Улучшенный критерий разрушения решений для магнитогидродинамики с эффектами Холла и скольжения ионов

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение и основные результаты 526 2. Доказательство теоремы 1.1 528 3. Благодарности 533 Список литературы 533 1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Магнитогидродинамика (МГД) имеет дело с взаимодействием между потоком жидкости и магнитным полем. Основные уравнения МГД - это уравнения Навье-Стокса, описывающие динамику сжимаемых жидкостей, и уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные явления. В настоящей работе рассматривается следующая задача Коши для уравнений МГД несжимаемой жидкости с эффектом Холла и ионным скольжением в R3: ⎧ ∂tu + (u · ∇)u + ∇π = (∇× B) × B + μΔu, ⎨⎪ ∂tB + ∇× (u × B)+ σ∇× ((∇× B) × B) = κ∇× [B × (B × (∇× B))] + ηΔB, ∇· u = ∇· B = 0, ⎩⎪ u(x, 0) = u0(x), B(x, 0) = B0(x). (1.1) Здесьнеотрицательные параметры μ и η связаны со свойствами материалов: μ обозначает коэффициент кинематической вязкости жидкости, а η - число, обратное к магнитному числу Рейнольдса. Коэффициенты κ � 0 и σ - постоянные. Математическая теория уравнений МГД с эффектом Холла и ионным скольжением имеет большое значение для математики и физики - этой теории посвящено большое количество публикаций (см., например, [3, 4] и имеющуюся там библиографию). Математическая теория указанной выше системы имеет важные приложения в гидромеханике и материаловедении. В последнее время она привлекает значительное внимание исследователей © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 526 УЛУЧШЕННЫЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ 527 (см., например, [6-8]). Физический смысл u - скорость движения жидкости, π - давление, B - магнитное поле, а u0(x) и B0(x) - заданные начальная скорость и начальное магнитное поле (соответственно), удовлетворяющие соотношениям ∇· u0 = 0 и ∇· B0 = 0 в смысле обобщенных функций. По сравнению с классическими уравнениями МГД вязкой несжимаемой жидкости, система (1.1) содержит два дополнительных слагаемых: ∇× ((∇× B) × B) - это так называемое слагаемое Холла, а ∇× [B × (B × (∇× B))] описывает ионное скольжение. Для удобства, мы нормируем здесь коэффициент вязкости и коэффициент магнитной диффузии так, чтобы каждый был равен единице. Система (1.1) описывает такие физические явления, как магнитное пересоединение в космической плазме, формирование звезд, нейтронные звезды, генераторы тока. При σ = κ = 0 система (1.1) сводится к классическим уравнениям МГД; при κ = 0 - к системе МГД Холла. В [8], для случая малых данных доказано глобальное существование сильных решений в ограниченной области. Этим