Дифференциальные уравнения с запаздыванием с дифференцируемыми операторами решений на открытых областях в C((-∞, 0], Rn) и процессы для интегродифференциальных уравнений Вольтерра

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 483 Часть I 487 2. Оператор подстановки 488 3. Равномерные сжатия и локальные решения 490 4. Полупоток непрерывно дифференцируемых операторов решений 494 5. Линеаризованные операторы решений и вариационное уравнение 496 Часть II 498 6. Процессы для неавтономных дифференциальных уравнений с запаздыванием 498 7. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра 500 F 8. Приложение: Равномерная сходимость непрерывных линейных отображений на ограниченных подмножествах, C1 -гладкость 503 Список литературы 505 1. ВВЕДЕНИЕ В этой статье мы рассматриваем начальную задачу x×(t) = f (xt), (1.1) x0 = φ ∈ U (1.2) для непрерывно дифференцируемого отображения f : U → Rn на открытом подмножестве U пространства Фреше C = C((-∞, 0], Rn) непрерывных отображений (-∞, 0] → Rn с топологией локально равномерной сходимости. Решение уравнения (1.1) на интервале I ⊂ R является таким непрерывным отображением x : (-∞, 0]+I → Rn, что все сегменты xt : (-∞, 0] ± s 1→ x(t+s) ∈ Rn, © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 483 484 Х.-О. ВАЛЬТЕР t ∈ I принадлежат U, а x|I дифференцируемо и удовлетворяет уравнению (1.1) для всех t ∈ I. Решение начальной задачи (1.1)-(1.2) является решением на некотором интервале I = [0, tx), 0 < tx � ∞, которое удовлетворяет x0 = φ. Уравнение (1.1) обобщает известные автономные дифференциальные уравнения с запаздыванием или функционально-дифференциальные уравнения с запаздыванием (см. [2, 3]), где U - подмножество банахова пространства C([-r, 0], Rn), r > 0, и охватывает примеры с неограниченным запаздыванием, включая случаи переменного запаздывания, зависящего от неизвестной функции. В части I (разделы 2-5) ниже мы покажем, что начальная задача (1.1)(1.2) корректна и максимальные решения x = xφ определяют непрерывный полупоток Σ на U равенством t Σ(t, φ)= xφ, где все операторы решения Σ(t, ·) непрерывно дифференцируемы и их производные определяются как решения вариационных уравнений. В части II (разделы 6-7) мы рассматриваем неавтономные уравнения x×(t)= g(t, xt), (1.3) где g : R × C ⊃ V → Rn непрерывно дифференцируема. В разделе 6 результаты части I дают непрерывный процесс непрерывно дифференцируемых операторов решения. Среди приложений распространены интегродифференциальные уравнения Вольтерра t r x×(t)= 0 k(t, s)h(x(s))ds, t > 0, (1.4) где k : R2 → Rn×n, а h : R → Rn непрерывно дифференцируема. Уравнение (1.4) может быть рассмотрено как неавтономное дифференциальное уравнение с неограниченным максимальным запаздыванием, зависящим от времени d(t) = t в момент времени t > 0, так как x×(t) зависит от значений x при t - t = 0 < s < t [6]. В разделе 7 мы ищем такое непрерывно дифференцируемое отображение g : R × C → Rn, чтобы решения уравнения (1.4) также являлись решениями уравнения (1.3), которое, в свою очередь, описывает процесс объединения всех решений интегродифференциального уравнения Вольтерра. Построение полупотока Σ, связанного с уравнением (1.1), является упрощенной версией конструкции из [14]. Оно проводится известным образом через интегральное уравнение для решений начальной задачи (1.1)-(1.2) с начальными данными в виде параметров. Однако, используя пространство Фреше C как пространство состояний, необходимо действовать аккуратно. Для этого мы вводим понятие непрерывной дифференцируемости. Результат будет представлен в двух вариантах, соответственно, в смысле непрерывной дифференцируемости (1) по Микалю и Бастиани и (2) MB в смысле Фреше. Вкратце опишем C1 F -гладкость в случае (1) и C1 -гладкость в случае (2). Для непрерывного отображения f : V ⊃ U → W, где V и W - топологические векторные пространства, U ⊂ V открыто, C1 -гладкость означает, что существуют все производные по направлениям MB Df (u)v = lim 1 (f (u + tv) - f (u)) и что отображение 0∗=t→0 t U × V ± (u, v) 1→ Df (u)v ∈ W F непрерывно. Под C1 -гладкостью будем понимать существование всех производных по направлению, а также что всякое отображение Df (u) : V → W, u ∈ U линейно и непрерывно, и что отображение Df : U ± u 1→ Df (u) ∈ Lc(V, W ) непрерывно в силу топологии β равномерной сходимости на ограниченных множествах векторного пространства Lc(V, W ) непрерывных линейных отображений V → W. F В случае банахового пространства C1 -гладкость эквивалентна известной непрерывной диффе- F ренцируемости, основанной на производных по Фреше, а для конечномерных пространств C1 -глад- MB кость и C1 F -гладкость, естественно, эквивалентны. В общем случае C1 -гладкость является более MB сильным свойством. Подробнее о C1 F -гладких, но C1 -негладких отображений см., например, [16]. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 485 Мотивация для получения результатов в обоих случаях заключается в том, что при работе с MB исчислением в топологических векторных пространствах C1 -гладкость кажется довольно распространенной, тогда как в нашем приложении к интегродифференциальному уравнению Вольтерра мы получаем соответствующее уравнение (1.3) с отображением g, которое на самом деле C1 F -гладкое. Автономные уравнения вида (1.1), которые получаются из интегродифференциальных уравнений Вольтерра (1.4), как и выше, через уравнение вида (1.3), являются дифференциальными уравнениями с неограниченным запаздыванием, зависящим от неизвестной функции, которые частично «хорошие», в отличие от примеров дискретного запаздывания, как x×(t)= F (x(t - d)), d = d(x(t)), где F и d : R → (0, ∞) непрерывно дифференцируемы. В последнем случае непрерывно дифференцируемые операторы решения существуют на многообразии пространства Фреше C1 = C1((-∞, 0], R) непрерывно дифференцируемых отображений (-∞, 0] → R, наделенном топологией локально-равномерной сходимости отображений и их производных [14, 17]. Этот случай схож со случаем ограниченного запаздывания, когда уравнения с дискретным запаздыванием, зависящим от неизвестной функции, определяют непрерывно дифференцируемый оператор решения на многообразиях банаховых пространств C1([-r, 0, Rn ), r > 0, в то время как другие уравнения, особенно сограниченным распределенным запаздыванием, зависящим от неизвестной функции, определяют хорошие операторы решения на открытых подмножествах пространства состояний C([-r, 0], Rn ), r > 0, которые известны из уравнений с постоянным запаздыванием (см. примеры в [7]). MB Детали аппарата анализа, основанного на C1 -гладкости, можно найти в [4, разделы I.1-I.4]. F После дополнительного