О внутренней регулярности решений двумерного уравнения Захарова-Кузнецова

Аннотация

В статье рассматриваются вопросы внутренней регулярности слабых решений начально-краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова с двумя пространственными переменными. Начальная функция предполагается нерегулярной, а основным параметром, влияющим на регулярность, является скорость убывания начальной функции на бесконечности. Основные результаты работы относятся к случаю задачи, поставленной на полуполосе. При этом различные типы краевых условий (например, Дирихле или Неймана) влияют на характер внутренней регулярности. Приводится также обзор ранее полученных результатов для других типов областей: всей плоскости, полуплоскости и полосы.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Двумерное уравнение Захарова-Кузнецова (ЗК) ut + bux + uxxx + uxyy + uux = 0, u = u(t, x, y), b ∈ R - const, (1.1) является модельным для описания нелинейных волн в средах с дисперсией, распространяющихся в заданном направлении (в данном случае это ось x) и испытывающих поперечные деформа- ции. Впервые оно было выведено в работе [4] для описания нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова- Кузнецова. Следует отметить, что в указанной статье рассматривался случай трех пространствен- ных переменных (тогда в левую часть уравнения добавляется слагаемое uxzz ), однако здесь изуча- ется его редуцированный двумерный вариант. Строгий вывод ЗК-модели можно найти, например, в [30, 36]. Уравнение (1.1) является одним из вариантов (2 + 1)-мерного обобщения уравнения Кортевега- де Фриза ut + bux + uxxx + uux = 0, u = u(t, x). (1.2) Отметим, что в отличие от уравнения (1.2), обладающего бесконечным набором законов сохра- нения, для уравнения Захарова-Кузнецова известны только два: rr u2 dxdy = const, rr r u2 + u2 - 1 u3) dxdy = const. (1.3) R2 R2 x y 3 Аналог 1-го из указанных законов сохранения (вместе с так называемом эффектом локально- го сглаживания) был использован в статье [5] (см. также [32]) для построения глобальных по Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 513 514 А. В. ФАМИНСКИЙ времени слабых решений задачи Коши для уравнения (1.2) при нерегулярной начальной функции u0 ∈ L2(R), а именно, решений из класса T x0+1 r r u ∈ L∞(0,T ; L2(R)), sup x0∈R 0 x0 x u2 dxdt < +∞. Более того, в [5] было показано, что если дополнительно известно, что xαu0 ∈ L2(R+) (здесь и далее R+ = (0, +∞)) для некоторого α > 0, то xαu ∈ L (0,T ; L (R )), xα-1/2u ∈ L (0,T ; L (R )). ∞ 2 + x 2 2 + При этом в случае α � 3/4 построенные решения единственны в классе ∞ (1 + x+)3/4u ∈ L (0,T ; L2(R)) (здесь и далее x+ = max(x, 0)). Наконец, в этой же работе было установлено свойство повышения внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания начальной функции при x → +∞: если α � n/2 для некоторого натурального n, то решение обладает при t > 0 обобщенными производными до порядка n + 1, причем для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R T x1+1 (x - x0 + 1)α-n/2∂nu ∈ L r r (δ, T ; L (x , +∞)), sup (∂n+1u)2 dxdt < +∞, а если α > n/2, то x ∞ 2 0 x x1�x0 δ x1 (x - x0 + 1)α-n/2-1/2∂n+1 x u ∈ L2(δ, T ; L2(x0, +∞)). Для случая начальной функции из пространства H1(R) аналогичные результаты (с исполь- зованием также аналога 2-го из законов сохранения (1.3)) были получены в статье [7], а для начально-краевой задачи на полуоси R+ с краевым условием u|x=0 = μ(t) - в статье [8]. Отметим также, что в статье [31] рассматривалась задача Коши для уравнения Кортевега- де Фриза с нерегулярной начальной функцией, экспоненциально быстро убывающей при x → +∞, а именно, (1 + exp(αx))u0 ∈ L2(R) для α > 0; была установлена однозначная разрешимость в классе функций таких, что (1 + exp(αx))u ∈ L∞(0,T ; L2(R)), exp(αx)ux ∈ L2((0,T ) × R), и доказана бесконечная гладкость построенных решений при t > 0. Целью настоящей работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых реше- ний различных начально-краевых задач для уравнения (1.1), аналогичных описанным выше для уравнения (1.2). Поскольку основным параметром, влияющим на гладкость решения, является скорость убывания начальной функции (и, как следствие, самого решения) при x → +∞, будем + рассматривать следующие области: 1) вся плоскость R2, 2) полуплоскость R2 = {(x, y) : x > 0}, 3) горизонтальная полоса заданной ширины ΣL = {(x, y) : 0 < y < L}, 4) полуполоса ΣL,+ = {(x, y) : x > 0, 0 < y < L}. Основные новые результаты настоящей статьи относятся именно к этому последнему 4-му случаю. В качестве весов при x → +∞ будут выбираться сте- пенные функции и экспоненты. Везде далее (если не оговорено противное) j, k, l, m, n обозначают неотрицательные целые числа, p, q ∈ [1, +∞], s ∈ R, [s] - целая часть числа s � 0. Если ν = (k1, k2) - целочисленный мультииндекс, |ν| = k1 + k2, то положим ∂ν = ∂k1 ∂k2 . Пусть x y Положим |Dk φ| = r '\" (∂ν φ)2'\ |ν|=k 1/2 , |Dφ| = |D1φ|. ( ce1/(x2-1), x < 1, ω(x) ≡ 0, | | x � 1, | | О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 515 1 где положительная константа c выбрана так, чтобы Г -1 известны, в частности, ω ∈ C∞(R). Положим 2x-1 ω(x) dx = 1. Свойства этой функции хорошо x r η(x) ≡ r ω(ξ) dξ = 2 ω(2ξ - 1) dξ. -∞ -∞ Тогда η ∈ C∞(R), η1(x) > 0 при x ∈ (0, 1), η(x) = 0 при x � 0, η(x) = 1 при x � 1, η(x) + η(1 - x) ≡ 1. Будем также использовать свойство η1(x) � cη1/2(x) для некоторой положительной константы c и любого x ∈ R (оно легко следует из ограниченности сверху η11 на R). Пусть I обозначает либо всю действительную ось R, либо полуось R+. Будем говорить, что бесконечно гладкая на I функция ψ(x) является допустимой весовой функцией, если |ψ(j)(x)| � c(j)ψ(x) для всех натуральных чисел j и всех x ∈ I. Очевидно, что любая допустимая весовая функция удовлетворяет неравенству c-1e-c0x � ψ(x) � cec0x для некоторых положитель- ных констант c0, c и всех x ∈ I. Нетрудно видеть, что ψs(x) для любого s ∈ R также является допустимой весовой функцией (более подробно см. в [18]). Также очевидно, что произведение допустимых весовых функций является допустимой весовой функцией. Примерами допустимых весовых функций являются e2αx и 1 + e2αx (в дальнейшем они будут использоваться при α > 0). Другим важным примером в случае I = R+ является степенная функция ρα(x) ≡ (1 + x)2α, α > 0. (1.4) При α = 0 будем использовать обозначение 1 ρ0(x) ≡ 2 - ln(x + e) . (1.5) Важной особенностью приведенных примеров весовых функций является то, что их производные ψ1(x) также являются допустимыми весовыми функциями. Будем говорить, что ψ1(x) ∼ ψ2(x) на I, если c-1ψ1(x) � ψ2(x) � cψ1(x) для некоторой поло- жительной константы c и всех x ∈ I. + 1 ϕψ1/2 Лемма 1.1. Пусть Ω - одна из четырех упомянутых выше областей (R2, R2 , ΣL или ΣL,+). Пусть ψ1(x), ψ2(x) суть две допустимые весовые функции, такие что ψ1(x) � c0ψ2(x) ∀x ∈ I (I = R или I = R+ соответственно) для некоторой константы c0 > 0. Пусть k - натуральное число, m ∈ [0, k), q ∈ [2, +∞], если k - m � 2, и q ∈ [2, +∞), если m = k - 1. Тогда существует константа c > 0, такая что для любой функции ϕ(x, y), для которой |Dk ϕ|ψ1/2(x) ∈ L2(Ω), 2 (x) ∈ L2(Ω), справедливо следующее неравенство: 1|Dmϕ|ψs(x)ψ1/2-s(x)1 � c1|Dk ϕ|ψ1/2(x)12s ϕψ (x) 1/2 1-2s 1 1 1/2 + c1ϕψ (x)1 , (1.6) 1 где 1 1 1 2 Lq (Ω) 1 1 1 L2(Ω) 2 1 1 L2(Ω) 2 1 L2(Ω) s = s(k, m, q) = m +1 2k - 1 . (1.7) kq Доказательство. Если Ω = R2, то данное неравенство является частным случаем более общего неравенства, установленного в [9] для произвольного числа переменных (при q = +∞ в той статье накладывалось некоторое дополнительное техническое неравенство на функции ψ1 и ψ2, которое, как выяснилось позднее, легко снять). Для остальных областей доказательство аналогично (см., например, [19], где рассматривалась область Ω = ΣL). В целях использования неравенства в настоящей статье приведем доказательство для Ω = ΣL,+ и k � 2. Без ограничения общности можно считать, что ϕ - гладкая убывающая при x → +∞ функция. Вначале следуя [6], установим одно вспомогательное неравенство: для p ∈ [1, 2), p∗ = 2p/(2 - p) равномерно относительно L c(p) 1 1 ϕ Lp∗ (ΣL,+) � L 1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+). (1.8) 516 А. В. ФАМИНСКИЙ Для p = 1 (тогда p∗ = 2) это неравенство следует из неравенства rr ϕ2 dxdy � L r r sup |ϕ| dy x∈R+ sup y∈(0,L) |ϕ| dx ΣL,+ 0 R+ и очевидных одномерных интерполяционных неравенств r sup |f | � x∈R+ R+ |f 1| dx, sup y∈(0,L) |f | � L | r L c ( f 1| + |f |) dy. 0 Если p ∈ (1, 2), то пусть ≡ |ϕ|p /2 sign ϕ, тогда из неравенства (1.8) для p = 1 следует, что p∗/2 ϕ ∗ 1 c ϕ � ϕ + ϕ 1 � ϕ ( Dϕ c(p) 1 p∗/2-1 + ϕ )1 � ϕ Lp∗ (ΣL,+) = L2(ΣL,+) L 1|D | | |1L1(ΣL,+) L 1| | | | | | 1L1(ΣL,+) c(p) p∗/2-1 1 1 c(p) p∗/2-1 1 1 � L |ϕ| Lp/(p-1)(ΣL,+)1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+) = L ϕ Lp∗ (ΣL,+)1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+), откуда (1.8) вытекает и в этом случае. Теперь мы можем доказать неравенство (1.6) для k = 1, m = 0, q > 2 (для q = 2 оно очевидно). Действительно, выбрав p ∈ (1, 2), такое что q < p∗, и применив сначала неравенство Гельдера, 1 2 ∗ потом неравенство (1.8) к функции Φ ≡ |ϕ|2/pψ1/2ψ1/p sign ϕ (заметим, что |DΦ| � c(q) (|Dϕ| + ) 1/2 ∗ 1/p∗ |ϕ| ψ1 |ϕ|2/p ψ2 ) и в конце опять неравенство Гельдера, находим, что s(1,0,q) 1/2-s(1,0,q) 1/2-1/q 1/q 1/2 q-2(q-2)/p 1/q ϕψ1 ψ2 Lq (ΣL,+) = ϕψ1 ψ2 Lq (ΣL,+) = 1 1|Φ|q-2 ( |ϕ|ψ2 ) 1 1L1(Σ L,+) � 1-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) c(q) 1 11-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) � Φ Lp∗ (ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � L1-2/q 1|DΦ| + |Φ|1Lp(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � c1(q) 1( ) 1/2 2/p∗ 1/p∗ 11-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) � L1-2/q 1 |Dϕ| + |ϕ| ψ1 |ϕ| ψ2 1Lp(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � c1(q) 1( ) 1/211-2/q 1/2 2/q � L1-2/q 1 |Dϕ| + |ϕ| ψ1 1L2(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+). Если k = 2, m = 1, q = 2, интегрирование по частям приводит к равенству rr rr (ϕ2 + ϕ2 )ψ1/2ψ1/2 dxdy = - (ϕxx + ϕyy )ψ1/2 · ϕψ1/2 dxdy- x ΣL,+ y 1 2 rr 1/2 1/2 ΣL,+ 1 r r 1/2 2 1/2'\ y=L L r r 1/2 1/2'\ - ΣL,+ ϕϕx(ψ1 ψ2 )1 dxdy + R+ ϕϕy ψ1 ψ2 y=0 dx - 0 ϕϕxψ1 ψ2 x=0 dy. Для оценки предпоследнего интеграла в правой части этого равенства используем следующее одномерное интерполяционное неравенство: sup |f | � c L rrr (f 1)2 dy L '\1/4rr f 2 dy L '\1/4 + 1 rr 1/2 f 2 dy'\ 1/2 , y∈[0,L] 0 0 L 0 а для оценки последнего интеграла - следующее: r sup |f |(ψ1ψ2)1/4 � crr x�0 (f 1)2ψ1 dx'\ 1/4rr '\ r r 1/4 f 2ψ2 dx + '\ 1/2 f 2ψ2 dx R+ R+ R+ (которое, в свою очередь, следует из элементарного неравенства sup f 2(x) � 2 Г |f 1f | dx и свойств допустимых весовых функций), а тогда x�0 R+ О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 517 L L L r r 1/2 1/2'\ rr 1/4 3/4 '\1/2rr 3/4 1/4 '\1/2 ϕϕxψ1 ψ2 dy � sup ϕ2ψ1 ψ2 dy sup ϕ2 ψ1 ψ2 dy � x=0 0 x�0 0 x x�0 0 � crrr ϕ2 ψ1/2ψ1/2'\1/2rrrr ϕ2 '\1/4rrr ϕ2ψ '\1/4 + rrr ϕ2ψ '\1/2 . x 1 2 ΣL,+ ΣL,+ xxψ1 2 ΣL,+ 2 ΣL,+ В итоге получаем неравенство (1.6) в случае k = 2, m = 1, q = 2. Комбинация уже полученных неравенств (1.6) в случаях k = 1, m = 0 и k = 2, m = 1, q = 2 приводит к этому неравенству в случае k = 2, m = 0, q ∈ (2, +∞), поскольку (|ϕ|ψs(2,0,q) 1/2-s(2,0,q) q = |ϕ|q ψq/4-1/2 q/4+1/2 1 ψ2 ) 1 ψ2 = = |ϕ|q (ψ1/2ψ1/2)q/2-1ψ2 = ( ϕ|(ψ1/2ψ1/2)s(1,0,q)ψ1/2-s(1,0,q) q , 1 2 | 1 2 2 ) и в случае k = 2, m = 1, q ∈ (2, +∞), поскольку при |ν| = 1 (|∂ν ϕ|ψs(2,1,q) 1/2-s(2,1,q) q = |∂ν ϕ|q ψq/2-1/2 1/2 1 ψ2 ) 1 ψ2 = = |∂ν ϕ|q ψq/2-1(ψ1/2 1/2 s(1,0,q) 1/2 1/2 q . 