Бивариационность, симметрии и приближенные решения

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 596 2. Бивариационность и симметрия 597 3. Операторное уравнение с второй производной по времени и вариационными симметриями . . 599 4. Пример 602 1. Альтернативные лагранжианы и численные решения диссипативной задачи 603 2. Заключение 605 3. Благодарности 605 Список литературы 606 1. ВВЕДЕНИЕ Краевые задачи с непотенциальными операторами описывают многие физические явления (см. [13]). Для их вариационного анализа нужен соответствующий функционал - гамильтоново действие. Возможна ситуация, когда такого действия не найдется среди классических функционалов, но оно существует (при определенных условиях) в так называемых неэйлеровых классах функционалов. Множество работ посвящено построению функционалов для различных типов уравнений и их систем: для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, дифференциально-разностных уравнений, стохастических дифференциальных уравнений (см., например, [4, 5, 7-9, 12, 13, 16, 17, 19-23]). Возможна и ситуация, когда существуют два (или более) альтернативных функционала, порождающих заданную задачу. Соответственно, возникает вопрос о связи их вариационных симметрий (см. [3]). Главная цель настоящей работы - установить эту связь для общих операторных уравнений и показать возможность эффективного использования альтернативных гамильтоновых действий для построения (с высокой точностью) приближенных решений конкретной диссипативной задачи. Впервые интерес к таким результатам был обоснован в [13]. В качественном анализе конечномерных систем симметрии широко используются (см. [2]). Развитие таких идей для бесконечномерных систем является актуальной и интересной задачей (см. [1, 4, 6, 10, 11, 18]). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 596 БИВАРИАЦИОННОСТЬ, СИММЕТРИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 597 Вариационные принципы играют важную роль в развитии различных областей физики. Наиболее отчетливо это можно заметить на примерах из механики - как классической, так и квантовой. В течение долгого времени все преимущества вариационных принципов использовались только для узкого класса так называемых потенциальных линейных операторов. Чтобы обобщить их на новые обширные классы нелинейных уравнений (операторы которых, вообще говоря, непотенциальны), требуется ввести неэйлеровы функционалы (см. [13]). Это может привести к ситуации, когда заданная система порождается разными гамильтоновыми действиями. В настоящей работе используются понятия и методы нелинейного функционального анализа и современного вариационного исчисления. 