раздела 8 мы приводим простые дополнительные факты о C1 -гладкости. Доказательства приведены в [17]. Необходимо предупредить читателя, что гипотезы о непрерывной дифференцируемости являются ограничивающими, возможно, удивительным образом: из C1 -гладкости отображения MB f : C ⊃ U → Rn следует, что f имеет локально ограниченное запаздывание в следующем смысле: (lbd) Для любого φ ∈ U существует окрестность N ⊂ U φ, d > 0, такая, что для любых χ, ψ из N таких, что имеем f (χ)= f (ψ). χ(t)= ψ(t) для всех t ∈ [-d, 0], Это утверждение можно доказать аналогично [14, утверждение 1.1]. Приведем также очевидное преимущество пространств Фреше C по сравнению с банаховыми пространствами непрерывных функций (-∞, 0] → Rn, которые использовались как пространства состояний (см. [5, 8, 11, 13]): пространство C не исключает отрезки решений в силу роста или условий интегрируемости на -∞. Напомним, что линейное автономное дифференциальное уравнение спостоянным запаздыванием в общем случае может иметь решения спроизвольно быстрым экспоненциальным ростом на -∞. Подробнее о дифференциальных уравнениях сзапаздыванием собластями решения в пространствах Фреше отображений (-∞, 0] → Rn см. [11, 12]. Обозначения и предварительные соображения. Через Rn×n обозначим векторное пространство n × n-матриц с вещественными элементами. Основные свойства топологических векторных пространств можно найти в [10]. Произведения топологических векторных пространств всегда снабжены топологией произведения. Для равномерной непрерывности нам понадобится следующее утверждение. Утверждение 1.1 (см. [17, утверждение 2.1]). Пусть T - топологическое пространство, W - топологическое векторное пространство, M - метрическое пространство с метрикой d, g : T × M ⊃ U → W непрерывно, U ⊃ {t} × K, K ⊂ M компактно. Тогда g равномерно непрерывно на {t}× K в следующем смысле: для всякой окрестности N точки 0 из W найдутся окрестность TN точки t в T и Σ> 0 такие, что для всех t× ∈ TN , всех tˆ ∈ TN , всех k ∈ K, и всех m ∈ M таких, что d(m, k) <Σ and (t×, k) ∈ U, (tˆ, m) ∈ U 486 Х.-О. ВАЛЬТЕР справедливо g(t× , k) - g(tˆ, m) ∈ N. Векторное пространство непрерывных линейных отображений V → W между топологическими векторными пространствами обозначим через Lc(V, W ). Множества UN,B = {A ∈ Lc(V, W ): AB ⊂ N }, где N - окрестность точки 0 в W, а B ⊂ V ограничено, образуют локальную базу в 0 ∈ Lc(V, W ) в топологии β равномерной сходимости на ограниченных множествах. Пространство Фреше F - локально-выпуклое топологическое векторное пространство, полное и метризуемое. Топология на нем задается системой полунорм |· |j , j ∈ N, которые являются разделяющими в том смысле, что если |v|j =0 для любого j ∈ N, то v = 0. Множества ( 1 � Nj,k = v ∈ F : |v|j < k , j ∈ N и k ∈ N, образуют локальную базу в нуле. Если последовательность полунорм возрастает, то множества ( 1 � Nj = образуют локальную базу в нуле. v ∈ F : |v|j < j , j ∈ N, Произведения пространств Фреше, замкнутые подпространства пространств Фреше, а также банаховы пространства - являются пространствами Фреше. Для некоторой кривой и непрерывного отображения c интервала I ⊂ R положительной длины в пространство Фреше F определим касательный вектор t ∈ I формулой 1 c×(t) = lim 0∗=h→0 h (c(t + h) - c(t)), если этот предел существует. Согласно [4, глава I], назовем кривую непрерывно дифференцируемой если в каждой ее точке существует касательный вектор, а отображение c× : I ± t 1→ c×(t) ∈ F непрерывно. Для непрерывного отображения f : V ⊃ U → F, где V и F - пространства Фреше, а U ⊂ V открыто, при u ∈ U, v ∈ V производную по направлению определим формулой 1 Df (u)v = lim 0∗=h→0 h (f (u + hv) - f (u)), если этот предел существует. Если для u ∈ U все производные по направлению Df (u)v, v ∈ V существуют, то отображение Df (u): V ± v 1→ Df (u)v ∈ F называется производной функции f в точке u. Для непрерывного отображения f : U → F, где V, W, F - пространства Фреше, U ⊂ V × W открыто, определим стандартным способом частные производные. Например, D1f (v, w): V → F определяется формулой D1f (v, w)vˆ = lim 1 (f (v + hvˆ, w) - f (v, w)). 0∗=h→0 h В дальнейшем мы будем пользоваться следующими пространствами Фреше: для n ∈ N и T ?; 0, CT = C((-∞,T ], Rn) обозначает пространство Фреше непрерывных отображений (-∞,T ] → Rn с полунормами, определенными формулами |φ|T,j = max T -j�t�T |φ(t)|, φ ∈ CT и j ∈ N, которые образуют топологию локально равномерной сходимости. Аналогично рассмотрим проn странство C∞ = C(R, R ), в котором |φ|∞,j = max -j�t�j |φ(t)|. В случае, если T = 0, используем обозначение C = C0, |· |j = |· |0,j . В разделе 7, посвященном интегродифференциальным уравнениям Вольтерра, нам потребуется пространство Фреше C1 ∞ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 487 непрерывно дифференцируемых отображений R → Rn с полунормами, определенными формулой 1 |φ|∞,1,j = |φ|∞,j +|φ×|∞,j. Пространство C является аналогичным пространством непрерывно дифференцируемых отображений (-∞, 0] → Rn. В дальнейшем нам потребуются следующие банаховы пространства: при n ∈ N и T > 0 C0T обозначает банахово пространство непрерывных отображений [0,T ] → Rn с нормой | | | | φ = max φ(t) , 0�t�T где C0T,0 - замкнутое подпространство всех φ ∈ C0T таких, что φ(0) = 0. Оценочные отображения ET : CT × (-∞,T ] → C и E∞ : C∞ × R → C, заданные по формуле (φ, t) 1→ φt, непрерывны (см. [14, утверждение 3.1]) и линейны по первому аргументу. Отображение ∞,1 ∞ Ev : C1 × R → Rn F является C1 -гладким вместе с , Ev∞,1(φ, t)= φ(t), DEv∞,1(φ, t)(φˆ, t∗)= φˆ(t)+ t∗φ×(t) ∞ F как композиция отображения E10 из утверждения 8.8 (см. [17, утверждение 10.1 (iii)]), являющегося C1 -гладким, с отображением C ± φ 1→ φ(0) ∈ Rn, которое является линейным и непрерывным. Формула производной также следует из утверждения 8.8 ( [17, утверждение 10.1 (iii)]). Для 0 � S < T � ∞ отображение продолжения PST : CS → CT , которое задается формулой (PST φ)(t) = φ(t) при t � S и (PST φ)(t) = φ(S) при t > S, предполагается линейным и непрерывным. То же самое выполнено для ZT : C0T,0 → CT , которое задается формулой (ZT φ)(t)= φ(t) при 0 � t � T, (ZT φ)(t)= 0 при t � 0. Отображения и t r IT : C0T → C0T,0, (IT φ)(t)= 0 φ(s)ds, JT : C0T,0 × C ± (χ, φ) 1→ P0T φ + ZT χ ∈ CT предполагаются линейными и непрерывными. Переформулируем начальную задачу (1.1)-(1.2) как задачу о неподвижной точке следующим образом: предположим, что x - решение уравнения (1.1) на [0,T ] для некоторого T > 0, причем x0 = φ ∈ U. Тогда [0,T ] ± s → xs ∈ C непрерывно (используем xs = ET (x, s)) и t r x(t) - φ(0) = 0 f (xs)ds для всех t ∈ [0,T ]. Определим η ∈ C0T,0 по формуле η(t)= x(t) - φ(0). Тогда x|(-∞,T ] = ZT η + P0T φ, и t r η(t)= 0 f ((ZT η)s + (P0T φ)s)ds при 0 � t � T, (1.5) что является уравнением неподвижной точки для η ∈ C0T,0 с параметром φ ∈ U ⊂ C. ЧАСТЬ I В следующих разделах 2-5 мы рассмотрим открытое множество U ⊂ C и отображение f : U → Rn, ∗ являющееся C1-гладким, где ∗ = MB или ∗ = F. 488 Х.