On Inner Regularity of Solutions of Two-Dimensional Zakharov-Kuznetsov Equation

Abstract

In this paper, we consider questions of inner regularity of weak solutions of initial-boundary value problems for the Zakharov-Kuznetsov equation with two spatial variables. The initial function is assumed to be irregular, and the main parameter governing the regularity is the decay rate of the initial function at infinity. The main results of the paper are obtained for the problem on a semistrip. In this problem, different types of initial conditions (e. g., Dirichlet or Neumann conditions) influence the inner regularity. We also give a survey of earlier results for other types of areas: a plane, a half-plane, and a strip.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Двумерное уравнение Захарова-Кузнецова (ЗК) ut + bux + uxxx + uxyy + uux = 0, u = u(t, x, y), b ∈ R - const, (1.1) является модельным для описания нелинейных волн в средах с дисперсией, распространяющихся в заданном направлении (в данном случае это ось x) и испытывающих поперечные деформа- ции. Впервые оно было выведено в работе [4] для описания нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, помещенной в магнитное поле, и в дальнейшем получило название уравнения Захарова- Кузнецова. Следует отметить, что в указанной статье рассматривался случай трех пространствен- ных переменных (тогда в левую часть уравнения добавляется слагаемое uxzz ), однако здесь изуча- ется его редуцированный двумерный вариант. Строгий вывод ЗК-модели можно найти, например, в [30, 36]. Уравнение (1.1) является одним из вариантов (2 + 1)-мерного обобщения уравнения Кортевега- де Фриза ut + bux + uxxx + uux = 0, u = u(t, x). (1.2) Отметим, что в отличие от уравнения (1.2), обладающего бесконечным набором законов сохра- нения, для уравнения Захарова-Кузнецова известны только два: rr u2 dxdy = const, rr r u2 + u2 - 1 u3) dxdy = const. (1.3) R2 R2 x y 3 Аналог 1-го из указанных законов сохранения (вместе с так называемом эффектом локально- го сглаживания) был использован в статье [5] (см. также [32]) для построения глобальных по Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 513 514 А. В. ФАМИНСКИЙ времени слабых решений задачи Коши для уравнения (1.2) при нерегулярной начальной функции u0 ∈ L2(R), а именно, решений из класса T x0+1 r r u ∈ L∞(0,T ; L2(R)), sup x0∈R 0 x0 x u2 dxdt < +∞. Более того, в [5] было показано, что если дополнительно известно, что xαu0 ∈ L2(R+) (здесь и далее R+ = (0, +∞)) для некоторого α > 0, то xαu ∈ L (0,T ; L (R )), xα-1/2u ∈ L (0,T ; L (R )). ∞ 2 + x 2 2 + При этом в случае α � 3/4 построенные решения единственны в классе ∞ (1 + x+)3/4u ∈ L (0,T ; L2(R)) (здесь и далее x+ = max(x, 0)). Наконец, в этой же работе было установлено свойство повышения внутренней гладкости слабых решений в зависимости от скорости убывания начальной функции при x → +∞: если α � n/2 для некоторого натурального n, то решение обладает при t > 0 обобщенными производными до порядка n + 1, причем для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R T x1+1 (x - x0 + 1)α-n/2∂nu ∈ L r r (δ, T ; L (x , +∞)), sup (∂n+1u)2 dxdt < +∞, а если α > n/2, то x ∞ 2 0 x x1�x0 δ x1 (x - x0 + 1)α-n/2-1/2∂n+1 x u ∈ L2(δ, T ; L2(x0, +∞)). Для случая начальной функции из пространства H1(R) аналогичные результаты (с исполь- зованием также аналога 2-го из законов сохранения (1.3)) были получены в статье [7], а для начально-краевой задачи на полуоси R+ с краевым условием u|x=0 = μ(t) - в статье [8]. Отметим также, что в статье [31] рассматривалась задача Коши для уравнения Кортевега- де Фриза с нерегулярной начальной функцией, экспоненциально быстро убывающей при x → +∞, а именно, (1 + exp(αx))u0 ∈ L2(R) для α > 0; была установлена однозначная разрешимость в классе функций таких, что (1 + exp(αx))u ∈ L∞(0,T ; L2(R)), exp(αx)ux ∈ L2((0,T ) × R), и доказана бесконечная гладкость построенных решений при t > 0. Целью настоящей работы является