Полугруппы операторов, порождаемые интегро-дифференциальными уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 507 2. Определения. Обозначения. Постановка задачи 508 3. Сведение исходной задачи к дифференциальному уравнению первого порядка 509 4. Задача Коши в расширенном функциональном пространстве. Формулировка результатов 510 5. Экспоненциальная устойчивость полугруппы S(t) 512 6. Корректная разрешимость 513 7. Спектральный анализ оператора A 513 8. Доказательство теоремы 5.1 514 9. Доказательство теоремы 7.1 520 10. Пример 521 Список литературы 523 1. ВВЕДЕНИЕ В работе проводится исследование абстрактного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Указанное уравнение является операторной моделью линейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных, возникающего в теории вязкоупругости utt(x, t) = ρ-1 [μΔu(x, t)+ (μ + λ)/3 · grad(divu(x, t))] - Работа выполнена в рамках Программы развития Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета «Математические методы анализа сложных систем» при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований РФФИ (проект № 20-01-00288 A).. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 507 508 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН t r - K1(t - τ )ρ-1μ [Δu(x, τ )+ 1/3 · grad(divu(x, τ ))] dτ - 0 t r - K2(t - τ )ρ-1λ [1/3 · grad(divu(x, τ ))]dτ + f (x, t), 0 где u = _u(x, t) ∈ R3 - вектор малых перемещений вязкоупругой изотропной среды, заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R3с гладкой границей ρ; постоянная плотность ρ > 0; λ, μ - положительные параметры (коэффициенты Ламе), см. [3, 13, 20]. Будем предполагать, что на границе области Ω выполнены условия Дирихле u|∂Ω = 0. Функции ядер интегральных операторов K1(t), K2(t) - положительные невозрастающие суммируемые функции, характеризующие наследственные свойства среды. Предполагается, что ядра интегральных операторов представимы интегралами Стилтьеса, определенными ниже. В настоящее время существует обширная литература, посвященная исследованию вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений и связанных с ними задач, возникающих в многочисленных приложениях (см., например, работы [2, 3, 7-10, 12-22, 24, 25] и их библиографию). Представленные в данной работе результаты являются продолжением и развитием исследований, опубликованных в работах [2, 16, 22, 24, 25], посвященных спектральному анализу операторфункций, являющихся символами вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений. Подход к исследованию вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, связанный с применением теории полугрупп, развивался в работах [12, 14, 15, 21, 22]. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор: A∗ = A � κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий ограниченный обратный. Путь B - самосопряженный неотрицательный оператор, действующий в пространстве H с областью определения D (B) , такой, что D(A) ⊆ D(B), удовлетворяющий неравенствам lBxl :( κ lAxl , κ > 0 для любого x ∈ Dom (A) , I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегро-дифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): t d2u(t) r dt2 +(A + B) u(t) - 0 t r K1(t - s)Au(s)ds - 0 K2(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, t ∈ R+, (2.1) u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1, (2.2) Предположим, что ядра интегральных операторов Ki(t), i = 1, 2 имеют следующее представление: +∞ r Ki(t) = 0 e-tτ dμi(τ ), i = 1, 2. (2.3) где dμi, (i = 1, 2) - положительные меры, которым соответствуют возрастающие, непрерывные справа функции распределения μi, соответственно. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса (см., например, [11]). Кроме того, будем считать, что выполнены условия +∞ Введем следующее обозначение: Mi(t) := r dμi(τ ) < 1, i = 1, 2. (2.4) τ 0 +∞ r e-tτ dμi(τ ) τ , t � 0, i = 1, 2. (2.5) 0 ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 509 Положим ⎛ +∞ r ⎞ dμ1(τ ) ⎛ +∞ r ⎞ dμ2(τ ) A0 := ⎝1 - 0 τ ⎠ A + ⎝1 - 0 τ ⎠ B. (2.6) Из самосопряженности операторов A и B и условий (2.4) следует, что оператор A0 является самосопряженным и положительным. Отметим, что задачи вида (2.1), (2.2) являются операторными моделями задач, возникающих в теории вязкоупругости (см. [3, 13]) и теплофизике (см. [8, 12, 17, 19]). Результаты о спектральном анализе уравнения (2.1) в случае, когда ядра Ki(t) представляют собой убывающие экспоненты, изложены в монографии [2]. Замечание 2.1. Из свойств операторов A и B и неравенства Гайнца (см. [5]) следует, что оператор A0 является обратимым, операторы Q1 := A1/2A-1/2, Q2 := B1/2A-1/2 допускают ограниченное 0 0 0 замыкание в H, а A-1 - ограниченный оператор. Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию u(t) классическим решением задачи (2.1), (2.2), если u(t) ∈ C2(R+,H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R+,H), u(t) удовлетворяет уравнению (2.1) для каждого значения t ∈ R+ и начальному условию (2.2). μk Через Ωk обозначим пространства L2 (R+,H ) вектор-функций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, снабженные нормами ⎛ +∞ r 2 ⎞1/2 ||u||Ωk = ⎝ 0 ||u(s)||H dμk(s)⎠ . 3. СВЕДЕНИЕ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Применяя формулу интегрирования по частям к интегралам в левой части уравнения (2.1), получаем уравнение следующего вида: d2u(t) t ⎛ +∞ r r e-(t-s)τ ⎞ du(s) t ⎛ +∞ r r e-(t-s)τ ⎞ du(s) dt2 + A0u(t)+ ⎝ 0 0 τ dμ1(τ )⎠ A ⎝ ds + ds 0 0 ⎛ +∞ τ dμ2(τ )⎠ B +∞ ds = ds ⎞ r = f (t) - ⎝ 0 e-tτ r dμ1(τ )A + τ 0 e-tτ τ dμ2(τ )B⎠ ϕ0. (3.1) Заметим, что A = A1/2Q∗Q1A1/2, B = A1/2Q∗Q1A1/2; тогда уравнение (3.1) формально можно 0 1 переписать в виде ⎡ 0 2 +∞ 0 1 0 ⎛ t ⎞ ⎤ d2u(t) 1/2 1/2 \ r 1 r e-(t-s)τ 1/2 du(s) где dt2 + A0 ⎣A0 u(t)+ k=1 0 k √τ Q∗ ⎝ 0 √τ QkA0 ds ds⎠ dμk (τ )⎦ = f1(t), ⎛ +∞ r e-tτ +∞ ⎞ r e-tτ f1(t) = f (t) - ⎝ 0 Введем новые переменные dμ1(τ )A + τ 0 τ dμ2(τ )B⎠ ϕ0. (3.2) t r e-(t-s)τ 0 v(t) := ui(t), ξ0(t) := A1/2u(t), 1 1/2 du(s) 2 ξk(t, τ ) = 0 ∈ √τ Qk A0 ds, t > 0, k = 1, 2, τ ds k=1 supp μk . (3.3) 510 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Тогда задача (2.1), (2.2) формально может быть приведена к следующей начальной задаче для системы дифференциальных уравнений первого порядка: ⎧ ⎪ dv(t) ⎡ 1/2 r \ 2 ∞ 1 ⎤ ⎪ ⎪ dt ⎪ ⎪ + A0 k ⎣ξ0(t)+ k=1 0 √τ Q∗ ξk (t, τ )dμk (τ )⎦ = f1(t), = A1/2 ⎪ dξ (t) ⎨⎪ 0 dt 0 v(t), (3.4) ⎪ dξ1(t, τ ) ⎪ 1 1/2 dt τ ⎪ = √ Q1A0 v(t) - τξ1(t, τ ), ⎪ ⎪ ⎪ dξ2(t, τ ) 1 1/2 dt τ ⎩⎪ = √ Q2A0 v(t) - τξ2(t, τ ), 2 где t > 0, f1(t) определяется формулой (3.2), τ ∈ 1/2 J supp μk, k=1 v(t)|t=0 = ϕ1, ξ0(t)|t=0 = A0 ϕ0, ξk(t, τ )|t=0 = 0, k = 1, 2. (3.5) Теперь, во-первых, мы должны превратить задачу (3.4), (3.5) в начальную задачу в некотором расширенном функциональном пространстве, в котором эта задача будет корректной; во-вторых, мы должны установить соответствие (не только формальное) между решением задачи (3.4), (3.5) и решением исходной задачи (2.1), (2.2). 4. ЗАДАЧА КОШИ В РАСШИРЕННОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ Сначала определим оператор τξ(τ ), присутствующий в третьем уравнении системы (3.4). Рассмотрим сильно непрерывную мультипликативную полугруппу Lk(t) в пространстве Ωk (см. [15, с. 65]): Lk(t)ξ(τ ) = etτ ξ(τ ), ξ(τ ) ∈ Ωk, t � 0, τ ∈ supp μk . Известно, что линейный оператор Tkξ(τ ) = τξ(τ ) в пространстве Ωk с областью определения D(Tk ) = {ξ ∈ Ωk : τξ(τ ) ∈ Ωk } (4.1) является генератором полугруппы Lk (t) (см. [15, с. 65]). Замечание 4.1. 1. Для любого ξ(τ ) ∈ Ωk при t � 0 справедливо неравенство +∞ ⎛r∞ ⎞1/2 e- r 1 tτ 1 1 √ 1 1 ξ(τ )1 dμk(τ ) :( ⎝ e-2tτ dμk (τ ) ⎠ ||ξ(τ )||Ωk . (4.2) 1 τ 1H τ 0 0 2. Для любого ξ ∈ D(Tk ) справедливо неравенство ⊕τξ(τ ), ξ(τ ))Ωk :( ||τξ(τ )||Ωk ||ξ(τ )||Ωk . (4.3) Действительно, достаточно применить неравенство Гельдера к интегралам в левой части неравенств (4.2), (4.3). Введем операторы Bk : H → Ωk (k = 1, 2), действующие следующим образом: 1 Bkv = √τ Qk v k = 1, 2, τ ∈ supp μk. k тогда сопряженные операторы имеют следующий вид: B∗ : Ωk → H (k = 1, 2), k ξ(τ ) = Qk r∞ 1 √τ ξ(τ )dμk (τ ), k = 1, 2. B∗ ∗ 0 Действительно, для любых v ∈ D(Bk ), ξ(τ ) ∈ Ωk справедлива