Кодирование узлов с помощью T-графов

Аннотация

Рассматриваются узлы как гладкие вложения окружности в $\mathrm{ℝ}$³, заданные своими плоскими диаграммами. Предлагается новый способ кодирования узлов с помощью T-графов, описывающих структуру кручений на плоской диаграмме. Для данного способа кодирования вводятся понятия цикла и блока, а также описываются преобразования T-графов при применении к плоской диаграмме узла первого и третьего движений Рейдемейстера.

Полный текст

ПОНЯТИЕ КРУЧЕНИЯ НА ПЛОСКОЙ ДИАГРАММЕ УЗЛА Пусть задан узел K и DK - его плоская диаграмма (см. [2]). Ориентируем диаграмму DK и определим знак каждого перекрестка стандартным образом. Плоскую диаграмму DK будем также рассматривать как планарный 4-валентный граф, вер- шины которого соответствуют перекресткам исходной диаграммы, и в каждой вершине ребра пересекаются под прямым углом. Поэтому перекрестки на диаграмме DK будем также называть ее вершинами. Определение 1.1. Кручением на плоской диаграмме DK называется всякий двуугольник, сто- роны которого не пересекаются, а вершины, возможно, совпадают. Вершины этого двуугольника будем называть вершинами кручения, и также говорить, что между этими двумя вершинами (пе- рекрестками на плоской диаграмме) имеется кручение. Стороны этого двуугольника пересекаются в его вершинах под прямым углом, каждый из этих углов будем называть направлением кручения в соответствующей вершине. Кручение с вершинами A и B будем обозначать AB. Стороны кручения AB обозначим αAB и βAB так, чтобы в вершине A кратчайший поворот от стороны αAB к стороне βAB происходил против часовой стрелки. Аналогично, для сторон кручения AB будем использовать обозначения αBA и βBA в зависимости от их расположения в вершине B. Определение 1.2. Кручение называется прямым, если внутренние углы двуугольника, обра- зующего данное кручение, оба равны 90◦ либо оба равны 270◦; в противном случае кручение называется обратным. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 531 532 О. Н. БИРЮКОВ Определение 1.3. Направление кручения в заданной вершине называется циклическим, если при выборе некоторой ориентации плоской диаграммы обе стороны кручения оказываются ори- ентированы так, что обе выходят из данной вершины либо обе входят в вершину. Направление кручения называется остовным, если оно не является циклическим. Ясно, что если направление кручения является циклическим в одной из его вершин, то оно будет циклическим и в другой вершине. В самом деле, если обе стороны выходят из одной вершины, то они заходят в другую вершину. Поэтому можно говорить о циклическом и остовном кручении. Определение 1.4. Кручение называется циклическим, если в обеих своих вершинах оно распо- ложено в циклическом направлении; в противном случае кручение называется остовным. Пример. На плоской диаграмме на рис. 1 между вершиной A1 и каждой из вершин B1, B2, B3 есть циклическое кручение. Направления этих кручений выделены на рисунке дугами. Расставле- ны также знаки всех перекрестков, для чего выбрана ориентация. Кручение между вершинами A1 и B1 прямое, а кручение между вершинами A1 и B2 обратное. РИС. 1 Лемма 1.1 (о циклических направлениях). В любой вершине плоской диаграммы узла в каж- дом из двух циклических направлений расположено хотя бы одно кручение, при этом, воз- можно, что в обоих циклических направлениях расположено одно и то же кручение, вершины которого совпадают. Доказательство. Выберем некоторый перекресток A на плоской диаграмме DK узла K и обозна- чим через α и β дуги, соединяющие концы перекрестка, как указано на рис. 2. Если α и β не пересекаются, то в вершине A в обоих циклических направлениях, очевидно, расположено одно и то же кручение. Если же α и β пересекаются, то выберем перекресток B, ближайший к A по дуге α с одного или другого циклического направления. Ясно, что тогда между A и B будет циклическое кручение. РИС. 2 На множестве всех кручений, расположенных в данном направлении из данной вершины, опре- делим линейный порядок ≺ . Пусть на плоской диаграмме два кручения AB1 и AB2 имеют одина- ковое направление в вершине A. Положим AB1 ≺ AB2, если αAB1 ⊂ αAB2 . Тогда βAB1 ⊃ βAB2 . КОДИРОВАНИЕ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ T -ГРАФОВ 533 Определение 1.5. Кручение AB называется первым (соответственно, последним) в вершине A, если оно является