изучение свойств внутренней регулярности слабых реше- ний различных начально-краевых задач для уравнения (1.1), аналогичных описанным выше для уравнения (1.2). Поскольку основным параметром, влияющим на гладкость решения, является скорость убывания начальной функции (и, как следствие, самого решения) при x → +∞, будем + рассматривать следующие области: 1) вся плоскость R2, 2) полуплоскость R2 = {(x, y) : x > 0}, 3) горизонтальная полоса заданной ширины ΣL = {(x, y) : 0 < y < L}, 4) полуполоса ΣL,+ = {(x, y) : x > 0, 0 < y < L}. Основные новые результаты настоящей статьи относятся именно к этому последнему 4-му случаю. В качестве весов при x → +∞ будут выбираться сте- пенные функции и экспоненты. Везде далее (если не оговорено противное) j, k, l, m, n обозначают неотрицательные целые числа, p, q ∈ [1, +∞], s ∈ R, [s] - целая часть числа s � 0. Если ν = (k1, k2) - целочисленный мультииндекс, |ν| = k1 + k2, то положим ∂ν = ∂k1 ∂k2 . Пусть x y Положим |Dk φ| = r '\" (∂ν φ)2'\ |ν|=k 1/2 , |Dφ| = |D1φ|. ( ce1/(x2-1), x < 1, ω(x) ≡ 0, | | x � 1, | | О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 515 1 где положительная константа c выбрана так, чтобы Г -1 известны, в частности, ω ∈ C∞(R). Положим 2x-1 ω(x) dx = 1. Свойства этой функции хорошо x r η(x) ≡ r ω(ξ) dξ = 2 ω(2ξ - 1) dξ. -∞ -∞ Тогда η ∈ C∞(R), η1(x) > 0 при x ∈ (0, 1), η(x) = 0 при x � 0, η(x) = 1 при x � 1, η(x) + η(1 - x) ≡ 1. Будем также использовать свойство η1(x) � cη1/2(x) для некоторой положительной константы c и любого x ∈ R (оно легко следует из ограниченности сверху η11 на R). Пусть I обозначает либо всю действительную ось R, либо полуось R+. Будем говорить, что бесконечно гладкая на I функция ψ(x) является допустимой весовой функцией, если |ψ(j)(x)| � c(j)ψ(x) для всех натуральных чисел j и всех x ∈ I. Очевидно, что любая допустимая весовая функция удовлетворяет неравенству c-1e-c0x � ψ(x) � cec0x для некоторых положитель- ных констант c0, c и всех x ∈ I. Нетрудно видеть, что ψs(x) для любого s ∈ R также является допустимой весовой функцией (более подробно см. в [18]). Также очевидно, что произведение допустимых весовых функций является допустимой весовой функцией. Примерами допустимых весовых функций являются e2αx и 1 + e2αx (в дальнейшем они будут использоваться при α > 0). Другим важным примером в случае I = R+ является степенная функция ρα(x) ≡ (1 + x)2α, α > 0. (1.4) При α = 0 будем использовать обозначение 1 ρ0(x) ≡ 2 - ln(x + e) . (1.5) Важной особенностью приведенных примеров весовых функций является то, что их производные ψ1(x) также являются допустимыми весовыми функциями. Будем говорить, что ψ1(x) ∼ ψ2(x) на I, если c-1ψ1(x) � ψ2(x) � cψ1(x) для некоторой поло- жительной константы c и всех x ∈ I. + 1 ϕψ1/2 Лемма 1.1. Пусть Ω - одна из четырех упомянутых выше областей (R2, R2 , ΣL или ΣL,+). Пусть ψ1(x), ψ2(x) суть две допустимые весовые функции, такие что ψ1(x) � c0ψ2(x) ∀x ∈ I (I = R или I = R+ соответственно) для некоторой константы c0 > 0. Пусть k - натуральное число, m ∈ [0, k), q ∈ [2, +∞], если k - m � 2, и q ∈ [2, +∞), если m = k - 1. Тогда существует константа c > 0, такая что для любой функции ϕ(x, y), для которой |Dk ϕ|ψ1/2(x) ∈ L2(Ω), 2 (x) ∈ L2(Ω), справедливо следующее неравенство: 1|Dmϕ|ψs(x)ψ1/2-s(x)1 � c1|Dk ϕ|ψ1/2(x)12s ϕψ (x) 1/2 1-2s 1 1 1/2 + c1ϕψ (x)1 , (1.6) 1 где 1 1 1 2 Lq (Ω) 1 1 1 L2(Ω) 2 1 1 L2(Ω) 2 1 L2(Ω) s = s(k, m, q) = m +1 2k - 1 . (1.7) kq Доказательство. Если Ω = R2, то данное неравенство является частным случаем более общего неравенства, установленного в [9] для произвольного числа переменных (при q = +∞ в той статье накладывалось некоторое дополнительное техническое неравенство на функции ψ1 и ψ2, которое, как выяснилось позднее, легко снять). Для остальных областей доказательство аналогично (см., например, [19], где рассматривалась область Ω = ΣL). В целях использования неравенства в настоящей статье приведем доказательство для Ω = ΣL,+ и k � 