Некоторые задачи комплексного анализа в матричных областях Зигеля

Аннотация

Приведен обзор последних результатов в многомерном комплексном анализе, относящихся к матричным областям Зигеля.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2. Матричная структура многомерных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3. Интегральные формулы и голоморфное продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 1. ВВЕДЕНИЕ Теория функций многих комплексных переменных, или многомерный комплексный анализ, к настоящему времени имеет достаточно строго построенную теорию [2, 9, 16]. В то же время многие вопросы классического (одномерного) комплексного анализа до сих пор не имеют однозначных многомерных аналогов. Это связано со сложной структурой многомерного комплексного пространства, многозначностью (переопределенностью) условий Коши-Римана, отсутствием универсальной интегральной формулы Коши и т. д. В работах Э. Картана, К. Зигеля [3], Хуа Ло-Кена [11], И.И. Пятецкого-Шапиро [8] широко используется матричный подход изложения теории многомерного комплексного анализа. Здесь в основном исследованы классические области и связанные с ними вопросы теории функций и геометрии. Важность изучения классических областей состоит в том, что они не являются приводимыми, т. е. эти области в каком-то смысле являются модельными областями многомерного пространства. В нашем обзоре мы приводим последние результаты в многомерном комплексном анализе, относящиеся к классическим областям. 2. МАТРИЧНАЯ СТРУКТУРА МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 2.1. Пространства C[m×k], Cn[m×k]. Рассмотрим пространство mk комплексных переменных Cmk с элементами (z11,z12,...,zmk). (2.1) В этом пространстве введем матричную структуру, отождествляя каждому элементу (2.1) прямоугольную матрицу из m строк и k столбцов: . © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 144 После такого представления элементов пространство Cmk будем обозначать через C[m × k]. Такое матричное представление представляет удобство и компактность записи громоздких формул, а также дает возможность дальнейшей реализации идей одномерного комплексного анализа. Элементы пространства C[m × k] обозначим заглавными буквами: Z,U,V,W,... Во многих вопросах представляет интерес пространство, получаемое при помощи декартового произведения нескольких C[m × k]: . Такая структура пространства позволяет использовать технику векторных исчислений (скалярное произведение, норма и т. п.). При m = k получаются пространства квадратных матриц C[m × m], Cn[m × m]. В монографии [14] приведены примеры простейших матричных областей (матричный единичный круг, матричная верхняя полуплоскость, матричный единичный поликруг) в этих пространствах. 2.2. Классификация матричных шаров, ассоциированных с классическими областями. В анализе всегда большую роль играло исследование конкретных классов областей. Известная теорема Римана утверждает, что любая односвязная область, граница которой содержит более одной точки, конформно эквивалентна единичному кругу U = {z ∈ C : |z| < 1}. Эта теорема перестает быть верной в Cn при n > 1: не существует биголоморфного отображения шара Bn = {z ∈ Cn : |z| < 1} на поликруг Un = {z ∈ Cn : ||z|| < 1}. Это связано с переопределенностью условий голоморфности при n > 1. Поэтому оказывается весьма существенным рассмотрение и изучение важнейших классов областей в многомерных комплексных пространствах. Одним из таких классов областей является класс ограниченных однородных областей. В 1935 году Э. Картан доказал, что существует только шесть возможных типов неприводимых транзитивных ограниченных симметрических областей (см. [3]). Все эти области биголоморфно неэквивалентны и представляют большой интерес с разных точек зрения. Это связано с тем, что они являются сравнительно широким классом областей в Cn, для которых удалось получить целый ряд содержательных существенно многомерных результатов. Множество B называется матричным шаром (первого типа), здесь - «скалярное» произведение, I - единичная матрица порядка а условие означает, что эрмитова матрица положительно определена, т. е. все ее собственные значения положительны. Определим матричные шары B(2)m,n и B(3)m,n второго и третьего типов, соответственно: B и B. Остовы (границы Шилова) матричных шаров B обозначим через X, т. е. X, X, X. Заметим, что B и B - единичные круги, а X - единичные окружности в комплексной плоскости C. Если n = 1, m > 1, то Bm, - классические области первого, второго и третьего типов (по классификации Э. Картана), а остовы Xm, и X(3)m,1 - унитарные, симметрические унитарные и кососимметрические унитарные матрицы, соответственно. Если m = 1, то B- единичный шар в пространстве Cn, а X- единичная сфера (остов совпадает с топологической границей). Отметим, что автоморфизмы указанных матричных шаров описаны в работах [4, 15]. Приведем некоторые нерешенные задачи, связанные с матричными шарами B(2)m,n и B(3)m,n: 11,2. выписать ядра Коши для B(2)m,n и B(3)m,n; 21,2. получить ядра Пуассона для B(2)m,n и B(3)m,n; 31,2. определить инвариантный оператор Лапласа для B(2)m,n и B(3)m,n; 41,2. ввести понятия гармонических функций в B(2)m,n и B(3)m,n; 51,2. решить задачу Дирихле для B(2)m,n и B(3)m,n; 61,2,3. выписать ортонормированный базис для B(1)m,n, B(2)m,n, и B(3)m,n в пространстве квадратных матриц Cn[m×m] (существование таких базисов следует из теоремы Э. Картана (1943) о полных круговых областях, см. [11]). 2.3. Матричный аналог преобразования Кэли типа «единичный круг-верхняя полуплоскость». Единичный круг и его различные многомерные обобщения (единичный n-мерный шар, поликруг, матричный единичный круг, классические области четырех типов по классификации Картана, матричный шар) являются достаточно хорошо изученными: к настоящему времени решены многие важные вопросы многомерного комплексного анализа такие, как описание групп автоморфизмов, получение интегральных формул типа Коши-Сеге, Бергмана, Пуассона, доказательство необходимых и достаточных условий для голоморфной продолжимости функций с границы и т. д. Обширные результаты, полученные в этих областях, приведены в монографиях Хуа Ло-Кена [11], У. Рудина [9], Г. Худайберганова, А.М. Кытманова, Б.А. Шаимкулова [14], отметим также работы С. Косбергенова, А.М. Кытманова, С.Г. Мысливец [5]. Довольно часто задачи, поставленные для единичного круга на плоскости, переносятся на верхнюю полуплоскость при помощи преобразования Кэли i(1 + z) w = . 1 - z В этой связи является актуальным нахождение многомерных аналогов формулы для реализации преобразования типа «единичный круг - верхняя полуплоскоcть». Ниже мы рассмотрим реализацию классической области первого типа в виде области Зигеля второго рода. Пусть C[p×q] - пространство прямоугольных матриц из p строк и q столбцов (), элементы которых - комплексные числа. Область R1, образованная матрицами Z из C[p × q], удовлетворяющих условию I - ZZ∗ > 0, называется классической областью первого типа (по классификации Э. Картана, см. [11]). Здесь I - единичная матрица порядка - матрица, комплексно-сопряженная к транспонированной матрице Z. Граница Шилова S1 для области R1 образована матрицами Z из p строк и q столбцов с