минимальным (соответственно, максимальным) относительно линейного поряд- ка ≺ . На множестве всех кручений с данной вершиной A определим теперь циклический порядок. Положим, что AB1 ≺ AB2 ≺ AB3 ≺ AB1, если кручения, расположенные в одном направлении, связаны определенным выше линейным порядком, а кручения, расположенные в разных направле- ниях, упорядочены в соответствии с естественным циклическим порядком направлений на плоской диаграммеDK . Для плоской диаграммы на рис. 1 имеем A1B1 ≺ A1B2 ≺ A1B3 ≺ A1B1. Определение 1.6. Кручение называется существенным, если хотя бы на одной из его сторон нет других перекрестков плоской диаграммы. Лемма 1.2 (о существенных кручениях). Прямое кручение является существенным тогда и только тогда, когда в одной из своих вершин оно является первым, а в другой вершине - последним. Обратное кручение является существенным тогда и только тогда, когда в обеих своих вершинах оно является первым, либо в обеих вершинах - последним. Доказательство. Пусть между вершинами A и B на плоской диаграмме есть прямое существен- ное кручение. Обозначим через γ сторону этого кручения, на которой нет других перекрестков плоской диаграммы, через α1 и α2 дуги, выходящие из A перпендикулярно γ, а через β1 и β2 дуги, выходящие из B перпендикулярно γ (см. рис. 3). РИС. 3 Ясно, что ровно одна из дуг α1 или α2 соединяется с одной из дуг β1 или β2, иначе получилась бы плоская диаграмма зацепления с более чем одной компонентой. Для прямого кручения дуга α1 может соединиться только с β1, а дуга α2 -с β2. Так как на дуге γ нет других перекрестков плоской диаграммы, в случае соединения дуг α1 и β1 полученное кручение будет первым в вершине A и последним в вершине B, т. е. существенным. В случае соединения дуг α2 и β2 полученное кручение будет первым в вершине B и последним в вершине A, т. е. опять существенным. Аналогично рассматривается случай обратного кручения. Если α1 соединяется с β2, то получен- ное кручение будет первым в обеих вершинах, а если α2 соединяется с β1, полученное кручение будет последним в обеих вершинах, т. е. в любом случае кручение будет существенным. Обратно, пусть между вершинами A и B на плоской диаграмме есть прямое кручение, которое является первым в вершине A и последним в вершине B. Обозначим через γ1 и γ2 стороны этого кручения, а через δ1 и δ2 петли с вершинами A и B, как указано на рис. 4. Так как кручение является первым в вершине A, то петля δ2 на плоской диаграмме не пересекает дугу γ1. Так как кручение является последним в вершине B, то петля δ1 на плоской диаграмме также не пересекает дугу γ1. Получаем, что на дуге γ1 нет других перекрестков плоской диаграммы и кручение между A и B является существенным. Пусть теперь между вершинами A и B на плоской диаграмме есть обратное кручение (см. рис. 5). Тогда если кручение является первым в обеих вершинах, то на дуге γ1 нет других пере- крестков плоской диаграммы. Если кручение является последним в обеих вершинах, то на дуге γ2 нет других перекрестков плоской диаграммы. В любом случае кручение между A и B является существенным. 534 О. Н. БИРЮКОВ РИС. 4 РИС. 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ T -ГРАФА Определение 2.1. T -графом называется граф со следующей дополнительной структурой: каждая вершина снабжается знаком «плюс» или «минус»; множество всех ребер разбивается на два класса, ребра из которых будем называть соответ- ственно прямыми и обратными; для каждой вершины A на множестве EA всех ребер, инцидентных вершине A, задан цик- лический порядок ≺, а также задано разбиение множества EA на 4 класса C1(A), F1(A), C2(A), F2(A), называемых направлениями ребер в вершине A, при этом классы C1(A) и C2(A), называемые циклическими направлениями, непустые, и разбиение на классы согласо- вано с циклическим порядком ≺ в том смысле, что для любых ребер l1 ∈ C1(A), l2 ∈ F1(A), l3 ∈ C2(A) и l4 ∈ F2(A) имеем l1 ≺ l2 ≺ l3 ≺ l4 ≺ l1; классы F1(A) и F2(A) будем называть остовными направлениями в вершине A; всякое ребро, инцидентное вершинам A и B, либо принадлежит циклическим направлениям в обеих вершинах, либо остовным направлениям в обеих вершинах. Закодируем структуру кручений на плоской диаграмме DK с помощью T -графа, вершины кото- рого соответствуют перекресткам на плоской диаграмме и снабжаются знаком «плюс» или «минус» в зависимости от типа