Прямые и обратные задачи спектрального анализа для дифференциальных операторов произвольных порядков с неинтегрируемыми регулярными особенностями

Аннотация

Дается краткий обзор результатов по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков с неинтегрируемыми регулярными особенностями. Установлены свойства спектральных характеристик, доказаны теоремы о полноте корневых функций в соответствующих пространствах, теоремы о разложении и равносходимости, приводится решение обратной спектральной задачи для этого класса операторов.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 408 2. Дифференциальные операторы на полуоси 409 3. Дифференциальные операторы на конечном интервале 415 4. Дифференциальные операторы с особенностью во внутри интервала 417 Список литературы 420 Светлой памяти Николая Дмитриевича Копачевского. 1. ВВЕДЕНИЕ Цель статьи - дать краткий обзор результатов по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов произвольных порядков с неинтегрируемыми регулярными особенностями. Рассмотрим дифференциальное уравнение - n 2 y(n)(x)+ ) ( νj (x - a)n-j ) + qj (x y(j)(x) = λy(x), n � 2, 0 � x � T � ∞, (1.1) j=0 где 0 � a < T, νj - комплексные числа, а qj (x) - комплекснозначные функции, условия на которые будут даны позднее. Пусть μ1,... , μn - корни характеристического многочлена n j-1 δ(μ) := ) νj тт(μ - k), νn := 1, νn-1 := 0, j=0 k=0 причем для определенности μk -μj ∗= sn (s = 0, ±1, ±2,.. .), Re μ1 < ... < Re μn (остальные случаи вносят незначительные изменения). Спектральные свойства операторов зависят от расположения чисел μ1,... , μn на комплексной плоскости. Обозначим θνj := n - 1 - Re(μn - μ1) - j + ν. Дифференциальные уравнения с неинтегрируемыми особенностями возникают в различных разделах математики и приложениях. К уравнению (1.1) также сводятся дифференциальные уравнения с точками поворота, например, уравнение z(n)(t) = λr(t)z(t), r(t) ∼ αtγ , t → 0, и многие другие (см. [1, 8, 10]). Уравнение (1.1) является в некотором смысле каноническим для широкого класса Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-01-00102). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 408 ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 409 уравнений с особенностями и точками поворота. При n = 2 прямые и обратные спектральные задачи для операторов с особенностями изучены достаточно полно. Случай n > 2 является существенно более трудным. Именно этому случаю и посвящен настоящий обзор, хотя приведенные результаты верны и для n = 2. Исследованию дифференциальных операторов при n > 2 с интегрируемыми коэффициентами посвящена обширная литература (см. [2, 3, 5] и библиографию в них). Наличие неинтегрируемой особенности вносит значительные качественные изменения в исследовании прямых и обратных спектральных задач. Важную роль в спектральной теории дифференциальных операторов играют специальные фундаментальные системы решений (ФСР), обладающие требуемыми аналитическими и асимптотическими свойствами. При построении таких ФСР для уравнения (1.1) возникают существенные трудности. В частности, в отличие от уравнений без особенностей, важной и технически сложной задачей является получение асимптотических свойств множителей Стокса, связывающих построенные ФСР. Существенную роль в прямых и обратных задачах для уравнения (1.1) играет также введенная в [9] так называемая матрица Вейля. Опираясь на свойства построенных ФСР, множителей Стокса и матрицы Вейля, проведено исследование спектральных свойств операторов с неинтегрируемыми особенностями, доказаны теоремы о полноте корневых функций в соответствующих пространствах, теоремы о разложении и равносходимости, получено решение обратной спектральной задачи для этого класса операторов. Несколько слов о структуре статьи. В разделах 2-3 исследуется уравнение (1.1) при a = 0, т. е. в случае, когда особенность находится на конце интервала. При этом в разделе 2 изучается случай полуоси, а раздел 3 посвящен случаю конечного интервала. В разделе 4 исследуется более трудный случай a > 0, когда особенность лежит внутри интервала. Для удобства читателя изложение материала в разделах 2-4 независимо друг от друга. Этот краткий обзор не претендует на полноту. В нем изложены только основные результаты по спектральной теории дифференциальных операторов с неинтегрируемыми регулярными особенностями для случая n > 2. Более подробную информацию можно найти в работах, приведенных в библиографическом списке. Отметим, что в последнее время появились важные работы [6, 7], в которых исследуются дифференциальные системы с неинтегрируемыми регулярными особенностями. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ПОЛУОСИ Рассмотрим дифференциальное уравнение - n 2 fy := y(n) + ) ( νj xn-j ) + qj (x y(j) = λy, (2.1) на полуоси x > 0. Положим qνj (x) := j=0 j q(ν) (q(ν)(x) при x � 1, j (x)xθνj при x < 1. j Будем говорить, что qj (x) ∈ Wj, если функции q(ν)(x) абсолютно непрерывны при ν = 0,j - 1 и qνj (x) ∈ L(0, ∞) при 0 � ν � j � n - 2. Будем говорить,что f ∈ V, если qj (x) ∈ Wj. Построим специальные ФСР для уравнения (2.1) и установим свойства множителей Стокса для этих систем. Построение проводится в три этапа. 1. Рассмотрим «простейшее» уравнение без спектрального параметра: n-2 f0y := y(n)(x)+ ) j=0 νj xn-j y(j)(x) = y(x) (2.2) - в комплексной x-плоскости. Пусть x = r exp(iϕ), r > 0, ϕ ∈ (-π, π],xμ := exp(μ(ln r + iϕ)), а Π - x-плоскость с разрезом по полуоси x � 0. Пусть числа cj0, j = 1,n выбраны так, чтобы n тт cj0 = (det[μν-1] )-1. Тогда функции j=1 ∞ 1. j,ν=1,n k -1 Cj (x) = xμj ) cjkxnk, cjk = cj0( тт δ(μj + sn) (2.3) k=0 s=1 410 В. А. ЮРКО - j j,ν=1,n являются решениями уравнения (2.2). В силу (2.3) функции Cj (x) являются регулярными в области Π и det[C(ν-1)(x)] ≡ 1. Обозначим εk = exp ( 2πi(k-1) ), Sk = {x : arg x ∈ ( kπ , (k+1)π ) , S∗ = S¯n 1, S∗ = S¯n 2k+1 ∪ n n n 1 - k - S¯n-2k+2, k = 2, n, Qk = {x : arg x ∈ max ( - π, (-2k + 2) n ), min (π, (2n - 2k + 2) n )l , k = 1, n. π π k При x ∈ S∗ εν k уравнение (2.2) имеет решения типа Йоста ek (x), k = 1,n вида e(ν-1)(x) = k exp(εk x)zkν(x), ν = 0,n - 1, где функции zkν (x) являются решениями интегральных уравнений (2.4): ) 1 r ∞ ( n ν+1 -ν n-2 ( ) m m-n n zkν (x) = 1 + x j=1 εj εk exp((εk - εj )(t - x)) m=0 νmεk t zkm(t) dt (2.4) (здесь arg t = arg x, |t| > |x|). Разложим ek (x) по ФСР {Cj (x)}j=1,n: n kj ek (x) = ) β0 Cj (x). (2.5) j=1 В частности, это дает аналитическое продолжение для ek (x) в Π-. Функции ek (x) образуют ФСР уравнения (2.2), причем det[e(ν-1)(x)] = det[εν-1] . Имеет место асимптотическая формула e(ν-1) k ν-1 k,ν=1,n 2. k,ν=1,n -1 k (x) = εk exp(εk x)(1 + O(x )), |x|→ ∞, x ∈ Qk. (2.6) k Отметим, что формулы (2.6) при x ∈ S∗ очевидны. Однако удается доказать, что (2.6) действуют в более широких секторах Qk, что является важным для дальнейшего исследования фактом. Лемма 2.1. Справедливы соотношения β0 0 μj kj = β1jεk , j, k = 1, n, (2.7) n тт β0 μj -1 j-1 j=1 1j = (det[εk ]k,j=1,n) det[εk ]k,j=1,n ∗= 0. (2.8) n Доказательство. В самом деле, при arg x ∈ ( - π, π - 2πs ) имеем n kj ek (εsx) = ) β0 (εs)μj Cj (x). (2.9) j=1 Из построения функций ek (x) следует, что e1(εsx) = es+1(x). Подставляя (2.5) и (2.9) в это равенство и сравнивая соответствующие коэффициенты, получаем (2.7). После этого (2.8) становится очевидным. kj Формулы (2.6) дают связи между множителями Стокса β0 , что сыграет важную роль при изучении свойств множителей Стокса для уравнения (2.1). 2. Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение f0y = λy = ρny, x > 0. (2.10) Очевидно, что если y(x) - решение уравнения (2.2), то y(ρx) удовлетворяет (2.10). Положим ∞ Cj (x, λ) = ρ-μj Cj (ρx) = xμj k=0 cjk (ρx)nk. Функции Cj (x, λ) являются целыми по λ решениями j уравнения (2.10), причем det[C(ν-1)(x, λ)] j,ν=1,n ≡ 1. В каждом секторе Sk0 = {ρ : arg ρ ∈ ( , k0π n n (k0 +1)π ) корни Rk уравнения Rn = 1 можно занумеровать так, чтобы Re(ρR1) < ... < Re(ρRn), ρ ∈ Sk0 . Ясно, что Rk = exp(2iπωk /n), где ωk - перестановка чисел 0,n - 1, своя для каждого сектора. Из вышеизложенного вытекает следующее утверждение. Теорема 2.1. В каждом секторе Sk0 дифференциальное уравнение (2.2) имеет ФСР B0 = {yk (x, ρ)}k=1,n такую, что yk(x, ρ) = yk(ρx), yk(x) = eωk +1(x), 1 (ν) ν M0 1 1yk (x, ρ)(ρRk )- exp(-ρRkx) - 11 � |ρ|x , ρ ∈ S¯k0 , |ρ|x � 1, ν = 0,n - 1, det y(ν-1) n(n-1)/2 ν-1 k (x, ρ)lk,ν=1,n ≡ ρ Ω, Ω := det Rk lk,ν=1,n ∗= 0, ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 411 n yk(x, ρ) = ) b0 ρμj Cj (x, λ), b0 = β0 Rμj , β0 ∗= 0, kj j=1 kj 1j k 1j где константа M0 зависит только от νj. 3. Построим теперь ФСР уравнения (2.1) методом возмущений. Обозначим C∗ (ν) j (x, λ) = det[Ck (x, λ)]ν=0,n-2; k=1,n\n-j+1, y∗ n-j ( (n-1)(n-2)/2 1 (ν) j (x, ρ) = (-1) ρ Ω)- - det yk (x, ρ)lν=0,n 2; k=1,n\j, ( Rν ( Fkν (ρx) = k exp(ρRk x), |ρ|x > 1, ∗ exp(-ρRk x), |ρ|x > 1, (ρx)μ1 -ν, |ρ|x � 1, Fk (ρx) = (ρx)n-1-μn , |ρ|x � 1, U 0 (ν) ν -1 0,∗ ∗ ∗ -1 kν (x, ρ) = yk (x, ρ)(ρ Fkν (ρx)) , Uk (x, ρ) = yk (x, ρ)(Fk (ρx)) , n n-j+1 g(x, t, λ) = )(-1)n-j Cj (x, λ)C∗ j=1 (t, λ) = 1 ρn-1 n j ) yj (x, ρ)y∗(t, ρ), j=1 m | | J (ρ) = ρ Re(μ1 -μn) r | ρ|-1 tθn-m r ∞ | |qm(t)| dt + |ρ m-n+1 |qm(t)| dt, J (ρ) = n-2 ) Jm(ρ). 0 |ρ|-1 m=0 Имеют место оценки |U 0 (x, ρ)| � M1, |U 0,∗(x, ρ)| � M1, x � 0, ρ ∈ S¯k , kν 1 ∂ν 1 k 0 n ) 1 1 μj -ν n-1-μj 1 1 ∂xν g(x, t, λ) � M2 Q |x j=1 t |, |ρx| � C0, t � x, n-2 r ∞ J (ρ) � |ρ| , |ρ| � 1, Q := ) m=0 0 |q0m(t)| dt, где M1 зависит от νj, а M2 - от νj и C0. Пусть функции Sj (x, λ) являются решениями интегральных уравнений S(ν) (ν) r x ∂ν n-2 ( ) (m) j (x, λ) = Cj (x, λ) - 0 ∂xν g(x, t, λ) m=0 qm(t)Sj (t, λ) dt, ν = 0,n - 1. Тогда Sj (x, λ) - целые по λ решения уравнения (2.1), причем det S(ν-1)(x, λ)l ≡ 1, S(ν) j j,ν=1,n j (x, λ) = O(xμj -ν ), (Sj (x, λ) - Cj (x, λ))x-μj = o(xμn -μ1 ), x → 0. Пусть Sk0,α = {ρ : ρ ∈ Sk0 , |ρ| > α} , ρ0 = 2M1Q + 1. При k = 1, n, ρ ∈ S¯k0,ρ0 рассмотрим систему интегральных уравнений n-2 r ∞ kν Ukν (x, ρ) = U 0 (x, ρ)+ ) Akνm(x, t, ρ)Ukm(t, ρ) dt, x � 0, ν = 0,n - 1, (2.11) где m=0 0 ⎧ ⎪ k ) Fjν (ρx)U 0 (x, ρ)F ∗(ρt)U 0,∗(t, ρ), t � x, qm(t)Fkm(ρt) ⎪⎨ - j=1 jν j j kν Akνm(x, t, ρ) = ρn-1-mF (ρx) ⎪ n ) F (ρx)U 0 (x, ρ)F ∗(ρt)U 0,∗(t, ρ), t > x. n-2 r ∞ ⎩ ⎪ jν j=k+1 jν j j M1Q Имеет место оценка ) m=0 0 |Akνm(x, t, ρ)| dt � M1J (ρ) � |ρ| . Поэтому система (2.11) при ρ ∈ S¯k0,ρ0 имеет единственное решение, причем равномерно по x � 0 Ukν (x, ρ) - U 0 (x, ρ) = O(ρ-1), ρ ∈ S¯k ,ρ . (2.12) kν 0 0 Теорема 2.2. При x > 0, ρ ∈ S¯k0,ρ0 существует фундаментальная система решений диф- (ν) ференциального уравнения (2.1) B = {Yk (x, ρ)}k=1,n вида Yk (x, ρ) = ρν Fkν (ρx)Ukν (x, ρ), где k функции Ukν (x, ρ) являются решениями системы (2.11) и верно (2.12). Функции Y (ν)(x, ρ) при 412 В. А. ЮРКО k0,ρ0 k0,ρ0 k k,ν=1,n каждом x > 0 регулярны по ρ ∈ S , непрерывны по ρ ∈ S¯ и det Y (ν-1)(x, ρ)l = ρn(n-1)/2Ω(1 + O(ρ-1)) при |ρ|→ ∞. Функции Yk(x, ρ) удовлетворяют соотношению ) 1 r x ( k n-2 ∗ ( ) (m) 0 Yk (x, ρ) = yk(x, ρ) - ρn-1 j=1 yj (x, ρ)yj (t, ρ) m=0 qm(t)Yk (t, ρ) dt + 1 r ∞ ( n n-2 ( x + ρn-1 ) j=k+1 j yj (x, ρ)y∗(t, ρ) k ) qm(t)Y (m)(t, ρ) m=0 dt. Справедливо представление причем n Yk(x, ρ) = ) bkj (ρ)Sj (x, λ), (2.13) j=1 bkj (ρ) = b0 (ρ)ρμj (1 + O(ρ-1)), |ρ|→ ∞, ρ ∈ S¯k ,ρ . (2.14) kj 0 0 В доказательстве нуждается лишь асимптотическая формула (2.14) для множителей Стокса bkj (ρ) из (2.13), которая является наиболее важным фактом в теореме. Пусть ρ фиксировано, x � |ρ|-1. Имеем n ⎫ U 0 ) kj ⎪ ⎪ k0(x, ρ) = n j=1 b0 (ρx)μj -μ1 Cˆj (x, λ), ⎪ ⎬ (2.15) Uk0(x, ρ) = ) bkj (ρ)(ρ)-μ1 xμj -μ1 Sˆj (x, λ), ⎪ ⎭ ⎪ j=1 где Cˆj (x, λ) = x-μj Cj (x, λ), Sˆj (x, λ) = x-μj Sj (x, λ), Sˆj (0, λ) = Cˆj (0, λ) = cj0 ∗= 0. Из (2.15) имеем n Uk0(x, ρ) - U 0 (x, ρ) = ) (bkj (ρ)ρ-μ1 - b0 ρμj -μ1 Sj (x, λ)+ k0 j=1 kj xμj -μ1 ˆ n kj + ) b0 (ρx)μj -μ1 (Sˆj (x, λ) - Cˆj (x, λ)). (2.16) Обозначим j=1 k0 Fk1(x, ρ) = Uk0(x, ρ) - U 0 (x, ρ), ( (2.17) Fk,s+1(x, ρ) = s0 Fks(x, ρ) - Fks(0, ρ)Sˆs(x, λ)c-1 xμs -μs+1 , s = 1,n - 1. Лемма 2.2. Справедливы соотношения ks (bks(ρ)ρ-μ1 - b0 ρμs -μ1 )cs0 = Fks(x, ρ), s = 1, n, (2.18) s-1 