условием, что ZZ∗ = I. Известно, что любая ограниченная однородная (по отношению к голоморфным автоморфизмам) область в CN имеет реализацию в виде области Зигеля второго рода. В частности, область R1 биголоморфно эквивалентна некоторой области Зигеля второго рода, которая строится с помощью следующей конструкции (см. [10]). Пусть U1 - квадратная матрица порядка p×p, а U2 - матрица порядка p×(q-p). В пространстве пар матриц (U1,U2) комплексной размерности N = pq рассмотрим область , где Im. Остов этой области обозначим . Следуя этой конструкции, область R1 можно задать и в следующей форме: , здесь 1 1 2 2 а 1 и 2 p × p и p × (q - p), соответственно. Обозначим через dμ и dη элементы объемов (меры Лебега) в D и G. Теорема 2.1 (см. [13, 14]). Отображение Φ : Cz → Cu определяемое соответствиями U1 = i(I - Z1)-1(I + Z1), U2 = (I - Z1)-1Z2, (2.2) биголоморфно отображает область R1 на D, при этом S1 переходит в G. Лемма 2.1. Вещественный якобиан отображения Φ(Z) вычисляется по формуле JRΦ(Z) = 22p2|det(I - Z1)|-2(p+q). Доказательство. Пусть B = Φ(A), A ∈ R1, B ∈ D. Рассмотрим разность . Согласно правилу дифференцирования отображения , где Φ - матрица Якоби отображения Φ, знак ⊗ означает кронекеровское (прямое) произведение матриц. Отсюда, используя свойства прямого произведения матриц, имеем . Следовательно, . Лемма доказана. 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ И ГОЛОМОРФНОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 3.1. Интегральные формулы. Интегральные формулы в комплексном анализе являются хорошим средством при изучении свойств голоморфных функций. В классических областях Картана интегральные формулы типа Коши-Сеге, Бергмана, Пуассона были доказаны Хуа Ло-Кеном [11]. Пусть D - полная выпуклая ограниченная круговая область с центром в начале координат, граница Шилова (остов) R которой является гладким многообразием, либо неограниченная однородная область Зигеля второго рода с остовом R. Функция f принадлежит классу Lp(R) с заданной на нем мерой Лебега dμ, если она интегрируема со степенью p по мере dμ на R, т. е. если интеграл R конечен. Класс Харди Hp(D) (0 < p < +∞) состоит из всех функций f, голоморфных в области D, для которых равномерно ограничены интегралы R для всех 0 < r < 1. Через O2(D) обозначим пространство, состоящее из голоморфных функций в D, интегрируемых с квадратом по обычной мере Лебега dν, т. е. f ∈ O2(D), если f голоморфна в D и . D Определим ядро Бергмана K(U,V ) в области D (см. раздел 2.3) следующим образом: , где ck = (-1)p2p-2p2. Выясним, как преобразуется соответствующее ядро Бергмана в области R1 при биголоморфном отображении (2.2) Φ : R1 → D. Как известно, ядро Бергмана в R1 имеет вид (см. [11, гл.4]): . Непосредственные вычисления показывают, что . Тогда из свойств определителя матриц имеем: . Отсюда Таким образом, получаем следующее утверждение. Лемма 3.1. При отображении (2.2) ядро Бергмана K(U,V ) преобразуется следующим образом: . Теорема 3.1 (см. [14]). Для всякой функции f ∈ O2(D) справедлива формула . Интеграл в этой формуле задает ортогональный проектор из пространства L2(D) в пространство O2(D). Определим ядро Коши-Сеге C(U,V ) в области D следующим образом: ck C(U,V ) = (det[i(U1 - V1∗) + 2U2V2∗])q для U ∈ D, V ∈ G, где ck = (-1)p2p-2p2. Аналогично лемме 3.1 доказывается следующая лемма. Лемма 3.2. Пусть U = Φ(Z) и V = Φ(W). При отображении (2.2) ядро Коши-Сеге C(U,V ) преобразуется следующим образом: , где CR1(Z,W) - ядро Коши-Сеге для области R1 (см. [11, гл. 4]), . Теорема 3.2 (см. [12, 14]). Для всякой функции f ∈ H1(D) справедлива формула . В качестве применения таких интегральных формул приводим достаточные условия голоморфной продолжимости функций в виде условий Морера. 3.2. Граничный вариант теоремы Морера. Граничные варианты теоремы Морера рассмотрены в работах [5-7, 17-19, 21], а также в монографии [14]. В них утверждается возможность голоморфного продолжения функции f с границы ∂D области D ⊂ Cn при условии равенства нулю интегралов от f по границам аналитических дисков, лежащих на ∂D. Пусть C[p×q] - пространство прямоугольных матриц из p строк и q столбцов (), элементы которых - комплексные числа. Известно, что всякое биголоморфное отображение Φ : R1 → D устанавливает изоморфность групп Aut(R1) и Aut(D) по формуле ϕ → Φ ◦ ϕ ◦ Φ-1, ϕ ∈ Aut(D), т. е. изоморфность групп Aut(R1) и Aut(D) необходима для голоморфной эквивалентности областей R1 и D. Пусть ΦA - автоморфизм области R1, переводящий точку A = (A1,A2) в (0,0). Тогда отображение ΨB = Φ ◦ ΦA ◦ Φ-1, где B = Φ(A), является автоморфизмом области D, переводящим точку B = (B1,B2) в (iE,0). Таким образом, при помощи отображения (2.2) выписывается группа автоморфизмов области D. Автоморфизм ΦA в векторной форме определяется следующим образом: , (3.1) где - блочная матрица порядка q, элементы которой Q11,Q12,Q21,Q22 - матрицы порядков p × p, p × (q - p), (q - p) × p, (q - p) × (q - p), соответственно, и матрица R удовлетворяют условиям . В области R1 транзитивно действует подгруппа автоморфизмов с неподвижной точкой (0,0). Они называются унитарными преобразованиями, поскольку они линейны и для случая областей, состоящих из квадратных матриц, задаются унитарными матрицами. В рассматриваемом случае прямоугольных матриц такие преобразования получаются из (3.1) при A = 0: , (3.2) причем при при j = k. Преобразованиям (3.2) в области D соответствуют следующие преобразования с неподвижной точкой (iE,0): ψU1 (U) = i[U1 + iE - (U1 - iE)Q11 - 2iU2Q21]-1 [U1 + iE + (U1 - iE)Q11 + 2iU2Q21], ψU2 (U) = i[U1 + iE - (U1 - iE)Q11 - 2iU2Q21]-1 [(U1 - iE)Q12 + 2iU2Q22]. (3.3) Эти преобразования мы также назовем обобщенными унитарными преобразованиями области D. Рассмотрим следующее вложение круга Δ = {|t| < 1} в область D: {Ωt ∈ Cpq : Ωt = Φ(tΦ-1(Λ0)), t ∈ Δ}, (3.4) где Λ0 ∈ G. Если Ψ- произвольный автоморфизм области D, то множество (3.4) под действием этого автоморфизма перейдет в некоторый аналитический диск с границей на G. Теорема 3.3. Пусть f - непрерывная ограниченная функция на G. Если для функции f выполнено условие (3.5) для всех автоморфизмов Ψ области D и фиксированного Λ0 ∈ G, то функция f голоморфно продолжается в D до функции F ∈ H∞(D), непрерывной вплоть до G. Доказательство. Доказательство теоремы проводится по схеме, изложенной в монографии [14] при доказательстве теорем такого типа. В условии (3.5) вместо Ψ рассмотрим автоморфизм Ψ = Φ ◦ Φ-A1 ◦ Φ-1: . (3.6) Так как G инвариантно относительно унитарных преобразований (3.3), то условие (3.6) будет выполняться для произвольных Λ ∈ G. Обозначая Φ-1(Λ) = Θ и учитывая, что Ωt = Φ(tΦ-1(Λ)), получим . (3.7) Рассмотрим следующую параметризацию многообразия S1: , - многообразие, состоящее из матриц Θ = (Θ1,Θ2) таких, что в матрице Θ1 первый элемент . Фактически отличается от S1 на множество меры нуль. Нормированная мера Лебега многообразия S1 может быть представлена в виде , где t = eiφ, а мера dσ1 положительна на. Используя такое представление, переходим в условии (3.7) к интегрированию по многообразию S1, предварительно умножив (3.7) на dσ1(Θ): (3.8) где zksl l - элементы матрицыp. Сделаем замену переменных W = Φ-A1. Тогда (3.8) переходит в условие , (3.9) где - компонента