Голоморфное продолжение функций вдоль фиксированного направления (обзор)

Аннотация

В этой статье мы даем обзор наиболее весомых и важных результатов по голоморфным продолжениям функций вдоль фиксированного направления. Мы останавливаемся на следующих по характеру геометрических вопросах многомерного комплексного анализа: • голоморфное продолжение формальных рядов вдоль пучка прямых, теорема Форелли; • голоморфное продолжение функций, имеющих тонкую особенность вдоль фиксированного направления; • голоморфное продолжение функций вдоль семейства аналитических кривых.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2. Элементы теории плюрипотенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3. Сходимость формальных рядов Хартогса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4. Голоморфное продолжение функций, имеющих тонкую особенность вдоль фиксирован- ного направления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5. Голоморфное продолжение функций вдоль семейства аналитических кривых . . . . . . 137 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 1. ВВЕДЕНИЕ Классическая теорема Хартогса утверждает, что если функция голоморфна в поликруге и такова, что при каждом фиксированном функция голоморфная по zn в круге {|zn| < rn}, голоморфно продолжается в больший круг по совокупности переменных голоморфно продолжается в поликруг. Теорема Хартогса, доказанная в начале прошлого века, развивалась и обобщалась во многих направлениях. В литературе имеются богатый набор статей и монографий, содержащих такие обобщения и их применения в различных направлениях математики. В этой работе мы вкратце останавливаемся на следующих, наиболее весомых и важных частях дальнейшего продвижения теорем типа Хартогса: • голоморфное продолжение формальных рядов вдоль пучка прямых (теорема Форелли); • голоморфное продолжение функций, имеющих тонкую особенность вдоль фиксированного направления (теорема Чирки-Садуллаева); • голоморфное продолжение функций вдоль семейства аналитических кривых. Основным методом изучения рассматриваемых вопросов является теория плюрипотенциала, объекты и методы этой теории, такие как плюригармонические меры, функции Грина, емкости и др. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 127 Поэтому в разделе 2 мы коротко напомним основы теории плюрипотенциала (подробнее с этой теорией можно ознакомиться, например, в [6, 7, 9, 21]). 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПЛЮРИПОТЕНЦИАЛА Классическая теория потенциала основывается на субгармонических функциях и операторе Лапласа Δ. Построенная в 80-х годах теория плюрипотенциала, основанная на плюрисубгармонических (psh) функциях, связана с оператором Монжа-Ампера (ddcu)n, где, как обычно, . Теория построена благодаря исследованиям многочисленных авторов, успешно развивается и применяется в различных направлениях науки (см. [1-35] и библиографию). Для дважды гладкой функции u ∈ C2 (G), G ⊂ Cn, по определению k раз представляет собой дифференциальную форму бистепени (k,k). Нетрудно доказать, что , где - форма объема в пространстве Cn. Оператор (ddcu)k для произвольной ограниченной плюрисубгармонической функции, -M определяется в обобщенном смысле, в виде потока. Рекуррентное соотношение (2.1) где D(n-k,n-k) (G) - пространство бесконечно гладких финитных дифференциальных форм бистепени (n - k,n - k), определяет (ddcu)k как положительный поток бистепени (k,k). Фундаментальная теорема теории плюрипотенциала утверждает слабую сходимость потоков (ddcuj)k для монотонно убывающей локально ограниченной последовательности psh функций: если uj (z) ∈ . Это обстоятельство позволяет применять поток типа меры (ddcu)k в классе G L∞ таким же успехом, что и дифференциальную форму (ddcu)k в классе. Для подмножества E ⊂ G области G ⊂ Cn определим P-меру. Положим . Тогда регуляризация ω∗ (z,E,G) = lim ω (z,E,G) называется P-мерой множества E относительw→z но области G. Для содержательной теории обычно предполагают, что область G-регулярная, что существует функция ρ(z) ∈ psh(G) такая, что ρ|G < 0, lim ρ(z) = 0. При таком предположении P-мера ω∗ (z,E,G) либо нигде не равна нулю, - z→∂G , либо ω∗ (z,E,G) ≡ 0. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда E плюриполярно в G, т. е. существует плюрисубгармоническая функция такая, что σ|E ≡ -∞. В применениях, особенно в оценках голоморфных функций, часто используются следующая теорема о двух константах: если то (2.2) Неравенство (2.2) содержательно, когда E не является плюриполярным множеством, т. е. когда . Аналогично гармоническим функциям в классической теории потенциала, локально ограниченная плюрисубгармоническая функция называется максимальной функцией, если для нее оператор Монжа-Ампера (ddcu)n = 0. При n = 1 оператор Монжа-Ампера ddcu = 4Δudx ∧ dy. Следовательно, максимальные функции при n = 1 являются гармоническими, и поэтому они являются бесконечно гладкими. В отличие от классического случая n = 1, при n > 1 максимальные функции не обязательно гладкие; они могут быть даже разрывными. Тем не менее, имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Для любого компакта K ⊂ G плюрисубгармоническая функция ω∗ (z,K,G) является максимальной, (ddcω∗ (z,K,G))n = 0 в области G\K. Далее, функция ω (z,K,G), которая заведомо равна -1 в точках z ∈ K, при регуляризации, возможно, терпит скачок: в некоторых точках z0 ∈ K, может оказаться, что > -1. Такие точки называются (плюри)иррегулярными точками компакта K. Если совокупность иррегулярных точек, т. е. все точки компакта K плюрирегулярны, то K называется плюрирегулярным компактом. Плюрирегулярные компакты играют важную роль в теории плюрипотенциала. Для них справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Если K - плюрирегулярный компакт в плюрирегулярной области G ⊂ Cn, то P-мера ω∗ (z,K,G) является непрерывной функцией в G. Величина называется емкостью (K,G). Для открытого множества U ⊂ G его емкость определяется как C (U,G) = sup{C (K,G) : K ⊂ U, K - компакт}. И наконец, величина C∗ (E,G) = inf {C (U,G) : U ⊃ E, U - открытое} называется внешней емкостью произвольного множества E ⊂ G. Внешняя емкость C∗ (E,G) множества E ⊂ G неотрицательна, , причем она равна нулю, C∗ (E,G) = 0, тогда и только тогда, когда E - плюриполярное. Более того, функция множества C∗ (E,G) удовлетворяет всем условиям измеримости Шоке, и борелевские множества являются измеримыми относительно C (E,G): если E ⊂ G - борелевское множество, то его внутренняя и внешняя емкости совпадают, C∗ (E,G) = C∗ (E,G) = sup{C (K,G) : K ⊂ E, K - компакт}. В описаниях голоморфных оболочек большую роль играет функция Грина в Cn. Для множества E ⊂ Cn функция Грина V (z,E) определяется с помощью класса Лелона const}. Положим ; тогда регуляризация V ∗ (z,E) называется обобщенной функцией Грина, или просто функцией Грина. Функция либо принадлежит классу L, либо V ∗ (z,E) ≡ +∞. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда E является плюриполярным множеством. Функция V ∗ (z,E) является монотонной функцией по E : из E1 ⊂ E2 следует . Если открытое множество U ⊂ Cn представляется в виде объединения возрастающей последовательности компактов, , то V ∗ (z,U) = lim V ∗ (z,Kj). Для произвольного множества E ⊂ Cn существует убывающая последовательность открытых множествj→∞ . Для плюрирегулярных компактов K ⊂ Cn, V ∗ (z, K)|K ≡ 0, функция Грина является непрерывной во всем Cn. В этом случае открытое множество {V ∗ (z,K) < β} содержит внутри себя компакт K, K ⊂ {V ∗ (z,K) < β} ∀β > 0. Для любого полиномафункция Следовательно, справедливо неравенство