О вычислении нормы монотонного оператора в идеальных пространствах

Аннотация

Работа содержит доказательство общих результатов о вычислении норм монотонных операторов, действующих из одного идеального пространства в другое при условии согласования свойств выпуклости и вогнутости оператора и норм в идеальных пространствах.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 455 2. Общие теоремы о нормах операторов на конусах функций со свойствами монотонности 456 3. Леммы 458 4. Доказательство теоремы 2.1. Следствия 463 5. Обобщение условий монотонности 467 6. Приложения. Вычисление нормы интегрального оператора на конусе функций со свой- ством монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 1. ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена обоснованию некоторых общих результатов о вычислении нормы монотонного оператора, действующего из одного нормированного (в более общем варианте - квазинормированного) идеального пространства в другое и обладающего свойством выпуклости, которое согласовано со свойствами выпуклости и вогнутости (квази)норм идеальных пространств. Понятие идеального пространства измеримых функций обобщает конструкцию банахова функционального пространства, введенную К. Беннеттом и Р. Шарпли [6]. Общие вопросы теории идеальных структур и банаховых функциональных пространств рассмотрены в книгах Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1], С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова [2], а также Й. Берга и Й. Лефстрема [7] и Х. Трибеля [3]. В данной работе мы используем определения и общие свойства идеальных пространств, представленные в работе [4]. Здесь отметим, что (квази)норма ×· ×X в идеальном пространстве X обладает свойствами монотонности: если функция f измерима и |f | � g ∈ X, то f ∈ X, ×f ×X � ×g×X ; также ×f ×X < ∞ ⇒ |f | < ∞ почти всюду и, кроме того, если 0 � fm � fm+1, fm → f (m → ∞) m почти всюду, то ×f ×X = lim →∞ ×fm×X (свойство Фату). В [4] доказано, в частности, что идеальное пространство полно, т. е. является (квази)банаховым, а также описаны идеальные оболочки для конусов функций со свойствами монотонности. В данной работе при обосновании результатов о вычислении нормы оператора мы обобщаем и модифицируем подход, развитый в работе В. И. Буренкова и М. Л. Гольдмана [8]. Мы приводим также пример применения общих формул при вычислении нормы интегрального оператора. Ряд приложений доказанных здесь общих результатов в теории весовых пространств Лоренца и при © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 455 456 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН вычислении ассоциированных норм на конусах функций со свойствами монотонности приведен в работе [5]. Отметим, что некоторые другие подходы к задачам такого типа развиты в работах А. Гогатишвили и В. Д. Степанова [9, 10]. Структура работы такова. В разделе 2 сформулированы основные определения и приведены результаты о вычислении нормы оператора на конусе убывающих неотрицательных функций в идеальном пространстве как в невырожденном случае, так и при наличии вырождения (теорема 2.1). Леммы, необходимые для доказательства этой теоремы, рассмотрены в разделе 3. Раздел 4 содержит доказательство теоремы 2.1 и некоторых ее следствий. В разделе 5 приведены обобщения полученных результатов на более общие конусы функций с условиями монотонности (теорема 5.1). В разделе 6 рассмотрен пример применения общих результатов для вычисления нормы интегрального оператора со свойством выпуклости. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О НОРМАХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНУСАХ ФУНКЦИЙ СО СВОЙСТВАМИ МОНОТОННОСТИ Пусть (M, ΣM , β), (N, ΣN , γ) - пространства с неотрицательными σ-аддитивными полными мерами β, γ; S(M, ΣM , β), S(N, ΣN , γ) - пространства вещественнозначных измеримых функций. Говорят, что норма в идеальном пространстве X ⊂ S(M, ΣM , β) является порядково непрерывной, если {xm ∈ X, m ∈ N; 0 � xm ↓ 0 β - a.e.