Смешанная задача для параболической системы на плоскости и граничные интегральные уравнения

Аннотация

Рассмотрена смешанная задача для одномерной (по пространственной переменной) параболической системы второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами в области с негладкими боковыми границами. Методом граничных интегральных уравнений построено классическое решение этой задачи. Исследована гладкость решения.

Полный текст

Теория решения краевых задач в областях с негладкими боковыми границами для параболических уравнений в пространствах Гельдера построена в работах [3-9, 19, 21, 28, 29, 31-33, 35]. Для параболических систем второго порядка с одной пространственной переменной x краевые задачи в криволинейных областях с негладкими боковыми границами в пространствах Гельдера рассматривались в работах [10-12, 14, 23, 25]. Естественно возникает вопрос о разрешимости параболических краевых задач, данные которых принадлежат топологически более слабым пространствам Дини-Гельдера. В работах [2, 20] установлена разрешимость (в классическом смысле) и исследована гладкость решения ряда краевых задач для одномерного (по x) параболического уравнения второго порядка с коэффициентами из класса Дини в криволинейных областях с негладкими границами, удовлетворяющими условию Дини-Гельдера. В [17] решена вторая краевая задача в классе Дини для одномерной (по x) параболической системы второго порядка в полуограниченной области с негладкой боковой границей. В [13] получена классическая разрешимость задачи Дирихле для одномерной (по x) параболической системы с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области с негладкой границей из класса Дини-Гельдера. В настоящей работе рассматривается смешанная начально-краевая задача для одномерной (по 1. параболической системы второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами. На одной границе области задано граничное условие первого рода, а на другой - граничное условие второго рода. Методом граничных интегральных уравнений, разработанным в [10, 12] для параболических систем второго порядка с одной пространственной переменной, строится классическое решение поставленной задачи для таких систем в криволинейной области Ω с негладкими боковыми границами из класса Дини-Гельдера. При этом от правой части граничного условия первого рода требуется лишь, чтобы у нее существовала непрерывная производная порядка 1/2, а от правой части граничного условия второго рода требуется только непрерывность. Доказывается, что найденное решение принадлежит пространству C1,1/2[0,T ] функций, непрерывных вместе с производной по 0 пространственной переменной и дробной производной порядка 1/2 по «временной» переменной t в Работа второго автора выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-11-00306). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 20 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 21 замыкании области (определение пространства см. ниже в разделе 2). В силу ослабления условия на граничные функции предлагаемый результат является новым и в случае одного уравнения. В работе получены также оценки для старших производных решения, характеризующие возможный рост к бесконечности этих производных вблизи боковых границ области. Статья состоит из 5 разделов. В разделе 1 ставится краевая задача и приводятся необходимые сведения о фундаментальной матрице решений параболической системы. В разделе 2 определяются функциональные пространства и формулируется основная теорема существования решения и его гладкости. В разделе 3 устанавливается разрешимость системы граничных интегральных уравнений, к которой редуцируется исходная задача. В разделе 4 доказывается основная теорема. В разделе 5 доказываются оценки для старших производных решения. 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА; ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА РЕШЕНИЙ В полосе D = {(x, t) ∈ R × (0,T )}, где R - вещественная прямая, 0 < T < +∞, рассматривается равномерно параболический по Петровскому (см. [22]) матричный оператор 2 x Lu = ∂tu - ' A(k)(x, t)∂ku, u = (u1,..., um), m � 1, 1 где A(k) = 1a (k)1m 1 k=0 § матрицы размерности m m, элементы которых суть вещественные функ- 1 ij 1i,j=1 × ции, определенные в D и удовлетворяющие условиям: 1. собственные числа μr матрицы A(2) подчиняются неравенству Re μr (x, t) � δ для некоторого δ > 0 и всех (x, t) ∈ D, r = 1, m; ij 2. функции a(k), i, j = 1, m, k = 0, 1, 2, ограничены в D; 1 3. 1a 1 (k) ij (x + Δx, t + Δt) - a (k) ij 1 1 (x, t)1 � ω0(|Δx| + |Δt|1/2), i, j = 1, m, k = 0, 1, 2, z y ω0 где ω0 - модуль непрерывности такой, что = Г y-1dy Г ω0(ξ)ξ-1dξ < +∞, z > 0, и для 0 0 некоторого ε0 ∈ (0, 1) функция ω0(z)z-ε0 , z > 0, почти убывает. Функция ν(z) называется почти убывающей, если для некоторой постоянной C > 0 выполняется неравенство ν(z1) � Cν(z2) при z1 � z2. Следуя [15, с. 150-151], модулем непрерывности называем непрерывную, неубывающую, полуаддитивную на [0, +∞) функцию ω такую, что ω(0) = 0. Говорим, что модуль непрерывности ω удовлетворяет условию Дини, если z r ω(z) = ω(ξ)ξ-1dξ < +∞, z > 0. (1.1) 0 Отметим некоторые известные свойства модуля непрерывности ω, которые понадобятся нам в дальнейшем. Имеет место оценка (см. [15, с. 152]) ω(λz) � (λ + 1)ω(z), λ � 0, z � 0. Функция ω(z)/z, z > 0, почти убывает, а именно, ω(z1) z1 ω(z2) z � 2 , z1 2 � z2 > 0. Отсюда, в частности, следует, что если 0 < z � z0, то z � C(z0)ω(z), где C(z0) = 2z0/ω(z0). ω Далее, если модуль непрерывности ω удовлетворяет условию Дини (1.1), то - также модуль ω непрерывности, причем ω(z) � 2 (z), z � 0. Если ω - модуль непрерывности, то функция ω∗(z) = ω (z1/2) также является модулем непрерывности. При этом, если ω удовлетворяет условию Дини, то ω∗ также удовлетворяет условию Дини и имеет место равенство ω�∗(z) = 2ω(z1/2), z � 0. Наконец, справедлива оценка (см. [18]) ω(|x|) exp{-|x|2/t} � Cω(t1/2) exp{-c|x|2/t} для некоторых C, c > 0 и всех x ∈ R и t > 0. В полосе D рассматриваем область Ω = {(x, t) ∈ D : g1(t) < x < g2(t)} с негладкими боковыми границами Σk = {(x, t) ∈ D : x = gk (t)},k = 1, 2. Предполагаем, что функции gk,k = 1, 2, 22 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА удовлетворяют условиям: g1(t) < g2(t), 0 � t � T, (1.2) |gk (t + Δt) - gk (t)| � C|Δt|1/2ω1(|Δt|1/2), t, t + Δt ∈ [0,T ], k = 1, 2, (1.3) где ω1 - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (1.1), и для некоторого ε1 ∈ (0, 1) функция ω1(z)z-ε1 ,z > 0, почти убывает. В области Ω ставится задача отыскания классического решения системы Lu = 0 в Ω, (1.4) удовлетворяющего начальному условию u(x, 0) = 0, g1(0) � x � g2(0), (1.5) и граничным условиям u(g1(t), t) = ψ1(t), 0 � t � T, (1.6) ∂xu(g2(t), t) = ψ2(t), 0 � t � T. (1.7) Известно (см. [16]) что при условиях a)-c) существует фундаментальная матрица решений системы Lu = 0, причем она имеет вид Γ(x, t, ξ, τ ) = Z (x - ξ, t - τ ; A(2)(ξ, τ ) + W (x, t; ξ, τ ), (x, t; ξ, τ ) ∈ D × D, t > τ, (1.8) x где Z (x - ξ, t - τ ; A(2)(ξ, τ )) - фундаментальная матрица решений системы ∂tu - A(2)(ξ, τ )∂2u = 0 с «замороженными» в точке (ξ, τ ) коэффициентами, t r W (x, t; ξ, τ ) = dη +∞ r Z (x - y, t - η; A(2)(y, η) μ(y, η; ξ, τ )dy. (1.9) τ -∞ Вектор-плотность μ в (1.9) находится из условия, чтобы столбцы матрицы Γ(x, t, ξ, τ ) удовлетворяли по переменным (x, t) системе Lu = 0 в слое {τ < t < T }. Матрица Z из (1.8) имеет вид (см. [27, с. 297], [1, с. 133]) +∞ Z (x, t; A(2)(ξ, τ ) = 1 r 2π -∞ eiσx exp f- σ2A(2)(ξ, τ )tl dσ, t > 0. (1.10) Имеют место оценки (см. [16], [27, с. 298], [34, с. 67]): |∂k∂l Γ(x, t; ξ, τ )| � C(t - τ )-(2k+l+1)/2 exp ( (x - ξ)2 1 -c , (1.11) t x t - τ ( (x - ξ)2 1 |∂k∂l W (x, t; ξ, τ )| � Cω0 ((t - τ )1/2 (t - τ )-(2k+l+1)/2 exp -c , (1.12) t x 2k + l � 2, x, ξ ∈ R, 0 � τ < t � T ; ( t - τ 2 1 |∂k∂l Z(x, t; A(2)(ξ, τ ))| � C(k, l)t-(2k+l+1)/2 exp -cx , (1.13) t x t ( x2 1 |Δξ,τ ∂k∂l Z(x, t; A(2)(ξ, τ ))| � C(k, l)ω0(|Δξ| + |Δτ |1/2)t-(2k+l+1)/2 exp -c , (1.14) t x t k, l � 0, x, ξ,ξ + Δξ ∈ R, 0 � τ < τ + Δτ � T, 0 < t � T ; |Δt∂l W (x, t; ξ, τ )| � C(Δt)1-l/2ω0 ((t - τ )1/2 (t - τ )-3/2 exp ( (x - ξ)2 1 -c , (1.15) x t - τ l = 0, 1, x, ξ ∈ R, 0 � τ < t < t + Δt � T, Δt � t - τ. Здесь и далее через C, c обозначаем положительные постоянные, зависящие от δ, T, кривых Σ1, Σ2 и коэффициентов оператора L. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 23 Решение задачи (1.4)-(1.7) будем искать в виде суммы векторных параболических потенциалов простого слоя t 2 2 r u(x, t) = ' Ukϕk (x, t) ≡ ' Γ(x, t; gk (τ ),τ )ϕk (τ )dτ, (x, t) ∈ Ω, (1.16) k=1 k=1 0 где Γ - матрица (1.8), непрерывные на [0,T ] вектор-функции ϕk = (ϕk1,..., ϕkm),k = 1, 2, подлежат определению. Вектор-функция (1.16) является классическим решением уравнения (1.4) в D\(Σ1 ∪ Σ2) и удовлетворяет начальному условию (1.5). Подставляя (1.16) в граничные условия (1.6), (1.7) и используя теорему о скачке пространственной производной потенциала простого слоя (см. [16, 24]), получаем систему граничных интегральных уравнений Вольтерры t r 2 ' Γ(g1(t), t; gk (τ ),τ )ϕk (τ )dτ = ψ1(t), t ∈ [0,T ], (1.17) k=1 0 t 2 r 1 ( -1 (g (t), t)ϕ (t)+ ' ∂ Γ(g (t), t; g (τ ),τ )ϕ (τ )dτ = ψ (t), t [0,T ], (1.18) A(2) 2 2 2 x 2 k k 2 ∈ k=1 0 для отыскания неизвестных плотностей ϕ1, ϕ2. 2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА Будем использовать следующие функциональные пространства: C[0,T ] - пространство непрерывных вектор-функций ψ : [0,T ] → Rm с нормой ||ψ; [0,T ]||0 = max |ψ| и C[0,T ] = {ψ ∈ C[0,T ] : [0,T ] 0 ψ(0) = 0}. Здесь и далее для любого вектора b (или матрицы A) под |b| (соответственно, |A|) понимаем максимум из модулей компонент b (элементов A). Пусть ∂1/2ψ(t) ≡ (∂1/2ψ)(t) = 1 r t d (t - τ )-1/2ψ(τ )dτ, t ∈ [0,T ], t √π dt 0 § оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Через C1/2[0,T ] обозначим (см. [10, 12]) пространство вектор-функций ψ ∈ C[0,T ], для которых существует ∂1/2ψ ∈ C[0,T ]; при этом, ||ψ; [0,T ]||1/2 = max |ψ| + max |∂1/2ψ|. Через C1/2[0,T ] обозначим пространство вектор-функций [0,T ] [0,T ] 0 ψ ∈ C1/2[0,T ], для которых ψ(0) = 0 и ∂1/2ψ(0) = 0. Пусть ω - модуль непрерывности. Через H1/2+ω [0,T ] обозначим пространство вектор-функций 0 ∈ ψ C[0,T ], для которых 0 |ψ; [0,T ]|1/2+ω = ||ψ; [0,T ]||0 + sup (0,T ) ( ψ(t +Δt) - ψ(t) 1 |Δt|1/2ω(|Δt|1/2) < ∞. ∈ Замечание 2.1. Если ψ H1/2+ω [0,T ], где ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий усло- 0 ∈ вию Дини (1.1), то ψ C1/2[0,T ] (см. [2, 18]). Обратное, вообще говоря, неверно (см. [12]). 0 Пусть модуль непрерывности ω удовлетворяет условию: для некоторого ε ∈ (0, 1) функция ω(z)z-ε, z > 0, почти убывает. (2.1) Через Hω [0,T ] обозначим пространство вектор-функций ψ ∈ C[0,T ], для которых ( ψ(t +Δt) - ψ(t) 1 |ψ; [0,T ]|ω = ||ψ; [0,T ]||0 + sup (0,T ) ω(|Δt|1/2) < ∞, 0 и Hω [0,T ] = {ψ ∈ Hω [0,T ] : ψ(0) = 0}. 24 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА Замечание 2.2. Для любой непрерывной на [0,T ] (вектор-)функции ψ существует модуль непрерывности ω, удовлетворяющий условию (2.1) и такой, что |ψ; [0,T ]|ω < ∞. Другими словами, пространства Hω [0,T ] и C[0,T ] отличаются только нормами. Действительно, если ψ ≡ const на [0,T ], утверждение очевидно. Пусть ψ /≡ const на [0,T ] и ωψ - модуль непрерывности (вектор-)функции ψ, т. е. ωψ (z) = sup t,t+Δt∈[0,T ],|Δt|�z |ψ(t + Δt) - ψ(t)|, z ∈ [0,T ]. Тогда (см. [15, c. 150]) ωψ (0) = 0 и ωψ непрерывна, не убывает и полуаддитивна на [0,T ]. Кроме того, ωψ (z1) z1 2 ωψ (z2) � z2 , z1 � z2 > 0. Пусть α ∈ (0, 1). Полагаем ω(z) = ωα(z), если 0 � z � T, и ω(z) = ωα(T ), если T < z < +∞. Очевидно, что ω ψ непрерывна и не убывает на [0,T ] и ω(0) = 0. ψ Покажем, что ω полуаддитивна. Сначала заметим, что для любых p, q > 0 и 0 < α < 1 выполнено неравенство (p + q)α � pα + qα. (2.2) Действительно, для любых p1, q1 � 0 и r > 1 имеем (p1 + q1)r = (p1 + q1)r-1p1 + (p1 + q1)r-1q1 � pr r α α α α 1/α 1 +q1 . Следовательно, полагая p1 = p откуда и вытекает неравенство (2.2). Используя (2.2), находим , q1 = q ,r = 1/α, при α ∈ (0, 1) получим (p +q ) � p+q, ω(z1 + z2) ≡ [ωψ (z1 + z2)]α � [ωψ (z1)+ ωψ (z2)]α � ωα(z1)+ ωα(z2) ≡ ω(z1)+ ω(z2), ψ ψ т. е. ω полуаддитивна. Далее, пусть α < ε < 1. Тогда для z1 � z2 > 0 имеем: ω(z1) 1 ωψ (z1) ε � 1 ωψ (z2) ε α 2 ω(z2) 2 o ωψ (z ) z ωε-α ε = · 1 ψ (z1) z1 ψ ωε-α(z2) · z2 z = 2 ε ≡ 2 z C(ε) ε . 