Гладкость обобщенных решений задачи Неймана для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 272 2. Геометрические вопросы и вспомогательные утверждения 273 3. Разностные операторы 275 4. Гладкость обобщенных решенийна границе соседних подобластейв пространствах Гельдера 277 Список литературы 288 1. ВВЕДЕНИЕ Современная теория функционально-дифференциальных уравнений началась с работ А. Д. Мышкиса [12, 13]. Развитием этойтеории занимались также такие математики, как Л. Э. Эльсгольц [7], Г. А. Каменский [8, 23], Р. Беллман и К. Кук [2], Дж. Хейл [21] и др. Изучение эллиптических функционально-дифференциальных уравнений началось с работ Ф. Хартмана и Г. Стампакья [22], А. Б. Антоневича [1], В. С. Рабиновича [16] и др. Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания: соглашение № 075-03-2020-223/3 (FSSF-2020-0018). © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 272 ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 273 Интерес к изучению подобных задач связан с целым рядом их приложенийв теории управления системами с последействием [10], теории упругости многослойных пластин и оболочек [26], нелинейной оптике [4, 29], теории многомерных диффузионных процессов [28], теории нелокальных эллиптических задач [3, 19], возникающих в теории плазмы, к проблеме Като о квадратном корне из оператора [30] и др. Общая теория краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений построена в работах [17, 19, 28] и др. Исследования широкого класса эволюционных функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени методами спектральной теории рассматривались в [5, 6]. 2 В работе [28] для краевых задач для дифференциально-разностных уравнений сформулированы необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначнойи фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева, а также изучена гладкость обобщенных решенийзадачи Дирихле в пространствах Соболева. В частности, было показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри области даже при бесконечно дифференцируемых правых частях уравненийи сохраняется лишь в некоторых подобластях. Вторая краевая задача для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравненийи параболических уравнений со сдвигом по пространственным переменным изучалась в работах [14, 18, 20]. Результаты о существовании классического решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с непрерывной правой частью, а также о гладкости обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения с правой частью из пространства Гельдера и пространств Соболева W k приведены в работах [14, 15, 24, 25]. В настоящей работе изучается гладкость обобщенного решения задачи Неймана для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластейв шкале гельдеровских пространств. Рассмотрим уравнение \ n n - (RijQuxj )xi = f (x) (x ∈ Q ⊂ R ) (1.1) с краевым условием i,j=1 n \ RijQux i,j=1 j cos(ν, xi)= 0 (x ∈ ∂Q), (1.2) где ν - единичный вектор внешней нормали к ∂Q, операторы RijQ определены по формуле RijQ = PQRij IQ : L2(Q) → L2(Q); IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \ Q; PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(Rn) на Q; Rij : L2(Rn) → L2(Rn) - симметрические разностные операторы вида (Rij u)(x)= \ aijh(u(x + h)+ u(x - h)) (i, j = 1,... , n). (1.3) h∈M Здесь M ⊂ Rn - множество, состоящее из конечного числа векторов h c целочисленными координатами; aijh - вещественные числа, aijh = ajih (i, j = 1,... , n,h ∈ M). 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ В этом разделе мы рассмотрим некоторые геометрические вопросы, возникающие для рассматриваемого типа задач. Доказательства приводимых ниже утверждений можно найти в [28, гл. 2]. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что выполнено следующее условие. Условие 2.1. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂Q = J Xi i (i = 1,... , N1), где Xi - открытые связные в топологии ∂Q (n - 1)-мерные многообразия класса C∞, n ); 2. При этом в окрестности каждой точки x0 ∈ ∂Q\J Xi область Q диффеоморфна i n-мерному углу раствора меньше 2π и больше 0. 274 Д. А. НЕВЕРОВА В частности, Q ⊂ Rn может быть ограниченной областью с границей ∂Q ∈ C∞, а также цилиндром (0, d) × G или прямоугольником, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G ∈ C∞, если n ); 3). Обозначим через M аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, а через Qr - открытые связные компоненты множества Q \ J h∈M (∂Q + h). Определение 2.1. Множества Qr мы будем называть подобластями,а совокупность R всевозможных подобластей Qr (r = 1, 2,.. .) назовем разбиением области Q. Заметим, что множество R не более, чем счетно. Разбиение R естественным образом распадается на классы. Мы будем считать, что подобласти Qr1 , Qr2 ∈ R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для которого Qr2 = Qr1 + h. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса (s = 1, 2,.. .), а l - порядковыйномер данной подобласти в s-м классе. Очевидно, каждыйкласс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl и N (s) � ([diam Q]+ 1)n. Введем множество K: K = 1 h1,h2∈M {Q ∩ (∂Q + h1) ∩ [(∂Q + h2) \ (∂Q + h1)]�. Это множество играет важную роль при изучении гладкости решений. Из определения множества K вытекают следующие леммы. 