Системы матричных дифференциальных уравнений для поверхностей

Аннотация

Установлены необходимые и достаточные условия эквивалентности поверхностей относительно действия специальной псевдоортогональной группы.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Дифференциальные уравнения для SO(n,p,C)-эквивалентных поверхностей . . . . . . 73 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть Cn - комплексное n-мерное линейное пространство, и пусть GL(n,C) - группа всех обратимых линейных преобразований в Cn. Элементы из Cn представляются в виде n-мерных векторстолбцов , а преобразования g ∈ GL(n,C) в виде n × n-матриц , где xi, gij ∈ C, i,j = 1,...,n. Действие g ∈ GL(n,C) на векторопределяется как умножение матрицы g на вектор-столбец -→x (запись: g-→x ). C∞-дифференцируемое отображение x : (0,1) × (0,1) → Cn называется элементарной по-→- верхностью. Если G - подгруппа группы GL(n,C), то две элементарные поверхности y (s,t) и →-x (s,t) называют G-эквивалентными, если →-y (s,t) = g-→x (s,t) для некоторого g ∈ G и любых (s,t) ∈ (0,1) × (0,1). Одной из важных задач в дифференциальной геометрии является проблема нахождения удобных критериев для эквивалентности элементарных поверхностей. Одним из эффективных методов при решении такой задачи является использование инструментов теории дифференциальных инвариантов. В настоящей работе задача G-эквивалентности элементарных поверхностей для специальной псевдоортогональной группы SO(n,p,C) переформулируется в терминах дифференциальной алгебры, что позволяет использовать алгебраический подход для решения этой задачи. Такой подход применялся при получении необходимых и достаточных условий G-эквивалентности поверхностей в случае действий общей линейной, специальной линейной, ортогональной, псевдоортогональной и симплектической групп (см. [1, 4, 5, 9]). Кроме того, описываются системы дифференциальных уравнений, решения которых восстанавливают поверхности с точностью до их эквивалентности относительно действия специальной псевдоортогональной группы SO(n,p,C). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 70 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Для каждой элементарной поверхности через обозначим n×n-матрицу -ый столбец имеет координаты, i,j = 1,...,n, при этом считается, что для всех j = 1,...,n, s,t ∈ (0,1). Через обозначается матрица, а через - матрица Всюду в дальнейшем рассматриваются только регулярные поверхности, т. е. элементарные поверхности -→x (s,t), для которых определитель при всех s,t ∈ (0,1). Пусть O(n,C) (соответственно, O(n,p,C)) ортогональная (соответственно, псевдоортогональная) подгруппа в GL(n,C), т. е. O(n,C) = {g ∈ GL(n,C) : gT g = e} (соответственно, O(n,p,C) = {g ∈ GL(n,C) : gT epg = ep}), где gT - транспонированная матрица g, e - единица группы GL(n,C), ep = (epij)ni,j=1 - матрица , для которой epii = 1 при i = 1,2,... ,p, epii = -1 при i = p + 1,...,n, epij = 0 при 1}. (соответственно SO(n,p,C)) обозначим специальную ортогональную (соответственно, специальную псевдоортогональную) подгруппу в GL(n,C), т. е. SO(n,C) = {g ∈ O(n,C) : detg = 1} (соответственно, SO(n,p,C) = {g ∈ O(n,p,C) : detg = 1}). Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия G-эквивалентности регулярных поверхностей -→x (s,t) и -→y (s,t) с помощью матриц Ms(-→x ) и Ms(-→y ), в случае, когда G = SO(n,p,C). Теорема 2.1. Две регулярные поверхности -→x (s,t) и -→y (s,t) является SO(n,p,C)-эквивалентными тогда и только тогда, когда выполнены следующие равенства: ); ); c) MsT (-→x )(s,t)epMs(-→x )(s,t) = MsT (-→y )(s,t)epMs(→-y )(s,t); d) detMs(→-x )(s,t) = detMs(-→y )(s,t) для всех s,t ∈ (0,1). Доказательство. Пусть поверхности -→x (s,t) и →-y (s,t) - SO(n,p,C)-эквиваленты, т. е. существует такой элемент g ∈ SO(n,p,C), -→для которого верно равенство→- -→-→y (s,t) = g-→x (s,t). Следовательно, в силу определения матрицы Ms( x ) имеем, что Ms( y ) = gMs( x ). Покажем, что из этого равенства вытекает справедливость равенств a),b),c),d). Действительно, a). ); b). ); c). MsT (→-y )(s,t)epMs(-→y )(s,t) = (gMs(-→x )(s,t))T epgMs(-→x )(s,t) = = MsT (→-x )(s,t)gT epgMs(-→x )(s,t) = MsT (-→x )(s,t)epMs(→-x )(s,t); d). detMs(→-y )(s,t) = det(gMs(-→x )(s,t)) = detg · detMs(→-x )(s,t) = detMs(→-x )(s,t). Обратно, пусть для поверхностей -→x (s,t) и -→y (s,t) выполняются соотношения a),b),c),d). Заметим, что если A(s,t) = A - обратимая матрица, то из равенства A-1A = AA-1 = e вытекает, что AsA-1 + A(A-1)s = 0, откуда (A-1)s = -A-1AsA-1. Используя это равенство, соотношения a),b) переписываются, соответственно, в виде: = 0; . Эти равенства означают, что Ms(-→y ) · Ms(-→x )-1 = g = (gij)ni,j=1 ∈ GL(n,C). Следовательно, Ms(-→y (s,t)) = gMs(-→x (s,t)), в частности, →-y (s,t) = g-→x (s,t) для всех s,t ∈ (0,1). Далее, в силу равенства c) имеем, что gT epg = (Ms(-→y )Ms(-→x )-1)T epMs(→-y )Ms(-→x )-1 = ep, т. е. gT epg = ep. Это означает, что g ∈ O(n,p,C). Используя теперь равенство d), получим, что detMs(-→y ) = det(gMs(→-x )) = detg · detMs(→-x ), что влечет равенство detg = 1. Следовательно, g ∈ SO(n,p,C). Теорема 2.1 доказана. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ SO(n,p,C)-ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Пусть регулярная поверхность в Cn, и пусть , s,t ∈ (0,1). Для вычисления обратной матрицы (Ms(→-x )(s,t))-1 через Mij(s,t) обозначим минор порядка (n - 1), получающийся после вычеркивания из определителя detMs(→-x )(s,t) i-ой строки и j-го столбца. Пусть A˜ij(s,t) - алгебраическое дополнение элемента ∂j-∂s1xji-(s,t1 ) матрицы Ms(→-x )(s,t), т. е. A˜ij(s,t) = (-1)i+jMji(s,t). Элементы αij(s,t) обратной матрицы (Ms(-→x )(s,t))-1 имеют вид Следовательно, элемент aij(s,t) матрицы вычисляется с помощью равенства , где и Таким образом, произведение имеет следующий вид: где - комплекснозначные бесконечно дифференцируемые функции, (s,t) ∈ (0,1) × (0,1), i = 1,...,n, вычисляемые по формулам 1; ; означает детерминант матрицы, у которой столбцами являются векторы Из этих равенств вытекает, что числовая функция удовлетворяет равенствам , т. е. для всех s,t ∈ (0,1). Кроме того, для невырожденной матрицы C = MsT (-→x )epMs(→-x ) следует, что четно, det C = -d2,(n - p) - нечетно. Рассмотрим следующую систему матричных дифференциальных уравнений: (3.1) . где - неизвестная n × n-матрица, - заданные фиксированные n×n-матрицы, s,t ∈ (0,1) (предполагается, что функции aij(s,t) и bij(s,t) являются C∞-дифференцируемыми). Решение