цепочка равенств ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 511 +∞ ⊕Bkv, ξ(τ ))Ωk = / 1 \ r τ √ Qk v, ξ(τ ) = Ωk 0 / 1 \ τ √ Qk v, ξ(τ ) H / dμk(τ ) = +∞ \ r k = v, Q∗ 0 1 √τ ξ(τ )dμk (τ ) k = ⊕v, B∗ ξ(τ ))H . H Введем гильбертово пространство H = H ⊕ H ⊕ ( 2 \ ffi Ωk k=1 2 , снабженное нормой 2 2 2 2 \ 2 1 l(v, ξ0, ξ1(τ ), ξ2(τ ))lH = ||v||H + ||ξ0||H + k=1 ||ξk (τ )||Ωk , τ ∈ k=1 supp μk , которое будем называть расширенным гильбертовым пространством. Введем линейный оператор A в пространстве H с областью определения +∞ ( r 1 D(A) = k (v, ξ0, ξ1(τ ), ξ2(τ )) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ0 + Q∗ 0 √τ ξk(τ )dμk (τ ) ∈ H 1/2, ξk (τ ) ∈ D(Tk ),k = 1, 2 = = {(v, ξ0, ξ1(τ ), ξ2(τ )) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ0 + B∗ ξk (τ ) ∈ H , ξ (τ ) ∈ D(T ), k = 1, 2}, действующий следующим образом: A(v, ξ0, ξ1(τ ), ξ2(τ ))T = k 1/2 k k ⎛ ⎡ 1/2 2 +∞ Q \ r 1 ⎤ 1/2 ⎞T 1/2 1 = ⎝-A0 ⎣ξ0 + ∗ k k=1 0 √τ ξk(τ )dμk (τ )⎦ , A0 v, Qk A0 √τ v(t) - τξk(t, τ ), k = 1, 2⎠ = / A = 1/2 - 0 г ξ0 + 2 \ k=1 l k B∗ ξk(τ ) 0 , A1/2 0 v, BkA1/2 T v(t) - Tkξk (t, τ ), k = 1, 2 . Таким образом, оператор A можно записать в виде следующей операторной матрицы: 0 A ⎛ 1/2 - 1/2 1/2 ⎞ 1/2 0 -A0 B∗ 1 B 2 -A0 ∗ ⎟ ⎜ A = ⎜ A0 0 0 0 ⎟ = ⎜ B1A1/2 ⎟ B2A1/2 ⎝ 0 0 -T1 0 0 0 0 -T2 A 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I ⎛ 1/2 0 ⎠ 1 ⎞ ⎛ 0 -I -B∗ 2 A1/2 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 0 0 I -B∗ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ I 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ B1 0 -T1 0 ⎠ ⎝ ⎠ 0 B2 0 0 -T2 Введем гильбертово пространство H0 = H ⊕ ( 2 \ ffi Ωk k=1 и следующие операторы: B := (I, B1, B2)T : H → H0, B∗ := (I, B∗, B∗) : H0 → H и T : H0 → H0, где 1 2 ⎛ 0 0 0 T = ⎝ 0 T1 0 0 0 T2 ⎞ ⎠ . (4.4) Введем 4-х компонентные векторы вида Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ), ξ2(t, τ )) ∈ H, z = (v0, ξ00, ξ10(τ ), ξ20(τ )) ∈ H. 512 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Теперь мы можем переписать систему (3.4), (3.5) в виде дифференциального уравнения первого порядка в расширенном функциональном пространстве. Рассмотрим следующую задачу Коши в пространстве H d Z(t) = AZ(t), (4.5) dt Z(0) = z. (4.6) Определение 4.1. Вектор Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ), ξ2(t, τ )) ∈ H называется классическим решением задачи (4.5), (4.6), если v(t), ξ0(t) ∈ C1((0, +∞),H), ξk(t, τ ) ∈ C1((0, +∞),H), k = 1, 2, 2 по переменной t для любого τ ∈ J k=1 supp μk , Z(t) ∈ C([0, +∞), D(A)), вектор Z(t) удовлетворяет уравнению (4.5) для любого t ∈ R+ и начальному условию (4.6). Определение 4.2 (см. [5]). Линейный оператор A c областью определения, плотной в гильбертовом пространстве, называется диссипативным, если Re (Ax, x) :( 0 при x ∈ D(A), и максимально диссипативным, если он диссипативен и не имеет нетривиальных диссипативных расширений. Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (2.4). Тогда оператор A в пространстве H с плотной областью определения D(A) является максимально диссипативным. Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (2.4). Тогда линейный оператор A является генератором сжимающей C0-полугруппы S(t) = etA в пространстве H, при этом решение задачи (4.5), (4.6) представимо в виде Z(t) = S(t)z, t > 0, и для любого z ∈ D(A) справедливо энергетическое равенство: ⎛ +∞ d 2 r 2 +∞ ⎞ r 2 dt ||S(t)z||H = -2 ⎝ 0 τ ||ξ1(t, τ )||H dμ1(τ )+ 0 τ ||ξ2(t, τ )||H dμ2(τ )⎠ . (4.7) Доказательства этих теорем проводятся аналогично доказательствам теорем 1 и 2 из работы [22]. 