1 1 Лемма 2.1. Пусть x0 ∈ ∂Q ∩ ∂Qs l 2 2 ∩ ∂Qs l , (s1, l1) ±= (s2, l2). Тогда x0 ∈ K. i i Лемма 2.2. Пусть x0 ∈ n ∂Qs l и (si, li) ±= (sj , lj ) при i ±= j (i, j = 1, 2, 3). Тогда x0 ∈ K. i Будем также считать, что всюду далее выполнено следующее условие. Условие 2.2. Пусть μn-1(K ∩ ∂Q)= 0, где μn-1(·) - мера Лебега в R n-1. Обозначим через Γp компоненты связности открытого (в индуцированной на ∂Q топологии) множества ∂Q \ K. Лемма 2.3. Если (Γp +h)∩Q ±= ∅ при некотором h ∈ M, то либо Γp +h ⊂ Q, либо существует Γr ⊂ ∂Q \K такое, что Γp + h = Γr. В силу леммы 2.3 мы можем следующим образом разбить множество {Γp + h : Γp + h ⊂ Q, p = 1, 2,... , h ∈ M } на классы. Множества Γp1 + h1 и Γp2 + h2 принадлежат одному и тому же классу, если 265. существует h ∈ M такое, что Γp1 + h1 = Γp2 + h2 + h; 266. в случае Γp1 +h1, Γp2 +h2 ⊂ ∂Q, направления внутренних нормалейк ∂Q в точках x ∈ Γp1 +h1 и x - h ∈ Γp2 + h2 совпадают. Очевидно, множество Γp ⊂ ∂Q может принадлежать лишь одному классу, а множество Γp + h ⊂ Q - не более, чем двум классам. Будем обозначать множества Γp + h через Γrj , где r = 1, 2,... - номер класса, j - номер элемента в данном классе (1 � j � J = J (r)). Не ограничивая общности, будем считать, что Γr1,... , ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1,... , ΓrJ ⊂ ∂Q (0 � J0 = J0(r) < J (r)). Лемма 2.4. Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl, и при этом Γrj ∩ ∂Qs1 l1 = ∅, если (s1, l1) ±= (s, l). Лемма 2.5. Для любого r = 1, 2,... существует единственное s = s(r) такое, что N (s) = J (r), и при этом подобласти s-го класса Qsl можно перенумеровать так, что Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,... ,N (s)) . Лемма 2.6. Для любого Γrj ⊂ Q существуют подобласти Qs1l1 и Qs2l2 такие, что Qs1l1 ±= Qs2 l2 , Γrj ⊂ ∂Qs1l1 ∩ ∂Qs2l2 , и при этом Γrj ∩ ∂Qs3 l3 = ∅, если (s3, l3) ±= (s1, l1), (s2, l2). Пример 2.1. Рассмотрим случай прямоугольника Q = (0, 2) × (0, 1), M = {(1, 0)}. Разобьем прямоугольник Q на подобласти. В этом примере разбиение R состоит из одного класса подобластей Q1 = Q11 = (0, 1) × (0, 1), Q2 = Q12 = (1, 2) × (0, 1) (см. рис. 1). Легко видеть, что множество K = {(0, 0); (1, 0); (2, 0); (0, 1); (1, 1); (2, 1)}. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 275 РИС. 1. Область Q и ее разбиения, рассмотренные в примерах 2.1 и 2.2. Элементы множества K выделены точками. Пример 2.2. Рассмотрим случай, когда множество Q представляет собой единичный круг Q = {x ∈ R2 : |x| < 1}, M = {(1, 0)}. Тогда множество K состоит из семи точек K = {(0, 0), (1, 0), (-1, 0), (-1/2, - √ 3/2), (-1/2, √ 3/2), (1/2, - √ 3/2), (1/2, √ 3/2)}. Разбиение области Q и классы границ, а также множество K представлены на рис. 1. 267. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В этом разделе мы рассмотрим свойства разностных операторов. Введенные по формуле (1.3), разностные операторы Rij действуют во всем Rn. Чтобы рассмотреть их в области Q, мы ввели линейные операторы IQ, PQ, RijQ. Лемма 3.1. Операторы Rij : L2(Rn) → L2(Rn) и RijQ : L2(Q) → L2(Q) ограничены. Далее мы рассмотрим некоторые свойства разностных операторов RijQ в пространстве L2(Q). Оказывается, эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, состоящих из коэффициентов разностного оператора и нулей. Обозначим через L2 f \ J Qsl l подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне J Qsl, а l через Ps : L2(Q) → L2 f \ J Qsl l · оператор ортогонального проектирования функций из L2(Q) на 2 L fJ l Qsl \ (l = 1,... ,N (s)). Так как μn (∂Qsl ) = 0, из абсолютной непрерывности интеграла Лебега следует, что L2(Q)= ffi L2 s f \ J Qsl l , где μn(·) - мера Лебега в Rn. Лемма 3.2. L2 f \ J Qsl l - инвариантное подпространство операторов RijQ. fJ \ 2 Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств Us : L2 определив вектор-функцию (Usu)(x) равенством Qsl l → LN (Qs1), 2 (Usu)l (x)= u(x + hsl) (x ∈ Qs1), (3.1) где l = 1,... ,N = N (s), hsl таково, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = ¯0), LN (Qs1)= П L2(Qsl). l Введем матрицы Rijs порядка N (s) × N (s) с элементами rijs (aijh , если h = hsl - hsk ∈ M, kl = 0, если h = h (3.2) h / . sl - sk ∈ M В соответствии с видом разностных операторов Rij матрицы Rijs являются симметричными. 276 Д. А. НЕВЕРОВА Лемма 3.3. Операторы RijQs : LN (Qs1) → LN (Qs1), определенные по формуле RijQs = UsRijQU -1 2 2 ijs s , являются операторами умножения на квадратные матрицы R , соответственно. Замечание 3.1. Поскольку область Q является ограниченной, а матрицы Rijs состоят из конечного множества чисел aijh и нулей, то множество различных матриц конечно (см. [27]). ⊕i,j=1 Введем блочную матрицу Rs вида Rs = ⊕Rijs n . Условие 3.1. Будем говорить, что дифференциально-разностное уравнение (1.1) удовлетвоs ряет условию сильной эллиптичности, если матрицы Rs + R∗ (s = 1, 2,.. .) положительно s определены. Здесь матрица R∗ является сопряженной к Rs. Поэтому если уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, то существует константа c > 0 такая, что для всех s = 1, 2,... и всех Y ∈ CnN (s) справедливо Re(RsY, Y ) ); c(Y, Y ), где (·, ·) - скалярное произведение в CnN (s). Всюду далее мы будем считать, что дифференциально-разностное уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Определение 3.1. Краевую задачу (1.1)-(1.2) будем называть второй краевой задачей, или задачей Неймана, для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения. 2 2 Обозначим через W k(Q) пространство Соболева комплекснозначных функций, состоящее из функций, принадлежащих L2(Q) и имеющих все обобщенные производные до k-го порядка из L2(Q). В пространстве W k(Q) вводится скалярное произведение по формуле 2 (Q) (u, v)W k = \ r Dαu(x)Dαvdx, |α|�k Q где α = (α1,... , αn) - вектор с неотрицательными целочисленными координатами, |α| = α1 + ... + ∂ αn, Dα = Dα1 ... Dαn , Dj = . 