Отображения, непрерывно дифференцируемые по Михалу-Бастиани, но не по Фреше

Аннотация

Строятся примеры нелинейных отображений в функциональных пространствах, которые непрерывно дифференцируемы в смысле Михала-Бастиани, но не в смысле Фреше. Интерес к таким примерам возникает при изучении дифференциальных уравнений с запаздыванием, в которых запаздывание переменно и не обязательно ограничено.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах может быть основано на различных понятиях непрерывной дифференцируемости. Хорошо известны производные Фреше отображений между банаховыми пространствами, есть понятие непрерывной дифференцируемости в смысле Михала (см. [10]) и Бастиани (см. [1]), широко используемое для отображений между пространствами Фреше (см., например, [3, 4, 7]), есть и много других определений [1, 11]. Если f - непрерывное отображение из открытого подмножества U топологического векторного пространства V в топологическое векторное пространство W, т. е. f : V ⊃ U → W, то его непрерывная MB дифференцируемость по Михалу-Бастиани (для краткости будем называть ее C1 -гладкостью) означает, что все производные по направлению 1 Df (u)v = lim 0×=t→0 t (f (u + tv) - f (u)), u ∈ U, v ∈ V, существуют и отображение U × V ± (u, v) 1→ Df (u)v ∈ W F непрерывно. Под непрерывной дифференцируемостью f по Фреше (для краткости будем называть ее C1 -гладкостью) будем понимать, что все производные по направлению существуют (как и ранее), каждая производная Df (u): V ± v 1→ Df (u)v ∈ W, u ∈ U, линейна и непрерывна, а отображение Df : U ± u 1→ Df (u) ∈ Lc(V, W ) F непрерывно на векторном пространстве Lc(V, W ) линейных непрерывных отображений из V в W относительно топологии β равномерной сходимости на ограниченных множествах. Легко видеть, что если V и W - нормированные пространства, то отображение C1 -гладко тогда и только тогда, когда оно дифференцируемо по Фреше и его производная по Фреше непрерывна относительно Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 543 обычной нормы в Lc(V, W ), и что C1 -гладкость слабее C1 -гладкости (см. [18]). То, что C1 - MB F MB гладкость не требует выбора топологии в Lc(V, W ) можно считать преимуществом, в частности, при переходе к производным высших порядков. I Если I - интервал положительной длины (не обязательно компактный) на R, то через CI обозначим пространство Фреше непрерывных функций из I в R с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах, а через C1 - пространство Фреше непрерывно дифференцируемых функций из I в R с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах для отображений и их производных. В настоящей работе предъявляются функционалы из CI в R и функционалы из C1 в R, которые C1 -гладки, но не C1 -гладки. I MB F Интерес к поиску таких функционалов вызван изучением дифференциальных уравнений с непостоянным запаздыванием. Рассмотрим, например, уравнение xt(t)= g(x(t - d)), d = Δ(x(t)), (1.1) где g : R → R, а Δ : R → [0, ∞). Такие уравнения с переменным запаздыванием не покрываются современной теорией начальных задач вида xt(t)= f (xt) при t> 0, x0 = φ, (1.2) для функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием, изложенной в многочисленных монографиях от [5] до [2, 6]. Начальными данными в задаче (1.2) являются отображения φ : I → Rn, определенные на начальном интервале I ⊂ R, для которого max I =0 ∈ R, и истории (или отрезки) xt : I → Rn решения x : I + (0, tx) → Rn, 0 < tx � ∞, заданные соотношениями