Спектральные и начально-краевые задачи сопряжения

Аннотация

На базе уже рассмотренного ранее подхода (см. [18]) к абстрактным краевым задачам сопряжения разобраны спектральные задачи сопряжения для одной и двух областей. Подробно изучен возникший операторный пучок с самосопряженными операторными коэффициентами, действующий в гильбертовом пространстве и зависящий от двух параметров. Рассматривается оба возможных случая, когда один из параметров спектральный, а другой является фиксированным, в зависимости от этого выведены свойства решений. Также изучены начально-краевые задачи математической физики, порождающие задачи сопряжения. Получены теоремы о существовании и единственности сильного решения со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Данная работа является продолжением изучения смешанных краевых задач сопряжения на базе обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа. В предыдущей статье [18] был разработан общий подход к изучению смешанных краевых задач сопряжения. С помощью этого подхода разобраны также спектральные задачи сопряжения и получена спектральная проблема для соответствующего операторного пучка. В данной статье рассмотрены свойства решений этого пучка в зависимости от параметров задачи. В первом разделе изучаются спектральные проблемы для смешанных краевых задач в одной и двух примыкающих областях. Установлено, что в обоих случаях исходные спектральные проблемы математической физики приводятся к исследованию одного и того же операторного пучка с самосопряженными операторными коэффициентами. Пучок зависит от двух комплексных параметров λ и μ, один из которых считают фиксированным, а другой - спектральным. Во втором разделе рассматриваются свойства решений операторного пучка в двух случаях, когда параметр μ - спектральный, а λ - фиксированный, и наоборот. Доказаны теоремы о структуре спектра и базисности системы собственных и присоединенных элементов. В третьем разделе исследованы начально-краевые задачи математической физики, порождающие изученные спектральные проблемы. Получены теоремы о существовании и единственности сильного решения со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 316 1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ СМЕШАННЫМИ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ И ЗАДАЧАМИ СОПРЯЖЕНИЯ 1. Смешанная спектральная задача в одной области. В области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей ∂Ω =: Γ, разбитой на четыре липшицевых куска Γk с липшицевыми границами ∂Γk , k = 1, 4, рассмотрим следующую спектральную задачу: u - Δu = λu =: f (в Ω), γ1u := u|Γ1 = 0 (на Γ1), (1.1) ∂2u = μγ2u =: ψ2 (на Γ2), ∂3u = λγ3u =: ψ3 (на Γ3), (1.2) k ∂4u = λ-1γ4u =: ψ4 (на Γ4), ∂k u := (∂u/∂n)Γ . (1.3) Здесь на Γ1 задано однородное условие Дирихле, на Γ2 - условие М. С. Аграновича (см. [29]) или условие, возникающее в задачах дифракции, на Γ3 - условие типа Стефана (или Стеклова), на Γ4 - условие типа С. Крейна, появившееся в задачах о нормальных движениях тяжелой вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. В этой проблеме имеется два параметра λ и μ, один из которых можно считать спектральным, а другой - фиксированным. В частности, в задачах дифракции спектральным является параметр μ ∈ C (см. [29]). Другой вариант, когда спектральным является λ ∈ C, рассматривается в работах В. И. Горбачук (см. [11]). Задачу (1.1)-(1.3) будем исследовать с помощью общего подхода, который рассматривался в предыдущей работе (см. [18]). По этой схеме будем использовать одну так называемую первую вспомогательную задачу С. Крейна и три вторых вспомогательных задач С. Крейна (см. ниже (1.5)-(1.8)). В силу однородного условия Дирихле на Γ1, слабое решение задачи (1.1)-(1.3) естественно искать в пространстве H1 0,Γ1 (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : γ1u = 0 (на Γ1)}. 0,Γ1 Решение u ∈ H1 (Ω) будем искать в виде суммы решений четырех задач, т. е. 4 0,Γ1 u = \ uk , uk ∈ H1 (Ω), (1.4) k=1 где uk - слабые решения таких задач соответственно: (1.5) u1 - 6u1 = f := λu (в Ω), γ1u1 = 0 (на Γ1), ∂2u1 = 0 (на Γ2), ∂3u1 = 0 (на Γ3), ∂4u1 = 0 (на Γ4); (1.6) u2 - 6u2 = 0 (в Ω), γ1u2 = 0 (на Γ1), ∂2u2 = ψ2 := μγ2u (на Γ2), ∂3u2 = 0 (на Γ3), ∂4u2 = 0 (на Γ4); (1.7) u3 - 6u3 = 0 (в Ω), γ1u3 = 0 (на Γ1), ∂2u3 = 0 (на Γ2), ∂3u3 = ψ3 := λγ3u (на Γ3), ∂4u3 = 0 (на Γ4); (1.8) u4 - 6u4 = 0 (в Ω), γ1u4 = 0 (на Γ1), ∂2u4 = 0 (на Γ2), ∂3u4 = 0 (на Γ3), ∂4u4 = ψ4 := λ-1γ4u (на Γ4). Сама постановка задач (1.5)-(1.8) учитывает, что функции ∂k u, заданные на Γk , продолжимы нулем на остальные куски границы. Для элементов из H1(Ω) эти производные по нормали, как известно, принадлежат классам H-1/2(Γk ). Если же они продолжимы нулем на оставшуюся часть границы ∂Ω в классе H-1/2(Γ), то они являются элементами H� -1/2(Γk ) ⊂ H-1/2(Γk ), а те функции из H1(Ω), у которых ∂k u ∈ H� -1/2(Γk ), обозначаются как Hˇ 1(Ω) (см. [18]). В нашем случае ∂u Hˇ 1(Ω) := {u ∈ H1(Ω) : ∂k u = ∂n Γk ∈ H� -1/2(Γk ), k = 1, 4}. Более того, с учетом граничного условия на Γ1 следует в задачах использовать подпространство 1 Hˇ0,Γ1 (Ω) := Hˇ 1 1 (Ω) ∩ H0,Γ1 (Ω). (1.9) 0,Γ Для элементов из Hˇ 1 1 (Ω) имеем формулу Грина (см. [18]) 4 \ 1 (η, u)H1(Ω) = ∓η, u - 6u⊕L2(Ω) + k=2 ∓γk η, ∂k u⊕L2(Γk ) ∀ η, u ∈ Hˇ0,Γ1 (Ω), (1.10) 0,Γ1 u - 6u ∈ (Hˇ 1 k (Ω))∗, γk η ∈ H1/2(Γk ), ∂k u = (∂u/∂n)Γ ∈ H� -1/2(Γk ), k = 2, 4. Из этой формулы следует, что слабое решение задачи (1.5) определяется тождеством 1 (η, u1)H1(Ω) = ∓η, f ⊕L2(Ω) = ∓η, λu⊕L2(Ω) ∀ η ∈ Hˇ0,Γ (Ω), 1 и это слабое решение имеет вид (см. [18]) u1 = A-1f = λA-1u, (1.11) 0,Γ где A - оператор гильбертовой пары (Hˇ 1 1 (Ω); L2(Ω)). Далее, слабое решение задачи (1.6) определяется тождеством 1 (η, u2)H1(Ω) = ∓γ2η, ψ2⊕L2(Γ2) = ∓γ2η, μγ2u⊕L2(Γ2) ∀ η ∈ Hˇ0,Γ (Ω). Это решение задается формулой 0,Γ1,h u2 = V2ψ2 = μV2γ2u, V2 ∈ L(H� -1/2(Γ2); Hˇ 1 1 2 (Ω)), V2 = γ∗, (1.12) 0,Γ1,h(Ω) := Hˇ0,Γ1 (Ω) ∩ Hh (Ω), Hh (Ω) := {u ∈ H (Ω) : u - Δu = 0}. Hˇ 1 1 1 1 1 Аналогично рассматриваются задачи (1.7) и (1.8), и их решения выражаются формулами 0,Γ1,h u3 = V3ψ3 = λV3γ3u, V3 ∈ L(H� -1/2(Γ3); Hˇ 1 u4 = V4ψ4 = λ-1V4γ4u, V4 ∈ L(H� -1/2(Γ4); Hˇ 1 3 (Ω)), V3 = γ∗, (Ω)), V4 = γ∗. (1.13) 0,Γ1,h 4 Складывая левые и правые части соотношений (1.11), (1.12), (1.13), получаем, что слабое решение u задачи (1.1)-(1.3) должно быть решением следующей спектральной проблемы: 0,Γ1 u = λ(A-1 + V3γ3)u + μV2γ2u + λ-1V4γ4u, u ∈ Hˇ 1 (Ω). (1.14) Это уравнение можно привести к более симметричной форме, воспользовавшись тем, что имеют место свойства (см. [18]) A1/2Vk = (γk A-1/2)∗ ∈ L(H� -1/2(Γk ); L2(Ω)), k = 2, 4. (1.15) 0,Γ1 Действительно, представим элемент u ∈ H1 (Ω) = D(A1/2), R(A1/2) = L2(Ω), в виде u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω), (1.16) подставим это выражение в (1.14) и подействуем на обе части полученного соотношения оператором A1/2 (это можно сделать в силу (1.15)). Тогда взамен (1.14) возникает спектральная задача 1 L(λ, μ)v := (I - μB2 - λ(A-1 + B3) - λ-1B4)v = 0, v ∈ L2(Ω), (1.17) k ∞ Bk := (A1/2Vk )(γk A-1/2) = B∗ ;:? 