}⇒ ×xm×X ↓ 0. (2.1) Идеальное пространство X ⊂ S(M, ΣM , β) называется lp-вогнутым для некоторого p ∈ R+, если ( p ×xm×X m 1/p 1 ( 1 � p 1 1 |xm| 1 m 1 1 1/p1 1 1 1 1X . (2.2) Идеальное пространство Y ⊂ S(N, ΣN , γ) называется lq-выпуклым для некоторого q ∈ R+, если 1 1( q 1 1 |ym| 1 m 1 1 1/q 1 1 1 1 1Y ( q � ×ym×Y m 1/q . (2.3) Это означает, что сходимость рядов в правой части (2.2) или (2.3) влечет сходимость рядов в левой части, и выполняются соответствующие неравенства. Отметим, что любое нормированное идеальное пространство l1-выпуклое, и lq -выпуклость для 0 <q < 1 приводит к неравенству треугольника в следующем виде: q q 1/q 1/q-1 ×f + g×Y � ( f ×Y + ×g×Y ) � 2 (×f ×Y + ×g×Y ) . (2.4) × Действительно, согласно неравенству Йенсена для 0 <q < 1 q |f + g| � |f | + |g| � (|f | | + |g q ) 1/q . Далее, применение (2.3) и неравенства Гёльдера (для двух слагаемых) влечёт 1 q q 1/q 1 q q 1/q 1/q-1 1 ×f + g×Y � 1(|f | + |g| ) 1Y 1 � (×f ×Y + ×g×Y ) � 2 (×f ×Y + ×g×Y ) . Отметим также, что пространство Y = Lq (N, γ), 0 < q < ∞, является lρ-выпуклым для любого ρ ∈ (0, q] (см. лемму 4.1 ниже), и оно lp-вогнутое для любого p ∈ [q, ∞). Рассмотрим конус D ⊂ X неотрицательных функций с условием f, g ∈ D; α, β ?: 0 ⇒ αf + βg ∈ D. Оператор T : D → Y называется lr-выпуклым при 0 < r < ∞, если ∀fm ∈ D, m ∈ Z таких, что ( \1/r }, fr m ∈ D, m ⎡( 1/r ⎤ ( 1/r r f m T ⎣ r m ⎦ � |Tfm| m (2.5) почти всюду на M ; и ∀f ∈ D; α ?: 0 ⇒ T [αf ]= αT [f ]. О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 457 Отметим, что l1-выпуклость оператора T совпадает с сублинейностью: Г( T m l fm � ( |Tfm| . m Оператор T называется монотонным, если {f, g ∈ D; 0 � f � g β - a.e.}⇒ {0 � Tf � Tg γ - a.e.} . (2.6) Примером lr -выпуклого монотонного оператора является оператор T [f ]= (L[fr])1/r , где L - сублинейный монотонный оператор. Более того, эта формула иллюстрирует соответствие между lr -выпуклым и сублинейным операторами. Мы будем рассматривать случай M = J := (a, b), -∞ � a, b � ∞, с неотрицательной борелевской мерой β и сужениями оператора на следующие конусы неотрицательных убывающих непрерывных слева функций на J := (a, b): Ω= {g ∈ X : 0 � g ↓; g(t)= g(t - 0), t ∈ (a, b)} , Ω˙ = ( g ∈ Ω : lim t→b-0 g(t)=0 . (2.7) Определим нормы сужений оператора: ×T ×Ω = sup {×T [g]×Y : g ∈ Ω, ×g×X � 1} , (2.8) J Обозначим ×T ×Ω˙ = sup ×T [g]×Y : g ∈ Ω˙ , ×g×X � 1 . (2.9) Ω˙ 0 := χ(a,t] : a<t< b , Ω0 := Ω˙ 0 χ(a,b); (2.10) F (x, t)= T rχ(a,t]l (x), a <t< b; F (x, b)= T rχ(a,b)l (x). (2.11) Теорема 2.1. Пусть 0 <p � q � r < ∞; X ⊂ S(J, β) - идеальное lp-вогнутое пространство с порядково непрерывной (квази)нормой; Y ⊂ S(N, γ) - идеальное lq-выпуклое пространство, и T :Ω → Y - lr-выпуклый монотонный оператор. 7. Тогда справедливы соотношения ×T ×Ω˙ = ×T ×Ω˙ 0 := sup a<t<b X r×F (·, t)×Y ×χ(a,t](·)×-1l . (2.12) 8. При выполнении дополнительного условия невырожденности ×χ(a,b)×X = ∞ (2.13) справедливы соотношения ×T ×Ω = ×T ×Ω˙ 9. При наличии вырождения = ×T ×Ω˙ 0 := sup a<t<b X r×F (·, t)×Y ×χ(a,t](·)×-1l . (2.14) справедливы соотношения ×χ(a,b)×X < ∞ (2.15) см. (2.11). ×T ×Ω = ×T ×Ω0 := max J -1 ×T ×Ω˙ 0 , ×F (·, b)×Y ×χ(a,b)(·)×X , (2.16) Замечание 2.1. Отметим, что в невырожденном случае (2.13) ×χ(a,b)×X = ∞⇒ Ω= Ω˙ , так как ( 0 � g ↓, lim t→b-0 g(t) > 0 ⇒ g ∈/ X. (2.17) 458 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН Это означает, что в случае (2.13) справедливо равенство ×T ×Ω = ×T ×Ω˙ . Поэтому для вычисления ×T ×Ω применима формула (2.12). Таким образом, справедливо соотношение (2.14), и часть 2 теоремы 2.1 следует из ее части 1. Замечание 2.2. При доказательстве теоремы 2.1 мы сначала докажем общее утверждение, составляющее часть 3 этой теоремы. Затем отметим те упрощения (весьма значительные), которые возникают в этом рассуждении при доказательстве части 1 теоремы, причем независимо от выполнения или нарушения условия невырожденности (2.13). Эти упрощения связаны с тем, что в части 1 теоремы рассматривается конус Ω˙ вместо общего конуса Ω, см. (2.7). 