2. БИВАРИАЦИОННОСТЬ И СИММЕТРИЯ Рассмотрим операторное уравнение N (u) = 0, u ∈ D(N ), (2.1) где N : D(N ) ⊂ U → V - оператор, дифференцируемый в смысле Гато, U и V - линейные нормированные пространства над полем R вещественных чисел, D(N ) - область определения оператора N. Будем считать, что D(N ) - выпуклое множество, D(N ) = U и U ⊆ V. Предположим, что оператор N (2.1) потенциален на D(N ) относительно билинейной формы Φ(·, ·) : V × V → R. (2.2) Это означает, что существует такой функционал FN : D(FN ) = D(N ) → R, что его дифференциал Гато δFN [u, h] = Φ(N (u), h) ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N × ), где N × - производная Гато оператора N u u в точке u ∈ D(N ). Функционал FN , называемый гамильтоновым действием, можно найти по формуле 1 r FN [u] = 0 Φ(N (u˜(λ)),u - u0)dλ + const, (2.3) где u˜(λ) = u0 + λ(u - u0), u0 - фиксированный элемент D(N ). Определение 2.1. Оператор N : D(N ) ⊂ U → V называется B-потенциальным на множестве D(N ) относительно билинейной формы (2.2), если существуют такой функционал GN : D(GN ) = D(N ) → R и такой линейный оператор B : D(B) ⊂ V → V, что δGN [u, h] = Φ(N (u), Bh) ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N × , B) ≡ D(N × ) ∩ D(B). u u Если B = I - тождественный оператор, то оператор N является потенциальным. Функционал GN [u] можно найти по формуле (см. [13]) 1 r GN [u] = 0 (N (u˜(λ)), B(u - u0)⊗ dλ + const . (2.4) Определение 2.2. Обратимый линейный оператор Mu : D(Mu) ⊂ R(N ) → V (зависящий, вообще говоря, от u) называется вариационным мультипликатором для оператора N : D(N ) ⊂ U → V, если оператор N˜ = MuN потенциален на множестве D(N ) относительно данной билинейной формы. Следствие 2.1. Если оператор N уравнения (2.1) B-потенциален на множестве D(N ) относительно билинейной формы (2.2), то сопряженный оператор B∗ (если он существует, см. [14]) можно считать вариационным мультипликатором. Определение 2.3. Операторное уравнение (2.1) называется бивариационным на множестве D(N ) относительно билинейной формы (2.2), если существуют такие функционалы Fi,N : D(Fi,N ) = D(N ) → R и операторы Bi : D(Bi) ⊂ V → V, что u δFi,N [u, h] = Φ(N (u), Bih) ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N × , Bi), i = 1, 2. В дальнейшем нам потребуется следующая теорема. 598 В. М. ФИЛИППОВ, В. М. САВЧИН, С. А. БУДОЧКИНА Теорема 2.1 (см. [4]). Пусть оператор N : D(N ) ⊂ U → V и билинейная форма Φ(·, ·) : u V × V → R таковы, что для любых фиксированных элементов u ∈ D(N ), g, h ∈ D(N × , B) функция ψ(ε) = Φ(N (u + εh), Bg) принадлежит классу C1[0, 1]. Тогда для того, чтобы N был B-потенциальным на выпуклом множестве D(N ) относительно Φ, необходимо и достаточно, чтобы Φ(N × h, Bg) = Φ(N × g, Bh) ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N × , B). (2.5) u u u Рассмотрим на D(N ) инфинитезимальное преобразование u¯ = u + εS(u), (2.6) u , а R(S) = U. где S : D(N ) → D(N × ) - дифференцируемый в смысле Гато оператор, называемый генератором преобразования Определение 2.4. Функционал F : D(F ) = D(N ) ⊂ U → R называется инвариантным относительно преобразования (2.6), если справедливо соотношение F [u + εS(u)] = F [u]+ r(u, εS(u)) ∀u ∈ D(N ), (2.7) где r таково, что lim r(u, εS(u)) = 0. ε→0 ε В этом случае преобразование (2.6) называется симметрией функционала F [u], а оператор S называется генератором симметрии. Предположим, что оператор N или оператор N˜ = MuN, где Mu - вариационный мультипликатор, потенциален и B-потенциален (B /= I) относительно билинейной формы (2.2). Тогда у нас есть два различных гамильтоновых действия FN [u] и GN [u]. Теорема 2.2. Функционал (2.4) инвариантен относительно преобразования (2.6) тогда и только тогда, когда Φ(N (u), BS(u)) = 0 ∀u ∈ D(N ). (2.8) Доказательство. Пусть функционал (2.4) инвариантен относительно преобразования (2.6). Тогда, используя формулу получаем соотношение u N (u + εh) = N (u)+ εN × h + r(u, εh), u ∈ D(N ), GN [u + εS(u)] = GN [u]+ ε 1 r ˜ [Φ(N (u˜(λ)), BS(u)) + Φ(Nu× (λ) 0 λS(u), B(u - u0))]dλ + r(u, εS(u)). Следовательно, (2.7) можно записать в виде 1 r ˜ [Φ(N (u˜(λ)), BS(u)) + Φ(Nu× (λ) 0 λS(u), B(u - u0)))]dλ = 0 ∀u ∈ D(N ). (2.9) В силу B-потенциальности оператора N имеем соотношение ˜ Φ(Nu× (λ) ˜ λS(u), B(u - u0)) = Φ(Nu× (λ) (u - u0), λBS(u)) ∀u ∈ D(N ). Учитывая это соотношение, из (2.9) получаем, что 1 r Поскольку ˜ [Φ(N (u˜(λ)), BS(u)) + Φ(λNu× (λ) 0 d (u - u0), BS(u))]dλ = 0 ∀u ∈ D(N ). (2.10) ˜ Φ(λNu× (λ) из (2.10) следует, что (u - u0), BS(u)) = dλ Φ(λN (u˜(λ)), BS(u)) - Φ(N (u˜(λ)), BS(u)), Φ(N (u), BS(u)) = 0 ∀u ∈ D(N ). Этим доказана необходимость условия (2.8). Рассуждая в обратную сторону, можно доказать его достаточность. БИВАРИАЦИОННОСТЬ, СИММЕТРИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 599 Следствие 2.2. Если функционал FN инвариантен относительно преобразования u¯ = u + εS1(u), а функционал GN [u] инвариантен относительно преобразования u¯ = u + εS2(u), то функционал FN инвариантен относительно преобразования u¯ ∀αi ∈ R, i = 1, 2. Доказательство. Справедливы соотношения Φ(N (u), S1(u)) = 0 ∀u ∈ D(N ), = u + ε(α1S1(u) + α2BS2(u)) Следовательно, Φ(N (u), BS2(u)) = 0 ∀u ∈ D(N ). Φ(N (u), α1S1(u)+ α2BS2(u)) = 0 ∀u ∈ D(N ), ∀αi ∈ R, i = 1, 2. Таким образом, функционал FN инвариантен относительно преобразования u¯ = u + ε(α1S1(u)+ α2BS2(u1)). 3. ОПЕРАТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ С ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ И ВАРИАЦИОННЫМИ СИММЕТРИЯМИ Рассмотрим операторное уравнение N (u) ≡ P2u,tutt + P3u,tu2 1u,t t t + P u + Q(t, u) = 0, (3.1) d d2 u ∈ D(N ) ⊆ U ⊆ V, t ∈ [t0, t1] ⊂ R; ut ≡ Dtu ≡ dt u, utt ≡ dt2 u, где ∀t ∈ [t0, t1], ∀u ∈ U1, Piu,t : U1 → V1 (i = 1, 3) - линейные операторы, Q : [t0, t1] × U1 → V1 - произвольный оператор, D(N ) - область определения оператора N, D(N ) = {u ∈ U : u|t=t0 = ϕ1, u|t=t1 = ϕ2, ut|t=t0 = ϕ3, ut|t=t1 = ϕ4, ϕi ∈ U1, i = 1, 4}, (3.2) U = C2([t0, t1]; U1), V = C([t0, t1]; V1), U1, V1 - линейные нормированные пространства, U1 ⊆ V1. Предположим, что для любого t ∈ (t0, t1) и любых g(t), u(t) ∈ U1 функции P1u,tg(t), P3u,tg(t) непрерывно дифференцируемы. Предположим, что P2u,tg(t) дважды непрерывно дифференцируема на (t0, t1). Функция u ∈ D(N ) называется решением задачи (3.1), если она удовлетворяет