xt(s)= x(t + s). Теория начальных задач вида (1.2) (ее можно применять и к уравнениям с запаздыванием, зависящим от состояния, и получать с ее помощью существование, единственность и дифференцируемость по начальным данным) для случая компактных начальных интервалов развита в [8, 12, 13], а для случая, когда I = (-∞, 0], развита в [16-18]. В обоих случаях требуется, чтобы отображение I f : U → Rn было определено на открытом подмножестве множества (C1)n, а также было непрерывно дифференцируемо и удовлетворяло некоторому свойству расширения (e). При этих условиях I I максимальные решения начальной задачи (1.2) определяют непрерывный полупоток разрешающих операторов на многообразии решений {φ ∈ U : φt(0) = f (φ)}, которое действительно является непрерывно дифференцируемым подмногообразием коразмерности n в (C1)n. Результаты для случая, когда вместо (C1)n рассматриваются банаховы пространства отображений (-∞, 0] → Rn, а также для неавтономных начальных задач, доступны и в [14, 15]. I Если начальный интервал I компактен, а (C1)n - банахово пространство, то теория использует исчисление, основанное на C1 -гладкости. Для случая I = (-∞, 0], в котором в C1(n) не суще- F MB ствует нормы, разработаны две версии теории. Первая основана на C1 I -гладкости (см. [16, 17]) MB под впечатлением того, что исчисление, основанное на C1 -гладкости, широко используется в F пространствах Фреше - возможно, так же, как исчисление в банаховых пространствах, как правило, опирается на дифференцируемость по Фреше. Теории создаются для приложений, и проверка обычных примеров показывает, что, если выполняется предположение о гладкости, то всегда имеет место более сильная C1 -гладкость. Это наблюдение показало необходимость второй версии указанной теории: для случая, в котором I = (-∞, 0]. Эта версия включает результаты, связан- F ные с более сильной C1 -гладкостью, и некоторые ее доказательства несколько более сложны, чем F в первой версии (см. [18]). Ее преимущество заключается в том, что техническая гипотеза (d) предыдущего подхода (см. [17]), фактически требующая C1 -гладкости некоторого сопряженного отображения, становится излишней. Поскольку у нас есть две версии теории, но ни одного примера, удовлетворяющего более слабо- MB му предположению из [16, 17], возникает вопрос, как могут могут выглядеть C1 -функционалы на C1, не являющиеся C1 -гладкими. I F В [18, Sec. 8] приведены примеры таких отображений, действующих в некоторых других пространствах, а именно: § отображение, действующее в банаховом пространстве c0 последовательностей x = (xj ) из RN, сходящихся к началу координат вещественной оси, где |x| = max |xj |; j∈N § отображение из l1 в R; I § отображения из CI в c0 и из C1 в c0. MB В разделах 2-3 ниже мы вначале построим C1 F -функционал, который не является C1 -гладким в банаховом пространстве CI,0 = {φ ∈ CI : φ(min I)= 0} с компактным I. Далее, применение композиции с подходящими линейными непрерывными отображениями дает искомые функционалы на банаховых пространствах CI и C1, а также на C1 , где I I I уже не обязательно компактен. Отметим, что, в рамках теории дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием, особый интерес к C1-гладкости (без учета производных высших порядков) может быть обоснован результатом из [9], согласно которому многообразие решений начальной задачи (1.2), вообще говоря, не более чем C1-гладко, вне зависимости от того, насколько гладки такие компоненты каждого конкретного