Асимптотическое поведение решений полного интегро-дифференциального уравнения второго порядка

Аннотация

В работе изучается полное интегро-дифференциальное операторное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве. Ядро разностного типа интегрального возмущения представляет собой голоморфную полугруппу, окаймленную неограниченными операторами. Исследуется асимптотическое поведение решений этого уравнения. Доказаны асимптотические формулы для решений в случае, когда правая часть близка к почти периодической функции. Полученные формулы применены к исследованию задачи о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого стержня с трением Кельвина-Фойгта.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Постановка задачи и основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 2. Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 3. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 1. Постановка задачи и основная теорема 1.1. Введение. В настоящее время имеется большое число работ, посвящённых изучению различных аспектов теории функционально-дифференциальных и, в частности, интегро-дифференциальных уравнений. Такие уравнения возникают в задачах динамики различных вязкоупругих систем, в задачах управления системами с распределёнными параметрами, задачах наследственной механики, задачах теории распространения тепла в средах с памятью и т. д. Различные вопросы по указанной теме обсуждаются в монографиях [6, 12, 17, 19, 25] (см. также указанную в них литературу). В монографии [1] к изучению функционально-дифференциальных уравнений систематически применяются методы спектральной теории операторов, а также приведён обширный список литературы по обсуждаемым вопросам. Одним из аспектов изучения интегро-дифференциальных уравнений является вопрос устойчивости решений и их асимптотического поведения. В работах [13, 14] доказано, что решение однородного неполного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с операторным ядром достаточно общего вида стремится к нулю с ростом времени, но без оценки скорости убывания. Это утверждение применено к исследованию движения вязкоупругого тела. Динамика вязкоупругих систем, а также подобные вопросы в других задачах, изучалась затем многими авторами. Например, в работах [11, 15, 18, 20, 21, 24] исследуются вопросы устойчивости одномерных систем, описывающих модели Тимошенко вязкоупругих стержней. Работы [2, 2, 9, 10, 22] (см. также указанную в них литературу) посвящены исследованию устойчивости абстрактных © Российский университет дружбы народов, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 451 интегро-дифференциальных уравнений. В работах [4, 5] исследуются вопросы, аналогичные изучаемым в настоящей статье. А именно, исследуется вопрос асимптотического поведения решений интегро-дифференциальных уравнений в случае «правой части» вида , где) при t → +∞. Цель работы - вывод асимптотических формул для решений полного интегро-дифференциального операторного уравнения второго порядка в описанном выше случае (см. теорему 1.1). Доказанное утверждение применяется к исследованию задачи о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого стержня с трением Кельвина-Фойгта (см. лемму 3.2). 