3. ЛЕММЫ Лемма 3.1. Пусть 0 < q < s < ∞; ω, ψ - неотрицательные функции на (a, b), -∞ � a < b � ∞, ω ↑, ψ ↓; ω, ψ, ψ! ∈ C(a, b), ψ(a) > ψ(b). Определим ω(a) := lim t→a+0 ω(t), ω(b) := lim t→b-0 ω(t), ψ(a) := lim t→a+0 ψ(t), ψ(b) := lim t→b-0 ψ(t). Если ψ(b) = 0, то полагаем C := 0. Если ψ(b) > 0, то полагаем, что выполнено условие C := ω(b)ψ(b) < ∞. Для r ∈ [q, s] введем оператор s s 1/s q q 1/q Тогда ⎧ ⎪⎨ r Ar (a, b)= ⎪⎩(a,b) ω(t)r (-d [ψ(t)r ]) ⎫1/r ⎪⎬ ⎪⎭ . (3.1) {C + As(a, b) } � {C + Aq (a, b) } Доказательство. Полагаем Aq (a, b) < ∞. 1. Вначале рассмотрим случай b ∈ (a, ∞], ψ(b)= 0. . (3.2) As(a, b)s = r (a,b) ωs -d (ψq )s/q = 2. r q (a,b) ωsψs-q (-d [ψq ]) = s r q (a,b) [ωψ]s-qωq (-d [ψq ]) . Отметим, что возрастание ωq вместе с условием ψ(b)= 0 влечёт ⎡ r [ω(t)ψ(t)]s-q � ⎢ ⎣ ⎤s/q-1 - ω(τ )q ( d [ψ(τ )q ])⎥ ⎦ , t ∈ (a, b). Поэтому ⎡ s r r [t,b) ⎤s/q-1 As(a, b)s � q (a,b) ⎢ ⎣ [t,b) - ω(τ )q ( d [ψ(τ )q ])⎥ ⎦ ω(t)q (-d [ψ(t)q ]) = ⎛ ⎡⎛ r r ⎤s/q ⎤⎞ ⎡ r ⎤s/q = ⎜ ⎢⎜ ω(τ )q (-d [ψ(τ )q ])⎥ ⎥⎟ = ⎢ ωq (-d [ψq ])⎥ = Aq (a, b)s. ⎜-d ⎢ ⎥⎟ ⎝ (a,b) ⎣⎝ [t,b) ⎦ ⎦⎠ ⎣ ⎦ (a,b) 3. Теперь пусть b ∈ R+, ψ(b) > 0, C = ω(b)ψ(b) < ∞. Мы продолжаем функции ω, ψ на [b, b + 1) так, что ω(τ ) = ω(b), τ ∈ [b, b + 1); ψ(τ ) ↓, ψ(b + 1) = 0. Далее применяем результат, полученный на первом шаге, на интервале (a, b + 1) и получаем As(a, b + 1) � Aq (a, b + 1). (3.3) Далее, As(a, b + 1)s = As(a, b)s + r [b,b+1) ω(t)s (-d [ψ(t)s]) = О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 459 = As(a, b)s + ω(b)s r [b,b+1) (-d [ψ(t)s]) = As(a, b)s + ω(b)sψ(b)s. Аналогично, Aq (a, b + 1)q = Aq (a, b)q + ω(b)qψ(b)q, и (3.3) приводит к (3.2). 4. Рассмотрим последний случай b = ∞, ψ(∞) > 0. Для этого применим полученное выше неравенство в случае b < ∞, ψ(b) > 0: 1/s q q q 1/q {ω(b)sψ(b)s + As(a, b)s} Затем перейдем к пределу при b → +∞. Тогда 1/s � {ω(b) ψ(b) q + Aq (a, b) } q . q 1/q {ω(∞)sψ(∞)s + As(a, ∞)s} � {ω(∞) ψ(∞) + Aq (a, ∞) } . Замечание 3.1. Оценка (3.2) остается верной в случае замены C константой D ∈ (C, ∞). Доказательство. При A, B > 0, 0 < q < s < ∞ рассмотрим функцию ϕ(x) = (xs + As)1/s(xq + Bq )-1/q ,x ∈ R+. 5. Если A � B, то ϕ(x) � (xs + Bs)1/s(xq + Bq )-1/q � 1, x ∈ R+. 6. Пусть A> B. Тогда ϕ(0) = AB-1 > 1. Более того, ϕ!(x)= (xs + As)1/s-1(xq + Bq )-1/q-1xq-1(xs-q Bq - As). Таким образом, функция ϕ убывает от ϕ(0) > 1 до ϕ(x1) < 1, x1 = (AsB-q)1/(s-q), затем возрастает до ϕ(+∞) = 1. Поэтому если ϕ(x0) � 1 для некоторого x0 > 0, то ϕ(x) � 1 для всех x ?: x0. Далее, обозначим A = As(a, b), B = Aq (a, b) и заметим, что согласно (3.2) ϕ(C)= (Cs + As(a, b)s)1/s (Cq + Aq (a, b)q )-1/q � 1. Поэтому для любого D ?: C имеем ϕ(D) � 1. Лемма 3.2. Пусть Определим ωm, ψm ?: 0, m ∈ Z; ωm ↑, ψm ↓ . ∞ m ω = lim →+∞ ∞ m ωm, ψ = lim →+∞ ψm, C := ω∞ · ψ∞. (3.4) Здесь мы полагаем, что Тогда при 0 <q <s< ∞ ψ∞ =0 ⇒ C = 0; ψ∞ > 0 ⇒ C < ∞. ( m ψ m Cs + ωs ( s m∈Z - ψ s m+1 1/s ) ( m ψ m � Cq + ωq ( q m∈Z - ψ q m+1 1/q ) . (3.5) Оценка (3.5) остается верной при замене C константой D ∈ (C, ∞). Доказательство. Введем функцию ψ ∈ C1(R+), 0 � ψ ↓; ψ(2m)= ψm,m ∈ Z. Далее, для n ∈ N введем функцию ω(n, ·) ∈ C(R+) на [2m, 2m+1], m ∈ Z, следующим образом: m - (ω , 2m � t � 2m+1 2m-1/n; ω(n, t)= Отметим, что линейная при 2m+1 - 2m-1/n � t � 2m+1. ∞ t ψ( ) := lim →+∞ ψ(t) = lim m→+∞ ψm = ψ∞. ∞ ∞ m Если ψ = 0, то полагаем C = 0. Далее, если ω = lim →+∞ ωm < ∞, то имеем ω(n, ∞) = lim t→+∞ ω(n, t) = ω∞ < ∞ (ω∞ не зависит от n ∈ N), и мы полагаем C := ω(n, ∞)ψ(∞) = ω∞ψ∞ < ∞. Согласно (3.2) справедливо неравенство In := ⎧ ⎨ ⎪ r Cs + ⎩⎪ R+ ω(n, t)s (-d [ψ(t)s]) ⎫1/s ⎪⎬ ⎪⎭ � Jn := ⎧ ⎨ ⎪ r Cq + ⎩⎪ R+ ⎫1/q ⎪⎬ ω(n, t)q (-d [ψ(t)q ]) . ⎪⎭ 460 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН Отметим, что {ω(n, t)}n∈N - убывающая последовательность, и lim n→+∞ ω(n, t)= ω(∞, t)= ωm, t ∈ [2m, 2m+1), m ∈ Z. Поэтому по теореме Леви о монотонной сходимости можно перейти к пределу при n → +∞ в последнем неравенстве, что влечёт ⎧ ⎨ ⎪ s r s ⎫1/s s ⎪⎬ ⎧ ⎨ ⎪ q r q ⎫1/q q ⎪⎬ I∞ := C ⎩⎪ Но ⎧ + ω(∞, t) R+ (-d [ψ(t) ]) ⎪⎭ � J∞ := C ⎪⎩ ⎫1/s ⎧ + ω(∞, t) R+ (-d [ψ(t) ]) ⎪⎭ . ⎫1/s ⎨ ⎪ s r ⎨ s s ⎪⎬ ⎪ s s r s ⎪⎬ I∞ := C + ω(∞, t) (-d [ψ(t) ]) = C + ωm (-d [ψ(t) ]) , ⎩⎪ m∈Z [2m,2m+1 ) ⎭⎪ ⎪⎩ m∈Z [2m,2m+1) ⎪⎭ что совпадает с левой частью (3.5). Аналогично, ⎧ ⎫1/q 1/q ⎨ ⎪ q q r q ⎪⎬ ( q  q q q J∞ = C + ωm (-d [ψ(t) ]) = C + ωm (ψm - ψm+1) . ⎩⎪ m∈Z [2m,2m+1 ) ⎪⎭ m∈Z Эти суждения приводят к (3.5). Следствие 3.1. Пусть ωm, ψm ?: 0, m ∈ {0, 1,... , m0 + 1} , ωm ↑, ψm ↓, C = ωm0 +1 · ψm0 +1. (3.6) Тогда при 0 <q � s< ∞ ( m0 1/s ( m0 1/q m ψ m Cs + ωs ( s m=0 - ψ s ) m+1 m ψ m � Cq + ωq ( q m=0 - ψ q ) m+1 . (3.7) Оценка (3.7) верна при m0 = ∞ с константой →+∞ C = ω∞ · ψ∞, ω∞ = mlim ∞ m ωm, ψ = lim →+∞ ψm; ∞· 0 := 0. Эта оценка остается справедливой в случае замены C константой D ∈ (C, ∞). Действительно, в (3.5) полагаем ωm = 0, ψm = ψ0, m � -1; если m0 < ∞, ωm = ωm0 +1, ψm = ψm0 +1, m ?: m0 + 2, тогда (3.5) влечет (3.7). Замечание 3.2. Мы получили дискретные оценки (3.5) и (3.7) как следствия интегральной оценки (3.2). Для приложений полезно показать, что (3.2), в свою очередь, можно получить из дискретных оценок. Для этого достаточно потребовать, чтобы ω была непрерывной слева, а ψ - непрерывной справа на (a, b). Для полноты изложения приведем соответствующее утверждение. Лемма 3.3. Пусть 0 < q < s < ∞; ω, ψ - неотрицательные функции на (a, b); -∞ � a < b � ∞, ω ↑, ψ ↓; ω непрерывна слева на (a, b), ψ непрерывна справа на (a, b); ψ(b) < ψ(a) < ∞. Определим ω(a) := lim t→a+0 ω(t), ω(b) := lim t→b-0 ω(t), ψ(a) := lim t→a+0 ψ(t), ψ(b) := lim t→b-0 ψ(t). Если ψ(b) = 0, полагаем C := 0. Если ψ(b) > 0, требуем, чтобы C := ω(b)ψ(b) < ∞. При r ∈ [q, s] введем Ar (a, b) формулой (3.1). Тогда выполнена оценка (3.2). О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 461 Доказательство. 7. Сначала мы получим некоторые полезные равенства для интеграла Лебега-Стилтьеса (в рассматриваемом здесь случае он совпадает с интегралом Римана-Стилтьеса). Для любого r ∈ R+, a � t<τ < b и убывающей на (a, b) непрерывной справа в точке t (отметим, что в точке t = a это происходит автоматически, так как ψ(a)= ψ(a + 0)) функции ψ выполнено равенство r Действительно, r (t,τ ] r (-d [ψr ]) = ψ(t)r - ψ(τ )r. (3.8) (t,τ ] (-d [ψr ]) = lim ρ→t+0 [ρ,τ ] (-d [ψr ]) = lim ρ→t+0 [ψ(ρ)r - ψ(τ )r ]= ψ(t)r - ψ(τ )r. Здесь мы используем равенство r [ρ,τ ] (-d [ψr ]) = ψ(ρ)r - ψ(τ )r. (3.9) Это следует из определения интеграла Римана-Стилтьеса, поскольку все интегральные суммы интеграла по отрезку [ρ, τ ] совпадают с правой частью этой формулы. Таким образом, выполнено (3.8). Переходя к пределу в этой формуле при t = a, τ → b - 0, получаем r (a,b) (-d [ψ(t)r ]) = ψ(a)r - ψ(b)r. (3.10) Для любого r ∈ R+, a < t < τ � b и убывающей на (a, b) непрерывной слева в точке τ (отметим, что в точке τ = b это происходит автоматически, так как ψ(b) = ψ(b - 0)) функции ψ выполнено равенство Действительно, r r [t,τ ) r (-d [ψ(t)r ]) = ψ(t)r - ψ(τ )r. (3.11) [t,τ ) (-d [ψ(t)r ]) = lim ρ→τ -0 [t,ρ] (-d [ψ(t)r ]) = lim ρ→τ -0 [ψ(t)r - ψ(ρ)r ]= ψ(t)r - ψ(τ )r. Более того, если функция ψ непрерывна слева в точке τ и непрерывна справа в точке t, то r Применяя (3.11), мы приходим к r (t,τ ) r (-d [ψ(t)r ]) = ψ(t)r - ψ(τ )r. (3.12) (t,τ ) (-d [ψ(t)r ]) = lim ρ→t+0 [ρ,τ ) (-d [ψ(t)r ]) = lim ρ→t+0 [ψ(ρ)r - ψ(τ )r ]= ψ(t)r - ψ(τ )r. Положим, что Aq (a, b) < ∞ (в противном случае в (3.2) нечего доказывать). Если ω(a) > 0, это предположение влечёт ψ(a) < ∞. Действительно, функция ω возрастает на (a, b), таким образом, ω(t) ?: ω(a), t ∈ (a, b), и Aq (a, b)q = r (a,b) ωq (-d [ψq ]) ?: ω(a)q r (a,b) (-d [ψq ]) = ω(a)q [ψ(a)q - ψ(b)q ] . Случай ω(a)= 0 будет рассмотрен на пятом шаге ниже. 462 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН 8. Вначале рассмотрим случай 0 < ω(a) = ω(b). Тогда ω(t) = ω(b), t ∈ [a, b), поэтому формула (3.10) с r = s и r = q приводит к равенству: r As s s s s s s = ω(b) (a,b) (-d [ψ(t) ]) = ω(b) [ψ(a) - ψ(b) ] , {ω(b)sψ(b)s + As}1/s = ω(b)ψ(a)= ω(b)qψ(b)q + Aq 1/q . s q 9. Пусть 0 < ω(a) < ω(b) < ∞. При 1 < d < ω(b)/ω(a) выберем tm ∈ [a, b) следующим образом: t0 = a, t1 = sup {t > a : ω(t) � dω(a)} , Отметим, что tm+1 = sup {t>a : ω(t) � dω(tm + 0)} , m = 1, 2,... , m0 - 1; ω(tm0 + 0) < ω(b) � dω(tm0 + 0). 