примера, как функции g и Δ в уравнении (1.1). То же самое имеет место для локально устойчивых многообразий в стационарных точках (см. [9]). I Обозначения. Граница, внутренность и замыкание подмножества M топологического пространства обозначаются через ∂ M, int M и cl M соответственно. Для компактного интервала I = [a, b] ⊂ R, a < b, нормы, рассматриваемые на CI и на C1, задаются соотношениями |p| = max |p(t)| и |p|1 = |p| + |∂ p| t∈I соответственно, где I ∂ : C1 → CI есть линейное непрерывное отображение дифференцирования. Имеет место разложение CI = CI,0 ⊕ R1, на замкнутые подпространства, где 1(t)=1 на I. Сопряженная проекция pr : CI → CI вдоль R1 на CI,0 линейна и непрерывна. b Билинейное отображение (·, ·)2 : CI,0 × CI,0 ± (p, q) 1→ [ p(s)q(s)ds ∈ R непрерывно по переменa ной |· |, а соотношение определяет норму в CI,0, где |p|2 = (p, p)2 |p|2 � √b - a|p| для любого p из CI,0. Для положительных r положим N2,r = {p ∈ CI,0 : |p|2 < r}, B2,r = {p ∈ CI,0 : |p|2 � r}. Тогда N2,r - открытое подмножество пространства CI,0, B2,r - замкнутое подмножество пространства CI,0, а ∂ N2,r = {p ∈ CI,0 : |p|2 = r} = ∂ B2,r , где ∂ обозначает границу множества N2,r , рассматриваемую как подмножество банахова пространства CI,0 с нормой |· |. Если интервал I ⊂ R некомпактен, а подынтервал I ⊂ I положительной длины компактен, то сужением определяется линейное непрерывное отображение R : C1 → C1, а продолжение прямыми I I линиями с подходящими углами наклона определяет линейное непрерывное отображение E : C1 → C1, I I I для которых REp = p на C1. 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОНУСОВ В CI,0; СЛУЧАЙ КОМПАКТНОГО I В этом и следующем разделах применяются обозначения I = [a, b] (где a< b), C = CI , C0 = CI,0 I и C1 = C1. Для любого натурального j положим tj = a + j ⊂ b - a и выберем открытый интервал I (a, b), 2j для которого tj ∈ Ij и cl Ij ∩ cl Ik = ∅ при j /= k. Выберем ej из C1, для которого ej ([a, b]) ⊂ [0, 1], supp ej ⊂ Ij , ej (tj )=1 и числовая последовательность |ej |2, j ∈ N, строго убывает. Отметим, что |ej | = 1 для всех j из N, |ej |2 → 0 при j → ∞, |ej - ek |2 = |ej |2 + |ek |2, если j /= k в N. 2 2 2 Для любого натурального j выберем такое положительное δj , что ej |2 δj < | δ2 2 , (2.1) 2 2 j + 2δj (b - a) < |ej |2. (2.2) Замкнутые множества ej + B2,δj попарно не пересекаются, потому что если натуральные m и j удовлетворяют неравенству m< j, а p ∈ ej + B2,δj , то неравенство (2.1) и монотонность влекут за собой следующие соотношения: |p - em|2 � |em - ej |2 - |ej - p|2 � |em|2 - δj > |em|2 - | ej |2 2 > |em|2 - | em|2 2 = |em|2 2 > δm. Для натуральных j обозначим через Hj ядро линейного непрерывного отображения вычисления evj : C0 ± p 1→ p(tj ) ∈ R и положим Lj = {p ∈ C0 : evj p = 1} = {p ∈ C0 : p(tj )= 1}. Тогда ej ∈ Lj и, если p ∈ C0 и p(tj ) > 0, то 1 Для конусов q = p(tj ) p ∈ Lj и p = rq при r = p(tj ). справедливы соотношения Uj = (0, ∞) · (Lj ∩ (ej + N2,δj )), Rj = [0, ∞) · (Lj ∩ (ej + ∂ N2,δj )), Kj = [0, ∞) · (Lj ∩ (ej + B2,δj ) ( 1 Uj = p ∈ C0 : p(tj ) > 0, p(tj ) p - ej 2 < δj , ( 1 Rj = {0}∪ p ∈ C0 : p(tj ) > 0, p(tj ) p - ej 2 = δj , ( 1 Kj = {0}∪ p ∈ C0 : p(tj ) > 0, p(tj ) p - ej 2 � δj , Uj ∪ Rj = Kj , 0 ∈ Rj ⊂ Kj , Uj ∩ Rj = ∅. Предложение 2.1. Для любого натурального j справедливы следующие утверждения: 1. Uj - открытое подмножество пространства C0, а Rj и Kj - замкнутые подмножества пространства C0; 2. ∂Kj = Rj = ∂ Uj ; 3. если натуральные m