-О. ВАЛЬТЕР 2. ОПЕРАТОР ПОДСТАНОВКИ Пусть в этом разделе T > 0. Положим domT = {ξ ∈ CT : ξt ∈ U для всех t ∈ [0,T ]} и пусть FT : CT ⊃ domT → C0T задается формулой FT (ξ)(t)= f (ξt) (= f (ET (ξ, t))). Утверждение 2.1. domT открыто, а FT непрерывно. Доказательство. 1. (Открытость.) Пусть φ ∈ domT . В силу непрерывности ET для любого t ∈ [0,T ] существуют открытые окрестности Nt точки φ в CT и Vt точки t в R, такие что ψs = ET (ψ, s) ∈ U для любого ψ ∈ Nt, s ∈ Vt ∩ [0,T ]. В силу компактности существует конечное подмножество τ ⊂ [0,T ] такое, что [0,T ] ⊂ J Vt. Тогда n Nt является окрестностью φ в domT . t∈τ t∈τ 2. (Непрерывность.) Пусть заданы φ ∈ domT и Σ> 0. Применим утверждение 1.1 к непрерывному отображению domT ×[0,T ] ± (ψ, t) 1→ f (ET (ψ, t)) ∈ Rn и к компактному множеству {φ}× [0,T ]. Отсюда следует, что существует окрестность V точки φ в domT такая, что для всех ψ ∈ V и t ∈ [0,T ] Σ> |f (ET (ψ, t)) - f (ET (φ, t))|. Следовательно, Σ> |FT (ψ) - FT (φ)|. Поскольку JT непрерывно, мы заключаем, что множество OT = {(η, φ) ∈ C0T,0 × C : JT (η, φ) ∈ domT } открыто. Уравнение неподвижной точки (1.5) выглядит следующим образом: η = (IT ◦ FT )(JT (η, φ)) (2.1) для (η, φ) ∈ OT . ∗ Утверждение 2.2. FT является C1-гладким, причем (DFT (φ)χ)(t)= Df (φt)χt. Доказательство. 1. Случай ∗ = MB. 1. Определим Δ: domT ×CT → C0T формулой Δ(φ, χ)(t) = Df (φt)χt. Это выражение имеет смысл, поскольку для всех φ, χ из CT отображение [0,T ] ± t 1→ Df (ET (φ, t))ET (χ, t) ∈ Rn MB непрерывно в силу непрерывности ET и гипотезы о том, что f является C1 -гладким. Докажем, что Δ непрерывна: пусть заданы φ ∈ domT и χ ∈ CT . Пусть также Σ > 0. Заметим, что для всех ψ ∈ domT и всех ρ ∈ CT мы имеем 0�t�T |Δ(ψ, ρ) - Δ(φ, χ)| = max |Df (ψt)ρt - Df (φt)χt)|. Отображение domT ×CT × [0,T ] ± (ψ, ρ, t) 1→ Df (ψt))ρt ∈ Rn непрерывно (см. замечания выше), следовательно, оно равномерно непрерывно на компакте {φ}× {χ}× [0,T ]. Существует окрестность N точки (φ, χ) из domT ×CT такая, что для всех (ψ, ρ) ∈ N и всех t ∈ [0,T ] |Df (ψt)ρt - Df (φt)χt| < Σ. Отсюда следует, что для всех (ψ, ρ) ∈ N |Δ(ψ, ρ) - Δ(φ, χ)| � Σ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 489 2. (Производные по направлению.) Пусть заданы φ ∈ domT , χ ∈ CT . Выберем r> 0 так, чтобы φ + [-r, r]χ ∈ domT . Для 0 < |h| <r 1 1 (FT (φ + hχ) - FT (φ)) - Δ(φ, χ) = max (f (φt + hχt) - f (φt)) - Df (φt)χt = h 0�t�T h 1 1 1 r r = max Df (φt + θhχt)hχtdθ - Df (φt)χt = max [Df (φt + θhχt) - Df (φt)] χtdθ . 0�t�T h 0 Отображение 0�t�T 0 [0,T ] × (-r, r) × [0, 1] ± (t, h, θ) 1→ Df (φt + θhχt)χt ∈ Rn непрерывно (в силу равенства Df (φt + θhχt)χt = Df (ET (φ + θhχ, t))ET (χ, t), непрерывности ET MB и гипотезы о том, что f is C1 -гладкое), следовательно, оно равномерно непрерывно на компакте [0,T ] × {0} × [0, 1]. Пусть Σ > 0. Тогда существует δ ∈ (0, r) такое, что для всех t ∈ [0,T ], h ∈ (-δ , δ ), θ ∈ [0, 1] будем иметь Σ> |Df (φt + θhχt)χt - Df (φt + θ · 0 · χt)χt| = |Df (φt + θhχt)χt - Df (φt)χt|. Отсюда следует, что для 0 < |h| < δ 1 (FT (φ + hχ) - FT (φ)) - Δ(φ, χ) < Σ. h Таким образом, DFT (φ)χ существует и равно Δ(φ, χ). Используя шаг 1.1, мы получаем, что FT MB является C1 -гладким. MB 2. В случае ∗ = F получаем, что f является C1 -гладким по утверждению 8.2 (см. [17, следствие 3.2 (i)]), а FT также является C1 -гладким в силу шага 1 выше. Снова по утверждению 8.2 MB (см. [17, следствие 3.2 (i)]) нам осталось показать, что отображение CT ⊃ domT ± φ 1→ DFT (φ) ∈ Lc(CT , C0T ) непрерывно в топологии β равномерной сходимости на ограниченных подмножествах CT . По замечанию 8.1, для этого надо сделать следующее: имея заданные ξ ∈ domT , окрестность V точки 0 из C0T и ограниченное подмножество B ⊂ CT , нам нужно найти такую окрестность N точки ξ из domT , что для всех ξ˜ ∈ N и всех ξˆ ∈ B [DFT (ξ˜) - DFT (ξ)]ξˆ ∈ V. Предположим, что V = {φ ∈ C0T : |φ| < δ} для некоторого δ > 0. Тогда соотношение выше следует из неравенства } δ > |{[DFT (ξ˜) - DFT (ξ)]ξˆ (t)| = |Df (ξ˜t)ξˆt - Df (ξt)ξˆt|. (2.2) для всех ξ˜ ∈ N, всех ξˆ ∈ B и всех t ∈ [0,T ]. 1. Пусть теперь даны ξ ∈ domT , ограниченное множество B ⊂ CT и δ > 0. Докажем, что BC = {ET (ξˆ, t) ∈ C : ξˆ ∈ B, 0 � t � T } ограничено. Пусть j ∈ N. Нам необходимо показать, что полунорма |·|j ограничена на BC. Выберем целое k ?; j + T. Полунорма |· |T,k на CT ограничена на B. Для каждого ξˆ ∈ B и каждого t ∈ [0,T ] и в силу |ET (ξˆ, t)|j = max -j�s�0 получаем, что |· |j ограничено на BC. |ξˆ(t + s)| � max -j�w�T |T,k |ξˆ(w)| � |ξˆ 2. Для каждого ξ˜ ∈ domT , ξˆ ∈ B, и t ∈ [0,T ] имеем {Df (ξ˜t) - Df (ξt)}ξˆt = {Df (ET (ξ˜, t)) - Df (ET (ξ, t))}ET (ξˆ, t), F причем ET (ξˆ, t) ∈ BC. Поскольку f C1 -гладко, а ET непрерывно, композиция Q : CT × R ⊃ domT ×[0,T ] ± (ξ˜, t) 1→ Df (ET (ξ˜, t)) ∈ Lc(C, Rn) 490 Х.-О. ВАЛЬТЕР непрерывна в топологии β на Lc(C, Rn). Пусть W = {x ∈ Rn : |x| < δ}. Множество n UW,BC = {A ∈ Lc(C, R ): ABC ⊂ W } является окрестностью точки 0 из Lc(C, Rn) в топологии β. Применим утверждение 1.1 (см. [17, утверждение 2.1]) к отображению Q и компакту {ξ}× [0,T ]. Отсюда следует, что существует окрестность N точки ξ из domT ⊂ CT такая, что для каждого ξ˜ ∈ N и для всех t ∈ [0,T ] разница Q(ξ˜, t) - Q(ξ, t)= Df (ET (ξ˜, t)) - Df (ET (ξ, t)) вложена в UW,BC . То есть Rn ⊃ W ± {Df (ET (ξ˜, t)) - Df (ET (ξ, t))}βˆ = {Df (ξ˜t) - Df (ξt)}βˆt (2.3) для всех ξ˜ ∈ N, всех t ∈ [0,T [] и всех βˆ ∈ BC ⊂ C. Для каждого ξ˜ ∈ N, t ∈ [0,T [] и ξˆ ∈ B имеем (βˆ =) ξˆt ∈ BC. Используя соотношение (2.3), мы получаем неравенство (2.2). Отсюда следует, что отображение BT : OT → C0T,0, которое задается формулой BT (η, φ)= (IT ◦ FT )(JT (η, φ)), является C1-гладким. ∗ 3. РАВНОМЕРНЫЕ СЖАТИЯ И ЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ Для того, чтобы показать, что некоторые ограничения на BT при достаточно малом T > 0 являются равномерными сжатиями, заметим сначала, что при T > 0 и (η, φ), (ηˆ, φ) ∈ OT имеем |BT (ηˆ, φ) - BT (η, φ)| = |IT (FT (JT (ηˆ, φ))) - IT (FT (JT (η, φ)))| = = |IT {FT (JT (ηˆ, φ)) - FT (JT (η, φ))}| = |{ - } | � T max FT (JT (ηˆ, φ)) FT (JT (η, φ)) (t) 0�t�T и для всех t ∈ [0,T ] {FT (JT (ηˆ, φ)) - FT (JT (η, φ))}(t) = f ((P0T φ)t + (ZT ηˆ)t) - f ((P0T φ)t + (ZT η)t). В случае, когда отрезок между аргументами f принадлежит