уравнению (3.1). Далее мы будем писать t N (u) ≡ P2uutt + P3uu2 + P1uut + Q(u) = 0, имея в виду, что операторы P1u, P2u, P3u и Q могут зависеть еще и от t; символ (... )∗ обозначает оператор, сопряженный к (... ). Рассмотрим такую билинейную форму Φ(·, ·) ≡ t1 r (·, ·⊗ dt : V × V → R, (3.3) t0 что билинейное отображение Φ1(·, ·) ≡ (·, ·⊗ удовлетворяет следующим условиям: (v1(t), v2(t)⊗ = (v2(t), v1(t)⊗ ∀v1(t), v2(t) ∈ V1, Dt (v(t), g(t)⊗ = (Dtv(t), g(t)⊗ + (v(t), Dtg(t)⊗ ∀v, g ∈ C1([t0, t1]; V1). u u Теорема 3.1. Если Dt кососимметрична на D(N × , B), то оператор N уравнения (3.1) является B-потенциальным на D(N ) относительно билинейной формы (3.3) тогда и только тогда, когда ∀u ∈ D(N ), ∀t ∈ [t0, t1] на D(N × , B) выполняются следующие условия: 2u B∗P2u - P ∗ B = 0, (3.4) utP ∗ B - P ∗× (B(·); ut)+ B∗P3u(ut(·)) = 0, (3.5) 3u 2u ∂ -2 ∂t (P ∗ B)+ P ∗ B + B∗P1u = 0, (3.6) 2u 1u 600 В. М. ФИЛИППОВ, В. М. САВЧИН, С. А. БУДОЧКИНА ∂2 ∂ - ∂t2 (P ∗ B)+ ∂t (P ∗ B)+ B∗Q× - Q×∗B = 0, (3.7) 2u 1u u u ∂ ∂ 1u(B(·); ut)+ B P1u(ut; ·) - [P1u(ut; ·)] B + 2ut ∂t (P3uB) - 2 ∂t P2u(B(·); ut) = 0, (3.8) P ∗× ∗ × × ∗ ∗ ∗× 2u(utt; ·) - P2u(B(·); utt) - [P2u(utt; ·)] B + 2uttP3uB = 0, (3.9) B∗P × -P ∗×× ∗× ∗ × 2 × ∗ ∗ × 2 ∗ ∗× 2u (B(·); ut; ut)+ B P3u(ut ; ·) - [P3u(ut ; ·)] B + 2utP3u(B(·); ut) = 0. (3.10) Доказательство. Используя (3.1), получаем соотношение N × × 2 × × × uh = 2P3u(utht)+ P3u(ut ; h)+ P2uhtt + P2u(utt; h)+ P1uht + P1u(ut; h)+ Quh. В этом случае условие (2.5) можно записать в виде t1 r (2P (u h )+ P × (u2; h)+ P h + P × (u ; h)+ P h + P × (u ; h)+ Q× h, Bg) dt = 3u t t 3u t t0 t1 r 2u tt 2u tt 1u t 1u t u = (2P3u(utgt)+ P × (u2; g)+ P2ugtt + P × (utt; g)+ P1ugt + P × (ut; g)+ Q× g, h) dt, t0 то есть - в виде t1 r 3u t 2u 1u u ((2B∗P3u(utht)+ B∗P × (u2; h)+ B∗P2uhtt + B∗P × (utt; h)+ B∗P1uht+ 3u t 2u t0 + B∗P × (ut; h)+ B∗Q× h, g > - < -2Dt(utP ∗ Bh)+ [P × (u2; ·)]∗Bh + D2(P ∗ Bh)+ 1u u 3u 3u t t 2u +[P × (utt; ·)]∗Bh - Dt(P ∗ Buh)+ [P × (ut; ·)]∗Bh + Q×∗Bh, g))dt = 0 (3.11) 2u 1u 1u u Вычислим вторую производную Гато: ( u ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N × , B). ∂ \ D2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗× t (P2uBh) = Dt(Dt(P2uBh)) = Dt P2uBht + ∂t (P2uB)h + P2u(Bh; ut) = ∂2 ∂ = (P ∗ B)h +2 ∂ P ∗× (Bh; ut)+ 2 (P ∗ B)ht + P ∗××(Bh; ut; ut)+ 2P ∗× (Bht; ut)+ ∂t2 2u ∂t 2u ∂t 2u 2u 2u 2u(Bh; utt)+ P2uBhtt. (3.12) Далее, + P ∗× ∗ ∂ Dt(P ∗ Bh) = (P ∗ B)h + P ∗× (Bh; ut)+ P ∗ Bht, (3.13) 1u ∂t 1u 1u 1u ∂ Dt(utP ∗ Bh) = uttP ∗ Bh + ut (P ∗ B)h + utP ∗× (Bh; ut)+ utP ∗ Bht. (3.14) 3u 3u Из (3.11)-(3.14) следует, что ∂t 3u 3u 3u t1 r ; 2B∗P3u(utht)+ B∗P × (u2; h)+ B∗P2uhtt + B∗P × (utt; h)+ B∗P1uht + 3u t 2u t0 ∂2 ∂ ∂ + B∗P × (ut; h)+ B∗Q× h - ∂t2 (P ∗ B)h - 2 ∂t P ∗× (Bh; ut) - 2 ∂t (P ∗ B)ht- 1u u 2u 2u 2u 2u (Bh; ut; ut) - 2P2u(Bht; ut) - P2u(Bh; utt) - P2uBhtt- - P ∗×× ∗× ∗× ∗ ∂ - [P × (utt; ·)]∗Bh + 2uttP ∗ Bh + 2ut ∂t (P ∗ B)h + 2utP ∗× (Bh; ut)+ 2utP ∗ Bht- 2u 3u ∂ 3u 3u 3u \ -[P × (u2; ·)]∗Bh + P ∗ Bht + (P ∗ B)h + P ∗× (Bh; ut) - [P × (ut; ·)]∗Bh - Q×∗Bh, g dt = 0. 