2. Без ограничения общности можно считать, что ϕ - гладкая убывающая при x → +∞ функция. Вначале следуя [6], установим одно вспомогательное неравенство: для p ∈ [1, 2), p∗ = 2p/(2 - p) равномерно относительно L c(p) 1 1 ϕ Lp∗ (ΣL,+) � L 1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+). (1.8) 516 А. В. ФАМИНСКИЙ Для p = 1 (тогда p∗ = 2) это неравенство следует из неравенства rr ϕ2 dxdy � L r r sup |ϕ| dy x∈R+ sup y∈(0,L) |ϕ| dx ΣL,+ 0 R+ и очевидных одномерных интерполяционных неравенств r sup |f | � x∈R+ R+ |f 1| dx, sup y∈(0,L) |f | � L | r L c ( f 1| + |f |) dy. 0 Если p ∈ (1, 2), то пусть ≡ |ϕ|p /2 sign ϕ, тогда из неравенства (1.8) для p = 1 следует, что p∗/2 ϕ ∗ 1 c ϕ � ϕ + ϕ 1 � ϕ ( Dϕ c(p) 1 p∗/2-1 + ϕ )1 � ϕ Lp∗ (ΣL,+) = L2(ΣL,+) L 1|D | | |1L1(ΣL,+) L 1| | | | | | 1L1(ΣL,+) c(p) p∗/2-1 1 1 c(p) p∗/2-1 1 1 � L |ϕ| Lp/(p-1)(ΣL,+)1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+) = L ϕ Lp∗ (ΣL,+)1|Dϕ| + |ϕ|1Lp(ΣL,+), откуда (1.8) вытекает и в этом случае. Теперь мы можем доказать неравенство (1.6) для k = 1, m = 0, q > 2 (для q = 2 оно очевидно). Действительно, выбрав p ∈ (1, 2), такое что q < p∗, и применив сначала неравенство Гельдера, 1 2 ∗ потом неравенство (1.8) к функции Φ ≡ |ϕ|2/pψ1/2ψ1/p sign ϕ (заметим, что |DΦ| � c(q) (|Dϕ| + ) 1/2 ∗ 1/p∗ |ϕ| ψ1 |ϕ|2/p ψ2 ) и в конце опять неравенство Гельдера, находим, что s(1,0,q) 1/2-s(1,0,q) 1/2-1/q 1/q 1/2 q-2(q-2)/p 1/q ϕψ1 ψ2 Lq (ΣL,+) = ϕψ1 ψ2 Lq (ΣL,+) = 1 1|Φ|q-2 ( |ϕ|ψ2 ) 1 1L1(Σ L,+) � 1-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) c(q) 1 11-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) � Φ Lp∗ (ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � L1-2/q 1|DΦ| + |Φ|1Lp(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � c1(q) 1( ) 1/2 2/p∗ 1/p∗ 11-2/q 1/2 1-2(q-2)/(pq) � L1-2/q 1 |Dϕ| + |ϕ| ψ1 |ϕ| ψ2 1Lp(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+) � c1(q) 1( ) 1/211-2/q 1/2 2/q � L1-2/q 1 |Dϕ| + |ϕ| ψ1 1L2(ΣL,+) ϕψ2 L2(ΣL,+). Если k = 2, m = 1, q = 2, интегрирование по частям приводит к равенству rr rr (ϕ2 + ϕ2 )ψ1/2ψ1/2 dxdy = - (ϕxx + ϕyy )ψ1/2 · ϕψ1/2 dxdy- x ΣL,+ y 1 2 rr 1/2 1/2 ΣL,+ 1 r r 1/2 2 1/2'\ y=L L r r 1/2 1/2'\ - ΣL,+ ϕϕx(ψ1 ψ2 )1 dxdy + R+ ϕϕy ψ1 ψ2 y=0 dx - 0 ϕϕxψ1 ψ2 x=0 dy. Для оценки предпоследнего интеграла в правой части этого равенства используем следующее одномерное интерполяционное неравенство: sup |f | � c L rrr (f 1)2 dy L '\1/4rr f 2 dy L '\1/4 + 1 rr 1/2 f 2 dy'\ 1/2 , y∈[0,L] 0 0 L 0 а для оценки последнего интеграла - следующее: r sup |f |(ψ1ψ2)1/4 � crr x�0 (f 1)2ψ1 dx'\ 1/4rr '\ r r 1/4 f 2ψ2 dx + '\ 1/2 f 2ψ2 dx R+ R+ R+ (которое, в свою очередь, следует из элементарного неравенства sup f 2(x) � 2 Г |f 1f | dx и свойств допустимых весовых функций), а тогда x�0 R+ О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 517 L L L r r 1/2 1/2'\ rr 1/4 3/4 '\1/2rr 3/4 1/4 '\1/2 ϕϕxψ1 ψ2 dy � sup ϕ2ψ1 ψ2 dy sup ϕ2 ψ1 ψ2 dy � x=0 0 x�0 0 x x�0 0 � crrr ϕ2 ψ1/2ψ1/2'\1/2rrrr ϕ2 '\1/4rrr ϕ2ψ '\1/4 + rrr ϕ2ψ '\1/2 . x 1 2 ΣL,+ ΣL,+ xxψ1 2 ΣL,+ 2 ΣL,+ В итоге получаем неравенство (1.6) в случае k = 2, m = 1, q = 2. Комбинация уже полученных неравенств (1.6) в случаях k = 1, m = 0 и k = 2, m = 1, q = 2 приводит к этому неравенству в случае k = 2, m = 0, q ∈ (2, +∞), поскольку (|ϕ|ψs(2,0,q) 1/2-s(2,0,q) q = |ϕ|q ψq/4-1/2 q/4+1/2 1 ψ2 ) 1 ψ2 = = |ϕ|q (ψ1/2ψ1/2)q/2-1ψ2 = ( ϕ|(ψ1/2ψ1/2)s(1,0,q)ψ1/2-s(1,0,q) q , 1 2 | 1 2 2 ) и в случае k = 2, m = 1, q ∈ (2, +∞), поскольку при |ν| = 1 (|∂ν ϕ|ψs(2,1,q) 1/2-s(2,1,q) q = |∂ν ϕ|q ψq/2-1/2 1/2 1 ψ2 ) 1 ψ2 = = |∂ν ϕ|q ψq/2-1(ψ1/2 1/2 s(1,0,q) 1/2 1/2 q . 