Асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на всей прямой

Полный текст

1. Введение Рассмотрим следующее нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна на всей прямой: , (1.1) относительно искомой измеримой функции f(x). В уравнении (1.1) ядро K удовлетворяет следующим основным условиям: I) = 1; II) существует, причем данный интеграл сходится абсолютно; Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00223). © Российский университет дружбы народов, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 376 III) существует число λ1 > 0 такое, что при λ ∈ [0,λ1]. Нелинейность H(t,u) определена на множестве R2 := R × R, принимает вещественные значения, удовлетворяет условию критичности H(t,0) ≡ 0, t ∈ R (1.2) и некоторым другим условиям (см. ниже). Здесь и далее через L1(R) обозначено пространство суммируемых на R функций, а через M(R) - пространство существенно ограниченных функций на множестве R. Указанный класс уравнений возникает в различных направлениях современного естествознания. В частности, уравнения вида (1.1) встречаются в математической биологии (в математической теории пространственно временного распространения эпидемии), в физической кинетике (в кинетической теории газов), в астрофизике (в теории переноса излучения в спектральных линиях), см. [2, 9-13]. В случае, когда для монотонной нелинейности H(t,u) мажорантой в смысле М.А. Красносельского служит некоторая линейная (по u) функция, при условиях I)-II) уравнение (1.1) достаточно подробно исследовалось в [7, 14]. Когда H(t,u) не зависит от переменной t, является выпуклой (вверх) монотонной функцией и минорантой для H служит квадратная функция определенной структуры, при условиях I)-III) уравнение (1.1) изучалось в работах [9, 11, 15]. В этих работах построены неотрицательные нетривиальные ограниченные (а в некоторых случаях также суммируемые) решения. Следует отметить, что в случае четных ядер K (не выполняется условие II)) и выпуклых (вверх) по u функций H (удовлетворяющих определенным естественным условиям) уравнение (1.1) не обладает неотрицательным нетривиальным и ограниченным решением (см. [16]). Такие уравнения могут иметь только знакопеременные нетривиальные и ограниченные решения (см. [1, 6]). Из условия критичности (1.2) немедленно следует, что уравнение (1.1) обладает тривиальным решением f(x) ≡ 0. Основной целью настоящей работы является построение второго неотрицательного и ограниченного решения уравнения (1.1). В данной статье, при существенно иных ограничениях на функцию H(t,u), мы займемся построением такого рода решения. Более того, мы будем исследовать асимптотическое поведение построенного решения на ±∞. В одном важном случае установим единственность решения в определенном весовом пространстве. В конце работы приведем конкретные примеры нелинейности H(t,u), удовлетворяющие всем условиям доказанных теорем. Прежде чем накладывать соответствующие условия на функцию H, ниже приведем некоторые обозначения и вспомогательные факты. 2. Обозначения и вспомогательные факты 2.1. Функция Дикмана. Основная лемма. Пусть y = G(u) определенная на множестве R+ := [0,+∞) - непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая следующим условиям (см. рис. 1): a) существует конечная производная, такая, что; b) функция y = G(u) монотонно возрастает и выпукла вверх на множестве R+; c) существует число η > 0 такое, что G(η) = η; d) существуют числа ε > 0 и c > 0 такие, что. Рассмотрим теперь известную в литературе функцию Дикмана для ядра K (см. [11]): . (2.1) Из условий II) и a) можно