1.2. Постановка задачи. Пусть H, H0 - гильбертовы пространства, L(H,H0) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из H в H0, L(H) := L(H,H). Пусть A, B, C, G- плотно определённые замкнутые операторы: A : D(A) ⊂ H → H, B : D(B) ⊂ H → H, G : D(G) ⊂ H0 → H0, C : D(C) ⊂ H → H0, причём A, B, G- самосопряжённые положительно определённые операторы. Будем считать, что введённые операторы удовлетворяют следующим гипотезам: 1) D(A) = D(B); 2) оператор-функция C∗ exp(-tG)CA-1 сильно непрерывна на R+ := [0,+∞). Из этих предположений, неравенства Гайнца (см. [8, гл. 1, §7, теорема 7.1]) и полярного разложения замкнутого оператора (см. [7, гл. 6, §2, п. 7]) следует, в частности, что D(A1/2) = D(B1/2) ⊂ D(C). Обозначим через ωG := inf{λ ∈ σ(G}, где σ(G) - спектр оператора G, нижнюю грань оператора G и предположим, что выполнена третья гипотеза: 3) существует γ > 0 такое, что . (1.1) По операторам A, B, C, G с учётом гипотез 1)-3) построим ограниченные операторы Q, Q0, T и операторный пучок (оператор-функцию) L(λ) по следующим формулам: Q := B1/2A-1/2 ∈ L(H), Q0 := CA-1/2 ∈ L(H,H0), T := Q∗Q - Q∗0G-1Q0, L(λ) := I - λA-1 - 1 (Q∗Q - Q∗0G-1Q0) + Q0∗(G - λ)-1G-1Q0. (1.2) λ Замечание 1.1. Отметим, что гипотеза 3) призвана обеспечить положительную определённость оператора T в (1.2) и в конкретной ситуации может быть ослаблена (см. (3.4)). В гильбертовом пространстве H рассмотрим задачу Коши для полного интегро-дифференциального операторного уравнения второго порядка: . (1.3) Определение 1.1. Решением задачи Коши (1.3) назовём функцию u ∈ C2(R+;H) такую, что ); выполнены начальные условия и уравнение из (1.3) для любого t ∈ R+. Теорема 1.1. 1) Если u0,u1 ∈ D(A), а функция f локально гёльдерова, то задача Коши (1.3) имеет единственное решение (в смысле определения 1.1). 2) Будем считать дополнительно, что . Если а функция g локально гёльдерова, то существуют константы ω > 0, M1 > 0 и M2 > 0 такие, что для решения задачи Коши (1.3) выполнено неравенство 3) Если, то тогда и . (1.5) 2. Доказательство теоремы Идея доказательства теоремы 1.1 заключается в установлении связи между решениями задачи Коши (1.3) и решениями задачи Коши для некоторого дифференциально-операторного уравнения первого порядка, использовании полугруппы, связанной с этим уравнением первого порядка. Всё доказательство разобьём на несколько шагов, сформулированных в виде лемм. 2.1. Доказательство утверждения о разрешимости. Начнём со следующей простой леммы о свойствах операторов Q, Q0 и T. Лемма 2.1. Имеют место формулы, оператор T положительно определён. Доказательство. Для любых u ∈ H, v ∈ D(B1/2) с учётом (1.2) имеем (Qu,v)H = (u,Q∗v)H = (u,A-1/2B1/2v)H. Отсюда следует, что Q∗|D(B1/2) = A-1/2B1/2. Аналогично доказывается вторая формула. Докажем, что оператор T ∈ L(H) (см. (1.2)) положительно определён. Для любых u ∈ H с учётом гипотезы 3) (см. (1.1)) имеем Лемма доказана. Пусть u0,u1 ∈ D(A) и задача Коши (1.3) имеет решение u(t). Перепишем уравнение из (1.3) в следующей эквивалентной форме: . (2.1) Из (1.2) и леммы 2.1 следует, что функция u(t) будет также решением следующего уравнения: . (2.2) По условию (см. определение 1.1). Из гипотезы 1) и представления следует, что . Отсюда и из [3, гл. 1, §1, лемма 1.5] следует, что . Из этого соотношения и из u0 ∈ D(A) ⊂ D(A1/2) теперь можно вывести следующую формулу интегрирования по частям: Преобразуем уравнение (2.2) с помощью полученной формулы. С учётом формулы для оператора T (см. (1.2)) из