1 1 ψ2 ) = (|∂ν ϕ|ψ1 (ψ1 ψ2 )1/2-s(1,0,q)) Осталось рассмотреть случай k = 2, m = 0, q = +∞. Здесь мы воспользуемся неравенством f L∞(Ω) � c ( fxx L1(Ω) + fyy L1(Ω) + f L1(Ω) ) (1.9) из книги [3] и применим его к функции f ≡ ϕ2ψ1/2ψ1/2. Используя неравенство Коши- 1 2 Буняковского и уже полученную оценку (1.6) в случае k = 2, m = 1, q = 2, завершаем дока- зательство леммы. Статья организована следующим образом. В разделе 2, который является основным разделом ра- боты, устанавливаются результаты о внутренней регулярности слабых решений начально-краевых задач в области ΣL,+. В разделах 3, 4 и 5, которые носят обзорный характер, в основном приводят- + ся установленные ранее результаты на аналогичную тему для областей R2 , R2 ΣL соответственно. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-01-00590). НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОЛУПОЛОСЕ T,L Для уравнения (1.1) рассмотрим начально-краевые задачи в области Π+ = (0,T ) × ΣL,+ (T и L - произвольные положительные числа) с начальными и краевыми условиями u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ ΣL,+, (2.1) u(t, 0, y) = μ(t, y), (t, y) ∈ BT,L = (0,T ) × (0, L), (2.2) а также одним из 4-х краевых условий при (t, x) ∈ ΩT,+ = (0,T ) × R+: или a) u(t, x, 0) = u(t, x, L) = 0, или b) uy (t, x, 0) = uy (t, x, L) = 0, или c) u(t, x, 0) = uy (t, x, L) = 0, или d) u - L-периодическая функция по y. Мы будем использовать обозначение «задача (1.1), (2.1)-(2.3)» для каждой из этих задач. (2.3) Для описания полученных результатов введем некоторые обозначения. Для любых x0 � 0, y0 ∈ [0, L/2) положим ΣL,x0 = (x0, +∞) × (0, L), ΣL,x0,y0 = (x0, +∞) × (y0,L - y0) (тогда ΣL,+ = ΣL,0, ΣL,x0 = ΣL,x0,0). Для любого δ ∈ [0,T ) положим Πδ,x0 δ,+ δ,0 δ,x0,y0 (тогда Π+ T,L = (δ, T ) × ΣL,x0 , ΠT,L = ΠT,L, ΠT,L = (δ, T ) × ΣL,x0,y0 = Π0,+ , Πδ,x0 = Πδ,x0,0). T,L T,L T,L T,L Введем специальные функциональные пространства, учитывающие граничные условия (2.3). Пусть символ S(ΣL) обозначает пространство бесконечно гладких на ΣL функций ϕ(x, y), для 518 А. В. ФАМИНСКИЙ которых (1 + |x|)n|∂ν ϕ(x, y)| � c(n, ν) для любых n, мультииндексов ν, (x, y) ∈ ΣL и ∂2mϕ = y y=0 y ϕ y=L = 0 в случае a), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае b), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 ∂2m 2m+1 2m+1 2m 2m+1 в случае c), ∂y ϕ = ∂y ϕ m y=0 m y=L в случае d) для любого m. Пусть пространство H s(ΣL) является замыканием пространства S(ΣL) по норме Hs(ΣL) и H s(ΣL,x 0 ) является сужением H s(ΣL ) на ΣL,x 0 (в частности, H s(ΣL,+ ) = H s(ΣL,0 )). Нетрудно видеть, что H 0(ΣL,x ) = L2(ΣL,x ); для j � 1 0 0 в случае a) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2mϕ|y=0 = ∂2mϕ|y=L = 0, 2m < j}, 0 0 y y в случае b) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2m+1ϕ|y=0 = ∂2m+1ϕ|y=L = 0, 2m +1 < j}, 0 0 y y в случае c) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2mϕ|y=0 = 0, 2m < j, ∂2m+1ϕ|y=L = 0, 2m +1 < j}, 0 0 y y в случае d) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂mϕ|y=0 = ∂mϕ|y=L, m < j} 0 0 y y (для натуральных j эти свойства можно принять за определение указанных пространств). В полуполосе ΣL,x0,y0 (при y0 > 0) будем использовать обычные пространства Соболева Hj (ΣL,x ,y 0 0 ) (без граничных условий). Определение 2.1. Пусть u0 ∈ L2(ΣL,+), μ ∈ L2(BT,L). Функция u ∈ L∞(0,T ; L2(ΣL,+)) называ- ется слабым решением задачи (1.1), (2.1)-(2.3), если для любой функции φ ∈ L2(0,T ; H 2(ΣL,+)), T,L ), φ = 0, φ = φx для которой φt, φxxx, φxyy ∈ L2(Π+ t=T x=0 x=0 = 0, справедливо равенство rrr Π+ r u(φt +bφx +φxxx +φxyy )+ 1 rr u2φx dxdydt+ 2 u0φ t=0 rr dxdy + μφxx x=0 dydt = 0. (2.4) T,L ΣL,+ BT,L ∞ Замечание 2.1. Заметим, что поскольку φx ∈ L2(0,T ; H2(ΣL,+)) ⊂ L2(0,T ; L 1 (ΣL,+ )) и φ ∈ L∞(0,T ; H (ΣL,+)), интегралы в (2.4) существуют. Введем специальные весовые пространства. Пусть ψ(x) /≡ const - некоторая допустимая весовая функция на R+. Положим для x0 � 0, y0 ∈ [0, L/2) Lψ(x) 2 (ΣL,x0,y0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 ∈ L2(ΣL,x0,y0 )} и снабдим это пространство естественной нормой (тогда Lψ(x)(ΣL,x ) = Lψ(x)(ΣL,x ,0)). На самом 2 0 2 0 деле мы будем рассматривать специальные частные случаи этих пространств, соответствующие степенным и экспоненциальным весам, и использовать следующие обозначения: 2α Lα (1+x) α,exp e2αx 2 (ΣL,x0,y0 ) = L2 (ΣL,x0,y0 ), L2 (ΣL,x0,y0 ) = L2 (ΣL,x0,y0 ) ∀α > 0, L0 α α α,exp α,exp 2(ΣL,x0,y0 ) = L2(ΣL,x0,y0 ) (и L2 (ΣL,x0 ) = L2 (ΣL,x0,0), L2 (ΣL,x0 ) = L2 (ΣL,x0,0), соответ- ственно). В дальнейшем в этой части начальные функции в результатах для уравнения Захарова- Кузнецова будут выбираться именно из пространств Lα(ΣL,+) при α � 0 и Lα,exp(ΣL,+) при α > 0. Определим пространства H k,ψ(x)(ΣL,x 2 0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 ∈ H 2 k (ΣL,x0 )}, 0 Hk,ψ(x)(ΣL,x ,y 0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 k ∈ H (ΣL,x0,y0 )} и снабдим их естественными нормами. Определим следующие пространства функций, в которых будем рассматривать решения. Пусть производная ψ1(x) также является допустимой весовой функцией. Введем пространство X k,ψ(x)(Πδ,x0 j k-3j,ψ(x) T,L ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ C([δ, T ]; H и его более слабый вариант (ΣL,x0 ))∩ ∩ L2(δ, T ; H k-3j+1,ψ!(x)(ΣL,x 0 )), j � k/3}, X k,ψ(x) δ,x0 j k-3j,ψ(x) w (ΠT,L ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ Cw ([δ, T ]; H (ΣL,x0 ))∩ ∩ L2(δ, T ; H k-3j+1,ψ!(x)(ΣL,x 0 )), j � k/3} О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 519 (символ Cw означает слабую непрерывность). Положим X k,α(Πδ,x0 k,ρα(x) δ,x0 k,α δ,x0 k,ρα(x) δ,x0 T,L ) = X (ΠT,L ), X w (ΠT,L ) = X w (ΠT,L ) ∀α � 0, (функции ρα заданы формулами (1.4), (1.5)), T,L ) = X X k,α,exp(Πδ,x0 k,e 2αx T,L (Πδ,x0 ) ∀α > 0. Будем считать, что X ψ(x)(Πδ,x0 0,ψ(x) δ,x0 ψ(x) δ,x0 0,ψ(x) δ,x0 T,L ) = X (ΠT,L ), X w (ΠT,L ) = X w (ΠT,L ) (с последующими аналогичными уточнениями обозначений X α(Πδ,x0 ), X α(Πδ,x0 ) и X α,exp(Πδ,x0 )). Нетрудно видеть, что, например, при α > 0 T,L w T,L T,L Xα + α 1,α-1/2 w (ΠT,L) = Cw ([0,T ]; L2 (ΣL,+)) ∩ L2(0,T ; H (ΣL,+)), Xα,exp + α,exp 1,α,exp w (ΠT,L) = Cw ([0,T ]; L2 (ΣL,+)) ∩ L2(0,T ; H T,L В области Πδ,x0,y0 положим при α > 0 (ΣL,+)). Xα(Πδ,x0,y0 α 1,α-1/2 T,L ) = {u(t, x, y) : u ∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x0,y0 )) ∩ L2(δ, T ; H Положим для δ ∈ [0,T ) (ΣL,x0,y0 ))}. T x0+1 L r r λ+(u; T, L, δ) = sup x0�0 δ x0 r u2 dydxdt, λ+(u; T, L) = λ+(u; T, L, 0). 0 Для описания свойств краевой функции μ введем анизотропные пространства. Пусть BL = Rt × (0, L). Определим функциональное пространство S(BL) полностью аналогично S(ΣL), где переменная x заменена на t. Пусть H s/3,s(BL) является замыканием пространства S(BL) по норме Hs/3,s(BL). Точнее, пусть ψl(y), l = 1, 2 ..., - ортонормальная в L2(0, L) система собственных функций оператора (-f 11) на отрезке [0, L] с соответствующими граничными условиями: f (0) = f (L) = 0 в случае a), f 1(0) = f 1(L) = 0 в случае b), f (0) = f 1(L) = 0 в случае c), f (0) = f (L),f 1(0) = f 1(L) в случае d), λl - соответствующие собственные значения. Подобные системы хорошо известны и записываются через тригонометрические функции. Для любой функции μ ∈ S(BL), θ ∈ R и l пусть rr ≡ μ(θ, l) BL e-iθtψl(y)μ(t, y) dtdy. (2.5) Тогда норма в пространстве Hs/3,s(BL) определяется как +∞ r'\"1 1 '\1/2 1(|θ|2/3 + l2)s/2μ(θ, l)12 , l=1 L2(Rθ ) а норма в Hs/3,s(BT,L) - как норма сужения на BT,L. В наиболее важном для нас случае μ( s � 0 величины θ, l) могут быть определены напрямую как пределы в L2(BL) интегралов T L Г Г e-iθtψl(y)μ(t, y) dtdy, T → +∞. -T 0 Использование подобных анизотропных пространств может быть обосновано следующим рас- суждением. Пусть v(t, x, y) является решением задачи Коши t=0 vt + vxxx + vxyy = 0, v = v0(x, y) из пространства Cb(Rt; Hs(R2)), которое легко строится с помощью преобразования Фурье. Тогда согласно [17] равномерно по x ∈ R 1 1/3 12 1 12 1 12 2 t,y (R2) t,y t,y 1Dt v1Hs/3,s + 1∂xv1 Hs/3,s(R2) + 1∂y v1 Hs/3,s(R2) ∼ v0 Hs(R2) 520 А. В. ФАМИНСКИЙ t,y (здесь символ Dα обозначает потенциал Рисса порядка -α, пространство Hs/3,s(R2) определено в части 3). Сформулируем основные результаты о слабых решениях рассматриваемых начально-краевых задач в полуполосе ΣL,+. Сначала рассмотрим случай степенных весов. 2 Теорема 2.1. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL,+) для некоторого α � 0, μ ∈ H s/3,s(BT,L) для некоторого s > 3/2. Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u ∈ X α(Π+ ), более того, w T,L λ+(|Du|; T, L) < +∞. Если α � 1, то это решение единственно в пространстве X α(Π+ ) и, T,L кроме того, u ∈ X α(Π+ ). w T,L 2 Теорема 2.2. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL,+) для некоторого α � 1/2, μ ∈ H 2/3,2(BT,L). Тогда суще- ствует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (2.1)-(2.3), обладающее теми же свойствами, что и решение, построенное в теореме 2.1, и такое, что u ∈ X 1,α-1/2 δ,+ + 2 w (ΠT,L), λ (|D u|; T, L, δ) < +∞ ∀δ ∈ (0,T ). Если α > 1/2, то u ∈ X α-1/2(Πδ,+ ) ∀δ ∈ (0,T ); если α � 1, то u ∈ X 1,α-1/2(Πδ,+ ) ∀δ ∈ (0,T ). T,L T,L Теорема 2.3. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α > 1. Тогда слабое решение зада- чи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: u ∈ X 2,α-1(Πδ,x0 w T,L T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Замечание 2.2. Вопрос о справедливости утверждения теоремы 2.3 при α = 1 остается откры- тым. Теорема 2.4. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α � l/2 для некоторого l � 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: в случаях краевых условий (2.3) a) или c) T,L ∂l-3 x u ∈ X 3,α-l/2 T,L (Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0, а в случаях краевых условий (2.3) b) или d) u ∈ X l,α-l/2(Πδ,x0 T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Теорема 2.5. Пусть рассматривается случай краевых условий (2.3) a) или c), 4 � m � l и условия теоремы 2.2 выполнены при α > l/2+ m - 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)- (2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: если 4 � k � m, то ∂l-k k w α-l/2-k+3 T,L δ,x0,y0 x ∂y u ∈ X (ΠT,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0 ∀y0 ∈ (0, L/2). Замечание 2.3. С использованием самого равенства (1.1) аналогичное утверждение нетрудно сформулировать и для производных решения по времени. Теперь перейдем к случаю экспоненциальных весов. 2 Теорема 2.6. Пусть u0 ∈ Lα,exp(ΣL,+) для некоторого α > 0, μ ∈ H s/3,s(BT,L) для неко- торого s > 3/2. Тогда существует единственное слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u ∈ X α,exp(Π+ T,L). Если дополнительно известно, что μ ∈ H u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ 2/3,2 (BT,L), то T,L) ∀δ ∈ (0,T ). 2 Теорема 2.7. Пусть u0 ∈ Lα,exp(ΣL,+) для некоторого α > 0, μ ∈ H 2/3,2(BT,L). Тогда слабое T,L решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α,exp(Π+ ) обладает следующим свойством: в случаях краевых условий (2.3) a) или c) для любого l ∂l xu ∈ X 3,α,exp T,L (Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0, а в случаях краевых условий (2.3) b) или d) для любого l u ∈ X l,α,exp(Πδ,x0 T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 521 Теорема 2.8. Пусть рассматривается случай краевых условий (2.3) a) или c), выполнены условия теоремы 2.7. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α,exp(Π+ T,L) обладает следующим свойством: для любых j и мультииндексов ν ∂j α,exp t ∂ν u ∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x ,y )) ∀δ ∈ (0,T ), ∀x0 > 0, ∀y0 ∈ (0, L/2). 0 0 Замечание 2.4. Таким образом при выполнении условий теоремы 2.7 слабое решение стано- вится бесконечно гладким при t > 0, x > 0, 0 < y < L. Далее в этой части при интегрировании по всей полуполосе ΣL,+ пределы интегрирования будем опускать. Прежде чем приступить к доказательству сформулированных теорем, рассмотрим вспомогатель- T,L ную начально-краевую задачу в Π+ для линейного уравнения ut + bux + uxxx + uxyy = f (t, x, y) (2.6) с граничными условиями (2.1)-(2.3). Слабое решение этой задачи определяется аналогично равенству (2.4). Отметим, что такое T,L решение единственно в пространстве L2(Π+ ) (см. [22]). Для исследования этой задачи при неоднородном краевом условии (2.2) в статье [22] были построены и исследованы специальные решения однородного уравнения (2.6) типа «граничного потенциала», использующиеся для обнуления этого краевого условия. Рассмотрим алгебраическое уравнение z3 - (λl - b)z + p = 0, p = ε + iθ ∈ C, где λl суть упомянутые выше собственные значения оператора (-f 11) на отрезке [0, L] с соот- ветствующими граничными условиями на концах отрезка. Для ε > 0 обозначим через z0(p, l) единственный корень этого уравнения, для которого Re z0 < 0. Нетрудно видеть, что существует число r0(θ, l) = lim ε→+0 которое, разумеется, является корнем уравнения z0(ε + iθ, l), (2.7) r3 - (λl - b)r + iθ = 0. (2.8) В статье [22] с помощью формулы Кардано были изучены свойства этого корня и введено следу- ющее определение граничного потенциала: для μ ∈ L2(BL) при x � 0, y ∈ [0, L] пусть +∞ J (t, x, y; μ) ≡ '\" F-1 rer0(θ,l)xμ(θ, l) (t)ψl(y), (2.9) t l=1 где символ F-1 обозначает обратное преобразование Фурье (по переменной t), величины μ(θ, l) t заданы форм ами (2.5), а функции ψ суть собственные функции упомянутого выше опе тора ул l ра на отрезке [0, L]. Перечислим некоторые свойства функции J, установленные в [22]. Любая функция J - бесконечно гладкая при x > 0 и удовлетворяет равенству (2.6) для f ≡ 0. Для любых T > 0, x0 > 0, n и j sup ∂nJ (·, x·; μ) � c(T, x0, n, j) μ . (2.10) Далее, при 3m � k x x�x0 H� j,3j (BT,L) L2(BL) ∂mJ � c(k) μ , (2.11) при 3m + |ν| � k +1 t Cb(Rt;H� k-3m(ΣL,+)) H� (k+1)/3,k+1(BL) ∂m∂ν J x � c(k) μ , (2.12) t Cb(R+;L2(BL)) H� (k+1)/3,k+1(BL) в частности, J (t, 0, y; μ) ≡ μ(t, y), наконец, при s > 3/2 J L2(0,T ;W 1 (ΣL,+)) � c(T, s) μ � . (2.13) ∞ H(s+1)/3,s+1(BL) Введем вспомогательные пространства функций, экспоненциально быстро убывающих при x → +∞. Пусть символ Sexp(ΣL,+) обозначает пространство бесконечно гладких на ΣL,+ функ- ций ϕ(x, y), таких что enx|∂ν ϕ(x, y)| � c(n, ν) для любых n, мультииндексов ν, (x, y) ∈ ΣL,+ 522 А. В. ФАМИНСКИЙ y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае a), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае b), и ∂2m 2m 2m+1 2m+1 y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае c), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ = 0 в случае d) для любого ∂2m m. 2m+1 m m y=L Пусть Φ 0(x, y) ≡ u0(x, y), а при j � 1 Φ j (x, y) ≡ ∂j-1f (0, x, y) - (b∂x + ∂3 + ∂x∂2)Φ j 1(x, y). t x y - В статье [22] было доказано следующее утверждение. Лемма 2.1. Пусть u0 ∈ S(ΣL) ∩ Sexp(ΣL,+), f ∈ C∞([0, 2T ]; S(ΣL) ∩ Sexp(ΣL,+)), μ ∈ S(BL) и ∂j t μ(0, y) ≡ Φ j (0, y) для любого j. Тогда существует единственное решение задачи (2.6), (2.1)- (2.3) u ∈ C∞([0,T ]; Sexp(ΣL,+)). Эта лемма позволяет строить решения задачи (2.6), (2.1)-(2.3) в негладком случае как пределы решений из пространства C∞([0,T ]; Sexp(ΣL,+)) при наличии соответствующих оценок, установ- ленных в гладком случае. Поэтому в доказательстве последующих лемм, относящихся к линейной задаче, для получения оценок решений рассматривается именно гладкий случай. Лемма 2.2. Пусть ψ(x) является допустимой весовой функцией на R+, такой что ψ1(x) 2 также является допустимой весовой функцией, u0 ∈ Lψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 1/3,1(BT,L), f ≡ f0 +f1x, ψ(x) ψ2(x)/ψ!(x) где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), f1 ∈ L2(0,T ; L2 (ΣL,+)). Тогда существует (единственное) T,L слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ(x)(Π+ ). Доказательство. При μ ≡ 0 это утверждение было доказано в [22]. В общем случае положим g(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μ)η(2 - x), g ≡ gt + bgx + gxxx + gxyy , (2.14) U (t, x, y) ≡ u(t, x, y) - g(t, x, y), U0(x, y) ≡ u0(x, y) - g(0, x, y). (2.15) T,L В силу свойств (2.10)-(2.12) g ∈ X ψ(x)(Π+ ), кроме того, так как g = -bJη1(2 - x) - Jη111(2 - x)+ 3Jxη11(2 - x) - 3Jxxη1(2 - x) - Jyy η1(2 - x), + g g = 0 при x ∈ [0, 1] ∪ [2, +∞). Для функции U рассмотрим начально-краевую то ∈ C∞(ΠT,L), T,L задачу Π+ для уравнения g, Ut + bUx + Uxxx + Uxyy = f - (2.16) с начальными и краевыми условиями U t=0 = U0, U x=0 = 0 (2.17) и с теми же краевыми условиями на ΩT,+, как (2.3). Согласно [22] решение этой задачи U ∈ X ψ(x)(Π+ T,L) существует, тогда функция u ≡ U + g дает решение исходной задачи. Заметим, что также согласно результатам статьи [22] и свойствам функции g u C([0,T ];Lψ(x)(ΣL,+)) + |Du| L2(0,T ;Lψ!(x)(Σ )) � 2 Lψ(x) � cr u0 + μ 2 + f0 L,+ + f1 2 2 (ΣL,+)) '\. (2.18) 2 (ΣL,+) H1/3,1(B T,L) 2 L1(0,T ;Lψ(x)(ΣL,+)) L2(0,T ;Lψ (x)/ψ!(x) Лемма 2.3. Пусть ψ0(x), ψ1(x) являются допустимыми весовыми функциями на R+, таки- ми что ψ1 (x), ψ1 (x) также являются допустимыми весовыми функциями и ψ1 (x) ∼ ψ1(x). 0 1 ψ0(x) 0 ψ0(x) Пусть u0 ∈ L2 (ΣL,+), μ ∈ ψ2(x)/ψ! (x) H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; L2 1 1 (ΣL,+)) для любого δ ∈ (0,T ). Тогда T,L (единственное) слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: u ∈ X 1,ψ1(x)(Πδ,+ T,L) ∀δ ∈ (0,T ). (2.19) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 523 r 2t Доказательство. Пусть ϕδ (t) ≡ η δ 1 - '\. Перейдем к функции U по формулам (2.14), (2.15). Заметим, что если μ ∈ H 2/3,2(BT,L), то g ∈ X 1,ψ(x)(BT,L) для любой допустимой весовой функции ψ (с соответствующей оценкой). Умножим равенство (2.16) на -2((Ux(t, x, y)ψ1(x))x + Uyy (t, x, y)ψ1(x))ϕδ (t) и проинтегрируем по ΣL,+: d rr rr (U 2 + U 2)ψ1ϕδ dxdy + (3U 2 + 4U 2 L r + U 2 )ψ1 ϕδ dxdy + ψ1(0) U 2 ϕδ dy = dt x y rr xx xy L r yy 1 xx x=0 0 = (U 2 + U 2)ψ1ϕ1 dxdy - (2UxxUxψ1 - U 2ψ11 + bU 2ψ1) ϕδ dy+ x y δ rr 1 x 1 0 rr x x=0 + (U 2 + U 2)(bψ1 + ψ111)ϕδ dxdy - 2 (f - g)(Uxxψ1 + Uxψ1 + Uyy ψ1)ϕδ dxdy. (2.20) Имеем: rr y 1 1 rr 2 2 1 1 2 rr 2 ψ1 f (Uxx + Uyy )ψ1ϕδ dxdy � ε (Uxx + Uyy )ψ1ϕδ dxdy + c(ε) ψ f ϕδ dxdy, (2.21) 1 1 где ε > 0 может быть выбран сколь угодно малым, L r U 2 rrr 2 1 '\1/2rrr 2 '\1/2 rr 2 x x=0 dy � c 0 Uxxψ1 dxdy Ux ψ1 dxdy + c Ux ψ dxdy. (2.22) Тогда из равенства (2.20) следует, что |DU | C([δ,T ];Lψ1(x) + |D2 | U ψ! (x) � L (δ,T ;L 2 (ΣL,+)) 2 � c(δ)r f 2 1 (ΣL,+)) ψ2(x)/ψ! (x) + |DU | ψ1(x) '\. (2.23) L2(δ/2,T ;L2 1 1 (ΣL,+)) L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) 0 Поскольку ψ1 ∼ ψ1, применяя оценку (2.18) находим, что 2 r | |Du| C([δ,T ];Lψ1(x) + |D u ψ! (x) L (δ,T ;L � c(δ) u0 Lψ0(x) + μ H2/3,2(BT,L)+ 2 (ΣL,+)) 2 2 1 2 (ΣL,+)) ! 2 (ΣL,+) 2 ! '\, (2.24) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x) + f1 ψ (x)/ψ (x) L (0,T ;L + f ψ (x)/ψ (x) 2 (ΣL,+)) 2 0 0 1 1 откуда следует свойство (2.19). 