утверждать, что . Благодаря непрерывности существует число λ∗ ∈ (0,λ1] такое, что , при λ ∈ [0,λ∗]. (2.2) В наших дальнейших рассуждениях будем предполагать, что L(λ∗) < 1. (2.3) Заметим, что (может быть и бесконечность). Следовательно, функция L(λ) выпукла вниз. Таким образом, из перечисленных выше свойств функции L(λ) следует, что существует единственное число σ ∈ (0,λ∗) такое, что L(σ) = 1. (2.4) Зафиксируем число σ (см. рис. 2). В силу свойств функции L(λ) можно также утверждать, что при δ ∈ (σ,λ∗] L(δ) < 1. (2.5) Следующая простая лемма играет важную роль при доказательстве основных результатов настоящей работы. Лемма. Пусть существует γ := lim G(u) < +∞. (2.6) u→+∞ Тогда при условиях a)-d) характеристическое уравнение G(u) = u - c0 для любого c0 > 0 имеет единственное решение ξ, причем ξ > η. Доказательство. Рассмотрим функцию χ(u) := G(u) - u + c0, u ∈ R+. Из условий a) и d) сразу следует, что χ ∈ C1(R+), χ(0) = c0 > 0. С другой стороны, так как γ < +∞, то χ(+∞) = -∞. Следовательно, существует ξ > 0 такое, что χ(ξ) = 0. Благодаря выпуклости y = G(u) на R+ и неравенства имеем , откуда следует, что χ(u) ↓ на R+. Следовательно, единственность решения характеристического уравнения χ(u) = 0 доказана. Убедимся теперь, что ξ > η. Предположим обратное: ξ ∈ (0,η]. Тогда в силу выпуклости функции G(u) будем иметь (см. рис. 3): , откуда. Последнее означает, что c0 0. В силу полученного противоречия заключаем, что ξ > η. 2.2. О вспомогательном интегральном уравнении с нелинейностью G. Наряду с уравнением (1.1) рассмотрим следующее вспомогательное нелинейное интегральное уравнение на R : (2.7) относительно искомой ограниченной и неотрицательной функции ϕ(x). Согласно результатам работы [15], при условиях I)-III), (2.3) и a)-d) уравнение (2.7) обладает неотрицательным нетривиальным непрерывным ограниченным и монотонно возрастающим решением ϕ(x). Более того , (2.8) где число σ определяется из характеристического уравнения (2.4). Рис. 3 3. Теорема существования 3.1. Основные условия на функцию H(t,u) и формулировка теоремы существования. Относительно нелинейности H(t,u) предположим выполнение следующих условий: i) при всяком фиксированном t ∈ R функция H(t,u) монотонно возрастает по u на R+; j) функция H(t,u) на множестве R×R+ удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу u, т. е. при всяком фиксированном u ∈ R+ функция H(t,u) измерима по t на R и почти при всех t ∈ R данная функция непрерывна по u на множестве R+; k) существует число δ ∈ (σ,λ∗] и измеримая неотрицательная ограниченная на R функция β(t) со свойством β(t)e-δt ∈ L1(R) ∩ M(R) такие, что (3.1) , (3.2) где G(u) обладает свойствами a)-d). Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. При условиях I)-III), (2.3), i), j), k) уравнение (1.1) обладает неотрицательным, нетривиальным и ограниченным на R решением f(x). Более того (f(x) - ϕ(x))e-δx ∈ L1(-∞,0)∩M(-∞,0), где ϕ(x) -неотрицательное, непрерывное, ограниченное, монотонно возрастающее на R решение уравнения (2.7), обладающее свойством (2.8). 