Fks(x, ρ) = ((Uk0(x, ρ) - U 0 (x, ρ)) - )(bkj (ρ)ρ-μ1 - b0 ρμj -μ1 )xμj -μ1 Sˆj (x, λ))xμ1 -μs , s = 1, n. k0 kj j=1 (2.19) Доказательство. При s = 1 равенство (2.18) следует из (2.16) при x = 0, а равенство (2.19) очевидно. Предположим теперь, что (2.18), (2.19) доказаны для s = 1,... ,N - 1. Тогда N -1 (Uk0(x, ρ) - U 0 (x, ρ)) - ( k0 N -2 ) j=1 kj )) (bkj (ρ)ρ-μ1 - b0 ρμj -μ1 )xμj -μ1 Sˆj (x, λ xμ1 -μN = = ((Uk0(x, ρ) - U 0 (x, ρ)) - )(bkj (ρ)ρ-μ1 - b0 ρμj -μ1 )xμj -μ1 Sˆj (x, λ)) xμ1 -μN -1 xμN -1 -μN - k0 - (bk,N -1(ρ)ρ- j=1 - bk,N -1ρ kj )SˆN -1(x, λ)x = FkN (x, ρ), μ1 0 μN -1 -μ1 μN -1 -μN т. е. верно (2.19) при s = N. Теперь равенство (2.16) запишем в виде n n FkN (x, ρ)= )(bkj (ρ)ρ-μ1 -b0 ρμj -μ1 )xμj -μN Sˆj (x, λ)+ )(b0 (ρx)μj -μ1 (Sˆj (x, λ)-Cˆj (x, λ))xμ1 -μN . kj j=N kj j=1 kN Отсюда находим FkN (0, ρ) = (bkN (ρ)ρ-μ1 - b0 ρμN -μ1 )cN 0, т. е. верно (2.18) при s = N. Лемма 2.2 доказана. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 413 Соотношение (2.11) при ν = 0 запишем в виде ) 0 1 ( r x n 0,∗ n-1-μn Fk1(x, ρ) = ρn-1 - ( 0 j=1 (Uj0(x, ρ)Uj (t, ρ))(ρt) r ∞ ( n Vk (t, ρ) dt + + ) U 0 (x, ρ)U 0,∗(t, ρ))F ∗(ρt) Vk(t, ρ) dt , (2.20) n-2 j0 j j 0 j=k+1 где Vk(t, ρ) = m=0 qm(t)ρmFkm(ρt)Ukm(t, ρ). Так как при t � x � |ρ|-1 n ) U 0 0,∗ μn -μ1 -μ1 1-n+μn то получаем j=1 n j0(x, ρ)Uj (t, ρ) = ρ x t g(x, t, λ), ) 0 1 0,∗ 1 μn -μ1 -1 1 1 1 1 j=1 Uj0(x, ρ)Uj (t, ρ) � M3|(ρx) |, 0 � t � x � |ρ| . (2.21) Лемма 2.3. Имеют место равенства r ∞ ( n Fks(0, ρ) = ρμs-μ1 -n+1cs0 ) b0 F ∗(ρt)U 0,∗(t, ρ) Vk (t, ρ) dt, (2.22) 0 ( x n 1 ( μ1 -μs r ) 0 j=k+1 0,∗ js j j n-1-μn Fks(x, ρ) = ρn-1 s-1 - x 0 r ∞ ( n j=1 Uj0(x, ρ)Uj (t, ρ) (ρt) Vk(t, ρ) dt - - ) xμf -μs ) b0 μf -μ1 ∗ 0,∗ R=1 0 j=k+1 jRρ (SˆR(x, λ) - CˆR(x, λ))Fj (ρt)Uj (t, ρ) Vk (t, ρ) dt + ) r ∞ ( n + n ( ) b0 μξ -μ1 ˆ ∗ 0,∗ -1 0 j=k+1 ξ=s jξρ Cξ (x, λ) Fj (ρt)Uj (t, ρ) Vk(t, ρ) dt , x � |ρ| . (2.23) Доказательство. При s = 1 равенства (2.22), (2.23) следуют из (2.20) с учетом (2.15). Предположим теперь, что (2.22), (2.23) доказаны при s = 1,... , N. Тогда, используя (2.17), вычисляем N 0 Fk,N +1(x, ρ) = (FkN (x, ρ) - FkN (0, ρ) = SˆN (x, λ)c-1 )xμN -μN +1 = 1 ( r x ( n = - xμ1 -μN +1 )(U 0 (x, ρ)U 0,∗(t, ρ) (ρt)n-1-μn Vk (t, ρ) dt - N -1 ) - ρn-1 xμf -μN +1 0 ) ( r ∞ n b0 j0 j j=1 μf-μ1 ∗ 0,∗ R=1 0 j=k+1 jRρ (SˆR(x, λ) - CˆR(x, λ))Fj (ρt)Uj (t, ρ) Vk(t, ρ) dt + + xμN -μN +1 ) r ∞ ( n n ( ) b0 μξ -μ1 μξ -μN ˆ 0 μN -μN +1 ˆ 0 j=k+1 ξ=N jξρ x Cξ (x, λ) - bjN ρ CN (x, λ) - - b0 ρμN -μN +1 (SˆN (x, λ) - CˆN (x, λ)) F ∗(ρt)U 0,∗(t, ρ))Vk (t, ρ) dt = jN j j 1 ( r x ( n = - xμ1 -μN +1 ) U 0 (x, ρ)U 0,∗(t, ρ) (ρt)n-1-μn Vk(t, ρ) dt - ρn-1 N - ) xμf -μN +1 r ∞ ( 0 n ) b0 j0 j j=1 μf-μ1 ∗ 0,∗ R=1 0 j=k+1 jRρ (SˆR(x, λ) - CˆR(x, λ))Fj (ρt)Uj (t, ρ) Vk(t, ρ) dt + ) ) 0 r ∞ ( n ( n + b μξ -μ1 μs -μN +1 ˆ ∗ 0,∗ 0 j=k+1 ξ=N +1 jξρ x Cξ (x, λ) Fj (ρt)Uj (t, ρ) Vk(t, ρ) dt , т. е. (2.23) верна при s = N + 1. Теперь при x → 0 из (2.23) при s = N + 1 с учетом (2.21) получаем (2.22) при s = N + 1. Лемма 2.3 доказана. 414 В. А. ЮРКО Из равенств (2.18), (2.22) находим 1 r ∞ ( n bks(ρ)ρ-μs - b0 = ) b0 F ∗(ρt)U 0,∗(t, ρ) Vk(t, ρ) dt. (2.24) ks ρn-1 0 js j j j=k+1 ks Используя (2.24) и (2.12), получаем оценку bks(ρ)ρ-μs - b0 0 = O(J (ρ)) = O(ρ-1), |ρ|→ ∞, ρ ∈ S¯k , т. е. верно (2.14). Теорема 2.2 доказана. Отметим, что имеют место оценки |Y (ν)(x, ρ)(ρRk )-ν exp(-ρRk x) - 1)| � M4 , x � 1, ρ ∈ S¯k ,ρ . k |ρ| 0 0 Обозначим Γ±1 := {±λ � 0}. Через Π±1 обозначим λ-плоскость с разрезом вдоль Γ±1. Теорема 2.3. k k k0 k k,ν=1,n k 1. Уравнение (2.1) имеет ФСР Φk(x, λ), k = 1, n, такую что Φk(x, λ) ∼ ck0xμk , x → 0, Φ (x, λ) = O(exp(ρR x)), x → ∞, ρ ∈ S , причем det[Φ(ν-1)(x, λ)] ≡ 1, Φ (x, λ) = n Sk(x, λ)+ j=k+1 Mkj (λ)Sj (x, λ). Матрица M (λ) = det[Mkj (λ)]k,j=1,n, где Mkj (λ) = δkj (k � j) называется матрицей Вейля для f. 2. Функции Mkj (λ) регулярны в Π(-1)n-k исключением не более чем счетного ограниченного множества полюсов Λt и непрерывны в Π n-k за исключением ограниченных мноkj жеств Λkj. (-1) 3. Mkj (λ) = O(ρμj -μk ) при |λ|→ ∞. 