2 (ΣL,+)) L2(δ/2,T ;L2 (ΣL,+)) Лемма 2.4. Пусть ψj (x), 0 � j � l, l � 2, являются допустимыми весовыми функциями на R+, такими что ψ1 (x) также являются допустимыми весовыми функциями и ψ1 (x) ∼ ψj (x) j ψ0(x) j-1 ψ0(x) при j � 1. Пусть u0 ∈ L2 (ΣL,+), μ ∈ H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) j-1,ψ2(x)/ψ! (x) f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0 при 1 � j � l. Тогда (единственное) слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X обладает следующим свойством: ψ0(x) (Π ) + T,L ! 0 u ∈ C([δ, T ]; H l,ψl(x)(ΣL,x )) ∩ L2(δ, T ; H l+1,ψl (x) (ΣL,x0 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. (2.25) Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. При l = 1 утверждение доказано в лемме 2.3 (для x0 = 0). Пусть l � 2; предположим, что |Dl-1u| C([δ, ψ (x) + |Dlu| T ];L l-1 (ΣL,x )) L (δ ψ! 1(x) � c(δ, x0)r u0 ψ (x) L2 0 (ΣL + ,+) 2 0 2 2 (ΣL,x0 )) ,T ;L l- 2 ! + + μ H2/3,2(BT,L) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x)(ΣL,+)) + f1 ψ0 (x)/ψ0(x) 2 L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) 524 А. В. ФАМИНСКИЙ l-1 + '\" |Dj-1f | 2 ! '\. r 2x '\ j=1 L (δ/2,T ;L j (Σ )) ψ (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Пусть ηx0 (x) ≡ η x - 1 , ν - мультииндекс, для которого |ν| = l - 1; умножив равенство (2.6) 0 на 2(-1)l-1∂ν r(∂ν ux(t, x, y)ψl(x)ηx (x))x + ∂ν uyy ψl(x)ηx (x)lϕδ (t) и проинтегрировав по ΣL,+, на- ходим: d rr r(∂ν u )2 + (∂ν u )2lψ η 0 rr r ϕ dxdy + 3(∂ν u 0 )2 + 4(∂ν u )2 + (∂ν u )2l(ψ η )1ϕ dxdy = dt x rr r y l x0 δ l xx rr r xy yy l( l x0 δ ) = (∂ν ux)2 + (∂ν uy )2 ψlηx ϕ1 dxdy + (∂ν ux)2 + (∂ν uy )2 b(ψlηx )1 + (ψlηx )111 ϕδ dxdy- 0 δ 0 0 rr - 2 ∂ν f r(∂ν uxxψlηx + ∂ν ux(ψlηx )1 + ∂ν uyy ψlηx lϕδ dxdy, (2.26) откуда следует, что 0 0 0 |D∂ν u| ψ (x) + |D2∂ν u| ψ!(x) � C([δ,T ];L2 l (ΣL,x0 )) L2(δ,T ;L2 l (ΣL,x0 )) � c(δ, x0)r ∂ν f ψ2(x)/ψ!(x) + |D∂ν u| ψl(x) '\. (2.27) L2(δ/2,T ;L2 l l (Σ L,x0/2)) L2(δ/2,T ;L2 (ΣL,x0/2)) ν ψ Суммируя по и применяя индуктивное предположение получаем, поскольку 1 l-1 ∼ ψl, что |Dlu| ψ (x) + |Dl+1u| ψ!(x) � c(δ, x0)r u0 ψ0(x) + C([δ,T ];L2 l (ΣL,x0 )) L2(δ,T ;L2 l (ΣL,x0 )) L2 (ΣL,+) 2 ! + + μ H1/3,1(BT,L) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x)(ΣL,+)) + f1 ψ0 (x)/ψ0(x) 2 L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) l '\ + '\" |Dj-1f | 2 ! . j=1 L (δ/2,T ;L j (Σ )) ψ (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Лемма 2.5. Пусть для некоторого l � 4 функции ψj (x), 0 � j � l, удовлетворяют условиям 2 леммы 2.4, u0 ∈ Lψ0(x)(ΣL,+), μ ∈ 2 H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; Lψ0(x)(ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) j-1,ψ2(x)/ψ! (x) j-3 f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 2,ψ2(x)/ψ! (x) (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) при 1 � j � 3, ∂x f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0 при 4 � j � l. Тогда (единственное) T,L слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: ∂l-3 x u ∈ C([δ, T ]; H 3,ψl(x) (ΣL,x0 )) ∩ L2(δ, T ; H l 4,ψ!(x) (ΣL,x0 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. (2.28) Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. При l = 3 утверждение доказано в лемме 2.4. Пусть l � 4; предположим, что 3 '\" ∂l-k-1 k 4 '\" ! � l-k k ψ x ∂y u C([δ,T ];Lψl-1(x)(Σ )) + ∂x ∂y u l-1(x) k=0 � c(δ, x0)r u0 2 L,x0 + μ k=0 + f0 L2(δ,T ;L2 (ΣL,x0 )) + f1 2 + Lψ0(x) H2/3,2(BT,L) ψ0(x) ψ (x)/ψ! (x) 2 (ΣL,+) L1(0,T ;L2 (ΣL,+)) l-1 min(2,j-1) L2(0,T ;L2 0 0 (ΣL,+)) + '\" '\" ∂j-k-1 k '\ x ∂y f ψ2 ! . j=1 k=0 L (δ/2,T ;L j (Σ )) (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Пусть 0 � k � 2, ν = (l - k - 1, k); аналогично доказательству леммы 2.4 умножив равен- ство (2.6) на 2(-1)l-1∂ν r(∂ν ux(t, x, y)ψl(x)ηx (x))x + ∂ν uyy ψl(x)ηx (x)lϕδ (t) и проинтегрировав по 0 0 ΣL,+, выводим равенство (2.26), откуда, в свою очередь, получаем оценку (2.27). Суммируя по k ψ и применяя индуктивное предположение, получаем, поскольку 1 l-1 ∼ ψl, что О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 525 3 '\" ∂l-k k 4 '\" l-k+1 k ψ! � x ∂y u C([δ,T ];Lψl(x)(Σ ) + ∂x ∂y u l(x) 2 k=0 Lψ0(x) � c(δ, x0)r u0 L,x0 + μ k=0 H2/3,2(BT,L) + f0 L2(δ,T ;L2 (ΣL,x0 ) ψ0(x) + f1 ψ2(x)/ψ! (x) + 2 (ΣL,+) L1(0,T ;L2 (ΣL,+)) l min(2,j-1) L2(0,T ;L2 0 0 (ΣL,+)) + '\" '\" ∂j-k-1 k '\ x ∂y f ψ2 ! . j=1 k=0 L (δ/2,T ;L j (Σ )) (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Лемма 2.6. Пусть для некоторого l � 4 выполнены условия леммы 2.5. Пусть 4 � m � l и для любого j, для которого 4 � j � l, существует набор допустимых весовых функций kj κkj (x), где 3 � k � min(j, m), таких что производные κ1 (x) также являются допустимыми (k-1)j весовыми функциями, κ3j (x) ≡ ψj (x), κkj (x) � c(κ1 κ kj 1 (x))1/2 при k � 4 для некоторой кон- κ! (x) станты c и любого x � 0. Пусть ∂j-k ∂k-1f ∈ L (δ, T ; L (k-1)j (Σ )) для любых δ ∈ (0,T ), x y 2 2 L,x0,y0 x0 > 0, y0 ∈ (0, L/2) при 4 � j � l, 4 � k � min(j, m). Тогда (единственное) слабое решение задачи T,L (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: при 4 � j � l ∂j-k k κkj (x) δ,x0,y0 x ∂y u ∈ X (ΠT,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0 ∀y0 ∈ (0, L/2). (2.29) r 2y '\ r 2L - 2y '\ Доказательство. Положим γy0 (y) ≡ η положим y -1 η 0 y -1 . Пусть 4 � j � l, 4 � k � min(j, m), 0 v(t, x, y) ≡ ∂j-k ∂k u(t, x, y)γy (y). x y 0 Тогда функция v удовлетворяет в ΣL,+ уравнению vt + bvx + vxxx + vxyy = F ≡ ∂j-k ∂k fγy + 2∂j-k+1∂k+1uγ1 + ∂j-k+1∂k uγ11 . x y 0 x y y0 x y y0 Умножим это равенство на 2v(t, x, y)κkj (x)ηx0 (x)ϕδ (t) и проинтегрируем по ΣL,+, тогда d rr v2κkj ηx δ rr 2 2 kj x δ rr 2 kj x δ dt 0 ϕ dxdy + (3vx + vy )(κ rr η 0 )1ϕ dxdy = v κ η 0 ϕ1 dxdy+ rr + v2(b(κkj η)1 + (κkj η)111)ϕδ dxdy +2 Fvκkj ηx0 ϕδ dxdy. (2.30) Заметим, что 1 v2 j-k k+1 2 j-k k 1 2 y � 2 (∂x ∂y uγy0 ) - (∂x ∂y uγy0 ) , L L r r 2 Fv dy = -2 L r ∂j-k ∂k-1f (∂j-k ∂k uγ2 )y dy - 4 ∂j-k+1∂k u ∂j-k ∂k+1u γy γ1 dy- x y x 0 0 y y0 x y x y 0 L r 0 y0 x ∂y u ∂x ∂y u (4(γy0 ) + 2γy0 γy0 ) dy, где - ∂j-k+1 k 0 j-k k 1 2 11 rr - 2 ∂j-k k-1 j-k k 2 rr j-k k+1 2 1 x ∂y f (∂x ∂y uγy0 )y κkj ηx0 ϕδ dxdy � ε (∂x ∂y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy+ rr + (∂j-k k 1 2 1 rr j-k k-1 2 2 κkj x ∂y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy + c(ε) (∂x ∂y f γy0 ) 0 ηx ϕδ dxdy, κ 1 kj rr - 4 ∂j-k+1 k j-k k+1 1 x ∂y u ∂x ∂y u γy0 γy0 κkj ηx0 ϕδ dxdy � 526 А. В. ФАМИНСКИЙ rr � ε (∂j-k ∂k+1 2 1 rr j-k+1 k 2 1 2 κkj x y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy + c(ε) 0 (∂x ∂y u γy0 ) ηx ϕδ dxdy. κ 1 kj Таким образом, поскольку κ2 /κ1 � cκ1 , κkj � cκ1 , из равенства (2.30) следует, что kj kj (k-1)j (k-1)j ∂j-k k j-k k+1 (x) x ∂y u C([δ,T ];Lκkj (x)(Σ + ∂x ∂y u κ! � )) 2 L,x0,y0 L2(δ,T ;L kj (ΣL,x ,y )) 2 0 0 � c(δ, x0, y0)r ∂j-k ∂k-1f + x y κ! L2(δ/2,T ;L (k-1)j (x) (ΣL,x /2,y /2)) + ∂j-k k (x) 2 0 0 j-k+1 k '\ (x) x ∂y u κ! + ∂x ∂y u κ! . L2(δ/2,T ;L (k-1)j (ΣL,x /2,y /2)) L2(δ/2,T ;L (k-1)j (ΣL,x /2,y /2)) 2 0 0 2 0 0 Заметим, что для k = 4 последние два слагаемых в правой части этого неравенства уже оценены должным образом в лемме 2.5. Тогда индукция по k завершает доказательство леммы. Теперь перейдем к доказательству сформулированных выше теорем уже для самого уравнения Захарова-Кузнецова. Доказательство теоремы 2.1. Хотя этот результат уже фактически установлен в [22], рассмот- рим некоторые из деталей доказательства существования слабого решения, поскольку они будут использоваться далее при доказательстве следующих теорем. При этом ход доказательства бу- дет отличаться от использованного в [22]. Доказательство же единственности здесь приводить не будем. Прежде всего приблизим граничные данные более гладкими. Без ограничения общности можно считать, что μ ∈ H s/3,s(BL). Пусть функции μh ∈ S(BL), h ∈ (0, 1], таковы, что μh → μ в H s/3,s(BL) при h → +0. X β,exp(Π+ Положим gh(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μh)η(2 - x), тогда gh → g при h → +0 в любом пространстве T,L), где функция g задана формулой (2.14). Кроме того согласно (2.13) равномерно по h ∞ gh L2(0,T ;W 1 (ΣL,+)) � c. (2.31) Пусть функции uh ∈ S(ΣL) таковы, что uh → u0 в пространстве Lα(ΣL,+) при h → +0. Положим U0h(x, y) ≡ 0 0 2x h ruh(x, y) - gh(0, x, y)'\ η( 0 1 - 1)η( h 2 +1 - x), u0h(x, y) ≡ U0h(x, y)+ gh(0, x, y). (2.32) 2 Тогда U0h → U0 (функция U0 задана формулой (2.15)), u0h → u0 в пространстве Lα(ΣL,+) при x=0 = μh h → +0. Кроме того u0h t=0 . Воспользуемся результатом из статьи [22], согласно которо- T,L му существует решение uh ∈ X 3,β,exp(Π+ ) ∀β > 0 начально-краевой задачи для уравнения (1.1) с начальными и краевыми условиями u t=0 = u0h, u x=0 = μh и соответствующими краевыми условиями (2.3). Рассмотрим также функции Uh ≡ uh -gh, которые, очевидно, являются решениями задачи для уравнения Ut + bUx + Uxxx + Uxyy + UUx + (ghU )x = Fh ≡ -ghghx - gh (2.33) с начальными и краевыми условиями U t=0 = U0h, U x=0 = 0 и соответствующими краевыми условиями (2.3), где аналогично (2.14) gh ≡ ght + bghx + ghxxx + ghxyy . Заметим, что равномерно по h для любого β > 0 2 Fh C([0,T ];Lβ,exp(ΣL,+)) � c. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 527 Умножив равенство (2.33) (для U ≡ Uh) на 2Uh(t, x, y) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство (которое, разумеется, является аналогом 1-го из законов сохранения (1.3)) d rr dt 2 Uh dxdy + L Uhx x=0 dy + r 2 rr 0 2 rr ghxUh dxdy = 2 FhUh dxdy, из которого с учетом (2.31) вытекают равномерные по h оценки Uh C([0,T ];L2(ΣL,+)) � c, uh C([0,T ];L2(ΣL,+)) � c. (2.34) Далее, умножив равенство (2.33) на 2Uh(t, x, y)ρα(x) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равен- ство U d rr dt h ρα dxdy + L r rr Uhx x=0 dy +3 (3Uhx + Uhy )ρα dxdy- 2 2 0 rr 1 rr 2 2 1 rr rr - U 2(ρ111 1 3 1 1 2 h α + bρα) dxdy - 3 Uh ρα dxdy + (ghxρα - ghρα)Uh dxdy = 2 FhUhρα dxdy. (2.35) α Здесь с учетом уже полученной оценки (2.34) и интерполяционного неравенства (1.6) (для k = 1, m = 0, q = 4, ψ1 = ψ2 ≡ ρ1 ) rr 3 1 rrr 2 '\1/2rrr 4 1 2 '\1/2 Uh ρα dxdy � Uh dxdy Uh (ρα) rr dxdy � rr � ε (U 2 + U 2 )ρ1 dxdy + c(ε) U 2ρα dxdy (2.36) hx hy α h и тогда из равенства (2.35) следует, что равномерно по h T,L) Uh X� α(Π+ 2 � c, uh X� α (Π ) + T,L � c. (2.37) Пусть теперь ψ(x) ≡ 1+ π arctg x. Заметим, что эта функция является допустимой весовой функци- ей на всей оси R, ее производная ψ1 также является допустимой весовой функцией, кроме того, эта функция ограничена на R. Пусть x0 � 0, тогда умножив равенство (2.33) на 2Uh(t, x, y)ψ(x - x0) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство аналогичное (2.35), в котором функция ρα(x) замене- на на ψ(x). Применяя уже полученную оценку (2.34), находим аналогично (2.37), что равномерно по h λ+(|Duh|; T, L) � c. (2.38) На основе полученных оценок (2.37), (2.38) стандартным приемом (см., например, [22]) пре- дельным переходом при h → +0 строим слабое решение рассматриваемой задачи u ∈ X α(Π+ ), λ+(|Du|; T, L) < +∞. w T,L Если α � 1, то рассмотрим построенное решение u как решение соответствующей начально- краевой задачи для линейного уравнения (2.6) при f ≡ -uux. Применим лемму 2.2 для ψ(x) ≡ (1 + x)2α, f0 ≡ 0, f1 ≡ -u2/2. Заметим, что в этом случае ψ2(x)/ψ1(x) ∼ (1 + x)2α+1 � (1 + x)2α-1(1 + x)2α, и согласно (1.6) (для k = 1, m = 0, q = 4, ψ1 = (1 + x)2α-1, ψ2 = (1 + x)2α) T r rr 0 rr u4(1 + x)2α-1(1 + x)2α dxdydt � c ess sup t∈(0,T ) u2ρα dxdy T r rr 0 α (|Du|2ρ1 + u2ρα) dxdydt < +∞. (2.39) T,L Тогда в силу указанной леммы u ∈ X α(Π+ ). T,L). Доказательство теоремы 2.2. Будем использовать те же гладкие решения uh, что и в доказа- тельстве теоремы 2.1. Заметим, что в данном случае gh → g при h → +0 в любом пространстве X 1,β,exp(Π+ 528 А. В. ФАМИНСКИЙ 2 Умножив равенство (2.33) (для U ≡ Uh) на -(2(Uhx(t, x, y)ρα-1/2(x))x + 2Uhyy (t, x, y)ρα-1/2(x)+ Uh (t, x, y)ρα-1/2(x)(x))ϕδ (t) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство (являющееся аналогом 2-го из законов сохранения (1.3), см. также (2.20)): d rr f U 2 2 1 3\ ρ ϕδ dxdy + rr (3U 2 + 4U 2 + U 2 ) ρ1 ϕδ dxdy+ dt hx + Uhy - 3 Uh L r α-1/2 rr f hxx 1 hxy \ hyy α-1/2 + U 2 ϕδ dy = U 2 + U 2 - U 3 ρ ϕ1 dxdy+ rr ( hxx x=0 0 )( hx hy 3 h ) rr α-1/2 δ + U 2 + U 2 bρ1 + ρ111 ϕδ dxdy - 2 (Uhxx + Uhyy )U 2ρ1 ϕδ dxdy- hx - rr f b hy α-1/2 ρ 3 1 4\ α-1/2 rr h α-1/2 h h U + U 3 4 rr 1 α-1/2 ϕδ dxdy +2 1 rr (ghUh)x(Uhxx + Uhyy )ρα-1/2ϕδ dxdy+ 3 α-1/2 +2 (ghUh)xUhxρ1 rr ϕδ dxdy + 3 α-1/2 (2ghxρα-1/2 - ghρ1 rr )Uh 2 ϕδ dxdy- α-1/2 + U - 2 Fh(Uhxxρα-1/2 + Uhxρ1 L r ( hyy ρα-1/2 )ϕδ dxdy - FhUh ρα-1/2 ) ϕδ dxdy- - 2UhxxUhxρ1 - U 2 ρ11 + bU 2 ρα 1/2 ϕδ dy. (2.40) α-1/2 0 hx α-1/2 hx - x=0 Используем соответствующие аналоги неравенств (2.21), (2.22), (2.36). В частности, поскольку α ρα-1/2(x) ∼ ρ1 (x), из оценки (2.37) следует, что равномерно по h T r rr f 2 2 1 3\ δ dxdy dt � c. Uhx + Uhy - 3 Uh 0 ρα-1/2ϕ1 Кроме того, для сколь угодно малого ε > 0 rr 2 1 rr 2 2 1 rr 4 1 (Uhxx + Uhyy )Uh ρα-1/2ϕδ dxdy � ε |D U | ρα-1/2ϕδ dxdy + c(ε) rr Uh ρα-1/2ϕδ dxdy ≡ rr |D U | ρ ≡ ε rr 2 2 1 2 2 1 α-1/2 ϕδ dxdy + γ1h(t), (ghUh)x(Uhxx + Uhyy )ρα-1/2ϕδ dxdy � ε rr |D U | ρα-1/2ϕδ dxdy+ rr +c(ε) ess sup (1+x)1+ε(g2 +g2 ) (U 2 +U 2)ρ ϕδ dxdy ≡ ε |D2U |2ρ1 ϕδ dxdy+γ2h(t), (x,y)∈ΣL,+ hx h hx h α-1/2 α-1/2 где γjh L1(0,T ) � c. Остальные слагаемые в правой части равенства (2.40) оцениваются аналогич- ным образом, и тогда равномерно по h Uh X� 1,α-1/2(Πδ,+ � c, uh � δ,+ � c. (2.41) T,L) 2 X1,α-1/2(ΠT,L) Заменив в (2.40) ρα-1/2(x) на 1+ π arctg x, получим аналогично (2.38), что λ+(|D2uh|; T, L, δ) � c. (2.42) Из оценок (2.37), (2.41), (2.42) предельным переходом при h → +0 получаем результат o существовании слабого решения рассматриваемой задачи u ∈ X α(Π+ ) X (Π ), 1,α-1/2 δ,+ ∩ λ+(|D2u|; T, L, δ) < +∞. T,L w T,L Пусть α > 1/2, тогда ρ1 α-1/2 (x) ∼ (1 + x)2α-2. В силу интерполяционного неравенства (1.6) (для k = 2, ψ1(x) ≡ (1 + x)2α-2, ψ2(x) ≡ (1 + x)2α) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 529 T r rr u2u2 4α-2 T rrrr 4 1/2 3/2 '\1/2rrr 4 3/2 1/2 '\1/2 x(1 + x) δ dxdydt � δ u ψ1 ψ2 dxdy T uxψ1 ψ2 dxdy dt � � ess suprrr u2ρ (x) dxdy'\ r rr ( D2u 2ρ1 (x)+ u2ρ (x)) dxdy dt < + . (2.43) α t∈(0,T ) | | α-1/2 α ∞ δ δ Применяя лемму 2.2 к функции v(t, x, y) ≡ u(t, x, y)ϕδ (t) (где f0 ≡ -uuxϕδ - uϕ1 , f1 ≡ 0, ψ(x) ≡ T,L (1 + x)2α-1, а тогда ψ(x) � (1 + x)4α-2) получаем, что u ∈ X α-1/2(Πδ,+ ). Наконец, если α � 1, то применим лемму 2.3 для ψ0(x) ≡ (1 + x)2α, ψ1(x) ≡ (1 + x)2α-1, f ≡ -uux, f0 ≡ 0 f1 ≡ -u2/2. Заметим, что в этом случае ψ2(x)/ψ1 (x) ∼ (1 + x)2α � (1 + x)4α-2. 1 1 T,L Тогда используя оценки (2.39) и (2.43), получаем, что u ∈ X 1,α-1/2(Πδ,+ ). Доказательство теоремы 2.3. Будем использовать те же гладкие решения uh, что и в дока- зательстве теорем 2.1 и 2.2. При этом будем также использовать результат о дополнительной регулярности подобных решений при x > 0 из статьи [23]: ∂nuh ∈ X 3,β,exp(Π0,x0 ) для любых n, x T,L x0 > 0 и β > 0. В частности, ∂nuht, ∂nuhty , ∂n∂j u ∈ L (0,T ; Lβ,exp(ΣL,x )) (при j � 4). Заметим, x x x y h 2 2 0 что тогда из самого равенства (1.1) (для u ≡ uh) следует, что uhtyy ∈ L2(0,T ; Lβ,exp(ΣL,x )). 2 0 Пусть ν = (n1, n2) - произвольный мультииндекс, для которого |ν| = 2. Умножим равен- ство (1.1) на ∂ν (∂ν uh(t, x, y)ρα 1(x)η (x))ϕ (t) и проинтегрируем по Π+ , тогда - x0 δ t,L rr - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + t hx r rr (3(∂ν u 0 )2 + (∂ν uhy )2)(ρ α-1 ηx0 )1ϕδ dxdy dτ = t r rr = 0 - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx δ ϕ1 dxdy dτ + t r rr 0 (∂ν uh )2(b(ρ t α-1 ηx0 )1 + (ρ α-1 ηx0 )111)ϕδ dxdy dτ - r rr - 2 0 - 0 ∂ν (uhuhx)∂ν uhρα 1ηx ϕδ dxdy dτ. (2.44) Заметим, что поскольку ρ1 α-1/2 (x) ∼ ρα-1(x), из оценки (2.41) следует, что 1-й и 2-й интегралы в правой части (2.44) уже оценены равномерно по h. Интеграл от нелинейности преобразуем: rr - 2 ∂ν (uhuhx)∂ν uhρα 1η rr ϕ dxdy = ∂ν (u2 )(∂ν uhρα 1η ) ϕ dxdy � - x0 δ h - x0 x δ 2 1 rr ν 2 1 1 rr ν 2 2 ρα-1 � 2 (∂ uhx) ρα-1ηx0 ϕδ dxdy + 2 (∂ (uh)) ρ 1 α-1 ηx0 ϕδ dxdy+ rr + ∂ν (u2 )∂ν uh(ρα 1η )1ϕ dxdy. (2.45) Очевидно, что h h ∂ν (u2 ) = 2uh∂ν uh + 2∂ν1 uh∂ν2 uh, - x0 δ α-1 где ν1 + ν2 = ν, |ν1| = |ν2| = 1. Так как α > 1, то ρ2 α 1 (x)/ρ1 - (x) ∼ (1 + x)ρα- 1(x) = ρ α-1/2 (x), а тогда rr u2 h(∂ν uh) 2 2 ρα-1 ρ 1 α-1 ηx0 ϕδ dxdy � c sup x�x0/2 h r(1 + x)u2 l rr (∂ν - x0 δ uh)2ρα 1η ϕ dxdy, (2.46) где в силу неравенства (1.6) (для k = 2, m = 0, q = +∞, ψ1(x) ≡ 1, ψ2(x) ≡ (1 + x)2) и оценок (2.37) и (2.41) равномерно по h (1 + x)u2 � c uh 1 uh 2 � c1. (2.47) h L2(δ/2,T ;L∞(ΣL,x0/2)) C[0,T ];L2(ΣL,+)) L2(δ/2,T ;H (ΣL,x0/2)) 530 А. В. ФАМИНСКИЙ Кроме того в силу неравенства (1.6) (для ϕ ≡ uhx или ϕ ≡ uhy , k = 1, m = 0, q = 4, ψ1(x) ≡ ρα-1(x), ψ2(x) ≡ ρα-1/2(x)) и оценки (2.41) равномерно по h T r rr (∂ν1 uh)2(∂ν2 uh)2 T ρ2 r rr α-1 ηx ϕδ dxdy dt � c |Duh|4ρα 1ρα 1/2 dxdy dt � ρ 1 0 0 α-1 2 - - δ/2ΣL,x0/2 2 ∞ � c1 uh L (δ/2,T ;H1,α-1/2(Σ L,x0/2 0 )) uh L2(δ/2,T ;H2,α-1(ΣL,x /2)) � c2. (2.48) Интеграл от функции ∂ν (u2 )∂ν uhρ1 ηx ϕδ оценивается полностью аналогично (и даже про- h ще) (2.46)-(2.48). Наконец, rr α-1 0 rr - 1η x0 |uh|(∂ν uh)2ρα 1 ϕδ dxdy � c rr |uh |(∂ν uh x0 )2η1/2ϕδ dxdy � rr u h � sup 2 x�x0/2 - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + c 1 ΣL,x0/2 rr (∂ν uh )2ϕδ dxdy ≡ ≡ γ1h(t) - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + γ2h (t), rr - 1η x0 |∂ν1 uh∂ν2 uh∂ν uh|ρα 1 ϕδ rr dxdy � c |∂ν1 uh ∂ν2 uh ∂ν uh x0 |η1/2ϕδ dxdy � rr - 0 � (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ rr dxdy + c1 |Duh 4 | ϕδ dxdy ≡ ΣL,x0/2 rr ≡ - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + γ3h (t), где согласно (2.41), (2.47), (2.48) γjh L1(0,T ) � c равномерно по h. Таким образом, из равен- ства (2.44) следует, что равномерно по h T,L ) � uh X� 2,α-1(Πδ,x0 c. (2.49) Предельным переходом при h → +0 получаем существование решения исходной задачи u ∈ X 2,α-1 δ,x0 w (ΠT,L ) (и обладающего всеми свойствами решения из теоремы 2.2). Для окончания доказательства теоремы применим лемму 2.4 при l = 2, ψj (x) ≡ (1 + x)2α-j , f ≡ -uux. Здесь ψ2(x)/ψ1 (x) ∼ (1 + x)2α-1. Тогда поскольку u ∈ X α(Π+ ) ∩ X 1,α-1/2(Πδ,+ ) ∩ 2,α-1 2 2 δ,x0 T,L T,L X w (ΠT,L ), если |ν| = 2, то аналогично (2.46), (2.47) T r rr (1 + x)2α-1u2(∂ν u)2 dxdy dt � δ ΣL,x0 � T sup f sup r(1 + x)u2l rr (1 + x)2α-2(∂ν u)2 dxdyl. < + ∞, (2.50) δ�t�T а если |ν| = 1, то аналогично (2.48) T x�x0 ΣL,x0 r rr (∂ν u)4(1 + x)2α-1 dxdy dt � δ ΣL,x0 � T sup frr (1 + x)2α-1 Du 2 dxdy rr ((1 + x)2α-2 D2u 2 + (1+ x)2α-1 Du 2) dxdyl. < + . δ�t�T ΣL,x0 | | | | ΣL,x0 | | ∞ (2.51) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 531 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; H1,ψ (x)/ψ (x)(ΣL,x )). Кроме того, в случае a) (uux) = 2 ! 0 y=0 y=L (uux) = 0, в случае c) (uux) y=0 = 0, в случае d) (uux) y=0 = (uux) y=L . В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 1,ψ2 (x)/ψ2(x)(ΣL,x )). Тогда согласно лемме 2.4 u ∈ X 2,α-1(Πδ,x0 ). 2 ! 0 T,L Доказательство теоремы 2.4. Рассмотрим сначала случай l = 3. Воспользуемся леммой 2.4 при l = 3, ψj (x) ≡ ρα-j/2(x), f ≡ -uux. Заметим, что так как ρα-3/2(x) ∼ (1 + x) 2α-3 � (x), ρ1 (x) α-3/2 c(1 + x)2α-4-ε, где ε = 0 при α > 3/2, ε > 0 произвольно мало при α = 3/2, то ψ2 1 2α-1 3 (x)/ψ3(x) � c(1 + x) Для произвольного мультииндекса ν, |ν| = 2, . (2.52) ∂ν (uux) = u∂ν ux + '\" cν ,ν ∂ν1 u∂ν2 u. (2.53) 1 2 |ν1|=1,|ν2|=2 В силу неравенства (1.6) (для k = 2, m = 0, q = +∞, ψ1(x) ≡ 1+ x, ψ2(x) ≡ (1 + x)3), поскольку 3/2 1/2 0 u ∈ C([0,T ], L2 (ΣL,+)), |D2u|∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x )), то sup T,L (t,x)∈Πδ,x0 r(1 + x)|u(t, x)|l < +∞; (2.54) тогда, поскольку ∂ν ux ∈ L2(δ, T ; Lα-3/2(ΣL,x )), то 2 0 T r rr u2(∂ν ux)2 ψ3(x)2 ψ1 3(x) dxdy dt � δ ΣL,x0 � r sup δ,x0 T 2 r rr r(1 + x)|u(t, x)|l'\ (1 + x)2α-3(∂ν ux)2 dxdy dt < +∞. (2.55) (t,x)∈ΠT,L δ ΣL,x0 Далее, так как 2α - 1 � 4α - 4 при α � 3/2, то аналогично (2.43) 2 T r rr ψ1 (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2 ψ3 (x) dxdy dt � 3(x) δ ΣL,x0 T r rrr � c (1 + x)4α-3(∂ν1 u)4 dxdy'\1/2rrr (1 + x)4α-5(∂ν2 u)4 dxdy'\1/2 dt � δ ΣL,x0 � c1 sup rrr ΣL,x0 (1 + x)2α-1|Du|2 dxdy'\× t∈(δ,T ) Σ T r rr ( L,x0 ) × δ ΣL,x0 2 (1 + x)2α-3|D3u|2 + (1+ x)2α-1|Du|2 ! dxdy dt < +∞. (2.56) 0 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; H2,ψ3 (x)/ψ3(x)(ΣL,x )). y=0 Кроме того, в случае a) (uux) y=L = (uux) y=0 = 0, в случае b) (uux)y y=L = (uux)y = 0, y=0 в случае c) (uux) y=L = (uux)y y=0 = 0, в случае d) (uux) y=L = (uux) y=0 , (uux)y = (uux)y . В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 2,ψ3 (x)/ψ3(x)(ΣL,x )). Применяя лемму 2.4, находим, что 2 ! y=L 0 T,L ). u ∈ X 3,α-3/2(Πδ,x0 Для l � 4 применим индукцию по l. Пусть сначала рассматривается случай краевых условий b) или d). Используем лемму 2.5 для ψj (x) ≡ ρα-j/2(x), f ≡ -uux. Аналогично (2.52) ψ2 1 2α-l+2 l (x)/ψl(x) � c(1 + x) . 