3.2. Доказательство теоремы 3.1. Сперва наряду с уравнением (1.1) рассмотрим второе вспомогательное нелинейное интегральное уравнение на R: , (3.3) относительно искомой функции φ(x), где . (3.4) Так как β ∈ M(R), то в силу условия I) из (3.4) получаем, что g ∈ M(R). Убедимся, что g(x)e-δx ∈ L1(R) ∩ M(R). (3.5) Действительно, с учетом (3.1) и определения функции Дикмана из (3.4) будем иметь . С другой стороны используя теорему Фубини (см. [4]) получаем, что . Следовательно, включение (3.5) доказано. Рассмотрим теперь следующие итерации для вспомогательного уравнения (3.3): , (3.6) Индукцией по n легко можно проверить, что φn(x) ↑ по n. Обозначим через (3.7) (3.8) и убедимся, что , (3.9) где число ξ единственным образом определяется из характеристического уравнения G(u) = u-c0 (см. лемму). В случае n = 0 неравенство (3.9) сразу следует из ξ = G(ξ) + c0 . Предположим, что при некотором n ∈ N. Тогда, учитывая вспомогательную лемму, условие I) и монотонность функции G, из (3.6) получим Индукцией также можно убедиться, что все элементы функциональной последовательности представляют из себя измеримые функции. Ниже индукцией по n докажем, что (3.10) Так как L(δ) < 1, то неравенство (3.10) в случае n = 0 выполняется совершенно очевидным образом. Предположим, что (3.10) имеет место при некотором натуральном n. Тогда, учитывая условия I), a), b), а также (2.1), (2.5) из (3.6) для произвольных чисел δ1,δ2 ∈ R имеем -∞ . Устремляя δ1 → -∞,δ2 → +∞ приходим к неравенству: . Таким образом, из (3.7) и (3.9) получаем поточечную сходимость функциональной последовательности , причем . (3.11) Из (3.11), (3.10) и условия a) в силу предельной теоремы Б. Леви (см. [4]) получаем, что φ(x) удовлетворяет уравнению (3.3) и . (3.12) Вернемся теперь к основному уравнению (1.1). Введем следующие последовательные приближения для уравнения (1.1): (3.13) . Используя неотрицательность ядра K, левую часть двустороннего неравенства (3.2) и тот факт, что ϕ(x) является решением уравнения (2.7), из (3.13) получим, что. Предполагая, что при некотором n ∈ N, используя условие i), а также неотрицательность ядра K, из (3.13) будем иметь . Итак, мы доказали, что fn(x) ↑ по n. (3.14) Учитывая условие Каратеодори (см. условие j)), индукцией по n несложно доказать, что все элементы итерационной последовательности являются измеримыми на R функциями. Ниже подробно докажем, что . (3.15) Оценка (3.15) для нулевого приближения сразу следует из неотрицательности функции φ(x). Предположим, что (3.15) имеет место при некотором натуральном n. Тогда, учитывая условия i),k), неотрицательность ядра K, соотношения (2.7) и (3.3), а также следующее легко проверяемое неравенство для выпуклых (вверх) и неотрицательных функций (см. [5]):, u,v ∈ R+, из (3.13) будем иметь . -∞ Итак, в силу (3.14) и (3.15) заключаем, что последовательность измеримых функций имеет поточечный предел при n → +∞: lim fn(x) = f(x), n→∞ причем . (3.16) Согласно теореме Б. Леви, f(x) удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на R. Из (3.16) в силу (3.11) и (3.12) следует, что e-δx(f(x)-ϕ(x)) ∈ L1(-∞,0). Убедимся, что e-δx(f(x)-ϕ(x)) является ограниченной функцией на (-∞,0). Действительно, сперва заметим, что для любого n ∈ N ∪ {0} имеет место оценка: . (3.17) Доказательство последнего неравенства осуществляется аналогичным образом, как доказательство оценки (3.10). Из (3.17) сразу следует, что sup(e-δxφ(x)) < +∞. (3.18) x∈R Учитывая (3.16) и (3.18), получаем, что e-δx(f(x)-ϕ(x)) ∈ M(-∞,0). Теорема полностью доказана. 4. Асимптотическое поведение решения на +∞ В этом разделе при дополнительном ограничении на функцию H(t,u) мы докажем, что lim f(x) = ξ, ξ - f ∈ L1(R+). (4.1) x→+∞ Во-первых, предположим, что в условии k) функция β(t) удовлетворяет дополнительному ограничению: , (4.2) c0 - β ∈ L1(R+). (4.3) Предположим также, что функция H(t,u), помимо условий i),j),k), удовлетворяет ограничению и монотонно возрастает по u на R+, причем существуют числа Δ0 ∈ (0,min{εσ,λ∗ - σ}) и - (определения чисел c и ε см. в условии d)) такие, что 1 - H0(t,L(t)) ∈ L1(R+), где (4.4) . (4.5) Имеет место следующая теорема. Теорема 4.1. При условиях теоремы 3.1, если выполняются (4.2)-(4.4) и H0(t,u) ↑ по u на R+, то решение уравнения (1.1) обладает дополнительными свойствами (4.1). Доказательство. Сперва отметим, что из результатов работы [15] (см. теорему 3.1) следует, что решение уравнения (2.7) удовлетворяет следующей оценке снизу: . (4.6) С другой стороны, так как ϕ(x) ↑ η, x → +∞, то существует число r > 0 такое, что при x r. (4.7) Зафиксируем число r > 0. Ниже убедимся, что существует число α ∈ (0,1) такое, что (4.8) для всех. Действительно, в силу выпуклости (вверх) функции G, с учетом неравенства ξ > η (см. лемму) имеем (см. рис. 4): . Несложно проверить, что если- решение уравнения (1.1), являющегося поточечным пределом последовательных приближений (3.13), то . (4.9) Действительно, неравенство сразу следует из определения нулевого приближения в итерациях (3.13) с учетом свойств функции ϕ и оценки ξ < η. Предполагая, что для некоторого n ∈ N, и при этом учитывая условия i),k),I) и вспомогательную лемму из (3.13), получим . Устремляя n → ∞ в неравенстве приходим к (4.9). Учитывая I), (3.16), (4.6) и монотонность функции H0(t,u) по u, оценим следующую разность: где (4.10) . Так как , то в силу (4.3) и (4.4) из (4.10) согласно теореме Фубини следует, что g˜ ∈ L1(R+). Итак, мы получили следующую оценку: (4.11) , (4.12) где g˜(x) задается по формуле (4.10) и обладает свойством (4.11). Пусть R > r - произвольное число. Интегрируя обе части неравенства (4.12) по x в пределах от r до R и при этом используя неравенства (3.16), (4.7), (4.8), а также включение (4.11), будем иметь Из полученного неравенства следует, что . (4.13) В (4.13), устремляя R → +∞, получаем, что и . Так как , то из (3.16) следует, что f ∈ L1(0,r). Таким образом, ξ - f ∈ L1(R+). Для завершения доказательства осталось проверить предельное соотношение С этой целью воспользуемся следующим известным предельным соотношением для операции свертки. Хорошо известно (см., например, [8]), что если u,v ∈ L1(R) ∩ M(R), то свертка (4.14) при x → ±∞. Введем обозначения Q(t) := (c0 - β(t) + c0(1 - H(t,L(t))))I(0,+∞)(t), (4.15) F(t) := (ξ f(t))I(r,+∞)(t), (4.16) где IA(t) - индикатор множества В силу (4.2)-(4.4), (4.9), с учетом включения ξ - f ∈ L1(r,+∞) можно утверждать, что Q,F ∈ L1(R) ∩ M(R). (4.17) Следовательно, учитывая условие I) и формулу (4.10), в силу (4.14) получим при x → +∞ . (4.18) С другой стороны, если учесть (3.16), (4.7), (4.8), (4.16), (4.17) и предельное соотношение (4.14), то будем иметь при x → +∞ Таким образом, из (4.18), (4.19) и (4.12) получаем, что lim (ξ - f(x)) = 0. x→+∞ 5. Единственность решения уравнения (1.1) в одном частном случае Предположим, что нелинейность H(t,u) допускает следующее частное представление: H(t,u) = G(u) + β(t)G0(u), (5.1) где G(u) обладает свойствами a)-d), β(t) удовлетворяет условиям теоремы 3.1, а G0(u) - определенная на R непрерывная функция со следующими свойствами: p1) G0(0) = 0, G0(u) ↑ на R+; p2) существует производная, причем (5.2) (определения чисел c0 и δ см. в (3.8) и в k)); выпукла вверх на R+. Замечание 5.1. Прямой проверкой можно убедиться, что если G0(u) удовлетворяет условиям p1)-p3), то для представления (5.1) функции H(t,u) выполняются условия i), j), k). Ниже докажем следующую теорему единственности. Теорема 5.1. Пусть в уравнении (1.1) нелинейность H(t,u) допускает представление (5.1), где G и G0 обладают соответственно свойствами a)-d) и p1)-p3), а β(t) -неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая условиям (3.1), (3.8). Тогда уравнение (1.1) не может иметь более одного решения в следующем классе измеримых функций: M :=, где ϕ и φ являются решениями уравнений (2.7) и (3.3), соответственно. Доказательство. Предположим обратное: существует два решения уравнения (1.1): f,f˜ ∈ M. Так как φ(x)e-δx ∈ L1(R)∩M(R), δ ∈ (σ,λ∗] (см. доказательства теоремы 3.1), то из определения класса M сразу следует, что Bδ(x) := e-δx|f(x) - f˜(x)| ∈ L1(R) ∩ M(R). (5.3) Учитывая (5.1) и (1.1), оценим разность: Из выпуклости (вверх) функций G и G0 с учетом условий a)-d), p1)-p3) следует, что . Из (5.4), (5.3), (3.8) с учетом последних двух неравенств и определения величины L(δ) будем иметь , откуда следует, что . (5.5) Так как, то из (5.5) и (5.3) получаем, что f(x) = f˜(x) почти всюду на R. Теорема доказана. Замечание 5.2. Следует отметить, что вопрос единственности решения уравнения (1.1) в классе M для общих нелинейностей H(t,u), удовлетворяющих условиям i),j),k), до сих пор остается открытой проблемой. 6. Примеры Для полноты и наглядности изложения ниже приведем конкретные прикладные примеры ядра K и нелинейности H. Сперва приведем конкретные примеры нелинейности G и функции β. Примеры G(u). В математической теории пространственно-временного распространения эпидемии функция G(u) допускает следующее представление (см. [11]): G(u) = γ(1 - e-u), u ∈ R, где γ > 1- числовой параметр. Несложно проверить, что тогда G(u) удовлетворяет условиям a)-d). Приведем также чисто математический пример функции G(u), удовлетворяющий условиям a)-d): . Примеры функции β(t). Сперва приведем примеры функции β(t), удовлетворяющих условиям теорем 3.1 и 5.1. Легко можно проверить, что например функции вида β(t) = e-t2, t ∈ R; β(t) = e-ρ|t|, ρ > δ удовлетворяют условиям доказанных теорем 3.1 и 5.1. Теперь приведем пример функции β(t) для теоремы 4.1: , (6.1) δ где l > - параметр. 2 Подробно остановимся на примере (6.1). Во-первых, совершенно очевидно, что 0 < β(t) < 2, t ∈ R; . С другой стороны, так как δ < 2l, то . Осталось заметить, что 2 - β(t) = 2lt2+ 1 ∈ L1(R+). e Теперь приведем примеры для H(t,u). Примеры для H(t,u). Сначала приведем примеры, удовлетворяющие условиям теоремы 3.1: , Приведем также примеры для функции G0(u): , где - числовой параметр. Ниже рассмотрим также два примера функции H(t,u), удовлетворяющих условиям теоремы 4.1: (6.2) , где функция L(t) задается по формуле (4.5), а q(t) - произвольная измеримая на R функция, причем 0 < q(t) < 1, t ∈ R и q ∈ L1(R+). Проверим условие (4.4) для примера (6.2). Сперва заметим, что функция - монотонно возрастает по u на R+, ибо . Очевидно, что q ∈ L1(R+), то 1-H0(t,L(t)) ∈ L1(R+). В конце приведем также один прикладной пример ядра K и на этом примере покажем, что выполняются условия I)-III) и (2.3). Пример ядра K. Рассмотрим функцию . (6.3) С помощью стандартных рассуждений можно проверить выполнение условий I)-III). Проверим неравенство (2.3). В данном случае функция Дикмана L(λ) имеет следующий вид: . Предположим, что. Совершенно очевидно, что L(λ) ↓ на отрезке [0, 2], выпукла вниз на R+, и если в качестве λ∗ выбрать число. После простых вычислений находим также число. Например, когда , получим σ ≈ 0,894.

Об авторах

Хачатур Агавардович Хачатрян

Ереванский государственный университет; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: khachatur.khachatryan@ysu.am
Москва, Россия

Айкануш Самвеловна Петросян

Национальный аграрный университет Армении; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: Haykuhi25@mail.ru
Ереван, Армения;Москва, Россия

Список литературы