α-Субгармонические функции

Аннотация

В этой работе изучается класс α-субгармонических функций. Доказывается ряд важных свойств α-субгармонических функций, дается эквивалентное, более удобное определение α-субгармоничности. Описывается также геометрическая структура устранимых особенностей некоторых классов α-субгармонических функций.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 2. Определение α-субгармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 3. Представление Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 4. Функция Грина и интеграл Пуассона для α-субгармонических функций . . . . . . . . . 624 5. Эквивалентные определения α-субгармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 6. Cq,l-емкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 7. Устранимые особенности α-субгармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 1. ВВЕДЕНИЕ Хорошо известная классическая теория потенциала строится на основе оператора Лапласа и класса субгармонических функций. Естественно, возникает потребность изучения своеобразных расширений класса субгармонических функций, встречающийся в тех или иных задачах комплексного анализа. Как известно, дважды гладкая функция u(x) ∈ C2(D) в области D ⊂ Rn называется субгармонической, если оператор Лапласа В пространстве Cn ≈ R2n это условие эквивалентно тому, что дифференциальная форма ddcu∧βn-1 бистепени (n,n) положительна,, где β = ddc |z|2 - форма объема в пространстве - стандартные обозначения в многомерном комплексном анализе. Для произвольных полунепрерывных сверху функций положительность понимается в обобщенном смысле, в смысле потоков: , (1.1) где - пространство основных функций. В теории сильно m-субгармонических (shm) функций часто используются так называемые αсубгармонические функции, когда вместо строго положительной дифференциальной формы © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 620 бистепени (n - 1,n - 1) будет стоять произвольная строго положительная дифференциальная форма , (1.2) т. е. вместо оператора ddcu ∧ βn-1 рассматривается оператор ddcu ∧ α. Здесь dz [j] = dz1 ∧ ... ∧ dzj-1 ∧ dzj+1 ∧ ... ∧ dzn, dz¯[k] = dz¯1 ∧ ... ∧ dz¯k-1 ∧ dz¯k+1 ∧ ... ∧ dz¯n (см. [2]). Для классов субгармонических и плюрисубгармонических функций имеются достаточно полные результаты об устранимых особых множествах. Так, в терминах хаусдорфовой меры, условия устранения особого множества гармонических функций класса Lipλ изучены в работах Л. Карлесона [9] (для ) и Е.П. Долженко [8] (для ). Особые множества субгармонических функций из класса Lipλ изучены в работе В.Л. Шапиро [25] (случай (0 < λ < 1) и в работе А. Садуллаева и Ж.Р. Ярметова [17] (случай (). В работах Р. Харви и Дж. Полкинга [22], В.Г. Мазья и В.П. Хавина [12] получен ряд теорем об устранения особенностей гармонических функций из класса Lk,p(G), аналогичные результаты в случае субгармонических функций из класса Lk,p(G) получены в работах Б. Абдуллаева и С. Имомкулова [1], а также Б. Абдуллаева и Ж. Ярметова [3]. Здесь Lk,p(G) - класс функций, имеющих производные до k-го порядка, причем производные k-го порядка принадлежат пространству Lp. Отметим также, что структура устранимых особых множеств плюрисубгармонических в Cn функций рассмотрены в работах У. Сегрела [19], Е. Чирки [20] и для голоморфных функций многих переменных из класса L2loc,1(G) - в недавней работе Ж. Рихентауса [24]. Изучение устранимых особых множеств сильно m-субгармонических функций (shm) показало, что здесь требуется исследовать структуру особых множеств для α-субгармонических функций. В этом направлении в статье А. Садуллаева, Б.И. Абдуллаева и Р.А. Шарипова [16] была доказана устранимость замкнутого полярного множества, т. е. множества нулевой ньютоновой емкости для класса ограниченных сверху сильно m-субгармонических (shm) функций (1 m n). Ниже мы изучим структуру устранимых особенностей некоторых классов α-субгармонических функций (раздел 7). Для этой цели в разделе 6 вводится емкостная величина Cq,l-емкости, в терминах которой описывается метрическая структура устранимых особых множеств α-субгармонических функций. В разделах 2-5 изучаются свойства класса α-субгармонических функций, приводятся различные их определения. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ α-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Пусть α - произвольная замкнутая, строго положительная дифференциальная форма бистепени (n - 1,n - 1) в области D ⊂ Cn: . (2.1) Строго положительность α означает, что для любой компактной области существует число ε > 0 такое, что дифференциальная форма. Определение 2.1 (см. [6]). Дважды гладкая функция u(z) ∈ C2(D) называется α-субгармонической в области D ⊂ Cn, если дифференциальная формаФункция u(z) ∈ L1loc(D) называется α-субгармонической в области D ⊂ Cn, если 1. она полунепрерывна сверху в D, т. е.; 2. оператор ddcu ∧ α положителен в обобщенном смысле, т. е. . Класс α-субгармонических функций обозначается через α - sh(D), причем для удобства вклюn чаем в этот класс и функцию u(z) ≡ -∞. Длямы будем иметь классические субгармонические функции. Заметим, что ddcu∧βn-1 = (n-1)!ΔudV. При n = 1 на комплексной плоскости α-субгармоничность функции эквивалентна обычной субгармоничности. Они хорошо изучены, и мы опускаем этот случай и считаем ниже, что n 2. Определение 2.2. Дважды гладкая в области D ⊂ Cn функция u(z) ∈ C2 (D) называется α-гармонической, если ddcu ∧ α = 0 в D. В работе М. Ваисовой [6] для строго положительной, замкнутой дифференциальной формы α бистепени (n - 1,n - 1) показано, что оператор ddcu ∧ α является равномерно эллиптическим оператором в D. Аналогично оператору Лапласа Δu определим и запишем оператор Δαu в вещественной форме пространства R2n (x1,...,x2n), zj = xj +ixn+j. Для любой дважды гладкой функции u(z) ∈ C2(D) представим ddcu ∧ α в виде Заметим, что если обозначить то . Следовательно, Положим . Теорема 2.1. Если α-строго положительная, замкнутая дифференциальная форма бистепени (n - 1,n - 1) в области D, то оператор Δαu является самосопряженным оператором. Доказательство. Мы представим оператор Δαu в виде , где (2.2) j 2n, n + 1 k 2n. Так как ajk ∈ C1(D), то оператору Δα можно придать вид (2.3) Тогда оператор (2.4) называется сопряженным оператором (см. [14, с. 18-19]), и если , то оператор называется самосопряженным. Как видно из определения, для самосопряженности оператора Δα достаточно выполнения условия Чтобы доказать эти равенства, воспользуемся замкнутостью формы α. Действительно, если dα = 0, то ∂α = ∂α¯ = 0. С другой стороны, . Следовательно, . Переходя к вещественным координатам, получим , или (2.5) Теперь возьмем произвольные функции u,ϑ ∈ C2(D) и рассмотрим разность Учитывая соотношения (2.5) получим Отсюда в силу произвольности функции ϑ следует, что т. е. оператор Δα является самосопряженным оператором. Так как ddcu∧α является эллиптическим оператором второго порядка, то мы можем применять общую теорию эллиптических операторов. В частности, если коэффициенты αjk ∈ Cl+λ (D), где Cl+λ - класс l-раз дифференцируемых функций, причем l-е частные производные принадлежат классу Гельдера Lipλ, 0 < λ < 1, то решение уравнения ddcu ∧ α = 0 существует и принадлежит классу Cl+2+λ (D) (см. [5, с. 143-144]). 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РИССА Согласно теории эллиптических операторов, самосопряженный оператор ddcu∧α имеет симметрическое фундаментальное решение Kα(z,w), которое обладает следующими свойствами (cм. [6]): а) Kα(z,w) ∈ C2+λ (D\{w}), 0 < λ < 1, Kα(w,w) = -∞ (напомним, что α ∈ C1 (D)); б) Kα(z,w) является α-субгармонической функцией в D, причем она α-гармоническая при ; в) существует константы c1 > 0 и c2 > 0 такие, что (3.1) Если u(z) - α-субгармоническая функция в области D, то по определению, оператор в обобщенном смысле, т. е. обобщенная функция . Следовательно, положительная обобщенная функция ddcu ∧ α является борелевской мерой в области D, ddcu ∧ α = μ. Это означает, что . Эта мера называется ассоциированной мерой с функцией u(z). Теорема 3.1. Для любого подобласти имеет место представление , (3.2) где μ = ddcu ∧ α и g(z) - α-гармоническая функция в G. 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА ДЛЯ α-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Пусть функции u и ϑ дважды непрерывно дифференцируемы на замыкании ограниченной области D ⊂ Cn с гладкой границей ∂D. Нетрудно видеть, что . Следовательно, формула Грина с оператором Δα принимает вид (см. [14]) , (4.1) ∂u ∂ϑ где ν(ξ) = (ν1(ξ),ν2(ξ),... ,ν2n(ξ)) - внешняя нормаль к границе ∂D в точки ξ, а и - ∂ν ∂ν производные от функций u и ϑ, соответственно, по направлению нормали ν, а функция a(ξ) определяется формулой . (4.2) Предположим теперь, что D является α-регулярной (например, с гладкой границей) областью. α-Регулярность области означает, что существует функция Грина Gα (z,w), (z,w) ∈ D ×D, обладающая (при фиксированном w ∈ D) следующими свойствами (см. [4, 23]): а); б) Gα(z,w) < 0, ∀z,w ∈ D и Gα(z,w )|∂D = 0; в) Gα(z,w) является α-субгармонической функцией в D, причем она α-гармоническая при ; г) разность Gα(z,w) - Kα(z,w) ограничена в некоторой окрестности точки w ∈ D; д) функция Грина Gα(z,w) симметрична относительно точек z и w, т. е. Gα(z,w) = Gα(w,z) для любых z,w ∈ D (см. [14, с. 28]). Функция , где z ∈ D и ξ ∈ ∂D, существует и называется ядром Пуассона. Ядро Пуассона Pα(z,ξ) является α-гармонической по z ∈ D при фиксированном ξ ∈ ∂D и непрерывной по ξ ∈ ∂D при фиксированном z ∈ D функцией. Из свойства б) функции Грина вытекает, что . Кроме того, всякая α-субгармоническая функция в некоторой окрестности замыкания D¯ функция u(z) представляется в виде (4.3) Отметим, что формула (4.4) для заданной функции ϕ(ξ) ∈ C (∂D) дает нам решение задачи Дирихле Δαϑ = 0, ϑ|∂D = ϕ. В частности, если фунция u(z) α-гармоническая и непрерывная вплоть до границы области D, то . 5. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ α-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С помощью интегральных представлений (4.3) мы можем вводить понятие α-субгармоничности по-другому. Определение 5.1. Функция u(z) называется α-субгармонической в области D, если выполняются следующие условия: 1. u(z) полунепрерывна сверху в области D; 2. для любого шара B D справедливо неравенство u(z) ∂B(z0,r) Здесь Pα(z,ξ) - ядро Пуассона для шара B. Теорема 5.1. Определение 2.1 эквивалентно определению 5.1. Из этой теоремы легко вытекает, что функция u : D → [-∞,∞) является α-субгармонической в области D тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху в D и для любого шара и любой α-гармонической в B и непрерывной в B¯ функции ϑ, удовлетворяющей условию на ∂B, следует, что Такую функцию ϑ будем называть α-гармонической мажорантой функции u для шара B. Доказательство. Согласно формуле (4.3) из определения 2.1 легко следует определение 5.1. Нам остается только показать обратное, т. е. что из определения 5.1 следует определение 2.1. Для этого сначала предположим, что u(z) ∈ C2(D), и для любого шара напишем неравенство u(z) . Если в некоторой точке z = ξ выполняется ddcu(z) ∧ α(z)|z=ξ < 0, то в силу непрерывности ddcu(z)∧α(z) < 0 в некоторой окрестности B = B(ξ,δ), δ > 0. Так как, кроме того, Gα(z,w) < 0, то согласно формуле (4.3) получим , что противоречит определению 5.1. Пусть теперь u(z) ∈ L1loc (D) - произвольная функция. При помощи стандартной свертки (см., например, [15]) определим аппроксимацию uj(z): , где , причем. Тогда , где при j → ∞. Так как функция u(z) и последовательность uj(z) локально равномерно ограничены сверху, то по теореме Лебега . Это означает, что u(z) - α-субгармоническая функция по определению 2.1. Следующее определение α-субгармонических функций является более простым и удобным в употреблении. Определение 5.2. Функция u(z), заданная в области D, называется α-субгармонической, если выполняются следующие условия: 1. u(z) полунепрерывна сверху в области D; 2. для любых z0 ∈ D и достаточно малых имеет место неравенство u(z0) . ∂B(z0,r) Ясно, что из определения 5.1 тривиальным образом вытекает определение 5.2. Для обратного утверждения мы воспользуемся следующим принципом максимума. Теорема 5.2 (принцип максимума). Если-субгармонична в смысле определения 5.2 в области D ⊂ Cn функция, то u(z) < sup u(w), ∀z ∈ D, w∈D т. е. на компактных подмножествах G D функция достигает своего максимума только на границе ∂G. В самом деле, предположим, что существует точка . Обозначим через . Тогда , ибо z0 ∈ M. Оно замкнуто в D, ибо . Остается показать, что оно открытое. Если существует w0 ∈ M, являющаяся граничной (не внутренней) точкой, то для достаточно маленьких r > 0 , ∂B(w0,r) ибо в последнем интеграле Pα(w0,ξ) и из полунепрерыв- ∂B(w0,r) а также из w0 ∈ ∂M, вытекает, что открытое множество . Отсюда следует, что . Следствие 5.1. Если функция u : D → [-∞,∞) является α-субгармонической в области D в смысле определения 5.2, то для любого шара и любой α-гармонической в B и непрерывной в B¯ функции ϑ, удовлетворяющей условию следует, что Доказательство легко вытекает, если мы применяем теорему 5.2 для разности u-ϑ. Более того, такая функция u(z) непременно удовлетворяет неравенству ибо функция является α-гармонической в . Все это показывает, что из определения 5.2 следует определение 5.1. В заключении пункта отметим, что α-субгармонические функции обладают всеми элементарными свойствами, присущими субгармоническим функциям, и их формулировки мы опускаем. 6. Cq,l-ЕМКОСТИ Рассмотрим потенциал Рисса: , где 0 < l < 2n, μ - положительная борелевская мера с компактным носителем supp. Для произвольного компактного множества E ⊂ Cn емкостная величина определяется следующим образом. Определение 6.1 (см. [12, 13]). Cq,l(E) = supμ(E), 1 < q < +∞, ql < 2n, μ где верхняя грань берется по всем положительным, сосредоточенным на множестве E борелевским мерам, удовлетворяющим условию ! . Если то потенциал Рисса Ulμ(z) ∈/ Lp(Cn). Для определения емкости Cq,l(E) в этом случае мы предполагаем, что, и определяем емкость как Cq,l(E) = supμ(E), 1 < q < +∞, где верхняя грань берется по всем положительным, сосредоточенным на множестве E борелевским мерам, удовлетворяющим условию ! . Отметим, что при ql > 2n емкость Cq,l(E) = 0 тогда и только тогда, когда множество E пусто (см. [12, 13]). Примножества Cq,l-емкости нуль, Cn-s,q(E) = 0, имеют следующие метрические свойства (см. [12]): а) если ql < 2n, 0 < λ < 2n - ql и Hλ(E) = 0, то Cq,l(E) = 0; б) если ql < 2n, 2n - ql < λ и Hλ(E) > 0, то Cq,l(E) > 0; в) если ql = 2n, ϕ(r) = |lnr|1-q , q > 1 и Hϕ(E) < ∞, то Cq,l(E) = 0; г) если ql = 2n, λ > 0 и Hλ(E) > 0, то Cq,l(E) > 0. Из а), б), в) и г) следует, что размерность множества нулевой Cq,l-емкости равна 2n - ql. 7. УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ α-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Определение 7.1. Множество E ⊂ D называется α-полярным множеством в области D, если существует α-субгармоническая в D функция u(z), z ∈ Cn, такая, что. Теорема 7.1. Пусть E -компактное подмножество области. Множество E устранимо для всех α-субгармонических в D\E, локально ограниченных сверху в D функций тогда и только тогда, когда E α-полярно в D. Доказательство. Необходимость. Предположим обратное: пусть существует не α-полярный компакт E, который устраним для всех α-субгармонических в D\E и локально ограниченных сверху в D функций. Тогда существует положительная мера μ с носителем на E такая, что потенциал является ограниченным сверху и α-(суб)гармоническим вне E (см. [7]). Но эта функция не является всюду α-субгармонической, т. е. компакт E не является устранимым. Мы пришли к противоречию, которое указывает на то, что устранимое особое множество E всегда должно быть α-полярным. Достаточность. Сначала для каждого z ∈ E ∩ D положим u(z) = lim u(ξ). Ясно, что при ξ→Ez ξ/∈ таком определении на множестве E функция u(z) становится полунепрерывной сверху функцией в D. Теперь покажем, что для произвольного шара имеет место неравенство (7.1) Так как множество E α-полярное, оно имеет нулевую (2n - 1)-мерную меру. Следовательно, значение интеграла Пуассона (7.1) не зависит от значений функции u(w), w ∈ ∂B ∩ E. Фиксируем α-субгармоническую функцию ω(z),z ∈ D, такую, что. Положим E˜ = {z ∈ D : ω(z) = -∞}, E˜ ⊃ E. Без ограничения общности считаем, что ω(z) < 0 в заданном шаре И наконец, построим на сфере ∂B последовательность непрерывных функций uj(ξ), такую, что . Рассмотрим функцию где (7.2) Ясно, что функция