X(s,t) системы (3.1) называется невырожденным, если для всех s,t ∈ (0,1). Два решения X0(s,t) и X1(s,t) называют SO(n,p,C)-эквивалентными, если X1(s,t) = gX0(s,t) для некоторого g ∈ SO(n,p,C). Вместе с системой (3.1) рассмотрим также следующую систему равенств: , где C(s,t) = (cij(s,t))ni,j=1 = CT (s,t), а cij(s,t), d(s,t) - C∞-дифференцируемые функции, при всех s,t ∈ (0,1). Теорема 3.1. Пусть невырожденные матрицы A(s,t), B(s,t), C(s,t) удовлетворяют следующим условиям: (i). ⎛ 10 A(s,t) = ⎜⎜⎜⎜⎝···00 0 0 1 ···0 0 0 0 ···0 ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ···1 a1n(s,t)⎞ a2n(s,t) a3n(s,t)⎟⎟⎟⎟⎠; ··· ann(s,t) (ii). At(s,t) + B(s,t)A(s,t) = Bs(s,t) + A(s,t)B(s,t), где; (iii). Cs(s,t) = AT (s,t)C(s,t) + C(s,t)A(s,t), где ; (iv). Ct(s,t) = BT (s,t)C(s,t) + C(s,t)B(s,t), где, и пусть C∞-дифференцируемая функция d(s,t) удовлетворяет равенствам ; ; (vii). d2(s,t) = detC(s,t). Тогда система уравнений (3.2) имеет невырожденное решение. При этом решение системы (3.2) единственно с точностью до SO(n,p,C)-эквивалентности. Доказательство. В силу условия At - Bs = AB - BA (см. условие (ii)) система (3.1) имеет невырожденное решение X0(s,t) (см., например, [2, § 7]). Покажем, что всякое другое решение X1 = X1(s,t) системы (3.1) имеет вид X1 = gX0, где g ∈ GL(n,R). Действительно, используя (3.1), имеем (X1(s,t)X0-1(s,t))s = (X1(s,t))sX0-1(s,t) + X1(s,t)(X0-1(s,t))s = (X1(s,t))sX0-1(s,t) + + X1(s,t)(-X0-1(s,t)X0s(s,t)X0-1(s,t)) = (X1s(s,t) - X1(s,t)X0-1(s,t)X0s(s,t))X0-1(s,t) = = (X1(s,t)A(s,t) - X1(s,t)A(s,t))X0-1(s,t) = 0. Аналогичным образом получаем (X1(s,t)X0-1(s,t))t = (X1(s,t))tX0-1(s,t) + X1(s,t)(X0-1(s,t))t = (X1(s,t))tX0-1(s,t) + + X1(s,t)(-X0-1(s,t)X0t(s,t)X0-1(s,t)) = (X1t(s,t) - X1(s,t)X0-1(s,t)X0t(s,t))X0-1(s,t) = = (X1(s,t)B(s,t) - X1(s,t)B(s,t))X0-1(s,t) = 0. Поэтому X1X0-1 = g ∈ GL(n,C), т. е. X1 = gX. Таким образом, все матрицы {gX = gX0(s,t) : g ∈ GL(n,C)} (3.3) также является решениями системы (3.2). Если X = (xjk(s,t))nj,k=1 - решение системы (3.1), Xs = (xjk(1) (s,t))nj,k=1, то учитывая вид матрицы A (см. условие (i)) и записав первое уравнение системы (3.1) в виде Xs = XA, получим (3.4) ⎪ Это означает, что решение X = (xjk(s,t))nj,k=1 системы (3.1) имеет вид X = Ms(-→x ), где -→x = (x11(s,t),... ,xn1(s,t)). Пусть теперь X(s,t) невырожденное решения системы (3.1), и пусть W = (XT )-1CX-1. Ясно, что матрица W является невырожденной и симметрической. Поскольку X(t) является решением системы (3.1), то из условия (iii) следует, что Аналогичным образом устанавливается, что Следовательно, (XT )-1CX-1 = (hij)ni,j=1 = h ∈ GL(n,C), в частности, XT hX = C. (3.5) Из разложения Такаги для невырожденной симметричной матрицы h (см., например, [7, гл. 4, § 4.4]) имеем, что h = UT DU, где U - унитарная матрица, D = diag(λ1,...,λn) - диагональная матрица с элементами λj > 0, j = 1,...,n. Взяв , где i2 = -1, и положив g = DpU ∈ GL(n,C), получим, что D = DpT epDp и Таким образом, для Y = gX с учетом (3.4) имеем, что Y T epY = XT gT epgX = XT hX = C. Отсюда и из (3.3) следует, что Y является невырожденным решением системы (3.6) ⎪⎩X epX = C. Если X(s,t) - невырожденное решение системы (3.4), g ∈ O(n,p,C) и Y (s,t) = gX(s,t), то