532 А. В. ФАМИНСКИЙ Для произвольного мультииндекса ν, |ν| = l - 1, аналогично (2.53) ∂ν (uux) = u∂ν ux + '\" cν ,ν ∂ν1 u∂ν2 u. 1 2 |ν1|�|ν2|�l-1,|ν1|+|ν2|=l Используя неравенство (2.54) и индуктивное предположение, находим аналогично (2.55), что T r rr δ ΣL,x0 u2(∂ν ux)2 l ψ2(x) ψ1 l(x) dxdy dt � 2 r rr � r sup δ,x0 (t,x)∈ΠT,L δ ΣL,x0 Кроме того, аналогично (2.56), поскольку 2α - l +2 � 4α - l - 1 2 T r rr ψ1 (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2 ψl (x) dxdy dt � l(x) δ ΣL,x0 � c T r rrr (1 + x)4α-2|ν1|-1(∂ν1 u)4 dxdy'\1/2rrr (1 + x)4α-2|ν2|-1(∂ν2 u)4 dxdy'\1/2 dt � δ ΣL,x0 rr � c1 sup t∈(δ,T ) ΣL,x0 ((1 + x)2α-|ν1|(∂ν1 u)2 + rr (1 + x)2α-|ν2|(∂ν2 u)2) dxdy× T r rr ( ΣL,x0 ΣL,x0 × δ ΣL,x0 (1 + x)2α-|ν1|-1|D∂ν1 u|2 + (1+ x)2α-|ν1|(∂ν1 u)2 + (1+ x)2α-|ν2|-1|D∂ν2 u|2+ + (1+ x)2α-|ν2|(∂ν2 u)2) dxdy dt < +∞. 2 ! 0 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; Hl-1,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x )). Заметим, что j ∂j '\" y y y (uux) = k=0 cjk ∂k u∂j-k ux. Тогда так как в случае b) для нечетных значений j < l - 1 либо ∂k u = ∂k u , ли- y y=0 y y=L y ux y=0 = ∂y ux y=L = 0, поэтому ∂y (uux) y=0 = ∂y (uux) y=0 = 0. В случае же d) бо ∂j-k j-k j j очевидно, что ∂y (uux) y=0 = ∂y (uux) y=0 = 0 для всех j < l - 1. Это означает, что uux ∈ j j 2 ! δ,x L2(δ, T ; H l-1,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x 0 )). Тогда из леммы 2.4 следует, что u ∈ X l,α-l/2 T,L (Π 0 ). Наконец для l � 4 рассмотрим случай краевых условий a) или c). Выберем мультииндекс ν = (n1, n2), такой что |ν| = l-1, n2 � 2. Тогда применяя индукцию по l и дословно повторяя выкладки, 2 ! проведенные для случаев b) и d), находим, что ∂l-3(uux) ∈ L2(δ, T ; H2,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x )), что x 0 3 2,ψ2(x)/ψ!(x) x аналогично l = 3 означает, что ∂l- (uux) ∈ L2(δ, T ; H l приводит к свойству ∂l-3u ∈ X 3,α-l/2(Πδ,x0 ). l (ΣL,x0 )). Применение леммы 2.5 x T,L Доказательство теоремы 2.5. Воспользуемся индукцией по k. Докажем, что если ∂j-k+1∂k-1u ∈ x y Xα-j/2-k+4(Πδ,x0,y0 x ∂k то ∂j-k T,L ) при 4 � j � l, 4 � k � min(j, m) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0, y0 ∈ (0, L/2), α-j/2-k+3 δ,x0,y0) y u ∈ X (ΠT,L ). Воспользуемся леммой 2.6, в которой положим κkj (x) ≡ (1 + x)2α-j-2k+6 (заметим, что 2α - j - 2k +6 > 0, κ3j (x) = (1 + x)2α-j ). Пусть ν = (n1, n2) - мультииндекс, такой что |ν| � j, n2 � k - 1. Тогда ∂ν u ∈ Xα-j/2-k+4 и О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 533 T r rr rr (1 + x)4α-2j-4k+15(∂ν u)4 dxdy dt � sup t∈(δ,T ) (1 + x)2α-j-2k+8(∂ν u)2 dxdy× δ ΣL,x0,y0 T r rr ( ΣL,x0,y0 ) dxdy dt < + × δ ΣL,x0,y0 |D∂ν u|2(1 + x)2α-j-2k+7 + (∂ν u)2(1 + x)2α-j-2k+8 ∞ κ Это свойство означает, что поскольку 1 (k-1)j (x) � c(1 + x)2α-j-2k+7, а 2α - j - 2k +7 � 4α - 2j - 4k + 15, то ∂j-k k-1 ! κ(k-1)j (x) x ∂y (uux) ∈ L2(δ, T ; L2 (ΣL,x0,y0 )). Тогда из леммы 2.6 следует требуемое свойство. Осталось заметить, что при k = 4 ∂j-3 3 α-j/2 δ,x0 по теореме 2.4. ∂y u ∈ X (ΠT,L ) Доказательство результатов с экспоненциальными весами существенно проще, поскольку если ψ(x) ≡ e2αx, то ψ(j)(x) ∼ ψ(x) для любого j, в частности, ψ2(x)/ψ1(x) ∼ ψ(x). Доказательство теоремы 2.6. Искомое решение строим как предел при h → +0 гладких решений uh(t, x, y) таких же, как в доказательстве теорем 2.1-2.3. Оценка (2.34) не изменяется. Используя в качестве весовой функции e2αx вместо ρα(x) анало- гично (2.37) находим, что равномерно по h T,L) uh X� α,exp(Π+ � c. Эта оценка позволяет построить решение исходной задачи u ∈ X α,exp(Π+ ). Очевидно, что для w него автоматически λ+(|Du|; T, L) < +∞. Кроме того, аналогично (2.39) T r rr T,L u4e4αx dxdy dt < +∞, 0 T,L а тогда из леммы 2.2 следует, что u ∈ X α,exp(Π+ ). Если дополнительно известно, что μ ∈ H 2/3,2(BT,L), то аналогично (2.41) находим, что равно- мерно по h T,L) uh X� 1,α,exp(Πδ,+ � c, откуда следует, что u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ ). Кроме того, аналогично (2.43) w T,L T r rr δ xe u2u2 4αx dxdy dt < +∞, T,L а тогда из леммы 2.3 следует, что u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ ). Доказательство теоремы 2.7. Сначала как и при доказательстве теоремы 2.3 устанавливаем ана- логично (2.49), что равномерно по h T,L ) � uh X� 2,α,exp(Πδ,x0 c, и предельным переходом при h → +0 получаем, что u ∈ X 2,α,exp(Πδ,x0 ). Далее, аналогично (2.50) находим, что при |ν | = 2 T r rr w u2(∂ν u)2e4αx dxdy dt < +∞, T,L δ ΣL,x0 534 А. В. ФАМИНСКИЙ а при |ν| = 1, что аналогично (2.51) T r rr (∂ν u)4e4αx dxdy dt < +∞. δ ΣL,x0 0 Это означает, в частности, что uux ∈ L2(δ, T ; H 1,α,exp(ΣL,x )), а тогда из леммы 2.4 при l = 2 T,L следует, что u ∈ X 2,α,exp(Πδ,x0 ). Далее, в случае l = 3 используем равенство (2.53) и находим для мультииндекса ν, для которого |ν| = 2, что аналогично (2.55) T r rr u2(∂ν ux)2e4αx dxdy dt < +∞, δ ΣL,x0 а если |ν1| = 1, |ν2| = 2, то аналогично (2.56) T r rr (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2e4αx dxdy dt < +∞. δ ΣL,x0 В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 2,α,exp(ΣL,x )) и из леммы 2.4 следует, что u ∈ X 3,α,exp(Πδ,x0 ). 0 T,L Наконец, при l (ΣL,x l-3 x 2 � 4 применяя индукцию по l, находим, что в случаях b) или d) uux ∈ L2(δ, T ; H l-1,α,exp 0 )), а в случаях a) или c), что ∂x (uu ) ∈ L (δ, T ; H 2,α,exp (ΣL,x0 )). При- меняя соответственно лемму 2.4 или лемму 2.5, завершаем доказательство теоремы. Доказательство теоремы 2.8. Доказательство проводим аналогично теореме 2.5. Пусть j � 4, 4 � k � j. Воспользуемся индукцией по k. Уже известно, что ∂j-3∂3u ∈ Xα,exp(Πδ,x0 ). x y δ,x0,y0 T,L Предположим, что ∂j-k+1∂k-1u ∈ Xα,exp(Π ) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0, y0 ∈ x y T,L (0, L/2). Воспользуемся леммой 2.6, в которой положим κkj (x) ≡ e2αx. Тогда ∂j-k ∂k-1(uu ) ∈ x y x L2(δ, T ; Lα,exp(ΣL,x ,y )) и в силу указанной леммы ∂j-k ∂k u ∈ Xα,exp(Πδ,x0,y0 ). 2 0 0 x y T,L T,L Так как j можно выбрать сколь угодно большим, получаем, что ∂ν u ∈ Xα,exp(Πδ,x0,y0 ) для любо- го мультииндекса α, в частности, ∂ν u ∈ C([δ, T ]; Lα,exp(ΣL,x ,y )). Применяя само равенство (1.1), 2 0 0 чтобы выразить производные решения по t, завершаем доказательство теоремы. Замечание 2.5. Первые результаты о существовании и единственности решений начально- краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова на полуполосе ΣL,+ были получены в ста- тьях [37, 40]. В них рассматривалась задача с однородным краевым условием (2.2) и однородными условиями Дирихле при y = 0 и y = L (случай a) условия (2.3) в терминологии настоящей статьи). В обеих статьях применялись экспоненциальные веса на +∞. В терминологии настоящей статьи можно сказать, что в [40] предполагалось, что u0 ∈ H 2,α,exp(ΣL,+) (и некоторые другие усло- T,L вия), было построено глобальное по времени решение из пространства X 2,α,exp(Π+ ) и доказана его единственность. В [37] предполагалось, что u0 ∈ H 1,α,exp(ΣL,+), было построено глобальное по времени решение из пространства X 1,α,exp(Π+ ), под единственностью понималась единствен- w T,L ность среди решений, которые являлись пределами регулярных решений. 2,+ В статье [22] были рассмотрены начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в такой же постановке, что и в настоящей статье (а именно, с неоднородным краевым условием (2.2) и любым из четырех условий (2.3) для произвольных T > 0, L > 0). В качестве весов ψ(x) могли быть использованы как степенные функции, так и экспоненты. Для начальных функций из про- странства Lψ(x) были получены результаты о существовании и единственности слабых решений в пространствах X ψ(x)(Π+ ), которые приведены в настоящей статье (см. теоремы 2.1 и 2.6). Кро- w T,L ме того, были получены результаты о существовании и единственности решений в пространствах 1,ψ(x) T,L X w (Π+ ) при u0 ∈ H 1,ψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 2/3,2(BT,L), u0(0, y) ≡ μ(0, y) и T,L X 3,ψ(x)(Π+ ) при u0 ∈ H 3,ψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 4/3,4(BT,L), u0(0, y) ≡ μ(0, y). О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 535 В статье [23] изучались вопросы о дополнительной регулярности решений из пространства X 3,ψ(x)(Π+ T,L), построенных в [22]. В случаях краевых условий b) или d) при u0 ∈ H k,ψ(x) (ΣL,+), μ ∈ H (k+1)/3,k+1(BT,L) для k = 3n или k = 3n + 1, n ∈ N, и выполнении соответствующих условий согласования граничных данных была установлена глобальная корректность в классах X k,ψ(x)(Π+ T,L). В случаях краевых условий a) или c) были получены результаты о внутренней регулярности решений в духе теорем 2.4, 2.5, 2.7 и 2.8, но с регулярностью вплоть до t = 0 (при соответствующей гладкости начальной функции). НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПЛОСКОСТИ В данной части рассматривается начально-краевая задача для уравнения Захарова-Кузнецова в области Π+ = (0,T ) × R2 (T > 0 - произвольно) с граничными условиями T + + u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2 , (3.1) u(t, 0, y) = μ(t, y), (t, y) ∈ BT = (0,T ) × R. (3.2) Проблема выполнения граничных условий типа (2.3) здесь, разумеется, не возникает. Основные результаты данной части получены при b = 0. Определение слабого решения данной задачи аналогично определению 2.1. Определение 3.1. Пусть u0 ∈ L2(R2 ), μ ∈ L2(BT ). Функция u ∈ L (0,T ; L (R2 )) называется + ∞ 2 + + слабым решением задачи (1.1), (3.1), (3.2), если для любой функции φ ∈ L2(0,T ; H2(R2 )), для которой ,φ ,φ ∈ L (Π+), φ = 0, φ = φ = 0, справедливо равенство φt xxx xyy 2 T t=T x=0 x x=0 rrr ru(φ + bφ + φ 1 + φ )+ u2φ dxdydt + rr u φ rr xx dxdy + μφ dydt = 0. (3.3) t x xxx Π + T xyy 2 x 0 t=0 R 2 + x=0 BT Положим для x0 � 0 R2 x0 = (x0, +∞) × R + (тогда R2 0 = R2), для δ ∈ [0,T ) Πδ,x0 2 δ,+ δ,0 (тогда Π+ = Π0,+). T = (δ, T ) × Rx0 , ΠT = ΠT T T Аналогично разделу 2 введем весовые пространства. Пусть ψ(x) /≡ const - некоторая допусти- мая весовая функция на R+. Положим для x0 � 0 Lψ(x) x0 x0 2 (R2 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ1/2 ∈ L2(R2 )} и снабдим это пространство естественной нормой. Для степенных и экспоненциальных весов будем использовать обозначения Lα 2 (1+x)2α 2 α,exp 2 e2αx 2 L0 2 2 (Rx0 ) = L2 (Rx0 ), L2 (Rx0 ) = L2 (Rx0 ) ∀α > 0, 2 2(Rx0 ) = L2(Rx0 ). Определим пространство Hk,ψ(x)(R2 x0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 x0 k ∈ H (R2 )} и снабдим его естественной нормой. Введем пространства функций, в которых будем рассматривать решения. Пусть производная ψ1(x) также является допустимой весовой функцией. Положим Xk,ψ(x)(Πδ,x0 j k-3j,ψ(x) 2 T ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ C([δ, T ]; H (Rx0 ))∩ x0 )), j � k/3}, ∩ L2(δ, T ; Hk-3j+1,ψ!