(QT ) и поэтому a(u(kf), v) → a(u, v) слабо в L1(0,T ) для всех v ∈ W 1,2(G). Как нетрудно видеть, (u(kf))[n] → u[n] в Ls(QT ). Как следствие, H(·, (u(kf))[n]) → H(·, u[n]) и Hd[(u(kf))[n]] → Hd[u[n]] в L1(QT ). Поэтому b((u(kf))[n], v) → b(u[n], v) сильно в L1(0,T ) для всех v ∈ L∞(G). ∈ Возьмем произвольную функцию η C∞[0,T ]. Умножим (7.2) на η(t) и проинтегрируем резуль- ∗ тат по t от 0 до T : T T T r d r r - (cpu(k)(t), v)G 0 η(t) dt + dt 0 a(u(k)(t), v)η(t) dt + 0 b((u(k))[n](t), v)η(t) dt = T r = (cpu0,k , v)G · η(0) + 0 (f (t), v)Gη(t) dt. Переходя в этом тождестве к пределу при k = kf → ∞, устанавливаем справедливость тожде- ства (5.1) для произвольной функции v ∈ W 1,2(G), то справедливо тождество (5.1). ∪ V . Поскольку множество ∞ k k=1 ∪ V всюду плотно в ∞ k k=1 Как нетрудно видеть, функция u удовлетворяет тождеству (5.4) с F (t) = -λ(·, u(t))∇u(t) ∈ L2(0,T ; [L2(G)]3), f1(t) = f0(t) ∈ Lr0,q0 (QT ), f2(t) = f∗(t) ∈ L r∗,q∗ (QT ), f3(t) = Hd[u [n] (t)] - H(·, u[n] (t)) ∈ L∞ (QT ) ⊂ L 1,2 (QT ) и K = 3. V 1,0 Поэтому в силу леммы 5.2 справедливо свойство u ∈ C([0,T ]; L2(G)). Таким образом, u ∈ 2 (QT ). 28 А. А. АМОСОВ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ Pd Приведем доказательство теорем 4.7 и 4.8 о разрешимости задачи Pd. Доказательство теоремы 4.7. В силу теорем 7.1 и 5.3 для всякого n > 0 существует функция u ∈ V 1,0 [n] 2 (QT ) ∩ L∞(QT ), являющаяся слабым решением задачи Pd и удовлетворяющая оцен- ке (4.18). Возьмем n > M∞. Ясно, что u ∈ V(QT ) и u [n] d = u. Поэтому слабое решение задачи P[n] одновременно является и слабым решением задачи Pd. Теорема доказана. Доказательство теоремы 4.8. Пусть L < 0 < M - целые числа. Поскольку (u0)[L,M ] ∈ L∞(G), f [L,M ] [L,M ] ,2 0 [L,M ] [L,M ] [L,M ] 0 , f∗ ∈ L∞(QT ) ⊂ L∞ (QT ), то в силу теоремы 4.7 задача Pd с (u ) , f0 и f∗ ∗ в роли u0, f0 и f имеет слабое решение u(L,M ), удовлетворяющее тождеству T r - (cpu(L,M )(t), v)G 0 T d r η(t) dt + dt 0 T T r a(u(L,M )(t), v)η(t) dt + 0 b(u(L,M )(t), v)η(t) dt = r = (cp(u0)[L,M ], v)G · η(0) + (f [L,M ](t)+ f [L,M ](t), v) η(t) dt ∀ v ∈ V, ∀ η ∈ C∞[0,T ]. (8.1) 0 ∗ G ∗ 0 В силу теоремы 4.1 для всех γ ∈ [1, p/2] справедлива равномерная по параметрам L и M оценка 1/γ |u | u (L,M ) γ-1 (L,M ) V2(QT ) T ::: C( u0 Lp(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ ). (8.2) Поскольку по условию p ?: 3s/5, то следствием этой оценки c γ = p/2 и неравенства (2.4) является оценка T u(L,M ) Ls(Q T ) ::: C( u0 Lp(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ ). (8.3) Поскольку (u0)[L,M ] ::: (u0)[L,M +1], f [L,M ] ::: f [L,M +1]] и f [L,M ] ::: f [L,M +1] 0 0 ∗ ∗ для всех M ?: 1, то в силу теоремы 4.6 справедливо неравенство u(L,M ) ::: u(L,M +1). Из оценки (8.3) в силу теоремы Фату следует, что существует функция u(L) ∈ Ls(QT ) такая, что u(L,M ) → u(L) п.