обусловлена важность изучения критерия глобальной регулярности и структуры возможных особенностей сильных решений. В [3] доказано существование сильных решений, локальных по времени. В [3] для (1.1) предложены различные критерии регулярности в терминах поля скоростей, магнитного поля, давления и их производных; в частности, доказано, что, если (u, π, B) удовлетворяет одному из условий ⎧ 2q q 3 2s ⎨⎪ u ∈ Lq-3 (0,T ; L (R )), 3 <q < ∞, ∇π ∈ L 3s-3 (0,T ; Ls(R3)), 3 <s � ∞, (1.2) 2 ⎩⎪ ∇π ∈ L 3 а (0,T ; BMO(R3)), 2s B ∈ L∞(0,T ; L∞(R3)), ∇B ∈ Ls-3 (0,T ; Ls(R3)), где 3 <s � ∞ (1.3) и 0 < T < ∞, то решение (u, B) можно продолжить и на значения времени, превосходящие T. Здесь BMO обозначает пространство функций ограниченной средней осцилляции (см. [9]). , В [4] результаты [3] обобщены на случай критического пространства Бесова B˙ -1 ∞ ∞ и на пространства мультипликаторов. Несмотря на большие усилия математиков, в глобальном случае вопрос о разрушении гладких решений трехмерных уравнений МГД за конечное время остается одной из самых значительных нерешенных проблем прикладного анализа. Читателей, интересующихся дальнейшим прогрессом в этой области, отсылаем к [1, 6, 7] (см. также имеющуюся там библиографию). Из работ [3, 4] ясно, что для компонент давления и магнитного поля решения задачи (1.1) является актуальной задача определения критерия разрушения. Наша основная цель- улучшить и обобщитьрезультаты [3, 4] о регулярности, а также рассмотретьосновной механизм возможного разрушения сильных решений задачи (1.1) в терминах критических пространств Бесова сняв условие B ∈ L∞(0,T ; L∞(R3)), наложенное на магнитное поле в работе [3]. B , ˙ 0 ∞,∞ , Чтобы корректно сформулироватькритерий разрушения решений (blow-up), нужно ввести следующие понятия функционального анализа. Напомним, что однородное пространство Бесова B˙ 0 ∞ ∞ определяется следующим образом. Пусть {ϕj }j∈Z - диадическое разбиение единицы Литтлвуда- Пэли, где носителем преобразования Фурье является кольцо (ξ ∈ R3 : 2j-1 � |ξ| < 2j � (см., например, [2, 9]). Тогда f ∈ B˙ 0 (R3) тогда и только тогда, когда sup lϕj ∗ f l = lf l ˙ 0 < ∞. ∞,∞ j∈Z B L∞ ∞,∞ Следующий результат о вложении хорошо известен (ср. [9, с. 244]): ∞,∞ L∞(R3) '→ BMO(R3) '→ B˙ 0 (R3). (1.4) Теперь можно привести наш результат: Теорема 1.1. Пусть (u, B) - локальное сильное решение системы (1.1) с начальными данными (u0, B0) ∈ H2(R3) и ∇· u0 = ∇· B0 = 0. Тогда (u, B) можно продолжить в область {t> T }, если 2 при 0 <T < ∞. ∞,∞ ∇π ∈ L 3 (0,T ; B˙ 0 (R3)) и ∇B ∈ L2(0,T ; BMO(R3)) (1.5) 528 С. ГАЛА, М. А. РАГУЗА Замечание 1.1. Сравним (1.5) с соответствующими результатами (1.2)2 и (1.2)3 для