О периодических решениях одного дифференциального уравнения второго порядка

Аннотация

В работе исследуется движение перевернутого маятника, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания вдоль прямой, составляющей малый угол с вертикалью. Доказано, что при выполнении некоторых условий на функцию, описывающую колебания точки подвеса маятника, возникает периодическое движение маятника, и оно является асимптотически устойчивым.

Полный текст

Где u∈C2π, τ ∈[0,2π], μ∈(0,μ1 ) ⎛ 0 0⎞ gu(τ, u, μ)= ⎝ 1 f ××(τ ) sin α ⎠ . -(1 + μa(τ, μ)) μ3 sin[(1 + μa(τ, μ))u1] 0 l С учетом условий (1.3), (1.4) и соотношений (1.15) получаем sup ±gu(τ, u, μ)± = sup 1 |(1 + μa(τ, μ)) μ3 f ××(τ ) sin α l sin[(1 + μa(τ, μ))u1(τ )]| � u∈C2π, τ ∈[0,2π], μ∈(0,μ1 ) u∈C2π, τ ∈[0,2π], μ∈(0,μ1 ) c f ××(τ ) � sup |(1 + μa(τ, μ)) μ l sin[(1 + μa(τ, μ))u1(τ )]| � где Δ1, Δ2 - константы. Положим u∈C2π, τ ∈[0,2π], μ∈(0,μ1 ) � (1 + μ1Δ1)cΔ2, ( 1 (1.32) μlin = min μ1, 2c cΔ . · (1 + μ Δ ) 0 2 1 1 Тогда в силу сказанного получаем, что при μ ∈ (0, μlin) оператор Aμ является сжимающим в пространстве C2π. Лемма доказана. В силу леммы 1.3 по принципу сжимающих отображений уравнение (1.30) имеет единственное 2π-периодическое решение u(τ, μ) при любом μ ∈ (0, μlin). Следовательно, и система (1.7) имеет 1 единственное 2π-периодическое решение ϕ˜lin(τ, μ). Полагаем ω0 = μ . lin Покажем теперь оценку (1.8). Следуя рассуждениям из доказательства принципа сжимающих отображений, зафиксируем некоторый элемент u1 ∈ C2π и рассмотрим последовательность k=1: uk ∞ Как известно, u1, u2 = Aμ(u1), u3 = Aμ(u2),... uk → u, k → ∞, где u есть решение уравнения (1.31). Рассмотрим теперь следующую цепочку неравенств: ±u2 - u1± = ±Aμ(u1) - u1± = d, ±u3 - u2± = ±Aμ(u2) - Aμ(u1)± � ... 2 2 1 ±u2 - u1± = d, 1 d ±uk - uk-1± = ±Aμ(uk-1) - Aμ(uk-2)± � Отсюда вытекает 2 ±uk-1 - uk-2± = 2k-2 . ±uk+l - uk ± � ±uk+l - uk+l-1± + ±uk+l-1 - uk+l-2± + ··· + ±uk+1 - uk± � 1 1 1 d 1 d � d 2k+l-2 + 2k+l-3 + ··· + 2k-1 � 2k-1 1+ + ... 2 � 2k-2 . Поэтому переходя к пределу при l → ∞, получим оценку В частности, ± - ± u uk � d . 2k-2 ±u - u1± � 2d. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 543 Возьмем u1 = 0. В силу (1.27), (1.29), (1.30) получаем ±u± � 2d = 2±Aμ(0)± � c1μ. Отсюда в силу (1.9) вытекает оценка (1.8): ±ϕ˜lin± � ±Q±· ±u± = ±Q±c1μ = clinμ. Учитывая определения (1.10), (1.15), константу clin в оценке (1.8) можно указать явно. Теорема 1.1 доказана. Рассмотрим теперь исходную нелинейную систему (1.6). Для нее справедливо следующее утверждение. Теорема 1.2. Пусть выполнены условия (1.2)-(1.4), ω0 = 1 μlin , где μlin определено в (1.32). Тогда существует ω1 � ω0 такое, что система (1.6) имеет единственное 2π-периодическое решение ϕ1(τ, μ) 1 ∈ при μ = ω 0, 1 ω1 ϕ(τ, μ)= , и выполнена оценка ϕ2(τ, μ) ±ϕ(τ, μ)± � c¯μ, c¯ = const . (1.33) Доказательство. Используя тривиальное равенство sin ϕ˜1 = sin ϕ˜1 - ϕ˜1 + ϕ˜1, после замены (1.9), (1.10), (1.15) перепишем систему (1.6) в следующем виде: d u1 = μU¯ (τ, μ) u1 + ⎛ 0 ⎞ 1 f ××(τ ) sin α + dτ u2 ⎛ u2 ⎝ μ l 0 cos[(1 + μa(τ, μ))u1]⎠ ⎞ + g 1 f ××(τ ) cos α ⎝ μ + (sin[(1 + μa(τ, μ))u ] (1 + μa(τ, μ))u )⎠ . (1.34) l μ l 1 - 1 Аналогично доказательству теоремы 1.1 задача о нахождении 2π-периодических решений системы (1.34) эквивалентна построению решений уравнения где d u(τ, μ)= μ dτ -1 o I - μU¯ (τ, μ) ◦ F (τ, u(τ, μ), μ), (1.35) ⎛ ⎝ F (τ, u, μ)= μg(τ, u(τ, μ), μ)+ g 1 + f ××(τ ) cos α 0 (sin[(1 + μa(τ, μ))u ] ⎞ (1 + μa(τ, μ))u )⎠ , или в операторном виде l μ2 l u = Aμ(u). 1 - 1 Покажем, что данный оператор Aμ удовлетворяет принципу сжимающих отображений в шаре достаточно малого радиуса пространства C2π. С учетом определения вектор-функции F для произвольных u1, u2 ∈ C2π имеем ±F (τ, u1, μ) - F (τ, u2, μ)± � ±μ(g(τ, u1(τ, μ), μ) - g(τ, u2(τ, μ), μ))± + g 1 f ××(τ ) cos α + + (sin w1(τ, μ) - w1(τ, μ) - sin w2(τ, μ)+ w2(τ, μ)) , где l μ2 l 1 1 1 1 wi(τ, μ)= (1 + μa(τ, μ))ui(τ, μ), i = 1, 2. Пусть u1, u2 принадлежат шару Bμ(0) = {u ∈ C2π : ±u± � c˜μ} . 544 Г. В. ДЕМИДЕНКО, А. В. ДУЛЕПОВА Тогда, учитывая представление (опускаем для краткости аргументы) sin w1 - w1 -sin w2 + w2 = -(w1 - w2) 1 1 1 r r r cos(λ××λ×(w2 + λ(w1 - w2)))λ×[w2 + λ(w1 - w2)]2dλ××dλ×dλ, 1 1 1 1 получим 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 | sin w - w - sin w + w | � |w + λ(w - w )| |w1 2 - w | � 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 � (4|w2 | + 4|w1 w1 | + |w1 | )|w1 - w1 | � 3 2 2 1 2 1 2 1 2 � |1+ μa(τ, μ)| (4|u1| + 4|u1u1| + |u1| )|u1 - u1| � 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 � |1+ μa(τ, μ)| (4±u ± + 4±u ±±u ± + ±u ± )±u - u ± � |1+ μa(τ, μ)| 9c˜ μ ±u - u ±. 2 Выберем μ× ∈ (0, μ1] таким, чтобы max 3 |1+ μa(τ, μ)| 2 � 2, μ ∈ (0, μ× ). Тогда g τ ∈[0,2π] 1 f ××(τ ) cos α + (sin[(1 + μa(τ, μ))u1] - (1 + μa(τ, μ))u1 - l μ2 l 1 1 - sin[(1 + μa(τ, μ))u2]+ (1 + μa(τ, μ))u2) � 1 1 � 18c˜2μ max μg + 1 f ××(τ ) cos α u1 u2 . l τ ∈[0,T ] l μ ± - ± 2 Для всех μ ∈ (0, μ× ) справедлива оценка max μg + 1 f ××(τ ) cos α � μ× g + max 1 f ××(τ ) cos α g � μ× +Δ . τ ∈[0,2π] l μ l 2 l τ ∈[0,2π]| μ l | 2 l 2 А для оператора Aμ в нуле имеем ±Aμ(0)± � μc0cΔ2. Теперь выберем константу c˜ так, чтобы 2c0cΔ2 � c˜, тогда c˜ ±Aμ(0)± � μ 2 , и положим μ2 = min ( 2 μ× , 1 4c0cΔ2 · (1 + μ1Δ1) 1 , g 2 l 72c0c˜2(μ× + Δ2) . (1.36) Тогда, очевидно, при μ ∈ (0, μ2] имеем ±Aμ(u1) - Aμ(u2)± � 2 1 ±u1 - u2±, и для любого u из шара Bμ(0) выполняется неравенство 1 1 ±Aμ(u)± � ±Aμ(u) - Aμ(0)± + ±Aμ(0)± � 2 ±u± + 2 c˜μ � c˜μ. Таким образом, оператор Aμ является сжимающим в шаре Bμ(0), и по принципу сжимающих отображений существует единственное 2π-периодическое решение u(τ, μ) уравнения (1.35) при μ ∈ (0, μ2). Следовательно, существует единственное 2π-периодическое решение ϕ(τ, μ) исходной 1 μ нелинейной системы (1.6). Полагаем ω1 = . 