Бернштейна-Уолша . (2.3) 1 | | - n, является соб- Совокупность всех функций видаln P (z) , где P (z) полиномы в C degP ственным подклассом L. Следовательно, . (2.4) На самом деле, в (2.4) имеет место знак равенства. Теорема 2.3. Для любого компакта K ⊂ Cn имеет место равенство полиномы. (2.5) Ниже нам понадобится также функция Грина круговых компактов. Пусть K ⊂ Cn - круговой компакт, т. е. с каждой точкой z0 ∈ K компакт K содержит все точки вида eiφz0, φ ∈ R. Из (2.5) вытекает, что функция Грина V (z,K) кругового компакта K совпадает с функцией Грина полиномиальной выпуклой оболочки K,ˆ которая является полным круговым компактом. Теорема 2.4. Пусть K ⊂ Cn - круговой компакт. Тогда полиномы = однородные полиномы. Доказательство. Доказательство теоремы проводим в два шага. Шаг 1 (см. [6, 7]). Для кругового компакта K ⊂ Cn полиномиально выпуклая оболочка Kˆ совпадает с выпуклой оболочкой K˜ относительно однородных полиномов. В самом деле, для этого нужно показать, что если z0 ∈ K,˜ т. е. еслидля всех однородных полиномов Q, то это неравенство выполняется и для всех полиномов . Фиксируем полином такой, что. Для любой комплексной прямой l, заданной формулой z = λξ, где λ ∈ Cn фиксирована, - параметр, пересечение представляет собой круг. Применяя неравенство Коши для сечения , мы получим Отсюда , что эквивалентно неравенству . Следовательно, и при фиксированном σ < 1 справедливо . Это неравенство выполняется для любого полинома R такого, что, в частности, для Pk, k ∈ N, т. е., или . Устремив сначала k → ∞, а затем σ → 1, получаем . Шаг 2. Достаточно доказать теорему для полиномиально выпуклого компакта Kˆ = K. Положим - однородные полиномы. Тогда с одной стороны. С другой стороны, фиксируем число ε > 0, точку z0 ∈ Cn\K и находим полином, такой, что (2.6) Рассматривая сечения на комплексные прямые l вида z = λξ, λ ∈ Cn, ξ ∈ C, как выше, по неравенствам Коши мы получаем, что Из вытекает, что хотя бы для одного и (2.7) Так как Следовательно, согласно (2.7), . Здесь ε > 0 мы можем взять сколь угодно маленькой, а- сколь угодно большой. Отсюда, и вместе с получаем, что VO (z,K) = V (z,K). Теорема доказана. Следствие 2.1. Если K - круговой компакт, принадлежащий замкнутому единичному шару , то . Доказательство. Действительно, для любого однородного полинома имеем Отсюда и, значит, Так как, согласно шагу 1 доказательства теоремы 2.4, имеет место K˜ = K,ˆ то . На самом деле, здесь вместо включения ⊃ будет знак равенства =, поскольку компакт, стоящий в правой части, является полиномиально выпуклым. Следствие 2.2 (ср. [18]). Если круговой компакт K принадлежит единичной сфере S (0,1), то полиномиально выпуклая оболочка Kˆ содержит шар . Доказательство. Вытекает из следствия 2.1. Следствие 2.3. Для кругового компакта K ⊂ Cn имеет место тождество expV (Rz,K) = Доказательство. В самом деле, можно считать, что K - полиномиально выпуклый, K = Kˆ и R > 1. Тогда для z /∈ Kˆ согласно теореме 2.4 - однородные полиномы = - однородные полиномы deg - однородные полиномы deg - однородные полиномы. т. е. expV (Rz,K) = RexpV (z,K) ∀z /∈ K.ˆ Следствие 2.4. Для кругового компакта K ⊂ Cn имеет место тождество expV (z,RK) = Доказательство. Действительно, считая опять K полиномиально выпуклым, K = Kˆ и R > 1, для z /∈ Kˆ согласно теореме 2.4 имеем expV (Rz,RK) = RexpV (z,RK), z /∈ RK. Очевидно, expV (Rz,RK) = expV (z,K). Отсюда expV (z,RK) = R-1 expV (z,K) ∀z /∈ RK.