Статистическая эргодическая теорема в симметричных пространствах для бесконечных мер

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 2. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 3. Статистическая эргодическая теорема и порядковая непрерывность нормы . . . . . . . . 658 4. Критерий справедливости статистической эргодической теоремы . . . . . . . . . . . . . 662 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 1. ВВЕДЕНИЕ Известная статистическая эргодическая теорема для линейных сжатий T рефлексивного банахова пространства утверждает, что средние Чезаро сходятся сильно в X [14, глава III, §3], т. е. для любого x ∈ X существует такое при n → ∞. Полезными примерами, иллюстрирующими статистическую эргодическую теорему, являются банаховы пространства , всех действительных измеримых функций f, заданных на измеримом пространстве (Ω,A,μ) с σ-конечной мерой μ, для которых (равные почти всюду функции отождествляются). При 1 < p < ∞ пространства Lp(Ω) рефлексивны, и поэтому средние Чезаро An(T) сходятся сильно в Lp(Ω) для любого линейного сжатия T : Lp(Ω) → Lp(Ω). В случае пространств L1(Ω) и L∞(Ω) статистическая эргодическая теорема, вообще говоря, уже неверна. Важными примерами линейных операторов, для которых верна статистическая эргодическая теорема, являются абсолютные линейные сжатия, т. е. такие линейные операторы T : L1(Ω) → © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 654 L1(Ω), для которых для всех для всех f ∈ L1(Ω) ∩ L∞(Ω). Каждое абсолютное линейное сжатие T естественным образом продолжается до линейного сжатия в пространстве Lp(Ω) [16, гл. II, §4] (это продолжение также обозначается через T), и поэтому средние Чезаро An(T) сходятся сильно в Lp(Ω) при 1 < p < ∞. Эргодические свойства абсолютных линейных сжатий в пространствах Lp(Ω) рассматривались в [15, 17]. Каждое абсолютное линейное сжатие T однозначно определяет линейный оператор , для которого сужение на L1(Ω) совпадает с оператором T (см. [7, теорема 3.1]). При этом для всех f ∈ L1(Ω) и для всех f ∈ L∞(Ω). (1.1) Линейный оператор T : L1(Ω)+L∞(Ω) → L1(Ω)+L∞(Ω), удовлетворяющий неравенствам (1.1), называют оператором Данфорда-Шварца (запись: T ∈ DS). Если T ∈ DS, то T(E(Ω)) ⊂ E(Ω) и для любого точного интерполяционного в паре (L1(Ω),L∞(Ω)) симметричного пространства E(Ω) ⊆ L1(Ω)+L∞(Ω) (см. [16, гл. II, §4, раздел 2]). Примерами таких точных интерполяционных симметричных пространств служат функциональные пространства Орлича, Лоренца и Марцинкевича. Отметим также, что класс точных интерполяционных симметричных пространств для пары (L1(Ω),L∞(Ω)) совпадает с классом вполне симметричных пространств измеримых функций на (Ω,A,μ) (см. [16, гл. II, §4, теорема 4.3]). Естественно возникает задача об описании класса всех вполне симметричных пространств E(Ω), для которых сохраняется справедливость статистической эргодической теоремы при действии произвольного оператора Данфорда-Шварца T : E(Ω) → E(Ω). Известно, что в случае пространства Лебега (Ω,A,μ) с конечной непрерывной мерой средние Чезаро An(T) сходятся сильно во вполне симметричном пространстве E(Ω) для любого T ∈ DS в том и только в том случае, когда E(Ω) сепарабельно (см. [1, 2, 19, 20], [4, гл. 2, § 2.1, теорема 2.1.3]). Если же μ(Ω) = ∞, то уже в случае сепарабельного вполне симметричного пространства L1((0,∞),ν), где ν - обычная мера Лебега, существуют такие T ∈ DS, для которых статистическая эргодическая теорема неверна. В [11] показано, что необходимым и достаточным условием для справедливости статистической эргодической теоремы при действии произвольного оператора Данфорда-Шварца T : E(0,∞) → E(0,∞) во вполне симметричном пространстве E(0,∞) измеримых функций на ((0,∞),ν) является одновременное выполнение следующих двух требований: (i) E(0,∞) сепарабельно; . Основная цель настоящей работы есть установление аналогичного критерия справедливости статистической эргодической теоремы для действий произвольных сильно непрерывных в L1(Ω) полугрупп операторов Данфорда-Шварца во вполне симметричных пространствах измеримых функций, заданных на измеримом пространстве (Ω,A,μ) с σ-конечной непрерывной мерой. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с σ-конечной мерой. Через L0 = L0(Ω) обозначим алгебру всех классов равных почти всюду действительных измеримых функций на (Ω,A,μ), а через L0(μ) - подалгебру в L0, состоящую из тех функций f ∈ L, для которых μ({|f| > λ}) < ∞ при некотором λ > 0. Как обычно, через , обозначается классическое банахово функциональное пространство, снабженное стандартной нормой . Если f ∈ L0(μ), то невозрастающая перестановка μt(f) функции f определяется с помощью равенства (см., например, [6, ch. II, §1], [16, гл. II, §2]). Ненулевое линейное подпространство E ⊂ L0(μ) с банаховой нормойназывается симметричным пространством на (Ω,A,μ), если из условий для всех следует, что. Примерами симметричных пространств служат банаховы пространства , а также пространство L1 ∩ L∞ с нормой и пространство L1 + L∞ с нормой (см. [16, гл. II, §4]). Положим Rμ = {f ∈ L0(μ) : μt(f) → 0 при t → ∞}. Известно, что Rμ совпадает с замыканием подпространства и верно равенство Rμ = {f ∈ L0(μ) : μ{|f| > λ} < ∞ для всех λ > 0}. В частности, также есть симметричное пространство на (Ω,A,μ). Обозначим через Aν σ-алгебру всех измеримых по Лебегу множеств из (0,∞), а через ν - меру Лебега на (0,∞). Для любого симметричного пространства E = E(ν) на ((0,∞),Aν,ν) положим E(μ) = {f ∈ L0(μ) : μt(f) ∈ E}; . Известно, что есть симметричное пространство на (Ω,A,μ) (см., например, [16, гл. II, §8]). Это симметричное пространство обычно называют пространством, порожденным симметричным пространством E(ν). В случае, когда (Ω,A,μ) не имеет атомов (такие измеримые пространства называются неатомическими), каждое симметричное пространство порождается симметричным пространством , определенным равенствами E(ν) = {f ∈ L0(ν) : μt(f) = μt(g) для некоторого g ∈ E}; , где μt(f) = μt(g). Для любого симметричного пространства E всегда верны следующие непрерывные вложения [6, ch. 2, §6, Theorem 6.6]: . Обозначим через χA характеристическую функцию множества A ∈ A и положим 1 = χΩ. Если μ(Ω) < ∞, то 1 ∈ L∞ ⊂ E ⊂ L1 = Rμ. Следующее утверждение описывает класс симметричных пространств, содержащихся в Rμ (см. [7, Proposition 2.1]). Утверждение 2.1. Если μ(Ω) = +∞, то симметричное пространство E на (Ω,A,μ) содержится в Rμ в том и только в том случае, когда Если - симметричное пространство на (Ω,A,μ), то ассоциированное пространство (Kothe dual space¨ ) для определяется следующими равенствами: для всех g ∈ E}, . Известно (см., например [18, Сh. 7, § 7.1], что есть симметричное пространство на (Ω,A,μ). При этом E ⊆ E××, (L∞)× = L1, (L1)× = L∞, (L1 ∩ L∞)× = L1 + L∞, (L1 + L∞)× = L1 ∩ L∞. Определим в L0(μ) частичный порядок Харди-Литтлвуда-Полиа (Hardy, Littlewood, Polya) f ≺ g, полагая для всех s > 0. Ненулевое линейное подпространство с банаховой нормой называется вполне симметричным пространством на (Ω,A,μ), если из условий f ∈ E, g ∈ L0(μ), g ≺ f, следует, что . Любое вполне симметричное пространство является симметричным пространством. Обратное, вообще говоря, неверно (см. [16, гл. II, §5, теорема 5.11]). Примерами вполне симметричных пространств служат пространства . Как уже отмечалось во введении, линейный оператор T : L1 + L∞ → L1 + L∞ есть оператор Данфорда-Шварца (запись: T ∈ DS), если для всех для всех f ∈ L∞. Для