1 1 ψ2 ) = (|∂ν ϕ|ψ1 (ψ1 ψ2 )1/2-s(1,0,q)) Осталось рассмотреть случай k = 2, m = 0, q = +∞. Здесь мы воспользуемся неравенством f L∞(Ω) � c ( fxx L1(Ω) + fyy L1(Ω) + f L1(Ω) ) (1.9) из книги [3] и применим его к функции f ≡ ϕ2ψ1/2ψ1/2. Используя неравенство Коши- 1 2 Буняковского и уже полученную оценку (1.6) в случае k = 2, m = 1, q = 2, завершаем дока- зательство леммы. Статья организована следующим образом. В разделе 2, который является основным разделом ра- боты, устанавливаются результаты о внутренней регулярности слабых решений начально-краевых задач в области ΣL,+. В разделах 3, 4 и 5, которые носят обзорный характер, в основном приводят- + ся установленные ранее результаты на аналогичную тему для областей R2 , R2 ΣL соответственно. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-01-00590). НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОЛУПОЛОСЕ T,L Для уравнения (1.1) рассмотрим начально-краевые задачи в области Π+ = (0,T ) × ΣL,+ (T и L - произвольные положительные числа) с начальными и краевыми условиями u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ ΣL,+, (2.1) u(t, 0, y) = μ(t, y), (t, y) ∈ BT,L = (0,T ) × (0, L), (2.2) а также одним из 4-х краевых условий при (t, x) ∈ ΩT,+ = (0,T ) × R+: или a) u(t, x, 0) = u(t, x, L) = 0, или b) uy (t, x, 0) = uy (t, x, L) = 0, или c) u(t, x, 0) = uy (t, x, L) = 0, или d) u - L-периодическая функция по y. Мы будем использовать обозначение «задача (1.1), (2.1)-(2.3)» для каждой из этих задач. (2.3) Для описания полученных результатов введем некоторые обозначения. Для любых x0 � 0, y0 ∈ [0, L/2) положим ΣL,x0 = (x0, +∞) × (0, L), ΣL,x0,y0 = (x0, +∞) × (y0,L - y0) (тогда ΣL,+ = ΣL,0, ΣL,x0 = ΣL,x0,0). Для любого δ ∈ [0,T ) положим Πδ,x0 δ,+ δ,0 δ,x0,y0 (тогда Π+ T,L = (δ, T ) × ΣL,x0 , ΠT,L = ΠT,L, ΠT,L = (δ, T ) × ΣL,x0,y0 = Π0,+ , Πδ,x0 = Πδ,x0,0). T,L T,L T,L T,L Введем специальные функциональные пространства, учитывающие граничные условия (2.3). Пусть символ S(ΣL) обозначает пространство бесконечно гладких на ΣL функций ϕ(x, y), для 518 А. В. ФАМИНСКИЙ которых (1 + |x|)n|∂ν ϕ(x, y)| � c(n, ν) для любых n, мультииндексов ν, (x, y) ∈ ΣL и ∂2mϕ = y y=0 y ϕ y=L = 0 в случае a), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае b), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 ∂2m 2m+1 2m+1 2m 2m+1 в случае c), ∂y ϕ = ∂y ϕ m y=0 m y=L в случае d) для любого m. Пусть пространство H s(ΣL) является замыканием пространства S(ΣL) по норме Hs(ΣL) и H s(ΣL,x 0 ) является сужением H s(ΣL ) на ΣL,x 0 (в частности, H s(ΣL,+ ) = H s(ΣL,0 )). Нетрудно видеть, что H 0(ΣL,x ) = L2(ΣL,x ); для j � 1 0 0 в случае a) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2mϕ|y=0 = ∂2mϕ|y=L = 0, 2m < j}, 0 0 y y в случае b) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2m+1ϕ|y=0 = ∂2m+1ϕ|y=L = 0, 2m +1 < j}, 0 0 y y в случае c) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂2mϕ|y=0 = 0, 2m < j, ∂2m+1ϕ|y=L = 0, 2m +1 < j}, 0 0 y y в случае d) H j (ΣL,x ) = {ϕ ∈ Hj (ΣL,x ) : ∂mϕ|y=0 = ∂mϕ|y=L, m < j} 0 0 y y (для натуральных j эти свойства можно принять за определение указанных пространств). В полуполосе ΣL,x0,y0 (при y0 > 0) будем использовать обычные пространства Соболева Hj (ΣL,x ,y 0 0 ) (без граничных условий). Определение 2.1. Пусть u0 ∈ L2(ΣL,+), μ ∈ L2(BT,L). Функция u ∈ L∞(0,T ; L2(ΣL,+)) называ- ется слабым решением задачи (1.1), (2.1)-(2.3), если для любой функции φ ∈ L2(0,T ; H 2(ΣL,+)), T,L ), φ = 0, φ = φx для которой φt, φxxx, φxyy ∈ L2(Π+ t=T x=0 x=0 = 0, справедливо равенство rrr Π+ r u(φt +bφx +φxxx +φxyy )+ 1 rr u2φx dxdydt+ 2 u0φ t=0 rr dxdy + μφxx x=0 dydt = 0. (2.4) T,L ΣL,+ BT,L ∞ Замечание 2.1. Заметим, что поскольку φx ∈ L2(0,T ; H2(ΣL,+)) ⊂ L2(0,T ; L 1 (ΣL,+ )) и φ ∈ L∞(0,T ; H (ΣL,+)), интегралы в (2.4) существуют. Введем специальные весовые пространства. Пусть ψ(x) /≡ const - некоторая допустимая весовая функция на R+. Положим для x0 � 0, y0 ∈ [0, L/2) Lψ(x) 2 (ΣL,x0,y0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 ∈ L2(ΣL,x0,y0 )} и снабдим это пространство естественной нормой (тогда Lψ(x)(ΣL,x ) = Lψ(x)(ΣL,x ,0)). На самом 2 0 2 0 деле мы будем рассматривать специальные частные случаи этих пространств, соответствующие степенным и экспоненциальным весам, и использовать следующие обозначения: 2α Lα (1+x) α,exp e2αx 2 (ΣL,x0,y0 ) = L2 (ΣL,x0,y0 ), L2 (ΣL,x0,y0 ) = L2 (ΣL,x0,y0 ) ∀α > 0, L0 α α α,exp α,exp 2(ΣL,x0,y0 ) = L2(ΣL,x0,y0 ) (и L2 (ΣL,x0 ) = L2 (ΣL,x0,0), L2 (ΣL,x0 ) = L2 (ΣL,x0,0), соответ- ственно). В дальнейшем в этой части начальные функции в результатах для уравнения Захарова- Кузнецова будут выбираться именно из пространств Lα(ΣL,+) при α � 0 и Lα,exp(ΣL,+) при α > 0. Определим пространства H k,ψ(x)(ΣL,x 2 0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 ∈ H 2 k (ΣL,x0 )}, 0 Hk,ψ(x)(ΣL,x ,y 0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 k ∈ H (ΣL,x0,y0 )} и снабдим их естественными нормами. Определим следующие пространства функций, в которых будем рассматривать решения. Пусть производная ψ1(x) также является допустимой весовой функцией. Введем пространство X k,ψ(x)(Πδ,x0 j k-3j,ψ(x) T,L ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ C([δ, T ]; H и его более слабый вариант (ΣL,x0 ))∩ ∩ L2(δ, T ; H k-3j+1,ψ!(x)(ΣL,x 0 )), j � k/3}, X k,ψ(x) δ,x0 j k-3j,ψ(x) w (ΠT,L ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ Cw ([δ, T ]; H (ΣL,x0 ))∩ ∩ L2(δ, T ; H k-3j+1,ψ!(x)(ΣL,x 0 )), j � k/3} О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 519 (символ Cw означает слабую непрерывность). Положим X k,α(Πδ,x0 k,ρα(x) δ,x0 k,α δ,x0 k,ρα(x) δ,x0 T,L ) = X (ΠT,L ), X w (ΠT,L ) = X w (ΠT,L ) ∀α � 0, (функции ρα заданы формулами (1.4), (1.5)), T,L ) = X X k,α,exp(Πδ,x0 k,e 2αx T,L (Πδ,x0 ) ∀α > 0. Будем считать, что X ψ(x)(Πδ,x0 0,ψ(x) δ,x0 ψ(x) δ,x0 0,ψ(x) δ,x0 T,L ) = X (ΠT,L ), X w (ΠT,L ) = X w (ΠT,L ) (с последующими аналогичными уточнениями обозначений X α(Πδ,x0 ), X α(Πδ,x0 ) и X α,exp(Πδ,x0 )). Нетрудно видеть, что, например, при α > 0 T,L w T,L T,L Xα + α 1,α-1/2 w (ΠT,L) = Cw ([0,T ]; L2 (ΣL,+)) ∩ L2(0,T ; H (ΣL,+)), Xα,exp + α,exp 1,α,exp w (ΠT,L) = Cw ([0,T ]; L2 (ΣL,+)) ∩ L2(0,T ; H T,L В области Πδ,x0,y0 положим при α > 0 (ΣL,+)). Xα(Πδ,x0,y0 α 1,α-1/2 T,L ) = {u(t, x, y) : u ∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x0,y0 )) ∩ L2(δ, T ; H Положим для δ ∈ [0,T ) (ΣL,x0,y0 ))}. T x0+1 L r r λ+(u; T, L, δ) = sup x0�0 δ x0 r u2 dydxdt, λ+(u; T, L) = λ+(u; T, L, 0). 0 Для описания свойств краевой функции μ введем анизотропные пространства. Пусть BL = Rt × (0, L). Определим функциональное пространство S(BL) полностью аналогично S(ΣL), где переменная x заменена на t. Пусть H s/3,s(BL) является замыканием пространства S(BL) по норме Hs/3,s(BL). Точнее, пусть ψl(y), l = 1, 2 ..., - ортонормальная в L2(0, L) система собственных функций оператора (-f 11) на отрезке [0, L] с соответствующими граничными условиями: f (0) = f (L) = 0 в случае a), f 1(0) = f 1(L) = 0 в случае b), f (0) = f 1(L) = 0 в случае c), f (0) = f (L),f 1(0) = f 1(L) в случае d), λl - соответствующие собственные значения. Подобные системы хорошо известны и записываются через тригонометрические функции. Для любой функции μ ∈ S(BL), θ ∈ R и l пусть rr ≡ μ(θ, l) BL e-iθtψl(y)μ(t, y) dtdy. (2.5) Тогда норма в пространстве Hs/3,s(BL) определяется как +∞ r'\"1 1 '\1/2 1(|θ|2/3 + l2)s/2μ(θ, l)12 , l=1 L2(Rθ ) а норма в Hs/3,s(BT,L) - как норма сужения на BT,L. В наиболее важном для нас случае μ( s � 0 величины θ, l) могут быть определены напрямую как пределы в L2(BL) интегралов T L Г Г e-iθtψl(y)μ(t, y) dtdy, T → +∞. -T 0 Использование подобных анизотропных пространств может быть обосновано следующим рас- суждением. Пусть v(t, x, y) является решением задачи Коши t=0 vt + vxxx + vxyy = 0, v = v0(x, y) из пространства Cb(Rt; Hs(R2)), которое легко строится с помощью преобразования Фурье. Тогда согласно [17] равномерно по x ∈ R 1 1/3 12 1 12 1 12 2 t,y (R2) t,y t,y 1Dt v1Hs/3,s + 1∂xv1 Hs/3,s(R2) + 1∂y v1 Hs/3,s(R2) ∼ v0 Hs(R2) 520 А. В. ФАМИНСКИЙ t,y (здесь символ Dα обозначает потенциал Рисса порядка -α, пространство Hs/3,s(R2) определено в части 3). Сформулируем основные результаты о слабых решениях рассматриваемых начально-краевых задач в полуполосе ΣL,+. Сначала рассмотрим случай степенных весов. 