О построении вариационного принципа для некоторого класса дифференциально-разностных операторных уравнений

Аннотация

В данной работе получены необходимые и достаточные условия существования вариационных принципов для заданного дифференциально-разностного операторного уравнения первого порядка со специальным видом линейного оператора P_λ(t), зависящего от t, и нелинейного оператора Q. При выполнении соответствующих условий построен функционал. Данные условия получены благодаря хорошо известному критерию потенциальности. На примерах показано, как строится обратная задача вариационного исчисления для заданных дифференциально-разностных операторов.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 2. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 3. Условия потенциальности и структура вариационности . . . . . . . . . . . . . оператора N (u) уравнения (2.1) в случае его . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 1. ВВЕДЕНИЕ В математической физике под вариационными методами принято понимать те методы, которые позволяют свести задачу интегрирования дифференциального уравнения к эквивалентной вариационной задаче. Разработанные ранее методы в основном распространялись на уравнения, рассматриваемые в некотором гильбертовом пространстве. Было установлено, что для любого разрешимого линейного уравнения в гильбертовом пространстве может быть построена вариационная задача отыскания точки минимума некоторого квадратичного функционала такого, что исходное уравнение вместе с граничными условиями будет эквивалентно уравнению Эйлера для этого функционала. Вариационная задача для такого уравнения есть задача минимизации квадратичного функционала, содержащего производные от неизвестной функции более низкого порядка, чем в заданном уравнении. Данный функционал ограничен снизу в некотором гильбертовом пространстве, и множество критических точек функционала совпадает с множеством решений исследуемого уравнения. Применяя вариационные методы для исследования различных краевых задач, можно, в частности, добиться того, что исследуемые уравнения будут представлены в виде уравнений Эйлера- Лагранжа. В работе [6] показано, что такое представление не всегда возможно. В течение длительного времени вариационные принципы главным образом использовались для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных с так называемыми потенциальными операторами (см. [6]). Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН «5-100». © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 316 О ПОСТРОЕНИИ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 317 Возникает интерес получить аналогичные результаты для дифференциально-разностных уравнений. Под дифференциально-разностным уравнением понимается (см. [1]) уравнение относительно неизвестной функции и ее производной вида F [t, u(t), u(t-ω1 ),... , u(t-ωl),u (t),u (t-ω1),... ,u (t-ωl), u(n)(t), u(n)(t-ω1),... , u(n)(t-ωl)] = 0, × × × где F - заданная функция, зависящая от 1+ (l + 1)(n + 1) переменных. Введем необходимые определения. Рассматривается операторное уравнение N (u) = 0, u ∈ D(N ), где D(N ) - область определения оператора N : D(N ) ⊆ U → V, а U, V - нормированные линейные