перекрестка, а ребра T -графа соответствуют кручениям на плоской диаграм- ме и подразделяются на прямые и обратные в зависимости от типа кручений. Как было показано выше, в каждой вершине плоской диаграммы существуют 4 направления кручений, два из которых циклические и два остовные, в каждом из двух циклических направлений всякой вершины распо- ложено хотя бы одно кручение, и у каждого кручения либо оба направления циклические, либо оба остовные, что полностью соответствует структуре T-графа. Тем самым для любой плоской диаграммы узла T -граф корректно определен. Пример. На рис. 6 изображен T -граф для плоской диаграммы на рис. 1. Здесь и всюду далее циклические ребра изображены сплошными линиями, а остовные ребра - прерывистыми. Обрат- ные ребра, чтобы отличать их от прямых ребер, изображены двойными линиями. Теорема 2.1 (о свойствах T -графа). T -граф любого узла K обладает следующими свойства- ми: Для любых двух вершин A и B на T -графе из вершины A в данном направлении может выходить максимум одно ребро к вершине B, и, кроме того, A и B не могут быть соединены одновременно и циклическим, и остовным ребрами. КОДИРОВАНИЕ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ T -ГРАФОВ 535 РИС. 6 Если рассматривать плоскую диаграмму узла как планарный 4-валентный граф, то для любых двух вершин на этом графе, соединенных ребром, соответствующие вершины на T -графе также соединены ребром. Доказательство. Для заданной вершины A на плоской диаграмме в заданном направлении, оче- видно, существует максимум один двуугольник с непересекающимися сторонами и второй верши- ной в заданной точке B. Кроме того, если вершины A и B на T -графе соединены двумя ребрами в трансверсальных направлениях, то на плоской диаграмме эта ситуация будет выглядеть, как указано на рис. 7, т. е. это будет диаграмма не узла, а двухкомпонентного зацепления. Тем самым свойство 1 доказано. РИС. 7 Пусть вершины A и B на плоской диаграмме, рассматриваемой как 4-валентный граф, соединены ребром γ. Обозначим через α1 и α2 дуги, выходящие из A перпендикулярно γ, а через β1 и β2 дуги, выходящие из B перпендикулярно γ (см. рис. 8). РИС. 8 Ясно, что ровно одна из дуг α1 или α2 соединяется с одной из дуг β1 или β2, иначе получилась бы плоская диаграмма зацепления с более чем одной компонентой. Без ущерба для общности предположим, что α1 соединяется с β1, тогда эта дуга не пересекается с γ и образует кручение с вершинами A и B, что доказывает свойство 2. Поскольку ребра T -графа в точности соответствуют кручениям на плоской диаграмме, то по аналогии с кручениями можно говорить о существенных ребрах, о первом или последнем ребре в данном направлении из данной вершины T -графа. 536 О. Н. БИРЮКОВ Теорема 2.2 (о восстановлении узла по T -графу). T -граф однозначно определяет узел, т. е. не существует двух разных узлов с одинаковым T -графом. Доказательство. Известно, что плоская диаграмма узла полностью его определяет, поэтому до- статочно показать, как по T -графу восстановить плоскую диаграмму узла, которую можно пред- ставлять как 4-валентный граф с указанием структуры «проход-переход». Вершины T -графа в точности соответствуют перекресткам плоской диаграммы, а знаки вершин T -графа позволяют однозначно восстановить структуру «проход-переход» в каждом перекрестке. Чтобы понять, как вершины соединяются между собой в 4-валентном графе, задающем плоскую диаграмму, т. е. для каждой вершины установить смежную с ней в каждом из 4 направлений, следует в соответствии с определением существенных кручений посмотреть на существенные ребра T -графа, ведь именно они соединяют смежные на плоской диаграмме вершины. А распознать существенные ребра можно с помощью критерия из леммы 1.2. Для этого надо уметь различать первые и последние ребра в каждой вершине по каждому направлению, что можно сделать, поскольку для каждой вершины T -графа множество инцидентных ей ребер разбито на 4 класса и циклически упорядочено. Из доказательства теоремы 2.2 видно, что для восстановления плоской диаграммы узла по T - графу достаточно знать расположение лишь существенных ребер, а остальные ребра нужны только для установления того, является ли существенное ребро первым или последним в каждой своей вершине. По этой причине в T -графе можно оставить только существенные ребра с указанием того, в какой вершине каждое