2 Теорема 2.1. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL,+) для некоторого α � 0, μ ∈ H s/3,s(BT,L) для некоторого s > 3/2. Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u ∈ X α(Π+ ), более того, w T,L λ+(|Du|; T, L) < +∞. Если α � 1, то это решение единственно в пространстве X α(Π+ ) и, T,L кроме того, u ∈ X α(Π+ ). w T,L 2 Теорема 2.2. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL,+) для некоторого α � 1/2, μ ∈ H 2/3,2(BT,L). Тогда суще- ствует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (2.1)-(2.3), обладающее теми же свойствами, что и решение, построенное в теореме 2.1, и такое, что u ∈ X 1,α-1/2 δ,+ + 2 w (ΠT,L), λ (|D u|; T, L, δ) < +∞ ∀δ ∈ (0,T ). Если α > 1/2, то u ∈ X α-1/2(Πδ,+ ) ∀δ ∈ (0,T ); если α � 1, то u ∈ X 1,α-1/2(Πδ,+ ) ∀δ ∈ (0,T ). T,L T,L Теорема 2.3. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α > 1. Тогда слабое решение зада- чи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: u ∈ X 2,α-1(Πδ,x0 w T,L T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Замечание 2.2. Вопрос о справедливости утверждения теоремы 2.3 при α = 1 остается откры- тым. Теорема 2.4. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α � l/2 для некоторого l � 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: в случаях краевых условий (2.3) a) или c) T,L ∂l-3 x u ∈ X 3,α-l/2 T,L (Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0, а в случаях краевых условий (2.3) b) или d) u ∈ X l,α-l/2(Πδ,x0 T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Теорема 2.5. Пусть рассматривается случай краевых условий (2.3) a) или c), 4 � m � l и условия теоремы 2.2 выполнены при α > l/2+ m - 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)- (2.3) u(t, x, y) из пространства X α(Π+ ) обладает следующим свойством: если 4 � k � m, то ∂l-k k w α-l/2-k+3 T,L δ,x0,y0 x ∂y u ∈ X (ΠT,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0 ∀y0 ∈ (0, L/2). Замечание 2.3. С использованием самого равенства (1.1) аналогичное утверждение нетрудно сформулировать и для производных решения по времени. Теперь перейдем к случаю экспоненциальных весов. 2 Теорема 2.6. Пусть u0 ∈ Lα,exp(ΣL,+) для некоторого α > 0, μ ∈ H s/3,s(BT,L) для неко- торого s > 3/2. Тогда существует единственное слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u ∈ X α,exp(Π+ T,L). Если дополнительно известно, что μ ∈ H u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ 2/3,2 (BT,L), то T,L) ∀δ ∈ (0,T ). 2 Теорема 2.7. Пусть u0 ∈ Lα,exp(ΣL,+) для некоторого α > 0, μ ∈ H 2/3,2(BT,L). Тогда слабое T,L решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α,exp(Π+ ) обладает следующим свойством: в случаях краевых условий (2.3) a) или c) для любого l ∂l xu ∈ X 3,α,exp T,L (Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0, а в случаях краевых условий (2.3) b) или d) для любого l u ∈ X l,α,exp(Πδ,x0 T,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 521 Теорема 2.8. Пусть рассматривается случай краевых условий (2.3) a) или c), выполнены условия теоремы 2.7. Тогда слабое решение задачи (1.1), (2.1)-(2.3) u(t, x, y) из пространства X α,exp(Π+ T,L) обладает следующим свойством: для любых j и мультииндексов ν ∂j α,exp t ∂ν u ∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x ,y )) ∀δ ∈ (0,T ), ∀x0 > 0, ∀y0 ∈ (0, L/2). 0 0 Замечание 2.4. Таким образом при выполнении условий теоремы 2.7 слабое решение стано- вится бесконечно гладким при t > 0, x > 0, 0 < y < L. Далее в этой части при интегрировании по всей полуполосе ΣL,+ пределы интегрирования будем опускать. Прежде чем приступить к доказательству сформулированных теорем, рассмотрим вспомогатель- T,L ную начально-краевую задачу в Π+ для линейного уравнения ut + bux + uxxx + uxyy = f (t, x, y) (2.6) с граничными условиями (2.1)-(2.3). Слабое решение этой задачи определяется аналогично равенству (2.4). Отметим, что такое T,L решение единственно в пространстве