каждого оператора T ∈ DS верны неравенства при всех f ∈ L1 + L∞ (см. [16, гл. II, §3, раздел 4]). В частности, отсюда вытекает, что T(E) ⊂ E и для любого вполне симметричного пространства E (см. [16, гл. II, §4, раздел 2]). Пусть - полугруппа операторов Данфорда-Шварца, действующая в симметричном пространстве L1 + L∞ (при t = 0 считаем, что T0(f) = I(f) = f есть тождественный оператор в L1 + L∞). Говорят, что полугруппа сильно непрерывна в L1, если при t → t0 для всех f ∈ L1. В этом случае для фиксированного f ∈ L1 и любого g ∈ L∞ функция непрерывна на R+ = [0,∞), и поэтому отображение Uf : R+ → L1, определенное равенством Uf(t) = Tt(f), является слабо ν-измеримым (см. [22, Ch. V, §4]). Поскольку образ Uf(R+) есть сепарабельное подмножество в L1, то, согласно теореме Петтиса (см. [22, Ch. V, §4]), отображение Uf сильно ν-измеримо, и следовательно, действительная функция также νизмерима на R+. Поэтому из неравенства следует, что неотрицательная функция интегрируема по Лебегу на отрезке [0,t] для каждого t > 0. Следовательно, L1-значная функция Ts(f) является ν-интегрируемой по Бохнеру на каждом отрезке [0,t], t > 0 (см. [22, Ch. V, §5, Theorem 1]). В частности, для любых f ∈ L1 и t > 0 существует интеграл , (2.1) при этом для всех для всех f ∈ L1 ∩ L∞. Следовательно, оператор At есть абсолютное линейное сжатие в L1 для каждого t > 0 (при t = 0 считаем, что A0(f) = I(f) = f есть тождественный оператор). Согласно [7, Theorem 3.2], для любого t 0 существует единственное расширение оператора At до оператора Данфорда-Шварца, действующего в L1 +L∞ (это расширение также будем обозначать через At). Операторы At ∈ DS обычно называют непрерывными средними сильно непрерывной в L1 полугруппы . Для таких непрерывных средних всегда верны равенства при каждом f ∈ L1 и включения At(E) ⊂ E для всех вполне симметричных пространств E на (Ω,A,μ). Известна следующая статистическая эргодическая теорема для сильно непрерывных в L1 полугрупп(см., например, [14, Ch. VIII, §7, Theorem 1, Corollary 3]). Теорема 2.1. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с σ-конечной мерой, и пусть - сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца. Тогда непрерывные средние сходятся сильно в каждом Lp(μ), 1 < p < ∞, при t → ∞, т. е. для любого f ∈ Lp(μ) существует такое, что . Отметим, что в случае μ(Ω) < ∞ утверждение теоремы 2.1 сохраняется и для пространства L1(μ) (см. [14, Ch. VIII, §7, Corollary 4]). 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ПОРЯДКОВАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ НОРМЫ В этом разделе доказывается, что для каждого вполне симметричного пространства на неатомическом измеримом пространстве (Ω,A,μ) с σ-конечной мерой μ, μ(Ω) = ∞, норма которого не является порядково непрерывной, всегда существует такая сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца, что непрерывные средние не сходятся сильно в , т. е. для полугруппы неверна статистическая эргодическая теорема в - два измеримых пространства с σ-конечными мерами. Отображение σ : Ω1 → Ω2 называется сохраняющим меру преобразованием , если σ-1(A) ∈ A1 и для любого A ∈ A2. Обозначим через supp(f) носитель функции f ∈ L0(Ω). Нам понадобится следующее важное свойство неатомических пространств с σ-конечной мерой. Теорема 3.1 (см. [6, Ch. 2, Corollary 7.6]). Если (Ω,A,μ) -неатомическое пространство с σконечной мерой, то для любого существует такое сюръективное сохраняющее меру преобразование σ : supp(f) → supp(μt(f)), что f(ω) = μt(f)(σ(ω)) для п.