2 Доказательство оценки (1.33) проводится по аналогии с доказательством оценки (1.8) из теоремы 1.1. Теорема 1.2 доказана. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 545 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ Этот раздел посвящен исследованию устойчивости 2π-периодического решения ϕ(τ, μ) системы (1.6), существование которого при μ ∈ (0, μ2) доказано в предыдущем разделе. 1 μ Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (1.2)-(1.4), ω1 = 2 , где μ2 определено в (1.36). Тогда существует ωst � ω1 такое, что 2π-периодическое решение системы (1.6) ϕ1(τ, μ) ϕ(τ, μ)= 1 1 ϕ2(τ, μ) ∈ при μ = ω 0, ωst асимптотически устойчиво. Доказательство. Воспользуемся стандартной техникой: сделав замену z(τ, μ)= ϕ˜(τ, μ) - ϕ(τ, μ), (2.1) перейдем от исследования устойчивости решения ϕ(τ, μ) системы (1.6) к исследованию устойчивости нулевого решения системы d z1 = 0 1 z1 + dτ z2 0 -εμ z2 0 + v1(τ, μ)(sin(z1 + ϕ ) - sin ϕ ) - v2(τ, μ)(cos(z1 + ϕ ) - cos ϕ ) , (2.2) где μ2g 1 1 f ××(τ ) 1 1 f ××(τ ) v1(τ, μ)= l + l cos α, v2(τ, μ)= - sin α. (2.3) l В дальнейшем мы будем использовать следующие формулы: sin(z1 + ϕ1) - sin ϕ1 = z1 - ϕ2I1z1 - I˜1z2, (2.4) где 1 1 1 1 1 r r r I1 = 0 λ× cos(λ××λ×(λz1 + ϕ1))dλdλ×dλ××, (2.5) 0 0 I˜1 = 1 1 1 r r r 0 0 0 λ×(λ2z1 + 2λϕ1) cos(λ××λ×(λz1 + ϕ1))dλdλ× dλ××, (2.6) где 1 cos(z1 + ϕ1) - cos ϕ1 = -ϕ1I2z1 - I˜2z2, (2.7) I2 = 1 1 r r cos(λ×(λz1 + ϕ1))dλdλ× , (2.8) 0 0 1 1 r I˜2 = 0 r λ cos(λ×(λz1 + ϕ1))dλdλ×. (2.9) 0 Формулы (2.4), (2.7) позволяют переписать систему (2.2) в виде d z1 = 0 1 z1 + dτ z2 v1(τ, μ)(1 - ϕ2I1)+ v2(τ, μ)ϕ I2 -εμ z2 1 1 0 z z (2.10) 1 + (-v1(τ, μ)I˜1 + v2(τ, μ)I˜2)z2 = A (τ, μ)z + F (τ, z, μ). Рассмотрим линейную систему d z1 = 0 1 z1 . (2.11) dτ z2 v1(τ, μ)(1 - ϕ2I1)+ v2(τ, μ)ϕ I2 -εμ z2 1 1 546 Г. В. ДЕМИДЕНКО, А. В. ДУЛЕПОВА Сделав замену z = Qu, где матрица Q = Q(τ, μ) определяется соотношениями (1.10), (1.15), и учитывая обозначения (2.3), получим следующую систему для вектор-функции u = u(τ, μ): du = μ(U1(μ)+ U2(τ, μ)+ μU˜3(τ, μ))u. (2.12) dτ Здесь матрицы U1(μ), U2(τ, μ) определяются формулами (1.13), (1.4), а матрица U˜3(τ, μ) имеет вид ⎛ 0 ⎜ U˜3(τ, μ)= ⎜ μa2(τ, μ) ⎞ , 1+ μa(τ, μ) ⎟ 2 ⎟ где u(3) 1+μa(τ, μ) 2 u ⎝ (3) 21 г-μg -μa (τ, μ)b(τ, μ) ⎠ 1+ μa(τ, μ) 1 f ××(τ ) cos α l 1 f ××(τ ) 21 = μ2 ϕ1I1 l - μ l - ϕ1I2 μ sin α . l В силу условий (1.3), (1.4) на коэффициенты функции f и малость угла α, оценки (1.33) для решения ϕ(τ, μ), а также определений (2.5), (2.8), все элементы матрицы U˜3(τ, μ) являются ограниченными при μ ∈ (0, μ2) и не имеют особенностей при μ → 0. Напомним, что значение μ2 было выбрано так, что при μ ∈ (0, μ2) нулевое решение системы du dτ = μ(U1(μ)+ U2(τ, μ))u, было асимптотически устойчиво. А поскольку перед матрицей U˜3(τ, μ) в (2.12) находится коэффициент μ, то из результатов [6] вытекает, что существует μst ∈ (0, μ2] такое, что при μ ∈ (0, μst) нулевое решение системы (2.12) асимптотически устойчиво. Как