ˆ 3. СХОДИМОСТЬ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ ХАРТОГСА 1. Рассмотрим формальный ряд Хартогса , (3.1) где - голоморфные функции в некоторой области. Этот ряд- формальный в том смысле, что пока не понятно, где и как он сходится. Предположим, что при каждом фиксированном ряд сходится в круге . Мы предполагаем, что является максимальным радиусом сходимости, . Если ряд (3.1) равномерно сходится в некоторой окрестности плоскости {zn = 0}, т. е. сумма ряда голоморфна в окрестности {zn = 0}, то, как известно, голоморфно продолжается в область , где - нижняя регуляризация функции . Отметим, что , причем множество- плюриполярное. Без условия сходимости ряда (3.1) в некоторой окрестности плоскости {zn = 0} по совокупности переменных голоморфное продолжение функции в область типа (3.2), вообще говоря, не имеет места. Пример 3.1. Берем последовательность компактов arg , Тогда непрерывная на компакте Km функция ⎧⎨ 1 , если z1 ∈ Km1 , gm (z) = m! ⎩ m!, если z1 ∈ Km2 , равномерно на Km приближается полиномами, т. е. существует полином Pm (z1) такой, что . Ряд обладает тем свойством, что при любом фиксированном z10 таком, что , он сходится на всей плоскости |z2| < ∞, но его сумма f (z1,z2) не является голоморфной на множестве S = {|z1| < 1, argz1 = 0} ⊂ C2. Тем не менее, имеет место следующая теорема. Теорема 3.1 (см. [12, 35]). Рассмотрим ряд Хартогса с голоморфными в области коэффициентами Предположим, что радиус сходимости ряда положителен при каждом фиксированном т. е. Тогда существует нигде не плотное замкнутое множество такое, что а). -); б). сумма ряда голоморфна по совокупности переменных в . Отметим, что без условия теорема 3.1, вообще говоря, не верна. Пример 3.2. Пусть - замкнутый единичный круг на комплексной плоскости Cz1. Берем последовательность полиномиально выпуклых компактов arg . Тогда Более того, компакты полиномиально выпуклы. Положим m!, если z1 ∈ Fm gm (z1) = " 1 m!, если z1 ∈ K. По теореме Мергеляна эти функции равномерно на приближаются полиномами, т. е. существуют полиномы pm (z1) такие, что Рассмотрим формальный ряд . Этот ряд сходится на всей плоскости Cz2 для любой фиксированной точки z1 ∈ K, и его сумма голоморфна в {|z1| < 1}×Cz2. Но радиус сходимости ряда R(z1) = 0 для всех z1 ∈ C\K, и ряд не определяет голоморфную функцию в [Cz1\K] × Cz2. 2. Для формальных рядов на пучке комплексных прямых ситуация более естественная. Пусть на пучке комплексных прямых {l : z = λξ, λ ∈ Cn, ξ ∈ C} ≈ Pn-1 определен формальный ряд , (3.3) где ck (z) - однородные многочлены в Cn. Теорема 3.2 (см. [7]). Если для каждой комплексной прямой из некоторого пучка ⊂ {l : z = λξ, λ ∈ Cn, ξ ∈ C} ряд (3.3) сходится в круге , то этот ряд сходится в открытом множестве . Здесь. Доказательство. В самом деле, без нарушения общности считаем, что совпадает с совокупностью всех комплексных прямых l, для которых ряд (3.3) сходится в круге. Фиксируем ε > 0 и положим при . По неравенствам КошиСледовательно, по неравенству Бернштейна-Уолша имеем В частности, для что эквивалентно неравенству Отсюда вытекает, что однородный ряд сходится в . Отметим, что множество FN является замкнутым круговым компактом на сфере S (0,1), причем Следовательно, устремив сначала N → ∞, а затем ε → 0, мы получаем сходимость ряда внутри открытого множества : . Замечание 3.1. Если f (z) - какая-либо функция, бесконечно гладкая в окрестности нуля, f (z) ∈ C∞ {0}, то ей соответствует формальный степенной ряд , (3.4) где I = (i1,i2,...,in) и J = (j1,j2,...,jn) - мультииндексы, |I| = i1 + i2 + ... + in, |J| = j1 + j2 + . Перепишем ряд в (3.4) в виде . (3.5) Если сужение функции f (z) на каждую комплексную прямую {l : z = wξ, w ∈ Cn, ξ ∈ C} ⊂ Pn-1 голоморфно продолжается в единичный круг, то последний ряд в (3.5) обращается в нуль, ∞ , и по теореме 3.2 получаем голоморфность функции в шаре B (0,1) ⊂ Cn. т. е. Таким образом, мы приходим к прекрасной теореме Форелли. Теорема 3.3 (теорема Форелли [27]). Если f -бесконечно гладкая функция в точке 0 и сужение f|l голоморфно в круге для всех комплексных прямых голоморфно продолжается в шар . Замечание 3.2. 