полей давлений. В силу вложения (1.4) наш результат, представленный здесь, улучшает предыдущие результаты (1.2)2 и (1.2)3. Отметим также, что наш критерий регулярности (1.5) охватывает и предельный ∞,∞ случай s = ∞ в (1.2)2, а также обобщает его на более широкие пространства B˙ 0 . Кроме того, снято условие B ∈ L∞(0,T ; L∞(R3)), ранее наложенное на магнитное поле. Замечание 1.2. Предельный случай s = ∞ условия (1.3), наложенного на магнитное поле, является более сложным. Поэтому мы уточним на случай пространств BMO результаты, полученные ранее в критических пространствах Лебега: ∇B ∈ L2(0,T ; BMO(R3)). Замечание 1.3. Если корректность глобальной задачи не имеет места, то развитие теории разрушения решений приобретает особую важность (как для теории, так и для приложений). Для уравнений Эйлера и Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, согласно хорошо известному критерию Биля-Като-Майды (см. [1]), любое решение u является гладким вплоть то момента T, если T r l∇ × u(·, t)lL∞ dt < ∞. 0 В [5] критерий Биля-Като-Майды несколько улучшен в предположении, что T r l∇ × u(·, t)lBMO dt < ∞. 0 В настоящей работе критерий типа Биля-Като-Майды получен для разрушения гладких решений задачи Коши для магнитогидродинамической системы Холла; критерий выражен в терминах давления и магнитного поля. В дальнейшем нам понадобится следующая оценка давления из (1.1)1. Поскольку ∇ · u = ∇· B = 0, справедливо равенство ∇× (u × B) = (B · ∇)u - (u · ∇)B. Следуя [10], применим оператор ∇div к обоим частям (1.1)1 и используем тождество Получим, что B 2 2 (∇× B) × B = (B · ∇)B -∇ | | . 2 3 2 ∇ π + |B| = (-Δ)-1 '\' ∂ (∇(u u - B B )) 2 i,j=1 ∂xi∂xj i j i j (здесь мы использовали то, что ∇· u = ∇· B = 0). Тогда из неравенства Кальдерона-Зигмунда следует, что l∇πlLq � C l(u · ∇)ulLq + C l(B · ∇)BlLq , 1 <q < ∞. (1.6) Замечание 1.4. Принимая во внимание условие (1.2)1, накладываемое на скорость роста, а также оценку (1.6), есть основания ожидать, что регулярности сильных решений можно добиться, наложив подходящие условия на рост давления. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.1 Данный раздел посвящен доказательству теоремы 1.1. Существование и единственность локального сильного решения доказаны в [3], поэтому достаточно установить априорные оценки для (u, B) при любом T > 0. Ключевой шаг доказательства - установить ограниченность lu(·, t)lL4 и lB(·, t)lL4 , используя классический критерий типа Серрина для трехмерных уравнений МГД. УЛУЧШЕННЫЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ 529 Доказательство. Скалярно умножим (1.1)1 на u, проинтегрируем результат этого умножения по частям и учтем свойство