Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений

Полный текст

Теория сингулярных дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя 1 d ν d Bν = xν dx x dx , и неразрывно связанная с ней теория соответствующих весовых функциональных пространств, бесспорно, относятся к тем математическим направлениям, теоретическое и прикладное значение которых трудно переоценить. И, как это и характерно для активно развивающихся направлений переднего края науки, она полностью подтверждает известный афоризм «основоположники учебников не пишут». Действительно, за последние четыре десятилетия прошлого века (в течение которых, собственно, эта теория и создана в современном виде) опубликовано значительное количество статей с абсолютно прорывными результатами, выращена достойная плеяда высококвалифицированных исследователей (достаточно отметить, что только докторских диссертаций защищено как минимум пять), а вот монография издана только одна - это фундаментальный труд основоположника этой науки Ивана Александровича Киприянова «Сингулярные эллиптические краевые задачи» (М., Наука, 1997). Это совершенно закономерно для этапа бурного развития новой научной области, однако в первые полтора десятилетия нынешнего века эта наука понесла тяжелейшие утраты - ушли из жизни и И. А. Киприянов, и такие её классики, как В. В. Катрахов и В. З. Мешков, и другие математики, упорно и талантливо развивавшие это направление. Настал новый этап, на котором крайне важно (разумеется, наряду с дальнейшим развитием науки) разбирать архивы учителей, сберегать их научное наследие и делать его доступным широкой математической общественности. Достойным примером такой деятельности является предлагаемая вниманию читателей монография - итог без преувеличения титанического труда С. М. Ситника по систематизации наследия своего учителя В.В. Катрахова. Этот труд начал еще сам Катрахов (более десяти лет назад), и вот теперь он, наконец, завершен. Очень бережная и кропотливая работа второго автора по сохранению наследия первого заслуживает самой высокой оценки (во многих местах текста даже сохранен неповторимый стиль изложения Катрахова, столь привлекавший его читателей и студентов), однако значение этого труда выходит за рамки простого разбора архива учителя: Ситник включил в монографию не только результаты Катрахова (в том числе - те, которые не были опубликованы при его жизни) и не только результаты, полученные в соавторстве с ним, но и собственные результаты, совершенно самостоятельно полученные за те почти десять лет, что Катрахова нет с нами. Указанные результаты образуют стройную и обоснованно структурированную книгу, посвященную одному из самых эффективных и (по-прежнему) перспективных методов изучения сингулярных задач киприяновского направления - методу операторов преобразования (сплетающих операторов). Безусловно, сфера применения этого метода отнюдь не исчерпывается сингулярными дифференциальными уравнениями. Однако, как показано в последние три десятилетия (в первую очередь - усилиями авторов монографии, предлагаемой вниманию читателей), для уравнений с операторами Бесселя он дает так много, что есть все основания считать операторы преобразования такой же органичной частью сингулярной теории, что и, скажем, весовые функциональные пространства Киприянова. Выход в свет этой книги, несомненно, станет событием математической жизни. А. Б. Муравник 214 В.В. КАТРАХОВ, С. М. СИТНИК ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Теория операторов преобразования является хорошо разработанным самостоятельным разделом математики. Значительный вклад в эту теорию и её приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными внесли работы воронежского математика Валерия Вячеславовича Катрахова (1949-2010), ученика Ивана Александровича Киприянова. К числу важных результатов В. В. Катрахова следует отнести исследование весовых и спектральных задач для дифференциальных уравнений и систем с операторами Бесселя с использованием техники операторов преобразования. Им также совместно с И. А. Киприяновым были введены и изучены уравнения с псевдодифференциальными операторами, которые определялись через преобразование Ханкеля при помощи операторов преобразования Сонина и Пуассона. Особо следует выделить введённый В. В. Катраховым новый класс краевых задач для уравнения Пуассона, решения которого могут иметь существенные особенности. На основе введённого им нового класса операторов преобразования, получаемых из известных операторов Сонина и Пуассона композициями с дробными интегралами Римана-Лиувилля, В. В. Катраховым были введены специальные функциональные пространства, содержащие функции с существенными особенностями, доказаны для них теоремы вложения, прямые и обратные теоремы о следах. Для функций без особенностей указанные пространства сводятся к пространствам С. Л. Соболева, таким образом являясь их прямыми обобщениями. Для корректности задач с существенными особенностями В. В. Катраховым было предложено новое естественное краевое условие во внутренней точке области, которое заключается в задании предела свёртки решения с некоторым сглаживающим ядром типа ядра Пуассона. Мы предлагаем называть это новое краевое условие «K-следом» в честь В. В. Катрахова, который ввёл это условие и подробно изучил краевые задачи с ним. В терминах «K-следа» получается полная характеризация решений уравнения Лапласа с внутренней особой точкой, в том числе для решений с существенными особенностями в этой точке. Для данной задачи в указанных функциональных пространствах В. В. Катраховым была доказана корректность постановки, включая существование и единственность решения, априорные оценки. Этот результат обобщает теоремы о разрешимости эллиптических уравнений в классах С. Л. Соболева для гладких решений без особенностей. Кроме того, в последующих работах В. В. Катрахова с соавторами были рассмотрены обобщения новых краевых задач для уравнений с операторами Бесселя и сингулярным потенциалом, для областей в пространствах Лобачевского и случая угловых точек на границе области. Краткое перечисление основных результатов В. В. Катрахова также приведено в [338, 339]. Данная монография составлена из результатов, вошедших в докторские диссертации В. В. Катрахова (1989 г.) и С. М. Ситника (2016 г.) (см., соответственно, [125] и [341]). Результаты второго автора (ученика) развивают результаты первого автора (учителя). Надеюсь, что публикуемая книга будет способствовать более широкой известности результатов В. В. Катрахова, которые представляют существенный интерес для теории вырождающихся и сингулярных дифференциальных уравнений, а также их разработке в русле идей и методов теории операторов преобразования. Кроме того, в книге отражён вклад Ивана Александровича Киприянова и созданной им Воронежской математической школы по сингулярным и вырождающимся дифференциальным уравнениям в развитие теории дифференциальных уравнений и теории функций. С. М. Ситник. Белгород-Воронеж, 2018. 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 215 ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ 1.1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ В последние десятилетия в связи с потребностями приложений возрос интерес к сингулярным и вырождающимся эллиптическим краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Основополагающей здесь была известная работа М. В. Келдыша [137], в которой на примере уравнения второго порядка со степенным вырождением были выявлены основные особенности постановки краевых условий для таких уравнений. Было показано, что при одних соотношениях между коэффициентами на характеристической части границы нужно ставить условие Дирихле (задача D), при других соотношениях это условие должно быть заменено на условие ограниченности решения (задача E). В последнем случае по терминологии С. М. Никольского и П. И. Лизоркина принято говорить о сильном вырождении соответствующей задачи. Аналог краевых задач D и E был изучен многими авторами для весьма общих эллиптических уравнений. Мы сошлемся в связи с этим на работы С. М. Никольского [264], С. М. Никольского, П. И. Лизоркина [212-214, 265], Л. Д. Кудрявцева [176], И. А. Киприянова [141-143], М. И. Вишика, В. В. Грушина [50], Л. А. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [297] и на монографии А. В. Бицадзе [26, 27], М. М. Смирнова [353], Х. Трибеля [369], где имеются подробные библиографии по данному вопросу. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. А. В. Бицадзе (см. [26, 27]) предложил в этом случае задавать на характеристической части не само решение или его нормальную производную, а их произведения с заранее подобранной весовой функцией. Такие задачи мы называем весовыми. Весовая задача Коши для гиперболических уравнений изучалась Ж. Л. Лионсом [566], Р. Кэрролом, Р. Шоуолтером [451] (см. также библиографию в этих книгах), а весовая краевая задача для эллиптических уравнений - А. А. Вашариным, П. И. Лизоркиным [42], Г. Н. Яковлевым [415], А. И. Янушаускасом [416] и многими другими авторами (см. монографию С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. М. Маричева [306] и библиографию в ней). В другой ситуации краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений (даже регулярных) эллиптических уравнений. Классические результаты в этой теории получены Н. Винером [645] и М. В. Келдышем [136]. Более современное состояние вопроса отражено в монографиях Н. С. Ландкофа [189], Е. М. Ландиса [187] и И. А. Шишмарева [409], а также в работах А. А. Новрузова [267], А. И. Ибрагимова [99]. Во всех указанных работах рассматривались в основном вопросы, связанные с нахождением условий, обеспечивающих устранимость особенностей. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [368]. При этом техника вырождающихся уравнений здесь не использовалась, так как постановка задачи приводит по сути дела к устранению особенности решения, а постановка весовых краевых условий без дополнительных ограничений на рост решения невозможна. Ещё раз подчеркнём, что первой фундаментальной работой, с которой начался отсчёт изучения вырождающихся и сингулярных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, является статья М. В. Келдыша [137] (задачи E и D). Мы понимаем сингулярные и вырождающиеся уравнения в том смысле, как они определены во введении в классической монографии [451]. Сингулярные, вырождающиеся и тесно связанные с ними уравнения смешанного типа можно объединить в один класс - неклассические уравнения математической физики, этот термин был предложен В. Н. Враговым [58]. Теория для уравнений указанных типов разрабатывалась многими математиками, в том числе С. Геллерстедом, М. Проттером, В. Радулеску, Ф. Трикоми, Г. Фикерой, Е. Хольмгреном, М. Чибрарио, С. А. Алдашевым, А. А. Андреевым, 216 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ Ф. Т. Барановским, А. В. Бицадзе, Б. А. Бубновым, А. А. Вашариным, И. Н. Векуа, М. И. Вишиком, В. Ф. Волкодавовым, В. Н. Враговым, В. П. Глушко, Г. В. Джаяни, И. Е. Егоровым, В. И. Жегаловым, А. Н. Зарубиным, В. А. Ильиным, А. М. Ильиным, Т. Ш. Кальменовым, М. Б. Капилевичем, А. А. Килбасом, С. Б. Климентовым, А. И. Кожановым, Л. Д. Кудрявцевым, П. И. Лизоркиным, О. И. Маричевым, Л. Г. Михайловым, С. Г. Михлиным, Е. И. Моисеевым, А. М. Нахушевым, Н. Я. Николаевым, С. М. Никольским, О. А. Олейник, Л. С. Парасюком, С. В. Поповым, С. П. Пулькиным, Л. С. Пулькиной, С. Г. Пятковым, А. Б. Расуловым, О. А. Репиным, К. Б. Сабитовым, М. С. Салахитдиновым, А. Л. Скубачевским, М. М. Смирновым, А. П. Солдатовым, С. Руткаускасом, С. А. Терсеновым, З. Д. Усмановым, В. Евг. Фёдоровым, В. Евс. Фёдоровым, Ф. И. Франклем, Л. И. Чибриковой, А. И. Янушаускасом и многими другими. Из многочисленной литературы укажем лишь ссылки [26, 75, 88, 89, 144, 230, 249, 260, 289, 295, 349-352, 354, 366, 370, 416, 451, 505, 600]. Специальный класс составляют функционально-дифференциальные уравнения, или, как их называют в частных случаях, дифференциально-разностные уравнения, дифференциальные уравнения с запаздывающим или отклоняющимся аргументом. Их теория была начата в работах А. Д. Мышкиса, Дж. Хейла, Г. А. Каменского, Л. Э. Эльсгольца и изложена в монографиях [76, 98, 253, 394, 411, 412], существенные результаты в этом направлении получены Н. В. Азбелевым, А. Л. Скубачевским, В. П. Максимовым, Л. Ф. Рахматуллиной, Л. Е. Россовским, А. Б. Муравником, укажем лишь ссылки [7, 40, 105, 252, 298, 299, 349, 351, 630]. Отметим использование функционально-дифференциальных уравнений в работах В. А. Рвачёва и В. Л. Рвачёва для определения специального класса атомарных функций, которые нашли важные приложения в теории приближений [292-294], а также в многочисленных прикладных задачах [173, 174]. Принципиальной отличительной чертой функционально-дифференциальных уравнений является наличие даже у модельных задач финитных решений, например, таких, как атомарные функции Рвачёвых, что невозможно по отдельности ни для чисто дифференциальных, ни для чисто разностных уравнений. К функционально-дифференциальным относится также важный класс уравнений с операторами Дункла, которые родственны дифференциальным операторам Бесселя и возникают на стыке теории групп и симметрий в них (группы Коксетера), дифференциальных уравнений и интегральных преобразований, а также квантовой физики и кристаллографии, см. [246, 478, 483-485, 503, 504, 605, 606, 641]. К классу функционально-дифференциальных уравнений также относятся задачи с инволютивным или Карлемановским сдвигом, см. [107, 216]. Особо отметим один класс уравнений с частными производными с особенностями, типичным представителем которого является B-эллиптическое уравнение с операторами Бесселя по каждой переменной вида n , Bν,x 1 n k=1 k u(x ,...,x ) = f, (1.1.1) аналогично рассматриваются B-гиперболические и B-параболические уравнения, эта удобная терминология была введена И. А. Киприяновым [144]. Изучение этого класса уравнений было начато в работах Эйлера, Пуассона, Дарбу, продолжено в теории обобщённого осесимметрического потенциала А. Вайнштейна (теория GASPT - Generalized Axially Symmetric Potential Theory, [646-648]), Л. Берса [430-432] и в трудах математиков С. А. Алдашева, И. Е. Егорова, Я. И. Житомирского, М. Б. Капилевича, Ш. Т. Каримова, Э. Т. Каримова, А. А. Килбаса, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизоркина, О. И. Маричева, М. И. Матийчука, Л. Г. Михайлова, М. Н. Олевского, С. П. Пулькина, М. М. Смирнова, С. А. Терсенова, А. Хасанова, Хе Кан Чера, А. И. Янушаускаса и других. Важность уравнений из этих классов определяется также их использованием в приложениях к задачам теории осесимметрического потенциала [646-648], уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) [56, 84], преобразованию Радона и томографии [256, 496, 572, 608-610], газодинамики и акустики [430-432], теории струй в гидродинамике (М. И. Гуревич [80]), линеаризованным уравнениям Максвелла-Эйнштейна (А. В. Бицадзе, В. И. Пашковский [28, 29]), механике, теории упругости и пластичности [83] и многим другим. В определённом приближении можно сказать, что указанные три класса дифференциальных уравнений по терминологии И. А. Киприянова в своё время были рассмотрены в трёх известных монографиях: B-эллиптические уравнения в монографии И. А. Киприянова [144], Bгиперболические уравнения в монографии Р. Кэрролла и Р. Шоуолтера [451], B-параболические 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 217 уравнения в монографии М. И. Матийчука [240]. Разумеется, в указанных книгах рассматриваются и многие другие вопросы. Наиболее полно весь круг вопросов для уравнений с операторами Бесселя был изучен воронежским математиком Иваном Александровичем Киприяновым и его учениками Л. А. Ивановым, В. В. Катраховым, А. В. Рыжковым, А. А. Азиевым, В. П. Архиповым, А. Н. Байдаковым, Б. М. Богачёвым, А. Л. Бродским, Г. А. Виноградовой, В. А. Зайцевым, Ю. В. Засориным, Г. М. Каганом, А. А. Катраховой, Н. И. Киприяновой, В. И. Кононенко, М. И. Ключанцевым, А. А. Куликовым, А. А. Лариным, М. А. Лейзиным, В. М. Ляпиным, Л. Н. Ляховым, А. Б. Муравником, И. П. Половинкиным, А. Ю. Сазоновым, С. М. Ситником, П. С. Украинским, В. П. Шацким, Э. Л. Шишкиной, В. Я. Ярославцевой; основные результаты этого направления представлены в [144]. Иван Александрович Киприянов (1923-2001) Для описания классов решений соответствующих уравнений И. А. Киприяновым были введены и изучены функциональные пространства [140], позднее названные его именем (см. монографии Х. Трибеля [369], Л. Д. Кудрявцева и С. М. Никольского [177], в которых пространствам Киприянова посвящены отдельные параграфы). Интересные результаты по изучению псевдодифференциальных операторов на основе операторов преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта были получены В. В. Катраховым [150], они также изложены в специально переработанном Р. Кэрролом виде в отдельной главе в монографии [446]. В работах И. А. Киприянова и Л. А. Иванова было начато исследование B-гиперболических уравнений, распадающихся на множители [101, 102, 145], а также изучены B-гиперболические уравнения в римановых пространствах и пространстве Лобачевского [146-149]. Фундаментальные решения для B-эллиптических уравнений были построены и изучены в работах И. А. Киприянова, В. И. Кононенко и А. А. Куликова [156-159]. Л. Н. Ляховым были рассмотрены весовые сферические функции, обобщённые потенциалы и гиперсингулярные интегралы, задачи для псевдодифференциальных уравнений с операторами Бесселя и некоторые обобщения преобразования Радона [218-220]. В работах А. Н. Байдакова были рассмотрены априорные оценки гёльдеровых норм решений квазилинейных B-эллиптических уравнений [15], в работах В. А. Зайцева были изучены распадающиеся на множители уравнения с особенностями в коэффициентах, а также предложен оригинальный способ исследования для них принципа Гюйгенса, что позволило по-новому осмыслить понятия «слабая лакуна», «принцип Гюйгенса» и «диффузия волн», введя понятие «принципа Гюйгенса порядка (p, q)», а также построить примеры уравнений, для которых выполняется принцип Гюйгенса в чётномерных пространствах, что до этих результатов считалось невозможным [95, 96]. В работах В. П. Шацкого были рассмотрены сингулярные и вырождающиеся системы первого порядка с особенностями [402-404]; в работах А. А. Ларина изучены различные задачи для преобразования Фурье-Бесселя [195] 218 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ и сингулярных дифференциальных уравнений [190-194]; в работах А. Б. Муравника рассмотрены свойства преобразования Фурье-Бесселя [584-588], сингулярные дифференциальные уравнения [589] и вопросы их стабилизации [250, 251]. В. В. Катраховым и С. М. Ситником рассмотрены краевые задачи с K-следом для стационарного уравнения Шрёдингера с сингулярным потенциалом [130]; С. М. Ситником разработан общий композиционный метод для построения различных классов операторов преобразования [331, 341, 500, 625, 645], введены новые классы операторов преобразования типа Бушмана-Эрдейи [316-319, 331, 337, 340, 341, 625, 627-629] и Векуа- Эрдейи-Лаундеса [330, 331, 331, 332, 625], с использованием полученных оценок для норм операторов Бушмана-Эрдейи установлена в простейшем одномерном случае эквивалентность норм пространств И. А. Киприянова и весовых пространств С. Л. Соболева, а также получены некоторые обобщения неравенства Харди, методом операторов преобразования изучены специальные случаи известной задачи Е. М. Ландиса о предельной скорости убывания решений стационарного уравнения Шрёдингера [310, 311, 316, 625], модифицирован известный метод построения операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя [320, 335, 336, 341, 625], построены в явном интегральном виде дробные степени оператора Бесселя и изучены их основные свойства [325, 326, 328, 329, 334, 348, 622, 625], совместно с Э. Л. Шишкиной рассмотрены приложения метода операторов преобразования к уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу [347, 621]. Кроме того, в работах И. А. Киприянова и математиков его школы были получены наиболее глубокие результаты для важного класса сингулярных дифференциальных уравнений с параметром. Как уже было отмечено выше, в [141, 144] И. А. Киприяновым были введены функциональные весовые пространства путём замыкания гладких и чётных по нормальному к границе направлению функций. Поскольку в процессе замыкания сохраняются не все следы (это характерный момент теории весовых пространств), то рассматриваемая в этих пространствах краевая задача [141-143] аналогична задаче типа E, причём с однородными краевыми условиями чётности. Кроме того, применение в качестве основного метода преобразования Фурье-Бесселя обусловило вещественность упомянутого параметра. Использованный нами другой подход позволил освободиться от всех этих ограничений и рассмотреть случай произвольного комплексного параметра, что не является формальным обобщением ни с точки зрения постановки краевых задач, ни с точки зрения приложений к физике. В отличие от [142, 143] мы изучаем общие неоднородные весовые краевые условия и, следовательно, рассматриваем сингулярные решения в новых, более широких функциональных пространствах. Если же применить наш метод при указанных выше ограничениях, то получающиеся при этом результаты совпадают, по-существу, с результатами И. А. Киприянова. Укажем в этом плане также на работу И. А. Киприянова, М. И. Ключанцева [155], в которой рассмотрены в случае вещественного параметра общие невесовые краевые условия, которые, однако, ставятся на нехарактеристической части границы, а в противном случае ставятся условия чётности. Задачи для операторно-дифференциальных (абстрактных) дифференциальных уравнений с операторами Бесселя, берущие начало в известной монографии [451], начали рассматриваться воронежскими математиками в работе А. В. Глушака, В. И. Кононенко, С. Д. Шмулевича [72], и затем последовательно изучались в работах А. В. Глушака [61-71, 73, 74]. В указанных работах А. В. Глушака для абстрактных дифференциальных уравнений рассматривались вопросы решения уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу, Бесселя-Струве, стабилизации решений, операторные косинус функции, функции Бесселя и Лежандра. Таким образом, к настоящему времени сложилась такая ситуация, что краевые задачи типа E глубоко и разносторонне изучены, весовые же краевые задачи рассмотрены лишь для довольно простых уравнений, причём только второго порядка. Другие постановки краевых условий для уравнений с сильным вырождением, которые заменяли бы весовые в случае невозможности постановки последних, с должной глубиной до сих пор не изучались. Такое положение, на наш взгляд, можно объяснить двумя причинами. Во-первых, обычные методы теории уравнений с частными производными мало приспособлены для решения указанных задач, а некоторые из них (например, вариационный метод для уравнений, не являющихся сильно эллиптическими) в принципе не применимы. Во-вторых, отсутствовала теория функциональных пространств, для которых имели бы место соответствующие теоремы о следах. Известные весовые функциональные пространства И. А. Киприянова (см. монографии С. М. Никольского [263], Л. Д. Кудрявцева [176]), обычно применяемые для вырождающихся уравнений, обладают тем свойством, что порядок особенности 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 219 функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и убывает с возрастанием гладкости. Последнее же обстоятельство неприемлемо в рассматриваемой нами ситуации. Поэтому, постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения являются актуальными. Кратко изложим содержание книги по главам с некоторыми комментариями и пояснениями. В первой главе, имеющей вводный характер, приводится план работы, краткий исторический очерк развития теории операторов преобразования, собраны основные сведения о специальных функциях, интегральных преобразованиях и функциональных пространствах. Во второй главе разработан аппарат операторов преобразования для одномерного и многомерного случаев, который используется в дальнейших главах (подробнее см. следующий параграф этой главы). Своим появлением метод операторов преобразования обязан работам Ж. Дельсарта, Ж.-Л. Лионса [564, 566], Б. М. Левитана [199], который дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Операторы Сонина и Пуассона нашли широкое применение в теории сингулярных гиперболических уравнений типа Эйлера-Пуассона- Дарбу (см. цитированные монографии Ж.-Л. Лионса, Р. Кэррола и Р. Шоуолтера). Ряд важных результатов в этом направлении для гиперболических уравнений получен И. А. Киприяновым и Л. А. Ивановым [146]. Заметим, что отдельные элементы этого метода в связи с применением метода сферических средних использовались еще при изучении задачи Коши для классического волнового уравнения (см., например, книгу Р. Куранта [181]). Соответствующие операторы преобразования применялись Г. Н. Положим [353] в теории обобщённых аналитических функций. Для других видов сингулярных уравнений операторы преобразования были построены М. И. Ключанцевым [164] (эти результаты являются частными случаями полученных ранее И. Димовски операторов преобразования для общего случая гипербесселевых операторов, см. [477, 479, 540]) и В. Я. Ярославцевой [418] (для гиперболических аналогов операторов Сонина и Пуассона в тригонометрической форме). В другой ситуации метод операторов преобразования был использован в спектральной теории уравнений Шрёдингера (см. монографии В. А. Марченко [237], К. Шадана, П. Сабатье [401] и библиографию в них). Подробные результаты для специального важного класса операторов преобразования типа Сонина и Пуассона изложены во второй главе. Мы используем исторически более точное название - операторы Сонина-Пуассона-Дельсарта (СПД). Такие операторы преобразования как интегральные относятся к классу дробных интегралов Эрдейи-Кобера. Почти одновременно с первыми работами Ж. Дельсарта, Х. Кобером [545] и А. Эрдейи [490] были введены другие операторы преобразования. История развития теории операторов Эрдейи- Кобера с достаточной полнотой изложена в монографии [306]. Круг приложения этих и связанных с ними операторов ограничивался в основном получением явных представлений классических решений краевых задач для уравнений второго порядка типа Эйлера-Пуассона-Дарбу. В этой книге метод операторов преобразования получает дальнейшее развитие. В первую очередь это связано с построением на их основе новых функциональных пространств типа пространств С. Л. Соболева. Ранее подобные конструкции с операторами преобразования не приводились, причём применение известных операторов преобразования для этих целей оказалось невозможным. В связи с этим в книге введены новые операторы преобразования, отличающиеся от изученных интегральных операторов на конечных промежутках Р. Бушманом, А. Эрдейи и другими. Некоторые новые результаты получены и для операторов Эрдейи-Кобера, например, соответствующие утверждения о весовых следах. Аналогичные определённые пробелы оставались в вопросах корректной постановки краевых задач, построении операторов преобразования и подборе подходящих функциональных пространств и в многомерном случае. Оператор Радона (подробно изученный в монографиях И. М. Гельфанда, М. И. Граева, Н. Я. Виленкина [60] и С. Хелгасона [395]) преобразует многомерный оператор Лапласа в одномерный оператор двукратного дифференцирования по радиальной переменной и является, к сожалению, в определенном смысле сглаживающим. В результате «достоинства» прямого преобразования перечёркиваются принципиальными «недостатками» обратного, в чём, по существу и заключаются основные трудности в теории обращения преобразования Радона и его 220 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ численных реализациях. Для определённого решения этой проблемы в книге подобран погашающий эту сглаживаемость множитель (дифференциальный оператор в нечётномерном пространстве и лиувиллевский - в чётномерном), и так сконструированный оператор преобразования применен для построения новых функциональных пространств. Заметим попутно, что используемая техника позволяет обойтись без использования проекционных пространств, обычно возникающих в теории преобразования Радона. Во второй главе изучаются в одномерном случае отображения введёнными операторами преобразования известных функциональных пространств, а также строятся новые пространства Hs (E1 ) , ν + даны обобщения этих пространств на многомерный случай. Здесь же, пользуясь одномерной спецификой, мы в ряде случаев получаем точные постоянные в оценках. В результатах такого рода мы будем нуждаться в последующих главах. В книгу включены лишь результаты по операторам преобразования и краевым задачам для дифференциальных уравнений. Тем же методом операторов преобразования были рассмотрены и другие вопросы, в частности, построена [117, 118, 129, 150] алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов и теория комплексных степеней сингулярных эллиптических операторов, обобщающая известные результаты В. А. Ильина [103], Ш. А. Алимова [8], Р. Т. Сили [615] на сингулярный случай. Касаясь теории введённых в книге двух классов функциональных пространств (гильбертовых и счётно-нормируемых), заметим, что ранее такого типа пространства, для которых справедливы теоремы о весовых или нелокальных следах, не изучались. При этом наши пространства нельзя отнести к классу весовых, поскольку при определении их норм использованы интегродифференциальные операторы. В первый из указанных классов вложены пространства, введённые И. А. Киприяновым [144], а во второй - пространства С. Л. Соболева [355]. В третьей главе подробно рассматриваются операторы преобразования из другого важного класса - Бушмана-Эрдейи и их модификации. Они содержат все ранее известные классы операторов преобразования и имеют многочисленные приложения. Введены операторы преобразования Бушмана-Эрдейи различных классов: первого и второго родов, нулевого порядка гладкости, унитарные операторы преобразования Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова. Среди приложений этих классов операторов преобразования рассмотрены свойства унитарности и оценки норм в лебеговых пространствах на полуоси, приложения к лемме Копсона и постановке задач Коши с нелокальными начальными условиями, связи с классическими операторами Харди, задача А. В. Бицадзе и В. И. Пашковского для уравнений Максвелла-Эйнштейна, доказательство в одномерном случае эквивалентности норм в пространствах И. А. Киприянова и С. Л. Соболева со степенным весом. В четвёртой главе излагаются основные результаты по весовым краевым задачам. Для уравнений высших порядков весовые краевые условия поставлены в данной книге впервые, эти результаты приведены в четвёртой главе. Основное их отличие от результатов М. В. Келдыша, С. М. Никольского, А. В. Бицадзе, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизоркина, И. А. Киприянова, М. И. Вишика, В. В. Грушина и других авторов, изучавших задачу E и её аналоги, заключается как в виде краевых условий, так и в их числе, поскольку у нас рассматривается число краевых условий, равное половине порядка уравнения. Всё это позволяет рассмотреть в отличие от указанных авторов вместе с регулярными и сингулярные решения. В случае отсутствия особенностей у коэффициентов уравнения весовая функция в краевых условиях исчезает, и наши результаты совпадают с классическими результатами общей теории эллиптических краевых задач (см. С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг [4], Л. Хермандер [397], Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес [215], О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева [184]). В первом пункте дается постановка весовой краевой задачи для однородных операторов с постоянными коэффициентами, которая методом операторов преобразования сводится к краевой задаче, изученной в предыдущем параграфе. Здесь следует отметить, что применяя операторы преобразования для уравнений с переменными коэффициентами, мы приходим, как это показано в работах [118, 150], вообще говоря, к псевдодифференциальным операторам, у которых символ по двойственным переменным имеет особенность высокого порядка на последней координатной гиперплоскости. Теория таких псевдодифференциальных операторов до сих пор не разработана. Поэтому в случае переменных коэффициентов мы пользуемся шаудеровой техникой, связанной 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 221 с «замораживанием» коэффициентов и последующей склейкой с применением разбиения единиц. В соответствии с этой методикой рассматривается краевая задача с маломеняющимися коэффициентами. Здесь пришлось преодолеть ряд технических трудностей как общего характера, так и связанных с весовым характером краевых условий и сингулярностью коэффициентов. Сравнивая представленные результаты с соответствующими результатами А. В. Бицадзе, А. А. Вашарина и П. И. Лизоркина, Г. Н. Яковлева, А. И. Янушаускаса и другими результатами по весовым краевым задачам для эллиптических уравнений второго порядка, нетрудно увидеть, что и в этом случае многие из наших результатов являются новыми. К ним, в частности, относятся основной результат о нётеровости, сам вид краевых условий (и их порядок), теорема о повышении гладкости и другие. Также замечено, что в некоторой ситуации, которая, по-видимому, ранее не рассматривалась, невозможна постановка весовой задачи типа Дирихле, а корректной при этом будет весовая задача типа Неймана, которая является в приводимых ниже физических примерах аналогом условий излучения Зоммерфельда. В пятой главе в книге изучается новая краевая задача для уравнения Пуассона с особенностью в изолированных граничных точках. В этих точках решению и правой части разрешается иметь произвольный рост. В случае однородного уравнения (Лапласа) никаких априорных ограничений на поведение решения вообще не накладывается, и поэтому его особенность может иметь тип существенной особенности аналитических функций. В такой общей ситуации все известные постановки краевых условий оказываются неприменимыми. В самом деле, в цитированных работах Н. Винера, М. В. Келдыша и в других работах этого направления изучались только устранимые особенности. В работе Н. С. Казаряна [104] у решения допускается наличие изолированных особенностей, но эти особые точки не являются изолированными граничными точками, кроме того порядок роста в них решения не может превышать степенного. Некоторые результаты в рассматриваемом нами направлении получены в работах В. М. Ивакина [100], Б. В. Квядараса [135], С. Руткаускаса [300-302] и ряде других. В связи с только что указанной задачей в книге вводится принципиально новое понятие (в определенном смысле нелокального) следа для функции, имеющей, вообще говоря, особенность в изолированных граничных точках, и строятся новые функциональные пространства типа Фреше, для которых оказываются справедливы соответствующие теоремы о следах. Основной результат здесь состоит в доказательстве однозначной разрешимости поставленной краевой задачи и устойчивости по Адамару в с смысле указанных пространств. В терминах введённого следа дана также классификация изолированных особенностей гармонических функций. Отметим, что тем же методом аналогичные результаты для других уравнений получены в работах [130, 151]. Свёрточный характер рассматриваемого краевого условия позволяет отнести данный класс задач как к нелокальным, так и к нагруженным с заданием специального следа решений на части границы. Более конкретно, пусть Ω ⊂ En - ограниченная область с гладкой границе ∂Ω. Не ограничивая общности, предположим, что начало координат принадлежит области. Пусть Ω0 = Ω \ 0. Рассмотрим в Ω0 уравнение Пуассона с краевым условием Дирихле на ∂Ω Δu = f (x), x ∈ Ω0, (1.1.2) u|∂Ω = g(x), x ∈ ∂Ω. (1.1.3) Проблема, решаемая в пятой главе, состоит в постановке такого краевого условия в точке 0 и в выборе таких функциональных пространств, в которых краевая задача была бы однозначно разрешима. При этом на порядок особенности решения в точке 0 не накладывается никаких ограничений. Такая ситуация встречается в классических задачах электростатики. Пусть, например, пространственная область Ω0 свободна от зарядов (f = 0) и окружена заземленной поверхностью (g = 0). Тогда функция u будет потенциалом электростатического поля, созданного помещенным в точку 0 заряженным объектом. Если таким объектом будет просто единичный заряд, то функция u называется в этом случае функцией Грина. Она имеет особенность вида |x|2-n при n ;:? 3 и ln |x| при n = 2. При помещении в точку 0 диполя порядок особенности функции u увеличится на единицу и т. д. В общем случае, помещая в точку 0 бесконечную комбинацию мультиполей 222 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ различных порядков, получим у функции u особенность бесконечного порядка. Более того, поведение функции u в окрестности нуля аналогично поведению аналитической функции в окрестности существенно особой точки. Известные функциональные пространства и известные постановки краевых условий в исследуемой ситуации непригодны. Например, функции с существенной в точке особенностью не входят даже в классы распределений Л. Шварца [51]. Уравнение (1.1.2) в сферических координатах x r = |x|, ϑ = |x| принимает вид ∂2u n - 1 ∂u 1 ∂r2 + + ΔΘu = f (r, ϑ) , (1.1.4) r ∂r r2 где ΔΘ - оператор Лапласа-Бельтрами на сфере. Постановка краевой задачи E для такого уравнения хотя и возможна, однако приводит (при гладкой функции f ) к устранимой особенности решения. Это нетрудно установить классическими приёмами (см. [368]). Постановка весовых краевых условий невозможна, поскольку уравнение (1.1.4) хотя и относится к классу известных вырождающихся уравнений, рассмотренных М. В. Келдышем, но в нашем случае параметр p = 2, а для возможности постановки весовых краевых условий необходимо p < 2. Отображение точки 0 в бесконечность преобразованием Кельвина [368] также не меняет сути дела, поскольку внешние краевые задачи такого рода не изучались. Наоборот, это преобразование позволяет перенести полученные ниже результаты на внешние краевые задачи, причём на порядок роста решения в бесконечности не накладывается никаких ограничений. В настоящей работе в точке 0 ∈ ∂Ω0 для решения u ставится нелокальное краевое условие следующего вида: lim r→+0 r rn-2 Θ u (r, ϑ∗) Kn (rϑ, ϑ∗) dϑ∗ = Ψ (ϑ∗) , (1.1.5) где n ;:? 3 и Kn(x, y) является ядром Пуассона, ассоциированным с единичной сферой, то есть Γ ( n ) 1 - |x|2 Kn(x, y) = 2 n 2π 2 |x - y|n , x, y ∈ En. При n = 2 в полярных координатах x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ соответствующее краевое условие имеет вид lim π 1 r u (r, ϕ∗) + 2r cos (ϕ - ϕ∗) - 2r2 1 dϕ∗ = Ψ (ϕ) . (1.1.6) r→+0 2π -π 1 - 2r cos (ϕ - ϕ∗)+ r2 ln r Суть условий (1.1.5), (1.1.6) заключается в предварительном усреднении с подходящим ядром функции u (r, ϑ) при фиксированном r > 0 по угловым переменным ϑ. После этого возможен предельный переход по r → 0. Выражение, стоящее слева в (1.1.5) или (1.1.6), будем называть σ-следом (или K-следом в честь В. В. Катрахова, который ввёл это условие) и обозначать символом σu|0 (или Ku|0). K-след отличен от нуля лишь для функций, имеющих в точке 0 особенность, порядок которой не меньше порядка особенности фундаментального решения уравнения Лапласа. Оказывается, у любой гармонической в окрестности точки 0, исключая саму эту точку, функции σ-след существует и он однозначно определяет её сингулярную часть. Для строгой формулировки этого утверждения вводится пространство A (Θ) , состоящее из вещественно-аналитических на сфере Θ функций Ψ, для которых конечны при любом h > 0 нормы 1 , , / ∞ dk 2 где ±Ψ±h = Ψk,l = |Ψk,l|2h-2k k=0 l=1 r Ψ (ϑ) Yk,l (ϑ) dϑ, Θ , (1.1.7) через Yk,l обозначена полная ортонормированная система сферических гармоник. Таким образом, к основным результатам пятой главы относятся: постановка краевых задач для уравнения Пуассона с изолированными особыми точками, решения которого могут иметь в этих 2. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ И СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 223 точках существенные особенности, введение новых нелокальных краевых условий в особых точках в форме σ-следа (или K-следа), определение соответствующих функциональных пространств с использованием операторов преобразования, доказательство прямых и обратных теорем о следах, доказательство корректности рассматриваемых краевых задач во введённых функциональных пространствах. Далее, в шестой главе излагается универсальный композиционный метод построения операторов преобразования и приведены его приложения. В этом методе операторы преобразования строятся как из «кирпичиков» из классических интегральных преобразований. На этом пути удаётся единым способом построить как все уже известные явные представления для операторов преобразования, так и получить их многочисленные новые классы. Наконец, в заключительной седьмой главе рассмотрены некоторые приложения метода операторов преобразования к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. Сначала мы рассматриваем задачу о построении нового класса операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя с использованием модифицированного интегрального уравнения для ядра. При этом получены точные оценки ядер через специальные функции, расширен возможный класс допустимых потенциалов, которые включают потенциалы Баргмана, Юкавы, а также сильно сингулярные потенциалы. Для частных случаев потенциалов установленные общие оценки уточнены. Затем рассматривается известная задача Е. М. Ландиса об оценке экспоненциальной скорости убывания решений стационарного уравнения Шрёдингера, см. [188]. Несмотря на общий отрицательный ответ в этой задаче, полученный В. З. Мешковым [244, 245], оказывается, что для некоторых потенциалов специального вида гипотеза Е. М. Ландиса выполняется. Интересно, что этот результат получен также с использованием техники операторов преобразования с ядрами специального вида. 1.2. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ И СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Начнём с основного определения. Определение 1.2.1. Пусть дана пара операторов (A, B). Ненулевой оператор T называется оператором преобразования (ОП, transmutation), если выполняется соотношение T A = B T. (1.2.1) Соотношение (1.2.1) называется иначе сплетающим свойством, тогда говорят, что ОП T сплетает операторы A и B (intertwining operator). Для превращения (1.2.1) в строгое определение необходимо задать пространства или множества функций, на которых действуют операторы A, B, T. Обычно в определение ОП закладывают также требования обратимости и непрерывности, которые являются желательными, но не обязательными условиями. В конкретных реализациях операторы A и B чаще всего (но не обязательно!) являются дифференциальными, T - интегральный линейный непрерывный оператор на стандартных пространствах. Ясно, что понятие ОП является прямым и далеко идущим обобщением понятия подобия матриц из линейной алгебры [59, 371, 398]. Следует отметить, что не существует эффективных методов проверки подобия двух конечных матриц, так как не существует эффективных способов проверки совпадения их Жордановых форм, кроме прямого вычисления. Вместе с тем ОП не сводятся к подобным (или эквивалентным) операторам, так как сплетаемые операторы как правило являются неограниченными в естественных пространствах, к тому же обратный к ОП не обязан существовать, действовать в том же пространстве или быть ограниченным. Так что спектры операторов, сплетаемых ОП, как правило не совпадают. Кроме того, сами ОП могут быть неограниченными. Так бывает, например, в теории преобразований Дарбу, предметом которой является нахождение дифференциальных операторов преобразования (подстановок или замен) между парой дифференциальных же операторов, таким образом в этом случае все три рассматриваемых оператора являются неограниченными в естественных пространствах. При этом теория преобразований Дарбу как соответствующий раздел теории дифференциальных уравнений также вписывается в общую схему теории операторов преобразования при её расширенном 224 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ понимании. Операторы в паре, для которой ищется ОП, не обязаны быть только дифференциальными. В теории ОП встречаются задачи для следующих разнообразных типов операторов: интегральных, интегро-дифференциальных, дифференциально-разностных (например, типа Дункла), дифференциальных или интегро-дифференциальных бесконечного порядка (например, в вопросах, связанных с леммой Шура о дополняемости), общих линейных в фиксированных функциональных пространствах, псевдодифференциальных и операторно-дифференциальных (абстрактных дифференциальных). Для примера кратко изложим модельную схему, иллюстрирующую использование операторов преобразования для получения формул связи между решениями возмущённого и невозмущённого уравнений, для которых доказано сплетающее свойство. Пусть, например, мы изучаем некоторый достаточно сложно устроенный оператор A. При этом нужные свойства уже известны для модельного более простого оператора B. Тогда, если существует ОП (1.2.1), то часто удаётся перенести свойства модельного оператора B и на A. Такова в нескольких словах примерная схема типичного использования ОП в конкретных задачах. В частности, если рассматривается уравнение Au = f с оператором A, то применяя к нему ОП T со сплетающим свойством (1.2.1), получаем уравнение с оператором B вида Bv = g, где обозначено v = Tu, g = Tf. Поэтому, если второе уравнение с оператором B является более простым, и для него уже известны формулы для решений, то мы получаем и представления для решений первого уравнения u = T -1v. Разумеется, при этом обратный оператор преобразования должен существовать и действовать в рассматриваемых пространствах, а для получения явных представлений решений должно быть получено и явное представление этого обратного оператора. Таково одно из простейших применений техники ОП в теории дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. При этом следует отметить, что при наличии пары линейных ОП они осуществляют одновременно связь и представление решений как для однородных, так и для неоднородных уравнений, а также для уравнений со спектральным параметром. Сделаем терминологические замечания. В западной литературе принят для ОП термин «transmutation», восходящий к Ж. Дельсарту. Как отмечает Р. Кэрролл, похожий термин «transformation» при этом закрепляется за классическими интегральными преобразованиями Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля и другими подобными им. Кроме того, термин «transmutation» имеет в романских языках дополнительный оттенок «волшебного превращения», что довольно образно характеризует действие ОП. Приведём дословную цитату из [447]: «Such operators are often called transformation operators by the Russian school (Levitan, Naimark, Marchenko et. al.), but transformation seems too broad a term, and, since some of the machinery seems “magical” at times, we have followed Lions and Delsarte in using the word transmutation». Лучше и точнее не скажешь. Название «операторы преобразования» на русском языке было предложено в 1940-е годы В. А. Марченко [239]. Необходимость теории операторов преобразования доказана большим числом её приложений. Особую роль методы операторов преобразования играют в теории дифференциальных уравнений различных типов. С их помощью были доказаны многие фундаментальные результаты для различных классов дифференциальных уравнений. В настоящее время теория операторов преобразования представляет собой полностью оформившийся самостоятельный раздел математики, находящийся на стыке дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функций, комплексного анализа, теории специальных функций и дробного интегродифференцирования, гармонического анализа, теории оптимального управления, обратных задач и задач рассеяния. В развитии теории операторов преобразования можно условно выделить три основных периода. В первом начальном периоде становления теории операторов преобразования закладывались базовые идеи и определения, их источником была теория подобия конечных матриц [59, 371, 398], отдельные результаты по подобию операторов, а также некоторые результаты для простейших дифференциальных уравнений. Считается, что идея операторов преобразования в операторной формулировке была высказана Фридрихсом [388]. На самом деле метод операторов преобразования для получения представлений решений дифференциальных уравнений был разработан и впервые применён намного раньше в 19 веке в работах А. В. Летникова, кроме того это было и 1.2. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ И СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 225 по существу первое реальное применение дробного интегродифференцирования как ОП к задачам дифференциальных уравнений [410, 549]. Второй период условно продолжался в течение 1940-1980 гг., его можно назвать классическим. В этот период были получены многочисленные результаты в теории операторов преобразования и их приложениям. Перечислим основные направления и результаты этого периода. Методы операторов преобразования были с успехом применены в теории обратных задач, определяя обобщённое преобразование Фурье, спектральную функцию и решения знаменитого уравнения Гельфанда-Левитана (З. С. Агранович, В. А. Марченко [5, 231-237], Б. М. Левитан [198-205]); в теории рассеяния через операторы преобразования выписывается не менее знаменитое уравнение Марченко (Б. М. Левитан [198-205], В. А. Марченко [5, 236, 237], Л. Д. Фаддеев [381, 383]); для обоих классов обратных задач операторы преобразования являются основным инструментом, так как перечисленные классические уравнения выписываются для ядер операторов преобразования, а значения ядер на диагонали восстанавливают неизвестные потенциалы в обратных задачах по спектральной функции или данным рассеяния [30, 167, 185, 186, 261, 262, 269, 401]. Для операторов Штурма-Лиувилля были построены ставшие классическими ОП на отрезке (А. Я. Повзнер [277]) и полуоси (Б. Я. Левин [196]). В спектральной теории были получены известные формулы следов и асимптотика спектральной функции (В. А. Марченко [236, 237], Б. М. Левитан [198-205]); оценки ядер операторов преобразования, отвечающие за устойчивость обратных задач и задач рассеяния (В. А. Марченко [5, 236, 237]); оценки решений Йоста в квантовой теории рассеяния (З. С. Агранович, В. А. Марченко [5, 236, 237], Б. М. Левитан [198-205], В. В. Сташевская [363, 364], А. С. Сохин [359-362]). В результате применения ОП можно сказать, что теория операторов Штурма-Лиувилля с переменным коэффициентом была тривиализирована до уровня простейшего уравнения с тригонометрическими или экспоненциальными решениями. Также была исследована система Дирака и другие матричные системы дифференциальных уравнений (Б. М. Левитан, И. С. Саргсян [205]). Была развита теория обобщённых аналитических функций, которую можно трактовать как раздел теории операторов преобразования, сплетающих невозмущённые и возмущённые уравнения Коши-Римана (Л. Берс [430, 432], С. Бергман [21], И. Н. Векуа [46, 47], Б. Боярский [33], Г. Н. Положий [278-280]) с приложениями в задачах механики, теории упругости и газодинамики. На основе методов операторов преобразований был создан новый раздел гармонического анализа, изучающий различные модификации операторов обобщённого сдвига и обобщённых операторных свёрток (Ж. Дельсарт [469, 470, 473], Я. И. Житомирский [92], Б. М. Левитан [201, 202]). Была установлена глубокая связь операторов преобразования с теоремами типа Пэли-Винера (В. В. Сташевская [363, 364], А. И. Ахиезер [10], Х. Шабли [454-457], Х. Тримеш [636, 637]). Теория операторов преобразования позволила дать новую классификацию специальных функций и интегральных операторов со специальными функциями в ядрах (Р. Кэрролл [445-447], Т. Корвиндер [549]). При этом нахождение ядер ОП использует существование и явный вид функций Грина или Римана для различных классов дифференциальных уравнений [54, 55, 356], стимулируя нахождение этих функций для различных задач. В теории нелинейных дифференциальных уравнений был разработан метод Лакса, который использует операторы преобразования для доказательства существования решений и построения солитонов [2, 94, 97, 448], также широкие применения нашли преобразования Дарбу [576], которые можно рассматривать как операторы преобразования, в которых и сплетаемые и сплетающий операторы являются дифференциальными; о связи теорий преобразования Дарбу и ОП см. обзор [14]. В квантовой физике при рассмотрении уравнения Шрёдингера и задач теории рассеяния был изучен специальный класс операторов преобразования - волновые операторы. Рассмотрение общих задач рассеяния и обратных задач с точки зрения ОП изложено в обзорах [239, 381, 383]. В работе [134] волновые операторы построены для задач теории рассеяния с потенциалом Штарка, к сожалению эта работа В. П. Качалова и Я. В. Курылёва 1989 г. практически забыта, например, в сборнике [425] 1995 г. в статье [562] Б. М. Левитан формулирует задачу о построении соответствующего оператора преобразования как нерешённую. В самой теории ОП были обнаружены ограничения, связанные с порядком дифференциального оператора. Так, для дифференциальных операторов порядков выше третьего было показано, 226 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ что классические ОП в форме Вольтерра существуют только для аналитических коэффициентов (В. И. Мацаев [242], Л. А. Сахнович [307-309], М. М. Маламуд [224-228]), а в общем случае ОП имеют более сложную структуру, требующую выхода в комплексную плоскость даже для построения действительных решений (А. Ф. Леонтьев [208], Ю. Н. Валицкий [39], И. Г. Хачатрян [391, 392], М. М. Маламуд [224-228], А. П. Хромов [399]). Вместе с тем в пространствах аналитических функций была доказана эквивалентность дифференциальных операторов одного порядка и изучен целый ряд задач (Д. К. Фаге [374-380], В. А. Марченко [233-235], Ю. Ф. Коробейник [168, 169], М. К. Фишман [387]). С целью применения к теории ОП была построена теория разрешимости для известного уравнения Бианки (Д. К. Фаге [380]). Отдельной областью применения ОП стала теория дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах, прежде всего с операторами Бесселя d2u 2ν +1 du Bνu(x) = dx2 + . (1.2.2) x dx На первоначальном этапе исследований уравнений этого класса применялась пара известных ОП Сонина и Пуассона (см. определения в главе 1, подробное рассмотрение в главе 2). Как ОП эти операторы впервые были введены в работах Жана Дельсарта [469-472], а затем на основе идей Дельсарта их изучение продолжилось в работах Дельсарта и Лионса [473-475, 564-566]. Поэтому мы будем использовать термин ОП Сонина-Пуассона-Дельсарта (СПД). Об операторах СПД см. также известную статью Б. М. Левитана [199], во многом основанную на классических результатах Дарбу. Ж. Дельсартом на базе ОП СПД было введено фундаментальное понятие операторов обобщённого сдвига (ООС, см. определение). Были разработаны многочисленные конструкции обобщённого гармонического анализа, основанные на определениях обобщённого сдвига и вводимых с его помощью групповых структурах. Направление обобщённых почти-периодических функций с использованием ОП типа СПД и ООС было заложено в работах Ж. Дельсарта 1938 г. [469, 470] и продолжено Дельсартом и Лионсом в [474, 475, 564-566]. Этот круг вопросов параллельно был исчерпывающе изучен в работах Б. М. Левитана 1940 г., и особенно 1947-1949 гг., результаты вошли в его классические монографии [200-202]. (Отметим неточности в статье Большой Советской Энциклопедии «Почти периодическая функция». Там имя Дельсарта не упоминается, а работы Б. М. Левитана датированы 1938 г. Насколько известно автору, первая печатная работа Б. М. Левитана на немецком языке вышла в 1940 г.). Также в работах Жана Дельсарта были впервые построены разложения по обобщённым рядам Тэйлора, справедливо названных рядами Тэйлора-Дельсарта [198, 201, 202, 470, 473], такие ряды изучаются до сих пор во многих работах, см., например, [518]. Следует отметить, что первоначальным источником и прототипом большинства вариантов обобщённого гармонического анализа были операторы Бесселя и связанные с ними дифференциальные уравнения. Огромную роль конструкции ОП и ООС сыграли в теории уравнений с частными производными, см. краткий исторический обзор В. А. Марченко [239]. ОП позволяют преобразовывать более сложные уравнения в более простые, ООС помогают в сингулярных уравнениях переносить особенность из начала координат в произвольную точку, а также с их использованием можно строить фундаментальные решения, а затем с помощью обобщённой свёртки интегральные представления для решений соответствующих дифференциальных уравнений. Рассматривались также ОП для многочисленных обобщений оператора Бесселя. Важным обобщением операторов Сонина-Пуассона-Дельсарта являются ОП для гипербесселевых функций. Теория таких функций была первоначально заложена в работах Куммера и Делерю. Полное исследование гипербесселевых функций, дифференциальных уравнений для них и соответствующих операторов преобразования было исчерпывающе проведено в работах И. Димовски и его учеников [477, 479, 480]. Соответствующие ОП заслуженно получили в литературе названия ОП Сонина-Димовски и Пуассона-Димовски, они также изучались в работах ученицы И. Димовски - В. Киряковой [479, 480, 539-542, 544]. В теории гипербесселевых функций, дифференциальных уравнений и операторов преобразования для них центральную роль играет знаменитое интегральное преобразование Обрешкова, введённое болгарским математиком Н. Обрешковым. Это преобразование, ядро которого выражается в общем случае через G-функцию Майера, является 1.2. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ И СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 227 одновременным обобщением преобразований Лапласа, Меллина, синуси косинус-преобразований Фурье, Ханкеля, Майера и других классических интегральных преобразований. Различные формы гипербесселевых функций, дифференциальных уравнений и операторов преобразований для них, а также частные случаи преобразования Обрешкова многократно впоследствии переоткрывались. По мнению автора, преобразование Обрешкова, наряду с преобразованиями Фурье, Меллина и Лапласа относится к небольшому числу фундаментальных, из которых, как из кирпичиков, складываются многие другие преобразования, а также основанные на них конструкции и приложения. Преобразование Обрешкова было исторически первым интегральным преобразованием, ядро которого выражается через G-функцию Майера, но не выражается через одну (!) обобщённую гипергеометрическую функцию. Аналогично было введено сербским математиком Б. Станковичем другое важное интегральное преобразование - преобразование Станковича - ядро которого выражается через H-функцию Райта-Фокса, но не выражается через более простую G-функцию Майера, преобразование Станковича находит важные применения при изучении дифференциальных уравнений дробного порядка типа дробной диффузии [170, 171, 286, 287, 489]. Вместе с тем были построены аналогичные ОП и для некоторых других модельных операторов, например, таких [418, 419, 445-447]: 1 d A = v(x) d , (1.2.3) v(x) dx dx v(x) = sin2ν+1 x, sh2ν+1 x, (ex - e-x)2ν+1(ex + e-x)2μ+1. (1.2.4) Важность операторов A вида (1.2.3) для теории заключается в том, что по знаменитой формуле Гельфанда они представляют радиальную часть оператора Лапласа на симметрических пространствах [396]. При этом оператор Бесселя получается при выборе в (1.2.3) v(x) = x2ν+1. Другим модельным оператором, для которого построены ОП, является оператор Эйри D2+x, рассматривался также его возмущённый вариант, связанный с эффектом Штарка из квантовой механики [134], и случай возмущённого оператора Хилла с периодическим потенциалом [562]. Были изучены операторы сдвига по спектральному параметру Векуа-Эрдейи-Лаундеса [569-571]. К третьему современному периоду развития теории ОП можно отнести работы с 1990-х годов и до настоящего времени, за этот период были получены и продолжают появляться многие важные исследования, см., например, обзоры [239, 331, 340, 450, 562, 625, 627, 628] и диссертацию [341]. Перечислим некоторые из направлений исследований, связанных с применением методов операторов преобразования. Продолжено развитие теории обобщённых аналитических функций (А. П. Солдатов [357], С. Б. Климентов [160-163], В. В. Кравченко [554]). Были найдены приложения операторов преобразования к вложениям функциональных пространств и обобщению операторов Харди [318, 319, 331, 340, 625, 627, 628], построению различных конструкций обобщённого сдвига и основанным на них обобщённых вариантов гармонического анализа, см. обзор [239], а также А. Д. Гаджиев [502], В. Гулиев [78, 79], С. С. Платонов [274-276], Л. Н. Ляхов [218-223]. В работах Ф. Г. Мухлисова и его учеников рассматривались задачи для B-потенциалов. В работах Э. Л. Шишкиной исследованы теоремы о среднем типа Айсгерссона, новые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, построены новые классы потенциалов типа Рисса с B-гиперболическими и ультрагиперболическими операторами, рассмотрены применения этих результатов для соответствующих типов дифференциальных уравнений [405-408, 616-622]. Продолжилось применение ОП и родственных методов в теории обратных задач и теории рассеяния [38, 239, 291, 414, 453, 596]. Для дифференциальных уравнений продолжается развитие метода Дарбу и его модификаций [106, 576]. Были рассмотрены новые классы задач для решений с существенными особенностями на части границы во внутренних или угловых точках (В. В. Катрахов [119, 122-127], И. А. Киприянов [153, 154]), получены точные оценки скорости убывания решений некоторых эллиптических и ультраэллиптических уравнений (В. З. Мешков [244, 245, 316]). Отдельной тематикой стало использование ОП при исследовании различных операторов дробного интегродифференцирования (И. Димовски, В. Кирякова [420, 477, 479, 480, 539-542, 544], Н. А. Вирченко [49, 642, 643], а также [426, 500, 621, 622]). Было продолжено с использованием методов ОП изучение сингулярных и вырождающихся краевых задач, псевдодифференциальных операторов (В. В. Катрахов [119, 122-127], И. А. Киприянов [153, 154], Хе Кан Чер [393], Л. Н. Ляхов [219, 220], О. А. Репин [190-195, 295]), операторных уравнений (А. В. Глушак [61-73], 228 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В. Е. Фёдоров [384, 385]). Уравнения с оператором Бесселя и связанные с ними вопросы изучают А. В. Глушак [61-74], В. С. Гулиев [78, 79], Л. Н. Ляхов [218-223], Л. С. Пулькина [290], К. Б. Сабитов [305], В. В. Кравченко [444, 452, 551-560] со своими коллегами и учениками, а также А. Б. Муравник (дифференциально-функциональные уравнения, стабилизация решений [250-252], свойства преобразований Фурье-Бесселя [587, 588]), В. В. Волчков [644], И. П. Половинкин (теоремы о среднем для уравнений с операторами Бесселя [221-223]), Э. Л. Шишкина (Bгиперболические потенциалы и обобщённые средние [221-223, 405-408, 616-622]), Ш. Т. Каримов [108-111, 519], А. Хасанов [611], Э. Т. Каримов [513], Т. Г. Эргашев [413], И. Б. Гарипов, Н. В. Зайцева, Р. М. Мавлявиев, Ф. Г. Хуштова и другие. В последнее время также разработаны эффективные численные методы для применения операторов преобразования при расчётах решений дифференциальных уравнений, их собственных функций и спектральных характеристик (В. В. Кравченко, С. Торба [444, 452, 551-560]), эти методы основаны на разработанном В. В. Кравченко методе представления решений уравнений Штурма- Лиувилля и их обобщений с операторами Бесселя или Дирака (метод SPPS - Spectral Parameter Power Series). Отметим, что идея представления ядер операторов преобразований рядами как альтернатива интегральному представлению ОП является естественной, так как ядра получаются методом последовательных приближений, то есть в виде рядов Неймана. Другое представление ОП в виде рядов с использованием обобщённых базисов изучено в [380]. Для возмущённых уравнений Бесселя с переменным потенциалом подробное изучение представлений ядер ОП в виде рядов получено в [458, 499]. Отдельный класс задач составляют задачи типа Дирихле-Нейман, Нейман-Дирихле, при которых оператор преобразования действует на краевые или начальные условия, сохраняя дифференциальное выражение; такие задачи нашли важные приложения в механике (О. Э. Яремко [13, 417]), кроме того этот класс задач тесно связан со спектральной теорией и теорией вероятностей. Достаточно законченные модификации гармонического анализа для операторов Бесселя построены в работах С. С. Платонова [274-276], для возмущённого оператора типа Бесселя с переменными коэффициентами - в работах Х. Тримеша [638-640], в последнее время активно создаётся гармонический анализ для дифференциально-разностных операторов типа Дункла [246, 478, 483-485, 503, 504, 604-606, 641] на основе соответствующих обобщений операторов СПД. Наличие благодаря ОП соответствующих ООС позволяет также определить обобщённую свёртку, новые алгебраические и групповые структуры, рассматривать различные задачи аппроксимации функций [425]. Идеи М. К. Фаге, развитые для уравнения Бианки в связи с построением ОП для дифференциальных уравнений высоких порядков, нашли своё продолжение в исследовании более общих уравнений в работах В. И. Жегалова, А. Н. Миронова, Е. А. Уткиной [90, 91]. В теории уравнений дробного порядка появились работы, которые можно трактовать как метод ОП для представления решений уравнений дробного порядка через решения уравнений целого порядка (так называемый принцип субординации - Я. Прусс, А. Н. Кочубей, Э. Бажлекова, А. Псху). ОП находят применения в теории преобразования Радона и математической томографии [256, 396, 496, 608-610], а также при разложении функций в различные ряды по специальным функциям [518]. В работах В. А. Марченко продолжилось применение ОП к квантовой теории [238, 239]. Теория ОП также связана с вопросами факторизации дифференциальных операторов (Л. М. Беркович [23], А. Б. Шабат). При изучении групповых свойств дифференциальных уравнений важное значение имеет лемма Шура о дополняемости, которую можно трактовать как существование формального ОП между оператором дробного интегрирования и некоторым дифференциальным оператором бесконечного порядка, подобная задача рассматривалась ещё в учебнике Н. Бурбаки [35]. В последних работах Р. Кэрролла была сделана попытка построения «квантовых» ОП для q-дифференциальных операторов [449]. Разные задачи, использующие идеи ОП или родственные методы, также рассматривались в [9, 16, 389, 510, 518, 575, 613]. Возможность, чтобы исходная и преобразованная функции принадлежали различным пространствам, что принято подчёркивать использованием различных обозначений для переменных, позволяет включить в общую схему ОП все классические интегральные преобразования: Фурье, Лапласа (на самом деле Петцваля), Меллина, Ханкеля, Вейерштрасса, Конторовича-Лебедева, Фока, Обрешкова, Станковича и другие [17, 18, 271]. При вычислении интегралов, необходимых 1. КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ И СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 229 для реализации метода ОП, фундаментальные приложения нашла теорема Слейтер-Маричева, соединившая методы преобразования Меллина с теорией гипергеометрических функций [229, 285]. В общую схему ОП также включаются конечные интегральные преобразования Г. А. Гринберга [77]. Продолжилось исследование функций Грина и Римана, которые используются в методе ОП [209, 230, 356]. Существуют связи ОП с теорией дробных (квадратичных) интегральных преобразований Фурье [593] и Ханкеля. Решение В. А. Чернятиным знаменитой задачи о нахождении необходимых и достаточных условий на потенциалы для обоснования метода Фурье для волнового уравнения с переменным коэффициентом открывает перспективы использования этого метода для оценки ядер в теории ОП [400]. Коммутирующие операторы любой природы также подходят под определение ОП. Наиболее близко к духу и задачам теории ОП относится изучение операторов, коммутирующих с производными. Сами ОП в этом случае зачастую представляются формальными рядами, псевдодифференциальными операторами или дифференциальными операторами бесконечного порядка. Описание коммутантов напрямую связано с описанием всего семейства ОП для заданной пары по его единственному представителю. В этом классе задач фундаментальные приложения нашла теория операторных свёрток, особенно свёртки Берга-Димовски (Л. Берг, И. Димовски [434, 477]). Начинают находить приложения в теории ОП и результаты для коммутирующих дифференциальных операторов, восходящие к классическим работам Бёчнела и Чонди (J. L. Burchnall, T. W. Chaundy). Важным разделом теории ОП стал специальный класс - ОП Бушмана-Эрдейи (см. главу 3). Это класс ОП, который при определённом выборе параметров является одновременным обобщением ОП Сонина-Пуассона-Дельсарта и их сопряжённых, операторов дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля и Эрдейи-Кобера, а также интегральных преобразований Мелера- Фока. Термин «операторы Бушмана-Эрдейи» как наиболее исторически оправданный был введён одним из авторов в [318, 319], впоследствии он использовался и другими авторами. Важность операторов Бушмана-Эрдейи во многом обусловлена их многочисленными приложениями. Например, они встречаются в следующих вопросах теории уравнений с частными производными [306]: при решении задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в четверти плоскости и установлении соотношений между значениями решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу на многообразии начальных данных и характеристике (см. лемму Копсона выше), теории преобразования Радона, так как в силу результатов Людвига [256, 468, 496, 572, 608-610] действие преобразования Радона при разложении по сферическим гармоникам сводится как раз к операторам Бушмана- Эрдейи по радиальной переменной, при исследовании краевых задач для различных уравнений с существенными особенностями внутри области, доказательству вложения пространств И. А. Киприянова в весовые пространства С. Л. Соболева, установлению связей между операторами преобразования и волновыми операторами теории рассеяния, обобщению классических интегральных представлений Сонина и Пуассона и операторов преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта. Наиболее полное изучение операторов Бушмана-Эрдейи было проведено в работах С. М. Ситника в 1980-1990-е годы [130-132, 312-315, 317-319, 344], и затем продолжено в последующие годы в [331, 332, 337, 340, 341, 347, 625-629]. При этом необходимо отметить, что роль операторов Бушмана-Эрдейи как ОП до указанных работ вообще ранее нигде не отмечалась и не рассматривалась. В литературе изложению теории ОП и их приложениям посвящены существенные части монографий [13, 21, 417, 445-448, 451, 508, 566], кроме того различные вопросы ОП рассматриваются также в [306, 460, 461, 506, 507] и целом ряде других известных монографий, а также в обзорах [239, 331, 450, 562, 625]. К сожалению, на русском языке пока нет книг, полностью посвящённых ОП, таких, как содержательные книги Роберта Кэрролла на английском [445-448, 451], поэтому данная монография призвана в определённой степени заполнить этот пробел. При этом следует безусловно отметить монографию Д. К. Фаге и Н. И. Нагнибида [380]. В этой монографии практически никак не отражены известные к тому времени результаты теории ОП, что полностью компенсируется изложением в основном собственных результатов авторов по одной из самых трудных задач теории ОП - их построении для дифференциальных операторов высоких порядков с переменными коэффициентами. Кроме того, в эту монографию вошли и многие другие вопросы: решение задачи об операторах, коммутирующих с производными в пространствах аналитических 230 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ функций (включая исправление ошибочных результатов Дельсарта и Лионса), создание законченной теории разрешимости для уравнения Бианки, теория операторно-аналитических функций (первоначально возникшая в работах В. А. Марченко [233-235]), исследование операторов дифференцирования, интегрирования и корней из них в пространствах аналитических функций. Отметим также, что С. М. Ситником был разработан метод уточнения неравенств Коши- Буняковского методом средних [323, 327, 333, 624], интегральные уточнения по этому методу могут быть применены к оценкам норм различных операторов преобразования. Кроме того, полезными являются различные оценки специальных функций, которые позволяют оценивать ядра операторов преобразования, см., например, [243, 321, 322, 527-530, 578-580]. Таким образом, методы теории ОП и связанные с ними задачи в той или иной степени применялись в работах многих математиков. Перечислим некоторых из них: A. I. Aliev, H. Begehr, S. Bergman, J. Betancor, A. Boumenir, B. Braaksma, L. Bragg, R. Carroll, R. Castillo-Pe´rez, H. Chebli, I. Dimovski, C. Dunkl, J. Delsarte, A. Fitouhi, A. Gasmi, R. Gilbert, M. M. Hamza, M. Holzleitner, R. O. Hriniv, V. Hristov, V. Hutson, G. К. Каlisсh, S. L. Kalla, T. H. Koornwinder, V. Kiryakova, J. Lo˝ffstro˝m, J. Lions, Y. Luchko, M. Moro, Y. V. Mykytyuk, J. S. Pym, B. Rubin, J. Yu. SantanaBejarano, F. Santosa, J. Siersma, M. Sifi, A. M. Sinclair, S. V. de Snoo, M. Spiridonova, K. Stempak, G. Teschl, V. Thyssen, K. Trime`che, Y. Tsankov, M. Voit, Vu Kim Tuan, З. С. Агранович, А. А. Андрощук, И. И. Баврин, А. Г. Баскаков, Л. Е. Бритвина, С. А. Бутерин, Ю. Н. Валицкий, В. Я. Волк, В. В. Волчков, А. Д. Гаджиев, А. В. Глушак, М. Л. Горбачук, И. Ц. Гохберг, В. С. Гулиев, И. М. Гусейнов, Я. И. Житомирский, Л. А. Иванов, Х. К. Ишкин, Т. В. Елисеева, М. С. Ерёмин, М. Б. Капилевич, Ш. Т. Каримов, Д. Б. Карп, В. В. Катрахов, А. П. Качалов, А. КилбасА, И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев, В. И. Кононенко, Ю. Ф. Коробейник, А. С. Костенко, В. В. Кравченко, М. Г. Крейн, П. П. Кулиш, И. Ф. Кушнирчук, Г. И. Лаптев, Б. Я. Левин, Б. М. Левитан, А. Ф. Леонтьев, Н. Е. Линчук, С. С. Линчук, А. Р. Лятифова, Л. Н. Ляхов, Г. В. Ляховецкий, М. М. Маламуд, В. А. Марченко, В. Л. Матросов, В. И. Мацаев, А. Б. Муравник, Н. И. Нагнибида, Л. П. Нижник, М. Н. Олевский, Ю. А. Парфенова, А. К. Прикарпатский, С. С. Платонов, А. Я. Повзнер, Б. Рубин, Ф. С. Рофе-Бекетов, К. Б. Сабитов, А. М. Самойленко, Л. А. Сахнович, С. М. Ситник, А. С. Сохин, В. В. Сташевская, С. М. Торба, Л. Д. Фаддеев, Д. К. Фаге, К. М. Фишман, И. Г. Хачатрян, А. П. Хромов, Л. А. Чудов, Э. Л. Шишкина, С. Д. Шмулевич, В. А. Юрко, О. Э. Яремко, В. Я. Ярославцева. Разумеется, этот список не полон и может быть существенно расширен. Из приведённого анализа следует, что метод операторов преобразования является эффективным методом в теории дифференциальных уравнений и смежных разделах математики, ему посвящено большое число работ и на его основе решаются многочисленные классы задач. Однако, несмотря на вышеизложенное, в теории операторов преобразования остаются существенные пробелы и многие нерешённые задачи. Так, для операторов преобразования, сплетающих дифференциальные операторы или решения дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах, включая дифференциальные операторы Бесселя, отсутствует подробная классификация с описанием основных свойств. Подробно изучены и описаны в литературе свойства и приложения простейшего класса ОП Сонина и Пуассона, но отсутствует систематическое изложение и доказательства многих свойств для их важных обобщений - операторов Бушмана-Эрдейи. До работ С. М. Ситника не отмечалось вообще, что интегральные операторы Бушмана-Эрдейи являются ОП для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. Не существует общих схем для построения ОП нужных классов, доведённых до возможности построения на их основе явных формул, сплетающих решения различных дифференциальных уравнений. Практически отсутствуют работы, вскрывающие связь ОП с основными конструкциями дробного исчисления. Не рассматривались возможные применения ОП к доказательствам вложений функциональных пространств, таких, как пространства С. Л. Соболева и И. А. Киприянова, в том числе энергетических пространств для сингулярных дифференциальных уравнений в частных производных с операторами Бесселя по одной или нескольким переменным. Для операторов второго порядка с переменными коэффициентами при построении ОП использовались методы, дающими грубые оценки ядер ОП с неопределёнными постоянными, неточные требования на коэффициенты дифференциальных уравнений приводили к сужению их классов, например классов допустимых потенциалов для задач Штурма-Лиувилля и их обобщений для дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах. Методы ОП практически не применялись к получению точных оценок для решений 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 231 дифференциальных уравнений, например, в таких задачах, как известная задача Е. М. Ландиса. Также сложилась парадоксальная ситуация, когда дробные степени оператора Бесселя, которые используются во многих работах, определяются исключительно неявно в терминах преобразования Фурье-Бесселя или Ханкеля, а при этом отсутствуют формулы для их явного определения в интегрального виде, хотя именно с таких представлений начиналась теория классических дробных интегралов Римана-Лиувилля. Многие простые и естественные конструкции ОП для стандартных пар дифференциальных операторов не построены в явном виде. Также не вводились и не рассматривались общие схемы для оценок ядер ОП в широко используемых функциональных пространствах, требующие уточнений и обобщений классических неравенств. Полученные в последнее время точные неравенства для многих специальных функций не находили применения для оценки ядер ОП. Решения ряда перечисленных выше задач и приведено в данной монографии. 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА: СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Специальные функции. Здесь даны краткие определения и пояснения для специальных функций, которые использованы в работе, следуя монографиям и справочникам [3, 17-19, 217, 284, 372, 422, 573, 574, 591]. Также приведён ряд кратких исторических комментариев. 1. Гамма-функция, бета-функция, пси-функция, символ Похгаммера и биномиальные коэффициенты. Гамма-функция является обобщением понятия факториала на случай чисел, не являющихся натуральными. Бета-функция в общем случае определяется через гамма-функции. Пси-функция является логарифмической производной гамма-функции. Пусть z ∈ C. Гамма-функция Γ(z) определялась Эйлером как предел N !Nz Γ(z) = lim N →∞ z(z + 1)(z + 2) ... (z + N ) , z ∈ C, но чаще используется определение в виде интеграла Эйлера второго рода r∞ Γ(z) = 0 yz-1e-ydy, Re z > 0, (1.3.1) который сходится при всех z ∈ C, для которых Re x > 0. Интегрирование по частям выражения (1.3.1) приводит к рекуррентной формуле Γ(z + 1) = zΓ(z). (1.3.2) Поскольку Γ(1) = 1, то рекуррентная формула (1.3.2) для положительных целых n приводит к равенству или Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n - 1)Γ(n - 1) = ... = n(n - 1) · ... · 2 · 1 · Γ(1) Γ(n + 1) = n!, которое и позволяет рассматривать гамма-функцию как обобщение понятия факториала. Переписав формулу (1.3.2) в виде Γ(z) Γ(z - 1) = z - 1 , (1.3.3) мы получим выражение, позволяющее определить гамма-функцию от отрицательных аргументов, для которых определение (1.3.1) неприемлемо. Формула (1.3.3) показывает, что Γ(z) имеет в точках z = 0, -1, -2, -3,... разрывы второго рода. После многократного применения равенства (1.3.3) получим формулы понижения и повышения, которые, соответственно, имеют вид Γ(z + n) = z(z + 1) ... (z + n - 1)Γ(z), n = 1, 2,... (1.3.4) и Γ(z) Γ(z - n) = (z - n)(z - n + 1) ... (z - 1) , n = 1, 2,.... (1.3.5) 232 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ Отметим, что √ 1 Γ = π, 2 1 Γ + n 2 (2n)!√π 1 = 4nn! , Γ 2 - n - ( 4)nn!√π = . (2n)! Имеют место следующие соотношения: формула дополнения π Γ(z)Γ(1 - z) = sin zπ , (1.3.6) формула удвоения (формула Лежандра) 22z-1 1 Γ(2z) = √π Γ(z)Γ z + 2 . (1.3.7) Бета-функция B(z, w) тесно связана с гамма-функцией. Для двух параметров z и w, удовлетворяющих условиям Re z > 0 и Re w > 0, бета-функция Эйлера определяется интегралом Эйлера первого рода 1 r B(z, w) = 0 tz-1(1 - t)w-1dt. (1.3.8) Если Re z � 0 и Re w � 0 не положительны, то бета-функция определяется формулой Γ(z)Γ(w) B(z, w) = Γ(z + w) . (1.3.9) Пси-функция ψ(z) определяется как логарифмическая производная гамма-функции ψ(z) = d ln Γ(z) dz Γ∗(z) = . Γ(z) Функция ψ(z) терпит разрывы второго рода в точках z = 0, -1, -2,.... Для пси-функции справедливо представление где ∞ ψ(z) = -γ + (z - 1) , n=0 1 , (n + 1)(z + n) / m γ = lim m→∞ , 1 n - ln m n=1 = 0,5772156649 ... обозначает постоянную Эйлера-Маскерони [3]. Очевидно, ψ(1) = -γ. Отметим справедливость формулы 1 r tx - ty 1 - t 0 dt = ψ(y + 1) - ψ(x + 1). (1.3.10) Символ Похгаммера (z)n при целых n определяется равенством (z)n = z(z + 1) ... (z + n - 1), n = 1, 2,..., (z)0 ≡ 1. Справедливы равенства (z)n = (-1)n(1 - n - z)n, (1)n = n! и Γ(z + n) (z)n = . (1.3.11) Γ(z) Равенство (1.3.11) можно использовать для введения символа (z)n при действительных (комплексных) n. Биномиальные коэффициенты определяются по формуле . = α (-1)n-1αΓ(n - α) n Γ(1 - α)Γ(n + 1) 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 233 В частности, при целых α = m, m = 1, 2,..., имеем равенства m n m! = , m ;:? n. n!(m - n)! В случае произвольных (комплексных) β и α, α /= -1, -2,..., полагают α Γ(α +1) = . β Γ(β + 1)Γ(α - β + 1) Для натуральных k справедлива формула α - ( 1)k k = k - α - 1 = k Γ(k - β) Γ(-α)Γ(k + 1) . (1.3.12) 2. Функции Бесселя. Функции Бесселя определяются как решения дифференциального уравнения Бесселя: 2 x2 d y dy 2 2 dx2 + xdx + (x где порядок α - произвольное комплексное число. - α )y = 0, Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми Jα(x), являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля или в более общий степенной ряд при нецелых α: ∞ Jα(x) = , m=0 (-1)m m! Γ(m + α + 1) x 2m+α. 2 Если α не является целым числом, функции Jα(x) и J-α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение: α J-α(x) = (-1) Jα(x). Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода - функция Неймана, то есть решение Nα(x) уравнения Бесселя, бесконечное в точке x = 0. Эта функция связана с Jα(x) следующим соотношением: Jα(x)cos(απ) - J-α(x) Nα(x) = , sin(απ) где в случае целого α берётся предел по α, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя. Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя: y(x) = C1Jα(x)+ C2Nα(x). Часто также используется обозначение Nα(x) = Yα(x). Модифицированными функциями Бесселя, или функциями Бесселя мнимого аргумента называются функция и функция Макдональда Iν (x) = i-ν Jν (ix) π Kν (x) = 2 sin(πν) [I-ν (x) - Iν (x)] ,ν ∈/ Z. В случае целого ν ∈ Z функция Макдональда вычисляется предельным переходом по индексу с помощью правила Лопиталя. Функции Ханкеля (Ханкеля) или функции Бесселя третьего рода - это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго родов и, следовательно, также решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Хермана Ханкеля. H(1) ν (z) = Jν (z)+ iNν (z) § функция Ханкеля первого рода; H(2) ν (z) = Jν (z) - iNν (z) 234 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ § функция Ханкеля второго рода. Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца. Представление функциями Бесселя первого рода: νπi H(1) J-ν (z) - e- Jν (z) ν (z) = H(2) ν (z) = , i sin(νπ) -ν ν . J (z) - eνπiJ (z) -i sin(νπ) Нормированная функция Бесселя (j-малая функция Бесселя) jν, определяется формулой (см. [144, с. 10], [198]) jν (x) = 2ν Γ(ν + 1) xν Jν (x), (1.3.13) где Jν - функция Бесселя первого рода. Для (1.3.13) справедливо равенство (см., например, [198]) Ty x jγ-1 (x) = jγ-1 (x) jγ-1 (y). (1.3.14) 2 2 2 Отметим, что полезные свойства функций Бесселя с приложениями в аналитической теории чисел получены в работах Н. В. Кузнецова [179, 180]. 3. Гипергеометрическая функция Гаусса. Гипергеометрическая функция Гаусса определяется внутри круга |z|<1 как сумма гипергеометрического ряда (см. [3, с. 373, формула 15.3.1]) ∞ 2F1(a, b; c; z) = F (a, b, c; z) = , k=0 (a)k (b)k zk = (c)k k! 1 Γ(c) r = Γ(b)Γ(c - b) 0 tb-1(1 - t)c-b-1(1 - zt)-adt, Re c > Re b > 0, (1.3.15) а при |z| ;:? 1 получается аналитическим продолжением этого ряда (см. [424, 427]). В формуле (1.3.15) параметры a, b, c и переменная z могут быть комплексными, причём c /= 0, -1, -2,..., а (a)k есть символ Похгаммера (1.3.11). Гипергеометрический ряд (1.3.15) сходится только в единичном круге комплексной плоскости, поэтому возникает необходимость построения аналитического продолжения гипергеометрической функции за границу этого круга, на всю комплексную плоскость. Один из способов аналитического продолжения - использование интегрального представления Эйлера 1 Γ(γ) r 2F1(α, β, γ; z) = Γ(β)Γ(β - γ) 0 tβ-1 (1 - t) γ-β-1 (1 - tz)-α dt, 0 < Re β < Re γ, | arg(1 - z)| < π, в котором правая часть определена при указанных условиях, обеспечивающих сходимость интеграла. Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента. Примеры для элементарных функций: (1 + x)n = F (-n, β, β; -x), 1 ln(1 + x) = F (1, 1, 2; -x), ex = lim x F (1, n, 1; ), x 1 x2 n→∞ n 1 x2 cos x = lim F α, β→∞ α, β, 2 ; - 4αβ , cosh x = lim F α, β→∞ α, β, ; . 2 4αβ Функция Бесселя первого рода и гипергеометрическая функция Гаусса связаны формулой Jν (z) = lim ⎡ z ν ⎢ 2 ⎤ z2 F α, β, ν + 1; - ⎥ . α, β→∞ ⎣Γ(ν + 1) 4αβ ⎦ 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 235 1. Функции Лежандра. Функции Лежандра Pμ(x), Qμ(x) - это обобщения полиномов Ле- ν ν жандра на нецелую степень (см. [17]). Функции Лежандра Pμ(x), Qμ(x) являются решениями общего уравнения Лежандра ν ν (1 - x2) y∗∗ - 2xy∗ + г μ2 λ(λ + 1) - l y = 0, 1 - x2 где комплексные числа λ и μ называются степенью и порядком функций Лежандра, соответственно. Эти функции могут быть определены для комплексных значений параметров и аргумента: μ 1 г 1+z l P μ/2 1 - z λ (z) = Γ(1 - μ) 1 - z 2F1(-λ, λ + 1; 1 - μ; 2 ), |1 - z| < 2, √ iμπ 2 μ/2 Qμ π Γ(λ+μ+1) e (z - 1) λ + μ +1 λ + μ +2 3 1 , z > 1, λ(z)= 2 2λ+1Γ(λ+ 3 ) zλ+μ+1 2F1 | | , ; λ + ; 2 2 2 z2 где Γ - гамма-функция и 2F1 - гипергеометрическая функция. В книге используются также прямые значения функций Pμ(x), Qμ(x) на разрезе x ∈ [-1; 1], которые обозначаются Pμ(x), Qμ(x). ν ν ν ν Функции Лежандра являются частными случаями гипергеометрической функции Гаусса, поэтому для них известны многочисленные разложения в ряды, интегральные представления, формулы продолжения, а также выражения через элементарные функции при специальных значениях параметров. Многочлены Лежандра являются функциями Лежандра порядка μ = 0 при целых неотрицательных λ = n. 2. Функция Миттаг-Лефлера. Функция Миттаг-Лефлера Eα,β (z) - это целая функция (в z ∈ C) порядка 1/α, определяемая степенным рядом (см. [19, 48, 86, 481, 511, 543, 544, 594]) z ∞ n Eα,β (z) = , , z ∈ C, α, β ∈ C, Re α > 0, Re β > 0. (1.3.16) n=0 Γ(αn + β) Функция (1.3.16) была введена Гёстой Миттаг-Лефлером в 1903 г. для α = 1 и А. Виманом в 1905 г. в общем случае. Первыми приложениями этих функций у Миттаг-Лефлера и Вимана были приложения в ТФКП (нетривиальные примеры целых функций с нецелыми порядками роста и обобщённые методы суммирования). В СССР эти функции стали в основном известны после опубликования знаменитой монографии М. М. Джрбашяна [86], см. также его более позднюю монографию [481]. Самым известным применением функций Миттаг-Лефлера в теории интегродифференциальных уравнений и дробном исчислении является тот факт, что через них в явном виде выражается резольвента дробного интеграла Римана-Лиувилля по знаменитой формуле Хилле-Тамаркина-Джрбашяна [287, 306, 515]. Ввиду многочисленных приложений к решению дифференциальных уравнений дробного порядка эта функция была заслуженно названа в [512] «королевской функцией дробного исчисления». Производная функции Миттаг-Леффлера вычисляется по формуле Отметим, что E1,1(z) = ez. E∗ α,β (z) = dEα,β (z) = dz ∞ , k=0 (1 + k)zk . Γ(β + α(1 + k)) 3. Обобщённые функции гипергеометрического типа. Функции гипергеометрического типа определяются комплексным интегралом типа Меллина-Барнса [229, 285]. Основные обобщённые функции гипергеометрического типа рассматриваются в монографиях [57, 229, 486, 498, 520, 533, 631] и ряде других. Фундаментальное значение имеет метод вычисления определённых интегралов с использованием обобщённых гипергеометрических функций, основанный на теореме Слейтер-Маричева, см. [229, 285]. Для суммирования достаточно произвольных рядов в терминах обобщённых гипергеометрических и дзета функций оригинальный метод был разработан В. С. Рыко, см. [303, 304], 236 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ сейчас он практически забыт и не используется. Современные методы теоретического и компьютерного суммирования на основе гипергеометрических функций рассматриваются в известных монографиях [547, 595]. Известные многочисленные обобщения гипергеометрических функций, например, q-гипергеометрические функции, теория которых восходит к Э. Гейне, A - гипергеометрические системы Гельфанда-Граева, эллиптические гипергеометрические функции В. П. Спиридонова и другие. Следует отметить, что в последнее время функции гипергеометрического типа, такие как функции Миттаг-Лефлера, Райта и Фокса, получили многочисленные приложения в задачах теории вероятностей и математической статистики. В частности, через них выражаются некоторые важные функции распределения, плотности вероятностей и их характеристики. Функции Райта были введены Эдвардом Мэйтлендом Райтом в 1935 г., см. [17, 48, 540, 543, 544, 594]. Являются непосредственными обобщениями функций Миттаг-Лефлера и определяются в виде рядов, аналогичным (1.3.16), но с произвольным конечным числом гамма-функций в числителе и знаменателе дроби для общего члена ряда. Пусть p, q ∈ N0 = {0, 1, 2,.. .}, p2 + q2 /= 0, ai, bj ∈ C, αi, βj ∈ R (αi, βj /= 0; i = 1, 2,..., p; j = 1, 2,..., q). Тогда функция Райта определяется степенным рядом p ∞ ТТ Γ(ai + αik) zk q pΨq (z) = , i=1 , z ∈ C. m=0 ТТ Γ(bj + βjk) k! j=1 Иногда эти функции используются под другими названиями, например, обобщённая функция Бесселя [594], обобщённая функция Миттаг-Лефлера [511], многопараметрическая функция Миттаг-Лефлера [48, 543, 544], и некоторыми другими. Функции Райта, представленные в образах преобразования Меллина или интегралами Меллина-Барнса, также являются функциями Фокса и наоборот, хотя не при всех значениях параметров такие преобразования очевидны или даже возможны. Для этого класса функций используются также названия многопараметрические гипергеометрические функции, обобщённые или многопараметрические функции Миттаг-Лефлера, многопараметрические функции Бесселя и ряд других. Иногда используется неграмотное название «функции Бесселя-Мэйтленда» для одного подобного класса функций, при этом за имя никогда не существовавшего математика выдаётся средняя часть имени Райта, к сожалению, эта неточность воспроизведена в такой уважаемой книге, как [18]. В качестве примера приложений отметим, например, что при представлении резольвенты для дробных степеней оператора Бесселя используется такой вариант функции Райта [348, 622]: ∞ Jμ , (-1)m z 2m+γ+2λ . (1.3.17) γ,λ(z) = m=0 Γ(γ + mμ + λ + 1)Γ(λ + m + 1) 2 1. -функции Майера [487, 623]. Эта функция была введена в 1946 г. голландским математиком Корнелиусом Симоном Майером, он был учеником Ван дер Корпута, его учеником был Боэль Брааксма. Общее определение G-функции Майера дается следующим интегралом в комплексной плоскости: m n a ,...,a 1 1 r ТТ Γ(bj - s) ТТ Γ(1 - aj + s) j=1 j=1 Gm,n 1 p 1 z = zs ds. p,q 1 b1,..., bq 1 2πi L q ТТ j=m+1 Γ(1 - bj + s) p ТТ j=n+1 Γ(aj - s) Это интеграл так называемого типа Меллина-Барнса. Определение корректно при следующих предположениях: 0 � m∗ � q, 0 � n � p, m, n, p, q ∈ Z, ak - bj /= 1, 2, 3,... для k = 1, 2,...,n и j = 1, 2,..., m, что означает, что никакие полюса Γ(bj - s), j = 1, 2,..., m, не совпадают ни с какими полюсами Γ(1 - ak + s), k = 1, 2,..., n, z /= 0. Кроме того, контур интегрирования после обхода области с полюсами должен продолжаться по одной вертикальной прямой вверх и вниз. В случае другого выбора контура с уходом на бесконечность по горизонтальным прямым, получаются новые варианты функций Майера, подробный анализ этих модификаций, а также их 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 237 отличий от классического случая см. в недавних работах [521, 522, 525]. В этих случаях, в частности, функция Майера может быть определена, но для неё может не существовать преобразование Меллина, или даже преобразование Меллина может существовать, но сама функция не восстанавливаться обратным преобразованием Меллина через интеграл Меллина-Барнса. Важным свойством G-функции Майера является тот факт, что во всех случаях она представима в виде конечной суммы обобщённых гипергеометрических функций. Кроме того, G-функция Майера удовлетворяет явно выписываемому дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами. Отметим, что функции Майера используются, например, в [477, 540] при представлениях преобразования Обрешкова. p,0 В приложениях выделяется специальный случай функции Майера Gp,p, он был подробно изучен в работах Нёрлунда, поэтому в ряде недавних работ предлагается для этого случая название: функция Майера-Нёрлунда, см. [521, 522, 525]. Функции Фокса [533]. H-функцию ввел английский математик Чарльз Фокс в 1961 г., см. [435, 533]. 2. -функция также определяется с помощью интеграла Меллина-Барнса: H(x) = Hm,n(z) = Hm,n 1 гz1 (ap, Ap) l = H m,n 1 гz 1(a1, A1) (a2, A2) ... (ap, Ap) l = p,q p,q 1 1 (bq, Bq ) / m p,q / n 1 1(b1, B1) (b2, B2) ... (bq, Bq ) 1 r / = 2πi ТТ Γ(bj + Bjs) j=1 q ТТ Γ(1 - aj - Ajs) j=1 / p z-s ds. L ТТ j=m+1 Γ(1 - bj - Bjs) ТТ j=n+1 Γ(aj + Ajs) Здесь пустое произведение всегда интерпретируется как единица; m, n, p, q ∈ N0, 0 � n � p, 1 � m � q, Ai, Bj ∈ R+, ai, bj ∈ R или C, i = 1,..., p; j = 1,..., q, L - некоторый подходящий контур, отделяющий полюса bj + ν B ζjν = - j , j = 1,..., m; ν = 0, 1, 2,... гамма-функции Γ(bj + sBj ) от полюсов 1 - aλ + k ωλk = , λ = 1,..., n; k = 0, 1, 2,... Aλ гамма-функции Γ(1 - aλ - sAλ) так чтобы Aλ(bj + ν) /= Bj (aλ - k - 1),j = 1,..., m; λ = 1,..., n; ν, k = 0, 1, 2,... Кроме того, контур интегрирования после обхода области с полюсами должен продолжаться по одной вертикальной прямой вверх и вниз. В случае другого выбора контура с уходом на бесконечность по горизонтальным прямым, получаются новые варианты функций Фокса, подробный анализ этих модификаций, а также их отличий от классического случая см. в недавних работах [524, 526]. В этих случаях, в частности, функция Фокса может быть определена, но для неё может не существовать преобразование Меллина, или даже преобразование Меллина может существовать, но сама функция не восстанавливаться обратным преобразованием Меллина через интеграл Меллина-Барнса. Особым случаем, для которого H-функция Фокса сводится к G-функции Майера, является набор параметров Aj = Bk = C, C > 0 для j = 1,..., p, k = 1,..., q: г 1(a , C) (a , C) ... (a , C) l 1 a ,...,a 1 H m,n z 1 1 2 p = Gm,n 1 p 1 z1/C . 1 p,q 1(b1, C) (b2, C) ... (bq, C) C p,q 1 b1,..., bq 1 В отличии от G-функции Майера H-функция Фокса в общем случае не представляется в виде конечной суммы обобщённых гипергеометрических функций или G-функций. В том случае, когда она представляется в виде ряда, используется название функция Райта-Фокса. Принципиальным отличием функции Фокса от функции Райта является тот факт, что она не является решением никакого дифференциального уравнения конечного порядка с полиномиальными коэффициентами (известная недоказанная гипотеза, в которую верят большинство специалистов). 238 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ Самым известным применением функций Фокса в теории дифференциальных уравнений является их использование А. Н. Кочубеем при построения функции Грина для уравнения дробной диффузии [170, 171, 489]. При этом по существу использовалось мало известное большинству математиков, но чрезвычайно полезное преобразование Станковича. Отметим, что используемые при определениях функций Майера и Фокса интегралы типа Меллина-Барнса были впервые введены, по-видимому, итальянским математиком Сальваторе Пинкерле в 1888 г. (работы Эрнеста Уильяма Барнса были выполнены в 1908-1910 гг., работы Ялмара Меллина - в 1895 и 1909 гг.). Представляется, что для введённых выше функций исторически наиболее правильным является общее название «функции Райта-Фокса» с указанием их формы представления: или как степенной ряд в форме Райта, или представление через комплексный интеграл в форме Фокса. Тем не менее, приняты такие названия: функция Райта для определения в виде ряда, функция Майера или функция Фокса для определений в виде комплексного интеграла, функция Райта-Фокса для тех случаев, когда функция Фокса представляется рядом типа Райта. Кроме функций гипергеометрического типа от одной переменной используются гипергеометрические функции от нескольких переменных: Горна, Аппеля, Лауричелы, Кампе де Ферье и ряд других. Эти функции играют существенную роль в теории вырождающихся и сингулярных дифференциальных уравнения, см., например, [57, 108, 110, 413, 451, 513, 519, 611, 618]. 1. Функциональные пространства. Приведем некоторые понятия и утверждения, которые далее потребуются для введения операторов преобразования и изучения их свойств. Эти сведения взяты из известного учебника [166], монографии [306], а также из [36, 37]. Как обычно, через R будем обозначать множество вещественных чисел, а через C - множество комплексных чисел. Рассматриваемые далее множества и функции мы, не оговаривая это отдельно, считаем измеримыми. 1. Гёльдеровы функции, абсолютно непрерывные функции, класс ACn. В этом пункте определим (см. [166] и [306]) локальное и глобальное условия Гёльдера, а также классы функций AC и ACn. Пусть Ω = [a, b], -∞<a<b<∞ обозначает отрезок вещественной оси. Определение 1.3.1. Говорят, что функция f (x) удовлетворяет на Ω условию Гёльдера порядка λ, если |f (x1) - f (x2)| � A|x1 - x2|λ (1.3.18) для всех x1, x2 ∈ Ω, где A - постоянная, а λ - показатель Гёльдера. Определение 1.3.2. Через Hλ = Hλ(Ω), обозначается класс всех (вообще говоря, комплекснозначных) функций, удовлетворяющих на Ω условию Гёльдера фиксированного порядка λ. При λ > 1 класс Hλ содержит только постоянные f (x) ≡ const: 1 1 |f ∗(x)| = 1 lim 1 � A lim f (x1) - f (x2) 1 1 |x1 - x2|λ | � A|x1 - x2|λ-1 = 0. 1Δx→0 x1 - x2 1 Δx→0 |x1 - x2| Поэтому класс Hλ интересен лишь в случае 0 < λ � 1. Класс H1(Ω) называют липшицевым классом. Приведем определение более широкого, чем H1(Ω), класса AC(Ω) абсолютно непрерывных функций. Определение 1.3.3. Функция f (x) называется абсолютно непрерывной на отрезке Ω, если для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что для любой конечной системы попарно непересекающихся отрезков [ak, bk ] ⊂ Ω, k = 1, 2,..., n, такой, что n ,(bk - ak ) < δ, k=1 справедливо неравенство n , k=1 |f (bk ) - f (ak )| < ε. Класс всех таких функций обозначается AC(Ω). 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 239 Известно (см. [166]), что класс AC(Ω) совпадает с классом первообразных от суммируемых по Лебегу функций, т. е. x r f (x) ∈ AC(Ω) ⇔ f (x) = c + a ϕ(t)dt, b r |ϕ(t)|dt < ∞, ϕ(t) = f ∗(t). (1.3.19) a Поэтому абсолютно непрерывные функции имеют почти всюду суммируемую производную f ∗(x) (обратно, из существования почти всюду суммируемой производной еще не вытекает абсолютная непрерывность). Определение 1.3.4. Через ACn(Ω), где n = 1, 2,..., и Ω - отрезок, обозначим класс функций f (x), непрерывно дифференцируемых на Ω до порядка n - 1, причём f (n-1)(x) ∈ AC(Ω). Очевидно, что AC1(Ω) = AC(Ω) и класс ACn(Ω) состоит из функций, представимых n-кратным интегралом Лебега с переменным верхним пределом от суммируемой функции с заменой постоянной в (1.3.19) на многочлен порядка n - 1: r n-1 x f (x) ∈ ACn(Ω) ⇔ f (x) = , ck (x - a)k + k=0 a x x r r dt ... dt a a ϕ(t)dt, (1.3.20) n b r |ϕ(t)|dt < ∞, ck = a f (k)(a) , ϕ(t) = f k! (n) (t). Пусть теперь Ω - ось или полуось. В этом случае при определении класса Hλ(Ω) дополнительно оговаривается «гёльдеровское», поведение на бесконечности. Именно, говорят, что функция f (x) удовлетворяет условию Гёльдера в окрестности бесконечно удаленной точки, если 1 1 1 1 1 1 1 1λ 1 1 1 1 1f - f 1 � A1 - 1 (1.3.21) 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 для всех x1, x2, достаточно больших по абсолютной величине. Определение 1.3.5. Пусть Ω - ось или полуось. Через Hλ = Hλ(Ω) обозначается класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера (1.3.18) на любом конечном отрезке в Ω и условию (1.3.21) в окрестности бесконечно удаленной точки. Совокупность двух условий (1.3.18) и (1.3.21), определяющих класс Hλ(Ω) для бесконечного интервала Ω, равносильна одному условию |f (x1) - f (x2)| � A | x1 - x2|λ . (1.3.22) (1 + |x1|)λ(1 + |x2|)λ Условие (1.3.22) называется «глобальным условием Гёльдера». 2. Класс Lp и его свойства. Введем класс суммируемых в p-й степени функций и приведем некоторые неравенства и теоремы, справедливые для функций из этого класса (см. [166] и [306]). Эти пространства были введены Ф. Риссом, в последнее время важные применения нашли их обобщения на случай переменного показателя p = p(x), см., например, [548, 601]. Пусть теперь Ω = [a, b], где -∞ � a < b � ∞. Определение 1.3.6. Через Lp = Lp(Ω) обозначается множество всех измеримых на Ω функций f (x), вообще говоря, комплекснозначных, для которых выполнено неравенство r |f (x)|pdx < ∞, 1 � p < ∞. Ω 240 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ Норма в Lp(Ω) определяется формулой ⎛r ||f ||Lp(Ω) = ⎝ Ω ⎞1/p p |f (x)| dx⎠ . Две отличающиеся на множестве меры нуль функции не различаются как элементы пространства Lp(Ω). Для функций f ∈ Lp(Ω) и g ∈ Lp(Ω) справедливо неравенство Минковского ||f + g||Lp(Ω) � ||f ||Lp(Ω) + ||g||Lp(Ω), с учётом которого Lp(Ω) является нормированным пространством. p Если же f (x) ∈ Lp(Ω), g(x) ∈ Lpl (Ω), где p∗ = , то выполняется неравенство Гёльдера p - 1 (или точнее - неравенство Роджерса-Гёльдера-Рисса) r ∗ |f (x)g(x)|dx � ||f ||Lp(Ω)||g||Lpl (Ω), p Ω Известно, что Lp(Ω) - полное пространство. p = . p - 1 Нам также потребуется теорема, позволяющая менять порядок интегрирования в повторных интегралах. Теорема (Фубини). Пусть Ω1 = [a, b], Ω2 = [c, d], -∞ � a < b � ∞, -∞ � c < d � ∞, и пусть f (x, y) - определенная на Ω1 × Ω2 измеримая функция. Если сходится (абсолютно) хотя бы один из интегралов r r dx f (x, y)dy, r r dy f (x, y)dx, rr f (x, y)dxdy, Ω1 Ω2 то они совпадают. Ω2 Ω1 Ω1×Ω2 Имеет место следующий частный случай теоремы Фубини: b x r r dx f (x, y)dy = a a b b r r dy f (x, y)dx (1.3.23) a y в предположении, что абсолютно сходится один из этих интегралов. Равенство (1.3.23) называется формулой Дирихле. Справедливо также обобщённое неравенство Минковского: ⎛ 1 r 1r 1 ⎝ dx 1 1 Ω1 1Ω2 1p⎞ 1 1 ⎠ f (x, y)dy1 1 1 1/p r � Ω2 ⎛ r dy ⎝ Ω1 |f (x, y)|pdx ⎞1/p ⎠ . 3. Пространства Cm, C∞ и Lγ. Функция ϕ называется основной функцией, если она ev ev p бесконечно дифференцируема, чётна и удовлетворяет оценкам | | Dqϕ(x) � Cqr . (1 + x2)r Здесь q ;:? 0 и r ;:? 0 - произвольные целые числа, Cqr - постоянные, не зависящие от x. Ясно, что к основным функциям можно применять оператор Бесселя сколько угодно раз (так как если ϕ - основная функция, то и ϕ∗(x) x тоже основная функция), причём выполняются оценки |Bqϕ(x)| � Aqr . γ (1 + x2)r при любых целых r ;:? 0 и q ;:? 0. Обозначим через S пространство всех основных функций. 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 241 + Обозначим через L2(R1 ) гильбертово пространство функций f (y), y > 0, для которых конечна норма +) ±f ±L2(R1 ⎛r∞ = ⎝ 0 |f (y)|2 1 ⎞ 2 dy⎠ . (1.3.24) + Обозначим через L2,ν (R1 ), ν ;:? - для которых конечна норма 1 , весовое гильбертово пространство функций f (y), y > 0, 2 ⎛r∞ + ±f ±L2,ν (R1 ) = ⎝ 2 |f (y)| y 2ν+1 1 ⎞ 2 dy⎠ . (1.3.25) 0 Хорошо известно, что преобразование Фурье-Бесселя унитарно в L2,ν (R1 +) и справедливо равенство Парсеваля ±Fνf ±L2,ν (R1 = ±f ± . (1.3.26) + +) L2,ν (R1 ) 1 ν,+ Функциональное пространство Hs + (R1 ) (пространство И. А. Киприянова), s ;:? 0, ν ;:? - , вве- 2 денное в работе [140], определяется как замыкание по норме ±f ±Hs 1 1 = ±(1 + η2 s ) 2 Fνf ±L R1 (1.3.27) ν,+(R+) 2ν Γ(ν + 1) 2,ν ( +) множества чётных по И. А. Киприянову функций C˚∞(R1 ) (см. [140]). Предположение о чётности + + здесь существенно, поскольку в противном случае норма (1.3.27) может быть равной бесконечности. Для пространств Киприянова возможны и другие эквивалентные определения нормы. Определим пространство С. Л. Соболева H˚s(0, R), s ;:? 0, 0 < R < ∞, как замыкание множества C˚∞[0, R) по норме s ±f ±H˚s(0,R) = ±D f ±L2,ν (0,R). В данной книге вводится целый ряд новых функциональных пространств, как Банаха, так и Фреше, приспособленных для решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными при наличии особенностей в коэффициентах уравнений и в допускаемых решениях. 2. Основные интегральные преобразования. Основные определения интегральных преобразований и их свойства можно найти в монографиях и справочниках [11, 17-19, 86, 172, 229, 271, 284, 509, 533, 533, 598]. Досадные ошибки в обращении некоторых интегральных преобразований, которые допущены в [17-19], исправлены в [178, 179]. 1. Преобразование Фурье, синус и косинус преобразования, преобразование Ханкеля. Подробнее о рассматриваемых преобразованиях см. [86, 367, 598]. Важные свойства преобразований Ханкеля (Фурье-Бесселя) установлены в [195, 584-588]. Преобразование Фурье, синус и косинус преобразования, преобразование Ханкеля имеют, соответственно, вид 1 (Ff )(t) = √2π r∞ exp(-ity)f (y) dy, 0 1 2 r∞ (Fcf )(t) = cos(ty)f (y) dy, π 0 1 2 r∞ (Fsf )(t) = sin(ty)f (y) dy. π 0 242 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ При введённых нормировках все эти преобразования унитарны в L2(0, ∞) и совпадают с обратными. Преобразование Ханкеля (Ханкеля, Фурье-Бесселя) имеет вид r∞ или 1 (Hνf )(t) = tν 0 r∞ Jν (ty)f (y) dy (Hνf )(ξ) = 0 jν-1 (xξ) f (x)xν dx. 2 В связи со свойством jν (0) = 1 удобней использовать преобразование Ханкеля с функцией jν-1 (xξ) в ядре. 2 2. Преобразование Меллина. Теорема Слейтер. При вычислении интеграла от произведения гипергеометрических функций будем пользоваться методом из [229, 285], основанном на применении преобразования Меллина. Преобразование Меллина и теорема Слейтер изучены в [229, 284, 285]. Преобразованием Меллина функции f (x) называется функция g(s), которая определяется по формуле r∞ g(s) = Mf (s) = 0 xs-1f (x) dx. (1.3.28) Определим также свёртку Меллина r∞ x dy (f1 ∗ f2)(x) = f1 0 y f2(y) , (1.3.29) y при этом оператор свёртки с ядром K действует в образах преобразования Меллина как умножение на мультипликатор r∞ M Af (s) = K 0 x y dy f (y) y = MK ∗ f (s) = mA(s)Mf (s), (1.3.30) mA(s) = MK(s). Для изучения операторов типа свёртки Меллина (1.3.30) одним из авторов в [318, 319] был предложен удобный алгебраический подход, который не содержит ничего нового, но в удобной форме позволяет быстро получать нужные оценки. Полезные факты будут собраны вместе как Теорема 1.3.1. Пусть оператор свёртки A действует по формуле (1.3.30) в образах преобразования Меллина как умножение на мультипликатор. Тогда справедливы следующие условия ограниченности для прямого и обратного операторов и формулы для их норм. а) Для того, чтобы он допускал расширение до ограниченного оператора в L2(0, ∞) необходимо и достаточно, чтобы 1 1 sup 1mA iξ + 1 = M2 < ∞, (1.3.31) 1 1 1 при этом ±A±L2 = M2. ξ∈R 1 2 1 б) Для того, чтобы он допускал расширение до ограниченного оператора в Lp(0, ∞), p > 1 при дополнительном условии неотрицательности ядра K необходимо и достаточно, чтобы 1 1 sup 1mA iξ + 1 = Mp < ∞, (1.3.32) 1 1 1 при этом ±A±Lp = Mp. ξ∈R 1 p 1 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 243 в) Обратный оператор A-1 действует также по формуле (1.3.30) с мультипликатором 1 . mA Для того, чтобы он допускал расширение до ограниченного оператора в L2(0, ∞), необходимо и достаточно, чтобы 1 inf 1mA iξ + 1 1 1 1 = m2 > 0, (1.3.33) 1 2 m при этом ±A-1±L = . 2 1 ξ∈R 1 2 1 г) Пусть операторы A, A-1 определены и ограничены в L2(0, ∞). Они унитарны тогда и только тогда, когда выполнено равенство 1 1 1 1 1 для почти всех ξ. 1mA 1 iξ + 2 1 = 1 (1.3.34) 1 Последняя теорема суммирует результаты многих математиков: Шура, Харди, Литтлвуда, Пойа, Кобера, Михлина и Хермандера. Неизвестно, можно ли в формулировке пункта б) при дополнительных условиях опустить требование неотрицательности ядра. В диапазоне 0 < p < 1 в общем случае оценок нет, на что было указано В. И. Буренковым на примере операторов Харди. Впоследствии мы увидим, что операторы Харди тесно связаны с ОП Бушмана-Эрдейи. Первым математиком, использовавшим технику преобразования Меллина для оценки норм операторов Римана-Лиувилля для случая чисто мнимых степеней, был, насколько нам известно, Кобер [546]. Поэтому иногда часть б) приведённой теоремы называется леммой Кобера, что не совсем точно, так как он на самом деле доказал формулу для нормы из части а) для случая знакопеременных функций. Заметим, что преобразование Меллина является обобщённым преобразованием Фурье на полуоси по мере Хаара dy y [396]. Его роль велика в теории специальных функций, например, гаммафункция является преобразованием Меллина экспоненты. С преобразованием Меллина связан важный прорыв в 1970-х годах, когда в основном усилиями О. И. Маричева была полностью доказана и приспособлена для нужд вычисления интегралов известная теорема Джоан Люси Слейтер, позволяющая для большинства образов преобразований Меллина восстановить оригинал в явном виде по простому алгоритму через гипергеометрические функции [229, 285, 631]. Этот результат, который несложно получить формально по общей формуле обращения Меллина-Барнса через вычеты, для своего строгого обоснования потребовал достаточно сложных и тщательных выкладок, связанных с обработкой асимптотик гипергеометрических функций вблизи полюсов и на бесконечности, а такие асимптотики весьма разнообразны и разнородны. Эта работа была только начата Люси Джоан Слейтер, а в основном проведена до конца Олегом Игоревичем Маричевым, данное обстоятельство часто недооценивается. Теорема Слейтер-Маричева позволила создать универсальный мощный метод вычисления интегралов, который впоследствии позволил решить многие задачи в теории уравнений с частными производными, а также воплотился в передовые технологии символьного интегрирования пакета MATHEMATICA (О. И. Маричев работает в Wolfram Research). Приведем теорему Слейтер (см. [229, 285, 631]). Пусть г a1, a2, ..., aA l Γ(a1)Γ(a2) ...Γ(aA) = Γ[(a), (b)] = Γ b1, b2, ... bB Γ(b )Γ(b ) ... Γ(b , (1.3.35) ) пустое произведение заменяется единицей, 1 2 B (a)+ s = a1 + s, a2 + s,..., aA + s, (b)∗ - bk = b1 - bk,..., bk-1 - bk, bk+1 - bk,..., bB - bk, (1.3.36) A ΣA(z) = , zaj Γ г (a)∗ - aj, (b)+ aj l B+CFA+D (b)+ aj, 1+ aj - 1 (c); (- 1. C-Az , j=1 1. - aj (d)+ aj - 1+ aj - (a)∗, (d)+ aj (1.3.37) 244 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ B ΣB (1/z) = , z-bk Γ г (b)∗ - bk , (a)+ bk l ⎛ A+DFB+C 1 (a)+ bk, 1+ ak - (d); (-1)D-B ⎞ , k=1 2. - bk (c)+ bk - ⎝ 1+ bk - | arg z| < π. (b)∗ , (c)+ bk z ⎠ (1.3.38) Если ряды сходятся, то функции ΣA(z), ΣB (1/z) являются функциями гипергеометрического типа, причём переходят друг в друга, если поменять местами A-мерный комплексный вектор (a) = a1, a2,..., aA с аналогичным B-мерным вектором (b), C-мерный вектор (c) с D-мерным (d), а z заменить на 1/z. Эти функции аналитически зависят от комплексных параметров (a), (b), (c), 2. и переменной z. Если некоторые параметры векторов (a) (или (b)) совпадают между собой или отличаются на целое число, то векторы (a)∗ - aj ((b)∗ - bk ) содержат ненулевые или отрицательные целые компоненты и в силу свойства Γ(-n) = ∞, n = 0, 1, 2,..., у функции ΣA(z), ΣB (1/z), вообще говоря, могут возникнуть неопределенности типа ∞ - ∞. В таких логарифмических случаях под значениями ΣA(z), ΣB (1/z) будем понимать соответствующие пределы «регулярных», функций ΣA(z), ΣB (1/z), когда их параметры непрерывно стремятся к рассматриваемым особым значениям. Следует отметить, что без ограничения | arg z| < π функции ΣA(z), ΣB (1/z) в общем случае являются многозначными. Теорема (Слейтер). Пусть функция K∗(s) имеет вид г (a)+ s (b) - s l , (1.3.39) K∗(s) = Γ (c)+ s, (d) - s где векторы (a), (b), (c), (d) имеют соответственно A, B, C, D компонент aj, bk , cl, dm. Тогда если выполняются следующие две группы условий: - Re aj < Re s < Re bk, j = 1, 2,..., A, k = 1, 2,..., B, (1.3.40) ⎧ ⎨ A + B > C + D, где A + B = C + D, Re s(A + D - B - C) < - Re ν, ⎩ A = C, B = D, Re ν < 0, (1.3.41) A B C D ν = , aj + , bk - , cl - , dm, j=1 то для таких s справедливы равенства k=1 l=1 m=1 ⎧ Г∞ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎨ 1 xs-1ΣA(x)dx, A + D > B + C; ∞ K∗(s) = Г xs-1ΣA(x)dx + Г xs-1ΣB (1/x)dx, A + D = B + C; (1.3.42) ⎪ 0 1 ⎩ Г ∞ ⎪⎪ xs-1ΣB (1/x)dx, A + D < B + C, 0 ΣA(1) = ΣB (1), если A + D = B + C, Re ν + C - A +1 < 0, A ;:? C. Следствие. При условиях (1.3.40), (1.3.41) прообразом функции г (a)+ s (b) - s l , K∗(s) = Γ (c)+ s, (d) - s является функция K(x) гипергеометрического типа, равная одному из следующих выражений: ⎧ ΣA(x), x > 0,A + D > B + C; ⎪ K(x) = ⎨ ΣA(x), 0 < x < 1,A + D = B + C; ΣB (1/x), x > 1,A + D = B + C; (1.3.43) ⎪ ⎩ ΣB (1/x), x > 0,A + D < B + C, K(1) = ΣA(1) - ΣB (1), если A + D = B + C, Re ν + C - A +1 < 0, A ;:? C. 