4. Функции Msk (λ) - Ms,s+1(λ)Ms+1,k (λ) регулярны при λ ∈ Γ(-1)n-s \ Λ, где Λ := ∪s,k Λsk. Обратная задача ставится следующим образом: по заданной матрице Вейля M (λ) найти дифференциальный оператор f. Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи. Для этого наряду с f рассмотрим оператор f˜ того же вида, но с другими коэффициентами q˜j (x). Условимся, что если некоторый символ b обозначает объект, относящийся к f, то ˜b будет обозначать аналогичный объект, относящийся к f˜, и ˆb := b - ˜b. Теорема 2.4. Если M (λ) = M˜ (λ), то f = f˜. Используя полученные результаты и метод спектральных отображений, получим теперь алгоритм решения этой нелинейной обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Центральную роль здесь будет играть так называемое основное уравнение обратной задачи. j,k-1 j=1,n 1,k=1,n jk j,k=1,n s s,k=1,n Обозначим Y = [δ ] , E = [δ ] , Φ(x, λ) = [Φ(k-1)(x, λ)] , - Φ∗ (r-1) j (x, λ) = det[Φk (x, λ)]r=1,n-1, k=1,n\n-j+1, Φ∗(x, λ) = [(-1) n-k Φ∗ (x, λ)] , n-k+1 k=1,n A0(λ) = Mˆ (λ)(M (λ))-1 , (y(x), z(x)⊗R = ) Lkj (x)y(k)(x)z (j) (x), n-k-1 k+j�n-1 Lkj (x) = ) (-1)sCj p(s-j) (x), pj (x) = νjxj-n + qj (x), pn(x) = 1, pn 1(x) = 0. s=j s s+k+1 - Пусть f˜ ∈ V - известный оператор. Рассмотрим контур γ = γ-1 ∪ γ0 ∪ γ1 в λ-плоскости, где γ0 - ограниченный замкнутый контур, охватывающий множество Λ ∪ Λ˜ , а γ±1 - двусторонний разрез вдоль луча {λ : ±λ > 0, λ ∈/ int γ0}. При λ ∈ γ положим g(x, λ) = Φ˜ ∗(x, λ)A(λ)Y T , ϕ(x, λ) = T [χ(-1)n-k+1 (λ)Φk (x, λ)]k=2,n, N (λ) = E - χ+1(λ)χ-1(λ)Y A0(λ)Y , ( 1, λ ∈ γ0 ∪ γ±1, ( A0(λ), λ ∈ γ0, χ±1(λ) = 0, λ ∈ γ∓1 , A(λ) = [δj,k-1 χ(-1)k-j Mˆ j,j+1(λ)] j,k=1,n , λ ∈ γ1 ∪ γ-1. Теорема 2.5. При каждом фиксированном x > 0 функция ϕ(x, λ) является решением линейного интегрального уравнения ϕ˜(x, λ) = N (λ)ϕ(x, λ)+ где H(x, λ, μ) = (ϕ˜(x, λ), g(x, μ)⊗R˜. 1 r 2πi γ H(x, λ, μ) μ - λ ϕ(x, μ) dμ, λ ∈ γ, (2.25) ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 415 Уравнение (2.25) называется основным уравнением обратной задачи. Обозначим (diag [(ρRk )μk exp(-ρRkx)]k=2,n , |ρ|x > 1, Ω(x, λ) = k=2,n diag (x-Rk )μk l , |ρ|x � 1, γtt = {λ : λ ∈ γ1 ∪ γ-1, inf |λ - μ| � δ0 > 0, μ ∈ γ0}, γt = γ \ γtt. Введем банахово пространство n-1 B = Ln-1 t n-1 2 (γ ) ⊕ L∞ функций z(λ) = [zj (λ)]j=1,n-1 с нормой z B = j=1 ( zj L2 (γ×) + zj L∞(γ×× )). Теорема 2.6. При x > 0 основное уравнение (2.25) имеет единственное решение в классе Ω(x, λ)ϕ(x, λ) ∈ B, причем sup Ω(x, λ)ϕ(x, λ) B < ∞. x Обозначим 1 r γ αjk(x) = 2πi j g(j) (x, λ)ϕ(k) (x, λ) dλ, j + k � n - 1, tjk(x) = - ) CsCk αs k 1,j s(x), j > k, t (x) = δ , j � k, j s=k+1 s-1 - - - jk jk n-k-1 n-s ξk(x) = ) s=0 Cj ) j=k+1 ( j+s C k j-1 p˜j+s(x)αj -k- 1,s(x)+ + δs0(-1)j-k j-k-1 ) Cr p˜(j-k-1-r) r=0 j-k-1 n-2 j (x)αr0(x) , k = 0,n - 2, ψk (x) = ξk(x) - ) j=k+1 ψj (x)tjk(x), k = 0,n - 2. Приведем теперь алгоритм решения обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Пусть M - множество матриц M (λ) = det [Mkj (λ)]k,j=1,n , Mkj (λ) = δkj (k � j), обладающих свойствами 2-4 из теоремы 2.3. Теорема 2.7. Для того, чтобы матрица M (λ) ∈ M была матрицей Вейля для некоторого оператора f ∈ V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1. (асимптотика) существует f˜ такой, что Mˆ k,k+1(λ) = O(λ-1), k = 1,n - 1 при |λ|→ ∞; 2. при x > 0 уравнение (2.25) имеет единственное решение в классе Ω(x, λ)ϕ(x, λ) ∈ B, причем sup Ω(x, λ)ϕ(x, λ) B < ∞; x 3. ψj (x) ∈ Wj. Оператор f строится по формуле qk(x) = q˜k (x)+ ψk (x), k = 0,n - 2. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ Рассмотрим следующую несамосопряженную краевую задачу L: - n 2 fy := y(n) + ) ( νj xn-j ) + qj (x y(j) = λy, 0 < x < T, n = 2m, (3.1) j=0 y(x) = O(xμm+1 ), x → 0, (3.2) τj -1 Vj (y) := y(τj )(T )+ ) vjky(k) = 0, j = 1, m, (3.3) k=0 j где 0 � τj � n-1, τj ∗= τi при j ∗= i, qj (x) - комплекснозначные функции, причем q(ν)(x) абсолютно (ν) непрерывны при ν = 0,j - 1, а qj (x)xθνj при ν = 0, j. Пусть {Sj (x, λ)}j=1,n - построенная выше целая по λ ФСР уравнения (3.1) при условии Sj (x, λ) ∼ cjxμj , x → 0, cj ∗= 0. Положим Δ(λ) := det[Vp(Sj (x, λ))]p=1,m,j=m+1,n. Нули функции Δ(λ) совпадают с собственными значениями задачи L. Функция Δ(λ) называется характеристической функцией задачи L вида (3.1)-(3.3). 