К теории энтропийных решений нелинейных вырождающихся параболических уравнений

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 292 2. Некоторые вспомогательные утверждения 294 3. Основные результаты 304 Список литературы 311 1. ВВЕДЕНИЕ В полупространстве Π = R+ × Rn, R+ = (0, +∞), рассмотрим нелинейное параболическое уравнение ut + divx ϕ(u) - Δxg(u)= 0, (1.1) в котором вектор потока ϕ(u) = (ϕ1(u),... , ϕn(u)) и функция диффузии g(u) предполагаются лишь непрерывными: ϕi(u) ∈ C(R), i = 1,... , n, g(u) ∈ C(R), причем функция g(u) нестрого возрастает. Поскольку g(u) может быть постоянной на нетривиальных интервалах, уравнение (1.1) вырождающееся (гиперболически-параболическое). В частном случае g ≡ const оно превращается в закон сохранения первого порядка ut + divx ϕ(u)= 0. (1.2) Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.1) с начальным условием u(0, x)= u0(x) ∈ L∞(Rn). (1.3) Работа выполнена при поддержке Программы РУДН «5-100», Министерства науки и образования РФ (проект 1.445.2016/1.4) и РФФИ (грант 18-01-00258-а). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 292 К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 293 Напомним понятие энтропийного решения (а заодно введем понятия энтропийных суби суперрешений) задачи (1.1), (1.3) в смысле Карильо [10]. Пусть v+ = max(v, 0), ( 1, v > 0, H(v)= sign+ v = 0, v :( 0, - функция Хевисайда. Определение 1.1. Функция u = u(t, x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным субрешением (коloc ротко - э.субр.) задачи (1.1), (1.3), если обобщенный градиент ∇xg(u) ∈ L2 (Π, Rn), для всех k ∈ R ((u - k)+)t + divx[H(u - k)(ϕ(u) - ϕ(k))] - Δx((g(u) - g(k))+ ) :( 0 (1.4) в смысле распределений на Π (в D∗(Π)) и ess lim(u(t, x) - u0(x))+ =0 в L1 (Rn). (1.5) t→0+ loc Функция u = u(t, x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным суперрешением (э.суперр.) задачи loc (1.1), (1.3), если ∇xg(u) ∈ L2 (Π, Rn), для всех k ∈ R ((k - u)+)t + divx[H(k - u)(ϕ(k) - ϕ(u))] - Δx((g(k) - g(u))+) :( 0 в D∗(Π), (1.6) ess lim(u0(x) - u(t, x))+ =0 в L1 (Rn). (1.7) t→0+ loc Наконец, функция u = u(t, x) ∈ L∞(Π) называется энтропийным решением (э.р.) задачи (1.1), (1.3), если эта функция э.субр. и э.суперр. этой задачи. 0 Энтропийное условие (1.4) означает, что для любой пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(Π), f 0, r H(u - k){(u - k)ft + [ϕ(u) - ϕ(k) - ∇xg(u)] · ∇xf }dtdx = Π r = {(u - k)+ft + H(u - k)(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xf + (g(u) - g(k))+ Δxf }dtdx 0 (1.8) Π (здесь и ниже мы обозначаем через «·» скалярное умножение конечномерных векторов). Аналогично понимается энтропийное условие (1.6). На самом деле в статье [10] понятие э.р. было введено независимо от понятий э.субр. и э.суперр. в смысле следующего определения. Определение 1.2. Функция u = u(t, x) ∈ L∞(Π) называется э.р. задачи (1.1), (1.3), если loc ∇xg(u) ∈ L2 (Π, Rn), для всех k ∈ R |u - k|t + divx[sign(u - k)(ϕ(u) - ϕ(k))] - Δx|g(u) - g(k)| :( 0 в D∗(Π), (1.9) ess lim |u(t, x) - u0(x)| =0 в L1 (Rn). (1.10) t→0+ loc Для доказательства эквивалентности определений 1.1 и 1.2 заметим сначала, что соотношение (1.9) получается при сложении (1.4) и (1.6). Аналогично, (1.10) следует из начальных условий (1.5) и (1.7) путем их суммирования. Обратно, если функция u удовлетворяет условию (1.9), то подставив в это условие k = ±M, где M ±u±∞, получим, что ut + divx ϕ(u) - Δxg(u)=0 в D∗(Π), (1.11) т. е. u - слабое решение уравнения (1.1). С помощью тождеств 2v+ = |v| + v, 2H(v)= sign v + 1, где v = ±(u - k), условия (1.4), (1.6) вытекают из (1.9) и (1.11). Наконец, ввиду очевидного соотношения |u - u0| = (u - u0)+ + (u0 - u)+, начальные условия (1.5), (1.7) следуют из (1.10). В случае законов сохранения (1.2) понятие э.р. задачи (1.2), (1.3) совпадает с известным понятием обобщенного энтропийного решения в смысле Кружкова [1]. Известно, что э.р. задачи (1.1), (1.3) всегда существует, но в многомерном случае n > 1 может быть не единственным. Для законов сохранения (1.2) соответствующие примеры содержатся в [2, 11]. Заметим, что в случае ϕ(u) ∈ C1(R) единственность хорошо известна. Некоторые достаточные условия единственности, обобщающие результаты [11], были найдены в [8]. 294 Е. Ю. ПАНОВ Замечание 1.1. 1. Как непосредственно следует из определений, функция u = u(t, x) является э.суперр. задачи (1.1), (1.3) тогда и только тогда, когда функция -u является э.субр. задачи ut - divx ϕ(-u) - Δ(-g(-u)) = 0, u(0, x)= -u0(x). (1.12) 2. Подставив в (1.4) значение k = -±u±∞, получим что э.субр. u = u(t, x) удовлетворяет соотношению ut + divx ϕ(u) - Δxg(u) :( 0 в D∗(Π). (1.13) Аналогично, подставив в (1.6) k = ±u±∞, приходим к соотношению ut + divx ϕ(u) - Δxg(u) 0 в D∗(Π). (1.14) Из (1.13) и (1.14) следует уже отмеченное свойство, что э.р. уравнения (1.1) удовлетворяет этому уравнению в D∗(Π), т. е. является слабым решением. loc Естественно называть функцию u = u(t, x) ∈ L∞(Π), такую что ∇xg(u) ∈ L2 (Π, Rn), слабым субр. (соответственно - слабым суперр.) задачи (1.1), (1.3), если u удовлетворяет условиям (1.13), (1.5) (соответственно - (1.14), (1.7)). Основные результаты работы содержатся в следующих трех теоремах. Теорема 1.1. Существуют единственные наибольшее э.р. u+(t, x) и наименьшее э.р. u-(t, x) задачи (1.1), (1.3), причем u-(t, x) :( u+(t, x). Эти решения являются, соответственно, наибольшим э.субр. и наименьшим э.суперр. задачи (1.1), (1.3). Заметим, что существование наибольшего э.субр. и наименьшего э.суперр. доказано другими методами в недавней работе [14], в которой, впрочем, не было установлено, что эти функции являются также и э.р. Наибольшее и наименьшее э.