1 n ∂xj 2,loc Обозначим W k (Q) (k > 0) пространство комплекснозначных функций, состоящее из функций, принадлежащих L2(Q1) и имеющих все обобщенные производные до k-го порядка из L2(Q1), где Q1 - произвольная внутренняя подобласть области Q, т. е. Q1 <S Q. Введем пространство Ck(Q) как множество непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q с нормой ⊕u⊕Ck (Q) = max sup |Dβ u(x)|. (3.3) 0�|β|�k x∈Q Введем неограниченный оператор AR : L2(Q) ⊃ D(AR) → L2(Q), действующий по формуле n ARv = - \ (RijQvx )x , 2 где D(AR)= {v ∈ W 1(Q): ARv ∈ L2(Q)}. j i i,j=1 Определение 3.2. Функцию u будем называть обобщенным решением краевой задачи (1.1)(1.2), если u ∈ W 1(Q) и для всех v ∈ W 1(Q) 2 2 n \ (RijQux x L (Q) L (Q) i,j=1 j ,v i ) 2 = (f, v) 2 . (3.4) Используя методы, изложенные в [11, гл. IV, §1], можно доказать следующее утверждение. Теорема 3.1. Пусть уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Тогда вторая краевая задача для эллиптического дифференциально-разностного уравнения разрешима тогда и только тогда, когда r f (x)dx = 0. (3.5) Q ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 277 При этом существует единственное обобщенное решение u(x) такое, что ( u(x)dx = 0. Всякое Q другое решение имеет вид u˜(x)= u(x)+ c, где c - некоторая константа. Приведем теперь полученные ранее результаты о гладкости решений, которые понадобятся нам в следующем разделе. Из работ [27, с. 347] и [14] известно, обобщенное решение сохраняет гладкость в подобластях Qsl (s = 1, 2,... ; l = 1,... ,N (s)), за исключением окрестности точек множества K. Теорема 3.2. Пусть уравнение (1.1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности и ε u(x) - обобщенное решение краевой задачи (1.1)-(1.2) и f ∈ W k(Q). Тогда u ∈ W k+2(Qsl \ K ) 2 2 для каждого ε > 0, где Kε = {x ∈ Rn : ρ(x, K) < ε} (s = 1, 2 ... ; l = 1,... ,N (s)). 1. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ СОСЕДНИХ ПОДОБЛАСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА Рассмотрим теперь вопрос о гладкости обобщенного решения u(x) краевой задачи (1.1)-(1.2) и сформулируем условия на коэффициенты разностных операторов Rij , при которых обобщенное решение u(x) принадлежит пространству Гельдера C2+α в некоторойокрестности точки, лежащей на границе соседних подобластей, для всех f ∈ Cα(Q), удовлетворяющих условию (3.5). Покажем, что, как и в случае первой краевой задачи для сильно эллиптического дифференциальноразностного уравнения (см. [25]), гладкость обобщенного решения может нарушаться в Q. Пусть дифференциально-разностный оператор AR сильно эллиптический, и пусть область Q удовлетворяет условиям 2.1 и 2.2. Предположим, что u(x) - обобщенное решение краевой задачи (1.1)-(1.2), где f ∈ Cα(Q). Зафиксируем s = p и рассмотрим точку y1 ∈ Q n(∂Qp1 \ K). Обозначим yl = y1 + hpl ∈ ∂Qpl \K (l = 1,... ,N (p)), где Qpl = Qp1 + hpl. Будем предполагать, что yl ∈ Q (l = 1,... , J0), yl ∈ ∂Q (l = J0 + 1,... ,N (p)). В силу леммы 2.6 существует единственная подобласть Qqj ±= Qp1 такая, что y1 ∈ ∂Qqj . Перенумеруем подобласти q-го класса так, чтобы Γrl ⊂ ∂Qql (l = 1,... , J0). Введем точки zl ∈ Q (l = 1,... ,N (q)), так, что zl = zj - hqj + hql ∈ ∂Qql \ K (l = 1,... ,N (q)), zj = y1. Не ограничивая общности, будем предполагать, что yl = zl ∈ Q (l = 1,... , J0), zl ∈ ∂Q (l = J0 + 1,... ,N (q)). В силу лемм 2.1, 2.2, мы можем выбрать δ > 0 настолько малым, чтобы выполнялись следующие условия: s,l · δ < min min{ρ(xsl , K), 1/2}; · множества ∂Qsl n Bδ (xsl) связные и принадлежат классу C∞ (l = 1,... ,N (s); s = p, q); 1 1 · Bδ (xsl) ⊂ Q, Bδ (xsl) n Qs l = ∅ (s = p, q; l = 1,... , J0; (s1, l1) ±= (s, l)); · Bδ (xsl) n Q = Bδ (xsl) n Qsl (s = p, q; l = J0 + 1,... ,N (s)); · xpl = yl, xql = zl. Не ограничивая общности, будем считать, что y1 = 0, а уравнение поверхности γ = Γp1 n Bδ (0) имеет вид xn = 0. В противном случае можно применить стандартную процедуру распрямления границы (см., например, [11, теорема 4, §2, гл. 4]). Положим Qp1 n Bδ (0) = {x ∈ Rn : |x| < δ, xn < 0}, ∂Qp1 n Bδ (0) = {x ∈ Rn : |x| < δ, xn = 0}. Поскольку функция u(x) является обобщенным решением задачи (1.1)-(1.2), то для всех v ∈ C˙ ∞(Bδ (yl)) (l = 1,... , J0) справедливо интегральное тождество n \ r r - (RijQuxj )xi v¯dx = f v¯dx. (4.1) Bδ (yl ) i,j=1 Bδ (yl ) В силу соотношений (3.1) и леммы 3.3, интегральное тождество (3.4) можно записать в виде xi n r r - \ wijlϕ¯dx = f lϕ¯dx (l = 1,... , J0), (4.2) Bδ (0) i,j=1 Bδ (0) 278 Д. А. НЕВЕРОВА j где wijl(x) = (RijsUsPsux )l(x), f l(x) = (UsPsf )l(x) для x ∈ ωs = Qs1 n Bδ(0) (s = p, q), ϕ ∈ C˙ ∞(Bδ (0)) - произвольная функция. Без ограничения общности положим μ(p)= 1, μ(q)= 2. 2 В силу теоремы 3.2 о гладкости обобщенных решений wijl ∈ W 1(ωs). Поэтому, интегрируя по частям левую часть тождества (4.2), получим xi n r - \ wijlϕ¯dx = - n \ \(-1) μ(s) r wnjl |γs ϕ¯|γs dx1 + \ r n \ wijl ϕ¯xi dx, (4.3) Bδ (0) i,j=1 s=p,q j=1 γs s=p,q i,j=1ωs где γ = γs = {x ∈ ∂Qs1 : |x| < δ}; x1 = (x1,... , xn-1), x = (x1, 0); w определенной в ωs (s = p, q). С другой стороны, из интегрального тождества (3.4) следует, что njl |γs - след функции w njl, n \ r i,j=1 i wijlϕ¯x r dx = f lϕ¯dx (l = 1,... , J0) (4.4) Bδ (0) для любой функции ϕ ∈ C˙ ∞(Bδ (0)). Bδ (0) Из (4.2)-(4.4), поскольку ϕ - произвольная функция, получим, что обобщенное решение задачи (1.1)-(1.2) удовлетворяет условиям \ \(-1)μ(s)+1wnjl|γ 0 ml =0 (m = 1, 2; l = 1,... ,J ), (4.5) s j где γ1l = ∂Qpl n B2δ (xpl), γ2l = ∂Qql n B2δ (xql). Заметим, что числа N (p) = N1 и N (q) = N2 не могут одновременно равняться J0. Для определенности будем считать, что N (q) ±= J0. Из теоремы 3.2 при k =0 следует, что обобщенное решение u(x) удовлетворяет ⎛ ⎞ n \ ⎝ RijQuxj cos(ν, xi)⎠ = 0. i,j=1 ∂Q\Kε Доказательство этого следствия можно найти в [20]. Отсюда получим, что на γml (m = 1, 2; l = J0 + 1,... ,N (s)) функция u(x) удовлетворяет краевому условию n \(-1)μ(s)+1RnjQux j=1 j =0 (x ∈ γml ; l = J0 + 1,... , Nm ,m = 1, 2). (4.6) Введем матрицы Aijs, полученные из Rijs вычеркиванием последних N (s) - J0 строк; матрицы Bijs, полученные из Rijs вычеркиванием первых J0 строк (i, j = 1,... , n). Рассмотрим соответствуijs ющие им матрицы со штрихами, построенные следующим образом: матрицы A1 , B 1 ijs получены ijs из матриц Aijs, Bijs, соответственно, вычеркиванием последних N (s) - J0 столбцов; матрицы A11 , 11 Bijs получены из матриц Aijs, Bijs, соответственно, вычеркиванием первых J0 столбцов. ijs Поясним, что матрица A1 соответствует действию разностного оператора RijQ, отображающего точку xsk в точку xsl (k, l = 1,... , J0), т. е. внутренняя точка переходит во внутреннюю. В свою ijs очередь, матрица A11 соответствует действию разностного оператора RijQ, отображающего точку xsk в точку xsl (k = 1,... , J0, l = J0 + 1,... ,N (s)), т. е. внутренняя точка переходит в точку, ijs лежащую на границе. Аналогично, матрица B1 соответствует отображению точки xsk в точку xsl (k = J0 + 1,... ,N (s), l = 1,... , J0,), т. е. точка, лежащая на границе ∂Q, переходит во ijs внутреннюю. Матрица B11 соответствует действию разностного оператора RijQ, отображающего точку xsk в точку xsl (k = J0 + 1,... ,N (s), l = J0 + 1,... ,N (s)), т. е. граничная точка переходит ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 279 в точку, также лежащую на границе: r1J +1 ⎛ r11 ij 0 0 1N (s) ⎞ ijs s ijs ... r1J ijs ... r ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ Rijs = A A r r f 1 ijs B1 11 \ ⎜ = ijs ⎜ 11 ⎜ J01 ijs J0+1,1 ijs ... rJ0J0 J0+1,J0 J0J0+1 ijs J0+1,J0+1 ... rJ0N (s) ⎟ ijs ⎟ . J0+1,N (s) ⎟ ijs Bijs ⎜ ⎟ ⎜ rijs ... rijs rijs ... rijs ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟ rN (s)1 N (s)J0 N (s)J0 +1 N (s)N (s) Заметим, что по построению ijs ... rijs rijs ... rijs ijp = Aijq (j = 1,... , n). (4.7) A1 1 Аналогичным образом введем вектор-функции Vs = (UsPsu)|γ , Wjs = (UsPsu)xj |γ , Yijs = (UsPsu)xixj |γ (i, j = 1,... , n) и соответствующие им векторы V 1, W 1 , Y 1 размерности J0, полуs js ijs ченные вычеркиванием из , W , Y , соответственно, последних N (s) - J элементов, и векторы Vs js ijs 0 Vs , Wjs, Yijs размерности N (s) - J0, полученные вычеркиванием из Vs, Wjs, Yijs, соответственно, 11 11 11 первых J0 элементов: V f 1 V 11 Vs = s s W \ f 1 W = 11 , Wis is is \ , Yijs Y f 1 = ijs Y 11 ijs \ . (4.8) Тогда с помощью введенных матриц и векторов условия (4.5), (4.6) можно записать в виде n \ \(-1)μ(s)+1AnjsWjs = 0, (4.9) s=p,q j=1 n \ BnjsWjs = 0. (4.10) j=1 Из теоремы 3.2 о внутреннейгладкости обобщенного решения следует, что p = Vq , Wjp = Wjq (j = 1,... ,n - 1). (4.11) V 1 1 1 1 f W 1 1 \ Введем вектор-функцию Z = удовлетворяет системе уравнений np - Wnq W 11 np . Тогда в силу (4.7)-(4.11), вектор-функция Z AnnpZ = A11 W 11 \ n-1 - (A11 W 11 - A11 W 11 nnq nq j=1 njp jp \ n-1 njq jq ), (4.12) nnp W nq BnnpZ = -B1 1 - BnjpWjp. (4.13) j=1 При этом справедливо равенство n-1 nnqWnq = -BnnqWnq - \ Bnjq Wjq. (4.14) B11 11 1 1 j=1 Из условия сильнойэллиптичности следует, что Rnnq положительно определена, а все ее главные nnq миноры положительны. Поэтому существует обратная матрица (B11 )-1, которую мы обозначим через B-1. Тогда из (4.14) вытекает W 11 -1 1 n-1 1 \ -1 nq = -B Bnnq Wnq - B j=1 BnjqWnjq. (4.15) 280 Д. А. НЕВЕРОВА Подставляя (4.15) в (4.12), получим \ { n-1 AnnpZ = -A11 B-1B1 W 1 - A11 B-1B1 W 1 + A11 W 11 11 -1 11 1 11 nnq nnq nq j=1 nnq njq jq njp jp + (Annq B Bnjq - Anjq)Wjq � . (4.16) W ⎛ 1 jp jp Введем вектор-функции Hj размера m(j) (j = 1,... , n) Hj = ⎝ W 11 W 11 jq ⎞ nq ⎠ , Hn = W 1 f V 11 , где m(n)= J0, m(j) = N (p)+ N (q) - J0 (j = 1,... ,n - 1); вектор-функцию V = N (q) - 2J0, а также блочные матрицы \ V p размерности N (p)+ 11 q f A11 -1 1 11 11 -1 11 11 \ f A11 -1 1 \ T j = nnq B B1 Bnjq Anjp AnjqB 11 Bnjq - Anjq , T n = nnq B 1 Bnnq , njp Bnjp 0 Bnnp Gj = ( B-1B1 -1 11 n -1 1 njq 0 B Bnjq ) , G = B Bnnq (j = 1,... ,n - 1). Тогда в силу (4.11) уравнения (4.13), (4.16) и (4.15) можно записать в виде n RnnpZ = - \ T j Hj , (4.17) j=1 n nq = - \ G H . (4.18) W 11 j j j=1 lk Обозначим через Λj матрицы, полученные из Rnnp заменой l-го столбца k-м столбцом матриц T j . Заметим, что используя введенные обозначения, мы можем сформулировать результат, доказанный в [20], об условиях сохранения гладкости обобщенных решений краевой задачи (1.1)-(1.2) на границе соседних подобластей в пространствах Соболева для любой f ∈ L2(Q). 2 Теорема 4.1. Для данного l (1 � l � J0) обобщенное решение краевой задачи (1.1)-(1.2) u(x) принадлежит W 2(Bδ (yl)) для любой f ∈ L2(Q), удовлетворяющей условию (3.5), в том и только в том случае, когда lk det Λj =0 (j = 1,... , n; k = 1,... , m(j)). (4.19) Развивая использованный в [8, §15] метод доказательства теоремы 4.1 и используя введенные вектор-функции и матрицы, далее мы сформулируем условия на принадлежность обобщенного решения рассматриваемой задачи с правой частью f ∈ Cα(Q) пространству C2+α(Bδ (yl )). Будем считать, что f ∈ Cα(Q) и выполнено следующее условие. 2 Условие 4.1. Пусть f ∈ Cα(Q). Пусть u(x) ∈ W 1(Q) - обобщенное решение краевой зада- \K чи (1.1)-(1.2). Тогда u ∈ C2+α(Qsl ε) для любого ε > 0 (s = 1, 2,... ; l = 1,... ,N (s)). Заметим, что это условие не является искусственным: используя теорему 3.2 и теоремы вложения, можно гарантировать соответствующую гладкость в подобластях за счет повышения гладкости правой части в соболевских пространствах. При f ∈ Cα(Q) обобщенное решение задачи (1.1)-(1.2) удовлетворяет условию n i \ \ (-1)μ(s)+1RijQux x j |γ+h sl =0 (l = 1,... , J0). (4.20) s i,j=1 Используя введенные выше обозначения, равенство (4.20) можно переписать в виде n \ \ (-1)μ(s)+1(A1 1 11 11 s i,j=1 n ijsYijs + AijsYijs)= 0, (4.21) \ \ (-1)μ(s)+1(B1 1 11 11 s i,j=1 ijsYijs + BijsYijs)= 0. (4.22) ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 281 В силу (4.7) представим (4.21) в виде n n ijp(Yijp - Yijq)= \ \ (-1) AijsYijs. \ A1 1 1 i,j=1 s i,j=1 μ(s) 11 11 Выразив из последнего равенства следы вторых нормальных производных на внутренних кусках границы и используя продифференцированные соотношения (4.17), (4.18), получим следующее соотношение: nnp(Ynnp - Ynnq)= - \ n Aijp(Yijp - Yijq )+ \ \ (-1) AijsYijs = A1 1 1 n-1 i+j<2n 1 1 1 n-1 s i,j=1 μ(s) 11 11 n = - A \ 1 ijp (Y 1 ijp - Y 1 ijq inp ) - \(A1 + A 1 nip np )(W 1 - W )x 1 nq i ijs + \ \ (-1)μ(s)A11 Y = 11 ijs i,j=1 n-1 i=1 n-1 n-1 s i,j=1 = - A \ 1 ijp i,j=1 (Y 1 ijp - Y 1 ijq i ) - \(Ainp + Anip)Zx i=1 + (A \ 11 ijq i,j=1 Y 11 ijq - A 11 ijp Y ) - 11 ijp n-1 \ - (A 11 inq + A 11 niq Y ⎛ 1 ijp ijp )Gj ⎝ Y 11 Y 11 ⎞ n-1 (A \ 11 ⎠ - inp + A 11 nip )G Y n 1 inq nns + \(-1)μ(s)A11 Y 11 nns . (4.23) i,j=1 ijq i=1 s В силу неравенства det Rnnp ±=0 из (4.17) можно выразить Z и переписать (4.23) в виде n-1 n-1 n-1 Y ⎛ 1 ⎞ ijp nnp(Ynnp - Ynnq)= - \ Aijp(Yijp - Yijq)+ \ (Aijq Yijq - AijpYijp)+ \ HA ⎝ Yijp ⎠ + A1 1 1 1 1 i,j=1 1 i,j=1 11 11 n-1 11 11 ij i,j=1 n 11 Y 11 ijq A Yniq + \ \ (-1) AijsYijs, (4.24) + \ Hin 1 i=1 s i,j=1 μ(s) 11 11 где Hij = (Ainp + Anip)R-1 T j - (A11 + A11 )Gj , (i, j = 1,... ,n - 1), Hin = (Ainp + Anip)R-1 T n - A (A11 11 n nnp inq niq A nnp inq + Aniq )G , (i = 1,... ,n - 1). ijp = Y Заметим, что если выполнены условия теоремы 4.1, то Y 1 1 ijq (i, j = 1,... ,n - 1). Тогда, преобразуя последнее слагаемое в (4.24), мы получим выражение n-1 AnnpΦ= \ ˜ij Y ⎛ 1 ⎞ ijp Y 11 n-1 \ in 1 11 11 i,j=1 HA ⎝ ijp Y 11 ijq ⎠ + i=1 HA Yniq + Annq Ynnq, (4.25) f Y 1 1 \ , = которое аналогично по своей структуре равенству (4.12). Здесь Φ = ij nnp - Ynnq Y 11 nnp ˜ij HA ijp A . HA + ( 0 -A11 11 ) ijq Преобразуем теперь (4.22), умножив Bnnp на Φ, предполагая выполненными условия теоремы 4.1 и используя продифференцированное уравнение (4.18); получим nnq BnnpΦ= (B1 - B 1 nnp )Y 1 nnq + B 11 nnq Y 11 nnq \ \ n-1 - (-1)μ(s)+1BijsYijs - n-1 \ s i,j=1 nnq -Bnnp)Ynnq +Bnnq Ynnq - n-1 \ (Bijp-Bijq )Yijp- - i=1 (BinpYinp-Binq Yinq +BnipYnip-Bniq Yniq)= (B1 1 1 11 11 1 1 1 i,j=1 n-1 \ \ - (-1)μ(s)+1B11 11 n-1 \ \ μ(s)+1 1 1 1 s i,j=1 ijsYijs - s i=1 (-1) (Bins + Bnis)Yins = (Bnnq - Bnnp)Ynnq + 282 Д. А. НЕВЕРОВА + B11 11 n-1 \ n-1 \ Y ⎛ 1 ⎞ ijp ij 11 n-1 \ in 1 nnq Ynnq - i=1 (Binp + Bnip)Yinp + i,j=1 HB ⎝ Yijp Y 11 ijq ⎠ + i=1 HB Yniq , (4.26) что аналогично по своейструктуре равенству (4.13). Здесь Hij = - ( B1 - B1 B11 -B11 ) - (B11 11 j in 1 B 1 11 ijp 11 n ijq ijp ijq inq + Bniq )G (i, j = 1,... ,n - 1), HB = (Binq - Bniq ) - (Binq + Bniq)G (i = 1,... ,n - 1). Используя (4.25) и (4.26), мы получим, что (4.20) эквивалентно следующему равенству: n-1 Y ⎛ 1 ⎞ ijp n-1 ijp RnnpΦ= \ Hij ⎝ Y 11 niq ⎠ + \ HinY 1 + i,j=1 + Y 11 ijq f 0 B1 1 i=1 \ Y 1 A f 11 + nnq \ Y 11 \ n-1 f 0 - \ Yinp = nnq - Bnnp n-1 B nnq Y ⎛ 1 ⎞ ⎠ + \ HinY 1 ijp 11 nnq n-1 nnq i=1 Binp + Bnip n-1 f 0 \ Y = 11 \ ij H ⎝ ijp Y 11 niq + BYnnq - \ Binp + Bnip Yinp, (4.27) где Hij = f ˜ij HA i,j=1 \ , Hin = H f in A ijq \ , B = i=1 0 A f 11 nnq i=1 \ . ij in 1 1 11 HB HB Bnnq - Bnnp Bnnq Введем вектор-функции Yij размера m(i, j) (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n): Y ⎛ 1 ijp Yij = ⎝ Y 11 ⎞ ⎠ , Yin = Y 1 W f 11 i ip \ . (4.28) ijp Y 11 ijq W niq , W = 11 iq Тогда аналогично выражению (4.17) равенство (4.27) можно записать в виде n-1 n n-1 f 0 \ RnnpΦ= \ \ Hij Yij + BYnnq - \ Binp + Bnip Yinp. (4.29) i=1 j=1 i=1 Приведенные выше громоздкие выкладки позволили привести (4.20) к виду (4.29), где в левой части стоит невырожденная матрица, умноженная на вектор-функцию, первыми J0 элементами которой является разность следов вторых нормальных производных обобщенного решения на общейгранице соседних подобластей. В случае выполнения условий теоремы 4.1 правая часть (4.29) представлена в виде, аналогичном по своей структуре (4.17). Тогда для того, чтобы сформулировать критерийгладкости обобщенных решений задачи (1.1)-(1.2) на границе соседних подобластей в терминах алгебраических условий, аналогичных (4.19), введем следующие обозначения: lk · матрицы αij , полученные из Rnnp заменой l-го столбца k-м столбцом матрицы Hij (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n; l = 1,... , J0; k = 1,... , m(j)); lk · матрицы θi , полученные из Rnnp заменой l-го столбца k-м столбцом матрицы f 0 Binp + Bnip \ (i = 1,... ,n - 1; l = 1,... , J0; k = 1,... ,N (p)); · матрицы ψlk , полученные из Rnnp заменой l-го столбца k-м столбцом матрицы B (l = 1,... , J0; k = 1,... ,N (q)); lk • αij = ⊕ det αij /Δ⊕ (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n; l = 1,... , J0; k = 1,... , m(j)); • ψ = ⊕ det ψlk/Δ⊕ (l = 1,... , J0; k = 1,... ,N (q)); lk • θi = ⊕ det θi /Δ⊕ (i = 1,... ,n - 1; l = 1,... , J0; k = 1,... ,N (p)); · Δ= det Rnnp ±=0 в виду сильной эллиптичности исходного уравнения. Используя введенные обозначения, мы можем переписать уравнение (4.29) следующим образом: n-1 ⎛ n ⎞ n-1 Φ= \ ⎝\ αij Yij ⎠ + ψYnnq - \ θiYinp. (4.30) i=1 j=1 i=1 Сформулируем критерий сохранения гладкости обобщенных решений на границе соседних подобластей в пространствах Гельдера. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 283 Теорема 4.2. Пусть уравнение (1.1) сильно эллиптическое. Пусть обобщенное решение u(x) краевой задачи (1.1)-(1.2) удовлетворяет условию 4.1. Тогда для заданного l (1 � l � J0) и любой f ∈ Cα(Q), удовлетворяющей условию (3.5), обобщенное решение u(x) краевой задачи (1.1)-(1.2) принадлежит C2+α(Bδ (yl )) в том и только в том случае, когда выполнено (4.19) и справедливы равенства lk det αij =0 (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n; k = 1,... , m(j)), (4.31) lk det θi det ψlk =0 (k = 1,... ,N (q)), (4.32) =0 (i = 1,... ,n - 1; k = J0 + 1,... ,N (p)). (4.33) 2 Доказательство. Необходимость и достаточность условия (4.19), гарантирующего принадлежность обобщенного решения W 2(Bδ (yl)) (см. теорему 4.1), подробно доказаны в [20]. Ниже мы рассмотрим отдельно доказательство достаточности и необходимости условий (4.31)-(4.33). Достаточность. Пусть для некоторого l (1 � l � J0) выполнены равенства (4.31)-(4.33). γ Из (4.30) следует, что элемент Φl вектора Φ равен нулю, т. е. uxn xn pl γ = uxn xn . ql Отсюда вытекает, что u ∈ C2+α(Bδ (yl)). Необходимость. Пусть одно из условий (4.31)-(4.33) нарушено. Построим функцию u ∈ D(AR) такую, что ARu ∈ Cα(Q), но u ∈/ C2+α(Bδ (xpl)). Положим ⎧ )= u(x ⎨ s v (U -1 ) , x ∈ J Qsl,s = p, q, l f x2 ⎩ 0, x ∈ Q \ J Qsl,s = p, q, s,l \ где v(x) = As(x1) n + Bs(x1)xn + Cs(x1) 2 η(xn) при x = (x1, xn) ∈ Qs1, As(x1), Bs(x1), Cs(x1) - гладкие вектор-функции размера N (s) (s = p, q), обращающиеся в нуль при ⊕x1⊕ < 2ε; функция η(xn) ∈ C˙ ∞(R), η(xn)= 1 при xn ∈ (-ε, ε), η(xn)=0 при x ∈/ (-2ε, 2ε), где 0 < ε < δ/3. Здесь и далее мы будем использовать вектор-функции и соответствующие им вектор-функции со штрихами (см. (4.8)). Тогда очевидно получим, что ⎛ (C1 (x1))x x ⎞ p i j f (C11 1 \ Yij = ⎝ (C11 1 p (x ))xi xj ⎠ , Yin = (B1 (x1))x , Wi = q i p (x ))xi , (C11 1 (C11 1 q (x ))xi q (x ))xi xj (4.34) f A1 1 1 1 \ Φ= p(x ) - Aq (x ) , Y = (B (x1)) , Y = A (x1). A11 1 inp p xi nnq q p (x ) Таким образом, равенство (4.30) можно переписать в терминах As(x1), Bs(x1), Cs(x1) и их производных следующим образом: f A1 1 1 1 \ n-1 1 \ n-1 p(x ) - Aq (x ) = \ αij f (Cp(x ))xi xj + \ rαin(B1 i 1 1 A11 1 11 1 q )xi - θ (Bp(x ))xi l + ψAq (x ). p (x ) i,j=1 (Cq (x ))xi xj i=1 (4.35) Заметим, что функция u(x) тогда и только тогда принадлежит W 1(Q), когда V 1 = V 1, т. е. 2 p q p(x )= Cq (x ). (4.36) C1 1 1 1 2 Аналогично, для того, чтобы u ∈ W 2(Bδ (yl)), необходимо и достаточно, чтобы, помимо равенства (4.36), выполнялось соотношение p(x )= Bq (x ). (4.37) B1 1 1 1 Зафиксируем l (1 � l � J0) и введем векторы b0 = (e1,... , eJ0 ), b1 = (eJ0 ,... , eJ0+N (p)), b2 = (eN (p)+1,... , eN (p)+N (q)-J0 ) с элементами ek = δkr , где δkr - символ Кронекера (δrr = 1, δkr = 0, если k ±= r). 284 Д. А. НЕВЕРОВА 1. Пусть для k = r выполнено det ψlr ±=0 (1 � r � N (q)). Положим p(x )= (b0 - (ψr ) )ξ(x ), Ap (x )= -(ψr ) ξ(x ), A1 1 1 1 11 1 11 1 q (x )= ξ(x )b0, Aq (x )= 0, A1 1 1 11 1 Bp(x1)= 0, Bq (x1)= 0, Cp(x1)= 0, Cq (x1)= 0, где ψr - r-йстолбец матрицы ψ; функция ξ ∈ C˙ ∞(Rn-1), ξ(x1)= 1 при x1 ∈ γp1 n Bε(0) и ξ(x1)=0 при x1 ∈/ γp1 n B2ε(0). uxn xn Легко видеть, что соотношения (4.17), (4.18), (4.35)-(4.37) выполнены, и u ∈ D(AR) - обобщенное решение (1.1)-(1.2) при некоторой f ∈ Cα(Q). Но при этом Следовательно, u ∈/ C2(Ba(yl)). γpl ±= uxn xn γql . 2. Пусть для i = t, j = u и k = r (t, u = 1,... ,n - 1; 1 � r � m(j)= N (p)+ N (q) - J0) выполнено lr det αij ±= 0. Положим n-1 \ n-1 ⎛ 0 ⎞ Ap(x1)= \ αij (xtxuξ)x x o θi ⎝ n-1 j ⎠ , Aq (x1)= 0, r i,j=1 i j i=1 - ), (Λr )11(xtxuξ)xixj j=1 n-1 p(x )= 0, Bp (x )= - \(Λr ) (xtxuξ)x , B1 1 11 1 n-1 j=1 j 11 j q (x )= 0, Bq (x )= - \ Gr (xtxuξ)x o S ( ) (xtxuξ), B1 1 11 1 j j=1 b1 j b2 Cp(x1)= (b0 ) (xtxuξ), Cq (x1)= (b0 ) (xtxuξ), b1 b2 где αij , Λj и Gj - r-е столбцы матриц αij , Λj и Gj , соответственно. Вообще говоря, для l-й r r r компоненты вектора Ap последнее слагаемое в выражении для Ap равно 0 в виду структуры матриц θi. Как и в случае 1, u ∈ D(AR) - обобщенное решение (1.1)-(1.2) - при некоторой f ∈ Cα(Q) удовлетворяет соотношениям (4.17), (4.18), (4.35)-(4.37). Однако Ap(x1) ±= Aq (x1), т. е. Следовательно, u ∈/ C2(Ba(yl)). uxn xn γpl ±= uxn xn γql . lr 3. Пусть для i = t, j = n и k = r (t = 1,... ,n - 1; 1 � r � J0) выполнено det αin ±= 0. Положим n-1 f Ap(x1)= \ i=1 r i αin(xtξ)x o θi f b0 r -(Λn)11 \ \ (xtξ)xi , Aq (x1)= 0, B1 1 11 1 n 11 1 1 11 n p(x )= b0(xtξ), Bp (x )= -(Λr ) (xtξ), Bq (x )= b0(xtξ), Bq = -Gr (xtξ), Cp(x1)= 0, Cq (x1)= 0. По построению, как и ранее, u ∈ D(AR) при некоторой f ∈ Cα(Q) и справедливы равен- γ ства (4.17), (4.18), (4.35)-(4.37), однако uxnxn pl γql ±= uxnxn . Следовательно, u ∈/ C 2(Ba(yl)). lr 4. Пусть для i = t и k = r (t = 1,... ,n - 1; J0 +1 � r � N (p)) выполнено det θi ±= 0. Используем результат пункта 3 и положим n-1 f b \ Ap(x1)= - \ θi 0 (x ξ) , Aq (x1)= 0, B1 1 i=1 11 1 r -(Λn)11 n 11 t xi 1 1 11 n p(x )= b0(xtξ), Bp (x )= -(Λr ) (xtξ), Bq (x )= b0(xtξ), Bq = -Gr (xtξ), Cp(x1)= 0, Cq (x1)= 0. По построению u ∈ D(AR) при некоторой f ∈ Cα(Q), однако обобщенное решение u(x) не принадлежит C2(Ba(yl)). ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 285 Случай N (q) ±= J0 и N (p) = J0. Отдельно рассмотрим случай, когда количество подобластей одного из классов совпадает с числом J0, т. к. матрицы, используемые в формулировке теоремы о гладкости обобщенных решений на границе подобластей, в этой ситуации меняют свой вид. Напомним, что числа N (p) и N (q) не могут одновременно равняться J0. Без ограничения общности в рамках доказательства теоремы 4.2 мы считали N (q) ±= J0. Для случая N (p)= J0 рассуждения, аналогичные указанным выше, приводят нас к следующему: W 11 -1 1 n-1 1 \ -1 n \ j j nq = -B Bnnq Wnq - B j=1 Bjq Wjq = - G H j=1 (4.38) n n-1 n-1 n nnpZ = \ AnjqWjq = -AnnqB Bnnq Wnq - \ Annq B Bjq Wjq + \ Anjq Wjq = - \ T H , A1 11 11 j=1 11 -1 1 1 11 -1 j=1 11 11 j=1 j j j=1 где np Z = (W 1 W f 1 - W W nq 11 1 ), Hj = jp jq \ nq , Hn = (W 1 q ), V = (V 11), (4.39) T j = ( A11 -1 1 11 -1 11 11 n 11 -1 1 nnq B Bnjq Annq B Bnjq - Anjq ) , T = Annq B Bnnq , nnq Gj = B-1Bnjq , Gn = B-1B1 (j = 1,... ,n - 1). Отметим, что критерий сохранения гладкости решения на границе подобластей в пространствах Соболева (теорема 4.1) имеет тот же вид. Однако условия сохранения гладкости в пространствах Гельдера несколько меняются. Так, в виду того, что N (p)= J0, равенство (4.21) примет вид n \ A1 1 n 1 \ 11 11 i,j=1 ijp(Yijp - Yijq)= i,j=1 AijqYijq . Тогда, повторяя рассуждения, приведенные выше, получим nnpΦ= - \ n Aijp(Yijp - Yijq)+ \ AijqYijq = A1 1 1 i+j<2n n-1 1 11 11 i,j=1 n-1 n-1 inp = - \(A1 i=1 + A 1 nip )Zxi - A1 \ ijp i,j=1 (Y 1 ijp - Y 1 ijq inq )+ \(A11 i=1 + A 11 niq nq )(W 11 )xi + n-1 n-1 n nnqYnnq + \ Aijq Yijq = \ \ H Y + BYnnq, где + A11 11 11 11 i,j=1 i=1 j=1 ij ij H = (Anip + Ainp)RnnpT - (Ainq + Aniq )G + ( 0 Aijq ) , ij 1 in 1 -1 1 1 j 11 -1 n 11 j 11 11 11 n H = (Ainp + Anip)RnnpT - (Ainq + Aniq )G , 0 A f 11 = nnq B \ , Yij = Y f 1 ijp \ , Yin = Y 1 i 11 B1 11 Y 11 inq, W = Wiq (i, j = 1,... ,n - 1). nnq Bnnq ijq lk Используя данное выше определение матриц αij , ψlk, сформулируем необходимое и достаточное условие гладкости обобщенного решения на границе соседних подобластей в пространствах Гельдера для случая N (p)= J0, N (q) ±= J0. Теорема 4.3. Пусть N (p) = J0, N (q) ±= J0 и уравнение (1.1) - сильно эллиптическое. Пусть обобщенное решение u(x) краевой задачи (1.1)-(1.2) удовлетворяет условию 4.1. Тогда для заданного l (1 � l � J0) и любой f ∈ Cα(Q), удовлетворяющей условию (3.5), обобщенное решение u(x) краевой задачи (1.1)-(1.2) принадлежит C2+α(Bδ (yl)) в том и только в том случае, когда выполнено (4.19) и справедливы равенства lk det αij = 0, (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n; k = 1,... , m(j)), det ψlk =0 (i = 1,... ,n - 1; k = 1,... ,N (q) - J0). 286 Д. А. НЕВЕРОВА Доказательство теоремы 4.3 проводится аналогично доказательству теоремы 4.2. Рассмотрим примеры сохранения и нарушения гладкости обобщенных решений на границе соседних подобластей в пространствах Гельдера. Как показывает следующий пример, для некоторых задач выполнение условий теоремы 4.1 о гладкости обобщенных решений в пространстве Соболева гарантирует гладкость решений в гельдеровских пространствах (если решение обладает необходимой гладкостью внутри подобластей). Пример 4.1. Рассмотрим краевую задачу -(R11Qux1 )x1 - (R22Qux2 )x2 = f (x) (x ∈ Q) , (4.40) 2 \ RiiQux i=1 где Q = (0, 2+ d) × (0, 1), 0 < d < 1, i cos(ν, xi)=0 (x ∈ ∂Q), (4.41) R11u = R22u = u(x1, x2)+ γ(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)) + ϑ(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)). Разбиение области Q = (0, 2+d)×(0, 1), 0 < d < 1 под действием сдвигов из M = {(0, 0), (±1, 0), (±2, 0)} состоит из двух классов подобластей Qql = (l - 1,l - 1+ d) × (0, 1) (l = 1, 2, 3 = N (q)) и Qpl = (l - 1+ d, l) × (0, 1) (l = 1, 2= N (p)), J0 = 2. Рассмотрим вопрос сохранения гладкости на границе подобластей Q11 и Q21, т. е. l = 1. Таким образом, матрицы Rq и Rp примут вид ⎛ 1 γ ϑ 0 0 0 ⎞ ⎜ γ 1 γ 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 γ 0 0 ⎞ Rq = ⎜ ϑ γ 1 0 0 0 ⎟ , Rp = ⎜ γ 1 0 0 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 1 γ ϑ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 γ 1 γ ⎟ 0 0 0 ϑ γ 1 ⎜ 0 0 1 γ ⎟ 0 0 γ 1 2 Для сильнойэллиптичности задачи (4.40)-(4.41) γ и ϑ должны быть такими, чтобы матрицы Rp и Rq были положительно определенными. Будем считать это условие выполненным. Тогда согласно теореме 3.1 эта задача разрешима для f ∈ L2(Q), удовлетворяющей условию (3.5) разрешимости задачи Неймана. Пусть u ∈ W 1(Q) - обобщенное решение рассматриваемой задачи. 2 Согласно теореме 4.1, обобщенное решение u(x) краевой задачи (4.40)-(4.41) тогда и только тогда принадлежит W 2(Bδ (yl)), когда каждая из матриц Λ1 1 f ϑ2 γ \ , Λ2 2 2 f 0 γ \ , 11 = Λ12 = γϑ 1 11 = Λ12 = Λ131 = 0 1 является вырожденной, т. е. выполнены равенства ϑ2 - γ2ϑ = 0. (4.42) 2 Легко видеть, что ϑ = γ2 гарантирует u ∈ W 2(Bδ (yl)). С другой стороны, для того, чтобы обобщенное решение u(x), удовлетворяющее условию 4.1, принадлежало C2+α(Bδ (yl)) для любой функции f ∈ Cα(Q), необходимо и достаточно, чтобы, помимо выполнения (4.42), был нулевым определитель каждой из матриц α21 21 22 22 f 0 γ \ 22 f ϑ γ \ 11 = α12 = α11 = α12 = ψ11 = ψ12 = 0 1 , α13 = ψ13 = γ 1 . (4.43) Подставив ϑ = γ2 в (4.43), получим, что все матрицы (4.43) вырожденные. 2 Таким образом, если в задаче (4.40)-(4.41) коэффициенты разностных операторов удовлетворяют соотношению ϑ = γ2, то для обобщенного решения этой задачи, удовлетворяющего условию 4.1, гладкость на границе подобластей Q11 и Q21 в шкале пространств Гельдера автоматически следует из гладкости u ∈ W 2(Bδ (yl)). На следующем примере покажем, что условия гладкости обобщенного решения краевой задачи (1.1)-(1.2) в соболевских и гельдеровских пространствах, вообще говоря, могут не совпадать. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДРУ 287 Пример 4.2. Рассмотрим краевую задачу -(R11Qux1 )x1 - (R12Qux2 )x1 - (R21Qux1 )x2 - (R22Qux2 )x2 = f (x) (x ∈ Q) , (4.44) 2 \ RijQux i,j=1 j cos(ν, xi)= 0 (x ∈ ∂Q), (4.45) где Q = (0, 2+ d) × (0, 1), а разностные операторы имеют вид R11u = u(x1, x2)+ 0,5(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)) + 0,25(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)), R12u = R21u = 0,5u(x1, x2)+ 0,25(u(x1+1, x2)+ u(x1-1, x2)) + 0,125(u(x1+2, x2)+ u(x1-2, x2)), R22u = u(x1, x2)+ 0,4(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)) + 0,3(u(x1 + 2, x2)+ u(x1 - 2, x2)). ⎛ 1 0,5 0,25 0,5 0,25 0,125 ⎞ ⎜ 0,5 1 0,5 0,25 0,5 0,5 ⎟ ⎛ 1 0,5 0,5 0,25 ⎞ ⎜ ⎜ 0,25 0,5 1 0,125 0,5 0,5 ⎟ ⎟ , Rp = ⎜ 0,5 1 0,25 0,5 ⎟ . ⎜ ⎜ 0,5 0,25 0,125 1 0,4 0,3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0,5 0,25 1 0,4 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 0,25 0,5 0,25 0,4 1 0,4 ⎟ ⎠ 0,25 0,5 0,4 1 0,125 0,25 0,5 0,3 0,4 1 Также как и в примере 4.1, разбиение области состоит из двух классов. Рассмотрим вопрос сохранения гладкости на границе подобластей Q11 и Q21, т. е. l = 1. Матрицы Rq и Rp согласно (3.2) примут вид Rq = Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти матрицы являются положительно определенными и, следовательно, дифференциально-разностное уравнение (4.44) является сильно эллиптическим. 2 Как и прежде, будем считать, что задача (4.44)-(4.45) разрешима и u ∈ W 1(Q) - обобщенное решение рассматриваемой задачи. 2 Согласно теореме 4.1, обобщенное решение u(x) краевой задачи (4.44)-(4.45) тогда и только тогда принадлежит W 2(Bδ (yl)), когда каждая из матриц ⎛ Λ1 ⎜ 11(± r2 2,0) r11(0,0) ⎞ ⎟ f 0,0625 0,5 0,125 1 r11(±1,0) ⎟ = \ , (4.46) 11 = ⎜ ⎝ ⎛ r11(±1,0)r11(±2,0) r11(0,0) r11(±1,0)r11(±2,0) r11(0,0) r11(0,0) ⎠ ⎞ r11(±1,0) f 0,125 0,5 \ Λ1 ⎜ ⎟ = , (4.47) 12 = ⎜ ⎝ ⎛ 11(± r2 1,0) r11(0,0) r11(±2,0)r12(±2,0) ⎟ r11(0,0) ⎠ r ⎞ 0,25 1 Λ2 ⎜ r11(0,0) 11(±1,0) ⎟ f 0,03125 0,5 \ , (4.48) 11 = ⎝ ⎛ r11(±1,0)r12(±2,0) r11(0,0) r11(±2,0)r12(±1,0) = r11(0,0) ⎠ ⎞ r11(±1,0) 0,0625 1 f 0,0625 0,5 \ Λ2 ⎜ r11(0,0) ⎟ , (4.49) 12 = ⎝ r11(±1,0)r12(±1,0) r11(0,0) = r11(0,0) ⎠ 0,125 1 ⎛ Λ2 ⎜ r11(±2,0)r12(0,0) r11(0,0) ⎞ - r12(±2,0) r11(±1,0) ⎟ f 0 0,5 \ (4.50) 13 = ⎝ r11(±1,0)r12(0,0) r11(0,0) - r12(±1,0) = r11(0,0) ⎠ 0 1 является вырожденной. Из (4.46)-(4.50) видно, что справедливость соотношений 2 r12(±2,0) = r22(±1,0)r12(±1,0) r22(0,0) , r22(±2,0) = r22(±1,0) r22(0,0) (4.51) 288 Д. А. НЕВЕРОВА 2 2 гарантирует принадлежность u(x) пространству W 2(Bδ (yl )). Коэффициенты разностных операторов в постановке задачи подобраны соответствующим образом, следовательно, u ∈ W 2(Bδ (yl )). С другой стороны, для того, чтобы обобщенное решение u(x), удовлетворяющее условию 4.1, принадлежало C2+α(Bδ (yl)) для любой функции f ∈ Cα(Q), необходимо и достаточно, чтоlk бы, помимо выполнения (4.46)-(4.50), каждая из матриц αij (i = 1,... ,n - 1; j = 1,... , n; 11 k = 1,... , m(j)), ψlk (i = 1,... ,n - 1; k = 1,... ,N (q) - J0) была вырожденной. Общий вид формул элементов этих матриц очень громоздкий, поэтому приведем только формулы расчета, например, для элементов матрицы α21: α21 11[1, 1] = - 2r11(±2,0) ( r2 r12( 2,0) - r r r - r11(0,0)(r2 2 11(0,0) ± 11(0,0) 11(±1,0) 12(±1,0) 11(0,0) - r11(±1,0)) \ 2 2 - r11(0,0)r11(±2,0)r12(0,0) + r11(±1,0)r12(0,0) - r11(±1,0)r12(±2,0) + r11(±1,0)r11(±2,0)r12(±1,0) , α21 11[2, 1] = - 2r11(±2,0) ( r2 r12( 1,0) - r11(0,0)(r2 2 11(0,0) ± 11(0,0) - r11(±1,0)) \ - r11(0,0)r11(±1,0)r12(0,0) - r11(0,0)r11(±2,0)r12(±1,0) + r11(±1,0)r11(±2,0)r12(0,0) , α21 21 11[1, 2] = r11(±1,0), α11[2, 2] = r11(0,0). Подставив числовые значения, получим α21 21 22 22 f 0 0,5 \ , α22 f 0,175 0,5 \ , (4.52) 11 = α12 = α11 = α12 = 0 1 13 = 0,15 1 ψ11 = ψ12 = f 0 0,5 \ 0 1 , ψ13 = f 0,25 0,5 \ 0,5 1 . (4.53) 13 Очевидно, что это не так при заданных коэффициентах разностных операторов: det α22 ±= 0. Таким образом, u ∈/ C2+α(Bδ (y1)). Отметим, что при выполнении условий 3.1, 4.1 и справедливости соотношений(4.51) можно гарантировать гладкость обобщенного решения рассматриваемой краевойзадачи (4.44)-(4.45) на границе подобластей Q11 и Q21 для любойправой части f ∈ Cα(Q) при r12(±1,0) = r11(±1,0)r12(0,0) r11(0,0) , r22(±2,0) = r11(±1,0)r22(±1,0) . r11(0,0)

Об авторах

Д. А. Неверова

Автор, ответственный за переписку.
Email: dneverova@gmail.com
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы