Равномерная базисность системы корневых векторов оператора Дирака

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим оператор Дирака, порожденный в пространстве H = L2[0, π] ⊕ L2[0, π] Э y дифференциальным выражением -i 0 RP (y) = By× + P y, где (1.1) p1(x) p2(x) , y(x) = y1(x) . B = 0 i , P (x) = p3(x) p4(x) y2(x) Функции pj, j = 1, 2, 3, 4, предполагаются суммируемыми на отрезке [0, π] и комплекснозначными. Следуя классическому пути, можно определить минимальный оператор LP,m на области D(LP,m) = {y ∈ W 1[0, π] : RP (y) ∈ H, y(0) = y(π) = 0}. Здесь W 1[0, π] - пространство Соболева 1 1 функций с суммируемой по Лебегу первой производной (в данном случае оно совпадает с пространством абсолютно непрерывных функций). Легко показать (см., например, [16]), что оператор P,m LP,m является фредгольмовым с индексами (0, 2), а сопряженный оператор L∗ порождается соp1(x) p3(x) пряженным дифференциальным выражением RP ∗ (y) = By× + P ∗y, где P ∗(x) = p (x) p (x) , 2 4 P,m и имеет область определения D(L∗ 1 ) = {y ∈ W 1[0, π] : RP ∗ (y) ∈ H}. Таким образом, корректно определенный оператор Дирака является двумерным расширением оператора LP,m, т. е. имеет 1 область определения {y ∈ W 1[0, π] : RP (y) ∈ H, U (y) = 0}, где u11 u12 y1(0) u13 u14 y1(π) U (y) = Cy(0) + Dy(π) = u21 u22 y2(0) + u23 u24 y2(π) , (1.2) Исследования поддержаны грантом РФФИ 16-01-00706. ∗c РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 180 РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 181 причем строки матрицы U := (C, D) = u11 u12 u13 u14 u21 u22 u23 u24 линейно независимы. В дальнейшем мы будем рассматривать случай регулярных по Биркгофу краевых условий. Обозначим через Jαβ определитель, составленный из α-го и β-го столбца матрицы U . Определение 1.1. Краевые условия, определенные формой U, называются регулярными (по Биркгофу), если J14 · J23 ±= 0. Оператор Дирака, порожденный регулярными краевыми условиями 1 U, т. е. оператор LP,U с областью определения D(LP,U ) = fy ∈ W 1[0, π] : RP (y) ∈ H, U (y) = 0� , будем называть регулярным. Любой регулярный оператор LP,U замкнут и имеет плотную в H область определения (см., например, [16]). Спектр этого оператора состоит из собственных значений {λn}n∈Z, расположенных в некоторой горизонтальной полосе {λ : |Im λ| < α}, причем λn → ±∞ при n → ±∞. Через y(x) = (y1(x), y2(x))t будем обозначать вектор-функции на отрезке [0, π]. Чтобы не усложнять запись, мы будем писать f ∈ Lα, имея в виду, что f1 ∈ Lα[0, π] и f2 ∈ Lα[0, π], или P ∈ Lα, имея в виду, что все компоненты матрицы лежат в Lα[0, π]. При этом мы положим при α ∈ [1, ∞) и ⎛ π r lf l(Lα[0,π])2 = lf lα = ⎝ 0 |f1(x)|α π r dx + 0 |f2(x)|α ⎞α! dx⎠ lf l(L∞[0,π])2 = lf l∞ = lf lC[0,π] = max ( sup x∈[0,π] |f1(x)|, sup x∈[0,π] |f2(x)| . Рассматривая оператор T, действующий в пространстве H, мы будем обозначать его норму lT l. Регулярный оператор LP,U называется сильно регулярным, если [J12 + E2J34]2 + 4E2J23J14 ±= 0, i π 2 где E = exp{ Г (p4(t) - p1(t)) dt}. В сильно регулярном случае все собственные значения оператора 0 LP,U асимптотически просты. Через {yn}n∈Z обозначим систему собственных и присоединенных функций такого оператора (присоединенных функций может быть лишь конечное число). Собственные функции мы нормируем условием lynl = 1. Выбор присоединенных функций проводим стандартным образом с помощью канонических по Келдышу цепочек. Отправной точкой для наших рассуждений является теорема о базисности Рисса системы 0 {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций любого сильно регулярного оператора LP,U . Эта теорема была доказана в [16] и независимо в [15]. Обозначим через {en}n∈Z произвольный ортонормированный базис пространства H и определим оператор T0 : en ⊗→ yn. Поскольку система {yn}n∈Z является базисом Рисса, то этот оператор однозначно продолжается до непрерывного и ограниченного оператора в H. При этом величину lT0l· lT -1l будем называть константой Рисса базиса {yn}n∈Z (она, очевидно, не зависит от выбора базиса {en}n∈Z). Сам оператор T0 и константа Рисса определяются потенциалом P и краевыми условиями U. Важно отметить, что свойство сильной регулярности оператора LP,U определяется не только краевыми условиями, но и потенциалом. Зависимость свойства сильной регулярности от потенци- π ала пропадает, если величина Г (p4(t) - p1(t)) dt не меняется. В частности, это так, если потенциал 0 P является внедиагональным, т. е. p1 = p4 = 