р. удовлетворяют свойству монотонной и непрерывной (в L1-норме) зависимости от начальных данных. Точнее, справедлив следующий результат: Теорема 1.2. Пусть u1+, u2+ - наибольшие э.р. задачи (1.1), (1.3) с начальными функциями u10, u20. Тогда для п.в. t > 0 r r (u1+(t, x) - u2+(t, x))+ dx :( Rn Rn (u10(x) - u20(x))+dx. Аналогичное свойство верно и для наименьших э.р. u1- и u2-: для п.в. t > 0 r - 2- (u1 (t, x) - u (t, x))+ Rn r dx :( Rn (u10(x) - u20(x))+ dx. С помощью теоремы 1.1 устанавливается следующий принцип сравнения. Теорема 1.3. Предположим, что функции u = u(t, x), v = v(t, x) являются, соответственно, э.субр. и э.суперр. задачи (1.1), (1.3) с начальными данными u0(x), v0(x), причем u0(x) :( v0(x). Если по крайней мере одна из начальных функций периодическая, то u(t, x) :( v(t, x) п.в. в Π. Ясно, что из принципа сравнения вытекает единственность э.р. задачи (1.1), (1.3) с периодическими начальными данными. 2. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Полезно переформулировать понятие э.субр. задачи (1.1), (1.3) в виде единого интегрального неравенства. loc Предложение 2.1. Функция u = u(t, x) ∈ L∞(Π), такая что ∇xg(u) ∈ L2 (Π, Rn), является 0 э.субр. задачи (1.1), (1.3) тогда и только тогда, когда для всех k ∈ R и любой неотрицательной пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ), где Π¯ = [0, +∞) × Rn, справедливо неравенство r r H(u-k)[(u-k)ft +(ϕ(u)-ϕ(k))·∇x f +(g(u)-g(k))Δx f ]dtdx+ (u0(x)-k)+f (0, x)dx 0. (2.1) Π Rn К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 295 Доказательство. Пусть E состоит из таких значений t > 0, что (t, x) является точкой Лебега функции u(t, x) для почти всех x ∈ Rn. Известно (см., например, [13, Lemma 1.2]), что E - множество полной меры и что t ∈ E - общая точка Лебега функций t → Г Rn u(t, x)b(x)dx, где b(x) ∈ L1(Rn). Так как точка Лебега функции u является также точкой Лебега и композиции p(u) для любой непрерывной функции p ∈ C(R) (здесь нужно принять во внимание ограниченность u = u(t, x)), мы можем заменить u в указанном выше свойстве на p(u) и, в частности, на (u - k)+, 0 k ∈ R. Выберем функцию ω(s) ∈ C∞(R) со свойствами ω(s) 0, supp ω ⊂ [0, 1], Г ω(s)ds =1 и s определим последовательности ωr (s)= rω(rs), θr(s)= Г -∞ rs ωr(σ)dσ = Г -∞ ω(σ)dσ, r ∈ N. Очевидно, последовательность ωr(s) сходится при r → ∞ к δ-мере Дирака слабо в D∗(R), а последовательloc ность θr(s) сходится к функции Хевисайда H(s) поточечно, а также и в L1 (R). Заметим, что 0 0 0 :( θr (s) :( 1. Пусть f = f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ), f 0, и t0 ∈ E. Применяя (1.4) к неотрицательной пробной функции θr (t - t0)f (t, x) ∈ C∞(Π), приходим к соотношению r (u - k)+ωr(t - t0)f dtdx + Π r + Π Так как H(u - k)[(u - k)ft + (ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xf + (g(u) - g(k))Δx f ]θr(t - t0)dtdx 0. (2.2) +∞⎛ ⎞ r r (u - k)+ωr(t - t0)f dtdx = Π 0 r ⎝ (u(t, x) - k)+f (t, x)dx⎠ ωr (t - t0)dt, Rn в то время как t0 - точка Лебега функции t → Г (u(t, x) - k)+f (t, x)dx, из (2.2) в пределе при Rn r →∞ следует, что r (u(t0, x) - k)+f (t0, x)dx + Rn r + (t0 ,+∞)×Rn H(u - k)[(u - k)ft + (ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xf + (g(u) - g(k))Δxf ]dtdx 0. (2.3) Перейдем в (2.3) к пределу при E э t0 → 0. Так как (u(t, x)-k)+ :( (u0(x)-k)+ +(u(t, x)-u0(x))+, получим, что r lim sup Eэt0 →0 r (u(t0, x) - k)+f (t0, x)dx :( (u0(x) - k)+f (0, x)dx + + lim Rn Rn r r (u(t0, x) - u0(x))+ f (t0, x)dx = (u0(x) - k)+f (0, x)dx, Eэt0→0 Rn Rn где мы учитываем начальное условие (1.5). С помощью этого соотношения требуемое неравенство (2.1) следует из (2.3) в пределе при E э t0 → 0. 0 Обратно, допустим, что соотношение (2.1) выполнено. Из этого соотношения в случае неотрицательной финитной пробной функции f ∈ C∞(Π) следует, что r H(u - k)[(u - k)ft + (ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xf + (g(u) - g(k))Δxf ]dtdx 0. Π 0 Это означает, что ((u - k)+)t + divx[H(u - k)(ϕ(u) - ϕ(k))] - Δx((g(u) - g(k))+ ) :( 0 в D∗(Π), и энтропийное условие (1.4) выполнено. Остается проверить начальное условие (1.5) определения 1.1. Фиксируем неотрицательную функцию h(x) ∈ C∞(Rn) и рассмотрим пробную функцию 296 Е. Ю. ПАНОВ f = h(x)(1 - θr (t - t0)), где t0 ∈ E. Применив (2.1) к пробной функции f, получим, что r r (u0(x) - k)+h(x)dx - Rn Π r (u(t, x) - k)+ωr(t - t0)hdtdx + + (0,t0 +1/r)×Rn H(u - k)[(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇h + (g(u) - g(k))Δh](1 - θr (t - t0))dtdx 0. В пределе при r →∞ из этого соотношения следует неравенство r r (u0(x) - k)+h(x)dx - Rn Rn r (u(t0, x) - k)+h(x)dx + + (0,t0 )×Rn H(u - k)[(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇h + (g(u) - g(k))Δh]dtdx 0, из которого в пределе при E э t0 → 0 следует, что r r lim sup Eэt0 →0 Rn (u(t0, x) - k)+h(x)dx :( Rn (u0(x) - k)+h(x)dx. (2.4) Ясно, что (2.4) верно и для неотрицательных суммируемых функций h(x) ∈ L1(Rn). Фиксируем m i ε > 0. Так как u0(x) ∈ L∞(Rn), найдется ступенчатая функция v(x) = ), viχA (x), где vi ∈ R, а n χAi (x) - характеристические функции измеримых множеств Ai ⊂ R i=1 , такая что ±u0 - v±∞ < ε. Можно считать множества Ai, i = 1,... , m, дизъюнктными. Ввиду (2.4) r lim sup Eэt0→0 m r (u(t0, x) - v(x))+h(x)dx = lim sup ) Eэt0→0 i=1 i (u(t0, x) - vi)+χA (x)h(x)dx :( Rn m :( ) r (u (x) v )+χ Rn r (x)h(x)dx = (u (x) v(x))+h(x)dx :( ε h . (2.5) 0 - i Ai 0 - i=1Rn Rn ± ±1 Поскольку (u(t0, x) - u0(x))+ :( (u(t0, x) - v(x))+ + (v(x) - u0(x))+ < (u(t0, x) - v(x))+ + ε, из (2.5) + следует, что lim supEэt0→0 Г (u(t0, x) - u0(x)) h(x)dx :( 2ε±h±1, и ввиду произвольности ε > 0 получаем, что lim Rn Г (u(t0, x) - u0(x))+h(x)dx = 0 для всех h(x) ∈ L1(Rn), откуда вытекает Eэt0→0Rn + 1 n желаемое соотношение ess limt→0+(u(t, x) - u0(x)) =0 в Lloc(R ). Для э.