в. ω ∈ supp(f). Если в условиях теоремы 3.1 μ(supp(f)) = +∞ (это равенство выполняется, например, в случае, когда supp(f) = Ω), то supp(μt(f)) = (0,∞), и в этой ситуации отображение σ есть сюръективное сохраняющее меру преобразование из supp(f) на (0,∞). Пусть ∇1,∇2 - полные булевы алгебры. Булев гомоморфизм ϕ : ∇1 → ∇2 называется вполне аддитивным, если ϕ(supei) = supϕ(ei) для любого семейства {ei}i∈I попарно дизъюнктных элементов из ∇1. Каждый булев изоморфизмi∈I i∈I ϕ : ∇1 → ∇2 всегда вполне аддитивен. Обозначим через ∇μ полную булеву алгебру классов эквивалентности e = [A] равных почти всюду множеств из A ∈ A. Функция есть строго положительная σ-конечная счетноаддитивная мера на ∇μ (см., например, [21, Ch. I, §6]). В дальнейшем меру μ∇будем обозначать∇ также через μ, соответственно, алгебру L0(Ω) (пространство Lp(Ω)) через L0( μ) (Lp( μ), 1 p ∞). Если (Ωi,Ai,μi), i = 1,2 - два измеримых пространства с σ-конечными мерами и преобразование σ : Ω1 → Ω2 сохраняет меру, то отображение ϕ : ∇μ2 → ∇μ1, определяемое равенством ϕ([A]) = [σ-1(A)], A ∈ A2, есть булев гомоморфизм со свойством μ1(ϕ(e)) = μ2(e) для всех e ∈ ∇μ2 (в этом случае говорят, что булев гомоморфизм ϕ сохраняет меру). Теорема 3.2. Пусть (Ωi,Ai,μi) - измеримые пространства с σ-конечными мерами μi, i = 1,2, и пусть ϕ : ∇μ2 → ∇μ1 - инъективный вполне аддитивный булев гомоморфизм (изоморфизм), сохраняющий меру. Тогда существует такой инъективный гомоморфизм (изоморфизм) Φ из алгебры L0(∇μ2) в алгебру (на алгебру) L0(∇μ1), что (i) Φ(e) = ϕ(e) для всех e ∈ ∇μ2; (ii) Φ(L1(∇μ2)) ⊂ L1(∇μ1) и Φ(L∞(∇μ2)) ⊂ L∞(∇μ1) (соответственно, Φ(L1(∇μ2)) = L1(∇μ1) и Φ(L∞(∇μ2)) = L∞(∇μ1)), при этом оба отображения Φ : L1(∇μ2) → L1(∇μ1) и Φ : L∞(∇μ2) → L∞(∇μ1) суть линейные изометрии (соответственно, сюръективные линейные изометрии). Доказательство. (i). Покажем сначала, что булев гомоморфизм (изоморфизм) ϕ продолжается до гомоморфизма (изоморфизма) Φ0 : L∞(∇μ2) → L∞(∇μ2). Обозначим через R(∇μ2) всюду плотную в банаховой алгебре подалгебру всех ступенчатых элементов алгебры L∞(∇μ2) вида, где ei ∈ ∇μ2, eiej = 0, если- поле действительных чисел. Для каждого ступенчатого элемента положим . Так как ϕ есть инъективный булев гомоморфизм (изоморфизм), то Φ0 есть инъективный гомоморфизм (изоморфизм) из алгебры R(∇μ2) в алгебру (на алгебру) R(∇μ1), при этом для всех f ∈ R(∇μ2). Поскольку подалгебра R(∇μi) плотна в банаховой алгебре 1,2, то Φ0 продолжается до инъективного гомоморфизма (изоморфизма) Φ0 : L∞(∇μ2) → L∞(∇μ2), при этом Φ0(e) = ϕ(e) для всех e ∈ ∇μ2. Если f ∈ L0(∇μ2), то существует такое разбиение {ei}i∈I единицы 1∇μ2 булевой алгебры ∇μ2, что fei ∈ L∞(∇μ1) для любого i ∈ I. Так как ϕ- вполне аддитивный булев гомоморфизм, то {ϕ(ei)}i∈I есть разбиение единицы 1∇μ1 булевой алгебры ∇μ1. Следовательно, существует единственный элемент g ∈ L(∇μ1) такой, что Φ0(fei)ϕ(ei) = gϕ(ei) для всех i ∈ I. Если {qj}j∈J - другое разбиение единицы 1∇μ2, для которого fqj ∈ L∞(∇μ2) при всех j ∈ J, то pij = eiqj, i ∈ I, j ∈ J, также есть разбиение единицы 1∇μ2 и fpij ∈ L∞(∇μ2) для любых i ∈ I, j ∈ J. Если h ∈ L0(∇μ1) и hϕ(qj) = Φ0(fqj)ϕ(qj) для всех j ∈ J, то gϕ(pij) = gϕ(ei)ϕ(qj) = Φ0(fei)ϕ(ei)ϕ(qj) = Φ0(feiqj) = = Φ0(fqj)ϕ(qj)ϕ(ei) = hϕ(qj)ϕ(ei) = hϕ(pij) при каждом i ∈ I, j ∈ J. Поскольку , то h = g. Таким образом, корректно определено отображение Φ : L0(∇μ2) → L0(∇μ1) с помощью равенства Φ(f) = g. Ясно, что построенное отображение Φ есть инъективный гомоморфизм (изоморфизм), для которого Φ(e) = ϕ(e) при каждом e ∈ ∇2 и Φ(f) = Φ0(f) для всехk f ∈ L∞(∇μ2). (ii). Поскольку ϕ- сохраняющий меру гомоморфизм, то для любого имеем, что . Так как алгебра R(∇μ2) плотна в банаховом пространстве , то существует такая линейная изометрия (соответственно, сюръективная линейная изометрия) в , что U(f) = Φ(f) для всех f ∈ R(∇μ2). Если , то найдется такая последовательность {fn} ⊂ ( μ2 , n В