1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛУГРУППЫ S(t) Перед формулировкой теоремы о об экспоненциальной устойчивости сформулируем два утверждения, необходимых для формулировки и доказательства этой теоремы. Утверждение 5.1. Существует такое γ > 0, что для всех p > 0 справедливо неравенство +∞ r - τ e-pτ dμk(τ )+ γ 0 +∞ r e-pτ dμk (τ ) :( 0. (5.1) 0 Из утверждения 5.1 вытекает следующее утверждение. Утверждение 5.2. Пусть ξk (t, τ ) ∈ Ωk, k = 1, 2 для всех t, τ > 0, тогда существует такое γ > 0, что справедливо неравенство +∞ +∞ r 2 r 2 - τ ||ξk (t, τ )||H dμk(τ )+ γ 0 0 ||ξk (t, τ )||H dμk (τ ) :( 0. (5.2) Приведем результат об экспоненциальной устойчивости полугруппы S(t), t � 0. Теорема 5.1. Пусть S(t)z - решение задачи (4.5), (4.6) при t > 0, и пусть выполнены условия (2.4). Тогда справедливо неравенство lS(t)zlH :( √ ωt 3lzlHe- (5.3) ∈ для любого z H. При этом ω = max ωβ , ωβ = β>0 1 min 6 ( γ ; γ1(β) 1 , γ2(β) ( 3 γ1(β) := max г 2 (3 + Mk (β)+ (2λ0)-1)1Q-11 + Mk (0) ( 2 \ 1+ M (β) l 1 lQkl2 + , k=1,2 M (β) 1 k 1 3 2 ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 513 3 ( 2 1 2 1 γ2(β) := M (β) max 1, λ · max { Q- || Mk (β)� + √ , 0 где γ > 0 определяется неравенством (5.1), k=1,2 || k λ0 λ0 = inf lxl=1, x∈D(A0) k r∞ e-βτ dμ (A0x, x), Mk (β) = τ 0 (τ ) 2 , k = 1, 2, M (β) := \ Mk (β). k=1 2. КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения d dt Z(t) = AZ(t)+ F (t), (6.1) Z(0) = z. (6.2) Будем предполагать, что вектор-функция F (t) имеет вид F (t) := (f1(t), 0, 0, 0), f1(t) = f (t) - (M1(t)A + M2(t)B) ϕ0, где Mk (t), k = 1, 2 определяются формулами (2.5), вектор имеет вид z = (ϕ1, A1/2 0 ϕ0, 0, 0 . 0 Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (2.4) и одно из следующих условий: а). вектор-функция A1/2f (t) ∈ C ([0, +∞),H ) и векторы ϕ0 ∈ H3/2, ϕ1 ∈ H1/2; б). вектор-функция f (t) ∈ C1 ([0, +∞),H) , функции Mk (t) ∈ C1 ([0, +∞)) , k = 1, 2, векторы ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. 0 Тогда задача (6.1), (6.2) имеет единственное классическое решение Z(t) = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ), ξ2(t, τ )), где v(t) := ui(t), ξ0(t) := A1/2u(t), u(t) - классическое решение задачи (2.1), (2.2), и справедлива оценка 1 (1 12 1 1/2 12 \ 1 2 E(t) := 1ui(t)1H + 1A0 u(t)1 :( lZ(t)lH :( 2 ⎡ ( 2 1 1 1/2 12 \ 1H -2ωt 2 ⎛rt -ω(t-s) ⎞2⎤ :( d ⎢ lϕ lH + 1A0 ϕ 1 e + e ||f (s) - (M (s)A + M (s)B)ϕ || ds ⎥ (6.3) ⎣ 1 1 01H ⎝ 0 1 2 0 H ⎠ ⎦ с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1, и постоянной ω, определенной в формулировке теоремы 5.1. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3 из работы [22]. 3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПЕРАТОРА A Преобразование Лапласа сильного решения задачи (2.1), (2.2) с начальными условиями u (+0) = 0, u(1)(+0) = 0 имеет представление uˆ(λ) = L-1(λ)fˆ(λ). Здесь оператор-функция L(λ) является символом уравнения (2.1) и имеет вид L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ1(λ)A - Kˆ2(λ)B, (7.1) где Kˆi(λ), i = 1, 2 - преобразования Лапласа ядер Ki(t), i = 1, 2, соответственно, имеющие представления Kˆi(λ) = +∞ r dμi(τ ) λ + τ 0 , i = 1, 2, (7.2) fˆ(λ) - преобразование Лапласа вектор-функции f (t) , I - тождественный оператор в пространстве H. 514 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Определение 7.1. Множество значений λ ∈ C называется резольвентным множеством R(L) оператор-функции L(λ), если для любого λ ∈ R(L) оператор-функция L-1(λ) существует и ограничена. Множество σ(L) = {λ ∈ C\R(L)|L(λ) существует} называется спектром операторфункции L(λ). Обозначим через σ(A), σ(T) спектры операторов A и T, соответственно. Теорема 7.1. Пусть выполнены условия (2.4). Тогда σ(A)\σ(T) ⊆ σ(L), невещественная часть спектра оператора A совпадает с невещественной частью спектра оператор-функции L и симметрична относительно вещественной оси. Структура и локализация спектра оператор-функции L(λ) изучалась в работах [24, 25]. 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.1 Перед тем как приступить к доказательству теоремы 5.1, докажем утверждения 5.1 и 5.2. Доказательство утверждения 5.1. Разобьем следующий интеграл в сумму двух интегралов: +∞ 1 r r - τ e-pτ dμk(τ ) = - 0 0 τ e-pτ dμk (τ ) - +∞ r τ e-pτ dμk (τ ) =: I1(p)+ I2(p), 1 Легко видеть, что I2(p) :( - +∞ r e-pτ dμk(τ ). 