последнего соотношения получим, что (2.2) эквивалентно уравнению . (2.3) Определим функции Функции z(t), v(t), w(t) непрерывно дифференцируемы на R+. Из (2.3) следует, что они удовлетворяют следующей системе уравнений и начальных условий: , (2.5) Систему (2.5) перепишем в виде задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := H ⊕ H ⊕ H0: . (2.6) Здесь (2.7) , . Осуществим в задаче (2.6) замену ζ(t) := ξ(t) + ξ(u0,t). В результате получим следующую основную задачу Коши: . (2.8) Определение 2.1. Решением задачи Коши (2.8) назовём функцию ζ ∈ C1(R+;H) такую, что ζ(t) ∈ D(A) при t ∈ R+, Aζ ∈ C(R+;H), выполнено начальное условие и уравнение из (2.8) для любого t ∈ R+. Таким образом, если u0,u1 ∈ D(A) и задача Коши (1.3) имеет решение, то по этому решению однозначно строится решение задачи Коши (2.8). Замечание 2.1. В дальнейших вычислениях понадобятся факторизации Шура-Фробениуса операторных блоков с ограниченными операторными коэффициентами и формулы обращения этих блоков. Пусть E1, E2 банаховы пространства, , . Если D1-1 ∈ L(E1), то существует . (2.9) Пусть. Если D2-1 ∈ L(E2), то существует . (2.10) В следующих двух леммах установим, что оператор -A является генератором равномерно экспоненциально устойчивой голоморфной полугруппы. Лемма 2.2. Оператор A плотно определён, замкнут, непрерывно обратим, т. е. существует A-1 ∈ L(H), и справедливо представление Доказательство. Докажем, что оператор A непрерывно обратим, и выведем формулу (2.11). Отсюда будет следовать, что оператор A замкнут на своей естественной области определения D(A). Плотная определённость оператора A последует из включения (A∗)-1 ∈ L(H). Применим факторизацию (2.10) к обращению среднего операторного блока в разложении (2.3). С учётом леммы 2.1 найдём, что существует ⎛ I T1/2 Q∗0G-1⎞-1 ⎝ -T1/2 0 0 ⎠ = -G-1Q0 0 I . Отсюда и из (2.3) следует (2.11). Непосредственными вычислениями проверяется, что . Как и для оператора A, доказывается, что существует (A∗)-1 ∈ L(H). Лемма 2.3. Оператор -A является генератором голоморфной полугруппы. Для числовой области значений W(A) оператора A выполнено включение: . (2.12) Доказательство. По лемме 2.2 оператор A плотно определён и замкнут. Таким образом, остаётся доказать, что оператор1/2) и из факторизации (2.7) оператораA - максимальный секториальный (см. [7, гл. 9, §1, теорема 1.24]).(A)Aоператорав симметричной форме получим, чтоA. Пусть ξ = (z;v;w)τ ∈ D(A), Итак, исследуем числовую область значений W тогда z ∈ D(A Re(, Из этих оценок при любом α > 0 следует (см. [7, гл. 5, §3, пример 3.34] и [26, лемма 2]), что Re( . Таким образом, Re, или . Re Отсюда следует включение (2.12) для числовой области значений W(A) оператора A: . и полураствором сектораТаким образом, оператор A секториальный с вершиной сектора в точкеα-1 при любом α > 0. arctg Для максимальности оператора A достаточно установить, что - резольвентное множество оператора A. Из факторизации (2.7) оператора A в симметричной форме имеем . Применим факторизацию (2.9) к обращению среднего операторного блока в этом разложении. При λ /∈ σ(G) ∪ {0} с учётом обозначения (1.2) для операторного пучка L(λ) найдём, что . (2.13) Очевидно, что если и, следовательно, существует L-1(λ) ∈ L(H). Из (2.13) при λ < 0 теперь найдём, что существует (A - λ)-1 ∈ L(H), а значит, {λ < 0} ⊂ ρ(A). Замечание 2.2. Из (2.13) следует