бездивергентности. Получим, что 1. d 2 2 r 2. dt lulL2 + l∇ulL2 = ((∇× B) × B) · udx = R3 r 1 2 r = ((B · ∇)B - 2 ∇ |B| ) · udx = R3 R3 (B · ∇)B · udx. (2.1) Аналогично, скалярно умножая (1.1)2 на B и используя свойство бездивергентности, получаем, что 1 d 2 2 2 r 2 dt lBlL2 + l∇BlL2 + lB × (∇× B)lL2 = R3 r ∇× (u × B) · Bdx = r r = [(B · ∇)u - (u · ∇)B] · Bdx = R3 R3 (B · ∇)u · Bdx = - R3 (B · ∇)B · udx; (2.2) здесь применено следующее свойство сокращения: r r ∇× ((∇× B) × B) · Bdx = R3 R3 ((∇× B) × B) · (∇× B)dx = 0. Складывая (2.1) и (2.2), легко получаем равенство 3. d 4. dt L2 (lul2 + lB 2 lL2 L2 )+ l∇ul2 lL2 + l∇B 2 lL2 + lB × (∇× B) 2 = 0, доказывающее неравенство l(u, B)lL∞(0,T ;L2) + l(u, B)lL2(0,T ;H1 ) � C. (2.3) 2 Теперь, чтобы получить L4-оценку для u и B, умножим (1.1)1 на |u| u, учтем свойство бездивергентности и проинтегрируем получившееся равенство. Получим соотношение 1 d 4 r 2 2 1 r 2 2 4 dt lulL4 + |u| |∇u| dx + 2 ∇ |u| dx = R3 R3 r 1 2 2 r 2 = ((B · ∇)B - 2 ∇ |B| ) · |u| R3 udx - R3 u |u| § ∇πdx = = K1 + K2. (2.4) 2 Аналогично, умножая (1.1)2 на |B| B, находим, что 1 d 4 r 2 2 1 r 2 2 4 dt lBlL4 + |B| |∇B| dx + 2 ∇ |B| dx = R3 R3 r 2 r 2 = (B · ∇)u · |B| R3 r Bdx + R3 (B × (∇× B)) ·∇ × (|B| 2 B)dx + + [((∇× B) × B) × B] · (∇× (|B| R3 B))dx = = K3 + K4 + K5. (2.5) Объединяя (2.4) и (2.5), получаем равенство 1 d ( 4 4 ' 2 2 1 1 212 1 1 212 5 '\' 4 dt lulL4 + lBlL4 +l|u| |∇u|lL2 +l|B| |∇B|lL2 + 2 (1∇ |u| 1L2 + 2 1∇ |B| 1L2 ) = Km. (2.6) 1 1 1 1 m=1 Далее рассматриваем каждое слагаемое правой части (2.6) по отдельности. 530 С. ГАЛА, М. А. РАГУЗА Применяя к слагаемому K1 неравенства Гельдера и Янга, получаем, что r K1 � C |B| |∇B| |u|3 dx � C 1|u|31 1 3 ∇ |B| 1 � 1 1 1 21 1 1L 4 1 R3 3 1L4 � C lulL4 lBlL4 l∇BlBMO � l � C ( � C ( 3 ulL4 ul 4 + lBlL4 + lBl ' l∇BlBM O � ' (1 + l∇Bl ); (2.7) 3 4 l L4 L4 2 BMO здесь использован следующий факт (см. [5]): 1 21 1 1 1∇ |B| 1L4 � C l|B| ∇BlL4 � C lBlL4 l∇BlBM O . Чтобы оценить K2 = Г R3 2 ∇π · |u| udx, разобъем K2 на три слагаемых следующим образом: N ∇π = '\' ϕj ∗ ∇π = '\' ϕj ∗ ∇π + '\' ϕj ∗ ∇π + '\' ϕj ∗ ∇π; j∈Z j<-N j=-N j>N здесьиспользовано разбиение Литтлвуда-Пэли, а натуральное N будет определено ниже. Применяя это разбиение к K2, получаем оценку N r r r K2 � '\' ϕj ∗ ∇π · |u|2 udx + '\' ϕj ∗ ∇π · |u|2 udx + '\' ϕj ∗ ∇π · |u|2 udx = R3 j<-N R3 j=-N R3 j>N = K21 + K22 + K23. Используя неравенство Бернштейна (см. [2]) 3j( 1 - 1 ) lϕj ∗ f lLq � C2 p q lϕj ∗ f lLp , 1 � p � q � ∞, (2.8) где положительная постоянная C не зависит ни от f, ни от j, и применяя неравенство Гельдера, выводим соотношение K21 � '\' j<-N 3 lϕj ∗ ∇πlL4 lulL4 � � C lulL4 '\' 2 2 4 lϕj ∗ ∇πlL2 � 3 j<-N ⎛ 3j( 1 - 1 ) 1 1 ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 3 � C lulL4 ⎝ '\' j<-N 3 2 2 j ⎠ '\' ⎝ j<-N 2 lϕj ∗ ∇πlL2 ⎠ � 3 3 � C2- 4 N lulL4 l∇πlL2 � 3 3 � C2- 4 N lulL4 (l(u · ∇)ulL2 + l(∇× B) × BlL2 ) = 1 1 = C ( 3 u 6 ' 2 ( (u )u 2 + ( B) B 2 ' 2 � 2- 2 N l lL4 6 l ·∇ lL2 l ∇× × lL2 � C ( 2-N 4 lul 2 ' 4 + 1 l(u · ∇)ul 1 2 + l(∇× B) × Bl . L4 8 L2 8 L2 Используя неравенства Гельдера и Янга, получаем следующую оценку на K22: r N r N 1 1 3 K22 � '\' R3 j=-N N |ϕj ∗ ∇π| |u| dx = R3 '\' j=-N |ϕj ∗ ∇π| 2 |ϕj ∗ ∇π| 2 |u|3 dx = 1 = '\' 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 4 j=-N 1|ϕj ∗ ∇π| 1L∞ 1|ϕj ∗ ∇π| 1L4 lulL = УЛУЧШЕННЫЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ 531 N ⎛ ⎞ 1 1 L4 = lul3 '\' ⎝ j=-N lϕj L∞ § ∇πl 2 lϕj L2 ∗ ∇πl 2 ⎠ � lL4 � C lu 3 1 ⎛ L∞ sup lϕj ∗ ∇πl 2 ⎝ N '\' lϕj ⎞ 1 L2 ∗ ∇πl 2 ⎠ � j∈Z 3 1 j=-N 1 L4 � CN 4 lul3 3 B˙ 0 l∇πl 2 ∞,∞ 1 L2 l∇πl 2 � 1 L4 � CN 4 lul3 B˙ 0 l∇πl 2 ∞,∞ (l(u · ∇)ulL2 + l(∇× B) × BlL2 ) 2 � 4 2 1 2 1 2 B˙ 0 � CN lulL4 l∇πl 3 + ∞,∞ 8 l(u · ∇)ul L2 + 8 l(∇× B) × BlL2 . С помощью неравенств Бернштейна, Гельдера и Соболева получаем следующую оценку на K23: r K23 � '\' j>N R3 |ϕj ∗ ∇π| |u|3 dx � 1 21 � '\' lϕj ∗ ∇πl 12 lulL4 1|u| 1 � j>N L 7 1 21 1 '\' j 1L6 � C lulL4 1∇ |u| 1 2- 4 lϕj ∗ ∇πlL2 � 1 1L2 1 21 j>N ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 '\' j 2 � C lulL4 1∇ |u| 1 ϕ π � ⎝ 2- 2 ⎠ '\' ⎝ l j ∗ ∇ lL2 ⎠ 1 1L2 N 1 j>N 21 j>N � C2- 4 lulL4 1∇ |u| 1 l∇πlL2 � 1 1L2 � C ( 1 2-N L4 lul4 L2 ' 4 (l(u · ∇)ul 1 + l(∇× B) × BlL2 )2 � � C ( 2-N L4 lul4 2 ' 4 ( l(u · ∇)ulL2 2 ' + l(∇× B) × BlL2 . Подставляя оценки K21, K22, K23 в разбиение K2, получаем, что C K2 � ( L4 6 2-N lul4 ' 4 2 1 + 4 l(u · ∇)ulL2 + ( 2 2 1 4 l(∇× B) × BlL2 + 1 ' 4 ( ' L4 +CN lul4 B˙ 0 l∇πl 3 ∞,∞ + 4 2 L2 C2-N lulL4 lu · ∇ul2 + l(∇× B) × BlL2 . (2.9) L4 Теперь выберем и зафиксируем такое натуральное N, что C2-N lul4 1 ≈ 4 , т. е. L4 l l Г ln C + ln( u 4 N = ln 4 + e) l + 1, где [a] обозначает целую часть a. Тогда, подставляя N в (2.9), приходим к неравенству ln K2 � C + C ( L4 C + ln(lul4 ) + e ' 2 B˙ 0 l∇πl 3 ∞,∞ L4 lul4 + L2 8 1 l(u · ∇)ul2 + 2 1 8 l(∇× B) × BlL2 . (2.10) Для K3, используя интегрирование по частям, а также неравенства Гельдера и Янга, можно вывести оценку K3 = 3 '\' r 2 Bi∂iu · |B| 3 r Bdx = - '\' 2 Biu∂i(|B| B)dx = i=1 R3 i=1 R3 532 С. ГАЛА, М. А. РАГУЗА r | = - u |B 2 r (B · ∇)Bdx - B · u · 3 '\' Bi∂iB2dx � R3 R3 1 21 i=1 � C l(B · ∇)BlL4 lulL4 1|B| 1 � 1 1L2 3 � C lBlL4 lulL4 l∇BlBM O � l ' (1 + l∇Bl � C ( 3 ulL4 4 + lBlL4 2 BMO ). (2.11) Точно так же получаем следующие оценки на K4 и K5: K4 = r | ((B × (∇× B)))(∇ |B 2 R3 1 × B)dx � 21 � C lB × (∇× B)lL4 1∇ |B| 1 lBlL2 � 1 2 2 ( 1L4 4 ' 2 � C lBlL4 l∇BlBM O � C (здесь использовано двойное неравенство 1+ lBlL4 l∇BlBMO (2.12) известное из [5]), lB × (∇× B)lL4 � C l|B| ∇BlL4 � C lBlL4 l∇BlBMO , K5 = r | [((∇× B) × B) × B](∇ |B 2 R3 × B)dx � 1 21 1 21 � C lB × (∇× B)lL4 1∇ |B| 1 1|B| 1 � 1 1L4 1 4 2 1L2 � C lBlL4 l∇BlBM O . (2.13) Подставив оценки слагаемых Km (m = 1, 2,... , 5) в (2.6), получим неравенство 1 d ( 4 4 ' 1 2 1 2 1 1 212 1 1 212 4 dt lulL4 + lBlL4 + l|u| |∇u|lL2 + l|B| |∇B|lL2 + 1∇ |u| 1 + 1∇ |B| 1 � 2 2 2 L2 2 L2 1 ' 2 2 1 1 1 ( 4 4 ' ln L4 L4 � C + C ( C + ln(lul4 + e) B˙ 0 l∇πl 3 ∞,∞ lul4 + C(1 + l∇BlBMO ) lBlL4 + lulL4 . Оно сводится к неравенству d ( 4 4 ' 2 ( 4 4 ' dt lulL4 + lBlL4 � C + C(1 + l∇BlBMO ) 2 lBlL4 + lulL4 + для всех 0 � t< T. B˙ 0 4 + C l∇πl 3 ∞,∞ ln(lulL4 4 + e) (lBl 4 + lBlL4 L4 L4 + lul4 ' Для наглядности введем обозначение L4 F (t) = e + lu(·, t)l4 L4 + lB(·, t)l4 . Таким образом, имеем оценку dF 2 2 B˙ 0 , dt (t) � C(1 + l∇BlBMO )F (t)+ CF (t) l∇πl 3 ∞ ∞ ln(F (t)) + C. Используя неравенство Гронуолла, получаем, что следующая оценка справедлива при 0 � t � T : ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞ r 2 r 2 F (t) � (F (0) + CT ) exp ⎝C 0 B˙ 0 l∇π(τ )l 3 ∞,∞ ln F (τ )dτ ⎠ exp ⎝ 0 1+ l∇B(τ )lBMO dτ ⎠ . (2.14) Логарифмируя обе части неравенства (2.14), приходим к оценке T T r ln F (t) � ln (F (0) + CT )+ C 0 2 B˙ 0 l∇π(τ )l 3 ∞,∞ r ln F (τ )dτ + 0 1+ l∇B(τ )l2 f BMO dτ. УЛУЧШЕННЫЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ 533 Применяя неравенство Гронуолла еще раз, получаем, что T r 2 ln F (t) � ln (F (0) + CT ) 0 для любого 0 � t � T. Отсюда следует, что B˙ 0 l∇π(τ )l 3 ∞,∞ dτ < ∞ (u, B) ∈ L∞(0,T ; L4(R3)) ⊂ L8(0,T ; L4(R3)). (2.15) Из (2.15) и (1.2) делаем вывод, что решение (u, B) можно продолжитьза точку t = T, что завершает доказательство теоремы 1.1. 3. БЛАГОДАРНОСТИ Работа выполнена во время пребывания первого автора в университете города Катания (Италия). Он хотел бы поблагодарить этот университет за гостеприимство и поддержку. Работа выполнена при частичной поддержке программы Piano della Ricerca 2016-2018 - Linea di intervento 2: «Metodi variazionali ed equazioni di erenziali». Работа выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.

Об авторах

С. Гала

Ecole Normale Supe'rieure of Mostaganem; Universita' di Catania

Автор, ответственный за переписку.
Email: sadek.gala@gmail.com
Mostaganem, Algeria; Catania, Italy

М. А. Рагуза

Maria Alessandra Ragusa Universita' di Catania; RUDN University

Email: maragusa@dmi.unict.it
Catania, Italy; Moscow, Russia

Список литературы