0. Далее в работе мы будем изучать зависимость константы Рисса от потенциала P, считая π краевые условия U и величину Г (p4(t) - p1(t)) dt фиксированными и такими, что [J12 + E2J34]2 + 0 4E2J23J14 ±= 0. В частности, оператор LP,U всегда будет сильно регулярен. Даже если число [J12 + E2J34]2 + 4E2J23J14 ±= 0 фиксировано, а K - компакт в L1[0, π], величина 0 sup lT0l· lT -1l не обязана быть конечной (этот эффект возникает, если при изменении потен- P ∈K циала несколько собственных значений сталкиваются и образуют жорданову клетку). Несложно доказать, что сильная регулярность гарантирует асимптотическую простоту спектра оператора LP,U . Это означает, что изменение оператора T0 на подходящем конечномерном подпространстве 182 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ ведет к ограниченности констант Рисса. А именно, для произвольного фиксированного множества индексов JN ⊂ Z (здесь N - мощность множества JN ) положим HJ := Lin{yn}n∈JN и заменим базис {yn}n∈JN собственных и присоединенных функций на ортонормированный базис {ϕn}n∈JN корневых функций пространства HJ . Теперь определим оператор (yn, если n ∈/ JN , T en = ϕn, если n ∈ JN , на базисе {en}n∈Z и продолжим его по непрерывности на все H (непрерывность оператора T следует из непрерывности оператора T0, поскольку эти два оператора отличаются лишь на конечномерном пространстве). Заметим, что оператор T зависит от выбора множества JN и базиса -1 {ϕn}n∈JN , но его норма lT l (так же, как и константа Рисса lT l · lT l) от выбора базиса {ϕn}n∈JN уже не зависит. В работе [7] было показано, что если K - компакт в L1[0, π], а число число [J12 + E2J34]2 + 4E2J23J14 ±= 0 фиксировано, то найдется такой номер N (он зависит от выбора компакта K), что, положив JN = {n : |n| � N }, получим sup lT l· lT -1l � C, где C P ∈K также зависит только от K. В этой работе мы изучим случай, когда потенциал P пробегает шар радиуса R пространства Lκ[0, π], κ > 1 (при этом число [J12 + E2J34]2 + 4E2J23J14 по-прежнему считается фиксированным и ненулевым). Теперь уже нельзя ограничиться изменением оператора T0 на подпространствах, отвечающих множествам JN вида {n : |n| � N }: варьируя потенциал в шаре большого радиуса, можно добиться столкновения пары собственных значений со сколь угодно большими номерами. Тем не менее, оказывается, что и в этой ситуации можно дать ограничения на мощность множества JN . Сформулируем основной результат работы (он был анонсирован авторами в [5]). Теорема 1.1. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ[0, π], π κ ∈ (1, 2], lP lLκ � R. Пусть краевые условия U и величина Г (p4(t) - p1(t)) dt фиксированы. 0 Тогда для каждого P, lP lLκ � R, существует такое множество индексов JN ⊂ Z, что lT l· lT -1l � C, где величины C и N зависят только от радиуса шара R и краевых условий U. Насколько нам известно, для случая системы корневых функций оператора Дирака это утверждение является новым. Тематика равномерных оценок для констант Рисса является классической для систем экспонент. Такие оценки также естественным образом возникают в теории фреймов и теории интерполяции целых функций (см., например, [11, 12], [17, гл. 4], [2] и ссылки там). Отметим еще, что в процессе доказательство получено одно утверждение, представляющее самостоятельный интерес: число иррегулярных1 собственных значений оператора LP,U ограничено величиной C = C(R, U ) (при условии, что число E фиксировано). Дело в том, что действуя так же, как при доказательстве теоремы 4.3 в работе [16], для регулярных собственных значений можно получить оценки вида n∈ZR n |λn - λ0 |κ! 1/κ! � C(R, U )lP lLκ [0,π]. Таким образом, утверждение об оценке числа иррегулярных собственных значений влечет ограниченность нелинейного отображения F : P ⊗→ {λn - n}n∈Z, F : L2[0, π] → l2(Z), что является важным моментом при получении теорем устойчивости для прямых и обратных спектральных задач. Подобные утверждения для случая оператора Штурма-Лиувилля можно найти, например, в работах [8, 14]. 