и n не равны друг другу, то Km ∩ Kn = {0}. Доказательство. (i). Открытость множества Uj следует из непрерывности отображений evj и (·, ·)2. Аналогично, множество ( 1 Vj = p ∈ C0 : p(tj ) > 0 и p(tj ) p - ej 2 > δj открыто. Справедливо соотношение C0 \ Kj = (Hj \ {0}) ∪ Vj ∪ {p ∈ C0 : p(tj ) < 0}. Теперь, чтобы доказать замкнутость множества Kj , остается показать, что точки множества Hj \ {0} имеют окрестности в (Hj \ {0}) ∪ Vj ∪ {p ∈ C0 : p(tj ) < 0}. Пусть p ∈ Hj \ {0}. Рассмотрим положительное Е, удовлетворяющее неравенству Е< . |p|2 1+ 2(δj + |ej |2) Соотношения |q - p| <Е и |q - p|2 < | p|2 2 определяют открытую окрестность N точки p в C0 \ {0}. Если q ∈ N, то либо q(tj ) < 0, либо q ∈ Hj \ {0}, либо q(tj ) > 0. В последнем случае справедливы соотношения 1 1 1 q(tj ) q - ej � 2 |q(tj )| |q|2 - |ej |2 = |q(tj ) - p(tj )| |q|2 - |ej |2 � 1 � (|p|2 - |q - p|2) - |ej |2 � 1 |p|2 - |ej |2 > δj , откуда следует, что q ∈ Vj . |q - p| Е 2 Множество Rj замкнуто, потому что Rj = Kj \ Uj . (ii). Вначале докажем, что Rj ⊂ cl Uj . Поскольку 1 Uj ± nej → 0 при N ± n → ∞, получаем, что 0 ∈ cl Uj . Для любой точки p из Rj \ {0} величина p(tj ) положительна. Точка 1 q = p(tj ) то p принадлежит множеству Lj и удовлетворяет соотношению δj = |q - ej |2. Если 0 <s< 1, qs = sq + (1 - s)ej ∈ Lj , |qs - q| � (s - 1)|q| + (1 - s)|ej | = (s - 1)|q| + (1 - s), δj = |q - ej |2 > |s(q - ej )|2 = |(sq + (1 - s)ej ) - ej |2 = |qs - ej |2. Следовательно, qs ∈ Lj ∩ (ej + N2,δj ) и p(tj )qs ∈ Uj . Из предельного соотношения qs → q при s → 1 следует предельное соотношение Uj ± p(tj )qs → p(tj )q = p при s → 1, доказывающее, что p ∈ cl Uj . Отсюда следует, что Rj ⊂ cl Uj . Теперь докажем, что ∂ Uj = Rj . Из включения Rj ⊂ cl Uj , соотношения Rj ∩ Uj = ∅ и замкнутости множества Kj , подмножеством которого является Uj , получаем соотношения Kj \ Uj = Rj ⊂ (cl Uj ) \ Uj ⊂ Kj \ Uj = Rj , доказывающие, что ∂ Uj = cl Uj \ Uj = Rj . Теперь докажем, что ∂ Kj = Rj . Из открытости подмножества Uj множества Kj вытекает, что ∂ Kj = cl Kj \ int Kj ⊂ Kj \ Uj = Rj . Чтобы показать, что Rj ⊂ ∂Kj , рассмотрим Rj ⊂ Kj = cl Kj . Остается доказать, что Rj ⊂ 1 j cl(C0 \ Kj ). Итак, пусть p ∈ Rj . Если p /= 0, то p(tj ) > 0, q = p(t ) p ∈ Lj и |q - ej |2 = δj . Если s> 1, то qs = sq + (1 - s)ej из Lj удовлетворяет соотношениям δj = |q - ej |2 < |s(q - ej )|2 = |qs - ej |2; значит, qs ∈ Lj ∩ {r ∈ C0 : |r - ej |2 > δj } и p(tj )qs ∈ C0 \ Kj . Учитывая, что qs → q при s → 1, получаем, что C0 \ Kj ± p(tj )qs → p(tj )q = p при s → 1. Следовательно, p ∈ cl(C0 \ Kj ). Осталось рассмотреть случай, в котором p =0 ∈ Rj . В этом случае выберем h ∈ Hj \ {0}⊂ C0 \ Kj . Тогда 1 C0 \ Kj ± nh → 0= p при N ± n →∞ и, тем самым, p =0 ∈ cl(C0 \ Kj ). (iii). Пусть натуральные m и n не равны друг другу и 0 /= p ∈ Km ∩ Kn. Тогда p(tm) > 0, p(tn) > 0 и существуют такие q из Lm ∩ (em + B2,δm ), r из Ln ∩ (en + B2,δn ) и положительные s и t, что Можно считать, что s � t. Тогда sq = p = t r. |em|2 + |en|2 = |em - en|2 � (|em - q|2 + |q - en|2)2 � 2 2 ( t 2 2 ( t t t 2 ( t t 2 � δm + r - en � δm + r - en + en - en � δm + δn + - 1 |en|2 � s 2 ( t ( t s 2 2 s s 2 2 2 s s 2 2 √ 2 � δm + s |en|2 + 4. - s |en|2 = (δm +|en|2) = δm +2δm|en|2 +|en|2 � δm +2δm b - a+|en|2, что в сочетании с неравенством (2.2) приводит к противоречию. Предложение 2.2. ∂ J Uj ⊂ J Rj . Для любой точки q из (∂ J Uj ) \ {0} существует единj∈N j∈N j∈N n=1 ственное J = Jq , для которого q ∈ RJ . Если последовательность (pn)∞ из J Uj сходится к j∈N k=1 q из ∂( J Uj ) \ {0}, то существует подпоследовательность (pnk )∞ , содержащаяся в UJq . j∈N Доказательство. Пусть q ∈ ∂ J Uj . Поскольку 0 ∈ Rj для всех j, можно считать, что q /= 0. j∈N n=1 Тогда существует последовательность (pn)∞ , содержащаяся в ( J Uj ) \ {0} и стремящаяся к q j∈N при n → ∞. Согласно предложению 2.1(iii), для любой такой последовательности соотношение pn ∈ Uj(n) определяет последовательность (не обязательно инъективную) N ± n 1→ j(n) ∈ N. Если эта последовательность ограничена, то существует постоянная подпоследовательность N ± k 1→ j(nk ) ∈ N со значением J = j(nk ) для любого натурального k. Поскольку pnk ∈ UJ для любого натурального k, мы заключаем, что q ∈ RJ . Этим соотношением J определено однозначно в силу соотношения q /=0 и предложения 2.1(iii). Осталось рассмотреть случай, в котором последовательность (j(n))n∈N неограничена. В этом случае существует подпоследовательность N ± k 1→ j(nk ) ∈ N, стремящаяся к бесконечности. Тогда для любого положительного Е существует такое натуральное k, что √ |ej(nk )|2 < Е, |q - pnk |2 � Отсюда следует, что b - a|q - pnk | <Е и δj(nk ) < Е. |q|2 � |q - pnk |2 + |pnk - pnk (tj(nk ))ej(nk )|2 + |pnk (tj(nk ))||ej(nk )|2 < <Е + |pnk (tj(nk ))|(δj(nk ) + Е) � Е + |pnk |(δj(nk ) + Е) � Е + что противоречит соотношению q /= 0. ( Е b |q| + √ - a 5. Е, Предложение 2.3. Для любого q из (∂ J Uj ) \ {0} существует такое натуральное J и такое положительное r, что {p ∈ C0 : |p - q| < r}⊂ j∈N 1 ( p ∈ UJ : p - eJ δj > ∪ (C0 \ ( Uj )). p(tJ ) 2 2 j∈N Доказательство. Пусть q ∈ (∂ J Uj ) \ {0}. Возьмем натуральное J = Jq , существование и единj∈N ственность которого доказаны в предложении 2.2, и докажем, что существует такое положительное ρ, что {p ∈ C0 : |p - q| < ρ}⊂ UJ ∪ (C0 \ Uj ). (2.3) j∈N n=1 Предположим обратное, т. е. что существует такая последовательность (pn)∞ , что 1 |pn - q| < n и pn ∈ (C0 \ UJ ) ∩ ( j∈N Uj ) для всех n из N. У этой последовательности нет подпоследовательности, содержащейся в UJ , что противоречит предложению 2.2. Из соотношения 0 /= q ∈ RJ получаем соотношение 1 q(tJ ) q - eJ 2 = δJ . Существует такое r из (0, ρ), что если p ∈ C0 и |p - q| < r, то p(tJ ) > 0 и 1 p - eJ > δJ . p(tJ ) 2 2 Используя это и вложение (2.3), мы получаем, что если p ∈ C0 и |p - q| <r < ρ, то δJ 1 либо 2 p(t ) p ∈ UJ и < p - eJ J 2 p ∈ C0 \ ( Uj ). j∈N MB 3. C1 F -ФУНКЦИОНАЛ НА CI,0, НЕ ЯВЛЯЮЩИЙСЯ C1 -ГЛАДКИМ; СЛУЧАЙ КОМПАКТНОГО I Для любого натурального j выберем непрерывно дифференцируемое отображение gj : R → [0, 1] ⊂ R, для которого и gj (ξ)=1 при |ξ| � 8 4 j 2 δj , g (ξ)=0 при |ξ| � δj Тогда соотношение j δ |gt (ξ)| � j для любого вещественного ξ. (3.1) φj (p)= gj (|p - ej |2) F определяет C1 -гладкое отображение φj : Lj → R. Теперь выберем такую непрерывную функцию rj : R → [0, 1] ⊂ R, что 1 rj (s)=0 при |s| � 2j , rj ξ ( 1 j =1 и r rj (s)ds � δj |ξ|3 для любого вещественного ξ. (3.2) 0 Отметим, что отображения rj , j ∈ N, не являются равностепенно непрерывными в начале координат вещественной оси. Функции непрерывно дифференцируемы. ξ r fj : R ± ξ 1→ a rj (s)ds ∈ R, j ∈ N, Рассмотрим отображение f : C0 → R, заданное следующим образом: f (p) = φj ( 1 p p(tj ) · fj (p(tj )) при j из N и p из Kj \ {0}, (3.3) f (p) = 0 при p из C0 \ ( Kj ), (3.4) j∈N f (0) = 0. Это определение корректно в силу предложения 2.1(iii). Отметим, что f (p)=0 на Rj . j∈N C1 Сужение f на объединение попарно непересекающихся открытых множеств Uj ⊂ Kj , j ∈ N, F -гладко. Предложение 3.1. Любая точка q из C0 \ ( J Uj ), отличная от начала координат проj∈N странства C0, имеет такую окрестность N, что f (p)=0 на N. Доказательство. 