в. на QT и сильно в Ls(QT ) при M → ∞. Из оценки (8.2) с γ = 1 следует, что u(L) ∈ V2(QT ) и u(L,M ) → u(L) слабо в L2(0,T ; W 1,2(G)) и ∗-слабо в L∞(0,T ; L2(G)). Предельный переход при M → ∞ в оценках (8.2) с γ = 1 и (8.3) приводит к неравенствам 2 T u(L) V (Q T ) ::: C( u0 Lp(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ ), (8.4) T u(L) Ls(Q T ) ::: C( u0 Lp(G) + f0 Lr0,q0 (Q ) + |J∗ | r∗,q∗ ). (8.5) Так как ∇u(L,M ) → ∇u(L) слабо в L2(QT ), λ(·, u(L,M )) → λ(·, u(L)) п.в. на QT и ∗-слабо в L∞(QT ), то a(u(L,M ), v) → a(u(L), v) слабо в L1(0,T ) при M → ∞ для всех v ∈ W 1,2(G). Поскольку u(L,M ) → u(L) в Ls(QT ), то H(·, u(L,M )) → H(·, u(L)) и Hd[u(L,M )] → Hd[u(L)] в L1(QT ). Как следствие, b(u(L,M ), v) → b(u(L), v) в L1(0,T ) для всех v ∈ L∞(QT ). Переходя к пределу при M → ∞ в тождестве (8.1) и учитывая, что (u0)[L,M ] → (u0)[L,∞] в L1(G), f [L,M ] → f [L,∞] [L,M ] [L,∞] 1 0 0 и f∗ → f∗ в L (QT ), приходим к тождеству T r - (cpu(L)(t), v)G 0 d η(t) dt + dt T T r r a(u(L)(t), v)η(t) dt + 0 0 T b(u(L)(t), v)η(t) dt = r = (cp(u0)[L,∞], v)G · η(0) + (f [L,∞](t)+ f [L,∞](t), v) η(t) dt ∀ v ∈ V, ∀ η ∈ C∞[0,T ]. (8.6) 0 ∗ G ∗ 0 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 29 Из теоремы 4.4 для всех M, N ?: 1 следует оценка cp(u(L,M ) - u(L,N )) C([0,T ];L1(G)) ::: cp((u0)(L,M ) - (u0)(L,N )) L1(G)+ [L,M ] [L,N ] [L,M ] [L,N ] + f0 - f0 L1(QT ) + f∗ - f∗ L1(QT ), (8.7) M =1 говорящая о фундаментальности последовательности {u(L,M )}∞ в C([0,T ]; L1(G)). Значит, u(L) ∈ C([0,T ]; L1(G)). Таким образом, функция u(L) является слабым решением задачи Pd, отве- чающим данным (u0)[L,∞], f [L,∞] и f [L,∞] в роли u0, f и f . 0 ∗ 0 ∗ Из неравенств (u0)[L-1,∞] ::: (u0)[L,∞], f [L-1,∞] ::: f [L,∞], f [L-1,∞] ::: f [L,∞] в силу теоремы 4.6 0 0 ∗ ∗ следует, что u(L-1) ::: u(L). Сходимость при L → -∞ снова носит монотонный характер, причем из оценок (8.4), (8.5) следует, что существует функция u ∈ V2(QT ) ∩ Ls(QT ) такая, что u(L) → u слабо в L2(0,T ; W 1,2(G)), ∗-слабо в L∞(0,T ; L2(G)), сильно в Ls(QT ) и п.