формула для резольвенты оператора A: 0 I 0 , (2.14) L(λ) = I - λA-1 - λ-1T + Q0∗Rλ(G)G-1Q0, при всех λ /∈ σ(L(λ)) ∪ σ(G) ∪ {0}, где σ(L(λ)) - спектр операторного пучка L(λ). Лемма 2.4. Голоморфная полугруппа U(t), генерируемая оператором -A, является равномерно экспоненциально устойчивой, т. е. существуют такие, что . (2.15) Доказательство. Известно (см., например, [16, гл. 4, §3, следствие 3.12]), что если U(t) голоморфная полугруппа, то её тип совпадает со спектральной границей s(-A) = sup{Reλ : λ ∈ σ(-A)} генератора -A. Таким образом, существование чисел и оценки (2.15) будет следовать из неравенства s(-A) < 0 или, что эквивалентно, из неравенства inf{Reλ : λ ∈ σ(A)} > 0. Из формулы (2.12), переписанной в виде , построением огибающих соответствующих семейств прямых найдём, что числовая область значений оператора A содержится в параболической области: . (2.16) Из A-1 ∈ L(H) (см. лемму 2.2) следует, что 0 ∈ ρ(A). Теперь, учитывая, что ρ(A) - открытое множество и σ(A) ⊂ W(A), из (2.16) найдём, что inf{Reλ : λ ∈ σ(A)} > 0. Лемма 2.5. Если u0,u1 ∈ D(A), а функция f локально гёльдерова, то задача Коши (1.3) имеет единственное решение (в смысле определения 1.1). Доказательство. Покажем, что из условий леммы следует однозначная разрешимость задачи Коши (2.8). Будем искать решение задачи Коши (2.8) в виде ζ(t) = ζ1(t) + ζ2(t), где ζ1(t), ζ2(t) - решения следующих начальных задач: , (2.17) (2.18) Проверим выполнение условий теоремы о разрешимости задачи Коши (2.17) (см. [3, гл. 2, §1, теорема 1.4]). Из (2.7) и (1.2) найдём, что ζ1(0) = ξ0 + ξ(u0,0) = (u1;T1/2A1/2u0;0)τ + (0;T-1/2Q∗0G-1Q0A1/2u0;0)τ = = (u1;T-1/2Q∗QA1/2u0;0)τ ∈ D(A), так как (см. определение области определения D(A) в (2.7)), учитывая лемму 2.1, u1 + A-1/2T1/2(T-1/2Q∗QA1/2u0) = u1 + A-1/2Q∗QA1/2u0 = u1 + A-1/2Q∗B1/2u0 = = u1 + A-1/2Q∗|D(B1/2)B-1/2(BA-1)Au0 = u1 + A-1(BA-1)Au0 ∈ D(A). Далее, если функция f локально гёльдерова, т. е. для любого τ ∈ R+ существуют K = K(τ) > 0, k = k(τ) ∈ (0,1] такие, что - | - , то, очевидно, и функция F (см. (2.7)) локально гёльдерова. Таким образом, задача Коши (2.17) имеет единственное решение в смысле определения 2.1. Проверим теперь выполнение условий теоремы о разрешимости задачи Коши (2.18) (см. [3, гл. 2, §1, теорема 1.3]). Очевидно, что ζ2(0) = 0 ∈ D(A). Покажем, что при всех . Из (2.7) найдём, что . Отсюда, учитывая гипотезу 2) и формулу для D(A) (см. (2.7)), имеем при любом t ∈ R+ A-1/2T1/2(T-1/2Q∗0 exp(-Gt)Q0A1/2u0) = A-1/2Q∗0 exp(-Gt)CA-1(Au0) = = A-1/2Q∗0|D(C∗) exp(-Gt)CA-1(Au0) = A-1C∗ exp(-Gt)CA-1(Au0) ∈ D(A), т. е. при всех t ∈ R+. Теперь непосредственные вычисления показывают, что - непрерывная на R+ функция со значениями в H. Таким образом, задача Коши (2.18), а значит, и задача Коши (2.8), имеет единственное решение в смысле определения 2.1. Пусть ζ(t) - (единственное) решение задачи Коши (2.8). Введём функцию ξ(t) := ζ(t) - ξ(u0,t). Тогда ξ(t) есть решение задачи Коши (2.6) в том смысле, что ξ ∈ C1(R+;H), ξ(t) + ξ(u0,t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+ и A(ξ + ξ(u0,·)) ∈ C(R+;H), выполнено начальное условие и уравнение из (2.6). Последнее эквивалентно тому, что функции z(t), v(t), w(t), являющиеся координатами функции ξ(t) = (z(t);v(t);w(t))τ , решают систему (2.5). Введём функцию u(t) := A-1/2T-1/2v(t), исходя из формул (2.4), и покажем, что