частности,, что влечет . Таким образом, Φ(fn) = U(fn) ↑ U(f). Так как Φ : L0(∇μ2) → L0(∇μ1) есть инъективный вполне аддитивный гомоморфизм, то Φ(fn) ↑ Φ(f), и поэтому Φ(f) = U(f) для всех . Отсюда сразу следует, что Φ(g) = U(g) при каждом g ∈ L1(∇μ2). Следовательно, отображение есть линейная изометрия (соответственно, сюръективная линейная изометрия). Если , то выбираем такую последовательность {fn} ⊂ R(∇μ2), для которой 0 . Повторяя предыдущее доказательство, получим, что отображение Φ : L∞(∇μ2) → L∞(∇μ1) есть линейная изометрия (соответственно, сюръективная линейная изометрия). Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с полной непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, и пусть Aν есть σ-алгебра всех измеримых по Лебегу множеств из ((0,∞,ν). Зафиксируем функцию и, используя теорему 3.1, рассмотрим сюръективное сохраняющее меру преобразование σ : Ω → (0,∞), для которого f(ω) = μt(f)(σ(ω)) для п.в. ω ∈ Ω. Положим Aσ = {σ-1(B) : B ∈ Aν}, ∇σ = {[σ-1(B)] : B ∈ Aν}. (3.1) Отображение ϕ : ∇ν → ∇σ, определяемое равенством ϕ([B]) = [σ-1(B)], B ∈ Aν, (3.2) есть сохраняющий меру булев изоморфизм из ∇ν на ∇σ. Согласно теореме 3.2, существует изоморфизм Φ из алгебры L0(∇ν) на алгебру L0(∇σ), для которого Φ(e) = ϕ(e) для всех e ∈ ∇ν, при этом Φ(μt(f)) = f и Φ(g ◦ σ) = g для каждой функции g ∈ L0(∇ν). Поскольку изоморфизм ϕ : ∇ν → ∇σ сохраняет меру, то функции Φ(g) и g равноизмеримы для всех g ∈ L0(∇ν). Если E(∇ν) - симметричное пространство на ((0,∞),Aν,ν) и E(∇μ) - симметричное пространство на (Ω,A,μ), порожденное пространством E(∇ν), то из равноизмеримости функций Φ(g) и g, g ∈ L0(∇σ) следует, что для каждой функции g ∈ E(∇ν). Это означает, что Φ(E(∇ν)) ⊆ E(∇μ) и отображение Φ есть линейная изометрия из E(∇ν) в E(∇μ). Таким образом, верна следующая теорема об изометрическом вложении симметричного пространства E(∇ν) в симметричное пространство E(∇μ). Теорема 3.3. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с непрерывной σ-конечной мерой, , и пусть σ : Ω → (0,∞) сюръективное сохраняющее меру преобразование, для которого f(ω) = μt(f)(σ(ω)) для п.в. ω ∈ Ω (см. теорему 3.1). Пусть ∇σ -σ-подалгебра в ∇μ (см. равенство (3.1)), и пусть Φ -изоморфизм из алгебры L0(∇ν) на алгебру L0(∇σ), для которого Φ(e) = ϕ(e) для всех e ∈ ∇ν (см. равенство (3.2) и теорему 3.2). Тогда для каждого симметричного пространства E(∇ν) на ((0,∞),Aν,ν) верно равенство Φ(E(∇ν)) = E(∇σ), где E(∇σ) есть симметричное пространство на (∇σ,μ), порожденное симметричным пространством E(∇ν), при этом отображение Φ : E(∇ν) → E(∇σ) есть сюръективная изометрия. Говорят, что норма в симметричном пространстве E(μ) на измеримом пространстве (Ω,A,μ) порядково непрерывна, если из условий следует, что . Ясно, что симметричное пространство E(ν) имеет (соответственно, не имеет) порядково непрерывную норму в том и только в том случае, когда порожденное им симметричное пространство E(μ) также имеет (соответственно, не имеет) порядково непрерывную норму. Отметим также, что симметричное пространство E(ν) на ((0,∞),Aν,ν) имеет порядково непрерывную норму тогда и только тогда, когда E(ν) сепарабельное пространство (см., например, [5, гл. IV, §3, теорема 3]). Будем говорить, что вполне симметричное пространство E(μ) удовлетворяет статистической эргодической теореме для сильно непрерывных в L1 полугрупп (запись: E(μ) ∈ (СЭТ)), если для любой сильно непрерывной в L1 полугруппы операторов Данфорда-Шварца непрерывные средние сходятся сильно в E(μ), т. е. для каждого f ∈ E(μ) существует такое при t → ∞. Известен следующий критерий справедливости статистической эргодической теоремы для сильно непрерывных в L1 полугруппв случае пространств Лебега с конечной