автоморфизма ΦA. Из [5] мы знаем, что dσ(ΦA(W)) = PR1(W,A)dσ(W), где PR1(W,A) - ядро Пуассона в R1. Следовательно, (3.10) для всех точек A ∈ R1 и всех l,k,sl. Так как матрицы R и Qjl не зависят от W, то условие (3.10) будет выполняться и для компонент отображения т. е. . (3.11) Теперь в этом интеграле при помощи отображения (2.2) произведем замену U = Φ(W): , где - компонента отображения ψB(U) = (ψB1 (U),ψB2 (U)) = ϕA ◦ Φ-1 и ψB1 (U) = ϕ1A(Φ-1(U)) = -i(B1∗ - iE)[i(U1 - B1∗) + 2U2B2∗]-1(U1 - B1)(B1 + iE)-1, ψB2 (U) = ϕ2A(Φ-1(U)) = -i(B1∗ - iE)[i(U1 - B1∗) + 2U2B2∗]-1[U2 - (U1 + iE)(B1 + iE)-1B2]. Далее в силу [20, лемма 3.4]: PR1(Φ-1(U),Φ-1(B))dσ(Φ-1(U)) = P(U,B)dη(U), здесь P(U,B) - ядро Пуассона в области D (см. теорема 3.2): , где c = (-1)p2p-2p2. Тогда в условии (3.11) множество интегрирования будет меняться на G, откуда получим условие (3.12) для всех точек B ∈ D и всех В целях упрощения записи далее используем следующее обозначение . Докажем две вспомогательных леммы. Лемма 3.3. Если условие (3.12) выполнено для компонент отображения ψB(U), то: a) , (3.13) б) . (3.14) Доказательство. a). Имеем . Умножим первое равенство на i, а другое справа на и сложим полученные равенства: . Сделаем следующие преобразования в квадратной скобке подынтегрального выражения: iU1 - iB1∗ - (iB1 - iB1∗) + 2U2B2∗ - 2B2B2∗ + 2B2B2∗ - (U1 + iE)(B1 + iE)-12B2B2∗ = = δ(U,B) - δ(B,B) + [B1 + iE - (U1 + iE)](B1 + iE)-12B2B2∗ = = δ(U,B) - δ(B,B) - 2(U1 - B1)(B1 + iE)-1B2B2∗. Подставляя это на свое место, получим: . Так как второй интеграл равен нулю, то , и отсюда легко следует (3.13). б). Имеем . (3.15) Сделаем следующие преобразования: iU1 - iB1 = iU1 - iB1∗ - (iB1 - iB1∗) + 2U2B2∗ - - 2B2B2∗ - 2U2B2∗ + 2B2B2∗ = δ(U,B) - δ(B,B) + 2B2B2∗ - 2U2B2∗. Подставим это в (3.15): Следовательно, Так как последний интеграл согласно (3.13) равен нулю, отсюда следует (3.14). Введем следующий оператор дифференцирования: , где ¯b lij - элементы матрицы Bl∗, l = 1,2. Лемма 3.4. Справедливо равенство где Sp означает след матрицы. Доказательство. Вычисления показывают, что , где δ(U,B)s1k - алгебраическое дополнение к s1k-му элементу в матрице δ(U,B). Аналогично . Тогда Из лемм 3.3 и 3.4 согласно условию (3.12) получаем ∂F˜ (B) = 0, (3.16) где - интеграл Пуассона от функции f. Функция F(B) является вещественно-аналитической в области D. Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки -мерный единичный вектор, у которого на k-м месте стоит i, а 0 - (q - p)-мерный нулевой вектор: , где α,β - мультииндексы: . Тогда согласно (3.16) , т. е. все коэффициенты cα,β равны нулю при |β| > 0. Значит, все βkjl l = 0. Следовательно, функция F(B) голоморфна в области D и принадлежит классу H∞(D). Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3.4. Пусть f - непрерывная ограниченная функция на G. Если для функции f выполнено условие (3.5) для всех автоморфизмов, переводящих точку (iE,0) в точки из некоторого открытого множества V ⊂ D, тогда f голоморфно продолжается в D до функции F ∈ H∞(D), непрерывной вплоть до G. Обозначим ΔΨ = {Θ : Θ = Ψ(Ωt)}, где Ωt определяется как в (3.4), а Ψ - автоморфизм области D. Следствие 3.1. Пусть f -непрерывная и ограниченная функция на G. Предположим, что функция f голоморфно продолжается в аналитические диски ΔΨ для всех автоморфизмов, переводящих точку (iE,0) в точки из некоторого открытого множества V ⊂ D. Тогда функция f голоморфно продолжается в D до функции F ∈ H∞(D), непрерывной вплоть до G. Это следствие является аналогом для области D теоремы Стаута (см. [22]) о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения.