О кратной полноте корневых функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка с постоянными коэффициентами

Аннотация

В пространстве суммируемых с квадратом функций на конечном отрезке рассматривается класс полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов n-го порядка с постоянными коэффициентами и двухточечными (на концах основного промежутка) краевыми условиями. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса простые и отличны от нуля. Формулируются достаточные условия m-кратной полноты (1≤m≤n) системы корневых функций пучков этого класса в пространстве суммируемых с квадратом функций на рассматриваемом отрезке.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ 1. Постановка задачи. В пространстве L2[0, 1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(λ), порожденный на конечном отрезке [0, 1] дифференциальным выражением (д.в.): f(y, λ) := pn(x, λ)y(n) + pn - 1(x, λ)y(n-1) + ··· + p0(x, λ)y, (1.1) и линейно независимыми краевыми условиями: n-1 Ui(y, λ) := '\' αij (λ)y(j)(0) + βij (λ)y(j)(1) = 0, i = 1, n, (1.2) j=0 n-j где λ ∈ C - спектральный параметр, pj (x, λ) = }, pjs(x)λs, pjs(x) ∈ L1[0, 1], а αij (λ), βij (λ) - s=0 произвольные полиномы по λ. Далее будем использовать, не повторяя их в данной статье, известные определения собственных значений (с.з.), собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых функций (к.ф.), производных (по Келдышу) цепочек из [5, 6]. Пусть Λ := {λk } есть множество всех с.з. пучка L(λ), а Y := {yk } - множество всех к.ф. пучка L(λ), соответствующих множеству Λ. Предполагается, что множество Λ счетное. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 340 2 Определение 1.1. Система Y к.ф. пучка L(λ) называется m-кратно полной в пространстве L2[0, 1] (1 � m � n), если из условия ортогональности вектор-функции h ∈ Lm[0, 1] всем производным m-цепочкам, соответствующим системе Y, следует равенство h = 0. Здесь обозначено Lm 2 [0, 1] := L2[0, 1] ⊕ ··· ⊕ L2[0, 1] . m р аз _ Решается задача нахождения условий на коэффициенты пучка L(λ), при которых имеет место или отсутствует n-кратная полнота к.ф. в L2[0, 1]. В последнем случае естественно возникает вопрос об m-кратной полноте при 1 � m � n - 1. 2. Краткая историческая справка. Основополагающей по этой проблеме является работа [4], в которой была сформулирована (без доказательства) теорема об n-кратной полноте к.ф. пучка L(λ), порожденного д.в. (1.1) со специальной главной частью y(n) + λny + {возмущение} и не зависящими от λ распадающимися краевыми условиями (1.2) (когда часть краевых условий берется только в конце 0 отрезка [0, 1], а остальные в 1). Эта теорема была доказана в [20] и, независимо, в [24] в случае аналитических коэффициентов д.в. и в [22] - в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в [21]. Случай произвольной главной части д.в. (1.1) был рассмотрен в [19, 25]. В работах [3, 23], относящихся к общему виду (1.1)-(1.2) пучка L(λ), получены достаточные условия n-кратной полноты в L2[0, 1] системы к.ф. в терминах степенной ограниченности по параметру λ функции Грина пучка L(λ) на некоторых лучах. Наиболее полное исследование вопроса об nи m-кратной полноте и неполноте к.ф. пучка L(λ) вида (1.1)-(1.2), д.в. которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия - полураспадающиеся (не менее половины краевых условий берутся только в одном конце) и не зависящие от λ, проведено в [1, 2]. Но для некоторых классов пучков L(λ) даже с постоянными коэффициентами вопрос о кратной полноте системы к.ф. полностью еще не исследован. В данной статье рассматривается именно такой пучок L0(λ), действующий в пространстве L2[0, 1] и порожденный д.в. n-го порядка f0(y, λ) := '\' j+s�n pjsλsy(j), pjs ∈ C, pn0 /= 0, p0n /= 0, (1.3) и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями 0 Ui (y, λ) := '\' j+s�κi0 λsαijsy (j) (0) = 0, i = 1, l, (1.4) 0 Ui (y, λ) := '\' j+s�κi0 λsαijsy (j) (0) + '\' j+s�κi1 λsβijsy (j) (1) = 0, i = l + 1, n, где λ, αijs, βijs ∈ C, κi0, κi1 ∈ {0}∪ N, 0 � l � n - 1. Будем называть д.в. f0(y, λ) однородным, если в сумме (1.3) pjs =0 при j + s < n. Аналогично, будем называть i-е краевое условие (1.4) при i = 1,l однородным, если αijs =0 при j + s < κi0. Пусть всюду далее выполняется основное предположение относительно д.в. f0(y, λ), а именно: 1◦. Корни ωj = rj exp(iψj ), j = 1, n, характеристического уравнения }, μ+s=n pμsωμ =0 (кратко, характеристики) д.в. f0(y, λ) различны и отличны от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что {ωj } лежат на η лучах (1 � η � n), исходящих из начала координат. Пусть при ν0 =0 и νη = n справедливы соотношения 0 � ψν0+1 = ··· = ψν1 < ··· < ψνη-1+1 = ··· = ψνη < 2π. (1.5) В [1, 2] был детально рассмотрен пучок типа (1.3)-(1.4) в случае, когда а) краевые условия не зависят от λ и 2l > n, т. е. краевые условия полураспадающиеся; б) существует прямая d, проходящая через начало координат, не содержащая ω-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше, чем n - l. Были получены условия nи m-кратной полноты при 1 � m � n - 1 в пространстве L2[0, 1] и показана точность этих результатов. Когда η =2 и ψ1 = 0, ψ2 = π (случай η =1 рассматривается здесь как частный случай η = 2), кратная полнота к.ф. пучка L0(λ), для которого условия а) или б) не выполняются (см. выше), исследовалась в [12, 14, 17, 18]. Нарушение условий а) и б) возможно, когда краевые условия могут зависеть от спектрального параметра λ или когда 0 � l � n - 1 при некоторых значениях ν1. Случай l = n - 1 и ν1 = n рассматривался в [12], случай 1 � l � n - 1 и ν1 = n рассматривался в [14], случай 1 � l � n - 1 и ν1 = n - 1 рассматривался в [18], и, наконец, случай l = 0 и 0 � ν1 � n рассматривался в [17]. Когда по-прежнему η = 2, но ψ1 /= ψ2 - произвольны, кратная полнота исследовалась в [27] при l =0 и 0 � ν1 � n и в [28] при 1 � l � n - 1 и 0 � ν1 � n. Д.в. f0(y, λ) во всех этих работах, кроме [27], предполагалось однородным. В указанных статьях получены достаточные условия m-кратной полноты к.ф. в L2[0, 1], где m = min{ν1,n - l} + min{n - ν1,n - l}. В настоящей статье рассматривается пучок L0(λ) общего вида (неоднородный) с постоянными коэффициентами в случае простых и произвольных характеристик в предположении произвольности l, а именно: 0 � l � n - 1 (при l = n получаем условия Коши, т. е. вырожденный пучок). Только при исследовании k-кратной полноты при 1 � k � n - 1 будем предполагать однородность д.в. (1.3) и краевых условий (1.4) при 1 � i � l. Это обусловлено методом доказательства кратной полноты к.ф. в этом случае. В статьях [7, 26] исследовалась кратная полнота системы к.ф. пучка, очень близкого к рассматриваемому. Но краевые условия предполагались полураспадающимися, д.в. f0(y, λ) предполагалось однородным и требовалась определенная асимптотика характеристического определителя, условия существования которой не указывались. Некоторые из этих ограничений удалось снять. 3. Формулировка основных результатов. Чтобы сформулировать полученные в статье результаты, введем необходимые обозначения и предположения. Помимо предположения 1◦, далее будет использоваться еще следующее предположение: 2◦. Пусть υ ∈ [0, 2π) есть любое число, для которого существует перестановка σ(= σ(υ)) = {σ1, σ2,..., σn} множества {1, 2,..., n} и число h(= h(υ)) ∈ {0, 1,..., n} такие, что 1 h Re(eiυωσ ) < ··· < Re(eiυωσ ) < 0 < Re(eiυωσ h+1 n ) < ··· < Re(eiυωσ ). (1.6) Обозначим множество таких υ через Υ. Это все числа из [0, 2π), кроме решений уравнений Re(eiυωi) = Re(eiυ ωj ), i /= j и Re(eiυωj ) = 0, j = 1, n. Имеется конечное число таких решений, и между ними перестановка σ и число h не меняются. Далее считаем (без потери общности), что краевые условия (1.4) упорядочены таким образом, что при s0 = l, sr+1 = n справедливы соотношения χs0+1 = ··· = χs1 < χs1+1 = ··· = χs2 < ··· < χsr +1 = ··· = χsr+1 , (1.7) где χi = κi1 - κi0. Для υ ∈ Υ пусть γ (= γ(υ)), δ (= δ(υ)) - такие индексы, что sγ +1 � h +1 � sγ+1, sδ +1 � n - h +1 � sδ+1. (1.8) Считаем, что γ =0 и δ = r +1 в случае h = 0, а в случае h = n полагаем γ = r +1 и δ = 0. Обозначим [q]+ = max{q, 0}, [p, q]- = min{p, q}, [a]= 1 + O(1/λ), κi = [κi0, κi1]- при i = l + 1,n и для того же рассматриваемого υ при j = 1,n положим aij = '\' ν+s=κi0 αiνsων σj , i = 1, n, bij = '\' ν+s=κi1 βiνs σj ων , i = l + 1, n. Пусть A и B суть определители, соответственно, вида 1 1 a11 ... a1h 0 ... 0 1 1 1 1 1 1 0 ... 0 a1,h+1 ... a1n 1 1 1 1 1 ............................................. 1 1 ............................................. 1 1 asγ ,1 ... asγ ,h 0 ... 0 1 1 0 ... 0 as ,h+1 ... as ,n 1 δ δ 1 1 , 1 1 , 1 1 1 1 1 asγ +1,1 ... asγ +1,h bsγ +1,h+1 ... bsγ +1,n 1 1 bsδ +1,1 ... bsδ +1,h asδ +1,h+1 ... asδ +1,n 1 1 ............................................. 1 1 ............................................. 1 1 1 1 an1 ... anh bn,h+1 ... bnn 1 1 1 1 1 1 1 1 bn1 ... bnh an,h+1 ... ann 1 а a1, a2, b1, b2 - определители вида a1 = det aij j=1,l, a2 = det aij j=n-l+1,n j=l+1,n j=1,n-l i=1,l i i=1,l , b1 = det bij =l+1,n , b2 = det bij i=l+1,n . Наряду с предположениями 1◦-2◦, будем использовать далее еще следующее предположение: 3◦. а) при h � l пусть a1 /= 0, b1 /= 0; б) при h > l пусть A /= 0; в) при h ;;? n - l пусть a2 /= 0, b2 /= 0; г) при h < n - l пусть B /= 0. В случае, когда д.в. f0(y, λ) однородно, обозначим ciμ(λ) := λ-κi0 '\' s+j�κi0 μ λs+jαijsωj , i = 1, l, μ = 1, n. (1.9) Если к тому же и краевые условия (1.4) при 1 � i � l однородны, то справедливы равенства ciμ(λ)= λ-κi0 '\' s+j=κi0 т. е. ciμ(λ) не зависят от λ. λs+jαijsωj = '\' μ s+j=κi0 αijsωj =: c◦ , i = 1, l, μ = 1, n, (1.10) μ iμ При условии однородности д.в. f0(y, λ) рассмотрим линейную алгебраическую систему n '\' ciμ(λ)dμ = 0, i = 1, l, (1.11) μ=1 относительно вектора неизвестных (d1, d2,..., dn)T . Пусть базис пространства решений системы (1.11) есть ds1(λ), ds2(λ),..., dsn(λ) T , s = 1,n - l. Не нарушая общности, можно считать dij (λ) многочленами. Составим матрицы ⎛ d1,νj -1+1(λ) ... d1,ν j (λ) ⎞ и обозначим Dj (λ) := ⎝ .............................. ⎠ , j = 1, η, dn-l,νj-1+1(λ) ... dn-l,νj (λ) η m = '\' rank Dj (λ). (1.12) j=1 Очевидно неравенство η m � '\'[νj - νj-1,n - l]-. j=1 В случае, когда д.в. f0(y, λ) общего вида (т. е. не является однородным), будем рассматривать линейную алгебраическую систему n '\' c◦ ◦ μ=1 iμdμ = 0, i = 1, l, (1.13) относительно вектора неизвестных (d◦, d◦,..., d◦ )T . Пусть базис пространства решений систе- 1 2 n мы (1.13) есть d◦ , d◦ ,..., d◦ T , s = 1,n - l. Составим матрицы s1 s2 sn ⎛ d◦ ◦ ⎞ ◦ Dj := ⎝ 1,νj-1+1 ... d1,νj ........................ ⎠ , j = 1, η, и обозначим d ◦ ◦ n-l,νj -1+1 ... dn-l,νj η j m◦ = '\' rank D◦. (1.14) Очевидно неравенство j=1 η m◦ � '\'[νj - νj-1,n - l]-. j=1 В частности, если f0(y, λ) является однородным д.в., то m◦ � m. (1.15) Если д.в. f0(y, λ) и краевые условия (1.4) при 1 � i � l однородны, то j Dj (λ) ≡ D◦, m = m◦. (1.16) Замечание 1.1. Остается открытым вопрос, зависит ли число m (или m◦) от выбора базиса пространства решений системы (1.11) (или системы (1.13)). Если зависит, то из всех таких базисов нужно брать, естественно, такой, для которого m (или m◦) будет наибольшим. Наряду с предположениями 1◦-3◦ будут использоваться еще такие предположения: 4◦. Д.в. f0(y, λ) является однородным. 5◦. Краевые условия (1.4) при i = 1,l являются однородными. Теорема 1.1. Пусть l =0 и при некотором υ ∈ Υ выполняются предположения 1◦-3◦. Тогда система к.ф. пучка L(λ) n-кратно полна в пространстве L2[0, 1] с возможным конечным n дефектом, не превышающим числа },[n - 1 - κi]+, если порядок хотя бы одного краевого i=1 условия (1.4) больше n - 1, и с нулевым дефектом в противном случае. Теорема 1.2. Пусть 1 � l � n - 1, при некотором υ ∈ Υ выполняются предположения 1◦-3◦, система (1.4) является системой полного ранга и m◦ = n, где m◦ определена формулой (1.14). Тогда система к.ф. пучка L(λ) n-кратно полна в пространстве L2[0, 1] с возможным конечным n дефектом, не превышающим числа }, [n - 1 - κi]+, если порядок хотя бы одного краевого i=l+1 условия (1.4) больше n - 1, и с нулевым дефектом в противном случае. j Очевидно, что m◦ = n только тогда, когда rank D◦ = νj - νj-1, j = 1, η. Теорема 1.3. Пусть 1 � l � n - 1, при некотором υ ∈ Υ выполняются предположения 1◦-4◦ и m = n, где m определена формулой (1.12). Тогда система к.ф. пучка L(λ) n-кратно полна в пространстве L2[0, 1] с возможным конечным дефектом, не превышающим числа n }, [n - 1 - κi]+, если порядок хотя бы одного краевого условия (1.4) больше n - 1, и с i=l+1 нулевым дефектом в противном случае. Очевидно, что m = n только тогда, когда rank Dj (λ)= νj - νj-1, j = 1, η. Замечание 1.2. Так как выполняется неравенство (1.15), то, вообще говоря, возможны случаи, когда m◦ < m = n, т. е. предположения теоремы 1.2 не выполняются, а предположения теоремы 1.3 выполняются. Интересно было бы найти такие примеры. Теорема 1.4. Пусть 1 � l � n - 1, при некотором υ ∈ Υ выполняются предположения 1◦-5◦ и m◦ < n. Тогда система к.ф. пучка L(λ) k-кратно полна в пространстве L2[0, 1] при k � m◦ n с возможным конечным дефектом, не превышающим числа }, [k - 1 - κi]+. i=l+1 Оставшаяся часть статьи посвящена доказательству этих теорем. Схема доказательства соответствует схеме доказательства теорем 2.1-2.3 из [1, 2] и теорем 1-3 из [7] с модификациями, сделанными при доказательстве соответствующих теорем в [14, 17, 18, 27, 28]. Центральную роль в доказательстве играет лемма 2.4 об оценке, которая формулируется и доказывается в следующем разделе. 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЛЕММА ОБ ОЦЕНКЕ n В [1, с. 28-31] доказано, что уравнение f0(y, λ)=0 имеет фундаментальную систему решений (ф.с.р.) {yj (x, λ)}j=1 с асимптотикой y(k-1) j (x, λ)= (λωj )k-1wj (x)eλωjx[1], j, k = 1, n, (2.1) и аналитическую при |λ|⊕ 1, где wj (x) - отличная от нуля всюду на [0, 1] непрерывно дифференцируемая функция. Оказывается, формулы (2.1) имеют место и при k = n, n + 1,.... Лемма 2.1. Справедливы формулы y(k-1) j (x, λ)= (λωj )k-1wj (x)eλωjx[1], j = 1, n, k = 1, 2,..., n,n + 1,.... (2.2) Доказательство. При k = 1,n формулы (2.2) уже имеют место в силу (2.1). Получим эти формулы при k = n. Далее проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям в [23, с. 195]. j Имеют место тождества f0(yj, λ) ≡ 0, j = 1, n. Выражая из них y(n)(x, λ), найдем y(n) 1 (n-1) p j (x, λ) ≡ - n0 (pn-1,1λ + pn-1,0)yj (x, λ)- 1 - pn0 2 (pn-2,2λ - n-2,0 j + pn 2,1λ + p )y(n-2)(x, λ) - ···- 1 - pn0 (p0nλn + p0,n - 1λn-1 + ··· + p01 λ + p00 )yj (x, λ). (2.3) Используя справа уже установленные асимптотические формулы (2.2) при k = 1, n, получим y(n) j (x, λ)= (λωj )nwj (x)eλωjx / pn-1,1 - pn0ωj pn-2,2 j - pn0ω2 - ··· - p0n j pn0ωn 1 \ + O λ . (2.4) Учитывая здесь то, что ωj суть корни характеристического уравнения }, μ+s=n j pμsωμ =0 и, следовательно, pn-1,1 pn-2,2 p0n = 1, (2.5) - pn0ωj - pn0ω2 - ··· - pn0ωn получим из (2.4) j j y(n) т. е. (2.2) при k = n + 1. j (x, λ)= (λωj )nwj (x)eλωjx[1], Дифференцируя тождество (2.3) по x, подставляя в правую часть уже установленные формулы (2.2) при k = 1,...,n +1 и пользуясь опять соотношениями (2.5), получим формулы (2.2) при k = n + 2. Этот процесс можно неограниченно продолжить (можно воспользоваться методом математической индукции). Лемма доказана. В случае, если д.в. f0(y, λ) является однородным, уравнение f0(y, λ)=0 имеет в качестве ф.с.р. чистые экспоненты eλωjx, j = 1, n. Для единообразия многих выкладок далее удобно считать, что и в этом случае ф.с.р. и ее производные имеют вид (2.2), где wj (x) ≡ 1, [1] ≡ 1. }j=1 Наряду с ф.с.р. (2.1) будет использоваться ф.с.р. {y˜j (x, λ) n , удовлетворяющая начальным условиям y˜(k-1) j (0, λ)= δjk, j, k = 1, n, где δjs есть символ Кронекера. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что функции y˜j (x, λ) являются целыми аналитическими функциями по λ. }j=1 }j=1 Будем обозначать далее объекты, построенные по ф.с.р. {y˜j (x, λ) n , теми же буквами, что и аналогичные объекты, построенные по ф.с.р. {yj (x, λ) n , но с волной наверху. Хорошо известно [6, с. 26], что с.з. λν, ν = 1, 2,..., пучка (1.3)-(1.4) являются нулями целой функции Δ˜ (λ) := det U 0(y˜j (x, λ), λ) n . Обозначим через Φ˜ i(x, λ), i = l + 1, n, функции, полуi i,j=1 чаемые из Δ˜ (λ) в результате замены i-й строки на строку (y˜1(x, λ),..., y˜n(x, λ)). Непосредственно можно убедиться в том, что столбцы / ∂j Φ˜ i(x, λ) ∂λj ,..., ∂j λk-1Φ˜ i(x, λ) \ ∂λj T 1 1 1 1 1 1λ=λν , (2.6) где i = l + 1, n, j = 0, s, являются производными по Келдышу k-цепочками для к.ф., соответствующих с.з. λν, которое является нулем функции Δ˜ (λ) кратности s + 1. Пусть m (или m◦) определяется формулой (1.12) (или (1.14)) и 1 � k � m (или 1 � k � m◦). Введем в рассмотрение функции 1 r Θ˜ i(λ)= 0 k '\' j=1 λj-1Φ˜ i(x, λ) Δ˜ (λ) hj (x) dx, i = l + 1, n, (2.7) где hj (x) ∈ L2[0, 1], и обозначим h(x) := h1(x),..., hk (x) T . Перепишем (2.7) в виде Δ˜ i(λ) ˜ Θ˜ i(λ)= Δ(λ) , i = l + 1, n, (2.8) где Δ˜ i(λ) получается из Δ˜ (λ) заменой i-й строки строкой (u˜n+1,1(λ),..., u˜n+1,n(λ)), в которой 1 r u˜n+1,j (λ)= 0 k r k 1 '\' hν (x)λν-1y˜j (x, λ) dx = λk-1 ν=1 0 hk (x, λ)y˜j (x, λ) dx и hk (x, λ)= }, hν (x)λν-k. ν=1 В [2, c. 48-49] доказаны следующие два простых утверждения. Лемма 2.2. В случае l =0 функции Φ˜ 1,..., Φ˜ n являются линейно независимыми решениями уравнения f0(y, λ)= 0, а в случае 1 � l � n - 1 функции Φ˜ l+1(x, λ), ..., Φ˜ n(x, λ) являются линейно независимыми решениями уравнения f0(y, λ)= 0, удовлетворяющими первым l краевым условиям (1.4) в точке 0. Лемма 2.3. Функции Θ˜ l+1(λ), ..., Θ˜ n(λ) (0 � l � n - 1) не зависят от выбора ф.с.