416 В. А. ЮРКО Теорема 3.1. Краевая задача L имеет счетное множество собственных значений {λl }, причем λl = (-1)m((l + θ)π/T + O(l-1))n, l → ∞, причем θ зависит только от μ1,... , μn. Все собственные значения, начиная с некоторого, являются простыми. Доопределим линейные формы Vp при p = 1,n так, чтобы τj ∗= τi при j ∗= i. Существуют решения Ψk (x, λ), k= 1,n уравнения (3.1), удовлетворяющие условиям Ψk (x, λ) ∼ ckxμk , x → 0, Vp(Ψk ) = 0, p = 1,n - k. Тогда n det Ψ(ν-1) ) k (x, λ)lk,ν=1,n ≡ 1, Ψk (x, λ) = Sk(x, λ)+ Mkj0(λ)Sj (x, λ). j=k+1 Матрица M0(λ) = det [Mkj0(λ)]k,j=1,n , где Mkj0(λ) = δkj (k � j), называется матрицей Вейля для f. Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи восстановления f и Vp по матрице Вейля. Теорема 3.2. Если M (λ) = M˜ (λ), то f = f˜ и Vp = V˜p, p = 1, n. (r-1) (x, λ) Обозначим μ∗ = n - 1 - μ¯n-k+1, Ψ∗(x, λ) = det Ψ l r=1,n 1, j=1,n n k+1, 1. k j ⎧ n - \ - - ⎪ ) ( 1)k-1Ψ ⎪ n-k+1 k (x, λ)Ψ∗ (t, λ¯), x � t, ⎨k=m+1 G(x, t, λ) = m ⎪)(-1)k Ψn ⎪⎩k=1 k -k+1(x, λ)Ψ∗ (t, λ¯), x � t. m+1 Лемма 3.1. Пусть f (t)tμ∗ 0 ∈ L(0,T ), Δ(λ) ∗=0. Положим y(x) = Г T G(x, t, λ)f (t) dt. Тогда fy - λy = f, y(x) = o(xμm ), x → 0, Vp(y) = 0, p = 1, m. Верно и обратное утверждение. Функция G(x, t, λ) называется функцией Грина задачи. Она является мероморфной по λ с полюсами в точках λ = λl. Если λl - простой полюс, то Res G(x, t, λ) = -αlϕl(x)ϕ∗(t), αl = ( r T ϕl(t)ϕ∗(t) dt -1, λ=λl l 0 l l где ϕl(x) и ϕ∗(x) - собственные функции задачи L и сопряженной задачи L∗, соответственно. Пусть λ = ρn, λ0 = (-1)m((l + θ)π/T )n, λ0 = (ρ0)n, ε0 > 0, G0 = {ρ : |ρ - ρ0| � ε0 . 2. l l l Теорема 3.3. Пусть r T ∂ν+j G(x, t, λ) yνj (x, λ) = f (t) dt, ν, j = 0,n - 1, 0 ∂xν∂tj m+1 где f (t)tκ ∈ L(0,T ), κ � Re μ∗ - j. Тогда при ρ ∈ G0, |ρ| � ρ0, 0 < x < T справедливы оценки ν+j-m+1+±κ∓ |yνj (x, λ)| � ω(ρ)|ρ| ( m +±κ∓ , |ρ|x � 1, μ∗ -j-κ |yνj (x, λ)| � ω(ρ)|xμm+1 -ν | |ρj-μ∗ | + Ω|x m | , |ρ|x � 1, где m - (0, κ � Re μ∗ j, Ω = m 1, κ > Re μ∗ - j, (κ⊗ = max(κ, 0) и ω(ρ) = o(1) при |ρ|→ ∞. Применение теоремы 3.3 и метода контурного интегрирования дает возможность доказать теоремы о полноте, разложении и равносходимости. Пусть α - вещественное число, а 1 � p < ∞. Рассмотрим банахово пространство Bαp = {f (x) : f (x)x-α ∈ Lp(0,T )}, снабженное нормой p f α,p = f (x)x-α L (0,T ). Если 1 � s � p < ∞ и β - α < 1/s - 1/p, то пространство Bαp плотно вложено в Bβs. η = max(0, - Re μm+1). m+1 Обозначим ψ = Re μm+1, ϕ = min(0, - Re μm), γ = min(0, Re μ∗ ), Теорема 3.4. Система корневых функций краевой задачи L полна в пространстве Bβs при β < ψ + 1/s. Следствие 3.1. Система корневых функций краевой задачи L полна в пространстве Ls(0,T ) при Re μm+1 > -1/s. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 417 0 Теорема 3.5. Пусть функция f (t)tϕ абсолютно непрерывна на [0,T ], f (t)tϕ-1 ∈ L(0,T ), и если τ1 ... τm = 0, то f (T ) = 0. Положим y(x, λ) = Г T G(x, t, λ)f (t) dt. Тогда lim max 1 ( 1 r y(x, λ) dλ + f (x) 1 = 0, 1xη N →∞ 0�x�T 1 1 2πi ΓN 1 где ΓN = {λ : |λ| = rN } - окружности радиуса rN → ∞, лежащие на положительном расстоянии от собственных значений задачи L. В частности, если спектр задачи L простой, то lim max 1xη ( N (x) - ) αlϕl(x) r T 1 f (t)ϕ∗(t) dt = 0. 1 f N →∞ 0�x�T 1 l=1 1 0 l 1 Сформулируем теперь теорему о равносходимости разложений по корневым функциям задач L и L˜ на всем отрезке [0,T ]. Пусть Re(μn - μ1) � 1 и μˆk = τˆk = 0 при k = 1, m. 0 Теорема 3.6. Пусть f (t)tγ ∈ L(0,T ). Положим yˆ(x, λ) = Г T Gˆ(x, t, λ)f (t) dt. Тогда lim max 1 1xη 1 r 1 yˆ(x, λ) dλ1 = 0. N →∞ 0�x�T 1 2πi ΓN 1 В частности, если спектры задач L и L˜ простые, то lim max N 1xη ) ( r ϕ (x) T f (t)ϕ∗(t) dt r α˜ ϕ˜ (x) T f (t)ϕ˜∗(t) dt 1 1 1 = 0. 1 N →∞ 0�x�T 1 l=1 αl l 0 l - l l l 0 Приведенные в этом разделе результаты более подробно изложены в [4]. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОСОБЕННОСТЬЮ ВО ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА Рассмотрим дифференциальное уравнение n-2 f1y := y(n) + ) ( j=0 νj (x - a)n-j ) + qj (x y(j) = λy, 0 < x < T, (4.1) j где a ∈ (0,T ) - фиксированное число. Пусть для определенности n = 2m. Предположим, что функции q(ν)(x), ν = 0,j - 1 абсолютно непрерывны на [0,a-ε] и [a+ε, T ] при всех ε ∈ (0, min(a, T -a)) и q(ν) θvj j (x)|x - a| ∈ L(0,T ), ν = 0,j. Рассмотрим несамосопряженную краевую задачу L для уравнения (4.1) с краевыми условиями y(ν-1)(0) = y(ν-1)(T ) = 0, ν = 1,m и дополнительными условиями склейки решений в окрестности особой точки x = a. Эти условия порождаются матрицей перехода A = [akj ]k,j=1,n, которая связывает решения уравнения (4.1) слева и справа от особой точки (см. ниже). ∞ Пусть λ = ρn. Рассмотрим функции Cj,a(x, λ) = (x - a)μj k=0 cjk (ρ(x - a))nk , j = 1, n, где k -1 n cjk = cj0( ТТ δ(μj + sn) , ТТ cj0 = (det[μν-1] )-1. Здесь и далее zμ = exp(μ(ln |z|+ i arg z)), s=1 j=1 j j,ν=1,n arg z ∈ (-π, π]. При x > a и x < a функции Cj,a(x, λ) являются решениями «простейшеj,a го» уравнения с qj (x) ≡ 0. Положим C∗ k,a (x, λ) = det[C(ν)(x, λ)] ν=0,n-2, k=1,n\n-j+1 , g0(x, t, λ) = n n-j+1,a (-1)n-j Cj,a(x, λ)C∗ (t, λ). Пусть функции sj (x, λ) являются решениями интегральных j=1 уравнений s(ν) (ν) r x ∂ν n-2 ( ) (p) j (x, λ) = Cj,a (x, λ) - 0 ∂xν g0(x, t, λ) p=0 qp(t)sj (t, λ) dt, ν = 0,n - 1. Функции sj (x, λ), j = 1,n являются целыми по λ решениями уравнения (4.1), причем det[s(ν-1) j (x, λ)]j,ν=1,n ≡ 1. 418 В. А. ЮРКО Пусть задана матрица A = [akj ]k,j=1,n, det A ∗= 0, где akj - комплексные числа. Введем функции {σj (x, λ)}j=1,n, x ∈ J±, где J± := {x : ±(x - a) > 0}, по формуле ⎧ ⎪⎨s (x, λ), x J , j ∈ - n σj (x, λ) = ) akjsk(x, λ), x ∈ J+. ⎪⎩k=1 ФСР {σj (x, λ)}j=1,n используется для склейки решений уравнения (4.1) в окрестности особой точки x = a. Точнее, будем говорить, что решение y(x, λ) уравнения (4.1) удовлетворяет условиям n склейки, порожденным матрицей A, если y(x, λ) имеет вид y(x, λ) = χj (λ)σj (x, λ), x ∈ J- ∪ J+, j=1 где коэффициенты χj (λ) не зависят от x. Для определенности рассмотрим наиболее важным частным случаем, когда akj = 0 при k < j. виях ϕ(ν-1) Пусть функции ϕj (x, λ), j = 1, n, являются решениями уравнения (4.1) при начальных услоj j (0, λ) = δjν, ν = 1, n, и при условиях склейки, порожденных матрицей A. При каждом x ∗= a функции ϕ(ν-1)(x, λ), j, ν = 1, n, являются целыми по λ порядка 1/n, причем det[ϕ(ν-1) (ν-1) j (x, λ)]j,ν=1,n ≡ 1 при x ∈ J- и det[ϕj (x, λ)]j,ν=1,n ≡ det A при x ∈ J+. В каждом секторе Sk0 = {ρ : arg ρ ∈ (k0π/n, (k0 + 1)π/n)} корни Rk, k = 1, n, уравнения 0 Rn - 1 = 0 можно занумеровать так, чтобы Re(ρR1) < Re(ρR2) < ... < Re(ρRn), ρ ∈ Sk . Очевидно, что Rk = exp(iπωk /m), где ωk k - перестановка чисел 0,n - 1. Тогда Rμ := exp(iπμωk /m). При | (x - a)| � 1, ρ ∈ Sk0 , ν = 0,n - 1, |ρ|→ ∞, имеют место асимптотические формулы ρ ϕ(ν) n 1 ) ν+1-j j (x, λ) = n n k=1 (-ρRk ) exp(-ρRk x)[1]a, x ∈ J-, ϕ(ν) 1 ) 1-j ν ( 0 -δ1 j (x, λ) = n (-ρRk ) l,k=1 (ρRl) ξkl + O(ρ )) exp(-ρRk a) exp(ρRl(x - a))[1]a, x ∈ J+, где δ1 := min(1, min Re(μl+1 - μl)), ξ0 n = assRμs dsj exp(-iπμs), [dsj ] = ([R μj ] )-1. l kj k s=1 s,j=1,n k k,j=1,n Обозначим ξ0 = det ξ0 l , s = 1, n, и предположим, что s kj k=1,s; j=n-s+1,n ξ0 s ∗= 0 при s = 1,n - 1. (4.2) Условие (4.2) называется условием регулярности склейки. Нижеприведенный контрпример показывает важность условия (4.2) в спектральной теории этого класса операторов. Отметим, что если kj A = E и νj = 0, то ξ0 склейки выполняется. = δk,n 2s - j+1, следовательно, ξ0 = ξ 0 2s+1 = (-1)s ∗= 0, и условие регулярности j Обозначим Δa(λ) := det[ϕ(ν-1)(T, λ)] j=m+1,n; ν=1,m . Функция Δa(λ) является целой по λ порядка 1/n, и ее нули совпадают с собственными значениями {λl} краевой задачи L. Функция Δa(λ) называется характеристической функцией для L. Обозначим Ik = {ρ : arg ρ = πk/n}, k = -n, n - 1, +1 