непрерывной мерой (см. [3, гл. 2, § 2.1, теорема 2.1.1, § 2.6, теорема 2.6.4]). Теорема 3.4. Пусть ((0,a),Aν,ν), 0 < a < ∞ -измеримое пространство Лебега с конечной непрерывной мерой, и пусть E(ν) - вполне симметричное пространство на ((0,a),Aν,ν). Тогда E(ν) ∈ (СЭТ) в том и только в том случае, когда E(ν) имеет порядково непрерывную норму. Ниже показывается, что в случае пространства Лебега ((0,∞),Aν,ν) с бесконечной непрерывной мерой для вполне симметричного пространства L1(ν), имеющего порядково непрерывную норму, имеются примеры сильно непрерывных в L1 полугрупп для которых статистическая эргодическая теорема неверна. Пример 3.1. Положим T0 = I и для каждого s ∈ (0,1] определим оператор Ts ∈ DS, действующий в L1(ν) + L∞(ν) по правилу. Если s > 1, то полагаем, где [s] (соответственно, {s}) - целая (дробная) часть числа s. Нетрудно видеть, что есть сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца, при этом для каждого k = 1,2,... имеем, что , и поэтому Ak(χ0,1))(t) = 0 почти всюду для t > k. Аналогично, почти всюду для Следовательно, Если то для каждого k = 1,2,... , имеем . Так как для всех f ∈ L1(ν), то . Таким образом, для всех k = 1,2,... . Это означает, что сеть {At(χ(0,1))}t>0 не может сходится по норме · 1 при t → ∞. Следовательно, L1(0,∞) ∈/ (СЭТ). Следующая теорема показывает, что для вполне симметричного пространства E(μ), не имеющего порядково непрерывную норму, обязательно верно E(μ) ∈/ (СЭТ) (ср. [9, Theorem 4.3]). Теорема 3.5. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, и пусть E(μ) -симметричное пространство на (Ω,A,μ), порожденное вполне симметричным пространством E(ν). Если норма не является порядково непрерывной, то E(μ) ∈/ (СЭТ). Доказательство. Согласно [16, Ch. II, §4, теорема 4.8], существует такое натуральное число k ∈ N, для которого ( не имеет порядково непрерывную норму. Следовательно, в силу теоремы 3.4 найдутся такие функция f0 ∈ E((0,k),ν)) и сильно непрерывная в L1((0,k),ν)) полугруппа , операторов Данфорда-Шварца, для которых непрерывные средние не сходятся по норме при t → ∞. Определим операторы Данфорда-Шварца , полагая Tˆt(h) = Tt(h · χ(0,k)), h ∈ L1((0,∞),ν)) + L∞((0,∞),ν). Ясно, что есть сильно непрерывная в L1((0,∞),ν)) полугруппа, при этом Aˆt(h) = At(h) для всех t 0 и каждого (соответственно,) есть непрерывные средние для полугруппы (соответственно,). Поскольку f0 ∈ E((0,k),ν)), то Aˆt(f0) = At(f0), для всех t 0. Следовательно, непрерывные средние не сходятся по норме при t → ∞. Пусть Φ есть изоморфизм из алгебры L0((0,∞),ν) на алгебру L0(∇σ), для которого верно равенство Φ(E((0,∞),ν)) = E(∇σ), при этом отображение Φ : E((0,∞),ν) → E(∇σ) есть сюръективная изометрия (см. теорему 3.3). Рассмотрим также оператор условного математического ожидания M : L1(Ω,A,μ) → L1(Ω,Aσ,μ) (определение σ-подалгебры Aσ см. в (3.1)). Ясно, что M является абсолютным линейным сжатием в L1(Ω,A,μ), и следовательно, единственным образом продолжается до оператора Данфорда-Шварца (см. [7, теорема 3.1]): , для которого верно равенство при всех h ∈ L1(Ω,Aσ,μ) + L∞(Ω,Aσ,μ). Определим теперь операторы Данфорда-Шварца полагая есть сильно непрерывная в следует, что для всех. Это означает, что для непрерыв верно равенство At(Φ(f0)) = Φ ◦ Aˆt(f0) для всех. Следовательно, непрерывные средние не сходятся по норме при t → ∞. Это означает, что E(μ) ∈/ (СЭТ). Следующая теорема дает еще одно достаточное условие для вполне симметричного пространства E(Ω), при выполнении которого верно E(Ω) ∈/ (СЭТ) (ср. [9, Theorem 4.2]). Теорема 3.6. Пусть (Ω,A,μ) -измеримое пространство с непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, и пусть E(μ) - вполне симметричное пространство на (Ω,A,μ). Если E(μ) ⊂ L1(Ω,A,μ), то E(μ) ∈/ (СЭТ). Доказательство. Рассмотрим сильно непрерывную в L1 полугруппу операторов Данфорда-Шварца из примера 3.1. Согласно этому примеру, имеем, что L1((0,∞),ν) ∈/ (СЭТ). Повторяя доказательство теоремы 3.5, получим, что L1(Ω,A,μ) ∈/ (СЭТ), т. е. найдется такая функция f0 ∈ L1(Ω,A,μ) и сильно непрерывная в L1(Ω,A,μ) полугруппа Tt : L1(Ω,A,μ) + , операторов Данфорда-Шварца, что непрерывные средние не сходятся по норме. Известно, что вложение двух симметричных пространств на (Ω,A,μ) всегда является непрерывным (см. [18, Ch. 6, § 6.1, Proposition 6.1.1]), т. е. существует такая константа для всех f ∈ E1(μ). Так как для всех f ∈ E(μ). Следовательно, непрерывные средние не сходятся по норме, что влечет отсутствие сильной сходимости непрерывных средних, т. е. E(μ) ∈/ (СЭТ). Отметим, что согласно [9, следствие 4.2] верен следующий критерий для справедливости вложения E(μ) ⊂ L1(Ω,A,μ). Утверждение 3.1. Пусть (Ω,A,μ) -измеримое пространство с непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, и пусть E(μ) -симметричное пространство на (Ω,A,μ). Тогда вложение E(μ) ⊂ L1(Ω,A,μ) верно в том и только в том случае, когда χΩ ∈ E×(μ), где E×(μ) -ассоциированное пространство для E(μ). 4. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ Основная цель настоящего раздела есть нахождение необходимых и достаточных условий для вполне симметричных пространств E(μ) измеримых функций на пространстве (Ω,A,μ) с непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, обеспечивающих справедливость включения E(μ) ∈ (СЭТ). Пусть (Ω,A,μ) - произвольное измеримое пространство с σ-конечной мерой, fn ∈ L0(Ω), n ∈ N. Говорят, что последовательность {fn} сходится к функции f ∈ L0(Ω) локально по мере, если μ μ fnχA -→ fχA для любого A ∈ A, μ(A) < ∞, где gn -→ g есть обычная сходимость по мере μ для последовательности gn ∈ L0(Ω), g ∈ L0(Ω). Известно, что для любого симметричного пространства сходимость , влечет сходимость fn → f локально по мере (см. [12, Proposition 2.2]). Нам понадобится следующий вариант индивидуальной эргодической теоремы Данфорда- Шварца о поточечной сходимости непрерывных средних (см. [8, теорема 4.1], а также [10, теорема 4.1]). Теорема 4.1. Пусть (Ω,A,μ) -измеримое пространство с σ-конечной мерой, и пусть - сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца. Тогда для любого f ∈ Rμ существует такая функция, что непрерывные средние сходятся к f почти всюду при t → ∞. Определим отображение P : Rμ → Rμ, полагая P(f) = п.в. - lim At(f), f ∈ Rμ. t→∞ Ясно, что P есть линейное отображение. Так как для всех f ∈ L1(Ω), то из сходимости почти всюду At(f) → P(f) и замкнутости шаров в относительно сходимости локально по мере (см. [5, Ch. IV, §3]) следует, что для всех f ∈ L1(Ω). Аналогично, для каждого f ∈ L1(Ω) ∩ L∞(Ω) имеем, что при всех . Поэтому сходимость почти всюду At(f) → P(f), t → ∞, влечет неравенство . Следовательно, P есть абсолютное линейное сжатие в . Согласно [7, теорема 3.2], существует единственный оператор такой, что P(f) = P(f) для всех f ∈ Rμ, в частности, Лемма 4.1. для всех. Доказательство. Так как и то (см. теорему 4.1) почти всюду при t → ∞. С другой стороны, почти всюду при t → ∞. Следовательно, (I - Tr)At(f) = At(f) - TrAt(f) → P(f) - P(Tr(f)) почти всюду при t → ∞. Это означает, что (PTr)(f) = P(f) для всех f ∈ Rμ. Лемма 4.2. Для любого f ∈ L2(Ω) имеет место сходимость при t → ∞. Доказательство. Согласно статистической эргодической теоремы для пространства L2 (см. теорему 2.1), имеем, что для любого f ∈ L2(Ω) существует такое , что при t → ∞. Следовательно, At(f) → fлокально по мере μ (см. [12, Proposition 2.2]). Поскольку At(f) → P(f) почти всюду, то верно равенство. Следующая