U, последнее слагаемое равняется 1 r Df ((P0T φ)t + (ZT η)t + θ[(ZT ηˆ)t - (ZT η)t])[(ZT ηˆ)t - (ZT η)t]dθ. 0 Утверждение 3.1. Пусть φ ∈ domT . Существует T = Tφ > 0, окрестность V = Vφ точки φ из domT , Σ = Σφ > 0 и j = jφ ∈ N такие, что для всех S ∈ (0,T ], всех χ ∈ V, всех η и η˜ из C0S,0 таких, что |η| <Σ и |η˜| < Σ, а также всех w ∈ [0, S] и всех θ ∈ [0, 1] выполнено (P0Sχ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ] ∈ U (3.1) и |Df ((P0S χ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ])[(ZS η˜)w - (ZSη)w )] � 2j |η˜ - η|. Доказательство. MB 1. Пусть φ ∈ U. Так как f C1 -гладко, отображение U × C ± (χ, η) 1→ Df (χ)η ∈ Rn непрерывно. Тогда существуют окрестности V × точки φ из U и N точки 0 из C такие, что |Df (χ)η| = |Df (χ)η - Df (φ)0| < 1 для всех χ ∈ V ×,η ∈ N. Существует j = jN ∈ N такое, что ( 1 � ζ ∈ C : |ζ|j < j ⊂ N. 2. В силу непрерывности отображения R ± t 1→ E∞(P0∞φ, t) ∈ C ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 491 в точке t =0 с учетом E∞(P0∞φ, 0) = φ существует T > 0 такое, что E∞(P0∞φ, t) ∈ V × для всех t ∈ [0,T ]. Непрерывное отображение α : C × C0T,0 × [0,T ] ± (χ, η, t) 1→ E∞(P0∞χ, t)+ ET (ZT η, t) ∈ C удовлетворяет α(φ, 0, t) = E∞(P0∞φ, t) ∈ V × для всех t ∈ [0,T ] и равномерно непрерывно на компакте {φ}× {0}× [0,T ]. Отсюда следует, что существуют окрестность V точки φ из V × и Σ> 0 такие, что E∞(P0∞χ, t)+ ET (ZT η, t)= α(χ, η, t) ∈ V × для всех χ ∈ V, η ∈ C0T,0, |η| < Σ, и t ∈ [0,T ]. Заметим, что E∞(P0∞χ, t) = ET (P0T χ, t) для описанных выше χ и t. 3. Пусть 0 < S < T и χ ∈ V, η /= η˜ из C0S,0 такие, что |η| < Σ и |η˜| < Σ. Пусть 0 � w � S, 0 � θ � 1. Тогда В силу выпуклости, Выбор V и Σ на шаге 2 дает |PST η| � |η| <Σ и |PST η˜| � |η˜| < Σ. |PST η + θ[PST η˜ - PST η]| < Σ. В силу 0 � w � S, и V × ± E∞(P0∞χ, w)+ ET (ZT (PST η + θ[PST η˜ - PST η]), w). ET (ZT PST η, w)= (ZSη)w, ET (ZT PST η˜, w)= (ZS η˜)w ET (ZT (PST η + θ[PST η˜ - PST η]), w)= = ET (ZT PST η, w)+ θ[ET (ZT PST η˜, w) - ET (ZT PST η, w)] = = (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ]. Используя это и тот факт, что E∞(P0∞χ, w)= (P0Sχ)w, мы получаем U ⊃ V × ± (P0Sχ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ]. 4. Для имеем 1 ζ = 2j|η - η˜| (η˜ - η) ∈ C0S,0 |(ZSζ)w |j = max -j�t�0 w w |(ZSζ)(w + t)| = max -j�s� |(ZSζ)(s)| � 1 � max |(ZSζ)(s)| = max |ζ(s)| = |ζ| < , 0�s�S 0�s�S j следовательно, (ZSζ)w ∈ N. Используя это и результаты шага 3, мы получаем 1 > |Df ((P0S χ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ])(ZS ζ)w| = 1 = |Df ((P0S χ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ]) 2j|η - η˜| (ZS (η˜ - η))w | = 1 = |Df ((P0S χ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ]) 2j|η - η˜| ((ZS η˜)w - (ZSη)w )|, откуда следует оценка в утверждении. Пусть даны φ ∈ U, T = Tφ > 0, выпуклая окрестность V = Vφ точки φ из U, Σ = Σφ > 0 и j = jφ ∈ N из утверждения 3.1. Утверждение 3.2. Для каждого S ∈ (0,T ), χ ∈ V, η и η˜ из C0S,0 таких, что |η| <Σ и |η˜| < Σ, выполнено (η, χ) ∈ OS (η˜, χ) ∈ OS и |BS (η˜, χ) - BS (η, χ)| � 2jS|η˜ - η|. 492 Х.-О. ВАЛЬТЕР Доказательство. Пусть S ∈ (0,T ), χ ∈ V, η и η˜ из C0S,0 такие, что |η| < Σ и |η˜| < Σ. Соотношение (3.1) для 0 � w � S, где θ =0 и θ = 1, дает (η, χ) ∈ OS и (η˜, χ) ∈ OS . Более того, для каждого θ ∈ [0, 1], Имеем, что domS ± P0Sχ + ZSη + θ[ZS η˜ - ZSη]= JS (η, χ)+ θ[JS (η˜, χ) - Js(η, χ)]. (3.2) |BS (η˜, χ) - BS (η, χ)| = |IS [FS (JS (η˜, χ)) - FS (JS (η, χ))]| � � S max 0�w�S |FS (JS (η˜, χ))(w) - FS (JS (η, χ))(w)| = Поскольку FS C1 = S|FS (JS (η˜, χ)) - FS (JS (η, χ))|. -гладкая, из соотношения (3.2) для всех θ ∈ [0, 1] мы получаем, что последнее MB слагаемое равно 1 r S DFS (JS (η, χ)+ θ[JS (η˜, χ) - JS (η, χ)])[JS (η˜, χ) - JS (η, χ)]dθ = 0 1 r = S 0 DFS (P0Sχ + ZSη + θ[ZS η˜ - ZSη])[ZS η˜ - ZSη]dθ � � S max ( max 0�θ�1 0�w�S |Df ((P0S χ)w + (ZS η)w + θ[(ZS η˜)w - (ZSη)w ])[(ZS η˜)w - (ZSη)w ]|) � � S · 2j · |η˜ - η| (в силу утверждения 3.1). Утверждение 3.3. lim BS (0, φ)= 0. S 0 Доказательство. Используем 0�w�S |BS (0, φ)| = |IS (FS (JS (0, φ)))| � S|FS (JS (0, φ))| = S max | | 0 f ((P0S φ)w ) � S max �w�T |f ((P0T φ)w )|. Утверждение 3.4. Существует Sφ ∈ (0, Tφ ) и открытая окрестность Wφ точки φ в Vφ Σφ такая, что для всех χ ∈ Wφ, всех S ∈ (0, Sφ], всех η ∈ C0S,0 и η˜ ∈ C0S,0 таких, что |η| � 2 и Σφ |η˜| � , выполнено 2 (η, χ) ∈ OS , (η˜, χ) ∈ OS , Σφ 1 Доказательство. |BS (η, χ)| < 2 2 и |BS (η˜, χ) - BS (η, χ)| � |η˜ - η|. 1. Выберем Sφ ∈ (0, Tφ) так, чтобы |BS (0, φ)| < 8 φ Σφ для всех S ∈ (0, S ], что возможно в силу утверждения 3.3, а также 1 2jSφ < 2 . Так как BSφ непрерывна, то существует открытая окрестность Wφ точки φ в Vφ такая, что для всех χ ∈ Wφ |BSφ (0, χ) - BSφ (0, φ)| < Σφ . 8 2. Пусть теперь задано S ∈ (0, Sφ]. Для каждого χ ∈ Wφ и t ∈ [0, S] t r BS (0, χ)(t)= 0 t r f ((P0S χ)w)dw = 0 f ((P0Sφ χ)w )dw = BSφ (0, χ)(t). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 493 Используя это (для χ и φ), получим |BS (0, χ) - BS (0, φ)| � |BSφ (0, χ) - BSφ (0, φ)| < Σφ Σφ . 8 Σφ 3. Пусть заданы χ ∈ Wφ, η ∈ C0S,0, η˜ ∈ C0S,0 так, что |η| � 2 и |η˜| � 1 . По утверждению 3.2 2 Более того, |BS (η˜, χ) - BS (η, χ)| � 2jS|η˜ - η| � 2 η˜ - η|. |BS (η, χ)| � |BS (η, χ) - BS (0, χ)| + |BS (0, χ) - BS (0, φ)| + |BS (0, φ)| < 1 Σφ < 2 |η| + 8 + Σφ 8 1 Σφ � 2 2 + 2Σφ 8 = Σφ . 2 Пусть задано S ∈ (0, Sφ]. В случае ∗ = MB результат о равномерном сжатии [14, теорема 7.2] можно применить к отображению {η ∈ C0S,0 : |η| < Σφ}× Wφ ± (η, χ) 1→ BS (η, χ) ∈ C0S,0, Σφ где M = Mφ = {η ∈ C0S,0 : |η| � 2 }. В случае ∗ = F теорему 8.7 (см. [17, теорема 5.2]) можно применить к такому же отображению и на том же самом множестве M. Это следует из того, что соотношение определяет отображение BS (η, χ)= η ∈ M, χ ∈ Wφ Wφ ± χ 1→ ηχ ∈ C0S,0, ∗ которое является C1-гладким. Так как отображения P0S и ZS линейны и непрерывны, то отображение Σφ : Wφ ± χ 1→ P0Sχ + ZSηχ ∈ CS ∗ является C1-гладким. Используя это и непрерывные линейные отображения ES (·, t) : CS → C, 0 � t � S, получим, что каждое отображение Wφ ± χ 1→ ES (Σφ(χ), t) ∈ C, 0 � t � S, является C1-гладким. Отображение ∗ непрерывно. [0, S] × Wφ ± (t, χ) 1→ ES (Σφ(χ), t) ∈ C Утверждение 3.5. Пусть заданы S ∈ (0, Sφ] и χ ∈ Wφ. Отображение x = x(χ) = Σφ(χ) является решением уравнения (1.1) на [0, S], причем x0 = χ. Доказательство. x = Σφ(χ) ∈ CS непрерывно, причем x0 = Σφ(χ)0 = (P0S χ)0 + (ZS ηχ)0 = χ +0 = χ. При 0 � t � S x(t) = (P0Sχ)(t)+ (ZS ηχ)(t)= χ(0) + ηχ(t)= t r = χ(0) + BS (ηχ, χ)(t)= χ(0) + 0 t f ((P0S χ + ZSηχ)w )dw = r = χ(0) + 0 f (ES (Σφ(χ), w))dw. Последнее подынтегральное выражение непрерывно. Это следует из того, что сужение x|[0,S] непрерывно дифференцируемо, причем (x|[0,S])×(t)= f ((Σφ(χ))t)= f (xt) при всех t ∈ [0, S]. 