2 Следовательно, ω удовлетворяет условию (2.1). Наконец, так как |Δt| � c|Δt|1/2, где c = max(1,T 1/2), то |ψ(t + Δt) - ψ(t)| � ωψ (|Δt|) � ωψ (c|Δt|1/2) � Cωψ (|Δt|1/2) = = Cωα(|Δt|1/2)ω1-α(|Δt|1/2) � C1ωα(|Δt|1/2) ≡ C1ω(|Δt|1/2), ψ ψ ψ ψ где C1 = Cω1-α (T 1/2) . Следовательно, |ψ; [0,T ]|ω < +∞. Не ограничивая общности, далее везде предполагаем, что ω удовлетворяет условию (2.1). Через C1/2,ω [0,T ] обозначим пространство вектор-функций ψ ∈ C1/2[0,T ], для которых ∂1/2ψ ∈ 0 Hω [0,T ]; при этом ||ψ; [0,T ]||1/2,ω = ||ψ; [0,T ]||0 + |∂1/2ψ; [0,T ]|ω. Через C1/2,ω [0,T ] обозначим пространство вектор-функций ψ ∈ C1/2,ω [0,T ], для которых ψ(0) = 0 и ∂1/2ψ(0) = 0. Замечание 2.3. Если ψ ∈ C1/2[0,T ], то ψ ∈ C1/2,ω [0,T ] для некоторого модуля непрерывности ω, удовлетворяющего условию (2.1) (см. замечание 2.2). → Через C(Ω) обозначим пространство вектор-функций u : Ω Rm, непрерывных в Ω, для кото- 0 рых u(x, 0) = 0. Через C1,1/2(Ω) обозначим (см. [10, 12]) пространство вектор-функций u ∈ C(Ω), 0 0 для которых существуют ∂xu, ∂1/2u ∈ C(Ω); при этом ||u; Ω||1,1/2 = ), sup |∂l u| + sup |∂1/2u|. Под t x t 0 l�1 Ω Ω значениями (вектор-)функций и их производных на границе области Ω понимаем их предельные значения «изнутри» Ω. Теорема 2.1. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям a)-c), а функции gk,k = 1, 2, задающие кривые, удовлетворяют Σk-условиям (1.2), (1.3). Тогда для любых вектор-функций ψ1 ∈ C1/2[0,T ] и ψ2 ∈ C[0,T ] справедливы следующие утверждения: 0 0 0 2. классическим решением задачи (1.4)-(1.7) является сумма потенциалов простого слоя (1.16), где {ϕk ∈ C[0,T ],k = 1, 2} - единственное решение системы интегральных уравнений (1.17), (1.18); СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 25 3. это решение принадлежит пространству C1,1/2(Ω) и выполнена оценка 0 ||u; Ω||1,1/2 � C (||ψ1; [0,T ]||1/2 + ||ψ2; [0,T ]||0 . (2.3) Замечание 2.4. Утверждение теоремы 2.1 является новым и в случае одного уравнения (m = 1). Замечание 2.5. Краевая задача для системы с ненулевой правой частью и ненулевым начальным условием сводится к задаче (1.4)-(1.7) с помощью плоского параболического потенциала и потенциала Пуассона (см. [34, с. 59, 104]). 3. СИСТЕМА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом разделе исследуется система граничных интегральных уравнений Вольтерры (1.17), (1.18). Обозначим A¯k (τ ) = A(2)(gk (τ ),τ ),k = 1, 2. Используя представление (1.8)) для матрицы Γ, положим Γ(g1(t), t; g1(τ ),τ ) = Z (0,t - τ ; A¯1(τ )) + N11(t, τ ), где N11(t, τ ) = [Z(g1(t) - g1(τ ),t - τ ; A¯1(τ )) - Z(0,t - τ ; A¯1(τ ))] + W (g1(t), t; g1(τ ),τ ). Обозначим N12(t, τ ) = Γ(g1(t), t; g2(τ ),τ ), N2k (t, τ ) = ∂xΓ(g2(t), t; gk (τ ),τ ), k = 1, 2. Тогда систему (1.17), (1.18) можно записать в виде rt 2 rt Z (0,t - τ ; A¯1(τ )) ϕ1(τ )dτ + ' N1k (t, τ )ϕk (τ )dτ = ψ1(t), t ∈ [0,T ], (3.1) 0 1 A¯-1 k=1 0 t r 2 ' Пусть 2 2 (t)ϕ2(t)+ k=1 0 N2k (t, τ )ϕk (τ )dτ = ψ2(t), t ∈ [0,T ]. (3.2) +∞ 1 r M (τ ) = √π -∞ 1 t exp{-y 2A¯1(τ )}dy (3.3) π и I1/2ϕ(t) ≡ (I1/2ϕ)(t) = √ Г (t - τ )-1/2ϕ(τ )dτ - оператор дробного интегрирования порядка 1/2. 0 Так как (см. (1.10)) 1 Z (0,t - τ ; A¯1(τ )) = M (τ ), (3.4) 2 π(t - τ ) 2 t 1 2 уравнение (3.1) примет вид 1 I1/2(Mϕ )(t)+ ), Г N (t, τ )ϕ (τ )dτ = ψ (t), 0 � t � T. 1k k 1 k=1 0 t Обозначим Hskϕ(t) = Г Nsk (t, τ )ϕk (τ )dτ, s,k = 1, 2,t ∈ [0,T ], и перепишем систему (3.1), (3.2) 0 в операторном виде 2 1 2 I1/2(Mϕ1)+ ' H1kϕk = ψ1, (3.5) k=1 1 2 A¯-1 ' 2 2 ϕ2 + k=1 H2kϕk = ψ2. (3.6) ω Лемма 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда операторы H1kϕ, k = 1, 2, суть ограниченные операторы из C[0,T ] в H1/2+ω [0,T ], ω = 0 + ω1. 0 Доказательство. Достаточно доказать оценки |H1kϕ(t)| � C||ϕ||0t1/2 ω0 (t1/2 + ω1 (t1/2 , (3.7) |ΔtH1kϕ(t)| � C||ϕ||0(Δt)1/2 ω0 ((Δt)1/2 + ω1 ((Δt)1/2 , (3.8) t, t + Δt ∈ [0,T ], Δt > 0, k = 1, 2, ||ϕ||0 = ||ϕ; [0,T ]||0. 26 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА Заметим, что, в силу (1.2), (1.11) при s /= k справедлива оценка 1 l 1 1∂xΓ(gs(t), t; gk (τ ),τ )1 � C, l = 0, 1, 2, (3.9) 1 1 поэтому |N12(t, τ )| � C. (3.10) В силу (1.3), (1.13), получаем неравенство 1 1Z ( g1(t) - g1(τ ),t - τ ; A¯1(τ )) - Z (0,t - τ ; A¯1(τ ) 1 )1 � C(t - τ )-1/2ω1 ((t - τ )1/2 , которое вместе с (1.12) дает оценку ω0 1 ( |N11| � C(t - τ )-1/2 ((t - τ )1/2 + ω (t - τ )1/2 . (3.11) Из (3.10), (3.11) вытекает требуемая оценка (3.7): t r |H1kϕ(t)| � C||ϕ||0 0 f1+ (t - τ )-1/2 0 ω - ((t τ )1/2 + ω1 ((t - τ )1/2 l dτ � � C||ϕ||0t1/2 ω0 (t1/2 + ω1 (t1/2 , k = 1, 2. Неравенство (3.8) (в силу (3.7)) достаточно доказать в случае 0 < Δt < t. Положим 1 ΔtHskϕ(t) = '(-1)i+1 i=0 t+iΔt r Nsk (t + iΔt, τ )ϕ(τ )dτ + t-Δt t-Δt r sk - R sk + [ΔtNsk (t, τ )]ϕ(τ )dτ = R1 0 sk + R2 , s, k = 1, 2. (3.12) 0 1k Из (3.10), (3.11) получаем оценку для Ri при i = 0, 1 и k = 1, 2: 1Ri 1 1 1k 1 � C||ϕ||0 t+iΔt { - 1/2 0 ( - 1/2 r 1+ (t + iΔt τ )- [ω (t + iΔt τ ) + t-Δt 1 ( - 1/2 } � || ||0 1/2 0 + ω (t + iΔt τ ) ] dτ C ϕ (Δt) ω ((Δt)1/2 + ω1 ( (Δt)1/2 . 1k Рассмотрим R2 ,k = 1, 2. Используя теорему о среднем и (1.3), (1.13), имеем 1 rZ (g (t) - g (τ ),t - τ ; A¯ (τ )) - Z (0,t - τ ; A¯ (τ ))l1 � 1Δt 1 1 1 1 1 � Cω1 ((t - τ )1/2 [(Δt)1/2ω1 ((Δt)1/2 (t - τ )-1 + (Δt)(t - τ )-3/2]. Отсюда и из (1.15), следует, что |ΔN11(t, τ )| � C{(Δt)1/2ω1 ((Δt)1/2 (t - τ )-1ω1 ((t - τ )1/2 + + (Δt)(t - τ )-3/2 ω0 ((t - τ )1/2 + ω1 ((t - τ )1/2 . (3.13) } В силу (1.2), (1.3), (1.11) справедливо неравенство |ΔN12(t, τ )| � C(Δt)1/2ω1 ((Δt)1/2 . (3.14) СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 27 Из (3.13), (3.14) и в силу свойств функций ω0 и ω1 находим r t |R 1k 2 | � C||ϕ||0{(Δt)1/2ω1 ((Δt)1/2 0 t-Δt r [1 + (t - τ )-1ω1 ((t - τ )1/2 ]dτ + t-Δt r 0 +(Δt)1-ε0/2ω ((Δt)1/2 0 (t - τ )-(3-ε0)/2 dτ + (Δt) 1-ε1/2ω1 ((Δt) 1/2 0 (t - τ ) -(3-ε1)/2 dτ � Лемма доказана. � || ||0 1/2 0 C ϕ (Δt) ω ((Δt)1/2 + ω1 ( (Δt)1/2 . Лемма 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда операторы H2kϕ, k = 1, 2, суть ограниченные операторы из C[0,T ] в Hω [0,T ],ω = 0 + . ω ω1 0 Доказательство. Утверждение леммы будет следовать из оценок |H2kϕ(t)| � C||ϕ||0 ω 0 ( 1/2 + ω1 ( 1/2 , (3.15) | tH2k | � || ||0 0 ( Δ ϕ(t) C ϕ ω t (Δt)1/2 t 1 + ω ( (Δt)1/2 , (3.16) t, t + Δt ∈ [0,T ], Δt > 0; k = 1, 2; ||ϕ||0 = ||ϕ; [0,T ]||0. Докажем оценку (3.15). Из неравенства (3.9) следует, что |N21(t, τ )| � C. (3.17) В силу представления (1.8) имеем N22(t, τ ) = ∂xZ (g2(t) - g2(τ ),t - τ ; A¯2(τ )) + ∂xW (g2(t), t; g2(τ ),τ ) . Поскольку g2(t) - g2(τ ) 1 ∂xZ (g2(t) - g2(τ ),t - τ ; A¯2(τ )) = - то в силу (1.3), (1.13) получим 2(t - τ ) (A¯2)- (τ )Z (g2(t) - g2(τ ),t - τ ; A¯2(τ )) , (3.18) 1 1∂xZ (g2(t) - g2(τ ),t - τ ; A¯2(τ ) 1 )1 � Cω1 ((t - τ )1/2 (t - τ )-1. Отсюда и из неравенства (1.12) имеем ( |N22(t, τ )| � [ω1 (t - τ )1/2 0 + ω ( (t - τ )1/2 ](t - τ )-1. (3.19) Следовательно, в силу (3.17) и (3.19), находим |H2kϕ(t)| � C||ϕ||0 t { 1 - 1/2 0 - 1/2 - -1 } � r ( ( [ω (t τ ) + ω (t τ ) ](t τ ) + 1 dτ 0 ω1 � C||ϕ||0 (t1/2 + ω 0 (t1/2 ,k = 1, 2. Оценку (3.16) для операторов H2kϕ, k = 1, 2, доказываем с помощью представления (3.12). При этом (в силу (3.15)) можно считать, что 0 < Δt < t. Из (3.17) и (3.19) получаем оценку (3.16) для Ri 2k при i = 0, 1 и k = 1, 2: |R 2k i | � C||ϕ||0 t+iΔt { 0 - 1/2 1 - 1/2 - -1 } � r ( ( [ω (t + iΔt τ ) + ω (t + iΔt τ ) ](t + iΔt τ ) + 1 dτ t-Δt � C||ϕ||0 ω 0 ((Δt)1/2 + ω1 ((Δt)1/2 . 28 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА 2k Рассмотрим R2 ,k = 1, 2. Используя представление (3.18) и соотношения (1.3), (1.13), имеем 1Δt∂xZ g2(t)-g2(τ ), t-τ ; A¯2(τ ) 1 �C[(Δt)1/2ω1 ( t)1/2 (t-τ )-3/2+(Δt)ω1 ( t-τ )1/2 t-τ )-2]. 1 ( )1 (Δ ( ( Отсюда и из неравенства (1.15), с учетом свойств функций ω0 и ω1, находим t-Δt r |R2 | � C||ϕ||0{(Δt)1/2ω1 ( t)1/2 (t - τ )-3/2dτ + ω1 ((Δt)1/2) 22 t-Δt r (Δ 0 t-Δt r +(Δt) (Δt)1/2 (t - τ )-3/2dτ + (Δt)(1-ε0)/2ω0 ((Δt)1/2 0 0 (t - τ )-(3-ε0)/2dτ } � � C||ϕ||0[ω1 ((Δt)1/2 + ω0 ((Δt)1/2 ] � C||ϕ||0 ω 0 ((Δt)1/2 + ω1 ( 0. 1/2 . (Δ Наконец, из соотношений (1.2), (1.3), (1.13), (1.15) следует, что |Δt∂xΓ(g2(t), t; g1(τ ),τ )| � C(Δt)1/2[ω0 ((t - τ )1/2 + ω1 ((Δt)1/2 ] � C(Δt)1/2, поэтому, используя свойства модуля непрерывности, находим |R2 | � C||ϕ||0(Δt)1/2 � C||ϕ||0 ω 0 ( (Δt)1/2 + ω1 ((Δt)1/2 . 21 Лемма доказана. - Лемма 3.3. ( [2, 18]). Пусть ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (1.1). Тогда оператор ∂1/2 есть ограниченный оператор из H1/2+ω [0,T ] в Hω [0,T ]. 0 0 Лемма 3.4. Оператор вложения J : Hω [0,T ] → C[0,T ] компактен. Доказательство. Пусть B ⊂ Hω [0,T ] - ограниченное множество. Тогда существует постоянная C > 0 такая, что |ϕ; [0,T ]|ω � C для любой ϕ ∈ B, т. е., |ϕ(t)| � C и |Δtϕ(t)| � C|Δt|ω для любой ϕ ∈ B и любых t, t + Δt ∈ [0,T ]. Поэтому множество B равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Следовательно, по теореме Арцела-Асколи, множество B предкомпактно в C[0,T ], значит J - компактный оператор. Лемма доказана. ∈ Лемма 3.5. Пусть ϕ Hω [0,T ]. Если существует постоянная C > 0 такая, что для любого 0 t0 ∈ (0,T ] выполнено неравенство то ϕ ≡ 0 on [0,T ]. |ϕ; [0, t0]|ω � C||ϕ; [0, t0]||0, (3.20) Доказательство. Для доказательства используем рассуждения из [12]. Фиксируем произвольное t0 ∈ (0,T ] и положим ϕ0(t) = ϕ(t), если 0 � t � t0, и ϕ0(t) = ϕ(t0), если t0 < t � T. (3.21) Из неравенства (3.20) следует, что ∈ |ϕ0; [0, t0]|ω � C||ϕ0; [0, t0]||0. (3.22) Так как ϕ Hω [0,T ], то в силу неравенства (3.22) находим 0 sup |ϕ0(t)| = sup |ϕ(t)| = sup ( |ϕ(t) - ϕ(0)| ω (t1/2 � ω ((t )1/2 |ϕ; [0,t ]|ω = (0,t0) (0,t0) (0,t0) ω (t1/2) 0 0 = ω ((t0)1/2 |ϕ0; [0, t0]|ω � Cω ((t0)1/2 ||ϕ0; [0, t0]||0, где C - постоянная из (3.20). Для достаточно малого t0 выполнено Cω ((t0)1/2) � 1/2, следовательно, ϕ0 ≡ ϕ ≡ 0 на [0, t0]. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 29 Если t0 = T, то лемма доказана. Если t0 < T, то рассматриваем t1 такое, что t1 = 2t0, если 2t0 � T, и t1 = T, если 2t0 > T. Полагаем ϕ1(t) = ϕ(t), если 0 � t � t1 и ϕ1(t) = ϕ(t1), если t1 < t � T. Используя равенство ϕ1 ≡ 0 на [0, t0], получим sup |ϕ1(t)| = sup |ϕ1(t)| = sup |ϕ(t)| = sup ( ( |ϕ(t) - ϕ(t0)| ω ( t - t )1/2 � (0,t1) (t0,t1) (t0,t1) (t0,t1) 0 ω ((t - t0)1/2) � ω ((t0)1/2 |ϕ; [0, t1]|ω = ω ((t0)1/2 |ϕ1; [0, t1]|ω � Cω ((t0)1/2 ||ϕ1; [0, t1]||0, где C - постоянная из (3.20). Поскольку Cω ((t0)1/2) � 1/2, то ϕ1 ≡ ϕ ≡ 0 на [0, t1]. Если t1 < T, то, продолжая этот процесс, через конечное число шагов получаем утверждение леммы. Следуя А. Н. Тихонову [26], назовем оператор K : C[0,T ] → C[0,T ] вольтерровым, если для любого t ∈ [0,T ] из равенства ϕ1 = ϕ2 на [0, t] следует, что Kϕ1 = Kϕ2 на [0, t]. → Лемма 3.6. Пусть K : C[0,T ] Hω [0,T ] - линейный ограниченный вольтерров оператор. 0 Тогда уравнение ϕ + Kϕ = 0 имеет в C[0,T ] только решение ϕ = 0. 0 Доказательство. Для доказательства используем рассуждения из [8, 12]. Пусть ϕ ∈ C[0,T ] - решение уравнения ϕ + Kϕ = 0. Тогда ϕ = -Kϕ, причем Kϕ ∈ Hω [0,T ]. Следовательно, ϕ ∈ Hω [0,T ]. 0 Фиксируем произвольное t0 ∈ (0,T ]. Поскольку ϕ(t) = -(Kϕ0)(t), 0 � t � t0, где функция ϕ0 определена в (3.21), то, в силу условия на K, |ϕ; [0, t0|ω = |Kϕ0; [0, t0]|ω � |Kϕ0; [0,T ]|ω � ||K||· ||ϕ0; [0,T ]||0 = ||K|| · ||ϕ; [0, t0]||0. Тогда из леммы 3.5 следует, что ϕ = 0. Лемма доказана. Из лемм 3.4, 3.6 вытекает → Лемма 3.7. Пусть K : C[0,T ] Hω [0,T ] - линейный ограниченный вольтерров оператор. 0 Тогда для любой вектор-функции ψ ∈ C[0,T ] уравнение ϕ + Kϕ = ψ имеет единственное решение ϕ ∈ C[0,T ] и справедлива оценка ||ϕ; [0,T ]||0 � C||ψ; [0,T ]||0 для некоторой постоянной C > 0. Замечание 3.1. Для матрицы M, заданной формулой (3.3), имеет место равенство 1 M 2(τ ) = A¯-1(τ ), τ ∈ [0,T ]. (3.23) Действительно (см. [23]), обозначим I = Z (0, t; A¯1(τ )) . Из (3.4) следует, что 1 I = √ M (τ ). (3.24) С другой стороны, 2 πt 2π +∞ I2 = 1 r r exp (x2 + y2)A¯ (τ )t 1 r r dxdy = dϕ exp r2A¯ (τ )t rdr = 4π2 R R {- +∞ 1 r ∂ 1 } ( A¯-1(τ ) 4π2 0 {- 1 } 0 \ = 2π 0 1 A¯-1 1 ∂r - 2t exp{-r2A¯1(τ )t} ¯-1 dr = - r = [ lim 2π →+∞ 1 (τ ) 2t exp{-r 2A¯1(τ )t} + lim r→0 A1 (τ ) 2t exp{-r 2A¯1(τ )t}] = 1 4πt 1 A¯-1(τ ). Отсюда и из (3.24) получаем равенство (3.23). 30 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда для любых вектор-функций ψ1 ∈ C1/2[0,T ] и ψ2 ∈ C[0,T ] система (1.17), (1.18) имеет единственное решение {ϕk ∈ C[0,T ], 0 0 0 k = 1, 2} и справедлива оценка ||ϕk ; [0,T ]||0 � C (||ψ1; [0,T ]||1/2 + ||ψ2; [0,T ]||0 , k = 1, 2. (3.25) 0 Доказательство. Как показано выше, система (1.17), (1.18) может быть записана в виде (3.5), (3.6). Из условий b), c) и (1.3) следует, что матрица M ∈ Hω0 [0,T ]; причем |M ; [0,T ]|ω0 � C|A¯1; [0,T ]|ω0 � C. Применяя к уравнению (3.5) оператор дробного дифференцирования ∂1/2, получим, в силу лемм 3.1, 3.3 и равенств ∂1/2I1/2f = f и I1/2∂1/2f = f, справедливых для любых f ∈ C[0,T ] и f ∈ C1/2[0,T ] ∩ C[0,T ], соответственно, уравнение 2 Mϕ1 + ' 2∂1/2H1kϕk = 2∂1/2ψ1, (3.26) k=1 которое эквивалентно (3.5) для ϕk ∈ C[0,T ]. 1 Из условий а), b) вытекает, что δ1 � det A1(τ ) � δ± 1 для некоторых δ1, δ± 1 > 0 и всех τ ∈ [0,T ]; 1 кроме того, A1 ∈ Hω0 [0,T ]. Поэтому существует обратная матрица A- , причем для некоторых δ2, δ± 2 > 0 и всех τ ∈ [0,T ] имеет место неравенство δ � det A-1(τ ) � δ± и, кроме того, A-1 ∈ 2 1 2 1 Hω ± ± 0 [0,T ]. Отсюда и из равенства (3.23) следует, что δ3 � det M (τ ) � δ3 для некоторых δ3, δ3 > 0 и всех τ ∈ [0,T ]; кроме того, M ∈ Hω0 [0,T ]. Тогда существует обратная матрица M -1(τ ) и для некоторого δ4 > 0 и всех τ ∈ [0,T ] выполнено неравенство det M -1(τ ) � δ4. Кроме того, M -1 ∈ Hω0 [0,T ], причем |M -1; [0,T ]|ω0 � C|M ; [0,T ]|ω0 � C. (3.27) Умножая обе части (3.26) на M -1, получим эквивалентное уравнение 2 ϕ1 + ' 2M -1∂1/2H1kϕk = 2M -1∂1/2ψ1. (3.28) k=1 Умножая обе части (3.6) на 2A¯2, получим эквивалентное уравнение 2 ϕ2 + ' 2A¯2H2k ϕk = 2A¯2ψ2. (3.29) k=1 Для решения системы (3.28), (3.29) введем обозначения: (ϕ1\ (ψ1\ (M -1∂1/2\∓ (M -1∂1/2H11 M -1∂1/2H12\ ϕ = , ψ = , ϕ2 ψ2 ψ = 2 A¯2 ψ, K = 2 A¯2H21 A¯2H22 и перепишем систему (3.28), (3.29) в виде ϕ + Kϕ = ψ , (3.30) 0 где ψ ∈ C[0,T ], причем ||ψ ; [0,T ]|| � C ( ψ1; [0,T ]|| 1/2 + ||ψ2; [0,T ]||0) . 0 || Далее используем рассуждения из [8, 12]. Оператор K - вольтерров оператор. Кроме того, в силу лемм 3.1, 3.2, 3.3 и оценки (3.27), K - линейный ограниченный оператор из C[0,T ] в Hω [0,T ],ω = 0 + . Следовательно, по лемме 3.7 для любой ψ ∈ C[0,T ] уравнение (3.30) имеет ω ω1 0 0 1 единственное решение ϕ ∈ C[0,T ] и справедлива оценка ||ϕ; [0,T ]||0 � C 1ψ; [0,T ]1 . Наконец, так 1 1 1 как K(C[0,T ]) ⊂ Hω [0,T ], ω = 0 + и ψ (0) = 0, то решение ϕ уравнения (3.30) принадлежит 0 C[0,T ]. Теорема доказана. 0 ω ω1 ∈ Замечание 3.2. Из равенства (3.30) и лемм 3.1, 3.2, 3.3 следует, что если ψ1 C1/2,ω2 [0,T ] и 0 ω0 ψ2 ∈ Cω3 [0,T ], то решение ϕ уравнения (3.30) принадлежит Hω [0,T ], где ω = ω1 + + ω2 + ω3, и 0 0 выполнена оценка |ϕ; [0,T ]|ω � C(||ψ1; [0,T ]||1/2,ω2 + |ψ2; [0,T ]|ω3 ). СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 31 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1 0 Доказательство теоремы 2.1. Решение задачи (1.4)-(1.7) ищем в виде суммы потенциалов (1.16), где вектор-плотности ϕ1, ϕ2 подлежат определению. Для любых непрерывных на [0,T ] плотностей ϕ1, ϕ2 вектор-функция (1.16) является классическим решением уравнения (1.4) и удовлетворяет начальному условию (1.5). Для отыскания неизвестных плотностей подставляем векторфункцию (1.16) в граничные условия (1.6), (1.7), откуда получаем систему граничных интегральных уравнений Вольтерры (1.17), (1.18). Из теоремы 3.1 следует, что система (1.17), (1.18) имеет единственное решение {ϕk ∈ C[0,T ],k = 1, 2} и выполнена оценка (3.25). Поэтому существу- ∈ ет классическое решение задачи (1.4)-(1.7), которое имеет вид суммы потенциалов простого слоя (1.16). Используя теперь результат о гладкости потенциала простого слоя с плотностью ϕ C[0,T ] полученный в [10, 12], заключаем, что найденное решение задачи (1.4)-(1.7) принад- 0 лежит пространству C1,1/2[Ω] и выполнена оценка (2.3). Теорема доказана. 0 5. ОЦЕНКИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Пусть G+ = {(x, t) ∈ D : x > g(t)} и G- = {(x, t) ∈ D : x < g(t)} - полуограниченные области с негладкой боковой границей Σ = {(x, t) ∈ D : x = g(t)}. Предполагаем, что для функции g выполнено условие |g(t + Δt) - g(t)| � C|Δt|1/2ω1(|Δt|1/2), t, t + Δt ∈ [0,T ], (5.1) где ω1 - модуль непрерывности из условия (1.3). В G+ и G- рассмотрим потенциал простого слоя t r Uϕ(x, t) = 0 Γ(x, t; g(τ ),τ )ϕ(τ )dτ. (5.2) где Γ - матрица (1.8), ϕ = (ϕ1,..., ϕm) - вектор-функция. Обозначим параболическое расстояние от точки (x, t) ∈ G + (-) до боковой границы Σ через d(x, t) = inf (ξ,τ )∈Σ,τ �t {|x - ξ| + |t - τ |1/2� . Лемма 5.1. Пусть для коэффициентов оператора L выполнены условия a)-c) и для функции g выполнено условие (5.1). Пусть вектор-функция ϕ принадлежит Hω [0,T ]. Тогда для 0 x производной ∂2Uϕ потенциала (5.2) имеет место оценка ω0 где ω5 = + ω1 x |∂2Uϕ(x, t)| � C|ϕ; [0,T ]|ωω5(d(x, t))d-1(x, t), (x, t) ∈ G+, (5.3) + ω. Замечание 5.1. Оценка (5.3) в случае одного уравнения (m = 1) получена в [36]. Доказательство. Для доказательства используем метод работ [30, 36]. Обозначим ||ϕ||0 = ||ϕ; [0,T ]||0, |ϕ|ω = |ϕ; [0,T ]|ω, d = d(x, t) и нием (1.8) имеем: A¯(τ ) = A(2)(g(τ ),τ ). В соответствии с представлеt r 2 ∂xUϕ(x, t) = 0 t r 2 ∂xZ(x - g(τ ),t - τ ; A¯(τ ))ϕ(τ )dτ + 0 2 ∂xW (x, t; g(τ ),τ )ϕ(τ )dτ ≡ ≡ U0ϕ(x, t)+ U1ϕ(x, t), (x, t) ∈ G+. (5.4) Оценим U1ϕ. Из (1.12) следует неравенство t r |U1ϕ(x, t)| � C||ϕ||0 0 - ω ((t τ )1/2) exp ( -c |x - g(τ )|2 1 dτ. Заметим, что ( 0 2 1 ( (t - τ )3/2 2 t - τ 1 ( 2 1 exp c |x - g(τ )| - = ec exp c |x - g(τ )| +(t - τ ) - � ec exp c d (x, t) - (5.5) t - τ t - τ 2 t - τ 32 Е. А. БАДЕРКО, М. Ф. ЧЕРЕПОВА для (x, t) ∈ G+, 0 � τ < t. Кроме того, для модуля непрерывности ω, удовлетворяющего условию (2.1), справедлива оценка (см. [36]): Поэтому t r ω ((t - τ )1/2) (t - τ )3/2 0 exp ( d2 -ct - τ 1 dτ � Cω(d)d-1, t, d > 0. (5.6) Рассмотрим U0ϕ. Положим t |U1ϕ(x, t)| � C||ϕ||0ω0(d)d-1. (5.7) r U0(x, t) = [∂2Z(x - g(τ ),t - τ ; A¯(τ ))ϕ(τ ) - ∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(t))ϕ(t)]dτ + x x 0 t r x + ∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(t))dτ ϕ(t) ≡ U01ϕ(x, t)+ U02ϕ(x, t). 0 Интеграл U01ϕ представим в виде t r U01ϕ(x, t) = [∂2Z(x - g(τ ),t - τ ; A¯(τ )) - ∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(τ ))]ϕ(τ )dτ + x x 0 t r + [∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(τ )) - ∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(t))]ϕ(τ )dτ + x x 0 t r x + ∂2Z(x - g(t),t - τ ; A¯(t))[ϕ(τ ) - ϕ(t)]dτ. 0 Используя теорему о среднем, соотношения (1.13), (1.14), (5.1), (5.5), (5.6) и условие на ϕ, находим t r |U01ϕ(x, t)| � C|ϕ|ω (ω0 + ω1 + ω) ((t - τ )1/2) ( d2 exp -c 1 dτ � C|ϕ|ω (ω0 + ω1 + ω)(d)d-1. (t - τ )3/2 0 t - τ (5.8) x Оценим U02ϕ. Матрица Z (x, t; A(2)(y, η)) является решением системы ∂tZ - A(2)(y, η)∂2Z = 0, поэтому для любых фиксированных t x, y ∈ R,t ∈ (0,T ],η ∈ [0,T ] справедливо равенство r ∂2 (2) ( (2) -1 (2) xZ(x, t - τ ; A 0 (y, η))dτ = A (y, η)Z(x, t; A (y, η)). Подставим вместо y, η соответственно g(t), t. Тогда при x > g(t) имеем U02ϕ(x, t) = A¯-1(t)Z(x - g(t), t; A¯(t))ϕ(t). В силу условий a), b) элементы матрицы A¯-1 ограничены на [0,T ]. Отсюда и из (1.13) и неравенств |x - g(t)| � d(x, t), (x, t) ∈ G+, |ϕ(t)| = |ϕ(t) - ϕ(0)| � |ϕ|ωω (t1/2) , t ∈ [0,T ], получим ω (t1/2) t1/2 |U02ϕ(x, t)| � C|ϕ|ω exp ( d2 1 -c t � C|ϕ|ωω(d)d-1. (5.9) Из (5.4), (5.7)-(5.9) следует требуемая оценка (5.3). Замечание 5.2. Аналогичное утверждение справедливо для области G-. Из теоремы 2.1, леммы 5.1, замечаний 2.2, 2.3, 3.2, 5.2 и результата о гладкости потенциала простого слоя в пространстве Дини, полученного в [16], вытекает следующая теорема. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ 33 Теорема 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и ψ1 ∈ C1/2,ω2 [0,T ], ψ2 ∈ Cω3 [0,T ]. Тогда 0 0 для решения u из теоремы 2.1 выполнены оценки x |∂2u(x, t)| � C (||ψ1; [0,T ]||1/2,ω2 + |ψ2; [0,T ]|ω3 ω4(d(x, t))d-1(x, t), |∂tu(x, t)| � C (||ψ1; [0,T ]||1/2,ω2 + |ψ2; [0,T ]|ω3 ω4(d(x, t))d-1(x, t), ω0 ω1 где ω4 = + + ω2 + ω3, (x, t) ∈ Ω.