(x)(R2 Xk,ψ(x) δ,x0 j k-3j,ψ(x) 2 w (ΠT ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ Cw ([δ, T ]; H Пусть (Rx0 ))∩ x0 )), j � k/3}. ∩ L2(δ, T ; Hk-3j+1,ψ!(x)(R2 Xk,α(Πδ,x0 k,ρα(x) δ,x0 k,α δ,x0 k,ρα(x) δ,x0 T ) = X (ΠT ), Xw (ΠT ) = Xw (ΠT ) ∀α � 0, 536 А. В. ФАМИНСКИЙ Будем считать, что T ) = X Xk,α,exp(Πδ,x0 k,e2αx T (Πδ,x0 ) ∀α > 0. Xψ(x)(Πδ,x0 0,ψ(x) δ,x0 ψ(x) δ,x0 0,ψ(x) δ,x0 T ) = X (ΠT ), Xw (ΠT ) = Xw (ΠT ) (с последующими аналогичными уточнениями обозначений Xα(Πδ,x0 ), Xα(Πδ,x0 ) и Xα,exp(Πδ,x0 )). Положим для δ ∈ [0,T ) T x0+1 T w T T r r λ+(u; T, δ) = sup x0�0 δ x0 r u2 dydxdt, λ+(u; T ) = λ+(u; T, 0). R Как и в разделе 2, для описания свойств краевой функции μ будем использовать анизотропные пространства Соболева. Положим Hs/3,s(R2) = μ(t, y) : F-1r(1 + |θ|2/3 + ξ2)s/2μ(θ, ξ)l ∈ L2(R2) (здесь прямое и обратное преобразования Фурье производятся по обеим переменным). Известно, что пространство Шварца S(R2) плотно в Hs/3,s(R2) для любого s. Символ Hs/3,s(BT ) как обычно используется для пространства сужений на BT . Как и в случае задачи на ΣL,+ при исследовании данной задачи нам потребуется обнулять кра- евое условие (3.2). Для этого, следуя [2], рассмотрим алгебраическое уравнение аналогичное (2.8) при b = 0: r3 - ξ2r + iθ = 0. (3.4) При (θ, ξ) /= (0, 0) уравнение (3.4) имеет единственный корень r0 = r0(θ, ξ) с отрицательной действительной частью. Для произвольной функции μ ∈ L2(R2) положим при x � 0 J (t, x, y; μ) ≡ F-1 rer0(θ,ξ)xμ(θ, ξ) (t, y). (3.5) t,y + Как показано в [17, 18] свойства этой функции полностью аналогичны свойствам функции J, введенной формулой (2.9) в части 2 (с естественной заменой ΣL,+ на R2 ). В частности, она бесконечно дифференцируема при x > 0, удовлетворяет уравнению (2.6) при b = 0, f ≡ 0, J (t, 0, y; μ) ≡ μ(t, y) и для нее справедливы соответствующие аналоги оценок (2.10)-(2.13). Перейдем к результатам для рассматриваемой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова. Сна- чала рассмотрим случай степенных весов. Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ Lα(R2 ) для некоторого α � 0, μ ∈ Hs/3,s(BT ) для некоторого 2 + s > 3/2. Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u ∈ Xα(Π+), более того, w T λ+(|Du|; T ) < +∞. Если α � 1, то это решение единственно в пространстве Xα(Π+) и, кроме T T того, u ∈ Xα(Π+). Доказательство. Этот результат фактически был установлен в [18] в случае произвольного b. Рассмотрим некоторые из деталей доказательства существования слабого решения при b = 0, в частности, вопрос о построении гладких решений, замыканием множества которых строится слабое решение. Ход доказательства будет отличаться от использованного в [18]. Доказательство же единственности здесь приводить не будем, как и в случае теоремы 2.1. Без ограничения общности можно считать, что μ ∈ Hs/3,s(R2). Пусть функции μh ∈ S(R2), h ∈ (0, 1], сходятся к функции μ в Hs/3,s(R2) при h → +0. Положим gh(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μh)η(2 - x). Пусть функции uh ∈ S(R2) приближают функцию u0 в пространстве Lα(R2 ). Определим функ- 0 2 + ции U0h и u0h по формулам (2.32) t=0 Рассмотрим задачу для уравнения (2.33) с граничными условиями U x=0 = U0h, U = 0. T,L Тогда согласно [2] существует решение Uh ∈ Xk,β,exp(Π+ ) для любых k и β > 0. Дальнейшее доказательство практически дословно повторяет доказательство теоремы 2.1. Для α � 1 вместо леммы 2.2 следует воспользоваться соответствующим результатом из статьи [18]. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 537 Теорема 3.2. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα(R2 ) для некоторого α � 1/2, μ ∈ H2/3,2(BT ). Тогда суще- 2 + ствует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (3.1), (3.2), обладающее теми же свойствами, что и решение, построенное в теореме 3.1, и такое, что u ∈ X1,α-1/2 δ,+ + 2 w (ΠT ), λ (|D u|; T, δ) < +∞ ∀δ ∈ (0,T ). Если α > 1/2, то u ∈ Xα-1/2(Πδ,+) ∀δ ∈ (0,T ); если α � 1, то u ∈ X1,α-1/2(Πδ,+) ∀δ ∈ (0,T ). T T Доказательство. Эта теорема была фактически установлена в [2]. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2. Теорема 3.3. Пусть условия теоремы 3.2 выполнены при α � 1. Тогда слабое решение зада- чи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα(Π+) обладает следующим свойством: u ∈ X2,α-1 w T δ,x0 w (ΠT ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. T Если α > 1, то u ∈ X2,α-1(Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Эта теорема была фактически установлена в [2]. Ее доказательство во мно- гом повторяет доказательство теоремы 2.3. Укажем на основное отличие ее доказательства от теоремы 2.3, которое позволяет распространить результат на случай α = 1. Для этого введем дополнительное пространство 2 K1(Π+) = {u ∈ C([0,T ]; H1(R2 )) ∩ L2(0,T ; C1(R )) ∩ L2(R+; Cb(BT )), T + b + ∂j x xu ∈ Cb(R+; H(2-j)/3,2-j (BT )), 0 � j � 2}, (символ Cb обозначает пространство непрерывных ограниченных отображений). T В статье [16] (см. также [17]) было доказано, что если b = 0, u0 ∈ H1(R2), μ ∈ H2/3,2(BT ), u0(0, y) ≡ μ(0, y), то задача (1.1), (3.1), (3.3) корректна в пространстве K1(Π+). В ходе доказательстве теоремы 3.2 устанавливается, что аналогично (2.41) равномерно по h справедлива следующая оценка: В частности, T ) uh X1,α-1/2(Πδ,+ +) uh(δ, ·, ·) H1(R2 � c. (3.6) � c. Перенеся начало отсчета времени в точку t = δ, получим, что согласно [16] равномерно по h в частности, T ) uh K1(Πδ,+ T r � c, sup + ∈ (x,y) R2 δ h (u2 + |Duh|2) dt � c. (3.7) + В аналоге равенства (2.44) (здесь интегрирование по пространственным переменным проводит- ся по R2 , и пределы интегрирования, как и в разделе 2, опущены) интеграл от нелинейного слагаемого преобразуем по-другому. Воспользуемся равенством (2.53). Имеем: rr - 0 -2 uh∂ν uhx∂ν uhρα 1ηx ϕδ rr dxdy = (∂ν uh )2(uhx ρα-1 ηx0 + uh (ρα-1 ηx0 )1)ϕδ dxdy. Тогда если |ν1| = 1, |ν2| = 2, то в силу (3.6) и (3.7) rr rr - 0 |∂ν1 uh∂ν2 uh∂ν uh|ρα 1ηx ϕδ dxdy � sup (x,y)∈R2 |Duh|2 (∂ν uh )2ρ α-1 ηx0 ϕδ dxdy+ rr - 0 + (∂ν2 uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy ≡ γ1h rr (t) (∂ν uh )2ρ α-1 ηx0 ϕδ dxdy + γ2h (t), где γjh L1(0,T ) � c. Оставшаяся часть доказательства проводится аналогично теореме 2.3. 538 А. В. ФАМИНСКИЙ Теорема 3.4. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α � l/2 для некоторого l � 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα(Π+) обладает следующим свойством: w T u ∈ Xl,α-l/2(Πδ,x0 T ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Теорема фактически доказана в [2], и ее доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 2.4 для случаев b) и d). В статье [2] на основе свойств фундаментального решения оператора ∂t + ∂3 + ∂x∂2, уста- y новленных ранее в [1, 24], и идеи обращения линейной части уравнения, впервые примененной в [5] для уравнения Кортевега-де Фриза, доказан также следующий результат о существовании непрерывных производных слабого решения и их оценках в нормах Гельдера. Теорема 3.5. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα(R2 ), μ ∈ H2/3,2(BT ) для некоторого α > 3/4 такого, 2 + T что (2α - 1/2) - нецелое, m = [2α - 1/2]. Тогда существует непрерывное в Π+ слабое реше- ние u(t, x, y) задачи (1.1), (3.1), (3.2) из пространства Xα (Π+). Это решение обладает в Π+ w T T непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| � m - 1. При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 > 0 sup δ,x0 |∂ν u(t, x, y)| < ∞, 0 � |ν| � m - 1. (t,x,y)∈ΠT Более того, если |ν| = m - 1, ε = 2α - m - 1/2, то для любых x1, x2 � x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x1, y1) - ∂ν u(t, x2, y2)| � c(|x1 - x2|ε-σ + |y1 - y2|ε-σ ) ∀σ ∈ (0, ε), а если |ν| = m - 1 - j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m - 1/2+ j, то для любых x � x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ], |∂ν u(t, x, y) - ∂ν u(τ, x, y)| � c|t - τ |(ε-σ)/3 ∀σ ∈ (0, ε), где константы зависят от x0, δ, σ, α. Перейдем к экспоненциальным весам. Теорема 3.6. Пусть u0 ∈ Lα,exp(R2 ) для некоторого α > 0, μ ∈ Hs/3,s(BT ) для неко- 2 + торого s > 3/2. Тогда существует единственное слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u ∈ Xα,exp(Π+ T ). Если дополнительно известно, что b = 0, μ ∈ H T ) ∀δ ∈ (0,T ). u ∈ X1,α,exp(Πδ,+ 2/3,2 (BT ), то Доказательство. Первая часть теоремы доказана в [18]. При дополнительном условии теорема доказывается полностью аналогично теореме 2.6. Теорема 3.7. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα,exp(R2 ) для некоторого α > 0, μ ∈ H2/3,2(BT ). Тогда 2 + T слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα,exp(Π+) обладает следу- ющим свойством: для любых j и мультииндексов ν ∂j α,exp x0 t ∂ν u ∈ C([δ, T ]; L2 (R2 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Доказательство полностью аналогично теореме 2.7. Замечание 3.1. Первый результат о существовании и единственности слабого решения зада- чи (1.1), (3.1), (3.2) из пространства Xα(Π+) при неоптимальных условиях на краевую функцию w T μ был получен в статье [15]. В виде теоремы 3.1 подобный результат содержится в статье [18]. T 2 Глобальная корректность данной задачи при b = 0 в классах более гладких функций установлена в [16, 17]. В частности, в статье [17] доказана корректность в классах аналогичных K1(Π+), а именно, при u0 ∈ Hn(R+), μ ∈ H(n+1)/3,n+1(BT ) для любого натурального n (и выполнении соот- ветствующих условий согласования граничных данных на прямой T t = 0,x = 0) в классе Kn(Π+): m ∂t u ∈ C([0,T ]; H n-3m + (R2 ), m � n/3, l ∂xu ∈ Cb(R+; H (n-l+1)/3,n-l+1 (BT )), l � n + 1, ∂m l j 2 t ∂x∂y u ∈ L2(0,T ; Cb(R+)), 3m + l + j � n, t ∂x∂y u ∈ L2(R+; Cb(BT )), 3m + l + j � n - 1. ∂m l j О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 539 ЗАДАЧА КОШИ Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.1) с начальным условием u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2 (4.1) в области ΠT = (0,T ) × R2 для произвольного T > 0. Наличие в данном случае в уравнении слагаемого bux не приводит к каким-либо принципиальным сложностям в силу возможности пе- рехода в движущуюся систему координат. Определение слабого решения полностью аналогично определению 3.1 с естественной заменой R2 , Π+ на R2, ΠT , отсутствием в аналоге интегрального + T тождества (3.3) слагаемого, связанного с μ, и отсутствием условий на пробную функцию φ при x = 0. x0 Обозначения из части 3 R2 T , Πδ,x0 распространяются на любое значение x0 ∈ R. Положим для α ∈ R Lα 2 α 2 2 (R ) = {ϕ(x, y) : (1 + x+) ϕ ∈ L2(R )}, Lα 2 α 2 2 (Rx0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ L2(Rx0 )}, Hk,α(R2 α k 2 x0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ H (Rx0 )}, T x0+1 T x1+1 r r λ(u; T ) = sup x0∈R 0 x0 r r r u2 dydxdt, λ+(u; T, δ, x0) = sup x1�x0 R δ x1 r u2 dydxdt. R Из результатов статьи [9] (в которой рассматривались уравнения более общего вида) вытекает следующий результат. 2 Теорема 4.1. Пусть u0 ∈ Lα(R2) для некоторого α � 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), такое что 2 u ∈ Cw ([0,T ]; Lα(R2)), λ(|Du|; T ) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 0, то для любого x0 ∈ R x0 u ∈ L2(0,T ; H1,α-1/2(R2 )). Вопрос о единственности подобных решений остается открытым. В статье [24] был рассмотрен вопрос о внутренней регулярности этих решения и доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть условия теоремы 4.1 выполнены для α � 1/2. Пусть k � 2α если α /= 1, k = 1 если α = 1. Тогда слабое решение, построенное в теореме 4.1, обладает следующим свойством: для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R x0 u ∈ Cw ([δ, T ]; Hk,α-k/2(R2 )), λ+(|Dk+1u|; T, δ, x0) < +∞. Если дополнительно известно, что k < 2α, то x0 )). u ∈ L2(δ, T ; Hk+1,α-(k+1)/2(R2 Также в статьях [1, 24] был установлен следующий результат о существовании у слабых реше- ний непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера. Теорема 4.3. Пусть условия теоремы 4.1 выполнены для α > 3/4 такого, что (2α - 1/2) - нецелое, m = [2α - 1/2]. Тогда слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), построенное в теореме 4.1, является непрерывным в ΠT (возможно, после изменения на множестве нулевой меры) и обладает в ΠT непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| � m - 1. При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 ∈ R sup δ,x0 |∂ν u(t, x, y)| < ∞, 0 � |ν| � m - 1. (t,x,y)∈ΠT Более того, если |ν| = m - 1, ε = 2α - m - 1/2, то для любых x1, x2 � x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x1, y1) - ∂ν u(t, x2, y2)| � c(|x1 - x2|ε-σ + |y1 - y2|ε-σ ) ∀σ ∈ (0, ε), 540 А. В. ФАМИНСКИЙ а если |ν| = m - 1 - j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m - 1/2+ j, то для любых x � x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x, y) - ∂ν u(τ, x, y)| � c|t - τ |(ε-σ)/3 ∀σ ∈ (0, ε), где константы зависят от x0, δ, σ, α. Применение экспоненциальных весов приводит к следующему результату о существовании сла- бых решений, бесконечно гладких при t > 0, но вопрос единственности также остается открытым. Теорема 4.4. Пусть (1 + eαx)u0 ∈ L2(R2) для некоторого α > 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), такое что (1 + eαx)u ∈ Cw ([0,T ]; L2(R2)), λ(|Du|; T ) < +∞, для любого x0 ∈ R x0 eαxu ∈ L2(0,T ; H1(R2 )), для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R, j и мультииндексов ν t ∂ eαx∂j ν x0 u ∈ C([δ, T ]; L2(R2 )). Доказательство. Доказательство теоремы полностью аналогично теоремам 4.1 и 4.2. Замечание 4.1. Первый результат о существовании глобального по времени решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова при u0 ∈ H1(R2) (без единственности) был получен в статье [50] (на самом деле там рассматривались уравнения более общего вида). Существование слабого решения при начальной функции из пространства L2(R2) с весом установлено в [9] (см. T теорему 4.1). Далее в статье [10] (с помощью развития идей из [34] для уравнения Кортевега- де Фриза) были построены классы глобальной корректности задачи (1.1), (4.1) (формально при b = 0) Kn(ΠT ) при любом натуральном n (определение этих классов аналогично классам Kn(Π+), см. замечание 3.1) при u0 ∈ Hn(R2). В статье [42] этот результат был распространен на случай нецелых показателей гладкости u0 ∈ Hs(R2), s � 1 (при s ∈ (3/4, 1) была доказана корректность, локальная по времени). В работах [29, 47] локальная корректность была доказана при s > 1/2. В недавней статье [51] глобальная по времени корректность была установлена при s > 11/13. В весовых пространствах Соболева задача Коши для уравнения (1.1) изучалась в [13]. Вопрос о повышении внутренней гладкости решения задачи Коши для уравнения Захарова- Кузнецова был впервые рассмотрен в статье [41] (там рассматривались уравнения более общие, чем (1.1)). Изначально в [41] предполагалось, что u0 ∈ H6(R2). Повышение внутренней гладкости решений задачи (1.1), (4.1) при меньшей гладкости начальной функции изучалось в [1, 24]. Наряду с описанными выше теоремами 4.2, 4.3 рассматривался случай u0 ∈ H1,α(R2). Тогда аналогичные результаты были получены для решений, входящих в класс корректности K1(ΠT ). Задача Коши для уравнения типа (1.1) с более высокой, чем квадратичная, степенью нелиней- ности изучалась в статьях [12, 25, 26, 28, 33, 42, 43, 49]. В случае 3-х пространственных переменных задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова рассматривалась в [21, 46-48]. В частности, в статье [47] установлена глобальная корректность при u0 ∈ Hs(R3) для s > 1. В работе [21] рассмотрена задача Коши для начальной функции из пространств L2(R3) и H1(R3) со степенными весами при x → +∞ и установлен ряд результатов о существовании и единственности слабых решений (последнее только для H1). Результаты о повышении внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в случае трех пространственных переменных (отличные от рассмотренных в настоящей статье) получены в [45]. Некоторые общие свойства регулярности решений задачи Ко- ши для дисперсионных уравнений, в частности, для уравнения Захарова-Кузнецова, содержатся в [14, 35]. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОЛОСЕ В области ΠT,L = (0,T ) × ΣL рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (1.1) с начальным условием u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ ΣL, (5.1) и одним из 4-х краевых условий (2.3) при (t, x) ∈ ΩT = (0,T ) × R. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 541 0 T,L Lα Обозначения из раздела 2 ΣL,x , Πδ,x0 распространяются на любое значение x0 ∈ R. Положим для α ∈ R 2 (ΣL) = {ϕ(x, y) : (1 + x+)α Lα ϕ ∈ L2(ΣL)}, α 2 (ΣL,x0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ L2(ΣL,x0 )}, H k,α(ΣL,x 0 α k 0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x )) ϕ ∈ H (ΣL,x0 )}, T x0+1 L T x1+1 L r r λ(u; T, L) = sup x0∈R 0 x0 r r r u2 dydxdt, λ+(u; T, L, δ, x0) = sup x1�x0 0 δ x1 r u2 dydxdt. 0 Понятие слабого решения рассматриваемой задачи полностью аналогично определению 2.1 с есте- T,L ственной заменой ΣL,+, Π+ на ΣL, ΠT,L, отсутствием в аналоге интегрального тождества (2.4) слагаемого, связанного с μ, и отсутствием условий на пробную функцию φ при x = 0. В статье [11] был установлен следующий результат существования слабого решения. 2 Теорема 5.1. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL) для некоторого α � 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (5.1), (2.3), такое что 2 u ∈ Cw ([0,T ]; Lα(ΣL)), λ(|Du|; T, L) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 0, то для любого x0 ∈ R 0 u ∈ L2(0,T ; H 1,α-1/2(ΣL,x )). Как и случае задачи Коши, единственность построенных решений остается открытой проблемой. Результаты о повышении внутренней гладкости этих решений наиболее скудны из всех рассмот- ренных в настоящей статье задач. Теорема 5.2. Пусть условия теоремы 5.1 выполнены для α � 1/2. Тогда слабое решение, построенное в теореме 5.1, обладает следующим свойством: для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R 0 u ∈ Cw ([δ, T ]; H 1,α-1/2(ΣL,x )), λ+(|D2u|; T, L, δ, x0) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 1/2, то 0 u ∈ L2(δ, T ; H 2,α-1(ΣL,x )). Доказательство. Доказательство аналогично результату из [11], где рассматривался случай u0 ∈ H 1,α(ΣL). Применение экспоненциальных весов не меняет ситуацию. Теорема 5.3. Пусть (1 + eαx)u0 ∈ L2(ΣL) для некоторого α > 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (5.1), (2.3), такое что (1 + eαx)u ∈ Cw ([0,T ]; L2(ΣL)), λ(|Du|; T, L) < +∞, для любого x0 ∈ R для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R 0 eαxu ∈ L2(0,T ; H 1(ΣL,x )), 0 eαxu ∈ L2(δ, T ; H 2(ΣL,x )). Замечание 5.1. В статье [44] для случая периодических условий (2.3) была установлена ло- кальная по времени корректность при u0 ∈ Hs(ΣL), s > 3/2. Этот результат был развит в [47], где также в периодическом случае была доказана глобальная корректность при u0 ∈ H1(ΣL). В работе [11] были рассмотрены любые из краевых условий (2.3) (см. теорему 5.1). Там же в случае u0 ∈ H 1,α(ΣL), α � 0, были построены глобальные решения в соответствующих классах, в которых при α � 1/2 была доказана единственность. Случай экспоненциальных весов был рассмотрен в [19]. Начально-краевые задачи на полосе ΣL для уравнения Захарова-Кузнецова с дополнительной параболической регуляризацией изучались в [19, 20, 38, 39]. 542 А. В. ФАМИНСКИЙ В статье [21] начально-краевая задача с однородными краевыми условиями Дирихле для трех- мерного уравнения Захарова-Кузнецова рассматривалась на слое R × Ω для некоторой ограни- ченной области Ω ⊂ R2. Были установлены результаты существования и единственности слабых решений в весовых пространствах (как степенных, так и экспоненциальных) при x → +∞, анало- гичные упомянутым выше результатам для двумерного случая из [11, 19].