суперр. u интегральное неравенство (2.1) следует заменить на следующий его аналог: r r H(k -u)[(k -u)ft +(ϕ(k)-ϕ(u))·∇xf +(g(k)-g(u))Δx f ]dtdx+ Π Rn (k -u0(x))+f (0, x)dx 0 (2.6) 0 0 ∀k ∈ R, f = f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ), f 0. Это соотношение эквивалентно (2.1) для задачи (1.12), и с учетом замечания 1.1 (i) из предложения 2.1 следует, что условие (2.6) эквивалентно (1.6), (1.7). Складывая (2.1), (2.6) в случае э.р. u = u(t, x), получим, что для любой f ∈ C∞(Π¯ ), f 0 r r sign(u-k)[(u-k)ft +(ϕ(u)-ϕ(k))·∇x f +(g(u)-g(k))Δx f ]dtdx+ |u0(x)-k|f (0, x)dx 0. (2.7) Π Rn Так же, как в предложении 2.1, доказывается, что (2.1) эквивалентно соотношениям (1.9), (1.10). Нам потребуются некоторые полезные априорные оценки э.субр. Предложение 2.2. Если u = u(t, x) является э.субр. задачи (1.1), (1.3), то ∀k ∈ R для п.в. t > 0. r r (u(t, x) - k)+dx :( Rn Rn (u0(x) - k)+dx (2.8) К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 297 Доказательство. Пусть M = ±u±∞. Заметим, что неравенство (2.8) нетривиально только в случае, когда Г (u0(x) - k)+dx < +∞, что и будем далее предполагать. Рассмотрим сначала случай k = 0. Rn Обозначим при m n, δ > 0 ⎧ 0, u :( 0, u ⎪ r α(s)= min((s+)m, 1), β(k)= α(k/δ), η(u)= ⎪⎨ β(k)dk = ⎪ um+1 (m + 1)δm , 0 < u :( δ, mδ -∞ ⎪ , u > δ, ⎩ u - m +1 и проинтегрируем (2.1) по неотрицательной конечной мере β∗(k)dk. Учитывая тождество u r r (u - k)+β∗(k)dk = 0 β(k)dk = η(u), 0 получим, что для любой неотрицательной пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ) r r [η(u)ft + ψ(u) · ∇xf + h(u)Δxf ]dtdx + Π Rn u u η(u0(x))f (0, x)dx 0, (2.9) где ψ(u) = Г (ϕ(u) - ϕ(k))β∗ (k)dk ∈ C(R, Rn), h(u) = Г (g(u) - g(k))β∗ (k)dk ∈ C(R). Заметим, что 0 0 u при |u| :( M выполнено |ψ(u)| :( 2 max |ϕ(u)| Г β∗(k)dk = 2 max |ϕ(u)|β(u) и, аналогично, имеет |u|:(M 0 |u|:(M место 0 :( h(u) :( 2 max |g(u)|β(u) (здесь и ниже |v| обозначает евклидову норму конечномерного |u|:(M вектора v). Из этих оценок следует, что для любого ε > 0 верны неравенства |ψ(u)| η(u)+ ε C1β(u) :( η(u)+ ε, h(u) C2β(u) η(u)+ ε :( η(u)+ ε , где C1 =2 max |ϕ(u)|, C2 =2 max |g(u)|. |u|:(M = Так как β(u)=1 при u > δ, функция H(u) . |u|:(M β(u) η(u)+ ε убывает на [δ, +∞). Поэтому max H(u)= max H(u) :( max (u/δ)m = max m +1 . [0,δ] u>0 δ(u/δ)m+1 /(m + 1)+ ε v=u/δ>0 δv + (m + 1)εv-m 1 Путем прямых вычислений находим min(δv + (m + 1)εv-m)= δ(m + 1) m(m + 1)ε m+1 . Поэтому m δ 1 v>0 m δ m+1 - 1 H(u) :( δ m(m + 1) o m+1 . Итак, |ψ(u)| 1 - h(u) 1 - η(u)+ ε :( Cε m+1 , η(u)+ ε :( Cε m+1 , (2.10) 1 m δ где C = max(C1, C2) δ следует, что m(m + 1) m+1 = const. Заметим, что Г ftdtdx = - Г Π Rn f (0, x)dx и из (2.9) r r [(η(u)+ ε)ft + ψ(u) · ∇xf + h(u)Δxf ]dtdx + Π Rn (η(u0(x)) + ε)f (0, x)dx 0. (2.11) Выберем нестрого убывающую функцию ρ(r) ∈ C∞(R) со свойствами: ρ(r) = 1 при r :( 0, ρ(r) = e-r при r 1, ρ(r) вогнута на (-∞, 1/2] и выпукла на [1/2, +∞) (так что 1/2 - точка перегиба функции ρ(r)). Такая функция удовлетворяет неравенству ρ∗∗(r) :( c|ρ∗(r)| = -cρ∗(r) (2.12) 298 Е. Ю. ПАНОВ с некоторой положительной константой c. Действительно, ρ∗∗(r) :( 0 :( |ρ∗(r)| при r < 1/2, ρ∗∗(r)= -ρ∗(r)= e-r при r > 1, а на оставшемся отрезке [1/2, 1] верно неравенство -ρ∗(r) -ρ∗(1) = e-1 ввиду выпуклости ρ(r), откуда следует оценка ρ∗∗(r) :( -cρ∗(r), где c = e max 1/2:(r:(1 ρ∗∗(r) eρ∗∗(1) = 1. Итак, (2.12) выполнено с указанной константой c. Возьмем пробную функцию вида f (t, x) = ρ(N (t - t0)+ |x|- R)θr (t0 - t), где 0 < t0 < T, R > 1, константа N = N (ε) будет указана позднее, а последовательность θr (s), r ∈ N, определена в доказательстве предложения 2.1 выше. Заметим, что функция f не зависит от x (именно, f = θr (t0 - t)) в окрестности |x| < R луча x = 0, так что нулевая особенность функции |x| не портит гладкости f : f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ). Поскольку функция f вместе со всеми своими производными экспоненциально убывает при |x| → ∞, мы можем использовать ее в качестве пробной функции в (2.11). Заметим, что ft(t, x)= N ρ∗(N (t - t0)+ |x|- R)θr(t0 - t) - ρ(N (t - t0)+ |x|- R)ωr (t0 - t), (2.13) x ∇xf = ρ∗(N (t - t0)+ |x|- R)θr (t0 - t) |x| , (2.14) Δxf = ( ρ∗∗(N (t - t0)+ |x|- R)+ ρ∗(N (t - t0)+ |x|- R) n - 1 \ |x| θr (t0 - t) :( :( -cρ∗(N (t - t0)+ |x|- R)θr(t0 - t) (2.15) ввиду (2.12) и условия ρ∗ :( 0. С помощью соотношений (2.13), (2.14) и (2.15) из (2.11) следует, что для достаточно больших r ∈ N r r - [(η(u)+ ε)ωr (t0 - t)ρ(N (t - t0)+ |x|- R)dtdx + Π Rn r (η(u0(x)) + ε)ρ(|x|- Nt0 - R)dx + + [N (η(u)+ ε) - |ψ(u)|- ch(u)]ρ∗ (N (t - t0)+ |x|- R)θr (t0 - t)dtdx 0. (2.16) Π 1 Подставив в (2.16) N = C(1 + c)ε- m+1 , получим что N (η(u)+ ε) - |ψ(u)|- ch(u) 0 ввиду (2.10). Так как ρ∗ :( 0, последний интеграл в (2.16) неположителен и из (2.16) вытекает неравенство r r [(η(u)+ ε)ωr (t0 - t)ρ(N (t - t0)+ |x|- R)dtdx :( Π Rn (η(u0(x)) + ε)ρ(|x|- Nt0 - R)dx. Предположим, что t0 ∈ E, где E ⊂ R+ - множество полной меры, введенное в доказательстве предложения 2.1. Тогда в пределе при r → ∞ из полученного выше неравенства следует соотношение r r η(u(t0, x))ρ(|x|- R)dx :( Rn Rn (η(u0(x)) + ε)ρ(|x|- Nt0 - R)dx :( r r Заметим, что r r ρ(|x|- Nt0 - R)dx :( :( Rn dx + eNt0 +R η(u0(x))dx + ε Rn r e-|x|dx :( ρ(|x|- Nt0 - R)dx. (2.17) Rn |x|:(Nt0+R+1 |x|>Nt0+R+1 :( cn(Nt0 + R + 1)n + ncneNt0 +R +∞ r e-rrn-1dr, (2.18) где cn - это мера единичного шара в Rn. Так как Nt0 +R+1 +∞ r Nt0 +R+1 e-rrn-1dr = +∞ r e-s-Nt0 -R-1(s + Nt0 + R + 1)n-1ds :( 0 К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 299 :( (Nt0 + R + 1)n-1e-Nt0 -R-1 +∞ r e-s(1 + s)n-1ds = a(Nt0 + R + 1)n-1e-Nt0 -R-1, 0 a = const, из (2.18) следует, что для некоторых констант a1, a2 r 1 ε ρ(|x|- N (ε)t0 - R)dx :( a1ε(N (ε)t0 + R + 1)n :( a2ε(1 + ε- m+1 )n → 0 ε→0+ Rn (напомним, что m +1 > n). Поэтому, переходя в (2.17) к пределу при ε → 0+, получим, что для всех t0 ∈ E r Rn r η(u(t0, x))ρ(|x|- R)dx :( Rn η(u0(x))dx. (2.19) Заметим, что 0 :( η(u) :( u+ и η(u) → u+ при δ → 0. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла из (2.19) в пределе при δ → 0 следует, что для п.в. t = t0 > 0 r r (u(t, x))+ ρ(|x|- R)dx :( Rn Rn (u0(x))+dx < +∞. Переходя в левом интеграле к пределу при R → ∞, получим неравенство r r (u(t, x))+ dx :( Rn Rn (u0(x))+dx, (2.20) совпадающее с (2.8) при k = 0. В общем случае k ∈ R заметим, что u - k является э.субр. задачи ut + divx ϕ(u + k) - Δxg(u + k), u(0, x)= u0(x) - k. Применяя к этому э.субр. неравенство (2.20), получим требуемую оценку (2.8). Следствие 2.1. Если u = u(t, x) - э.суперр. задачи (1.1), (1.3), то ∀k ∈ R для п.в. t > 0. r r (k - u(t, x))+dx :( Rn Rn (k - u0(x))+dx (2.21) Доказательство. По замечанию 1.1 (i) функция -u является э.субр. задачи (1.12). Применяя к этому э.субр. (2.8) с константой -k вместо k, получим (2.21). Следствие 2.2. Любое э.субр. u = u(t, x) задачи (1.1), (1.3) удовлетворяет следующему принципу максимума u(t, x) :( b = ess sup u0(x) для п.в. (t, x) ∈ Π. Аналогично, любое э.суперр. u = u(t, x) задачи (1.1), (1.3) удовлетворяет принципу минимума u(t, x) a = ess inf u0(x) для п.в. (t, x) ∈ Π. Доказательство. Принципы максимума/мнимума непосредственно следуют из (2.8), (2.21) при k = b и k = a, соответственно. 0 Лемма 2.1. Пусть u = u(t, x) ∈ L∞(Π) - слабое субр. задачи (1.1), (1.3). Допустим также, что η(u) ∈ C1(R), η∗(u) = p(g(u)), где p(v) - непрерывная по Липшицу неотрицательная и нестрого возрастающая функция. Тогда для любой пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(R), f 0, r (η(u)t,f ) = - Π r η(u)ftdtdx :( Π (ϕ(u) - ∇xg(u)) · ∇x(p(g(u))f )dtdx. Доказательство. Поскольку η∗(u)= p(g(u)) возрастает, то функция η(u) выпукла, откуда следует, что для любых (t, x) ∈ Π и h > 0 η(u(t + h, x)) - η(u(t, x)) :( η∗(u(t + h, x))(u(t + h, x) - u(t, x)) = p(g(u(t + h, x)))(u(t + h, x) - u(t, x)). Умножим это неравенство на f (t + h, x) и проинтегрируем по (t, x) ∈ Π. В результате получим, что при 0 < h < min{t | (t, x) ∈ supp f } 300 Е. Ю. ПАНОВ r r η(u(t, x))(f (t, x) - f (t + h, x))dtdx = Π Π r η((u(t + h, x)) - η(u(t, x)))f (t + h, x)dtdx :( :( p(g(u(t + h, x)))(u(t + h, x) - u(t, x))f (t + h, x)dtdx. (2.22) Π Применяя (1.13) к пробной функции f = a(t)b(x) с a(t) ∈ C∞(R+), b(x) ∈ C∞(Rn), a(t), b(x) 0, получим неравенство r∞ r - I(t)a∗(t)dt :( 0 Π 0 0 [ϕ(u) - ∇xg(u)] · ∇xb(x)a(t)dtdx, где обозначено I(t)= Г Rn u(t, x)b(x)dx. Это неравенство означает, что в D∗(R+) r I∗(t) :( Rn [ϕ(u(t, x)) - ∇xg(u(t, x))] · ∇xb(x)dx. (2.23) Пусть E - множество полной меры, определенное выше в доказательстве предложения 2.1. Предположим, что t1, t2 ∈ E, t2 > t1. Тогда t1, t2 - точки Лебега функции I(t) и из (2.23) следует, что r (u(t2, x)-u(t1, x))b(x)dx = I(t2)-I(t1) :( Rn r (t1 ,t2)×Rn [ϕ(u(τ, x))-∇xg(u(τ, x))]·∇x b(x)dτ dx. (2.24) 2 Ясно, что это свойство верно и для функций b(x) из пространства Соболева W 1(Rn). В частности, можно взять b = p(g(u(t+h, x)))f (t+h, x) при почти всех фиксированных t. Тогда для всех таких t, удовлетворяющих также условию t, t + h ∈ E, имеем r (u(t + h, x) - u(t, x))p(g(u(t + h, x)))f (t + h, x)dx :( Rn r :( (t,t+h)×Rn [ϕ(u(τ, x)) - ∇xg(u(τ, x))] · ∇x(p(g(u(t + h, x)))f (t + h, x))dτ dx. (2.25) Подставив (2.25) в (2.22), получим, что r η(u(t, x))(f (t, x) - f (t + h, x))dtdx :( Π t+h r r :( [ϕ(u(τ, x)) - ∇xg(u(τ, x))] · ∇x(p(g(u(t + h, x)))f (t + h, x))dτ dtdx = Π t τ r r = [ϕ(u(τ, x)) - ∇xg(u(τ, x))] · ∇x(p(g(u(t + h, x)))f (t + h, x))dtdτ dx = Π τ -h r = [ϕ(u(τ, x)) - ∇xg(u(τ, x))] · ∇xqh(τ, x)dτ dx, (2.26) Π где мы применили теорему Фубини и обозначили τ r qh(τ, x)= p(g(u(t + h, x)))f (t + h, x)dt = τ +h r p(g(u(t, x)))f (t, x)dt. Заметим, что τ -h τ К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 301 τ +h 1 1 r h ∇xqh(τ, x)= h τ ∇x(p(g(u(t, x)))f (t, x))dt → ∇x(p(g(u(τ, x)))f (τ, x)) = h→0 = p∗(g(u(τ, x)))∇x g(u(τ, x))f (τ, x)+ p(g(u(τ, x)))∇x f (τ, x) (2.27) в L 2 loc (Π). Здесь мы берем борелевский представитель обобщенной производной p∗(v) (напомним, что эта функция определена с точностью до равенства почти всюду). Разделим (2.26) на h иперейдем к пределу при h → 0 с учетом соотношения (2.27). В итоге придем к требуемому неравенству r r - η(u(t, x))ft (t, x)dtdx :( Π Π r [ϕ(u(τ, x)) - ∇xg(u(τ, x))] · ∇x(p(g(u(τ, x)))f (τ, x))dτ dx = = [ϕ(u(t, x)) - ∇xg(u(t, x))] · ∇x(p(g(u(t, x)))f (t, x))dtdx. Π 0 Следствие 2.3. Пусть u = u(t, x) - слабое субр. задачи (1.1), (1.3), ±u±∞ :( M. Тогда для любой неотрицательной функции α(t) ∈ C1(R+) r 2 -|x| |∇xg(u)| e Π α(t)dtdx :( C(α, M ), (2.28) где константа C(α, M ) зависит только от α и M. Доказательство. Обозначим a = -M и применим лемму 2.1 к функции p(v) = (v - g(a))+ . Получим соотношение r {η(u)ft + (ϕ(u) - ∇xg(u)) · ∇x(p(g(u))f )}dtdx 0, (2.29) Π u где η(u)= Г (g(s) - g(a))+ ds. Подставляя в (2.29) f = α(t)e-|x| и используя тождество ∇xp(g(u)) = a ∇x(g(u) - g(a)) = ∇xg(u), получим, что r r 2 |∇xg(u)| f dtdx :( Π Π r [η(u)ft + f ϕ(u) · ∇xg(u)+ p(g(u))(ϕ(u) - ∇xg(u)) · ∇xf ]dtdx :( :( [η(u)|ft| + |ϕ(u)||∇xg(u)|f + p(g(u))(|ϕ(u)| + |∇xg(u)|)f ]dtdx = Π r = [η(u)|ft| + p(g(u))|ϕ(u)|f + (p(g(u)) + |ϕ(u)|)|∇x g(u)|f ]dtdx, (2.30) Π где мы учли, что ∇xf = - x |x| f, а значит, |(ϕ(u) - ∇xg(u)) · ∇xf | = |(ϕ(u) - ∇xg(u)) · x/|x||f :( |ϕ(u) - ∇xg(u)|f :( (|ϕ(u)| + |∇xg(u)|)f. Из (2.30) с помощью неравенства Юнга следует оценка r r 2 |∇xg(u)| f dtdx :( Π Π [η(u)|α∗(t)| + p(g(u))|ϕ(u)|α(t)]e-|x| dtdx + из которой получаем 2 1 r r + 2 |∇xg(u)| f dtdx + Π Π 2 1 (p(g(u)) + |ϕ(u)|)2f dtdx, r 2 |∇xg(u)| f dtdx :( C(α, M ) Π 302 Е. Ю. ПАНОВ . r = max [2(η(u)+ p(g(u))|ϕ(u)|)+ (p(g(u)) + |ϕ(u)|)2] |u|:(M Π что и требовалось доказать. max(α(t), |α∗(t)|)e-|x|dtdx, Пусть Hr(u) = max(0, min(1, ru)), r ∈ N - последовательность аппроксимаций функции Хевисайда H(u) = sign+(u). Обозначим через S = Sg множество значений v ∈ R, таких что прообраз g-1(v) состоит из одной точки. Следующая лемма аналогична [10, Lemma 5]. Лемма 2.2. Пусть u = u(t, x) ∈ L∞(Π) - слабое субр. задачи (1.1), (1.3). Тогда для всех k ∈ R, 0 таких что g(k) ∈ S, для любой пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(Π), f 0, r H(u - k)[(u - k)ft + (ϕ(u) - ϕ(k) - ∇xg(u)) · ∇xf ]dtdx Π r 2 r lim sup r→∞ Π H∗ (g(u) - g(k))|∇xg(u)| f dtdx 0. (2.31) Доказательство. Так как g(k) ∈ S, то H(u - k) = H(g(u) - g(k)) = lim Hr (g(u) - g(k)). Пусть u r→∞ ηr (u)= Г Hr (g(s) - g(k))ds. Очевидно, ηr (u) → (u - k)+ при r →∞ равномерно по u. По лемме 2.1 k 0 с p(v)= Hr(v - g(k)), для всех f = f (t, x) ∈ C∞(Π), f 0 r {ηr (u)ft + ((ϕ(u) - ϕ(k)) - ∇xg(u)) · ∇x(Hr(g(u) - g(k))f )}dtdx = Π r = {ηr (u)ft + (ϕ(u) - ∇xg(u)) · ∇x(Hr (g(u) - g(k))f )}dtdx 0, (2.32) Π где мы также учли, что вектор Г ∇x(Hr (g(u) - g(k))f )dtdx = 0. Поскольку Π r ∇x(Hr (g(u) - g(k))f )= fH∗ (g(u) - g(k))∇xg(u)+ Hr (g(u) - g(k))∇xf, из (2.32) следует, что r {ηr (u)ft + Hr (g(u) - g(k))((ϕ(u) - ϕ(k)) - ∇xg(u)) · ∇xf }dtdx + Π r r r + fH∗ (g(u) - g(k))(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xg(u)dtdx - Π Π r | fH∗ (g(u) - g(k))|∇x g(u) 2dtdx 0. (2.33) Перейдем в (2.33) к пределу при r → ∞. Учитывая, что ∇xg(u) = 0 п.в. на множестве, где g(u)= g(k), мы видим, что первый интеграл r r {ηr (u)ft + Hr (g(u) - g(k))((ϕ(u) - ϕ(k)) - ∇xg(u)) · ∇xf }dtdx → →∞ Π r r → H(u - k)[(u - k)ft + (ϕ(u) - ϕ(k) - ∇xg(u)) · ∇xf ]dtdx. (2.34) →∞ Π Предельный переход во втором интеграле осуществляется по той же схеме, что и в доказательстве ∞ 0 леммы [10, Lemma 1]. Пусть M max(±u± , |k|), g-1(v), где v ∈ [g(-M ), g(M )] - точка в g-1 (v) с минимальным модулем. В случае ∈ [g(-M ), g(M )] будет удобно положить g-1(v)= k. Очевидно, v / 0 -1 u = g0 (g(u)) как только |u| :( M, g(u) ∈ S, в то время как ∇xg(u(t, x)) = 0 почти всюду на множестве таких (t, x), что g(u) ∈/ S. Поэтому r Ir = Π r fH∗ (g(u) - g(k))(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xg(u)dtdx = К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 303 r r = fH∗ (g(u) - g(k))(ϕ(g-1 (g(u))) - ϕ(k)) · ∇xg(u)dtdx = divx Fr (g(u))f dtdx, (2.35) r Π где обозначено 0 v r Fr (v)= Π H∗ (s - g(k))(ϕ(g-1 (s)) - ϕ(k))ds. (2.36) Ясно, что g(k) r 0 g(k)+1/r r |Fr (v)| :( r |ϕ(g-1 (s)) - ϕ(k)|ds → 0, 0 g(k) r→∞ поскольку функция g-1(s) непрерывна в точке g(k) ∈ S и g-1(g(k)) = k. По теореме Лебега о 0 0 предельном переходе под знаком интеграла из (2.35) вытекает, что r Ir = - Π Fr (g(u)) · ∇xf dtdx → 0 при r → ∞. (2.37) С учетом (2.34), (2.37) из соотношения (2.33) в пределе при r → ∞ следует требуемое неравенство (2.31). Замечание 2.1. Как видно из доказательства леммы 2.2, при M max(±u±∞, |k|) для всех r ∈ N r Π r r | fH∗ (g(u) - g(k))|∇x g(u) 2dtdx :( C(M ) Π (|ft| + |∇xf | + |Δxf |)dtdx, (2.38) где C(M ) - константа, зависящая только от M. v Действительно, обозначим pr (v) = Г g(k) Hr(s - g(k))ds, так что 0 :( pr(v) :( (v - g(k))+ и ∇xpr (g(u)) = Hr (g(u) - g(k))∇x g(u). Тогда ввиду (2.33), (2.35) и (2.37) r r | fH∗ (g(u) - g(k))|∇x g(u) 2dtdx :( Π r :( {ηr (u)ft + Hr(g(u) - g(k))((ϕ(u) - ϕ(k)) - ∇xg(u)) · ∇xf }dtdx + Ir = Π r = {ηr (u)ft + Hr(g(u) - g(k))(ϕ(u) - ϕ(k)) · ∇xf + pr (g(u))Δxf - Fr (g(u)) · ∇xf }dtdx :( Π r :( {ηr (u)|ft| + (|ϕ(u) - ϕ(k)| + |Fr (g(u))|)|∇x f | + |g(u) - g(k)||Δx f |}dtdx. (2.39) Π По (2.36) при u, k ∈ [-M, M ] получим, что |Fr (g(u))| :( max |ϕ(u) - ϕ(k)| :( 2 max |ϕ(u)|, и оценка (2.38) непосредственно вытекает из (2.39). |u|:(M |u|:(M Следствие 2.4. Если функция диффузии g(u) строго возрастает и u = u(t, x) - слабое субр. (суперр.) задачи (1.1), (1.3), то u является и э.субр. (э.суперр.) этой задачи. Доказательство. Так как функция g(u) строго возрастает, g(k) ∈ S для всех k ∈ R. По лемме 2.2 соотношение (2.31) выполнено для всех k ∈ R. Поэтому u удовлетворяет энтропийному условию (1.4), а значит, является э.субр. задачи (1.1), (1.3). Если же u слабое суперр. задачи (1.1), (1.3), то, как следует из (1.14), (-u)t + divx(-ϕ(u)) - Δx(-g(u)) = -[ut + divx ϕ(u) - Δxg(u)] :( 0 в D∗(Π), т. е. функция -u удовлетворяет условию (1.13) для уравнения (1.12). Поэтому, функция -u является слабым субр. задачи (1.12). Как уже установлено, -u является и э.субр. этой задачи. Но тогда функция u есть э.суперр. исходной задачи (1.1), (1.3) в силу замечания 1.1 (i). 304 Е. Ю. ПАНОВ 0 Следствие 2.5. Если u = u(t, x) - слабое суперр. задачи (1.1), (1.3), то для всех k ∈ R таких, что g(k) ∈ S и любой пробной функции f = f (t, x) ∈ C∞(R), f 0 r H(k - u)[(k - u)ft + (ϕ(k) - ϕ(u)+ ∇xg(u)) · ∇xf ]dtdx Π r 2 r lim sup r→∞ Π H∗ (g(k) - g(u))|∇x g(u)| f dtdx 0. (2.40) Доказательство. Как было показано в доказательстве предыдущего следствия 2.4, -u есть слабое субр. задачи (1.12). Очевидно, -g(k) ∈ S-g(-u). По лемме 2.2, примененной к слабому э.субр. -u задачи (1.12) с константой -k вместо k, имеем r r H(k-u)[(k-u)ft + (ϕ(k) - ϕ(u)+ ∇xg(u)) · ∇xf ]dtdx lim sup r→∞ r | H∗ (g(k) - g(u))|∇x g(u) 2f dtdx, Π Π что и требовалось доказать. 3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Теорема 3.1. Пусть u1 = u1(t, x), u2 = u2(t, x) - э.субр. и э.суперр. задачи (1.1), (1.3), соответственно (со своими начальными функциями). Тогда ((u1 - u2)+)t + divx[H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2))] - Δx[H(u1 - u2)(g(u1) - g(u2))] :( 0 в D∗(Π). (3.1) Доказательство. В случае э.