теорема устанавливает сильную сходимость непрерывных средних At(f) во вполне симметричном пространстве . Теорема 4.2. Пусть (Ω,A,μ) -измеримое пространство с σ-конечной мерой, и пусть - сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца. Тогда при t → ∞ для всех f ∈ Rμ. Доказательство. Если f ∈ L1(Ω) ∩ L∞(Ω) ⊂ L2(Ω), то в силу леммы 4.2 имеем, что при t → ∞. Поскольку L2(Ω) непрерывно вложено в L1(Ω) + L∞(Ω) (см. [6, Ch. 2, §6, Theorem 6.6]), то при t → ∞ для всех f ∈ L1(Ω) ∩ L∞(Ω). При этом 1, и линейное подпространство L1(Ω) ∩ L∞(Ω) всюду плотно в банаховом пространстве . Если f ∈ Rμ и fn - такая последовательность из L1(Ω) ∩ L∞(Ω), для которой при n → ∞, то используя неравенства , получим, что t → ∞. Из теоремы 4.2 и [12, Proposition 2.2] вытекает следующее утверждение. Утверждение 4.1. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с σ-конечной мерой, и пусть - сильно непрерывная в L1 полугруппа операторов Данфорда-Шварца. Тогда непрерывные средние At(f) → P(f) локально по мере при t → ∞ для всех f ∈ Rμ. Лемма 4.3. (TrP)(f) = P(f) для всех. Доказательство. Согласно теореме 4.2, для любого f ∈ Rμ. Следовательно, Из лемм 4.1 и 4.3 вытекает Утверждение 4.2. P2 = P и (TrP)(f) = P(f) = (PTr)(f) для всех . Пусть E(ν) - симметричное пространство на ((0,∞),Aν,ν) и E(μ) - симметричное пространство на (Ω,A,μ), порожденное симметричным пространством E(ν). Известно, что ассоциированное симметричное пространство E(μ)× порождается ассоциированным симметричным пространством E(ν)× (см. [12, Theorem 5.5]). Ниже нам понадобится следующее свойство симметричных пространств, установленное в [13, Proposition 2.2]. Утверждение 4.3. Пусть E(ν) -симметричное пространство на ((0,∞),Aν,ν) с порядково непрерывной нормой и(Ω,A,μ), порожденное симметричным пространствомχ(0,∞) ∈/ E×(ν). Пусть E(ν)- симметричное пространство на. Если fn, g ∈ E(μ), fn ≺ g, n ∈ N, и fn -→ 0 локально по мере, то . Следующая теорема есть вариант статистической эргодический теоремы Данфорда-Шварца о сильной сходимости непрерывных средних At(f) для вполне симметричных пространств E(μ) на измеримом пространстве с σ-конечной мерой. Теорема 4.3. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с σ-конечной мерой, и пусть E(μ) - вполне симметричное пространство на (Ω,A,μ), для которого χ(0,∞) ∈/ E×(ν), и нор порядково непрерывна. Тогда для любой сильно непрерывной в L1 полугруппы операторов Данфорда-Шварца непрерывные средние сходятся сильно в E(μ) при t → ∞. Доказательство. Если P(f) = f ∈ E(μ), то из утверждения 4.2 вытекает, что для всех t > 0. (4.1) Пусть теперь f - произвольная функция из E(μ). Согласно утверждению 4.2, для g = f - P(f) имеем, что P(g) = P(f) - P2(f) = 0. Так как норма порядково непрерывна, то μ{|f| > λ} < ∞ для всех f ∈ E(μ) и λ > 0, и поэтому E(μ) ⊂ Rμ. Отсюда в силу утверждения 4.1 вытекает, что At(g) → 0 локально по мере при t → ∞. Поскольку At ∈ DS, то At(g) ≺ g ∈ E(μ) для всех t 0. Поэтому из утверждения 4.3 следует, . Используя теперь утверждение 4.2, равенство (4.1) и равенства At(g) = At(f)- At(P(f)), t > 0, получим, что. Из теорем 3.5, 3.6 и 4.3 вытекает следующий критерий для включения E(μ) ∈ (СЭТ). Теорема 4.4. Пусть (Ω,A,μ) - измеримое пространство с непрерывной σ-конечной мерой, μ(Ω) = ∞, и пусть E(μ) -симметричное пространство на (Ω,A,μ), порожденное вполне симметричным пространством E(ν). Следующие условия эквивалентны: (i) E(μ) ∈ (СЭТ); (ii) E(μ) не содержится в L1(Ω) и норма является порядково непрерывной.

Об авторах

А. С. Векслер

Автор, ответственный за переписку.
Email: aleksandr.veksler@micros.uz
Ташкент, Узбекистан

В. И. Чилин

Email: vladimirchil@gmail.com
Ташкент, Узбекистан

Список литературы