1. tm+1 > tm, m = 0, 1,... , m0; 2. ω(tm + 0) � ω(t) � dω(tm + 0),t ∈ δm := (tm, tm+1], m = 0, 1,... , m0 - 1; 3. ω(t) > dω(tm + 0), ∀t ∈ (tm+1, b); m = 0, 1,... , m0 - 1. (3.13) (3.14) Таким образом, a = t0 < t1 < ... < tm0 < tm0 +1 := b. Теперь получим оценки для As, Aq . Обозначим δ := (t ,t ], m = 0, 1,... ,m - 1, δ = (tm0 , tm0 +1). As r s s q m r m0 -1 s s m m+1 s r s s 0 m0 s = ω (a,b) (-d [ψ ]) = ω m=0 δm (-d [ψ ]) + ω (tm0 ,b) (-d [ψ ]) . Функция ωs возрастает, так что m0 -1 As s � m=0 r ω(tm+1)s δm (-d [ψs]) + ω(b)s r (tm0 ,b) (-d [ψs]) = m0 m=0 ω(tm+1)s [ψ(tm)s - ψ(tm+1)s] � m0 � ds ω(tm + 0)s [ψ(tm)s - ψ(tm+1)s] . m=0 На втором шаге мы учли, что ψ непрерывна справа на (a, b) и ψ(b - 0) = ψ(b), так что формулы (3.8) при 0 � m � m0 - 1 и (3.12) при m = m0 применимы. Тогда, согласно (3.12) с t = tm0 , τ = b, r = s получаем r (-d [ψs]) = ψ(tm )s - ψ(b)s = ψ(tm )s - ψ(tm +1)s. 0 0 0 (tm0 ,b) На последнем шаге мы применяем (3.13). Обозначим ωm := ω(tm + 0), ψm := ψ(tm), m = 0,... , m0; ωm0+1 := ω(b), ψm0 +1 := ψ(b). Тогда m0 As s s s s Аналогично, s � d m=0 ωm rψm - ψm+1l . (3.15) r Aq q = (a,b) ωq (-d [ψq ]) = r m0 -1 m=0 δm ωq (-d [ψq ]) + r (tm0 ,b) ωq (-d [ψq ]) , m0 r Aq q = ωq (-d [ψq ]) ?: m0 ω(tm + 0)q [ψ(tm)q - ψ(tm+1)q ] , m=0δm m=0 О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 463 так что m0 Aq m r m q l m+1 q ?: ωq m=0 ψq - ψ . (3.16) Теперь применим (3.7) с C = ωm0 +1 · ψm0 +1 = ω(b)ψ(b) и получим {ω(b)sψ(b)s + As} ( m0 � d ω(b) ψ(b) + d ω rψ - ψ 1/s l � 1/s s s s s s s s m m m=0 s m+1 ( m0 1/q m ψ m � d ω(b)qψ(b)q + ωq r q - ψ q l m+1 q � d ω(b)qψ(b)q + Aq 1/q . Таким образом, m=0 {ω(b)sψ(b)s + As}1/s � d ω(b)qψ(b)q + Aq 1/q . s q В последнем неравенстве все слагаемые в {} не зависят от d > 1. Тогда переход к пределу при d → 1+0 приводит к (3.2). 10. Пусть 0 < ω(a) < ω(b) = ∞. В этом случае мы полагаем, что ψ(b) = 0, C = 0. Для любого d > 1 определим tm, m ∈ N0 = {0, 1,.. .} формулами (3.13) со свойствами (3.14) для m ∈ N0 (в этом случае m0 = ∞). Таким образом, выполнены оценки (3.15), (3.16). Более того, здесь ψ∞ = ψ(b)= 0. Применение (3.7) с C = 0, m0 = ∞ влечёт As � dAq , ∀d> 1 ⇒ As � Aq. 11. Осталось рассмотреть случай ω(a) = 0, ψ(a) � ∞. Без ограничения общности считаем, что ω(δ) > 0, ψ(δ) < ∞, δ ∈ (a, b). Для любого δ ∈ (a, b) верна оценка {ω(b )sψ(b)s + As(δ, ω(b)qψ(b)q + Aq s q b)}1/s � (δ, b) 1/q , (3.17) которая была доказана выше (с δ вместо a). Отметим, что Ar (δ, b) → Ar (a, b) (δ → a + 0) при r = q, r = s. Таким образом, мы получаем (3.2), переходя к пределу при δ → a +0 в (3.17). 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1. СЛЕДСТВИЯ 1. Доказательство теоремы 2.1. 1. Докажем часть 3 этой теоремы, т. е. получим формулу (2.16). Пусть a < tm < tm+1 < b, m ∈ Z; lim m→-∞ tm = a, lim m→+∞ tm = b. Для функции g ∈ Ω рассмотрим ее «ступенчатую мажоранту» g˜: g˜(u)= g(tm)χΔm (u); Δm = (tm, tm+1], m ∈ Z. (4.1) m m Отметим, что для любого u ∈ (a, b), s > 0, выполнено χΔ (u)s = χΔm (u), и ( g˜(u)= m g(tm)sχΔ m (u)s 1/s , (4.2) так как слагаемые в (4.1) не пересекаются, и для каждого u ∈ (a, b) только одно слагаемое не равно нулю. Обозначим B := lim u→b-0 - g(u); 0 � cm(s)= (g(tm 1)s s 1/s - g(tm) ) . (4.3) Тогда для любого u ∈ (a, b), s > 0, ( 1/s g˜(u)= m cm(s)sχ(a,t ](u)s + Bsχ(a,b)(u)s , (4.4) m 464 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН Равенство (4.4) следует из (4.2) после применения преобразования Абеля в форме n n em (dm+1 - dm)= (em - em+1) dm+1 + en+1dn+1 - eldl, (4.5) если мы положим и учтём, что m=l m=l m em = g(tm)s, dm = χ(a,t m ](u)s = χ(a,t ](u) lim n→+∞ (en+1dn+1) = lim n→+∞ n+1 (g(tn+1)sχ(a,t ](u)s) = Bsχ(a,b)(u)s; lim l→-∞ (eldl) = lim l→-∞ l (g(tl)sχ(a,t ](u)s) = 0. Далее, переходя к пределу в (4.5) при n → +∞, l → -∞ и используя равенство (em - em+1) dm+1 = (em-1 - em) dm, m m получаем (4.4). Согласно (4.4) с s = r имеем g˜(u)= (f (u)r + h(u)r )1/r ; f (u)= ( m cm(r)rχ(a,t ](u)r 1/r ; h(u)= Bχ(a,b)(u). m Здесь 0 � g � g˜, и для монотонного lr -выпуклого оператора T выполнено: 0 � T [g] � T [g˜] � (T [f ]r + T [h]r )1/r . Далее, согласно (2.5) с fm = cm(r)χ(a,tm ](u), m ∈ Z, m r T [f ]r � cm(r)r T rχ(a,t ]l ; T [h]r = BrT rχ . lr (a,b) Поэтому m 0 � T [g](x) � T [g˜](x) � ( cm(r)r F (x, tm)r + Br F (x, b)r m 1/r . (4.6) При 0 <q <r мыприменяем следствие 3.1 леммы3.2 с s = r, ωm = F (x, tm) ↑, ψm = g(tm-1) ↓ . Таким образом, - - cm(r)r = g(tm cm(q)q = g(tm 1)r - g(tm 1)q - g(tm m )r = ψr m )q = ψq - ψ - ψ r q m+1; m+1. Здесь A = lim m→+∞ ωm = lim m→+∞ F (x, tm) := F0(x, b); B = lim m→-∞ ψm = g(b - 0), см. (4.3). Отметим, что χ(a,t] � χ(a,b), t ∈ (a, b). Поэтому F (x, t) � F (x, b), t ∈ (a, b) ⇒ F0(x, b) � F (x, b). (4.7) Итак, C ≡ AB = F0(x, b)B � F (x, b)B ≡ D, и мы приходим к (3.5) с s = r и заменой C на D в наших обозначениях: ( cm(r)r F (x, tm)r + Br F (x, b)r m Согласно (4.6) имеем 1/r ( � cm(q)q F (x, tm)q + BqF (x, b)q m 1/q . 0 � T [g](x) � ( [g(tm-1) - g(tm) ] F (x, tm) + B F (x, b) 1/q . (4.8) q q q q q m Отметим, что в случае q = r (4.8) совпадает с (4.6). О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 465 Неравенство (4.8) и lq -выпуклость пространства Y влекут ( 1/q ×T [g]×Y � [g(tm-1) - g(tm) ] ×F (·, tm)×Y + B ×F (·, b)×Y q q q q q m для любого g ∈ Ω. Применим оценки ×F (·, tm)×Y = ×T [χ(a,tm ]]×Y � ×T ×Ω˙ 0 ×χ(a,tm ]×X � ×T ×Ω0 ×χ(a,tm ]×X , ×F (·, b)×Y � ×T ×Ω0 ×χ(a,b)×X и получим ( q q q q q 1/q ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 [g(tm-1) m - g(tm) ] ×χ(a,tm ]]×X + B ×χ(a,b)×X . При p � q отсюда согласно следствию 3.1 леммы 3.2 с q вместо s и p вместо q имеем Поэтому ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 ( p [g(tm-1) m m - g(tm)p] ×χ(a,t p ]]×X + Bp p ×χ(a,b)×X 1/p . ( p p p 1/p p ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 cm(p) ×χ(a,tm ]×X + B m ×χ(a,b)×X . Рассмотрим неотрицательные функции ϕm = cm(p)χ(a,tm ]; ϕ = Тогда ( 1/p ϕ p m m ; ζ = Bχ(a,b). ( p p 1/p ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 lp-вогнутость пространства X влечёт ×ϕm×X + ×ζ×X . m ( p p ( 1 1/p 1 1 1/p1 � ×ϕm×X + ×ζ×X m ϕ + ζ , 1 p p 1 1 m 1 1 1 m 1 1X так что для g ∈ Ω справедливо неравенство 1 1( p 1/p1 1 p 1 ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 1 1 1 1 = ϕm + ζ m 1 1 1 1X 1/p1 1( = ×T ×Ω0 1 1 1 cm(p)pχ p (a,tm ] + Bp χ p (a,b) 1 1 1 = ×T ×Ω0 ×g˜×X . 1 1 m 1X На последнем шаге применяем равенство (4.4) при s = p. Следовательно, для любого g ∈ Ω мы получаем неравенство ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 ×g˜×X , (4.9) где g˜ - «ступенчатая мажоранта» (4.1). Далее, для n = 1, 2, 3,... строим последовательности {tm(n)}m∈Z таким образом, что соответствующие ступенчатые функции g˜n вида (4.1) образуют невозрастающую последовательность, всюду стремящуюся к заданной функции g ∈ Ω. По свойству порядковой непрерывности (квази)нормы в пространстве X имеем ×g˜n×X → ×g×X (n → ∞). 466 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН Теперь воспользуемся неравенством (4.9) с g˜n вместо g˜ и перейдём к пределу при n → ∞. В результате получаем неравенство ×T [g]×Y � ×T ×Ω0 ×g×X , g ∈ Ω, (4.10) так что ×T ×Ω � ×T ×Ω0 . Обратное очевидно, потому что при предположении (2.15) имеет место вложение Ω0 ⊂ Ω. Таким образом, получаем равенство (2.16). 2. В условиях части 1 теоремы 2.1 имеем g ∈ Ω˙ ⇒ B := lim t→b-0 g(t)= 0. Поэтому достаточно положить B =0 (соответственно, ψ = 0) в приведенных выше рассуждениях. При этом все слагаемые, содержащие функцию χ(a,b), имеют множитель B =0 и, следовательно, пропадают независимо от выполнения или нарушения условия невырожденности (2.13). В итоге получим ×T ×Ω˙ 0 вместо ×T ×Ω0 в (4.9), (4.10), так что ×T ×Ω˙ � ×T ×Ω˙ 0 . Обратное очевидно, так как имеет место вложение Ω˙ 0 ⊂ Ω˙ . Следовательно, мы приходим к (2.12). Замечание 4.1. Итак, доказаны часть 1 и часть 3 теоремы 2.1. С учетом замечания 2.1 видим, что теорема 2.1 полностью доказана. Замечание 4.2. Во многих случаях имеет место равенство (4.7): F0(x, b)= F (x, b) γ - п.