и , при этом Y T (s,t)epY (s,t) = XT (s,t)gT epgX(s,t) = XT (s,t)epX(s,t) = C(s,t). Это означает, что Y (s,t) также является невырожденным решением системы (3.6). Таким образом, для системы (3.5) существует единственное с точностью до O(n,p,C)-эквивалентности невырожденное решение X(s,t) = (xij(s,t))ni,j=1. Легко убедиться, что для системы уравнений (3.2) выполнены следующие соотношения: . Обозначая u(s,t) = detX(s,t), получим, что ds(s,t)u(s,t) - d(s,t)us(s,t) · u(s,t) 2(s,t) d(s,t) = 0 u и аналогично dt(s,t)u(s,t) - d(s,t)ut(s,t) · u(s,t) 2(s,t) d(s,t) = 0. u Следовательно, d = const = λ, u или d = λdetX(s,t) для некоторой константы . Так как XT (s,t)epX(s,t) = C(s,t) и XT (s,t)JX(s,t) = C(s,t), то при четном (n - p), detC(s,t) = -u2(s,t) при нечетном (n - p). Следовательно, u2(s,t) = d2(s,t) = λ2u2(s,t), что влечет равенство λ = ±1. Поскольку для любого g ∈ O(n,p,C) верно равенство gT epg = ep, то detg = ±1. Поэтому всегда найдется такое g ∈ O(n,p,C), что detg = λ. Следовательно, для Y (s,t) = gX(s,t) имеем, что , т. е. Y (s,t) является невырожденным решением системы (3.2). Пусть X(s,t) - одно из этих решений, тогда Y (s,t) = gX(s,t) будет общим решением этой системы тогда и только тогда, когда g ∈ SO(n,p,C). Действительно, если X и Y - два невырожденных решения системы (3.2), то как показано выше, Y = gX для некоторого g ∈ SO(n,p,C). Обратно, если g ∈ SO(n,p,C) и X(s,t) - фиксированное решение системы (3.2), то для Y (s,t) = gX(s,t) имеем, что detY (s,t) = detg · detX(s,t) = detX(s,t) = det(s,t), т. е. Y (s,t) - также решение системы (3.1). Теорема 3.1 доказана. Следствие 3.1. Пусть X0(s,t) - невырожденное решение системы (3.2). Тогда совокупность всех невырожденных решений системы (3.2) совпадает с множеством {gX0(s,t) : g ∈ SO(n,p,C)}. Для каждой элементарной поверхности рассмотрим n × n-матрицу , где для всех j = 1,...,n, и положим . Элементарная поверхность -→x (s,t) называется регулярной, если при всех s,t ∈ (0,1). Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда: (i). для любого невырожденного решения системы уравнений (3.2) существует регулярная поверхность , для которой Ms(-→x (s,t)) = X(s,t) при всех s,t ∈ (0,1); (ii). существует единственная с точностью до SO(n,p,C)-эквивалентности регулярная поверхность -→x (s,t), для которой матрица Ms(-→x (s,t)) является решением системы (3.2). Доказательство. (i). Если X(s,t) = (xij(s,t))ni,j=1 - невырожденное решение системы (3.2), то в силу равенств (3.4) имеем, что ∂xji ∂s (s,t) = xj(i+1)(s,t), т. е. ∂xj1 xij(s,t) = ∂si-1 (s,t) для всех j = 1,...,n, i = 1,...,n. Следовательно, для регулярной поверхности →-x (s,t) = верно равенство Ms(→-x (s,t)) = X(s,t) для всех s,t ∈ (0,1). (ii). Пусть →-x (s,t) и →-y (s,t) - две регулярные поверхности, для которых матрицы Ms(-→x (s,t)) и Ms(-→y (s,t)) является решениями системы (3.2). Согласно теореме 3.2, существует такое g ∈ SO(n,p,C), что Ms(→-y (s,t)) = -→gMs(→-x (s,t→-)), в частности, -→y (s,t) = g→-x (s,t) для всех s,t ∈ (0,1). Это означает, что поверхности x (s,t) и y (s,t) являются SO(,p,C)-эквивалентными. Замечание 3.1. Варианты теорем 3.1 и 3.2 для C∞-дифференцируемых путей были получены раннее в монографии [6, гл. 4, § 4.3].