О решении линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Аннотация

Получены явные формулы для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Находится решение системы с начальными условиями. Приведены примеры расчетов, показывающие истинность утверждений. Более сложной для решения оказалась задача нахождения математического ожидания решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, коэффициенты которых являются случайными процессами. Рассмотрен пример с гауссовыми коэффициентами.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 549 2. Операторные функции 550 3. Система дифференциальных уравнений со специальными начальными условиями 552 4. Система дифференциальных уравнений с более общими начальными условиями 552 5. Линейное неоднородное уравнение 553 6. Математическое ожидание решения линейной системы дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами 554 7. Решение уравнения с обычной и вариационной производными 555 8. Математическое ожидание решения задачи (6.1), (6.2) 558 9. Частные случаи 558 10. Примеры 559 11. Заключение 561 Список литературы 561 1. ВВЕДЕНИЕ Решения скалярных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка могут быть записаны в квадратурах [1, 4, 8-10]. Содержательная теория и некоторые применения таких уравнений со многими переменными рассмотрены благодаря тесной связи с системами обыкновенных дифференциальных уравнений в [8]. Большой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений первого порядка внес С. Н. Кружков [7]. Системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных изучены в меньшей степени. Пусть C - множество комплексных чисел, Y - вещественное n-мерное пространство. Мы рассмотрим систему дифференциальных уравнений ∂y ∂y ∂t = a1(t)A∂z ∂y + a2(t) ∂x + a3(t)y + b(t, z, x). (1.1) Здесь a1, a2, a3 - заданные функции, y : T × R × R → Y - искомая функция, A - линейный оператор, действующий в пространстве Y, а b : T × R × R → Y - заданное отображение. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 549 550 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА Базис в пространстве Y может быть выбран таким образом, чтобы матрица, соответствующая оператору A, имела верхний треугольный вид. При этом систему уравнений можно последовательно интегрировать, решая скалярные линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Этим способом можно находить решение и линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным оператором y× = Ay, (1.2) где y : T → Y. Однако во многих случаях (см. [6, с. 76]) удобнее использовать фундаментальную операторную функцию ∞ k Φ(t)= exp(At)= '\" (At) . k! k=0 Решение системы уравнений (1.2) с начальным условием y(t0) = y0 записывается в виде y(t)= Φ(t)Φ-1(t0)y0. Оказывается, решение системы дифференциальных уравнений (1.1) можно записать аналогичным образом. Более сложной является задача нахождения математического ожидания решения линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которой являются случайными процессами. Эта задача сводится к детерминированной системе дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными, для которой удается получить явную формулу решения и выписать математическое ожидание решения с использованием характеристического функционала случайных коэффициентов. 2. ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Пусть E обозначает оператор тождественного преобразования в пространстве Y. Рассмотрим операторную функцию ⎛ rt Yk(t, z)= dk ⎝zE + t0 где z ∈ C, a - заданная функция на отрезке [t0, t1]. ⎞k a(s)dsA⎠ , (2.1) Теорема 2.1. Пусть a - непрерывная функция на [t0, t1], тогда существуют производные ∂Yk , ∂Yk и Y является решением уравнения ∂t ∂z k ∂Y ∂Y = a(t)A ∂t ∂z . (2.2) Доказательство. Пусть Лz - приращение переменной z. По формуле бинома Ньютона [2, с. 163] k ⎛ rt ⎞ k ⎛ rt ⎞ k-m ⎝zE + ЛzE + A t0 a(s) ds⎠ k = '\" Cm ⎝zE + A m=0 t0 a(s) ds⎠ ЛzmEm, где Cm = k! . k m!(k - m)! При этом 1 ⎡ k ⎛ 1 t ⎞k-m r ⎛ rt ⎞k⎤ (Yk (t, z + Лz) - Yk (t, z)) = ⎢'\" Cm⎝zE +A a(s) ds⎠ ЛzmEm -⎝zE +A a(s) ds⎠ ⎥= Лz ⎡ ⎛ t 1 r Л z ⎣ k m=0 ⎞k-1 t0 k ⎛ '\" ⎦ t0 t ⎞k-m ⎤ r = ⎢k zE + A a(s) ds ЛzE + Cm zE + A a(s) ds ЛzmEm⎥ . Лz ⎣ ⎝ ⎠ t0 k ⎝ ⎠ ⎦ m=2 t0 О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 551 Переходя к пределу при Лz → 0, получаем ∂Yk (t, z) = kd ⎛ rt zE + A a(s)ds ⎞k-1 . (2.3) ∂z k ⎝ ⎠ t0 Пусть теперь Лt - приращение переменной t. Воспользовавшись теоремой о среднем значении [5, с. 353] и формулой бинома Ньютона, находим t+ t t r r A a(s) ds = A t0 t0 a(s) ds + A t+ t t r r a(s) ds = A t t0 a(s) ds + a(t)AЛt + o(Лt), здесь o(Лt) - бесконечно малая высшего порядка относительно Лt. ⎡⎛ t 1 1 r ⎞k ⎛ t r ⎞k⎤ (Yk (t + Лt, z) - Yk(t, z)) = Лt ⎝ ⎢ zE +A Лt ⎣ t0 a(s) ds + a(t)AЛt + o(Лt)⎠ -⎝zE +A t0 ⎠ a(s) ds ⎥= ⎦ ⎛ t 1 r ⎞k-1 ⎛ k 1 '\" rt ⎞ k-m ⎝ = k zE + A Лt t0 k a(s) ds⎠ (a(t)AЛt+o(Лt))+ Лt m=2 Cm⎝zE + A t0 a(s) ds⎠ (a(t)AЛt+o(Лt))m. Переходя к пределу при Лt → 0, получаем ∂Yk (t, z) = kd a(t)A ⎛ rt zE + A a(s)ds ⎞k-1 . (2.4) ∂t k ⎝ ⎠ t0 Подстановка (2.3), (2.4) в уравнение (2.2) показывает, что (2.1) является решением (2.2). Рассмотрим операторную функцию k ∞ ⎛ rt ⎞ ∞ Y (t, z)= '\" dk ⎝zE + k=0 Подставим (2.5) в уравнение (2.2), получим ∞ a(s)dsA⎠ t0 ∞ = '\" Yk (t, z). (2.5) k=0 '\" ∂Yk (t, z) = '\" a(t)A∂Yk (t, z) . (2.6) ∂t k=0 ∂z k=0 Поскольку в (2.6) записано равенство степенных рядов по переменной z и Yk удовлетворяет равенствам (2.2), то Y (t, z) является решением уравнения (2.2). Таким образом, если функция y(z) дифференцируема по z ∈ C и функция a(t) непрерывна на [t0, t1], то ⎛ rt Y (t, z)= y ⎝zE + A t0 ⎞ a(s)ds⎠ (2.7) является решением уравнения (2.2), причем выполняется начальное условие Y (t0, z) = y(zE) = = y(z)E. Отметим, что формула (2.7) для решения линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (2.2) нам ранее не встречалась. 552 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА 3. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с начальным условием ∂y ∂y ∂t = a1(t)A∂z ∂y + a2(t) ∂x + a3(t)y (3.1) y(t0, z, x)= y0(z)y1(x)ξ. (3.2) Здесь t0 ∈ R задано, y0 : C → R, y1 : C → R - известные функции, ξ ∈ Y. Введем в рассмотрение операторную функцию ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ Φ(t, z, x)= y0 ⎝zE + A t0 a1(s) ds⎠ y1 ⎝x + t0 a2(s) ds⎠ . (3.3) Теорема 3.1. Пусть a1, a2, a3 - непрерывные функции на [t0, t1], y0(z), y1(x) - дифференцируемые функции, ξ ∈ Y, тогда t r y(t, z, x)= Φ(t, z, x) exp( t0 a3(s) ds)ξ (3.4) является решением задачи (3.1), (3.2). Доказательство. Проверим выполнение начального условия (3.2): y(t0, z, x)= Φ(t0, z, x)ξ = y0(zE)y1(x)ξ = y0(z)Ey1(x)ξ = y0(z)y1(x)ξ. Воспользовавшись тем, что y0 нию (2.2), находим / t \ zE + A Г a1(s) ds t0 дифференцируемо и удовлетворяет уравне- ⎡ ⎢ ∂y ⎢ ⎢ = a1(t)A ∂t ⎢ ⎣ ∂y0 / t \ zE + A Г a1(s) ds t0 y1 ∂z ⎛ rt ⎝x + t0 ⎞ a2(s) ds⎠ t r exp( t0 a3(s) ds)+ ⎛ rt ⎞ ∂y1 / t x + Г t0 \ a2(s) ds t r +y0 ⎝zE + A t0 a1(s) ds⎠ a2(t) exp( ∂x t0 a3(s) ds)+ ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ rt ⎤ +y0 ⎝zE + A t0 a1(s) ds⎠ y1 ⎝x + t0 a2(s) ds⎠ a3(t) exp( t0 a3(s) ds)⎦ ξ. Подставив это выражение и (3.4) в (3.1), получаем равенство, т. е. (3.4) является решением задачи (3.1), (3.2). 4. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЕЕ ОБЩИМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Для уравнения (1.1) более естественно начальное условие вида y(t0, z, x)= y0(z)y1(x), (4.1) где y0 - векторная функция y0 : C → Y, y1 : C → R. n Пусть {ej },j = 1,... ,n - базис в Y, тогда y0(z)= ), y0j (z)ej. Пусть j=1 ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ Φj (t, z, x)= y0j ⎝zE + A t0 a1(s) ds⎠ y1 ⎝x + t0 a2(s) ds⎠ , j = 1,... .n. О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 553 Теорема 4.1. Пусть a1, a2, a3 - непрерывные функции на [t0, y1], y0 : C → Y, y1 : C → R - дифференцируемые отображения, тогда n ⎛ t ⎞ r y(t, z, x)= '\" Φj (t, z, x) exp ⎝ a3(s) ds⎠ ej (4.2) j=1 t0 является решением уравнения (3.1) с начальным условием (4.1). Доказательство. Уравнение (3.1) является линейным однородным дифференциальным уравнением. Решение уравнения, у которого начальное условие является конечной линейной комбинацией, является линейной комбинацией решений, соответствующих каждому слагаемому, следовательно, (4.2) - решение задачи (3.1), (4.1). n Замечание 4.1. Если в начальном условии (4.1) y0 : C → R, y1 : C → Y, то y1(x)= ), y1j (x)ej. j=1 Пусть ⎛ rt ⎞ ⎛ rt ⎞ Φj1(t, z, x)= y0 ⎝zE + A t0 a1(s) ds⎠ y1j ⎝x + t0 a2(s) ds⎠ , j = 1,... , n. Тогда решение задачи (3.1), (4.1) имеет вид n rt y(t, z, x)= '\" Φj1(t, z, x) exp( a3(s) ds)ej . j=1 t0 5. ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ Теорема 5.1. Пусть в уравнении (1.1) функции a1, a2, a3 : T → C непрерывны, y0 : C → Y, y1 : C → R - дифференцируемые отображения, b : R × C × C → Y непрерывная по t и диффеn ренцируемая по z и x функция b(t, z, x)= ), bj (t, z, x)ej , тогда j=1 t n r y(t, z, x)= '\" Φj (t, z, x) exp( a3(s) ds)ej + j=1 t0 t n r ⎛ rt rt ⎞ rt + '\" j=1 t0 bj ⎝s, zE + A s a1(τ ) dτ, x + s a2(τ ) dτ ⎠ exp( s a3(τ ) dτ ) ds ej (5.1) является решением задачи Коши (1.1), (4.1). Доказательство. Первое слагаемое - это решение линейного однородного уравнения (3.1) с начальным условием (4.1). Поскольку уравнение (1.1) линейное, то достаточно доказать, что второе слагаемое в (5.1) является решением линейного неоднородного уравнения (1.1). Пусть Dm обозначает частную производную функции y по переменной с номером m. Вычислим производную: ⎛ n t ⎛ t r r rt ⎞ rt ⎞ ∂ '\" ∂t ⎝ j=1 t0 bj ⎝s, zE + A s a1(τ ) dτ, x + s a2(τ ) dτ ⎠ exp( s a3(τ ) dτ ) ds ej ⎠ = t n n r ⎛ rt rt ⎞ rt = '\" bj (t, zE, x)ej + '\" a1(t)AD2bj ⎝s, zE +A a1(τ ) dτ, x+ a2(τ ) dτ⎠exp( a3(τ ) dτ ) ds ej + j=1 j=1t0 t n r ⎛ s s s rt rt ⎞ rt + '\" j=1 t0 a2(t)D3bj ⎝s, zE + A s a1(τ ) dτ, x + s a2(τ ) dτ ⎠ exp( s a3(τ ) dτ ) ds ej + 554 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА t n r ⎛ rt rt ⎞ rt + '\" j=1 t0 bj ⎝s, zE + A s a1(τ ) dτ, x + s a2(τ ) dτ ⎠ exp( s a3(τ ) dτ )a3(t) ds ej. Легко видеть, что это выражение равно правой части уравнения (1.1), в которую подставлено второе слагаемое выражения (5.1). 