в., (4.11) что приводит к ×T ×Ω0 = ×T ×Ω˙ 0 согласно (2.12). Например, (4.11) выполняется для любого ограниченного линейного оператора T : X → Y. Действительно, для любого {tm}m∈Z ; tm ↑ b (m ↑ +∞) ×F (·, b) - F (·, tm)×Y = 1T rχ(a,b) - χ(a,tm ]l1 � ×T × 1χ(tm,b)1 → 0 (m ↑ +∞). 1 1Y 1 1X Здесь мы учитываем, что χ(tm,b) ↓ 0 (m ↑ +∞), а идеальное пространство X имеет порядково непрерывную (квази)норму. Далее, 0 � F (x, b) - F0(x, b) � F (x, b) - F (x, tm), m ∈ Z. Таким образом, для идеального пространства Y имеем ×F (·, b) - F0(·, b)×Y � ×F (·, b) - F (·, tm)×Y . Это влечёт ×F (·, b) - F0(·, b)×Y =0 ⇒ (4.11). Замечание 4.3. Есть случаи, когда равенство (4.11) не выполнено. Например, рассмотрим случай N = J = (a, b), T0[g](x)= g(b - 0)χJ (x), g ∈ G. Тогда T0[g](x)= 0, g ∈ Ω˙ 0 ⇒ ×T0×Ω˙ = 0; T0[χJ ]= χJ ⇒ ×T0×Ω = ×χJ ×Y > 0. 0 0 ×χJ ×X 2. Следствия. Следствие 4.1. Пусть 0 < p � min {q, r} < ∞; X ⊂ S(J, β) - идеальное lp-вогнутое пространство с порядково непрерывной (квази)нормой, и выполнено условие (2.13). Пусть Y = Lq (N, γ), и T - lr-выпуклый монотонный оператор. Тогда выполнено равенство (2.14). Следствие 4.2. Пусть 0 < p � min {q, r} < ∞; X ⊂ S(J, β) - идеальное lp-вогнутое пространство с порядково непрерывной (квази)нормой, и выполнено условие (2.15). Пусть Y = Lq (N, γ), и T - lr-выпуклый монотонный оператор. Тогда выполнено равенство (2.16). Для доказательства этих следствий нам понадобится лемма о свойствах выпуклости пространств Лебега. Лемма 4.1. Пусть 0 < q < ∞. Тогда Y = Lq (N, γ) - идеальное lρ-выпуклое пространство для любых ρ ∈ (0, q]. О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 467 Доказательство. Обозначим 1 ( 1 1 A = 1 1 ρ |ym| 1/ρ1 1 1 1 1 . (4.12) Покажем,что 1 m ( y ρ A � × m×Y 1Y 1/ρ . (4.13) При ρ = q имеем m r q r q q Aq = |ym| dγ = |ym| dγ = ×ym×Y , N m m N m так что (4.13) является равенством. Пусть теперь 0 <ρ< q. Тогда q-ρ r ( ( ρ q/ρ-1 ρ r ( ρ ρ ρ Aq = N |ym| m |yl| l dγ = m N |ym| |yl| l dγ. Затем применим неравенство Гёльдера к каждому члену со степенями p = q/ρ > 1 и p! = q/(q - ρ), 1/p + 1/p! = 1, и получим ⎛r Aq � ⎝ ⎞ q |ym| dγ⎠ ρ/q ⎛ r ⎝ ( y ρ | l| q/ρ ⎞ dγ⎠ q-ρ q ⎛ ⎝ = Aq-ρ r ⎞ q |ym| dγ⎠ ρ/q . m N Поэтому N l m N ⎛ ⎞ρ/q r q ρ Aρ � ⎝ |ym| dγ⎠ = ×ym×Y . m N m Таким образом, получаем неравенство (4.13), что означает lρ-выпуклость идеального пространства Y = Lq (N, γ). Доказательство следствий 4.1 и 4.2. Обозначим ρ = min {q, r} . Тогда p � ρ � r. Согласно лемме 4.1 пространство Y = Lq (N, γ) - lρ-выпуклое, и мы можем применить теорему 2.1 с ρ вместо q. Таким образом, выполнено равенство (4.13) для Y = Lq (N, γ). Доказательство следствия 4.2 аналогично. 2. ОБОБЩЕНИЕ УСЛОВИЙ МОНОТОННОСТИ Аналогичные результаты справедливы для конусов функций со свойствами монотонности относительно заданной положительной функции k ∈ C(J ). Определим Ωk ≡ Ω(X, k)= {g ∈ X : g ?: 0, g(t)/k(t) ↓; g(t)= g(t - 0), t ∈ (a, b)} , (5.1) Ω˙ k ≡ Ω˙ (X, k)= {g ∈ Ωk : g(t)/k(t) → 0,t → b - 0} (5.2) (в этих обозначениях при k(t) ≡ 1 имеем: Ω1 = Ω, Ω˙ 1 = Ω˙ , см. (2.7)). Обозначим Ω˙ k,0 ≡ Ω˙ 0(X, k)= kχ(a,t] : a<t< b , Ωk,0 ≡ Ω0(X, k)= Ω˙ k,0 ∪ kχ(a,b) . (5.3) Теорема 5.1. Пусть 0 <p � q � r < ∞; X ⊂ S(J, β) - идеальное lp-вогнутое пространство с порядково непрерывной (квази)нормой; Y ⊂ S(N, γ) - идеальное lq-выпуклое пространство, и T : Ωk → Y - lr-выпуклый монотонный оператор. 12. Тогда справедливы соотношения где ×T ×Ω˙ k = ×T ×Ω˙ k,0 := sup a<t<b X r×Fk (·, t)×Y ×k(·)χ(a,t] (·)×-1l , (5.4) Fk (x, t)= T [kχ(a,t]](x), a < t < b. (5.5) 468 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН 13. При выполнении дополнительного условия невырожденности ×kχ(a,b)×X = ∞ (5.6) справедливы соотношения ×T ×Ωk = ×T ×Ω˙ k = ×T ×Ω˙ k,0 = sup a<t<b X r×Fk (·, t)×Y ×k(·)χ(a,t] (·)×-1l . (5.7) 14. При наличии вырождения справедливы соотношения ×kχ(a,b)×X < ∞ (5.8) где ×T ×Ωk = ×T ×Ωk,0 := max J -1 ×T ×Ω˙ k,0 , ×Fk (·, b)×Y ×kχ(a,b)(·)×X , (5.9) Fk (x, b)= T [kχ(a,b)](x). (5.10) Замечание 5.1. Отметим, что в невырожденном случае ×kχ(a,b)×X = ∞ ⇒ Ωk = Ω˙ k, (5.11) так как ( 0 � g/k ↓, lim [g(t)/k(t)] > 0 ⇒ g ∈/ X. (5.12) t→b-0 Это означает, что в случае (5.6) справедливо равенство ×T ×Ωk = ×T ×Ω˙ k . Поэтому для вычисления ×T ×Ωk применима формула (5.4). Таким образом, справедливо соотношение (5.7), и часть 2 теоремы 5.1 следует из ее части 1. Доказательство. Формально эта теорема более общая, чем теорема 2.1, но мыможем легко свести её к теореме 2.1. Рассмотрим lr -выпуклый монотонный оператор T : Ω(X, k) → Y. Определим Xk := {f ∈ S(J, β): kf ∈ X} = {f = g/k : g ∈ X} , ×f ×Xk = ×g×X . (5.13) Тогда у нас есть эквивалентность: g ∈ Ω(X, k) ⇔ f = g/k ∈ Ω(Xk, 1); ×f ×Xk = ×kf ×X. (5.14) см. (5.1), (5.2), (5.13). Поэтому ×T ×Ω(X,k) = sup (×T [g]×Y ×g×X :0 ◦= g ∈Ω(X, k) = sup (×T [kf]×Y ×f ×Xk :0 ◦= f ∈Ω(Xk, 1) . Отметим, что Xk, как и X, является идеальным lp-вогнутым пространством с порядково непрерывной (квази)нормой, а оператор Tk : Ω(Xk, 1) → Y ; Tk [f ] := T [kf ], f ∈ Ω(Xk, 1), - lr -выпуклый вместе с оператором T. Замечание 5.1 при этом примет вид замечания 2.1. Таким образом, применима теорема 2.1, и мы получаем все утверждения теоремы 5.1. 6. ПРИЛОЖЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНУСЕ ФУНКЦИЙ СО СВОЙСТВОМ МОНОТОННОСТИ Рассмотрим здесь одно приложение общих результатов, приведенных в разделах 2-5, а именно: вычисление нормы интегрального оператора на конусе функций со свойством монотонности. В нашей статье [5] представлено множество других приложений этих общих результатов в теории весовых пространств Лоренца, при вычислении ассоциированных норм на конусах монотонных функций и т. д. О ВЫЧИСЛЕНИИ НОРМЫ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 469 Пусть K = K(x, τ ) - неотрицательная измеримая функция переменных (x, τ ) ∈ N ⊗J, где (N ; γ) и (J ; μ) - пространства с неотрицательной σ-конечной σ-аддитивной мерой γ и неотрицательной борелевской мерой μ на J = (a, b). ⎛ ⎞1/r r r Trμ[f ](x)= ⎜ ⎝ (a,b) ⎠ K(x, τ )|f (τ )| dμ(τ )⎟ , r ∈ (0, ∞). (6.1) Это lr -выпуклый монотонный оператор. При r = 1 его сужение на множество неотрицательных μ-измеримых функций совпадает с сужением линейного интегрального оператора r T [f ](x)= K(x, τ )f (τ )dμ(τ ). (6.2) (a,b) Здесь применимырезультаты разделов 2-5. В частности, для сужения оператора Trμ на конус Ωk применение теоремы 5.1 дает следующие результаты. Теорема 6.1. Пусть 0 <p � q � r < ∞; X ⊂ S(J, β) - идеальное lp-вогнутое пространство с порядково непрерывной (квази)нормой; Y ⊂ S(N, γ) - lq-выпуклое идеальное пространство, и ×kχ(a,b)×X = ∞. (6.3) Тогда -1 Здесь ×Trμ×Ωk = ×Trμ×Ω˙ k,0 := sup a<t<b ×Trμ[kχ(a,t]]×Y ×kχ(a,t]×X . (6.4) r Trμ[kχ(a,t]](x)= K(x, τ )k(τ )r dμ(τ ), x ∈ N. (6.5) В случае имеем ×Trμ×Ω˙ k = ×Trμ×Ω˙ k,0 (см. (6.4)), J (a,t] ×kχ(a,b)×X < ∞ (6.6) -1 ×Trμ×Ωk = max ×Trμ×Ω˙ k,0 ; ×Trμ[kχ(a,b)]×Y ×kχ(a,b)×X . (6.7) Замечание 6.1. Для сужения на конус Ω = Ω1 неотрицательных убывающих непрерывных слева функций необходимо принять k(τ )= 1 в (6.3)-(6.7). Замечание 6.2. В случае Y = Lq(N, γ) результаты теоремы 6.1 остаются верными, если 0 < p � min {q, r} < ∞, см. следствия 4.1 и 4.2. Замечание 6.3. В качестве конкретизации оператора (6.1) рассмотрим случай, когда (N, γ) = (J, γ) с неотрицательной мерой Бореля γ на J = (a, b), и Trμ совпадает с обобщенным оператором типа Харди ⎛ ⎞1/r r r Тогда Arμ[f ](x)= ⎜ ⎝ (a,x] ⎠ |f (τ )| dμ(τ )⎟ , x ∈ (a, b). (6.8) ⎛ r Arμ[kχ(a,t]](x)= ⎜ ⎝ ⎞1/r k(τ )r dμ(τ )⎟ ⎠ , x � t, (a,x] ⎛ r Arμ[kχ(a,t]](x)= ⎜ ⎝ (a,t] ⎞1/r k(τ )r dμ(τ )⎟ ⎠ , x > t, (6.9) 470 Э. Г. БАХТИГАРЕЕВА, М. Л. ГОЛЬДМАН и мы имеем равенства в случае (6.3): J1 1 1 1-1 ×Arμ×Ωk = ×Arμ×Ω˙ k,0 := sup a<t<b 1Arμ[kχ(a,t]]1Y 1kχ(a,t]1X ; (6.10) в случае (6.6) формула (6.10) остается верной для ×Arμ×Ω˙ k , но J 1 1 1 1-1 . (6.11) ×Arμ×Ωk = max ×Arμ×Ω˙ k,0 ; 1Arμ[kχ(a,b)]1Y 1kχ(a,b)1X