1). Для функции теорема 3.2 неприменима, хотя сужение функции голоморфно для всех комплексных прямых не определяет формальный степенной ряд (3.4)). 2). Функция на комплексных прямых образует неплюриполярное множество в проективном пространстве P1, теорема 3.2 здесь неприменима. Для применения теоремы 3.2 к формальным рядам по z и по z¯ нужно потребовать, чтобы множество было неполярным в смысле вещественного анализа. Теорему 3.2 можно доказать в общей форме, когда для комплексной прямой не требуется сходимость ряда (3.3) в круге , а требуется его сходимость в произвольном круге . Имеет место следующая основная теорема. Теорема 3.4. Пусть дан пучок комплексных прямых, проходящих через нуль. Если для каждой комплексной прямой сужение ряда (3.3) сходится в круге , то этот ряд сходится в открытом множестве . Здесь. Доказательство. Доказательство проведем в несколько шагов, предполагая первоначально для определенности, что - это множество всех комплексных прямых, для которых rl > 0, т. е. . фиксируем числа N ∈ N, r > 0 и 0 < ε < r. Положим и обозначим при . По неравенствам Коши Это эквивалентно тому, Так как FN,r,ε - круговой компакт, то отсюда = 0,1,... Следовательно, , и по неравенству Бернштейна-Уолша |ck (z)| В частности, для , что эквивалентно неравенству Отсюда вытекает, что однородный ряд сходится в . Устремив сначала N → ∞, а затем ε → 0, мы получаем сходимость ряда внутри открытого множества , где . При r ↓ 0 множество Er, возрастая, сходится к E. Следовательно, и ряд равномерно сходится внутри открытого множества . 2. Ряд (3.3) сходится в круге переменного радиуса . Сделаем преобразование z = Rw. Соответствующий ряд обладает тем свойством, что его сужение на сходится в круге радиуса. Тогда из сказанного выше следует, что этот ряд сходится в открытом множестве . Следовательно, ряд сходится в открытом множестве . Но согласно следствию 2.4 из теоремы 2.4, функция Грина . Следовательно, ряд сходится в открытом множестве , где . 3. Рассмотрим общий случай: . Фиксируем R > 1 и обозначим ER = . Согласно пункту 2 доказательства, ряд сходится в открытом множестве . Теперь доказательство теоремы легко получается путем устремления R к бесконечности:. 4. ГОЛОМОРФНОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ТОНКУЮ ОСОБЕННОСТЬ ВДОЛЬ ФИКСИРОВАННОГО НАПРАВЛЕНИЯ Начнем со следующей теоремы, опубликованной в совместной с Е.М. Чиркой статье [13]. Теорема 4.1. Пусть функция голоморфна в поликруге и при каждом фиксированном a из некоторого неплюриполярного множества функция переменного zn продолжается до функции, голоморфной на всей плоскости, за исключением некоторого полярного (дискретного) множества особенностей . Тогда f голоморфно продолжается в - замкнутое плюриполярное (аналитическое) подмножество. Трудным моментом доказательства теоремы является описание особого множества вне U; априори может быть всюду плотным в . Эти трудности преодолевается путем разложения функции в ряд Якоби-Хартогса по всевозможным рациональным функциям полином степени m > 0. (4.1) Далее в доказательстве существенно применяется теория плюрипотенциала, потенциальные свойства семейства плюрисубгармонических функций и псевдовогнутых множеств. Для формальных рядов на пучке прямых, т. е. для формальных рядов однородных многочленов , где ck (z) - однородные многочлены, справедлива следующая теорема (ср. пример 3.2). Теорема 4.2. Пусть дан неплюриполный пучок комплексных прямых , проходящих через нуль. Если для каждой комплексной прямой сужение ряда на комплексную прямую l сходится в круге радиуса rl > 0 и сумма этого ряда голоморфна на C, за исключением полярного (дискретного) множества, то ряд определяет в пространстве Cn голоморфную функцию за исключением, быть может, некоторого плюриполярного (аналитического) множества S ⊂ Cn. Доказательство. Согласно теореме 