Ik,h = {ρ : dist(ρ, Ik ) � h}, Ih ρ → λ = ρn. -1 = / I2k,h, Ih k = / I2k k ±1 - 1,h. Пусть Iˆh m/2 1 - образ Ih ± при отображении При |ρ| → ∞, ρ ∈ Sk0 имеет место оценка Δa(λ) = O(ρ- exp(ρ(Rm+1 + ··· + Rn)T )). Собl L I ственные значения λl = ρn задачи лежат в области ˆh (-1)m . Число Nξ нулей функции Δ(λ) в области Πh h ξ := {ρ ∈ I(-1)m : |ρ|∈ [ξ, ξ + 1]} ограничено по ξ. Обозначим Gδ := {ρ : |ρ - ρl| � δ} . Тогда |Δa(λ)| � Cδ |ρ-m/2 exp(ρ(Rm+1 + ··· + Rn)T )|, ρ ∈ Sk0 ∩ Gδ. Существуют положительные числа rN →∞ такие, что при достаточно малом δ > 0 окружности |ρ| = rN лежат в Gδ при всех N. Рассмотрим банахово пространство Bα,p := {f (x) : f (x)(x - a)-α ∈ Lp(0,T )} с нормой f α,p = p f (x)(x - a)-α L (0,T ). Обозначим ω := Re μ1. Теорема 4.1. Система корневых функций краевой задачи L полна в Bα,p при 1 � p < ∞, α < ω + 1/p. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА 419 Приведем контрпример, показывающий важность условия регулярности склейки (4.2). Рассмотрим краевую задачу Lt: -ytt = λy, 0 < x < π, λ = ρ2, y(0) = y(π) = 0, y(k)(a + 0) = (-1)k y(k)(a - 0), k = 0, 1, a = 3π/4. ρ Для этой задачи условие регулярности склейки (4.2) не выполняется, и Δa(λ) = sin ρ(2a-π) . Собl ственные значения λl = ρ2 вычисляются по формуле краевой задачи Lt имеют вид ρl = 2l, l � 1, а собственные функции ( yl(x) = sin 2lx, x � 3π/4, (-1)l-1 sin 2lx, x > 3π/4. Система функций {yl(x)}l�1 не полна в Bα,p при 1 � p < ∞, α < 1+ 1/p. k Обозначим η = max(0, -ω), μ∗ 1 = n - 1 - μn-k+1, ψ = μn-1 + μ∗. Пусть для определенности Re ψ < 0. Рассмотрим функцию 1 1 1 ϕm+1(x, λ) ... ϕn(x, λ) ga(x, t, λ) 1 (-1)m 1 ϕm+1(T, λ) ... ϕn(T, λ) ga(T, t, λ) 1 Δ Ga(x, t, λ) = a 1 1 (λ) 1 1 , 1 (m-1) 1 ... ... ... ... 1 1 1 ϕ(m-1) n 1)(T, λ) ga (T, t, λ) где m+1 (T, λ) ... ϕ 1 ⎧ n - n ⎪⎨ )( 1)k-1ϕ ga(x, t, λ) = k=1 k -k+1(x, λ)ϕ∗ (t, λ), x � t, ⎪⎩ 0 x < t. 1 (ν) ∗ ϕk (t, λ) := A(t) det ϕj (t, λ)lν=0,n 2; j=1,n n k+1, A(t) ≡ 1 при x ∈ J- и A(t) ≡ det A при x ∈ J+. - \ - 1 Теорема 4.2. Пусть функции f (x) такова, что функция f (x)(x-a)μ∗ абсолютно непрерывна на [0, a] и [a, T ], причем f (0) = f (T ) = 0. Тогда lim max η 1 ( 1 r 1(x - a) ( r T Ga(x, t, λ)f (t) dt ) 1 dλ + f (x 1 = 0. N →∞ 0�x�T 1 2πi N |λ|=rn 0 1 Рассмотрим функции Δk,a(λ) := det ϕ(ν-1)(T, λ)l , k = 1, n. В частности, j j=k+1,n; ν=1,n-k Δn,a(λ) ≡ det A. Нули функции Δk,a(λ), k = 1,n - 1 совпадают с собственными значениями {λlk } краевой задачи Lk для уравнения (4.1) с краевыми условиями y(0) = ... = y(k-1)(0) = 0, y(T ) = ... = y(n-k-1)(T ) = 0 и с условиями склейки, порожденными матрицей перехода A. Пусть функции Φj,a(x, λ), j = 1, n, являются решениями уравнения (4.1) с условиями Φ(ν-1) (μ-1) j,a (0, λ) = δνj, ν = 1, j, Φj,a (T, λ) = 0, μ = 1,n - j и с условиями склейки, порожденными матрицей перехода A. Справедливы соотношения n Φj,a(x, λ) = ϕj (x, λ)+ ) k=j+1 Mjk,a(λ)ϕk (x, λ), Mjk,a(λ) = Δjk,a(λ) Δj,a(λ) , 1 � j < k � n, s Δjk,a(λ) = (-1)j+k det[ϕ(ν-1)(T, λ)] s=j,n\k; ν=1,n-j. Матрица Ma(λ) = [Mjk,a(λ)]j,k=1,n (Mjk,a(λ) := δjk при j � k) называется матрицей Вейля для уравнения (4.1). Теорема 4.3. 1. При |ρ(x - a)| � 1, ρ ∈ Sk0 ∩ Gδ,j имеют место оценки (ν-1) |Φj,a (x, λ)| � C |ρν-j exp(ρRj x)|, j, ν = 1, n, k-j |Mjk,a(λ)| � C|ρ| 2. При |ρ(x - a)| � 1 имеют место оценки , 1 � j < k � n. |Φˆ j,a(x, λ)| � C |ρ1-j+μ1 exp(ρRj a)|, j = 1, n, |Φˆ (ν) n n-ν μ2 -μ1 μ2 -μ1 -ν j,a (x, λ)| � C |ρ1-j+μ1 exp(ρRj a)|(|ρ| |x - a| + |ρ (x - a) |), ν = 1,n - 1, j = 1, n, 420 В. А. ЮРКО где Φˆ j,a(x, λ) = (x - a)-μ1 Φj,a(x, λ). Рассмотрим обратную задачу восстановления оператора f по заданной матрице Вейля. Сформулируем теорему единственности для этой обратной задачи. Теорема 4.4. Если Ma(λ) = M˜ a(λ), то f = f˜. Таким образом, матрица Вейля M (λ) однозначно определяет оператор f. Используя метод спектральных отображений, можно получить конструктивную процедуру решения этой нелинейной обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Результаты, относящиеся к уравнению (4.1), более подробно изложены в [11, 12].