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 245 Замечание 1.3.1. Соответствующая теорема 1 из [631, § 4.8] содержит ряд неточностей: 1. вместо условий ⎧ ⎨ A + B > C + D, A + B = C + D, Re s(A + D - B - C) < - Re ν, ⎩ A = C, B = D, Re ν < 0, указано лишь условие A + B ;:? C + D; 2. вместо Re ν + C - A +1 < 0 приводится условие Re ν < 0; 3. говорится, что при A + D = B + C функции ΣA(z), ΣB (1/z) аналитически продолжают друг друга, а это верно лишь в случае A + B > C + D. Замечание 1.3.2. В случае |A + D - B - C| > 1, A + B = C + D ограничение на Re s, указанное в (1.3.41), может быть несколько ослаблено до условия 1 Re s(A + D - B - C) < 2 - Re ν. (1.3.44) Замечание 1.3.3. Если для некоторых параметров выполняется одно или несколько условий aj = cl + n (или aj = -dm - n) [bk = dm + n (или bk = -cl - n)], где n = 0, 1, 2,..., и при этом векторы (a)∗ - aj, (b)∗ - bk не содержат целые компоненты, то из группы условий (1.3.40) можно устранить (или ослабить) условия, относящиеся к этим параметрам. При aj = cl + n [bk = dm + n] соответствующие условия Re(s + aj ) > 0 [Re(bk - s) > 0] устраняются, а при (a)∗ - aj, (b)∗ - bk они заменяются на ослабленные требования Re(s+aj ) > -n-1 [Re(bk -s) > -n-1]. Если же векторы (a)∗ - aj, (b)∗ - bk содержат целые компоненты, то вопрос об ослаблении ограничений (1.3.40) требует специальных исследований. Замечание 1.3.4. Ограничения (1.3.40), (1.3.41) обеспечивают, по крайней мере, условную сходимость интегралов (1.3.42) в 0, ∞ (и 1). Если эти ограничения нарушаются, то интегралы (1.3.42) как несобственные, вообще говоря, расходятся, однако в отдельных случаях они существуют в смысле главного значения. 3. Различные формы операторов дробного интегродифференцирования. Операторы дробного интегродифференцирования изучены, например, в [49, 257-259, 306, 512, 535-537]. Полезные свойства дробных интегралов и их обращений для мер приведены в [523], см. также удачное учебное пособие [223]. Операторы дробного интегродифференцирования играют важную роль во многих современных разделах математики. Для теории специальных функций важность дробного интегродифференцирования отражена в названии известной статьи [542]: «Все специальные функции получаются дробным интегродифференцированием элементарных функций!» (Замечание проф. А. А. Килбаса: «кроме функций Фокса!») Рассмотрим дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля Определение 1.3.7. Пусть ϕ(x) ∈ L1(a, b), тогда интегралы x (I α 1 r a+ϕ)(x) = Γ(α) a ϕ(t) (x - t)1-α dt, x > a, (1.3.45) b (Iα ϕ)(x) = 1 r ϕ(t) dt, x < b, (1.3.46) b- Γ(α) x (t - x)1-α где α > 0, называются соответственно левосторонним (1.3.45) и правосторонним (1.3.46) дробными интегралами Римана-Лиувилля порядка α (0 < α). Для функции f (x), x ∈ [a, b] каждое из выражений (D α 1 a+f )(x) = Γ(n - α) x n d r dx a f (t)dt , (x - t)α-n+1 (1.3.47) 246 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ n b (Dα f )(x) = 1 d r f (t)dt (1.3.48) b- Γ(n - α) dx , (t - x)α-n+1 x где n = [α]+ 1, α > 0, называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка α, соответственно, левосторонней и правосторонней. В частных случаях наиболее важные в приложениях операторы Римана-Лиувилля определяются при α > 0 по формулам: x 1 r Iα (x t)α-1 f (t)d t, (1.3.49) 0+,xf = Γ(α) - 0 1 r∞ Iα (t - x)α-1 f (t)d t. -,xf = Γ(α) x Для остальных значений α они определяются при помощи аналитического продолжения (регуляризации). Отметим, что существуют многочисленные варианты операторов дробного интегродифференцирования: Герасимова-Капуто, введённые советским механиком Герасимовым в 1948 г. [266] и Капуто в 1968 г., Маршо, Вейля, Рисса, Эрдейи-Кобера, Адамара, Гельфонда-Леонтьева (двойное название предложено Ю. Ф. Коробейником), Джрбашяна-Нерсесяна и т. д. Дифференциальные уравнения типа Эйлера с основными типами операторов дробного интегродифференцирования рассмотрены, например, в [93, 538]. Теперь рассмотрим дробные интегралы и производные Эрдейи-Кобера. Операторы Эрдейи-Кобера определяются при α > 0 по формулам: x 2 Iα 2(α+y) r (x2 2 α-1 2y+1 0+; 2,yf = Γ(α) x- 0 2 r∞ - t ) t f (t) dt, (1.3.50) Iα 2y 2 2 α-1 2(1-α-y)-1 -; 2,y f = Γ(α) x (t - x ) t x f (t) dt, (1.3.51) а при значениях α > -n, n ∈ N по формулам d n Iα 0+; 2,y f = x x2(α+y+n)Iα+n -2(α+y) dx2 0+; 2,yf, (1.3.52) d n I f. -; 2,y f = x Iα 2y - dx2 x2(α-y) α+n (1.3.53) -; 2, y-n Для остальных значений α они определяются при помощи аналитического продолжения, аналогично операторам дробного интегродифференцирования Лиувилля. Отметим, что в классической монографии [306] случаи выбранных нами пределов интегрирования 0, ∞ не рассматриваются. В последующей английской версии [612] эти особые случаи пределов допускаются, но определения содержат неточности, в частности, приводящие к комплексным величинам под знаком интеграла. Теперь рассмотрим наиболее общую форму подобных операторов - дробный интеграл по произвольной функции. Дробный интеграл по произвольной функции g(x): x 1 r Iα (g(x) g(t))α-1 g∗(t)f (t)d t, (1.3.54) 0+,g f = Γ(α) - 0 1 r∞ Iα (g(t) - g(x))α-1 g∗(t)f (t)d t, -,g f = Γ(α) x 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 247 во всех случаях предполагается, что Re α > 0, на оставшиеся значения α формулы также без труда продолжаются [306]. При этом обычные дробные интегралы (1.3.49) получаются при выборе в (1.3.54) g(x) = x, Эрдейи-Кобера (1.3.50) при выборе g(x) = x2, Адамара при g(x) = ln x. Связь с ОП проявляется в том, что операторы преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта с точностью до множителей как раз и являются операторами Эрдейи-Кобера, то есть дробными степенями d dg(x) -α d = 2xdx -α , g(x) = x2. Поэтому основные свойства этих ОП можно получить из теории операторов дробного интегродифференцирования, а не изобретать заново, что нередко и делалось. А. М. Джрбашян обратил наше внимание на тот факт, что операторы дробного интегрирования по функции (1.3.54) являются частными случаями несколько более общих операторов, которые были введены и изучались его отцом М. М. Джрбашяном [306]. 1. Квадратичные (дробные) преобразования Фурье и Ханкеля. Кратко изложим основные факты, относящиеся к теории квадратичного или дробного преобразования Фурье-Френеля, следуя [593] и [112], где можно найти более подробную информацию и ссылки. Целые степени (орбита) классического преобразования Фурье образуют циклическую группу порядка 4, при этом четвёртая степень этого преобразования даёт тождественный оператор. Поэтому, в частности, спектр классического преобразования Фурье в L2(-∞, ∞) состоит из четырех точек, расположенных на единичной окружности: 1, i, -1 и -i. Идея включить эту дискретную группу в непрерывную со спектром, целиком заполняющим единичную окружность, принадлежит Винеру и была реализована им в работе 1929 г. Несколько позже Кондон (в 1937 г.), а затем Кобер (в 1939 г.) независимо переоткрыли эту группу, которая стала называться дробным преобразованием Фурье (ДПФ). Баргманну принадлежит обобщение на многомерный случай. Впоследствии дробное преобразование Фурье неоднократно переоткрывалось целым рядом авторов. В книге Антосика, Микусинского и Сикорского под названием «преобразование Фурье- Мелера» упоминается циклическая группа произвольного порядка, в которую можно включить преобразование Фурье. ДПФ изучалось Гинандом и Вольфом. Вавржинчик в приходит к ДПФ рассматривая классическое преобразование Фурье в виде экспоненты от производящего оператора. В. Ф. Осиповым независимо от предыдущих авторов построена теория ДПФ на группах и введены соответствующие почти-периодические функции Бора-Френеля, изучены асимптотические свойства этого преобразования, рассмотрены приложения в гармоническом анализе и теории чисел [1, 272]. Намиас переоткрыл дробное преобразования Фурье и использовал его для решения некоторых задач для уравнения Шрe¨дингера. Керр исследовала дробное преобразование Фурье в пространстве L2 и пространстве Шварца S. Отдельное направление исследований связано с дробным преобразованием Фурье при чисто мнимых значениях группового параметра. В этом случае чаще всего встречается название «полугруппа Эрмита». Начало этому направлению положила статья Хилле 1926 г., в которой оператор ДПФ при мнимых значениях параметра возникает в связи с суммированием методом Абеля разложений по полиномам Эрмита. Позднее, «полугруппа Эрмита» была использована Бабенко, Бекнером и Вайслером для получения неравенств в теории классического преобразования Фурье. Отметим, что квадратичное преобразование Фурье является одной из двух основных составляющих (наряду с неравенствами для средних значений в комплексной плоскости специального вида), которые были использованы сначала К. И. Бабенко для частных случаев, а затем Бекнером для общего случая при доказательстве знаменитых условий ограниченности обычного преобразования Фурье в пространствах Lp с точными постоянными. Другим интересным применением квадратичного преобразования Фурье является круг вопросов, связанных со знаменитой задачей Паули по определению функции по некоторому набору спектральных данных. Подобные задачи, обычно неразрешимые для классического преобразования, находят элегантные решения в рамках КПФФ. Применения дробного преобразования Фурье столь же разнообразны и обширны как и классического. Перечислим лишь некоторые. Приложениям в квантовой механике посвящена уже упоминавшаяся работа Намиаса. Использование ДПФ в оптике и анализе сигналов разрабатывается 248 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ группой исследователей под руководством Оцактаса. Участниками этой группы написана книга [593], целиком посвящe¨нная теории и приложениям дробного преобразования Фурье, в которой процитировано несколько сотен работ по данной теме (и в том числе выражена благодарность одному из авторов этой книги за консультации и обсуждения в период подготовки монографии к печати). Мастардом найдены аналоги неравенства Гейзенберга, инвариантные относительно дробного преобразования Фурье. Было показано, что многомерное преобразование Вигнера равно корню шестой степени из обратного преобразования Фурье, и, следовательно, также является частным случаем дробного преобразования Фурье. Бьюн получил некоторые новые формулы обращения для дробного преобразования Фурье. Аналог дробного преобразования Фурье для q-полиномов Эрмита был введён Аски, Н. М. Атакишиевым и С. К. Сусловым. Дальнейшие обобщения на операторы с ядрами в форме билинейных производящих функций полиномов Аски-Вилсона рассматривались в работах Аски и Рахмана. Дробное преобразование Ханкеля (ДПХ) гораздо менее изучено. Оно было введено Кобером в и изучалось Гинандом. Затем было несколько раз переоткрыто, например, Намиасом. ДПХ было рассмотрено Керр при действительных значениях группового параметра в пространстве L2(0, ∞) и в пространствах Земаняна, см. также [343]. В диссертации Д. Б. Карпа [112] рассмотрен достаточно общий подход к построению подобных преобразований при помощи разложения в ряды по известным системам ортогональных функций. В частности, при выборе системы функций Эрмита получается классическое преобразование Фурье, при выборе системы функций Лагерра - квадратичное преобразование Фурье-Френеля, а при выборе систем функций Лежандра, Чебышёва или Гегенбауэра построены новые полугруппы интегральных преобразований. Выпишем явно интегральные формулы для квадратичных преобразований Фурье-Френеля (КПФФ) и Ханкеля (КПХ), следуя [112]: (Fαf )(y) = 1 /π(1 - e2iα) r∞ 1 2 2 e- 2 i(x +y ) ctg α eixy cosec α f (x)dx, (1.3.55) ν ( iα)- 2 -∞ r∞ √ / iα (Hαf )(y) = 2 -e 1 α 1 e- xy) J 2 ν 2xy -e f (x)dx. (1.3.56) ν 1 - eiα 0 2 i ctg 2 (x2+y2)( 1 - eiα Рассмотрим кратко формулы преобразований, которые образуют операционное исчисление для КПХ. Введe¨м следующие дифференциальные операторы: 1 x2 d 1 x2 ν + 1 d A- ν = x ν+ 2 e- 2 x dx -ν- 2 e 2 - = 2 + x + , x dx 1 x2 d 1 x2 2 ν + 1 d ν = x A+ -ν- 2 e 2 x dx ν+ 2 e- 2 = x - x + dx, 1 d 1 ν + 1 d ν - N = xν+ 2 x-ν- 2 = dx 2 + , x dx 1 d 1 ν + 1 d Mν = x-ν- 2 xν+ 2 = dx 2 + . x dx Эти операторы связаны соотношениями 1 2 ν2 - 1/4 1 2 ν +1 1 + Lν = - 4 D - 2 4 ν x2 + 4 x - = - Aν A-, A- + ν = Nν + x, Aν = Mν - x, (1.3.57) d d Lν = Mν Nν, xdx + dxx = Nνx + xMν = Mνx + xNν. (1.3.58) Обозначим через X оператор умножения на независимую переменную. Теперь мы можем, следуя [112], выписать набор формул преобразования операций для КПХ. 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 249 Hα iα -iα α 1 ν+1Xf = 2 r(e- - 1)Nν + (e + 1)Xl Hν f, (1.3.59) Hα iα -iα α 1 ν+1Nνf = 2 r(e- 1 + 1)Nν + (e - 1)Xl Hν f, (1.3.60) ν H Nν Hαf = α 2 ν+1 r(eiα + 1)Nν + (eiα - 1)Xl f, (1.3.61) XHαf = 1 Hα r(eiα - 1)N + (eiα + 1)Xl f, (1.3.62) 1 ν 2 ν+1 Hα iα ν iα α ν Xf = 2 r(1 - e )Mν + (1+ e )Xl Hν+1f, (1.3.63) Hα iα iα α 1 ν Mνf = 2 r(1 + e 1 )Mν + (1 - e )Xl Hν+1f, (1.3.64) Mν H ν+1f = ν α 2 Hα r(1 + e-iα)Mν + (1 - e-iα)Xl f, (1.3.65) XHα 1 f = Hα r(1 - e-iα)M + (1+ e-iα)Xl f, (1.3.66) ν+1 2 ν ν Hα - -iα - α - α α iα - ν+1Aν f = e Aν Hν f, Aν Hν f = Hν+1e Aν f, (1.3.67) Hα + iα + α + α α -iα + ν Aν f = e г Aν Hν+1f, Aν Hν+1f = Hν e Aν f, (1.3.68) l Hα 2 2 2 α 1 2 α α ν X f = X cos г 2 - 2 i sin α [XD + DX] - sin 2 Lν Hν f, (1.3.69) l X2Hα α 2 2 α 1 2 α - ν f = Hν г X cos + i sin α [XD + DX] sin Lν 2 2 2 l f, (1.3.70) Hα 2 2 α 1 2 α α ν Lνf = -X sin 2 - 2 i sin α [XD + DX]+ cos 2 Lν Hν f, (1.3.71) Lν Hαf = Hα α г -X2 sin2 + α 1 l i sin α [XD + DX]+ cos2 Lν f, (1.3.72) ν ν 2 2 2 α Hν [XD + DX] f = r-i sin α(X2 α + Lν )+ cos α [XD + DX]l Hν f, (1.3.73) [XD + DX] Hαf = Hα ri sin α(X2 + Lν )+ cos α [XD + DX]l f. (1.3.74) ν ν Приведённые выше формулы операционного исчисления для КПХ позволяют использовать это интегральное преобразование в композиционном методе построения операторов преобразования, излагаемом в главе 6. Итак, мы рассмотрели основные интегральные преобразования, которые используются в данной работе. По поводу общих вопросов теории для различных классов операторов и функциональных пространств см. [16, 166, 175, 182, 254, 273, 357, 386, 633]. 2. Основные классы дифференциальных уравнений с операторами Бесселя и связанных с ними операторов преобразования. В книге принята следующая терминология для названий дифференциальных уравнений с операторами Бесселя d2u 2ν +1 du Bνu(x) = dx2 + в основном введённая И. А. Киприяновым [144]. , (1.3.75) x dx B-эллиптическим называется уравнение с операторами Бесселя вида n , Bν,x 1 n k=1 k u(x ,...,x ) = f (t, x), (1.3.76) иногда такое уравнение называется уравнением Лапласа-Бесселя. B-гиперболическим называется уравнение с операторами Бесселя вида n k Bν,tu(t, x1,..., xn) = , Bν,x k=1 u(t, x1,..., xn)+ f (t, x), (1.3.77) 250 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ в случае одной пространственной переменной получаем уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. B-параболическим называется уравнение с операторами Бесселя вида n ∂ u(t, x1,..., xn) = , Bν,x ∂t k k=1 u(t, x1,..., xn)+ f (t, x). (1.3.78) Те же названиях сохраняем для неполных уравнений, в которых один или несколько операторов Бесселя сводятся ко вторым производным, а также к уравнениям добавляются спектральные параметры. Указанные три класса дифференциальных уравнений по терминологии И. А. Киприянова в своё время были рассмотрены в трёх известных монографиях: B-эллиптические уравнения в монографии И. А. Киприянова [144], B-гиперболические уравнения в монографии Р. Кэрролла и Р. Шоуолтера [451], B-параболические уравнения в монографии М. И. Матийчука [240]. Перечислим некоторые известные классы дифференциальных уравнений с операторами Бесселя, не претендуя на полноту этого списка, также опустив ссылки на работы, кроме нескольких основных. Более полная информация приведена в монографии [347], которая как раз и посвящена рассмотрению дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. B-эллиптическое уравнение вида n , i=1 ∂2u i ∂x2 + ki ∂u xi ∂xi = f (x). (1.3.79) К этому типу относится уравнение обобщённой теории осесимметрического потенциала А. Вайнштейна (GASPT - Generalized Axially Symmetric Potential Theory, [646-648]), уравнения этого класса были достаточно полно изучены в работах И. А. Киприянова и его школы [144]. В случае, когда оператор Бесселя действует по пространственной переменной мы получаем сингулярный вариант волнового уравнения с осевой или центральной симметрией ∂2u ∂2u ν ∂u ∂t2 = ∂x2 + x ∂x, u = u(x, t), x > 0, t ∈ R, ν = const . (1.3.80) Представления решений уравнения (1.3.80) было получено Пуассоном [597]. К этому классу относится обобщённая радиальная задача излучения Вайнштейна [451]. Для случая, когда оператор Бесселя действует по временной переменной t, мы получаем знаменитое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) ∂2u ν ∂u 2 ∂2u ∂t2 + t ∂t = a ∂x2 , u = u(x, t), t > 0, x ∈ R, a, ν = const . (1.3.81) Это уравнение впервые появилось в работе Л. Эйлера [497, с. 227], и затем изучалось С. Пуассоном [597], Б. Риманом [603] и Г. Дарбу [466]. В случае нескольких пространственных переменных при условии ν > n - 1 Диаз и Вайнбергер [476] рассмотрели задачу Коши ∂2u ν ∂u n ∂2u , n ∂t2 + t ∂t = i=1 i ∂x2 , u = u(x, t), t > 0, x ∈ R , ν = const, (1.3.82) u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = 0. (1.3.83) Для произвольных ν задача (1.3.82)-(1.3.83) была решена А. Вайнштейном, см. [646-648]. Обобщённое уравнение ЭПД ∂2u ν ∂u ∂2u k ∂u ∂t2 + t ∂t = ∂x2 + x ∂x, u = u(x, t), t > 0, x > 0, ν, k = const, (1.3.84) и его многомерный вариант ∂2u ν ∂u , n ∂2u ki ∂u ∂t2 + t ∂t = i=1 i i ∂x2 + x ∂xi , (1.3.85) u = u(x1, .., xn, t), t > 0, xi > 0, ν, ki = const, i = 1, .., n, 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 251 были рассмотрены в [221, 222, 353, 354, 366, 451, 501, 621]. Уравнение ЭПД со спектральным параметром ∂2u ν ∂u ∂2u 2 ∂t2 + t ∂t = ∂x2 ± λ u, λ ∈ R (1.3.86) было рассмотрено в [354, 439], а обобщённое уравнение ЭПД со спектральным параметром ∂2u ν ∂u , n ∂2u ki ∂u 2 было изучено в [618]. ∂t2 + t ∂t = i=1 i i ∂x2 + x ∂xi - λ u, λ ∈ R (1.3.87) Обобщённые волновые уравнения с переменными потенциалами вида ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u ∂t2 = ∂x2 + p(x)u, ∂t2 + q(t)u = ∂x2 + p(x)u, (1.3.88) далее обобщаются на B-гиперболические уравнения с переменными потенциалами Bν,tu = Bν,xu + p(x)u, Bν,tu + q(t)u = Bν,xu + p(x)u, (1.3.89) их многомерные аналоги n k Bν,tu + q(t)u = , Bν,x k=1 u + p(xk )u (1.3.90) и B-ультрагиперболические уравнения с переменными потенциалами m , (Bν,t j=1 j u + q(tj )u) = n , k=1 (Bν,x k u + p(xk )u) . (1.3.91) Эти уравнения, явно или неявно, обычно решаются с использованием ОП для операторов Штурма-Лиувилля или возмущённых операторов Бесселя. Другим важным классом, который начал разрабатываться только в последнее время, являются интегро-дифференциальные уравнения дробного порядка с дробными степенями операторов Бесселя. Основы этой теории были заложены в [324-326, 477, 540, 577, 632] и развивались в [99, 328, 329, 348, 500, 622]. В цитированной литературе приведены также многочисленные приложения дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. Таким образом, этот класс уравнений имеет важное значение как для теории дифференциальных уравнений в частных производных, так и для практических приложений. Отметим, что мы ограничиваемся в этой книге рассмотрением линейных дифференциальных уравнений, нелинейные уравнения требуют других подходов и являются отдельным направлением исследований, см., например, обзорные монографии [106, 281, 581, 582]. Приведём полезную непосредственно проверяемую формулу Дарбу-Вайнштейна (это название дано Ж.-Л. Лионсом) Bν (y-2νf (y)) = y-2ν Bνf (y), (1.3.92) с помощью которой случай Re ν < 0 элементарно сводится к случаю Re ν > 0. Теперь определим самый известный класс ОП, сплетающих дифференциальный оператор Бесселя со второй производной: T (Bν ) f = (D2) Tf, Bν = D2 + 2 2ν +1 D, D = x d2 dx2 , ν ∈ C. (1.3.93) Одним из способов построения ОП является установление соответствий между решениями дифференциальных уравнений. Решениями уравнения вида Bνf = λf являются функции Бесселя, а уравнения D2f = λf - тригонометрические функции или экспонента. Поэтому прообразами ОП вида (1.3.93) были формулы Пуассона и Сонина: x 1 r ( 2 2)ν- 1 1 ν √πΓ(ν + 1 J (x) = 2 )2ν-1xν 0 x - t 2 cos(t) dt, Re ν > 2 , (1.3.94) 252 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 2ν+1xν r∞ ( 2 2)-ν- 1 1 1 2 - ν) 2 Jν (x) = √πΓ( 1 x t - x sin(t) dt, - 2 < Re ν < 2 . (1.3.95) Интеграл (1.3.94) начал изучать Эйлер в 1769 г. Затем Парсеваль посчитал интеграл при ν = 0 в 1805 г., для целых ν формулу (1.3.94) получил Плана в 1821 г., Пуассон вывел её для полуцелых ν в 1823 г., его метод применим и для целых ν, но он этого не заметил. Далее этот интеграл встречался в работах Куммера, Лоббато и Дюамеля. Окончательно формулу (1.3.94), которую мы приписываем Пуассону, установил в общем случае Ломмель в 1868 г., а Сонин вывел формулу (1.3.95) в 1880 г. Определение 1.3.8. ОП Пуассона называется выражение x 1 r Pνf = Γ(ν + 1)2ν x2ν 0 (x2 2 t 2)ν- 1 - f (t) dt, Re ν > - 1 . (1.3.96) 2 ОП Сонина называется выражение 1 2ν+ 2 d Sνf = x r (x2 - t2)- ν- 1 1 2 t2ν+1f (t) dt, Re ν < . (1.3.97) 2 Γ( 1 - ν) dx 2 0 Операторы (1.3.96)-(1.3.97) действуют как ОП по формулам Sν Bν = D2Sν, Pν D2 = Bν Pν. (1.3.98) Их можно доопределить на все значения ν ∈ C. Идею изучения операторов подобных (1.3.96)-(1.3.97) высказывал ещё Лиувилль, их реальное использование в контексте теории функций Бесселя начал Н. Я. Сонин. Как ОП эти операторы впервые были введены в работах Жана Дельсарта, а затем на основе идей Дельсарта их изучение продолжилось в работах Дельсарта и в совместных работах Дельсарта и Лионса. Поэтому мы будем называть (1.3.96)-(1.3.97) ОП Сонина-Пуассона-Дельсарта (СПД). Об операторах СПД см. также статью Б. М. Левитана [199]. Не будет преувеличением сказать, что операторы СПД (1.3.96)-(1.3.97) являются самыми знаменитыми объектами всей теории ОП, их изучению, приложениям и обобщениям посвящены сотни работ. e Кроме операторов Сонина и Пуассона нам потребуются и другие подобные, которые получаются заменой в операторов Римана-Лиувилля Iμ на операторы Iμ, определяемые по формуле Iμ e = E IμE -1, (1.3.99) где E - оператор умножения на функцию ex. Эти операторы введены в главе 2, где установлена, в частности, формула e Jμ,ef (y) ≡ IμI-μf (y) = f (y) - μ r∞ f (t) Φ(μ + 1, 2; y - t) dt, (1.3.100) y e в которой Φ(a, c; z) - вырожденная гипергеометрическая функция (относительно других свойств операторов Iμ см. книгу [306]). Тогда справедливы формулы 1 ν ν- 1 ν I Pν,e ≡ P 2 - e 2 = Pν 2 Jν- 1 ,e , (1.3.101) 1 ν ν- 1 Sν,e ≡ I 2 - ν 2 ν = J 1 e S 2 -ν,eS . (1.3.102) В главе 2 также изучаются связи операторов типа Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье и Ханкеля, имеющими следующий вид: r∞ Ff (η) = f (y)e-iyηdy, F -1g(y) = 1 2π r∞ g(η)eiyηdη, (1.3.103) -∞ -∞ 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 253 r∞ F-f (η) = 2 r∞ f (y) sin (yη) dy, F -1g(y) = g(η) sin (yη) dη, (1.3.104) - π 0 0 r∞ 2-2ν r∞ Fνf (η) = 0 ν f (y)jν (yη) y2ν+1dy, F -1g(y) = Γ2(ν + 1) 0 g(y)jν (yη) η2ν+1dη, (1.3.105) где jν (t) = 2ν Γ(ν + 1)Jν (t) - нормированная или малая функция Бесселя, Jν - обычная функция tν Бесселя первого рода. По аналогии можно ввести целое семейство других операторов преобразования, которые являются обобщением бесселевых и риссовских одномерных потенциалов. Некоторые приложения таких операторов даны в работе [119]. Ж. Дельсартом на базе ОП СПД было введено фундаментальное понятие обобщённого сдвига. Ty Определение 1.3.9. Оператором обобщённого сдвига (ООС) называется решение u(x, y) = x f (x) задачи ∂2 (Bν )yu(x, y) = ( 2ν +1 ∂ + ∂2 ) u(x, y) = u(x, y), (1.3.106) ∂y2 y ∂y ∂x2 u(x, 0) = f (x), uy (x, 0) = 0. 1 Название объясняется тем, что ООС в частном случае ν = - 2 сводится к почти обычному сдвигу 1 Ty x f (x) = 2 (f (x + y)+ f (x - y)) . Для ООС (1.3.106) Дельсартом была получена явная формула π y / 2 Γ(ν +1) r 2 ) T 2 2ν x f (x) = √πΓ(ν + 1 f ( 0 x + y - 2xy cos(t)) sin t dt. (1.3.107) Можно рассматривать в определении (1.3.106) и произвольные пары дифференциальных (или даже любых) операторов. Например, при таком определении получаем привычный сдвиг: ∂u ∂u = ∂x ∂y x , u(x, 0) = f (x), Tyf (x) = f (x + y). Отметим, что ООС (1.3.106)-(1.3.107) явно выражаются через ОП СПД (1.3.96)-(1.3.97) (см. [201, 202, 239]). Сделаем важное для дальнейшего замечание. С точки зрения приложений к исследуемым в данной работе решениям дифференциальных уравнений в частных производных с особенностями в коэффициентах указанные операторы СПД обладают рядом недостатков, которые не позволяют применять во многих важных случаях. К этим недостаткам относится следующее: во-первых, введённые выше операторы СПД являются ОП лишь на множестве чётных функций, что исключает возможность рассмотрения функций с особенностями в нуле; во-вторых, они не сохраняют финитность и быстроубываемость на бесконечности функций; в-третьих, они изменяют гладкость преобразуемых функций. На этот факт впервые обратили внимание Ж.-Л. Лионс [566]. Таким образом, возникает необходимость введения и изучения других классов ОП для дифференциальных уравнений, содержащих операторы Бесселя. 3. Дробные степени операторов Бесселя. Отметим, что существует теория дробных степеней операторов Бесселя и их приложениям к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Этот подход позволяет определить дробные степени операторов Бесселя не в образах интегрального преобразования Ханкеля неявно, а в явном виде как конкретный интегральный оператор со специальными функциями в ядрах. Из работ этого направления укажем [99, 324-326, 328, 329, 348, 477, 500, 540, 577, 622, 632]. Безусловно, по аналогии с обычными производными, можно определить такие дробные степени на полуоси при помощи естественного свойства, что они действуют как умножение на степень в 254 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ образах преобразования Ханкеля. Такой подход оправдан за неимением лучшего и позволяет получить ряд интересных результатов, хотя на этом пути невозможно, по-видимому, получить явные представления дробных степеней. Но представим на минуту, что мы умеем определять обычные операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля только через их действие в образах преобразований Лапласа или Меллина, а интегральные формулы для этих операторов нам неизвестны. Тогда сразу становится ясным, что подобная теория будет достаточно бедной и лишится большинства своих наиболее полезных и красивых результатов. Примерно в таком состоянии до недавнего времени находилась теория дробных степеней оператора Бесселя, поэтому их построение в явном интегральном виде является актуальной и интересной задачей. Приведём основные определения и свойства дробных степеней оператора Бесселя. Мы рассматриваем вещественные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя ν на вещественной полуоси (0, ∞). Bν = D2 + x D, ν ;:? 0 (1.3.108) Определение 1.3.10. Пусть f (x) ∈ C2k (0, b]. Определим правосторонний оператор дробного интегрирования Бесселя при условии f (i)(b) = 0, 0 � i � 2k - 1, k ∈ N по формуле (Bν,k b 1 r y 2 - x2 2k-1 ν - 1 x2 b- f )(x) = Γ(2k) 2y x - 2F1(k + b , k; 2k;1 )f (y) dy = 2 y2 √π r ν 1 y 1 (y2 - x2)k- 2 2 P - + k 1 x y 2 = ν f (y) dy. 22k-1Γ(k) x x 2 -1 2 y x Определение 1.3.11. Определим левосторонний оператор дробного интегрирования Бесселя при условии f (i)(a) = 0, 0 � i � 2k - 1,k ∈ N по формуле x 2 2 2k-1 2 (Bν,k 1 r x - y ν - 1 y - a+ f )(x) = Γ(2k) 2x a 2F1(k + , k; 2k;;1 )f (y) dy = 2 x2 x √ π r 1 ν x 2 1 k = (x2 - y2)(k- 2 ) P 2 - 1 x y ν + f (y) dy, 22k-1Γ(k) a y 2 -1 2 y x ν где 2F1 - гипергеометрическая функция Гаусса, Pμ(z) - функция Лежандра. Выражение дробных интегралов Бесселя через функции Лежандра является полезным и является упрощением первоначального определения, так как гипергеометрическая функция Гаусса зависит от трёх параметров, а функция Лежандра - от двух. Существует также версии дробных интегралов Бесселя с произвольными пределами интегрирования, а также их дальнейшие модификации, см. [99, 324-326, 328, 329, 348, 622]. Чаще всего используются такие операторы: Bν,k ν,k 0+ , B∞-. 0+ Свойство 1.3.1. При ν = 0 дробный интеграл Бесселя на полуоси B0,-α сводится к дробному интегралу Римана-Лиувилля, а именно, справедлива формула r∞ (B0,α f )(x) = 1 (y - x)2α-1f (y)dy = (I2αf )(x). ∞- Γ(2α) - x Свойство 1.3.2. Имеет место равенство (Bν,α f )(x) = 1 2α, J ν-1 2 -α,-α xν-1 √ ∞- 22α x2 2 f ( x) , (1.3.109) 1.3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СВОЙСТВА 255 где Jx γ,β,ηf (x) = 1 Γ(γ) r ∞ (t - x)γ-1t-γ-β 2F1 γ + β, -η; γ;1 - x x f (t)dt (1.3.110) t - дробный интеграл Сайго (см. [295]). В (1.3.110) γ > 0, β,θ - вещественные числа. Свойство 1.3.3. При lim x→+∞ g(x) = 0, lim x→+∞ g∗(x) = 0 получим, что ν (Bν,-1B g)(x) = g(x). ∞- Свойство 1.3.4. При x > 0 и m + 2α + ν < 1 справедлива формула ⎡ Bν,α xm = x2α+m 2-2α Γ ⎢ -α - m ν - 1 m - 2 , 2 - α - 2 ⎤ ⎥ . (1.3.111) ∞- ⎣ , 1 - ν - m m ⎦ - 2 2 Свойство 1.3.5. Пусть α > 0. Преобразования Меллина от дробного интеграла Бесселя на полуоси имеет вид ⎡ s M ((Bν,α f )(x))(s) = 1 Γ ⎢ 2 , s ν - 1 2 - 2 ⎤ ⎥ f ∗(2α + s). (1.3.112) ∞- 22α ⎣ α + s ν - 1 s ⎦ - , α + 2 2 2 Свойство 1.3.6. Для дробного интеграла Бесселя на полуоси при α, β > 0 справедливо полугрупповое свойство Bν,α Bν,β f = Bν,α+βf. (1.3.113) ∞- ∞- ∞- Далее приведём выражение для резольвенты дробных степеней оператора Бесселя. Оно обобщает знаменитую формулу для дробных интегралов Римана-Лиувилля, написанную без доказательства Э. Хилле и Я. Д. Тамаркиным в работе 1930 г. [515]. В этой работе указывалось, что формула для резольвенты может быть выведена методом преобразования Лапласа с использованием нового на тот момент понятия свёртки в духе работ Дёйтча, но этот способ похоже не был никогда реализован. Формула Тамаркина-Хилле была на самом деле впервые доказана в монографии М. М. Джрбашяна [86] обычным для теории интегральных уравнений методом последовательных приближений, хотя в монографии Мхитара Мкртитевича нет упоминания, что доказательство даётся им впервые, что характеризует этого замечательного математика. Поэтому, возможно, исторически правильным было бы называть формулу для резольвенты операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля формулой Тамаркина-Хилле-Джрбашяна. Кроме того, в [86] впервые были подробно изучены свойства функции Миттаг-Лефлера, из этой книги отечественные математики узнали о существовании подобной функции. Формула Тамаркина-Хилле-Джрбашяна является самым известным применением функций Миттаг-Лефлера, а также основой огромного числа работ по приложениям дробного исчисления к дифференциальным уравнениям, итальянские математики R. Gorenflo и F. Mainardi предложили называть функцию Миттаг-Лефлера королевской функцией теории дробного исчисления (Queen function of the fractional calculus) [512]. 0+ Свойство 1.3.7. Для резольвенты оператора дробного интегрирования Бесселя Bν,α, 0 � ν < 1 на подходящих функциях справедливо интегральное представление x 1 1 r Rλf = - λf - λ 0 где ядро K(x, y) выражается по формулам K(x, y)f (y) dy, (1.3.114) K(x, y) = 2y x2 - y2 1 r Sα,ν (z(t)) 0 dt (t (1 - t)) ν+1 , (1.3.115) 2 256 ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ ⎛ ⎞ α z , t(1 - t) (x2 - y2)2 ∞ k ν-1 z(t) = ⎝ 1 - 2 1 - x t 4y2 ⎠ , Sα,ν (z) = Γ(αk + 1. )Γ(αk - ) ν-1 2 y2 k=1 - разновидность гипергеометрической функции Райта-Фокса в форме Райта (см. [533, 542- 544]). Подобные функции также применялись в работах А. В. Псху [287], это специальные случаи более общих функций Райта-Фокса, которые первоначально вводились как обобщения функций Бесселя (см. выше о специальных функциях Райта-Фокса). Интересной задачей является дальнейшее упрощение представления ядра (1.3.115), если оно возможно. Полученная формула для резольвенты дробных степеней оператора Бесселя позволяет рассматривать задачи для обыкновенного интегродифференциального уравнения вида Bα ν u(x) - λu(x) = f (x), ν где Bα одна из дробных степеней оператора Бесселя, при различных краевых условиях. По аналогии с известными результатами возможно также рассмотрение уравнений в частных производных с дробными степенями оператора Бесселя и их модификациями по Герасимову-Капуто, которые можно ввести на основе имеющихся обобщённых формул Тэйлора. К числу таких уравнений относится обобщение B-эллиптического по терминологии И. А. Киприянова [144] дробного уравнения Лапласа-Бесселя , Bαk n νk u(x1, x2,... xn) = f (x1, x2,... xn), k=1 нестационарное уравнение вида Bα ν,tu(x, t) = Δxu(x, t)+ f (x, t). Отметим, что рассмотрение спектральных свойств подобных уравнений нуждается в изучении асимптотики функции K(x, y) из формулы (1.3.115) в комплексной плоскости, а также распределения её корней. Многочисленные приложения операторов дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля основаны на их вхождении в остаточный член формулы Тэйлора. Поэтому после определения дробных степеней оператора Бесселя сразу возникает задача о построении обобщённой формулы Тэйлора, в которой функция раскладывается по степеням оператора Бесселя. Эта задача возникла достаточно давно и имеет некоторую историю. Впервые формулы разложения по степеням оператора Бесселя были получены Жаном Дельсартом (ряды Тэйлора-Дельсарта) [200-202, 470]. Общий способ их построения изложен в [380] в терминах операторно-аналитических функций. Но ряды Тэйлора-Дельсарта позволяют разложить по степеням оператора Бесселя не обычный, а обобщённый сдвиг. По существу такие разложения являются операторными вариантами рядов для функции Бесселя, так же как обычные ряды Тэйлора являются операторными версиями разложения в ряд экспоненты. Разумеется, ряды Тэйлора-Дельсарта имеют свою область приложений. Но для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных нужны обобщённые формулы и ряды Тэйлора несколько другой природы. При пересчёте решения со слоя на слой, например, методом сеток формулы для обобщённого сдвига совершенно бесполезны, а нужны именно формулы для обычного сдвига, выражающие решение на очередном рассчитываемом слое через его значения на предыдущих слоях. Оказалось, что строить такие формулы для обычного сдвига намного труднее, чем для обобщённого, так как они уже не являются прямыми аналогами известных тождеств для специальных функций. Впервые с указанной мотивацией для применения к численному решению уравнений с оператором Бесселя методом конечных элементов формула Тэйлора нужного типа была рассмотрена в работе В. В. Катрахова [128]. Но полученный там результат может рассматриваться только как первое приближение для желаемых формул в явном виде, так как коэффициенты выражались неопределёнными постоянными, задаваемыми системой рекуррентных соотношений, а ядро остаточного члена представлялось некоторым многократным интегралом. Это не случайно, угадать 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 257 одновременно явный вид ядер и остаточных членов невозможно, пока не известны конкретные выражения для остатка в виде дробных степеней оператора Бесселя. Тем не менее, поставленная В. В. Катраховым задача была решена и окончательный вид формулы Тэйлора со степенями операторов Бесселя и остаточным членом в форме дробной степени оператора Бесселя был найден Д. С. Коноваловой и С. М. Ситником в [324], см. также [99, 325, 326, 328, 329, 348, 622]. ГЛАВА 2 ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ В этой главе изучаются свойства операторов преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта, Эрдейи-Кобера и вводятся новые операторы преобразования. Устанавливается их связь с преобразованиями Фурье, Ханкеля и с дробными интегралами лиувиллевского типа. С этой целью используются как классические лиувиллевские операторы, так и некоторые другие, занимающие промежуточное положение между ними и бесселевыми потенциалами и наследующими положительные свойства тех и других. Необходимость введения указанных операторов была вызвана тем, что лиувиллевские операторы не ограничены в соболевских пространствах в случае неограниченных областей. Рассматривается сведение пространств С. Л. Соболева с помощью операторов преобразования к весовым функциональным пространствам, введённым И. А. Киприяновым. Здесь же вводятся и изучаются новые функциональные пространства (в одномерном случае). Далее строится один класс многомерных операторов преобразования, преобразующих многомерный оператор Лапласа в обыкновенный оператор двукратного дифференцирования по радиальной переменной. Эти операторы определены на функциях, у которых допускается наличие особенности в одной точке, в качестве которой выбрано начало координат. 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2.1.1. Основные конструкции операторов преобразования. Напомним общее определение (см. Ж.-Л. Лионс [213]) операторов преобразования. Пусть A и B - некоторые линейные операторы. Операторы P и S называются операторами преобразования для A и B, если имеют место формулы B = P AS, A = SBP (2.1.1) и операторы P и S взаимно обратны. Данное определение не является вполне строгим, поскольку не указаны области определения и значения участвующих операторов. Их описание мы будем давать в каждом конкретном случае отдельно. Простейшим примером операторов преобразования может служить преобразование Фурье. В этом случае P и S, соответственно, прямое и обратное преобразование Фурье, B - оператор дифференцирования, A - оператор умножения на двойственную переменную. В этом примере операторы A и B имеют различную природу. Мы же на протяжении всей книги будем рассматривать случай, когда A и B будут дифференциальными операторами. В частности, в этом параграфе мы рассмотрим в качестве A и B следующие операторы: ∂2 A = , B = Bν = ∂2 2ν +1 ∂ + . ∂y2 ∂y2 y ∂y Оператор Bν принято называть оператором Бесселя с параметром ν. В этой ситуации известны [199, 237] следующие операторы преобразования: ν+ 1 y 2Γ(ν +1) r ν- 1 π Γ Pν,0 2 f (y) = √ ν + 1 ( ) y-2ν 2 0 y (y2 - t2) 2 f (t) dt, (2.1.2) 1 S-ν- 2 √π ∂ r (y2 1 2)-ν- 2 2ν+1 2 - ν,0 f (y) = Γ (ν + 1) Γ ( 1 ν) ∂y - t 0 t f (t) dt. (2.1.3) 258 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Здесь и всюду ниже через Γ(μ) обозначается гамма-функция Эйлера. Функция f (y) определена + на полупрямой E1 = {y > 0} и является гладкой, финитной и чётной функцией. В тех случаях, когда интегралы в предыдущих формулах расходятся, нужно перейти к их регуляризации. ν+ 1 -ν- 1 Оператор Pν,0 2 принято называть оператором Пуассона, а оператор Sν,0 2 - оператором Сонина. Эти названия заимствованы из теории цилиндрических функций, где так называют подобные интегралы в формулах (2.1.2) и (2.1.3) при некоторой конкретной функции f. Для произвольных функций эти операторы были введены Ж. Дельсартом. Поэтому мы также будем использовать общее название - операторы преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта. С точки зрения приложений к исследуемым в работе сингулярным эллиптическим краевым задачам в частных производных указанные операторы обладают рядом недостатков, которые не позволяют применять их в данном случае. К этим недостаткам относятся следующие: во-первых, ν+ 1 -ν- 1 операторы Pν,0 2 и Sν,0 2 удовлетворяют формулам (2.1.1) лишь на множестве чётных функций (нам же необходимо изучать растущие вблизи начала функции); во-вторых, они не сохраняют финитность и быстрое убывание функций на бесконечности; в-третьих, они изменяют гладкость преобразуемых функций. На последний факт впервые обратил внимание Ж.-Л. Лионс [564-566]. Впрочем, это нетрудно усмотреть и непосредственно. Введем операторы преобразования, свободные от всех указанных выше недостатков. Для этого найдем сначала для операторов (2.1.2) и (2.1.3) формально сопряжённые относительно билинейных форм вида Имеем (f, g)ν = r∞ y2ν+1f (y)g(y) dy. 0 t ν+ 1 r∞ 2Γ (ν + 1) r ν- 1 Pν,0 2 g, f √ = t2ν+1f (t) ν π Γ 0 ν + 1 ( ) t-2ν 2 0 (t2 - y2) 2 g(y) dydt = 2Γ (ν +1) r∞ rt ( 2 2)ν- 1 ν+ 1 2 = √π Γ (ν + 1 ) 0 g(y) 0 tf (t) t - y 2 dtdy = g, Sν 2 , 1 - 2 ν+ 1 где оператор Sν 2 определяется по формуле r∞ ν+ 1 2Γ(ν +1) ν- 1 Аналогично получаем √ Sν 2 f (y) = π Γ 2 (ν + 1 ) y (t2 - y2) t 2 tf (t) dt. (2.1.4) 1 √ r∞ r 1 S-ν- 2 π ∂ ( 2 2)-ν- 2 2ν+1 ν,0 g, f ( 1 = - 2 1 Γ (ν + 1) Γ 2 - ν) ∂t 0 0 t - y y g(y) dyf (t) dt = - √ r∞ r∞ 1 ν 1 = π y2ν+1g(y) (t2 - y2)-ν- 2 ∂f (t) dtdy = g, P - - 2 , 2 - Γ (ν + 1) Γ ( 1 ν) 0 y ν ∂t ν где положено 1 P -ν- 2 √ - π ∞ r ( 2 1 2)-ν- 2 ∂f(t) ν f (y) = Γ (ν + 1) Γ ν ( 1 ) 2 - y t - y dt. (2.1.5) ∂t Нам будет удобно выделить другие операторы, которые получаются из (2.1.4) и (2.1.5) перенесением оператора дифференцирования из второго в первый оператор: r∞ ν- 1 -2Γ (ν +1) ∂ ( )ν- 1 √ Sν 2 f (y) = π Γ 2 (ν + 1 ) ∂y y t2 - y2 2 tf (t) dt, (2.1.6) 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 259 1 P 2 -ν √ ∞ r π ( 2 1 2)-ν- 2 ν f (y) = Γ (ν + 1) Γ ν ( 1 ) 2 - y t - y f (t) dt, (2.1.7) где, как и ранее, под aμ, a > 0, понимается главная ветвь многозначной функции: aμ = exp(μ ln a). Предыдущие выкладки носили несколько формальный характер. Они приведены, чтобы лучше была видна связь операторов Пуассона и Сонина с операторами Эрдейи-Кобера. Введем некоторые обозначения. Пусть R обозначает положительное число или бесконечность. Через C∞(0, R) обозначается множество бесконечно дифференцируемых на интервале (0, R) функций. C˚∞(0, R) обозначает подмножество функций из C∞(0, R), имеющих компактный в (0, R) носитель. Через C∞[0, R) обозначаем подмножество функций из C∞(0, R), все производные которых непрерывны вплоть до левого конца. Символ C˚∞[0, R) обозначает подмножество функций из C∞[0, R), обращающихся в нуль в окрестности правого конца. Через C˚∞ (0, R) обозначим под- {0} множество функций из C∞(0, R) обращающихся в нуль в окрестности правого конца. Отметим, что функции из C˚∞ (0, R) могут расти произвольным образом в окрестности точки y = 0. Будем {0} ∈ называть функцию f ∈ C∞[0, R) чётной (нечётной), если Dkf (0) = 0 при всех нечётных (чётных) неотрицательных значениях k. Здесь D = ∂ , Dk = DDk-1. Функция f C∞[0, R) будет ∂y чётной тогда и только тогда, когда функция g(y) = f (√y) принадлежит пространству C∞[0, R2). Этот факт элементарно доказывается с помощью формулы Тейлора. Множество чётных (нечётных) функций обозначим через C∞[0, R) (C∞[0, R)). Пусть также C˚∞[0, R] = C∞[0, R) ∩ C˚∞[0, R) + - ± ± Кроме того, будем использовать обозначение (0, ∞) = E1 , [0, ∞) = E1 . + + ν- 1 + Определим операторы преобразования Sν {0} 2 при Re ν ;:? 0 на функциях f ∈ C˚∞ (E1 ) по фор- ν- 1 1 муле (2.1.6). Операторы Pν 1 2 на том же классе функций при 0 � Re ν < 1 2 2 -ν определим по формуле (2.1.7). Для Re ν ;:? 2 значение функции Pν f (y) в точке y > 0 определим как аналитическое продолжение интеграла (2.1.7) по параметру ν. Если 1 1 2 1 � Re ν < N + 2 , где N - натуральное ν число, то это равносильно заданию оператора P 2 -ν по формуле 1 N -N √ r∞ 1 N P 2 - ν ν f (y) = (-1) 2 π ( ) (t2 - y2 )N -ν- 2 ∂ 1 f (t) dt, (2.1.8) 2 - Γ (ν + 1) Γ N ν + 1 y ∂t t в которой интеграл справа является сходящимся. Введённые операторы действительно являются операторами преобразования, поскольку справедлива Теорема 2.1.1. Операторы P ν 1 - ν- 1 ν 2 и Sν 2 при Re ν ;:? 0 взаимно однозначно отображают пространство C˚∞ {0} + (E1 ) на себя и являются взаимно обратными. Имеют место формулы ν 1 Bν P 2 - 1 = P 2 -ν D2, D2S - - ν 1 ν 1 2 = S 2 B . (2.1.9) ν ν ν ν ν Доказательство. Пусть Re ν < N + 1 , где N - натуральное число. После замены переменных 2 t → ty формула (2.1.8) принимает вид 1 N -N √ 2(N -ν) N r∞ 1 P 2 -ν (-1) 2 πy ∂ 1 ( )N -ν- 2 ν f (y) = Γ (ν + 1) Γ 2 (N - ν + 1 ) ∂y y t2 - 1 1 r∞ t-2N f (ty) dt = 1 (-1)N 2-N √π y2(N -ν) = ( ) ∂ 1 N y2ν (t2 - y2)N -ν- 2 t-2N f (t) dt. (2.1.10) 2 Γ (ν + 1) Γ N - ν + 1 ∂y y y 260 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ 1 ν Отсюда сразу следует, что функция P 2 -νf (y) бесконечно дифференцируема при y > 0 и финитна, если f ∈ C˚∞ {0} + (E1 ) . Более того, точная верхняя грань носителя при этом не увеличивается. 1 Таким образом, оператор P 2 -ν отображает пространство C˚∞ (E1 ) в себя. Аналогичным образом ν {0} + 1 ν- 1 1 ν ν- 1 - это доказывается и для оператора Sν ν 2 . Покажем, что P 2 - = Sν 2 . По теореме Фубини при Re ν < N + 1 2 имеем 1 1 N +1 1-N 2(N -ν) N r∞ P 2 -ν ν- 2 (-1) 2 y ∂ 1 ν Sν f (y) = Γ 2 (ν + 1 ) 2 Γ (N - ν + 1 ) ∂y y y2ντ 1-2ν × y ∂ × ∂τ τ (τ 2ν+1f (τ )) r (t2 1 - y2)N -ν- 2 t-2N -1 (τ 2 1 - t2)ν- 2 dtdτ. y Во внутреннем интеграле произведем замену переменных по формуле 1 1 1 1 = + z . Тогда получим τ t2 y2 N 1 τ 2 - y2 r (t2 1 2)N -ν- 2 t-2N -1 (τ 2 2)ν- 1 1 2N 2ν 1 2ν 1 1 1 r N ν 1 ν 1 - y - t y 2 dt = y 2 - - τ - y2 - τ 2 z - - 2 (1 - z) - 2 dz = 0 (τ 2 - y2)2ν-2N -1 Γ (N - ν + 1 ) Γ (ν + 1 ) = 2 2 Следовательно, 2 y2ν+1Γ (ν + 1) . 1 1 N 2N -2ν N r∞ P 2 -ν ν- 2 (-1) y ∂ 1 1 2 2 N -2N ∂ 2ν+1 ν Sν f (y) = 2N N ! ∂y y y (τ - y ) τ ∂τ (τ y f (τ )) dτ. Интегрируя один раз по частям в этом интеграле, а затем дифференцируя по параметру получим 1 1 N N N -1 ∞ P 2 -ν ν- 2 (-1) 2 2N -2ν ∂ ∂ r 2 2 N -1 2ν-2N ν Sν f (y) = 2N N ! y ∂y y∂y r∞ (τ - y ) τ y f (τ )dτ = = -N ! y2N -2ν ∂ τ 2ν-2N f (τ )dτ = f (y). N ! ∂y y ν- 1 1 ν P Аналогичным образом устанавливается формула Sν 2 2 - ν f (y) = f (y). Стало быть доказано, что 1 1 операторы P 2 -ν и Sν- 2 осуществляют взаимно однозначное отображение пространства C˚∞ (E1 ) ν ν на себя. {0} + Докажем формулы (2.1.9). Достаточно проверить одну из них, например, первую, поскольку другая есть её следствие. Ввиду возможности применения принципа аналитического продолжения достаточно рассмотреть случай Re ν < 1 . Для f ∈ C˚∞ (E1 ) из (2.1.10) получаем 2 {0} + ν 1 ν Bν P 2 - f (y) = √π 1 ( ) ∂2 2ν +1 ∂ r∞ + (t2 - y2)- - ν 1 2 f (t) dt = Γ (ν + 1) Γ 2 - ν ∂y2 y ∂y y √π = ( 1 ∞ t r ( 2 ) - 1) 2 -ν- 1 ∂2 2ν +1 ∂ + (y-2ν f (ty)) dt. (2.1.11) Γ (ν + 1) Γ 2 - ν 1 ∂y2 y ∂y 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 261 Далее, поскольку ∂2 2ν +1 ∂ ( 2ν 2ν 2 ∂2f (τ ) 1 2ν 1 ∂f(τ ) 1 ∂y2 + y ∂y y- f (ty)) = y- t ∂τ 2 1 1 1τ =ty 1 + (1 - 2ν)y- - t 1 , ∂τ 1τ =ty (1 - 2ν)y-2ν ( )-ν- 1 1 ∞ r 1 t t2 - 1 2 ∂f (τ ) 1 dt = -y-2ν-1 ∞ ( ) 1 r ∂ t2 - 1 2 -ν 1 ∂f(τ ) 1 dt = ∂τ 1τ =ty 1 r∞ 1 ∂t ∂τ 1 2 1 1 1τ =ty = -y-2ν (t2 - 1)-ν- 2 (t2 - 1) ∂ f (τ ) 1 dt, 1 то правая часть формулы (2.1.11) приводится к виду ∂τ 2 1 1τ =ty √π r∞ 1 2 1 y-2ν (t2 - 1)-ν- 2 ∂ f (τ ) 1 dt. 2 Γ (ν + 1) Γ ( 1 - ν) 1 ∂τ 2 1 1τ =ty Этим завершается доказательство формулы (2.1.9), а вместе с тем и теоремы в целом. Теорему 2.1.1 следует считать известной, она доказывалась многими авторами при различных ограничениях [306]. Мы предпочли дать её полное доказательство, поскольку сделать конкретную ссылку оказалось затруднительно, и так как она играет ключевую роль в теории операторов преобразования. ∈ Лиувиллевский оператор Iμ при Re μ > 0 на функциях f C˚∞ {0} + (E1 ) определяется по формуле Iμf (y) = 1 Γ(μ) r∞ (t - y)μ-1f (t) dt. (2.1.12) y Для остальных значений комплексного параметра μ функция Iμf (y) определяется с помощью аналитического продолжения по параметру μ. Если Re μ > -M, где M - натуральное число или нуль, то это эквивалентно заданию Iμf (y) по формуле M Iμf (y) = (-1) r M ∞ (t - y)M +μ-1 ∂ f (t) dt. (2.1.13) Γ (μ + M ) y ∂tM Следовательно, операторы Iμ определены на C˚∞ {0} + (E1 ) при всех комплексных μ. Они, во-первых, взаимно однозначно отображают пространство C˚∞ {0} + (E1 ) на себя, а во-вторых, справедливо групповое свойство IμIν = Iν Iμ = Iμ+ν. (2.1.14) {0} Определим теперь операторы Pν и Sν при Re ν ;:? 0 на функциях f ∈ C˚∞ + (E1 ) по формуле ν 1 Pνf = P 2 - 1 Iν- 2 f, S 1 f = I 2 -ν S - ν 1 2 f. (2.1.15) ν ν ν Из перечисленных выше свойств лиувиллевских операторов и теоремы (2.1.1) следует Теорема 2.1.2. При Re ν ;:? 0 операторы Pν и Sν взаимно однозначно отображают пространство C˚∞ (E1 ) на себя и являются взаимно обратными. Для f ∈ C˚∞ (E1 ) справедливы формулы {0} + {0} + Bν Pνf = Pν D2f, D2Sνf = Sν Bνf. (2.1.16) Следовательно, операторы Pν и Sν действительно являются операторами преобразования. Они допускают следующие представления, вывод которых стандартен. Пусть функция f ∈ C˚∞ (E1 ) . Тогда при 0 � Re ν < 1 из формул (2.1.15) и (2.1.13) получаем {0} + 1 ν 1 2 1 ν 1 ν Pνf (y) = P 2 - ν Iν- 2 f (y) = -P 2 - Iν+ 2 Df (y) = 262 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ √ ∞ ∞ - r 1 r = π (t2 - y2)-ν- 2 1 (τ - t)ν- 2 Df (τ )dτdt = Γ (ν + 1) Γ ( 1 - ν) Γ (ν + 1 ) 2 2 y √ r ∞ - π = τ r Df (τ ) (t2 t 1 y2)-ν- 2 (τ 1 t)ν- 2 dtdτ. Γ (ν + 1) Γ ( 1 - ν) Γ (ν + 1 ) - - 2 2 y y Для вычисления внутреннего интеграла введем новую переменную по формуле z = t - y . Тогда τ - y τ r (t2 1 - y2)-ν- 2 (τ 1 - t)ν- 2 1 1 r dt = (2y)-ν- 2 1 z-ν- 2 (1 - z)ν- 1 y - τ 2 1 - 1 -ν- 2 z dz = y 0 Γ ( 1 2y ) ( 1 ) - = 2 - ν Γ 2 + ν 1 2F1 1 1 ν + ; y τ ν; l; , (2.1.17) (2y)ν+ 2 2 2 - 2y где через 2F1(a, b; c; ζ) обозначена гипергеометрическая функция Гаусса. Выше была использована формула Эйлера [17, с. 72] Γ(c) 2F1(a, b; c; ζ) = Γ(b) Γ(c - b) 1 r tb-1 0 (1 - t) c-b-1 (1 - ζt)-a dt. (2.1.18) μ Функция Лежандра первого рода P 0(ζ) при ζ > 0 может быть определена формулой [17, с. 156] π P 0 1 r / 2 μ μ (ζ) = π 0 ζ + ζ - 1 cos t dt. (2.1.19) μ Отметим, что функция P 0(ζ) является аналитической функцией комплексного параметра μ. Гипергеометрическая функция из формулы (2.1.18) выражается через функцию Лежандра по следующей формуле (см. [17, с. 127]): 1 1 1 - - 1 τ 0 τ 2F1 ν + ; ν; l; 2 2 2 2 y 2 = Pν- 1 y . Таким образом, получено следующее представление оператора Pν : √ r∞ π 1 ∂f (τ ) τ 1 Pνf (y) = - y-ν- 2 P 0 1 dτ. (2.1.20) 2ν+ 2 Γ (ν + 1) ∂τ ν- 2 y y 1 Эта формула доказана при дополнительном ограничении 0 � Re ν < 2 . Однако нетрудно заметить, что при фиксированной функции f и фиксированном значении y > 0 и левая и правая части суть аналитические функции параметра ν при Re ν ;:? 0. Поэтому, в силу единственности аналитиче- ∈ ского продолжения формула (2.1.20) имеет место для всех y > 0, f C˚∞ {0} + (E1 ) и для всех ν с Re ν ;:? 0. μ Присоединенная функция Лежандра P -1(ζ) определяется по формуле P 0 ∂ μ(μ + 1) - 1 ∂ζ μ (ζ) = /ζ2 μ P -1(ζ), ζ ;:? 1. Тогда, интегрируя по частям в (2.1.20), получаем 2 √π y-ν- 1 ⎛ 2 1 r∞ P -1 ν- 1 (t) ⎞ Pνf (y) = 1 2ν+ 2 Γ (ν + 1) - ⎝f (y)+ ν 4 2 √ ⎠ f (ty) dt . (2.1.21) - t2 1 1 Из такой записи оператора преобразования Pν видно, что он не изменяет гладкость преобразуемой функции, поскольку ядро интегрального оператора в (2.1.21) не имеет несуммируемых особенностей при 1 � t < ∞. Это утверждение, конечно, справедливо лишь при положительных аргументах. 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 263 При y = 0 особенность у функции Pνf (y) может возникать и в том случае, если функция f её и не имела. Здесь играет роль поведение ядра на бесконечности. Например, P 1 f (y) = 1 f (y). 2 y 1 1 {0} Выведем аналогичное представление для оператора Sν. При 0 � Re ν < 2 и f ∈ C˚∞ (E+) из формул (2.1.12), (2.1.16) имеем r∞ 1 r∞ 1 ν- 1 -2Γ(ν +1) ∂ ν -ν- 1 Sνf (y) = I 2 -ν Sν √ 2 f (y) = π Γ 2 ( 1 + ν) ν Γ ∂y ( 1 ) 2 - y (t - y) - 2 t (τ 2 - t2) 2 τf (τ ) dτdt = = -2Γ (ν + 1) ∂ r∞ τ r τf (τ ) (t 1 (τ y)ν- 2 2 t2)-ν- 1 2 dtdτ. (2.1.22) √π Γ ( 1 + ν) Γ ( 1 - ν) ∂y - - 2 2 y y Для вычисления внутреннего интеграла введем новую переменную по формуле z = t - y . Тогда получим τ r 1 1 1 1 r 1 1 y - τ τ - y 1 ν- 2 (t - y)ν- 2 (τ 2 - t2)-ν- 2 dt = (τ + y)ν- 2 y 0 - z-ν- 2 (1 - z)ν- 2 1 z y + τ dz = Γ ( 1 ) = 2 - ν ( 1 Γ 2 + ν) 1 1 2F1 - 1 y τ ν; ν; 1; . (τ + y)ν- 2 2 - 2 - y + τ Гипергеометрическая функция в последней формуле сводится к функции Лежандра по формуле [17, с. 128] 1 1 ζ - 1 ν- 1 1 ν 0 2F1 2 - ν; 2 - ν; 1; ζ +1 = 2 2 (ζ + 1) 2 - P 1 (ζ) . ν- 2 Учитывая это, из (2.1.22) находим 1 r∞ 1 Sνf (y) = - 2ν+ 2 Γ (ν + 1) ∂ √ π ∂y y ν- 1 τν+ 2 f (τ )P 0 2 y τ dτ. (2.1.23) В силу принципа аналитического продолжения полученное представление оператора Sν справедливо при Re ν ;:? 0. После дифференцирования интеграла по параметру получаем 1 2ν+ 2 Γ (ν + 1) ⎛ ν+ 1 ∞ 2 1 r ν+ 1 P -1 ν- 1 ( 1 ) ⎞ t Sνf (y) = √π y 2 ⎝f (y) - ν - 4 t 1 2 2 f (ty) √ t2 - 1 dt⎠ . Отсюда видно, что оператор Sν, так же как и Pν, не изменяет гладкость функций при положительных аргументах. Кроме введённых, мы будем использовать и некоторые другие операторы преобразования, при построении которых будет использован другой класс дробных интегралов. Свойства таких интегралов будут изучены в следующем пункте. 1. Дробные интегралы типа Римана-Лиувилля. На функциях класса C˚∞ {0} + (E1 ) опредеe лим оператор Iμ при Re μ > 0 по формуле 1 ∞ Iμ r μ-1 y-t e f (y) = Γ (μ) y (t - y) e f (t) dt, y > 0. (2.1.24) Если Re μ > -M, где M - целое неотрицательное число, то мы полагаем M r ∞ Iμ (-1) y M μ+M -1 ∂ -t e f (y) = Γ (μ + M ) e y (t - y) (e ∂tM f (t)) dt. (2.1.25) 264 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Если через E обозначим оператор умножения на функцию ey, а через E-1 обратный к нему, то справедлива формула Iμ e = E IμE -1, (2.1.26) e e которая связывает операторы Iμ и Iμ при всех комплексных μ. Отсюда и из свойства лиувиллевских операторов вытекает групповое свойство операторов Iμ: Iμ ν ν μ μ+ν e Ie = Ie Ie = Ie . (2.1.27) Следовательно, любой оператор Iμ отображает пространство C˚∞ (E1 ) на себя, и обратным к нему e e будет оператор I-μ. {0} + e Операторы Iμ и Iν коммутируют. Этот факт сразу вытекает из их свёрточной природы. В e частности, Iμ коммутирует с оператором дифференцирования. e Найдем явное выражение операторов вида Iν Iμ. Пусть сначала Re ν > 0 и Re μ > 0. Тогда для ∈ функции f C˚∞ {0} + (E1 ) имеем Iν Iμ 1 r∞ (t - y)ν-1 r∞ (τ - t)μet-τ f (τ ) dτdt = e f (y) = Γ (ν) Γ (μ) y = t 1 r∞ 1 r 1. (τ ) (τ - y)ν+μ-1 zμ-1(1 - z)ν-1e(y-τ )z dzdτ. (2.1.28) Γ (ν) Γ (μ) y 0 Последний внутренний интеграл выражается через одну из специальных функций, а именно через вырожденную гипергеометрическую функцию Φ (a, c; ζ) (другое стандартное обозначение 1F1 (a, c; ζ)). Функция Φ при Re c > Re a > 0 может быть определена по формуле 1 Φ (a, c; ζ) = Γ(c) r Γ(a) Γ(c - a) 0 za-1(1 - z)c-a-1eζz dz. (2.1.29) Приведем некоторые известные её свойства (см. [17, гл. 6]). Функция 1 Γ(c) Φ (a, c; ζ) аналитически продолжается до целой функции своих параметров a, c и переменной ζ. При этом в устранимых особых точках c = -m = 0, -1, -2,... полагают 1 Γ(c) Φ (a, c; ζ) = a(a + 1) ... (a + m) ζm+1 (m + 1)! Φ (a + m + 1,m + 2; ζ) . (2.1.30) Справедливы следующие формулы: ∂ (ζc Φ (a, c + 1; ζ)) = c ζc-1Φ (a, c; ζ) , (2.1.31) ∂ζ ∂ a Φ (a, c; ζ) = ∂ζ c Γ(c) Φ (a + 1,c + 1; ζ) , (2.1.32) Φ (a, c; ζ) = Γ(c - a) (-ζ)-a (1+ O(|ζ|-1)) , ζ → -∞. (2.1.33) Вернемся к формуле (2.1.28). Учитывая (2.1.29), находим r∞ Iν Iμ 1 f (τ )(τ - y)ν+μ-1Φ (μ, μ + ν; y - τ ) dτ. (2.1.34) e f (y) = Γ(ν + μ) y Выведем аналогичное представление оператора IμI-μ = I-μIμ при комплексных μ. При Re μ > 0 e e ∈ и m = [Re μ]+1 имеем для f C˚∞ {0} + (E1 ) по предыдущей формуле I-μIμ r ∞ m 1 ∂ mf (τ ) m-1 e f (y) = (-1) Γ(m) y ∂τm (τ - y) Φ (μ, m; y - τ ) dτ. (2.1.35) 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 265 Интегрируя m - 1 раз по частям в (2.1.35) и используя формулу (2.1.31), получаем I-μIμ r∞ ∂f (τ ) - e f (y) = - y Φ (μ, 1; y τ ) dτ. (2.1.36) ∂τ Еще раз интегрируя по частям в (2.1.36), находим IμIμ r∞ ∂ - e f (y) = f (y)Φ (μ, 1; 0) + y f (τ ) Φ (μ, 1; y τ ) dτ. (2.1.37) ∂τ Так как Φ (μ, 1; 0) = 1, то с использованием (2.1.32) формула (2.1.37) приводится к следующему окончательному виду: I-μIμ e f (y) = f (y) - μ r∞ f (τ )Φ (μ, 2; y - τ ) dτ. (2.1.38) y Эта формула, доказанная нами для Re μ > 0, на самом деле верна для функций f ∈ C˚∞ (E1 ) при ения. всех комплексных μ, поскольку здесь возможно применение аналитического продолж{0} + e Изучим действие операторов Iμ в пространствах С. Л. Соболева на полупрямой, которые мы + обозначим через Hs (E1 ) , где целое s ;:? 0. Эти пространства определяются как замыкание мно- + жества C˚∞ E1 по норме +) ±f ±Hs(E1 , / s 2 = ±Dkf ± ( 1 2 , (2.1.39) +) где k=0 L2 E1 1 +) ±f ±L2(E1 ⎛r∞ = ⎝ 0 |f (y)|2 ⎞ 2 dy⎠ . e Лемма 2.1.1. Оператор Is расширяется до ограниченного оператора, изоморфно отображающего пространство L2 (E1 ) на Hs (E1 ) . + + + Доказательство. Для функции f ∈ C˚∞(E1 ) по формуле Лейбница при 0 � k � s, получаем Dk Is e f = Dk E IsE -1f = k , m=0 k m s m E D I E k -1f = k k k = ,(-1)m m=0 m E Is-mE-1f = ,(-1)m m=0 e Is-mf. (2.1.40) m При Re μ > 0 по обобщённому неравенству Минковского имеем 1 ∞ 1 1r 1 |Iμf ± 1 = 1 1 tμ-1e-tf (y + t) dt1 � + e L2(E1 ) |Γ(μ)| 1 10 r∞ 1 1 + 1L2(E1 ) � ±f ±L2(E1 1 tRe μ-1 e-t dt = ±f ±L2(E1 Γ(Re μ) . +) |Γ(μ)| 0 +) |Γ(μ)| Такая же оценка сохраняется и в тривиальном случае μ = 0. Отсюда и из (2.1.40) получаем ±Isf ± � c±f ± . (2.1.41) + e Hs(E1 ) + L2(E1 ) + Докажем противоположную оценку. По формуле Лейбница имеем для f ∈ C˚∞(E1 ) I-s -s -1 s s -1 s s , k s s-k e f = E I E f = (-1) E D E f = (-1) k=0 (-1) m D f. 266 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ + Отсюда для f ∈ C˚∞(E1 ) получаем 1 -s s 1 s +) ±f ±L2(E1 1 = 1Ie Ie f 1 + L2(E1 ) � c±Ie f ±Hs (E+) . (2.1.42) Так как Is C˚∞(E1 ) = C˚∞(E1 ), то оценки (2.1.41), (2.1.42) завершают доказательство леммы. e + + Следствие 2.1.1. Норма ±f˜ = ±I-sf ± на пространстве Hs (E1 ) при s ;:? 0 эк- вивалентна норме (2.1.39). + ±Hs(E1 ) + e L2(E1 ) + Iμ Лемма 2.1.2. Пусть s, s∗ ;:? 0 и μ - комплексное число. Тогда при s - s∗ + Re μ > 0 оператор + E e непрерывно отображает пространство Hs (E1 ) в Hsl ( 1 ) + . Если μ вещественно, то это же верно и при s - s∗ + μ = 0. e Доказательство. Используя норму ±�±Hs и групповое свойство операторов Iν, получим |Iμf ± = ±Iμ-sl f ± = ±Is-sl+μI-sf ± . + e Hsl (E1 ) e + +) L2(E1 ) e e L2(E1 e Осталось только заметить, что оператор Iν + отображает непрерывно L2 (E1 ) в себя при Re ν > 0, а также при ν = 0. Лемма доказана. Приведем еще один результат, который будет использован во второй главе. + Лемма 2.1.3. Пусть функция a ∈ C∞(E1 ) и ограничена вместе со всеми производными. То- -μ μ гда при s ;:? 0 и любых комплексных μ оператор Ie aIe непрерывно отображает пространство + Hs (E1 ) в себя. Справедлива оценка 1 ∂ka(y) 1 ±I-μ μ 1 1 (2.1.43) 1 1 e aIe f ±Hs(E1 � c±f ± + k� max sup , s+2 +) где постоянная c > 0 не зависит от f и a. Hs(E1 ) |[Re μ]|+ y>0 1 ∂yk 1 e Доказательство. С помощью следствия 2.1.1 общий случай s ;:? 0 сводится к s = 0. Пусть сначала Re μ > 0. По определению операторов Iμ, полагая m = [Re μ]+ 1, получим для функции + f ∈ C˚∞(E1 ) следующую формулу: I-μ μ r ∞ (-1)mey m ∞ m-μ-1 r μ-1 -τ e (aIe f ) (y) = Γ(m - μ) Γ(μ) Dy - ( 1)mey r∞ (t - y) y 1 r a(t) t (τ - t) e f (τ )dτdt = D = m Γ(m - μ) Γ(μ) y y e-τ f (τ )(τ - t)m-1 0 zm-μ-1(1 - z)μ-1a(y + z(τ - y)) dzdτ. Введем обозначение a(k)(t) = Dka(t). Тогда y r∞ m m (m 1)! I-μ μ e -τ , - e aIe f (y) = a(y)f (y) - Γ(m - μ) Γ(μ) e y 1 r f (τ ) k k=1 (k - 1)! × Следовательно, ×(y - τ )k-1 0 zm-μ-1(1 - z)k+μ-1a(k)(y + z(τ - y)) dzdτ. m 1 1I-μ μ 1 , (k) k 1 e aIe f (y) � c sup |a k=0 t>0 (t)|Ie (|f |) (y). Применение леммы 2.1.1 завершает доказательство при Re μ > 0. Если Re μ < 0 и m = [- Re μ]+1, ∞ ∞ то I-μ μ (-1)mey r -μ-1 r m+μ-1 m ( -τ ) e aIe f (y) = Γ(m + μ) Γ(-μ) y (t - y) a(t) t (τ - t) D e f (τ ) dτdt = 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 267 - ( 1)mey = Γ(m + μ) Γ(-μ) r r∞ 1 Dm (e-τ f (τ )) (τ - y)m-1 y 0 z-μ-1(1 - z)m+μ-1a(y + z(τ - y)) dzdτ. После m - кратного интегрирования по частям как и выше мы убеждаемся в справедливости оценки (2.1.43) и при Re μ < 0. Пусть, наконец, Re μ = 0. Тогда I-μ μ e y r∞ r∞ -μ μ ( -τ ) e aIe f (y) = Γ(1 + μ) Γ(1 - μ) Dy y (t - y) (τ - t) D e t f (τ ) dτdt = ey = Γ(1 + μ) Γ(1 - μ) r r∞ 1 Dy Dτ (e-τ f (τ )) (τ - y) y 0 z-μ(1 - z)μa(y + z(τ - y)) dzdτ. Остальные выкладки аналогичны предыдущим. Лемма доказана. Следствие 2.1.2. В условиях леммы 2.1.3 при Re(ν + μ) > 0 имеет место оценка ±IνaIμf ± � c±f ± max sup 1Dka(y)1 . (2.1.44) + e e Hs(E1 ) + Hs(E1 ) 1 1 k�min(|[Re ν]|,|[Re μ]|)+s+2 y>0 1 1 Доказательство. Достаточно применить формулу Iν μ ν+μ -μ μ ν -ν ν+μ e aIe = Ie Ie aIe = Ie aIe Ie e и воспользоваться ограниченностью оператора Iλ с при Re λ > 0. 2. Связь с преобразованиями Фурье и Ханкеля. Определим прямое и обратное преобразование Фурье по формулам r∞ Ff (η) = f (y)e-iyηdy, F -1g(y) = 1 2π r∞ g(η)eiyηdη. -∞ -∞ Будем использовать также косинуси синус-преобразования Фурье: r∞ F+f (η) = 0 + f (y) cos(yη) dy, F -1g(y) = 2 r∞ π 0 1. (η) cos(yη) dη, r∞ F-f (η) = 2 r∞ f (y) sin(yη) dy, F -1g(y) = g(η) sin(yη) dη. - π 0 0 Прямое и обратное преобразования Ханкеля (Ханкеля) имеют вид r∞ Fνf (η) = 0 f (y)jν (yη)y2ν+1 dy, (2.1.45) r∞ F -1 1 g(η)j (yη)η2ν+1 dη, ν g(y) = 22ν Γ2(ν + 1) ν 0 1 где ν ;:? - 2 . Нормированная функция Бесселя jν (λt) есть решение следующей задачи: Bνf = -λ2f, f (0) = 1, f ∗(0) = 0. Она связана с функцией Бесселя первого рода Jν (t) формулой tνjν (t) = 2ν Γ(ν + 1)Jν (t). (2.1.46) 268 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Обозначим через П какой-либо оператор продолжения функций, действующий из + C˚∞(E1 ) в C˚∞ (E1) . Один из таких операторов построен в работе [614]. Впрочем, можно предложить и следующий элементарный оператор продолжения: ⎧ ) = Пf (y ⎨ χ(y) ∞ Г f (-λy)ψ(λ) dλ, y < 0, 0 ⎩ f (y), y ;:? 0, где ψ(λ) = 1 Г∞ sin(x√λ)ψ (x) dx, ψ (x) = sh(x)χ(x), χ - произвольная чётная функция из π 1 1 0 C˚∞ (E1) , равная единице в некоторой окрестности нуля. Введённая функция ψ ограничена, быст- Г∞ ро убывает на бесконечности, причём 0 λnψ(λ) dλ = (-1)n. Отсюда легко следует, что оператор П + отображает пространство C˚∞(E1 ) в C˚∞ (E1) . 1 1 Пусть сначала 0 � Re ν < 2 . Тогда из (2.1.7) для функции f ∈ C˚∞(E+) получаем 1 P 2 -ν √ π 2ν ∞ r ( 2 1 -ν- 2 ν f (y) = Γ (ν + 1) Γ ν ( 1 ) y- 2 - 1 t - 1) f (yt) dt = y-2ν r∞ 1 (t2 - 1)-ν- 2 r∞ eitηy F Пf (η) dηdt. 2 - = √π Γ (ν + 1) Γ ( 1 ν) 1 -∞ Из наложенного на ν ограничения следует суммируемость подынтегральной функции. Применяя тогда теорему Фубини, получаем 1 P 2 -ν y-2ν r∞ F Пf (η) ∞ r (t2 1 1)-ν- 2 eitηy dtdη. 2 - ν f (y) = √π Γ (ν + 1) Γ ( 1 ν) - -∞ 1 ν Внутренний интеграл выражается через функцию Ханкеля первого рода H(1) (функция Бесселя третьего рода) по формуле [18, с. 95] r 1 ∞ 1 - - (t2 1)-ν- 2 eityη dt = i√π 2-ν-1(yη)ν Γ ν 2 1 ν H(1)(yη). Подставляя эту формулу в предыдущую, находим 1 P 2 -ν iy-ν r∞ H(1) ν f (y) = 2ν+2 Γ (ν + 1) -∞ ν (yη)F Пf (η) dη. (2.1.47) Правая часть этой формулы суть аналитическая при Re ν ;:? 0 функция. Этот факт легко усмотреть из представлений функций Ханкеля на той же странице цитированной книги [18]. Следовательно, формула (2.1.47) имеет место при Re ν ;:? 0. Из способа доказательства видно, что значение интеграла справа в (2.1.47) при y > 0 не зависит от выбора оператора продолжения. Этот факт может быть доказан и непосредственно, исходя из самой формулы (2.1.47) и используя одно обобщение теоремы Пэли-Винера (см. [115]). Сейчас мы дадим одно прямое следствие полученной формулы, которое будет использовано далее. + Лемма 2.1.4. Пусть функция f ∈ C˚∞(E1 ). Тогда при Re ν > 0 справедливо соотношение а при ν = 0 lim y→+0 1 y2ν P 2 -νf (y) = 1 ν 2ν f (0), lim 1 1 P 2 f (y) = f (0). y y→+0 ln 1 0 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 269 Доказательство. Доказательство легко следует из следующих (см. [18]) асимптотических формул для функций Ханкеля: zν H(1) ν (z) = - H(1) i2ν Γ(ν) → + o(1), Re ν > 0, z 0, π 2i 0 (z) = π ln z + O(1), z → 0, ν а также из ограниченности функций H(1)(z) при z ;:? ε > 0. Рассмотрим случай вещественного ν ;:? 0. Пусть функция f ∈ C˚∞(E1 ). Отсюда следует, что её - + продолжение по закону нечётности на всю прямую принадлежит пространству C˚∞ (E1) . Выбирая в таком случае в качестве оператора продолжения в (2.1.47) продолжение по закону нечётности, находим 1 P 2 -ν y-ν r∞ H(1) ν y-ν ⎛ r 0 r∞⎞ + = ν f (y) = 2ν+1 Γ (ν + 1) y-ν -∞ r∞ ν (yη)η F-f (η) dη = 2ν+1 Γ (ν + 1) ⎝ ⎠ -∞ 0 ν = 2ν+1 Γ (ν + 1) 0 H(1) ν (yη) - e iπν ν H(1)(-yη) η F-f (η) dη. Далее, поскольку (см. [18, с. 91]) -eiπν H(1) (2) и (см. [18, с. 12]) ν (-z) = Hν (z) H(1)(z)+ H(2)(z) Jν (z) = ν ν , 2 то предыдущая формула принимает вид r∞ ν P 2 -ν 1 1 J (yη)ην F ν f (y) = 2ν+1 Γ (ν + 1) y- ν 0 -f (η) dη. Заменяя здесь функцию Jν на jν по формуле (2.1.46), получаем r∞ P 2 -ν 1 1 j (yη)η2ν F f (η) dη. (2.1.48) ν f (y) = 22ν Γ2 (ν + 1) ν - 0 Лемма 2.1.5. Пусть функция f ∈ C˚∞(E1 ) и ν ;:? 0. Тогда имеет место представление - + 1 P 2 -ν 1 Если f ∈ C˚∞(E1 ), то ν ν f = F -1 η F-f . (2.1.49) + + ν- 1 ν Sν 2 f = F -1 (ηFνf ) . (2.1.50) 1 Оператор P 2 -ν взаимно однозначно отображает пространство C˚∞(E1 ) на C˚∞(E1 ). Опера- ν ν- 1 - + + + тор Sν 2 осуществляет обратное отображение. Доказательство. Формула (2.1.49) - это просто компактная запись формулы (2.1.48). Формула (2.1.50) доказывается обращением предыдущей. Пусть функция f ∈ C˚∞(E1 ). Тогда F-f (η) - - + нечётная быстроубывающая функция, а, следовательно, 1 F f (η) - чётная гладкая быстроубыва- η - ющая функция. Оператор Fν является автоморфизмом такого класса функций. Значит, функция 1 Fν F f ∈ C˚∞(E1 ), поскольку её финитность следует из представления оператора по форму- η - + + ν- 1 ле (2.1.7). Точно так же доказывается, что оператор Sν 2 отображает пространство C˚∞(E1 ) в + + C˚∞(E1 ). Следовательно, эти отображения сюръективны. Лемма доказана. - + 270 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Заметим, что лемму можно доказать иначе, опираясь на то, что оператор Fν отображает C˚∞(E1 ) + + на множество чётных целых функций экспоненциального типа [115]. Отвлекаясь несколько в сторону от основного изложения, покажем, как с помощью аналогов формул (2.1.49) и (2.1.50) можно построить новый класс операторов преобразования [119]. Пусть 1 ν ;:? - 2 . Тогда положим P (ϕ) 1 ν (ϕ (η) F±) , S (ϕ) = F - F 1 1 ν , (2.1.51) ν,± = F - ν,± ± ϕ (η) где ϕ(η) - некоторая функция. Нетрудно заметить, что на подходящих областях определения операторы P (ϕ) и S(ϕ) действительно будут операторами преобразования. Отметим наиболее важные ν,± ν,± частные случаи. Если ϕ(η) = η2ν+1, то операторы P (ϕ) и S(ϕ) совпадают с классическими опера- (ϕ) ν,+ ν,+ 1 ν (ϕ) ν+ 1 1 ν торами Пуассона и Сонина. Если ϕ(η) ≡ 1, то Pν,+ = P - 2 - и Sν,+ = Sν 2 . Если же ϕ(η) = ην+ 2 , то ν P (ϕ) ν,+ f (y) = F -1 1 ην+ 2 F+f (y) = ⎛ ( 1 ) r∞ 2 - 1 = Γ ν + 2 cos(πν) ν 3 ν 1 y Df (t) dt + 2ν+2 Γ(ν + 1) ⎝ 2ν Γ(ν + 1) 2F1 y + , + ; ν + 1; 2 4 2 4 t2 y 2 4 √2Γ ( ν + 3 ) 1 r ν 3 3 ν 3 t2 ⎞ + Γ ( ν 1 y 2F1 - + , ; ; 2 4 4 2 2 y2 Df (t) dt⎠ , (2.1.52) + S(ϕ) ν,+f (y) = F -1 1 η-ν- 2 Fνf ⎛ (y) = 2 + 4 ) 0 y 2ν-1 Γ(ν + 1) ∂ = 2 Γ (ν + 1 ) cos(πν) ⎝ 1 r ν -ν- 2 2 1 3 ν 1 t2 t2ν+1f (t) dt + π ∂y 2ν Γ(ν + 1) y F + , + ; ν + 1; 2 4 2 4 y2 0 √2Γ ( ν + 3 ) + 2 4 y r∞ ν 2F1 3 3 + , - ν 3 y2 ; ; 1 tν- 2 ⎞ f (t) dt⎠ . y Γ ( ν 1 2 4 4 2 2 t2 2 + 4 ) Операторы (2.1.52) названы в работе [119] изометрическими, поскольку они изометрически отображают пространства L2 в L2,ν . В той же работе рассмотрены некоторые их приложения к псевдодифференциальным операторам и к спектральной теории. Отметим, что как показано в главе 3, полученные представления можно упростить, выразив ядра операторов преобразования через функции Лежандра. Подправленные на степенной множитель, такие операторы можно свести к унитарным в одном лебеговом пространстве на полуоси. Они по терминологии главы 3 (см. ниже) являются комбинациями операторов преобразования Бушмана-Эрдейи первого и второго родов. Свойство унитарности делает их особенно полезными в приложениях, например, они связывают решения возмущённых с операторами Бесселя и невозмущённых со вторыми производными дифференциальных уравнений с сохранением нормы. Этот важный класс операторов, введённых В. В. Катраховым, в [341] предложено назвать операторами Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова (см. главу 3). Также отметим, что именно приведённая выше конструкция В. В. Катрахова (2.1.51) послужила примером для разработки в дальнейшем С. М. Ситником общего композиционного метода построения операторов преобразования различных классов, см. главу 6 этой монографии. Введем теперь операторы преобразования Pν,e и Sν,e по формулам 1 ν ν- 1 1 ν ν- 1 Pν,e = P 2 - e 2 ν,e 2 - 2 ν Их можно также выразить в виде ν I , S = Ie S . (2.1.53) 2 ,e Pν,e = Pν Jν- 1 2 -ν,e , Sν,e = J 1 Sν, (2.1.54) 2.1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 271 1 ν ν- 1 где Jμ,e = IμI-μ. Использованные здесь операторы P 2 - , S 2 , P определены в пункте 2.1.1, а операторы Iμ e e - в пункте 2.1.2. ν ν ν Из результатов указанных разделов сразу же следует, что операторы Pν,e и Sν,e взаимно однозначно отображают пространство C˚∞ {0} + (E1 ) на себя, являются взаимно обратными и для них справедливы формулы Bν Pν,e = Pν,eD2, D2Sν,e = Sν,eBν. (2.1.55) Таким образом, Pν,e и Sν,e также являются операторами преобразования. Выясним связь оператора Pν,e с преобразованием Фурье. Пусть функция f ∈ C˚∞ (E1) и μ - комплексное число. Тогда при Re μ > 0 по теореме Фубини получаем FIμf (η) = 1 r∞ e-iyη r ∞ (t - y)μ-1ey-tf (t) dtdy = 1 r∞ rt f (t) e-iyη (t - y)μ-1ey-t dydt. e Так как Γ(μ) -∞ y t r Γ(μ) -∞ -∞ e-iyη (t - y)μ-1ey-t dy = e-itη (1 - iη)-μΓ(μ), -∞ то e FIμf (η) = (1 - iη)-μFf (η). (2.1.56) Пусть Re μ � 0 и m = [- Re μ]+ 1. Тогда тем же методом получаем m FIμf (η) = (-1) r∞ e-itηey r∞ (t - y)m+μ-1Dm (e-tf (t)) dtdy = e Γ(m + μ) t -∞ y r∞ rt - ( 1)m = Γ(m + μ) -∞ t Dm (e-tf (t)) -∞ e-iyη (t - y)m+μ-1ey dydt = - ( 1)m r∞ = Γ(m + μ) -∞ t Dm (e-tf (t)) e-itη+t(1 - iη)-(m+μ)Γ(m + μ) dt. Интегрирование по частям в последнем интеграле снова приводит к формуле (2.1.56), которая, следовательно, доказана при всех комплексных μ. Заметим, что здесь и ниже выбирается следующая ветвь степенной функции: 2 (1 - iη)-μ = exp μ ln(1 + η2) - iμ arctg η . Учитывая формулы (2.1.56), (2.1.57), при Re μ ;:? 0 получаем следующее представление для оператора Pν,e: ∈ где f C˚∞ {0} + (E1 ) . iy-ν r∞ Pν,ef (y) = 2ν+2 Γ(ν + 1) -∞ ν H1(yη)ην 1 (1 - iη) 2 -ν F Пf (η) dη, (2.1.57) 3. Операторы преобразования и функциональные пространства (одномерная теория). В этом пункте рассматриваются оценки норм введённых выше операторов преобразования. Эти результаты изложены по диссертации В. В. Катрахова [125]. Применяемый метод, использующий по существу преобразование Меллина и мультипликаторы преобразования Меллина для оценок норм операторов преобразования, был предложен С. М. Ситником, ему же принадлежат основные результаты этого пункта. Оригинальный подход С. М. Ситника, основанный на теории операторов преобразования Бушмана-Эрдейи и явном использовании мультипликаторов Меллина, изложен в главе 3 данной монографии, далее приводится другой вариант изложения этих результатов из диссертации В. В. Катрахова [125]. На самом деле разделение указанных результатов не имеет смысла, так как они многократно и подробно обсуждались обоими авторами в течение ряда лет в 272 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ процессе поиска нужных подходов и техники доказательств. Приложения указанных оценок норм операторов преобразования к весовым краевым задачам (глава 4) и краевым задачам с изолированными особенностями (глава 5) полностью получены В. В. Катраховым. 1 + Обозначим через L2,ν (E1 ) , ν ;:? - , гильбертово пространство функций f (y), y > 0, для 2 которых конечна норма ⎛r∞ + ±f ±L2,ν (E1 ) = ⎝ 2 |f (y)| y 2ν+1 1 ⎞ 2 dy⎠ . (2.1.58) 0 + Хорошо известно, что преобразование Ханкеля Fν отображает L2,ν (E1 ) на себя, и справедливо равенство Парсеваля ν ±Fνf ±L2,ν (E1 ) = 2 Γ(ν + 1)±f ±L2,ν (E1 . (2.1.59) + +) Функциональное пространство Hs (E1 ) , s ;:? 0, ν ;:? - 1 , введённое в работе [144], определяется как замыкание по норме ±f ±Hs ν,+ 1 + 1 = 2 ±(1 + η2 s ) 2 Fνf ±L E1 (2.1.60) ν,+(E+) 2ν Γ(ν + 1) 2,ν ( +) множества функций C˚∞(E1 ). Предположение о чётности здесь существенно, поскольку в против- + + ном случае норма (2.1.60) может быть равной бесконечности. Если замкнуть по той же норме (2.1.60) множество + C˚∞[0, R), 0 < R < ∞, то получим пространство H˚s H ˚s ν,+ (0, R), которое непрерывно вложено в пространство H s ν,+ E + ( 1 ) . В пространстве ν,+(0, R) выражение " ±H˚s f = ν,+(0,R) 1 2ν Γ(ν + 1) ±η Fνf ±L2,ν (E1 ) s . (2.1.61) + является нормой, эквивалентной норме (2.1.60). Из равенства Парсеваля (2.1.59) легко следует, что при чётных s ;:? 0 " ±H˚s f ν,+(0,R) s ν = ±B 2 f ±L 2,ν (0,R). Определим пространство С. Л. Соболева H˚s(0, R), s ;:? 0 0 < R < ∞, как замыкание множества C˚∞[0, R) по норме s ±f ±H˚s(0,R) = ±D f ±L2,ν (0,R). Лемма 2.1.6. При ν ;:? 0 оператор Sν расширяется по непрерывности до ограниченного ν,+ оператора, отображающего пространство H˚s (0, R) в H˚s(0, R), причём справедлива оценка 2ν+1 Γ(ν + 1) √π min 1 √2 , | cos π(ν + s) 2 | " ±H˚s � f ν,+(0,R) � ±Sνf ±H˚s(0,R) � 2ν+1 Γ(ν + 1) √π min 1 √2 , | cos π(ν + s) 2 | " ±H˚s f ν,+(0,R) . (2.1.62) Доказательство. Рассмотрим лишь случай s = 0, рассуждения при s > 0 вполне аналогичны. Докажем сначала справедливость формулы r∞ 2 πν π ν+ 1 Sνf (y) = π 0 cos yη - 2 - 4 η 2 Fνf (η) dη. (2.1.63) для ν ;:? 0 и f ∈ C˚∞ (E1 ) . На этом множестве ранее было получено следующее представление + + оператора Sν : ν ν 1 ν 1 S f = I 2 - F - ηF f. (2.1.64) - 1 Отсюда для полуцелых ν сразу же вытекает справедливость (2.1.63), поскольку оператор I 2 -ν 1 1 в этом случае есть просто оператор дифференцирования (-1)ν- 2 Dν- 2 . Пусть теперь n ;:? 0 - 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 273 1 1 1+n чётное число и n - 2 < ν < n + 2 . Так как функция η Fνf (η) суть гладкая, нечётная и быстроубывающая на бесконечности, то по теореме Фубини имеем 1 1 Sνf (y) = I 2 -ν F -1ηFνf (y) = (-1)nI 2 -ν+nDnF -1ηFνf (y) = - - n 1 - = (-1) 2 I 2 -ν+nF -1η1+nFν f (y) = n = 2(-1) 2 ( 1 π Γ 2 - ν + n) n r∞ (t - y) y A 2 n-ν- 1 r∞ sin(tη)η 0 r∞ 1+n Fνf (η) dηdt = ( 1 = 2(-1) 2 π Γ 2 - ν + n r ) lim A→∞ y (t - y) 2 n-ν- 1 0 sin(tη)η 1+n Fνf (η) dηdt = n ( 1 = 2(-1) 2 π Γ 2 - ν + n ) lim A→∞ ∞ r η1+n 0 f (η) A r (t - y) y n-ν- 1 2 sin(tη) dtdη = n 2(-1) 2 ∞ r 1+n ⎛r∞ r∞⎞ ( 1 ) = π Γ 2 - ν + n lim η A→∞ 0 f (η) ⎝ y - ⎠ dη, (2.1.65) A где в последнем выражении два внутренних интеграла понимаются как несобственные. Первый из них - табличный интеграл ∞ r 1 1 1 π(ν - n) π (t - y)n-ν- 2 sin(tη) dt = ην-n- 2 Γ y n - ν + 2 cos yη - 2 - 4 , (2.1.66) а второй с помощью интегрирования по частям оценивается следующим образом: 1 ∞ 1r 1 1 1 ∞ 1 1r 1 1 ∂ 1 1 (t - y)n-ν- 2 sin(tη) dt1 = 1 1 (t - y)n-ν- 2 cos(tη) dt1 � 1 1 1 1 1 η 1 1A 1 1A ⎛ 1 ∂t 1 1 1 ∞ 1⎞ r 1 n-ν- 1 1 1 n-ν- 3 1 � η ⎝(A - y) ⎛ - 1 2 | cos(Aη)| + + ν n 2 ∞ 1⎠ 1 (t - y) 1 1A 2 cos(tη) dt1 � 1 1 ⎞ 1 n-ν- 1 1 r n-ν- 3 2 n-ν- 1 � η ⎝(A - y) - 2 + + ν n 2 (t - y) A 2 dt⎠ = η (A - y) 2 . (2.1.67) Подставляя (2.1.66), (2.1.67) в (2.1.65) мы получаем формулу (2.1.63). Пусть теперь n > 0 - 1 1 нечётное и n - 2 < ν < n + 2 , тогда аналогично предыдущему получаем 1 n+1 1 - Sνf (y) = (-1)nI 2 -ν+nDnF -1ηFνf (y) = (-1) + 2 I 2 -ν+nF -1η1+nFν f (y) = 2(-1) = ( 1 n+1 2 r∞ ) (t - y) 2 n-ν- 1 r∞ cos(tη)η 1+n Fνf (η) dηdt = y π Γ 2 - ν + n 0 r n+1 ∞ r∞ n-ν- η 2(-1) 2 = ( 1 1+n ) Fνf (η) (t - y) 1 2 cos(tη) dtdη. Так как r∞ y π Γ 2 - ν + n 0 1 1 1 π(ν - n) π (t - y)n-ν- 2 cos(tη) dt = -ην-n- 2 Γ y 2 - ν + n sin yη - 2 - 4 , (2.1.68) 274 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ то и в этом случае установлена справедливость (2.1.63). Рассмотрим встретившийся в (2.1.63) оператор Aν вида r∞ Aνf (y) = 0 - cos yη πν 2 - π f (η) dη, (2.1.69) 4 + который является линейной комбинацией тригонометрических преобразований Фурье и потому ограничен в L2 (E1 ) . Введем несколько видоизмененный оператор Меллина M по формуле 1 Mg(p) = √2π 2 ∞ r yip- 1 g(y) dy, p ∈ E 1. (2.1.70) 0 Нетрудно заметить, что оператор M изометрично отображает пространство в L2 (E1 ) на L2 (E1 ) . + + + Пусть для простоты функция f ∈ C˚∞ (E1 ) , тогда с использованием формул (2.1.66) и (2.1.68), действуя как и при выводе формулы (2.1.63), получаем 1 r∞ ∞ ip- 1 r πν π 2 M Aν f (p) = √2π y cos yη - 2 - 4 f (η) dηdy = 1 r∞ 0 0 ∞ r ip- 1 πν π = √2π f (η) y 2 cos yη - 2 - 4 dηdy = 0 0 r∞ 1 - - -1 = √2π f (η)ηip- 2 Γ 1 ip + 2 π(ip ν 1) sin dη = 2 0 1 π(ip - ν - 1) = -Γ ip + 2 sin 2 Mf (-p) ≡ aν (p)Mf (-p). Отсюда и из свойства изометричности оператора M следует двусторонняя оценка для оператора (2.1.69) inf |aν (p)|±f ±L2(E1 � ±Aνf ±L2(E1 � sup |aν (p)|±f ±L2(E1 , (2.1.71) p∈E1 +) +) p∈E1 1 +) 1 1 постоянные в которой являются точными. Из известной формулы 1Γ 1 1 ip + 2 1 1 = √π//ch(πp), а 1 1 12 2 так же формулы 1sin π(ip - ν - 1) 1 2 = sh πp 2 + π(ν + 1) 2 sin , находим, что 1 1 2 1 1 (sh πp )2 + (cos πν )2 / 1 (sh πp )2 + (cos πν )2 2 sup |aν (p)| = √π sup 2 2 = √π sup 2 2 = p∈E1 p∈E1 1 /ch(πp) 2 1+2 (sh πp )2 1 / ( πν )2 2 / ( t + (cos πν )2 1 t + (cos πν )2 1 2 = √π t + sup cos 2 = √π 2 , 2 = 1 1 max 1 1 t;:?0 1+ 2t 1+ 2t 1 1 1t=0 1+ 2t 1 1t=+∞ = √π max ( 1 , cos πν 21 2 = √π max ( 1 , πν 1 cos . 2 Аналогичным образом получаем 2 ( 1 √2 | 2 | πν 1 inf p∈E1 |aν (p)| = √π min | √ | , cos . 2 2 Таким образом оценка (2.1.71) принимает вид √π min ( 1 , √2 | πν 1 cos | ±f 2 ±L2(E1 � ±Aνf ± + � √π max ( 1 , √2 | πν 1 cos | ±f ±L E1 2 . (2.1.72) +) L2(E1 ) 2( +) 1. ОДНОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 275 Заметим попутно, что оператор 1 2 π Aν унитарен в L2 только при полуцелых ν (Aν сводится в + этом случае к косинусили синус-преобразованию), а имеет ограниченный обратный в L2 (E1 ) только при ν /= ±1, ±3,.... Для завершения доказательства достаточно соединить формулу (2.1.63), оценку (2.1.72), а также равенство Парсеваля (2.1.59). Лемма 2.1.6 доказана. Отметим, что ниже в главе 3 дано более прозрачное доказательство этой важной для дальнейшего леммы. Первоначальное доказательство В. В. Катрахова содержало неточное утверждение об изометричности при всех значениях параметра, оно было исправлено в [318, 319]. Ещё раз отметим, что идея применять технику преобразования Меллина для оценки норм операторов преобразования, часто совместно с теоремой Слейтер, была впервые предложена С. М. Ситником также в работах [318, 319]. Замечательная идея В. В. Катрахова «подправить» операторы Сонина и Пуассона, чтобы они ограниченно действовали в одном пространстве, реализована в общем виде в главе 3 введёнными там операторами преобразования Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости. Следствие 2.1.3. В случае s = 0, R = ∞ постоянные в оценке (2.1.62) являются точными. Это утверждение вытекает из точности постоянных в оценке (2.1.72). Следствие 2.1.4. Оператор √π2-ν- 1 Γ-1(ν + 1)S при полуцелых ν > 0 изометрично отоб- 2 ν ражает пространство L2,ν (E1 ) на L2 (E1 ) . + + Доказательство. Изометричность следует из формулы (2.1.62), в которой при s = 0 можно поло- 1 жить R = ∞. Из леммы 2.1.5 вытекает, что множество состоит из всех функций f вида f = I 2 -νg, g ∈ C˚∞(E1 ). Это множество всюду плотно в пространстве L2 (E1 ) . Следствие доказано. - + + Введем новое функциональное пространство ν H˚s(0, R). Обозначим через ν C˚∞(0, R) множество всех функций f, допускающих представление f = Pνg, в котором g ∈ ν C˚∞[0, R). Ясно, что ⊂ ν 0 C˚∞ ∞ ⊂ ν ∞ ( 1 ∞ (0, R) C˚ { } (0, R) C˚ {0} E+) . На C˚ (0, R) введем норму √π ±f ±H˚s ν (0,R) = 1 2ν+ 2 Γ(ν + 1) ν ±Sνf ±H˚s (0,R) . (2.1.73) ν Это определение корректно, поскольку по условию Sνf ∈ C˚∞[0, R). loc Обозначим через H˚s (0, R) множество всех функций f, равных нулю при y ;:? R, для которых при любом ε > 0 конечны полунормы Pε,s(f ) = ±Dsf ±L (ε, ). 2 ∞ H˚s loc(0, R) является по топологии, порожденной этими полунормами, пространством Фреше. Замыкание в H ˚s loc (0, R), линеала ν C˚∞(0, R) по норме (2.1.73) мы будем обозначать через ν (0, R). В разделе 1.3 в более общей ситуации доказано вложение H˚ (0, R) ⊂ H˚ (0, R). H˚s ˚ s s ν loc ˚ Поскольку C˚∞[0, R) ⊂ C∞(0, R) при любых ν, то пространство Hs (0, R) по лемме 2.1.6 непре- + ν ν,+ рывно вложено в H˚s(0, R), причём индуцированная и собственная нормы H˚s (0, R) эквивалентны ν друг другу при s + ν /= 1, 3, 5,.... Введем весовую функцию σν по формуле ⎧ ⎨ y2ν, если Re ν > 0, ν,+ σν (y) = ⎩ 1 ln y если ν = 0. Весовым граничным значением, или, короче, весовым σν -следом функции в точке y = 0 называется предел y σνf |y=0 = lim →+0 σν (y)f (y). 276 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Теорема 2.1.3. Пусть ν ;:? 0, s ;:? 1 и s + ν > 1. Пусть 0 < R < ∞. Тогда у любой функции f (после исправления её на множестве меры нуль, если это необходимо) из пространства H˚s ν (0, R) существует в точке y = 0 весовой σν -след. При этом справедливы неравенства: ⎧ ⎪ √ 2ν-1Rs+ν-1 Γ(ν) ±f ±H˚s , если ν > 0, ⎨ π Γ (s + ν - 1 ) √s + ν - 1 ν (0,R) |σνf |y=0| � ⎪ 2Rs-1 2 f ±H˚s , если ν = 0, (2.1.74) 2 ⎩ √π Γ (s - 1 ) √s - 1 ± 0 (0,R) постоянные в котором являются точными. ν Доказательство. Неравенство (2.1.74) достаточно доказать для функций f ∈ C˚∞(0, R). Для таких функций по лемме 2.1.4 σν -след существует, причём имеет место формула 1 ν ν- 1 ⎧ 1 ⎨ - ν 1 Sν 2 f |y=0, если ν > 0, ν lim σν (y)f (y) = lim σν (y)P 2 - Sν 1 2 f (y) = 2ν (2.1.75) y→+0 y→+0 ⎩ S- 2 0 f |y=0, если ν = 0. ∈ Пусть функция f C˚∞[0, R). Тогда по неравенству Коши-Буняковского при α > 1 2 получим |g(0)| = 1IαI-αg|y=01 = 1 R 1 1r 1 1 1 tα-1I-αg(t) dt1 � 1 1 1 1 Γ(α) 1 1 10 1 1 1 ⎛ R ⎞ 2 ⎛ R ⎞ 2 α 1 1 r 2α-2 1 r 1 -α 2 R - 2 1 -α � Γ(α) ⎝ t 0 g 1 dt⎠ ⎝ 1I 0 √ 1 dt⎠ = Γ(α) g I 2α - 1 1 1L2(0,R) . ν- 1 1 Подставляя в это неравенство вместо g функцию Sν пространству C˚∞[0, R), получим 2 f = Iν- 2 Sνf, принадлежащую, очевидно, 1 ν- 1 1 1 Rα- 2 1 1 1 1 1Sν 1 2 f (0)1 � √ 1Iν-α- 2 Sνf 1 . 1 1 Γ(α) 1 2α - 1 1 1L2(0,R) Заменяя здесь α на s + ν - 2 и учитывая формулу (2.1.75) мы и приходим к неравенству (2.1.74). Покажем, что постоянные в нем являются точными. Рассмотрим функцию ⎧ R 3 3 ⎨ Г (t - y)s+ν- 2 ts+ν- 2 dt, если 0 < y < R, f0(y) = y ⎩ 0, если y ;:? R. 1 1 Покажем, что функция I 2 -νf0 принадлежит H˚s(0, R). Для этого достаточно показать, что функция I 2 -s-νf0 ограничена в окрестности точки y = R. При y < R имеем 1 1 (-1)[ν- 2 ]+s+1 R R [ν- 1 ]+s+1 r 1 1 r 3 3 I 2 -s-νf0(y) = y y Γ ( 3 2 1 ) Dy (t - y) 2 -ν+[ν- 2 ] (τ - t)s+ν- 2 τs+ν- 2 dτdt = 2 - s - ν + [s + ν - 2 ] 1 R 2 = (-1)[ν- 2 ]+s+1 Γ (s + ν - 1 ) - [ν 1 ]+s+1 r D 2 3 τs+ν- 1 1 3 2 Γ ([ν - 1 ]+ s + 1) y 1 2 (τ - y)s+[ν- 2 ]dτ = Γ y s + ν - 2 ys+ν- 2 . Следовательно, I 2 -νf0 ∈ H˚s(0, R) и 1 1 2 -ν 1 2 Γ (s + ν - 1 ) s+ν-1 1 1 - 1I f01H˚s(0,R) = √2s + 2ν 2 R 1 . (2.1.76) ν Тогда функция f1(y) = Pν I 2 -νf0 ∈ H˚s (0, R) . Кроме того, при ν > 0 2 1 ν- 1 1 R2s+2ν-2 σνf1|y=0 = 2ν Sν f1(0) = 2ν f (0) = 4ν(s + ν - 1) , 2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 277 из (2.1.76) имеем √π 1 1 ν 1 2 √π Γ (s + ν - 1 ) Rs+ν-1 ν (0,R) ±f1±H˚s = 1 2ν+ 2 Γ(ν + 1) 1I 2 - 1 1H˚s . f01 = ν (0,R) 2ν+1 Γ(ν + 1) √s + ν - 1 ν Две последние формулы показывают, что первое соотношение в (2.1.74) превращается для функции f1 ∈ H˚s(0, R) в равенство. Аналогичный результат справедлив и для второго соотношения. Теорема доказана. Известна следующая формула [17]: lim Γ(ν + α) νβ-α = 1. (2.1.77) Поэтому имеет место ν→+∞ Γ(ν + β) Следствие 2.1.5. В условиях теоремы 2.1.3 справедлива оценка Hν (0,R) |σνf |y=0| � c(s, R)2ν Rν (ν + 1)-s ±f ± ˚s где ν ;:? 0, причём постоянная c(s, R) зависит лишь от s и R. 1 , (2.1.78) Следствие 2.1.6. Пусть ν ;:? 0, s - 2k - 2 > 0, s - 2k + ν > 1, k = 0, 1,... и пусть 0 < ν R < ∞. Тогда для любой функции f ∈ H˚s(0, R) (после исправления на множестве меры нуль) существует ν σν -след функции Bkf. Справедлива оценка 1 k 1 ν ν 2k-s 1σν Bν f |y=01 � c(s, k, R)2 R (ν + 1) ±f ±H˚s , (2.1.79) 1 1 ν (0,R) где постоянная зависит лишь от s, k и R. 2.2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Некоторые свойства пространства С. Л. Соболева. Приведем сначала некоторые известные результаты. Пусть En обозначает евклидово n-мерное пространство точек x = (x1,..., xn). Пусть Θ - едиx ничная сфера в En. Введем сферические координаты r ;:? 0, ϑ ∈ Θ, где r = |x|, ϑ = координатах ϕ1,..., ϕn-1 вектор ϑ = (ϑ1,..., ϑn) выражается по формулам ϑ1 = cos ϕ1, ϑ2 = sin ϕ1 cos ϕ2, ............... ϑn-1 = sin ϕ1 sin ϕ2 ... sin ϕn-2 cos ϕn-1, ϑn = sin ϕ1 sin ϕ2 ... sin ϕn-2 sin ϕn-1. |x| . В угловых Оператор Лапласа 2 n Δ = , ∂ в сферических координатах имеет вид j=1 j ∂x2 1 -1 Δ = Bn + 2 r2 ΔΘ, ∂2 2ν+1 ∂ n где оператор Бесселя Bν = ∂r2 + а оператор r ∂r , ν = 2 - 1, называется радиальной частью оператора Δ, 1 ΔΘ = ∂ ∂ 1 sinn-2 ϕ1 + ∂ ∂ sinn-3 ϕ2 + sinn-2 ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 sin2 ϕ1 sinn-3 ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ2 1 + ··· + sin2 ϕ 1 sin2 ϕ2 ... sin2 ϕ n-2 ∂2 ∂ϕ 2 n-1 278 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ называется угловой частью оператора Δ. Сферической гармоникой порядка k = 0, 1, 2,... называется функция Yk (ϑ), удовлетворяющая уравнению ΔΘYk + k(n + k - 2)Yk = 0 (2.2.1) (n +2k - 2)(k + n - 3)! на сфере Θ. Это уравнение имеет dk = k!(n - линейно независимых ортонорми- 2)! рованных в смысле пространства квадратично суммируемых на сфере Θ функций L2(Θ) решений Yk,l, l = 1,..., dk. Система функций Yk,l, k = 0, 1,... ; l = 1,..., dk, образует ортонормированный базис в L2(Θ). Для функции f коэффициенты её разложения в ряд по сферическим гармоникам определяются по формуле r fk,l(r) = f (r, ϑ)Yk,l(ϑ)dϑ. (2.2.2) Θ Для функции f ∈ C˚∞ (En) ряд по сферическим гармоникам ∞ dk f (r) = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ) (2.2.3) k=0 l=1 сходится к ней абсолютно и равномерно. Пусть L2 (En) , как обычно, обозначает пространство функций f (x) с конечной нормой 1 r ⎛ ⎞ 2 2 ±f ±L2(En) = ⎝ En |f (x)| dx⎠ . + Через L2,ν (E1 ) , как и выше, обозначим множество функций с конечной нормой ⎛ ∞ r + ±f ±L2,ν (E1 ) = ⎝ 2 |f (r)| r 2ν+1 1 ⎞ 2 dr⎠ . 0 Теорема 2.2.1. Пусть функция f ∈ L2 (En) . Тогда ряд по сферическим гармоникам (2.2.3) сходится к f по норме пространства L2 (En) . При этом = , , ±r-kfk,l(r)± ∞ dk ±f ± 2 L2(En) 2 L2, n +k 1(E1 ) . (2.2.4) k=0 l=1 2 - + 2 +k-1 Обратно, пусть функции fk,l, k = 0, 1,..., l = 1,..., dk, таковы, что r-kfk,l ∈ L2, n + (E1 ) , и ряд справа в формуле (2.2.4) является сходящимся. Тогда ряд в формуле (2.2.3) сходится по норме пространства L2 (En) к некоторой функции f ∈ L2 (En) , норма которой вычисляется по формуле (2.2.4). Приведем формулу действия n-мерного преобразования Фурье F, имеющего вид r Ff (ξ) = En f (x)e-i(x,ξ)dx, где ξ = (ξ1,..., ξn) ∈ En, (x, ξ• = x1ξ1 + ··· + xnξn, на функциях f = g(r)Yk (ϑ). Пусть ρ = |ξ|, θ = ξ |ξ| - сферические координаты в двойственном пространстве En. Если r-kg(r) ∈ L 2 2, n +k-1 + (E1 ) , то имеет место формула r∞ Jn F (gYk ) (ρ, θ) = (-i)k (2π) 2 ρ n 2-n 2 Yk (θ) 0 2 +k-1 n (rρ)g(r)r 2 dr. (2.2.5) 2.2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 279 Заменяя функцию Бесселя первого рода Jν на нормированную функцию по формуле 2ν Γ(ν + 1)Jν (z) = zνjν (z) и используя одномерное преобразование Ханкеля Fν, определяемое формулой (2.1.45), предыдущую формулу можно переписать в виде n F (gYk ) (ρ, θ) = (-i)k (2π) 2 n ( n ρk Yk (θ)Fk+ r-kg (ρ). (2.2.6) n 2 2 +k-1 Γ 2 + k ) 2 -1 Все перечисленные выше факты общеизвестны. Их можно найти, например, в книгах С. Л. Соболева [355], И. Стейна, Г. Вейса [365]. Мы лишь сформулировали их в удобных для нас обозначениях. Формулы (2.2.5)-(2.2.6) получены С. Бохнером, это частный случай известной теоремы Функа-Гекке [18, 306]. Пусть UR ⊂ En - открытый шар радиуса R < ∞ с центром в начале координат. Пусть как обычно C˚∞ (UR) = {f : f ∈ C˚∞ (En) , supp f ⊂ UR}. Для целых s ;:? 0 определим пространство H˚s (UR) как замыкание множества функций C˚∞ (UR) по норме 1 r ⎛ ⎞ 2 2 n где |ξ| = (ξ2 + ··· + ξ2 )1/2 . ±f ±H˚s(UR) = (2π) - 2 ⎝ En |Ff (ξ)| |ξ|2s dξ⎠ , (2.2.7) 1 n + Обозначим через T˚∞ (UR) множество функций вида K dk f (r, ϑ) = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ), (2.2.8) k=0 l=1 + где функции r-kfk,l ∈ C˚∞[0, R). Натуральное число K свое для каждой функции f. + Лемма 2.2.1. Множество T˚∞ (UR) всюду плотно в пространствах H˚s (UR) при s ;:? 0. Доказательство. Так как в вида H˚s (UR) всюду плотно множество линейных комбинаций функций f = χ(r)Q(x), (2.2.9) + + где χ(r) - произвольная функция из пространства C˚∞[0, R), Q(x) - однородные полиномы n переменных, то достаточно показать, что функции f, определяемые формулой (2.2.9), принадлежат классу T˚∞ (UR) . Обозначим через q степень полинома Q. Тогда из представления Гаусса однородных полиномов получаем разложение Q(x) = Q0(x)+ |x|2Q1(x)+ ··· + |x|2lQl(x), где 2l � q и Qj - однородные гармонические полиномы степени q - 2j, j = 0,..., l. Ввиду однородности получаем Qj (x) = rq-2j Qj (ϑ), причём функции Qj (ϑ) = Yq-2j (ϑ) являются сферическими гармониками порядка q - 2j. Комбинируя две последние формулы, получим l f (x) = χ(r)Q(x) = χ(r) , r2jrq-2j Yq j=0 -2j (ϑ). Это разложение эквивалентно разложению (2.2.8), поскольку r2jχ(r) ∈ + C˚∞[0, R) и функции Yq-2j (ϑ) могут быть представлены в виде линейной комбинации ортонормированных гармоник Yq-2j,l, l = 1,..., dq-2j. Лемма доказана. n k,l ∈ Лемма 2.2.2. Пусть функции r-kf H˚s 2 +k-1 (0, R). Тогда функция f = },K dk }, fk,l(r)Yk,l(ϑ), K < ∞, принадлежит пространству H˚s (UR) и имеет место формула k=0 l=1 K dk ±f ±H˚s(UR) = 2 , , k=0 l=1 ±r-k fk,l 2 n ±H˚s 2 +k-1 (0,R). (2.2.10) 280 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Доказательство. В сферических координатах формула (2.2.7) принимает вид r∞r 2 1 2 2s+n-1 ±f ±H˚s(UR) = (2π)n 0 Отсюда, используя (2.2.6), получаем |Ff (ρ, ϑ)| dϑρ Θ dρ. r∞r 1 K dk k n 12 ±f ±2 = 1 1, , (-i) (2π) 2 k -k 1 2s+n-1 H˚s(UR) (2π)n 0 1 1 Θ 1k=0 l=1 2 Γ 2 n +k-1 ( n 2 + k) ρ n 1 Yk,l(ϑ)F 2 +k-1(r fk,l)1 1 dϑρ dρ = K dk r∞ 2 = , , 1 1Fn -k 1 ρ2k+2s+n-1dρ. k=0 l=1 2 + k) 1 2n+2k-2 Γ ( n 1 0 1 2 +k-1(r fk,l)1 Здесь была использована ортонормированность системы сферических гармоник Yk,l в пространстве L2(Θ). Полученная формула в сочетании с определением нормы пространства пункт 2.1.4) и приводит к формуле (2.2.10). Лемма доказана. H ˚s ν,+ (0, R) (см. Теорема 2.2.2. Для принадлежности функции f пространству H˚s (UR) при некоторых s ;:? 0 и 0 < R < ∞ необходимо и достаточно, чтобы функции r-kfk,l(r) принадлежали пространn ствам H˚s 2 +k-1,+ (0, R), и чтобы числовой ряд ∞ dk -k 2 , , k=0 l=1 n ±r fk,l±H˚s 2 +k-1,+ (0,R) (2.2.11) был сходящимся. При этом функциональный ряд (2.2.3) сходится к функции f по норме пространства H˚s (UR) и ∞ dk 2 ±f ±H˚s(UR) = , , k=0 l=1 ±r-k fk,l 2 n ±H˚s 2 +k-1,+ (0,R). (2.2.12) Доказательство. Необходимость. Пусть функция f ∈ H˚s (UR) . Тогда по теореме 2.2.1 функции 2 r-kfk,l ∈ L2, n +k -1,+(0, R) и ряд (2.2.3) сходится к f по норме пространства L2 (UR ) . Применяя к (2.2.3) преобразование Фурье и учитывая формулу (2.2.6), получим ∞ dk k n Ff (ρ, ϑ) = , , (-i) (2π) 2 ρk Y (ϑ)F -kf . n +k-1 Γ ( n n k,l k+ 2 -1 r k,l k=0 l=1 2 2 2 + k) Причём ряд справа сходится в L2 (En) к функции Ff ∈ L2(En). Положим K dk k n ,= , , (-i) (2π) 2 ρk Y (θ)F n r-kf . n +k-1 Γ ( n k,l k+ 2 -1 k,l K k=0 l=1 2 2 2 + k) Тогда для почти всех ρ > 0 функции Ff (ρ, ϑ) и Учитывая ортонормированность Yk,l, найдем },K(ρ, ϑ) принадлежат пространствам L2(Θ). 0 � ±Ff (p, ·) - , (p, ·)±L (Θ) = ±Ff (p, ·)±L (Θ)- 2 2 K K dk k , , - k=0 l=1 2 + k) (2π)n 2n+2k-2 Γ2 ( n F n |ρ 2 +k-1 (r-k fk,l )|2. Умножим левую и правую части этого неравенства на функцию ρ2s+n-1 и проинтегрируем. Тогда K dk r∞ 2 +k-1(r , , k=0 l=1 1 2 + k) 2n+2k-2 Γ2 ( n 0 ρ2k+2s+n-1|Fn -k fk,l)|2 dρ � 2.2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 281 1 � (2π)n r∞r 2 |Ff (ρ, ϑ)| ρ 2s+n-1 H˚s(UR) dρdϑ = ±f ±2 . 0 Θ Величина справа ограничена, значит каждое слагаемое слева также ограничено и числовой ряд n k,l ∈ сходится. Это, в частности, означает, что функции r-kf H˚s 2 +k-1,+ (0, R) и что последовательs ность },K фундаментальна в F H˚ . Поскольку она сходится к функции Ff в смысле L2(E F ˚ n), то тогда она сходится и в смысле пространства стве H˚s(UR), что приводит к формуле (2.2.12). Hs. А тогда ряд в (2.2.3) сходится к f в пространn k,l ∈ Достаточность. Пусть функции r-kf H˚s 2 +k-1,+ (0, R) и числовой ряд (2.2.11) сходится. Тогда последовательность K dk , = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ) K k=0 l=1 фундаментальна в H˚s(0, R). Таким образом, найдется функция f ∈ H˚s(0, R), для которой имеет место формула (2.2.3), ряд в которой сходится по норме пространства H˚s(UR). Теорема доказана. Определим пространство Hs(En) как замыкание по норме 2 1 r 2 2 s ±f ±Hs(En) = (2π)n En множества функций C˚∞(En). ±Ff (ξ)± (1 + |ξ| ) dξ Тогда аналогично теореме 2.2.2 устанавливается Теорема 2.2.3. Для того, чтобы функция f ∈ Hs(En), необходимо и достаточно, чтобы n k,l ∈ функции r-kf H˚s 2 +k-1 + (E1 ) и чтобы ряд ∞ dk -k 2 , , ±r fk,l±Hs 1 (2.2.13) k=0 l=1 2 n +k-1,+(E+) был сходящимся. При этом функциональный ряд (2.2.3) сходится к функции f по норме про- Hs(En) странства Hs(En) и квадрат нормы ±f ±2 равен сумме ряда (2.2.12). 0 2. Определение многомерных операторов преобразования. Обозначим через T˚∞ (UR,0), { } где UR,0 = UR \ 0, множество функций вида K dk f (r, ϑ) = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ), (2.2.14) k=0 l=1 {0} где fk,l(r) ∈ C˚∞ (0, R), K = K(f ) - натуральное число. Функции fk,l, а вместе с ними и f, могут иметь в начале координат произвольную особенность. 0 На пространстве T˚∞ (UR,0) определим оператор Gn по формуле { } K dk √πr 1-n 2 k 2 + k) Gnf (r, ϑ) = , , n 1 2 S n +k-1 (r- fk,l )Yk,l (ϑ), k=0 l=1 2 2 +k- 2 Γ ( n где Sν - операторы преобразования, введённые в пункте 2.1.1, и fk,l - коэффициент разложения функции f в ряд по сферическим гармоникам Yk,l. Выведем другое представление оператора Gn, не использующее разложение по сферическим гармоникам. Подставляя (2.2.2) в (2.2.14), находим 2 r K √πr 1-n dk k ∗ , ∗ ∗ Gnf (r, ϑ) = , n 1 - Sn +k 1(r- f (r, ϑ )) Yk,l(ϑ)Yk,l(ϑ ) dϑ . Θ k=0 2 2 +k- 2 ( n 2 Γ 2 + k) l=1 282 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ По теореме сложения сферических гармоник [18, с. 235] получаем dk Γ ( n 1. n n 1 n , Yk,l(ϑ)Yk,l(ϑ∗) = 2 - 2 2 + k - 1 k C 2 - (γ), l=1 2π k где γ = (ϑ, ϑ∗• обозначает скалярное произведение векторов ϑ, ϑ∗ ∈ En. Так как |ϑ| = |ϑ∗| = 1, то γ - косинус угла между ними. Через Cλ обозначены ультрасферические многочлены Гегенбауэра. Отсюда и из представления оператора Sν по формуле (2.1.23) имеем Γ ( n 1) r K 2√π 1-n n n -1 Gnf (r, ϑ) = 2 - , r 2 Sn (r-kf (r, ϑ∗)) +k - 1 C 2 (γ) dϑ∗ = n n 1 +k-1 k 4π 2 ( n ) Θ k=0 ⎛ 2 +k 2 2 +k- 2 Γ ( n ) K 2 2 1 ⎞ n r = -Γ 2 - 1 1-n ∂ r 1+n r , 2 n + k 1 C 2 -1 n+3 0 r n 2 ⎝r 2 - k (γ) t- 2 · Pn 3 (t)f , ϑ∗ dtdϑ∗⎠ , 4π 2 ∂r 2 Θ k=0 2 +k- 2 t 0 (2.2.15) ν где P 0 - функция Лежандра первого рода. Дальнейшие выкладки зависят от чётности или нечётности размерности n. Пусть сначала n ;:? 3 является нечётным числом. Приведем некоторые известные соотношения для полиномов Лежандра и Гегенбауэра, доказательство которых можно найти в [18, гл. 10]. При целых p > 0 справедлива формула Dp λ 2p Γ(λ + p) λ+p γ Cm(γ) = m-p C (γ), (2.2.16) Γ(λ) полагая в которой λ = 1 , m = k + n - 3 , p = n - 3 получим 2 2 n-3 1 2 2 2 - n-3 Γ ( n - 1) n 1 Dγ 2 C 2 (γ) = 2 2 ) C (γ). 2 +k- 2 Γ ( 1 k n 3 2 1 Поскольку C 2 ≡ P 0, то ν ν n-3 n-3 Γ ( n - 1) n k √ D 2 P 0 2 +k- 2 (γ) = 2 2 2 C 2 -1(γ). π n 3 Подставляя теперь последнюю формулу в (2.2.15), найдем 1+n 1-n 1-n r 1+n n-3 , n Gnf (r, ϑ) = -2- 2 π 2 r 2 Dr r 2 Dγ 2 P 0 2 + k - 1 n 3 (γ) × 2 Θ k 1 r n+3 r 2 +k- 2 × t- n 2 P 0 3 (t)f , ϑ∗ dtdϑ∗ = 1+n 1-n 1-n 0 r 1+n n-3 2 +k- 2 ∞ t 1 r n+3 r = -2- 2 π 2 r 2 Dr r 2 Dr 2 , (2k + 1)P 0(γ) t- 2 P 0(t)f , ϑ∗ dtdϑ∗, (2.2.17) γ 2 Θ k= n-3 k k t 0 k где была произведена замена переменной суммирования. Так как полином Лежандра P 0 имеет степень k, то D(n-3)/2P 0(γ) ≡ 0 при k < n - 3 . Следовательно, не изменяя значения последне- γ k 2 го выражения, в последней сумме нижний предел суммирования можно положить равным нулю. n+3 Далее, функция t- t 2 f ( r , ϑ∗) переменной t бесконечно дифференцируема при 0 < t � 1 и тождественно равна нулю окрестности левого конца. Продолжая её нулём на отрезок [-1, 0], мы получим 2.2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 283 функцию класса C∞[-1, 1]. Для любой функции g ∈ C∞[-1, 1] справедливо (см. [18, гл. 10]) разложение в ряд Фурье по полиномам Лежандра 1 r ∞ k g(γ) = ,(2k + 1)P 0(γ) k g(t)P 0(t) dt. Отсюда в нашем случае получим 1 1 k=0 - ∞ r ( γ- n+3 r ∗ ,(2k + 1)P 0(γ) 0 n+3 r t- P (t)f , ϑ∗ dt = 2 f γ ,ϑ , если γ > 0, k=0 k 2 k t 0 0, если γ � 0. Подставляя это выражение в (2.2.17), находим окончательное представление оператора Gn в случае нечётного n: 1+n 1-n 1-n r 1+n n-3 n+3 r 1 Gnf (r, ϑ) = -2- 2 π 2 r 2 Dr r (ϑ,ϑl)>0 2 Dγ 2 γ- 2 f , ϑ∗ γ 1 1 1γ=(ϑ,ϑl) dϑ∗. (2.2.18) Проведем аналогичные построения в случае чётного n. Пусть сначала n ;:? 4. Снова воспользуемся формулой (2.2.16), в которой на этот раз положим λ = 1, p = n - 2, m = n - 2 + k. Тогда D 2 -2 n n γ C 1 2 +k-2 n (γ) = 2 2 -2 Γ 2 n n -1 - 2 1 Ck 2 2 (γ). n Так как C1 2 +k-2 является многочленом Чебышева второго рода, то (см. [18, с. 185]): (( n )) C n 1 (γ) = sin 2 + k - 1 arccos γ . Отсюда 2 +k-2 C1 1 sin(arccos γ) n Следовательно, 2 +k-2 n (γ) = n 2 + k - 1 Dγ cos 2 + k - 1 arccos γ . n D 2 -1 n n n n n -1 γ cos 2 + k - 1 - arccos γ = 2 2 -2 Γ 1 2 C 2 2 + k - 1 k (γ). Подставляя эту формулу в (2.2.15), находим 1 - Gnf (r, ϑ) = √ (2π) 2 3-n 2 1-n r r 2 Dr Θ D 1 r 1 1+n n γ r 2 2 - 0 n+3 t- 2 × ∞ r , n 0 ∗ × f , ϑ∗ t - cos + k 1 2 arccos γ Pn 3 (t) dtdϑ = 2-n 3-n 1-n r 1+n k=0 1 n 1 r n+3 r 2 +k- 2 ∞ = -2 2 π 2 r 2 Dr r 2 D 2 - t- 2 f , ϑ∗ , cos (k arccos γ) P 0 (t) dtdϑ∗. (2.2.19) γ t 2 Θ 0 k= n -1 2 k- 1 n γ Многочлен Чебышева, первого рода cos (k arccos γ) имеет степень k. Тогда D 2 -1 (cos (k arccos γ)) - при 0 � k < n 1. Имеет место формула (см. [18, с. 166]) 2 ⎧ 1 ∞ ⎨ , если γ > t, P 0 1 (t)+2 , cos (k arccos γ) P 0 1 (t) = /2(γ - t) (2.2.20) - 2 k=1 k- 2 ⎩ 0, если - 1 < γ < t. Учитывая вышесказанное, окончательно находим γ 1+n n 1-n r 1+n n 1 r n+3 1 f ( r , ϑ∗) 1 Gnf (r, ϑ) = -2 2 π- 2 r 2 Dr r (ϑ,ϑl)>0 γ 2 D 2 - 0 t- 2 t √γ - t dt1 1 1γ=(ϑ,ϑl) dϑ∗. (2.2.21) 284 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ Последняя формула доказана для чётных n ;:? 4. Предложенный метод доказательства для n = 2 непосредственно не проходит. Но сама эта формула верна и при n = 2. В самом деле, в полярных координатах x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ, имеем где ∞ f (r, ϕ) = f0(r)+ , (fk,1(r) cos(kϕ)+ fk,2(r) sin(kϕ)) , k=1 π 1 r fk,1(r) = π -π π 1 r f (r, ϕ) cos(kϕ) dϕ, fk,2(r) = π -π π f (r, ϕ) sin(kϕ) dϕ, Поэтому 1 r f0(r) = 2π -π f (r, ϕ) dϕ. ⎛ π 1 π 1 r G2f (r, ϕ) = π ∞ 2r ⎝ 2π -π S0f (r, ϕ∗) dϕ∗+ ⎞ + , k=1 1 r π2k k! -π (cos(kϕ) cos(kϕ∗)+ sin(kϕ) sin(kϕ∗)) Sk r-kf (r, ϕ∗) dϕ∗⎠ = π = - 1 r 2π√r Dr 1 2 r 3 r f r, ϕ∗ t 5 r- 2 / P 0 1 ∞ (t)+2 , cos(k(ϕ - ϕ∗))P 0 1 (t) dtdϕ∗. -π 0 - 2 k=1 k- 2 Учитывая (2.2.20), получим - 1 r G2f (r, ϕ) = Dr cos(ϕ-ϕl) 3 r r 2 / t f ( r , ϕ ) 5 - 2 ∗ t dtdϕ∗. (2.2.22) 3 22 π √r 2 |ϕ-ϕl|< π 0 cos(ϕ - ϕ∗) - t Это и заканчивает доказательство формулы (2.2.21) в случае n = 2. Заметим, что доказательство формул (2.2.18), (2.2.21), (2.2.22) является не совсем полным, поскольку не обоснована замена конечных сумм рядами. На соответствующих выкладках, использующих стандартные свойства разложений функций по полиномам Лежандра и Чебышева мы здесь останавливаться не будем. n Определим оператор B на множестве T˚∞ {0} (UR,0) по формуле K dk n 1 2 +k- n + k 2 Bnf (r, ϑ) = , , 2 Γ ( √ 2 ) rk Pn n-1 1 r 2 fk,l Yk,l (ϑ) , (2.2.23) π k=0 l=1 2 +k- 2 где fk,l определены в (2.2.2), а Pν - оператор преобразования из пункта 2.1.1. Для оператора Bn невозможно получить представление типа (2.2.18) или (2.2.21). Это обусловлено существом дела, поскольку оператор Gn устраняет особенности функций в начале координат, а Bn их порождает. Оператор Bn, например, функцию без особенностей может отобразить в функцию с существенной особенностью в начале координат. 0 Теорема 2.2.4. Операторы Gn и Bn отображают пространство T˚∞ { } (UR,0) на себя и явля- ∈ ются взаимно обратными. Для функции f T˚∞ {0} (UR,0) имеют место формулы GnΔf = r 2 D2 1-n r 2 Gnf , ΔB f = B r n-1 r n n 2 D2 1-n r n-1 r 2 f , (2.2.24) 2.2. МНОГОМЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 285 Доказательство. Поскольку сферические гармоники Yk,l суть собственные функции оператора ΔΘ, то справедлива формула K dk Δf = D2 + n - 1 D + 1 Δ , , f (r)Y (ϑ) = r r r r2 Θ k=0 l=1 k,l k,l K dk n - 1 k(n + k - 2) K dk D2 = , , r + k=0 l=1 r Dr - r2 k fk,l(r)Yk,l (ϑ) = , , k=0 l=1 Bn r 2 +k-1 r-k fk,l Yk,l (ϑ) , где через Bν, как обычно, обозначен оператор Бесселя, действующий по радиальной переменной. Подставляя это выражение в (2.2.14), получим K dk √ 1-n GΔf = , , πr 2 S n B n r-kf Y (ϑ) . n +k-1 Γ ( n 2 +k-1 2 +k-1 k,l k,l k=0 l=1 2 2 2 + k) r По теореме 2.1.2 имеем Sν Bν = D2Sν, последнее приводит к формуле (2.2.24). Второе соотношение есть следствие первого. Теорема доказана. Теорема позволяет трактовать Gn и Bn как операторы преобразования, преобразующие многомерный оператор Лапласа Δ в обыкновенный дифференциальный оператор вида r 2 D2r 1-n r n-1 2 . Операторы r - n 1 2 Gn и Bnr 2 преобразуют Δ в D2. 1-n r Отметим, что интегральные представления для многомерных операторов преобразования Gn и Bn были получены в курсовой работе С. М. Ситника в 1981 г. (задача была поставлена В. В. Катраховым). При этом был найден элементарный вывод с использованием комбинаторных свойств вместо использования спецфункций, это позволило получить строгое и относительно простое доказательство интегральных представлений (2.2.18), (2.2.21) и как следствие теоремы 2.2.4 при минимальных предположениях на гладкость функции. Приведённое здесь доказательство В. В. Катрахова является более «идейным», оно демонстрирует связи с несколькими конструкциями теории операторов преобразования и спецфункциями. Но при этом не удаётся, как указано выше, получить полностью строгое доказательство и нужны избыточные требования на гладкость функций. 2.2.3. L2-теория многомерных операторов преобразования. В этом пункте будут приведены некоторые результаты об операторах преобразования, связанные с пространствами L2. Основным результатом здесь является + Теорема 2.2.5. Для функций f ∈ T˚∞ (UR) при нечётном n имеет место равенство ±Gnf ±L2(UR) = ±f ±L2(UR), (2.2.25) а при чётном n - оценка ±Gnf ±L2(UR) � √ 2±f ±L2(UR), (2.2.26) постоянная в которой точна при R = ∞. Доказательство. Записывая L2-норму в сферических координатах и используя (2.2.14), получаем R r 2 ±Gnf ±L2(UR) = 0 r 2 |Gnf (r, ϑ)| dϑr Θ n-1 dr = 1 K dk r R r √ n-1 12 1 = 1, , πr 2 1 n -k 1 2 2 +k-1 Γ ( n 1 0 Θ 1k=0 l=1 n S 2 + k) 2 +k-1 r fk,l Yk,l (ϑ)1 1 dϑdr. Ввиду ортонормированности системы сферических гармоник Yk,l в L2 (Θ) имеем K dk 12 1 2 , , 1 π -k ±Gnf ±L2(UR) = 2n+2k-1 Γ ( n n 1S 2 +k-1 r fk,l 1L (0,R) . k=0 l=1 2 + k) 1 2 286 ГЛАВА 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-ПУАССОНА-ДЕЛЬСАРТА И ИХ МОДИФИКАЦИИ По лемме 2.1.6 при n нечётном имеем отсюда K dk 1 12 ±Gnf ±L2(UR) = 2 , , k=0 l=1 1r-k 1 fk,l1 2 - 1L2, n +k 1 . (0,R) А тогда из теоремы 2.1.3 и следует (2.2.25). Оценка (2.2.26) доказывается аналогично. Теорема доказана. Заметим, что конечность R здесь не играет никакой роли. Поэтому формулы (2.2.25), (2.2.26) остаются верными и при R = ∞ для функций f ∈ T˚∞ (U∞) = T˚∞ (E n) . Исходя из следствия 2.1.4 + + + теоремы 2.2.5, мы заключаем, что область определения T˚∞ (En) оператора Gn плотна в L2(En). Поэтому оператор Gn допускает расширение по непрерывности до ограниченного в L2(En) оператора. Обозначим такое расширение через GL2 . Пусть функции f, g ∈ T˚∞ (En) . Тогда из (2.2.14) получим (GL2 ) n + ∞ r n-1 r L2 n f, g L2(En) = r 0 Gn (r, ϑ) · g(r, ϑ) dϑdr = Θ r∞ r K(f ) dk / √π K(g) dk = rn-1 0 Θ 2 Sn , , k=0 l=1 n 2 2 +k-1 r ( n Γ 2 + k) 1-n 2 +k-1 r-kf k,l Yk,l (ϑ) , , g k=0 l=1 k,l (r)Y k,l (ϑ) dϑdr = √ min(K(f ),K(g)) dk = , , π ∞ n r S r-kf g (r)r n-1 2 dr. n +k-1 Γ ( n 2 +k-1 k,l k,l 2 k=0 l=1 2 2 + k) 0 Воспользовавшись формулой (2.1.23) и проинтегрировав по частям, находим (GL2 n f, g ) L2(En) = min(K(f ),K(g)) dk , , r r ∞ ∞ n-1 τ 2 n +k fk,l(τ )P 0 3 2 - 2 r τ dτ Dr n-1 r 2 gk,l(r) dr = k=0 l=1 0 r min(K(f ),K(g)) dk r∞ τ 2 gk,l(r) P 0 = , , n-1 r τ 2 fk,l(τ ) Dr r n-1 n r 3 drdτ = f, (GL2 )∗ g , где k=0 l=1 0 0 K(g) dk r 2 +k- 2 τ n L2(En) (GL2 )∗ g(r, ϑ) = , , r n-1 r D τ n-1 g (τ ) P 0 τ dτ Y (ϑ) . n 2 τ 2 k,l n 3 k,l k=0 l=1 0 2 +k- 2 r Последний ряд можно просуммировать, проводя такие же выкладки, как и при выводе соответствующего представления оператора Gn: при нечётном n (GL2 )∗ g(r, ϑ) = 2- 1+n π 1-n r n-1 D 2 γ n-1 g(γr, ϑ∗) 1 dϑ∗. (2.2.27) n а при чётном n ;:? 2 2 2 γ 2 (ϑ,ϑl)>0 γ 1 1γ=(ϑ,ϑl) (GL2 )∗ g(r, ϑ) = 2- 1+n π- n r n-2 r D 2 1 D τ n-1 g(τ r, ϑ∗) dτ 1 dϑ∗. (2.2.28) n 2 2 √ γ τ 2 (ϑ,ϑl)>0 0 γ - τ 1 1γ=(ϑ,ϑl) n Так как при нечётном n оператор GL2 будет унитарным, то формула (2.2.27) дает представление n также и обратного к GL2 оператора. n Операторы GL2 можно также выразить через преобразования Фурье. Пусть функция f ∈ + (E T˚∞ n) . Тогда по лемме 2.1.5 получим K dk 1-n GL2 , , πr 2 Yk,l (ϑ) 3 n k ρFn -1 k n f (r, ϑ) = n 1 I 2 - 2 - F 2 + k) - 2 +k-1 (r- fk,l) , k=0 l=1 2 2 +k- 2 Γ ( n 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 287 ν где Iμ - лиувиллевский оператор, F -1 - обратное синус-преобразование, F - преобразование - +k-1 Ханкеля. Функции ρFn 2 (r-kf k,l ) по условию нечётные. Поэтому синус-преобразование мож- - но заменить с соответствующим множителем на обратное одномерное преобразование Фурье по формуле F -1g = 2iF -1g. Тогда - 1-n 1-n 1-n K dk n (-i)k (2π) 2 ρk GL2 n f (r, ϑ) = (2π) 2 r 2 I 2 F -1 , , n n +k-1 Γ ( n F 2 +k-1 (r-kf k,l )Yk,l (ϑ) . k=0 l=1 2 2 Сравнивая это выражение с формулой (2.2.6), находим 2 + k) GL2 n f (r, ϑ) = (2πr) 1-n 2 I 1-n 2 F -1 n-1 ρ 2 Ff , где F - многомерное преобразование Фурье. Эта формула может быть записана в следующем окончательном виде: GL2 n f (r, ϑ) = (-2πir) 1-n 2 F -1 ρ n-1 2 Ff . В последних формулах неявно присутствует оператор продолжения на отрицательное значения радиальной переменной, вид которого ясен из контекста. ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ В этой главе систематически излагается теория операторов преобразования Бушмана-Эрдейи. Отметим, что в предыдущей главе рассматриваются некоторые специальные случаи интегральных операторов этого класса. Необходимо отметить, что следуя традиции теории операторов преобразования и соответствующей литературы, мы зачастую используем термин «операторы» там, где более точным был бы термин «дифференциальные выражения». В основных теоремах указаны функциональные пространства, для которых они верны. Для результатов, содержащих явные формулы, если конкретные классы функций не указаны, то считается, что они сформулированы для функций, финитных на положительной полуоси (бесконечно дифференцируемых функциях, отличных от нуля на некотором отрезке (a, b),a > 0,b < ∞). Выкладки можно также проводить с использованием очень полезных классов пробных функций МакБрайда, рассматриваемых в [577]. 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ Теперь перейдём к описанию основных свойств важнейшего класса - операторов преобразования Бушмана-Эрдейи. Это класс ОП, который при определённом выборе параметров является одновременным обобщением ОП СПД и их сопряжённых, операторов дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля и Эрдейи-Кобера, а также интегральных преобразований Мелера-Фока. Интегральные операторы указанного вида с функциями Лежандра в ядрах впервые встретились в работах E. T. Copson по уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу в конце 1950-х годов [462, 463, 465]. Впервые подробное изучение разрешимости и обратимости данных операторов было начато в 1960-х годах в работах Р. Бушмана [442, 443] и А. Эрдейи [491-495]. Операторы Бушмана-Эрдейи или их аналоги изучались также в работах T. P. Higgins [514], Ta Li [634, 635], E. R. Love [567, 568], G. M. Habibullah, K. N. Srivastava, Динь Хоанг Ань [87], В. И. Смирнова, Б. Рубина, Н. А. Вирченко, И. Федотовой [643], А. А. Килбаса, О. В. Скоромник [139, 534] и др. При этом в основном изучались задачи о решении интегральных уравнений с этими операторами, их факторизации и обращения. Эти результаты частично упомянуты в монографии [306], хотя случай выбранных нами пределов интегрирования считается там особым и не рассматривается, за исключением одного набора формул композиции. Некоторые результаты для особого выбора пределов были добавлены в английское расширенное издание монографии [612]. 288 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Термин «операторы Бушмана-Эрдейи» как наиболее исторически оправданный был введён С. М. Ситником в [318, 319], впоследствии он использовался и другими авторами. Ранее в [306] встречался предложенный О. И. Маричевым термин «операторы Бушмана». В теории преобразования Радона и математической томографии также используется термин «операторы Чебышёва- Гегенбауэра», см. [496, 608-610]. Наиболее полное изучение операторов Бушмана-Эрдейи было проведено в работах С. М. Ситника в 1980-1990-е годы [130-132, 312-315, 317-319, 344], и затем продолжено в последующие годы в [331, 332, 337, 340, 341, 347, 625-629]. При этом необходимо отметить, что роль операторов Бушмана-Эрдейи как ОП до указанных работ вообще ранее нигде не отмечалась и не рассматривалась. Из относительно недавних работ, в которых изучались операторы Бушмана-Эрдейи как интегральные операторы отметим работы Н. А. Вирченко [642, 643], А. А. Килбаса, Б. Рубина, А. В. Глушака и их учеников. Так в работах А. А. Килбаса и О. В. Скоромник [139, 534] рассматривается действие операторов Бушмана-Эрдейи в весовых пространствах Лебега, а также многомерные обобщения в виде интегралов по пирамидальным областям. В монографии Н. А. Вирченко и И. Федотовой [643] вводятся некоторые обобщения стандартных функций Лежандра, а затем рассматриваются напоминающие операторы Бушмана-Эрдейи, но не содержащие их как частные случаи, интегральные операторы с введёнными авторами функциями в ядрах на всей положительной полуоси (операторы Бушмана-Эрдейи определены на части положительной полуоси). В работах Б. Рубина среди других результатов описаны множества определения и образы интегральных операторов Бушмана-Эрдейи (Гегенбауэра-Чебышёва) в некоторых функциональных пространствах [496, 608-610] с приложениями результатов к теории преобразования Радона и томографии. Операторы преобразования Бушмана-Эрдейи используются в недавних работах А. В. Глушака [61, 63]. Дадим определение операторов Бушмана-Эрдейи первого рода. Определение 3.1.1. Операторами Бушмана-Эрдейи первого рода называются интегральные операторы Bν,μ 0+ f = x r (x2 - t2 μ )- 2 Pμ x f (t)d t, (3.1.1) ν t 0 x r Eν,μ 0+ f = 0 (x2 - t2 μ P )- 2 μ ν t x f (t)d t, (3.1.2) r∞ μ t Bν,μf = (t2 - x2)- 2 Pμ f (t)d t, (3.1.3) - x r∞ μ ν x x Eν,μf = - x ν (t2 - x2)- 2 Pμ f (t)d t. (3.1.4) t Здесь Pμ(z) - функция Лежандра первого рода [17], Pμ(z) - та же функция на разрезе ν ν -1 � t � 1, f (x) - локально суммируемая функция, удовлетворяющая некоторым ограничениям на рост при x → 0,x → ∞. Параметры μ, ν - комплексные числа, Re μ < 1, можно ограничиться значениями Re ν ;:? -1/2. Интегральные операторы указанного вида с функциями Лежандра в ядрах впервые встретились в работах E. T. Copson по уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу в конце 1950-х годов. А именно, в работах [462, 463] рассмотрено следующее утверждение, которое мы назовём Лемма Копсона. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных с двумя переменными: ∂2u(x, y) 2α ∂u(x, y) ∂2u(x, y) 2β ∂u(x, y) ∂x2 + x ∂x = ∂y2 + y (3.1.5) ∂y (обобщённое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу или B-гиперболическое уравнение по терминологии И. А. Киприянова) в открытой четверти плоскости x > 0, y > 0 при положительных 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 289 параметрах β > α > 0 с краевыми условиями на осях координат (характеристиках) u(x, 0) = f (x), u(0, y) = g(y),f (0) = g(0). (3.1.6) Предполагается, что решение u(x,y) является непрерывно дифференцируемым в замкнутом первом квадранте, имеет непрерывные вторые производные в открытом квадранте, граничные функции f (x), g(y) являются непрерывно дифференцируемыми. Тогда, если решение поставленной задачи существует, то для него выполняются соотношения: ∂u ∂u = 0,y = 0, ∂y ∂x 1 = 0,x = 0, (3.1.7) 1 2β Γ(β+ 1 ) r 2 0 f (xt)tα+β+1 (1- t2) β-1 2 P 1-β (t)dt = 2αΓ(α+ 1 ) r -α 2 0 g(xt)tα+β+1 (1- t2) P 1 α(t)dt, α-1 2 - -β (3.1.8) ⇓ y 2Γ(β + 1 ) r ( )β α 1 g(y) = 2 y1-2β x2α-1f (x) y2 - x2 - - x dx, (3.1.9) 2 Γ(α + 1 )Γ(β - α) 0 ν где Pμ(z) - функция Лежандра первого рода [17]. Соотношения (3.1.7) были известны ранее до Копсона, они очевидны. В его работе приводится нестрогий вывод (3.1.8), то есть получено, что граничные функции (или значения решения на характеристиках) не могут быть произвольными, они связаны в современной терминологии операторами Бушмана-Эрдейи. В этом основное содержание леммы Копсона. Далее в этой главе дополнительно доказано, что если две функции связаны операторами Бушмана-Эрдейи указанных порядков, то на самом деле выполняется (3.1.9) - то есть они связаны более простыми операторами Эрдейи-Кобера. Но отсюда не следует, как иногда отмечается, что теперь можно сразу получить обращение соответствующего оператора Бушмана-Эрдейи, хотя бы формально. Для этого произвольную функцию в правой части соответствующего уравнения надо записать также в виде оператора Бушмана-Эрдейи соответствующего порядка, чтобы подогнать под лемму Копсона. Но для этого уже надо уметь оператор Бушмана-Эрдейи обращать - получается порочный круг. Таким образом, неверно приписывать Копсону первый результат по обращению операторов Бушмана-Эрдейи, хотя насколько нам известно в его работе эти операторы действительно встречаются в явном виде впервые (этот абзац является отголоском сначала спора, а затем продолжительного обсуждения с Анатолием Александровичем Килбасом). Доказательства в работах [462, 463] являются нестрогими рассуждениями, скорее намечающими план доказательства, может быть поэтому данный результат не включён Копсоном в его монографию [464]. Отметим также, что в знаменитой монографии [306] и других работах даётся не совсем точная ссылка на работу [463], которую мы здесь исправили. Эта первоначальная работа Копсона нашла продолжение в совместной работе с Эрдейи [465], в которой уже даётся строгий вывод, вводятся подходящие классы функций, явно озвучена связь с дробными интегралами и операторами Кобера-Эрдейи. Перейдём к изложению результатов для ОП Бушмана-Эрдейи и их приложений к дифференциальным уравнениям с особенностями в коэффициентах. Все рассмотрения ведутся ниже на полуоси. Поэтому будем обозначать через L2 пространство L2(0, ∞) и L2,k весовое пространство L2,k (0, ∞). Вначале распространим определения (3.1.1)-(3.1.4) на важный не исследованный ранее случай μ = 1. Определение 3.1.2. Введём при μ = 1 операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости по формулам 0+ Bν,1 0+ f = 1Sν f = x d r dx Pν 0 x t f (t) dt, (3.1.10) 290 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Eν,1 0+ f = 1Pν f = x r t df (t) Pν dt, (3.1.11) - Bν,1f = 1Sν f = x 0 r∞ t Pν dt df (t) (- ) dt, (3.1.12) - - x dt x d r∞ x Eν,1f = 1Pν f = (- ) Pν f (t) dt, (3.1.13) - 0+ dx t x ν где Pν (z) = P 0(z) - функция Лежандра. Разумеется, при очевидных дополнительных условиях на функции в (3.1.10)-(3.1.13) можно продифференцировать под знаком интеграла или проинтегрировать по частям. Теорема 3.1.1. Справедливы следующие формулы факторизации операторов Бушмана- Эрдейи на подходящих функциях через дробные интегралы Римана-Лиувилля и Бушмана- Эрдейи нулевого порядка гладкости: Bν, μ 1-μ ν, μ 1-μ 0+ 0+ f = I0+ 1Sν f, B - 1 f = Pν I - - f, (3.1.14) 0+ Eν, μ 0+ f = 1Pν I 1-μ 0+ f, E ν, μ - f = I 1-μ - 1 Sν f. (3.1.15) - Доказательство. Докажем первую формулу, остальные доказываются аналогично. С учётом определений, финитности функции f (x), согласно соглашению в начале главы, и полугруппового свойства дробных интегралов Римана-Лиувилля, получаем Bν, μ 1-μ t t r -μ x ⎛ t 1 r r t ⎞ 0+ 0+ f = I0+ 1Sν f = I0+ Pν 0 f (y) dy = y Γ(-μ) (x - t)-μ-1 ⎝ Pν 0 0 y f (y) dy⎠ d t. Теперь переставим пределы интегрирования, что возможно, ввиду финитности функции, и для вычисления внутреннего интеграла применим [284, т. 3, с. 163, формула (7)]. Получим нужное интегральное представление для оператора Бушмана-Эрдейи первого рода, теорема доказана. Эти важные формулы позволяют «разделить» параметры ν и μ. Мы докажем, что операторы (3.1.10)-(3.1.13) являются изоморфизмами пространств L2(0, ∞), если ν не равно некоторым исключительным значениям. Поэтому операторы (3.1.1)-(3.1.4) по действию в пространствах типа L2 в определённом смысле подобны операторам дробного интегродиффенцирования I1-μ, с которыми они совпадают при ν = 0. Далее операторы Бушмана-Эрдейи будут доопределены при всех значениях μ. Исходя из этого, введём следующее Определение 3.1.3. Число ρ = 1 - Re μ назовём порядком гладкости операторов Бушмана- Эрдейи (3.1.10)-(3.1.13). Таким образом, при ρ > 0 (то есть при Re μ > 1) операторы Бушмана-Эрдейи являются сглаживающими, а при ρ < 0 (то есть при Re μ < 1) уменьшающими гладкость в пространствах типа L2(0, ∞). Операторы (3.1.10)-(3.1.13), для которых ρ = 0, являются по данному определению операторами нулевого порядка гладкости. Следует пояснить, что здесь под сглаживающими мы понимаем операторы, которые представимы в виде A = Dk B, где k > 0, а оператор B ограничен в L2(0, ∞). Под уменьшающими гладкость при этом понимаются операторы, которые действуют из некоторого пространства Ck (0, ∞),k > 0 в пространство Лебега L2(0, ∞). Перечислим основные свойства операторов Бушмана-Эрдейи первого рода (3.1.1)-(3.1.4) с функцией Лежандра I рода в ядре. Приведём эти свойства без доказательств, так как они все следуют из основных свойств функций Лежандра. Будем обозначать области определения операторов через D(Bν, μ), D(Eν, μ) и т. д. 0+ 0+ 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 291 Простейшие свойства функций Лежандра приводят к тождествам, выражающим симметрию по параметрам, соотношениям смежности и свойству сдвига по параметрам операторов Бушмана- Эрдейи. Bν, μ -ν-1,μ ν, μ -ν-1,μ 0+ f = B0+ f, E0+ f = E0+ f, Bν, μf = B-ν-1,μf, Eν, μf = E-ν-1,μf, (3.1.16) - - - - (2ν + 1)x Bν, μ 1 f = (ν - μ + 1)Bν+1,μf + (ν + μ)Bν-1,μf, 0+ x 1 0+ 0+ (3.1.17) (2ν + 1) Bν,μxf = (ν - μ + 1)Bν+1,μf + (ν + μ)Bν-1,μf, x - - - Bν-1,μ ν+1,μ 0, μ-1 1 0+ f - B0+ f = -(2ν + 1)B0+ xf, (3.1.18) Bν-1,μf - Bν+1,μf = -(2ν + 1) 1 Bν, μ-1f. - - x - Из формул разложения Lν (см. далее (3.1.24)) на множители получаются тождества d ν Bν, μ-1 f = Bν-1,μ 0+ dx - x 0+ f, (3.1.19) d ν Bν, μ-1 f = Bν+1,μ 0+ dx x 1 + 0+ f, (3.1.20) справедливые при условиях Re μ < 1, Re ν > - 2 lim f (y)/yν = 0, f ∈ D(Bν±1,μ), d ν ± f ∈ D(Bν, μ-1). y→0 0+ dx x 0+ 1 0+ Формулы (3.1.16) позволяют ограничиться случаем Re ν ;:? - 2 . Функции, на которые действуют операторы, должны принадлежать их областям определения. Для оператора Eν, μ справедливы те 0+ же формулы, что и для Bν, μ. Теорема 3.1.2. Операторы Бушмана-Эрдейи (3.1.1)-(3.1.4) определены, если Re μ < 1 или 0+ μ ∈ N и дополнительно выполнены условия: а) для оператора Bν, μ x r √y 0 1 1 |f (y) ln y| dy < ∞, если ν = - 2 , μ /= 2 , а во всех остальных случаях x r y- Re ν |f (y)| dy < ∞; 0 0+ б) для оператора Eν, μ дополнительные условия не требуются; в) для оператора Eν, μ - г) для оператора Bν, μ - r∞ y- Re ν |f (y)| dy < ∞; x ∞ r 1 y- 2 -Re ν | ln y · f (y)| dy < ∞, x 292 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ 1 1 если ν = - 2 , μ /= 2 , а во всех остальных случаях r∞ yRe(ν-μ) |f (y)| dy < ∞. x В этой теореме предполагается, что функция f (x) является локально суммируемой на (0, ∞), x - произвольное положительное число. Доказательство следует из оценок интегралов по модулю и использования известных асимптотик для функций Лежандра в нуле и на бесконечности, см. [17, 591]. 0+ Важно отметить, что при некоторых специальных значениях параметров ν, μ операторы Бушмана-Эрдейи сводятся к более простым. Так при значениях μ = -ν или μ = ν +2 они являются операторами Эрдейи-Кобера; при ν = 0 операторами дробного интегродифференцирования I1-μ или I1-μ; при ν = - 1 , μ = 0 или μ = 1 ядра выражаются через эллиптические интегралы; - 2 1 ν, 0 при μ = 0, x = 1, v = it - 2 оператор B- лишь на постоянную отличаются от преобразования Мелера-Фока. Таким образом, операторы Бушмана-Эрдейи первого рода являются обобщениями всех этих указанных классов стандартных интегральных операторов. Теорема 3.1.3. Пусть или Re μ < 0, или μ = m ∈ N, -m � ν � m - 1, ν ∈ Z. Тогда справедливы тождества d ν, μ ν, μ+1 ν, μ df ν, μ+1 dx B0+ f = B0+ f, E0+ = E f, (3.1.21) dx 0+ Bν, μ - df = Bν, μ+1 d Eν, μ ν, μ+1 - dx - f, - dx f = E f. (3.1.22) - - если все указанные операторы определены. Эта теорема позволяет доопределить операторы Бушмана-Эрдейи и на значения Re μ ;:? 1, переопределив их для натуральных μ. Определение 3.1.4. Пусть дано число σ, Re σ ;:? 1. Обозначим через m наименьшее натуральное число, такое, что σ = μ + m, Re μ < 1. Тогда операторы Бушмана-Эрдейи доопределим по формулам Bν, σ ν, μ+m d m Bν, μ 0+ = B0+ = dx 0+ , d m Eν, σ ν, μ+m ν, μ , (3.1.23) 0+ = E0+ = E0+ dx m Bν, σ = Bν, μ+m = Bν, μ - d , - - - dx m Eν, σ = Eν, μ+m = - d Eν, μ. - - dx - Отметим, что при натуральных μ операторы Бушмана-Эрдейи определены и по формулам (3.1.1)-(3.1.4). Мы переопределяем их для этих значений μ по формуле (3.1.23). Таким образом, символами Bν, μ, Eν, μ, Bν, μ, Eν, μ далее мы будем обозначать операторы, определяемые по 0+ 0+ - - формулам (3.1.1)-(3.1.4) при Re μ < 1, и по формулам (3.1.23) при Re μ ;:? 1. Будем рассматривать наряду с оператором Бесселя также тесно связанный с ним дифференциальный оператор Lν = D2 - ν(ν + 1) d = ν d - ν d + = ν + 1 d + ν + 1 - , (3.1.24) x2 dx x dx x dx x dx x который при ν ∈ N является оператором углового момента из квантовой механики. Их взаимосвязь устанавливают легко проверяемые формулы связи, приведём их. 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 293 Пусть пара ОП Xν, Yν сплетают Lν и вторую производную: Xν Lν = D2Xν, Yν D2 = Lν Yν. (3.1.25) Введём новую пару ОП по формулам Sν = Xν-1/2x ν+1/2 , Pν = x -(ν+1/2) Yν-1/2. (3.1.26) Тогда пара новых ОП Sν, Pν сплетают оператор Бесселя и вторую производную: Sν Bν = D2Sν, Pν D2 = Bν Pν. (3.1.27) Разумеется, по указанным формулам можно перейти и наоборот от ОП для оператора Бесселя к ОП для оператора углового момента. А именно, если дана пара ОП Sν, Pν со сплетающим свойством (3.1.27), то новая пара ОП, определяемых по формулам Xν = Sν+1/2x-(ν+1), Yν = xν+1Pν+1/2, (3.1.28) удовлетворяет соотношениям (3.1.25). Преимуществом ОП, сплетающих вторую производную не с оператором Бесселя, а с оператором углового момента, является тот факт, что при определённых условиях они оказываются ограниченными в одном пространстве, а не в паре разных пространств. Мы сохраним за ОП, действующим по формулам (3.1.25), названия ОП типа Сонина и Пуассона соответственно. Перейдём к определению условий, при которых ОП Бушмана-Эрдейи первого рода действительно являются операторами преобразования. 0+ 0+ Определим класс Φ(Bν, μ) как множество функций таких, что 1) f (x) ∈ D(Bν, μ)  C2(0, ∞), 1 ln y √ 1 1 1 y→0 1 1 √ 2) lim 1 1 y f (y)+ y ln y · f ∗(y)1 = 0, если ν = - 1 2 , μ /= 2 ; 1 lim (ν + 1)yν f (y) - yν+1f ∗(y) = 0, если μ = ν + 1, Re ν /= - y→0 ; и, наконец, 2 lim ν y→0 f (y) yν+1 f ∗(y) + yν = 0 во всех остальных случаях. Теорема 3.1.4. Пусть f (x) ∈ Φ(Bν, μ), Re μ � 1. Тогда оператор Bν, μ является оператором 0+ 0+ преобразования типа Сонина и удовлетворяет соотношению (3.1.25) на функциях f (x). - Аналогичный результат справедлив и для других операторов Бушмана-Эрдейи. При этом Eν, μ также является оператором типа Сонина, а Eν, μ и Bν, μ - операторами типа Пуассона. Доказатель- 0+ - ство см. в [318], оно основано на общих условиях для ядер сплетающих операторов преобразования и асимптотиках для функций Лежандра. Можно рассматривать случай, когда нижний предел в соответствующих интегралах (3.1.1)- (3.1.4) равен произвольному числу a > 0, или верхний предел в интегралах равен произвольному конечному числу b > 0. При этом все результаты этого пункта сохраняются, а их формулировки значительно упрощаются. В частности, все операторы Бушмана-Эрдейи в этом случае определены при единственном условии Re μ < 1 в форме (3.1.1)-(3.1.4) и являются операторами преобразования на функциях f (x) таких, что f (a) = f ∗(a) = 0 или (f (b) = f ∗(b) = 0). Теперь сделаем важное замечание. Из полученной теоремы следует, что ОП Бушмана-Эрдейи связывают собственные функции операторов Бесселя и второй производной. Таким образом, половина ОП Бушмана-Эрдейи переводят тригонометрические или экспоненциальные функции в приведённые функции Бесселя, а другая половина наоборот. Эти формулы здесь не приводятся, их нетрудно выписать явно. Все они являются обобщениями исходных формул Сонина и Пуассона (1.3.93)-(1.3.94) и представляют существенный интерес. Ещё раз отметим, что подобные формулы являются непосредственными следствиями доказанных сплетающих свойств ОП Бушмана- Эрдейи, и могут быть непосредственно проверены при помощи таблиц интегралов от специальных функций. Перейдём к вопросу о различных факторизациях операторов Бушмана-Эрдейи через операторы Эрдейи-Кобера и дробные интегралы Римана-Лиувилля (см. определения в главе 1). 294 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Теорема 3.1.5. Справедливы следующие формулы факторизации операторов Бушмана- Эрдейи через операторы дробного интегродифференцирования и Эрдейи-Кобера: ν+1 Bν, μ ν+1-μ -(ν+1) 2 , (3.1.29) 2 0+ = I0+ I0+; 2,ν+ 1 x Eν, μ x ν+1Iν+1 I-(ν+μ) 0+ = Bν, μ = 2 2 ν+1 2 0+; 2,- 1 I-(ν+1) 0+ , (3.1.30) ν-μ+2 - x -; 2,ν+1I- , (3.1.31) Eν, μ = I-(ν+μ)Iν+1 x ν+1. (3.1.32) - - -; 2, 0 2 Доказательство приведено в [318], оно аналогично [122, 124-126]. Ещё проще эти формулы доказываются через мультипликаторы Меллина, см. далее. Многие основные свойства операторов Бушмана-Эрдейи как интегральных операторов (но не как операторов преобразования!) могут быть выведены из теоремы 3.1.5. Так можно получить, что формально обратным к оператору Бушмана-Эрдейи с параметрами (ν, μ) является тот же оператор с параметрами (ν, 2-μ). При этом из двух операторов - прямого и обратного - всегда один будет иметь интегральное представление (3.1.1)-(3.1.4), а другой определяется формулами (3.1.23); один будет обязательно иметь положительный порядок гладкости, а другой отрицательный (кроме операторов нулевого порядка гладкости). Кроме того, теорема 3.1.5 позволяет доопределить операторы Бушмана-Эрдейи на всю область значений параметров. Такое доопределение согласуется с (3.1.23). Отметим, что факторизации (3.1.29)-(3.1.32) являются новыми по сравнению с факторизациями, приведёнными в [306]. Рассмотрим связь между операторами Бушмана-Эрдейи и сплетающими операторами Сонина- Пуассона-Дельсарта (СПД). Мы предпочтём дать новые определения для них, чтобы сохранить однообразие обозначений в этом пункте. Определение 3.1.5. Переопределим операторы преобразования Сонина-Пуассона-Дельсарта (см. главу 1) по формулам 0Sν ν, ν+2 (ν+1) 2 ν+1 0+; 2,ν+ 1 x 0+ = B0+ = I- 2 , (3.1.33) 0Pν ν,-ν x ν+1 Iν+1 , (3.1.34) 0+ = E0+ = 0Pν = Bν, ν+2 = 2 2 ν+1 2 0+; 2,- 1 I-(ν+1) - - x -; 2,ν+1, (3.1.35) x ν+1 0Sν = Eν,-ν = Iν+1 . (3.1.36) - - -; 2, 0 2 Это определение в сочетании с (1.3.50), (1.3.52)-(1.3.53) приводит к следующим интегральным представлениям: ⎧ ⎪ 2ν+2 ⎪ x r x (x2 - t2)-ν-2tν+1f (t) dt, Re ν < -1, 0Sν 0+f = ⎨ ⎪ Γ(-ν - 1) 0 x r ⎪ 2ν+1 ⎪ ⎪ d (x2 - t2)-ν-1tν+1f (t) dt, Re ν < 0; ⎩ Γ(-ν) dx 0 ⎧ x ⎪ ⎪ 1 x-ν r (x2 - t2)νf (t) dt, Re ν > -1, 0Pν 0+f = ⎨ ⎪ 2ν Γ(ν + 1) 0 x ⎪ 1 1 d ⎪ r (x2 - t2)ν+1f (t) dt, Re ν > -2; ⎪ ν ν+1 ⎩ 2 Γ(ν + 2) x dx 0 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 295 ⎧ ⎪ 2ν+2 ⎪ xν+1 r∞ (t2 - x2)-ν-2tf (t) dt, Re ν < -1, ⎪⎨ Γ(-ν - 1) 0Pν f = x 2 - ν+1 ⎪ ⎪ ⎪ xν - d r∞ (t2 - x2)-ν-1tf (t) dt, Re ν < 0; ⎩Γ(-ν) dx x ⎧ ∞ ⎪ 1 r ⎪ ⎪⎨ 2ν Γ(ν + 1) 0Sν f = x (t2 - x2)νt-νf (t) dt, Re ν > -1, - ⎪ 1 ⎪ 1 d - r∞ (t2 - x2)ν+1t-νf (t) dt, Re ν > -2. ⎪ ν+1 ⎩ 2 Γ(ν + 2) x dx x Эти операторы являются сплетающими типа Сонина или Пуассона. Если построить новые ОП для оператора углового момента (см. выше), то получим операторы типа Сонина ν- 1 x 3 2ν+ 2 r 3 Xνf = 0S0+ 2 xνf = x 2 Γ(-ν - 1 ) 0 (x2 - t2)-ν- 2 t2ν+1f (t) dt, если Re ν < -1/2, а если Re ν < 1/2, то 1 x r 2ν+ 2 Xνf = Sνf = 1 d (x2 - t2)-ν- 2 t2ν+1f (t) dt. (3.1.37) 2 Γ( 1 - ν) dx 0 Аналогично получим оператор типа Пуассона вида x 1 1 r 2 2 ν- 1 Yνf = Pνf = 2ν Γ(ν + 1) x2ν (x 0 при условии Re ν > -1/2. - t ) 2 f (t) dt (3.1.38) Отметим, что из теоремы 3.1.5 выводятся и формулы (3.1.14)-(3.1.15). Перейдём теперь к изучению операторов (3.1.10)-(3.1.13). Отметим, что если функция f (x) допускает дифференцирование под знаком интеграла или интегрирование по частям, то операторы (3.1.10)-(3.1.13) принимают вид x r 1Sν 0+f = f (x)+ 0 ∂ x Pν ∂x y f (y)dy, (3.1.39) x r 1Pν 0+f = f (x) - 0 ∂ P y ∂y ν x f (y)dy, (3.1.40) r∞ ∂ 1Pν f = f (x)+ y Pν f (y)dy, (3.1.41) - ∂y x x - 1Sν f = f (x) - r∞ ∂ Pν ∂x x x y f (y)dy. (3.1.42) При этом для справедливости (3.1.40) и (3.1.41) соответственно дополнительно необходимы условия lim Pν (0)f (x) = 0, lim Pν (x)f (x) = 0. x→0 x→∞ Несложными выкладками можно доказать, что при определённых условиях на функции операторы (3.1.10)-(3.1.13) являются операторами преобразования. Они сплетают оператор углового момента и вторую производную. 296 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Из теоремы 3.1.5 вытекают следующие факторизации для операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости: Следствие 3.1.1. 1Sν ν+1 (ν+1) 2 ν+1 , (3.1.43) 0+; 2,ν+ 1 x 0+ = I0+ I- 2 1Pν 0+ = x 2 ν+1 Iν+1 2 0+; 2,- 1 I-(ν+1) 0+ , (3.1.44) 1Pν = 2 ν+1 I-(ν+1) ν+1 - x -; 2,ν+1I- , (3.1.45) 1Sν = I-(ν+1)Iν+1 x ν+1 . (3.1.46) - - -; 2, 0 2 Теперь рассмотрим более подробно свойства ОП Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости, введённых по формулам (3.1.10). Подобный оператор был построен В. В. Катраховым [122, 124-126] путём домножения стандартного ОП Сонина на обычный дробный интеграл с целью взаимно компенсировать гладкость этих двух операторов и получить новый, который бы действовал в одном пространстве типа L2(0, ∞), см. главу 2. Как впоследствии оказалось, это можно сделать известными средствами, так как ОП Сонина - это частный случай операторов Эрдейи-Кобера. Существует замечательная теорема А. Эрдейи, позволяющая выделить стандартный дробный интеграл Римана-Лиувилля из дробного интеграла по любой функции [306]. В результате получается Теорема 3.1.6. Рассмотрим оператор дробного интегродифференцирования Эрдейи-Кобера по функции g(x) = x2 x 1 r Iα (x2 t2)α-1 0+; x2 f = Γ(α) - 0 1 2t · f (t) dt при значениях Re α > 0. Тогда при 0 < Re α < 2 на подходящих функциях справедливо представление оператора Эрдейи-Кобера через дробный интеграл Римана-Лиувилля и оператор Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости (3.1.10) при 0 < Re α < 1 2 ⎛ Iα α α x r ∂ x α ⎞ ν,1 α 0+,x2 (f )(x) = I0+ ⎝(2x) f (x)+ 0 -α P ∂x t (2t) f (t) dt⎠ = B0+ ((2x) f ) , (3.1.47) 0+ где Iα - обычный дробный интеграл Римана-Лиувилля. Доказательство. Из теоремы А. Эрдейи [306] мы получаем представление вида x r (2x)αf (x)+ 0 ∂ Φ(x, s)f (s) ds. ∂x Для ядра Φ справедливо представление [306] Φ(x, s) = sin πα π 2s · x r (x - u)-α(u - s)α-1 s (u - 1)1-α (u2 - s2)1-α du = sin πα π · 2s · x r (x - u)-α(u2 - s2)α-1du. s Интеграл вычисляется по формуле I из [284, с. 301]. Получаем Φ(x, s) = sin πα π · 2s · (2s)α-1 π sin πα 2 1 F1(α, 1 - α; 1; 2 - α 1 x 1 1 x 2 s ) = (2s) 2F1(α, 1 - α; 1; 2 - 2 s ). Осталось воспользоваться формулой (14) из [284, с. 129]. 3.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 297 Операторы нулевого порядка гладкости выделяются тем, что только для них можно доказать оценки в одном пространстве типа Lp(0, ∞). При этом, учитывая структуру этих операторов, удобно пользоваться техникой преобразования Меллина и теоремой Слейтер (см. главу 1). Теорема 3.1.7. 1. Операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости действуют по правилу (1.3.30), то есть в образах преобразования Меллина их действие сводится к умножению на некоторые мультипликаторы. Для их мультипликаторов справедливы формулы: Γ(- s + ν + 1)Γ(- s - ν + 1 ) 2 2 2 2 2 1S m ν (s) = 0+ Γ( 1 = s )Γ(1 - s ) 2 - 2 2 2-s Γ(- s - ν + 1 )Γ(- s + ν + 1) 2 2 2 2 2 (3.1.48) = √π , Re s < min(2 + Re ν, 1 - Re ν); Γ(1 - s) Γ( 1 - s )Γ(1 - s ) m1P ν (s) = 2 2 2 , Re s < 1; (3.1.49) 0+ Γ(- s + ν + 1)Γ(- s - ν + 1 ) 2 2 2 2 2 s ν s ν Γ( 2 + 2 + 1)Γ( 2 - 2 ) m1P ν (s) = , Re s > max(Re ν, -1 - Re ν); (3.1.50) - Γ( s )Γ( s + 1 ) 2 2 2 2 2 2 Γ( s )Γ( s + 1 ) m1Sν (s) = , Re s > 0. (3.1.51) - Γ( s + ν + 1 )Γ( s - ν ) 2 2 2 2 2 2. Кроме того, выполняются следующие соотношения для мультипликаторов: m1P ν (s) = 1/m1Sν (s), m1P ν (s) = 1/m1Sν (s), (3.1.52) 0+ 0+ - - m1P ν (s) = m1Sν (1 - s), m1P ν (s) = m1Sν (1 - s). (3.1.53) - 0+ 0+ - 3. Справедливы следующие формулы для норм операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости в L2: 0+ ±1Sν 0+ ±1Pν - ± = ±1Pν ± = 1/ min(1, √1 - sin πν), (3.1.54) - ± = ±1Sν ± = max(1, √1 - sin πν). (3.1.55) 4. Нормы операторов (3.1.10)-(3.1.13) периодичны по ν с периодом 2, то есть ±xν ± = ±xν+2±, где xν - любой из операторов (3.1.10)-(3.1.13). 0+ 5. Нормы операторов 1Sν 1 , Pν - не ограничены в совокупности по ν, каждая из этих норм не меньше 1. Если sin πν � 0, то эти нормы равны 1. Указанные операторы неограничены в L2 тогда и только тогда, когда sin πν = 1 (или ν = (2k)+ 1/2, k ∈ Z). 0+ 6. Нормы операторов 1Pν 1 , Sν - ограничены в совокупности по ν, каждая из этих норм не больше √2. Все эти операторы ограничены в L2 при всех ν. Если sin πν ;:? 0, то их L2норма равна 1. Максимальное значение нормы, равное √2, достигается тогда и только тогда, когда sin πν = -1 (или ν = -1/2+ (2k), k ∈ Z). Доказательство. Будем доказывать требуемые утверждения для первого оператора, для остальных доказательства аналогичны. 1. Вначале докажем формулу (1.3.30) с нужным мультипликатором (3.1.48). Используя последовательно формулы [229, (7), с. 130; (2), с. 129; (4), с. 130], получим M  Bν,1  (s) = Γ(2 - s) ⎡r∞( x x 1 dy ⎤ H( 0+ Γ(1 - s) · M ⎣ 0 Γ(2 - s) y - 1)Pν ( y ) {yf (y)} y ⎦ (s - 1) = = · M r(x2 - 1)0 P 0(x)l (s - 1) · M [f ] (s), Γ(1 - s) + ν где использованы обозначения из [229] для функции Хевисайда и усечённой степенной функции α ( xα, если x ;:? 0, x 0 ( 1, если x ;:? 0, + = 0, если x < 0, H(x) = x+ = 0, если x < 0. 298 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Далее, используя формулы [229, 14(1), с. 234; (4), с. 130], получаем Γ( 1 + ν - s)Γ(- ν - s) M r[(x - 1)0 P 0(√x)l (s) = 2 2 2 , 2 + ν Γ(1 - s)Γ( 1 - s) Γ( 1 + ν - s-1 )Γ(- ν - s-1 ) 1 Γ(- s + ν + 1)Γ(- s - ν + 1 ) M r(x2 - 1)0 P 0(x)l (s - 1) = 1 · 2 2 2 2 2 = · 2 2 2 2 2 + ν 2 Γ(1 - s-1 )Γ( 1 - s-1 ) 2 Γ(- s + 3 )Γ(- s + 1) 2 2 2 2 2 2 при условиях Re s < min(2 + Re ν, 1 - Re ν). Отсюда выводим формулу для мультипликатора M  Bν,1 - s)  (s) = 1 · Γ(2 s 3 Γ s 0+ 2 Γ(1 - s) · Γ - 2 + 2 - 2 +1 . Применяя к Γ (2 - s) формулу Лежандра удвоения аргумента гамма-функции (см., например, [17]), получим s s ν s ν 1 B ν,1 0+ M  √ ·  (s) = 2- π Γ(- 2 + 2 + 1)Γ(- 2 - 2 + 2 ) . Γ(1 - s) Ещё одно применение формулы удвоения Лежандра к Γ(1 - s) приводит к нужной формуле для мультипликатора (3.1.48). В работе [318] показано, что за счёт рассмотрения подходящих факторизаций, условия справедливости доказанной формулы, приведённые в [229] для более общего случая, являются в рассматриваемом нами случае завышенными, их можно несколько расширить. В частности, формула для мультипликатора справедлива при условиях 0 < Re s < 1 при всех значениях параметра ν, что проверяется непосредственно. 2. Теперь установим формулу для нормы (3.1.54). Из найденной формулы для мультипликатора в силу теоремы 1.3.1 получаем на прямой Re s = 1/2,s = iu + 1/2 1 Γ(-iu - ν + 1 )Γ(-iu + ν + 3 ) 1 √ . 1 1 |M Bν,1   (iu + 1/2)| = 1 1 2 2 4 2 2 4 1 1 0+ 2π 1 2 1 Γ( 1 - iu) 1 Далее будем опускать у мультипликатора указание на порождающий его оператор. Используем формулу для модуля комплексного числа |z| = √zz¯ и тождество для гамма-функции Γ(z) = Γ(z¯), вытекающее из её определения в виде интеграла. Последнее равенство справедливо для класса так называемых вещественно-аналитических функций, к которому относится и гамма-функция. Тогда получим 1 Γ(-iu - ν + 1 )Γ(iu - ν + 1 )Γ(-iu + ν + 3 )Γ(iu + ν + 3 ) 1 √ . 1 1 |M Bν,1  (iu + 1/2)| = 1 1 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 1 0+ 2π 1 Γ( 1 - iu)Γ( 1 + iu) 1 1 2 2 1 В числителе объединим крайние и средние сомножители, и три образовавшиеся пары гаммафункций преобразуем по известной формуле (см. [17]) В результате получим 1 1 Γ( + z) Γ( 2 2  - z) = π . cos πz 1  |M Bν,1  (iu + 1/2)| = cos(πiu) = ch(πu) . 0+ 2 cos π( ν + 1 + iu ) cos π( ν + 1 - iu ) ch πu - sin πν 2 4 2 2 4 2 Далее обозначим t = ch πu, 1 � t < ∞. Отсюда, применяя условие из теоремы 1.3.1, получаем sup |m(iu + u∈R 1 )| = sup 2 1�t<∞ 1 t . t - sin πν Поэтому, если sin πν ;:? 0, то супремум достигается при t = 1, и справедлива нужная формула для нормы ±Bν,1 0+ ±L2 = √1 1 . - sin πν Если же sin πν � 0, то супремум достигается при t → ∞, и справедлива формула ±Bν,1 0+ ±L2 = 1. 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ПЕРВОГО РОДА И НУЛЕВОГО ПОРЯДКА ГЛАДКОСТИ 299 Эта часть теоремы доказана. Утверждения 3-6 теоремы теперь напрямую следуют из найденной формулы для нормы и условий теоремы 1.3.1. Теорема полностью доказана. Важнейшим свойством операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости является их унитарность при целых ν. Отметим, что при интерпретации Lν как оператора углового момента в квантовой механике, параметр ν как раз и принимает целые неотрицательные значения. Сформулируем один из основных результатов данной главы. Теорема 3.1.8. Для унитарности в L2 операторов (3.1.10)-(3.1.13) необходимо и достаточно, чтобы число ν было целым. В этом случае пары операторов (1Sν , 1Pν ) и (1Sν , 1Pν ) взаимно обратны. 0+ - - 0+ Доказательство. При ν ∈ Z получим sin πν = 0 и модуль соответствующего мультипликатора в формуле (3.1.48) тождественно равен единице на нужной прямой Re s = 1 . Поэтому по свойству г) 2 теоремы 1.3.1 данный оператор является унитарным в L2(0, ∞), как и его обратный. То, что соответствующие пары операторов являются взаимно обратными, теперь следует из того, что они являются сопряжёнными в L2(0, ∞). Теорема доказана. Эта теорема была первоначально сформулирована в [119, 122, 123], доказательство содержало неточности (утверждалась унитарность при всех ν), затем скорректированные в [130, 312-315], см. также [318, 319, 331, 332, 340, 341, 625-629]. Перед формулировкой частного случая как следствия предположим, что операторы (3.1.10)- (3.1.13) заданы на таких функциях f (x), что справедливы представления (3.1.39)-(3.1.42) (для этого достаточно предположить, что xf (x) → 0 при x → 0). Тогда при ν = 1 1P 1 1 0+f = (I - H1)f, 1S-f = (I - H2)f, (3.1.56) где H1, H2 - операторы Харди (см. главу 1) I - единичный оператор. x 1 r H1f = x 0 f (y)dy, H2f = r∞ f (y) dy, (3.1.57) y x Следствие 3.1.2. Операторы (3.1.56) являются унитарными взаимно обратными в L2 операторами. Они сплетают дифференциальные выражения d2/dx2 и d2/dx2 - 2/x2. Кроме того, можно показать, что операторы (3.1.56) являются преобразованиями Кэли от симметричных операторов ±2i(xf (x)) при соответствующем выборе областей определения. В унитарном случае операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости образуют пару биортогональных преобразований Ватсона, а их ядра образуют пары несимметричных ядер Фурье [86]. Ограниченность операторов с подобными мультипликаторами изучалась ещё Лесли Фоксом. Отметим важность изучения унитарности для теории интегральных уравнений. В этом случае обратный оператор необходимо искать в виде интеграла с другими, чем у исходного, пределами интегрирования. 2 Рассмотрим случай ν = iα - 1 , α ∈ R, связанный с преобразованием Мелера-Фока. 2 2 Теорема 3.1.9. Пусть ν = iα - 1 , α ∈ R. Тогда операторы (3.1.10)-(3.1.13) ограничены в L при всех таких ν. Для их норм справедливы формулы iα- 1 2 iα- 1 - ±1S0+ 2 ± = ±1P ± = 1. Доказательство такое же, как и для вещественного ν. Далее перечислим некоторые общие свойства операторов, которые действуют по правилу (1.3.30) как умножение на некоторый мультипликатор в образах преобразования Меллина и одновременно являются сплетающими для второй производной и оператора углового момента. 300 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Теорема 3.1.10. Пусть оператор Sν действует по формулам (1.3.30) и (3.1.25). Тогда а) его мультипликатор удовлетворяет функциональному уравнению m(s) = m(s 2) (s - 1)(s - 2) ; - (s - 1)(s - 2) - ν(ν + 1) (3.1.58) б) если функция p(s) периодична с периодом 2 (то есть p(s) = p(s - 2)), то функция p(s)m(s) 2 является мультипликатором нового оператора преобразования Sν, опять же сплетающего Lν и вторую производную по правилу (3.1.25). Доказательство. Второй пункт следует из первого. Уравнение (3.1.58) получается из (3.1.25) применением преобразования Меллина и использованием формул преобразования простейших операций [229]. Последняя теорема ещё раз показывает, насколько удобно изучение ОП в терминах мультипликаторов преобразования Меллина. Определим преобразование Стилтьеса (см., например, [306]) по формуле r∞ f (t) (Sf )(x) = 0 x + t dt. Этот оператор имеет вид (1.3.30) с мультипликатором p(s) = π/sin(πs) и ограничен в L2. Очевидно, что p(s) = p(s - 2). Поэтому из теоремы 3.1.10 следует, что композиция преобразования Стилтьеса с ограниченными сплетающими операторами (3.1.10)-(3.1.13) снова является оператором преобразованием того же типа, ограниченным в L2. Отметим, что из предыдущего изложения следует, что π ±S±Lr = |π/ sin r |, r > 1. С другой стороны, ±S±L2,k = |π/ sin πk|, k ∈/ Z. Аналогично получаются оценки в весовых пространствах Lr, k r > 0. Рассмотрим теперь оператор Hν вида (1.3.30) с мультипликатором 1 sin πs - sin πν m(s) = sin πs . (3.1.59) Из теоремы 3.1.7 получаем, что на прямой Re s = 1 2 величина m(s) по модулю равна единице. Тогда из этой теоремы следует, что ±Hν ±L = ±1Pν ±L = ±1Sν ±L . (3.1.60) 2 0+ 2 - 2 Поэтому для оператора Hν справедливо заключение теоремы 3.1.7. В частности Hν ограничен в L2 при всех ν. Отметим, что формально этот оператор связан с преобразованием Стилтьеса формулой - 2 Hν = (1 sin πν S) 1 π . (3.1.61) Одновременно с Hν введём оператор Dν с мультипликатором 1 sin πs Отсюда получаем, что mDν (s) = sin πs - . sin πν ±Dν ±L = ±1Sν ±L = ±1Pν ±L . (3.1.62) 2 0+ 2 - 2 и кроме того, оператор Dν ограничен при sin πν /= 1. 2. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ВТОРОГО РОДА, СОНИНА-КАТРАХОВА И ПУАССОНА-КАТРАХОВА 301 Теорема 3.1.11. Рассмотрим композиции операторов 3Sν ν ν ν ν ν 1 0+ = 1S0+H , 3S- = D S , (3.1.63) - 3Pν 0+ = Dν 1 0+ Pν , 3Pν = 1P ν Hν . (3.1.64) - - 0+ 3Pν Тогда операторы 3Sν 3 , Sν - являются новыми операторами преобразования типа Сонина, а 0+, 3Pν - типа Пуассона. Все эти операторы унитарны в L2. Кроме того, если sin πν /= 1, - то композиции (3.1.63)-(3.1.64) можно вычислять в любом порядке. Доказательство этой теоремы очевидно и следует из перехода к мультипликаторам. Аналогичная идея применена в [572] для подправления преобразования Радона до изометрии. Ниже будет получено явное интегральное представление операторов преобразования, сплетающих Lν и d2/dx2, которые являются унитарными при всех ν ∈ R. Изучим вопрос о взаимосвязи разносторонних операторов Бушмана-Эрдейи. Полученные формулы аналогичны тем, которые связывают левои правосторонние дробные интегралы Римана- Лиувилля (см. [306, с. 163-171]). С этой целью введём оператор - Cνf = f (x) sin πν Sf, (3.1.65) π где S - преобразование Стилтьеса. Приведём без доказательства свойства Cν : 2 1. ±Cν ±L = min(1, 1 - sin πν) � 1, ν ∈ R; 1 2 2. ±Cν ±L = 1 + ch πα, ν = iα - 2 , α ∈ R. Теорема 3.1.12. При ν ∈ R справедливы тождества для композиций - 1 P 0+ Cν = 1Sν ν = 1P ν 0+ 1 Sν , (3.1.66) - 1 0+ 1 Sν = Sν - 0+ Cν, 1Pν 1 = Pν - Cν, (3.1.67) 1 0+ 1 Sν = Cν Sν - 0+ , 1Pν - = Cν 1Pν , sin πν /= 1. (3.1.68) 3.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ВТОРОГО РОДА И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СОНИНА-КАТРАХОВА И ПУАССОНА-КАТРАХОВА Теперь определим и изучим операторы Бушмана-Эрдейи второго рода. В этом пункте для краткости некоторые доказательства будут опущены, так как они в основном повторяют доказательства из предыдущего пункта. Определение 3.2.1. Введём новую пару операторов Бушмана-Эрдейи с функциями Лежандра второго рода [17] в ядре: ⎛ x 2 r 1 x ⎞ ∞ r 1 x - 2Sνf = π ⎝- 0 ν (x2 y2)- 2 Q1 ( y - )f (y)dy + x ν (y2 x2)- 2 Q1 ( y )f (y)dy⎠ , (3.2.1) ⎛ x 2 r 1 y ⎞ ∞ r 1 y 2Pνf = π ⎝- 0 ν (x2 - y2)- 2 Q1 ( x )f (y)dy - x ν (y2 - x2)- 2 Q1 ( x )f (y)dy⎠ . (3.2.2) При y → x ± 0 интегралы понимаются в смысле главного значения. Отметим без доказательства, что эти операторы определены и являются сплетающими при некоторых условиях на функции f (x) (при этом оператор (3.2.1) будет типа Сонина, (3.2.2) - типа Пуассона). Теорема 3.2.1. Операторы (3.2.1)-(3.2.2) представимы в виде (1.3.30) с мультипликаторами m2Sν (s) = p(s) m1Sν (s), (3.2.3) - 1 - m2P ν (s) = p(s) m1P ν (s), (3.2.4) где мультипликаторы операторов 1Sν , 1Pν определены формулами (3.1.50)-(3.1.51), а функция p(s) (с периодом 2) равна - - sin πν + cos πs p(s) = sin πν - sin πs . (3.2.5) 302 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Вначале докажем лемму. Лемма 3.2.1. Рассмотрим более общий чем (3.2.1) интегральный оператор при значениях Re ν < 1: ⎛ x r∞ ⎞ 2 r μ x μ x π 3Sν,μf = ⎝ 0 ν ( )f (y) dy + (x2 + y2)- 2 e-μπiQμ y x (y2 + x2)- 2 ν ⎠ Qμ( )f (y) dy y , (3.2.6) где Qμ(z) - функция Лежандра второго рода, Qμ(z) - значение этой функции на разрезе. ν ν 0 Тогда на функциях из C∞(0, ∞) оператор (3.2.6) определён и действует по формуле M 3Sν,μ(s) = m(s) · Mx1-μf (s), cos π(μ - s) - cos πν / Γ( s )Γ( s + 1 )) m(s) = 2μ-1 sin π(μ - s) - sin πν Γ( s 2 2 2 1-ν-μ s ν-μ . (3.2.7) 2 + 2 )Γ( 2 +1+ 2 ) Доказательство. Из асимптотики функций Лежандра [17] следует, что оператор (3.2.6) определён. Записывая его как свёртку Меллина, и последовательно применяя формулы из [229]: (2.50), с. 31; (10), с. 283; 40(1), с. 251; (5), с. 130 - получим выражение (3.2.7) со значением мультипликатора 2μ-2 sin π(ν-μ) s s 1 1+μ+ν s μ-ν s 2μ-1 Γ( 1+μ+ν - s )Γ( μ-ν - s ) 2 2 2 2 π2 · sin πμ · Γ( 2 )Γ( 2 + 2 )Γ( 2 - 2 )Γ( 2 - 2 )+ sin πμ · Γ(1 s )Γ( 1 s ) + 2μ-1 cos πμ Γ( s )Γ( s + 1 ) - 2 2 - 2 + · 2 2 2 . sin πμ Γ( s 1-ν-μ s ν-μ 2 + 2 )Γ( 2 +1+ 2 ) В двух последних слагаемых «поднимем» гамма-функции в числитель из знаменателя, переходя от Γ(z) к Γ(1 - z). Получим m(s) = 2μ-1 π2 sin πμ A(s) · Γ( s s )Γ( + 2 2 1 )Γ( 2 μ + ν +1- s 2 )Γ( μ - ν - s ). 2 Выражение A(s) последовательно преобразуем по элементарным тригонометрическим формулам πs πs π π A(s) = sin π(ν - μ)+2 sin cos 2 2 - 2 cos πμ · cos 2 (s - ν - μ) sin 2 (s + ν - μ) = = sin π(ν - μ)+ sin πs - cos πμ(sin πν + sin π(s - μ)) = sin πμ · (cos π(s - μ) - cos πν). Подставим это выражение в m(s). Перебрасывая две последние гамма-функции в знаменатель, получим (3.2.7). Применение указанных формул из [229] приводит к ограничениям на значения переменной 0 < Re(ν + μ) < min(1 + Re(ν + μ), Re(μ - ν)), (3.2.8) которые в нашем случае можно ослабить. Лемма доказана. Перейдём к доказательству теоремы 3.2.1. Из формулы (3.2.7) следует, что можно перейти к пределу при μ → 1 - 0. Отсюда получим (3.2.3) и (3.2.5). Аналогичными рассуждениями доказывается (3.2.4). Отметим, что в процессе доказательства построено ещё одно семейство операторов преобразования типа Сонина (3.2.6). Доказательства следующих результатов полностью аналогичны соответствующим утверждениям для операторов Бушмана-Эрдейи первого рода. Теорема 3.2.2. Справедливы формулы для норм 2 ±2Sν ±L = max(1, √1+ sin πν), (3.2.9) 2 ±2Pν ±L = 1/min(1, √1+ sin πν). (3.2.10) Следствие. Оператор 2Sν ограничен при всех ν. Оператор 2Pν не является непрерывным тогда и только тогда, когда sin πν = -1. Теорема 3.2.3. Для унитарности в L2 операторов 2Sν и 2Pν необходимо и достаточно, чтобы параметр ν был целым числом. 1. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ВТОРОГО РОДА, СОНИНА-КАТРАХОВА И ПУАССОНА-КАТРАХОВА 303 Теорема 3.2.4. Пусть ν = iβ + 1/2, β ∈ R. Тогда 2 ±2Sν ±L 2 = /1+ ch πβ, ±2Pν ±L = 1. (3.2.11) Теорема 3.2.5. Справедливы представления 2 r∞ 2S0f = π 0 y x2 - y2 f (y) dy, (3.2.12) 2S-1f = 2 r∞ π 0 x x2 - y2 f (y) dy. (3.2.13) Таким образом, в этом случае оператор 2Sν сводится к паре известных преобразований Гильберта на полуоси [306]. Теперь мы можем решить следующую важную задачу. Перейдём к построению операторов преобразования, унитарных при всех ν. Такие операторы определяются по формулам: ν S πν ν πν ν U f = - sin 2 2S f + cos 2 1S-f, (3.2.14) Pν U f = - sin πν 2 2P νf + cos πν 2 1P ν f. (3.2.15) - Для любых значений ν ∈ R они являются линейными комбинациями операторов преобразования Бушмана-Эрдейи 1 и 2 рода нулевого порядка гладкости. Их можно назвать операторами Бушмана-Эрдейи третьего рода. В интегральной форме эти операторы имеют вид: πν Sν ∞ d r x U f = cos 2 - dx Pν x ⎛ x f (y) dy + y ∞ 2 πν r 1 x r 1 x + sin ⎝ (x2 - y2)- 2 Q1 f (y) dy - (y2 - x2)- 2 Q1 f (y) dy , (3.2.16) π 2 ν y ν y 0 x x πν r Pν y d U f = cos 2 Pν x 0 ⎛ dy f (y) dy - x ∞ r 2 πν r 2 2 - 1 1 y 2 2 - 1 1 y - π sin 2 ⎝- (x 0 § y ) 2 Qν x f (y) dy - (y x § x ) 2 Qν f (y) dy x . (3.2.17) Теорема 3.2.6. Операторы (3.2.14)-(3.2.15) или (3.2.16)-(3.2.17) при всех ν являются унитарными, взаимно сопряжёнными и обратными в L2. Они являются сплетающими и дей- U ствуют по формулам (3.1.24). При этом Sν является оператором типа Сонина (Сонина- U Катрахова), а Pν - типа Пуассона (Пуассона-Катрахова). Доказательство. Проверим выполнение равенства (1.3.34) для одного из мультипликаторов. Аналогично случаю теоремы 3.1.7 с использованием свёртки Меллина и формул для преобразования Меллина специальных функций получается следующая формула для мультипликатора: - cos πs - cos πν / Γ( s )Γ( s + 1 ) M [Sν ] (s) = - sin( πν ) 2 2 · 2 + U 2 sin πs - sin πν Γ( s - ν )Γ( s + ν + 1 ) 2 2 πν / Γ( s )Γ( s + 1 ) 2 2 2 + cos( ) · 2 2 2 = 2 Γ( s - ν )Γ( s + ν + 1 ) 2 2 2 2 2 / s s 1 πν - cos πs - cos πν + cos( πν Γ( 2 )Γ( 2 + 2 ) . = - sin( 2 ) sin πs - sin πν 2 ) · Γ( s ν )Γ( s + ν + 1 ) 2 - 2 2 2 2 304 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Полностью вычисления проведены в [318]. Далее рассматриваем в соответствии с теоремой 1.3.1 с учётом выкладок из теоремы 3.1.7 величину 1 1 / 1 - cos π(iu + 1 ) - cos πν πν 1 1 cos πu - sin πν 1M [Sν ] (iu + 1 )1 = 1- sin( πν ) 2 + cos( )1 · = 1 1 U 1 1 πν 1 1 2 1 1 ( πν 2 ) 1 1 ) sin π(iu + 1 2 1 3. - sin πν 2 1 1 πν πν cos πu πν 1 1 = 1 sin( 2 ) - cos 1 1 2 + πiu 1 1 · cos πu - sin πν 1 sin = 1 1 4. - cos / 2 ch πu + i sin 1 2 sh πu 1 1 . 1 sin πν - cos πiu 1 cos πu 1 ch πu(ch π - sin πν) 1 Вычисляя модуль и заменяя затем тригонометрический и гиперболический синусы на косинусы, получим: 1 1 (sin πν - cos πν ch πu)2 + (sin πν sh πu)2  ch2 πu sin πν ch πu 1M [Sν ] (iu + 1 )1 = 2 2 2 = - = 1. 1 1 1 U 2 1 ch πu(ch π - sin πν) ch πu(ch π - sin πν) Унитарность этим доказана. Взаимная сопряжённость следует из определений (3.2.14)-(3.2.15), если рассматривать операторы как расширения с множества финитных функций. Следовательно, эти унитарные операторы и взаимно обратны. То, что они являются ОП типа Сонина и Пуассона, вытекает из проверки условий для мультипликаторов теоремы 1.3.1. Теорема доказана. Этим результатом завершается история построения унитарных ОП типа Сонина и Пуассона. Унитарные операторы преобразования тесно связаны с унитарностью оператора рассеяния в задачах квантовой механики [5, 381, 383, 401]. Интересно рассмотреть частный случай, который вытекает из теоремы 3.2.6 при ν = 1. Получаем пару очень простых операторов B1,1 x 1 r 1,1 r∞ f (y) 0+ f = f (x) - x 0 - f (y) dy, B f = f (x) - x dy, (3.2.18) y связанных со знаменитыми операторами Харди x 1 r r∞ f (y) H1f = x 0 f (y) dy, H2f = x dy. (3.2.19) y По поводу теории неравенств Харди см. [592]. Из наших результатов следует Теорема 3.2.7. Операторы (3.2.18) образуют пару взаимнообратных унитарных в L2(0, ∞) операторов. Они сплетают как ОП d2 dx2 d2 и dx2 2 - x2 . Как следует из (3.2.19), операторы Бушмана-Эрдейи могут рассматриваться как обобщения операторов Харди, а неравенства для их норм являются определёнными обобщениями неравенств Харди, что позволяет взглянуть на этот класс операторов под новым интересным углом зрения. Кроме того, можно показать, что операторы (3.2.18) являются преобразованиями Кэли от симметричных операторов ±2i(xf (x)) при соответствующем выборе областей определения. Их спектром является единичная окружность. В [318, 319] эти вопросы рассмотрены и для пространств со степенным весом. Результат об унитарности из теоремы 3.2.7 рассматривался Куфнером, Перссоном и Малиграндой [561], давшими его элементарное доказательство и приложения. Теорема 3.2.6 позволяет выписать ещё несколько пар унитарных в L2(0, ∞) операторов очень простого вида, которые являются частными случаями операторов Бушмана-Эрдейи при целых ν (см. [318, 319]): x r dy 1 r∞ U3f = f + 0 f (y) x , U4f = f + y x x f (y) dy, x r dy 3 r 6 - U5f = f + 3x 0 f (y) , U f = f y2 x2 0 yf (y) dy, 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ 305 3 U7f = f + x2 r∞ yf (y) dy, U8f = f - 3x x r∞ dy f (y) , y2 x x 1 r 15x2 3 1 r∞ 15y2 3 U9f = f + 2 0 y3 - y f (y) dy, U10f = f + 2 x x3 - x f (y) dy. Этот перечень можно продолжить дальше. Интересно отметить, что приведённые выше примеры противоречат утверждению, высказанному В. А. Марченко в [239]: «Но среди вольтерровских операторов только единичный оператор унитарен» - имеются в виду интегральные операторы Вольтерра второго рода, форму которых имеют большинство классических операторов преобразования. ОП в форме подобной (3.2.16)-(3.2.17), но только с ядрами, выражающимися через общую гипергеометрическую функцию Гаусса, были впервые построены в 1980 г. В. В. Катраховым, в его работах ядра выражались через гипергеометрическую функцию Гаусса. Поэтому можно предложить для них названия: операторы преобразования Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова. Мы получили для них выражения через функции Лежандра первого и второго родов, кроме того их удаётся включить в общую схему построения операторов преобразования композиционным методом, изложенным ниже в главе 6. При этом основными становятся наиболее простые формулы факторизации вида (3.2.14)-(3.2.15). На этом пути построение подобных операторов перестаёт быть специальным искусным приёмом, а встраивается в общую методику построения целых классов подобных операторов преобразования композиционным методом. 1. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ, СОНИНА-КАТРАХОВА И ПУАССОНА-КАТРАХОВА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ 1. Приложения операторов преобразования Бушмана-Эрдейи к задачам для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и лемме Копсона. Рассмотрим теперь приложения операторов преобразования Бушмана-Эрдейи первого рода и нулевого порядка гладкости к обобщениям и уточнению леммы Копсона. Теорема 3.3.1. Рассмотрим задачу Дирихле в четверти плоскости для уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу в условиях леммы Копсона (3.1.5)-(3.1.6). Тогда между данными задачи Дирихле справедливы соотношения, выражающиеся через операторы Бушмана-Эрдейи первого рода и нулевого порядка гладкости: cβ -α,1-β α+β+1 cα -β,1-α α+β+1 xβ E0+ (y α 0+ f (y)) = E (y x g(y)), cβ = 2Γ(β + 1/2), (3.3.1) cβ α β α+β+1 cα β α α+β+1 - xβ 1P0+ I0+(y P f (y)) = - xα 1 0+ I0+(y g(y)). (3.3.2) Данные формулы являются прямыми следствиями теоремы 3.1.1. C другой стороны, применяя теперь полученную выше теорему 3.1.5, в которой операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости были профакторизованы через дробные интегралы Римана-Лиувилля и Эрдейи- Кобера, мы получаем такой результат. Теорема 3.3.2. Между данными задачи Дирихле в условиях леммы Копсона справедливы соотношения, выражающиеся через операторы Эрдейи-Кобера: xα+β+1f (x) = cα Iα-β (yα+β+1g(y)). (3.3.3) cβ 0+;2;-1/2 Последнее соотношение уточняет соответствующий результат из оригинальной работы Копсона, который, по-видимому, содержит неточности в коэффициентах. Связь между данными на осях, выраженная через операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости, позволяет установить дополнительные результаты. 306 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ Теорема 3.3.3. Рассмотрим пространство с весом L2,xk (0, ∞), и пусть α, β - целые числа. Тогда для весовых норм данных Дирихле справедливы соотношения 0+ cβ ±Iβ 0+ (yα+β+1f (y))± = cα±Iα (yα+β+1g(y))±. (3.3.4) Этот результат следует из условия унитарности операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости в теореме 3.1.8. Кроме того, в этом случае можно из той же теоремы выразить данные не через оператор Эрдейи-Кобера, а через обратный оператор Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости, получив новое соотношение. Для произвольных, не являющихся целыми значений параметров, из теоремы 3.1.7 также получается соотношение между весовыми нормами данных Дирихле. Рассмотрим приложения операторов преобразования рассматриваемых нами классов к постановкам задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД). Рассмотрим уравнение ЭПД в полупространстве ∂2 u 2α +1 ∂u Bα, tu(t, x) = ∂t2 + = Δxu + F (t, x), t ∂t где t > 0, x ∈ Rn. Дадим описание процедуры, позволяющей получать различные постановки начальных условий при t = 0 единым методом. Образуем по формулам (3.1.24) операторы преобразования Xα, t и Yα, t. Предположим, что существуют выражения Xα, tu = v(t, x), Xα, tF = G(t, x). Пусть обычная (несингулярная) задача Коши ∂2 v t ∂t2 = Δxv + G, v|t=0 = ϕ(x), v∗|t=0 = ψ(x) (3.3.5) корректно разрешима в полупространстве. Тогда получаем следующие начальные условия для уравнения ЭПД: Xαu|t=0 = a(x), (Xαu)∗|t=0 = b(x). (3.3.6) При этом различному выбору операторов преобразования Xα,t (операторы Сонина, Бушмана- Эрдейи, Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости 1 или 2 рода, унитарные операторы третьего рода (3.2.16), обобщённые операторы Бушмана-Эрдейи) будут соответствовать различные начальные условия. Следуя изложенной методике в каждом конкретном случае их можно привести к более простым аналитическим формулам. При этом с использованием интегральных ОП различных типов для каждого конкретного ОП будут получатся некоторые нелокальные начальные условия, в том числе и с возможностью рассмотрения решений с особенностями. Данная схема обобщается на дифференциальные уравнения с большим числом переменных, по которым могут действовать операторы Бесселя с различными параметрами, а также уравнения других типов. Применение операторов преобразований позволяет сводить сингулярные (или иначе вырождающиеся) уравнения с операторами Бесселя по одной или нескольким переменным (уравнения ЭПД, сингулярное уравнение теплопроводности, B-эллиптические уравнения по определению И. А. Киприянова, уравнения обобщённой осесимметрической теории потенциала - теории GASPT (Generalized Axially Symmetric Potential Theory) - А. Вайнстейна и др.) к несингулярным. При этом априорные оценки для сингулярного случая получаются как следствия соответствующих априорных оценок для регулярных уравнений, если только удалось оценить сами операторы преобразования в нужных функциональных пространствах. Значительное число подобных оценок было приведено выше. 2. Приложения операторов преобразования Бушмана-Эрдейи, Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова к установлению формул связи между решениями дифференциальных уравнений. Начнём с простого, но важного замечания. Любую из рассмотренных в этой главе пар операторов преобразования, сплетающих операторы Бесселя и вторую производную, можно использовать для установления связей между решениями дифференциального уравнения с особенностями в коэффициентах с операторами Бесселя вида , ak Bν ,x k k u(x) = f (x) 3.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ 307 и невозмущённого уравнения с постоянными коэффициентами ∂2v(x) , ak k ∂x2 = g(x). При этом если пары взаимообратных ОП действуют по каждой переменной по формулам Sν Bν = D2Sν, Pν D2 = Bν Pν, (3.3.7) то решения возмущённого и невозмущённого уравнений связаны соотношениями k u(x) =  Sν k k v(x), v(x) =  Pν k u(x) (операторы типа Сонина и Пуассона). При этом результаты об ограниченности, оценках норм, унитарности операторов преобразований приводят автоматически к соответствующим утверждениям для пар решений дифференциальных уравнений. Мы ограничимся этой схемой, не выписывая соответствующих формул связи и оценок для решений дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах. Рассмотрим подробно один пример, позволяющий использовать построенные ОП различных классов и их оценки для построения решений одного из нелинейных уравнений. В работах А. В. Бицадзе и В. И. Пашковского [28, 29] указано, что в математической физике ряд задач сводятся к решению нелинейных уравнений Максвелла-Эйнштейна вида Δu + 1 ux - 1 (1 - 2 u )(u2 + u2 ) = 0, (3.3.8) x u A2 - u2 x y 1 1 Δu + ux - (u2 + u2 ) = 0. (3.3.9) x u x y Используя результаты этой работы А. В. Бицадзе и развитую нами технику ОП, получаем следующее приложение рассмотренных классов ОП к нелинейным уравнениям математической физики Максвелла-Эйнштейна. Теорема 3.3.4. Пусть P - произвольный оператор преобразования типа Пуассона, удовлетворяющий сплетающему свойству на гладких функциях 2 P D2 = ( d 1 d + ) P, (3.3.10) dx2 x dx A x g(x, y) - произвольная гармоническая функция. Тогда функция u1(x, y) = ch(aP являg(x, y)) ется решением нелинейного уравнения (3.3.8), а функция u2(x, y) = exp(bPxg(x, y)) является решением нелинейного уравнения (3.3.9), a, b - произвольные постоянные. Нами построены различные классы ОП типа Пуассона: Бушмана-Эрдейи первого, второго родов, нулевого порядка гладкости, Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова и т. д. Теперь мы можем использовать их в приведённой теореме для получения представлений решений нелинейных уравнений Максвелла-Эйнштейна через гармонические функции. 3. Приложения операторов преобразования Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова к решению некоторых интегродифференциальных уравнений. Рассмотрим приложения унитарных операторов Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова к решению соответствующих интегродифференциальных уравнений. Теорема 3.3.5. Пусть функции f (x), g(x) ∈ L2(0, ∞) и непрерывно дифференцируемы на полуоси. Тогда следующие интегро-дифференциальные уравнения взаимно обратны и решаются по приведённым формулам: g(x) = cos πν 2 - d r∞ Pν dx x x y f (y) dy + 308 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ ⎛ x ∞ 2 πν r 1 x r 1 x + sin ⎝ (x2 - y2)- 2 Q1 f (y) dy - (y2 - x2)- 2 Q1 f (y) dy , π 2 ν y ν y 0 x (3.3.11) x πν r y d f (x) = cos Pν g(y) dy - 2 x dy 0 ⎛ x 2 πν r 2 2 - 1 1 y ∞ r 2 2 - 1 1 y - π sin 2 ⎝- (x 0 § y ) 2 Qν x g(y) dy - (y x § x ) 2 Qν g(y) dy x . (3.3.12) При этом в указанном пространстве нормы решений и правых частей равны. Это приложение теоремы об унитарности ОП Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова. Отметим, что при специальных значениях параметра ν, при которых функции Лежандра выражаются через более простые функции, получается список конкретных интегро-дифференциальных уравнений, для которых получены явные решения с оценками их норм. Мы не будем приводить здесь этот список. 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ К УСТАНОВЛЕНИЮ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НОРМ ПРОСТРАНСТВ И. А. КИПРИЯНОВА И ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С. Л. СОБОЛЕВА Пространства И. А. Киприянова, как было показано в его работах и в работах представителей его научной школы, идеально подходят для изучения B-эллиптических уравнений с частными производными [140, 144]. Поэтому свойства этих пространств играют существенную роль при изучении дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах. В данном пункте доказано, что в одномерном случае нормы в пространствах И. А. Киприянова эквивалентны нормам в весовых пространствах С. Л. Соболева. Этот результат справедлив и для некоторых модельных областей в многомерных пространствах. При этом соответствующие результаты по существу являются переформулировками результатов предыдущего параграфа об условиях ограниченности и унитарности в пространствах Лебега на полуоси операторов преобразования Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости. Таким образом, указанные результаты об условиях ограниченности и унитарности в пространствах Лебега на полуоси операторов преобразования Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости имеют важное значение для теории уравнений с частными производными с операторами Бесселя, находя в этой области свои как стандартные, так и неожиданные приложения. Получаемые результаты относятся также к энергетическим пространствам для соответствующих дифференциальных уравнений. В данном пункте мы приведём список основных результатов без доказательств. Доказательства по существу вытекают из приведённых ранее свойств операторов Бушмана-Эрдейи, однако аккуратные определения и выкладки требуют немалого объёма текста. Определим множество функций D(0, ∞). Если f (x) ∈ D(0, ∞), то f (x) ∈ C∞(0, ∞), f (x) - финитна на бесконечности. На этом множестве функций введём полунормы ±f ±hα = ±Iαf ± , (3.4.1) 2 - L2(0,∞) α 1 ±f ±�hα = ±x (- d )α f ±L2(0,∞), (3.4.2) 2 x dx где Iα - дробная производная Римана-Лиувилля, оператор в (3.4.2) определяется по формуле - 1 d β = 2 I x β -β -2β I-β (- x dx ) -; 2, 0 , (3.4.3) -;2, 0 - оператор Эрдейи-Кобера, α - произвольное действительное число. При β = n ∈ N0 выражение (3.4.3) понимается в обычном смысле, что согласуется с определениями (1.3.50)-(1.3.53) главы 1. 3.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ К ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НОРМ ПРОСТРАНСТВ КИПРИЯНОВА И ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА 309 Лемма 3.4.1. Пусть f (x) ∈ D(0, ∞). Тогда справедливы тождества: 1 Iαf = 1Sα-1xα(- d )αf, (3.4.4) - xα(- 1 - d )αf = x dx Pα-1Iαf. (3.4.5) x dx 1 - - Таким образом, операторы Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости первого рода осуществляют связь между дифференциальными операторами (при α ∈ N) из определений полунорм (3.4.1) и (3.4.2). Лемма 3.4.2. Пусть f (x) ∈ D(0, ∞). Тогда справедливы неравенства между полунормами ±f ±hα � max(1, √1+ sin πα)±f ± , (3.4.6) 2 2 �hα 1 ±f ±�hα � min(1, √1+ sin πα)±f ±hα , (3.4.7) 2 2 1 где α - любое действительное число, α /= - 2 + 2k, k ∈ Z. 2 Постоянные в неравенствах (3.4.6)-(3.4.7) не меньше единицы, что будет далее использовано. В случае sin πα = -1 или α = - 1 + 2k, k ∈ Z, оценка (3.4.7) не имеет места. Приведённые леммы - это переформулировки результатов о формулах факторизации и оценках норм для операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости. Введём на D(0, ∞) соболевскую норму ±f ±W α = ±f ±L2(0,∞) + ±f ±hα . (3.4.8) 2 2 Введём также другую норму ±f ±W---α = ±f ±L2(0,∞) + ±f ±�hα . (3.4.9) 2 2 2 Пространства Wα, 2 Wα определим как замыкания D(0, ∞) по нормам (3.4.8) и (3.4.9) соответственно. Теорема 3.4.1. а) При всех α ∈ R пространство Wα непрерывно вложено в Wα, причём где A1 = max(1, √1+ sin πα). 1 2 2 ±f ±W α � A1±f ± 2 W---α 2 , (3.4.10) α Wα б) Пусть sin πα /= -1 или α /= - 2 + 2k, k ∈ Z. Тогда справедливо обратное вложение W2 в 2 , причём α ±f ±W---α � A2±f ±W2 , (3.4.11) 2 где A2 = 1/ min(1, √1+ sin πα). в) Пусть sin πα /= -1, тогда пространства Wα и Wα изоморфны, а их нормы эквивалентны. 2 2 г) Константы в неравенствах вложений (3.4.10)-(3.4.11) точные. Эта теорема фактически является следствием результатов по ограниченности операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости в L2, а именно теоремы 3.1.7. В свою очередь, из теоремы об унитарности этих операторов 3.1.8 вытекает результат об эквивалентной нормировке рассматриваемых нами вариантов пространств С. Л. Соболева. Теорема 3.4.2. Нормы s ±f ±W α = , ±Dj f ±L , (3.4.12) 2 ±f ±W---α = j=0 s , - 2 j 1 d ±x (- 2 )jf ±L (3.4.13) 2 j=0 x dx 310 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ задают эквивалентные нормировки в пространстве Соболева при целых s ∈ Z. Кроме того, каждое слагаемое в (3.4.12) тождественно равно соответствующему слагаемому в (3.4.13) с тем же индексом j. Как уже было отмечено, И. А. Киприянов ввёл в [140, 144] шкалу пространств, которые оказали существенное влияние на теорию уравнений в частных производных с оператором Бесселя по одной или нескольким переменным. Эти пространства можно определить следующим образом. Рассмотрим подмножество чётных функций на D(0, ∞), у которых все производные нечётного порядка равны нулю при x = 0. Обозначим это множество Dc(0, ∞) и введём на нём норму s 2,k ±f ±W�s 2 = ±f ±L2,k + ±Bk ±L2,k , (3.4.14) k где s - чётное натуральное число, Bs/2 - итерация оператора Бесселя. Пространство И. А. Киприянова при чётных s определяется как замыкание Dc(0, ∞) по норме (3.4.14). Известно, что эквивалентная (3.4.14) норма может быть задана по формуле [140] ±f ±W�s 2,k 1 = ±f ±L + ±xs(- 2,k d )sf ±L . (3.4.15) 2,k Это позволяет доопределить норму в W s 2,k x dx для всех s. Отметим, что по существу этот подход совпадает с одним из принятых в [140], другой подход основан на использовании преобразования 2,k Фурье-Бесселя. Далее будем считать, что Ws нормируется по формуле (3.4.15). Введём весовую соболевскую норму " ±W f s 2,k ± ±L ± ±L = f + Ds f (3.4.16) 2,k - 2,k 2,k и пространство Ws как замыкание Dc(0, ∞) по этой норме. Теорема 3.4.3. а) Пусть k /= -n, n ∈ N. Тогда пространство Ws непрерывно вложено в Ws , причём существует постоянная A3 > 0 такая, что 2,k 2,k " ±W f s 2,k � A3±f ± W� s 2,k . (3.4.17) б) Пусть k + s /= -2m1 - 1, k - s /= -2m2 - 2, m1 ∈ N0, m2 ∈ N0. Тогда справедливо обратное вложение Ws в Ws , причём существует постоянная A4 > 0, такая, что 2,k 2,k 2,k ±f ±W�s s � A4±f ±W2,k . (3.4.18) в) Если указанные условия не выполняются, то соответствующие вложения не имеют места. Следствие 3.4.1. Пусть выполнены условия: k /= -n, n ∈ N; k + s /= -2m1 - 1, m1 ∈ N0; k - s /= -2m2 - 2, m2 ∈ N0. Тогда пространства И. А. Киприянова можно определить как замыкание Dc(0, ∞) по весовой соболевской норме (3.4.16). Следствие 3.4.2. Точные значения постоянных в неравенствах вложения (3.4.17)-(3.4.18) есть - A3 = max(1, ±1Ss-1±L 2,k - ), A4 = max(1, ±1Ps-1±L 2,k ). Очевидно, что приведённая теорема и следствия из неё вытекают из приведённых выше результатов для операторов Бушмана-Эрдейи. Отметим, что нормы операторов Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости в L2,k дают значения точных постоянных в неравенствах вложения (3.4.17)-(3.4.18). Оценки норм операторов Бушмана-Эрдейи в банаховых пространствах Lp,α позволяют рассматривать вложения для соответствующих функциональных пространств. Неравенство для полунорм, приводящее к вложению (3.4.17) (s - целое число), получено в [211]. Вложения типа полученных в теореме 3.4.3 ранее изучались в [206, 207]. В последней p, k работе рассматривался случай k > -1/2, s ∈ N, пространства Ws . Мы рассматриваем гильбертовы пространства Ws , k и s - любые действительные числа. Кроме того, в теореме 3.4.3 уточнены 2,k условия отсутствия вложений из [206, 207], которые содержали ошибки (в качестве контрпримеров 3.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ К ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НОРМ ПРОСТРАНСТВ КИПРИЯНОВА И ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА 311 для некоторых вложений приводилась функция синуса, которая считалась чётной). Отметим, что в теореме 3.4.3 фактически установлены более точные неравенства между соответствующими полунормами, чем в предшествующих работах [206, 207]. Это стало возможным благодаря применению подробно изученных выше ОП Бушмана-Эрдейи. Перейдём к рассмотрению правосторонних сплетающих операторов (3.1.10)-(3.1.13). Мы покажем, что в общем случае они осуществляют изоморфизм пространства С. Л. Соболева и И. А. Киприянова. Определим пространства H2s, H2s и K2s как замыкания множества функций D(0, ∞) α α по нормам 2s ±f ±H2s = ±f ±L2 + ±I- f ±L2 , (3.4.19) α 2s ±f ±H2s = ±f ±L2,α + ±I- f ±L2,α , (3.4.20) s α ±f ±K2s = ±f ±L2,α + ±Bαf ±L2,α , (3.4.21) s - натуральное число, α ∈ R. Определим также пару операторов типа (3.1.25) α- 1 1 1 α- 1 1Xα = 1S 2 xα+ 2 , 1Y α = x-(α+ 2 )1P 2 . (3.4.22) - - - - - K2s Теорема 3.4.4. Пусть α ∈ R, s ∈ N. Тогда оператор 1X2 α действует непрерывно из H2s в α , причём ±1Xαf ± 2s � A5±f ± 2s , (3.4.23) α- 1 - Hα Kα где A5 = ±1Xα ± 2s 2s = ±1S 2 ±L = max(1, √1+ cos πα). - Hα →Kα - 2 - Пусть s ∈ N,α /= 2k + 1, k ∈ Z (или cos πα /= -1). Тогда оператор 1Y α действует непрерывно из в K2s в H2s, причём справедливо неравенство α α ±1Y αf ± 2s � A6±f ± 2s , (3.4.24) с постоянной - Kα Hα α- 1 A6 = ±1Y α± 2s 2s = ±1P 2 ±L = 1/ max(1, √1+ cos πα). - Kα →Hα - 2 Все утверждения теоремы вновь следуют из результатов для свойств норм ОП Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости. Оператор Бесселя является радиальной частью лапласиана в Rn. При такой интерпретации этого оператора в случае нечётномерных пространств будет выполнено условие теоремы 3.4.4. α Теорема 3.4.5. Пусть выполнены условия: α /= 2k+1, k ∈ Z; α /= -n, n ∈ N; α+2s /= -2m1 -1, m1 ∈ N0; α - 2s /= -2m2 - 2, m2 ∈ N0. Тогда операторы (3.4.22) осуществляют топологический изоморфизм пространств Соболева H2s и весового пространства Соболева H2s. Очевидно, что все условия теоремы 3.4.5 выполнены при полуцелых α ∈ R. Поэтому справедлива 1 Теорема 3.4.6. Пусть s ∈ N, α - 2 ∈ Z. Тогда операторы (3.4.22) осуществляют топологи- α ческий изоморфизм пространств Соболева H2s и весовых пространств Соболева H2s. Аналогично можно ввести по формулам типа (3.4.22) операторы 1Xα0+ и 1Y α0+. В качестве приложения приведённых выше результатов можно также рассмотреть действие операторов (3.4.22) в пространствах с нормами (3.4.19)-(3.4.21) при произвольных весах, не согласованных с постоянной α в операторе Бесселя Bα. Полученные в этом пункте результаты для одномерного случая очевидным образом переносятся на многомерный случай для области, которая состоит из декартового произведения положительных полуосей или отрезков по каждой переменной. Например, в двумерном случае полученные результаты сразу могут быть применены для оценок норм и доказательству вложений в первом положительном квадранте или лежащем в нём прямоугольнике. Таким образом в этом пункте с помощью ОП Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости дан положительный ответ на вопрос, который давно обсуждался в устном «фольклоре» - пространства Киприянова изоморфны весовым пространствам Соболева. Приведённые результаты ни в коем случае не умаляют ни существенного значения, ни необходимости использования пространств И. А. Киприянова для подходящего круга задач в теории дифференциальных уравнений с 312 ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУШМАНА-ЭРДЕЙИ частными производными с операторами Бесселя. Принципиальная важность пространств И. А. Киприянова для теории уравнений в частных производных различных типов с операторами Бесселя отражает общий методологический подход, который автор услышал в виде красивого афоризма на пленарной лекции чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева: «Каждое дифференциальное уравнение должно изучаться в своём собственном пространстве!» Полученные результаты также подтверждают полезность и эффективность для теории дифференциальных уравнений специального класса ОП - Бушмана-Эрдейи нулевого порядка гладкости, по существу введённого В. В. Катраховым в 1980-х годах. ГЛАВА 4 ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Эта глава распадается на две естественные части. В первой части вводятся и изучаются новые функциональные пространства сначала для случая полупространства, а затем для ограниченной области. При этом в первом случае мы используем метод введённых в первом параграфе операторов преобразования, а во втором случае пространства вводятся с помощью локальных карт. Приводятся все необходимые для дальнейшего сведения, в том числе внутренние теоремы вложения, теоремы о весовых следах и соответствующие теоремы о мультипликаторах. Во второй части сначала строится регуляризатор для несингулярного уравнения с постоянными коэффициентами с нелокальными граничными условиями, в которых присутствует оператор лиувиллевского типа, этот результат имеет вспомогательное значение. Основные результаты главы сосредоточены в заключительном пункте, в котором ставится и изучается общая весовая краевая задача для сингулярных эллиптических уравнений высшего порядка. При этом в случае «постоянных» коэффициентов применяется метод операторов преобразования, который сводит весовую задачу к указанной выше несингулярной задаче. В случае переменных коэффициентов применяется один из вариантов классической эллиптической техники, восходящей к Шаудеру. Мы строим двусторонний регуляризатор во введённых ранее пространствах, откуда легко следуют все основные положения о нётеровости изучаемой весовой краевой задачи. 4.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs(En+1) ν + 4.1.1. Определения и внутренние теоремы вложения. Пусть En+1 - евклидово (n+1)-мерное + пространство точек x = (x∗, y) = (x1,..., xn, y), где x∗ ∈ En, y ∈ E1. Через En+1 обозначим + полупространство y > 0, а через En+1 - его замыкание. На протяжении всей главы мы будем использовать операторы преобразования Pν,e и Sν,e, введённые в пункте 2.1.3. Здесь они будут действовать по последней переменной, то есть по y. + Введём некоторые обозначения. Пусть C˚∞(En+1) является множеством бесконечно дифференцируемых функций в En+1 с компактным в En+1 носителем. Через C˚∞(En+1) обозначим множе- + + ν + + ство функций, допускающих представление f = Pν,e g, где g ∈ C˚∞(En+1). В символической записи ν (E+ ) = Pν,e C˚ (E+ ). C˚∞ n+1 ∞ n+1 Введем для целых s ;:? 0 на пространстве C˚∞(En+1) следующую норму: ν + ±f ±Hs n+1 = ±Sν,ef ± n+1 . (4.1.1) ν (E+ ) Hs(E+ ) 2 n+1 Здесь и в дальнейшем через Hs(Ω) ≡ Ws(Ω) будем обозначать пространства С. Л. Соболева. Определение нормы (4.1.1) корректно, поскольку Sν,e = (Pν,e)-1 , а значит Sν,e f ∈ C˚∞(E+ ). s n+1 n+1 Обозначим через Hloc(E+ ) множество функций, определенных в E+ , которые в каждом слое En+1 ∗ ∗ n s n+1 a,b = {x = (x , y) : x ∈ E , a < y < b} при 0 < a < b < ∞ принадлежит пространству H (Ea,b ). a,b ) Система полунорм ps,a,b(f ) = ±f ±Hs(En+1 превращает его в пространство Фреше. 4.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs (En+1) 313 ν + Лемма 4.1.1. Пусть чётное s ;:? 0 и Re ν ;:? 0. Тогда для любой функции f ∈ C˚∞ (En+1) ν + имеет место оценка ps,a,b(f ) � c ±f ±Hs n+1 , (4.1.2) ν (E+ ) где 0 < a < b < ∞ и постоянная c > 0 не зависит от f. Доказательство. Функция g = Sνf по условию принадлежит пространству Pν,eg = f. Применим к функции формулу (см. (2.1.57)) r∞ + C˚∞(En+1) и Pν,e g(x∗, y) = cν y-ν -∞ 1 ν H(1)(yη)ην (1 - iη) 2 -ν F Пg(x∗, η) dη, (4.1.3) где F - преобразование Фурье по последней переменной, a П - оператор продолжения по Уитни + в E из En+1 n+1 . Пусть сначала s = 0. По неравенству Коши-Буняковского получаем r 2 a,b ) � ±Pν,e g±L2(En+1 c r (1) |Hν (yη)ην (1 - iη) r 1 2 -ν |2 dη |F Пg|2 dη dx + E | | n+1 η <1 a,b |η|<1 r r 1 + c E n+1 a,b | |η|>1 ν H(1)(yη) ην (1 - iη) 2 -ν F Пg(x∗, η) dη|2 dx. (4.1.4) ν + ) Первый внутренний интеграл в первом слагаемом справа в (4.1.4) ограничен, поскольку по асимптотическим формулам для функций Ханкеля [18] подынтегральная функция либо ограничена, либо имеет логарифмическую особенность в точке η = 0. Поэтому, расширяя пределы интегрирования и учитывая равенство Парсеваля, мы оценим первое слагаемое величиной c ±Пg±L2(En+1 . Для оценки второго слагаемого нужно воспользоваться асимптотикой функции Ханкеля H(1)(z) при z → ∞. Она имеет вид (см. [18, с. 98]) H(1) 1 eiz - ν (z) = √z (c + O(|z| )) , (4.1.5) где c - некоторая постоянная. Используя равенство Парсеваля, имеем 1 r b 1 r 1 iz - 1 ν 12 1 1 -ν ∗ 1 ∞ r r∞ 2 ∗ 2 1 1 e 1 a 1|η|>1 (yη) 2 η (1 - iη) 2 F Пg(x , η) dη1 1 1 1 dy � c -∞ |F Пg| dη � c -∞ |Пg(x , y)| dy. Таким образом, получена нужная оценка выражения, соответствующего первому слагаемому из (4.1.5). Оценивая выражение, соответствующее остаточному члену, по неравенству Коши- Буняковского, получим b r r 1 1 | a |η|>1 b (yη)- 2 ην (1 - iη) 2 -ν O(|yη|-1)F Пg(x∗, η) dη|2 dy � ∞ r r r � c |yη|-2 dη r |F Пg|2 dη dy � c |Пg(x∗, y)|2 dy. a |η|>1 |η|>1 -∞ + ) Следовательно, так как ±Пg±L2(En) � c ±g±L2(En+1 , то неравенство (4.1.2) при s = 0 установлено. Рассмотрим случай чётного s > 0. Заметим сначала, что s,a,b(f ) � , ±Dxl Dy f ± n+1 � c , a,b ±Dxl By f ± , p2 |αl|+2αn+1�s αl 2αn+1 2 L2(E a,b ) |αl|+2αn+1�s αl αn+1 2 L2(En+1) где использованы обычные обозначения: αl 2 Dαl ∂| | , α∗ = α + ∂ + α , B = 2ν +1 ∂ + . xl = ∂xα1 ∂xα2 ... ∂xαn | | 1 ··· n y ∂y2 y ∂y 1 2 n 314 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учитывая доказанное и формулу для операторов преобразования Sν,eB = D2Sν,e, получаем s,a,b(f ) � c , ±Sν Dxl By f ± n+1 � c ±Sν,e f ±Hs(En+1 ν = c ±f ± n+1 . p2 Лемма доказана. |αl|+2αn+1�s αl αn+1 2 L2(E+ ) 2 + ) Hs (E+ ) Пространство C˚∞(En+1), наделенное нормой (4.1.1), в силу леммы непрерывно вложено в пол- ν loc ное пространство Hs + + (En+1). Замыкая + C˚∞(En+1) по норме (4.1.1) при s ;:? 0, Re ν ;:? 0, мы получаем пространство, обозначаемое через Hs(En+1). ν + Из леммы 4.1.1 непосредственно вытекает Следствие 4.1.1. При s ;:? 0, Re ν ;:? 0 гильбертово пространство Hs(En+1) непрерывно влоloc жено в пространство Фреше Hs ν + + (En+1). Лемма 4.1.2. Пусть чётное s ;:? 0, Re ν ;:? 0 и 0 < a < b < ∞. Пусть функция f ∈ Hs(En+1) и ν + её носитель заключён в слое En+1. Тогда f ∈ Hs(En+1) и справедливо неравенство a,b + ) c∗ ±f ±Hs(En+1 ν � ±f ±Hs (E + ) n+1 + � c∗∗ ±f ±Hs(E ) n+1 , (4.1.6) + постоянные c∗, c∗∗ > 0 в котором не зависят от f. + Доказательство. То, что f ∈ Hs(En+1), а также левое неравенство в (4.1.6), установлено по сути дела при доказательстве леммы 4.1.1. Докажем правое неравенство. Напомним, что где 2 ,e Sν,e = Jν- 1 Sν, (4.1.7) 1 Jν- 1 ,e f (x∗, y) = f (x∗, y)+ r∞ - ν f (x∗, t)Φ 1 ν + , 2; y - t dt, (4.1.8) 2 2 y r ⎛ ∞ 1 1 ∂ 2 ⎞ y Sνf (x∗, y) = cν ⎝yν+ 2 f (x∗, y) - y tν+ 2 f (x∗, t) ν- 1 P 0 ∂y 2 t dt⎠ (4.1.9) μ + и Φ - вырожденная гипергеометрическая функция, а P 0 - функция Лежандра первого рода. Эти функции, являющиеся ядрами интегральных операторов, суть гладкие функции. Поэтому, поскольку f (x∗, y) = 0 при y < a и при y > b, то норма функции Sν,ef в пространстве Hs(En+1), оценивается через норму функции f в том же пространстве. Этим заканчивается доказательство леммы. Введем пространство Hs(En+1) для слоя En+1, 0 < b < ∞ как замыкание по норме (4.1.1) ν 0,b 0,b множества всех функций из C˚∞(En+1), носители которых заключены в En+1. ν + 0,b Лемма 4.1.3. Пусть чётное s ;:? 0, Re ν ;:? 0 и 0 < b < ∞. Тогда норма (4.1.1) и норма ±f ±Hs(En+1 = ±Sνf ± n+1 (4.1.10) 0,b ) на пространстве Hs(En+1) эквивалентны. Hs(E0,b ) ν 0,b Доказательство. Пусть функция f ∈ C˚∞(En+1) и supp f ⊂ En+1. По определению это означает, ν + + ˚ ˚ что Sν,e f ∈ C∞(En+1). А тогда и функция Sνf = J 1 Sν,e f ∈ C∞(En+1). Последнее легко сле- ν + 2 -ν,e ν + дует из (4.1.7) и (4.1.8). Заметим, что формула (4.1.8) верна при всех комплексных ν. Операторы ν Jμ,e и J-μ,e обратны друг другу на пространстве C˚∞(E n+1 + ). Кроме того, из гладкости функции Φ легко получаем оценку c∗ ±Jμ,eg±Hs(En+1 � ±g±H (En+1 � c∗∗ ±Jμ,eg± s n+1 , + ) s + ) H (E+ ) которая верна для функций g ∈ C˚∞(En+1) таких, что supp g ⊂ En+1. Постоянные c∗ и c∗∗ зависят + 0,b от b, но не зависят от функции g. Таким образом, эквивалентность норм (4.1.1) и (4.1.10) доказана на плотном множестве f ∈ C˚∞(En+1), supp f ⊂ En+1. Лемма доказана. ν + 0,b 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs (En+1) 315 ν + Сделаем одно замечание. Нами доказана эквивалентность норм (4.1.1) и (4.1.10) для пространств Hs(En+1) в случае конечного b. При b = ∞ это уже не имеет места. Можно показать, ν 0,b что норма (4.1.10) при b = ∞ подчинена норме (4.1.1). Поэтому, если в определении простран- + ства Hs(En+1) заменить норму (4.1.1) на норму (4.1.10), то получим более широкое пространство, loc которое оказывается не вложенным в Hs + (En+1). Это и послужило причиной использования нормы (4.1.1), которая порождена оператором преобразования Sν,e, а не оператором Sν. Установим соотношение введённых пространств и функциональных пространств, изученных И. А. Киприяновым [144]. Пусть F (n + 1) - мерное преобразование Фурье: r Ff (ξ) = En+1 f (x∗, y)e-i(ξl,xl)-iyη dx, где ξ = (ξ∗, η) ∈ En+1, ξ∗ ∈ En, (ξ∗, x∗• = ξ1x1 + ··· + ξnxn. Через Fν обозначим преобразование Фурье-Бесселя (или Фурье-Ханкеля) r Fνf (ξ) = E n+1 + f (x∗, y)e-i(ξl,xl)jν (yη)y2ν+1 dx. Пространства Hs (En+1), s ;:? 0, ν ;:? - 1 определяются как замыкание множества чётных функ- ν,+ 0,b 2 ций f ∈ C˚∞(En+1), для которых supp f ⊂ En+1 (множество таких функций обозначим через C˚∞ + n+1 0,b + (E0,b )) по норме ⎛ r 2 2 s 1 ⎞ 2 2ν+1 ±f ±Hs n+1 = ⎜ |Fνf (ξ)| (1 + |ξ| ) η dξ⎟ . (4.1.11) ν,+(E+ ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ E n+1 + Многократно применяя лемму 4.1.3, мы приходим к следующему утверждению. ν,+ Лемма 4.1.4. Пусть чётное s ;:? 0 и вещественное ν ;:? 0. Тогда пространство Hs (E ) n+1 0,b непрерывно вложено в Hs(En+1). При ν /= 1, 3, 5,... Hs (En+1) образует собственное под- ν 0,b ν,+ 0,b пространство пространства Hs(En+1), причём индуцированная и собственная нормы на Hs n+1 ν 0,b ν,+(E0,b ) эквивалентны. ν Рассмотрим теперь внутренние теоремы вложения введённых пространств Hs. Теорема 4.1.1. Пусть Re ν ;:? 0 и s∗ > s ;:? 0. Тогда пространство Hsl (En+1) непрерывно ν + вложено в Hs(En+1) и справедливо соответствующее неравенство между нормами. ν + ν Это утверждение есть прямое следствие определения пространств Hs и теорем вложения пространств Hs. Теорема 4.1.2. Пусть Re ν ;:? 0 и s∗ > s ;:? 0. Пусть fk, k = 1, 2,... ограниченная последовательность функций из Hsl (En+1), причём supp fk ⊂ Y, где Y - ограниченное множе- ν + + ство в En+1. Тогда существует подпоследовательность, сходящаяся по норме пространства Hs n+1 ν (E+ ). Доказательство. Можно построить последовательность функций ϕk (x) ∈ C˚∞(En+1) таких, что ν + n+1 supp ϕk ⊂ Y∗ и ±fk - ϕk ±Hsl n+1 → 0 при k → ∞. Здесь Y∗ - некоторый компакт в E+ . ν (E+ ) Тогда последовательность норм ±ϕk ±Hsl n+1 = ±Sν,eϕk ± l n+1 ограничена. По теоремам о пол- ν (E+ ) ν Hs (E+ ) ной непрерывности вложения пространств Hs (см. С. М. Никольский [263]) найдется функция + m g ∈ Hs(En+1), к которой сходится некоторая подпоследовательность Sν,eϕk . Значит, она фундаментальна в Hs(En+1), а тогда фундаментальна и последовательность fk в Hs(En+1). В силу + m ν + s полноты пространства Hν эта последовательность будет сходящейся. Теорема доказана. 316 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. Некоторые результаты о мультипликаторах. В этом пункте будут выяснены достаточные условия на функцию a(x), при которых отображение f → af будет непрерывным в пространствах Hs(En+1). Кроме того, будут даны оценки нормы этого отображения. ν + + Лемма 4.1.5. Пусть a(x) ∈ C∞(En+1) и выполнено условие Dk y a(x) = 0 при y = 0, k = 1, 2,.... (4.1.12) Тогда при Re ν ;:? 0 функция af принадлежит множеству C˚∞(En+1), если f ∈ C˚∞(En+1). ν + ν + + Доказательство. Покажем, что если функция g ∈ C˚∞(En+1), то функция Sν,e (aPν,e g) принад- 1 e лежит тому же классу. Так как Sν,e = I 2 - Sν 1 2 и Pν,e 1 ν = P 2 - 2 ν ν 1 Ie e и операторы Iμ отображают C˚∞(En+1 ν- 1 1 2 -ν 2 1 + ) на себя при любых комплексных μ, то достаточно показать, что Sν (aPν g) ∈ C˚∞(En+1 ν- 1 2 -ν 2 + ). Из определения операторов преобразования Sν и Pν , где N - натуральное число, получаем ν- 1 1 ν (-1)N +1 21-N 1 ∂ r∞ ν Sν 2 aP 2 - f (x∗, y) = Γ 2 (ν + 1 ) 2 - Γ (N ν + 1 ) ∂y y (t2 - y2)ν- 2 a(x∗, t) t × ∞ r 1 ∂ 1 N - × (τ 2 t2)N -ν- 2 ∂τ τ t g(x∗,τ ) dτdt = (-1)N +1 21-N ∂ r∞/ τ ∂ 1 N r 1 1 2 = Γ (ν + 1 ) 2 - Γ (N ν + 1 ) ∂y y ∂τ τ g(x∗,τ ) (τ 2 - y2)ν- 2 t (τ 2 - t2)N -ν- 2 a(x∗, t) dtdτ. y Во внутреннем интеграле справа сделаем замену переменной по формуле t = /y2 + z(τ 2 - y2). Тогда τ r 1 1 1 (τ 2 - y2)N r 1 1 - (τ 2 - y2)ν- 2 t (τ 2 - t2)N -ν- 2 a(x∗, t) dt = y zν- 2 zN -ν- 2 a(x∗, /y2 + z(τ 2 y2)) dz. 2 0 Отсюда интегрированием по частям находим r∞ S- 2 +ν 1 1 -ν -1 ∂ g(x∗,τ ) ν ν aP 2 g (x∗, y) = ( ) ( 1 ) × 2 Γ ν + 1 ⎛ 1 y Γ N - ν + 2 ∂y ⎞ ∂N 2 2 N r ν 1 N ν 1 / 2 2 2 ×(∂τ 2)N ⎝(τ - y ) z - 2 z 0 - - 2 a(x∗, r∞ 1 y + z(τ N - y )) dz⎠ dτ = = -1 ∂ r g(x∗,τ ) , 2k-N N N ! Γ (ν + 1 ) Γ (N - ν + 1 ) ∂y k (N - k)!× 2 2 y 0 k=0 1 1 ∂ N -k 1 1 ×(τ 2 - y2)N -kzν+N -k- 2 (1 - z)N -ν- 2 a(x∗, λ)1 dzdτ. λ∂λ 1 1λ= √y2+z(τ 2-y2) k Здесь через (N ) обозначены биномиальные коэффициенты. Дифференцируя по параметру y, получим ∞ ν- 1 1 ν r где положено ν Sν 2 aP 2 - g (x∗, y) = a(x∗, y)g(x∗, y)+ y g(x∗,τ )aν (x∗, y,τ ) dτ, (4.1.13) 4.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs (En+1) 317 ν + aν (x∗, y,τ ) = ( ) -1 ∂ ) , N N 2k-N N ! (τ 2 - y2)N -k × 2 Γ ν + 1 2 Γ (N - ν + 1 1 ∂y k=0 k (N - k)! 1 r 1 1 ∂ N -k 1 - × zν+N -k- 2 (1 z)N -ν- 2 λ∂λ 0 1 a(x∗, λ)1 1 1λ=√y2+z(τ 2-y2) dz. (4.1.14) Из (4.1.14) и из условия (4.1.12) следует, что функция aν (x∗, y,τ ) бесконечно дифференцируема при x∗ ∈ En и y, τ ;:? 0. Поэтому левая часть формулы (4.1.13) также бесконечно дифференцируема и, очевидно, финитна. Лемма доказана. Наложим на функцию a(x) еще некоторые ограничения. Пусть при некоторых R < ∞ Dy a(x∗, y) = 0, y ;:? R, (4.1.15) и при всех мультииндексах α sup 1 1Dαl 1 D αn+1 1 a(x)1 = Mαl,αn+1 = Mα < . (4.1.16) 1 xl y 1 ∞ + y x∈En+1 1 1 Уточним в этих условиях некоторые свойства функции aν (x∗, y,τ ). Имеет место оценка 1 1 αl 1 1 l 1 m 1 2 Re ν-1-m αl,k 1Dxl 1 1 1 y Dy τ Dτ aν (x∗, y,τ )1 � c (1 + τ )- 1 max M k�N +l+m+1 , (4.1.17) где постоянная c > 0 не зависит от x∗, y, τ и функции a. В самом деле, в правую часть формулы (4.1.14) входит не сама функция a, а только производные от неё по последней переменной. Тогда из (4.1.15) имеем aν (x, y, τ ) = 0, τ ;:? y ;:? R. (4.1.18) Следовательно, оценка (4.1.17) тем более справедлива при τ ;:? y ;:? R. Кроме того, она, очевидно, справедлива и при 0 � y � τ � R. Пусть теперь τ > R > y, тогда ввиду (4.1.15) имеем 1 1 1 1 1 N -k 1 1 1 1 r ν+N -k- 1 1 N -ν- 1 ∂ ∗ 1 1 2 2 1 z (1 - z) 1 1 0 1 1 λ∂λ a(x , λ)1 1λ=√y2+z(τ 2-y2) dz1 = 1 1 1 1 1 R2-y2 1 1 1 τ 2-y2 1 r = 1 1 zν+N -k- N -ν- 1 1 ∂ N -k 1 1 1 ∗ 1 1 2 (1 - z) 1 1 0 1 1 2 λ∂λ a(x , λ)1 1 1 1 1λ=√y2+z(τ 2-y2) dz1 � 1 1 1 1 1 � |ν + N - k + 1 | 1 R2 - y2 Re ν+N -k+ 2 τ 2 - y2 sup 1 1 ∂ 1 y;:?0 1 N -k 1 1 a(x∗, y)1 . 1 2 Это соотношение и приводит к неравенству (4.1.17). 1 y∂y 1 Формула (4.1.14) позволяет получить аналогичное представление оператора Sν,e a Pν,e. Так как 1 1 ν- 1 -ν ν- 1 Sν,e = I 2 -ν Sν ν 2 , Pν,e = P 2 Ie 2 , то из (4.1.14) получаем r∞ 1 ν ν- 1 1 ν ν- 1 e Sν,e (a Pν,e g) (x∗, y) = I 2 - e a Ie 2 g (x∗, y)+ I 2 - aν (x∗, y,τ )Ie y 2 g(x∗,τ ) dτ, (4.1.19) + где функция g ∈ C˚∞(En+1). Первое слагаемое справа рассматривалось в лемме 2.1.3. Поэтому нам достаточно оценить второе слагаемое. При 1 < Re ν < N + 1 имеем 1 ∞ I 2 -ν r a - ν 1 (x∗, y,τ )I 2 g(x∗,τ ) dτ = ( 2 1)N ey I 2 r∞ ν 1 e D a (x , y,τ )I - e ν e y 1 - 2 -ν+N N -y ∗ y ν y e 2 g(x∗,τ ) dτ = 318 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ - N 1 3 ( )1 1 y = ,(-1)k I 2 -ν+k ey Dk e-τ aν (x∗, y,τ ) 1 1τ =y Iν- 2 g(x∗, y) + k=0 1 ν+N r∞ ν- 1 2 - + (-1)N Ie y ey DN ( y e-yaν (x∗, y,τ )) Ie 2 g(x∗,τ ) dτ. (4.1.20) Из формулы (4.1.14) нетрудно усмотреть, что функция ey Dk (e-yaν (x∗, y,τ ))1 , k = 0,...,N - 1, y 1τ =y удовлетворяет всем условиям следствия 2.1.2 из главы 2. Поэтому N -1 ± (-1)k I 2 -ν+k ey Dk (e-yaν (x∗, y,τ ))1 - 1 Ie 2 g(x∗, y) ± n+1 � , 3 y k=0 ν 1 1τ =y Hs(E+ ) � c , |αl|�s k�3N +s+1 Mαl,k ±g± + Hs(En+1), (4.1.21) где постоянная c > 0 не зависит от функций a и g. 1 1 e - Для оценки последнего интеграла справа в (4.1.20) заметим, что операторы I 2 -ν+N ν и Ie 2 принадлежат классу L(Hs(En+1),Hs(En+1)), так как Re 1 - ν + N > 0, Re ν - 1 > 0 (см. + + 2 2 лемму 2.1.2). Кроме того, оценка (4.1.17) показывает, что интегральный оператор r∞ y w → w(x∗,τ ) ey DN (e-yaν (x∗, y,τ )) dτ y также принадлежит классу L (Hs(En+1),Hs(En+1)) при любых s и его норма не превосходит + + величины c , k�3N +s+1, |αl|�s где постоянная c > 0 не зависит от функции a. Mαl,k , 1 Такие же оценки справедливы и в случае 0 � Re ν � . Для их доказательства достаточно 2 оценить норму второго слагаемого в формуле (4.1.19). Интегрируя по частям, находим 1 r∞ 1 1 1 1 r∞ 1 2 -ν e ν- Ie 2 g(x∗,τ )aν (x∗ , y,τ )dτ = I 2 -νa (x∗, e ν y, y)Iν+ 2 g+I 2 -ν e-τ D eτ e e τ ( a (x∗, y,τ )) Iν+ 2 g ν e I (x∗,τ )dτ. y y + Из неравенства (4.1.17) теперь легко следует, что Hs(En+1) - норма этого выражения не превосходит величины c }, k�4+s, |αl|�s Mαl,k , где постоянная c > 0 не зависит от функции a. Итак, доказана + Теорема 4.1.3. Пусть функция a ∈ C∞(En+1) и удовлетворяет условиям (4.1.12), (4.1.15), (4.1.16). Тогда для любых комплексных ν из полуплоскости Re ν ;:? 0, любых s ;:? 0 и любых R > 0, не превосходящих некоторого числа R0 > 0, оператор Sν,e a Pν,e непрерывно отобража- + ет пространство Hs(En+1) в себя. Справедлива оценка ±Sν,e a Pν,ef ±Hs(En+1 � c ±f ± n+1 , Mαl,αn+1 , (4.1.22) + ) Hs(E+ ) |αl|�s αn+1�3N +s+1 где N наименьшее натуральное число, для которого Re ν < N + 1. Постоянная c > 0 зависит от ν, n, s, R0, но не зависит от функций a, f, а также от R. 4.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs (En+1) 319 ν + Следствие 4.1.2. В условиях теоремы справедлива оценка ±af ±Hs n+1 � c , Mαl,αn+1 ±f ± n+1 . (4.1.23) ν (E+ ) |αl|�s αn+1�3N +s+1 ν Hs (E+ ) Следствие 4.1.3. Пусть выполнены условия теоремы и пусть sup 1 1Dαl 1 αn+1 a(x∗, y) 1 D 1 = Mαl,αn+1 < ∞. 1 1 xl y + x∈En+1 1 y y 1  Тогда справедлива оценка ±a Dy f ±Hs n+1 � c , M αl,αn+1  ±f ± s+1 n+1 . (4.1.24) Доказательство. Формула ν (E+ ) |αl|�s αn+1�3N +s+1 Hν (E+ ) ν 1 ν y Dy P 2 - ν 1 = P 2 -ν (yDy - 2ν) легко следует из определения оператора преобразования (см. (2.1.7), (2.1.8). В связи с этим для функции Sν,ef по аналогии с (4.1.19) имеем 1 ν e Sν,e (a Dy Pν,e g) = I 2 - a(Dy - + I ν 2ν 1 - 1 e )Iν- 2 2 y r∞ (τ Dτ y � - 2ν) aν (x∗, y,τ )I ν- 1 e 2 g(x∗,τ ) dτ. aν Здесь функция � определяется по формуле (4.1.14) с заменой в последней функции a на функцию 1 a(x∗, y). После интегрирования по частям последняя формула приводится к виду y r∞ 1 1 ν ν- 1 1 ν a 1 -ν 1 e 2 Sν,e (a Dy Pν,e g) = I 2 - a Ie Dy g e - 2νI 2 - e ν Iν- 2 g y r∞ - 2νI 2 Iν- 2 g(x∗,τ )a � y (x∗, y,τ ) dτ - 1 ν ν- 1 1 ν 1 e - I 2 - � e y aν (x∗, y,τ )Ie 2 g - I 2 - � τaν (x∗, y,τ )Iν- 2 Dτ g(x∗,τ ) dτ. y Каждое слагаемое, как нетрудно заметить, удовлетворяет нужным условиям для возможности применения схемы рассуждений из доказательства предыдущей теоремы. Отсюда и следует справедливость оценки (4.1.24). Следствие доказано. 2. Весовые следы. В этом пункте будет введено понятие весового следа и доказаны прямые теоремы о весовых следах. Определим как и раньше весовую функцию σν (y) по формулам ⎧ y2ν, если Re ν > 0, ⎪⎨ σν (y) = ⎪⎩ 1 - ln y , если ν = 0, 1, если Re ν < 0. Случай мнимых значений параметра ν считается особым и будет рассмотрен ниже отдельно. В классическом смысле весовым σν - следом функции называется следующий предел: σνf |y=0 = ylim σν (y)f (x , y) = ψ(x ). ∗ ∗ →+0 Покажем, что у функций f ∈ C˚∞(En+1) σν - след существует и принадлежит пространству ν + C˚∞(En). Если f ∈ C˚∞(En+1), то по определению этого пространства, существует функция g ∈ C˚∞ ν + n+1 ν (E+ ) такая, что f = Pν,eg. Тогда g = Sν,ef. В пункте 2.1.3 в одномерном случае была доказана формула ⎧ 1 1 ν ⎨ f1(0), если Re ν > 0, ν lim σν (y)P 2 - f1(y) = 2ν (4.1.25) y→+0 ⎩ f1(0), если ν = 0. 320 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Такой же результат, очевидно, верен и в многомерном случае. Используя формулу Pν,e = P 2 -ν 1 ν- 1 2 ν Ie , отсюда получаем ⎧ 1 ν- 1 1 ⎨ e ⎪ I g(x , y)1 2ν , если Re ν > 0, σνf |y=0 = 2 1 ⎪⎩ I- 2 ∗ ∗ 1y=0 1 1 (4.1.26) e g(x , y)1y=0, если ν = 0. Таким образом, σνf |y=0 ∈ C˚∞(En), если f ∈ C˚∞(En+1). ν + e В связи с формулой (4.1.26) нам надлежит изучить следы дробных интегралов Iμ в пространствах Hs. В таких результатах мы будем нуждаться и в пятом параграфе. + Итак, пусть функция g ∈ C˚∞(En+1) и пусть Пg - её продолжение по Уитни на всё пространство En+1. Тогда для любого комплексного μ и натурального k справедлива формула Dk μ ∗ 1 k μ ∗ 1 ∗ 1 e y Ie g(x , y)1 = D y=0 I Пg(x , y)1 1y=0 = ψk (x ), где ψk ∈ C˚∞(En). В образах Фурье это равенство имеет вид 1 r∞ - k (1 iη)-μikηk F Пg(ξ∗, η) dη = F ∗ψ (x∗), 2π -∞ где через F ∗ обозначено преобразование Фурье по первым n переменным. По неравенству Коши- Буняковского получаем r ∗ 2 s ∗ ∗ 2 ±(1 + |ξ | ) F ψk (x )±L2(En) � c (1 + |ξ∗|2)s r∞ (1 + η2)- Re μη2k dη (1 + |ξ|2)sl r∞ (1 + |ξ∗|2)sl |F Пg(ξ)|2 dηdξ∗. En -∞ -∞ 1 (4.1.27) Лемма 4.1.6. Пусть s∗ > k - Re μ + 2 > 0. Тогда r∞ (1 + η2)- Re μη2k | | dη � c (1 + ξ∗ 2)k-sl+ (1 + |ξ|2)sl 1 2 -Re μ, (4.1.28) -∞ где постоянная c > 0 не зависит от ξ∗ ∈ En. Доказательство. Разобьем интеграл в (4.1.28) на два. Для первого из них имеем r (1 + η2)- Re μη2k (1 + |ξ|2)sl dη � c1 r∞ η2k-Re μ (1 + |ξ|2)sl l 1 dη = c2 (1 + |ξ∗|2)k-s -Re μ+ 2 . |η|>1 -∞ Второй интеграл допускает элементарную оценку Лемма доказана. r |η|<1 (1 + η2)- Re μη2k (1 + |ξ|2)sl dη � c3 (1 + |ξ∗|2)-sl . Соединяя неравенства (4.1.27) и (4.1.28), получаем 2 r l 1 l 2 ±ψk ±Hs(En) � c En+1 r (1 + |ξ∗|2)s-s +k-Re μ+ 2 (1 + |ξ|2)-s 1 |F Пg(ξ)| dξ � � c En+1 Hs+k-Re μ+ 2 (En+1 ) (1 + |ξ|2)s+k-Re μ+ 2 |F Пg(ξ)|2 dξ � c ±g± 1 . + Следовательно, доказана 4.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs (En+1) 321 ν + 2 Теорема 4.1.4. Пусть s > k - Re μ + 1 > 0. Тогда для любой функции g ∈ H + s(En+1) на гиперплоскости y = 0 существует след функции Dk Iμg, который принадлежит пространству Hs-k+Re μ- y e 1 2 (En). Справедлива оценка 1 " Dk Iμg1 ± 1 � c ±g± n+1 , (4.1.29) y e 1y=0 Hs-k+Re μ- 2 (En) Hs(E+ ) где постоянная c > 0 не зависит от функции g. Вернемся к изучению весовых следов. Пусть функция f ∈ C˚∞(En+1). Выпишем форму- ν + лу (4.1.25) для функции Bkf, также принадлежащей C˚∞(En+1): ⎧ 1 ν + ν- 1 1 1 σν Bkf 1 Ie = ⎨⎪ 2ν - 1 2 Sν,e Bkf 1 1y=0 , если Re ν > 0, = 1y=0 ⎪⎩ Ie 2 S0,eBk 1 f 1 1y=0, если ν = 0 (4.1.30) ⎧ 1 2k ν- 1 1 1 2ν y=0 ⎨⎪ Dy Ie 2 Sν,ef 1 = , если Re ν > 0, 1 y I- 1 , если ν = 0. 2 ⎪⎩ D2k e S0,ef 1 1y=0 y Здесь была использована формула Sν,eBk = D2k Sν,e. Соединяя (4.1.25) и (4.1.30) с теоремой 4.1.4 и определением нормы пространства Hs(En+1), приходим к следующей теореме о весовых следах. ν + Теорема 4.1.5. Пусть Re ν > 0 или ν = 0 и s > 2k - Re ν + 1 > 0. Тогда отображение f → σν Bkf 1 , определяемое по формуле (4.1.30) для функций f ∈ C˚∞(En+1), расширяется 1y=0 ν + по непрерывности до линейного ограниченного отображения пространства Hs(En+1) в про- ν (E странство Hs-2k+Re ν-1 ν + n). Справедливо неравенство 1 " σν Bkf 1 " s 2k+Re ν 1 n � c ±g± n+1 , 1y=0 H - - (E ) ν Hs (E+ ) где постоянная c > 0 не зависит от функции f. + Рассмотрим случай мнимых значений параметра ν. Формула типа (4.1.25) здесь уже не имеет места. В самом деле, для любой функции g ∈ C˚∞(En+1) при Re ;:? 0 имеем (см. (2.1.47)) 1 P 2 -ν iy-ν ∞ r (1) ν ∗ ν g(x∗, y) = 2ν+2 Γ(ν + 1) -∞ Hν (yη)η F Пg(x , η) dη. (4.1.31) ν Функция Ханкеля H(1)(z) в случае Re ν = 0,ν /= 0, в окрестности точки z = 0 имеет вид [18] H(1) ν (z) = c∗ν z-ν (1 + o(1)) + c ∗∗ν z-ν (1 + o(1)) , ν где c∗ ν и c∗∗ - вполне определенные постоянные. Функции z-ν и zν осциллируют вблизи начала координат: z-ν = cos(μ ln z) - i sin(μ ln z), zν = cos(μ ln z) + i sin(μ ln z). Поэтому не существует 1 степенной функции ϕ(z), для которой lim H(1)(z) = 1. Вследствие этого и у функции P 2 -νg(x∗, y), ν ν z→0 вообще говоря, не существует весовых следов. Поэтому мы будем рассматривать следы не самой функции, а её производной. ν Воспользуемся следующей рекуррентной формулой для функции H(1) (см. [18, с. 20]): Тогда из (4.1.31) получим ∂ z∂z ν (z) z-ν H(1) = -z -ν-1 ν+1 H(1) (z). 1 ∂ P 2 -ν -iy- ν-1 ∞ r (1) ν+1 ∗ y∂y ν g(x∗, y) = 2ν+2Γ(ν + 1) -∞ Hν+1(yη)η F Пg(x , η) dη. 322 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Следовательно, 1 ∂ P 2 -ν 1 - 2 -ν y∂y Отсюда и из (4.1.25) получаем ν g(x∗, y) = -2(ν + 1)Pν g(x∗, y). lim y2ν+1 ∂ P 1 2 -νg(x∗, y) = g(x∗, 0). (4.1.32) y→+0 ∂y ν - Формула (4.1.32), справедливая при всех ν из полуплоскости Re ν ;:? 0, в том числе и для мнимых ν, служит как и (4.1.25) основой получения следующей теоремы о весовых следах: Теорема 4.1.6. Пусть Re ν ;:? 0 и s > 2k - Re ν +1 > 0. 1y=0 Тогда отображение f → y2ν+1Dy Bkf 1 , определяемое по формуле 1 y2ν+1 Dy Bkf 1 - 2k 2 e ν,e 1y=0 = -Dy I ν 1 S f |y=0 для функций f ∈ C˚∞(En+1), расширяется по непрерывности до ограниченного отображения ν + пространства Hs(En+1) в пространство Hs-2k+Re ν-1(En). Справедливо неравенство ν + 1 1 ±y2ν+1 Dy Bkf 1y=0 ±Hs-2k+Re ν-1(En) � ±f ±Hs + ), где постоянная c > 0 не зависит от функции f. ν (En+1 ν 4.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs(Ω) l + 1. Разбиение единицы и определения функциональных пространств. Пусть Ω - ограниченная область полупространства En+1 с границей класса C∞. Пусть область Ω0, расположенная строго внутри Ω (это означает, что Ω0 ⊂ Ω или, что то же самое, Ω0 ∩ ∂Ω = ∅), и области Ωl, l = 1, 2,..., l, имеющие непустое пересечение с границей ∂Ω, образуют покрытие области Ω. Положим Ω+ = Ωl ∩Ω, l = 1, 2,..., l. Пусть существует диффеоморфизмы κl класса C∞, отображающие области Ωl, l = 1, 2,..., l, в области ωl, расположенные в пространстве En+1. При этом через κ0 обозначим тождественное преобразование. Пусть область Ω+ отображается в ω+ = ωl ∩ En+1 и l l + часть границ Ωl ∩ ∂Ω отображается в часть гиперплоскости ωl ∩ {y = 0}. Кроме того, мы предполагаем, что если Ωl ∩ Ωll /= ∅, то естественное отображение κll κ-1 части κl (Ω+ ∩ Ω+) области ω+ l l ll l в часть κll (Ω+ ∩ Ω+) области ω+ является невырожденным преобразованием с положительным l ll ll якобианом, осуществляемым по формулам x∗ = x∗(� ), y = � в некоторой окрестности границы. x∗ y В дальнейшем указанное покрытие области считается фиксированным, а все другие необходимые нам покрытия будут получаться из него измельчением. Лемма 4.2.1. Существуют функции hl ∈ C˚∞(En+1) обладающие следующими свойствами: 1) hl(x) = 0, если x ∈ En+1 \ Ωl, l = 0,..., l; 2) 0 � hl(x) � 1 при всех x ∈ En; 3) h0(x)+ ... + hl(x) = 1 при x ∈ Ω; 4) Dyhl(x) = 0, l = 0,..., l, в локальных координатах в некоторой окрестности гиперплоскости y = 0. Доказательство. Обозначим через UR(x) открытый шар с центром в точке x ∈ En+1 радиуса R > 0. Пусть ωl,ε = {x ∈ ωl : Uε ⊂ ωl}. l Легко видеть, что при достаточно малом ε > 0 области κ-1ωl,ε образуют покрытие области Ω. l p p Пусть ε > 0 как раз таково, что области κ-1ωl,ε, l = 0,..., l, образуют покрытие области Ω. Рассмотрим какую-либо область ωl,ε. Обозначим через Kδ (x) открытый n + 1-мерный куб с центром в точке x с длиной ребра 2δ и с гранями, параллельными координатным гиперплоскостям. Поскольку каждая точка x ∈ ωl,ε ∩ {y = 0} входит в ωl вместе с шаром радиуса ε, то существует конечное покрытие её кубами вида Kεp/2(x ), p = 1,..., p < ∞, εp > 0, с центрами, соответственно, в точках xp ∈ ωl,ε ∩ {y = 0}, причём такое, что Kε (xp) ⊂ ωl. Покроем оставшуюся часть ν 4.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Hs(Ω) 323 p p области ωl,ε кубами вида Kεp/2(x ), p = p + 1,..., p < ∞, и такими, чтобы Kεp (x ) ⊂ ωl и чтобы p Kεp (x ) не имело общих точек с гиперплоскостью {y = 0}. Обозначим через ϕδ (t) функцию одной переменной такую, что ϕδ ∈ C˚∞(E1), ϕδ (t) ;:? 0 при t ∈ E1, ϕδ (t) = 1 при |t| � δ, ϕδ (t) = 0 при |t| ;:? 2δ. Введем теперь функцию ψl(x), x = (x∗, y) по формуле p n p p ψl(x) = , ϕεp (y)  ϕεp (xq - xq )+ , ψl,p(x), p=1 q=1 p=p+1 q где xp обозначает q-ю координату точки xp, а через ψ l,p (x) обозначены функции, обладающие свойствами: ψl,p(x) ∈ p C˚∞(En+1), ψl,p(x) ;:? 0 при x ∈ En+1, ψl,p(x) = 1 при x ∈ Kε /2(xp), p ψl,p(x) = 0 при x ∈ En+1 \ Kε (xp), p = p + 1,..., p¯. Доказательство существования функций ϕδ и ψl,p, удовлетворяющих всем перечисленным условиям, можно найти, например, в книге [255]. Тогда построенная функция ψl(x) обладает свойствами: ψl(x) ∈ C˚∞(En+1), ψl(x) ;:? 0 при x ∈ En+1, ψl(x) ;:? 1 при x ∈ ωl,ε и supp ψl ⊂ ωl. Нетрудно также заметить, что Dyψl(x) ≡ 0 при |y| < δ, где δ - некоторое положительное число. Искомые функции hl определим по формуле hl(x) = l κ-1ψl . κ-1 l }, m=0 l ψm Проверка выполнения условий 1)-4) не вызывает затруднения. Лемма доказана. В дальнейшем мы будем говорить, что набор функций {hl} образует разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ωl}, если выполнены условия 1)-4). ν Введем теперь пространство Hs(Ω), s ;:? 0, Re ν ;:? 0 как множество функций f, определенных в области Ω, таких, что функции κl(hlf ) принадлежат пространству Hs(En+1). Это пространство ν + становится гильбертовым по норме 1 ⎛ l ⎞ 2 ±f ±Hs 2 = ⎝, ±κ (h f )± ⎠ . (4.2.1) H ν (Ω) l l l=0 + ) ν s (En+1 Здесь {hl} - разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ωl}. Покажем, что нормы (4.2.1) при различных выборах разбиений единицы эквивалентны. Получим даже более общий результат. Пусть {Ω∗ll } другое покрытие области Ω. Пусть для каждого l∗ = 0,..., l∗ найдется такое l = 0,..., l, что Ω∗ll ⊂ Ωl. При выполнении этого условия покрытие ll {Ω∗ll } будем называть измельчением покрытия {Ωl}. Обозначим через {h∗ } разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ω∗l l }. Тогда можно ввести следующую норму: 1 ⎛ ll ⎞ 2 ±f ±Hs 2 = ⎝, ±κ∗ (h∗l f )± n+1 ⎠ , (4.2.2) H ν (Ω) ll=0 ll l ν s (E+ ) где отображение κ∗ = κ , l = l(l∗), причём l выбирается таким образом, чтобы supp h∗ ⊂ Ω . ll l ll l Если таких l несколько, то выбирается любое из них (из свойств отображения κl следует, что соответствующие слагаемые будут эквивалентными нормами). Оценим одно из слагаемых справа в (4.2.2). Имеем ±κ∗ (h∗l f )±Hs n+1 l = ± , κ∗ (h∗l hlf )± n+1 l � , ±κ∗ (h∗l hlf )± n+1 � ll l ν (E+ ) ll l l=0 ν Hs (E+ ) l=0 ll l ν Hs (E+ ) l � c1 , ±κl(h∗l hlf )±Hs n+1 l � c2 , ±κl(hlf )± n+1 . l l=0 ν (E+ ) l=0 ν Hs (E+ ) 324 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ При этом в предпоследнем неравенстве мы воспользовались свойствами отображения κ∗ κ-1 (см. ll l начало пункта), а в последнем неравенстве - результатами о мультипликаторах из пункта 1.3.2. Здесь и потребовалось свойство 4 функций h∗ll . Обратная оценка доказывается аналогично. Таким образом, эквивалентность норм (4.2.1) и (4.2.2) установлена. ν Рассмотрим еще один вопрос, касающийся структуры пространства Hs(Ω). Пусть функция f ∈ s Hν (Ω), a ∈ C˚∞ (Ω). Тогда из результатов пункта 1.3.1 следует, что функция af принадлежит пространству Hs(Ω). Более того, справедлива оценка c1±af ±Hs(Ω) � ±af ±Hs � c ±af ± s , (4.2.3) ν (Ω) 2 где постоянные c1, c2 > 0 не зависят от функции f. H (Ω) Лемма 4.2.2. Пусть Ω� - строго внутренняя подобласть области Ω. Тогда сужение функции ν f ∈ Hs(Ω) на Ω� принадлежит пространству Hs(Ω�) и справедлива оценка ν (Ω) ±f ±Hs(ΩГ ) � c ±f ±Hs в которой постоянная c > 0 не зависит от функции f. , (4.2.4) Доказательство. Введём функцию a ∈ C˚∞(Ω) такую, что a(x) = 1 при x ∈ Ω�. Тогда из неравенства (4.2.3) имеем ν (Ω) ±f ±Hs(ΩГ ) � ±af ±Hs(Ω) � c ±af ±Hs . По теореме 4.1.3 о мультипликаторах получаем оценку ±af ±Hs � c ±f ± s , ν (Ω) где c > 0 не зависит от функции f. Лемма доказана. Hν (Ω) ν,+ Пространства Hs (Ω), s ;:? 0, ν ;:? 0, введённые И. А. Киприяновым [144], определяются как y замыкание множества всех функций из C∞(Ω), для которой в каждой л.с.к. D2k+1f = 0 при y = 0, k = 0, 1,... по норме 1 ⎛ l ⎞ 2 ±f ±Hs 2 = ⎝, ±κ (h f )± ⎠ , (4.2.5) H ν,+(Ω) l l l=0 + ) s ν,+ (En+1 ν,+ где нормы в Hs + (En+1) определены в пункте 1.3.1. ν,+ Hs Лемма 4.2.3. Пусть s ;:? 0 и вещественное ν ;:? 0, ν /= 1, 3, 5,.... Тогда пространство Hs (Ω) является собственным пространством пространства ν (Ω), причём нормы (4.2.1) и (4.2.5) на Hs s s ν,+(Ω) эквивалентны. При ν = 1, 3,... пространство Hν,+(Ω) вложено в Hν (Ω). Доказательство. Ввиду финитности функций hlf, участвующих в определении нормы, мы можем применить лемму 4.1.4. Лемма доказана. 2. Теоремы вложения. Рассмотрим сначала внутренние теоремы вложения. Следующее утверждение просто вытекает из теоремы 4.1.1. Теорема 4.2.1. Пусть s∗ > s ;:? 0 и Re ν ;:? 0. Тогда пространство Hsl (Ω) вложено в Hs(Ω) и справедливо неравенство ν (Ω) ±f ±Hs ν ν ν (Ω) � c ±f ±Hsl , ν где f ∈ Hsl (Ω) и постоянная c > 0 не зависит от f. Теорема 4.2.2. При s∗ > s ;:? 0 и Re ν ;:? 0 оператор вложения пространства Hsl (Ω) в Hs(Ω) ν ν вполне непрерывен. ν Доказательство. Пусть последовательность функций fj, j = 1, 2,... ограничена по норме пространства Hs(Ω). Обозначим через yj, j = 1, 2,... расширяющуюся систему строго внутренних подобластей области Ω, объединение которых совпадает с Ω. По лемме 4.2.2 последовательность fj ограничена в смысле нормы каждого пространства Hsl (yj ), поэтому из неё можно выделить сходящуюся по норме пространства Hs(y1) последовательность f1j. Обозначим предел этой подпоследовательности через f 1. Из f1j выделим подпоследовательность f2j, сходящуюся к f 2 по норме 4.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 325 Hs(y2). Ясно, что f 2|y = f 1. Продолжим этот процесс далее. Тогда мы найдем функцию f такую, s что при каждом j сужение f |yj ∈ H Для неё (yj ) и f |yj . Образуем диагональную последовательность fjj. ± (f - fjj )|yp ±Hs(yp) → 0, j → ∞, p = 1, 2,.... Не ограничивая общности будем считать, что сама fj обладает этим свойством. Далее, последовательность {κl(hlfj )} ⊂ Hsl (ω+) и ограничена по норме этого пространства. ν l Тогда по теореме 4.1.2 найдется функция gl ∈ Hs(ω+), к которой сходится некоторая подпосле- ν l довательность последовательности κl(hlfj ). Опять не ограничивая общности считаем, что этим свойством при всех l = 0, 1,..., l обладает сама последовательность fj. Пусть ε > 0. Обозначим l,ε через ω+ l часть области ω+, расположенную в полупространстве y > ε. Тогда по лемме 4.2.2 поs + следовательность κl(hlfj )|{y>ε} сходится к функции κl(hlf )|{y>ε} по норме пространства Hν (ωl,ε). ν Ввиду произвольности ε получаем, что gl = κl(hlf ) при всех l. А тогда f ∈ Hs(Ω), что и завершает доказательство теоремы. Рассмотрим теперь утверждение о весовых следах. Нам потребуются граничные пространства Hs(∂Ω), описание которых можно найти в книге С. М. Никольского [263]. Одна из эквивалентных норм пространства Hs(∂Ω) может быть определена по формуле 2 ±ϕ±Hs(∂Ω) = l , l=0 ±κl(hlf )±Hs(En). Обозначим через σν функцию, которая в каждой л.с.к. совпадает с ранее введённой весовой функцией σν (y). ν Будем говорить, что функция Hs(Ω) обладает весовым следом σνf |∂Ω = ϕ на границе ∂Ω, если в каждой л.с.к. функции hlf, l = 0, 1,..., l обладают весовым σν -следом. Обозначим через Bν дифференциальный оператор, который в каждой л.с.к. совпадает с оператором Бесселя. Теорема 4.2.3. Пусть Re ν > 0 или ν = 0, s > 2k +1 - Re ν > 0. Тогда для любой функции f ∈ Hs(Ω) существует весовой след функции Bkf и имеет место неравенство: ν 1 " σν Bkf 1 ν 1∂Ω ±Hs-2k- ν 1+Re ν (∂Ω) � c ±f ±Hs (Ω), ν где постоянная c > 0 не зависит от функции f. ν Если Re ν ;:? 0 и s > 2k +1 - Re ν > 0, то для любой функции f ∈ Hs(Ω) существуют весовые ν+ 1 следы σ 1 DBkf 1 функций DBkf и выполнены неравенства: 2 ν 1∂Ω 1 " σν+ 1 DBkf 1 ±Hs 2k 1+Re ν (∂Ω) � c ±f ±Hs , 2 ν 1∂Ω - - ν (Ω) где постоянная c > 0 не зависит от функции f и через D обозначен оператор, совпадающий ∂ с в каждой л.с.к. вблизи границы. ∂y Это утверждение есть следствие теорем 4.1.5 и 4.1.6. 4.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 1. Постановка краевой задачи. Рассмотрим следующий однородный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами: A 1 D = , a i α |α|=2m 1 α D , i где α = (α1,..., αn+1) = (α∗, αn+1), αj ;:? 0 - целые числа, |α| = α1 + ··· + αn+1, 1 α D = i ∂|α| . (i∂x1)α1 ... (i∂xn+1)αn+1 326 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Оператор A называется эллиптическим, если A(ξ) = , |α|=2m при всех ξ ∈ En+1, ξ /= 0. Здесь ξα = ξα1 ... ξαn+1 . aαξα /= 0 1 n+1 j Пусть выполнено условие собственной эллиптичности: характеристический полином A(ξ) = A(ξ∗, η) комплексного переменного η для всякого ξ∗ ∈ En, ξ /= 0, имеет m корней с учётом их кратностей η+, j = 1,..., m, с положительной мнимой частью. 1 , j Пусть Gj D = 0,...,m - 1 граничные операторы с постоянными коэффициентами, причём i Gj (ξ) - однородный полином степени mj ;:? 0. Пусть выполнено условие Шапиро-Лопатинского: для любого 0 /= ξ∗ ∈ En полиномы Gj (ξ∗, η) переменного η линейно независимы по модулю полинома A+(ξ∗, η) = (η - η+(ξ∗)) ... (η - η+ (ξ∗)). 1 m При выполнении перечисленных условий будем говорить, что операторы {A, Gj }, а также соответствующие им полиномы (символы), образуют эллиптический набор. Рассмотрим краевую задачу следующего вида: ⎧ 1 ⎪⎨A i D u(x) = f (x), x ∈ E , n+1 + 1 ⎩Gj i D Dy Ie u1y=0 = gj (x∗), x∗ ∈ E , j = 0,...,m - 1. (4.3.1) k μ n ⎪ 1 e Здесь k - целое неотрицательное число, a Iμ обозначает как обычно оператор лиувиллевского типа, введённый в пункте 2.1.2 и действующий по последней переменной y. Его «порядок» - μ может быть комплексным числом. После применения преобразования Фурье по первым n переменным, определяемого по формуле r f�(ξ∗, y) = F ∗f (ξ∗, y) = En e-i(xl,ξl)f (x∗, y) dx∗, краевая задача (4.3.1) принимает вид ⎧ 1 ⎪ u(ξ∗, y) = f�(ξ∗, y), ξ∗ ∈ En, y > 0, i ⎨A ξ∗, Dy � 1 (4.3.2) ⎪ k μu1 n ⎩Gj ξ∗, Dy i D Ie �1y=0 = gj (ξ∗), ξ∗ ∈ E , j = 0,...,m - 1. Лемма 4.3.1. Пусть операторы A и Gj, j = 0,...,m - 1, образуют эллиптический набор. Пусть выполнены следующие соотношения: 1 1 j k - Re μ + 2 > 0, 2m + s - k + Re μ - 2 - max mj > 0. (4.3.3) + Пусть функция f�(ξ∗, y) по последней переменной принадлежит пространству Hs(E1 ). Тогда п (4.3.2) ри любом, ξ∗ /= 0, ξ∗ ∈ En имеет в пространстве H2m+s(E1 ) единкраевая задача + ственное решение и для него справедлива оценка 2m+s c , l=0 y � |ξ∗|2(2m+s-l)±Dl u(ξ∗ s +) , y)±L2(E1 � m-1 � , |ξ∗|2(s-l)±Dl ∗ 1 , ∗ 2(2m+s-mj -k+Re μ- ) g (ξ∗ 2 l=0 +) y f�(ξ , y)±L2(E1 + j=0 |ξ | 2 |�j )| , (4.3.4) где постоянная c > 0 не зависит от f и gj. Если же |ξ∗| ;:? 1, то эта постоянная не зависит от ξ∗. Эту лемму можно считать известной, хотя авторы затрудняются дать конкретную ссылку. Доказательство её стандартно и легко может быть восстановлено по следующей схеме. После нахождения частного решения уравнения с помощью продолжения и применения преобразования Фурье 4.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 327 по последней переменной, нам останется рассмотреть лишь краевую задачу с однородным уравнением. Применяя к уравнению оператор Dk Iμ для функции Dk Iμu получим обычную краевую y e y e � задачу, решение которой дается с помощью контурного интеграла. Затем применяется обратный оператор (Dk Iμ на пространстве быстроубывающих функций обратим) и дается прямая оценка y e полученного выражения. 2. Регуляризатор и априорные оценки. Краевая задача (4.3.1), порождает следующий оператор: U : u → Uu = Au, G0Dk Iμu|y=0,..., Gm 1Dk Iμu|y=0 . Пусть s ( ) y e m-1  - y e 1 H En+1 n s n+1 s+2m-mj -k+Re μ- 2 n + ,E ,m = H (E+ ) × H j=0 (E ) . В Hs зададим топологию прямого произведения. + Из теоремы 4.1.25 следует, что оператор U непрерывно отображает пространство Hs(En+1) в Hs ( En+1 n ) + ,E ,m . Φ = s. Левым регуляризатором для U Пусть {f (x), g0(x∗),..., gm-1(x∗)} элемент пространства H называется оператор Rл : Hs → Hs+m для которого имеет место формула + RлUu = u + Tлu, u ∈ Hs+2m(En+1), в которой Tл - сглаживающий оператор, Tл : Hs+2m → Hs+2m+1. Оператор Rп : Hs → Hs+2m называется правым регуляризатором, если URпΦ = Φ + TпΦ, → H где Tп : Hs s+1 - сглаживающий оператор. Оператор R называется двухсторонним регуляризатором или просто регуляризатором, если он одновременно и правый и левый регуляризатор. Основной целью настоящего пункта является построение регуляризатора для введённого выше оператора U. При этом мы несколько изменили схему построения регуляризатора, примененную Л. Хермандером [397]. Искомый регуляризатор мы построим следующим образом. Пусть функция U (ξ∗, y) при |ξ∗| ;:? 1 является единственным решением краевой задачи ⎧ 1 ⎪A ξ∗, Dy U (ξ∗, y) = f�(ξ∗, y), y > 0, ⎨ ⎪ i 1 Gj , Dy D IμU 1 = gj (ξ ), j = 0,...,m - 1, (4.3.5) ξ∗ k e ⎪ i 1y=0 � ∗ ⎪ gj j ⎩f�(ξ∗, y) = F ∗f, � (ξ∗) = F ∗g , где через F ∗ обозначен оператор Фурье по первым n переменным. При |ξ∗| < 1 функция U (ξ∗, y) является решением задачи ⎧ 1 ⎪ 0 i ⎨A ξ∗ , Dy U (ξ∗, y) = f�(ξ∗, y), y > 0, ⎩Gj 1 ξ∗ , Dy i k D Iμ U 1 y=0 = � (ξ∗), j = 0,...,m - 1, (4.3.6) ⎪ 0 e 1 gj причём ξ∗ ∈ En - произвольная фиксированная точка единичной сферы, |ξ∗ | = 1. Заметим, что от- 0 0 личие от схемы Л. Хермандера построения регуляризатора заключается как раз в способе задания функции U (ξ∗, y) при |ξ∗| < 1. Теперь определим оператор R по формуле RΦ = (F ∗)-1 U, (4.3.7) где Φ = {f, g0,..., gm-1}. + Покажем, что введённый оператор R непрерывно отображает пространство Hs(En+1, En, m) в + ). Hs+2m(En+1 Имеем 1 2 + ) ±RΦ±Hs+2m(En+1 + ) = ±(F ∗)- U ±Hs+2m(En+1 � 328 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ⎛ � c ⎝±(F ∗)-1U ± n+1 2m+s + , ⎞ 2 , ±Dαl Dl (F ∗)-1U ± ⎠ � L2(E+ ) l=0 |αl|=2m+s-l + ) xl y L2(En+1 ⎛ 2m+s 2 , , ⎞ αl l ∗ 2 � c ⎝±U (ξ∗, y)±L (En+1 + ±ξ∗ Dy U (ξ , y)± n+1 ⎠ . 2 + ) l=0 |αl|=2m+s-l L2(E+ ) Поскольку функция U (ξ∗, y) определяется различно при |ξ∗| ;:? 1 и |ξ∗| < 1, то рассмотрим сначала первый случай. Имеем r I1 = r∞⎛ ⎝|U (ξ∗, y)|2 + 2m+s , ⎞ , |ξα1 ... ξαn Dl U (ξ∗, y)|2⎠ dξ∗dy � |ξl|>1 0 2m+s l=0 ∞ 1 n y |αl|=2m+s-l � c , r r (1 + ξ∗ 2)2m+s-l l ∗ 2 ∗ l=0 | | |ξl|>1 0 |Dy U (ξ , y)| dydξ . Применяя лемму 4.3.1, получаем , r ⎛ s r∞ I1 � c |ξl|>1 m-1 ⎝ (1 + |ξ∗|2)s-l l=0 0 y |Dl F ∗f (ξ∗, y)|2 dy + ⎞ 1 + ,(1 + |ξ∗|2)2m+s-mj -k+Re μ- 2 j=0 где постоянная c > 0 не зависит от Φ. |F ∗gj (ξ∗)|2⎠ dξ∗ � c ±Φ± 2 s , H Рассмотрим случай |ξ∗| < 1. Из определения функции (см. (4.3.6)) получаем r I2 = r∞⎛ ⎝|U (ξ∗, y)|2 + 2m+s , ⎞ , αl 2 |ξ∗ Dl U (ξ∗, y) dydξ∗ � c r 2m+s , r∞ Dl U (ξ∗, y) 2 dydξ∗. |ξl|<1 0 l=0 y | ⎠ |αl|=2m+s-l | y | l=0 |ξl|<1 0 Применяя еще раз лемму 4.3.1, получим s r ⎛r∞ m-1 ⎞ I2 � c , ⎝ l=0 |ξl|<1 0 2 y |Dl F ∗(ξ∗, y)|2 dy + , |F ∗gj (ξ∗)|2⎠ dξ∗. l=0 Отсюда следует оценка I2 � c ±Φ±Hs . Соединяя оценки для I1 и I2, получаем ±RΦ±Hs+2m(En+1 � c ±Φ± n+1 . + ) Таким образом, непрерывность оператора R доказана. Hs(E+ ,En,m) Проверим, что оператор R является левым регуляризатором. Имеем RUu = u + 1 (2π)n r |ξl|<1 ei(xl,ξl)V (ξl,y) dξ∗ = u + Tл u, (4.3.8) где функция V (ξ∗, y) является решением краевой задачи ⎧ 1 г 1 ⎪ 0 0 1 l i ⎨A ξ∗ , Dy V (ξ∗, y)= A ξ∗ , Dy i i - A ξ∗, Dy F ∗u(ξ∗, y), y > 0, 1 μ г 1 1 l μ ⎩Gj = j ξ∗ , Dy i Dy I V 1 G y=0 ξ∗ , Dy i -Gj ξ∗, Dy i Dy Ie F u(ξ , y)|y=0 , j = 0, m - 1. k ⎪ 0 e 1 0 k ∗ ∗ (4.3.9) Здесь Tлu = (F ∗)-1 V1, где V1(ξ∗, y) = V (ξ∗, y), если |ξ∗| < 1 и V1(ξ∗, y) = 0, если |ξ∗| ;:? 1. Отсюда ±Tлu±Hs+2m(En+1 r s+2m � c , r∞ |Dy V (ξ , y)| dydξ . + ) l=0 l ∗ 2 ∗ |ξl|<1 0 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 329 Применяя оценку леммы 4.3.1 к функции V и замечая, что операторы, стоящие в квадратных скобках в (4.3.9), имеют одинаковую главную часть, получаем ⎛ ±Tлu±Hs+2m(En+1 s � c ⎜, r ∗ 2 1 ±Dy F u(ξ , y)±L (E ) dξ + + ) ⎝ l=0 |ξl|<1 l+2m-1 ∗ ∗ 2 + ⎞ mj -1 s-1 r 1 + , , | Dl+k μ ∗ ∗ 1 2 ∗⎟ l=0 j=0 |ξl|<1 y Ie F u(ξ , y)1y=0 | dξ ⎠ . + ) Первая сумма, очевидно, оценивается нормой ±u±Hs+2m+1(En+1 . Вторая сумма также может быть оценена той же нормой, как это следует из теоремы 4.1.4. Таким образом, доказана оценка ±Tлu±Hs+2m(En+1 � c ±u± n+1 , + ) Hs+2m+1(E+ ) в которой постоянная не зависит от функции u. Следовательно, оператор Tл - сглаживающий. То, что оператор R является правым регуляризатором доказывается вполне аналогично. Итак, нами доказана Теорема 4.3.1. Пусть операторы A и Gj, j = 0,...,m - 1 образуют эллиптический набор. Пусть выполнены соотношения 1 1 j k - Re μ + 2 > 0, s + 2m - k + Re μ - 2 - max mj > 0. Тогда для оператора U существует регуляризатор R, принадлежащий пространствам L (Hs(En+1, En, m),Hs+2m(En+1)) . Если функция u ∈ H2m+s(En+1), а Uu ∈ Hs+p при неко- + + + + тором p > 0, то u ∈ H2m+s+p(En+1) и справедлива априорная оценка c ±u±Hs+2m(En+1 � ±Au± n+1 m-1 + , ±Gj Dy Ie u|y=0±Hsj (En) + ±u± n+1 , + ) Hs(E+ ) k μ j=0 Hs+2m-1(E+ ) 1 в которой c > 0 не зависит от функции u, sj = s + 2m - mj - k + Re μ - 2 . 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ + 1. Весовая краевая задача в полупространстве. Постоянные коэффициенты. Рассмотрим в полупространстве En+1 уравнение 1 A i Dxl , 1 i2 By u ≡ , aα |αl|+2αn+1=2m 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1 By u(x) = f (x), (4.4.1) где B - оператор Бесселя с комплексным параметром ν. На гиперплоскости y = 0 рассмотрим два типа краевых условий: 1 1 k ∗ σν Gj если Re ν > 0 или ν = 0, Dxl , By i i2 By u|y=0 = gj (x ), j = 0,...,m - 1, (4.4.2) y2ν+1Dy Gj 1 i Dxl , 1 i2 By y Bk u|y=0 = gj (x∗), j = 0,...,m - 1, (4.4.3) если Re ν ;:? 0. Операторы Gj, j = 0,...,m - 1 имеют следующий вид: 1 1 , 1 αl 1 αn+1 Gj Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1=mj gαj Dxl i i2 By . Указанные краевые задачи порождают операторы Uν и U∗ν определяемые по формулам Uνu = ( 1 Au, σν G0Bku1 ,..., σν Gm 1 1 1Bku1 , y 1y=0 - y 1y=0 330 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ U∗νu = ( 1 Au, y2ν+1Dyσν G0Bku1 ,..., y2ν+1Dy Gm 1 1 1Bku1 . y 1y=0 - y 1y=0 Нашей задачей является построение регуляризаторов для Uν и U∗ν. Это построение будет осуществлено методом операторов преобразования. Введем пространство m-1 Hν (E+ ,E , m) = Hν (E+ ) ×  H (E ) s n+1 n s n+1 j=0 2m+s-mj -2k-1+Re ν n и снабдим его топологией прямого произведения. Предположим, что выполнены соотношения j 2k +1 - Re ν > 0, s + 2m - 2k - 1+ Re ν - max mj > 0. (4.4.4) Тогда из результатов раздела 1.3 следует, что операторы Uν и U∗ν непрерывно отображают пространства Hs+2m (En+1) в Hs (En+1, En, m) . ν + ν + Ниже мы изучим подробно лишь оператор Uν, поскольку оператор U∗ν исследуется аналогично. Наряду с оператором Uν рассмотрим оператор U, определяемый по формуле ( 1 1 1 1 ν- 1 1 Uu = A i Dxl , D 2 i2 y u, G0 i Dxl , D u 2 y i2 y D2k Ie 2 1 1 1y=0 ,..., 1 1 2 2k ν- 1 1 Gm-1 2 Dxl , Dy i i Dy Ie 2 u1 . 