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Пусть L1(T ) - пространство суммируемых функций на отрезке T с нормой lvl = Г |v(t)|dt, T ψ : L1(T ) → C - функционал, h ∈ L1(T ) - приращение переменной v. Определение 6.1. Если r ψ(v + h) - ψ(v)= T ϕ(t, v)h(t) dt + o(h), где o(h) - бесконечно малая высшего порядка относительно h, и интеграл (Лебега) является линейным ограниченным функционалом по переменной h, тогда отображение ϕ : T × L1(T ) → C называется вариационной производной функционала ψ в точке v и обозначается δψ(v) . δv(t) Вариационное дифференцирование аналогично обычному дифференцированию. Пусть ε(t, ω) обозначает случайный процесс (ω - случайное событие; см. [3]). В дальнейшем случайный процесс обозначается просто ε(t), а E[ε] обозначает математическое ожидание случайного процесса ε. Определение 6.2 (см. [3, с. 30]). Функционал r ψ(v)= E[exp(i ε(s)v(s) ds)], - где v ∈ L1(T ),i = √ T 1, называется характеристическим функционалом случайного процесса ε. Отметим, что с помощью характеристического функционала можно находить моментные функции случайного процесса, например (см. [3]), δψ(v) v=0 δv(t) = iE[ε(t)], δ2ψ(v) v=0 δv(t)δv(τ ) = -E[ε(t)ε(τ )]. Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка ∂y ∂y = ε(t)A ∂t ∂z + b(t, z), (6.1) y(t0, z)= y0(z), (6.2) где t ∈ T ⊂ R, t0 задано, y : T × R → Y - искомое отображение, b : T × R → Y - случайный векторный процесс, A - постоянный оператор, действующий в пространстве Y, Y - конечномерное пространство со скалярным произведением < ·, · >, ε - случайный процесс, y0(z) - случайный векторный процесс. Будем считать, что процессы ε и b заданы характеристическим функционалом, т. е. считаем известным ⎡ r ψ(v1, v2)= E ⎣exp(i T r r ε(s)v1(s) ds + i T R ⎤ < b(s1, s2), v2(s1, s2) > ds2 ds1)⎦ . Здесь < ·, · > обозначает скалярное произведение в Y. О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 555 Введем обозначение r w = exp(i T r r ε(s)v1(s) ds + i T R < b(s1, s2), v2(s1, s2) > ds2 ds1). Умножим уравнение (6.1) на w и возьмем математическое ожидание полученного равенства. Находим Введем обозначение г ∂y l E w ∂t г ∂y l = E ε(t)A w ∂z + E[b(t, z)w]. (6.3) � y(t, z, v1, v2)= E[y(t, z)w]. y. Уравнение (6.3) (формально) можно записать с помощью � Имеем δ ∂ � ∂y - � = iA ∂t y 1 δv (t) ∂z - i δψ δv2(t, z) . (6.4) Умножив начальные условие (6.2) на w и вычислив математическое ожидание полученного равенства, получим E[y(t0, z)w]= E[y0(z)w]= E[y0(z)]E[w]= E[y0(z)]ψ(v1, v2). Здесь мы предполагаем, что y0 не зависит от ε и b. Последнее равенство запишем в виде � y(t0, z, v1, v2)= E[y0(z)]ψ(v1 , v2). (6.5) Определение 6.3. Математическим ожиданием E[y(t, z)] решения задачи Коши (6.1), (6.2) называется � t, z, 0, 0), где � t, z, v1, v2) - решение задачи (6.4), (6.5) в некоторой окрестности точки y( y( v1 = 0, v2 = 0. y( Таким образом, для нахождения математического ожидания E[y(t, z)] решения задачи (6.1), (6.2) достаточно найти решение � t, z, v1, v2) неслучайной (детерминированной) задачи (6.4), (6.5) в малой окрестности точки v1 = 0, v2 = 0. 7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ОБЫЧНОЙ И ВАРИАЦИОННОЙ ПРОИЗВОДНЫМИ Пусть Fz (g(z))(ξ) обозначает преобразование Фурье функции g по переменной z (см. [12]). Применив преобразование Фурье по переменной z к уравнениям (6.4), (6.5), получим Fz ( ∂ y)= ∂t � -ξA δ δv1(t) y) Fz (� - iFz ( δψ δv2(t, z) ), (7.1) � Fz (y)(t0, ξ, v1, v2)= Fz (E[y0(z)])(ξ)ψ(v1 , v2). (7.2) Уравнение (7.1) похоже на уравнение (1.1), но вместо частной производной по z в уравнении (7.1) стоит вариационная производная δ . δv1(t) Пусть χ(t0, t, s) - функция переменной s ∈ R, определенная следующим