1. В случае, когда q - внутренняя точка замкнутого множества C0 \ ( J Uj ), существует такое положительное r, что множество N = {p ∈ C0 : |p - q| < r} j∈N содержится в C0 \ ( J Uj ). Пусть p ∈ N. Тогда j∈N для любого натурального j. p ∈ C0 \ Uj = (C0 \ Kj ) ∪ Rj Если существует такое натуральное j, что p ∈ Rj , то f (p)=0 по определению отображения f. В противном случае p ∈ C0 \ Rj для любого натурального j, откуда следует, что p ∈ C0 \ Kj для любого натурального j. Значит, f (p)=0 по определению отображения f. 2. В случае, когда 0 /= q ∈ ∂(C0 \ ( J Uj )) = ∂ J Uj , из предложения 2.3 вытекает существоваj∈N j∈N ние такого натурального J и такого положительного r, что множество N = {p ∈ C0 : |p - q| < r} содержится в ( 1 δj Пусть p ∈ N. Если ∈ J p U : p(tJ ) p - eJ > 2 2 ∪ (C0 \ ( Uj )). j∈N p ∈ C0 \ ( Uj ), j∈N то соотношение f (p)=0 доказывается так же, как и первой части доказательства. Если p ∈ UJ и 1 p - eJ > δj , p(tJ ) 2 2 то соотношение f (p)= 0, как и выше, следует из определения отображения f. F Следствие 3.1. Сужение f на C0 \ {0} является C1 -гладким и Df (q) = 0 для любого ненулевого q из C0 \ ( J Uj ). j∈N Доказательство. Используется предложение 3.1, замечание, предшествующее ему, и соотношение C0 = ( Uj ) ∪ (C0 \ ( Uj )). j∈N j∈N Предложение 3.2. Отображение f непрерывно, и для каждого pˆ из C0 производная по направлению Df (0)pˆ = lim 1 [f (0 + tpˆ) - f (0)] = lim f (tpˆ) 0×=t→0 t существует и равна нулевому элементу пространства C0. Доказательство. 0×=t→0 t 3. Из следствия 3.1 вытекает непрерывность f на C0 \ {0}. Непрерывность в начале координат пространства C0 следует из соотношения f (p)= 0, справедливого на C0 \ ( J Kj ), и оценки j∈N ( 1 p(tj ) r |f (p) - f (0)| = |f (p)| = gj p - ej · fj (p(tj )) � rj (s)ds � |p(tj )| � |p|, 2 p(tj ) 0 верной при условии, что 0 /= p ∈ Kj и j ∈ N. 4. Если 0 /= pˆ ∈ C0 и 0 /= t ∈ R, то либо tpˆ ∈ C0 \ ( J Kj ), что влечет за собой соотношеj∈N ние f (tpˆ) = 0, либо tpˆ ∈ Kj для некоторого натурального j. В последнем случае справедливо неравенство |f (tpˆ)| � |fj ((tpˆ)(tj ))| � δj |(tpˆ)(tj )|3 � В сочетании с неравенством √b - a 2 |t|3|pˆ|3. √ - a |f (tpˆ)| � |t|2 b оно дает соотношение |t| Df (0)pˆ = lim 0×=t→0 2 |pˆ| f (tpˆ) = 0. t Следующее утверждение исключает возможность того, что f C1 -гладко: производные Df / 1 e \ F j j из Lc(C0, R) не сходятся к Df (0) = 0 равномерно на ограниченном множестве {ek ∈ C0 : k ∈ N}. Предложение 3.3. ( 1 Df j ej ej =1 для любого натурального j. Доказательство. Если j ∈ N и t> 0, то ( 1 f j ej + tej ( 1 - f j ej (( 1 = f + t ej j ( 1 - f j ej = ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 При 0 <t → 0 слагаемое = gj (0) · fj j + t - gj (0) · fj j = fj j + t - fj j . стремится к 1 г ( 1 t fj j + t - fj ( 1 l j ( 1 f t = rj ( 1 = 1. j j j MB Чтобы убедиться в C1 -гладкости f, нужно исследовать производные по направлению Df (p)pˆ для значений p, близких к точкам 0 и справедливо соотношение pˆ пространства C0. На каждом множестве Uj , j ∈ N, где f (p)= gj (/ Qj (p) ( 1 · fj (p(tj )), 1 Qj : {p ∈ C0 : p(tj ) > 0}± p 1→ - j - j p e , p e p(t ) p(t ) ∈ R, j ∈ N, j j 2 F есть C1 -гладкое отображение. Для любого натурального j и любого p из C0, удовлетворяющего условию p(tj ) > 0, справедливо соотношение 1 2 Qj (p)= p(t )2 (p, p)2 - p(t )(p, ej )2 + (ej , ej )2. j j При pˆ ∈ C0, дифференцируя произведение и дифференцируя сложную функцию, получаем, что DQj (p)pˆ = 1 r2 (p, pˆ) p(t )2 p(tj )4 · 2 · j - (p, p)2 · 2 · p(tj ) · pˆ(tj )l - 2 - p(tj )2 [(pˆ, ej )2 · p(tj ) - (p, ej )2 · pˆ(tj )] = 2 = p(tj )2 г (p, pˆ)2 - ( 1 p(tj ) p, p 2 l · pˆ(tj ) - (pˆ, ej )2 · p(tj )+ (p, ej )2 · pˆ(tj ) = 2 = p(tj )2 г p(tj ) ( pˆ, 1 p(tj ) p - ej 2 ( - pˆ(tj ) · p, 1 p(tj ) l p - ej 2 . (3.5) Предложение 3.4. Для любого натурального j, любого p из Uj и любого pˆ из C0 справедливо неравенство Доказательство. |Df (p)pˆ| � 16 · |p|· √b - a · |pˆ|· |p| + |rj (p(tj ))|· |pˆ(tj )|. 1. Если p ∈ Uj \ R · ej , j ∈ N и pˆ ∈ C0, то Qj (p) /= 0. Комбинируя формулу для производной произведения, правило дифференцирования сложной функции и соотношение D evj (p)pˆ = evj pˆ = pˆ(tj ), получаем, что Df (p)pˆ = gt (/ 1 Qj (p) DQj (p)pˆ · fj (p(tj )) + gj (/ Qj (p) o Dfj (p(tj ))pˆ(tj ), j 2 Qj (p) что, с учетом (3.5), дает формулу Df (p)pˆ = gt (/ Qj (p) 1 · 1 г p(tj ) ( pˆ, 1 p - ej ( - pˆ(tj ) · p, 1 l p - ej × j Qj (p) p(tj )2 p(tj ) 2 p(tj ) 2 (/ × fj (p(tj )) + gj Qj (p) · rj (p(tj )) · pˆ(tj ). используя соотношения 8 j |gt (ξ)| � δ , gj (R) ⊂ [0, 1], j ξ r |fj (ξ)| = 0 rj (s)ds � δj |ξ|3, / 1 Qj (p)= p(tj ) p - ej 2 и |(u, v)2| � |u|2|v|2, получаем, что 8 1 3 δ |Df (p)pˆ| � j j p(t )2 · [|pˆ|2 · |p(tj )| + |pˆ(tj )|· |p|2] · δj |p(tj )| + |rj (p(tj ))|· |pˆ(tj )| � � 8 · |p(tj )|· √ b - a · |pˆ|· |p(tj )| + |pˆ|· √ b - a · |p| + |rj (p(tj ))|· |pˆ(tj )| � � 16 · |p(tj )|· √b - a · |pˆ|· |p| + |rj (p(tj ))|· |pˆ(tj )|. δj 2. Если p ∈ Uj ∩ R · ej , j ∈ N, то Qj (p)= 0. В силу непрерывности неравенство Qj (p˜) < 4 выполняется в окрестности N точки p в Uj , а значит, f (p˜) = 1 · fj (p˜(tj )) в N и, следовательно, t Df (p)pˆ = fj (p(tj )pˆ(tj )= rj (p(tj ))pˆ(tj ) для всех pˆ из C0. Отсюда следует, что |Df (p)pˆ| � |rj (p(tj ))|· |pˆ(tj )|. Предложение 3.5. Для всех последовательностей C0 ± pn → 0 ∈ C0 и C0 ± pˆn → pˆ ∈ C0 справедливо предельное соотношение Df (pn)pˆn → 0 при n → ∞. Доказательство. Пусть C0 ± pn → 0 ∈ C0 и C0 ± pˆn → pˆ ∈ C0. Поскольку Df (p) = 0 на C0 \ ( J Uj ), достаточно рассмотреть случай, в котором pn ∈ J Uj для всех натуральных n. j∈N j∈N В этом случае достаточно показать, что из любой подпоследовательности последовательности (Df (pn)pˆn)n∈N можно, в свою очередь, извлечь подпоследовательность, стремящуюся при n →∞ к началу координат вещественной оси. Итак, пусть N ± k 1→ nk ∈ N строго возрастает. Поскольку множества Uj попарно не пересекаются, каждое натуральное число k однозначно определяет такое натуральное число j(k), что pnk ∈ Uj(k) (в силу предложения 2.1(iii) и условия, что 0 ∈/ Uj для каждого натурального j). Рассмотрим случай, в котором последовательность (j(k))k∈N ограничена. Пусть jmax = max j(k). k∈N Тогда существует такое натуральное k0, что 1 В частности, |pnk | < 2j max 1 для всех целых k, больше либо равных k0. 1 |pnk (tj(k))| � |pnk | < 2j max � 2j(k) для всех целых k, больше либо равных k0, откуда следует, что 0 = rj(k)(pnk (tj(k))) для указанных целых k. Используя предложение 3.4, мы заключаем, что |Df (pnk )pˆnk | � 16 · |pnk | 2√ b - a|pˆnk | для всех целых k, больше либо равных kJ . Отсюда следует, что |Df (pnk )pˆnk стремится к началу координат вещественной оси при k → ∞. Теперь рассмотрим случай, в котором последовательность (j(k))k∈N неограничена. В этом случае существует ее подпоследовательность (j(km))m∈N, стремящаяся к бесконечности при m → ∞. Отсюда следует, что Используя это, оценку tj(km) → a при m → ∞. |pˆnkm (tj(km))| � |pˆnkm (tj(km)) - pˆ(tj(km))| + |pˆ(tj(km))| � |pˆnkm - pˆ| + |pˆ(tj(km))| и тот факт, что pˆ(a)= 0, заключаем, что pˆnkm (tj(km)) → 0 при m → ∞. (3.6) Теперь, объединяя оценку из предложения 3.5 с предельными соотношениями pnkm → 0 при m →∞ и pˆnkm → pˆ при m → ∞, справедливыми при rj(km)(R) ⊂ [0, 1], и с предельным соотношением (3.6), получаем, что Df (pnkm )pˆnkm → 0 при m → ∞. C1 Объединяя следствие 3.1, предложение 3.3 и предложение 3.5, получаем, что f : C0 → R является MB -гладким. Отметим, что работать в пространстве C0 (вместо пространства C) требуется только в самом последнем случае доказательства предложения 3.5 - когда последовательность (j(k))k∈N является неограниченной. I 4. ФУНКЦИОНАЛЫ НА CI И C1 В СЛУЧАЕ КОМПАКТНОГО ИНТЕРВАЛА I I И ФУНКЦИОНАЛЫ НА C1 В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА I Следствие 4.1. Пусть a<b и I = [a, b]. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Функционалы h : CI → R, заданные формулами h(p) = f (pr p) при pr : CI → CI,0 из раздела 1 и H = h ◦ ∂ на C1, являются C1 -гладкими, но не C1 -гладкими. I MB F 2. Пусть I - подмножество интервала I. Тогда отображение F = H ◦ R, где R : C1 → C1 - MB сужение, является C1 F -гладким, но не является C1 -гладким. I I Доказательство. MB 1. Отображение h является C1 -гладким и Dh(0) = 0 ∈ Lc(CI , R), потому что Dh(0)pˆ = Df (pr 0)pr pˆ = Df (0)pr pˆ =0 для всех Для любого натурального j справедливы соотношения pˆ из CI . ( 1 Dh j ej ej = Df ( ( 1 pr ej j pr ej = Df ( 1 j ej ej = 1, откуда следует, что на ограниченном множестве {ej : j ∈ N}⊂ CI Dh отсутствует равномерная сходимость производных / 1 j ej \ из пространства Lc(CI , R) к Dh(0), F являющемуся нулем этого пространства. Следовательно, h не является C1 -гладким. MB 2. Отображение H является C1 I -гладким и DH(0) = 0 ∈ Lc(C1, R), потому что DH(0)pˆ = Dh(∂ 0)∂pˆ = Dh(0)∂pˆ =0 для всех pˆ t I из C1. Для любого натурального j определим e1 из C1 формулой e1(t)= [ ej (s)ds. Тогда j I j a {e1 ∈ C1 : j ∈ N} j I - ограниченное подмножество пространства C1, 1 e1 → 0 при j →∞ и 1 ( 1 ( ( 1 I j j ( 1 e DH j j j e e1 = Dh ∂ 1 j j j ∂ e1 = Dh j ej ej =1 для всех j из N. Отсюда следует, что на ограниченном множестве {e1 ∈ C1 : j ∈ N} производные DH/ 1 e1\ j I j j I F принадлежат пространству Lc(C1, R), но их равномерная сходимость к нулевому элементу этого пространства не имеет места. Значит, H не является C1 -гладким. 3. Пусть I содержится в интервале I. Рассмотрим сужение R : C1 → C1 и положим F = H ◦ R. I I MB Отображение F является C1 -гладким в силу формулы дифференцирования сложной функции: I DF (0) = DH(R0) ◦ R = DH(0) ◦ R =0 ∈ Lc(C1 , R). Напомним, что линейное ограниченное отображение E : C1 → C1 из раздела 1 переводит ограни- I I ченное подмножество {e1 : j ∈ N}⊂ C1 в ограниченное подмножество j I j {Ee1 : j ∈ N} пространства C1. Имеет место сходимость 1 Ee1 → 0 в C1, а для любого натурального j справед- I ливо соотношение ( 1 j j I 1 ( ( 1 DF Ee1 Ee1 = DH RE e1 REe1 = DH e1 e1 = 1, j j j j j j j j j показывающее, что на ограниченном множестве {Ee1 : j ∈ N} производные DF / 1 Ee1\ принадлеj j j жат Lc(C1 , R), однако их равномерная сходимость к DF (0) = 0 не имеет места. Следовательно, F не является C1 -гладким.