1 По теореме о среднем существует такое ξ ∈ (0, 1), что 1 1 r r - τ e-pτ dμk(τ ) = -ξ 0 0 e-pτ dμk (τ ). Таким образом, выбирая γ = ξ/2, получаем оценку (5.1). Доказательство утверждения 5.2. Из утверждения 5.1 следует существование такого γ > 0, что для всех p > 0 справедливо неравенство +∞ r ( 2 -pτ 2 Кроме того, -τ e-pτ ||ξk (t, τ )||H + γe 0 ||ξk (t, τ )||H ) dμk(τ ) :( 0. lim (-τ e-pτ ||ξk (t, τ )||H + γe ||ξk (t, τ )||H ) = -τ ||ξk(t, τ )||H + γ||ξk (t, τ )||H . p→0+ 2 -pτ 2 2 2 Следовательно, по теореме Фату, справедливо неравенство +∞ r ( 2 2 -τ ||ξk(t, τ )||H + γ||ξk (t, τ )||H ) dμk (τ ) :( 0, 0 из которого вытекает неравенство (5.2), т. к. ξk(t, τ ) ∈ Ωk , k = 1, 2, для всех t, τ > 0. Замечание 8.1. 1. Для любого ξ(τ ) ∈ Ωk при β � 0 справедливо неравенство +∞1 1 ⎛r∞ ⎞1/2 r 1 e-τβ/2 1 1 1 e-βτ dμk (τ ) 1 √τ ξ(τ )1 0 1 1H dμk(τ ) :( ⎝ 0 τ ⎠ ||ξ(τ )||Ωk . (8.1) 2. Для любого ξ ∈ D(Tk ) справедливо неравенство ⊕τξ(τ ), ξ(τ ))Ωk :( ||τξ(τ )||Ωk ||ξ(τ )||Ωk . (8.2) ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 515 Действительно, достаточно применить неравенство Гельдера к интегралам в левой части неравенств (8.1), (8.2). Доказательство теоремы 5.1. Учитывая сильную непрерывность полугруппы S(t), достаточно доказать неравенство (5.3) для любого z ∈ D(A). Фиксируем z = (v0, ξ00, ξ10(τ ), ξ20(τ )) ∈ D(A) для любого τ > 0 и обозначим S(t)z = (v(t), ξ0(t), ξ1(t, τ ), ξ2(t, τ )) ∈ D(A). Введем обозначение (энергию) E(t) := H 2 1 lS(t)zl2 . (8.3) Принимая во внимание энергетическое равенство (4.7) и утверждение 5.2, получаем следующую оценку: 2 +∞ d r 2 +∞ 2 r E(t) = - \ τ ||ξk (t, τ )||H dμk(τ ) :( -γ \ ||ξk (t, τ )||H dμk (τ ) = -γ \ ||ξk (t, τ )||Ω . (8.4) 2 dt k=1 0 2 k=1 0 2 k k=1 Для заданного β � 0 рассмотрим следующие функционалы: ⎛+∞ r / +∞ ⎞ 1 \ r / 1 \ Φ1(t, β) = - ⎝ 0 e-βτ τ A-1/2v(t), √ ξ1(t, τ ) / dμ1(τ )+ H 0 e-βτ \ τ B-1/2v(t), √ ξ2(t, τ ) dμ2(τ )⎠, H Φ2(t) = 0 A-1/2v(t), ξ0(t) . H Отметим, что при сделанных предположениях функционалы Φ1(t, β) и Φ2(t) принимают вещественные значения. Утверждение 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда справедливы неравенства |Φ1(t, β)| :( max ( 1; 2 max k=1,2 -1 2 ( 1 λ ||Qk || Mk (β) 0 1 E(t), (8.5) где λ0 = inf lxl=1, x∈Dom(A0 ) (A0x, x) . λ |Φ2(t)| :( √ 0 E(t), (8.6) Доказательство. Согласно замечанию 8.1, при k = 1, 2 имеют место оценки +∞1 1 ⎛ ∞ ⎞1/2 r 1 e-βτ/2 1 1 1 r e-βτ dμk (τ ) / 1 1 √τ ξ(τ ) 0 1 1H dμk (τ ) :( ⎝ 0 τ ⎠ ||ξ(τ )||Ωk = Mk (β)||ξ(τ )||Ωk . (8.7) Таким образом, справедливы неравенства ⎛ +∞ r / 1 \ |Φ1(t, β)| :( ⎝ 0 e-βτ τ A-1/2v(t), √ ξ1(t, τ ) dμ1(τ )+ H ∞ + ⎞ r / \ + e-βτ B-1/2v(t), 1 ξ (t, τ ) dμ (τ ) = 0 ⎛ +∞ r / √τ 2 1 2 ⎠ H \ = ⎝ e-βτ (Q-1)∗A- 1/2 0 ∞ + r / 1 0 v(t), √τ 1 ξ1(t, τ ) \ dμ1(τ )+ H ⎞ + e-βτ (Q-1)∗A- 1/2 ⎠ 2 0 v(t), √τ 0 ξ2(t, τ ) dμ2(τ ) :( H 516 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 2 1 r∞1 e-βτ/2 1 1 1 :( ||v(t)||H \ √ ||Q-1|| 1 √ ξk(t, τ )1 dμk (τ ) :( λ k 1 τ 0 k=1 0 1 1 1H 1/2 2 1 ⎛r∞ e-βτ dμ ⎞ (τ ) :( ||v(t)||H \ √ ||Q-1||⎝ k ⎠ ||ξk (t, τ )||Ω :( k=1 ⎡ 1 2 λ0 k / 2 \ 1 τ 0 -1 / k 2⎤ √ :( 2 ⎣||v(t)||H + k=1 λ ||Qk || 0 Mk (β)||ξk(t, τ )||Ωk ⎦ :( 1 г l 2 1 2 \ 1 2 2 k :( 2 ||v(t)||H +2 k=1 λ ||Q- || Mk (β)||ξk (t, τ )||Ωk :( 0 1 г 2 2 ( 1 1 2 \ 2 l || || · :( 2 k v(t) H +2 max k=1,2 λ ||Q- || Mk (β) 0 ( k=1 ||ξk (t, τ )||Ωk :( ( 1 2 :( max · k 1; 2 max k=1,2 λ ||Q-1|| Mk (β) 0 E(t); 1 1 1 1 ( 2 2 1 |Φ2(t)| :( 1A-1/2v(t)1 lξ0(t)l :( √ ||v(t)|| + lξ0(t)l :( √ E(t), 1 0 1H H 2 λ0 H H λ0 где λ0 = inf lxl=1, x∈Dom(A0 ) (A0x, x) . Лемма 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда для любого β � 0 справедливо неравенство d dt Φ1(t) :( M (β) 2 ||H г ||ξ0 2 12 2 ||v||H l - 2 + 2 2 \ k=1 ||Ωk c˜k ||ξk 2 , (8.8) 2 где c˜k := (3 + Mk (β)+ (2λ0)-1)1Q-11 + Mk(0)lQk l , M (β) := Mk (β). 1 k 1  k=1 Доказательство. Легко видеть, что d r∞ / d 1 \ Φ1(t, β) = - e-βτ A-1/2 v(t), √ ξk(t, τ ) dμ1(τ )- dt 0 r∞ / dt τ \ H r∞ / \ - e-βτ B-1/2 d v(t), 1 ξ (t, τ ) dμ (τ ) - e-βτ A-1/2v(t), 1 d ξ (t, τ ) dμ (τ )- dt √τ 2 0 2 H 0 r∞ / H √τ dt k 1 \ - e-βτ B-1/2v(t), 1 d ξ (t, τ ) dμ (τ ). (8.9) H √τ dt 2 2 0 Оценим теперь выражения в правой части последнего равенства (8.9), используя уравнение (4.5) и замечание 8.1. Для первых двух слагаемых имеем r∞ - e-βτ / A-1/2 d v(t), 1 \ ξ (t, τ ) dμ (τ ) - r∞ e-βτ / B-1/2 d v(t), 1 \ ξ (t, τ ) dμ (τ ) = H dt √τ 1 1 0 0 H dt √τ 2 2 2 r∞ / d 1 \ = - \ i=1 0 e-βτ √ i i 0 (Q-1)∗A-1/2 v(t), ξ (t, τ ) dt τ 2 r∞ / 1 \ = \ e-βτ (Q-1)∗ξ0(t), √ ξi(t, τ ) dμi(τ )+ i τ i=1 0 H ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 517 2 r∞ / 2 r∞ 1 1 \ + \ e-βτ (Q-1)∗ \ ∗ i=1 0 i k=1 0 √τ Qkξk (t, τ )dμk (τ ), √τ ξi(t, τ ) dμi(τ ) = H 2 = \ i=1 / i (Q-1)∗ξ0(t), βτ √ i i r∞ 1 \ e- ξ (t, τ )dμ (τ ) + τ 0 H / 2 r∞ 1 2 r∞ 1 \ + \ √ Q∗ ξk (t, τ )dμk (τ ), \ e-βτ √ (Q-1) ξi(t, τ )dμi(τ ) :( τ k k=1 0 2 τ i i=1 0 H r∞ e-βτ/2 :( lξ0(t)lH \ 1Q-11 √ lξi(t, τ )lH dμi(τ )+ ⎛ 2 r∞ e-βτ/2 1 i=1 1 i τ 0 ⎞ ⎛ 2 r∞ 1 ⎞ \ 1 1 \ i + ⎝ i=1 1Q-11 0 √τ lξi(t, τ )lH dμi(τ )⎠ ⎝ k=1 lQk l 0 √τ lξk(t, τ )lH dμk (τ )⎠ :( 2 ⎛ ∞ r e-βτ dμk(τ ) ⎞1/2 :( lξ0(t)lH \ 1Q-11 ⎝ ⎠ lξk (t, τ )lΩ + k 1 k 1 τ k=1 0 ⎛ 2 ⎛r∞ e-βτ dμ (τ ) ⎞1/2 r ⎞ ⎛ 2 ⎛ ∞ dμ (τ ) ⎞1/2 ⎞ + ⎜\ 1 11 i i ⎟ ⎜\ k ⎟ ⎝ i=1 1Q- 1 ⎝ 0 τ ⎠ 2 / lξi(t, τ )lΩi ⎠ ⎝ k=1 lQk l ⎝ 0 τ ⎠ lξk (t, τ )lΩk ⎠ :( :( \ 2 Mk (β) √ 1 1 k=1 k 3 2 √ lξ0(t)lH k 3 1Q-11 lξk(t, τ )lΩ + ⎡/ 2 2 / 2 2⎤ 1 \ 1 1 / \ / i + 2 ⎣ 2 i=1 1Q-11 Mi(β)lξi(t, τ )lΩi + k=1 2 lQk l Mk(0)lξk(t, τ )lΩk ⎦ :( :( \ ( Mk (β) 2 1 2 2 \ \ ( 1 2 2 2 1 k 1 1 k 1 Ω k=1 12 lξ0(t)lH + 31Q- 1 lξk(t, τ )lΩk + k=1 Mk (β)1Q- 1 + Mk(0)lQk l lξk (t, τ )l k = 2 \ г Mk (β) 2 ( 1 -112 2 2 l = k=1 12 lξ0(t)lH + (3 + Mk (β))1Qk 1 + Mk (0)lQkl lξk(t, τ )lΩk . (8.10) Приступим к оценке вторых двух слагаемых в формуле (8.9). r∞ - e-βτ / A-1/2v(t), 1 d \ ξ (t, τ ) dμ (τ ) - r∞ e-βτ / B-1/2v(t), 1 d \ ξ (t, τ ) dμ (τ ) = H √τ dt k 1 0 0 H √τ dt 2 2 2 r∞ / 1 d \ = - \ k=1 0 e-βτ (Q-1)∗A-1/2 k 0 v(t), √τ dt ξk(t, τ ) 2 +∞ / \ r 1 = - \ e-βτ (Q-1)∗A-1/2 1/2 k=1 0 k 0 v(t), τ Qk A0 v(t) dμk (τ )+ H 2 r∞ / 1 \ + \ e-βτ (Q-1)∗A-1/2 k=1 0 k 0 v(t), √τ τξk(t, τ ) dμk(τ ) :( H 518 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 2 +∞ 2 r∞ 2 \ r e-βτ dμk (τ ) \ βτ 1 1 1 :( -||v(t)||H k=1 0 τ + ||v(t)||H e- k=1 0 k λ τ ||Q- ||H √ 0 ||ξk (t, τ )||H √τ dμk(τ ) :( 2 :( -||v(t)||2 M (β)+ ||v(t)||H \ ||Q-1|| r∞ ||ξ (t, τ )|| e-βτ/2 √ dμ (τ ) :( H √λ0 k H k k=1 0 2 H τ k :( -||v(t)||2 M (β)+ ||v(t)||H \ ||Q-1|| /M (β)||ξ (t, τ )|| :( H √λ0 2 г/ k=1 k H k k Ωk Q-1 l H :( -||v(t)||2 M (β)+2 \ k=1 2λ ξ Mk (β) √2 ||v(t)||H || k ||H √ || k 0 (t, τ )||Ωk :( 2 :( -||v(t)||2 M (β)+ 1 \ M 2 (β)||v(t)|| k + \ 2 г ||Q-1 2 ||H ||ξ l 2 (t, τ )|| :( H 2 k k=1 H k=1 2λ0 2 г k Ωk 2 l 1 2 \ 2 H ||Q-1|| :( - 2 ||v(t)||H M (β)+ k=1 Объединяя оценки (8.10) и (8.11), получаем неравенство (8.8). k 2λ0 ||ξk (t, τ )||Ωk . (8.11) Лемма 8.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда справедливо неравенство 2 d 2 3 2 \ 2 2 dt Φ2(t) :( ||v(t)||H - 4 ||ξ0(t)||H +2 k=1 ||Qk || Mk (0)||ξk (t)||Ωk . (8.12) Доказательство. Утверждение вытекает из следующей цепочки неравенств: d d / \ / d \ / d \ dt Φ2(t) = dt 0 A A-1/2v(t), ξ0(t) = H -1/2 0 H dt v(t), ξ0(t) + 0 A-1/2v(t), H dt ξ0(t) = ||H = -||ξ0(t) 2 - 2 \ k=1 r / +∞ 0 1 \ k √τ Q∗ ξk(t, τ )dμk (τ ), ξ0(t) H A + / -1/2 0 0 v(t), A1/2 ) v(t \ :( H H :( ||v(t)||2 2 - ||ξ0(t)||H 2 + ||ξ0(t)||H \ lQkl k=1 2 +∞ r 1 τ √ lξk(t, τ )lH 0 dμk (τ ) :( 2 ξ0(t)||H \ / H :( ||v(t)||2 - ||ξ0(t)||H + 2 || 2 k=1 ||Qk || Mk (0)lξk (t, τ )lΩk :( 2 / 2 2 H 2 :( ||v(t)||2 - ||ξ0(t)||H + ||ξ0(t)||H 4 + \ k=1 2 || ||Qk / Mk (0)lξk(t, τ )lΩk :( :( ||v(t)||2 3 2 - ||ξ (t)|| +2 \ ||Q 2 || M (0) lξ (t, τ )l2 . H 4 0 H k k k Ωk k=1 Определим вектор-функцию Φ(t) := 3 M (β) Φ1(t)+ Φ2(t), для которой, согласно леммам 8.1 и 8.2, справедливо неравенство d Φ(t) = dt 3 d M (β) dt d Φ1(t)+ dt Φ2(t) :( 2 ||ξ0||H 4 ||H 3||v 2 - 2 2 + \ 3 M (β) k=1 ||Ωk c˜k ||ξk 2 - ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 519 2 3 2 2 \ 2 2 - 4 ||ξ0(t)||H + ||v(t)||H +2 k=1 2 Mk (0)||Qk || ||ξk (t, τ )||Ωk = 1 2 1 2 \ ( 3 2\ 2 = - 2 ||ξ0(t)||H - 2 ||v(t)||H + Введем обозначение k=1 M (β) c˜k + 2Mk (0)||Qk || ||ξk (t, τ )||Ωk . (8.13) 3 2 ck := M (β) c˜k + 2Mk (0)||Qk || = 3  2 2 = (3 + Mk (β)+ (2λ0)-1)1Q-11 + Mk (0)lQkl2 + 2Mk (0)||Qk || = M (β) 3  1 k 1 2 2 2 = (3 + Mk (β)+ (2λ0)-1)1Q-11 + Mk (0)lQk l + 2Mk (0)||Qk || . (8.14) M (β) 1 k 1 Из неравенства (8.13), в свою очередь, вытекает оценка 2 d Φ(t)+ E(t) :( \ dt k=1 ( ck + 2 1 \ 2 ||ξk (t, τ )||Ωk 2 2 k :( γ1 \ ||ξk (t, τ )||Ω k=1 , (8.15) ck где γ1 := max ( + k=1,2 получаем оценку где 1 , вектор-функция E(t) определена формулой (8.3). Из утверждения 8.1 2 3 |Φ(t)| :( M (β) |Φ1(t)| + |Φ2(t)| :( γ2E(t), (8.16) г 3 ( ( 1 1 2 1 l Положим γ2 := max M (β) · k 1, 2 max k λ ||Q- || Mk (β) 0 + √ . λ0 o := min ( γ ; 2γ1 1 2γ2 и рассмотрим вектор-функцию Ψ(t) := E(t)+ εΦ(t). Утверждение 8.2. В принятых обозначениях справедливо неравенство Доказательство. 1 2 E(t) :( Ψ(t) :( 3 E(t). (8.17) 2 1. Пусть ε = γ 2γ1 , тогда γ 2γ1 1 :( 2γ2 , и, следовательно, согласно неравенству (8.16) имеем 1 2 E(t) = E(t) - 1 2γ2 γ2E(t) :( E(t) - εγ2E(t) :( E(t)+ εΦ(t) = 1 2 = Ψ(t) :( E(t)+ εγ2E(t) :( E(t)+ 2γ 3 γ2E(t) = 2 E(t) 2. Пусть ε = 1 2γ2 . Тогда согласно неравенству (8.16) имеем 1 2 E(t) = E(t) - εγ2E(t) :( Ψ(t) :( E(t)+ εγ2E(t) = 3 E(t). 2 В свою очередь, из неравенств (8.4) и (8.16) вытекает оценка d Ψ(t) = dt d d E(t)+ ε dt dt γ Φ(t) :( - 2 \ 2 N ||ξk(t, τ )||Ωk k=1 / N 2 k + ε γ1 \ ||ξk (t, τ )||Ω k=1 - E(t) . 520 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Следовательно, d γ dt Ψ(t)+ εE(t) :( - 2 \ 2 N ||ξk (t, τ )||Ωk k=1 N 2 k + εγ1 \ ||ξk (t, τ )||Ω k=1 . (8.18) Рассмотрим два случая: 1. Если ε = γ 2γ1 , то согласно (8.18) получим d dt Ψ(t)+ εE(t) :( 0. (8.19) 2. Если же ε = 1 2γ2 , то 1 2γ2 γ :( 2γ1 , и, следовательно, согласно (8.18) будем иметь (8.19). В соответствии с утверждением 8.2, получаем неравенство 2 εE(t) � 3 εΨ(t). (8.20) Полагая ω = ε , из неравенств (8.19) и (8.20) получаем неравенство 3 d Ψ(t)+ 2ωΨ(t) :( 0. (8.21) dt Из утверждения 5.2 следует, что функция Ψ(t) > 0 непрерывна на при t � 0 и дифференцируема при t > 0. Проводя рассуждения, аналогичные доказательству леммы Гронуолла-Беллмана (см. [1, с. 46]), получаем Из неравенства (8.22) получаем t r dΨ(s) Ψ(s) 0 + 2ωt :( 0. (8.22) Ψ(t) :( Ψ(0)e-2ωt. (8.23) Окончательно, учитывая утверждение 5.2 и неравенство (8.23), получаем неравенство (5.3): 2 -2ωt -2ωt 2 -2ωt lS(t)zlH = 2E(t) :( 4Ψ(t) :( 4Ψ(0)e Теорема 5.1 доказана. :( 6E(0)e = 3 lzlH e . 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 7.1 Перед тем как перейти к доказательству теоремы 7.1, сформулируем и докажем следующее предложение. Предложение 9.1. Пусть H˜k (k = 1, 2) - гильбертовы пространства. Предположим, что 11 ∈ L(H˜1), A22 ∈ L(H˜2), A12 ∈ L(H˜2, H˜1), A21 ∈ L(H˜1, H˜2), D1 := A11 - A12A22 A21, D1 ∈ A-1 -1 -1 -1 L(H˜1), и рассмотрим линейный оператор A = ( A11 A12 \ , A21 A22 определенный в пространстве H˜1 ⊕ H˜2. Тогда оператор A-1 ∈ L (H˜1 ⊕ H˜2 . Доказательство. Если выполнены условия предложения 9.1, то легко проверить, что справедливо представление (факторизация типа Шура-Фробениуса, см. [6]) A-1 = ( A11 A12 \-1 A 1 22 = г( I A12 - \( D1 0 \( I 0 \l-1 = A21 A22 0 I ( D-1 0 A22 -1 22 A-1A21 I -1 \ ( ˜ ˜ = 1 -D1 A12A22 22 A21D1 A22 I + A21D1 A12A22  ∈ L H ⊕ H . (9.1) Это и доказывает предложение. -A-1 -1 -1 -1 -1 1 2 ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 521 Доказательство теоремы 7.1. Оператор A - λI представим в виде следующего произведения: 1/2 ⎛ -λI -A A 1/2 § B∗ A ⎞ 1/2 § B∗ 0 ⎜ A1/2 0 1 0 2 ⎟ A - λI = ⎜ 0 -λI 0 0 ⎟ = ⎜ B1A1/2 ⎟ B2A1/2 ⎝ 0 0 -T1 - λI 0 ⎠ 0 0 0 -T2 - λI ⎛ A1/2 ⎞ ⎛ 1 0 ∗ ∗ ⎞ ⎛ 1/2 ⎞ 0 0 0 0 -λA- -I -B1 -B2 A0 0 0 0 = ⎜ 0 I 0 0 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 0 0 I 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 I I -λI 0 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ B1 0 -T1 - λI 0 ⎟ ⎜ B2 0 0 -T2 - λI 0 0 I 0 ⎟ 0 I 0 0 ⎟ = ⎠ 0 0 0 I =: A0A1(λ)A0, (9.2) 0 где A0 - обратимый оператор в пространстве H, т. е. A-1 ∈ L(H). Применяя обозначения предложения 9.1 к оператор-функции A1(λ), имеем H˜1 = H, H = H˜1 ⊕ H˜2 = H ⊕ H0, где H0 := H ⊕ ( 2 \ ffi Ωk , A11 = -λA-1, A12 = (-I, -B∗, -B∗) , A21 = (I, B1, B2)T , D1 =: M (λ) = 0 1 2 k=1 2 -λA-1 - λ-1I -  B∗(Tk + λI)-1Bk, 0 k k=1 ⎛ -λI 0 0 ⎞ A22 = ⎝ 0 -T1 - λI 0 ⎠ . 0 0 -T2 - λI Проводя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 3 из работы [22], можно показать, что введенные операторы удовлетворяют условиям предложения 9.1 для всех λ, т. е. λ /= 0, λ ∈/ σ(M (λ)), λ ∈/ σ(Tk + λI), k = 1, 2, и оператор-функция A1(λ) допускает представление ⎛ I λ-1 B∗ 1 1(T1 + λI)- 1 B∗(T1 + λI)-1 ⎞ ⎜ × A1(λ) = ⎜ 0 I 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 I 0 ⎟ 0 0 0 I M (λ) 0 0 0 ⎞ ⎛ I 0 0 0 0 -λ 0 0 ⎟ ⎜ -λ-1 I 0 0 ⎛ × ⎜ ⎞ ⎟ , (9.3) ⎠ ⎝ ⎝ ⎜ 0 0 -(T1 + λI) 0 0 0 0 -(T2 + λI) ⎠ ⎟ ⎜ -(T1 + λI)-1B1 0 I 0 ⎟ -(T2 + λI)-1B1 0 0 I где оператор-функция M (λ) выражается через символ L(λ) уравнения (2.1) следующим образом: 2 M (λ) := -λA-1 - λ-1I - \ B∗(Tk + λI)-1Bk = -λ-1A-1/2L(λ)A-1/2, 0 k 0 0 k=1 а L(λ) определяется формулой (7.1). Таким образом, σ(M (λ)) = σ(L(λ)), кроме того, σ(Tk ) = supp μk, k = 1, 2. Следовательно, согласно представлению (9.3), σ(A) = σ(L) ∪ {0}∪ supp μ1 ∪ supp μ2. Кроме того, σ(L(λ)) = σ(M (λ)) ∈ {λ ∈ C| Re λ < 0} , L∗(λ) = L(λ¯) для любого λ ∈ C\R-, следовательно, невещественная часть спектра оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной оси и совпадает с невещественной частью спектра оператора A. 2. ПРИМЕР Рассмотрим ядра интегральных операторов следующего вида: N N K1(t) = \ aj Эα-1(-βj , t), K2(t) = \ bj Эα-1(-βj , t) j=1 j=1 522 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН где 0 < α < 1, cj > 0, βj > 0, j = 1,... , N, ∞ n nα Эα-1(-βj , t) := t α-1 \ (-βj ) t , j = 1,... ,N Γ[(n + 1)α] n=0 - функции Работнова (см. [9]), Γ(·) - гамма функции Эйлера. Рассмотрим преобразование Лапласа функции Эα-1(-βi, t): ˆ λ + β 1 Эα-1(-βi, t) = α , i где λα (0 < α :( 1) - главная ветвь многозначной функции f (λ) = λα, λ ∈ C, с разрезом вдоль | отрицательной действительной полуоси: λα = |λ α eiα arg λ , -π < arg λ < π. Применяя обратное преобразование Лапласа к главной ветви многозначной функции Эˆα-1(-βi, t), получаем следующее интегральное представление (см. [9]): 1 →+∞ Эα-1(-βj , t) = 2πi R lim γ+iR r eλtdλ λα + βj +∞ sin πα r = π e-tτ dτ . j τ α + 2βj cos πα + β2τ -α Положим γ-iR 0 ⎛ N ⎞ sin πα \ aj dμ1(τ ) = π ⎝ j=1 τ α + 2βj j cos πα + β2τ -α ⎠ dτ, sin πα ⎛ N ⎞ \ bj Тогда dμ2(τ ) = π ⎝ j=1 τ α + 2βj j cos πα + β2τ -α ⎠ dτ. N +∞ \ sin πα r aj e-tτ dτ ⎛ \ N 1 1 γ+iR r ⎞ eλtdλ M1(t) = π τ (τ α + 2β cos πα + β2τ -α) = ⎝ aj ⎜ β - 2πi R lim + ⎠ = λ(λα + β ) ⎟ j=1 0 j r N ⎛ t aj j j=1 j ⎞ N +∞ r → ∞ j γ-iR - = \ ⎝ j=1 aj βj 0 Эα-1(-βj , s)ds⎠ = \ aj j=1 t Эα-1(-βj , s)ds, а условия (2.4) примут вид N M2(t) = \ bj j=1 +∞ r Эα-1(-βj , s)ds, t Введем новые переменные N \ aj j=1 βj < 1, N \ bj j=1 βj < 1. 0 v(t) := ui(t), ξ0(t) := A1/2u(t), t r e-(t-s)τ 1/2 du(s) ξj (t, τ ) = 0 √τ Qj A0 ds, t > 0, τ > 0, j = 1, 2. ds ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 523 Тогда задача (2.1), (2.2) формально может быть приведена к следующей начальной задаче для системы дифференциальных уравнений первого порядка: ⎧ ⎡ N +∞ ⎤ ⎪ dv(t) 1/2 sin πα \ r (aj Q∗ξ1(t, τ )+ bj Q∗ξ2(t, τ )) dτ ⎪ + A0 ⎣ξ0(t)+ √ 1 2 ⎦ = f1(t), ⎪ dt ⎪ ⎪ k π j=1 0 τ (τ α + 2βk cos πα + β2τ -α) ⎨ ⎪⎪ dξ0(t) dt = A1/2 0 v(t), ⎪ dξ1(t, τ ) 1 ⎪ 1/2 dt τ ⎪ = √ Q1A0 v(t) - τξ1(t, τ ), ⎪ ⎪ ⎪ dξ2(t, τ ) 1 1/2 dt τ ⎩⎪ = √ Q2A0 v(t) - τξ2(t, τ ), где t > 0, τ > 0, t=0 t=0 0 t=0 v(t)| = ϕ1, ξ0(t)| = A1/2ϕ0, ξk(t, τ )| = 0, k = 1, 2, N ⎛⎛ +∞ ⎞ ⎞ r f1(t) = f (t) - \ ⎝⎝ j=1 t Оценка (6.3) принимает следующий вид: Эα-1(-βj , s)ds⎠ (aj A + bj B)ϕ0⎠ . 1 (1 12 1 1/2 12 \ 1 2 г( 2 1 1/2 12 \ -2ωt E(t) := 1ui(t)1H + 1A0 u(t)1 :( lZ(t)lH :( d lϕ1lH + 1A0 ϕ01 e + 2 1 1H ⎛ t 1 r 1 2 N ⎛ +∞ r 1 1H ⎞ 1 ⎞2⎤ 1 + ⎝ e-ω(t-s)1f (s) - \ Эα 1(-β ,τ )dτ ⎠ (a A + b B)ϕ 1 ds ⎥ . ⎦ 1 ⎝ - j 1 0 1 j=1 s j j 01 ⎠ 1 1H

Об авторах

В. В. Власов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский Центр фундаментальной и прикладной математики

Автор, ответственный за переписку.
Email: victor.vlasov@math.msu.ru
Москва, Россия

Н. А. Раутиан

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский Центр фундаментальной и прикладной математики

Email: nadezhda.rautian@math.msu.ru
Москва, Россия

Список литературы