пространства над полем вещественных чисел R. Заметим, что если для некоторого u ∈ D(N ) и h ∈ U существует lim N (u+εh)-N (u) = δN (u, h), то он называется вариацией Гато оператора N в точке u. ε→0 ε В формуле выражение N (u + εh) определено при таких ε, что (u + εh) ∈ D(N ). Вариация заданного оператора δN (u, h) - выражение, однородное по h : δN (u, λh) = λδN (u, h). Определение 1.1. Если при фиксированном u ∈ D(N ) вариация δN (u, h) является линейным по h оператором, то говорят, что оператор N дифференцируем в точке u в смысле Гато. Определение 1.2. Выражение δN (u, h) называется дифференциалом Гато и обозначается через DN (u, h). Определение 1.3. В этом случае используют также запись DN (u, h) = N ∗ h и говорят, что N ∗ u u есть производная Гато оператора N в точке u. u Если N - линейный оператор, то N ∗ h = N h. В дальнейшем будем предполагать, что для любого рассматриваемого оператора N : D(N ) ⊂ U → V в каждой точке u ∈ D(N ) существует N ∗ . Область определения D(N ∗ ) состоит из таких u u элементов h ∈ U, что (u + εh) ∈ D(N ) для любого достаточно малого значения ε. Элемент h ∈ u D(N ∗ u ) будем называть допустимым элементом. Заметим, что в общем случае D(N ) ±= D(N ∗ ). × Производную Гато удобно искать по следующей формуле: Nuh = d {N (u + εh)}| . dε ε=0 Определение 1.4. Оператор N : D(N ) → V называется потенциальным (см. [6]) на соответствующей области определения D(N ) относительно заданной билинейной формы Φ(·, ·) : V × U → R, если существует функционал FN : D(FN ) = D(N ) → R такой, что δFN [u, h] = Φ(N (u), h) u ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N ∗ ). В этом случае мы можем говорить о том, что данное уравнение допускает прямую вариационную формулировку. Задача построения функционала FN по заданному оператору N называется классической обратной задачей вариационного исчисления (см. [6]). Отметим, что до недавнего времени практически не ставилась обратная задача вариационного исчисления для дифференциально-разностных уравнений (см. [3, 4, 7, 8]). Существует теоретический и практический интерес в распространении полученных ранее результатов, на дифференциально-разностные уравнения (см. [2, 5, 9]). Предполагается, что D(N ) является выпуклым множеством, на котором выполняется критерий потенциальности (см. [6]): Φ(N ∗ h, g) = Φ(h, N ∗ g) ∀u ∈ D(N ), ∀h, g ∈ D(N ∗ ). (1.1) u u u При этом условии потенциал FN может быть найден по формуле 1 FN [u] = 0 Φ(N (u0 + λ(u - u0)),u - u0)dλ + const, (1.2) где u0 - фиксированный элемент из множества D(N ). Определение 1.5. Функционал FN называется потенциалом для оператора N ; всвою очередь, оператор N называется градиентом функционала FN . Записывают N = gradΦ FN . 318 И. А. КОЛЕСНИКОВА 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим следующее дифференциально-разностное операторное уравнение: N (u) ≡ 1 '\" JPλ(t)ut(t + λτ )+ Qλ(t, u(t + λτ )) = 0, u ∈ D(N ),t ∈ [t0, t1] ⊂ R. (2.1) λ=-1 Здесь Pλ : U1 → V1 (λ = -1, 0, 1) - линейные операторы, зависящие от t; Qλ : [t0 - τ, t1 + τ ] × U1 → V1 - вообще говоря, нелинейные операторы; N : D(N ) ⊆ U → V = C([t0, t1]; V1); U = C1([t0 - τ, t1 + τ ]; U1), V, где U1, V1 - действительные нормированные