р. уравнения f0(y, λ)= 0. Из (2.8) и леммы 2.3 получим Θ˜ i(λ) ≡ Θi(λ) ≡ Δi(λ) , i = l + 1, n. (2.9) Δ(λ) Введем в рассмотрение следующие множества: Π+ ε,υ = J λ ∈ C | arg λ ∈ [υ - ε, υ + ε] , Π - ε,υ J = λ ∈ C | arg λ ∈ [π + υ - ε, π + υ + ε] , где ε > 0 и достаточно мало. Справедлива следующая лемма об оценке, которая является основной при доказательстве теорем 1.1-1.4. Лемма 2.4. Пусть выполняются предположения 1◦-2◦ и условия (1.7)-(1.8) для некоторого υ ∈ Υ. Тогда при |λ|⊕ 1 справедливы оценки 3 |Θi(λ)| � C(ε, υ)|λ|k- 2 -κi , i = l + 1, n, (2.10) где C(ε, υ) суть константы, зависящие только от ε и υ, при следующих условиях: ε,υ 1. в случае λ ∈ Π+ выполняется предположение 3◦(а,б), 2. лучае λ ∈ Π- выполняется предположение 3◦(в,г). в с ε,υ Доказательство. Ради краткости будем использовать следующие обозначения при j = 1, n: aˆij := wσj (0)aij, i = 1, n, ˆbij := wσj (1)bij, i = l + 1, n. Так как все числа wσj (0), wσj (1) отличны от нуля, то определители Aˆ, Bˆ, aˆ1, aˆ2, ˆb1, ˆb2, аналогичные соответствующим определителям A, B, a1, a2, b1, b2, но построенные по числам aˆij и ˆbij , будут отличны от нуля тогда и только тогда, когда отличны от нуля соответствующие определители без крышки. Так как справедливы соотношения (2.9), то, чтобы оценить сверху Θi(λ), предварительно оценим снизу |Δ(λ)|. Рассмотрим два случая: ε,υ 1. Пусть λ ∈ Π+ . Исходя из вида (2.2) ф.с.р. и ее производных, в этом случае будем иметь следующие асимптотические формулы: 1. i = 1, l, j = 1,n (при l =0 этот пункт отсутствует): / \ Ui(yσj , λ)= '\' σj αiνsων λ ν+s wσj (0)[1] = λ κi0 wσj (0) '\' σj αiνsων + O 1/λ = ν+s�κσ0 ν+s=κi0 = λκi0 [aˆij ]; (2.11) 2. i = l + 1, n, j = 1,h (когда h = 0, этот случай отсутствует): Ui(yσj , λ)= '\' σj αiνsων λ ν+s wσj (0)[1] + '\' σj βiνsων λ ν+s wσj (1)[1]e λωσj = ν+s�κi0 = λκi0 / j wσ (0) '\' ν+s�κi1 σj αiνsων \ + O (1/λ)+ O λχi eλωσj = λκi0 [aˆij ]; (2.12) ν+s=κi0 3. i = l + 1, n, j = h + 1,n (когда h = n, этот случай отсутствует): Ui(yσj , λ)= '\' σj αiνsων λ ν+s wσj (0)[1] + '\' σj βiνsων λ ν+s wσj (1)[1]e λωσj = ν+s�κi0 / ν+s�κi1 \ = λκi1 eλωσj j wσ (1) '\' ν+s=κi1 σj βiνsων + O 1/λ + O λ-χi e-λωσj = λκi1 eλωσj [ˆbij ]. (2.13) Следовательно, подставляя (2.11)-(2.13) в Δ(λ) и вынося множители λκi0 из всех строк, получим 1 1 1 [aˆ11] ... [aˆ1h] [aˆ1,h+1] ... [aˆ1n] 1 1 .................................................................... 1 n ), κi0 1 1 1 [aˆl1] ... [aˆlh] [aˆl,h+1] ... [aˆln] 1 Δ(λ)= λi=1 1 1 × 1 [aˆ ] ... [aˆ ] λχl+1 eλωσ h+1 [ˆb ] ... λχ l+1 eλωσ n [ˆb 1 . (2.14) ] 1 l+1,1 l+1,h l+1,h+1 l+1,n 1 1 1 1 .................................................................... 1 1 1 1 [aˆn1] ... [aˆnh] λχn eλωσh+1 [ˆbn,h+1] ... λχn eλωσn [ˆbnn] 1 Далее необходимо рассмотреть два случая: h � l и h > l. а) h � l и пусть выполняется предположение 3◦(а). В этом случае разложим этот определитель по минорам последних n - l строк и выделим главную часть. Так как имеют место неравенства (1.6), n - h ;;? n - l и выполняется предположение 3◦(а), главным членом является слагаемое, которое есть произведение минора (n - l)-го порядка, образованного элементами, стоящими в n - l столбцах с номерами от l +1 до n, на его алгебраическое дополнение l-го порядка. Поэтому из (2.14) при |λ|⊕ 1 получим l ), κi0+ Δ(λ)= λi=1 n ), i=l+1 κi1 λ e n ), ν=l+1 ωσν × × det(aˆμj )j=1,l × det(ˆbμj )j=l+1,n [1]. (2.15) μ=1,l μ=l+1,n ε,υ Следовательно, в рассматриваемом случае при λ ∈ Π+ и |λ| ⊕ 1 получим следующую оценку снизу (при выполнении предположения 3◦(а)): l n ), κi0+ ), 1 κi1 1 1 n λ ), ν=l+1 1 ωσν 1 1 |Δ(λ)| ;;? C(ε, υ)|λ|i=1 1e i=l+1 1 1 1 , (2.16) 1 1 где C(ε, υ) > 0 есть константа, зависящая только от ε, υ и параметров пучка L0(λ). б) h > l и пусть выполняется предположение 3◦(б). Вынося экспоненты eλωσν из последних n - h столбцов определителя (2.14), получим 1 1 1 [aˆ11] ... [aˆ1h] [0] ... [0] 1 1 1 1 ............................................................... 1 1 1 1 [aˆl1] ... [aˆlh] [0] ... [0] 1 1 1 1 [aˆ 1 l+1,1 ] ... [aˆl+1,h ] λχl+1 [ˆb l+1,h+1 ] ... λχl+1 [ˆbl+1,n] 1 1 n n 1 1 ), κi0 λ Δ(λ)= λi=1 e ), ν=h+1 1 ωσν 1 [aˆ ] ... [aˆ ] λχsγ +1 [ˆb ] 1 ] ... λχsγ +1 [ˆb 1 1 sγ +1,1 sγ +1,h sγ +1,h+1 sγ +1,n 1 1 1 1 ............................................................... 1 . 1 1 1 [aˆh+1,1] ... [aˆh+1,h] λχh+1 [ˆbh+1,h+1] ... λχh+1 [ˆbh+1,n] 1 1 1 1 ............................................................... 1 1 1 [aˆsγ+1,1] ... [aˆsγ+1,h] λ 1 γ+1 χsγ+1 [ˆbs ,h+1] ... λ γ+1 1 χsγ+1 [ˆbs ,n] 1 1 1 ............................................................... 1 1 [aˆn1] ... [aˆnh] λχn [bn,h+1] ... λχ [bnn] 1 1 ˆ n ˆ 1 Разложим этот определитель по минорам первых h столбцов и выделим главную часть. Ввиду соотношений (1.7), (1.8) и предположения 3◦(б) главная часть состоит из слагаемых, которые являются произведениями миноров первых h столбцов, образованных элементами, стоящими в строках с номерами от 1 до sγ подряд и с добавленными к ним любыми h - sγ строками с номерами из диапазона sγ + 1, sγ+1, на их алгебраические дополнения (n - h)-го порядка. Все эти слагаемые имеют один и тот же наибольший порядок по λ, равный (sγ+1 - h)χsγ+1 + (sγ+2 - sγ+1)χsγ+2 + ··· + (sr+1 - sr )χr+1 = n '\' i=h+1 χi. Затем только главные члены опять свернем в определитель. Получим с учетом предположения 3◦(б) n ), κi0+ n n ), (κi1-κi0) λ ), ωσν ( h n ), κi0+ ), κi1 λ n ), ωσν Δ(λ)= λi=1 i=h+1 e ν=h+1 Aˆ + O 1/λ = λi=1 i=h+1 e ν=h+1 Aˆ[1]. ε,υ Следовательно, в рассматриваемом случае при λ ∈ Π+ и |λ| ⊕ 1 получим следующую оценку снизу (при выполнения предположения 3◦(б)): h n ), κi0+ ), 1 n κi1 1 λ ), 1 ωσν 1 |Δ(λ)| ;;? C(ε, υ)|λ|i=1 где C(ε, υ) > 0 есть некоторая константа. e i=h+1 1 ν=h+1 1 1 1 1 1 , (2.17) 1 1 В соответствии с формулами (2.9) оценим теперь Δi(λ) при i = l + 1,n сверху. Учитывая определение Δi(λ), вынося множитель λk-1 из i-й строки и раскладывая этот определитель по элементам этой строки, получим r n 1 Δi(λ)= λk-1 '\'(-1)i+j Δij (λ) j=1 0 hk (ξ, λ)eλωσj ξ dξ, i = l + 1, n, (2.18) где Δij (λ) есть минор элемента (i, j) в определителе Δ(λ), т. е. с учетом формул (2.11)-(2.13) будем иметь 1 1 1 [aˆ11] ... [aˆ1h] [aˆ1,h+1] ... [aˆ1n] 1 1 .................................................................... 1 n 1 1 1 ), κμ0-κi0 1 [aˆl1] ... [aˆlh] [aˆl,h+1] ... [aˆln] 1 Δij (λ)= λμ=1 1 1 [aˆl+1,1] ... [aˆl+1,h] λχ eλωσ [bl+1,h+1] ... λχ eλωσ [bl+1,n] 1 . 1 l+1 h+1 ˆ l+1 n ˆ 1 1 .................................................................... 1 1 1 1 [aˆn1] ... [aˆnh] λχn eλωσh+1 [ˆbn,h+1] ... λχn eλωσn [ˆbnn] 1 1 1ij ij Обозначим последний определитель как Δ◦ . (2.19) ij Оценим сверху определитель Δ◦ при |λ| ⊕ 1. Здесь опять необходимо рассмотреть два существенно различных случая: h � l и h > l. а) h � l. Рассмотрим два подслучая: h +1 � j � n и 1 � j � h. ij a.1) h +1 � j � n. В этом подслучае разложим определитель Δ◦ по минорам первых l строк и выделим главную часть. Так как здесь n - l - 1 � n - h - 1, то главная часть есть слагаемое, которое является произведением минора l-го порядка на его алгебраическое дополнение (n - l - 1)го порядка с элементами, стоящими в n - l - 1 столбцах с номерами от l +2 до n в случае h +1 � j � l + 1, и с номерами от l +1 до j - 1 и от j +1 до n в случае l +2 � j � n. Следовательно, аналогично формуле (2.15) получим следующие формулы: a.1.1) h +1 � j � l + 1. В этом подслучае при |λ|⊕ 1 n ), κμ0-κi0+ Δij (λ)= λμ=1 n ), μ=l+1 χμ-χi λ e n ), ν=l+2 ωσν × ( β=1,l × βτ × det aˆβτ τ =1,j-1;j+1,l+1 τ =l+2,n det ˆb β=l+1,i-1;i+1,n + O 1/λ . Следовательно, в рассматриваемом подслучае при |λ|⊕ 1 получим следующую оценку сверху: l ), κμ0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n ), μ=l+1 1 1 κμ1-κi1 1 λ 1e 1 1 n ), ν=l+2 1 ωσν 1 1 1 . (2.20) 1 1 а.1.2) l +2 � j � n. В этом подслучае при |λ|⊕ 1 n ), κμ0-κi0+ Δij (λ)= λμ=1 n ), μ=l+1 χμ-χi ( n λ ), e ν=l+1 \ ωσν -ωσj × × (det aˆβτ τ =1,l × det ˆbβτ τ =l+1,j-1;j+1,n β=1,l β=l+1,i-1;i+1,n + O 1/λ . Следовательно, в рассматриваемом подслучае при |λ|⊕ 1 получим следующую оценку сверху: l ), κμ0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n ), μ=l+1 1 1 κμ1-κi1 1 λ 1e 1 1 1 ( n ), ν=l+1 ωσν -ωσj \1 1 1 1 . (2.21) 1 1 1 а.2) 1 � j � h. В этом подслучае аналогично формуле (2.15) получим следующую формулу при |λ|⊕ 1: n ), κμ0-κi0+ Δij (λ)= λμ=1 n ), μ=l+1 χμ-χi λ e n ), ν=l+2 ωσν × ( β=1,l × βτ × det aˆβτ τ =1,j-1;j+1,l+1 τ =l+2,n det ˆb β=l+1,i-1;i+1,n + O 1/λ . Следовательно, в рассматриваемом подслучае при |λ|⊕ 1 получим следующую оценку сверху: l ), κμ0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n ), μ=l+1 1 1 κμ1-κi1 1 λ 1e 1 1 n ), ν=l+2 1 ωσν 1 1 1 . (2.22) 1 1 б) h > l. Рассмотрим два подслучая: 1 � j � h и h +1 � j � n. б.1) 1 � j � h. Используя формулу (2.19) и вынося экспоненты eλωσν из последних n - h столбцов, получим следующее представление n ), κμ0-κi0 λ Δij (λ)= λμ=1 e n ), ν=h+1 1 ωσν × 1 1 [aˆ11] ... [aˆ1h] [0] ... [0] 1 1 1 1 1 ............................................................... 1 1 1 [aˆl1] ... [aˆlh] [0] ... [0] 1 1 1 1 [aˆl+1,1] ... [aˆl+1,h] λχl+1 [ˆbl+1,h+1] ... λχl+1 [ˆbl+1,n] 1 1 1 1 ............................................................... 1 1 χsγ +1 ˆ χsγ +1 ˆ 1 1 [aˆsγ +1,1] ... [aˆsγ +1,h] λ × 1 [bsγ +1,h+1] ... λ [bsγ +1,n] 1 1 . 1 1 1 ............................................................... 1 1 1 1 [aˆh+1,1] ... [aˆh+1,h] λχh+1 [ˆbh+1,h+1] ... λχh+1 [ˆbh+1,n] 1 1 1 1 ............................................................... 1 1 1 [aˆsγ+1,1] ... [aˆsγ+1,h] λ 1 γ+1 χsγ+1 [ˆbs ,h+1] ... λ γ+1 1 χsγ+1 [ˆbs ,n] 1 1 1 ............................................................... 1 1 ˆ n ˆ 1 1 [aˆn1] ... [aˆnh] λχn [bn,h+1] ... λχ [bnn] 1ij Обозначим последний определитель как Dij, разложим его по минорам первых h - 1 столбцов и выделим главную часть. Вид главной части зависит от соотношений между числами i, h + 1, sγ и sγ+1. С учетом (1.8) имеем неравенства sγ +1 � h +1 � sγ+1. Возможны следующие подслучаи: б.1.а) l +1 � i < h + 1; б.1.б) h +1 � i � n. Рассмотрим подробно, например, подслучай б.1.а). В этом подслучае главная часть Dij состоит из слагаемых, которые суть произведения миноров первых h - 1 столбцов на их алгебраические дополнения (n - h)-го порядка и таковы, что образованы элементами, стоящими в последних n - h столбцах и любых n - h строках с номерами из диапазона sγ+1 + 1,n в обязательном порядке и любыми sγ+1 - h строками из диапазона sγ + 1, sγ+1. Все эти слагаемые имеют один и тот же наибольший порядок по λ, равный (sγ+1 - h)χsγ+1 + (sγ+2 - sγ+1)χsγ+2 + ··· + (sr+1 - sr )χr+1 = n '\' μ=h+1 χμ. Сворачивая только слагаемые главной части обратно в определитель (n-1)-го порядка, получим n ), κμ0-κi0+ Δij (λ)= λμ=1 n ), μ=h+1 χμ λ e n ), ν=h+1 ωσν [(Aˆ)ij ]. Следовательно, в подслучае б.1.а) при |λ|⊕ 1 имеем следующую оценку сверху: h ), κμ0-κi0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 В подслучае б.1.б) аналогично получим оценку n ), μ=h+1 1 1 κμ1 1 λ 1e 1 1 n ), ν=h+1 1 ωσν 1 1 1 . (2.23) 1 1 ), κμ0+ ), κμ1-κi1 1 λ ω 1 h-1 1 1 1e |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n μ=h n 1 ), ν=h+1 1 1 σν 1 1 . (2.24) 1 1 б.2) h +1 � j � n. Вынося экспоненты eλωσν из последних n - h - 1 столбцов в (2.19) с номерами от h +1 до j - 1 и от j +1 до n, получим следующее представление: n ), κμ0-κi0 Δij (λ)= λμ=1 ( n λ ), e ν=h+1 ωσν -ωσj \ Dij. Разложим теперь определитель Dij по минорам первых h столбцов и выделим главную часть. Ее вид зависит от соотношения величин i, h + 2, sγ+1. Ввиду (1.8) имеем неравенства sγ +2 � h +2 � sγ+1 + 1. Возможны только следующие подслучаи: б.2.а) l +1 � i < h + 2; б.2.б) h +2 � i � n. Рассмотрим подробно, например, подслучай б.2.а). В этом подслучае главная часть Dij состоит из слагаемых, которые являются произведениями миноров первых h столбцов на их алгебраические дополнения (n - h - 1)-го порядка, состоящие из элементов, стоящих в любых n - h - 1 строках с обязательными номерами из всего диапазона sγ+1 + 1,n и любыми sγ+1 - h - 1 строками из диапазона sγ + 1, sγ+1. Все эти слагаемые имеют наибольший порядок по λ, равный (sγ+1 - (h - 1))χsγ+1 + (sγ+2 - sγ+1)χsγ+2 + ··· + (sr+1 - sr )χr+1 = n '\' σ=h+2 χσ. Сворачивая только члены главной части обратно в определитель (n - 1)-го порядка, получим n ), κμ0-κi0+ Δij (λ)= λμ=1 n ), μ=h+2 χμ λ e ( n ), ν=h+1 ωσν -ωσj \ [Aˆij ]. Таким образом, в подслучае б.2.а) при |λ|⊕ 1 будем иметь следующую оценку сверху: h+1 ), κμ0-κi0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n ), μ=h+2 1 1 κμ1 1 λ 1e 1 1 1 ( n ), ν=h+1 ωσν -ωσj \1 1 1 1 . (2.25) 1 1 1 В подслучае б.2.б) аналогичным образом получим при |λ|⊕ 1 оценку h ), κμ0+ |Δij (λ)| � C(υ)|λ|μ=1 n ), μ=h+1 1 1 κμ1-κi1 1 λ 1e 1 1 1 ( n ), ν=h+1 ωσν -ωσj \1 1 1 1 . (2.26) 1 1 1 Воспользуемся полученными оценками для |Δij (λ)| в (2.18). Как и перед этим, опять рассмотрим два существенно различных случая: h � l и h > l. а) h � l. Используя оценки (2.20)-(2.22) в (2.18), получим / l n k-1+ ), κμ0+ ), 1 n e κμ1-κi1 1 / h 1 1 1 Δi(λ)= O |λ| μ=1 μ=l+1 1 1 1 λ ), 1 ν=l+1 1 1 1 ωσν 1 1 1 1 1 '\' j=1 e - 1 1 λωσ 1 1r l+1 1 1 1 1 1 10 hk (ξ, λ)e λωσj ξ 1 dξ1 + 1 1 l+1 + '\' 1 1 1r 1 n λωσ (ξ-1) 1 j dξ1 + '\' 1 1r 1 1 hk (ξ, λ)e λωσ (ξ-1) 1 j dξ1 1 1 10 1 1 j=l+2 1 10 1 1 1 λ(ωσj -ωσl+1 1 1 1 1 1\\ 1 1 1e j=h+1 )1 1 hk (ξ, λ)e . (2.27) 1 Оценим интеграл { hk (ξ, λ)eλωσj ξ [1] dξ при j = 1, h. Предположим λ = rei(ψ+υ), где ψ ∈ [-ε, ε]. 0 Из (1.6) следует, что π/2+ δ � υ + ψσj � 3π/2 - δ для достаточно малых δ(= δ(υ)) ∈ (0, π/2) и rσ1 cos(υ + ψσ1 ) < ··· < rσh cos(υ + ψσh ) < 0. Следовательно, для достаточно малых ε > 0 (ε < δ) будем иметь при j = 1,h rσj cos(υ + ψσj + ψ) < rσh cos(υ + ψσh + ψ) � � rσh cos(π/2+ δ - ε)= -rσh sin(δ - ε) � (-2/π)rσh (δ - ε). Используя эти оценки и неравенство Коши-Буняковского, получим при j = 1,h и |λ|⊕ 1 1 1 1 1 1r 1 r 1 1 1 hk (ξ, λ)eλωσj ξ [1] dξ1 � 2 1 1 10 1 0 |hk (ξ, λ)|errσj cos(υ+ψσj +ψ)ξ dξ � 1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 r 2 r 4 � 2 |hk (ξ, λ)|e- π rrσh (δ-ε)ξ dξ � 2 hk (·, λ) 2 ⎝ 0 0 e- π rrσh (δ-ε)ξ dξ⎠ � 1 1 ( 4 - π rrσh (δ-ε) 2 1 где · 2 := · L2[0, 1]. � C(h(·))/ 4 π rrσh (δ - ε) 1 - e � C(ε, υ, h(·))/ |λ| , (2.28) Подобным образом получим при j = h + 1,n и |λ|⊕ 1 1 1 1 1r 1 1 1 1 hk (ξ, λ)eλωσj (ξ-1)[1] dξ1 � C(ε, υ, h(·)) 1 1 10 1 1 /|λ| . (2.29) Используя оценки (2.28)-(2.29) в (2.27), в итоге будем иметь при 1 � i � h и |λ|⊕ 1 |Δi(λ)| � C(ε, υ, h(·))|λ| l 2 k- 3 + ), κμ0+ σ=1 n ), μ=l+1 1 1 κμ1-κi0 1 λ 1e 1 1 n ), ν=l+1 1 1 ωσν 1 1 . (2.30) 1 1 б) h > l. Здесь нужно рассмотреть два подслучая: l +1 � i � h, and h +1 � i � n. б1) l +1 � i � h. Используя оценки (2.23), (2.25), из (2.18) получим при |λ|⊕ 1 Δi(λ)= O / |λ| h k-1+ ), κμ0-κi0+ μ=1 n ), μ=h+1 1 κμ1 1 λ 1 e 1 1 1 n ), ν=h+1 1 ωσν 1 1 × 1 1 1 / h 1 1 1 n 1 1 1\\ 1 '\' 1r × 1 hk (ξ, λ)eλωσj ξ 1 1 dξ1 + |λ|-χh+1 '\' 1r 1 1 hk (ξ, λ)eλωσj (ξ-1) 1 1 dξ1 . 10 j=1 1 10 1 1 1 j=h+1 1 1 Опять учитывая для интегралов оценки (2.28)-(2.29), получим следующие оценки для этого подслучая при |λ|⊕ 1: |Δi(λ)| � C(ε, υ, h(·))|λ| h 2 k- 3 + ), κμ0-κi0+ μ=1 n ), μ=h+1 1 1 κμ1-κi0+[-χh+1]+ 1 λ 1e 1 1 n ), ν=h+1 1 ωσν 1 1 1 . (2.31) 1 1 б2) h +1 � i � n. Рассуждая так же, как и перед этим, из (2.24)-(2.26) получим в этом подслучае при |λ|⊕ 1 |Δi(λ)| � C(ε, υ, h(·))|λ| h 2 k- 3 + ), κμ0+ μ=1 n ), μ=h+1 1 1 κμ1-κi1+[χh]+ 1 λ 1e 1 1 n ), ν=h+1 1 1 ωσν 1 1 . (2.32) 1 1 Так как в подслучае l +1 � i � h при условии χh+1 ;;? 0 справедливы неравенства -κi0 + [-χh+1]+ � -κi0, а при условии χh+1 < 0 имеем неравенства -κi0 + [-χh+1]+ � -κi1 (так как -χh+1 � -χi), то при l +1 � i � h в целом получим -κi0 + [-χh+1]+ � -κi. (2.33) Аналогично, если h +1 � i � n, получим неравенства -κi1 + [χh]+ � -κi. (2.34) Учитывая (2.33) в (2.31), а (2.34) в (2.32), в результате получим следующие оценки для всего случая б) при |λ|⊕ 1: |Δi(λ)| � C(ε, υ, h(·))|λ| h 2 k- 3 + ), κμ0+ μ=1 n ), μ=h+1 1 1 κμ1-κi 1 λ 1e 1 1 n ), ν=h+1 1 1 ωσν 1 1 . (2.35) 1 1 ε,υ Следовательно, если λ ∈ Π+ и |λ|⊕ 1, в итоге получим оценки (2.10): 1.а) при выполнении предположения 3◦(а) из оценок (2.16), (2.30) и формул (2.9); 1.б) при выполнении предположения 3◦(б) из оценок (2.17), (2.35) и формул (2.9). ε,υ 2. Пусть теперь λ ∈ Π- . Если мы сделаем замену λˆ ˆ = -λ, обозначим hˆ = n - h, γˆ = δ, ωˆσν = ωσn+1-ν при ν = 1, n, aˆij = ai,n+1-j, bij = bi,n+1-j при i, j = 1, n, воспользуемся уже ε,υ полученными неравенствами (2.10) (при λ ∈ Π+ ) для параметров с крышками и затем вернемся от параметров с крышками к исходным параметрам, получим оценки (2.10) также и в случае λ ∈ Π - ε,υ при |λ|⊕ 1 при выполнении условий 3◦(в) и 3◦(г). Следовательно, лемма 2.4 доказана. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ ПОЛНОТЫ В доказательстве теорем полноты используются следующие леммы. Лемма 3.1. Пусть выполняются предположения 1◦-3◦ и вектор-функция h¯ := (h¯1,... h¯k )T ∈ Lk 2 [0, 1] ортогональна всем производным k-цепочкам (2.6). Тогда при дополнительном услоn вии ортогональности h¯ некоторому конечному набору из }, [k - 1 - κi]+ вектор-функций справедливо тождество i=l+1 1 r y(x, λ)hk (x, λ) dx ≡ 0 (3.1) 0 для любого решения y(x, λ) уравнения f0(y, λ) = 0 в случае l = 0 или для любого решения уравнения f0(y, λ) = 0, удовлетворяющего первым l краевым условия (1.4) в конце 0, в случае k 1 � l � n - 1, где hk (x, λ)= }, λj-1hj (x). j=1 2 Доказательство. Пусть h¯ ∈ Lk [0, 1] и ортогональна всем производным k-цепочкам (2.6). Тогда в силу (2.7)-(2.9) все особенности мероморфных функций Θ˜ i(λ), i = l + 1, n, устранимы и они являются целыми функциями. Согласно оценкам (2.10) и принципу Фрагмена-Линделефа функции Θ˜ i(λ) суть полиномы степени k - 2 - κi при k - 2 - κi ;;? 0, которые можно записать в виде Θ˜ i(λ) ≡ λk-2-κi h¯, ζi0 + λk-3-κi h¯, ζi1 + ··· + h¯, ζi,k , -2-κi 2 где ζiν ∈ Lk [0, 1] суть вполне определенные вектор-функции, а при k - 2 - κi < 0 справедливы тождества Θ˜ i(λ) ≡ 0. В случае k - 2 - κi ;;? 0 в дефектном подпространстве производных k-цепочек выберем подпространство Hk, ортогональное вектор-функциям ζiν (x), ν = 0,k - 2 - κi, i = l + 1, n. Очевидно, n число таких функций равно }, [k - 1 - κi]+. i=l+1 Пусть теперь h¯ ∈ Hk. Тогда Θ˜ i(λ) ≡ 0, i = l + 1, n, и, следовательно, в силу (2.8) 1 r Δ˜ i(λ)= 0 Φ˜ i(x, λ)hk (x, λ) dx ≡ 0, i = l + 1, n. Далее, в случае l = 0 по лемме 2.2 система функций Φ˜ 1,..., Φ˜ n является системой линейно независимых решений уравнения f0(y, λ) = 0 и, следовательно, тождество (3.1) выполняется для любого решения уравнения l0(y, λ)= 0. В случае же 1 � l � n - 1 в силу той же леммы 2.2 система функций Φ˜ l+1,..., Φ˜ n является системой линейно независимых решений уравнения f0(y, λ) = 0, удовлетворяющих краевым условиям (1.4) при i = 1, l. Отсюда следует утверждение (3.1) доказываемой леммы и в случае 1 � l � n - 1. Лемма доказана. Пусть 1 � l � n - 1. По доказанной лемме 3.1 тождества (3.1) справедливы для любого решения y(x, λ) уравнения f0(y, λ)= 0, удовлетворяющего краевым условиям (1.4) при i = 1, l. Ищем такое решение в виде y(x, λ)= d1y1(x, λ)+ d2y2(x, λ)+ ··· + dnyn(x, λ), (3.2) где d1, d2,..., dn - пока неизвестные параметры. Удовлетворяя (3.2) краевым условиям (1.4) при i = 1, l, получим для нахождения неизвестных следующую линейную алгебраическую систему: n '\' ciμ(λ)dμ = 0, i = 1, l, (3.3) μ=1 где ciμ(λ)= λ-κi0 '\' j+s�κi0 μ λsαijsy(j)(0, λ), i = 1, l, μ = 1, n. C учетом соотношений (2.2) будем иметь следующие асимптотические формулы при |λ|⊕ 1 iμ ciμ(λ) ≡ wμ(0)[c◦ ], i = 1, l, μ = 1, n, iμ где c◦ определяются формулами (1.10). В случае выполнения предположений 4◦-5◦ будут иметь место точные формулы iμ ciμ(λ) ≡ c◦ , i = 1, l, μ = 1, n. Если же выполняется только предположение 4◦, то будем иметь формулы ciμ(λ) ≡ ciμ(λ), i = 1, l, μ = 1, n, где ciμ(λ) определяются формулами (1.9). Если система (1.13) полного ранга (т. е. максимально возможного), то нетрудно установить, что система (3.3) при |λ| ⊕ 1 имеет базис пространства решений ds1(λ), ds2(λ),..., dsn(λ) T , s = 1,n - l, такой, что diμ(λ) ≡ w 1 [d ◦ (0) sμ ], s = 1,n - l, μ = 1, n, (3.4) sμ где d◦ μ были ранее определены в подразделе 1.3. В случае выполнения предположений 4◦-5◦ будут иметь место точные формулы sμ diμ(λ) ≡ d◦ , s = 1,n - l, μ = 1, n. (3.5) Если же выполняется только предположение 4◦, то будут справедливы тождества diμ(λ) ≡ dsμ(λ), s = 1,n - l, μ = 1, n, (3.6) где dsμ(λ) также уже были определены в подразделе 1.3. Составим матрицы ⎛ d1,νj ⎞ -1+1(λ) ... d1,νj (λ) Dj (λ) := ⎝ .............................. ⎠ , j = 1, η. dn-l,νj-1+1(λ) ... dn-l,νj (λ) Лемма 3.2. Пусть выполняются условия леммы 3.1 и 1 � l � n - 1. Тогда имеют место тождества νj '\' μ=νj-1+1 1 dsμ(λ)Yμ(λ) ≡ 0, s = 1,n - l, j = 1, η, (3.7) где Yμ(λ) := { yμ(x, λ)hk (x, λ) dx, μ = 1, n. 0 Доказательство. На основании леммы 3.1 в случае 1 � l � n - 1 справедливо тождество (3.1) для любого решения уравнения f0(y, λ)= 0, удовлетворяющего краевым условия (1.4) при i = 1, l. В частности, в качестве таких решений можно брать функции (3.2), где вектор (d1, d2,..., dn)T есть вектор базиса пространства решений системы (3.3). В результате из (3.1) и (3.2) получим тождества n '\' dsμ(λ)Yμ(λ) ≡ 0, s = 1,n - l. (3.8) μ=1 Используя теперь предположение 2◦ и соотношения (1.5), на основе теории роста целых функций из (3.8) получим утверждение (3.7) доказываемой леммы. Лемма доказана. 1. Доказательство теорем 1.1, 1.2 и 1.3. Лемма 3.3. При выполнении условий леммы 3.1 и теорем 1.1, 1.2, 1.3 при |λ| ⊕ 1 справедливы тождества Yμ(λ) ≡ 0, μ = 1, n. (3.9) Доказательство. Если l = 0, в случае выполнения условий теоремы 1.1 и леммы 3.1 доказываемое утверждение следует непосредственно из леммы 3.1. Пусть теперь 1 � l � n - 1, выполняются предположения теоремы 1.2 и условия леммы 3.1. В этом случае при фиксированном j = 1,η имеем в силу (3.4) при |λ|⊕ 1 j rank Dj (λ)= rank D◦ = νj - νj-1. Но тогда утверждение (3.9) доказываемой леммы в этом случае с очевидностью вытекает из утверждения леммы 3.2. Если же 1 � l � n - 1, выполняются предположения теоремы 1.3 и условия леммы 3.1, то при фиксированном j = 1,η будем иметь в силу (3.6) rank Dj (λ)= rank Dj (λ)= νj - νj-1. Отсюда, как и перед этим, получаем утверждение (3.9) доказываемой леммы и в этом случае. Лемма доказана. Лемма 3.4. При выполнении условий леммы 3.1 и теорем 1.1, 1.2, 1.3 справедливо равенство h¯(x)=0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Коши: ∗ f0(z, λ)= h¯n(x, λ), z(0) = ··· = z (n-1) (0) = 0, (3.10) 0 где f∗(z, λ) есть сопряженное д.в. к f0(y, λ). Хорошо известно, что решение задачи (3.10) есть целая функция по λ¯, для которой справедливо следующее представление при |λ|⊕ 1: x r z(x, λ)= 0 n '\' zj (x, λ)y¯j (ξ, λ)h¯n(ξ, λ) dξ, j=1 0 где zj (x, λ) суть решения уравнения f∗(z, λ)=0 вида Ω¯ nj ¯n 1 ¯ zj (x, λ)= e λ - Ω -λ¯ω¯ix , j = 1, n, (3.11) j Ω есть определитель Вандермонда чисел ω1, ω2,..., ωn, а Ωnj есть алгебраическое дополнение элемента ωn-1 в определителе Ω. ε,υ При λ ∈ Π+ имеем 1 r z(x, λ)= 0 n '\' zj (x, λ)y¯j (ξ, λ)h¯n(ξ, λ) dξ+ j=1 x n + r '\' 1 r zσ (x, λ)y¯σ (ξ, λ)h¯n(ξ, λ) dξ - h '\' zσ (x, λ)y¯σ (ξ, λ)h¯n(ξ, λ) dξ. j j 0 j=h+1 j j x j=1 ε,υ Из леммы 3.3, соотношений (1.6) и формул (3.11) получим оценку |z(x, λ)| � C при λ ∈ Π+ . ε,υ Подобным образом можно получить аналогичную оценку и для λ ∈ Π- . Тогда по теореме Лиувилля будем иметь z(x, λ) ≡ C. Но ввиду нулевых начальных условий (3.10) отсюда получим z(x, λ) ≡ 0. Учитывая это в дифференциальном уравнении (3.10), найдем n h¯n(ξ, λ) ≡ '\' λ¯ν-1h¯ν (x)=0 для п.в. x ∈ [0, 1]. ν=1 Отсюда следует, что h¯ν = 0, ν = 1, n, или h¯(x)=0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Лемма доказана. - Из доказанной леммы следуют утверждения теорем 1.1, 1.2 и 1.3. При этом в случае, если хотя бы для одного краевого условия его порядок будет больше n 1, будем иметь возможный конечный n дефект системы к.ф., не превышающий числа }, [n - 1 - κi]+. Если же κi0, κi1 ∈ {0, 1,...,n - 1} i=l+1 2 для всех краевых условий в (1.4), то в этом случае дефект системы к.ф. рассматриваемого пучка будет равен нулю, так как в этом случае этот пучок можно линеаризовать в пространстве Ln[0, 1] и воспользоваться утверждением леммы 2.1 из [2, с. 49]. Теоремы 1.1, 1.2 и 1.3 тем самым доказаны. 2. Доказательство теоремы 1.4. Доказательство теоремы проведем для случая k = m◦ (случай k < m◦ рассматривается аналогично; изменится только возможный конечный дефект - вместо числа n }, [m◦ - 1 - κi]+ будет число n }, [k - 1 - κi]+). Схема доказательства повторяет схему i=l+1 i=l+1 доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1.3 до леммы 3.2 включительно. Далее следуем схеме доказательства [1, 7]. j Так как в рассматриваемом случае краевые условия (1.4) при i = 1,l однородны, то, как уже отмечалось ранее, матрицы Dj (λ) не зависят от λ и Dj (λ) ≡ D◦ (см. (3.5)). Обозначим j rank D◦ = θj - θj-1, j = 1, η, θ0 = 0, θη = m◦. Не нарушая общности, можно считать, что при фиксированном j = 1,η в каждой группе из n - l соотношений (3.7) линейно независимыми являются первые θj - θj-1 соотношений. Обозначим dˆθj 1+i,μ = d◦ j-1 j j j-1 - iμ, μ = ν + 1,ν , i = 1,θ - θ , j = 1, η. Тогда соотношения (3.7) будут эквивалентны соотношениям νj '\' μ=νj-1+1 dˆiμYμ(λ) ≡ 0, i = θj-1 + 1, θj, j = 1, η. (3.12) Покажем, что из (3.12) следует h¯j (x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1], j = 1, m◦. Для этого разложим exp(λωjx) в ряд по степеням λ, подставим эти разложения в (3.12), выпишем и приравняем нулю коэффициенты при λN , где N - любое натуральное число, большее m◦. Получим систему ( νj }, (dˆiμωN H(N ) ( ˆ (N ) где μ=νj-1+1 μ 1 + ··· + μ diμωN -m+1 1 Hm◦ , i = θj -1 + 1, θj, j = 1, η, (3.13) H(N ) 1 r N -s+1 s = (N - s + 1)! 0 hs(x)x dx. Очевидно, (3.13) есть линейная однородная система m◦ уравнений с m◦ неизвестными H(N ) (N ) (N ) 1 , H2 ,..., Hm◦ . Покажем, что определитель этой системы отличен от нуля. Матрицу системы можно представить следующим образом: ⎛ ν1 }, dˆ1μωN ν1 }, dˆ1μωN -1 ν1 }, ˆ ⎞ N -m◦+1 μ ⎜ μ=1 ⎜ μ=1 μ ... μ=1 d1μωμ ⎟ ⎟ ⎜ ............................................................................... ⎟ ν ⎜ ν1 1 ⎜ N N 1 ν1 ⎟ ˆ N m◦+1 ⎟ μ ⎜ }, dˆθ1,μω ⎜ }, dˆθ1,μω μ - ... }, d θ1,μ ωμ - ⎟ ⎜ μ=1 μ=1 μ=1 ⎟ A ⎟ = ⎜ ............................................................................... ⎟ = ⎜ n ⎜ N ⎜ }, dˆθη 1+1,μω n }, dˆθ +1,μωN -1 n }, ˆθ +1,μωN ⎟ -m◦+1 ⎟ - ⎜ ⎜ μ=νη-1+1 ⎜ μ μ=νη-1+1 η-1 μ ... μ=νη-1+1 ⎟ d η-1 μ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ............................................................................... ⎟ dˆm μ ◦ n ⎝ ⎟ ⎜ }, μ=νη-1+1 μ dˆm◦μωN n }, μ=νη-1+1 μ dˆm◦μωN -1 ... n }, μ=νη-1+1 μ ◦ ωN -m +1 ⎠ ⎛ dˆ11 ... dˆ1,ν1 0 ... 0 ... 0 ... 0 ⎞ ⎜ ............................................................................... ⎟ ⎜ ⎜ dˆ ... dˆ ⎟ 0 ... 0 ... 0 ... 0 ⎟ ⎜ θ1,1 θ1,ν1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 ... 0 dˆθ1+1,ν1+1 ... ⎟ dˆθ1+1,ν2 ... 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ............................................................................... = ⎟ ⎜ × ⎜ ⎟ ⎜ 0 ... 0 ⎜ dˆθ2,ν1+1 ... dˆθ2,ν2 ... 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ............................................................................... ⎟ ⎜ ⎜ 0 ... 0 0 ... 0 ... dˆθη -1+1,ν η-1 +1 ... dˆθ η-1 ⎟ +1,n ⎟ ⎠ ⎝ ⎜ ............................................................................... ⎟ 0 ... 0 0 ... 0 ... dˆm◦,νη -1+1 ... dˆm◦n ⎛ ωN ◦ ⎞ 1 1 ... ωN -m +1 2 ⎜ ωN × ⎜ ... ω N -m◦+1 2 ⎟ ⎟ = BC. ⎝ ................... ⎠ ωN N -m◦+1 n ... ωn Для нахождения определителя матрицы A воспользуемся формулой Бине-Коши det A = A 1 2 ... m◦ 1 2 ... m◦ = '\' B 1�k1<k2<···<km◦ �n 1 2 ... m◦ k1 k2 ... km◦ . k1 k2 ... km◦ ×C 1 2 ... m◦ Исследуем выражение, стоящее справа. Если в B 1 2 ... m◦ k1 k2 ... km◦ попадают два линейно зависимых столбца из одного диагонального блока матрицы B, то этот определитель равен нулю. Обозначим через k◦, k◦,..., k◦ номера линейно независимых столбцов, содержащихся в 1-м 1 2 θ1 θ1+1 диагональном блоке матрицы B, через k0 , k 0 θ1+2 θ ,..., k0 2 номера линейно независимых столбцов, B k содержащихся во 2-м диагональном блоке матрицы и т. д., через 0 θη-1+1 , k 0 θη-1+2 m◦ ,..., k0 номера линейно независимых столбцов, содержащихся в η-м диагональном блоке матрицы B. Тогда 1 2 ... m◦ k k 0 0 1 2 m◦ ... k0 det A = B k◦ ◦ ◦ ×C . Но, очевидно, 1 k2 ... km◦ 1 2 ... m◦ 1 2 ... m◦ B k◦ ◦ ◦ /= 0, 1 k2 ... km◦ так как столбцы этого определителя линейно независимы. Кроме того, k◦ ◦ ◦ 1 k2 ... km◦ C 1 2 ... m◦ /=0 в силу предположения о простоте корней ω1, ω2,..., ωn. Таким образом, det A /= 0. Следовательно, 1 r (∀N > m◦) hs(x)xN -s+1 dx = 0, s = 1, m◦, 0 откуда в силу полноты системы степеней в L2[0, 1] получим hs(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1], s = 1, m◦. Поэтому h¯(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1], что доказывает утверждение теоремы 1.4. Тем самым теорема 1.4 доказана. 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В статье получены достаточные условия n-кратной и m-кратной (1 � m � n - 1) полноты к.ф. пучка L0(λ) вида (1.3)-(1.4) в пространстве L2[0, 1], а именно, доказаны теоремы 1.1-1.4. Что будет, если предположения этих теорем не будут выполняться? В этом направлении автором также проводились исследования и получены некоторые результаты. Более подробно об этом можно узнать, например, в [8-11, 13, 15, 16].