из них является первым и в какой - последним. В соответствии с леммой 1.2 прямое существенное ребро в одной из своих вершин является первым, а в другой - последним. Поэтому такое ребро можно просто ориентировать в направлении от первой вершины к последней. В частности, если оно является и первой, и последней в каждой своей вершине, оно будет ориентировано в обе стороны. На рис. 9 указаны возможные варианты изображения прямого существенного ребра. РИС. 9. Изображения прямого существенного ребра: а) ребро является первым в вершине A и последним в вершине B; б) ребро является и первым, и последним в обеих своих вершинах. Обратное существенное ребро либо в обеих своих вершинах является первым, либо в обеих - последним, либо в обеих вершинах - и первым, и последним. На рис. 10 указаны способы изоб- ражения каждого из вариантов. РИС. 10. Изображения обратного существенного ребра: а) ребро является первым в обеих вершинах; б) ребро является последним в обеих вершинах; в) ребро является и первым, и последним в обеих своих вершинах. ЦИКЛЫ В T -ГРАФАХ Определение 3.1. Вершинным циклом с базовой вершиной A в T -графе называется макси- мальный подграф T -графа, порожденный вершиной A и всеми вершинами, которые соответствуют перекресткам на плоской диаграмме, образованным в результате пересечения двух дуг, получен- ных при разрезании плоской диаграммы в точке A. Циклом в T -графе называется максимальный (относительно вложения) элемент во множестве всех вершинных циклов. КОДИРОВАНИЕ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ T -ГРАФОВ 537 Плоская диаграмма, которая кодируется циклом с базовой вершиной A, может быть представ- лена как пересечение двух простых замкнутых дуг α и β, начало и конец каждой из которых расположены в точке A. Зафиксируем некоторую ориентацию плоской диаграммы, тем самым ори- ентировав дуги α и β. Тогда все перекрестки, входящие в цикл, кроме точки A, представляют собой точки пересечения дуг α и β. Очевидно, что количество точек пересечения α и β долж- но быть четным. Занумеруем эти точки числами от 1 до 2n в соответствии с их расположением на ориентированной дуге α и далее упорядочим эти числа в соответствии с порядком располо- жения перекрестков на ориентированной дуге β. Получим некоторую перестановку из 2n чисел σ1σ2 ... σ2n. Определение 3.2. T -кодом цикла в T -графе будем называть пару из перестановки из 2n эле- ментов σ1σ2 ... σ2n и упорядоченного набора из 2n +1 знаков «плюс» или «минус» s0s1 ... s2n, где s0 указывает на знак перекрестка в базовой вершине цикла, а si, где i = 1,... , 2n, -на знак перекрестка с номером σi. T -код цикла будем изображать в виде таблицы. A σ1 σ2 .. . σ2n s0 s1 s2 .. . s2n Пример. Рассмотрим плоскую диаграмму узла на рис. 1 и соответствующий ей T -граф на рис. 6. Если в качестве базовой выбрать вершину A1 или A2, то вершинный цикл будет включать все вершины и тем самым совпадать со всем T -графом. Если же в качестве базовой выбрать одну из вершин B1, B2 или B3, то вершинный цикл помимо выбранной вершины будет включать еще только вершины A1 и A2. Так что у данного T -графа только один цикл, совпадающий со всем T -графом. Для записи T -кода этого цикла выберем в качестве базовой вершину A1 и дуги α и β, как указано на рис. 11. Занумеруем перекрестки в соответствии с их расположением на дуге α и упорядочим номера перекрестков в соответствии с их расположением на дуге β. Получим перестановку 3214. Добавляя сюда знаки перекрестков, получаем T -код цикла. A1 3 2 1 4 + - - - + РИС. 11. Плоская диаграмма разрезается в вершине A1 на две дуги α и β, выделен- ные сплошной и прерывистой линиями соответственно. Определение 3.3. Для четырех попарно различных целых чисел x, y, z, t из промежутка [1; n] будем говорить, что в заданной перестановке из n элементов пара x и y разделяет пару z и t, если ровно одно из чисел x или y расположено в перестановке между числами z и t. Теорема 3.1 (о реализуемости T -кодов). T -код, содержащий перестановку σ из 2n элемен- тов, реализуем как T -код некоторого цикла в T -графе плоской диаграммы некоторого узла тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие три условия: 538 О. Н. БИРЮКОВ в перестановке σ для любых различных целых k и m из промежутка [1; 2n - 1], где k и m имеют одинаковую четность, пара чисел k и k +1 не разделяет пару чисел m и