494 Х.-О. ВАЛЬТЕР Из замечаний перед утверждением 3.5 можно видеть, что все отображения t Wφ ± χ 1→ x(χ) ∈ C, 0 � t � S, являются C1-гладкими, и что непрерывно отображение ∗ t [0, S] × Wφ ± (t, χ) 1→ x(χ) ∈ C. Утверждение 3.6 (единственность). Пусть x - решение уравнения (1.1) на интервале I и x˜ - решение уравнения (1.1) на интервале I˜, причем интервалы одинаковой длины, и 0= min I = min I˜, x0 = x˜0. Тогда x(t)= x˜(t) на I ∩ I˜. Доказательство. 1. Докажем, что существует τ > 0 такое, что [0,τ ] ⊂ I ∩ I˜ и x(t) = x˜(t) для всех t � τ. Пусть φ = x0 (= x˜0 ∈ U ). Рассмотрим Tφ, Σφ, Sφ такие же, как в утверждении 3.4. В силу непрерывности существует τ = S ∈ (0, Sφ] ∩ I ∩ I˜ такое, что при 0 � t � S Введем |x(t) - φ(0)| < | - | Σφ и x˜(t) φ(0) < 2 Σφ . 2 y = x|(-∞,S] - P0S φ, η = y|[0,S] ∈ C0S,0, Тогда y˜ = x˜|(-∞,S] - P0S φ, Σφ η˜ = y˜|[0,S] ∈ C0S,0. Σφ и при 0 � t � S t r |η| < 2 и |η˜| < 2 , t r BS (η, φ)(t)= 0 f ((P0S φ)w + (ZS η)w )dw = 0 f (xw)dw = x(t) - φ(0) = η(t). Следовательно, BS (η, φ)= η. Аналогично, BS (η˜, φ)= η˜. Согласно утверждению 3.4 1 |η˜ - η| = |BS (η˜, φ) - BS (η, (φ)| � 2 |η˜ - η|, что дает η˜ = η и, следовательно, x˜(t)= x(t) на [0, S]= [0,τ ]. 2. Интервал J = I ∩ I˜ имеет положительную длину, причем min J = 0. Предположим, что x(u) /= x˜(u) для некоторого u ∈ J. Тогда 0 <u и, по непрерывности, tJ = inf{t ∈ J : x(t) /= x˜(t)} < u � sup J. На (-∞, tJ ] имеем x(t) = x˜(t), поскольку каждая окрестность tJ содержит t > tJ в J, причем x(t) /= x˜(t). Непрерывно дифференцируемая функция y : (-∞, sup J - tJ ) → Rn, заданная формулой y(t)= x(t + tJ ), удовлетворяет y×(t)= x×(t + tJ )= f (xt+tJ )= f (yt) для 0 � t< sup J -tJ (справой производной в точке t = 0). Аналогично, функция y˜ : (-∞, sup J - tJ ) → Rn, заданная формулой y(t)= x˜(t + tJ ), является решением уравнения (1.1) на [0, sup J - tJ ) и y0 = y˜0. Из шага 1 доказательства получаем, что y(t) = y˜(t) на интервале [0,τ ], где 0 < τ < sup J - tJ . Отсюда следует, что x(t)= x˜(t) на [tJ , tJ + τ ], что противоречит определению tJ . 4. ПОЛУПОТОК НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ РЕШЕНИЙ Теперь будем действовать, как в [14, раздел 5], приводя доказательства для удобства читателя. Максимальное решение начальной задачи (1.1)-(1.2), заданное начальным условием x0 = φ ∈ U, определяется следующим образом. Положим tφ = sup{t> 0: существует решение уравнения (1.1) на [0, t] c x0 = φ} � ∞. В силу утверждения 3.5 выполнено 0 < tφ. Используя утверждение 3.6, мы получаем решение xφ 0 уравнения (1.1) на [0, tφ), причем xφ = φ в силу xφ(t)= x(t) для 0 <t< tφ, где x - любое решение уравнения (1.1) на [0, t×], где t< t× < tφ и x0 = φ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 495 Легко проверить, что всякое решение уравнения (1.1) на некотором интервале I положительной длины с min I =0 и x0 = φ является сужением xφ. Положим Ω= {(t, φ) ∈ [0, ∞) × U : t< tφ} t и определим Σ: Ω → U формулой Σ(t, φ)= xφ. Утверждение 4.1 (полупоток). {0}× U ⊂ Ω, Σ(0, φ) = φ для всех φ ∈ U, и если (t, φ) ∈ Ω и (s, Σ(t, φ)) ∈ Ω, то (s + t, φ) ∈ Ω и Σ(s, Σ(t, φ)) = Σ(s + t, φ). 0 Доказательство. Для каждого φ ∈ U, 0 < tφ (0, φ) ∈ Ω и Σ(0, φ) = xφ = φ. Пусть (t, φ) ∈ Ω и (s, Σ(t, φ)) ∈ Ω. Пусть x = xφ, ψ = xt, y = xψ. Определим ξ : (-∞,s + t] → Rn формулой ξ(u)= y(u - t). Для u � t получим ξ(u)= y(u - t)= ψ(u - t)= xt(u - t)= x(u). В частности, ξ0 = φ и ξ×(u) = f (ξu) для 0 � u � t (с правой производной в точке u = 0). При t< u � t + s ξ×(u)= y×(u - t)= f (yu-t)= f (ξu). Отсюда следует, что ξ является сужением xφ. Следовательно, s + t< tφ, или (s + t, φ) ∈ Ω, и Σ(s + t, φ)= ξs+t = ys = Σ(s, ψ)= Σ(s, Σ(t, φ)). Для t ?; 0 и Ωt = {φ ∈ U : (t, φ ∈ Ω} /= ∅ рассмотрим оператор решения Σt : Ωt → U, заданный формулой Σt(φ)= Σ(t, φ). Утверждение 4.2. Для каждого (t, φ) ∈ Ω существует открытая окрестность N ⊂ U точки × t N ∗ φ и Σ> 0, причем [0,t + Σ) × N ⊂ Ω, Σ|[0,t+ ) N непрерывна и Σ | является C1-гладкой. Доказательство. 1. Пусть задана (t, φ) ∈ Ω. В силу замечаний после утверждения 3.5 получаем, что точка t =0 содержится во множестве A = {s ∈ [0, tφ): существует открытая окрестность Vs ⊂ U точки φ s ∗ и Σs > 0 где [0,s + Σs) × Vs ⊂ Ω, Σ|[0,s+ s)×Vs непрерывна, и Σs|V C1 - гладкая}. Пусть tA = sup A � tφ. Остается доказать, что tA = tφ. × u W ∗ 2. Пусть tA < tφ. Положим ψ = Σ(tA, φ). Снова в силу замечаний после утверждения 3.5 существуют открытая окрестность W ⊂ U точки ψ и τ > 0 такое, что [0,τ ] × W ⊂ Ω, для которых Σ|[0,τ ] W непрерывна и все Σ | , 0 � u � τ, являются C1-гладкими. Линия потока [0, tφ) ± s 1→ xφ ∈ U непрерывна (заметим, что xφ = E (xφ| , s) при 0 � s < u < t , а E s s непрерывна). Отсюда следует, что существует u (-∞,u] φ u ( τ \ φ t0 ∈ A ∩ tA - 2 , tA где xt0 ∈ W. Из t0 ∈ A получаем, что найдутся открытая окрестность N0 ⊂ U точки φ и Σ0 > 0 такие, что 0 0 × 0 0 0 ∗ [0, t0 + Σ0) × N0 ⊂ Ω, причем Σ|[0,t + ) N непрерывна, и Σt |N C1-гладкая. В силу непрерывности φ τ и x t0 ∈ W получаем Σt0 (N0) ⊂ W. При t0 <u< tA + 2 и χ ∈ N0, 0 <u - t0 <τ и Σt0 (χ) ∈ W, что дает (u, χ)= ((u - t0)+ t0, χ) ∈ Ω и Σ(u, χ)= Σ(u - t0, Σ(t0, χ)). 496 Х.-О. ВАЛЬТЕР 2 )×N0 Отсюда следует, что Σ|(t0 ,tA+ τ непрерывна, что в сочетании с непрерывностью сужения Σ|[0,t0 + 0)×N0 доказывает, что сужение Σ на A 4 0 3. При u = t + τ и χ ∈ N , 0, t + τ \ A 2 × N0 непрерывно. Σ(u, χ)= Σ(u - t0, Σ(t0, χ)) = Σu-t0 ◦ Σt0 (χ), 1 где 0 < u-t0 < τ. Напомним, что Σt0 (N0) ⊂ W. Отсюда следует, что Σu|N0 C∗ -гладкая. В сочетании с результатами шага 2 доказательства заключаем, что u > tA принадлежит A, что противоречит тому, что tA = sup A. ∗ Следствие 4.3. Полупоток Σ непрерывен, каждое множество Ωt, t ?; 0, открыто в Xf , и каждый оператор решения Σt, где t ?; 0 и Ωt /= ∅, является C1-гладким. Доказательство. Пусть даны t ?; 0 и φ ∈ Ωt. Тогда (t, φ) ∈ Ω, и для выбранного N в силу утверждения 4.2 мы получаем N ⊂ Ωt. Это показывает, что Ωt ⊂ U - открытое подмножество C. Дальнейшие рассуждения очевидным образом вытекают из утверждения 4.2. 5. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ОПЕРАТОРЫ РЕШЕНИЙ И ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Для φ ∈ U производные DΣt(φ): C → C, 0 � t< tφ, задаются вариационным уравнением. Для доказательства нам потребуется следующая версия утверждения 5.5 из [14]. Утверждение 5.1. Пусть φ ∈ U, 0 � t< tφ, φˆ ∈ C и s � 0. Тогда (DΣt(φ)φˆ)(s) = φˆ(t + s) если t + s � 0, (DΣt(φ)φˆ)(s) = (DΣt+s(φ)φˆ)(0) если 0 � t + s. Доказательство. Каждое линейное отображение evs : C ± ψ 1→ ψ(s) ∈ Rn, s � 0, непрерывно. Пусть φ ∈ U, 0 � t< tφ, φˆ ∈ C, s � 0. Тогда (DΣt(φ)φˆ)(s) = evs(DΣt(φ)φˆ)= D(evs ◦ Σt)(φ)φˆ = { t ± ˜ 1→ t ∈ } = D Ω φ xφ˜(s) Rn (φ)φˆ = ˜ = D{Ωt ± φ˜ 1→ xφ (t + s) ∈ Rn }(φ)φˆ. В случае 0 � t + s множество Ωt ⊂ Ωt+s есть открытая окрестность φ в U и ˜ D{Ωt ± φ˜ 1→ xφ (t + s) ∈ Rn }(φ)φˆ { t ± ˜ 1→ t+s ∈ = D Ω φ xφ˜ (0) Rn = D(ev0 ◦ Σt+s)(φ)φˆ = }(φ)φˆ = в то время как в случае t + s � 0 φ˜ n = ev0(DΣt+s(φ)φˆ)= (DΣt+s(φ)φˆ)(0), n D{Ωt ± φ˜ 1→ x (t + s) ∈ R }(φ)φˆ = D{Ωt ± φ˜ 1→ φ˜(t + s) ∈ R }(φ)φˆ = = D evt+s(φ)φˆ = evt+s(φˆ)= φˆ(t + s). Теперь мы следуем [14, раздел 6]. Для φ ∈ U определим отображение vφ,φˆ : (-∞, tφ) → Rn формулой vφ,φˆ(t) = (DΣ (φ)φˆ)(0) при 0 � t<t , vφ,φˆ(t) = t φ φˆ(t) при t< 0. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 497 Утверждение 5.2. Пусть даны φ ∈ U и каждого t ∈ [0, tφ) φˆ ∈ C. Рассмотрим отображение v = vφ,φˆ. Для vt = DΣt(φ)φˆ ∈ C. В частности, v0 = φˆ. Отображение v непрерывно, сужение v : (-∞, tφ) → Rn на интервале [0, tφ) дифференцируемо, и t v×(t)= Df (xφ)vt для каждого t ∈ [0, tφ) с правой производной в точке t = 0. Доказательство. 1. Пусть φ ∈ U, φˆ ∈ C, 0 � t< tφ. Для s � 0, 0 � t + s по утверждению 5.1 имеем vt(s)= v(t + s)= (DΣt+s(φ)φˆ)(0) = (DΣt(φ)φˆ)(s), а при s � 0, t + s< 0 vt(s)= v(t + s)= φˆ(t + s)= (DΣt(φ)φˆ)(s). Объединяя это, получим vt = DΣt(φ)φˆ. Заметим, что DΣ0(φ)φˆ = φˆ. Из того, что каждая область vt = DΣt(φ)φˆ, 0 � t< tφ, принадлежит C, вытекает, что v непрерывна. 2. Пусть даны t> 0 и Ωt /= ∅. Для φ ∈ Ωt рассмотрим отображение ηφ : [0, t] ± s 1→ xφ(s) - φ(0) ∈ Rn. Заметим, что ηφ ∈ C0t,0 и откуда вытекает, что -∞ P0tφ + Ztηφ = xφ|( ,t], s (P0tφ + Ztηφ)s = xφ ∈ U при 0 � s � t. Отсюда следует, что P0tφ + Ztηφ ∈ domt . Тогда (ηφ , φ) принадлежит области Ot отображения Bt. Отображение Yt : Ωt ± φ 1→ ηφ ∈ C0t,0 удовлетворяет s s r r Yt(φ)(s) = ηφ(s)= xφ(s) - φ(0) = 0 s r u f (xφ)du = 0 f ((P0tφ + Ztηφ)u)du = = f (Et(P0tφ + ZtYt(φ), u))du = It(Ft(P0tφ + ZtYt(φ)))(s) 0 для всех φ ∈ Ωt и s ∈ [0, t], следовательно, Yt(φ)= It(Ft(Jt(Yt(φ), φ))) (= Bt(Yt(φ), φ)) для всех φ ∈ Ωt. (5.1) 3. Докажем, что отображение Y является C1-гладким и ∗ vφ,φˆ(s)= (DY (φ)φˆ)(s)+ (P φ)(s) для всех s ∈ [0, t],φ ∈ Ω , φˆ ∈ C. t 0t ˆ t В силу шага 2 имеем (Yt(φ), φ) ∈ Ot для всех φ ∈ Ωt. С помощью оператора сдвига Δt : C → Ct, (Δtφ)(s)= φ(s - t), и оператора сужения Rt : Ct → C0t, Rtχ = χ|[0,t], которые являются линейными и непрерывными, получим Yt(φ)= Rt(Δt ◦ Σt(φ) - P0tφ) для всех φ ∈ Ωt. ∗ Это доказывает, что отображение Yt является C1-гладким и для всех φ ∈ Ωt, φˆ ∈ C, s ∈ [0, t], (DYt(φ)φˆ)(s) = (RtΔtDΣt(φ)φˆ)(s) - (RtP0tφˆ)(s)= = (DΣt(φ)φˆ)(s - t) - φˆ(0) = = (DΣs(φ)φˆ)(0) - φˆ(0) = (см. утверждение 5.1) = vφ,φˆ(s) - φˆ(0) = vφ,φˆ(s) - P φ(s). 0t ˆ 498 Х.-О. ВАЛЬТЕР Для всех s � t и φ ∈ Ωt, φˆ ∈ C мы получаем ˆ (P0tφˆ)(s)+ (ZtDYt(φ)φˆ)(s)= vφ,φ(s). (5.2) 4. Дифференцирование уравнения (5.1) дает DYt(φ)φˆ = ItDFt(Jt(Yt(φ), φ))Jt (DYt(φ)φˆ, φˆ) для всех φ ∈ Ωt, φˆ ∈ C. (5.3) Для таких φ и φˆ, а также для любого s ∈ [0, t] t vφ,φˆ(s) = (DY (φ)φˆ)(s)+ φˆ(0) = (см. шаг 3) s r = Df ((P0tφ)u + (ZtYt(φ))u )((P0tφˆ)u + (ZtDYt(φ)φˆ)u)du + φˆ(0) = 0 (в силу уравнения (5.3) и утверждения 2.2) s = r Df (xφ)vφ,φˆdu + φˆ(0) (в силу уравнения (5.2)). u u 0 Дифференцирование при t> 0 дает (vφ,φˆ)×(t)= Df (xφ)vφ,φˆ. t t В точке s =0 мы получаем (vφ,φˆ)×(0) = Df (xφ)vφ,φˆ = Df (φ)φˆ 0 0 с правой производной. ЧАСТЬ II 6. ПРОЦЕССЫ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В этом разделе удобно использовать обозначение Cn = C((-∞, 0], Rn). Пусть заданы множество V ⊂ R × Cn и отображение g : V → Rn. Решение уравнения (1.3), x×(t)= g(t, xt), на интервале I ⊂ R является отображением x : (-∞, 0] + I → Rn таким, что (t, xt) ∈ V для всех t ∈ I, ограничение x|I дифференцируемо, а уравнение (1.3) выполняется для всех t ∈ I (в случае, когда I имеет минимум t0 с правой производной в t0). Для (t0, φ) ∈ V решение начальной задачи x×(t)= g(t, xt) при t ?; t0, xt0 = φ, (6.1) является решением x уравнения (1.3) на некотором интервале [t0, te), t0 < te � ∞, которое удовлетворяет xt0 = φ. Обозначим через pn : Cn+1 → Cn непрерывное линейное отображение, исключающее первый компонент. Для V и g, как указано выше, определим область Ug = {ψ ∈ Cn+1 : (ψ1(0), pnψ) ∈ V } и отображение fg : Cn+1 ⊃ Ug → Rn+1 формулой fg (ψ)= (1, g(ψ1 (0), pnψ)), так что автономное дифференциальное уравнение y×(t)= fg(yt), (6.2) записанное в компонентах y = (y1, z)= (r, z), сводится к системе r×(t) = 1, z×(t) = g(r(t), zt ). Для заданного t ∈ R определим t∗ ∈ C1 по формуле t∗(u)= t + u. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 499 Утверждение 6.1. 1. Если x : (-∞, tx) → Rn является решением на [t0, tx) начальной задачи (6.1), тогда отображение (-∞, tx - t0) ± s 1→ (s + t0, x(s + t0)) ∈ Rn+1 является решением на [0, tx - t0) начальной задачи r×(s) = 1 для s ?; 0, r0 = t0∗, (6.3) z×(s) = g(r(s), zs) для s ?; 0, z0 = φ. (6.4) 2. Если y = (r, z) является решением на [0, ty ) начальной задачи (6.3)-(6.4), тогда x : (-∞, t0 + ty ) → Rn, заданное формулой x(τ )= z(τ - t0), является решением на [t0, t0 + ty ) начальной задачи (6.1). Доказательство. 1. Пусть дано решение x : (-∞, tx) → Rn на [t0, tx) начальной задачи (6.1). Определим y : (-∞, tx - t0) → Rn+1, y = (r, z) с z : (-∞, tx - t0) → Rn и r = y1 соотношениями r(t)= t + t0 при t< tx - t0, z(t)= x(t + t0) для всех t< tx - t0. Для 0 � t < tx - t0 мы получаем (y1(t), zt) = (r(t), zt) = (t + t0, xt+t0 ) ∈ V. Это дает yt ∈ Ug для 0 � t< tx - t0. Очевидно, r×(s)= 1 для 0 � s< tx - t0 (справой производной при s = 0)и r0 = t0∗. Также для u � 0 z0(u)= z(u)= x(u + t0)= xt0 (u)= φ(u), следовательно, z0 = φ. Для 0 � s< tx - t0 мы получаем z×(s)= x×(s + t0)= g(s + t0, xs+t0 )= g(r(s), zs ) с правой производной при s = 0. 