3.4 ряд сходится в открытом множестве , где . Сумма этого ряда является голоморфной функцией в G. По условию теоремы 4.2 множество E не является плюриполярным. Следовательно, и область G содержит точку 0. Рассмотрим стандартное преобразование в пространстве Cn: π : (z1,z2,...,zn-1,zn) → (z1zn,z2zn,...,zn-1zn,zn), при котором вертикальные комплексные прямые , переходят в пучок прямых . Поэтому функция , обладает свойством голоморфности по совокупности переменных в некоторой окрестности плоскости {zn = 0}, и при каждом фиксированном функция, голоморфно продолжается на всю плоскость Czn за исключением полярного (дискретного) множества. По теореме 4.1 функция голоморфно продолжается в Cn\S, где S ⊂ Cn - плюриполярное (аналитическое) множество. Отсюда функция f (z) = π ◦ f (z) голоморфно продолжается в [Cn\{zn = 0}]\π (S), где π (S) - плюриполярное (аналитическое) множество в Cn\{zn = 0}. Выше мы рассматривали преобразование π : (z1,z2,...,zn-1,zn) → (z1zn,z2zn,...,zn-1zn,zn), выделяя координату ozn. Если мы проделаем эту процедуру для каждого индекса k = n,n-1,...,1, то получим, что функция f (z) голоморфно продолжается в [Cn\{zk = 0}]\Ak, где Ak - плюриполярное (аналитическое) множество в Cn\{zk = 0}. Отсюда легко вытекает, что f (z) голоморфно продолжается в Cn\A, где A - плюриполярное (аналитическое) множество в Cn. 5. ГОЛОМОРФНОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВДОЛЬ СЕМЕЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ КРИВЫХ Вариация теоремы Хартогса в смысле замены координатных прямых семействами аналитических кривых, пожалуй, впервые рассмотрена в работе Е.М. Чирки [15]. Приведем три утверждения из этой работы, в которых продемонстрированы новые подходы в изучении функций, голоморфных на голоморфных слоениях: 1). Пусть в области Ω ⊂ Cn даны n линейно независимых расслоений , голоморфными кривыми Sξj, j = 1,2,... ,n. Если функция f локально ограничена в Ω и все сужения f|Sξj являются голоморфными, то f голоморфна в Ω. Доказательство этого утверждения основывается на том факте, что при указанных условиях f является липшицевой функцией, имеющей локально ограниченный дифференциал df почти всюду в Ω, причем ∂f¯ = 0. 2). Пусть область Ω ⊂ D × Ckw, D ⊂ Cmz , расслоена голоморфными графиками Sξ так, что w = φξ (z). Если все сужения f|Sξ функции f (z,w)голоморфны на Sξ и f (c,w) голоморфны на является голоморфной в Ω. В доказательстве утверждения сначала с использованием теоремы Бэра находится открытая часть Ω1 ⊂ Ω, где f (z,w) ограничена, а затем с применением метода доказательства утверждения 1 доказывается голоморфность этой функции в Ω1. Далее, так как f (c,w) голоморфна на , то по классической лемме Хартогса заключается, что f (z,w) голоморфна в Ω. Следующее утверждение является криволинейным аналогом классической леммы Хартогса. 3). Пусть область Ω ⊂ D×Ckw, D ⊂ Cmz , 0 ∈ D, как в утверждении 2, расслоена голоморфными графиками Sξ так, что w = φξ (z). Если все сужения f|Sξ функции f (z,w) голоморфны на Sξ и f (z,w) голоморфна по совокупности переменных в некоторой окрестности является голоморфной функцией в Ω. Отметим, что теорема Форелли (см. раздел 3) является своеобразным вариантом теоремы Хартогса. В работе [15] Е.М. Чирка показал также справедливость криволинейного аналога теоремы Форелли при n = 2. Дальнейшие вариации теоремы Хартогса, а также теоремы Форелли получены в работах [28, 29, 31] К.-Т. Кима, Е. Полецкого, Г. Шмалза, Ж.