Vε(j)(z) является α-субгармонической вне E, и так как , то из определения 5.1 Vε(j)(z) является α-субгармонической и в точках E, т. е. Vε(j)(z) ∈ α - sh(B). Кроме того, во всех точках ψ ∈ ∂B(z0,r) выполняется неравенство . Следовательно, в шаре B, т. е. Для точек z /∈ E,˜ устремляя ε к нулю, заключаем, что . Согласно полунепрерывности u(z) и непрерывности ϑj(z), это неравенство остается верным для всех точек E˜ ⊃ E. Наконец, при j → +∞ получим неравенство (7.1). Теорема 7.2. Пусть E - компактное подмножество области . Множество E устранимо для всех α-субгармонических в D\E функций u(z) из класса Lploc(D), , тогда и только тогда, когда емкость. Теорема 7.3. Пусть E - компактное подмножество области . Множество E устранимо для всех α-субгармонических в D\E функций u(z) из класса L1loc,p(D), , тогда и только тогда, когда емкость. Доказательство теоремы 7.2. Необходимость. Предположим противное, что существует компактное множество E, которое устранимо для всех α-субгармонических в D\E функций из класса , причем. Тогда по определению Cq,2 емкости существует положительная борелевская мера с носителем на E такая, что μ(E) > 0 и потенциал при принадлежит классу Lploc(D). Отсюда согласно оценке (3.1) получим, что α-потенциал также принадлежит классу. Кроме того, α-потенциал Uαμ(z) являет- ся α-гармонической функцией в D\E, но не является α-субгармонической, т. е. E не является устранимой. Это противоречие доказывает необходимость условия Cq,2(E) = 0. Достаточность. Доказательство достаточности условия Cq,2(E) = 0 основывается на следующей лемме из работы В.Г. Мазья [11]. Лемма 7.1. Пусть E - компактное подмножество области D ⊂ Rn (D ⊂ Cn ≈ R2n), и l - натуральное число. Тогда следующие утверждения равносильны: 1. Cq,l(E) = 0; 2. Множество основных функций F(D\E) плотно на множестве основных функций F(D) по норме. Предположим теперь, что Cq,2(E) = 0 и u(z) - α-субгармоническая в D\E функция из класса . Рассмотрим в D функцию u˜(z) такую, что ⎧ u(z) при z ∈ D\E, при z ∈ E. Покажем, что u˜(z) является α-субгармоническим продолжением функции u(z) на всем D. Пусть ψ(z) - положительная основная функция с носителям на D, а ϕk(z) - последовательность положительных основных функций с носителем на D\E, сходящаяся к ψ(z) по норме L2q. Существование последовательности ϕk(z) следует из леммы 7.1. Тогда имеет место неравенство , Из этого неравенства следует, что для любой положительной основной функции ψ(z) ∈ F(D) имеет место . Отсюда следует, что функция u˜(z) α-субгармоническая в D. Следствие 7.1. Пусть E - множество из области . Всякая α-гармоническая в D\E функция u(z) из класса-гармонически продолжается в D тогда и только тогда, когда емкость. Доказательство теоремы 7.3. Необходимость. Предположим, что существует компактное множество E, которое устранимо для класса α-субгармонических в D\E функций из класса L1loc,p(D), . Тогда по определению емкости Cq,1 емкости существует положительная борелевская мера с носителем на E такая, что μ(E) > 0 и потенциал при принадлежит классу L1loc,p(D). Отсюда в силу оценки z,w ∈ Cn (см. [4]), следует, что также принадлежит классу. Кроме того, α-потенциал Uαμ(z) является α-гармоническим в D\E, но не является- α-субгармоническим, т. е. E не является устранимым. Это противоречие доказывает необходимость условия Cq,1(E) = 0. Достаточность. Предположим теперь, что Cq,1(E) = 0 и u(z) - α-субгармоническая в D\E функция из класса. Рассмотрим в D функцию u˜(z) такую, что ⎧ u(z) при z ∈ D\E, при z ∈ E. Покажем, что u˜(z) является α-субгармоническим продолжением функции u(z) на всем D. Согласно лемме 7.1, мы берем произвольную положительную функцию ψ(z) ∈ F(D) и последовательность положительных функций ϕk(z) ∈ F(D\E), сходящуюся к ψ(z) по норме Lq1. Тогда имеет место неравенство , Из этого неравенства следует, что для любой положительной основной функции . Отсюда следует, что функция u˜(z) - α-субгармоническая в D. Следствие 7.2. Пусть E -компактное подмножество областиМножество E устранимо для всех α-гармонических в D\E функций u(z) из класса, p тогда и только тогда, когда емкость Cq,1(E) = 0, q = . p - 1