L2(Π+ ) (см. [22]). Для исследования этой задачи при неоднородном краевом условии (2.2) в статье [22] были построены и исследованы специальные решения однородного уравнения (2.6) типа «граничного потенциала», использующиеся для обнуления этого краевого условия. Рассмотрим алгебраическое уравнение z3 - (λl - b)z + p = 0, p = ε + iθ ∈ C, где λl суть упомянутые выше собственные значения оператора (-f 11) на отрезке [0, L] с соот- ветствующими граничными условиями на концах отрезка. Для ε > 0 обозначим через z0(p, l) единственный корень этого уравнения, для которого Re z0 < 0. Нетрудно видеть, что существует число r0(θ, l) = lim ε→+0 которое, разумеется, является корнем уравнения z0(ε + iθ, l), (2.7) r3 - (λl - b)r + iθ = 0. (2.8) В статье [22] с помощью формулы Кардано были изучены свойства этого корня и введено следу- ющее определение граничного потенциала: для μ ∈ L2(BL) при x � 0, y ∈ [0, L] пусть +∞ J (t, x, y; μ) ≡ '\" F-1 rer0(θ,l)xμ(θ, l) (t)ψl(y), (2.9) t l=1 где символ F-1 обозначает обратное преобразование Фурье (по переменной t), величины μ(θ, l) t заданы форм ами (2.5), а функции ψ суть собственные функции упомянутого выше опе тора ул l ра на отрезке [0, L]. Перечислим некоторые свойства функции J, установленные в [22]. Любая функция J - бесконечно гладкая при x > 0 и удовлетворяет равенству (2.6) для f ≡ 0. Для любых T > 0, x0 > 0, n и j sup ∂nJ (·, x·; μ) � c(T, x0, n, j) μ . (2.10) Далее, при 3m � k x x�x0 H� j,3j (BT,L) L2(BL) ∂mJ � c(k) μ , (2.11) при 3m + |ν| � k +1 t Cb(Rt;H� k-3m(ΣL,+)) H� (k+1)/3,k+1(BL) ∂m∂ν J x � c(k) μ , (2.12) t Cb(R+;L2(BL)) H� (k+1)/3,k+1(BL) в частности, J (t, 0, y; μ) ≡ μ(t, y), наконец, при s > 3/2 J L2(0,T ;W 1 (ΣL,+)) � c(T, s) μ � . (2.13) ∞ H(s+1)/3,s+1(BL) Введем вспомогательные пространства функций, экспоненциально быстро убывающих при x → +∞. Пусть символ Sexp(ΣL,+) обозначает пространство бесконечно гладких на ΣL,+ функ- ций ϕ(x, y), таких что enx|∂ν ϕ(x, y)| � c(n, ν) для любых n, мультииндексов ν, (x, y) ∈ ΣL,+ 522 А. В. ФАМИНСКИЙ y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае a), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае b), и ∂2m 2m 2m+1 2m+1 y ϕ y=0 = ∂y ϕ y=L = 0 в случае c), ∂y ϕ y=0 = ∂y ϕ = 0 в случае d) для любого ∂2m m. 2m+1 m m y=L Пусть Φ 0(x, y) ≡ u0(x, y), а при j � 1 Φ j (x, y) ≡ ∂j-1f (0, x, y) - (b∂x + ∂3 + ∂x∂2)Φ j 1(x, y). t x y - В статье [22] было доказано следующее утверждение. Лемма 2.1. Пусть u0 ∈ S(ΣL) ∩ Sexp(ΣL,+), f ∈ C∞([0, 2T ]; S(ΣL) ∩ Sexp(ΣL,+)), μ ∈ S(BL) и ∂j t μ(0, y) ≡ Φ j (0, y) для любого j. Тогда существует единственное решение задачи (2.6), (2.1)- (2.3) u ∈ C∞([0,T ]; Sexp(ΣL,+)). Эта лемма позволяет строить решения задачи (2.6), (2.1)-(2.3) в негладком случае как пределы решений из пространства C∞([0,T ]; Sexp(ΣL,+)) при наличии соответствующих оценок, установ- ленных в гладком случае. Поэтому в доказательстве последующих лемм, относящихся к линейной задаче, для получения оценок решений рассматривается именно гладкий случай. Лемма 2.2. Пусть ψ(x) является допустимой весовой функцией на R+, такой что ψ1(x) 2 также является допустимой весовой функцией, u0 ∈ Lψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 1/3,1(BT,L), f ≡ f0 +f1x, ψ(x) ψ2(x)/ψ!(x) где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), f1 ∈ L2(0,T ; L2 (ΣL,+)). Тогда существует (единственное) T,L слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ(x)(Π+ ). Доказательство. При μ ≡ 0 это утверждение было доказано в [22]. В общем случае положим g(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μ)η(2 - x), g ≡ gt + bgx + gxxx + gxyy , (2.14) U (t, x, y) ≡ u(t, x, y) - g(t, x, y), U0(x, y) ≡ u0(x, y) - g(0, x, y). (2.15) T,L В силу свойств (2.10)-(2.12) g ∈ X ψ(x)(Π+ ), кроме того, так как g = -bJη1(2 - x) - Jη111(2 - x)+ 3Jxη11(2 - x) - 3Jxxη1(2 - x) - Jyy η1(2 - x), + g g = 0 при x ∈ [0, 1] ∪ [2, +∞). Для функции U рассмотрим начально-краевую то ∈ C∞(ΠT,L), T,L задачу Π+ для уравнения g, Ut + bUx + Uxxx + Uxyy = f - (2.16) с начальными и краевыми условиями U t=0 = U0, U x=0 = 0 (2.17) и с теми же краевыми условиями на ΩT,+, как (2.3). Согласно [22] решение этой задачи U ∈ X ψ(x)(Π+ T,L) существует, тогда функция u ≡ U + g дает решение исходной задачи. Заметим, что также согласно результатам статьи [22] и свойствам функции g u C([0,T ];Lψ(x)(ΣL,+)) + |Du| L2(0,T ;Lψ!