-Ч. Жу. Теорема 5.1 (см. [31]). Если функция f : B (0,1) → C -бесконечно гладкая в точке 0, f ∈ C∞ (0), и голоморфна вдоль интегральных аналитических кривых векторного поля n ∂ , где αj -константы, голоморфна в B (0,1). Теорема 5.2 (см. [28]). Пусть область , расслоена гладким радиальным в точке 0 семейством аналитических кривых {Sξ}, ξ ∈ Pn-1, 0 ∈ Sξ так, что . Если функция f ∈ C∞ {0} обладает тем свойством, что все ее сужения f|Sξ голоморфны на Sξ, то f голоморфно продолжается в Ω. В этом разделе мы изучаем голоморфное продолжение формального ряда из однородных многочленов, который голоморфен вдоль заданного семейства аналитических кривых, проходящих через нуль. При этом на семейство аналитических кривых не накладываются какие-либо другие условия. Начнем со следующей леммы, которая имеет и самостоятельное значение. Лемма 5.1. Ряд вида, где ak (ξ) ∈ O (U), k = 0,1,... , сходится равномерно внутри круга U : |ξ| < 1 тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 . (5.1) Доказательство. В самом деле, если выполняется (5.1), то при фиксированном ε > 0 найдется k0 такое, что . Следовательно, |(1 + ε)ξ|k и ряд сходится равномерно в круге И наоборот, если ряд сходится в круге равномерно, то Отсюда. Замечание 5.1. Если неравенство выполняется поточечно при фиксированных ξ ∈ U, то существует всюду плотное открытое множество U˜ ⊂ U, внутри которого ряд сходится равномерно. В самом деле, положим Тогда Fm - замкнутые подмножества U и U = является всюду плотным в U, а ряд равномерно сходится внутри U.˜ Следующая теорема является ключевой в исследовании голоморфных функций многих переменных вдоль фиксированных кривых. Пусть A = {z = p(ξ), |ξ| < 1} - аналитическая кривая, где p(ξ) = (p1 (ξ),...,pn (ξ)) - голоморфная в единичном круге U : |ξ| < 1 вектор-функция, p(0) = 0. Положим. Теорема 5.3. Предположим, что A ⊂ Cn -аналитическая кривая, проходящая через нуль, 0 ∈ A, такая, что ряд из однородных полиномов , где ck (z) -однородный полином степени k, сходится на множестве A. Тогда. Доказательство. Действительно, пусть A : {z = p(ξ)} - аналитическая кривая, проходящая через - голоморфная в единичном круге U : |ξ| < 1 вектор-функция, p(0) = 0. Предположим, что сходится в круге |ξ| < 1. Запишем , где ck (ξpk(ξ)) - голоморфные функции в единичном круге |ξ| < 1. Ясно, что ряд сходится равномерно в круге |ξ| < 1 - ε, ε > 0. Следовательно, согласно лемме 5.1 1. Отсюда . Основным результатом раздела 4 является следующая теорема. Теорема 5.4. Пусть дано произвольное семейство ℵ = {Aα, α ∈ Λ} аналитических кривых Aα: z = pα (ξ), ξ ∈ U, pα (0) = 0. Если ряд из однородных полиномов , где ck (z) -однородный полином степени k, сходится на каждом множестве Aα, α ∈ Λ, то этот ряд сходится равномерно внутри шара , (5.2) Здесь - нижняя постоянная Робена множества E. Следствие 5.1. В условиях теоремы 5.4, если множество не является плюриполярным в Cn, то формальный ряд имеет сумму f (z), голоморфную в непустом шаре . Замечание 5.2 (см. раздел 3). Если f (z) ∈ C∞ {0}, то ей соответствует формальный степенной ряд , (5.3) где I = (i1,i2,...,in) и J = (j1,j2,...,jn) - мультииндексы,= j1 + . Если сужения голоморфны и множество не является R2n-полярным, то второй ряд в (5.3) обращается в нуль. Поэтому, применяя теорему 5.4 в этом случае, мы получаем, что функция f является голоморфной в некоторой окрестности нуля. Доказательство теоремы 5.2. Фиксируем число 0 < ε < 1. Согласно теореме 5.1 имеет место для каждого . Для каждого фиксированного j ∈ N положим и . Тогда По непрерывности это неравенство верно вплоть до замыкания По неравенству Бернштейна-Уолша Отсюда следует, что при фиксированном радиусе R > 0 и для произвольного z ∈ Cn имеем неравенство При из этого неравенства мы получаем, что (5.4) Из (5.4) вытекает, что ряд равномерно сходится в шаре (5.5) Устремив сначала j → ∞, а затем ε → 0, мы из (5.5) получаем, что ряд равномерно k сходится в шаре Теорема доказана. Замечание 5.3. Как видно из доказательства теоремы 5.4, область сходимости ряда f (z) = может быть больше, чем шар (5.2), если мы воспользуемся оценками однородных полиномов в круговых областях.