0, Bk ∈ S (L2(Ω)), k = 2, 4, (1.18) для операторного пучка L(λ, μ) с параметрами λ и μ, один из которых можем считать спектральным, другой - фиксированным. Задача (1.17), (1.18) содержит в себе известные спектральные проблемы, встречающиеся в приложениях. Они будут более подробно разобраны в разделе 2. 2. Спектральная задача сопряжения для двух примыкающих областей. Теперь рассмотрим конфигурацию из двух примыкающих областей. На отдельных участках границы этих областей заданы однородные условия, содержащие спектральный либо фиксированный параметр. Будем считать, что две области Ω1 и Ω2 из Rm с липшицевыми границами примыкают друг к другу, как это показано на рис. 1. Их внешние границы Γ11 и Γ22 являются липшицевыми кусками и сами разбиты на липшицевы куски: 4 kk Γkk = ( I Γkk,j ) ∪ ∂Γ0 , k = 1, 2, j=1 а граница стыка Γ12 = Γ21 разбита на семь липшицевых кусков: 7 21 Γ12 = Γ21 = ( I Γ21,j ) ∪ ∂Γ0 , Γ21,j = Γ12,j . kl Здесь символом ∂Γ0 j=1 обозначено объединение внутренних границ при разбиении Γkl на части Γkl,j . РИС. 1 Сформулируем постановку спектральной задачи сопряжения для искомых функций uk (x), заданных в областях Ωk , k = 1, 2, с соответствующими граничными условиями. Имеем: в областях Ω1 и Ω2 - u1 - 6u1 = f1 := λu1 (в Ω1), u2 - 6u2 = f2 := λu2 (в Ω2); (1.19) на внешних границах: γ11,1u1 = 0 (на Γ11,1), γ22,1u2 = 0 (на Γ22,1); (1.20) ∂11,2u1 = ψ11,2 := μγ11,2u1 (на Γ11,2), ∂22,2u2 = ψ22,2 := μγ22,2u2 (на Γ22,2); ∂11,3u1 = ψ11,3 := λγ11,3u1 (на Γ11,3), ∂22,3u2 = ψ22,3 := λγ22,3u2 (на Γ22,3); ∂11,4u1 = ψ11,4 := λ-1γ11,4u1 (на Γ11,4), ∂22,4u2 = ψ22,4 := λ-1γ22,4u2 (на Γ22,4); на границах стыка: (1.21) γ21,1u1 - γ12,1u2 = 0, ∂21,1u1 + ∂12,1u2 = 0 (на Γ21,1); (1.22) γ21,2u1 - γ12,2u2 = 0, ∂21,2u1 + ∂12,2u2 = ψ21,2 := μγ21,2u1 (на Γ21,2), (1.23) γ21,3u1 - γ12,3u2 = 0, ∂21,3u1 + ∂12,3u2 = ψ21,3 := λγ21,3u1 (на Γ21,3), (1.24) γ21,4u1 - γ12,4u2 = 0, ∂21,4u1 + ∂12,4u2 = ψ21,4 := λ-1γ21,4u1 (на Γ21,4); (1.25) ∂21,5u1 = -∂12,5u2 = ψ21,5 := λ(γ21,5u1 - γ12,5u2) (на Γ21,5); (1.26) ∂21,6u1 = -∂12,6u2 = ψ21,6 := λ(γ21,6u1 - γ12,6u2) (на Γ21,6); (1.27) ∂21,7u1 = -∂12,7u2 = ψ21,7 := λ-1(γ21,7u1 - γ12,7u2) (на Γ21,7). (1.28) Здесь λ и μ, как и в задаче (1.1)-(1.3), - параметры, один из которых является спектральным, а другой - фиксированным. Отметим еще, что условия (1.23), (1.25), (1.27) называют условиями первой задачи сопряжения, а (1.24), (1.26), (1.28) - условиями второй задачи сопряжения (см. [29]). Из постановки задачи (1.19)-(1.28) видно (см. (1.20)), что ее слабое решение u = (u1; u2) 0,Γ естественно искать в пространстве H1 11,1 (Ω1) ⊕ H 1 0,Γ22,1 (Ω2). Более того, это решение должно Γ принадлежать подпространству H1 (Ω) тех элементов, для которых выполнены главные (с вариационной точки зрения) однородные краевые условия на стыках - это группа первых условий в (1.22)-(1.25). Значит, H1 1 1 Γ(Ω) := {(u1; u2) ∈ H0,Γ11,1 (Ω1) ⊕ H0,Γ22,1 (Ω2) : γ21,k u1 - γ12,k u2 = 0 (на Γ21,k ), k = 1, 4}. Γ Представим решение задачи в виде суммы решений вспомогательных задач, в которых неоднородности, т. е. формально считаемые заданными функции в (1.19)-(1.28), содержатся либо в уравнениях, либо в одном из краевых условий. Для элементов из H1 (Ω) воспользуемся обобщенной формулой Грина в следующем виде: 2 2 (η, u)H1(Ω) := \(ηk , uk )H1(Ω ) = \∓ηk , uk - 6uk ⊕L (Ω )+ k=1 k 2 k k=1 2 4 4 2 + \ \∓γkk,j ηk , ∂kk,j uk ⊕L (Γ k=1 j=2 7 + \ kk,j 2 ) + \∓γ21,j η1, ∂21,j u1 + ∂12,j u2⊕L (Γ j=1 21,j )+ j=5 ∓γ21,j η1 - γ12,j η2, ∂21,j u1⊕L2(Γ21,j ), (1.29) где следы γkl,j ηl ∈ H1/2(Γkl,j ), а производные по нормали ∂kl,j ul ∈ H� -1/2(Γkl,j ), т. е. из сопряженного пространства (см. (1.9), (1.10)). Γ Отметим еще, что пространство H1 (Ω) плотно в L2(Ω) := L2(Ω1)⊕L2(Ω2), так как оно содержит подпространство H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2), плотное в L2(Ω). 0 0 Идя по схеме, уже изложенной для задачи (1.1)-(1.3), приходим к выводу, что первая вспомогательная задача Крейна, отвечающая неоднородным членам лишь в уравнениях (1.19) с заданными f1 и f2, определяется как слабое решение u(1) = (u11; u12) на основе тождества 2 (η, u(1))H1(Ω) = \∓ηk , fk ⊕L (Ω ), η = (η1; η2) ∈ H1 (Ω), 2 k Γ k=1 следующего из формулы Грина (1.29). Поэтому Γ u(1) = A-1f = λA-1u, f = (f1, f2) ∈ (H1 (Ω))∗, Γ где A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)). (2) Далее, заданным функциям ψ11,2 и ψ22,2 из (1.27) отвечают слабые решения uI и u II (2) соответственно, определяемые тождествами (2) (η, uI )H1(Ω) = ∓γ11,2η1, ψ11,2⊕L2(Γ 11,2 Γ ) ∀η ∈ H1 (Ω), (η, uII )H1(Ω) = ∓γ22,2η2, ψ22,2⊕L (Γ ) ∀η ∈ H1 (2) 2 22,2 Γ(Ω). Обозначая эти решения через V11,2ψ11,2 и V22,2ψ22,2, приходим к выводу, что u(2) = uI II (2) + u(2) = μ(V11,2γ11,2p1 + V22,2γ22,2p2)u, где pk u = pk (u1; u2) := uk , k = 1, 2. Отметим еще, что имеют место свойства (см. [18]) Vkk,2 = (γkk,2pk )∗, k = 1, 2. Аналогично определяются слабые решения задач, отвечающие элементам ψ11,3 и ψ11,4 соответственно. Тогда u(3) = λ(V11,3γ11,3p1 + V22,3γ22,3p2)u, Vkk,3 = (γkk,3pk )∗, k = 1, 2. Таким же образом имеем u(4) = λ-1(V11,4γ11,4p1 + V22,4γ22,4p2)u, Vkk,4 = (γkk,4pk )∗, k = 1, 2. Рассмотрим теперь вспомогательные задачи, отвечающие заданным элементам ψ21,j из (1.23)- (1.25), j = 2, 4. Решение, соответствующее ψ21,2, определяется из тождества 2 21,2 Γ (η, u(5))H1(Ω) = ∓γ21,2η1, ψ21,2⊕L (Γ ), η ∈ H1 (Ω), и при ψ21,2 ∈ H� -1/2(Γ21,2) имеем единственное решение u(5) = V21,2ψ21,2 = μV21,2γ21,2p1u, V21,2 = (γ21,2p1)∗. Аналогично получаем формулы, отвечающие ψ21,3 и ψ21,4: u(6) = λV21,3γ21,3p1u, V21,3 = (γ21,3p1)∗, u(7) = λ-1V21,4γ21,4p1u, V21,4 = (γ21,4p1)∗. Перейдем теперь к рассмотрению решений, отвечающих элементам ψ21,j , j = 5, 7, из (1.26)- (1.28). Решение u(8), отвечающее ψ21,5, как следует из формулы Грина (1.29), определено тождеством 1 (η, u(8))H1(Ω) = ∓γ21,5η1 - γ12,5η2, ψ21,5⊕L2(Γ21,5) ∀η ∈ HΓ(Ω). При любом ψ21,5 ∈ H� -1/2(Γ21,5) существует единственное решение u(8) = V21,5ψ21,5 = μV21,5(γ21,5p1 - γ12,5p2)u, V21,5 = (γ21,5p1 - γ12,5p2)∗. Аналогичным образом получаем формулы для оставшихся двух решений u(9) и u(10) вспомогательных задач, отвечающих заданным ψ21,6 и ψ21,7 соответственно из (1.27), (1.28). Имеем u(9) = λV21,6(γ21,6p1 - γ12,6p2)u, V21,6 = (γ21,6p1 - γ12,6p2)∗, u(10) = λ-1V21,7(γ21,7p1 - γ12,7p2)u, V21,7 = (γ21,7p1 - γ12,7p2)∗. Итогом проведенных построений является такой вывод. Слабое решение u = (u1; u2) задачи (1.19)-(1.28) удовлетворяет уравнению 10 Γ u = \ u(j) = λ(A-1 + C3)u + μC2u + λ-1C4u, u ∈ H1 (Ω), (1.30) j=1 21,5, 21,6, 21,7. Таким образом, для спектральной проблемы сопряжения (1.19)-(1.28) получилось уравнение (1.30) такого же общего вида, как уравнение (1.14) для более простой спектральной проблемы (1.1)- (1.3). Осуществляя еще в (1.30) такую же замену, как в (1.16), т. е. u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω) = L2(Ω1) ⊕ L2(Ω2), и действуя оператором A1/2, приходим окончательно к спектральной задаче L(λ, μ)v := (I - λ(A-1 + B3) - μB2 - λ-1B4)v = 0, v ∈ L2(Ω), (1.31) k ∞ 0 � Bk = A1/2Ck A-1/2 = B∗ ∈ S (L2(Ω)), k = 2, 4, (1.32) равносильной исходной проблеме (1.19)-(1.28). Очевидно, что решение задачи (1.31), (1.32) обладает теми же общими свойствами, что и (1.17). 2. О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ 1. Свойства решений при спектральном параметре μ. Рассмотрим подробнее полученную спектральную задачу (см. (1.17) L(λ, μ)ϕ := (I - μB2 - λ(A-1 + B3) - λ-1B4)ϕ = 0, ϕ ∈ H, λ, μ ∈ C, (2.1) k H = L2(Ω), 0 � Bk = B∗ ∈ S∞(H), k = 2, 4, 0 < A = A∗ ∈ S∞(H). (2.2) Операторный пучок L(λ, μ) содержит два параметра: λ и μ. Это позволяет исследовать два класса задач: при фиксированном μ ∈ C возникают задачи со спектральным параметром λ в уравнении, а при фиксированном λ ∈ C - задачи со спектральным параметром μ в краевом условии на границе сопряжения. Рассмотрим случай, когда в пучке L(λ, μ) параметр λ фиксирован, а μ - спектральный. 1. Отрицательные значения параметра. Рассмотрим задачу (2.1)-(2.2) при λ < 0. Обозначим T (λ) := λ(A-1 + B3)+ λ-1B4. (2.3) Так как T (λ) < 0, то оператор I - T (λ) ;:? I равномерно по λ. Значит, существует обратный оператор (I - T (λ))-1, (I - T (λ))-1 � 1. Заметим теперь, что оператор B2 = (A1/2V2)(γ2A-1/2) ограниченно действует из L2(Ω) в подпространство 0,Γ1,h L2,h(Ω) := {ϕ ∈ L2(Ω) : ϕ = A1/2u2, u2 ∈ Hˇ 1 (Ω) ⊂ H1(Ω)} (см. (1.12)) и потому ker B2 = L2,0(Ω) = L2(Ω) 8 L2,h(Ω). Кроме того, этот оператор неотрицателен и компактен в L2(Ω). Далее, T (λ) также компактен и отрицателен. Это позволяет преобразовать проблему (2.1), (2.2) к спектральной задаче на собственные значения компактного положительного оператора и воспользоваться теоремой Гильберта-Шмидта. Пусть P0 и P1 - взаимно дополнительные ортопроекторы, отвечающие разложению: H = H0 ⊕ H1, H0 := ker B2 = L2,0(Ω), H1 = H 8 H0 = R(B2) = L2,h(Ω), а I0 и I1 - единичные операторы в H0 и H1 соответственно. Тогда ϕ = ϕ0 + ϕ1: (I - T (λ))(ϕ0 + ϕ1) = μB2(ϕ0 + ϕ1) = μB2ϕ0 + μB-2ϕ1 = μB-2ϕ1, (2.4) где B-2 = P1B2P1, B2ϕ0 = 0, ϕ0 = P0ϕ0, ϕ1 = P1ϕ1, B2 = P1B2. Применив к обеим частям уравнения (2.4) ортопроекторы P0 и P1, имеем P0(I - T (λ))P0ϕ0 + P0(I - T (λ))P1ϕ1 = μP0B-2ϕ1 = 0, (2.5) P1(I - T (λ))P0ϕ0 + P1(I - T (λ))P1ϕ1 = μP1B-2ϕ1 = μB-2ϕ1. (2.6) Оператор P0(I - T (λ))P0 = I0 - P0T (λ)P0 ;:? I0 в H0, и потому существует его обратный, причем (P0(I - T (λ))P0)-1 � 1 равномерно по λ < 0. Тогда из (2.5) имеем ϕ0 = -(P0(I - T (λ))P0)-1(P0(I - T (λ))P1ϕ1). (2.7) Подставим полученное выражение в (2.6) и будем иметь уравнение для ϕ1: (I1 - T1(λ))ϕ1 = μB�2ϕ1, ϕ1 ∈ H1, (2.8) T1(λ) = P1T (λ)P1 + P1T (λ)P0(I0 - P0T (λ)P0)-1P1T (λ)P1. (2.9) Лемма 2.1. Имеет место свойство ker(I1 - T1(λ)) = {0}. Доказательство. Рассмотрим уравнение (I1 - T1(λ))ϕ1 = 0, (2.10) где T1(λ) определен в (2.9). Введем ϕ0 по формуле (2.7) и подставим в (2.10). Тогда будем иметь формулу (2.6) с μ = 0: а из (2.10) получаем (2.5). P1(I - T (λ))P0ϕ0 + P1(I - T (λ))P1ϕ1 = 0, (2.11) Полученное уравнение (2.11) или система уравнений (2.5), (2.6) с μ = 0 равносильны уравнению (I - T (λ))ϕ = 0, ϕ = ϕ0 + ϕ1, которое имеет тривиальное решение ϕ = 0, так как I - T (λ) ;:? I ◦ 0. Поэтому и ϕ0 = ϕ1 = 0. Заметим теперь, что при λ < 0 оператор I1 - T1(λ) из (2.9) самосопряжен и положительно определен. В самом деле, если имеется связь (2.7), то ((I - T (λ))(ϕ0 + ϕ1), ϕ0 + ϕ1)L2(Ω) = ((I1 - T1(λ))ϕ1, ϕ1)L2(Ω) ;:? ;:? α ϕ0 2 L2(Ω) 2 + ϕ1 L2(Ω) ;:? α ϕ1 2 L2(Ω) , α > 0, (2.12) так как I - T (λ) ◦ 0. Отсюда и следует свойство I1 - T1(λ) ◦ 0. Опираясь на этот факт, осуществим в (2.8) замену (I1 - T1(λ))1/2ϕ1 = ψ1 (2.13) и подействуем слева (ограниченным) оператором (I1 - T1(λ))-1/2. Тогда возникает задача ψ1 = μB�2ψ1, ψ1 ∈ H1 = L2,h(Ω), (2.14) 2 B�2 := (I1 - T1(λ))-1/2P1B2P1(I1 - T1(λ))-1/2 = B�∗ > 0, B�2 ∈ S∞ (L2(Ω)). Теорема 2.1. При λ < 0 задача (2.1) имеет дискретный спектр, состоящий из положительk=1 ных конечнократных собственных значений {μk }∞ с предельной точкой +∞. Собственные элементы {ϕk }k=1, отвечающие собственным значениям {μk }k=1, после проектирования на ∞ подпространство H1 = L 2,h (Ω), т. е. элементы {ϕ1k } ∞ k=1 , ϕ1k ∞ = P1ϕk , образуют базис Рисса k=1 в H1, причем ϕ1k = (I1 - T1(λ))-1/2ψ1k , где {ψ1k }∞ - ортонормированный базис, отвечающий оператору B�2 из (2.14). Более того, элементы ϕ1k для Ω ⊂ Rm образуют p - базис в H1 при p > p0 = m - 1. (2.15) Доказательство. Первое утверждение о дискретном и положительном спектре и базисе Рисса следует из теоремы Гильберта-Шмидта, примененной к проблеме (2.14), и свойства (I1 - T1(λ))-1/2 ∈ L(H1). Докажем теперь свойство (2.15). Из формулы (2.3) следует, что T (λ) принадлежит классу компактных операторов Sp(L2(Ω)), где p > p0 = max(pA-1 ; pB3 ; pB4 ). (2.16) Однако, можно убедиться, что собственные значения λk (A-1) положительного самосопряженного компактного оператора A-1 суть последовательные максимумы вариационного отношения 2 / 2 2 2 -1/2 1 A-1/2ϕ L (Ω) ϕ L (Ω) = u L (Ω)/ u (Ω), u = A ϕ ∈ H0,Γ (Ω). 2 2 2 H1 1 0,Γ1 Поэтому их асимптотика при k →∞ дается классической формулой Вейля Ω| 6π2 λk (A-1) = (am(Ω))2/mk-2/m[1 + o(1)] (k → ∞), am(Ω) > 0, a3(Ω) = | , (2.17) и потому pA-1 > m/2. Для оператора B3 аналогично устанавливаем, что его положительные собственные значения суть последовательные максимумы вариационного отношения γ3A-1/2ϕ L (Γ)/ ϕ 2 r r = |u|2dΓ3/ (|u|2 + |∇u|2)dΩ, u ∈ H1 (Ω). 2 L2(Ω) Γ3 Ω 0,Γ1 Отсюда и из [9] получаем, что асимптотическое поведение собственных значений λk (B3) таково: Γ3| 4π λk (B3) = (dm,3(Γ3))1/(m-1)k-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), dm,3(Γ3) > 0, d3,3(Γ3) = | . (2.18) Значит, pB3 > m - 1. Для оператора B4 те же рассуждения приводят к формуле Γ4| 4π λk (B4) = (dm,4(Γ4))1/(m-1)k-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), dm,4(Γ4) > 0, d3,4(Γ4) = | , (2.19) и потому pB4 > m - 1. Из (2.17), (2.18), (2.19) и из (2.16) теперь следует, что T (λ) из (2.3) принадлежит классу Sp при p > p0 = m - 1. Заметим, наконец, что (I1 - T1(λ))-1/2 = I1 + T�1(λ), T�1(λ) ∈ Sp, p > p0 = m - 1. k=1 Отсюда и из (2.13) следует свойство p-базисности элементов {ϕ1k }∞ при p > m - 1. 2. Положительные значения параметра λ.. Будем теперь считать, что в задаче (2.1), (2.2) параметр λ положителен, однако λ ∈/ σ(I - T (λ)) ∩ σ(I0 - P0T (λ)P0). (2.20) Тогда так же, как и в пункте 2.1.1, можно перейти от проблемы (2.1) путем проектирования на подпространства H0 = L2,0(Ω) и H1 = L2,h(Ω) и исключения ϕ0 (см. (2.5)-(2.7)) к уравнению (2.8) с T1(λ) из (2.9). Здесь снова справедливо утверждение леммы 2.1, причем T1(λ) - компактный самосопряженный оператор, действующий в H1. Отсюда следует, что оператор I1 - T1(λ) может иметь не более конечного числа (с учетом их кратностей) отрицательных собственных значений, а остальные положительны и имеют предельную точку 1. Обозначая количество отрицательных собственных значений через κ1, приходим к выводу, что квадратичная форма оператора I1 - T1(λ) индефинитна, а все пространство H1 разбивается на ортогональную сумму κ1-мерного отрицательного подпространства H- и бесконечномерного положительного подпространства H+. Таким образом, возникает индефинитная метрика - пространство Понтрягина H1 = Πκ1 = Π- ⊕ Π+, Π- = H-, Π+ = H+, dim Π- = κ1, dim Π+ = ∞. (2.21) Теорема 2.2. Пусть λ > 0 и выполнено условие (2.20), причем имеет место разложение (2.21). Тогда спектр исходной задачи (2.1), (2.2) вещественный, дискретный и состоит из κ1 штук отрицательных собственных значений, а остальные положительны и имеют предельную точку μ = +∞: μ1 � μ2 � ... � μκ1 < 0 < μκ1+1 � ... � μk � ..., lim k→∞ μk = +∞. (2.22) При этом собственные элементы (присоединенных нет) задачи (2.8) образуют ортонормированный по форме I1 - T1(λ) базис и базис Рисса в H1 = L2,h(Ω). Элементы базиса можно выбрать удовлетворяющими соотношениям ((I1 - T1(λ))ϕ1k , ϕ1j )H1 = (-δkj , 1 � k, j � κ1, δkj , k, j ;:? κ1 + 1, 0, k ;:? κ1, j ;:? κ1 + 1, (2.23) 1 k (B�2ϕ1k , ϕ1j )H = |μ-1|δkj . Доказательство. Учитывая (2.20) и (2.21), представим оператор I1 - T1(λ) в виде 1 I1 - T1(λ) = |I1 - T1(λ)|1/2Jκ |I1 - T1(λ)|1/2, (2.24) где Jκ1 - каноническая симметрия: κ1 Jκ1 = J ∗ κ1 = J -1. (2.25) Тогда с учетом (2.24) задача (2.8) преобразуется к виду v1 = μJκ1 B-2(λ)v1, (2.26) v1 = |I1 - T1(λ)|1/2ϕ1, B-2(λ) := |I1 - T1(λ)|-1/2B-2|I1 - T1(λ)|-1/2. (2.27) Так как оператор B-2(λ) компактен и положителен, то оператор Jκ1 B-2(λ) - компактный и Jκ1 - положительный, т. е. [JκB-2(λ)v1, v1] := (Jκ(JκB-2(λ))v1, v1) = (B-2(λ)v1, v1) > 0, v1 /= 0. Поэтому по теореме Л. С. Понтрягина (см. [24]) получаем, что задача (2.26), (2.27) имеет k=1 дискретный вещественный спектр {μk }∞ k=1 со свойствами (2.22), а собственные элементы {v1k }∞ , ∞ отвечающие собственным значениям {μk }k=1, образуют базис Рисса в H1. Отсюда, а также из k=1 замены (2.27) приходим к выводу, что собственные элементы {ϕ1k }∞ ϕ1k = |I1 - T1(λ)|-1/2v1k образуют базис Рисса в H1. Наконец, из условий ортонормировки 1 k [v1k , v1j ] = (Jκ1 ϕ1k , ϕ1j )H1 = ±δkj , (B-2ϕ1k , ϕ1j )H1 = |μ- |δkj , получаем, что справедливы формулы (2.23). 3. Случай общего положения. Рассмотрим теперь более общий случай, когда Imλ /= 0, λ ∈/ σ(I - T (λ)) ∩ σ(I0 - P0T (λ)P0). (2.28) Как хорошо известно, операторный пучок типа С. Г. Крейна ∞ I - T (λ) := I - λ(A-1 + B3) - λ-1B4, A-1, B3, B4 ∈ S , (2.29) может иметь вне вещественной оси не более конечного числа невещественных собственных значений, симметрично расположенных относительно вещественной оси в правой комплексной полуплоскости. В частности, если Reλ � 0, то из неравенства H (I - T (λ))ϕ H · ϕ H ;:? |((I - T (λ))ϕ, ϕ)H | ;:? Re((I - T (λ))ϕ, ϕ)H ;:? ϕ 2 (2.30) получаем, что при Reλ � 0, Imλ /= 0, равномерно по λ. При этом также (I - T (λ))-1 � 1 (2.31) так как в силу (2.30) (I0 - P0T (λ)P0)-1 � 1, 2 ((I0 - P0T (λ)P0)ϕ0, ϕ0)H = ((I - T (λ))ϕ0, ϕ0)H ;:? ϕ0 H , ϕ0 ∈ H0. Отсюда снова следует, что от исходной задачи (2.1), (2.2) можно в рассматриваемом случае перейти к уравнению (2.8) с T1(λ) из (2.9), причем для связи (2.7) снова оператор I1 - T1(λ) ограниченно обратим. Тогда задачу (2.8) можно переписать в виде ϕ1 = μ(I1 - T1(λ))-1B�2ϕ1, ϕ1 ∈ H1 = L2,h, B�2 = P1B2P1. (2.32) Теорема 2.3. Пусть в задаче (2.1), (2.2) выполнены условия (2.28). Тогда спектр этой заk=1 дачи дискретен, состоит из конечнократных собственных значений {μk }∞ с предельной точкой μ = ∞. Сколь бы ни было мало ε > 0, все собственные значения, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в угле Λε(μ) := {μ ∈ C : | arg μ| < ε, sign Im μ = -sign Im λ}. (2.33) k=1 Система собственных и присоединенных элементов {ϕ1k }∞ , ϕ1k = P1ϕk , т. е. система собственных и присоединенных элементов задачи (2.1), (2.2), после их проектирования на H1 = L2,h(Ω), является полной в H1, более того, она образует базис Абеля-Лидского порядка α > m-1 в H1. Наконец, собственные значения μk = μk (λ) имеют асимптотическое поведение k μk (λ) = λ-1(B2)[1 + o(1)], k → ∞, (2.34) k 2 m,2 2 → ∞ m,2 2 3,2 2 λ (B ) = (d (Γ ))1/(m-1)k-1/(m-1)[1 + o(1)], k , d (Γ ) > 0, d (Γ ) = |Γ2| 4π . (2.35) Доказательство. Прежде всего заметим, что асимптотическая формула (2.35), так же, как и асимптотические формулы (2.17), (2.18), следует из работы [9]. Далее, из условий (2.28) получаем, что от задачи (2.1) можно перейти к задаче (2.8) и затем к (2.32). Поэтому к проблеме (2.32) можно применить теоремы М. В. Келдыша (см. [12]), так как в силу (2.35) оператор B�2 = P1B2P1 имеет те же ненулевые собственные значения, что и оператор B2, а потому B�2 - полный положительный компактный оператор класса Sp при p > m - 1. Кроме ∞ того, оператор (I1 - T1(λ))-1 = I1 + T2(λ), T2(λ) ∈ S следуют первые утверждения теоремы. (H1) и, очевидно, обратим. Отсюда и В частности, свойство из (2.33), определяющее связь знаков Imμ и Imλ, следует непосредственно из соотношения ((I - T (λ))ϕ, ϕ)H = μ(B2ϕ, ϕ)H с учетом формулы (2.29) для T (λ) и свойств операторов A-1, B2, B3, B4. Свойство базисности по Абелю-Лидскому порядка α > m - 1 следует также из (2.35) и утверждения из [29]. Наконец, асимптотическая формула (2.34) следует из результатов А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [21]), примененных к уравнению (I1 - T1(λ))ϕ1 = μB�2ϕ1, так как T1(λ) ∈ S∞(L2(Ω)), а числа λk (B�2) = λk (B2) и имеют асимптотику (2.35). 2. Свойства решений при спектральном параметре λ. Рассмотрим теперь случай, когда в задаче L(λ, μ)ϕ := (I - μB2 - λ(A-1 + B3) - λ-1B4)ϕ = 0, ϕ ∈ H = L2(Ω), (2.36) параметр μ ∈ C фиксирован, а λ - спектральный. 1. Неположительные значения фиксированного параметра. Если μ � 0, то I -μB2 ;:? I ◦ 0 и (I - μB2)-1 � 1. Осуществим в этом случае в (2.36) замену (I - μB2)1/2ϕ = ψ. (2.37) Тогда возникает задача ψ = λ(I - μB2)-1/2(A-1 + B3)(I - μB2)-1/2ψ + λ-1(I - μB2)-1/2B4(I - μB2)-1/2ψ, (2.38) т. е. задача на собственные значения для операторного пучка С. Крейна. В самом деле, здесь оператор (I - μB2)-1/2(A-1 + B3)(I - μB2)-1/2 - компактный и положительный, а (I - μB2)-1/2B4(I - μB2)-1/2 - компактный и неотрицательный. Будем далее предполагать, что выполнено условие 4 A-1 + B3 · B4 < 1. (2.39) Тогда имеет место неравенство 4 (I - μB2)-1/2(A-1 + B3)(I - μB2)-1/2 · (I - μB2)-1/2B4(I - μB2)-1/2 � � 4 (I - μB2)-1 2 · A-1 + B3 · B4 � 4 A-1 + B3 · B4 < 1, (2.40) достаточное для факторизации операторного пучка I - λ(I - μB2)-1/2(A-1 + B3)(I - μB2)-1/2 - λ-1(I - μB2)-1/2B4(I - μB2)-1/2, (2.41) отвечающего задаче (2.38) (см., например, [13, с. 82-86]). Теорема 2.4. Пусть в задаче (2.36) выполнено условие (2.39). Тогда имеют место следующие утверждения. 1◦. Задача (2.36) при μ � 0 имеет дискретный вещественный спектр с предельными точками 0 и +∞. 2◦. Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ◦}∞ изолированных конечнократных собk k=1 ственных значений, расположенных на отрезке 1 (0, r-), r± := (1 ± /1 - 4 A-1 + B3 · B4 )/(2 A- + B3 ). (2.42) Соответствующая система собственных элементов (присоединенных нет) после проектирования на подпространство H1 = L2(Ω) 8 H0, H0 := ker(I - μB2)-1/2B2(I - μB2)-1/2, образует базис Рисса в H1. Более того, эта система элементов образует в H1 p-базис при p > p0 = (m - 1)/2. 3◦. Предельной точке λ = +∞ отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений {λ∞}∞ , расположенных на промежутке (r+, +∞), а отвечающая этой ветви k k=1 система собственных элементов задачи (2.36) образует базис Рисса в H = L2(Ω) и даже p-базис при тех же p > p0 = (m - 1)/2. k 4◦. Собственные значения λ◦ имеют асимптотическое поведение λ◦ -1/(m-1) k = λk (B4)[1 + o(1)] = (dm,3(Γ4)) k1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞, (2.43) k а собственные значения λ∞ - асимптотическое поведение λ∞ -1 -1 -1 -1/(m-1) 1/(m-1) k = λk (A + B3)[1 + o(1)] = λk (B3)[1 + o(1)] = (dm,3(Γ3)) k [1 + o(1)], k → ∞. (2.44) Доказательство. Оно почти дословно повторяет доказательство теорем 3.1.2 и 3.2.1 из [13, с. 83- 92] с учетом того, что при условии (2.39) пучок (2.41) допускает каноническую факторизацию, является самосопряженным, а для собственных значений λk (A-1 + B3) и λk (B4) имеют место асимптотические формулы (2.17), (2.18), а также формула λk (A-1 + B3) = λk (B3)[1 + o(1)], k →∞ При этом асимптотические формулы (2.43), (2.44) следуют из теорем А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [20-22]). 2. Вещественная часть μ не положительна. Будем теперь считать, что Reμ � 0, Imμ /= 0. (2.45) Тогда в силу неравенств (I - μB2)ϕ · ϕ ;:? |((I - μB2)ϕ, ϕ)| ;:? Re((I - μB2)ϕ, ϕ) ;:? ϕ 2 получаем, что при условиях (2.45) имеет место оценка (I - μB2)-1 � 1. (2.46) Применяя слева в (2.36) оператор (I - μB2)-1, приходим к задаче ϕ = λ(I - μB2)-1(A-1 + B3)ϕ + λ-1(I - μB2)-1B4ϕ. (2.47) Здесь снова возникает спектральная задача для пучка С. Крейна, однако теперь этот пучок не является самосопряженным. Теорема 2.5. Пусть в задаче (2.47) выполнены условия (2.45), а также условие (2.39). Тогда имеют место следующие утверждения. 1◦. Задача (2.47) имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей конечнократных собственных значений с предельными точками λ = 0 и λ = ∞ соответственно. 2◦. Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ◦}∞ конечнократных собственных значений, расположенных в области k k=1 1 |λ| � r-, r± = (1 - /1 - 4 A-1 + B3 · B4 )/(2 A- + B3 ), k причем для ∀ε > 0 все собственные значения λ◦ , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |argλ| < ε. (2.48) При этом система собственных и присоединенных (корневых) элементов {ϕ◦}∞ , отвеk k=1 чающая собственным значениям {λ◦}∞ , после ее проектирования на подпространство k k=1 = H 8 H , H = L (Ω), H = ker B , является полной в H и образует в H базис H1 0 2 0 4 1 1 Абеля-Лидского порядка α > m - 1. 3◦. Предельной точке λ = ∞ отвечает ветвь {λ∞}∞ конечнократных собственных значеk k=1 k ний, расположенных в области |λ| ;:? r+, причем для ∀ε > 0 все собственные значения λ∞, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе (2.48). При этом система корневых элементов {ϕ∞}∞ , отвечающая собственным значениям k k=1 {λk }k=1, является полной в H = L2(Ω) и образует в H базис Абеля-Лидского порядка ∞ ∞ 1. α > m - Доказательство. Оно проводится по схеме, изложенной в [13, с. 82-86]. Поэтому здесь приведем лишь некоторые построения, относящиеся к утверждению 2◦. Если выполнено условие (2.39), то пучок L(λ), отвечающий уравнению (2.47), допускает факторизацию λL(λ) := λI - (I - μB2)-1B4 - λ2(I - μB2)-1(A-1 + B3) = = Y -1(I - λY (I - μB2)-1(A-1 + B3))(λI - Y (I - μB2)-1B4), (2.49) 1 -1 причем при |λ| � t ∈ (r-, r+) оператор-функция I - λY (I - μB2)- (A Y также обратим и является решением операторного уравнения + B3) обратима, а оператор Y = I + (I - μB2)-1(A-1 + B3)Y (I - μB2)-1B4Y. (2.50) Кроме того, спектр - σ(Z) := σ(Y (I - μB2)-1B4) ⊂ {λ : |λ| � r }. (2.51) Опираясь на эти факты, рассмотрим задачу на собственные значения Zϕ = Y (I - μB2)-1B4ϕ = (I + (I - μB2)-1(A-1 + B3)Y (I - μB2)-1Y )(I - μB2)-1B4ϕ = =: (I + Φ)B4ϕ = λϕ, ϕ ∈ L2(Ω) = H, |λ| � r-. (2.52) 4 Здесь Φ ∈ S∞(H) и (I + Φ) обратим, а B4 = B∗ ∈ S∞(H) имеет бесконечномерное ядро H0 = ker B4. Представим теперь ϕ в виде ϕ = ϕ0 + ϕ1, ϕ0 ∈ H0, ϕ1 ∈ H1 = H 8 H0, и спроектируем обе части (2.52) на H0 и H1 соответственно с помощью ортопроекторов P0 и P1. С учетом соотношений P0B4 = 0, P1B4P1 =: B�4 > 0 (в H1) будем иметь P0(I + Φ)P1 · B�4ϕ1 = λϕ0, (I1 + P1ΦP1) · B�4ϕ1 = λϕ1. (2.53) Так как по постановке задачи λ /= 0, то из первого соотношения (2.53) можно выразить ϕ0 через ϕ1, а второе уравнение не содержит ϕ0. Кроме того, можно доказать (см., например, [13, с. 85]), что оператор I1 + P1ΦP1 обратим в H1. Наконец, из асимптотической формулы (2.19) следует, что B�4 ∈ Sp(H1) при p > m - 1. Эти свойства показывают, что ко второму уравнению (2.53) применима теорема М. В. Келдыша o свойствах спектра слабо возмущенного самосопряженного оператора класса Sp(H) (см. [12, с. 313-320]). Отсюда следуют утверждения из 2◦ о локализации спектра в исходной задаче (2.47) при |λ| � r-, а также о полноте проекций корневых элементов в пространстве H1. Утверждение о базисности по Абелю-Лидскому этих корневых элементов следует из [29, с. 292], а также из асимптотической формулы (2.19). Утверждения 3◦ доказываются аналогично, однако без проектирования на H1, так как оператор A-1 + B3 полный, т. е. ker(A-1 + B3) = {0}. При этом также используется тот факт, что λk (A-1 + B3) = λk (B3)[1 + o(1)] (k → ∞), и асимптотическая формула (2.18). Кроме того, в пучке L(λ) следует сделать замену λ → λ˜-1 и использовать вместо (2.49) аналогичную факторизацию для пучка λ˜L(λ˜-1) (см. [13, с. 86]). Замечание 2.1. В задаче (2.36) при любом фиксированном μ ∈ C имеются две ветви конечнократных собственных значений {λ◦}∞ и {λ∞}∞ с предельными точками λ = 0 и λ = ∞. Эти k k=1 k k=1 ветви имеют асимптотическое поведение (2.43) и (2.44) соответственно. Этот результат следует из теоремы А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см. [21]). 3. НЕКОТОРЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДАЮЩИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ Спектральные задачи, разобранные в предыдущем разделе, порождаются начально-краевыми задачами, в которых производные по времени входят не только в уравнение, но и в краевые условия. Здесь будет рассмотрено несколько таких примеров. 1. Первая задача. В области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей ∂Ω, разбитой на 3 липшицевых куска Γ1, Γ2 и Γ3 с липшицевыми контурами ∂Γ1, ∂Γ2 и ∂Γ3, сформулируем сначала спектральную проблему L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u = μγ2u (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3), L0u = u - 6u, ∂k u = (∂u/∂n)Γk , γk u = u|Γk , k = 1, 3, (3.1) где λ и μ - параметры, один из которых можно считать спектральным, а второй - фиксированным. Нетрудно видеть, что если рассматривать начально-краевую задачу ∂u ∂t + L0u = f (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u = μγ2u + ψ2 (на Γ2), ∂ 0 ∂3u + ∂t (γ3u) = ψ3 (на Γ3), u(0, x) = u (x), x ∈ Ω, (3.2) и разыскивать ее решения при f ≡ 0, ψ2 ≡ 0, ψ3 ≡ 0 в виде u(t, x) = exp(-λt)u(x), λ ∈ C, (3.3) то для амплитудной функции u(x), x ∈ Ω, возникает спектральная проблема (3.1), где λ - искомый спектральный параметр. Опираясь на построения и методы разделов 1 и 2, а также на использованные выше операторы вспомогательных краевых задач, можно исследовать задачу (3.2) и доказать теорему о ее сильной разрешимости на произвольном конечном промежутке времени. Представим, как и выше, решение u(t, x) задачи (3.1) в виде суммы решений четырех вспомогательных задач, в каждой из которых неоднородности входят в уравнение либо в краевое условие лишь в одном месте. Не выписывая формулировки этих задач, сразу представим решение в виде u = A-1(f - ∂u )+ V (μγ u + ψ )+ V (ψ ∂ - γ u), (3.4) ∂t 2 2 2 3 3 ∂t 3 0,Γ где A - оператор гильбертовой пары (H1 1 (Ω); L2(Ω)), а V2 и V3 - операторы вспомогательных задач Неймана (см. (1.5)-(1.7) при Γ4 = ∅). Тогда возникает дифференциальное уравнение для 0,Γ функции u = u(t) со значениями в пространстве H1 1 (Ω): 1 du (A- + V3γ3) dt + (I - μV2γ2)u = A-1f + V2ψ2 + V3ψ3. (3.5) Если здесь еще сделать замену искомой функции u(t) = A-1/2η(t), η ∈ L2(Ω), (3.6) то получаем задачу Коши dη (A-1 + B3) dt + (I - μB2)η = A-1/2f + A1/2V2ψ2 + A1/2V3ψ3 =: f1(t), η(0) = A1/2u0, (3.7) Bk = (A1/2Vk )(γk A-1/2) = (γk A-1/2)∗(γk A-1/2) : L2(Ω) → L2,h(Ω) ⊂ L2(Ω), k = 1, 3. Свойства коэффициентов A-1 и Bk уже описаны выше. Осуществим в (3.7) еще одну замену Тогда возникает задача Коши dw (A-1 + B3)η =: w. (3.8) dt + (I - μB2)(A-1 + B3)-1w = f1(t), w(0) = (A-1 + B3)A1/2u0. (3.9) Определение 3.1. Назовем функцию w(t) со значениями в L2(Ω) сильным решением задачи (3.9) на отрезке [0,T ], если w(t) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; D((A-1 + B3)-1) (3.10) и для нее выполнено уравнение (3.10), где все слагаемые принадлежат C([0,T ]; L2(Ω)), а также выполнено условие u(0) = u0. Далее будем полагать, что μ ∈/ σ(I - μB2). (3.11) Теорема 3.1. Пусть в исходной задаче (3.2) выполнены условия 0,Γ1 f (t, x) ∈ Cβ ([0,T ]; (Hˇ 1 (Ω))∗), ψ2(t, x) ∈ Cβ ([0,T ]; H� -1/2(Γ2)), 0,Γ1 ψ3(t, x) ∈ Cβ ([0,T ]; H� -1/2(Γ3)), 0 < β � 1, u0(x) ∈ Hˇ 1 (Ω), (3.12) а также условие (3.11). Тогда задача (3.9) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ] в смысле определения 3.1. При этом исходная начально-краевая задача имеет единственное решение на отрезке [0,T ] 0,Γ1 u(t, x) ∈ C([0,T ]; Hˇ 1 (Ω)), (3.13) причем для этого решения выполнено уравнение в Ω, где все слагаемые являются элемента- 0,Γ ми из C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), граничные условия на Γk , k = 2, 3, где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), а также начальное условие. Доказательство. Если выполнены условия (3.12), то в силу свойств операторов A-1 и Bk , k = 2, 3, функция f1(t) в (3.9) является элементом из Cβ ([0,T ]; L2(Ω)), а w0 ∈ D((A-1 + B3)-1). Далее, так как (A-1 + B3)-1 - самосопряженный положительно определенный оператор, действу- 1 ющий в L2(Ω), а B2 ∈ S∞(L2(Ω)), то оператор -(I - μB2)(A- + B3)-1 является генератором аналитической полугруппы, а уравнение (3.9) - абстрактное параболическое. Поэтому при сформулированных свойствах для f1(t) и w0 задача Коши (3.9) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Отсюда следует, что существует единственное сильное решение задачи Коши (3.7), где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Тогда в силу (3.11) получаем, что η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)), а потому ввиду замены (3.6) имеем в задаче (3.5) (либо (3.4)) 0,Γ1 u(t) ∈ C([0,T ]; Hˇ 1 (Ω)). (3.14) Далее, соотношение (3.4), в свою очередь, показывает, что u = u1 + u2 + u3, причем du L0u1 = f - dt (в Ω), γ1u1 = 0 (на Γ1), ∂2u1 = 0 (на Γ2), ∂3u1 = 0 (на Γ3), L0u2 = 0 (в Ω), γ1u2 = 0 (на Γ1), ∂2u2 = μγ2u + ψ2 (на Γ2), ∂3u2 = 0 (на Γ3), d L0u3 = 0 (в Ω), γ1u3 = 0 (на Γ1), ∂2u3 = 0 (на Γ2), ∂3u3 = ψ3 - dt (γ3u) (на Γ3). Отсюда приходим к выводу, что для функции u выполнены все уравнения и краевые условия задачи (3.2). При этом из (3.14) и свойств дифференциального выражения L0u (для обобщенной форму- 0,Γ1 лы Грина, см. (1.10)) получаем, что L0u ∈ (Hˇ 1 (Ω))∗, а потому в уравнении в Ω из (3.2) все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; H ˇ 1 0,Γ1 (Ω)). Аналогично из (3.14) получаем, что ∂k u ∈ C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, а потому все слагаемые в граничных условиях на Γ2 и Γ3 являются элементами из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, соответственно. 