образом: χ(t0, t, s) = sign(s - t0) при s, принадлежащем отрезку [min{t0, t}, max{t0, t}], и χ(t0, t, s) = 0 при s, не принадлежащих отрезку. Рассмотрим отображение gk : L1(T ) → R, r gk (v)= T r ... T Bk (s1, s2,... , sk )v(s1) ... v(sk ) ds1 ... dsk, где Bk - непрерывная, симметричная по любой паре переменных функция. Теорема 7.1. Пусть a - непрерывная на отрезке [t0, t1] = T функция, A - линейный оператор, действующий в Y. Тогда существует частная производная по переменной t отображения r Φk (t, v)= T r ... T Bk(s1, s2,.. ., sk)(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk )E + a(sk )χ(t0, t, sk )A) ds1.. .dsk и справедливо равенство 556 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА r r ∂Φk (t, v) = a(t)Ak ... B (s ,s ,.. .,s , t)(v(s )E + a(s )χ(t , t,s )A) × ∂t k 1 2 T T k-1 1 1 0 1 × ... × (v(sk-1)E + a(sk-1)χ(t0, t, sk-1)A) ds1.. .dsk-1. (7.3) Доказательство. Пусть Лt - приращение переменной t, тогда, используя формулу бинома Ньютона и симметричность функции Bk, получаем 1 (Φk (t+Лt, v) - Φk (t, v)) = Лt 1 r r = ... Bk (s1,.. ., sk )[(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t+Лt, s1)A) .. .(v(sk )E + a(sk)χ(t0,t + Лt, sk)A) - Лt T T - (v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A) ... (v(sk )E + a(sk )χ(t0, t, sk )A)] ds1.. .dsk = 1 r r k r = ... Bk (s1,.. ., sk)'\"Cm (v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk m)E + a(s )χ(t , t,s )A) × T T k Лt m=0 - k-m 0 k-m × (a(sk-m+1)χ(t, t + Лt, sk-m+1)) ... (a(sk )χ(t, t + Лt, sk)) - - (v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk )E + a(sk )χ(t0, t, sk )A) k r r ds1.. .dsk = = ... Bk (s1,.. ., sk)(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk-1)E + a(sk-1)χ(t0, t, sk-1)A) × Лt T T 1 r r × (a(sk )χ(t, t + Лt, sk)A) ds1.. .dsk + k + ... Bk (s1,.. ., sk)'\"Cm(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk m)E + a(s )χ(t , t,s )A) × T T k Лt m=2 - k-m 0 k-m × Ak-ma(sk -m+1)χ(t, t + Лt, s k-m+1 ).. .a(sk )χ(t, t + Лt, sk ) ds1.. .dsk . (7.4) Согласно теореме о среднем значении [11, с. 113], при непрерывной функции f t+ t 1 r 1 r f (sk)Aa(sk )χ(t, t + Лt, sk) dsk = Лt Лt T t f (sk)Aa(sk ) dsk → Aa(t)f (t) при Лt → 0. Переходя к пределу в равенстве (7.4) при Лt → 0, получаем (7.3). Теорема 7.2. В условиях теоремы 7.1 существует частная вариационная производная δpΦk (t, v) δv(t) и справедливо равенство δpΦ(t, v) = k r r ... B (s ,... ,s , t)(v(s )E + a(s )χ(t , t,s )A) δv(t) k 1 k-1 1 T T 1 0 1 × × ... × (v(sk-1)E + a(sk-1)χ(t0, t, sk-1)A)ds1 ... dsk-1. (7.5) Доказательство. Пусть h - приращение переменной v, тогда Φk (t, v + h) - Φk(t, v)= r r = ... T T Bk (s1,... , sk )[(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A + h(s1)E) ... (v(sk )E+ +a(sk )χ(t0, t, sk )A+h(sk )E)-(v(s1)E +a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk )E +a(sk )χ(t0, t, sk )A)] ds1.. .dsk = r r = k ... Bk(s1,.. ., sk)(v(s1)E+a(s1)χ(t0, t, s1)A).. .(v(sk-1)E+a(sk-1)χ(t0, t, sk-1)A)h(sk )E ds1.. .dsk + T T О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 557 r r + ... k k Bk (s1,... , sk ) '\" Cm(v(s1)E + a(s1)χ(t0, t, s1)A) × T T m=2 × ... × (v(sk-m)E + a(sk-m)χ(t0, t, sk-m))h(sk-m+1) ... h(sk )E ds1 ... dsk. (7.6) Последнее слагаемое является бесконечно малой величиной высшего порядка относительно h. Согласно определению вариационной производной из (7.6) следует существование δpΦ(t, v) δv(t) и ее представление в виде (7.5). Замечание 7.1. Из