m + 1; для любого четного m из промежутка [2; 2n - 2] между m и m +1 в перестановке σ не содержится ни 1, ни 2n; 1 в перестановке σ расположена раньше, чем 2n. Доказательство. T -граф, восстановленный по T -коду, является циклом тогда и только тогда, когда дуга α не содержит самопересечений. Ясно, что если числа k и m одинаковой четности, то содержащиеся в α дуги между перекрестками k и k +1 и между m и m +1 либо обе содержатся внутри области, ограниченной β, либо обе снаружи. И эти две дуги не будут пересекаться в точности тогда, когда пара чисел k и k +1 не разделяет пару чисел m и m + 1. Кроме того, часть дуги α между m и m + 1, где m четное, содержится в той же области относительно β, что и начальный (до первого перекрестка), и конечный (после последнего перекрестка) фрагменты дуги α. Чтобы начальный и конечный фрагменты не пересекались с частью дуги между m и m + 1, в перестановке ни 1, ни 2n не должны располагаться между m и m + 1. Наконец, чтобы начальный и конечный фрагменты не пересекались друг с другом, 1 в перестановке должна быть расположена раньше, чем 2n. Рассмотрим преобразование T -кодов, которое будем называть R-преобразованием. Выберем в перестановке σ, содержащейся в T -коде, два элемента k и k + m, снабженные противоположными знаками и такие, что либо m = 1, либо между k и k + m в перестановке σ расположены в произвольном порядке элементы k + 1, k + 2, .. ., k + m - 1 и только они. Тогда R-преобразованием будем называть удаление из T -кода элементов k и k+m вместе с их знаками, уменьшение на 1 всех оставшихся элементов, больших k, но меньших k + m, и уменьшение на 2 всех элементов, больших k+m. Подобное уменьшение нужно, чтобы в полученной перестановке не было «пропусков». R-пре- образование уменьшает количество элементов перестановки на 2 и тем самым упрощает T -код. В то же время несложно заметить, что в результате R-преобразования получается T -код того же самого узла, поскольку на плоской диаграмме R-преобразованию соответствует удаление двух перекрестков противоположных знаков и отражение части диаграммы, расположенной «между» этими двумя перекрестками. Пример. Рассмотрим плоскую диаграмму тривиального узла (см. рис. 12). Выберем вершину A в качестве базовой и введем обозначения для дуг α и β, как указано на рисунке. Видим, что все перекрестки, кроме A, представляют собой пересечения дуг α и β, так что T -граф состоит из одного цикла. Зафиксируем ориентацию диаграммы и в соответствии с ней занумеруем перекрестки. Получим следующий T-код: РИС. 12 A 7 6 3 4 5 2 1 8 + - - - - - + + + К вершинам 1 и 7 здесь можно применить R-преобразование, удалив эти два столбца таблицы и изменив номера оставшихся столбцов: A 5 2 3 4 1 6 + - - - - + + КОДИРОВАНИЕ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ T -ГРАФОВ 539 Далее применим R-преобразование к вершинам 1 и 5: A 1 2 3 4 + - - - + В полученном T -коде перестановка является тривиальной, и алгебраическая сумма знаков равна -1. Несложно заметить, что это и в самом деле тривиальный узел. Интересно, что исходная плоская диаграмма тривиального узла не является монотонно упро- щаемой [3], т. е. ее нельзя преобразовать в тривиальную диаграмму (не имеющую перекрестков) последовательным применением движений Рейдемейстера так, чтобы на каждом шаге количество перекрестков не увеличивалось. В то же время T -код данного узла оказался монотонно упрощаем последовательным выполнением R-преобразований. БЛОКИ В T -ГРАФАХ Определение 4.1. Путь в T -графе будем называть циклическим (остовным), если все состав- ляющие его ребра циклические (соответственно, остовные). Путь в T -графе называется гладким в некоторой своей промежуточной вершине, если два соседних ребра пути подходят к этой вершине с противоположных направлений. Если же два соседних ребра пути подходят к общей вершине с одного и того же направления, то будем говорить, что путь в этой вершине имеет касп. Определение 4.2. Циклическим (остовным) блоком в T -графе называется гладкий цикличе- ский (соответственно, остовный), простой и, возможно, замкнутый путь, который содержит ми- нимум две вершины, если для любой его вершины множество всех смежных с ней вершин в трансверсальных направлениях будет одним и тем же, и для любой его вершины в том направле- нии, в котором выходит ребро данного пути, других ребер нет. Блок называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом блоке. Теорема 4.1 (о факторизации T -графа по его блокам). Профакторизуем T -граф по всем его максимальным блокам, т. е. все вершины, входящие в некоторый блок, будем считать одной вершиной фактор-графа, и соединим эту вершину ребрами в трансверсальных направлениях с теми вершинами, с которыми была соединена каждая из вершин склеиваемого блока. Тогда полученный граф будет T -графом некоторого узла. Доказательство. Факторизация по некоторому блоку на плоской диаграмме означает замену фрагмента, как на рис. 13, на обычный перекресток. РИС. 13 По теореме 4.1 факторизацию T -графа по всем его максимальным блокам можно проводить последовательно до тех пор, пока в полученном T -графе не останется ни одного блока. Определение 4.3. Корневым T -графом узла K будем называть T -граф, не содержащий ни од- ного блока и полученный из некоторого T -графа узла K путем последовательных факторизаций по всем его максимальным блокам. T -деревом узла K будем называть ориентированное дерево, корнем которого является корневой T -граф данного узла, на каждом уровне расположены все максимальные блоки, по которым проводилась факторизация на очередном этапе, и с каждым ори- ентированным ребром дерева связана вершина, полученная в результате склеивания всех вершин блока, на который указывает данное ребро. Пример. Для T -графа на рис. 6 вершины B1, B2, B3 образуют максимальный блок; обозначим его B. Другой максимальный блок A образуют вершины A1 и A2. На рис. 14 изображено соответ- ствующее T -дерево. Как видим, корневой T -граф данного узла состоит из одной вершины C. 540 О. Н. БИРЮКОВ РИС. 14 ДВИЖЕНИЯ РЕЙДЕМЕЙСТЕРА Рассмотрим преобразования T -графа плоской диаграммы узла при применении к плоской диа- грамме движений Рейдемейстера (см. [2]). Определение 5.1. Остовным n-угольником, n ;;: 2, называется простой замкнутый остовный путь в T -графе длины n, имеющий касп в каждой вершине и состоящий из существенных ребер. Циклическим n-угольником, n ;;: 2, называется простой замкнутый гладкий циклический путь в T -графе, состоящий из существенных ребер, причем в каждой вершине одно из двух инцидентных ей ребер пути является первым в своем направлении этой вершины, а другое - последним. Пример. На рис. 15 изображена плоская диаграмма и подграф ее T -графа, являющийся остов- ным пятиугольником. При этом прерывистыми линиями на плоской диаграмме указано лишь одно из возможных соединений дуг, образующих пятиугольник. РИС. 15 КОДИРОВАНИЕ УЗЛОВ С ПОМОЩЬЮ T -ГРАФОВ 541 При n = 2 остовный двуугольник есть просто пара вершин и соединяющее их остовное ребро, которое является и первым, и последним в обеих вершинах. Заметим, что за каждой вершиной в T -графе может быть скрыт целый блок вершин, по которому выполнена факторизация. По этой причине может существовать и циклический двуугольник (см. рис. 14). Теорема 5.1. Первому движению Рейдемейстера на плоской диаграмме узла соответствует добавление к остовному n-угольнику в T -графе новой вершины или удаление такой вершины. Доказательство. Из рис. 15 видно, что каждой петле на плоской диаграмме соответствует вер- шина остовного n-угольника на T -графе. Теорема 5.2. Третьему движению Рейдемейстера на плоской диаграмме узла соответству- ет одно из следующих преобразований: остовный треугольник с тремя обычными вершинами, среди которых есть вершины с разными знаками, преобразуется в циклический треугольник и обратно (см. рис. 16); остовный двуугольник, одна из вершин A которого является обычной, а другая вершина B представляет собой циклический блок из двух вершин B1 и B2, остовное ребро явля- ется обратным и знак вершины A совпадает со знаком хотя бы одной из вершин B1 или B2, преобразуется в циклический двуугольник с обычной вершиной A и остовным блоком B из двух вершин B1 и B2, в котором одно из циклических ребер является прямым, а другое обратным (см. рис. 17). РИС. 16 РИС. 17 542 О. Н. БИРЮКОВ Доказательство. При задании ориентации плоской диаграммы три стороны треугольника A1A2A3, участвующего в третьем движении Рейдемейстера, могут оказаться все ориентированы одинаково или две стороны одинаково, а третья в противоположном направлении. Соответственно возникают две ситуации, представленные на рис. 16 и 17, где рядом с каждой плоской диаграммой изображен фрагмент T -графа.