3u t 1u ∂t 1u 1u 1u u Таким образом, условие (3.11) представляется в виде БИВАРИАЦИОННОСТЬ, СИММЕТРИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 601 t1 r ((B∗P2u - P ∗ B) htt + (2B∗P3u(ut(·)) + B∗P1u + 2utP ∗ B- 2u 3u t0 ∂ 2 - 2 ∂t (P ∗ B) - 2P ∗× (B(·); ut) +P ∗ B) ht + B∗P × (u ; h)+ 2u 2u 1u 3u t ∂ + B∗P × (utt; h)+ B∗P × (ut; h)+ B∗Q× h + 2uttP ∗ Bh + 2ut (P ∗ B)h+ 2u 1u u 3u ∂2 ∂t 3u ∂ + 2utP ∗× (Bh; ut) - [P × (u2; ·)]∗Bh - (P ∗ B)h - 2 P ∗× (Bh; ut)- 3u 3u t ∂t2 2u ∂ ∂t 2u - P ∗×× ∗× × ∗ ∗ ∗× 2u (Bh; ut; ut) - P2u(Bh; utt) - [P2u(utt; ·)] Bh + ∂t (P1uB)h + P1u(Bh; ut)- -[P × (ut; ·)]∗Bh - Q×∗Bh, g) dt = 0 ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N × , B). 1u u u Оно тождественно выполняется тогда и только тогда, когда ∂ (B∗P2u - P ∗ B) htt + (2B∗P3u(ut(·)) + B∗P1u + 2utP ∗ B - 2 ∂t (P ∗ B)- 2u - 2P ∗× (B(·); ut) +P ∗ B) ht + B∗P × 3u (u2; h)+ B∗P × 2u (utt; h)+ B∗P × (ut; h)+ 2u 1u 3u t 2u 1u ∂ + B∗Q× h + 2uttP ∗ Bh + 2ut (P ∗ B)h + 2utP ∗× (Bh; ut)- u 3u 2 ∂t 3u 3u - [P × (u2; ·)]∗Bh - ∂ ∂ (P ∗ B)h - 2 P ∗× (Bh; u ) - P ∗××(Bh; u ; u )- 3u t ∂t2 2u ∂t 2u ∂ t 2u t t 2u(Bh; utt) - [P2u(utt; ·)] Bh + (P1uB)h + P1u(Bh; ut)- - P ∗× × ∗ ∗ ∗× ∂t - [P × (ut; ·)]∗Bh - Q×∗Bh = 0 ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N × , B). 1u u u Чтобы это равенство было справедливо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3.4)-(3.10). Теорема 3.2. Если D∗ = -Dt на D(N × , B), а оператор N, заданный формулой (3.1), B-потенt u циален относительно билинейной формы (3.3) на множестве D(N ), заданном формулой (3.2), то функционал FN представляется в виде t1 r r ; ∂ \ где FN [u] = t0 (R3u(utu), But⊗ + (R2uut, But⊗ + (R1(u), But⊗- (B∗R2u)u, ut ∂t + K[u] dt, (3.15) t1 1 r r Φ(R1(u), But) = ; -P1u˜(λ)(u - u0),B ∂u˜(λ) \ ∂t dλdt, t0 0 t1 1 r r Φ(R2uut, But) = t0 0 ; -P2u˜(λ)(ut - u0t ),B ∂u˜(λ) \ ∂t dλdt, t1 1 r r ; ( ∂u˜(λ) \ ∂u˜(λ) \ Φ(R3u(utu), But) = t0 0 -P3u˜(λ) - 0 (u u ) ,B ∂t ∂t dλdt, 1 r K[u] = 0 г (Q(u˜(λ)), B(u - u0)⊗ + λ ; ∂ \ ∂t (B∗P1u˜(λ))(u - u0),u - u0 - ; ∂2 \l а u0 - фиксированный элемент D(N ). - λ ∂t2 (B∗P2u˜(λ))(u - u0),u - u0 dλ, 602 В. М. ФИЛИППОВ, В. М. САВЧИН, С. А. БУДОЧКИНА Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству [5, теорема 2]. Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований r t = t + εϕ(t, u), где ϕ, ψ - некоторые операторы. G˜ : u(t) = u(t)+ εψ(t, u), (3.16) Используя преобразование (3.16), можно определить функцию u(t, ε) следующим образом: u = u + εS(u), (3.17) где S(u) = ψ(t, u) - utϕ(t, u). Определение 3.1. Функционал (3.15) называется инвариантным относительно преобразования (3.17), если FN [u + εS(u)] = FN [u]+ r(u, εS(u)) ∀T1 : t0 � T1 � t1, (3.18) где r таково, что lim r(u, εS(u)) = 0. ε→0 ε Теорема 3.3. Преобразование (3.17) является симметрией функционала (3.15) тогда и только тогда, когда (N (u), BS(u)⊗ + Dt r (R3u(utu), BS(u)⊗ + (R3u(uS(u)), But⊗ + (R2uut, BS(u)⊗ + ; ∂ \ + (R2uS(u), But⊗ + (R1(u), BS(u)⊗- (B∗R2u)u, S(u) ∂t = 0 ∀u ∈ W, t0 � t � t1. Доказательство теоремы 3.3 аналогично доказательству [1, теорема 1]. 4. ПРИМЕР Рассмотрим следующее уравнение в частных производных: N (u) ≡ utt + 2βv(t)utx + uxxxx + v2(t)uxx + βv×(t)ux = 0, (4.1) (x, t) ∈ QT = (a, b) × (0,T ). Определим D(N ) следующим образом: t,x D(N ) = {u ∈ U = C2,4(QT ) : u|t=0 = φ1(x), u|t=T = φ2(x) (x ∈ (a, b)), (4.2) u|x=a = ψ1(t), u|x=b = ψ2(t), ux|x=a = ψ3(t), ux|x=b = ψ4(t) (t ∈ (0,T ))}, где φi, ψj (i = 1, 2, j = 1, 4) - заданные непрерывные функции. Отметим, что оператор N, заданный уравнением (4.1), потенциален в области (4.2) относительно классической билинейной формы T b r r Φ(v, g) = 0 a v(x, t)g(x, t) dxdt. Уравнение (4.1) - это частный случай уравнения (3.1). Действительно, в этом случае справедливы равенства 1 P2 = I, P1 = 2βv(t)Dx , P ∗ = -2βv(t)Dx, 1 ∂P ∗ ∂t = -2βv×(t)Dx, P3 = 0, Q× = D4 + v2(t)D2 + βv×(t)Dx, Q×∗ = D4 + v2(t)D2 - βv×(t)Dx u x x u x x и импликации (3.4) =⇒ I - I = 0, (3.5) =⇒ 0 = 0, (3.6) =⇒ 2βv(t)Dx - 2βv(t)Dx = 0, (3.7) =⇒ -2βv×(t)Dx +D4 +v2(t)D2 +βv×(t)Dx -D4 -v2(t)D2 +βv×(t)Dx = 0, (3.8) =⇒ 0 = 0, (3.9) =⇒ 0 = 0, (3.10) x x x x =⇒ 0 = 0. Согласно теореме 3.2, справедливы соотношения 1 b 1 r 2 2 R2 = - 2 I, R1 = -βv(t)Dx, K[u] = 2 a {uxx - v(t)ux� dx, БИВАРИАЦИОННОСТЬ, СИММЕТРИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 603 где I - тождественный оператор. Таким образом, соответствующий функционал есть T b 1 r r 2 2 2 - FN [u] = 2 0 { ut - 2βv(t)uxut + uxx - v(t)ux� dxdt. (4.3) a t,x Отметим, что если u ∈ C2,∞(QT ), то операторы ∂2k+1u Sk(u) = ∂x2k+1 , k = 0, 1, 2,... , являются генераторами симметрий функционала (4.3). Соответствующие первые интегралы равны b r Ik [u] = a ! ∂2k+2u u · ∂2k+1∂t + (-1) k+1 βv(t) ( ∂k+1u \2 ∂xk+1 dx, k = 0, 1, 2,... 5. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ ЗАДАЧИ Продемонстрируем (численно) работу вариационного метода на простом линейном обыкновенном дифференциальном уравнении с непотенциальным оператором. Рассмотрим следующую задачу: d2u du 3 N (u) ≡ dx2 - 4 dx + x = 0, u(0) = u(1) = 0. (5.1) Через D(N ) = {u ∈ C2[0, 1] : u(0) = u(1) = 0} обозначим область определения оператора N. График точного решения u(x) = задачи (5.1) имеет вид: 25 128(e4 - 1) - (1 e4x)+ 1 16 (x4 + x3)+ 3 64 x2 + 3 x 128 Сам оператор (5.1) не является потенциальным относительно классической билинейной формы 1 r Φ(ν, g) = 0 ν(x)g(x)dx. (5.2) Однако существует такой вариационный мультипликатор (а именно, M (x) = e-4x), что оператор N˜ (u) = M (x)N (u) потенциален относительно билинейной формы (5.2). Соответствующий функционал для N˜ (u) имеет вид г 1 r 4x 2 3 1 ( du(x)\ FN˜ [u] = e- 0 u(x)x - 2 dx dx. 604 В. М. ФИЛИППОВ, В. М. САВЧИН, С. А. БУДОЧКИНА Применяя метод Ритца (см. [15]), находим три приближенных решения задачи (5.1), имеющих следующий вид: г ∞ Первое решение равно u˜(x) = x(1 - x) \(cixi) . i=0 второе решение и третье решение u1(x) = 0,02117x(1 - x), u2(x) = x(1 - x)(-0,00429 + 0,10889x), u3(x) = x(1 - x)(0,2158x2 - 0,03699x + 0,01416). График точного решения и графики вышеуказанных приближенных решений имеют вид: Выберем вспомогательный оператор B вида Bu(x) = u(1 - x) и рассмотрим сверточную билинейную форму 1 r Φ1(ν, g) = 0 ν(1 - x)g(x)dx. Оператор N, заданный формулой (5.1), потенциален относительно этой билинейной формы, а соответствующий функционал есть 1 r г 1 3 l где u×(x) = du(x) . dx GN [u] = 0 2 u×(x)u×(1 - x) - 2u(1 - x)u×(x)+ x u(1 - x) dx, (5.3) Применяя метод Ритца из [15], находим три приближенных решения задачи (5.1). Первое приближенное решение равно второе приближенное решение us1 (x) = x(1 - x) , 10 ( 29x 1 \ us2 (x) = x(1 - x) 133 - 19 , БИВАРИАЦИОННОСТЬ, СИММЕТРИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 605 и третье приближенное решение us3 (x) = x(1 - x) ( 73x2 x 7 \ 232 - 8 + 232 . Графики точного решения и приближенных решений, найденных с помощью функционала (5.3), имеют вид Оценим отклонения приближенных решений от точного по норме пространства L2: 1 ⎡ 1 r I(f ) = ⎣ 0 ⎤ 2 (f (x))2dx⎦ . Вначале рассмотрим приближенные решения, найденные с помощью классической билинейной формы. Их отклонения от точного решения u(x) равны I1 = 0,009469, I2 = 0,003695 и I3 = 0,00076 соответственно. Отклонения от точного решения u(x) приближенных решений, найденных с помощью сверточной билинейной формы, равны Is1 = 0,1029, Is2 = 0,002513 и Is3 = 0,000539 соответственно. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Задача о построении функционала, множество критических (экстремальных или стационарных) точек которого совпадает с множеством решений заданного уравнения, остается важной и актуальной. Ее решение может быть не единственным. Поэтому для ее исследования могут использоваться различные гамильтоновы действия, порождающие данную систему. Представляет интерес исследование их свойств. Мы устанавливаем связь между вариационными симметриями двух разных гамильтоновых действий, порождающих одну ту же систему. Для заданного эволюционного операторного уравнения второго порядка найдены необходимые и достаточные условия существования непрямых решений обратной задачи вариационного исчисления. Задача сводится к поиску вспомогательного оператора, удовлетворяющего выведенным уравнениям. При данных условиях возможно получить непрямые вариационные формулировки данных проблем в рамках неэйлеровых классов функционалов. Их использование для поиска приближенных решений указанных задач и первых интегралов эволюционных систем интересно и актуально.

Об авторах

В. М. Филиппов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: v.filippov@rudn.ru
Москва, Россия

В. М. Савчин

Российский университет дружбы народов

Email: savchin-vm@rudn.ru
Москва, Россия

С. А. Будочкина

Российский университет дружбы народов

Email: budochkina-sa@rudn.ru
Москва, Россия

Список литературы