соотношений (7.3), (7.5) следует, что Φk удовлетворяет операторному дифференциальному уравнению ∂Φk (t, v) = a(t)AδpΦk(t, v) . (7.7) ∂t ),∞ δv(t) Пусть теперь Φ(t, v) = k=0 Φk(t, v). Поскольку Φk,k = 0, 1,... удовлетворяют уравнению (7.7), то Φ удовлетворяет уравнению ∂Φ(t, v) ∂t = a(t)A δpΦ(t, v) . δv(t) Теорема 7.3. Пусть функционал ψ(v1, v2) разлагается в ряд r ∞ ψ(v1, v2)= '\" r ... ψk (s1,... , sk, v2)v1(s1) ... v1(sk) ds1 ... dsk, ψ00 = 1, (7.8) k=0 T T где ψkm - симметрические по любой паре переменных функции, имеющие вариационные производные по переменной v2. Тогда t r � Fz (y)(t, ξ, v1, v2)= Fz (E[y0])(ξ)ψ(v1 E - ξχ(t0, t)A, v2) - i t0 является решением задачи (7.1), (7.2). F ( δpψ(v1E - ξχ(s, t)A, v2) ds z δv2(s, z) Доказательство. Легко видеть, что условие (7.2) выполняется. Переменная v2 в уравнении (7.1) является параметром. Отображение ψ(v1E - ξχ(t0, t)A, v2) удовлетворяет уравнению - . ∂ψ(v1E - ξχ(t0,t)A, v2) = ξAδpψ(v1E - ξχ(t0,t)A, v2) ∂t Используя это равенство, находим � ∂Fz (y)(t, ξ, v1,v2) = -ξA δv1(t) - δpψ(v1E - ξχ(t0,t)A, v2) F (E[y ])(ξ) ∂t δv1(t) z 0 - iFz t ( δpψ(v1E, v2) r δv (t, z) - i F z ( δ2ψ(v1E - ξχ(s, t)A, v2)ξA δv (t)δv (s, z) ds. Далее, 2 1 2 t0 � δpFz (y)(t, ξ, v1,v2) = δpψ(v1E - ξχ(t0,t)A, v2) t r F (E[y ])(ξ) - i F ( δ2ψ(v1E - ξχ(s, t)A, v2) ds. δv1(t) δv1(t) z 0 z t0 δv1(t)δv2(s, z) Подстановкой этих выражений в (7.1) убеждаемся, что (7.8) является решением уравнения (7.1). 558 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА 8. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (6.1), (6.2) Для нахождения среднего значения решения задачи (6.1), (6.2) нужно найти отображение y(t, z, v1, v2). Это можно сделать, вычислив обратное преобразование Фурье F-1 выражения (7.8). � ξ Поскольку преобразование Фурье от произведения равно свертке преобразований Фурье сомножителей (см. [12, с. 154]), то t r y(t, z, v1, v2)= F-1ψ(v1E-ξχ(t0, t)A, v2))∗E[y0 (z)]-i F-1 F ( (δpψ(v1E -ξχ(s, t)A, v2) z ds. (8.1) � ξ ξ t0 δv2(s, z) Здесь ∗ обозначает свертку по переменной z. Теорема 8.1. Пусть характеристический функционал ψ(v1, v2) разлагается в степенной ряд вида (7.8), тогда t r ξ E[y(t, z)] = F-1ψ(-ξχ(t0, t)A, 0)) ∗ E[y0(z)] - i t0 ( F ξ -1 Fz ( δpψ(-ξχ(s, t)A, 0) δv2(s, z) ds (8.2) является математическим ожиданием решения задачи (6.1), (6.2). y( Доказательство. Поскольку E[y(t, z)] = � t, z, 0, 0), то утверждение получается подстановкой v1 = 0, v2 =0 в (8.1). 9. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ Пусть процессы ε и b независимы, тогда ψ(v1, v2) = ψε(v1)ψb(v2), где ψε, ψb - характеристические функционалы для ε и b соответственно. При этом δpψ(-ξχ(s, t)A, 0) = ψ (-ξχ(s, t)A) δpψb(0) = iψ (-ξχ(s, t)A)E[b(s, z)]. δv2(s, z) ε δpv2(s, z) ε Среднее значение E[y(t, z)] решения задачи (6.1), (6.2) имеет вид t r ξ E[y(t, z)] = F-1ψε(-ξχ(t0, t)A)) ∗ E[y0(z)] + t0 ξ F-1(ψε(-ξχ(s, t)A)Fz (E[b(s, z)]))ds = t r = F-1 ξ (ψε(-ξχ(t0, t)A)) ∗ E[y0(z)] + t0 ξ F-1(ψε(-ξχ(s, t)A)) ∗ E[b(s, z)]ds. Отметим, что для нахождения математического ожидания E[y(t, z)] нужно знать характеристический функционал процесса ε и только математическое ожидание процесса b. Пусть процессы ε и b независимы и ε - гауссов случайный процесс с характеристическим функционалом r ψε(v1)= exp(i T 1 rr E[ε(s)]v1(s)ds- 2 T T (E[ε(s1)ε(s2)] - E[ε(s1)]E[ε(s2)])v1(s1)v1(s2)ds1ds2). При этом находим r E[y(t, z)] = F-1 (exp(-i t t t 1 rr ξE[ε(s)]A ds- ξ2A2(E[ε(s )ε(s )]-E[ε(s )]E[ε(s )])ds ds )∗E[y (z)]))+ ξ 2 t0 t0 t0 1 2 1 2 1 2 0 t t r r + F-1 t t 1 rr 2 2 ξ (exp(-i t0 s ξE[ε(τ )]Adτ - 2 s s ξ A (E[ε(s1)ε(s2)]-E[ε(s1)]E[ε(s2)])ds1ds2) ∗ E[b(s, z)]))ds. О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 559 Приведем еще один пример. Пусть процессы ε и b независимы и процесс ε имеет равномерное распределение с характеристическим функционалом ψε(v1)= sin Г a(s)v1(s)ds T Г a(s)v1(s)ds T ⎛ r exp ⎝i T ⎞ E[ε(s)]v1(s)ds⎠ , a(s) � 0. Аналогично вычисляя, получаем ⎛ t ⎞ sin ξ Г a(s)Ads E[y(t, z)] = F-1 ⎜ exp ⎛ rt iξ ⎞ ⎠⎟ E[ε(s)]Ads ⎟ E[y (z)] + ⎜ t0 t ⎜ ⎝ ⎟ ∗ 0 ⎝ ξ Г a(s)Ads t0 ⎠ t0 ⎛ t ⎞ t Г t sin ξ a(τ )Adτ ⎛ ⎞ r r ⎜ ⎟ + F-1 ⎜ s ⎜ t exp ⎝iξ ⎟ E[ε(τ )]Adτ ⎠⎟ ∗ E[b(s, z)]ds. Выражение t0 ⎝ ξ Г a(τ )Adτ s ⎠ s t sin ξ Г a(s)Ads t0 обозначает сумму ряда t ξ Г a(s)Ads t0 ∞ '\" k=1 t (-1)k+1(ξ Г a(s)A)k-1 t0 . k! 10. ПРИМЕРЫ Пример 10.1. Рассмотрим систему уравнений ∂y1 = 2(t - 1) ∂y1 + (t - 1) ∂y2 + (t2 + 1) ∂y1 + y + t2zx3, ∂t ∂z ∂z ∂x 1 ∂y2 = 2(t - 1) ∂y2 + (t2 + 1) ∂y2 + y + tz2x ∂t с начальными условиями ∂z ∂x 2 y1(0, z, x)= z2, y2(0, z, x)= x2z. Задача имеет вид (1.1), (4.1), где a1(t)= t - 1, a2(t)= t2 + 1, a3(t)= 1, ( 2 1 ( t2zx3 ( z2 ( 1 ( 0 A = 0 2 , b(t, z, x)= tz2x , y(0, z, x)= x2z , e1 = 0 , e2 = 1 . По формуле (5.1) выпишем решение системы: y (t, z, x)= et ( zE + A t ( t2 2 2 - t e1 + et ( zE + A ( t2 2 ( t3 - t x + 3 2 + t e2+ r + [et-ss2 ( zE + A ( t2 s2 - - t + s ( t3 x + s3 3 - + t - s e + 0 + et-ss 2 ( zE + A 2 ( t2 s2 - - t + s 3 3 2 ( t3 s3 x + - 1 + t - s e ] ds. (10.1) 2 2 3 3 2 560 В. Г. ЗАДОРОЖНИЙ, Л. Ю. КАБАНЦОВА zE + A ( t2 s2 - - t + s ⎛ 2 = ⎝ z + t 2 - s - 2t + 2s t2 s2 ⎞ 2 - 2 - t + s ⎠ , ( zE + A ( t2 2 2 2 s2 - 2 - t + s 2 = 0 z + t2 - s2 - 2t + 2s ((z +t2 -s2 -2t+2s)2 (z +t2 -s2 -2t+2s)(t2 -s2 -2t+2s) 0 (z + t2 - s2 - 2t + 2s)2 . Подставляя эти выражения в (10.1), после интегрирования и упрощающих преобразования находим y1 = -206313024 + 206313024et - 208491824t + 2178800et t - 103705016t2 - 1630292et t2- -33516680t3 - 327933et t3 - 7808856t4 - (45455et t4)/6 - 1371960t5 + (15475et t5)/3 - 183816t6 + +327ett6 - 18384t7 + (260et t7)/9 - 1272t8 - (299et t8)/18 - 48t9 + (2ett9)/9 - (4ett10)/27+ +(2ett11)/27 + 1029552x - 1029552et x + 1051816tx - 22264et tx + 521572t2 x + 15466et t2x+ +165004t3 x + 2253et t3x + 36456t4 x + 499/3et t4x + 5736t5x - 299/3et t5x + 612t6x + 36t7x- -4/3ett7x + 2/3ett8x - 3816x2 + 3816et x2 - 4056tx2 + 239et tx2 - 1998t2x2 - 299/2et t2x2- -600t3x2 - 6ett3x2 - 114t4x2 - 4ett4x2 - 12t5x2 + 2ett5x2 + 12x3 - 12etx3 + 16tx3 - 4ettx3 + 8t2x3+ +2ett2x3 + 2t3x3 + 1604348z - 1604348et z + 1589378tz + 14966et tz + 787354t2 z - 148ett2z+ +255070t3 z + 14959/3et t3z + 59534t4 z - 278/3et t4z + 10368t5z + 7/3ett5z + 1338t6z - 46/3et t6z+ +120t7z + 2/3et t7z + 6t8z + 2/27et t9z - 14950xz + 14950et xz - 14672txz - 278et txz - 7204t2xz+ +7ett2xz - 2268t3xz - 92ett3xz - 492t4xz + 4ett4xz - 72t5xz - 6t6xz + 2/3ett6xz + 138x2z- -138etx2z + 132tx2z + 6ettx2z + 63t2x2z + 18t3x2z + 2ett3x2z + 3t4x2z - 2x3z + 2etx3z - 2tx3z- -t2x3z + etz2, y2 = 8016 - 8016et + 8656t - 640ett + 4336t2 + 312ett2 + 1288t3 + 54ett3 + 240t4 - (31ett4)/3+ 24t5- -(ett5)/3 - (2ett6)/3+ (ett7)/9+ (ett8)/9 - 48x + 48etx - 56tx + 8ettx - 32t2x - 4ett2x - 8t3x- -2ett3x - 1/3ett4x + 2/3et t5x - 2ettx2 + ett2x2 - 344z + 344et z - 380tz + 36ettz - 184t2z - 23ett2z- -52t3z + 2/3ett3z - 8t4z - 2/3ett4z + 2/3ett5z + 1/9ett6z + 4xz - 4etxz + 8txz - 2ettxz + 