1 1y=0 + Этот оператор был изучен нами в предыдущем параграфе, где было показано, что он непрерывно отображает пространство Hs+2m (En+1) в пространство Hs ( En+1 n ) s ( n+1) m-1  s+2m-mj -2k+Re ν-1 n + ,E ,m = H E+ × H j=0 (E ) , наделенное топологией прямого произведения. Введем операторы преобразования Bν,e и Gν,e, связанные с изучаемой краевой задачей. При этом мы лишь расширим теперь области определения операторов преобразования и Pν,e и Sν,e, введённых и изученных в первом и третьем параграфах. Обозначим через Φ следующий набор функций: Положим тогда Φ = {f, g0,..., gm-1}. Bν,eΦ = {Pν,ef, cνg0,..., cνgm-1}, 1 c Gν,eΦ = {Sν,ef, ν 1 c g0,..., ν gm-1}, ν где постоянная cν = 2ν при Re ν > 0 и c0 = 1 при ν = 0, а операторы Pν,e, Sν,e определены в разделе 1.1. Оператор Bν,e изоморфно отображает пространство Hs в Hs , а Gν,e осуществляет обратное отображение. Заметим теперь, что операторы U и Uν связаны следующими простыми соотношениями: Uν = Bν,eUSν,e, U = Gν,eUν Pν,e. Наличие таких соотношений позволяет построить регуляризатор сингулярного оператора Uν по формуле Rν = Pν,eRGν,e, где R регуляризатор оператора U, построенный в разделе 2.2 при усло- A 1 вии, что операторы 1 i Dxl , D 1 2 i2 y , Gj i Dxl , D 1 2 i2 y образуют эллиптический набор. Покажем, что оператор Rν действительно является регуляризатором. Имеем Uν Rν = Bν,eUSν,ePν,eRGν,e = Bν,eURGν,e = Bν,e(I + Tп)Gν,e = I + Tп,ν , где Tп,ν = Bν,eTпGν,e. Так как Tп ∈ L(Hs, Hs+1), то Tп,ν ∈ L(Hs , Hs+1). Аналогично получаем ν ν Rν Uν = I + Tл,ν , Tл,ν = Pν,eTлSν,e, 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 331 и так как Tл ∈ L(Hs+2m(En+1),Hs+2m+1(En+1)), то Tл,ν ∈ L(Hs+2m(En+1),Hs+2m+1(En+1)). + + Таким образом, доказана ν + ν + Лемма 4.4.1. Пусть операторы A 1 D 2 1 1 , D , G D , 1 D2 образуют эллиптический i xl i2 y j i xl i2 y ν набор и пусть выполнены соотношения (4.4.4). Тогда операторы Uν и U∗ имеют регуляризаторы, непрерывно отображающие пространства Hs в Hs+2m(En+1) при всех допустимых ν. ν ν + 2. Весовая краевая задача в полупространстве. Маломеняющиеся коэффициенты. Рас- + смотрим в полупространстве En+1 следующее сингулярное эллиптическое уравнение в частных производных: 1 1 1 αl 1 αn+1 A x, i Dxl , i2 By u ≡ , |αl|+2αn+1�2m aα(x) i Dxl i2 By u = f (x). (4.4.5) В случае Re ν > 0 или ν = 0 присоединим к уравнению (4.4.5) следующие краевые условия: 1 1 k , 1 αl 1 αn+1 k ∗ σν (y)Gj Dxl , By i i2 By u|y=0 ≡ σν (y) gαj (x∗) Dxl i i2 By By u|y=0 = gj (x ), |αl|+2αn+1�mj При Re ν ;:? 0 будем рассматривать также краевые условия вида: j = 0,...,m - 1. (4.4.6) y2ν+1Dy Gj x∗, 1 i Dxl , 1 i2 By y Bk u|y=0 = gj (x∗), j = 0,...,m - 1, (4.4.7) Относительно коэффициентов aα и gαj будем предполагать, что они бесконечно дифференциy руемы и кроме того пусть Dpa α|y=0 = 0 при p = 1, 2,.... Разумеется, 1 i2 = -1, но запись выше используется для единообразия. Пусть выполнены следующие условия: 1. многочлены A(0, ξ∗, η2) и Gj (0, ξ∗, η2) образуют эллиптический набор, (т. е. удовлетворяют условию Шапиро-Лопатинского); + 2) при |α∗| + 2αn+1 = 2m и x ∈ En+1 выполняются неравенства |aα(x) - aα(0)| < ε, 1 1 p 1 1 1 y 1 Dy aα(x)1 < ε, 1 � p � 3 Re ν + s + 1; 2. существует такое R > 0, что при |x| ;:? R, и при |α∗| + 2αn+1 = 2m aα(x) = aα(0); + 3. при |α∗| + 2αn+1 < 2m коэффициенты aα(x) ∈ C˚∞(En+1); 5) при j = 0,...,m - 1, |α∗| + 2αn+1 = mj и при всех x∗ ∈ En |gα (x) - gα (0)| < ε; 4. при j j j = 0,...,m - 1, |α∗| + 2αn+1 = mj и при |x∗| ;:? R gαj (x∗) = gαj (0); ˚ n 5. при j = 0,...,m - 1, |α∗| + 2αn+1 < mj коэффициенты gαj (x∗) ∈ C∞(E ). ν Определим операторы Uν и U∗ ( по формулам 1 Uνu = 1 Au, σν G0 Bku1 ,..., σν Gm 1 Bku1 , U∗ ( 2ν+1 y 1y=0 1 k 1 - 2ν+1 1 1y=0 1 1 k 1 νu = Au, y Dy G0B u1y=0 ,...,y Dy Gm-1B u1y=0 . ν При выполнении условий 1)-7) операторы Uν и U∗ будем называть сингулярными эллиптическими операторами с (ε, s) - маломеняющимися коэффициентами. Ниже при достаточно малых o будут построены для них регуляризаторы. При этом мы изучим подробно только оператор Uν, ν поскольку оператор U∗ изучается аналогично. Имея в виду применение метода возмущения, разобьем оператор Uν на сумму трех слагаемых: оператора с постоянными коэффициентами Uν,0, оператора с малой нормой Uν,1 и оператора Uν,2, содержащего лишь младшие члены. Таким образом, мы полагаем ( 1 1 1 1 k 1 Uν,0u = y A0 0, Dxl , By i i2 u, σν (y)G0,0 0, Dxl , By i i2 B u1 1y=0 ,..., 332 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1 1 k 1 1 где y σν (y)Gm-1,0 0, Dxl , By i i2 B u1 , 1y=0 1 1 , 1 αl 1 αn+1 A0 0, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1=2m aα(0) Dxl i i2 By , 1 1 , 1 αl 1 αn+1 Gj,0 0, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1=mj gαj (0) Dxl i i2 By , Оператор Uν,1 имеет вид j = 0,...,m - 1. ( 1 1 1 1 k 1 Uν,1u = y A1 x, Dxl , By i i2 u, σν (y)G0,1 x∗, Dxl , By i i2 B u1 , 1y=0 1 1 k 1 1 где y ..., σν (y)Gm-1,1 x∗, Dxl , By i i2 B u1 , 1y=0 1 1 , 1 αl 1 αn+1 A1 x, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1=2m (aα(x) - aα(0)) Dxl i i2 By , 1 1 , 1 αl 1 αn+1 Gj,1 x∗, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1=mj (gαj (x∗) - gαj (0)) Dxl i i2 By , Оператор Uν,2 определяется по формуле j = 0,...,m - 1. ( 1 1 1 1 k 1 Uν,2u = y A2 x, Dxl , By i i2 u, σν (y)G0,2 x∗, Dxl , By i i2 B u1 , 1y=0 1 1 k 1 1 где y ..., σν (y)Gm-1,2 x∗, Dxl , By i i2 B u1 , 1y=0 1 1 , 1 αl 1 αn+1 A2 x, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1�2m-1 aα(x) Dxl i i2 By , 1 1 , 1 αl 1 αn+1 Gj,2 x∗, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1�mj -1 gαj (x∗) Dxl i i2 By , j = 0,...,m - 1. причём, в последнем соотношении, предполагается, что mj ;:? 1. Если же mj = 0 при некотором номере j, то мы полагаем Gj,2 = 0. Следовательно, Uν = Uν,0 + Uν,1 + Uν,2. (4.4.8) Во всём дальнейшем предполагается выполнение соотношений (4.4.4). Заметим теперь, что оператор Uν,0 порожден краевой задачей с однородным оператором с постоянными коэффициентами как в уравнении, так и в граничных условиях. Для таких операторов в предыдущем пункте был построен регуляризатор, который здесь мы обозначим через Rν,0. По доказанному оператор Rν,0 ∈ L ( s (En+1, En, m),Hs+2m(En+1)) . Для него имеют место формулы Hν + + Uν,0Rν,0 = I + Tп,0, Rν,0Uν,0 = I + Tл,0, (4.4.9) где через I обозначен тождественный оператор, а операторы Tп,0 и Tл,0 сглаживающие, то есть ν , Hν ) , Tл,0 ∈ L (Hν, Hν ) . Tп,0 ∈ L (Hs+2m s+2m+1 s s+1 Отсюда и из разложения (4.4.8) получаем формулы вида: Uν Rν,0 = I + Tп,0 + Uν,1Rν,0 + Uν,2Rν,0, (4.4.10) Rν,0Uν = I + Tл,0 + Rν,0Uν,1 + Rν,0Uν,2. (4.4.11) 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 333 Ниже мы покажем, что операторы I + Uν,1Rν,0 и I + Rν,0Uν,1 имеют ограниченные обратные в соответствующих пространствах при достаточно малых ε. Тогда, вводя обозначение Rν,0 (I + Uν,1Rν,0)-1 = Rν (4.4.12) и замечая, что Rν,0 (I + Uν,1Rν,0)-1 = (I + Rν,0Uν,1)-1 Rν,0, (4.4.13) формулы (4.4.10)-(4.4.11) преобразуем к виду Uν Rν = I + (Tп,0 + Uν,2Rν,0) (I + Uν,1Rν,0)-1 ≡ I + Tп, (4.4.14) Uν Rν = I + (I + Rν,0Uν,1)-1 (Tл,0 + Rν,0Uν,2) ≡ I + Tл, (4.4.15) причём операторы Tп и Tл оказываются сглаживающими. Для построения обратного к оператору I + Uν,1Rν,0 достаточно доказать сходимость в соответствующей операторной топологии ряда Неймана, стоящего в правой части следующей формулы: ∞ (I + Uν,1Rν,0)-1 = ,(-1)l (Uν,1Rν,0)l . (4.4.16) l=0 s s+2m n+1 Пусть Φ = {f, g0,..., gm-1} ∈ Hν. Положим временно u = Rν,0Φ. Тогда u ∈ Hν (E+ ) и 2 ±Uν,1Rν,0Φ±2 s = ±Uν,1u± 2 = ±A u± n+1 m-1 1 + , 1σ G 12 k By u| 1 . Hs s H Hν ν 1 ν (E+ ) 1 ν j=0 j,1 y=01H s+2m-mj-2k+Re ν-1 (En) (4.4.17) Дадим оценку каждого слагаемого последней формулы, причём условимся через cj, j = 1, 2,... обозначать постоянные, которые не зависят от Uν,1 и Φ. Из следствия 4.1.2 и условий 2), 3) непосредственно получаем 2 ±A1u±Hs n+1 � c1ε±u± ν n+1 . (4.4.18) ν (E+ ) Для s > 0 по формуле Лейбница находим 2 1 αl H2m(E+ ) αn+1 12 ±A1u±Hs n+1 = , 1Dxl Dy Sν,eA1u1 � ν (E+ ) ⎛ 1 |αl|+αn+1�s 2 + 1L2(En+1) ⎞ , 2 ⎜ � c2 ⎜ , 1 1 αn+1 1 αl 1 α S α 1 1 ⎟ 1 l u 1 ⎟ где ⎜ ⎝|αl|+αn+1�s 1Dy Sν,e A1Dxl u 2 + 1L (En+1) + |αl|>0 |αl|+αn+1�s 1Dy n+1 ν,e A1 , 1L2(En+1)⎟ + ⎠ A(αl) l l l βl+γl 1 u = Dα A1u - A1Dα = , , c(δ∗, γ∗) Dδ aβ (x) D Bβn+1 u, xl xl |γl|+|δl|=|αl| |βl|+2βn+1=2m |δl|>0 xl xl y c(δ∗, γ∗) - вполне определенные постоянные. Порядок оператора A(αl) не превосходит 2m + α∗ 1, 1 поэтому оценивая слагаемые в соответствии с теоремой 4.1.3, получаем 1 l | |- 1 1 1 αn+1 1 αl 1 s+2m n+1 max 1 1 sup 1 Dy 1 (aα(x) - aα(0))1 � 1Dy Sν,eA1Dxl u1L (En+1 + � c3 ±u±Hν (E ) 1 1 2 + ) l�|αn+1|+3N +1 x 1 y 1 � c3 ε ±u±Hs+2m n+1 и 1 αn+1 αl 12 ν (E+ ) 1 l 1 1 l 1 1 1 1 s+2m-1 n+1 max sup 1Dδ Dy aα(x)1 . 1Dy Sν,eA1 u1L (En+1 + � c4 ±u±Hν (E ) 1 xl 1 Тогда 2 2 + ) l�3N +|αn+1|+1 x 1 y 1 ±A1u±Hs n+1 � c5 ε ±u± ν n+1 +c5 Ms(a)±u± s+2m+1 n+1 +c6 Ms(a)±u± s+2m+1 n+1 , (4.4.19) ν (E+ ) H2m(E+ ) Hν (E+ ) Hν (E+ ) 334 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ где положено Ms(a) = max max sup 1 1 βl D 1 xl 1 βn+1 Dy 1 1 aα(x)1 (4.4.20) |β|�3N +s+1 |α|=2m x∈En+1 1 y 1 + 1 1 и натуральное N таково, что Re ν < N + 1 . 2 По теореме 4.1.5 о весовых следах существует не зависящая от операторов Gj,1 и функции u(x) постоянная c7 > 0 такая, что 1 1 1σν Gj,1Bku1 1 � c7 ±Gj,1u± s+2m m . (4.4.21) 1 1 1 - j n+1 1 1y=01Hs+2m-mj-2k+Re ν-1(En) Hν (E+ ) Коэффициенты операторов Gj,1 не зависят от последней переменной. Тогда из условий 5), 6) немедленно получаем ±Gj,1u±H0 n+1 � c8 ε ±u±Hmj . + ν (E+ ) Отсюда при s > mj - 2m по формуле Лейбница имеем 2 ν (En+1) gj где + ) ν (En+1 ±Gj,1u±Hs+2m-mj ν (E � c9 ε ±u±Hs+2m ) n+1 + ν ) + c10 Ms(� )±u± Hs+2m-1(E n+1 , (4.4.22) + � Ms(gj ) = max max sup 1 xl D g 1 βl αj 1 (x∗)1 . (4.4.23) |βl|�s+2m-mj | |αl|+αn+1=mj xl∈En 1 1 Вспоминая, что u = Rν,0Φ, из оценок (4.4.19), (4.4.21), (4.4.22) получаем 2 ±Uν,1Rν,0Φ±Hs + ,En,m) 11 ν,0 s+2m n+1 + 12 s ν,0 s+2m 1 n+1 + ν (En+1 � c ε ±R Φ±Hν (E ) + c M ±R Φ±Hν - (E ) , где Ms = max Ms(a), Ms(g1),..., Ms(gm 1) . Так как R ограниченный оператор, то последнее д неравенство принимает ви � � - ν,0 ±Uν,1Rν,0Φ±Hs � c13 ε ±Φ±Hs + c14 Ms ±Φ±Hs-1 . (4.4.24) ν ν ν Заменяя в этом неравенстве Φ на Uν,1Rν,0Φ, получим 1 1 1(Uν,1Rν,0)2Φ1 � c ε ±U R Φ± + c M ±U R Φ± s-1 . (4.4.25) H s 13 ν H ν,1 ν,0 s ν 14 s ν,1 ν,0 Hν Оценим последнее слагаемое в правой части. Не ограничивая общности, будем считать, что ε � 1 Ms ;:? 1. Используя неравенство Эрлинга-Ниренберга и неравенства (4.4.18), (4.4.21), находим m-1 ±Uν,1Rν,0Φ±Hs-1 � ±A1Rν,0Φ±Hs-1 n+1 + c15 , ±Gj,1Rν,0Φ± s+2m-mj-1 � ν ν (E+ ) j=0 + Hν (En+1) � ε1 ±A1Rν,0Φ±Hs n+1 + c(ε1) ±A1Rν,0Φ± ν n+1 + m-1 ν (E+ ) m-1 H0(E+ ) +ε1 , ±Gj,1Rν,0Φ± s+2m-mj + c(ε ) , ±G R Φ±H (En+1 � c (ε + εc(ε )) M ±Φ±Hs , j=0 + ) Hν (En+1 1 j=0 j,1 ν ν,0 0 + ) 16 1 1 s ν где ε1 - произвольное положительное число, а c(ε1) зависит от ε1. В сочетании с неравенствами (4.4.24) и (4.4.25) это приводит нас к оценке 1 1 1(Uν,1Rν,0)2Φ1 � c M 2 (ε + εc(ε )) ±Φ± . (4.4.26) H H s s 17 1 1 s ν ν 1 s Выберем ε1 так, чтобы c17M 2ε1 = 2 и предположим, что 1 c(ε1)c17M 2ε < . s 2 Если ε удовлетворяет этому условию, то 1 1 H s ν 1(Uν,1Rν,0)2Φ1 H ν � q ±Φ± s , ν где 0 < q < 1. Тогда оператор (Uν,1Rν,0)2 является сжимающим. А этого достаточно для сходимости ряда Неймана (4.4.16) в банаховом пространстве линейных ограниченных в Hs операторов. 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 335 ν Следовательно, оператор (I + Uν,1Rν,0)-1 определён и непрерывен в пространствах Hs . Осталось только заметить, что оператор Rν, определенный по формуле Rν = Rν,0(I + Uν,1Rν,0)-1, в связи с формулами (4.4.13)-(4.4.15) является регуляризатором для оператора Rν, так как операторы Tп и Tл, очевидно, сглаживающие. Стало быть, нами доказана Теорема 4.4.1. Пусть операторы Uν и U∗ν являются сингулярными эллиптическими операторами с (ε, s) - маломеняющимися коэффициентами и при этом выполнены соотношения 2k +1 - Re ν > 0, j s + 2m - 2k - 2+ Re ν - max mj > 0. Тогда при достаточно малых ε оператор Uν, если Re ν > 0 или ν = 0, и оператор U∗ν, если Re ν ;:? 0, имеют регуляризаторы, принадлежащие пространствам L(Hs (En+1, En, m), ν + ν (E+ )). Hs+2m n+1 + 3. Весовая краевая задача в ограниченной области. Пусть Ω - ограниченная область с гладкой границей полупространства En+1. Предполагается, что выполнены все необходимые для неё условия из раздела 2.1. Обозначим через A эллиптический внутри области Ω оператор чётного порядка 2m с бесконечно дифференцируемыми в Ω комплекснозначными коэффициентами. Пусть вблизи границы в каждой л.с.к. оператор A допускает следующее представление: A = A 1 x, i Dxl , 1 i2 By = , |αl|+2αn+1�2m aα(x) 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1 By . (4.4.27) Коэффициенты aα(x) предполагаются бесконечно дифференцируемыми вплоть до гиперплоскости y = 0 и удовлетворяющими условию Dp yaα(x) = 0, y = 0, p = 1, 2,.... (4.4.28) Зададим m граничных операторов Gj, j = 0, 1,...,m - 1, в каждой л.с.к. по формулам вида 1 1 , 1 αl 1 αn+1 Gj x∗, Dxl , By i i2 = |αl|+2αn+1�mj gαj (x∗) Dxl i i2 By . Здесь gαj - бесконечно дифференцируемые коэффициенты переменного x∗ ∈ En. Предположим, что многочлены A0(x, ξ∗, η2) = , |αl|+2αn+1�2m и Gj,0(x, ξ∗, η2) = , l aα(x)ξ∗α η2αn+1 l gαj (x∗)ξ∗α η2αn+1 , |αl|+2αn+1�mj где ξ∗ ∈ En, j = 0,...,m - 1, образуют эллиптический набор для каждой фиксированной точки границы. Рассмотрим краевую задачу вида (Au = f, 1 σν G�j u 1 1∂Ω = gj, j = 0,...,m - 1, (4.4.29) где операторы G�j в каждой л.с.к. имеет вид 1 1 k G�j = Gj x∗, Dxl , By i i2 By . 336 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В дальнейшем, как и ранее, предполагается выполнение соотношений j 2k +1 - Re ν > 0, s + 2m - 2k - 1 - Re ν - max mj > 0. (4.4.30) Основной целью этого пункта и всей главы является доказательство нётеровости поставленной краевой задачи (в конце мы рассмотрим еще одну краевую задачу). Для этого нам необходимо построить регуляризатор для оператора 1 Uν : u → Uu = {Au, σν G�0 1 1∂Ω - 1 1∂Ω ,..., σν G�m 11 }. Из результатов раздела 2.1 следует, что оператор Uν непрерывно ото6ражает пространство Hs+2m ν (Ω) в пространство m-1 s s  s+2m-2k-1+Re ν-mj Hν (Ω, ∂Ω, m) = Hν (Ω) × наделенное топологией прямого произведения. H j=0 (∂Ω), Построение регуляризатора будем осуществлять локально. Для этого нам потребуется некоторое специальное продолжение оператора Uν вида 1 Uνu = {Au, σν G�0 1 1y=0 - 1 ν �m 1 ,..., σ G 1 1y=0 }, (4.4.31) δ0 заданного по указанным выше формулам в л.с.к., скажем, в некоторой окрестности точки x0 гиперплоскости y = 0. Пусть для определенности оператор (4.4.31) (точнее его коэффициенты) определены в некотором полукубе K+ (x0), δ0 > 0, где K+ ∗ n+1 0 δ0 = {x = (x , y) : x ∈ E+ , |xp - xp| < δ, p = 1,...,n + 1}. 0 ν Введем по главной части оператора (4.4.31) для произвольного ε ∈ (0, 1) оператор Ux ,ε вида 0 Ux ,ε 0 x0,ε1 x0,ε 1 где ν,0 u = {Ax ,εu, σν G�0 1 1y=0 ,..., σν G�m 1 -11 y=0 }, (4.4.32) 0 / αl αn+1 Ax0,εu(x) = , ϕ x - x (a (ε(x x0)+ x0) 1 a (x0)) D 1 B u + n+1 δ0 α - |αl|+2αn+1=2m - α i xl i2 y Gj u(x) = , x0,ε � (-1)k ϕn x - x0 δ0 × + , |αl|+2αn+1=2m aα(x0) 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1 By u, |αl|+2αn+1=mj × ((gαj (ε(x - x0)+ x0) - gαj (x0))) t 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1+k By u + + , |αl|+2αn+1=mj (-1)k gαj (x0) 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1+k By u, j = 0,...,m - 1. причём в граничных операторах под x0 понимается точка (x0,..., x0 ) ∈ En для упрощения обо- 1 n ∈ значений. Через ϕp, p = n, n + 1, обозначена функция вида ϕp(x) = ϕ(x1) · ... · ϕ(xp), где функция одной переменной ϕ(t) C˚∞(E1), причём ϕ(t) = 1 при t � 1 , ϕ(t) = 0 при t ;:? 1. 0 2 Таким образом, оператор Ux ,ε определён уже во всём полупространстве En+1. Отметим неко- ν,0 + торые свойства его бесконечно дифференцируемых коэффициентов. Из (4.4.28) получаем 1 1 βl 1 1 βn+1 x - x0 ( 1 ) 1 0 0 0 1 1Dxl 1 y Dy δ ϕn+1 0 aα(ε(x - x )+ x ) - aα(x ) 1 � cβ ε, 1 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 337 1 1 1Dβl ϕ g x∗ - x0 ( (ε(x - x0)+ x0) - g (x0)) 1 1 1 � c ε, 1 xl n+1 δ0 αj αj βl 1 + где постоянные cβ, cβl > 0 не зависят от ε ∈ (0, 1) и от x ∈ En+1. Следовательно, в соответствии 0 ν,0 с теоремой 4.4.1 оператор Ux ,ε является сингулярным оператором с (ε, s) - маломеняющимися коэффициентами и поэтому при достаточно малом ε = ε0, для него существует регуляризатор ν,0 ∈ L ( ν (E+ ,E , m), Hν (E+ )) , то есть справедливы формулы R o s n+1 H n 0 Ux ,ε s+2m x0,ε n+1 s n+1 ν,0 Rν Φ = Φ + Tп,ν,0Φ, Φ ∈ Hν (E+ , En, m), 0 Rx ,ε x0,ε n+1 (4.4.33) ν ν Uν,0 u = u + Tл,ν,0u, u ∈ Hs+2m(E+ ), в которых Tп,ν,0, Tл,ν,0 сглаживающие операторы. Введем теперь оператор растяжения Qε по формуле x - x0 0 Qε : u → Qεu(x) = u + x . ε Обратным к Qε будет оператор Q 1 . Нам потребуется также оператор ε Qε,m : Φ = {f (x), g0(x∗),..., gm-1(x∗)} → Qε,mΦ = ( = ε-2mf0 x - x0 ε + x0 , ε-2ν-m0-2kg0 x - x0 ε + x0 - , ε-2ν-mm-1-2kgm 1 - x x0 1 + x0 . ε ,m Обратным к Qε,m будет оператор Q 1 ε . Операторы Qε, Qε,m при ε > 0 отображают изоморфно пространства Hs(En+1), Hs (En+1, En, m), соответственно, на себя. ν + ν + ,m Применим к первой из формул (4.4.33) оператор Qε0,m и заменим в ней Φ на Q 1 ε Φ. Тогда после простых преобразований получим формулу вида Ux0 0 ν,0Rx x0 п ,0 s n+1 n ν + ν Φ = Φ + T ,ν 0 Φ, Φ ∈ H (E ,E , m), (4.4.34) 0 в которой оператор Tx0 = Q Tx ,ε0 Q будет сглаживающим, как и Tx ,ε0 . Оператор п,ν,0 ε0,m 0 п,ν,0 1 ,m ε0 п,ν,0 ( Rx0 0 ν имеет вид Rx ν 1 = Qε Rx ,ε0 Q и принадлежит тому же классу L Hs (E n+1 , En, m), Hs+2m ν n+1 0 x0,ε0 ε0 ,m ν + x0 ν (E+ )), что и оператор Rν . Оператор Uν,0 имеет вид ⎧ Ux0 ⎨ , x - x0 ( 0 0 ν,0u = ⎩|αl|+2αn+1=2m ϕn+1 ε0δ0 aα(x) - aα(x )) - aα(x ) × 1 i × Dxl αl 1 i2 By αn+1 u, σν (y) , (-1)k - x x0 n × ϕ o δ 0 0 |αl|+2αn+1=m0 1 i × (gα0(x) - gα0(x0)) - gα0(x0)) Dxl αl 1 i2 αn+1+k By 1 1 u 1 1 , 1y=0 σν (y) , |αl|+2αn+1=mm-1 (-1)k - ( x x0 ϕn ε0δ0 gαm- 1(x) - g αm-1 (x0)) - gαm-1 (x0) × 1 i × Dxl αl 1 i2 By 1 ⎬ αn+1+k 1 ⎫ u 1 1 . 1y=0⎭ Аналогичным образом трансформируется и вторая из формул (4.4.33). Отметим, что в некоторой ε0δ0 окрестности точки x0, а именно в полукубе K+ 2 ν,0 (x0), коэффициенты оператора Ux0 совпадают с коэффициентами главной части оператора Uν (см. (4.4.31)). 338 ГЛАВА 4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Определим теперь оператор Ux0 по формуле Ux0 = Ux0 + Ux0 , в которой оператор Ux0 имеет вид ⎧ Ux 0 ⎨ ν,1u = ν , ϕn+1 ν x - x0 δ0 ν,0 aα(x) ν,1 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1 By u, ν,1 ⎩|αl|+2αn+1<2m x∗ - x0 1 αl 1 1 αn+1+k 1 σν (y) , |αl |+2αn+1<m0 (-1)k ϕn δ gα0(x) 0 i Dxl , i2 By u1 1 1y=0 ⎫ σν (y) , |αl |+2αn+1<mm-1 (-1)k ϕn x∗ - x0 δ0 gαm- 1(x) 1 i Dxl αl 1 i2 αn+1+k By 1 1 ⎬ u 1 1 . 1y=0⎭ Тогда регуляризатор Rx0 оператора Ux0 будет, очевидно, регуляризатором оператора Ux0 . ν ν ν Итак, для оператора Ux0 существует регуляризатор Rx0 L ( s (En+1, En, m),Hs+2m(En+1)) и ν ν ∈ Hν + ν + сглаживающие в соответствующих пространствах операторы Tx0 , Tx0 такие, что Ux0 0 ν Rx п,ν x0 п л,ν Rx0 ν = I + T ν Ux 0 ,ν , (4.4.35) x 0 л ν = I + T ,ν . (4.4.36) ε0δ0 При этом в некоторое полукубе K+ 2 ν (x0) коэффициенты оператора Ux0 совпадают с коэффициентами оператора (4.4.31). Искомое продолжение оператора Uν из (4.4.31) построено. δ Такие рассуждения можно провести для любой граничной точки x и таким образом построить покрытие границы прообразами полукубов K+(x), x ∈ {y = 0}, δ = δ(x) > 0, причём в полукубе K+ x δ/2(x) коэффициенты операторов Uν и Uν совпадают (в л.с.к.). Из указанного покрытия выделим конечное подпокрытие границы, а вместе с ней и некоторой её окрестности. Обозначим прообразы центров полукубов, образующих это конечное покрытие, через xq, q = 1,..., q, а их образы через q � x xq = κl q � . Ребро q-го куба обозначим через δq. q Рассмотрим область y = Ω\  κ1 K+ (xq ), которая лежит строго внутри области Ω. Для области lq δq q=1 y нужно проделать те же построения, что и выше. Нам нет нужды этим заниматься, поскольку q Kδ q xq внутри области Ω оператор A эллиптичен, причём имеет гладкие коэффициенты. Поэтому мы можем сослаться, например, на книгу Л. Хермандера [397], в которой показано существование конечного покрытия области y, например, кубами Kδ (xq ), q = q +1,..., q, расположенными вместе с замыканиями в Ω. Причём это покрытие обладает следующим свойством: для каждого куба q (x ), q > q, существует сохраняющий гладкость оператор продолжения П можно построить по указанной выше схеме) такой, что для оператора (его, впрочем, Axq = , |α|�2m (Пxq bα(x)) 1 α i Dx , q где bα - коэффициенты оператора A, определенные в области Ω, существует регуляризатор Rx ∈ L (Hs(En+1),Hs+2m(En+1)) . Это означает, что справедливы формулы Axq Rxq = I + Txq , Rxq Axq = I + Txq , где Txq L (Hs(En+1),Hs+1(En+1)) , Txq п л L (Hs+2m(En+1),Hs+2m+1 n+1 п ∈ л ∈ (E )) . Весьма важно то, что коэффициенты оператора Axq совпадают с коэффициентами оператора A в кубе K q > q. δ/2 (xq ), lq Итак, мы имеем покрытие области Ω конечным множеством областей κ-1Kδ (xq ) при этом диффеоморфизмы xlq при q > q считаются тождественными отображениями. Не ограничивая общности, предположим, что области κ-1Kδ /4(xq ) также образуют покрытие Ω. Обозначим через lq q q {hq }q=1 разбиение единицы, подчиненное этому последнему покрытию. Введем еще множество }q=1 финитных бесконечно дифференцируемых функций {ψq q таких, что supp ψq ⊂ κ-1Kδ /2(xq ), (4.4.37) lq q 4.4. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 339 ψq (x)hq (x) ≡ hq (x), (4.4.38) Пусть также в каждой л.с.к. Dyψq = 0 (4.4.39) где q = 1,..., q. в некоторой окрестности гиперплоскости y = 0. Существование такого набора функций по существу доказано при выводе леммы 4.2.1. - ν ν Пусть Φ = {f, g0,..., gm 1} ∈ Hs(Ω, ∂Ω, m). Тогда искомый регуляризатор R оператора U определим по формуле q q Rν Φ = , hq κ-1Rx κ (ψ Φ) + q , h Rxq (ψ f ). q=1 lq ν lq q q q q=q+1 ν Здесь ψq Φ = {ψqf, ψq |∂Ω g0,..., ψq |∂Ω gm-1}. Используя теорему 4.1.3 и утверждения об эквивалентности норм, нетрудно усмотреть, что Rν ∈ L (Hs (Ω, ∂Ω, m),Hs+2m(Ω)) . Покажем, что оператор Rν действительно является регуляризатором. Пусть функция u ∈ Hs+2m ν (Ω). Тогда q q Rν Uνu = , hq κ-1Rx κ (ψ U q 1. )+ , h Rxq (ψ Au) = q=1 lq ν lq q ν q q q=q+1 q q = , hq κ-1Rx κ (ψ Ux u) + , h Rx ψ Ax u) . (4.4.40) q=1 q q lq ν lq q ν ( q q q q q=q+1 j Здесь мы воспользовались тем, что коэффициенты операторов Axq , Gxq совпадают с коэффиq циентами операторов A, Gj, соответственно, в прообразах кубов Kδ /2(xq ), следовательно, и на носителях функций ψq. Далее, по формуле Лейбница имеем xq xq xq κlq (ψq Uν u) = κlq Uν (ψqu)+ Uˆν u , q = 1,..., q, (4.4.41) q q q ψq Ax u = Ax (ψqu)+ Aˆx u, q = q + 1,..., q. (4.4.42) Заметим, что формула Лейбница для операторов Бесселя имеет вид B(ψv) = vBψ + ψBv +2 (Dyψ) Dyv. Отсюда индукцией по r выводится следующая формула: Br (ψv) = ψBrv + , cν (r1,..., r5)y-r1 (Dr2 Br3 ψ) Dr4 Br5 v, y y - где суммирование справа осуществляется по всем неотрицательным целым индексам r1,..., r5 таким, что r1 + r2 + 2r3 + r4 + 2r5 = 2r - 1, r2 + 2r3 > 0, r3,4 = 0, 1. Через cν (r1,..., r5) обозначены вполне определенные постоянные (они совпадают с биномиальными коэффициентами при ν = 1 ). 2 Сочетание этой формулы и обычной формулы Лейбница по остальным переменным и приводит нас к формулам (4.4.41), (4.4.42) в которых операторы Uˆν и Aˆ имеют порядок на единицу меньший, чем порядки операторов Uν и A, соответственно. В силу свойств функций ψ (см. формулы (4.4.37)-(4.4.39)) по следствиям 4.1.2, 4.1.3 получаем, что xq s+2m n+1 s+2m n+1 n κlq Uˆν ∈ L (Hν (E+ ), Hν (E+ ,E , m)) , Aˆxq ν Так как Rxq ∈ L (Hs+2m(En+1),Hs+1(En+1)) . являются регуляризаторами, то имеет место формула q Rν Uνu = , hqψqu + Tл,ν u = u + Tл,ν u, (4.4.43) q=1 в которой Tл,ν оказывается по доказанному сглаживающим оператором. Таким образом, доказано, что оператор Rν является левым регуляризатором. Совершенно аналогично показывается, что он будет и правым регуляризатором. 340 ГЛАВА 5. ОБЩИЕ ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ν ν Теорема 4.4.2. Пусть Re ν > 0 или ν = 0 и выполнены соотношения (4.4.30). Тогда краевая задача (4.4.29) нётерова. Если u ∈ Hs+2m(Ω), Uνu ∈ Hs+p(Ω, ∂Ω, m) при некотором p > 0, то H u s+2m+p ∈ ν (Ω), и имеет место оценка m-1 1 c ±u±Hs+2m+p � ±Au± s+2m+p + , ± σν G�j u1 " s+p+2m-mj-2k-1+Re ν + ±u± s+2m , ν (Ω) Hν (Ω) j=0 1∂Ω H (∂Ω) Hν (Ω) (4.4.44) где постоянная c > 0 не зависит u. s+2m s+2m+1 Доказательство. Нётеровость краевой задачи эквивалентна существованию регуляризатора (см., например, по этому поводу абстрактные результаты из книги З. Пресдорфа [283]). Априорная оценка (4.4.44) следует из того, что для оператора Rν справедлива формула (4.4.43), в которой Tл,ν - сглаживающий оператор. Утверждение о повышении гладкости также есть следствие этой формулы. В самом деле, если u ∈ Hν (Ω), то T Rν Uνu ∈ Hs+2m+p л,ν u ∈ Hν (Ω). Так как Uν u s+p ∈ H , то ν ν (Ω). Тогда из (4.4.42) следует, что u ∈ Hs+2m+1(Ω). Повторяя те же рассуждения, мы в конце концов покажем, что ν u ∈ Hs+2m+p(Ω). Теорема доказана. Рассмотрим теперь сингулярное эллиптическое уравнение (4.4.27) с весовыми краевыми условиями вида j где Re ν > 0 и операторы G�∗ 2 �j σν+ 1 G∗ u|∂Ω = gj, j = 0,...,m - 1, (4.4.45) в каждой л.с.к. имеют вид ∗ G�j = Dy Gj x∗, 1 2. Dxl , 1 i2 By y Bk. При выполнении всех предшествующих условий справедлива Теорема 4.4.3. Пусть Re ν ;:? 0 и выполнены соотношения (4.4.30). Тогда краевая задача (4.4.27), (4.4.44) нётерова. Если u ∈ Hs+2m(Ω), а U∗ u ∈ Hs+p(Ω, ∂Ω, m), p > 0, то u ∈ Hs+2m+p ν ν ν ν (Ω) и имеет место оценка m-1 1 c ±u±Hs+2m+p � ±Au± s+p + , ± σ 1 G∗ u1 " s+p+2m-mj-2k-1+Re ν + ±u± s+2m , ν (Ω) Hν (Ω) j=0 ν+ 2 �j 1∂Ω H (∂Ω) Hν (Ω) где постоянная c > 0 не зависит от u. Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 4.4.2 и поэтому не приводится. ГЛАВА 5 НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ В этой главе рассматриваются новые краевые задачи для уравнения Пуассона, решения которых могут иметь особенности в изолированных внутренних точках, которые считаются граничными, причём эти особенности могут быть не только степенными типа полюса, но и существенными бесконечного порядка. Вводятся и изучаются новые функциональные пространства типа Фреше в ограниченной области с гладкой границей. Теория этих пространств характеризуется тремя моментами. Они, во-первых, шире, чем пространства С. Л. Соболева. Во-вторых, они содержат все гармонические функции, имеющие произвольные особенности в конечном числе фиксированных внутренних точек (не ограничивая общность, рассмотрен случай одной такой точки). И, в-третьих, вне особой точки локально они совпадают с пространствами С. Л. Соболева. Сочетания этих свойств в одном пространстве удалось получить благодаря использованию многомерных операторов преобразования из второй главы. Кроме того, вводится понятие в определенном смысле 5.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 341 нелокального следа в особой точке, который становится нетривиальным лишь для сингулярных в этой точке функций. Здесь же доказываются прямая и обратная теоремы о следах. В терминах указанного следа дается классификация изолированных особых точек гармонических функций и доказывается основной результат главы об однозначной разрешимости соответствующей краевой задачи для уравнения Пуассона. Ещё раз отметим, что у решения и правой части уравнения допускается в особой точке рост произвольного порядка. В особых точках необходимо использование нового нелокального краевого условия, которое названо далее сигма - следом. Можно также предложить название K-след в честь В. В. Катрахова, которым это краевое условие было введено и подробно изучено. 5.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5.1.1. Определение и теоремы вложения. Пусть Ω - ограниченная область в пространстве En с гладкой границей ∂Ω. Пусть начало координат 0 принадлежит Ω. Обозначим через Ω0 область Ω \ 0. Пусть R0 > 0 такое число, что шар U 2R0 ⊂ Ω. + r Обозначим через X множество функций χ(r) ∈ C˚∞(E1 ) таких, что χ(r) = 1 при 0 � r � 1, χ(r) = 0 при r ;:? 2 и χ(r) монотонно убывают при 1 < r < 2. По функции χ функция χR, R > 0, определяется по формуле χR(r) = χ . Через T˚∞(Ω0) обозначим множество функций R f ∈ C∞ (Ω \ 0) таких, что K dk χR(r)f (r, ϑ) = , , χR(r)fk,l(r)Yk,l(ϑ), (5.1.1) k=0 l=1 2 +k-1 где функции fk,l таковы, что r-kfk,lχR ∈ C˚∞n + (E1 ). Натуральное число K свое для каждой функции f. Напомним (см. главу 2), что множество C˚∞(E1 ) состоит из функций h(r) вида h = ν + Pνg, где g ∈ C˚∞(E1 ) ν + Для каждого s ;:? 0, 0 < R < R0 и каждой функции χ ∈ X зададим на T˚∞(Ω0) нормы / K dk 1/2 ±f ±s,R = ±r-kχRfk,l± ˚ , , 2 H s n (0,2R) + ±(1 - χR 2 )f ±Hs(Ω) . (5.1.2) k=0 l=1 2 +k-1 Здесь и всюду ниже будут использованы пространства ν H˚s(0, R), введённые в пункте 2.1.4. Из результатов главы 2 следует, что при чётных s справедлива формула s 2 2 ±f ± 2 s,R = ±GnΔ 2 (χRf )±L2(U2R) + ±(1 - χR)f ±Hs(Ω) . (5.1.3) Система норм (5.1.2) при R ∈ (0, R0) и при фиксированном s ;:? 0 задает на линеале T˚∞(Ω0) топологию. loc Введем пространство Hs (Ω0), состоящее из функций f таких, что при любом R ∈ (0, R0) функция (1 - χR)f ∈ Hs(Ω). Наделим это пространство топологией, определяемой семейством полунорм ±Hs(Ω) ps,R(f ) = ±(1 - χR)f 2 , 0 < R < R0. loc Легко видеть, что введённая топология превращает Hs (Ω0) в полное топологическое векторное пространство. Очевидно, что оценка loc T˚∞(Ω0) ⊂ Hs (Ω0) и для любой функции f ∈ T˚∞ имеет место ±f ±s,R ;:? ps,R(f ). Таким образом, это вложение будет и топологическим. Определим пространство Ms(Ω0) как замыкание пространства T˚∞(Ω0) по топологии, порожденной системой норм (5.1.2). Следовательно, элементами пространства Ms(Ω0) являются обычные loc функции, которые принадлежат классу Hs (Ω0). + Установим соотношение между пространствами Ms(Ω0) и Hs(Ω). Обозначим через T˚∞(Ω) подмножество функций f из T˚∞(Ω0), для которых функции fk,l из разложения (5.1.1) удовлетворяют условию r-kfk,lχR ∈ C˚∞(E1 ). + + 342 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ Пусть функция f ∈ T˚∞(Ω). Тогда при любом R ∈ (0, R0) χRf ∈ T˚∞(U2R). По лемме 2.2.2 и из + + результатов пункта 2.1.4 следует, что K dk K dk ±χRf ±Hs(U2,R) = Следовательно, , , k=0 l=1 ±r-k n ±H˚s fk,lχR 2 2 +k-1,+ (0,2R) ;:? , , k=0 l=1 ±r-k n ±H˚s fk,lχR 2 2 +k-1 (0,2R). ±f ±2 � c 2 χRf ± 2 + ±(1 - χR)f ± . s,R " H˚s(U2R) Hs(Ω) Выражение справа является при любом R ∈ (0, R0) квадратом одной из эквивалентных норм пространства Hs(Ω). Отсюда и из того, что множество ме 2.2.1 вытекает + T˚∞(Ω) всюду плотно в Hs(Ω) по лем- Теорема 5.1.1. Для любого s ;:? 0 имеет место вложение loc Hs(Ω) ⊂ Ms(Ω0) ⊂ Hs (Ω0), понимаемое в топологическом смысле, причём в случае нечётного n индуцированная левым вложением и собственная топология пространства Hs(Ω) равносильны. Для любого R ∈ (0, R0) топологии подпространства H� s(Ω ⊂ UR) пространства Hs(Ω), состоящего из функций f ∈ Hs(Ω), равных нулю в шаре UR, индуцированная вложениями H� s(Ω \ UR) ⊂ Hs(Ω) и H� s(Ω \ UR) ⊂ Ms(Ω0), равносильны. Следствие 5.1.1. Пространство Hs(Ω) не всюду плотно в Ms(Ω0). Пусть χ χ∗ - две функции из множества X. Покажем, что порождаемые ими топологии равносильны. Пусть f ∈ T˚∞(Ω0) и 0 < R∗ < R < R0. Тогда K dk -k 2 , , k=0 l=1 n ±χRr fk,l±H˚s 2 +k-1 (0,2R) � ∞ dk ∞ dk R k � 2 , , ±χ∗ l r- k=0 l=1 f ±H˚ 2 k 2 k,l s n 2 +k-1(0,2R) +2 , , ±(χR k=0 l=1 ∗ - χR l )r- fk,l±H˚ n s 2 +k-1 (0,2R) . (5.1.4) Rl Так как χ и χ∗ принадлежат множеству X, то χR(r) = χ∗ (r) = 1 при r < R∗. Тогда Rl C˚∞ χR(r) - χ∗ (r) = 0 при 0 � r � R∗, а также и при r ;:? 2R. Следовательно, (χR Rl 1. - χ∗ (r))r-kf k,l ∈ + [0, 2R) и по теореме 2.2.2 вторая сумма справа в (5.1.4) оценивается нормой ±(χR - χ∗ l )f ±H˚s(U ) � c ±(χR(r) - χ∗ l )f ± s . Отсюда получаем / ∞ dk R 2R0 R H (Ω) ±f ± 2 s,R � c ±χ∗ l r-kfk,l± ˚ R , , 2 H s n k=0 l=1 2 l +k-1(0,2R ) 2 + ±(1 - χR)f ±Hs(Ω) R + ±(1 - χ∗ l 2 )f ±Hs(Ω) . (5.1.5) Rl Из монотонности функций χ и χ∗ и из условия R∗ < R следует, что 1 - χ∗ ;:? δ > 0 на носителе функции 1 - χR. Значит, функция (1 - χR Rl )/(1 - χ∗ ) ∈ C∞(Ω). Тогда имеет место оценка ±(1 - χR)f ±Hs(Ω) � c ±(1 - χ∗ l )f ± s . R Подставляя это соотношение в (5.1.5), окончательно получаем H (Ω) / ∞ dk ±f ± r-kfk,l± 2 2 2 s,R � c ±χ∗ l , , R k=0 l=1 2 n H˚s 2 +k-1 (0,2Rl) R + ±(1 - χ∗ l )f ±Hs(Ω) = c ±f ±s,Rl . Здесь слева стоит норма, порождаемая функцией χ, справа - функцией χ∗. Меняя местами χ и χ∗, получаем противоположную оценку. Следовательно, нами доказана Лемма 5.1.1. Топологии, порождаемые в пространстве Ms(Ω0) различными функциями из множества X, равносильны. 5.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 343 Лемма 5.1.2. Пространство Ms(Ω0) суть полное счётно-нормируемое топологическое пространство, то есть пространство Фреше. Доказательство. Рассмотрим счётное множество норм ±±s,R0/m, m = 1, 2 .... Пусть произвольное 0 1 2 m число R ∈ (0, R ). Тогда найдутся такие натуральные числа m и m , что R0 1 < R < R0 m2 . В таком случае по лемме 5.1.1 найдутся постоянные c1, c2 > 0 такие, что для любой функции f ∈ Ms(Ω0) справедлива оценка c2±f ±s,R0/m2 � ±f ±s,R � c1±f ±s,R0/m, которая и доказывает наше утверждение. Теорема 5.1.2. Пусть 0 � s1 < s2. Тогда пространство Ms1 (Ω0) непрерывно вложено в Ms2 (Ω0). Доказательство. Поскольку для любой функции g ∈ C˚∞[0, R) s1 ±g±H˚s1 (0,R) = ±D то s2 g±L2(0,R) � c (s1 - s2, R)±D √ g±L2(0,R) = c (s1 - s2, R)±g±H˚s2 (0,R), -k 2 ±χR r fk,l± ˚s π = n ±Sn (χ r-kf )± � n 2 + k H 1 2 +k-1 (0,2R) 2 2 +k-1 Γ ( n ) 2 +k-1 R k,l H˚s1 (0,R) n ±H˚ 2 � c (s1 - s2, R)±χR r-kfk,l 2 s 2 +k-1 (0,2R). Суммируя эти неравенства по k и l и замечая, что ±(1 - χR)f ±Hs1 (Ω) � ±(1 - χR)f ±Hs2 (Ω), получаем неравенство ±f ±s1,R � c ±f ±s2,R, в котором постоянная не зависит от функции f ∈ Ms2 (Ω0). Теорема доказана. Перейдем к изучению следов функций из Ms(Ω0) на границе области Ω0, которая состоит из точки 0 и поверхности ∂Ω. Отметим, что так как пространство Ms вне любой окрестности точки 0 устроено так же как и пространство Hs, то справедлива 2 ∂Ω Теорема 5.1.3. Пусть s > 1 . Тогда отображение f → f | 1 непрерывно действует из про- 1 странства Ms(Ω0) в Hs- 2 (∂Ω). Существует оператор, непрерывно отображающий Hs- 2 (∂Ω) в Ms(Ω0), такой, что f |∂Ω = g, где f - образ функции g при этом отображении. 5.1.2. Прямая и обратная теоремы о σ-следах (K-следах). Дадим определение следа в граничной точке 0 ∈ ∂Ω0. Легко увидеть, что каким бы большим не было s, обычного следа в точке 0 у функции f ∈ Ms(Ω0), вообще говоря, не существует. Поэтому мы вводим некоторое новое понятие следа, который носит в определенном смысле нелокальный характер. Обозначим через A(Θ) множество определенных на сфере Θ функций ψ (ϑ) , которые вещественно-аналитичны на Θ и для которых при каждом h ∈ (0, 1) конечны нормы 1 , , / ∞ dk 2 ±ψ±h = ±ψk,l± h , (5.1.6) k=0 l=1 2 -2k где через ψk,l обозначены коэффициенты разложения функции ψ по сферическим гармоникам Yk,l. Лемма 5.1.3. Пространство A(Θ) является полным счётно-нормируемым топологическим пространством. Доказательство. Докажем полноту. Пусть {ψm} ⊂ A(Θ) - фундаментальная последовательность. Тогда для любого h ∈ (0, 1) ±ψm1 - ψm2 ±h → 0 при m1, m2 → ∞. Поэтому для каждого h найдется такая функция gh(ϑ), что ±gh±h < ∞ и ±ψm - gh±h → 0 при m → ∞. Из [355, с. 496], следует, что функция gh аналитична на Θ. Так как ±ψ±h � ±ψ±hl , если h∗ < h, то из условия ±ghl - ψm±hl → 0 следует, что ±ghl - ψm±h → 0 при m → ∞. Следовательно, все функции gh 344 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ совпадают друг с другом. Эта единственная функция принадлежит, очевидно, пространству A(Θ) и является пределом последовательности {ψm} по любой норме (5.1.6). Полнота доказана. Рассмотрим счётное множество норм ±±1/m, m = 2, 3,.... Легко видеть, что определяемая ими топология равносильна исходной. Таким образом, пространство A(Θ) счётно-нормируемо. Лемма доказана. Отметим, что пространство A(Θ) состоит из тех вещественно-аналитических функций на сфере Θ, которые допускают гармоническое продолжение на всё пространство En. По заданной функции ψ ∈ A(Θ) такое продолжение определяется по формуле ∞ dk Ψ(r, ϑ) = , , rkψk,lYk,l(ϑ). k=0 l=1 Ясно, что функция Ψ гармоническая во всём пространстве En. Пусть функция f ∈ T˚∞(Ω0). Это означает, что при r < 2R0 имеет место формула K dk причём функция r-kχRfk,l ∈ C˚∞n f (r, ϑ) = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ), (5.1.7) k=0 l=1 (0, 2R), 0 < R < R0. Заметим, что сами функции fk,l(r) могут 2 +k-1 иметь особенность в точке r = 0. При r < R0 и n ;:? 3 определим операцию усреднения σ на классе функций T˚∞(Ω0) по формуле K dk σf (r, ϑ) = , , rn+k-2fk,l(r)Yk,l(ϑ). (5.1.8) k=0 l=1 Назовем σ-следом функции f ∈ T˚∞(Ω0) предел lim r→+0 σf (r, ϑ) = σf |0. Из условий на функцию f по теореме 2.1.3 следует, что её σ-след существует и равен функции K dk где ψ(ϑ) = , , ψk,l(r)Yk,l(ϑ), k=0 l=1 Ясно также, что ψ ∈ A(Θ). ψk,l = lim r→+0 rn+k-2fk,l(r). Дадим теперь другое, но эквивалентное прежнему, определение σ-следа, не использующее разложения по сферическим гармоникам. Пусть n ;:? 3, функции fk,l из (5.1.7) определяются по формуле r fk,l(r) = f (r, ϑ)Yk,l(ϑ) dϑ. Θ Подставляя это выражение в (5.1.8), находим ∞ dk r r ∞ dk σf (r, ϑ) = , , rn+k-2Yk,l(ϑ) k=0 l=1 Θ f (r, ϑ∗)Yk,l(ϑ∗) dϑ∗ = Θ f (r, ϑ∗) , , rn+k-2Yk,l(ϑ)Yk,l(ϑ∗) dϑ∗. k=0 l=1 Известно (см.например, [18]), что при r < 1 имеет место формула ∞ dk Γ ( n ) 1 - r2 , , rk Yk,l(ϑ)Yk,l(ϑ∗) = k=0 l=1 2 n 2π 2 |rϑ - ϑ∗|n = Kn (rϑ, ϑ∗), где функция Kn(x, y) называется ядром Пуассона для единичной сферы Θ. Следовательно, n-2 r ∗ ∗ ∗ r σf |0 = lim r →+0 f (r, ϑ )Kn(rϑ, ϑ ) dϑ . Θ 5.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 345 Это и есть искомое явное определение σ-следа. Для размерности n = 2 σ-след определяется несколько иначе. Пусть r > 0, |ϕ| < π - полярные координаты на плоскости. Вместо (5.1.8) в этом случае мы полагаем где σf (r, ϕ) = f0(r) ln r K + , rk (fk,1(r) cos(kϕ)+ fk,2(r) sin(kϕ)) , k=1 π 1 r f0(r) = 2π -π π f (r, ϕ) dϕ, 1 r fk,1(r) = π -π f (r, ϕ) cos(kϕ) dϕ, π Отсюда имеем 1 r fk,2(r) = 2π -π π f (r, ϕ) sin(kϕ) dϕ. σf (r, ϕ) = f0(r) 1 r + ln r π ∞ f (r, ϕ∗) , rk cos(k(ϕ - ϕ∗)) dϕ∗. -π Так как при r < 1 имеет место формула ∞ k=1 ∗ 2 - , rk cos(k(ϕ ϕ∗)) = r cos(ϕ - ϕ ) - r , 1 - 2r cos(ϕ - ϕ∗)+ r2 k=1 то, стало быть, σ-след при n = 2 можно определить и по формуле π r σf |0 = lim →+0 1 r 2π -π f (r, ϕ∗) 2r cos(ϕ - ϕ∗) - 2r2 1 - 2r cos(ϕ - ϕ∗)+ r2 1 + ln r dϕ∗. Распространим понятие σ-следа на функции f ∈ Ms(Ω0). Для любой функции f ∈ Ms(Ω0) существует последовательность функций fj ∈ T˚∞(Ω0), j = 1, 2,..., сходящихся к f при j → ∞ по топологии пространства Ms(Ω0). Для каждой функции fj σ-след, по доказанному, существует и принадлежит пространству A(Θ). Если последовательность ψj = σfj |0 сходится при j → ∞ к функции ψ ∈ A(Θ) по топологии пространства A(Θ), причём функция ψ не зависит от выбора последовательности fj, то она и называется σ-следом функции f. Имеет место следующая прямая теорема о σ-следах. Теорема 5.1.4. Пусть s ;:? 1, если n ;:? 3, и s ;:? 2, если n = 2. Тогда для каждой функции f ∈ Ms(Ω0) существует σ-след σf |0 ∈ A(Θ). При этом оператор f → σf |0 непрерывно отображает пространство Ms(Ω0) в A(Θ). Доказательство. Достаточно показать, что указанный оператор непрерывно отображает пространство T˚∞(Ω0) с индуцированной пространством Ms(Ω0) топологией в пространство A(Θ). Для этого необходимо доказать, что для любого h ∈ (0, 1) существует такое число R ∈ (0, R0) и такая постоянная c > 0, что для любой функции f ∈ T˚∞(Ω0) справедлива оценка ±σf |0±h � c ±f ±s,R. (5.1.9) Пусть fk,l - коэффициенты разложения функций f ∈ T˚∞(Ω0) по сферическим гармоникам Yk,l. Тогда функции r-kχRfk,l принадлежат пространству H˚s C˚∞n 2 +k-1 + (E1 ), а значит, и пространству 2 +k-1 n (0, 2R). ν По следствию 2.1.5 для любой функции g ∈ H˚s(0, 2R) справедлива оценка Hν (0,2R) | σν (r)g(r)|r=0 | � c (s, R)(4R)ν (ν + 1)-s±g± ˚s , 346 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ 1 если s ;:? 1, ν ;:? 0, s + ν > 1. Здесь σν (r) = r2ν при ν > 0 и σ0(r) = ln r -1 . Полагая в этом - неравенстве ν = n + k 1, g = χ 2 R r-kf k,l , получим | σn 2 +k-1 Далее, так как (r)r-kf k,l 1 (r)1 1r=0 | � c (s, n, R)(4R)k (k + 1)-s±χR r-kf k,l n +k-1(0,2R) ±H˚s . 2 2 +k-1 σf |0 = , , σn r-kf k,l (r)| r=0 Yk,l (ϑ), k l то для любого h ∈ (0, 1) из предыдущей оценки получаем ±σf |0±h = , , |σn r f (r)| | h � 2 -k 2 +k-1 k l k,l 2 r=0 -2k n 2 Hs � c (s, R, n) , ,(4R)2k (k + 1)-2sh-2k ±χR r-kfk,l± ˚ (0,2R) � k l 2 +k-1 � c (s, R, n) , , ±χR r-kfk,l± ˚ H s 2 , n +k-1(0,2R) k l 2 где положено R = 1 h. Теорема доказана. 4 Рассмотрим обратную теорему о σ-следах. Теорема 5.1.5. Для любой функции ψ ∈ A(Θ) существует функция f, принадлежащая пространствам Ms(Ω0) при всех s ;:? 0, для которой ψ является её σ-следом. При этом для любого R ∈ (0, R0) существует число h ∈ (0, 1) такое, что имеет место неравенство ±f ±s,R � c ±ψ±h (5.1.10) с постоянной c > 0, не зависимой от выбора функции ψ. Доказательство. Пусть функция ψ ∈ A(Θ) и ψk,l - её коэффициенты разложения в ряд по сферическим гармоникам. Функцию f, о которой говорится в теореме, определим по формуле ∞ dk f (r, ϑ) = , , r2-n-kψk,lYk,l(ϑ) (5.1.11) k=0 l=1 в случае, если n ;:? 3. Если же n = 2, то положим ∞ 2 f (r, ϑ) = ψ0 ln r + , , r-kψk,lYk,l(ϑ). (5.1.12) k=1 l=1 Отметим, что так как ψ ∈ A(Θ), то ряды (5.1.11) и (5.1.12) сходятся абсолютно и равномерно вне любого шара с центром в 0 к аналитической функции. По той же причине функция f будет даже гармонической во всём пространстве En за исключением точки 0. Покажем справедливость оценки (5.1.10). Пусть сначала s ;:? 2 чётное число. Тогда, используя свойства операторов преобразования (см. главу 2), получаем χR r 2-n-2k 2 n ± ± ˚ 2π s 2-n-2k 2 Hs 2 +k-1 (0,2R) � 2n+2k-1 Γ2 2 + k 2π ( n 2 )±D Sn +k-1 (χR r s )±L2 (0,2R) = 2 2-n-2k 2 = ( n )±Sn +k-1Bn +k-1(χRr )±L2(0,2R), (5.1.13) 2n+2k-1 Γ2 2 + k 2 2 где Sν - операторы преобразования из пункта 2.1.1. Применяя соотношение Дарбу-Вайнштейна в (5.1.13) получаем 2 2π s B ) 2 ±χR r2-n-2k ± ˚ S (r2-n-2k 2 χ ± . (5.1.14) n ( n Hs 2 +k-1 n n (0,2R) � 2n+2k-1 Γ2 2 + k)± 2 +k-1 2 +k-1 R L2(0,2R) 5.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 347 Так как функция χR(r) = 1 при 0 � r � R, то 2ν-1 ∂ 1-2ν ∂χR B-νχR(r) = r ∂r r ∂r = 0 s ν при тех же значениях r. Значит и B 2 - χR(r) = 0 при r � R, а также и при r ;:? 2R, поскольку s n +k 1 χR(r) = 0 при r ;:? 2R. Отсюда следует, что функция B 2 2 - χR бесконечно дифференцируема, s n имеет компактный носитель и обращается в нуль вблизи начала. Следовательно, B 2 2 +k-1 χR ∈ C˚∞ 1 + (E+). Тогда на основании леммы 2.1.6 из формулы (5.1.14) получаем r χR 2-n-2k 2 n ± ± ˚ r 2R 2 s 2 -k 2 3-n-2k (5.1.15) Hs 2 +k-1 (0,2R) � 2 R |B1- n χR(r)| r dr. Так как χ(t) ∈ C∞[1, 2], то имеет место оценка s s 1 1 |B 2 χ(t)| = 1 D2 + 1 - 2ν D χ(t)1 � c (s)(1 + ν) 2 1 2 1 s t -ν 1 t t 1 1 1 с постоянной c (s) > 0, не зависящей от ν. Отсюда и из (5.1.15) следует неравенство r χR 2-n-2k 2 n ± ± ˚ r 2 s 2 -k 4-s-n-2k 2 2 3-n -2k -2k s-1 Hs 2 +k-1 (0,2R) � 2R |B1- n χ(t)| t 1 dt � c(s, n, R) R (1 + k) . Таким образом, , , ±r ψk,lχR±H˚ 2-n-2k 2 s n (0,2R) � c 2 , , |ψk,l| R -2k (1 + k) s-1 (5.1.16) . (5.1.17) k l 2 +k-1 k l Оценим теперь выражение ±(1 - χR)f ±Hs(Ω). Обозначим через R диаметр области Ω. Тогда функция χR(r) = 1 на Ω и поэтому 2 2R ±(1 - χR)f ±Hs(Ω) = ±χR(1 - χR)f ±Hs(Ω) � ±χR(1 - χR)f ±H˚s(U ), где U2R - шар с центром в 0 радиуса 2R. Из теоремы 2.2.2 вытекает формула ∞ dk 2 , , 2 2R ±χR(1 - χR)f ±H˚s(U ) = k=0 l=1 n ±χR(1 - χR)fk,l±H˚s 2 +k-1,+ (0,2R) = ∞ dk (1 - χR)r2-n-2k ± ˚ H R s n = , , |ψk,l|2±χ 2 k=0 l=1 2 +k- = 1,+(0,2R) r s ∞ dk 2R = , , |ψk,l|2 k=0 l=1 R n | B 2 2 +k-1 (χR (1 - χR)r2-n-2k )|2r2k+n-1 dr = r s ∞ dk 2R = , , |ψk,l|2 |B 2 n (χ (1 - χR))|2r3-n-2k dr, k=0 l=1 1- 2 -k R R где мы еще раз использовали соотношение Дарбу-Вайнштейна. Нетрудно убедиться в справедливости следующей оценки: s max |B 2 n (χ (1 - χR))| � c (1 + k)s, r 1- 2 -k R 348 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ где постоянная c > 0 зависит от s, n, R, R, χ, но не зависит от k. Объединяя две последние формулы, получаем ∞ dk 2R ∞ dk 2R ±χR(1 - χR)f ±H˚s(U 2 2 ) � c , , k=0 l=1 r |ψk,l| (1 + k)s R 2 r3-n-2k dr � c ∗ , , k=0 l=1 |ψk,l| (1 + k) s-1 R-2k, (5.1.18) где постоянная c∗ > 0 не зависит от ψ. При h < min(1, R) из (5.1.17) и (5.1.18) теперь получаем ∞ dk ∞ dk ±f ±2 = , , ±χR r2-n-2kψk,l± + ±(1 - χ )f ±Hs (Ω) � c , , |ψ | h = c ±ψ± , s,R k=0 l=1 2 n H˚s 2 +k-1 (0,2R) 2 R k=0 l=1 2 k,l -2k 2 h где постоянная c > 0 не зависит от ψ. Таким образом, оценка (5.1.10) доказана при всех чётных s ;:? 2. При доказательстве теоремы 5.1.2 было установлено неравенство ±f ±sl,R � c±f ±s,R, справедливое при s∗ < s. Отсюда следует справедливость оценки (5.1.10) при всех s ;:? 0. Теорема доказана. В заключение этого раздела покажем, что вложение пространства Ms(Ω0) в Msl (Ω0) при s > s∗, непрерывность которого устанавливает теорема 5.1.2, не является вполне непрерывным. В самом деле, пусть V - произвольное ограниченное множество в пространстве A(Θ). По обратной теореме о σ-следах существует ограниченное множество W, принадлежащее как пространству Ms(Ω0), так и пространству Msl (Ω0), множество σ-следов функций из которого совпадает с V. Если указанный оператор вложения пространства Ms(Ω0) в Msl (Ω0) был бы вполне непрерывным, то множество W было бы относительно компактно в пространстве Msl (Ω0). Тогда по прямой теореме о σ-следах его образ (множество σ-следов функций из W ) был бы относительно компактным в пространстве A(Θ). Таким образом, любое ограниченное множество было бы относительно компактным в пространстве A(Θ). Но это возможно лишь в конечномерных пространствах, каковым A(Θ), очевидно, не является. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. 5.2. НОВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 1. Постановка краевой задачи и изолированные особые точки гармонических функций. Основной целью далее является изучение следующей краевой задачи. В области Ω0 рассмотрим уравнение Пуассона Δu = f (x), x ∈ Ω0. (5.2.1) Присоединим к этому уравнению краевое условие на ∂Ω0: u|∂Ω = g(x), x ∈ ∂Ω, (5.2.2) σu|0 = ψ(ϑ), ϑ ∈ Θ, (5.2.3) где через σu|0 обозначен, как и ранее, σ-след функции и в точке 0 ∈ ∂Ω0. Краевая задача (5.2.1)- (5.2.3) порождает оператор следующего вида: Λ : u → Λu = {Δu, u|∂Ω, σu|0}. 3 Снабдим пространство Ms = Ms(Ω0) × Hs+ 2 (∂Ω) × A(Θ) топологией прямого произведения. Из результатов предыдущего параграфа легко следует, что оператор Λ непрерывно отображает пространство Ms+2(Ω0) в Ms при любых s ;:? 0. Сформулируем основной результат этой главы. Теорема 5.2.1. Оператор Λ имеет обратный оператор Λ-1, непрерывно отображающий пространство Ms на пространство Ms+2(Ω0) при любых чётных s ;:? 0. Доказательство теоремы состоит из нескольких этапов. Сначала рассмотрим одно свойство особых точек гармонических функций, представляющее, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Оказывается, что σ-след полностью характеризует поведение сингулярной части гармонической функции в окрестности изолированной особой точки. Более точно это означает следующее. 5.2. НОВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 349 Лемма 5.2.1. Для гармонической в Ω0 функции u(x) существует σ-след в точке 0, который принадлежит пространству A(Θ). Обратно, для любой функции ψ ∈ A(Θ) существует единственная (с точностью до гармонической в окрестности 0 функции) гармоническая в Ω0 функция u(x), для которой σu|0 = ψ. Доказательство. Пусть u(x) - гармоническая в области Ω0 функция. Тогда (см., например, [355]) при n ;:? 3 имеет место разложение ∞ dk ∞ dk u(r, ϑ) = , , ak,lrk Yk,l(ϑ)+ , , bk,lr2-n-k Yk,l(ϑ) = u1 + u2, (5.2.4) k=0 l=1 k=0 l=1 где первый ряд сходится абсолютно и равномерно в любом шаре с центром в 0, лежащем вместе с замыканием в области Ω, а второй - вне любого шара с центром в точке 0. Тогда σ-след функции u1, очевидно, равен нулю. Для функции u2 при r > 0 имеем r ∞ dk r σu2(r, ϑ) = rn-2 Θ u2(r, ϑ∗)Knu2(rϑ, ϑ∗) dϑ∗ = , , bk,lr-k k=0 l=1 Θ Yk,l(ϑ∗)Kn(rϑ, ϑ∗) dϑ∗, где Kn(x, y) - ядро Пуассона для сферы Θ. Последний интеграл есть интеграл Пуассона. Он определяет гармоническую в единичном шаре функцию, которая на границе шара, то есть на сфере Θ, равна функции Yk,l(ϑ). Такой единственной функцией будет функция rk Yk,l(ϑ). Следовательно, ∞ dk σu2(r, ϑ) = , , bk,lYk,l(ϑ). k=0 l=1 Правая часть этого соотношения не зависит от переменной r. Поэтому у неё существует предел при r → +0, который по определению и является σ-следом. Следовательно, ∞ dk σu|0 = σu2|0 = , , bk,lYk,l(ϑ). (5.2.5) k=0 l=1 Далее, поскольку функция u2 гармонична во всём пространстве En за исключением точки 0 и так как bk,lr2-n-k является коэффициентами разложения функции u2 в ряд по сферическим гармоникам, то для любого r > 0 имеем формулу r bk,lr2-n-k = Θ u2(r, ϑ∗)Yk,l(ϑ)dϑ. Отсюда по неравенству Коши-Буняковского получаем оценку 1 ⎛r |bk,l|r2-n-k � ⎝ Θ ⎞ 2 |u2(r, ϑ)|2 dϑ⎠ . Таким образом, σu2|0 ∈ A(Θ). Первая часть леммы доказана. Для доказательства второй части предположим, что функция ψ ∈ A(Θ). Тогда имеет место формула ∞ dk ψ(ϑ) = , , ψk,lYk,l(ϑ), k=0 l=1 в которой коэффициенты ψk,l допускают оценку |ψk,l| � c hk , где h - любое положительное число и постоянная c зависит от h, но не зависит от параметров k и l. Среди функций вида (5.2.4) требуется найти такую функцию u, чтобы σu0|0 = ψ, σ-след функции u совпадал с σ-следом функции u2 и вычислялся по формуле (5.2.5). В силу однозначности разложений по сферическим гармоникам, в формуле (5.2.4) необходимо положить bk,l = ψk,l. Таким образом, мы показали, что искомая функция необходимо должна иметь следующий вид: ∞ dk u(r, ϑ) = u1(r, ϑ)+ , , ψk,lr2-n-k Yk,l(ϑ), k=0 l=1 350 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ где u1 - произвольная гармоническая в окрестности точки 0 функция. Для сферических гармоник хорошо известна оценка: n |Yk,l(ϑ)| � cn k 2 -1, k = 0, 1,... ; l = 1,..., dk. Отсюда вытекает, что функциональный ряд в предыдущей формуле сходится абсолютно и равномерно вне любого шара с центром в точке 0. Каждое слагаемое этого ряда представляет собой гармоническую функцию, поэтому и сумма ряда есть гармоническая вне точки 0 функция. Для случая n = 2 рассуждения вполне аналогичны с той лишь разницей, что в этом случае в разложении в ряд по сферическим гармоникам возникает одно логарифмическое слагаемое. Лемма доказана. Отметим, что в термина σ-следа можно дать классификацию изолированных особых точек гармонических функций. Так, если σu|0 = 0, то 0 является устранимой особой точкой. Если в разложении функции ψ = σu|0 в ряд по сферическим гармоникам содержится конечное число слагаемых, то функция u имеет особенность типа полюса. В противном случае u имеет особенность типа существенной особой точки. 3 Лемма 5.2.2. Пусть f ∈ Ms(Ω0), g ∈ Hs+ 2 (∂Ω), ψ ∈ A(Θ) и s ;:? 0. Тогда у краевой задачи (5.2.1)-(5.2.3) существует не более одного решения в пространстве Ms+2(Ω0). Доказательство. Решение краевой задачи Δv = 0, v|∂Ω = 0, σu|0 = 0 имеет в 0 устранимую особенность. Тогда v ∈ Hs+2(Ω) и однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение. 2. Существование и априорная оценка решения. В этом пункте будет завершено доказательство теоремы 5.2.1. Лемма 5.2.3. Пусть UR,0 = UR \ 0, где UR - шар в En радиуса R с центром в точке 0. Пусть s ;:? 0 чётное число, функция f ∈ Ms(UR,0) обращается в нуль вблизи границы шара UR. Тогда существует функция v ∈ Ms+2(UR,0) такая, что Δv = f (x), x ∈ UR,0, (5.2.6) σv|0 = 0. (5.2.7) При этом оператор f → v непрерывно действует из пространства Ms(UR,0) в пространство Ms+2(UR,0). Доказательство. Рассмотрим лишь случай n ;:? 3, поскольку для n = 2 рассуждения вполне аналогичны. Пусть сначала функция f ∈ T˚∞(UR,0). Напомним, что это означает, что имеет место разложение K dk f (r, ϑ) = , , fk,l(r)Yk,l(ϑ), (5.2.8) k=0 l=1 в котором K = K(f ) натуральное число, а функция r-kfk,l ∈ C˚∞n (0, R) (см. главу 2). Искомое решение v в этом случае имеет вид 2 +k-1 r r K dk R t v(r, ϑ) = - , , Yk,l(ϑ)rk k=0 l=1 r t1-2k-n 0 τn+k-1fk,l(τ ) dτdt. (5.2.9) ν Функции из C˚∞(0, R) имеют особенность в нуле не выше степенной порядка -2ν. Отсюда следует, что повторный интеграл в (5.2.9) есть величина O(r4-2k-n) и, следовательно, выполнено (5.2.7). Проверка (5.2.6) осуществляется прямым дифференцированием в (5.2.9). Покажем, что оператор f → v, определенный формулой (5.2.9), непрерывен в соответствующих топологиях. 5.2. НОВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 351 Обозначим через vk,l функцию вида Пусть 2R < R. Тогда vk,l = -rk R t r r t1-2k-n r 0 τn+k-1fk,l(τ ) dτdt. vk,l(r) = -rk R t r r t1-2k-n r 0 τn+k-1χR/4fk,l(τ ) dτdt - - rk R t r r t1-2k-n r 0 k,l τn+k-1(1 - χR/4)fk,l(τ ) dτdt = v1 + v 2 k,l. Введем функции vj, j = 1, 2 по формуле K dk k,l vj (r, ϑ) = , , vj (r)Yk,l(ϑ) k=0 l=1 и оценим в отдельности каждую из них. Рассмотрим сначала функцию v1(r, ϑ). По формуле Лейбница имеем ∂χR ∂r-kv1 +k-1 2 +k-1 Bn v r v + r v Bn χR r-k 1 k,l = χRBn 2 -k 1 k,l +2 ∂r k,l -k 1 ∂r k,l 2 +k-1χR . (5.2.10) Для первого слагаемого справа имеем следующую формулу: χRBn 2 +k-1 r v -k 1 k,l = χR r-kχ R/4 fk,l(r) = χ R/4 (r)r-kfk,l(r), R так как χRχR/4 = χR/4. Учитывая, что DχR(r) = 0 при 0 � r � R, а χR/4(r) = 0 при r ;:? второго слагаемого в (5.2.10) получаем выражение , для 2 ∂χR ∂(r-kv1 ) ∂χ R/2 r 2 ∂r ∂r k,l = 2 R r1-2k-n ∂r 0 τn+k-1χ R/4 fk,l dτ. (5.2.11) Из тех же соображений получаем представление третьего слагаемого k,lBn +k-1χR(r) = - r-kv1 2 R r B n 2 +k-1χR r t t1-2k-n r 0 τn+k-1 χR/4 fk,l (τ ) dτdt = = Bn χ r 2-2k-n R 2-2k-n - R/2 r τn+k-1χ f (τ ) dτ. (5.2.12) Учитывая, что 2 2 +k-1 R Bn 1 2 - 2k - n 0 -1 R/4 k,l r DχR + 2 - 2k - n 2 +k-1χR = n + 2k - 2 2 B1- n -k χR, из (5.2.10)-(5.2.12) находим Bn 2 +k-1 k,l χ R(r)r-kv1 = χ R/4 r-kfk,l- R/2 r 1 - n + 2k - 2 2 B 1- n -kχR r2-2k-n 0 τn+k-1 χR/4fk,l(τ ) dτ + 352 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ R2-2k-n 1 + Bn R/2 r τn+k-1χ f (τ ) dτ. (5.2.13) n + 2k - 2 2 +k-1χR 0 R/4 k,l Теперь в силу формулы (5.1.2) получаем следующую оценку функции v1: ±v1±s+2,R = , , ±χR r vk,l± ˚ + ±(1 - χ )v ±H (U ) � 2 -k 1 2 H s+2 n +k-1(0,2R) 1 2 R s+2 R k l 2 2 1 2 n Hs � 3 , , ±χR/4 r-kfk,l± ˚ (0,2R) +3 , , (n + 2k - 2)2 ±r2-2k-nB 2 1- n -k n χR±H˚s + 2 k l 2 +k-1 k l 1 R/2 12 +k-1(0,2R) + R4-4k-2n±Bn 2 1 1 r 1 n+k-1 1 1 2 n 2 +k-1χR±H˚s 2 +k-1 1 1 (0,2R) 1 τ 1 1 0 χR/4fk,l dτ 1 1 1 + ±(1 - χR)v 2 ±Hs+2 (UR) = R = 3Σ1 + 3Σ2 + ±(1 - χR)v1±Hs+2(U ). (5.2.14) Оценим каждое слагаемое справа в последней формуле. Слагаемое Σ1 допускает очевидную оценку ±s,R/4 Σ1 � ±f 2 . (5.2.15) - Рассмотрим интеграл, присутствующий во втором слагаемом. Введем обозначение ν = n + k 1, 2 ω(r) = χ R r-kfk,l. Тогда указанный интеграл примет вид 4 R/2 r R/2 r 1 ν ν- 1 Qν (ω, R) = 0 τ 2ν+1ω(τ ) dτ = 0 ν τ 2ν+1P 2 - Sν 2 ω dτ, 1 1 где P 2 -ν и Sν- 2 - операторы преобразования из пункта 2.1.1. Так как r-kf C∞ (0, R), то k,l ∈ n ˚ ν ν 2 +k-1 1 1 по определению класса C˚∞(0, R) функции Sν- 2 ω = Sν- 2 (χ r-kf ) принадлежит пространству ν ν- 1 ν ν R 1 k,l C˚∞[0, R). Пусть � = S ω и пусть ν < N + , где N - натуральное число. Тогда по определению 2 ω ν 2 операторов преобразования получаем 1 N -N √ 2(N -ν) N r∞ P 2 -νω(τ ) = (-1) 2 πτ 1 ∂ 1 τ 2ν (t2 τ 2)N -ν- 2 t-2N ω(t) dt. 2 ν � Γ(ν + 1) Γ(N - ν + 1 ) ∂τ τ - � τ Отсюда интегрированием по частям получаем (-1)N 2-N √π Qν = R/2 r R/2 r τ 2ν+1ω(τ ) dτ = 0 1 ∂ 1 N r∞ = 2 Γ(ν + 1) Γ(N - ν + 1 ) 0 τ 2ν+1 ∂τ τ - τ 2ν (t2 τ 2)N -ν- 2 t-2N ω(t) dtdτ = � τ √π Γ(N + 3 ) R/2 ∞ r r 1 = 2 2 Γ(ν + 1) Γ(N - ν + 1 ) 0 τ 2ν+1 τ - (t2 τ 2)N -ν- 2 t-2N ω(t) dtdτ = � 2 √π Γ(N + 3 ) = Γ(ν + 1) Γ(N - ν + 1 ) Γ( 3 ) R/2 t r r ω(t)t-2N � τ 2ν+1(t2 1 - τ 2)N -ν- 2 dτdt. 2 2 0 0 5.2. НОВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 353 Внутренний интеграл выражается через функции Эйлера: t r 1 Γ(ν + 1) Γ(N - ν + 1 ) τ 2ν+1(t2 - τ 2)N -ν- 2 dτ = t2N +1 2 0 Следовательно, R/2 r R/2 r ν- 1 2 2 Γ(N + 3 ) . Qν = 0 1 ν- 1 tω(t) dt = � 0 tSν 2 ω(t) dt. Далее, поскольку Sν = I 2 -ν Sν получаем 2 , где Iμ - лиувиллевский оператор, то из предыдущей формулы R/2 r 1 R/2 1 r R/2 r 3 Qν = 0 tIs+ν- 2 I-sSν ω(t) dt = 2 Γ (s + ν - 1 ) 0 t (τ - t)s+ν- 2 I-sSν ω(t) dτdt = t Так как = 1 2 Γ (s + ν - 1 ) R/2 τ ν r (I-sS ω(τ )) r 0 0 3 t(τ - t)s+ν- 2 dtdτ. τ r 3 1 Γ(s + ν - 1 ) 2 t(τ - t)s+ν- 2 dt = τs+ν+ 2 0 то R/2 2 Γ(s + ν + 3 ) , Qν = 1 r 2 Γ(s + ν + 3 ) 0 1 τs+ν+ 2 I-sSν ω(τ ) dτ. Теперь по неравенству Коши-Буняковского получаем оценку ⎛ R/2 1 r 2s+2ν+1 ⎞1/2 s | ν | Γ(s + ν + 3 ) Q � ⎜ τ ⎝ 2 0 Rs+ν+1 dt⎟ ⎠ ±D Sν ω±L2(0,R/2) = Rs+ν+1 Γ(ν + 1) = 3 ±Sν ω±H˚s(0,R/2) = √ 3 ω±H˚s (0,R/2). 