эта функция и есть (единственное) решение исходной задачи Коши (1.3). Из второго уравнения в (2.5) следует, что, а значит, u ∈ C2(R+;H). Из последнего равенства следует, что, а из определения функции u - что u(0) = A-1/2T-1/2v(0) = A-1/2T-1/2(T1/2A1/2u0) = u0, т. е. начальные условия в (1.3) выполнены. Допустим, что удастся показать, что z(t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+ и Az ∈ C(R+;H). Отсюда будет следовать, что следует (см. [3, гл. 1, §1, лемма 1.5]), что u(t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+ и Au ∈ C(R+;H). Отсюда тогда получим, что Bu ∈ C(R+;H), так как Bu(t) = (BA-1)Au(t) и BA-1 ∈ L(H) в силу гипотезы 1). Непосредственными вычислениями проверяется, что функция u, удовлетворяющая уравнению (2.2), будет также решением уравнения (2.1). Согласно определению 1.1 построенная функция u будет (единственным) решением задачи Коши (1.3). Итак, найдём из второго и третьего соотношения в (2.5) функции v и w: Отсюда и из первого соотношения в (2.5) получим, что на R+ непрерывна функция , где Это утверждение перепишем в следующей эквивалентной форме: . (2.20) Определим на D(A) норму , эквивалентную норме графика, и превратим его таким образом в банахово пространство E(A). Тогда (2.20) можно рассматривать как уравнение Вольтерра второго рода в E(A), если только функция R(t)u0 принимает значения из E(A). Покажем, что оператор-функция R(t) сильно непрерывна на R+ со значениями в E(A). Отсюда и из u0 ∈ D(A) будет следовать, что g - R(·)u0 ∈ C(R+;E(A)). Отсюда, в свою очередь, получим, что уравнение (2.20) имеет единственное решение z ∈ C(R+;E(A)), что докажет лемму. Для любого z ∈ E(A) = D(A) и t0 ∈ R+ с учётом (1.2), (2.19) и гипотез 1)-2) имеем , . Лемма доказана. 2.2. Доказательство асимптотических формул. Установим вспомогательную лемму об асимптотическом поведении решений дифференциально-операторного уравнения первого порядка в произвольном банаховом пространстве. Лемма 2.6. Пусть -A -генератор сильно непрерывной равномерно экспоненциально устойчивой (см. (2.15)) полугруппы U(t) на банаховом пространстве E. Предположим, что в задаче Коши , (2.21) где выполнены условия: G ∈ C1(R+;E), либо функция G локально гёльдерова, если полугруппа U(t) голоморфна. Тогда существует константа такая, что для решения задачи (2.21) выполнено неравенство (2.22) Доказательство. Из условий теоремы следует, что задача (2.21) имеет единственное решение (в смысле определения 2.1). Будем искать это решение в виде. Тогда функция χ(t) должна быть решением задачи Коши . (2.23) Заметим, что решение задачи (2.23) можно представить в виде суммы χ(t) = χ1(t) + χ2(t), где χ1(t), χ2(t) - решения задач Коши , но эти задачи однозначно разрешимы в смысле определения 2.1 (см. рассуждения, применённые к задачам (2.17) и (2.18)). Итак, из (2.23) и представления найдём, что Отсюда следует, что т. е. оценка (2.22) выполнена с константой . Лемма 2.7. В условиях теоремы 1.1 имеют место формулы (1.4) и (1.5). Доказательство. Пусть в задаче (1.3) выполнены условия u0,u1 ∈ D(A) и , (2.24) где), а функция g локально гёльдерова. По (единственному) решению задачи Коши (1.3) построим решение задачи Коши (2.8). При выполнении условия (2.24) задача (2.8) примет вид задачи Коши (2.21) с G(t) := (g(t);T-1/2Q∗0 exp(-Gt)Q0A1/2u0;0)τ , (2.25) Fk(t) := (fk(t);0;0)τ (k = 0,n), ζ0 = ξ0 + ξ(u0,0). Применим лемму 2.6 к сложившейся ситуации. Учитывая связь ζ(t) = ξ(t) + ξ(u0,t) между решениями задач Коши (2.8) и (2.6), формулы для ξ(u0,t), ξ0, обозначения (2.25), найдём, что (2.26) где . Учитывая формулу (2.11) для оператора A-1, формулу (2.14) для резольвенты оператора A, связи (2.4), найдём, что Из (2.26), (2.27) следует оценка (1.4) с константами . Докажем формулу (1.5). Пусть при t → +∞. Достаточно доказать, что интегральное слагаемое в (1.4) стремится к нулю при t → +∞. Обозначим . Фиксируем ε > 0 и выберем последовательно числа tε,1 и tε,2 следующим образом: . Теперь для любого найдём, что Лемма доказана. 3. Приложения 3.1. Операторные ядра экспоненциального типа. Рассмотрим пример реализации операторного ядра в интегральном слагаемом из (1.3). Пусть - гильбертовы пространства. Определим m гильбертовых пространств Hk со скалярными произведениями и нормами: , Определим гильбертово пространство H0 со скалярным произведением и нормой: . Пусть -плотно определённые замкнутые операторы, действующие из H в Hk0: -последовательности положительных чисел. Будем считать, что выполнены следующие условия: (3.1) Определим операторы по следующим формулам: . Несложно видеть, что оператор Gk самосопряжён и положительно определён в Hk, а плотно определённый оператор Ck замкнут на D(Ck) и . Определим, наконец, операторы C и G по следующим формулам: C := (C1;C2;...;Cm)τ, G := diag(G1,G2,...,Gm), тогда . (3.2) Лемма 3.1. Оператор-функция C∗ exp(-tG)CA-1 сильно непрерывна на R+. Доказательство. Из условия на области определения в (3.1) следует, что Ck∗0Ck0A-1 ∈ L(H). Таким образом, для любых t,t0 ∈ R+ и u ∈ H имеем . (3.3) Фиксируем произвольное ε > 0. Из (3.1) получим, что . Отсюда и из (3.3) следует, что , т. е. оператор-функция (3.2) сильно непрерывна в точке t0. Таким образом, для оператор-функции (3.2) выполнена гипотеза 2). Гипотеза 3) (см. (1.1)), связывающая введённые операторы и числовые коэффициенты и призванная обеспечить положительную определённость оператора T (см. (1.2)), принимает следующий вид: 3) существует γ > 0 такое, что . (3.4) Из проведённых рассуждений следует, что при выполнении гипотезы 1) и условий (3.1), (3.4) к задаче Коши (1.3) с операторным ядром (3.2) применима теорема 1.1. 3.2. Задача о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого стержня с трением Кельвина-Фойгта. В гильбертовом пространстве L2(a,b) определим оператор A: . Оператор A самосопряжён и положительно определён, спектр оператора A дискретен. Система собственных элементов и собственных значений оператора A имеет следующий вид: (3.5) Задача о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого стержня, закреплённого на концах отрезка [a,b], имеет следующий вид: , (3.6) Здесь α > 0 и β > 0, а {αl}l∈N, {γl}l∈N - последовательности положительных чисел, удовлетворяющих следующим неравенствам (см. (3.1), (3.4)): . (3.7) Для простоты считаем в (3.6), что не зависят от времени, а числа те же, что и в теореме 1.1. Непосредственно проверяется, что операторный пучок L(λ) из (1.2) в рассматриваемом случае имеет следующий вид: . (3.8) Применение теоремы 1.1 к задаче Коши (3.6) с учётом (3.5), (3.7), (3.8) приводит к следующему утверждению. Лемма 3.2. Пусть. Тогда существуют константы ω > 0 и M1 > 0 такие, что для решения задачи Коши (3.6) выполнено неравенство , где (см. (3.5)) ,