4t2xz+ +2ett2xz +2/3ett3xz +etx2z +10z2 -10etz2 +9tz2 +ettz2 +4t2z2 +t3z2 +1/3ett3z2 -xz2 +etxz2 -txz2. Пример 10.2. Рассмотрим систему уравнений ∂y1 = 2(t - 1) ∂y1 + (t - 1) ∂y2 + (t2 + 1) ∂y1 + 1 y + t2zx3, ∂t ∂z ∂z ∂x 1+ t 1 ∂y2 = 2(t - 1) ∂y2 + (t2 + 1) ∂y2 + 1 y + tz2x ∂t с начальными условиями ∂z ∂x 1+ t 2 y1(0, z, x)= z2, y2(0, z, x)= x2z. Задача имеет вид (1.1), (4.1), где a1(t)= t - 1, a2(t)= t2 + 1, a3(t)= 1 , 1+ t ( 2 1 ( t2zx3 ( z2 ( 1 ( 0 A = 0 2 , b(t, z, x)= tz2x , y(0, z, x)= x2z , e1 = 0 , e2 = 1 . По формуле (5.1) выпишем решение системы: t2 t2 t3 y(t, z, x)= (zE + A( 2 2 t 2 - t))2(t + 1)e1 + (zE + A( - t))(x + 3 + t)2(t + 1)e2+ + r [s2(zE + A( t s2 t3 s3 - - t + s))(x + - e1 + t - s)3 t +1 + 2 2 0 t2 s2 3 3 s +1 3 3 - + s(zE + A( 2 2 - - t + s))2(x + t s 3 3 t +1 +1 + t - s) s e2 ] ds. (10.2) О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 561 Подставляя полученные раннее выражения в (10.2), после интегрирования и упрощающих преобразования, находим y1 = (1 + t)(-t + t2/2)(t + t3/3+ x)2 + (1+ t)(-2t + t2 + z)2 + 1/3(1 + t){1/840t(-618t6 + 413t7+ +14t4(533 + 96x - 16z) - 2520(4 + 3x)(-3+ z)+ 70t5(-52 + 7z) - 420t(-114 + 3x(-15 + z)+ 22z)- -70t3(132 + 33x + 26z) + 420t2 (5 - 30x + 5z + 4xz)) -(-3 - 2t + t2 )(4 + 3t + t3 + 3x)(-3 - 2t + t2 + z)× × ln(1 + t)} + (1+ t)(-(1073t12 )/41580 + (207t13 )/40040 - (t9(17133 + 17226x - 1043z))/68040+ +t10(-71/3402 + 3x/56 - 3z/140) + t11(2801/93555 + 3z/440) - 1/27t(4 + 3x)3(-3+ z)+ +1/54t2(4 + 3x)2(58 - 14z + 3x(1 + z)) - (t6(-3780 + 1377x2 + 401z - 27x(-95 + 6z)))/1620+ +(t8(21095 - 2298z + 81x(67 + 21z)))/22680 - 1/162t3(162x3 - 27x2(-15 + z)+ 18x(-69 + 7z)+ +8(-249 + 43z)) + 1/324t4 (1940 + 81x3 - 636z - 27x2(-20 + 9z) - 18x(-67 + 45z)) + (t5(11434- -2838z + 27x2(37 + 18z) - 18x(-578 + 57z)))/1620 + (t7(2187x2 - 270x(-7+ 9z)- -11(79 + 408z)))/11340 + 1/27(4 + 3t + t3 + 3x)3(-3 - 2t + t2 + z) ln(1 + t), y2 = (1 + t)(t + t3/3+ x)2(-2t + t2 + z)+ 1/3(1 + t)(-(103t7)/140 + (59t8)/120 + t(4 + 3x)(-3+ z)2+ +1/60t5(533 + 96x - 32z)+ 1/6t6(-26 + 7z) - 1/12t4(132 + 33x + 52z - 9z2)+ t2(57 - 22z+ +x(45/2 - 3z)+ z2 )+ t3(5/2+ 5z + z2/3+ x(-15 + 4z)) - (4 + 3t + t3 + 3x)(-3 - 2t + t2 + z)2 ln(1 + t). 11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Явные формулы решений дифференциальных уравнений позволят провести анализ качественного поведения системы. В статье получены формулы для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с начальными условиями. Реальные динамические системы подвержены случайным возмущениям, которые можно учитывать в математических моделях, коэффициенты которых являются случайными процессами. Скалярные дифференциальные уравнения первого порядка со случайными коэффициентами применены для анализа модели переноса в атмосфере (см. [13]). Отметим, что первые интегралы (даже нелинейных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений удовлетворяют линейным системам дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В данной статье получены формулы для математического ожидания решения линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных со случайными коэффициентами. Для приложений важна общая формула для математического ожидания (8.2). Для ее применения достаточно знать характеристический функционал ψ. Мы рассмотрели наиболее распространенный вариант, когда ψε определяет гауссов случайный процесс ε. Авторы благодарны А. Л. Скубачевскому за конструктивное обсуждение темы.