2. Вторая задача. Будем теперь считать, что μ - спектральный, а λ - фиксированный параметр в проблеме (3.1), и приведем постановку начально-краевой задачи, отвечающей этому случаю. Тогда будем иметь следующее уравнение и краевые условия: L0u = λu + f ( Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂ ∂2u + ∂tγ2u = ψ2 (на Γ2), ∂3u = λγ3u + ψ3 (на Γ3). (3.15) 0,Γ1 Снова считая, что u ∈ Hˇ 1 (Ω) есть сумма решений трех вспомогательных задач, приходим для искомой функции u = u(t, x) к уравнению (см. (3.4)) 1 2 2 - d u = A- (λu + f )+ V (ψ dt γ2u)+ V3(λγ3u + ψ3), (3.16) и соответствующей задаче Коши du 1 -1 0 V2γ2 dt + (I - λ(A Отсюда после замены + V3γ3))u = A f + V2ψ2 + V3ψ3, u(0) = u . (3.17) получаем задачу u = A-1/2η, η ∈ L2(Ω), (3.18) dη 1 B2 dt + (I - λ(A- + B3))η = A-1/2 f + A1/2 V2ψ2 + A1/2 V3ψ3 =: f (t), η(0) = η0 = A1/2 u0. (3.19) Особенностью этой задачи, в отличие от аналогичной проблемы (3.7), является тот факт, что оператор B2 = (A1/2V2)(γ2A-1/2) = (γ2A-1/2)∗(γ2A-1/2) лишь неотрицателен и имеет бесконечномерное ядро ker B2. Учитывая это обстоятельство, рассмотрим проблему вида (3.19) в абстрактной форме. Именно, будем считать, что исследуется в произвольном гильбертовом пространстве H задача Коши dη - B + (I Φ)η = f (t), η(0) = η0, (3.20) dt где B - неотрицательный компактный оператор, имеющий ненулевое ядро: H0 := ker B /= {0}, (3.21) а Φ ∈ S∞(H). Воспользуемся разложением H = H0 ⊕ H1, H1 = R(B), и преобразуем задачу (3.20) к задаче Коши для дифференциального уравнения в подпространстве H1. С этой целью представим η = η0 + η1, η0 = P0η = P0η0 ∈ H0, η1 = P1η = P1η1 ∈ H1, где P0 и P1 - ортопроекторы на H0 и H1 соответственно. Будем далее предполагать, что выполнены условия ker(I - Φ) = {0}, ker(I0 - P0ΦP0) = {0}. (3.22) Тогда в силу второго условия оператор (I0 - P0ΦP0) обратим и возникает задача Коши dη1 0 0 B1 dt + (I1 - Φ1)η1 = f1(t), η1(0) = η1 = P1η , (3.23) B1 := P1BP1, Φ1 = P1ΦP1 + (P1ΦP0)(I0 - P0ΦP0)-1(P0ΦP1), f1 := P1f + (P1ΦP0)(I0 - P0ΦP0)-1P0f, η0 = (I0 - P0ΦP0)-1[(P0ΦP1)η1 + P0f ]. Здесь оператор B1 : H1 → H1 - положительный и компактный, а Φ1 ∈ S∞(H1). Осуществляя еще в (3.23) замену искомой функции B1η1 = ξ1, (3.24) придем к задаче Коши dξ1 + (I - Φ )B-1ξ = f (t), ξ (0) = B η (0) = B P η0. (3.25) dt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Лемма 3.1. Пусть в задаче (3.20), (3.21) выполнены условия (3.22), а также условия f (t) ∈ Cβ ([0,T ]; H1), η0 ∈ H. (3.26) Тогда эта задача имеет единственное решение η(t) ∈ C([0,T ]; H), для которого все слагаемые в уравнении (3.20) являются непрерывными функциями t со значениями в H и выполнено начальное условие (3.20). Доказательство. Если выполнены условия (3.26), то в задаче (3.25) f1(t) ∈ Cβ ([0,T ]; H1), ξ1(0) ∈ D((B1)-1), (3.27) 1 Далее, уравнение (3.25) является абстрактным параболическим, так как B-1 - положительно определенный самосопряженный неограниченный оператор, а Φ1 ∈ S∞(H1). Отсюда следует, что задача (3.25) имеет единственное сильное решение на промежутке [0,T ], т. е. ξ1(t) ∈ 1 C1([0,T ], H1) ∩ C([0,T ], D(B-1)). Отсюда получаем, что существует единственное решение η(t) задачи (3.23), для которого все слагаемые в уравнении - элементы из C([0,T ]; H1). Так как I1 -Φ1 обратим в силу условий (3.22), то получаем свойство η1(t) ∈ C([0,T ]; H1). Возвращаясь теперь от (3.23) к исходной задаче (3.20) (см. соотношения для f1 и η0 в (3.23)), получаем утверждение леммы. Следствием леммы 3.1 является такое утверждение относительно разрешимости задачи (3.15). Теорема 3.2. Пусть в задаче (3.15) выполнены условия 0,Γ1 f ∈ Cβ ([0,T ]; (Hˇ 1 (Ω))∗), ψk ∈ Cβ ([0,T ]; H� -1/2(Γk )), 0 < β � 1, k = 1, 2, (3.28) а также условия 0,Γ1 u(0) = u0 ∈ Hˇ 1 (Ω), λ ∈/ σ(I - λ(A-1 + B3)) ∩ σ(I0 - λP0(A-1 + B3)P0), P0H := ker B2. (3.29) 0,Γ1 Тогда эта задача имеет единственное решение u ∈ C([0,T ]; Hˇ 1 (Ω)), для которого каждое 0,Γ слагаемое в уравнении в Ω является элементом из C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), а в граничных условиях - элементом из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3. Доказательство. Оно проводится по тому же плану, что и в теореме 3.1, с учетом утверждения леммы 3.1. Именно, при выполнении условий (3.28), (3.29) из леммы 3.1 получаем, что задача (3.23) имеет единственное решение η1(t) ∈ C([0,T ]; H1), H1 := L2(Ω) 8 ker B1. Возвращаясь теперь от (3.23) к (3.17), (3.16) и рассуждая, как при доказательстве теоремы 3.1, приходим к утверждению данной теоремы. Замечание 3.1. Выясним теперь, как выглядят в явной форме условия (3.29). Что касается первого из них, то, очевидно, здесь исключительные значения таковы: k λ = λ-1(A-1 + B3), k = 1, 2,... Это характеристические числа компактного положительного оператора A-1 + B3, они образуют счетное множество на положительной оси и имеют предельную точку λ = +∞. В терминах исходной задачи (3.1) можно проверить, что эти исключительные значения λ суть собственные значения задачи Стефана L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u = 0 (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3). (3.30) Что касается второго условия (3.29), то оказывается, что здесь исключительными являются собственные значения следующей видоизмененной задачи Стефана: L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), γ2u = 0 (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3). (3.31) В самом деле, легко устанавливаем, что для B2 = (γ2A-1/2)∗(γ2A-1/2) 0,Γ1 ker B2 = {η0 ∈ L2(Ω) : η0 = A1/2u0, u0 ∈ Hˇ 1 (Ω), γ2u0 = 0}. (3.32) Поэтому здесь вместо (3.30) возникает задача на собственные значения P0η = λP0(A-1 + B3)P0η, η ∈ L2(Ω), (3.33) которая имеет дискретный положительный спектр {λ0 }∞ с предельной точкой λ = +∞. Они k k=1 являются последовательными минимумами вариационного отношения u0 H1(Ω)/( u0 L2(Ω) + γ3u0 L2(Γ3)), u0 ∈ Hˇ0,Γ ∪Γ2 (Ω). (3.34) 2 2 2 1 1 Таким образом, в начально-краевой задаче (3.15) множество исключительных значений λ представляют собой объединение спектров вспомогательных задач Стефана (3.30) и (3.31). 3. Третья задача. Рассмотрим, наконец, вариант, когда граница Γ = ∂Ω области Ω ⊂ Rm разбита не на три липшицевых куска, как в задаче (3.1), а на четыре с дополнительным краевым условием на Γ4: L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u = μγ2u (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3), λ∂4u = γ4u (на Γ4). (3.35) Здесь (при спектральном параметре μ) порождающая ее начально-краевая задача выглядит следующим образом: ∂ L0u = λu + f (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u + ∂t (γ2u) = ψ2 (на Γ2), ∂3u = λγ3u + ψ3 (на Γ3), ∂4u = λ-1γ4u + ψ4 (на Γ4), u(0) = u0. (3.36) Проводя те же рассуждения, что и в первой задаче (см. (3.4)-(3.9)), приходим по аналогии с (3.9) к задаче Коши dη 1 B2 dt + (I - λ(A- + B3) - λ-1 B4)η = f (t), η(0) = η0 4 = A1/2 u0, (3.37) f (t) = A-1/2f + \ A1/2Vk ψk . k=2 Не приводя подробных обсуждений, сформулируем сразу итоговый результат; он получается так же, как в проблеме (3.19), но с некоторыми усложнениями. Теорема 3.3. Пусть в задаче (3.36) выполнены условия λ ∈/ σ(I - λ(A-1 + B3) - λ-1B4) ∩ σ(I0 - λP0(A-1 + B3)P0 - λ-1P0B4P0), (3.38) где P0 : L2(Ω) → ker B2 =: H0 - ортопроектор на H0, а также условия 0,Γ1 f ∈ Cβ ([0,T ]; (Hˇ 1 (Ω))∗), ψk ∈ Cβ ([0,T ]; H� -1/2(Γk )), 0 < β � 1, k = 2, 3, 4, (3.39) 0,Γ1 u(0) = u0 ∈ Hˇ 1 (Ω). Тогда эта задача имеет единственное решение u ∈ C([0,T ]; H ˇ 1 0,Γ1 (Ω)), для которого каж- 0,Γ дое слагаемое в уравнении в Ω (см. (3.36)) является элементом из C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), а в граничных условиях - элементом из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, 4, соответственно. Замечание 3.2. Можно убедиться, что первое условие (3.38) требует, чтобы λ не являлось собственным значением задачи Крейна-Стефана L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), ∂2u = 0 (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3), λ∂4u = γ4u (на Γ4), (3.40) которая, как известно, имеет две ветви конечнократных положительных собственных значений с предельными точками λ = 0 и λ = +∞, а также не более конечного числа невещественных комплексно сопряженных пар конечнократных собственных значений. Что касается второго требования в (3.38), то, по аналогии с рассуждениями из замечания 3.1, можно убедиться, что здесь исключительными числами являются собственные значения модифицированной задачи Крейна-Стефана (см. (3.31)) L0u = λu (в Ω), γ1u = 0 (на Γ1), γ2u = 0 (на Γ2), ∂3u = λγ3u (на Γ3), λ∂4u = γ4u (на Γ4). (3.41) Общие свойства спектра этой задачи - такие же, как задачи (3.40). 4. Четвертая задача. Эта задача порождает спектральную проблему (3.35), если μ - фиксированный, а λ - спектральный параметр. Здесь предварительно удобно, как и в задаче гидродинамики (проблема С. Крейна), ввести вместо поля скоростей u(t, x) поле перемещений сплошной среды w(t, x), u(t, x) = ∂w/∂t. Тогда начально-краевая задача, отвечающая проблеме (3.35), формируется следующим образом: ∂2w ∂w ∂t2 + L0 ∂t = f ; (в Ω), w = 0 (на Γ1), ∂w ∂w ∂w ∂2w ∂2 ∂t = μγ2 ∂t + ψ2 (на Γ2), ∂3 ∂t + γ3 ∂t2 = ψ3 (на Γ3), (3.42) ∂w 0 ∂4 ∂t + γ4w = ψ4 (на Γ4), w(0) = w , 1 ∂w (0) = w ∂t = u0. Пользуясь теми же общими приемами, которые были использованы выше, приходим к выводу, 0,Γ что искомое решение w = w(t) со значениями в Hˇ 1 1 (Ω) удовлетворяет уравнению - dw = A-1(f dt d2w dt2 )+ V2(ψ2 + μγ2 dw dt )+ V3(ψ3 - γ3 d2w dt2 )+ V4(ψ4 - γ4w). (3.43) Тогда возникает задача Коши (A-1 + V3γ3) d2w dt2 dw + (I - μV2γ2) dt 4 + V4γ4w = A-1f + \ Vk ψk , (3.44) k=2 w(0) = w0, dw (0) = w1 = u0. dt Эта задача после замены w = A-1/2η переходит в проблему (A-1 + B3) d2η dt2 dη + (I - μB2) dt 4 + B4η = A-1/2f + \ A1/2Vk ψk =: f (t), (3.45) k=2 η(0) = A1/2w0, dη (0) = A1/2w1 = A1/2u0. dt Осуществляя здесь еще одну замену dη dt = (A-1 + B3)-1ϕ, (3.46) приходим к задаче Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка: t dϕ r dt + (I - μB2)(A-1 + B3)-1ϕ + 0 4 B4(A-1 + B3)-1ϕ(s)ds = -B4A1/2w0 + A-1/2f + \ A1/2Vk ψk , k=2 (3.47) ϕ(0) = (A-1 + B3)A1/2w1. Чтобы исследовать проблему разрешимости задачи (3.47), сейчас понадобится одно утверждение, доказательство которого можно найти в [14, теоремы 1.3.2, 1.3.4, с. 21-25]. В несколько ослабленной форме оно выглядит следующим образом. Лемма 3.2. Пусть в задаче Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка, рассматриваемого в гильбертовом пространстве H, т. е. в задаче t du r dt = A0u + 0 G(t, s)A1u(s)ds + f (t), u(0) = u0, (3.48) выполнены следующие условия: 1◦. A0 является генератором аналитической полугруппы; 2◦. D(A1) ⊃ D(A0); 3◦. G(t, s), ∂G(t, s)/dt ∈ C(6T ; H), 6T := {(t, s) : 0 � s � t ∈ T }; 4◦. f (t) ∈ Cβ ([0,T ]; H), 0 < β � 1; 5◦. u0 ∈ D(A0). Тогда задача (3.48) имеет единственное сильное решение u(t) ∈ C([0,T ]; D(A0)) ∩ C1([0,T ]; H), (3.49) для которого все слагаемые в (3.48) являются элементами из C([0,T ]; H) и выполнено начальное условие. Воспользуемся леммой 3.2 применительно к задаче (3.47). В этой задаче оператор -(I - μB2)(A-1 + B3)-1 является генератором аналитической полугруппы, причем области определения этого генератора и оператора, стоящего под знаком интеграла, совпадают. Далее, можно считать, что в (3.47) G(t, s) ≡ I и потому выполнено условие 3◦ леммы 3.2. Отсюда приходим к следующему выводу. Лемма 3.3. Если в задаче (3.48) выполнены условия w ∈ H 0 ˇ 1 0,Γ1 0,Γ1 (Ω), w1 ∈ Hˇ 1 (Ω), (3.50) 0,Γ1 f (t) ∈ Cβ ([0,T ]; (Hˇ 1 (Ω))∗), ψk ∈ Cβ ([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, 4, 0 < β � 1, (3.51) то эта задача имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ], и для этого решения все слагаемые в уравнении (3.47) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2(Ω). Это утверждение позволяет установить такой факт. Теорема 3.4. Пусть в задаче (3.42) выполнены условия (3.50), (3.51), а также условие μ ∈/ σ(I - μB2). (3.52) Тогда эта задача имеет сильное решение 0,Γ1 w ∈ C2([0,T ]; (Hˇ 1 0,Γ1 (Ω))∗) ∩ C1([0,T ]; Hˇ 1 (Ω)), (3.53) для которого выполнены уравнение (3.42), где все слагаемые являются элементами из 0,Γ C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), граничные условия (3.42), где все слагаемые на Γk являются элементами из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, 4, а также начальные условия (3.42). Доказательство. При выполнении условий (3.50), (3.51) по лемме 3.3 задача (3.47), а потому и задача (3.45) имеют решения, для которых все слагаемые в этих уравнениях являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Тогда в силу условия (3.52) имеем dη/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). Отсюда получаем, H что в задаче (3.44), а потому и в (3.43) dw/dt ∈ C([0,T ]; ˇ 1 0,Γ1 (Ω)). Следовательно, L0(dw/dt) ∈ 0,Γ C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), ∂k (dw/dt) ∈ C([0,T ]; H� -1/2(Γk )). Далее устанавливаем, опираясь на представление (3.43), как и выше, что для w(t, x) выполнены уравнение и краевые условия (3.42), а потому в силу доказанных свойств в уравне- 0,Γ нии (3.42) все слагаемые - элементы из C([0,T ]; (Hˇ 1 1 (Ω))∗), а в граничных условиях - элементы из C([0,T ]; H� -1/2(Γk )), k = 2, 3, 4. Отсюда также приходим к выводу, что имеет место свойство (3.53) и, кроме того, свойство γ3w ∈ C2([0,T ]; H� -1/2(Γ3)). Наконец, выполнены также начальные условия (3.50). Отметим в заключение, что подход, продемонстрированный в данном разделе для спектральной задачи (2.1)-(2.2), можно применить и для спектральной задачи сопряжения (1.19)-(1.28): исследовать свойства ее решений на основе операторного пучка (1.31), (1.32), а также рассмотреть начально-краевые задачи, порождающие спектральную проблему (1.19)-(1.28). Автор благодарит проф. Копачевского Н. Д. за постановку задач, обсуждение возникающих здесь проблем и полезные советы.