2 2s+ν+ 2 √s + ν +1 Γ(s + ν + 3 ) 2s+1 s + ν +1 Γ(s + ν + 2 )± ν Из соотношения (2.1.77) для гамма-функций отсюда следует неравенство Hν (0,R/2) |Qν | � c(s, R)Rνν-1-s±ω± ˚s . Возвращаясь к старым обозначениям, выпишем полученную окончательную оценку интеграла Qν в следующем виде: |Qn (χ r-kf Rk , R)| � c(n, s, R) ±χ r-kf ± . (5.2.16) 2 +k-1 R/4 k,l n (k + 1)1+s R/4 k,l H˚s 2 +k-1 (0,R/2) Из результатов пункта 2.1.1 следует, что 2 2 2R r s +1 n ±Bn � 2±Bn 2 +k-1χR n ±H˚s 2 +k-1 (0,2R) 2 +k-1χR n ±H˚s 2 +k-1,+ (0,2R) = 2 0 n | B 2 2 +k-1 χR|2 r2( 2 +k-1)+1dr = 2 r = 2Rn+2k-s-2 0 s +1 n | B 2 2 +k-1 χ(t)|2 tn+2k-1 dt = c(s, n, k) R n+2k-s-2 � c(s, n) 22k Rn+2k-s-2 (k + 1) s+1, а при доказательстве теоремы 5.1.5 было получено неравенство ±r2-2k-nB1 n -2k s+1 n - 2 -kχR±H˚s 2 +k-1 (0,2R) � c(s, n, R) R (k + 1) . 354 ГЛАВА 5. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ Два последних неравенства с учётом (5.2.16) приводят к следующей оценке слагаемого из формулы (5.2.14): Σ2 � c , , R2k (k + 1)-4-2s R-2k (k + 1)s+1 + k l + R4-4k-2nRn+2k-s-2 22k (k + 1)s+1 ±χ R/4 r-kf ±H˚ 2 k,l s n 2 +k- . 1(0,R/2) Так как 2R < R, то мы приходим к окончательной оценке слагаемого Σ2: Σ2 � c , , ±χR/4 r-kfk,l± ˚ 2 H n s (0,R/2) 2 � c ±f ±s,R/4, (5.2.17) k l 2 +k-1 где постоянная c > 0 не зависит от f. Для завершения оценки функции v1 осталось рассмотреть последнее слагаемое в (5.2.14). Поскольку χR(r) = 1 в шаре UR, то ±(1 - χR)v1±Hs+2(U ) � c±χ (1 - χR)v1± ˚s+2 . (5.2.18) R R По аналогии с формулами (5.2.10)-(5.2.13) имеем Bn -k 1 H (U2R) 2 +k-1(χR(1 - χR)r vk,l) = R/2 1 = 2k + n - 2 B n 2 +k-1 (χR(1 - χR))R 2-2k-n 2 -k - B1- n R (χ (1 - χR )r2-2k-n r 0 τn+k-1 χR/4 fk,l dτ. Следовательно, 1 2 2 +k-1 , , |Qn 2 | 2 2k n s+2 2 2 ±χR(1 - χR)v ±H˚s+2(U ) � ±r - - B1 n (χ (1 - χR))±L2, n + - 2R (2k + n 2)2 k l s+2 - 2 -k R 2 +k-1 n ± + R4-4k-2n B 2 2 +k-1 R (χ 2 +k-1 (1 - χR))±L2, n . Нормы из последней суммы уже оценивались нами, в частности, при доказательстве теоремы 5.1.5. Откуда имеем 1 ±χR(1 - χR)v 2 2R ±H˚s+2(U ) � c , ,(k + 1)- s-1 ±χR/4 r-k ±H˚s fk,l 2 n 2 (0,R/2) � c ±f ±s,R/4. Следовательно, k l 2 +k-1 2 R ±(1 - χR)v1±Hs+2(U ) � c ±f ±s,R/4. (5.2.19) Стало быть, (см. (5.2.15), (5.2.17), (5.2.19)) нами доказана следующая оценка функции v1: ±v1±s+2,R � c ±f ±s,R/4, (5.2.20) постоянная c > 0 в которой не зависит от функции f. Рассмотрим функцию v2. Нетрудно заметить, что она принадлежит пространству Hs+2(UR) и является решением следующей краевой задачи: 1∂U R Δv2 = (1 - χR/4)f (x), x ∈ U , v21 = 0. R Причём так как f ∈ Ms(UR,0), то, очевидно, (1 - χR/4)f ∈ Hs(UR). Хорошо известно, что решение этой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона единственно и для него справедлива оценка R ±v2±Hs+2(U ) � c ±(1 - χR/4)f ±Hs(UR). Теперь из определения норм ±±s,R и из теоремы 5.1.1 получаем ±v2±s+2,R � c ±f ±s,R/4, (5.2.21) где постоянная не зависит от функции f. 5.2. НОВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 355 ∈ Таким образом, нами получены оценки каждого слагаемого разложения v = v1 + v2. Следовательно, для любого R 0, R и s ;:? 0 найдётся такая постоянная c > 0, что для любой функции 2 f ∈ T˚∞(UR,0) имеет место неравенство ±v±s+2,R � c ±f ±s,R/4. Завершим доказательство леммы предельным переходом. Пусть функция f ∈ Ms(UR,0) и удовлетворяет условию леммы. Тогда найдётся последовательность функций fm ∈ T˚∞(UR,0) сходящаяся к f по топологии этого пространства. Для каждой функции fm определим функции vm по формуле (5.2.9). Тогда Δvm = fm → f, m → ∞. (5.2.22) По доказанному, отображение fm → vm непрерывно действует из пространства Ms(UR,0) в Ms+2(UR,0). Тогда последовательность vm фундаментальна в Ms+2(UR,0). Отсюда, в силу полноты пространства Ms+2(UR,0) существует функция v ∈ Ms+2(UR,0), являющаяся пределом последовательности функций vm в смысле топологии этого пространства. Оператор Δ непрерывно отображает пространство Ms+2(UR,0) в Ms(UR,0). Поэтому Δvm → Δv, m → ∞, в смысле пространства Ms(UR). Тогда из (5.2.22) следует, что Δv = f. По прямой теореме о σ-следах имеем lim m→∞ 1 σvm1 10 = σv|0 , где предельный переход понимается в смысле пространства A(Θ). Поскольку σvm|0 = 0, то тогда и σv|0 = 0. Лемма 5.2.3 полностью доказана. Доказательство теоремы 5.2.1. Утверждение о единственности решения краевой задачи (5.2.1)- (5.2.3) установлено в лемме 5.2.2. Существование решения докажем следующим образом. Пусть R - диаметр области Ω и пусть функция u1 ∈ Ms+2(UR,0) является решением краевой задачи 0 (Δu1 = χR 11 f (x), x ∈ U R,0, (5.2.23) σu 10 = 0, построенном в лемме 5.2.1. Пусть функция u2 является решением краевой задачи 0 (Δu2 = (1 - χR )f (x), x ∈ Ω, u21 11 31 (5.2.24) 1∂Ω = g - u 1∂Ω - u 1∂Ω , где через u3 обозначена гармоническая в En \ 0 функция, построенная в теореме 5.1.5, такая, что σu 10 31 = ψ. Тогда функция u = u1 + u2 + u3 является решением краевой задачи (5.2.1)-(5.2.3). Функция u принадлежит пространству Ms+2(Ω0). Это следует из того, что u1 ∈ Ms+2(Ω0) по лемме 5.2.3, u3 ∈ Ms+2(Ω0) по теореме 5.1.5, u2 ∈ Hs+2(Ω) ⊂ Ms+2(Ω0) по общей теории эллиптических краевых задач (см., например, [184, 215]). Из этих результатов вытекает и непрерывность разрешающего оператора Λ-1. Теорема 5.2.1 доказана. 356 ГЛАВА 6. НОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ГЛАВА 6 КОМПОЗИЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПОЗИЦИОННОГО МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Исследованные ранее классы ОП строились каждый своими методами. Поэтому возникает необходимость в разработке общей схемы построения ОП. Такая схема - метод факторизации или композиционный метод (КМ) - предлагается в настоящей главе. Метод основан на представлении ОП в виде композиции интегральных преобразований. Композиционный метод даёт алгоритмы не только для построения новых ОП, но содержит как частные случаи ОП СПД, Векуа-Эрдейи- Лаундеса, Бушмана-Эрдейи различных типов, унитарные ОП Сонина-Катрахова и Пуассона- Катрахова, обобщённые операторы Эрдейи-Кобера, а также введённые Р. Кэрролом [445-447] классы эллиптических, гиперболических и параболических ОП. В этой главе вводятся их обобщения: классы B-эллиптических, B-гиперболических и B-параболических ОП. Композиционный метод построения операторов преобразования был разработан и последовательно развивался в работах С. М. Ситника [131, 132, 318, 319, 331, 332, 340, 341, 500, 625, 627, 628]. Отметим, что первоначальная идея, близкая к этому методу, была применена В. В. Катраховым для построения одного специального класса операторов преобразования, которые в этой книге названы операторами преобразования Сонина-Катрахова и Пуассона-Катрахова, см. главу 3. Для перевода на английский язык названия композиционного метода предложен такой вариант: Integral Transforms Composition Method (ITCM), см. [500]. В этом пункте приведены основные определения и небольшая часть результатов, которые могут быть получены с использованием КМ. Так как сами формулировки результатов достаточно громоздки, они приводятся без доказательств. Полное изложение композиционного метода с многочисленными примерами планируется в дальнейшем. Общая схема композиционного метода следующая. На вход подаётся пара операторов произвольного вида A, B, а также связанные с ними обобщённые преобразования Фурье FA, FB , которые обратимы и действуют по формулам FAA = g(t)FA, FBB = g(t)FB, (6.1.1) где t - двойственная переменная, g(t) - произвольная подходящая функция, самый очевидный выбор - это g(t) = -t2, как для классических интегральных преобразований. Целью композиционного метода является формальное построение на выходе пары взаимно обратных операторов преобразования P и S по следующим формулам: S = F -1 1 F , P = F -1w(t)F (6.1.2) B w(t) A A B с произвольной весовой функцией w(t). Тогда P и S являются взаимно обратными операторами преобразования, сплетающими исходные операторы A и B: SA = BS, PB = AP. (6.1.3) Формальная проверка получается прямой подстановкой. Основную трудность представляет вычисление введённых композиций в явном интегральном виде, а также нахождение соответствующих областей определений операторов. Перечислим основные достоинства композиционного метода. o Простота метода - многочисленные операторы преобразования строятся как из строительных блоков по простому правилу из элементарных кирпичиков: классических интегральных преобразований. o Метод позволяет построить единым способом все известные ранее в явном виде операторы преобразования. o Метод позволяет построить единым способом многие новые классы операторов преобразования. 6.1. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПОЗИЦИОННОГО МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 357 o Метод позволяет просто получать обратные преобразования в том же композиционном виде. o Метод позволяет выводить оценки норм прямых и обратных ОП, используя известные оценки норм для классических интегральных преобразований в различных функциональных пространствах. o КМ позволяет получать явные формулы, связывающие решения сплетаемых дифференциальных уравнений. Можно указать и один недостаток КМ: действие кирпичиков - интегральных преобразований - известно как правило в классических пространствах, а в применении к дифференциальным уравнениям или дифференциальным операторам для конкретных задач оценки и действие на функциях требуются на других классах, например с занулениями в начале координат или на бесконечности, или и там и там. В этих ситуациях КМ можно применять для получения явной формы ОП, а затем распространять его на нужные пространства. Подчеркнём, что формулы вида (6.1.1)-(6.1.2), разумеется, сами по себе не являются новыми ни для теории интегральных преобразований, ни для приложений к дифференциальным уравнениям. Но композиционный метод является новым для приложений в теории операторов преобразований ! В других задачах для интегральных преобразований и связанных с ними дифференциальных уравнений формулы композиционного метода (6.1.2) при выборе классического преобразования Фурье приводят к классу псевдодифференциальных операторов с символами w(t), 1 w(t) , см., например, [6, 270]. При выборе опять же в качестве интегрального преобразования классического преобразования Фурье A = B = D2, FA = FB = F и весовой функции w(t) = (±it)-s мы получаем дробные интегралы Римана-Лиувилля на всей действительной прямой, при выборе весовой функции w(t) = |t|-s получаются потенциалы М. Рисса, при выборе w(t) = (1 + t2)-s по формулам (6.1.2) получаются потенциалы Бесселя, а при w(t) = (1 ± it)-s - модифицированные потенциалы Бесселя, см. [306]. При выборе в качестве интегрального преобразования классического преобразования Ханкеля и весовых функций A = B = Bν, FA = FB = Hν, g(t) = -t2, w(t) = jν (st) (6.1.4) получаются операторы обобщённого сдвига (ООС) Дельсарта, см. [200-202, 239]; напомним обозначения для оператора Бесселя Bν, преобразования Ханкеля Hν, нормированной или «малой» функции Бесселя jν (·), см. вводную главу 1. Отметим, что в общем случае при выборе данных для композиционного метода A = B, FA = FB с произвольными весовыми функциями g(t), w(t) мы будем получать операторы преобразования, коммутирующие с данным оператором A, так же, как и ООС коммутирует с оператором Бесселя. Интересным вариантом приложения композиционного метода является выбор в качестве оператора A выражения для квантового осциллятора, а в качестве соответствующего интегрального преобразования FA выбор квадратичного преобразования Фурье (КПФ, дробное преобразование Фурье, преобразование Фурье-Френеля, преобразование Вейерштрасса), см. [1, 272, 593]. Это важное интегральное преобразование недостаточно широко известно (пока), оно возникло из предложения Френеля заменить стандартные плоские волны с линейными аргументами в экспонентах на более общие волны с квадратичными аргументами в экспонентах, что позволило полностью объяснить парадоксы со спектральными линиями при дифракции Фраунгофера. Математически операторы КПФ являются дробными степенями Fα обычного преобразования Фурье, достраивая его до полугруппы по параметру α, они были определены Н. Винером и А. Вейлем. В теории всплесков, в которой принято каждую формулу считать новой и называть по-новому давно известные вещи, КПФ называется преобразованием Габора. Интересные приложения этого интегрального преобразования к группе Гейзенберга, квантовым осцилляторам и всплескам недавно получены в [421]. Изложенный выше композиционный метод позволяет с помощью этого преобразования строить ОП для одномерного оператора Шрёдингера - квантового осциллятора [333, 625]. При этом может быть использовано и более общее квадратичное преобразование Ханкеля [343]. Применение композиционного метода вместо классических подходов позволяет также строить в явном интегральном виде различные формы дробных степеней оператора Бесселя, см. [325, 326, 358 ГЛАВА 6. КОМПОЗИЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 328, 329, 334, 348, 500, 622, 625]. Такое построение невозможно методами теории полугрупп или спектральными методами. Распространение композиционного метода на многомерный случай очевидно, при этом t является вектором, а g(t), w(t) в формулах (6.1.1)-(6.1.2) становятся вектор-функциями. К сожалению, в этом случае известны или могут быть введены явно лишь немногие классы ОП. Но к их числу относятся хорошо известные классы потенциалов. Например, в том случае, когда в композиционном методе используются классическое преобразование Фурье и в качестве весовой функции w(t) в (6.1.2) выбирается положительно определённая квадратичная форма, получаются эллиптические потенциалы М. Рисса [306, 602]; если w(t) - знаконеопределённая квадратичная форма, то получаются гиперболические потенциалы М. Рисса, [268, 306, 602]; при выборе w(x, t) = (|x|2 -it)-α/2 - параболические потенциалы [306]. При использовании в композиционном методе в формулах (6.1.1)-(6.1.2) преобразования Ханкеля и в качестве w(t) квадратичной формы мы приходим к эллиптическим [79, 218] или гиперболическим [617] B-потенциалам М. Рисса. В этих случаях применяется теория обобщённых функций и их свёрток, а для обращения таких потенциалов нужны специальные процедуры осреднения и аппроксимаций, см. [268, 617], а в качестве пространств используются пространства Шварца или Лизоркина пробных функций и двойственные пространства для распределений. Одним из важных применений композиционного метода являются формулы связи между решениями возмущённых и невозмущённых дифференциальных уравнений, которые удалось связать с помощью ОП. Например, для уравнений с операторами Бесселя вида n , Ak ∂2u νk + ∂u ± λ2u = 0, (6.1.5) k=1 k ∂x2 xk ∂xk xk > 0, Ak = const, νk = const, λ = const, композиционным методом устанавливаются формулы связи с решениями невозмущённого уравнения n , Ak k=1 ∂2v k ∂x2 ± λ2v = 0. (6.1.6) В частности, к этому классу соотношений относятся формулы связи решений для уравнений с операторами Бесселя с различными параметрами, они называются операторами сдвига по параметру [500]. В теории уравнений дробного порядка используется аналогичная идея, которая называется «принципом субординации», по существу состоящая в построении ОП, осуществляющих сдвиг по порядку уравнения, что, в частности, позволяет выразить решения уравнений дробного порядка через решения классических уравнений целого порядка, см., например, [428, 429, 489, 500, 599]. Таким образом, можно сделать вывод, что композиционный метод для построения операторов преобразования является эффективным, он связан с рядом других известных методов и задач, с его помощью получаются все известные в литературе явные представления для операторов преобразования, а также могут быть построены многочисленные новые классы операторов преобразования. Приложения алгоритма композиционного метода проводятся в три этапа или шага. o Шаг 1. Для данной пары операторов A, B и связанных с ними обобщённых преобразований Фурье FA, FB определяем и вычисляем пару взаимно обратных операторов преобразования P, S по основным формулам метода (6.1.1)-(6.1.2). o Шаг 2. Находим точные условия и определяем классы функций, для которых операторы преобразования, построенные на шаге 1, удовлетворяют сплетающим свойствам (6.1.3). o Шаг 3. Применяем корректно определённые на шагах 1 и 2 операторы преобразования на соответствующих пространствах функций к решению задач для дифференциальных уравнений, например, к установлению формул соответствия для решений возмущённых и невозмущённых дифференциальных уравнений. Далее на основе композиционного метода строятся гиперболические, эллиптические и параболические по Р. Кэрролу операторы преобразования, обобщённые операторы Эрдейи-Кобера и другие. Отметим, что в форме представления решений одних абстрактных уравнений через другие ОП указанных типов рассматривались в [183, 436-438]. В частности, применяя этот вариант 6.1. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПОЗИЦИОННОГО МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 359 метода ОП получены несколько необычные формулы, которые выражают решения волнового уравнения через решения уравнения теплопроводности и наоборот. Для случая абстрактного оператора Бесселя подобные формулы получены в [74]. Мы используем классификацию операторов преобразования, предложенную Р. Кэрролом и связанную с типом уравнения в частных производных, которому удовлетворяет ядро этого оператора. Мы также вводим по аналогии и используем естественные обобщения этих понятий: Bэллиптические, B-гиперболические и B-параболические операторы преобразования. При этом используются определения для соответствующих классов сингулярных уравнений в частных производных, которые были введены И. А. Киприяновым. Например, классические сплетающие операторы Сонина-Пуассона-Дельсарта по этой терминологии являются B-гиперболическими. 6.1.1. B-гиперболические операторы преобразования. Так будем называть операторы сдвига по параметру оператора Бесселя, удовлетворяющие соотношению TBν = BμT. (6.1.7) Будем искать такие операторы в факторизованном виде T (ϕ) -1 ν, μ = Fμ (ϕ(t)Fν ) . (6.1.8) 1 1 Если ν = - 2 или μ = - 2 , то такие операторы сводятся к уже изученным. Будем полагать ϕ(t) = tα, T (ϕ) = T (α). Теорема 6.1.1. Пусть выполнены условия -2 - 2 Re μ < Re α < Re(ν - μ). Тогда справедливо интегральное представление 2 x T (α) C1 r y2ν+1 α α y ν, μf (x) = x2μ+α+2 0 2F1 μ + + 1, + 1; ν + 1; 2 2 x2 f (y) dy + + C2 r∞ α y-2μ+2ν-α-12F1 μ + 2 x α + 1,μ - ν + 2 + 1; μ + 1; x2 y2 f (y) dy, (6.1.9) 2μ-ν+α+1Γ (μ + α + 1) 2μ-ν+α+1Γ (μ + α + 1) C1 = - Γ ( α ) 2 2 Γ (ν + 1) , C2 = 2 Γ (ν - μ - α ) 2 , Γ (μ + 1) где 2F1 - гипергеометрическая функция Гаусса. Рассмотрим несколько частных случаев оператора (6.1.9). а) Пусть α = -1 - 2μ + ν, Re ν > -1, Re μ > -1. Тогда T (-1-2μ+ν) ∞ 2 - -μ 1 r ν 2 μ μ x2 ν, μ f 2 (x) = 2 xμ y (y - x ) Pν 1 1 - 2 f (y) dy + 2 - 2 y2 x ( ν 1 ) x 2 μ x + 21-μeiμπ Γ μ + 2 + 2 1 r yν (x2 y2) 2 Qμ 2 1 f (y) dy. Γ (μ - ν + 1 ) xμ - 2 - 2 y2 - ν 1 2 2 0 б) Пусть α = 0; -1 < Re μ < Re ν. В этом случае получается замечательный оператор «спуска» по параметру, который не зависит от начального и конечного значений параметров ν, μ, а зависит лишь от величины «спуска» γ = ν - μ: T (0) ν, μf 21-(ν-μ) r∞ (x) = Γ(ν - μ) y(y2 - x2)ν-μ-1f (y) dy. x Этот оператор лишь числовым множителем отличается от дробного интеграла I-,x2 по функции g(x) = x2. В такой форме он был открыт А. Эрдейи, это частный случай операторов Эрдейи- Кобера или Дж. Лаундеса. 360 ГЛАВА 6. КОМПОЗИЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ в) Пусть α = 2ν, -1 < Re(ν + μ) < 0. Тогда r∞ T (2ν) sin(πμ) μ+ν+1 2ν+1 2 2 -μ-ν-1 ν, μ f (x) = 2 π Γ(ν + μ + 1) y x x (y - x ) f (y) dy- - sin(πν) μ+ν+1 r 2ν+1 2 2 -μ-ν-1 2 Γ(ν + μ + 1) y π 0 (x - y ) f (y) dy. г) Пусть μ = ν, -2 Re ν - 2 < Re α < 0. Тогда получаем семейство операторов перестановочных с Bν : T (α) 2α+ 2 2 e-i πα 1 r∞ ν+ 3 2 2 - α -1 α 2 +1 x2 + y2 ν, ν f (x) = √π Γ ( 1 α ) 1 y 2 |x - y | 2 Qν 1 2xy f (y) dy. - 2 - 2 xν+ 2 - 2 0 д) Пусть μ = -ν, 2 Re ν - 2 < Re α < Re 2ν. Тогда ( α ) r∞ x2 + y2 T (α) 2ν+α+1 Γ -ν + 2 +1 ν 2 2 ν- α -1 ν+1 ν ν,-νf (x) = 2- 2ν Γ ( α ) x - 2 |y - x | 2 y 0 2 Pν- α -1 |x2 - y2| f (y) dy. Другой подход к построению операторов сдвига по параметру заключается в следующем. Пусть по приведённым выше формулам построен оператор типа Сонина, для которого выбрано ϕ = ϕ1, и оператор типа Пуассона при значениях ν = μ, ϕ = ϕ2. Тогда их композиция T = PμSν и будет искомым оператором. При этом в случае, если одновременно выбраны или синус или косинус - преобразования Фурье, получится в точности конструкция (6.1.8), где ϕ = ϕ2 . Поэтому вопрос ϕ1 об ограниченности такого оператора в лебеговых пространствах со степенным весом Lp,γ (0, ∞) сводится к задаче о возможности деления в пространствах мультипликаторов. В случае если выбраны разные преобразования, мы приходим к следующей факторизации: 1 T (ϕ1,ϕ2) -1 -1 ν, μ = Fμ · ϕ2(t) · F(s1 · F(c1 ϕ (t) Fν. (6.1.10) c s 1 Несложно показать, что композиция преобразований Фурье сводится к так называемым преобразованиям Гильберта на полуоси r∞ (FsFcf )(x) = 0 r∞ (FcFsf )(x) = 0 x f (y) dy, x2 - y2 y f (y) dy, y2 - x2 (6.1.11) (6.1.12) где интеграл понимается в смысле главного значения, причём указанные преобразования, домноженные на нужные постоянные, унитарны в L2(0, ∞). Таким образом, в рассматриваемом случае оператор (6.1.10) факторизуется через два преобразования Фурье-Бесселя и одно из двухвесовых преобразований r∞ f (y) dy r∞ y f (y) (A1f )(x) = x ϕ2(x) 0 1 (x2 - y2) · ϕ (x) , (A2f )(x) = ϕ2(x) 0 1 ϕ (x) · (y2 - x2) dy. Вопрос об ограниченности (6.1.10) в этом случае сводится к задаче об оценках с двумя весами для полуосевых преобразований Гильберта в соответствующих пространствах. Другие классы B-гиперболических операторов преобразования можно построить, если использовать вместо преобразования Фурье-Бесселя Fν преобразование с функцией Неймана Yν (z) в ядре. Отметим, что операторы сдвига по параметрам для операторов Бесселя находят важные приложения в теории сингулярных дифференциальных уравнений, см. [500], а также работы Ш. Т. Каримова [108-110, 519]. 1. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПОЗИЦИОННОГО МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 361 1. B-эллиптические операторы преобразования. Эти операторы удовлетворяют соотношению TBν = -D2T. (6.1.13) Этот необычный класс ОП осуществляет связь между решениями B-эллиптических и Bгиперболических дифференциальных уравнений, выражая их решения друг через друга. Построение таких операторов основано на замене в предыдущих факторизациях синуси косинус-преобразований Фурье на преобразование Лапласа или на замене преобразования Фурье- Бесселя на одно из преобразований с функциями Макдональда и Неймана r∞ 1 (Kνf )(t) = tν 0 r∞ yν+1 Kν (ty)f (y) dy, (6.1.14) 1 (Yνf )(t) = tν 0 yν+1 Yν (ty)f (y) dy. (6.1.15) Возможно также использование преобразования с функцией Струве в ядре. Теорема 6.1.2. Пусть | Re ν| + Re(α + ν) < 1. Тогда оператор (Aαf ) (x) = F -1t-αKνf ν c является B-эллиптическим, удовлетворяющим соотношению (6.1.13). Для него справедливо интегральное представление (Aαf )(x) = πΓ(1 - α) α+ν-1 r∞ yν+1(x2 + y2) 2 × 2 ν 4 sin π (1 - α - 2ν) 0 г / x × P -ν / + P -ν - x  f (y) dy. -α-ν /x2 + y2 -α-ν /x2 + y2 Определим оператор, удовлетворяющий соотношению (6.1.13), по формуле ν (Cαf )(x) = L(t-αFνf ), где L - преобразование Лапласа. Теорема 6.1.3. Пусть Re α < 1. Тогда справедливо интегральное представление ∞ r α+ν-1 / x (Aαf )(x) = Γ(1 - α) yν+1(x2 + y2) 2 P -ν f (y) dy. ν -α-ν 0 /x2 + y2 Аналогичное представление при | Re ν| + Re(α + ν) < 1 справедливо и для оператора 2 r∞ / α+ν-1 x L(t-αYνf )(x) = - Γ(1 - α) yν+1(x2 + y2) 2 Q-ν f (y) dy. π -α-ν 0 /x2 + y2 Подобные формулы выведены и для более широкого класса B-эллиптических операторов преобразования, сплетающих Bν и (-Bμ) . Рассмотрим простейшие из введённых выше операторов Aα и Cα при значениях ν = ± 1 . Эти ν ν 2 операторы будут определяться по формулам ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Aβf (x) = ⎜F -1 tβ L⎟ f, Cβf (x) = ⎜Lt-β F ⎟ f, ⎜ ⎟ s ⎝ ⎠ c ⎝ s ⎠ c 362 ГЛАВА 6. КОМПОЗИЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ где L - преобразование Лапласа. Они сплетают D2 и -D2. В этом случае проще вычислить ядра интегральных операторов непосредственно. Это приводит к формулам 1 ∞ r ( 1 sin  y  Cβf (x) = 2 π Γ(1 - β) 0 f (y) 1-β (x2 + y2) 2 cos (1 - β) arctg x dy, Re β < 1+ δ, δ = 1 при выборе синуса, δ = 0 при выборе косинуса. 1 ∞ r ( 1 sin  x  Aβf (x) = 2 Γ(1 + β) π 0 f (y) 1+β (x2 + y2) 2 cos (1 + β) arctg y dy, где Re β > -δ - 1, δ определенно выше. В частности, при β = 0 получаем пару операторов преобразования, связанную с интегралами Пуассона для полупространства: (C0f ) (x) = 1 2 r∞ π 0 yf (y) x2 + y2 dy, (A0f ) (x) = 1 2 r∞ π 0 xf (y) x2 + y2 dy. Эти операторы и операторы Cβ, Aβ для частных значений β ∈ N построены в [445]. 2. B-параболические операторы преобразования. Этот необычный класс ОП позволяет выражать решения параболических уравнений через гиперболические и наоборот. Введем интегральные преобразования по формулам (F ∗ ) √ ( ) √ s cf (x) = (Fcf )( x), ⎛ F ∗f (x) = (Fsf )( ⎞ x), (s1⎠ (Pf ) (x) = ⎝Lϕ(t)F ∗ c (x). Тогда на финитных функциях оператор P сплетает вторую и первую производные по формулам PD2f = DPf. Таким образом, этот оператор является параболическим по терминологии Р. Кэррола. 3. Операторы сдвига по спектральному параметру типа Лаундеса. Операторы этого типа появились при установлении формул, выражающих решения уравнений Гельмгольца через гармонические функции. Их изучение, начатое в работах И. Н. Векуа и А. Эрдейи было продолжено в работах Дж. Лаундеса. Поэтому С. М. Ситником было предложено название для этого класса - «операторы преобразования Векуа-Эрдейи-Лаундеса», см. [318, 319, 330, 331, 345]. Подобные операторы также применялись к решению сингулярных дифференциальных уравнений в работах Ш. Т. Каримова, см., например, [519]. Рассмотрим оператор T1 = F -1 (ϕ(t)F ∗ ) , ν μ где введено преобразование с параметром λ r∞ μf (F ∗ ) 1 (t) = tν 0 yν+1 Jν (y /t2 + λ2)f (y) dy. Оператор T1 удовлетворяет соотношению T1Bμ = (Bν - λ2)T1. (6.1.16) μ Теорема 6.1.4. При условиях -1 < Re ν < Re μ и выборе ϕ(x) = xμ(x2 + λ2)- 2 справедливо интегральное представление (T1f ) (x) = λ1+ν-μ r∞ y(y2 - x2) 0 μ- ν -1 2 Jν -μ- 1(λ/y2 - x2)f (y) dy. 6.1. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПОЗИЦИОННОГО МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 363 μ Приведем ряд других операторов, получаемых в факторизованном виде. а) Пусть ν = 1, ϕ(x) = xμ-2(x2 + λ2) 2 . Тогда оператор T2 = F -1ϕ(t)F ∗ , удовлетворяющий соотношению 1 μ T2Bμ = (B1 - λ2) T2, при Re λ > 0, Re μ > -1 может быть представлен в виде 1 r∞ ν+1 2 2 1 r∞ μ / 2 2 (T2f )(x) = x2λ2 y 0 μ Jμ(λy)f (y) dy - x2λ2 x y(y o x ) 2 Jμ(λ y - x )f (y) dy. б) Пусть ϕ(x) = xμ(x 2 + λ2)2, Re λ > 0, и пусть T3 = F -1ϕF ∗ . Тогда если -1 < Re ν < - Re μ, то 2 sin(πμ) x μ+ν+1 r 2μ+1 2 ν μ 2 - μ+ν+1 / 2 2 (T3f )(x) = r∞ λ π μ+ν+1 y (x 0 o y ) 2 Kμ+ν+1(λ x - y )f (y) dy+ +λν+μ+1 x y2μ+1(y2 - x2)- 2 sin(πν)Yμ+ν+1(λ/y2 - x2) - cos(πν)Jν+μ+1(λ/y2 - x2) f (y) dy. 2 в) Пусть ϕ(x) = xμ-1/(x2 + λ2)(x2 + λ 2) μ . 2 1 Положим T4 = Y -1ϕF ∗ . Тогда если Re λ > 0, - < Re ν < 3+ Re μ, то справедливо соотношение ν μ (T4f )(x) = - λν-μ-1 μ 2- 2 2 Kν (λx) o xν ∞ μ r yμ+1J 0 λy √ f (y) dy. 2 Приведенные примеры демонстрируют важность свободы выбора функции ϕ. Аналогично осуществляется построение операторов T, удовлетворяющих соотношению TBμ = (Bμ + λ2) T. (6.1.17) Например, оператор вида μ T5 = (F ∗ )-1ϕFν для одной из функций ϕ является также оператором Дж. Лаундеса λν-μ+1 r∞ μ ν 1 (T4f )(x) = x2μ 0 - - 2 y2ν+1 (x2 · y ) 2 Jμ-ν-1(λ/y2 · x2)f (y) dy. Отметим, что соотношения (6.1.16)-(6.1.17) ввиду линейности входящих в них операторов могут быть переписаны в форме T1(Bμ + λ2) = Bν T, T (Bν - λ2) = BμT. Кроме того, во всех операторах можно обосновать замену λ → iλ. Соотношение для наиболее общих операторов преобразования вида T (Bν + α) = (Bμ + β)T (6.1.18) эквивалентно уже рассмотренным T (Bν + α - β) = BμT, (Bμ + β - α)T = TBν. Впрочем, операторы, для которых выполнены предыдущие соотношения, могут быть получены и непосредственно. Таким же образом строятся и B-эллиптические операторы типа Лаундеса, удовлетворяющие соотношению T (Bν + λ) = (-Bμ + β) T. - При выборе значений параметров ν = μ = 1 получаем операторы, сплетающие D2 2 и D2 2 ± λ . Укажем на возможность применения КМ при выборе в качестве интегрального преобразования квадратичного (дробного) преобразования Фурье или Ханкеля. Для этих целей наиболее 364 ГЛАВА 7. КОМПОЗИЦИОННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ интересны соотношения (1.3.69)-(1.3.70). По общей схеме КМ мы можем сконструировать ОП, сплетающие дифференциальные операторы D2 и sin2 α L 1 α - i sin α (XD + DX) - X2 cos2 , где 2 ν 2 1 2 ν2 - 1/4 2 1 2 ν +1 Lν = - 4 D - x2 + 4 x - 2 с произвольными параметрами α, ν. Для этого в наших обозначениях надо положить A = sin2 α L 1 α - i sin α (XD + DX) - X2 cos2 , B = D2, 2 ν 2 2 ν F (A) = Hα,F (B) = Fc, g(t) = -t2, ν где Hα - квадратичное преобразование Фурье-Френеля, Fc - косинус преобразование Фурье. Отметим, что КМ может быть также с успехом применён к построению дробных степеней оператора Бесселя. С его помощью может быть получено решение многих интегродифференциальных уравнений, см. [331, 341]. ГЛАВА 7 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ОЦЕНКАМ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЗАДАЧЕ Е. М. ЛАНДИСА 7.1. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ Рассматривается задача о построении интегральной формулы для решений дифференциального уравнения с определённой асимптотикой Bαg(x) - q(x)g(x) = λ2g(x), (7.1.1) где Bα - оператор Бесселя, который в данном пункте нам удобно определить в таком виде 2α Bαg = g∗∗(x)+ x g∗(x), α > 0. (7.1.2) Заметим, что в работе используются разные формы записи постоянных в операторе Бесселя в зависимости от решаемых задач, это объясняется более простыми формулами для записи получаемых результатов; это не должно привести к путанице, так как рассматриваемые задачи в разных местах работы не имеют пересечений. Данная задача решается методом операторов преобразования. Для этого достаточно построить пару взаимно обратных операторов преобразования, первый из которых Sα вида r∞ Sαh(x) = h(x)+ x сплетает операторы Bα - q(x) и Bα по формуле S(x, t)h(t) dt, (7.1.3) Sα(Bα - q(x))h = BαSαh, (7.1.4) а второй Pα, обратный к первому, должен быть построен в виде интегрального с ядром P (x, t) r∞ и действовать по формуле Pαh(x) = h(x)+ x P (x, t)h(t) dt (7.1.5) PαBαh = (Bα - q(x))Pαh 7.1. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 365 на функциях h ∈ C2(0, ∞). В результате на решениях дифференциального уравнения (7.1.1) функция Sαu = v будет выражаться через решения невозмущённого уравнения, получаемого отбрасыванием слагаемого с потенциалом в (7.1.1), то есть фактически через функции Бесселя, а функция u = Pαv будет являться решением исходного возмущённого уравнения (7.1.1). При этом для решения будет получено интегральное представление (7.1.5) с явным описанием ядра P (x, t). Эта методика отражает одно из основных применений ОП - выражение решений более сложных дифференциальных уравнений через подобные более простые, что уже несколько раз отмечалось ранее. Также заметим, что в силу использования линейных ОП одна и та же пара взаимно обратных ОП позволяет получить как представления решений дифференциального уравнения (7.1.1) со спектральным параметром, так и представление решений в более простом случае однородного уравнения Bαh(x) - q(x)h(x) = 0. При этом, если ставится задача о нахождении представления для решений возмущённого уравнения (7.1.1), то построение прямого оператора преобразования можно пропустить, а сразу перейти к построению обратного и нахождению интегрального представления для искомого решения вида (7.1.5). Оригинальная методика для решения подобных задач была разработана В. В. Сташевской [363, 364], что позволило ей включить в рассмотрение сингулярные потенциалы с предельно точной оценкой в нуле |q(x)| � cx-3/2+ε, ε > 0 при целых α. Эта методика, основанная на применении обобщённых теорем Пэли-Винера, получила широкое развитие и признание. Случай непрерывной q при α > 0 рассмотрен в работах А. С. Сохина [359-362], а также [52]. При этом в работах В. В. Сташевской и В. Я. Волка строились операторы преобразования типа Повзнера с интегрированием по конечному промежутку, а в работах А. С. Сохина - типа Левина с интегрированием по бесконечному промежутку. Далее автором предлагается новый модифицированный метод, позволяющий скомбинировать оба эти подхода. Среди многих работ по получению представлений решений для возмущённого уравнения Бесселя (7.1.1)-(7.1.2) отметим те, в которых решение ищется в виде рядов специального вида - это работы А. Фитоухи с соавторами [458, 499] и В. В. Кравченко с соавторами [444, 452, 551-560]. Критический разбор ряда результатов по этой задаче недавно проведён в [516]. Вместе с тем во многих математических и физических задачах необходимо рассматривать сильно сингулярные потенциалы, например, допускающие произвольную степенную особенность в нуле. В настоящей работе сформулированы результаты по интегральному представлению решений уравнений с подобными сингулярными потенциалами. От потенциала требуется лишь мажорируемость определенной функцией, суммируемой на бесконечности. В частности, к классу допустимых в данной работе относятся сингулярный потенциал q = x-2, сильно сингулярный потенциал со степенной особенностью q = x-2-ε, ε > 0, потенциалы Юкавы типа q = e-αx/x, потенциалы Баргмана и Батмана-Шадана [401] и ряд других. При этом на функцию q(x) не накладывается никаких дополнительных условий типа быстрой осцилляции в начале координат или знакопостоянства, что позволяет изучать притягивающие и отталкивающие потенциалы единым методом. Следует отметить, что в данной книге построены операторы преобразования специального вида, отличающиеся от ранее известных некоторыми деталями. До этого рассматривались лишь случаи одинаковых пределов (оба вида [0; a] или [a; ∞]) в основном интегральном уравнении для ядра оператора преобразования. В данной работе показано, что можно рассматривать случай различных пределов в основном интегральном уравнении. Именно такая расстановка пределов и позволила охватить более широкий класс потенциалов с особенностями в нуле. Кроме того, по сравнению с рассуждениями по образцу классической работы Б. М. Левитана [199] мы вносим усовершенствование в эту схему. Используемую в доказательствах функцию Грина как оказалось можно выразить не только через общую гипергеометрическую функцию Гаусса, но и более конкретно через функцию Лежандра, зависящую от меньшего числа параметров, что позволяет избавиться от неопределённых постоянных в оценках из предыдущих работ. Из-за ограниченности объёма книги в этом пункте приводятся только постановка задачи, сводка основных результатов и следствий без доказательств, подробное изложение см. в [133, 317, 320, 331, 335, 336]. 366 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 7.1.1. Решение основного интегрального уравнения для ядра оператора преобразования. Введем новые переменные и функции по формулам: t + x ξ = 2 , η = t - x 2 , ξ ;:? η > 0; K(x, t) = x α P (x, t), u(ξ, η) = K(ξ t - η, ξ + η). (7.1.6) Обозначим ν = α - 1. Таким образом, для обоснования представления (7.1.5) для решения уравнения (7.1.1) достаточно определить функцию u(ξ, η). Известно [359-362], что если существует дважды непрерывно дифференцируемое решение u(ξ, η) интегрального уравнения 1 u(ξ, η) = - 2 r r∞ r∞ η Rν (s, 0; ξ, η)q(s) ds - ds ξ ξ 0 q(s + τ )Rν (s, τ ; ξ, η)u(s, τ ) dτ, при условиях 0 < τ < η < ξ < s, то искомая функция P (x, t) определяется по формулам (7.1.6) через это решение u(ξ, η). Функция Rν = Rα-1 является функцией Римана, возникающей при решении некоторой задачи Гурса для сингулярного гиперболического уравнения ∂2u(ξ, η) ∂ξ∂η + 4α(α - 1)ξη (ξ2 - η2)2 u(ξ, η) = q(ξ + η)u(ξ, η). Эта функция известна в явном виде, см. [359-362], она выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса 2F1 по формуле s2 - η2 ξ2 - τ 2 ν s2 - ξ2 η2 - τ 2 (7.1.7) Rν = s2 - τ 2 · ξ2 - η2 2F1 -ν, -ν; 1; s2 - η2 · ξ2 - τ 2 . Это выражение упрощено в [133], где показано, что функция Римана в рассматриваемом случае выражается через функцию Лежандра по формуле 1+A η2 - τ 2 s2 - ξ2 (7.1.8) Rν (s, τ, ξ, η) = Pν 1 - A · , A = . ξ2 - τ 2 s2 - η2 Основное содержание этого пункта составляет Теорема 7.1.1. Пусть функция q(r) ∈ C1(0, ∞) удовлетворяет условию r∞ |q(s + τ )| � |p(s)|, ∀s, ∀τ, 0 < τ < s, ξ |p(t)| dt < ∞, ∀ξ > 0. (7.1.9) Тогда существует интегральное представление вида (7.1.5), ядро которого удовлетворяет оценке t α 1 r∞ y2(t2 + r2) (t2 r2) |P (r, t)| � r ⎡ 2 t+r 2 ∞ Pα-1 - - 2try2 |p(y)| dy× ⎤ × exp ⎢ t - r 1 r Pα-1 y2(t2 + r2) - (t2 - r2) |p(y)| dy⎥ . ⎣ 2 2 t+r 2 2try2 ⎦ При этом ядро оператора преобразования P (x, t), а также решение уравнения (7.1.1) являются дважды непрерывно дифференцируемыми на (0, ∞) функциями по своим аргументам. Перечислим классы потенциалов, для которых выполнены условия (7.1.9). Если |q(x)| монотонно убывает, то можно принять p(x) = |q(x)|. Для потенциалов с произвольной особенностью в начале 1 координат и возрастающих при 0 < x < M (например, кулоновских q = - x ), которые обрезаны нулём на бесконечности, q(x) = 0, x > M, можно принять p(x) = |q(M )|, x < M, p(x) = 0, x ;:? M. Условию (7.1.9) будут также удовлетворять потенциалы с оценкой q(x + τ ) � c|q(x)| = |p(x)|. На возможность подобного усиления теоремы 7.1.1 указал В. В. Катрахов. 7.1. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 367 В частности, приведенным условиям удовлетворяют следующие потенциалы, встречающиеся в приложениях: сильно сингулярный потенциал со степенной особенностью вида q(x) = x-2-ε, различные потенциалы Баргмана e-ax c2 c4 q1(x) = -(1 + βe-ax)2 , q2(x) = (1 + c x)2 , q3(x) = ch2(c x) , и Юкавы (см., например, [401]). q4(x) = - 3 e-ax r∞ , q5(x) = x x e-at 5 dc(t). Замечание 7.1.1. Фактически при доказательстве приведенной теоремы не требуется явный вид функции Римана (7.1.8). Используется только существование функции Римана, её положительность и некоторое специальное свойство монотонности. Эти факты являются довольно общими, поэтому полученные результаты можно распространить на достаточно широкий класс дифференциальных уравнений. Оценку из теоремы 7.1.1 для потенциалов общего вида можно преобразовать в более грубую, но зато и более обозримую. Теорема 7.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 7.1.1. Тогда для ядра оператора преобразования P (x, t) справедлива оценка 1 t α t2 + x2 r∞ ⎡ 1 t - x t 2 + x2 r∞ ⎤ |P (x, t)| � 2 x Pα-1 2tx |p(y)| dy exp ⎣ 2 x 2 Pα-1 2tx |p(y)| dy⎦ . x Отметим, что при x → 0 ядро интегрального представления может иметь экспоненциальную особенность. Для класса потенциалов со степенной сингулярностью вида q(x) = x-(2β+1), β > 0 (7.1.10) полученные оценки можно упростить, не снижая их точности. Ограничение на β вызвано условием суммируемости на бесконечности. Теорема 7.1.3. Рассмотрим потенциал вида (7.1.10). Тогда теорема 7.1.1 выполняется с оценкой t α Γ(β)4β-1 -β t2 + x2 г t - x Γ(β)4β-1 P -β t2 + x2 l |P (x, t)| � x (t2 - x2)β · Pα-1 2tx exp x (t2 - x2)β α-1 , 2tx ν где Pμ(·) - функция Лежандра, величина β определяется из (7.1.10), а величина α - из (7.1.2). Отметим, что данная оценка получается после довольно длинных вычислений с использованием знаменитой теоремы Слейтер-Маричева [229], которая помогает вычислить в терминах гипергеометрических функций необходимые интегралы после их сведения к свёртке Меллина. Простейшая подобная оценка была получена в работе [133] для потенциала q(x) = cx-2, для которого β = 1 . Как следует из [17], в этом случае функция Лежандра P - 1 ν 2 (z) может быть 2 выражена через элементарные функции. Поэтому и соответствующая оценка может быть выражена через элементарные функции. Другим потенциалом, для которого полученная оценка может быть ещё упрощена и выражена через элементарные функции, является потенциал вида q(x) = x-(2β+1), когда параметры связаны соотношением β = α - 1. Следствие 7.1.1. Пусть выполнено соотношение между параметрами β = α - 1. Тогда оценка из теоремы 7.1.3 принимает вид t β+1 2β-2 г t2 + x2 lβ г t - x 2β-2 г t2 + x2 lβ  |P (x, t)| � x β 2tx exp 2 = β 2tr 368 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1 1 = (t2 + x2)β exp г 2β-2 t - x t2 + x2 β  . (7.1.11) 4β x2β+1 β 2 2tx Отметим, что при α = 0 в формулах (7.1.1)-(7.1.5), теорема 7.1.1 сводится к известным оценкам для ядра интегрального представления решений Йоста для уравнения Штурма-Лиувилля. Изложенная техника полностью переносится и на задачу о построении неклассических операторов обобщённого сдвига. Эта задача по существу эквивалентна выражению решений уравнения Bα,xu(x, y) - q(x)u(x, y) = Bβ,yu(x, y) (7.1.12) через решения невозмущённого уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (в несингулярном случае - волнового) при наличии дополнительных условий, обеспечивающих корректность. Такие представления получаются уже из факта существования операторов преобразования и изучались для несингулярного случая (α = β = 0) в [198, 201, 202] как следствия теории обобщённого сдвига, см. также [239]. Интересная оригинальная методика для получения подобных представлений также в несингулярном случае разработана в работах А. В. Боровских [31, 32]. Из результатов настоящей работы следуют интегральные представления некоторого подкласса решений уравнения (7.1.12) в общем сингулярном случае для достаточно произвольных потенциалов с особенностями в начале координат. При этом оценки для решений не содержат никаких неопределенных постоянных, а для ядер интегральных представлений в явном виде выписываются интегральные уравнения, которым они удовлетворяют. 7.2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ЗАДАЧЕ Е. М. ЛАНДИСА В заметке Е. М. Ландиса [188] поставлена следующая задача: доказать, что решение стационарного уравнения Шрёдингера с ограниченным потенциалом Δu(x) - q(x)u(x) = 0, x ∈ Rn, |x| ;:? R0 > 0, (7.2.1) |q(x)| � λ2, λ > 0, u(x) ∈ C2 (|x| ;:? R0) , удовлетворяющее оценке вида тождественно равно нулю. |u(x)| � const · e-(λ+ε)|x|, ε > 0, В. З. Мешковым в известных работах [244, 245] был дан отрицательный ответ на данный вопрос. При этом было доказано существование контрпримеров с решениями, которые являются комплексными функциями. Более того, было показано, что если усилить оценку в гипотезе Е. М. Ландиса до следующей: 4/3 |u(x)| � const · e-(λ+ε)|x| , ε > 0, то ответ будет положительным - таких ненулевых решений не существует. В последнее время интерес к этим результатам не пропал, тематика, связанная с гипотезой Е. М. Ландиса и результатами В. З. Мешкова, активно развивается, причём в том числе и ведущими математиками в области дифференциальных уравнений - Ж. Бургейном, К. Кёнигом и рядом других, см. [433, 467, 531, 532, 607]. Основным вопросом остаётся исследование гипотезы Е. М. Ландиса для действительных решений, причём ответ на этот вопрос до сих пор не удалось получить. В связи с вышеизложенным представляется обоснованным название задача Ландиса-Мешкова в следующей формулировке. Задача Ландиса-Мешкова. Верно ли, что для заданных области D и положительных функций r(x), s(x) только нулевое классическое решение стационарного уравнения Шрёдингера Δu(x) - q(x)u(x) = 0, x ∈ Rn, |q(x)| � r(x), (7.2.2) удовлетворяет оценке |u(x)| � s(x)? (7.2.3) Из результатов В. З. Мешкова следует отрицательный ответ в этой задаче в случае комплексных решений, D - внешность некоторого круга, q(x) = λ2, s(x) = e-(λ+ε)|x|, ε > 0, и положительный ответ в этой задаче в случае комплексных решений, D - внешность некоторого круга, q(x) = λ2, 7.2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ЗАДАЧЕ Е. М. ЛАНДИСА 369 4/3 s(x) = e-(λ+ε)|x| неизвестны. , ε > 0. Для действительных решений даже в этих частных случаях ответы Далее мы показываем, что несмотря на общее отрицательной решение В. З. Мешкова для первоначальной формулировки задачи Е. М. Ландиса, тем не менее для некоторых классов потенциалов проблема решается положительно, причём для действительных решений. При этом используется метод операторов преобразования специального вида [310, 311, 316]. Далее эта задача решена для случая потенциала, зависящего только от одной переменной: q(x) = q(xi), где 1 � i � n; далее для определённости считается, что i = 1. Для этого случая в работе доказано обобщение утверждения (7.2.1) для уравнения Δu - q(x1)u = 0, (7.2.4) в котором потенциал q(x1) ограничен произвольной неубывающей функцией. Решение основано на использовании операторов преобразования, сводящих уравнение (7.2.4) к уравнению Лапласа. 1. Условия задачи (7.2.1) выполнены в полупространстве x1 ;:? R0 и инвариантны относительно замены переменных z = x1 - R0. Поэтому мы будем рассматривать задачу (7.2.1) в полупространстве z ;:? 0 или, сохраняя для переменной x1 прежнее обозначение, x1 ;:? 0. Будет доказано, что решение задачи (7.2.1) равно нулю в полупространстве x1 ;:? 0, а тогда в силу теоремы Кальдерона о единственности продолжения (см. [248, гл. 6, с. 14]) такое решение тождественно равно нулю во всём пространстве Rn. Обозначим через T (δ) множество функций, удовлетворяющих в полупространстве Rn n + = {x ∈ R , x1 ;:? 0} следующим условиям (7.2.5)-(7.2.7): + u(x) ∈ C2 (Rn ) , (7.2.5) |u(x)| � c1 e-δ|x|, δ > 0, (7.2.6) 1 1 ∂u 1 1 1 1 � c2 e-δ|x|. (7.2.7) 1 ∂x1 1 Построим для функций из T (λ + ε) оператор преобразования вида (см. [310, 311, 316]) r∞ чтобы выполнялось равенство Su(x) = u(x)+ x1 K(x1, t)u(t, x1) dt, (7.2.8) ∂2u 1 S ∂x2 · q(x1)u ∂2 1 = ∂x2 Su, |q(x1)| � λ2, (7.2.9) где, как обычно, через (x1, x1) обозначено (x1, x2,..., xn). Подстановка выражения (7.2.8) в формулу (7.2.9) приводит к равенствам ∂2K ∂t2 - ∂2K 1 ∂x2 = q(t)K, (7.2.10) 3 ∂K(x1,x1) ∂x1 = q(x1), (7.2.11) lim K(x1, t) t→∞ ∂u(t, x1) ∂t - lim t→∞ ∂K(x1,t) ∂t u(t, x1) = 0. (7.2.12) Выполняя стандартную замену переменных w = t + x1 , v = t-x1 , мы сводим систему (7.2.10)- 2 2 (7.2.11) к более простой (выполнение условия (7.2.12) на решениях задачи (7.2.1) будет показано позже) ∂2K ∂w∂v = q(w + v)K, (7.2.13) w 1 r K(w, 0) = 3 0 q(s) ds, (7.2.14) 370 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ которая, в свою очередь, является следствием одного интегрального уравнения w 1 r K(w, v) = 3 w v r r q(s) ds + dα q(α + β)K(α, β) dβ, |q| � λ2, w ;:? v ;:? 0. (7.2.15) 0 0 0 Уравнение (7.2.15) отличается от обычно используемого при рассмотрении операторов преобразования на бесконечном интервале интегрального уравнения изменением области интегрирования с полуоси (w, ∞) на отрезок (0, w) , что влечёт экспоненциальный рост ядра K (x1, t) . Далее доказывается, что такое ядро существует и оператор преобразования с таким ядром (7.2.8) определён на множестве T (λ + ε) . Возможность сведения задачи (7.2.10)-(7.2.12) к неэквивалентным интегральным уравнениям вытекает из недоопределённости задачи Коши (7.2.13)-(7.2.14). Следует отметить, что интегральное уравнение (7.2.15) должно быть решено в более широкой области без ограничений w ;:? v, иначе не будет определено ядро под знаками интегралов. Доказательство существования решения в этой более широкой области проводится так же, как приведённое ниже доказательство. На этот нюанс при доказательстве существования решения интегрального уравнения (7.2.15) обычно не обращают внимания (замечание А. В. Боровских). Лемма 7.2.1. Существует единственное непрерывное решение уравнения (7.2.15), удовлетворяющее неравенству λ 1 w √ ) |K(w, v)| � 3 I1 (2λ v wv , (7.2.16) где I1(x) - модифицированная функция Бесселя. При этом на допустимом потенциале q(x1) ≡ λ2 в (7.2.16) достигается знак равенства. Замечание 7.2.1. В дальнейшем символом c обозначаются абсолютные положительные постоянные, величина которых не играет роли. Доказательство. Введём обозначения w 1 r K0(w, v) = 3 0 q(s) ds, w v r r PK(w, v) = dα 0 0 q(α + β)K(α + β) dβ. Тогда уравнение (7.2.15) запишется в виде K = K0 + PK. Будем искать его решение в виде ряда Неймана K = K0 + P K0 + P 2K0 + ... (7.2.17) Для слагаемых ряда (7.2.17) с учётом условия |q(x1)| � λ2 получаем 1 |PnK0(w0v)| � λ2 ( )n+1 wn+1 n v , n = 0, 1, 2,... (7.2.18) 3 (n + 1)! n! Отсюда вытекает неравенство (7.2.16), если использовать представление функции I1(x) в виде ряда ∞ (x/2)2k+1 I1(x) = , . k!(k + 1)! k=0 Оценка (7.2.16) является точной, так как при q(x1) ≡ λ2, неравенства (7.2.18) превращаются в равенства для всех целых n ;:? 0. Лемма доказана. Лемма 7.2.2. В терминах переменных x1, t справедлива оценка |K(x1, t)| � ct eλt. 7.2. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ЗАДАЧЕ Е. М. ЛАНДИСА 371 Доказательство. Рассмотрим неравенство 1 1 1 1 1 1 I1(x)1 � c ex, x ;:? 0, x 1 1 для проверки истинности которого надо разобрать случаи а) x ;:? 1, б) 0 � x � 1 и использовать известную асимптотику функции I1(x) при x → ∞ и x → +0 (см. [18]). Отсюда с помощью очевидных неравенств x1 + t √ 2 2 2 � t, 2 wv = t - x1 � t из оценки (7.2.16) следует утверждение леммы. Из леммы следует, что выражение (7.2.8) определено на функциях из T (λ + ε) . Покажем, что выражение (7.2.8) в действительности задаёт оператор преобразования на T (λ + ε) . Для этого осталось проверить соотношение (7.2.12). Из того, что u(x) ∈ T (λ + ε) и из леммы вытекает равенство lim K(x1, t) t→∞ ∂u(t, x1) ∂t = 0. Поэтому осталось доказать, что если u(x) ∈ T (λ + ε) , то ∂K(x1,t) lim t→∞ ∂t Последнее соотношение следует из оценки u(x1, t) = 0. 1 1 ∂K(x1,t) 1 1 1 1 ∂t 1 � ct eλt. (7.2.19) 1 Для доказательства неравенства (7.2.19) нужно перейти к переменным w, v и с использовани- ∂K ем уже установленных оценок для ядра K(x1, t) оценить производные ∂w , уравнение (7.2.15). Так как ∂K ,дифференцируя ∂v ∂K 1 ∂K = ∂K + , то мы придём к (7.2.19). ∂t 2 ∂w ∂v 1. Покажем, что любое решение задачи (7.2.1) принадлежит T (λ + ε) и, следовательно, на таких решениях определён оператор (7.2.8). Для этого необходимо проверить выполнение условия (7.2.7). Лемма 7.2.3. Пусть функция u(x) ∈ C2 (|x| ;:? R0) есть решение задачи (7.2.1). Тогда найдётся такая постоянная c > 0, что 1 1 ∂u 1 1 1 1 � c e-(λ+ε)|x|. 1 ∂x1 1 Доказательство. В силу априорных оценок Шаудера, в замкнутом шаре B(x, 1) единичного радиуса с центром в точке x, |x| ;:? R0 + 1, имеем (см. [247, теорема 33, II]) 1 λ1 где обозначено u1 � c u1,λ1 1+λ1 · u0 λ1+1 + u0 , u0 = ±u(x)±C0(B(x,1)), u1 = ±u(x)±C1(B(x,1)); u1,λ1 есть сумма коэффициентов Гёльдера функции u(x) и её производных первого порядка 1 � i � n. Отсюда следует, что ∂u , ∂xi 1 ∂u(x) 1 λ1 1 1 1 1 � c 1 u1,λ1 1+λ1 · u0 λ1+1 + u0 . (7.2.20) 1 ∂x1 1 Отметим, что так как выполнены все условия [247, утверждение 33, V], то константа c в формуле (7.2.20) не зависит от x. 372 ГЛАВА 7. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Из результатов Морри (см. [248, теорема 39, IV]) вытекает оценка для величины u1,λ1 u1,λ1 � c r u±L2(B(x,1)) l L2(B(x,1)) ± + ±q u± , (7.2.21) причём постоянная в (7.2.21) по-прежнему не зависит от x. Из условий задачи |q(x1)| � λ2, следовательно, с помощью теоремы о среднем получаем из (7.2.21) ⎛ r ⎝ u1,λ1 � c ⎜ |u(y)|2 ⎞1/2 dy⎟ ⎠ � c1 e-(λ+ε)|x|. B(x,1) Подставляя последнее неравенство в (7.2.20), получаем 1 λ 1 ∂u 1 г l 1 1 1 1 � c e-(λ+ε)|x| 1+λ + 1+λ + e -(λ+ε)|x| � c e-(λ+ε)|x|. 1 ∂x1 1 Таким образом, требуемое неравенство установлено для |x1| ;:? R0 + 1. Так как множество R0 � |x| � R0 + 1 является компактом в Rn, то это неравенство справедливо и при |x| ;:? R0. Лемма 7.2.3 доказана. Выполняя опять замену координат z = x1 - R0, получаем, что лемма 7.2.3 справедлива в полупространстве x1 ;:? 0 (мы переобозначим z через x1). 2. Применим к уравнению (7.2.4) оператор S. Из тождества (7.2.9) и перестановочности S с 2 производными ∂ u , 2 � i � n, получаем, что в полупространстве Rn i ∂x2 + S (Δu - q(x1)u) = ΔSu = 0. + Обозначим функцию Su через v. Из (7.2.8), (7.2.15) следует, что если u(x) ∈ C2 (Rn ) , q(x) ∈ + C (Rn ) , то v(x) ∈ C2 R ( n ) + + . Покажем, что v(x) экспоненциально убывает в Rn при |x| → ∞ и, следовательно, равна нулю. + Лемма 7.2.4. Пусть u(x) ∈ T (λ + ε) . Тогда для x ∈ Rn |v| = |Su| � c |x| e-ε|x|, ε > 0. Доказательство. Из представления (7.2.8) и леммы 7.2.3 получаем r∞ √ ⎛ r∞ √ ⎞ 2 1 2 2 1 2 |Su| � |u(x)| + x1 t eλtc e-(λ+ε) t +|x | dt � c ⎝e-(λ+ε)|x| + x1 t e-(λ+ε) t +|x | dt⎠ . Вычисляя интеграл с помощью замены переменных по формуле y = /t2 + |x1|2 с последующим интегрированием по частям, получаем требуемую оценку. Лемма доказана. + Итак, v(x) = 0 в Rn . Определим на T (λ + ε) обратный к S оператор P по формуле r∞ Pu(x) = u(x)+ x1 N (x1, t)u(t, x1) dt. Тогда для ядра N (x1, t) справедливы утверждения лемм 7.2.1-7.2.3. Кроме того, если Su ∈ T (λ + ε) , то PSu(x) = u(x). (7.2.22) + Так как, очевидно, 0 ∈ T (λ + ε) , то применяя (7.2.22) к обеим частям установленного в Rn равенства + Su = 0, получим u = 0 в Rn . Выше было показано, что это влечёт u ≡ 0 во всём Rn. + Замечание 7.2.2. Переход к полупространству Rn использовался при доказательстве потому, что выражение (7.2.8) не определено в области, получаемой пересечением шара |x| � R0 и бесконечного полуцилиндра {|x1| � R0, |x1| � R0}. Итак, доказана БЛАГОДАРНОСТИ 373 Теорема 7.2.1. Любое решение u(x) ∈ C2 (|x| > R0) стационарного уравнения Шрёдингера с ограниченным потенциалом Δu(x) - q(x1)u = 0, x ∈ Rn, |x| ;:? R0 > 0, q(x1) ∈ C (|x| ;:? R0) , |q(x1)| � λ2, λ > 0, удовлетворяющее оценке есть тождественный нуль. |u(x)| � const e-(λ+ε)|x|, ε > 0, 3. Использованная техника операторов преобразования позволяет усилить полученный результат. Будем обозначать через L2, loc (x1 ;:? R0) множество функций, для которых при любом x1 ;:? R0 x1 конечен интеграл Г∞ Г ψ2(s) ds. Пусть далее, задана неотрицательная функция g(x), для которой R0 интеграл x1 t g(t, x1) dt = p(x) конечен при любом x1 ;:? R0 и для некоторой постоянной α > 0 |p(x)| � c · exp -α|x|δ , δ > 0. Тогда по схеме доказательства предыдущей теоремы может быть установлена Теорема 7.2.2. Пусть ψ(x1) ∈ L2, loc (x1 ;:? R0) , ψ(x1) - неубывающая функция, функция g(x) удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Тогда любое решение уравнения Δu(x) - q(x1)u = 0, x ∈ Rn, |x| ;:? R0 > 0, |q(x1)| � ψ2(x1), для которого выполнено неравенство ψ(x1)|u(x)| � const e-ψ(x1)|x|g(x), g(x) ;:? 0, есть тождественный нуль. В условиях теоремы 7.2.1 нужно положить g(x) = e-ε|x|. Примером другой допустимой g(x) является функция g(x) = exp (-ε|x|δ ) , 0 < δ < 1. Этот случай является также примером обобщённой задачи Ландиса-Мешкова (7.2.2)-(7.2.3). По аналогичной схеме может быть также рассмотрен случай потенциала, зависящего только от радиальной переменной. Ответ в первоначальной формулировке задачи Е. М. Ландиса здесь тоже положительный, после перехода к сферическим координатам нужно использовать операторы преобразования для возмущённого оператора Бесселя, подобные тем, что были рассмотрены в предыдущем пункте этой книги, см. [310, 311, 316]. Возможно рассмотрение обобщений задачи Е. М. Ландиса на случай более общих дифференциальных уравнений и соответствующих оценок роста решений. Например, представляет интерес исследование поставленных вопросов для нелинейного уравнения p-Лапласиана [482, 563] (эта задача возникла во время обсуждения доклада автора на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ с проф. А. А. Коньковым).

Об авторах

Валерий Вячеславович Катрахов

Воронеж, Владивосток

Сергей Михайлович Ситник

Белгородский государственный национальный исследовательский университет («БелГУ»)

Email: sitnik@bsu.edu.ru
308015, г. Белгород, ул. Победы, д. 85

Список литературы