р. u1, u2, соотношение (3.1) было доказано в [10, Theorem 13]. Общий случай требует лишь небольшой коррекции. Для полноты изложения приведем детали. Как и в [10], будем использовать технику удвоения переменных. Именно, будем рассматривать u2 как функцию новых переменных (s, y) ∈ Π. Подставив в (1.4) k = u2(s, y), получим, что ((u1 - u2)+)t + divx[H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2))] - Δx(g(u1) - g(u2))+ :( 0 в D∗(Π). 0 Поэтому для любой неотрицательной пробной функции f = f (t, x; s, y) ∈ C∞(Π × Π) и всех (s, y) ∈ Π r {(u1 - u2)+ft + H(u1 - u2)[(ϕ(u1) - ϕ(u2)) - ∇xg(u1)] · ∇xf }dtdx 0. (3.2) Π = Кроме того, если (s, y) ∈ D2 . { (s, y) ∈ Π | g(u2(s, y)) ∈ Sg }, то по лемме 2.2 r {(u1 - u2)+ft + H(u1 - u2)[(ϕ(u1 ) - ϕ(u2)) - ∇xg(u1)] · ∇xf }dtdx Π r 2 r lim sup r→∞ Π H∗ (g(u1) - g(u2))|∇xg(u1)| f dtdx. (3.3) После интегрирования по переменным (s, y) из (3.2), (3.3) следует, что r Π×Π {(u1 - u2)+ft + H(u1 - u2)[(ϕ(u1) - ϕ(u2)) - ∇xg(u1)] · ∇xf }dtdxdsdy r lim sup r→∞ r | H∗ (g(u1) - g(u2))|∇xg(u1) 2f dtdxdsdy = Π×D2 r = lim sup r→∞ r | H∗ (g(u1) - g(u2))|∇xg(u1) 2f dtdxdsdy, (3.4) D1 ×D2 К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 305 r где обозначено D1 = { (t, x) ∈ Π | g(u1(t, x)) ∈ Sg }. В (3.4) мы учли, что ∇xg(u1) = 0 п.в. на дополнении множества D1. Мы также используем свойство, что при Jr (s, y) = Г H∗ (g(u1) - | g(u2))|∇xg(u1) 2f dtdx справедливо соотношение r r lim sup Jr (s, y)dsdy lim sup Π Jr (s, y)dsdy. (3.5) r→∞ D2 r→∞ D2 Действительно, по замечанию 2.1 последовательность Jr (s, y) равномерно ограничена и имеет общий компактный носитель (в качестве которого можно взять проекцию носителя f на пространство переменных (s, y)). Поэтому 0 :( Jr (s, y) :( q(s, y) для некоторой суммируемой функции q ∈ L1(Π). Применяя лемму Фату к последовательности q - Jr, получаем (3.5). Аналогично, так как u2 = u2(s, y) - э.суперр. уравнения us +divy ϕ(u)-Δyg(u)= 0, то подставив в соотношение (1.6), выписанное для u = u2(s, y), значение k = u1(t, x), получим после применения к пробной функции f (t, x; ·) и последующего интегрирования по (t, x) ∈ Π, что r Π×Π {(u1 - u2)+fs + H(u1 - u2)[(ϕ(u1 ) - ϕ(u2)) + ∇yg(u2)] · ∇yf }dtdxdsdy r 2 r lim sup r→∞ H∗ (g(u1) - g(u2))|∇y g(u2)| f dtdxdsdy, (3.6) D1 ×D2 где учтено соотношение (2.40). Так как, очевидно, для всех r ∈ N r 0= Π×Π ∇xg(u1) · ∇y (Hr (g(u1) - g(u2))f )dtdxdsdy = r = - Π×Π r H∗ (g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yg(u2)f dtdxdsdy + r + Π×Π r Hr(g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yf dtdxdsdy, 0= Π×Π ∇yg(u2) · ∇x(Hr (g(u1) - g(u2))f )dtdxdsdy = r = Π×Π r H∗ (g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yg(u2)f dtdxdsdy + r + Π×Π Hr(g(u1) - g(u2))∇y g(u2) · ∇xf dtdxdsdy, приходим к следующим предельным соотношениям: r r - H(u1 - u2)∇xg(u1) · ∇yf dtdxdsdy = - H(g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yf dtdxdsdy = Π×Π r - = lim r→∞ Π×Π r H∗ (g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yg(u2)f dtdxdsdy = Π×Π r - = lim r→∞ r H∗ (g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yg(u2)f dtdxdsdy; (3.7) r Π×Π D1×D2 r H(u1 - u2)∇yg(u2) · ∇xf dtdxdsdy = Π×Π H(g(u1) - g(u2))∇y g(u2) · ∇xf dtdxdsdy = 306 Е. Ю. ПАНОВ r - = lim r→∞ r H∗ (g(u1) - g(u2))∇xg(u1) · ∇yg(u2)f dtdxdsdy, (3.8) → где учитывается, что Hr(s) r→∞ H(s). D1 ×D2 Складывая соотношения (3.4), (3.6), (3.7) и (3.8), получим неравенство r Π×Π {(u1 - u2)+(ft + fs)+ H(u1 - u2)[(ϕ(u1) - ϕ(u2)) - - (∇xg(u1) - ∇yg(u2))] · (∇x + ∇y )f }dtdxdsdy r 2 r lim sup r→∞ H∗ (g(u1) - g(u2))|∇xg(u1) - ∇yg(y2)| f dtdxdsdy 0. (3.9) D1 ×D2 Поскольку H(u1 - u2)(∇xg(u1) - ∇yg(u2)) = (∇x + ∇y )(g(u1) - g(u2))+, соотношение (3.9) можно переписать в виде r Π×Π {(u1 - u2)+(ft + fs)+ H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · (∇x + ∇y )f + + (g(u1) - g(u2))+(∇x + ∇y ) · (∇x + ∇y )f }dtdxdsdy 0. (3.10) n Пусть δr (t, x) = ωr (t) ТТ ωr (xi), где t ∈ R, x = (x1,... , xn) ∈ Rn, а последовательность ωr (s), i=1 r ∈ N, была определена в доказательстве предложения 2.1. Возьмем в (3.10) пробную функцию f = h(t, x)δr (t - s, x - y), где h = h(t, x) ∈ C∞(Π), h 0. Ясно, что f ∈ C∞(Π × Π) при достаточно 0 0 больших r, f следует, что r 0. Поскольку (∂t + ∂s)δr (t - s, x - y)=0 и (∇x + ∇y )δr (t - s, x - y)= 0, из (3.10) Π×Π {(u1 -u2)+ht +H(u1 -u2)(ϕ(u1)-ϕ(u2))·∇x h+(g(u1)-g(u2 ))+Δxh}δr (t-s, x-y)dtdxdsdy 0. (3.11) Заметим, что |(u1(t, x) - u2(s, y))+ - (u1(t, x) - u2(t, x))+| :( |u2(s, y) - u2(t, x)|, |H(u1(t, x) - u2(s, y))(ϕ(u1 (t, x)) - ϕ(u2(s, y))) - H(u1(t, x) - u2(t, x))(ϕ(u1 (t, x)) - ϕ(u2(t, x)))| :( :( μϕ(|u2(s, y) - u2(t, x)|), |(g(u1(t, x)) - g(u2(s, y)))+ - (g(u1(t, x)) - g(u2(s, y)))+ | :( μg (|u2(s, y) - u2(t, x)|), где μϕ(σ) = max{|ϕ(u) - ϕ(v)| | u, v ∈ [-M, M ], |u - v| :( σ}, μg (σ) = max{ |g(u) - g(v)| | u, v ∈ [-M, M ], |u - v| :( σ} - модули непрерывности вектор-функции ϕ(u) и функции g(u), соответственно, на отрезке [-M, M ], M = ±u2±∞. Из этих оценок следует, что r {(u1(t, x) - u2(s, y))+ht + H(u1(t, x) - u2(s, y))(ϕ(u1(t, x)) - ϕ(u2(s, y))) · ∇xh + Π r + (g(u1(t, x)) - g(u2(s, y)))+Δxh}δr (t - s, x - y)dsdy → →∞ (u1(t, x) - u2(t, x))+ht(t, x)+ H(u1(t, x) - u2(t, x))(ϕ(u1 (t, x)) - ϕ(u2(t, x))) · ∇xh(t, x)+ + (g(u1(t, x)) - g(u2(s, y)))+Δxh(t, x) (3.12) для всех (t, x) из множества полной меры точек Лебега функции u2. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла из (3.12) следует предельное соотношение r Π×Π {(u1 - u2)+ht + H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · ∇xh + r + (g(u1) - g(u2))+Δxh}δr (t - s, x - y)dtdxdsdy → →∞ К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 307 r r + → {(u1 - u2) →∞ Π ht + H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · ∇xh + (g(u1) - g(u2))+ Δxh}dtdx (в левом интеграле u2 = u2(s, y), в то время как в правом u2 = u2(t, x)). Ввиду (3.11), из этого соотношения вытекает, что r {(u1 - u2)+ht + H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · ∇xh + (g(u1) - g(u2))+Δxh}dtdx 0 Π 0 для всех неотрицательных пробных функций h ∈ C∞(Π), т. е. ((u1 - u2)+)t + divx[H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2))] - Δx(g(u1) - g(u2))+ :( 0 в D∗(Π), (3.13) что и требовалось доказать. Соотношение (3.1) лежит в основе доказательства принципа сравнения и единственности э.