в. на QT при L → -∞. Как следствие, a(u(L), v) → a(u, v) слабо в L1(0,T ) и b(u(L), v) → b(u, v) сильно в L1(0,T ) для всех v ∈ V. Предельный переход при L → -∞ в тождестве (8.6) дает тождество (4.14). Из теоремы 4.4 для всех L, N ::: -1 следует, что cp(u(L) - u(N )) C([0,T ];L1(G)) ::: cp((u0)[L,∞] - (u0)[N,∞]) L1(G) + [L,∞] [N,∞] [L,∞] [N,∞] + f0 - f0 L1(QT ) + f∗ - f∗ L1(QT ). {u } Таким образом, последовательность (L) -∞ L=-1 фундаментальна в C([0,T ]; L1(G)). Поэтому u ∈ C([0,T ]; L1(G)). Существование слабого решения доказано. Единственность следует из теоремы 4.5. РЕГУЛЯРНОСТЬ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ Доказательство теоремы 4.9. Пусть u - слабое решение задачи Pd, а uj - сужение u на QjT = Gj × (0,T ). Положим F = Hd(u) - H(·, uj )+ f0 + f∗. Из теоремы 4.2 следует, что u ∈ L∞(QT ) и верна оценка (4.18). Как следствие, F ∈ L2(QjT ), причем ( 0 s s s F L2(QjT ) ::: C u L∞(G) + f0 Lq0,r0 (QT ) + |J∗ |q∗,r∗ +1 . (9.1) Заметим, что функция uj удовлетворяет интегральному тождеству T r d - (cpuj, v)Gj dtη(t) dt + 0 T r (∇Λj (uj (t)), ∇v)Gj η(t) dt = 0 T r = (cpu0, v)G η(0) + (F (t), v)G η(t) dt ∀v ∈ W 1,2(Gj ), ∀η ∈ C∞[0,T ], (9.2) j j ∗ 0 т. е. является слабым решением задачи cpDtuj - ΔΛj (uj ) = F, (x, t) ∈ QjT , (9.3) ∇Λj (uj ) · nj = 0, (x, t) ∈ ∂Gj × (0,T ), (9.4) uj |t=0 = u0, x ∈ Gj. (9.5) Заметим, что слабое решение этой задачи единственно. Это следует из теоремы 4.5 в частном случае, когда G = Gj и H(x, u) = 0, Hd[u] = 0, т. е. N = ∅. Выведем дополнительные оценки решения задачи (9.3)-(9.5), используя нелинейный вариf=1 ант метода Галеркина. Возьмем в W 1,2(Gj ) ортонормированный базис {ef}∞ . Положим Vk = span {e1,..., ek }, k ?: 1. Будем искать приближенное решение u(k) задачи такое, что U (k)(t) = 30 А. А. АМОСОВ k Λj (u(k)(t)) = ), d(k)(t)ef, определяя коэффициенты d(k) из системы уравнений метода Галеркина: f=1 f G (cpDtu(k)(t), v) j f j + (∇U (k)(t), ∇v)G k = (F (t), v)Gj ∀ v ∈ Vk, (9.6) j U (k)(0) = ), (Λj (u0), ef)W 1,2(G )ef. (9.7) f=1 Заметим, что U (k)(0) → Λj (u0) в W 1,2(Gj ), u(k)(0) → u0 в W 1,2(Gj ) при k → ∞, причем U (k)(0) W 1,2(G ) ::: Λj (u0) W 1,2(G ) ::: λmax u0 W 1,2(G ). j j j Как нетрудно видеть, cp(x)Dtu(n) = α(x, U (n))DtU (n), где α(x, U ) = cp(x)/λ(Λ-1(U )) ?: αmin = c /λmax. j p Система уравнений (9.6) может быть записана в виде A(d(k)(t)) d d(k)(t)+ Bd(k)(t) = F(t), dt где d(k) = (d(k), d(k),..., d(k))T , A(d) - самосопряженная матрица с непрерывными по d = 1 2 k k (d1, d2,..., dk )T элементами aif(d) = (α(·, ), dses)ei, ef s=1 Gj , B - матрица с элементами bif = T (∇ei, ∇ef)G, а F(t) = ((F (t), e1)Gj , (F (t), e2)Gj ,..., (F (t), ek )Gj ) . Матрица A(d) невырождена, так как k k k k k k 2 ) ) aif(d(k))ξiξf = (α(·, ) d(k)es ) ξiei, ) ξfef ?: αmin1) ξiei1 . i=1 f=1 s s=1 i=1 Gj f=1 1 1 i=1 1 1L2(Gj ) Поэтому существование локального по времени решения задачи (9.6), (9.7) следует из теоремы Каратеодори. Разрешимость на всем интервале (0,T ) следует из априорной оценки DtU (k) L2(Q ) + ∇U (k) C([0,T ];(L2(G ))3) ::: C( u0 W 1,2(G ) + F L2(Q ) . (9.8) jT j j jT Докажем справедливость этой оценки. Взяв v = DtU (k) в (9.6), получим j (α(·,U (k))DtU (k), DtU (k))G Интегрируя это равенство по t, имеем: d + dt (k) 2 ∇U L2(Gj ) = (F, DtU (k) )Gj . L2(Q jt αmin DtU (k) 2 ) + 1 (k) 2 1 2 ∇U (t) L2(Gj ) ::: 0 2 (k) 2 1 2 ∇U (0) L2(Gj ) + (F, DtU (k) (k) )Qjt ::: ::: 2 λmax ∇u L2(Gj ) + F L2(Qjt) DtU L2(Qjt) ∀ t ∈ (0,T ). Из полученного неравенства следуют оценка (9.8) и оценка Dtu(k) L2(Q . ) + ∇u(k) C([0,T ];(L2(G ))3) ::: C ( ∇u0 L2(G ) + F L2(Q ) jT j j jT u Из доказанных оценок следует, что существуют функция ∈ W 1,2(QjT ) и подпоследоваu(km) ∞ u) ∈ L∞ 1,2 (km) u сильно в L2 тельность { }m=1 такие, что Λj ( (0,T ; W (Gj )), u → (QjT ), u) Λj (u(km)) → Λj ( u ∗-слабо в L∞(0,T ; W 1,2(Gj )) и Dtu(km) → Dt слабо в L2(QjT ) при m → ∞. Кроме того, справедлива оценка Dt ::: C 0 ( ∇u 2 + F 2 . (9.9) u L2(QjT ) L (Gj ) L (QjT ) ∈ Умножив (9.6) скалярно в L2(0,T ) на произвольную функцию η C∞[0,T ] и перейдя к пределу ∗ при k = km → ∞, получим тождество T r u(t), v)Gj η(t) dt + 0 T r (∇Λj (u(t)), ∇v)Gj η(t) dt = 0 T r ∗ (F (t), v)Gj η(t) dt ∀ η ∈ C∞[0,T ], (9.10) 0 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СИСТЕМЕ ПОЛУПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ 31 справедливое для всех v ∈ J∞ k=1 Vk, а следовательно - и для всех v ∈ W 1,2(Gj ). Как следствие, u функция в роли uj удовлетворяет тождеству (9.2). Поскольку слабое решение задачи (9.3)-(9.5) u единственно, функция совпадает с uj. Из (9.10) теперь следует, что для п.в. t ∈ (0,T ) справедливо тождество j j (∇Λj (uj (t)), ∇v)G = (F (t) - cpDtuj (t), v)G ∀ v ∈ W 1,2 (Gj ), т. е. для п.в. t ∈ (0,T ) функция Λj (uj (t)) является слабым решением задачи Неймана -ΔΛj (uj (t)) = F (t) - cpDtu(t), x ∈ Gj, (9.11) ∇Λj (uj (t)) · nj = 0, x ∈ ∂Gj. (9.12) Поскольку F (t) - cpDtuj (t) ∈ L2(Gj ), то в силу известных результатов теории эллиптических уравнений [5] справедливо свойство Λj (uj (t)) ∈ W 2,2(Gj ), уравнение (9.11) выполнено в L2(Gj ), краевое условие (9.12) выполнено в W 1/2,2(∂Gj ) и верна оценка 1 1 1 1Λj (uj (t)) - r 1 1 Λj (uj (t)) dx1 ::: C(Gj ) F (t) - cpDtuj (t) L2(Gj ). 1 meas Gj Gj 1W 2,2(Gj ) Таким образом, Λj (uj ) ∈ L2(0,T ; W 2,2(Gj )) и справедлива оценка Λj (uj ) L2(0,T ;W 2,2(Gj )) ::: C( F L2(QjT ) + Dtuj L2(QjT ) + uj L2(QjT )). (9.13) Для завершения доказательства теоремы осталось соединить оценки (9.9), (9.13) и (9.1) и учесть, что ΔΛj (uj ) = div (∇Λj (uj )) = div (λj (u)∇u).

Об авторах

А. А. Амосов

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

Email: amosovaa@mpei.ru

Список литературы