2. Пусть дано решение y = (r, z) на [0, ty ) начальной задачи (6.3)-(6.4), и определим x : (-∞, t0 + ty ) → Rn как x(τ )= z(τ - t0). Имеем r(s)= s + t0 для 0 � s< ty. Для t0 � τ < t0 + ty из yτ получаем, что (τ, xτ )= (r(τ - t0), zτ -t0 ) принадлежит V. Также x×(τ )= z×(τ - t0)= g(r(τ - t0), zτ -t0 )= g(τ, xτ ) (с правыми производными в t0 и в 0, соответственно), а при u � 0 xt0 (u)= x(t0 + u)= z(t0 + u - t0)= z(u)= φ(u). -t0 ∈ Ug ∗ Предположим теперь, что V открыто, а g C1-гладко. Тогда Ug ⊂ Cn+1 открыто как прообраз V при непрерывном линейном отображении, а отображение fg : Cn+1 ⊃ Ug → Rn+1 является C1-гладким. Отсюда следует, что решения уравнения (6.2) определяют непрерывный полупоток g ∞ × n+1 ⊃ g → n+1 g 1 ∗ Σ : [0, ) C Ω C на U , со всеми C -гладкими операторами решения. Множество ∗ dom : {(t, t0, φ) ∈ R2 × Cn : t0 � t, (t - t0, t0 , φ) ∈ Ω } ∗ g является открытым подмножеством множества {(t, t0) ∈ R2 : t0 � t}× Cn, поскольку оно является прообразом Ωg при непрерывном отображении в [0, ∞) × Cn+1, и процесс P : {(t, t0) ∈ R2 : t0 � t}× Cn ⊃ dom → Cn, заданный формулой P (t, t0, φ)= pnΣg(t - t0, t0∗, φ) непрерывен. Для каждого t ?; t0 с ∅ /= Ωg,t-t0 ⊂ Ug ⊂ Cn+1 непустое множество domt,t0 = {φ ∈ Cn : (t, t0, φ) ∈ dom} = {φ ∈ Cn : (t0∗, φ) ∈ Ωg,t-t0 } открыто, и отображение является C1-гладким. ∗ P (t, t0, ·): Cn ⊃ domt,t0 → Cn Следствие 6.2 (максимальные решения, единственность). Для каждого (t, t0, φ) ∈ dom существует решение x = xt0 ,φ начальной задачи (6.1) такое, что любое другое решение той же начальной задачи является ограничением x, и P (t, t0, φ)= xt. 500 Х.-О. ВАЛЬТЕР Доказательство. 1. Пусть задано (t, t0, φ) ∈ dom . Первая часть утверждения следует из результатов для автономного уравнения (6.2) с помощью утверждения 6.1. 2. Имеем t0 � t и (t - t0, t0∗, φ) ∈ Ωg. Пусть y : (-∞, ty ) → R решение начальной задачи n+1 обозначает максимальное y×(s)= fg (ys) при s ?; 0, y0 = (t0∗, φ), (6.5) и запишем y = (r, z) с r = y1. Тогда P (t, t0, φ)= pnΣg (t - t0, t0∗, φ)= zt-t0 . Утверждение 6.1 говорит, что x˜ : (-∞, t0 + ty ) → Rn, заданное по формуле x˜(τ )= z(τ - t0), является решением на [t0, t0 + ty ) задачи (6.1). Согласно первой части утверждения x˜ является ограничением максимального решения x начальной задачи (6.1), поэтому P (t, t0, φ)= zt-t0 = x˜t = xt. Следствие 6.3. Для всех (t0, φ) ∈ V, (t0, t0, φ) ∈ dom и P (t0, t0, φ)= φ, и для всех t0 � t � s с (t, t0, φ) ∈ dom и (s, t, P (t, t0, φ)) ∈ dom выполнено (s, t0, φ) ∈ dom и P (s, t0, φ)= P (s, t, P (t, t0, φ)). Доказательство. 1. Для (t0, φ) ∈ V имеем (t0∗, φ) ∈ Ug, следовательно, (0, t0∗, φ) ∈ Ωg. Из этого следует, что (t0, t0, φ) ∈ dom и P (t0, t0, φ)= pnΣg (0, t0∗, φ)= φ. 2. Предположим, что t0 � t � s, (t, t0, φ) ∈ dom и (s, t, P (t, t0, φ)) ∈ dom . Тогда (t - t0, t0∗, φ) ∈ Ωg. Поскольку решение начальной задачи (6.3) задается выражением r(s)= s + t0, мы видим, что первый компонент rt-t0 Σg (t - t0, t0∗, φ) удовлетворяет rt-t0 (u)= r(t - t0 + u)= (t - t0 + u)+ t0 = t + u = t∗(u) для всех u � 0, или rt-t0 = t∗. Из этого следует, что Σg (t - t0, t0∗, φ)= (t∗,P (t, t0, φ)). Используя это и (s, t, P (t, t0, φ)) ∈ dom, получаем (s - t, Σg (t - t0, t0∗, φ)) = (s - t, t∗,P (t, t0, φ)) ∈ Ωg. Теперь свойства Σg дают (s - t0, t0∗, φ)= ((s - t)+ (t - t0), t0∗, φ) ∈ Ωg, следовательно, (s, t0, φ) ∈ dom и P (s, t0, φ)= pnΣg (s - t0, t0∗, φ)= pnΣ(s - t, Σ(t - t0, t0∗, φ)) = = pnΣg(s - t, t∗,P (t, t0, φ)) = P (s, t, P (t, t0, φ)). 7. ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА Рассмотрим интегродифференциальное уравнение Вольтерра (1.4), t r x×(t)= 0 k(t, s)h(x(s))ds с непрерывно дифференцируемыми k : R2 → Rn×n и h : Rn → Rn. Для K : R2 → Rn×n, заданного как K(t, s)= k(t, t + s), мы можем написать 0 r x×(t)= -t 0 r k(t, t + s)h(x(t + s))ds = -t K(t, s)h(xt(s))ds, (7.1) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 501 где xt ∈ C. Решение уравнения (7.1) должно быть непрерывным отображением x : (-∞, te) → Rn, 0 < te � ∞, ограничение которого на интервал (0, te) дифференцируемо и удовлетворяет уравнению (7.1). Мы ищем такое отображение g : R × C → Rn, чтобы каждое решение уравнения (7.1) также являлось решением на (0, te) уравнения (1.3), x×(t)= g(t, xt). Чтобы избежать сложных рассуждений с отрезками решений, мы используем нечетное продолжающее отображение Po : C → C∞, → заданное как Poφ(s) = φ(s) для s � 0 и P φ(s) = 2φ(0) - φ(-s) для 0 < s. Отображение Po линейно и непрерывно. Мы могли бы также использовать постоянное продолжение для данной цели. Нечетное продолжение имеет преимущество в том, что оно определяет непрерывное линейное отображение C1 C1 . Это играет роль при рассмотрении неавтономных уравнений с дискретным ∞ запаздыванием, таких как уравнение пантографа x×(t)= a x(λt)+ b x(t) с 0 <λ < 1. Далее рассмотрим оператор подстановки SH : C∞ ± φ 1→ H ◦ φ ∈ C∞, который определен для каждого непрерывного отображения H : Rn → Rn, оператор линейного интегрирования 0 заданный как (Iψ)(u)= Г -u ∞ ∞ I : C → C1 , K(u, s)ψ(s)ds, и оператор заданный как J : C1 ∞ 0 r × R → Rn, J (ψ, t)= -t K(t, s)ψ(s)ds = Ev∞,1(Iψ, t). Определим g : R × C → Rn следующим образом: 0 r g(t, φ)= J ((Sh ◦ Po)(φ), t)= -t K(t, s)h((Po φ)(s))ds и заметим, что для каждого решения x : (-∞, te) → Rn уравнения (7.1) при всех t ∈ (0, te) имеем 0 r g(t, xt)= -t 0 r K(t, s)h((Po xt)(s))ds = -t K(t, s)h(xt(s))ds. F Чтобы показать, что отображение g является C1 -гладким, напомним, что оценочное отображение 1 1 F F Ev∞,1 является CF -гладким. Следовательно, отображение J является CF -гладким, если линейное отображение I непрерывно. Отсюда следует, что отображение g является C1 -гладким при условии, что I непрерывно, а Sh является C1 -гладким. Следующие предложения устанавливают эти оставшиеся свойства гладкости. Утверждение 7.1. Линейное отображение I непрерывно. Доказательство. Воспользуемся соотношениями 0 |Iψ|∞,j = max r K(u, s)ψ(s)ds � |j| max |K(u, s)||ψ|∞,j , -j�u�j -u -j�u�j,-j�s�j 502 Х.-О. ВАЛЬТЕР 0 r (Iψ)×(u) = -K(u, u)ψ(u)+ ∂1K(u, s)ψ(s)ds, |(Iψ)×|∞,j � max -j�u�j -u |K(u, u)||ψ|∞,j + |j| max -j�u�j,-j�s�j |∂1K(u, s)||ψ|∞,j для всех j ∈ N и ψ ∈ C∞. F Утверждение 7.2. Если H : Rn → Rn непрерывно, то и отображение SH непрерывно. В случае, когда H непрерывно дифференцируемо, отображение SH является C1 -гладким, с Доказательство. 1. Для j ∈ N зададим (DSH (φ)χ)(t)= DH(φ(t))χ(t). ( 1 � Nj = φ ∈ C∞ : |φ|∞,j < j . Пусть H непрерывно. Пусть φ ∈ C∞. Для непрерывности SH в φ нужно, чтобы для каждого j ∈ N существовал k ∈ N такой, что для всех χ ∈ C∞ с χ ∈ φ + Nk имеем SH (χ) ∈ SH (φ)+ Nj. Пусть задано j ∈ N. Выберем компактную окрестность W точки φ([-j, j]). Поскольку H равномерно 1 непрерывно на W, существует δ > 0 такое, что |H(y) - H(x)| < 1 для всех x, y в W таких, что j 1 |y - x| < δ. Выберем k ∈ N с k ?; j и k k < δ и χ([-j, j]) ⊂ W для всех χ ∈ C∞ с |χ - φ|∞,k < (или, что эквивалентно, χ ∈ φ + Nk ). Для таких χ и всех s ∈ [-j, j] получаем 1 |H(χ(s)) - H(φ(s))| < j , следовательно, SH (χ) ∈ SH (φ)+ Nj. 2. Пусть H непрерывно дифференцируемо. 1. (Существование производных по направлениям.) Пусть даны φ ∈ C∞ и χ ∈ C∞. Определим A(φ, χ) ∈ C∞ как A(φ, χ)(s) = DH(φ(s))χ(s). Достаточно показать, что для любого j ∈ N выполнено ∞,j |t-1(SH (φ + tχ) - SH (φ)) - A(φ, χ)| → 0 при 0 /= t → 0. Пусть задано j ∈ N. Для всех действительных t /=0 ∞,j |t-1(SH (φ + tχ) - SH (φ)) - A(φ, χ)| = = max -j�s�j |t-1(H(φ(s)+ tχ(s)) - H(φ(s))) - DH(φ(s))χ(s)| = 1 = max r (DH(φ(s)+ utχ(s))χ(s) - DH(φ(s))χ(s))du � -j�s�j 0 � max max |DH(φ(s)+ vχ(s)) - DH(φ(s)||χ(s)| � -j�s�j |v|�|t| � |χ|∞,j max max |DH(φ(s)+ vχ(s)) - DH(φ(s)|. -j�s�j |v|�|t| Так как DH непрерывен, мы можем использовать рассуждения из шага 1 доказательства и вывести из предыдущей оценки, что lim 0∗=t→0 ∞ |t-1(SH (φ + tχ) - SH (φ)) - A(φ, χ)| ,j = 0. 2. Каждое отображение DSH (φ): C∞ ± χ 1→ A(φ, χ) ∈ C∞, φ ∈ C∞, линейно. Непрерывность следует из оценок |A(φ, χ)|∞,j � max -j�s�j |DH(φ(s))||χ|∞,j для всех j ∈ N и всех χ ∈ C∞. 3. Осталось показать, что DSH : C∞ ± φ 1→ DSH (φ) ∈ Lc(C∞, C∞) непрерывно относительно топологии β на Lc(C∞, C∞). Пусть B ⊂ C∞ ограничено и пусть j ∈ N. Согласно замечанию 8.1 (см. [17, замечание 2.2 (iii)]) мы должны найти целое число k ?; j такое, что DSH (ψ)χ - DSH (φ)χ = A(ψ, χ) - A(φ, χ) ∈ Nj для всех ψ ∈ φ + Nk и χ ∈ B. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ РЕШЕНИЙ 503 Согласно [10, теорема 1.37], bj = sup |χ|∞,j < ∞. Используя рассуждения из шага 1 доказатель- χ∈B ства, можно найти целое число k ?; j такое, что для всех ψ ∈ φ + Nk имеем 1 max -j�s�j Для таких ψ и всех χ ∈ B получаем |DH(ψ(s)) - DH(φ(s))| < . jbj |A(ψ, χ) - A(φ, χ)|∞,j � max -j�s�j |DH(ψ(s)) - DH(φ(s))||χ|∞,j � 1 или � max -j�s�j |DH(ψ(s)) - DH(φ(s))|bj < j , A(ψ, χ) - A(φ, χ) ∈ Nj для всех ψ ∈ φ + Nk и χ ∈ B. F Следствие 7.3. Отображение g : R × C → Rn, заданное как g(t, φ) = J ((Sh ◦ Po)(φ), t), является C1 -гладким. F Результаты предыдущего раздела применяются к неавтономному уравнению (1.3) с g из предыдущего следствия и дают непрерывный процесс операторов решения P (t, t0), которые определены на открытых подмножествах C, и которые являются C1 -гладкими. F 8. ПРИЛОЖЕНИЕ: РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ НА ОГРАНИЧЕННЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ, C1 -ГЛАДКОСТЬ Пусть V, W - топологические векторные пространства над R или C. На Lc = Lc(V, W ) топология β равномерной сходимости на ограниченных множествах определяется следующим образом. Для окрестности N точки 0 в W и ограниченного множества B ⊂ V окрестность UN,B точки 0 в Lc определяется как UN,B = {A ∈ Lc : TB ⊂ N }. Каждое конечное пересечение таких множеств UNj ,Bj , j ∈ {1,... ,J }, содержит множество того же вида из-за вложения J ( (I UN ,B ( \ � J J 1 (I c j j j=1 j j ⊃ T ∈ L : T B j=1 ⊂ N j=1 в силу того, что конечные объединения ограниченных множеств ограничены, а конечные пересечения окрестностей 0 являются окрестностями 0. Тогда топология β - это множество всех O ⊂ Lc обладающих таким свойством, что для каждого A ∈ O существует окрестность N точки 0 в W и ограниченное множество B ⊂ V с A + UN,B ⊂ O. Мы называем отображение A из топологического пространства T в Lc β-непрерывным в точке t ∈ T, если оно непрерывно в t относительно топологии β на Lc. Замечание 8.1 (см. [17, замечание 2.2 (iii)]). Чтобы проверить β-непрерывность отображения A : T → Lc, где T - топологическое пространство, в некоторой точке t ∈ T нужно показать, что для ограниченного подмножества B ⊂ V и окрестности N точки 0 в W существует такая окрестность Nt точки t в T, что для всех s ∈ Nt мы имеем (A(s) - A(t))(B) ⊂ N. В случае, если T имеет счетные базы окрестностей, отображение A β-непрерывно в t ∈ T тогда и только тогда, когда для любой последовательности T ± tj → t имеем A(tj ) → A(t). Для A(tj ) → A(t) нам нужно, чтобы для ограниченного подмножества B ⊂ V и окрестности N точки 0 в W существовало J ∈ N такое, что (A(tj ) - A(t))(B) ⊂ N для всех целых чисел j ?; J. Утверждение 8.2 (см. [17, следствие 3.2 (i)]). Пусть F и G - пространства Фреше, U ⊂ F F открыто. Отображение g : U → G является C1 -гладким тогда и только тогда, когда оно является C1 -гладким с β-непрерывным U ± u 1→ Dg(u) ∈ Lc(F, G). MB 504 Х.-О. ВАЛЬТЕР F Непрерывные линейные отображения L : F → G между пространствами Фреше являются C1 гладкими, поскольку они C1 -гладкие с постоянной производной DL(u) = L для всех u ∈ F, и MB F дифференцирование g 1→ Dg C1 -отображений U → G линейно. Следующие два утверждения включены для удобства, но не используются в разделах 2-7. Утверждение 8.3 (см. [17, следствие 3.2 (ii)]). В случае, если E - конечномерное нормированное пространство, каждое C1 -отображение g : E ⊃ U → G является C1 -гладким. MB F Для случаев отображений в бесконечномерных банаховых пространствах, которые являются C1 1 MB -гладкими, но не CF -гладкими, см. [16]. F Утверждение 8.4 (см. [17, утверждение 4.2]). Для банаховых пространств F and G и U ⊂ F открытое отображение g : F ⊃ U → G является C1 -гладким тогда и только тогда, когда существует непрерывное отображение Dg : U → Lc(F, G) такое, что для любых u ∈ U и для каждого Σ> 0 существует δ > 0 такое, что |g(v) - g(u) - Dg (u)(v - u)| � Σ|v - u| для всех v ∈ U с |v - u| < δ. В этом случае Dg (u)v является производной по направлению Dg(u)v для всех u ∈ U, v ∈ F. (F) Утверждение 8.5 (правило цепи, см. [17, утверждение 4.3]). Если g : F ⊃ U → G и h : G ⊃ V → H являются C1 -отображениями, с g(U ) ⊂ V, тогда также h ◦ g является C1 - F F отображением. Утверждение 8.6 (см. [17, утверждение 4.4]). Пусть даны пространства Фреше F1, F2, G. Для непрерывного отображения g : F1 × F2 ⊃ U → G, где U - открытое множество, следующие утверждения эквивалентны. 1. Для всех (u1, u2) ∈ U и всех vk ∈ Fk, k ∈ {1, 2}, g имеет частную производную Dkg(u1, u2)vk ∈ G, все отображения Dkg(u1, u2): Fk → G, (u1, u2) ∈ U, k ∈ {1, 2}, линейны и непрерывны, и отображения U ± (u1, u2) 1→ Dkg(u1, u2) ∈ Lc(Fk, G), k ∈ {1, 2}, β-непрерывны. F 2. g является C1 -гладким. В таком случае для всех (u1, u2) ∈ U, v1 ∈ F1, v2 ∈ F2 Dg(u1, u2)(v1, v2)= D1g(u1, u2)v1 + D2g(u1, u2)v2. F Теорема 8.7 (см. [17, теорема 5.2]). Пусть заданы пространство Фреше T, банахово пространство B, открытые множества V ⊂ T и OB ⊂ B, а также C1 -отображение A : V × OB → B. Предположим, что для замкнутого множества M ⊂ OB выполнено A(V × M ) ⊂ M, а A - равномерное сжатие в том смысле, что существует k ∈ [0, 1) такое, что |A(t, x) - A(t, y)| � k|x - y| для всех t ∈ V, x ∈ OB, y ∈ OB. Тогда отображение g : V → B, заданное как g(t) = A(t, g(t)) ∈ F M, является C1 -гладким. Утверждение 8.8 (см. [17, утверждение 10.1 (iii)] для T = ∞). Отображение E10 1 10 F является C1 -гладким и ∞ ∞ : C∞ × R → C, E (φ, t)= φt, E10 D1 ∞ (φ, t)φˆ = 10 φˆt, × 2 ∞ D E (φ, t)t∗ = t∗(φ )t.

Об авторах

Х.-О. Вальтер

Автор, ответственный за переписку.
Email: Hans-Otto.Walther@math.uni-giessen.de
Gießen, Germany

Список литературы