р. Однако, в рассматриваемом случае лишь непрерывных нелинейностей эти свойства могут нарушаться, и необходимы дополнительные условия. Некоторые такие условия можно найти в [7, 8, 12]. Следующий результат является непосредственным обобщением [6, Lemma 1] на параболический случай. Лемма 3.1. Пусть u1 = u1(t, x) - э.субр., а u2 = u2(t, x) - э.суперр. задачи (1.1), (1.3) с начальными функциями u01, u02, соответственно. Предположим, что для любого T > 0 множе- = ство AT . { (t, x) ∈ (0,T ) × Rn | u1(t, x) > u2(t, x) } имеет конечную меру Лебега. Тогда для п.в. t > 0 r r (u1(t, x) - u2(t, x))+ dx :( Rn Rn (u01(x) - u02(x))+dx. В частности, если u01 :( u02, то u1 :( u2 п.в. на Π (принцип сравнения). Доказательство. Выберем 0 < t0 < t1 и положим f = f (t, x)= (θr (t - t0) - θr(t - t1))p(x/l), где 0 r, l ∈ N, неотрицательная функция p(y) ∈ C∞(Rn) такова, что 0 :( p(y) :( p(0) = 1, а последоваs тельность θr (s) = Г -∞ ωr(σ)dσ аппроксимаций функции Хевисайда определена в предложении 2.1 выше. Применяя (3.1) к пробной функции f, получим после простых преобразований неравенство r r (u1(t, x) - u2(t, x))+ωr (t - t1)p(x/l)dtdx :( Π Π 1 r (u1(t, x) - u2(t, x))+ωr (t - t0)p(x/l)dtdx + + l H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · ∇yp(x/l)(θr (t - t0) - θr(t - t1))dtdx + Π 1 r + l2 Π (g(u1) - g(u2))+Δy p(x/l)(θr (t - t0) - θr (t - t1))dtdx. (3.14) Пусть t0, t1 ∈ E, где E - множество полной меры значений t, для которых (t, x) является точкой Лебега функции (u1(t, x) - u(t, x))+ для п.в. x ∈ Rn. Тогда t0, t1 - точки Лебега функций t → Г (u1(t, x) - u2(t, x))+ p(x/l)dx, l ∈ N, и из (3.14) в пределе при r →∞ следует, что Rn r r (u1(t1, x) - u2(t1, x))+p(x/l)dx :( Rn Rn (u1(t0, x) - u2(t0, x))+p(x/l)dx + 1 r + l (t0 ,t1 )×Rn 1 r H(u1 - u2)(ϕ(u1) - ϕ(u2)) · ∇yp(x/l)dtdx + r + l2 ( 1 (t0 ,t1 )×Rn (g(u1) - g(u2))+Δy p(x/l)dtdx :( Rn 1 (u1(t0, x) - u2(t0, x))+ dx + \ r + l ±ϕ(u1) - ϕ(u2)±∞±∇y p±∞ + l2 ±g(u1) - g(u2)±∞±Δyp±∞ (0,t1 )×Rn H(u1 - u2)dtdx. (3.15) 308 Е. Ю. ПАНОВ Заметим, что по условию леммы выполнено Г (0,t1 )×Rn при E э t0 → 0+, получим, что для всех t = t1 ∈ E H(u1 - u2)dtdx < +∞. Переходя к пределу r r (u1(t, x) - u2(t, x))+p(x/l)dx :( Rn Rn ( 1 (u01(x) - u02(x))+p(x/l)dx + 1 \ r + l ±ϕ(u1) - ϕ(u2)±∞±∇y p±∞ + l2 ±g(u1) - g(u2)±∞±Δyp±∞ (0,t)×Rn H(u1 - u2)dtdx, (3.16) где мы пользуемся неравенством (u1(t0, x) - u2(t0, x))+ :( (u1(t0, x) - u01(x))+ + (u01(x) - u02(x))+ + (u02(x) - u2(t0, x))+ вместе с начальными условиями (1.5), (1.7). По лемме Фату из (3.16) в пределе при l →∞ вытекает соотношение Г (u1(t, x) - u2(t, x))+dx :( Г (u01(x) - u02(x))+dx. Лемма доказана. Rn Rn Мы готовы доказать существование наибольшего и наименьшего э.р. нашей задачи. 1. Доказательство теоремы 1.1. Выберем строго убывающую последовательность br, r ∈ N, такую что br > b = ess sup u0(x) при всех r ∈ N, и определим последовательность начальных функций ( u0(x), |x| :( r, u0r (x)= br, |x| > r. Пусть ur = ur (t, x) - э.р. задачи (1.1), (1.3) с начальными данными u0r. Заметим, что ∀r ∈ N - u0(x) :( u0r+1(x) :( u0r (x) :( br п.в. Rn и lim u0r (x) = u0(x). Обозначим dr = br br+1 > 0. По r→∞ принципу максимума ur :( br для всех r ∈ N. Поэтому {(t, x)|ur+1(t, x) > ur (t, x)}⊂ {(t, x)|br+1 > ur (t, x)} = {(t, x)|br - ur (t, x) > dr }. По неравенству Чебышева и следствию 2.1 meas{(t, x) ∈ (0,T ) × Rn | ur+1(t, x) > ur (t, x)} :( meas{(t, x) ∈ (0,T ) × Rn | br - ur (t, x) > dr } :( 1 :( dr r (0,T )×Rn (br - ur )+dtdx :( T r d (br - u0r )+dx = r Rn T r dr |x|<r (br - u0)dx < +∞. Итак, выполнены условия леммы 3.1 для э.субр. ur+1 и э.суперр. ur, и по этой лемме ur+1 :( ur п.в. на Π. Так как u0r u0 a . ess inf u0(x), то ur a по принципу минимума. Поэтому = . 1 r>0 ur (t, x) →r→∞ u+(t, x) = inf ur (t, x) п.в. на Π, а также и в Lloc(Π). Далее, ±ur ±∞ :( M = const, loc и по следствию 2.3 последовательность градиентов ∇xg(ur ) ограничена в L2 (Π, Rn). Переходя, если потребуется, к подпоследовательности, мы можем считать, что ∇xg(ur ) ζ p при r →∞ слабо в L 2 loc (Π, Rn). Из тождества r r g(ur )∇xf dtdx = - Π Π 0 f ∇xg(ur )dtdx, f = f (t, x) ∈ C∞(Π), в пределе при r →∞ следует, что r r g(u+)∇xf dtdx = - Π Π 0 fpdtdx, ∀f = f (t, x) ∈ C∞(Π), loc т. е. ∇xg(u+) = p ∈ L2 (Π, Rn) в D∗(Π). Мы видим, что функция u+ удовлетворяет требованию частичной соболевской регулярности из определения 1.1. По предложению 2.1 э.р. ur удовлетворяет интегральному соотношению (2.7): r r [|ur -k|ft + sign(ur -k)(ϕ(ur )-ϕ(k)) · ∇xf + |g(ur )-g(k)|Δxf ]dtdx + Π Rn |u0r (x)-k)|f (0, x)dx 0 К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 309 0 для любого k ∈ R и всех неотрицательных пробных функций f = f (t, x) ∈ C∞(Π¯ ). В пределе при r →∞ из этого соотношения следует, что функция u+ также удовлетворяет (2.7): r r [|u+-k|ft + sign(u+-k)(ϕ(u+)-ϕ(k)) · ∇xf + |g(u+)-g(k)|Δxf ]dtdx + Π Rn |u0(x)-k|f (0, x)dx 0. Итак, u+ - э.р. задачи (1.1), (1.3). Покажем, что u+ - наибольшее э.субр. этой задачи. Для этого возьмем произвольное э.субр. u = u(t, x) задачи (1.1), (1.3). По принципу максимума u :( b. Поэтому в множестве ΠT = (0,T )×Rn имеет место цепочка включений {u > ur }⊂ {b > ur } = {br - ur > br - b}, из которой следует, что 1 r b meas{u > ur } :( r - b ΠT (br - ur )+ b dx :( r T r § b |x|<r (br - u0)dx < +∞, где мы снова использовали неравенство Чебышева и следствие 2.1. Итак, выполнены условия леммы 3.1, примененной к э.