следствие, нулевое решение ли- 1 μ нейной системы (2.11) также асимптотически устойчиво при μ ∈ (0, μst). Полагаем ωst = . st Рассмотрим теперь систему (2.10). В силу определений (2.6), (2.9) имеем 2 max τ ∈[0,2π], ±Fz (τ, z, μ)± � p±z± , p = const . μ∈[0,μst ] Обозначим через H(τ, μ) решение краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова ⎧ dH - ⎨ + HAz (τ, μ)+ (Az (τ, μ))∗H = C(τ ), 0 < τ < 2π, dτ ⎩H(0, μ)= H(2π, μ) > 0, где C(τ ) - эрмитова положительно определенная матрица с непрерывными элементами на [0, 2π]. Эрмитово решение H(τ, μ) существует, поскольку нулевое решение системы (2.11) асимптотически устойчиво (см. [6]). Учитывая условия на H(τ, μ) и Fz (τ, z, μ), получаем 3 2 Re ⊗H(τ, μ)Fz (τ, z, μ), z) � ±H(τ, μ)±±F z (τ, z, μ)±±z± � p±H(τ, μ)± ⊗H(τ, μ)z, z) , τ > 0, 3 (h1(τ, μ)) 2 где h1(τ, μ) - минимальное собственное число матрицы H(τ, μ). То есть система (2.10) относится к классу систем вида dx dτ = A(τ )x + F(τ, x), τ > 0, где A(τ ) - матрица с непрерывными 2π-периодическими элементами, F(τ, x) - вещественнозначная гладкая вектор-функция такая, что F(τ, 0) = 0, и удовлетворяющая условию вида Re ⊗H(τ )F(τ, x), x) � q ⊗H(τ )x, x)1+γ , τ � 0, q � 0, γ > 0. Тогда, как следует из результатов [7], нулевое решение системы (2.10) асимптотически устойчиво. Отсюда вытекает асимптотическая устойчивость нулевого решения приведенной системы (2.2) при μ ∈ (0, μst). Следовательно, в силу (2.1) 2π-периодическое решение ϕ(τ, μ) исходной системы (1.6) также асимптотически устойчиво. Теорема 2.1 доказана. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 547 Из теорем 1.2, 2.1 при соответствующих оценках на параметр μ = 1 , коэффициенты функции ω f (t) и угол α вытекает следующая теорема об устойчивости движения перевернутого маятника, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания, определяемые функцией (0.1), вдоль прямой, составляющей малый угол α с вертикалью. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (1.2)-(1.4). Обозначим T = 2π . Тогда при ω > ω ω st уравнение (1.1) имеет единственное T-периодическое решение Φ(t), и оно является асимптотически устойчивым. Отметим, что при f (t)= a sin t условие (1.2) имеет вид /2gl < ωa. Как известно, при α = 0 это неравенство является условием устойчивости верхнего положения равновесия маятника при высокочастотных гармонических колебаниях малой амплитуды a < 1 l точки подвеса. Строгое доказательство этого факта было установлено Н. Н. Боголюбовым [2]. Заключение. В работе исследуется движение перевернутого маятника, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания вдоль прямой, составляющей малый угол с вертикалью. Используя результаты из [6, 7], а также принцип сжимающих отображений, мы доказали, что при выполнении определенных условий на частоту колебаний и на функцию, описывающую колебания точки подвеса маятника, возникает периодическое движение маятника, и оно является асимптотически устойчивым.