1Определение регулярных и иррегулярных собственных значений см. ниже после леммы 3.2 РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 183 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Через L0,U мы будем обозначать оператор Дирака с краевыми условиями U и нулевым потенциалом P ≡ 0. Утверждение 2.1 (см. [13, раздел 2]). Характеристический определитель оператора L0,U равен Δ0(λ) = J23eiπλ - J14e-iπλ - [J12 + J34]. Спектр оператора L0,U имеет вид 0 (ζ0 + n, если n четно, i i 0 - 0 1 - 1 - ζ λ n = 1 где ζ = ln z , ζ = ln z 1. + n, если n нечетно, π π Здесь z0 и z1 - корни квадратного уравнения J23z2 - [J12 + J34]z - J14 = 0, а значения логарифма фиксируются в полосе Im ln z ∈ (-π, π]. Корни z0 и z1 различны в точности тогда, когда краевые условия сильно регулярны. В этом случае величина d = inf |λ0 - λ0 | строго n m n±=m положительна. Для определенности будем считать, что Re λ0 � Re λ0, а в случае равенства 0 1 вещественных частей, что Im λ0 < Im λ0. Резольвента R0(λ) := (L0,U - λI)-1 определена вез- 0 1 π n де, кроме точек λ0 , и является интегральным оператором R0(λ) : f ⊗→ Г G0(ξ, x, λ)f (ξ) dξ. 0 n Собственные функции y0 любого сильно регулярного оператора L0,U образуют базис Рисса в пространстве H. Рассмотрим теперь оператор LP,U с ненулевым потенциалом. Функцию P мы будем считать суммируемой, а краевые условия регулярными. Заметим, что случай потенциала общего вида можно свести к случаю внедиагональной матрицы P (x), перейдя к подобному оператору. Утверждение 2.2 (см. [6, утверждение 1.3]). Пусть P (x) - произвольная матрица размера 2 × 2 с элементами pj ∈ L1[0, π], j = 1, 2, 3, 4, а матрица U задает регулярные краевые p2 0 � (x) условия. Тогда оператор LP,U подобен оператору LP�,U� + γI, где x P�(x) = p3(x) 0 , �x p2(x) = p2(x)ei(ψ(x)-ϕ(x)) p3 3 i(ϕ(x)-ψ(x)) Г Г � , � (x) = p (x)e , ϕ(x) = γx - 0 p1(t)dt, ψ(x) = 0 p4(t)dt - γx, 1 π i π γ = Г (p1(t) + p4(t))dt, 2π 0 1 U� = (C�, D� ), C� = C, D� = exp 2 Г (p1(t) - p4(t))dt 0 eiϕ(x) 0 D. А именно, LP�,U� = W - LP,U W, где W - оператор умножения на матрицу W (x) = 0 eiψ(x) . Замечание 2.1. Отметим, что если краевые условия U были регулярны, то и условия U� остаются регулярными. В случае сильной регулярности условий U новые краевые условия сильно регулярны. Для нас также важно то, что P� ∈ Lκ[0, π] в том случае, если P ∈ Lκ[0, π]. Кроме того, 2R если lP lLκ � R, то lW lH � e , lW -1lH � e2R κ и lP�lL � Re4R . Это означает, что равномерные оценки, полученные для оператора T�, автоматически влекут равномерные оценки нормы оператора T = W T�. То же верно и для оператора T -1, так что теорему 1.1 достаточно доказать для случая внедиагональной матрицы P. Итак, начиная с этого момента будем считать, что 0 p2(x) P (x) = e11(x, λ) e12(x, λ) p3(x) 0 . (2.1) Через E(x, λ) = e21(x, λ) e22(x, λ) мы обозначим фундаментальную матрицу решений уравнения RP (y) = λy с начальным условием E(0, λ) = I. При P ≡ 0 будем пользоваться обозначением eixλ 0 E0(x, λ). Очевидно, что E0(x, λ) = 0 e-ixλ . 184 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Введем также матрицу E(x, λ)E-1(a, λ), которую обозначим через E(a, x, λ), где 0 � a, x � π, λ ∈ C. Прямым подсчетом получаем E(a, x, λ) = E11(a, x, λ) E12(a, x, λ) , E21(a, x, λ) E22(a, x, λ) где Ej1(a, x, λ) = ej1(x, λ)e22(a, λ) - ej2(x, λ)e21(a, λ), (2.2) Ej2(a, x, λ) = ej2(x, λ)e11(a, λ) - ej1(x, λ)e12(a, λ), j = 1, 2. Легко видеть, что спектр оператора LP,U состоит из собственных значений {λn}n∈Z - нулей характеристического определителя Δ(λ) = J12+J34+J13e12(π, λ)+J14e22(π, λ)+J32e11(π, λ)+J42e21(π, λ). Утверждение 2.3 (см. [16, теорема 4.3], [6, утверждение 3.1], [10, утверждение 6]). Для любого регулярного оператора Дирака LP,U с потенциалом P ∈ Lκ[0, π], κ > 1, найдется такое число α0 = α0(R, U ), что спектр оператора LP,U (и оператора L0,U ) лежит в горизон- 1 тальной полосе Πα0 = {λ : |Im λ| < α0}, а вне этой полосы резольвента R(λ) = (LP,U - λI)- представляется абсолютно сходящимся операторным рядом ∞ R(λ) = (-R0(λ)P )k R0(λ), (2.3) k=0 lκ слагаемые которого допускают оценку l(-R0P )k R0lH � Ck+1(U )lP k |Im λ| -1-k/κ! (число α0 здесь выбирается так, что C(U )lP lκ|Im λ|-1/κ! < 1/2, а сама резольвента допускает оценку lR(λ)l � 2C(U )|Im λ|-1). Резольвента определена везде вне точек {λn}n гральным оператором с интегральным ядром ∈Z и является инте- G(ξ, x, λ) = i J12 Δ(λ) § χξ>x(t, x) E11(ξ, x, λ) -E12(ξ, x, λ) + E21(ξ, x, λ) -E22(ξ, x, λ) i + Δ(λ) E11(π, x, λ) -E12(π, x, λ) E21(π, x, λ) -E22(π, x, λ) · J14 J24 J13 J23 · (e22(ξ, λ) e12(ξ, λ) - e21(ξ, λ) -e11(ξ, λ)) , где χξ>x - характеристическая функция треугольника ξ > x. (2.4) Начиная с этого момента, мы зафиксируем число α0 так, чтобы оно удовлетворяло условиям утверждения. Более того, увеличивая при необходимости число α0, можно считать, что полоса 0 0 0 Πα0 содержит все точки {λn}n∈Z с их d/4-окрестностями (напомним, что d = inf n±=m |λn - λm|). Положим еще α = α0 + d/4. Важно отметить, что величины α и α0 зависят только от R и U. Сформулируем теперь результаты об асимптотическом поведении матрицы E(x, λ) при Πα Э x λ → ∞. Для оценки остатков мы введем функции υj,ε(x, λ) = Г pj (t)e2iελt dt, j = 2, 3, ε = ±1; 0 | | Υ(λ) = max υj,ε(λ, x) . j,ε,x Утверждение 2.4 (см. [4, теорема 1], [4, теорема 2]). Пусть P ∈ L1[0, π], lP lL1 � R, а число α фиксировано выше. Тогда для любой точки λ ∈D = {λ ∈ Πα : Υ(λ) � κ} , где κ = κ(R, U ), (2.5) jk справедливо представление ejk (x, λ) = e0 (x, λ)+ ηjk (x, λ), j, k = 1, 2, где остатки ηjk допускают равномерные оценки с константой M = M (R, U ). | | max ηjk (x, λ) � M Υ(λ) (2.6) j,k,x 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА Асимптотическое представление для матрицы E(x, λ), таким образом, доказано лишь при достаточно малых значениях функции Υ(λ). В виду этого важно отметить, что Υ(λ) → 0 при Πα Э λ → ∞ (см. [4, лемма 1]). Покажем, как можно усилить это утверждение при P ∈ Lκ , κ > 1. РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 185 Напомним, что пространством Харди Hp в полосе Πα называется банахово пространство го- ∞ ломорфных в Πα функций с конечной нормой lf lHp = sup Г |y|<α -∞ 1/p |f (x + iy)|p dx . Мерой Карлесона в полосе Πα называется любая мера μ, для которой конечна величина Nμ := sup μ(Qσ ), где Qσ - квадрат с вершинами σ ± α ± iα. Известно (см., например, [1, теорема 5.6, σ∈R гл. 1]), что для любой функции f ∈ Hp(Πα) и любой меры Карлесона μ в полосе Πα выполнено f ∈ Lp(dμ) и lf lLp(dμ) � Clf lHp с константой C, зависящей только от α и Nμ. Для дальнейших рассуждений нам потребуется зафиксировать меру Карлесона следующим образом. Построим семейство контуров γn, n ∈ Z. Вначале определим контур γn как объединение окружности Cn = {|λ - λ0 | = d/4} и двух отрезков I+ = [λ0 + id/4, Re λ0 + iα0] и n I- 0 0 n n n + n = [Re λn · iα0, λn · id/4]. Может случится так, что отрезок In пересекает окружность Cn+1. n В этом случае мы заменим часть отрезка I+, лежащую внутри Cn+1, на левую дугу окружности n Cn+1. Аналогично, если отрезок I- пересекает окружность Cn-1, то заменим его часть, попавшую внутрь окружности, на правую дугу. Отметим, что в силу построения (и распределения собственных значений λ0 ) отрезок I+ не может пересечься ни с какой окружностью, кроме Cn+1 n n n и, аналогично, может I- пересечь только Cn-1. Заметим, что для любой точки ∈ γn выполнены ограничения Re λ0 - d/4 � Re λ � Re λ0 + d/4. λ n n Поскольку (λ Re 0 n+2 n - λ0 ) = 2, а d � 1, то расстояние между контурами γn и γn+2 не меньше, чем n 3/2. Введем также обозначение γ˘n = γn ∪ int γn, где int γn = {λ : |λ - λ0 | < d/4}. Теперь определим множества Kn как замкнутые d/4 окрестности контуров γn . Отметим, что n ∈ Kn, а площадь множества Kn не превосходит α0d + πd /2. Обозначим далее K = J Kn и λ0 2 n∈Z определим меру μ как обычную плоскую меру с носителем K. Лемма 3.1. Мера μ является карлесоновой, причем число Nμ зависит только от R и U. При этом для любой функции f ∈ Lν (K) имеет место оценка ν ν ν для любого ν ∈ [1, ∞). lf lLν (K) � n∈Z lf lLν (Kn) � 2lf lLν (K) (3.1) Доказательство. Первое утверждение леммы следует непосредственно из определения и построения множества K. Заметим теперь, что возможны три ситуации: множества Kn попарно не пересекаются; каждое множество K2n имеет непустое пересечение с множеством K2n+1, но других попарных пересечений нет; каждое множество K2n имеет непустое пересечение с множеством K2n-1, а других попарных пересечений нет. В любом случае расстояние между Kn и Kn+2 равно, по меньшей мере, 2 - d ;;: 1, откуда вытекает неравенство (3.1). Лемма 3.2. Пусть P ∈ Lκ[0, π], κ ∈ (1, 2], lP lLκ � R, а число h > 0 произвольно. Тогда неравенство sup Υ(λ) � h выполнено для всех множеств γ˘n, за исключением конечного числа λ∈γ˘n N, причем N � C(R, U )h-κ! (h-κ! + 1). Доказательство. Зафиксируем индексы j, ε и точку x ∈ [0, π]. Функция υj,ε(x, λ) переменной λ есть преобразование Фурье (или обратное преобразование Фурье, это зависит от знака ε) функции pj (t) · χ[0,x](t), где χ[0,x](t) - характеристическая функция отрезка [0, x]. Тогда, согласно теореме Пэли-Винера, функция υj,ε(x, λ) принадлежит пространству Харди Hκ! и lυj,ε(x, λ)lHκ! � CabslP lLκ . Положим vn = lυj,ε(x, λ)lLκ! (Kn). В силу (3.1), {vn}n∈Z ∈ lκ! и l{vn}llκ! � C(R, U ). Зафиксируем произвольное положительное число b > 0 и заметим, что C(R, U ) mes{n : vn > b} � целых индексов). (здесь и далее символом mes обозначаем мощность подмножества bκ! Рассмотрим индекс n, для которого vn � b. По теореме о среднем значении голоморфной функ- 16 ции υ(λ) имеем υj,ε(x, λ) = ГГ πd2 |ξ-λ|�d/4 |υj,ε(x, ξ)| d(Re ξ) d(Im ξ). Выбирая произвольную точку 186 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ λ ∈ γ˘n, приходим к оценке |υj,ε(x, λ)| � πd2 1/κ-1 4 y vn. Теперь «разморозим» точку x ∈ [0, π] и заметим, что |υj,ε(x, λ) - υj,ε(y, λ)| � ch(2α) Г |pj (t)|dt � ch(2α)R|y - x|1/κ! . x Это означает, что для всех точек y из окрестности точки x радиуса a справедлива оценка πd2 1/κ-1 πd 2 1/κ-1 1/κ! κ! 4 sup |υj,ε(y, λ)| � λ∈γ˘n b + ch(2α)Ra � 2 4 b при выборе a = (b/(2 ch(2α)R)) . Рассмотрим теперь разбиение отрезка [0, π] диаметром a (это разбиение содержит не более π/a + 1 точек). Легко видеть, что mes{n : vn(x) > b хотя бы для одной точки x разбиения} � C(R, U ) π +1 . Для всех остальных целых n выполнено неравенство sup |υj,ε (x, λ)| � a bκ! x [0,π], λ γ˘ πd2 1/κ-1 ∈ ∈ n 2 b = h при соответствующем выборе числа b. Количество «исключенных» индексов n 4 C(R, U ) не превосходит π +1 a bκ! = C(R, U )h-κ! (h-κ! + 1). Согласно [16, теорема 4.5], нумерация точек спектра оператора LP,U проводится так, что n λn = λ0 + o(1) при |n|→ ∞. (3.2) Ясно, что последнее условие задает индексацию точек спектра не однозначно, а лишь с точностью до перестановки конечного числа номеров. Здесь нам потребуется эту нумерацию уточнить. Для этого обозначим m = m(U ) := inf λ∈γ0∪γ1 |Δ0(λ)| > 0, где Δ0(λ) - характеристический определитель задачи с нулевым потенциалом. В силу 2-периодичности функции Δ0(λ) неравенство |Δ0(λ)| ;;: m выполнено для всех точек λ ∈ J n∈Z γn. Строки матрицы U всегда можно домножить на ненулевые коэффициенты так, чтобы неравенство |Jαβ | � 1 выполнялось для всех индексов α и β. Пусть далее κ = κ(R, U ) и M = M (R, U ) - константы, введенные в (2.5), (2.6) соответственно. Назовем контур γn регулярным, если sup Υ(λ) � κ и sup Υ(λ) � m/(8M ). В противном случае λ∈γ˘n λ∈γn γn назовем иррегулярным. В силу леммы 3.2, количество иррегулярных контуров оценивается величиной N = N (R, U ). Для регулярных контуров m |Δ(λ) - Δ0(λ)| � |J13η12(π, λ)| + |J14η22(π, λ)| + |J32η11(π, λ)| + |J42η21(π, λ)| � 4M Υ(λ) � 2 для всех λ ∈ γn, откуда |Δ(λ)| ;;: m/2. n Из теоремы Руше для голоморфных функций Δ0(λ), Δ(λ) - Δ0(λ) и контура Cn = {|λ - λ0 | = d/4} следует, что внутри окружности Cn, отвечающей регулярному контуру γn , лежит ровно одно собственное значение оператора LP,U . Это собственное значение мы индексируем номером n и назовем регулярным собственным значением. Далее, существует такое натуральное число n0, что все контуры γn при |n| ;;: n0 регулярны, так что введенная здесь нумерация согласована с соотношением (3.2), т. е. является уточнением предыдущей нумерации. Оставшиеся собственные значения занумеруем оставшимися в нашем распоряжении целыми индексами произвольным образом и назовем иррегулярными собственными значениями. Дефекта нумерации при этом не возникает (множество иррегулярных собственных значений конечно и равномощно множеству оставшихся индексов), поскольку он отсутствовал в предыдущей нумерации. Множество целых индексов, отвечающих регулярным и иррегулярным собственным значениям, обозначим через ZR и ZI соответственно. Из леммы 3.2 вытекает следующее важное утверждение. Следствие 3.1. Число иррегулярных собственных значений mes ZI не только конечно для каждого фиксированного потенциала P, но и равномерно ограничено по любому шару lP lLκ � R, если κ > 1. РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 187 Подчеркнем, что число n0 = n0(P, U ) := max{|n| : n ∈ ZI} также конечно, но величина sup ⊕P ⊕Lκ �R n0(P, U ) может быть бесконечной (более того, это действительно так для достаточно больших R). Лемма 3.3. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ вида (2.1), причем lP lLκ � R, а κ > 1. Тогда на любом регулярном контуре γn резольвента R(λ) = (LP,U - λI)-1 допускает оценку sup lR(λ)l � C(R, U ). (3.3) λ∈γn Доказательство. Согласно утверждению 2.4, для любого λ ∈ γn справедливо представление ejk (x, λ) = e0 (x, λ) + ηjk (x, λ). Учитывая оценку (2.6) и явный вид функций e0 (x, λ), прихоjk дим к неравенству sup x∈[0,π], λ∈γn jk |ejk (x, λ)| � C(R, U ), j, k = 1, 2. Тогда, с учетом равенств (2.2) и оценки inf λ∈γn |Δ(λ)| ;;: m/2, где m = m(U ), из (2.4) получаем sup λ∈γn, 0�ξ, x�π |gjk (ξ, x, λ)| � C(R, U ), j, k = 1, 2, где мы обозначили G(ξ, x, λ) = (gjk (ξ, x, λ))j, k=1, 2. Доказанная оценка влечет утверждение леммы. n Обозначим через γ+ контур, полученный из γn удалением левой половины окружности Cn и добавлением двух вертикальных лучей (Re λ0 - i∞, Re λ0 - iα0] и [Re λ0 + iα0, Re λ0 + i∞). n n n n γ+ - Ориентируем n по убыванию Im λ. Аналогично, через γn будем обозначать контур, полученный из γn добавлением тех же лучей, удалением правой половины окружности Cn и ориентированный по возрастанию Im λ. Лемма 3.4. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с потенциалом P ∈ Lκ ви- 1 1 κ 1 да (2.1), причем lP lL � R, а κ > 1. Тогда 1 Г n 1γ± 1 1 1 R(λ) dλ1 � C(R, U ) для любого n ∈ ZR. 1 Доказательство. Воспользуемся представлением (2.3) для резольвенты в виде операторного ряда. Все слагаемые этого ряда, кроме первого, оцениваются одинаково. По определению, длина контура γn не превосходит πd + 2α0. Тогда, в силу неравенства (3.3), остается провести оценку только двух несобственных интегралов по лучам (Re λ0 - i∞, Re λ0 - iα0] и [Re λ0 + iα0, Re λ0 + i∞). Оценим n n n n интеграл по верхнему лучу (рассуждения для другого интеграла полностью аналогичны): 1 σ+i∞ 1 ∞ 1 r 1 r 1 1 1 (-R0(λ)P )k R0(λ) dλ1 � 1 1 Ck+1(U )Rkτ -k/κ! dτ τ κ×Ck+1(U )Rk � , kαk/κ! 1σ+iα0 1 α0 0 где k ;;: 1, а λ = σ + iτ. Полученный ряд сходится в силу выбора числа α0, и его сумма не превосходит 2κ×C(U ). Таким образом, остается оценить слагаемое ряда (2.3) с номером k = 0, т. е. доказать, что вели- 1 1 чина 1 Г 1 n 1γ± 1 1 1 R0(λ) dλ1 конечна. Воспользуемся представлением резольвенты невозмущенного опера- 1 0 0 (·, zj )yj 0 тора в виде ряда R0(λ) = ), j∈Z λ λ 0 . Здесь {yj }j∈Z - система собственных функций оператора - j L0,U с нулевым потенциалом (напомним, что краевые условия сильно регулярны, а значит все собственные значения λ0 однократны), {z0}j Z - биортогональная к ней. Каждая из этих систем j j ∈ образует базис Рисса в пространстве H, следовательно, для любой функции f ∈ H справедлива оценка k∈Z 0 2 2 |(f , zj )| � Clf l . (3.4) 188 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Непосредственным интегрированием получаем, что Г R0(λ) dλ = ), iπ(·, z0)y0 - ), iπ(·, z0)y0. γ � - j n n 1 1 1 1 j j j j j>n Отсюда и из (3.4) вытекает ограниченность величины 1 Г R0(λ) dλ1 . Оценка для интеграла по γ+ получается аналогично. 1 1 n n 1γ- 1 Для любого n ∈ ZR собственное значение λn однократно. Обозначим через yn соответствующую собственную функцию, нормированную условием lynl = 1, и пусть HR := Lin{yn}n∈ZR . Наша ближайшая цель - построить спектральный проектор на подпространство HR. Для этого необходимо построить контур, охватывающий все регулярные собственные значения и не содержащий ни одного иррегулярного собственного значения. Мы построим такой контур следующим образом. Будем говорить, что два регулярных индекса n < n× лежат в одной компоненте, если все целые числа k ∈ (n, n×) также регулярны. Легко видеть, что множество ZR состоит из ν � N + 1 компонент, где N := mes ZI = N (R, U ). Занумеруем эти компоненты по возрастанию и обозначим через n1 < n2 < ··· < n2ν их крайние точки. Таким образом, множество ZR теперь записано в виде ZR = (-∞, n1] ◦ [n2, n3] ◦ ··· ◦ [n2ν, +∞). Выn,b берем произвольное число b > α0 и для каждого n ∈ Z обозначим через γ± n ра γ±, расположенную в полосе {|Im λ| � b}. Теперь рассмотрим контур Γb = 0 0 - 0 0 λn2j 1 - ib, Re λn - ib] ∪ γ ∪ [Re λn2j + ib, Re λn2 - 2j n2j ,b Γj,b = γ+ часть конту- ν I Γj,b, где j=1 n2j-1,b ∪ [Re + ib]. j-1 Лемма 3.5. Контур Γb охватывает все иррегулярные собственные значения оператора LP,U 2πi Г и не содержит ни одного регулярного собственного значения. Таким образом, оператор PR := 1 I - PI, где PI := R(λ) dλ, является спектральным проектором на подпространство HR. Γb Доказательство. По построению, контур Γb действительно не содержит ни одного регулярного собственного значения оператора LP,U , так что нам остается проследить за иррегулярными λn. Для этого мы рассмотрим семейство потенциалов Pt(x) = tP (x), t ∈ [0, 1], и обозначим Lt = LPt,U , 1 Rt(λ) = (Lt - λI)-1 и PI,t = Γ 2πi Г Rt(λ) dλ. Непосредственно из определения имеем Υ(tP ; λ) = b tΥ(P ; λ), а значит, любой регулярный для потенциала P контур γn остается регулярным и для потенциала tP. Таким образом, проектор PI,t корректно определен для любого t ∈ [0, 1]. Теперь воспользуемся утверждением о непрерывной зависимости резольвенты от потенциала (см. [16, теорема 4.6]). А именно, для любой фиксированной точки t ∈ [0, 1], для любого ε > 0, найдется такая δ-окрестность точки t, что для любого s из этой окрестности выполнено sup lRt(λ) - λ∈Γb Rs(λ)l < ε. Тогда семейство операторов PI,t непрерывно по t ∈ [0, 1] в операторной норме. Остается n заметить, что контур Γb содержит все точки λ0 спектра оператора L0 с номерами n ∈ ZI и не содержит ни одной точки с номером n ∈ ZR. Таким образом, dim PI,0 = mes ZI. В силу непрерывной зависимости (см. [3, лемма 4.10, гл. 1]), ту же размерность имеет и проектор PI. Оценка lR(λ)l � 2C(U )|Im λ|-1 на норму резольвенты, приведенная в утверждении 2.3, позволяет осуществить предельный переход PI = lim 1 ν Г R(λ) dλ = Г R(λ) dλ, где Γ = I Γj, а b→+∞ 2πi Γb Γ j=1 Γj = γ + n2j-1 ∪ γ - n2j . Следующее утверждение о равномерной ограниченности нормы проекторов PI и PR является ключевым для доказательства теоремы 1.1. Утверждение 3.1. Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака с внедиагональным потенциалом P ∈ Lκ[0, π], κ > 1, lP lLκ � R. Тогда lPIl + lPRl � C(R, U ). 1 ν 1 1 2ν 1 1 1γ± j=1 1 R Доказательство. В силу леммы 3.4 имеет место lPIl � 2π ), 1 Г nj (λ) dλ1 � 1 1 C(R, U ). Оста- π ется заметить, что ν � N + 1, где N = mes ZI = N (R, U ), согласно следствию 3.1. РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 189 Мы определили функции yn только для n ∈ ZR. Действуя классическим методом выбора максимальных цепочек присоединенных функций, можно определить функции yn для всех собственных значений λn, n ∈ Z. Как доказано в [16, теорема 4.9], эта система является базисом Рисса для любого сильно регулярного оператора LP,U с потенциалом P ∈ L1. Однако утверждение о равномерной базисности такой системы неверно. Поэтому в подпространстве HI := Rn PI yn мы (произвольным образом) выберем ортонормированный базис {� }n∈ZI . Полученную систему yn}n∈ZI {yn}n∈ZR ∪ {� будем называть системой корневых функций оператора L P,U . Конечно, замена линейного базиса на конечномерном подпространстве HI не нарушает свойства базисности yn Рисса системы. Наша цель сейчас - описать биортогональную к {yn}n∈ZR ∪ {� }n∈ZI систему. Для этого напомним (см. [6, утв. 3.2]), что сопряженный оператор (LP,U )∗ совпадает с операто- 0 p3(x) ром LP ∗,U ∗ , где P ∗(x) = p2(x) 0 , а сопряженные краевые условия U ∗ задаются матрицей J23 J13 -J12 0 (выбор матрицы, задающей сопряженные краевые условия, неодно- U∗ = 0 -J34 J24 J23 значен, но для определенности мы фиксируем здесь выбор U∗). Замечание 3.1. Заметим, что множества ZR, построенные по операторам LP,U и (LP,U )∗ совпадают. Действительно, для любого регулярного (сильно регулярного) оператора LP,U сопряженный оператор (LP,U )∗ = LP ∗,U ∗ также является регулярным (сильно регулярным). Собственные значения оператора LP ∗,U ∗ совпадают (с учетом кратности) с числами λn. Поскольку υ2,±(P ∗; x, λ) = υ3,∓(P ; x, λ) и υ3,±(P ∗; x, λ) = υ2,∓(P ; x, λ), то Υ(P ∗; λ) = Υ(P ; λ). Поскольку резольвента сопряженного оператора равна R∗(λ), то проектор Рисса, построенный по множеству регулярных (иррегулярных) собственных значений оператора (LP,U )∗ равен PR∗ (соответственно, PI∗). Таким образом регулярное и иррегулярное подпространства, построенные по оператору (LP,U )∗ совпадают с HI⊥ и HR⊥, соответственно. Зафиксируем теперь произвольный индекс n ∈ ZR и рассмотрим спектральный проектор Pn := 1 Г n R(λ) dλ (окружность Cn = {λ : |λ - λ0 | = d/4} мы ориентируем против часовой стрелки). 2πi Cn n n 4 λ C Поскольку внутри контура лежит ровно одно собственное значение λn оператора LP,U , то Pn - одномерный проектор вида Pn = (·, zn)yn. Очевидно, что (LP,U )∗ zn = λnzn. При этом норма lznl может не равняться 1, хотя 1 � lz l = lP l � d sup lR(λ)l � C(R, U ). ∈ n Известно, что (zn, ym) = δnm (здесь n ∈ ZR, а m ∈ Z), так что мы в результате предъявили yn часть биортогональной системы к {yn}n∈ZR ∪ {� }n∈ZI . Мы готовы определить оператор T смены базиса, оценка на норму которого вместе с оценкой норму lT -1l составляет утверждение основной теоремы. Выберем произвольный ортонормированный базис {en}n∈Z в пространстве H и положим EI = Lin{en}n∈ZI и ER = Lin{en}n∈ZR . Операторы ортогонального проектирования на EI и ER обозначим QI и QR соответственно. Выберем в пространстве HI произвольный ортонормированный базис {ϕn}n∈ZI и определим операторы TR : en ⊗→ yn для всех n ∈ ZR и TI : en ⊗→ ϕn для n ∈ ZI. Система {yn}n∈ZR составляет базис yn Рисса в замыкании своей линейной оболочки, а система {� }n∈ZI конечна, так что оба оператора TR и TI по непрерывности продолжаются на подпространства ER и EI соответственно. Положим T := TRQR + TIQI. Легко видеть, что T -1 = T -1PR + T -1PI. Важно отметить, что в силу утвер- R I ждения 3.1 выполнено lT l � lTRl + 1, lT -1l � lT -1llPRl + lPIl � C(R, U )lT -1l. Итак, для R R R доказательства теоремы 1.1 нам достаточно получить оценку lTRl + lT -1l � C(R, U ). 2 2 По определению, T ∗ : HI⊥ → ER, T ∗zn = en, n ∈ ZR, и l(T ∗)xl = ), |(x, yn)l , так что R R R n∈ZR 1 R оценка нормы lTRl сводится к оценке константы Бесселя системы {yn}n∈ZR . Аналогично, T - : R 2 2 HR → ER, TRyn = en, n ∈ ZR, и lT -1xl = ), n∈ZR |(x, zn)l . Перейдем к нормированным векторам zn/lznl и учтем, что lznl � C(R, U ). Теперь заметим, что векторы zn/lznl суть нормированные собственные векторы оператора LP ∗,U ∗ , отвечающие регулярным его собственным значениям, а значит, оценка для этой системы повторяет оценку для системы {yn}n∈ZR . 190 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1.1 нам остается получить оценку вида n∈ZR 2 |(x, yn)l l � β(R, U )lx 2 (3.5) для произвольного вектора x ∈ H. Мы начнем с двух вспомогательных утверждений. Утверждение 3.2. Пусть {λn}n∈ZR - последовательность регулярных собственных значений оператора LP,U с внедиагональным потенциалом P ∈ Lκ , κ > 1, lP lLκ � R, и сильно регулярными краевыми условиями U. Тогда найдется константа β = β(R, U ) такая, что π 12 ), Г f (x)eiλnxdx1 � βlf l2 для произвольной функции f ∈ L2. n∈ZR 0 1 L2 1 π Доказательство. Рассмотрим преобразование Фурье fˆ(λ) = Г f (x)eiλxdx. Согласно теореме 0 Пэли-Винера, lH fˆ ∈ H2(Πα) и lfˆ 2 � Cabslf lL2 . Рассмотрим точечную меру dμ = ), n∈ZR δλn . Поскольку для любых двух регулярных собственных значений d d d |λn - λm| ;;: |λ0 - λ0 |- |λn - λ0 |- |λm - λ0 | ;;: d - - = , n m n m 4 4 2 0 то последовательность {λn}n∈ZR - несгущающаяся. Тогда dμ является карлесоновой мерой (более того, легко видеть, что γμ � (16α2)/(πd2), т. е. зависит только от R и U ). Отсюда π 12 r 0 n∈ZR 1 1 f (x)eiλnxdx1 1 1 ˆ 2 = lf lL2(dμ) 2 � β(R, U )lf lL2 . 1 Лемма 3.6. Пусть система {ϕn(x)}∞ является бесселевой в пространстве L2[a, b] и ),∞ n=1 L2 |(f, ϕn)|2 � βlf l2 1 . Пусть {τn(x)}∞ - абсолютно непрерывные на [a, b] функции, причем n |τn(a)| � T, |τ × (x)| � τ (x) ∈ L1[a, b], n = 1, 2,..., где число T и функция τ не зависят от n. 1 Тогда система {ϕn(x)τn(x)}∞ также является бесселевой в пространстве L2[a, b], причем ),∞ 2 2 |(f, ϕnτn)|2 � 2β(T 2 + lτ lL )lf lL . 1 2 n=1 Доказательство. Для каждого конечного N имеем N n=1 |(f, ϕnτn)|2 � 2 N n=1 N |(f, ϕn(x)τn(a))|2 +2 n=1 |(f, ϕn(x)(τn(x) - τn(a)))|2 � N b x b y r r r r 2 × 2 � 2βT 2lf lL +2 a n=1 f (x)ϕn(x) a × τn(ξ) dξ dx · a f (y)ϕn(y) a τn(ζ) dζ dy . Распишем последнюю сумму подробнее. N rb rb ⎛ b b ⎞ r r n n ⎜ n ⎟ n=1 a τ × (ξ)τ × (ζ) ⎝ a ξ b b f (x)ϕ (x) dx ζ f (y)ϕn(y) dy⎠ dξ dζ � r r N � τ (ξ)τ (ζ) (fχ[ξ,b], ϕn) (ϕn,fχ[ζ,b]) dξ dζ � a a n=1 b b b b r r r r 2 � β τ (ξ)τ (ζ) · lfχ[ξ,b]l· lfχ[ζ,b]l dξ dζ � β a a a τ (ξ)τ (ζ) dξ dζ · lf l . a Устремив N → ∞, получаем утверждение леммы. РАВНОМЕРНАЯ БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ДИРАКА 191 Сформулируем теперь утверждение о функциях yn. Утверждение 3.3 (см. [9, теорема 4]). Пусть LP,U - сильно регулярный оператор Дирака, причем потенциал P ∈ L1 имеет вид (2.1), lP lL1 < R. Тогда для всех собственных значений λn ∈ D, где D = {λ ∈ Πα : Υ(λ) � κ} , κ = κ(R, U ), для нормированных собственных функций yn справедливо представление: y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x), причем |τj,n(0)| � C = C(R, U ), j = 1, 2, а производные функций τj,n(x) j,n подчинены оценке |τ × (x)| � C(R, U )(|p2(x)| + |p3(x)|) почти всюду на [0, π] Э x. n Вспомним, что для любого n ∈ ZR неравенство Υ(λ) � κ выполнено не только на γn, но и для всех точек круга |λ - λ0 | � d/4, в частности, для точек λn. Соединяя вместе утверждения 3.2, 3.3 и лемму 3.6, выводим оценку (3.5). Теорема 1.1 доказана.

Об авторах

А М Савчук

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: artem_savchuk@mail.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1

И В Садовничая

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: ivsad@yandex.ru
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1

Список литературы