субр. u и э.суперр. ur. По этой лемме справедлив принцип сравнения, а значит, из неравенства u0 :( u0r вытекает, что u :( ur п.в. на Π. В пределе при r →∞ получаем, что u :( u+ п.в. на Π. Итак, u+ является наибольшим э.субр. задачи (1.1), (1.3). Далее, пусть v+ = v+(t, x) - наибольшее э.субр. задачи (1.12). Тогда по замечанию 1.1 (i) функция u-(t, x)= -v+(t, x) будет наименьшим э.суперр. (и э.р.) исходной задачи (1.1), (1.3). Очевидно, u- :( u+. Теорема полностью доказана. 2. Доказательство теоремы 1.2. Пусть u1+, u2+ - наибольшие э.р. задачи (1.1), (1.3) с начальными данными u10, u20. Выберем строго возрастающую последовательность br, r ∈ N, такую что br > max(±u10±∞, ±u20±∞), и определим последовательности u0 ( u10 (x), |x| :( r, 0 ( u20 (x), |x| :( r, 1r (x)= 2r u (x)= br, |x| > r, br + 1, |x| > r. Как показано в доказательстве теоремы 1.1, соответствующие последовательности э.р. u1r, u2r при loc r →∞ сильно (поточечно и в L1 (Rn)) сходятся к наибольшим э.р. u1+, u2+, соответственно. По принципу максимума u1r :( br. Поэтому для любого T > 0 {(t, x) ∈ ΠT |u1r (t, x) > u2r (t, x)}⊂ {(t, x) ∈ ΠT |br > u2r (t, x)} = {(t, x) ∈ ΠT |br +1 - u2r (t, x) > 1}, так что по неравенству Чебышева и следствию 2.1 r meas{(t, x) ∈ ΠT |u1r (t, x) > u2r (t, x)} :( ΠT По лемме 3.1 для п.в. t > 0 r (br +1 - u2r (t, x))dtdx :( T r r |x|<r (br +1 - u20(x))dx < ∞. (u1r (t, x) - u2r (t, x))+dx :( (u0 (x) - u0 (x))+dx = 1r 2r Rn Rn r r = |x|<r (u10(x) - u20(x))+dx :( Rn (u10(x) - u20(x))+dx. Переходя в этом неравенстве к пределу при r →∞ с помощью леммы Фату, приходим к желаемой оценке r r (u1+(t, x) - u2+(t, x))+ dx :( Rn Rn (u10(x) - u20(x))+dx. Случай наименьших э.р. сводится к уже разобранному с учетом равенств u1- = -v1+, u2- = -v2+, где v1+, v2+ - наибольшие э.р. задачи (1.12) с соответствующими начальными данными -u10(x), -u20(x). Как уже доказано, верна оценка r r (v2+(t, x) - v1+(t, x))+ dx :( Rn Rn (u10(x) - u20(x))+dx, 310 Е. Ю. ПАНОВ эквивалентная требуемому соотношению r + r + (u1-(t, x) - u2-(t, x)) Rn dx :( Rn (u10(x) - u20(x)) dx. 3. Случай периодических начальных данных. Предположим теперь, что начальная функция u0(x) - периодическая. Не умаляя общности, можно считать, что решетка периодов совпадает со стандартной целочисленной решеткой Zn. Таким образом, u0(x + e) = u0(x) п.в. на Rn для всех e ∈ Zn. Теорема 3.2. Наибольшее э.р. u+ и наименьшее э.р. u- задачи (1.1), (1.3) являются периодическими по пространственным переменным функциями, и они совпадают: u+ = u-. Доказательство. Пусть e ∈ Zm. Ввиду периодичности начальной функции ясно, что функция u(t, x + e) является э.р. задачи (1.1), (1.3) тогда и только тогда, когда u(t, x) - э.р. этой задачи. Отсюда следует, что u+(t, x + e) является наибольшим э.р. задачи (1.1), (1.3) вместе с u+. По единственности u+(t, x + e) = u+(t, x) п.в. на Π для всех e ∈ Zn, т. е. u+ - пространственно периодическая функция. Аналогично доказывается пространственная периодичность наименьшего э.р. u-. Поскольку u± - слабые решения уравнения (1.1), имеем (u+ - u-)t + divx(ϕ(u+) - ϕ(u-)) - Δx(g(u+) - g(u- )) = 0 в D∗(Π). (3.17) Пусть α(t) ∈ C1(R+), β(y) ∈ C2(Rn), Г β(y)dy = 1. Применяя (3.17) к пробной функции 0 0 Rn α(t)β(x/k), где k ∈ N, получим соотношение r 1 r (u+ - u-)α∗(t)β(x/k)dtdx + k- Π Π r (ϕ(u+) - ϕ(u-)) · ∇yβ(x/k)α(t)dtdx + + k-2 Π (g(u+) - g(u- ))Δy β(x/k)α(t)dtdx = 0. Умножим это равенство на k-n и перейдем к пределу при k → ∞. Используя известное свойство lim k→∞ r k-n Π μ(t, x)α(t)β(x/k)dtdx = r R+×P α(t)μ(t, x)dtdx, loc где μ(t, x) ∈ L1 (Π) - x-периодическая функция, а P = [0, 1)n - ячейка периодичности, получим равенство r R+×P (u+(t, x) - u-(t, x))α∗ (t)dtdx = 0. (3.18) 0 Ввиду произвольности α(t) ∈ C1(R+) тождество (3.18) означает, что d r dt P Поэтому для п.в. t, t0, t > t0 r (u+(t, x) - u-(t, x))dx =0 в D∗(R+). r (u+(t, x) - u-(t, x))dx = P P (u+(t0, x) - u-(t0, x))dx. (3.19) Принимая во внимание начальные условия (1.5), (1.7), находим, что r r (u+(t0, x) - u-(t0, x))dx :( P P (u+(t0, x) - u0(x))+ r dx + P + (u0(x) - u-(t0, x)) dx → 0, когда t0 → 0, пробегая некоторое множество полной меры. Таким образом, из (3.19) в пределе при t0 → 0 следует, что r (u+(t, x) - u-(t, x))dx =0 P К ТЕОРИИ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 311 для п.в. t > 0. Так как u+ u-, заключаем, что u+ = u- п.в. на Π. Теорема доказана. Поскольку любое э.р. задачи (1.1), (1.3) расположено между u- и u+, из теоремы 3.2 вытекает единственность э.р.: Следствие 3.1. Если начальная функция периодическая, то э.р. задачи (1.1), (1.3) единственно и совпадает с u+. Более обще, справедлив принцип сравнения из теоремы 1.3. 4. Доказательство теоремы 1.3. Допустим для определенности, что функция u0(x) -периодическая. Случай периодической начальной функции v0 разбирается аналогично. По теореме 3.2 функции u+ = u- совпадают с единственным э.р. задачи (1.1), (1.3). Так как u+ - это наибольшее э.субр., то u :( u+ = u-. Ясно, что функция v - э.суперр. задачи (1.1), (1.3) с начальной функцией u0 (поскольку u0 :( v0), и так как u- - наименьшее э.суперр. этой задачи, верно неравенство u- :( v. Итак, u :( u+ = u- :( v, что и требовалось доказать. Подчеркнем, что для законов сохранения (1.2) теоремы 1.1-1.3 доказаны в [3-5]. При этом принцип сравнения и единственность э.р. справедливы и в более общем случае, когда начальные данные периодичны в n - 1 независимых направлениях. Адаптируя методы работ [4, 5], нетрудно установить, что эти результаты верны и для параболических уравнений (1.1).

Об авторах

Е. Ю. Панов

Автор, ответственный за переписку.
Email: eugeny.panov@novsu.ru
Великий Новгород, Россия

Список литературы