линейные пространства, U1 ⊆ V1. Будем предполагать, что при любом значении t ∈ (t0, t1) и u ∈ C1([t0, t1]; U1) функция Pλ(t)ut(t+ λτ ) со значением в V1 непрерывно дифференцируема на (t0, t1). Область определения D(N ) задается следующим образом: D(N ) = {u ∈ U : u(t) = ϕ1(t), t ∈ [t0 - τ, t0], u(t) = ϕ2(t), t ∈ [t1, t1 + τ ]}, где ϕi (i = 1, 2) - заданные функции. Под решением задачи (2.1) подразумевается функция u ∈ D(N ), удовлетворяющая следующему уравнению: 1 Pλ t λ 0 1 N (u) ≡ '\" J λ=-1 (t)u (t + λτ )+ Q (t, u(t + λτ )) = 0 ∀t ∈ [t ,t ] ⊂ R. Зададим билинейную форму вида Φ(·, ·) ≡ t1 t0 < ·, · > dt : V × U → R, (2.2) где непрерывное билинейное отображение < ·, · > удовлетворяет условиям: < v1, v2 >=< v2, v1 > ∀v1, v2 ∈ V1; Dt < v, g >=< Dtv, g > + < v, Dtg > ∀v, g ∈ C1([t0, t1]; U1). Наша цель - определить структуру операторов Pλ и Qλ (λ = -1, 0, 1), благодаря которым для (2.1) можно решить обратную задачу вариационного исчисления относительно заданной билинейной формы (2.2). Оператор Dt = d/dt является кососимметричным оператором на множестве u D(N ∗ ) = {h ∈ U = C1([t0 - τ, t1 + τ ]; U1) : h(t) = 0, t ∈ [t0 - τ, t0] ∪ [t1, t1 + τ ]}, u а именно: Φ(Dth1, h2) = -Φ(h1, Dth2) ∀h1, h2 ∈ D(N ∗ ). t V1 0 1 Будем предполагать, что при любом значении ∈ (t0, t1) и u ∈ U1 функция Pλ со значениями в непрерывно дифференцируема на (t , t ). 3. УСЛОВИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ И СТРУКТУРА ОПЕРАТОРА N (u) УРАВНЕНИЯ (2.1) В СЛУЧАЕ ЕГО ВАРИАЦИОННОСТИ Определим оператор K∗ как оператор, сопряженный к оператору K. u Теорема 3.1. Для существования прямой вариационной формулировки для оператора N (u) уравнения (2.1), рассматриваемого на области D(N ), относительно билинейной формы (2.2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия на множестве D(N ∗ ): λ ∂P ∗ ∗ ∗ ∗ λ P-λ + P ∗|t→t-λτ = 0, t t λτ ∂t t→t-λτ + (Q-λ)u(t-λτ ) - ((Qλ)u(t+λτ )) → - = 0 (3.1) при λ = -1, 0, 1, ∀u ∈ D(N ), ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R. Доказательство. Найдем производную Гато заданного оператора. С учетом формулы (2.1) будем иметь ∗ Nuh = 1 '\" λ=-1 1 ∗ Pλht(t + λτ )+ '\" ((Qλ)u(t+λτ ))h(t + λτ ) λ=-1 О ПОСТРОЕНИИ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 319 при λ = -1, 0, 1, ∀u ∈ D(N ), ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R. Тогда критерий потенциальности (1.1) принимает следующий вид: t1 < 1 {Pλht(t + λτ )+ ((Qλ)∗ '\" u(t+λτ ) )h(t + λτ )}, g(t) > dt = t0 = < t1 λ=-1 1 {Pλgt(t + λτ )) + ((Qλ)∗ '\" u(t+λτ ) )g(t + λτ ))}, h(t) > dt t0 λ=-1 u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N ∗ ), или t1 < 1 {Pλht(t + λτ )+ ((Qλ)∗ '\" u(t+λτ ) )h(t + λτ )}, g(t) > - t0 λ=-1 1 l u(t+λτ ) - < '\" (Pλgt(t + λτ )+ ((Qλ)∗ )g(t + λτ )), h(t) > dt = 0 (3.2) λ=-1 u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N ∗ ). Учитывая условие кососимметричности t = -Dt на множестве D(Nu), из равенства (3.2) получим t1 < D∗ ∗ 1 '\" ( t0 λ=-1 u(t+λτ ) PλDt + ((Qλ)∗ ) h(t + λτ ), g(t) > - 1 '\" - г < -Dt(P ∗h(t)) + ((Qλ)∗ l )∗h(t) , g(t + λτ ) > l dt = 0 λ λ=-1 u(t+λτ ) u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N ∗ ), или, с другой стороны, с учетом сдвигов переменной t на заданной области определения D(N ) имеем t1 < t0 1 '\" λ=-1 P - ( λDt + ((Q -λ) ∗ u(t-λτ )) h(t - λτ ), g(t) > - 1 ( ∗ \ l '\" - < ∂Pλ - - P ∗D + (Q )∗ ∗ h(t - λτ ), g(t) > dt = 0 ∂t λ t λ=-1 λ u t→t-λτ u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N ∗ ). Таким образом, условие (3.2) может быть теперь записано в следующем виде: t1 1 '\" ( < P-λDt + (Q-λ)∗ h(t - λτ ) - λ ( ∂P ∗ - § P ∗Dt \ + (Qλ)∗ ∗ h(t - λτ ), g(t) > dt = 0 t0 λ=-1 u(t-λτ ) ∂t λ u t→t-λτ u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀g, h ∈ D(N ∗ ). Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда г 1 '\" (P + P ∗|t→t-λτ ) Dt + λ ∂P ∗ |t t λτ + (Q )∗ - (Qλ)∗ l ∗ |t→t-λτ · h(t - λτ ) = 0 -λ λ λ=-1 ∂t → - -λ u(t-λτ ) u(t+λτ ) u при λ = -1, 0, 1, ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N ∗ ). Данное равенство имеет место для любого h ±= 0, следовательно, выполняются условия λ ∂P ∗ ∗ ∗ ∗ λ P-λ + P ∗|t→t-λτ = 0, t t λτ ∂t t→t-λτ + (Q-λ)u(t-λτ ) - ((Qλ)u(t+λτ )) → - = 0, u при λ = -1, 0, 1, ∀u ∈ D(N ), ∀t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀h ∈ D(N ∗ ). Таким образом, необходимо и достаточно выполнения условий (3.1) теоремы 3.1. 320 И. А. КОЛЕСНИКОВА Пример 3.1. В качестве примера рассмотрим дифференциально-разностный оператор N1(u) ≡ ut(t + τ ) - ut(t - τ ) = 0, u ∈ D(N ), t ∈ [t0, t1] ⊂ R, t1 - t0 > 2τ. Зададим область определения: D(N1) = {u ∈ U = C1([t0 - τ, t1 + τ ]) : u(t) = ϕ1(t), t ∈ [t0 - τ, t0], u(t) = ϕ2(t), t ∈ [t1, t1 + τ ]}, где ϕi (i = 1, 2) - заданные функции. Введем билинейную форму t1 Φ(v, g) = t0 v(t)g(t)dt v ∈ V, g ∈ U. Условия теоремы выполнены: Pλ = I, P-λ = -I, P0 = 0, Qλ = 0 ∀λ = -1, 0, 1. Следовательно, данный оператор N1(u) является потенциальным на соответствующей области определения D(N1) относительно заданной билинейной формы Φ(v, g). Соответствующий функционал находим по формуле (1.2), он имеет следующий вид: t1 FN1 [u] = t0 ut(t)u(t - τ )dt. Полученный функционал FN1 [u] допускает построение вариационного принципа. Пример 3.2. Рассмотрим дифференциально-разностный оператор N2(u) ≡ aut(t + τ ) - aut(t - τ )+ bu(t + τ )+ bu(t - τ ) = 0, u ∈ D(N ), t ∈ [t0, t1] ⊂ R, t1 - t0 > 2τ. Зададим область определения: D(N2) = {u ∈ U = C1([t0 - τ, t1 + τ ]) : u(t) = ϕ1(t), t ∈ [t0 - τ, t0], u(t) = ϕ2(t), t ∈ [t1, t1 + τ ]}, где ϕi (i = 1, 2) - заданные функции. Введем билинейную форму: t1 Φ(v, g) = t0 v(t)g(t)dt v ∈ V, g ∈ U. Условия теоремы выполнены: Pλ = a, P-λ = -a, P0 = 0, Qλ = bu(t + λτ ) ∀λ = -1, 1, Q0 = 0. Данный оператор N2(u) является потенциальным на области определения D(N2) относительно заданной билинейной формы Φ(v, g). Функционал находим по формуле (1.2): t1 FN2 [u] = t0 -au(t)ut(t - τ )+ bu(t)u(t - τ )dt. Полученный функционал FN2 [u] допускает построение вариационного принципа. Оператор N2(u) есть градиент функционала FN2 [u]. Теорема 3.2. Условия (3.1) выполняются тогда и только тогда, когда уравнение (2.1) имеет следующий вид: 1 / 1 ∂R \ N (u) ≡ '\" (R∗ |t→t-λτ - R-λ)ut(t - λτ )+ grad B[u] - '\" λ u(t + λτ ) = 0, λ λ=-1 Φ ∂t λ=-1 при λ = -1, 0, 1, ∀u ∈ D(N ), t ∈ [t0, t1] ⊂ R. Операторы Rλ и B[u] могут быть найдены по формулам Φ(Rλu, ut) = t1 1 < -Pλ(t)(u - u0), ∂u˜μ > dμdt, ∂t t0 0 1 ∂P ∗ B[u] = 0 < Q(t, u˜μ(t + λτ )) + μ ∂t λ (u - u0),u - u0 > dμ, где u˜μ = u0 + μ(u - u0), u0 - произвольный фиксированный элемент из D(N ). Доказательство. Пусть D∗ = -Dt на множестве определения D(N ∗ ), и условия (3.1) выполняt u ются тогда и только тогда, когда оператор (2.1) является потенциальным на заданной области определения D(N ) = {u ∈ U : u(t) = ϕ1(t), t ∈ [t0 - τ, t0], u(t) = ϕ2(t), t ∈ [t1, t1 + τ ]}, где ϕi (i = 1, 2) - заданные функции, относительно заданной билинейной формы (2.2). О ПОСТРОЕНИИ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 321 Рассмотрим следующий функционал: FN [u] = t1 < t0 1 '\" λ=-1 l Rλ(t)u(t + λτ ), ut(t) > +B[u] dt + FN [u0], (3.3) Легко проверить, что λ = -1, 0, 1, ∀u ∈ D(N ), t ∈ [t0, t1] ⊂ R. t1 δFN [u, h] = t0 1 < '\" λ=-1 Rλh(t + λτ ), ut(t) > + < 1 '\" λ=-1 Rλu(t + λτ ), ht(t) > + t1 1 + < gradΦ B[u], h(t) > dt = 1 = < '\" t0 λ=-1 λ R∗ |t→t-λτ ut(t - λτ ), h(t) > - < '\" λ=-1 Dt (Rλu(t + λτ )) , h(t) > + t1 1 + < gradΦ B[u], h(t) > dt = 1 ∂R λ = < '\" λ R∗ |t→t-λτ ut(t - λτ ), h(t) > - < '\" u(t + λτ ), h(t) > - t0 λ=-1 1 ∂t λ=-1 - < t1 '\" λ=-1 R-λut(t - λτ ), h(t) > + < gradΦ B[u],h > dt = 1 λ = < '\" (R∗ |t→t-λτ - R-λ)ut(t - λτ )+ (gradΦ B[u] - t0 1 '\" - λ=-1 ∂Rλ u(t + λτ )), h(t) > dt = ∂t t1 < N (u),h > dt, λ=-1 t0 u где λ = -1, 0, 1, t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ), ∀h ∈ D(N ∗ ). Тогда получаем, что функционал FN [u](3.3) является потенциалом оператора N (u) (2.1). Пусть D∗ = -Dt на области D(N ∗ ), тогда t u 1 1 ∂R P-λ(t) = R∗ |t→t-λτ - R-λ, '\" Qλ(t, u(t + λτ )) = - '\" λ u(t + λτ ) + grad B[u] λ λ=-1 ∂t Φ λ=-1 при λ = -1, 0, 1, t ∈ [t0, t1] ⊂ R, ∀u ∈ D(N ). Данная теорема показывает структуру заданного эволюционного дифференциально-разностного оператора, который допускает решение обратной задачи вариационного исчисления. Замечание 3.1. Если 0 ∈ D(N ), то операторы Rλ могут быть найдены по формуле 1 Φ(Rλu, ut) = 0 < -μPλ(t)(u), ut > dμ. В случае, когда билинейное отображение задается формулой вида (2.2), получаем 2 или Rλ = - 1 P1λ. 1 Rλu = - 0 1 '\" λ=-1 μP1λ(t)(u)dμ, Пример 3.3. Рассмотрим следующий дифференциально-разностный оператор: N3(u) ≡ aut(t + τ ) - aut(t - τ )+ eu(t+τ ) + eu(t-τ ) = 0, C2 где t ∈ (t0, t1), t1 - t0 > 2τ. Область определения задается в следующем виде: D(N3) = {u ∈ t ([t0 - τ, t1 + τ ]) : u(t) = ϕ1(t), t ∈ E1 = [t0 - τ, t0], u(t) = ϕ2(t), t ∈ E2 = [t1, t1 + τ ]}, где ϕi ∈ C(Ei) (i = 0, 1) - заданные функции. 322 И. А. КОЛЕСНИКОВА Мы исследуем существование вариационного принципа для N3(u) относительно заданной билинейной формы (2.2). Оператор N3(u) является потенциальным на области определения D(N3) относительно этой билинейной формы. Другими словами, существует вариационный принцип для оператора N3(u). Функционал находим по формуле (1.2), он будет иметь вид t1 a FN3 [u] = u(t) {(ut(t)u(t - τ ) - u(t)ut(t - τ )} + (e - 1) u(t - τ )+u(t + τ ) dt, t0 2 t ∈ (t0, t1) ⊂ R, ∀u ∈ D(N ). u(t) Другими словами, оператор N3[u] допускает прямую вариационную формулировку. Полученный функционал FN3 [u] является потенциалом для оператора N3[u]; в свою очередь, оператор N3[u] есть градиент функционала FN3 [u].