(x)(Σ )) � 2 Lψ(x) � cr u0 + μ 2 + f0 L,+ + f1 2 2 (ΣL,+)) '\. (2.18) 2 (ΣL,+) H1/3,1(B T,L) 2 L1(0,T ;Lψ(x)(ΣL,+)) L2(0,T ;Lψ (x)/ψ!(x) Лемма 2.3. Пусть ψ0(x), ψ1(x) являются допустимыми весовыми функциями на R+, таки- ми что ψ1 (x), ψ1 (x) также являются допустимыми весовыми функциями и ψ1 (x) ∼ ψ1(x). 0 1 ψ0(x) 0 ψ0(x) Пусть u0 ∈ L2 (ΣL,+), μ ∈ ψ2(x)/ψ! (x) H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; L2 1 1 (ΣL,+)) для любого δ ∈ (0,T ). Тогда T,L (единственное) слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: u ∈ X 1,ψ1(x)(Πδ,+ T,L) ∀δ ∈ (0,T ). (2.19) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 523 r 2t Доказательство. Пусть ϕδ (t) ≡ η δ 1 - '\. Перейдем к функции U по формулам (2.14), (2.15). Заметим, что если μ ∈ H 2/3,2(BT,L), то g ∈ X 1,ψ(x)(BT,L) для любой допустимой весовой функции ψ (с соответствующей оценкой). Умножим равенство (2.16) на -2((Ux(t, x, y)ψ1(x))x + Uyy (t, x, y)ψ1(x))ϕδ (t) и проинтегрируем по ΣL,+: d rr rr (U 2 + U 2)ψ1ϕδ dxdy + (3U 2 + 4U 2 L r + U 2 )ψ1 ϕδ dxdy + ψ1(0) U 2 ϕδ dy = dt x y rr xx xy L r yy 1 xx x=0 0 = (U 2 + U 2)ψ1ϕ1 dxdy - (2UxxUxψ1 - U 2ψ11 + bU 2ψ1) ϕδ dy+ x y δ rr 1 x 1 0 rr x x=0 + (U 2 + U 2)(bψ1 + ψ111)ϕδ dxdy - 2 (f - g)(Uxxψ1 + Uxψ1 + Uyy ψ1)ϕδ dxdy. (2.20) Имеем: rr y 1 1 rr 2 2 1 1 2 rr 2 ψ1 f (Uxx + Uyy )ψ1ϕδ dxdy � ε (Uxx + Uyy )ψ1ϕδ dxdy + c(ε) ψ f ϕδ dxdy, (2.21) 1 1 где ε > 0 может быть выбран сколь угодно малым, L r U 2 rrr 2 1 '\1/2rrr 2 '\1/2 rr 2 x x=0 dy � c 0 Uxxψ1 dxdy Ux ψ1 dxdy + c Ux ψ dxdy. (2.22) Тогда из равенства (2.20) следует, что |DU | C([δ,T ];Lψ1(x) + |D2 | U ψ! (x) � L (δ,T ;L 2 (ΣL,+)) 2 � c(δ)r f 2 1 (ΣL,+)) ψ2(x)/ψ! (x) + |DU | ψ1(x) '\. (2.23) L2(δ/2,T ;L2 1 1 (ΣL,+)) L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) 0 Поскольку ψ1 ∼ ψ1, применяя оценку (2.18) находим, что 2 r | |Du| C([δ,T ];Lψ1(x) + |D u ψ! (x) L (δ,T ;L � c(δ) u0 Lψ0(x) + μ H2/3,2(BT,L)+ 2 (ΣL,+)) 2 2 1 2 (ΣL,+)) ! 2 (ΣL,+) 2 ! '\, (2.24) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x) + f1 ψ (x)/ψ (x) L (0,T ;L + f ψ (x)/ψ (x) 2 (ΣL,+)) 2 0 0 1 1 откуда следует свойство (2.19). 2 (ΣL,+)) L2(δ/2,T ;L2 (ΣL,+)) Лемма 2.4. Пусть ψj (x), 0 � j � l, l � 2, являются допустимыми весовыми функциями на R+, такими что ψ1 (x) также являются допустимыми весовыми функциями и ψ1 (x) ∼ ψj (x) j ψ0(x) j-1 ψ0(x) при j � 1. Пусть u0 ∈ L2 (ΣL,+), μ ∈ H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; L2 (ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) j-1,ψ2(x)/ψ! (x) f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0 при 1 � j � l. Тогда (единственное) слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X обладает следующим свойством: ψ0(x) (Π ) + T,L ! 0 u ∈ C([δ, T ]; H l,ψl(x)(ΣL,x )) ∩ L2(δ, T ; H l+1,ψl (x) (ΣL,x0 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. (2.25) Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. При l = 1 утверждение доказано в лемме 2.3 (для x0 = 0). Пусть l � 2; предположим, что |Dl-1u| C([δ, ψ (x) + |Dlu| T ];L l-1 (ΣL,x )) L (δ ψ! 1(x) � c(δ, x0)r u0 ψ (x) L2 0 (ΣL + ,+) 2 0 2 2 (ΣL,x0 )) ,T ;L l- 2 ! + + μ H2/3,2(BT,L) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x)(ΣL,+)) + f1 ψ0 (x)/ψ0(x) 2 L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) 524 А. В. ФАМИНСКИЙ l-1 + '\" |Dj-1f | 2 ! '\. r 2x '\ j=1 L (δ/2,T ;L j (Σ )) ψ (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Пусть ηx0 (x) ≡ η x - 1 , ν - мультииндекс, для которого |ν| = l - 1; умножив равенство (2.6) 0 на 2(-1)l-1∂ν r(∂ν ux(t, x, y)ψl(x)ηx (x))x + ∂ν uyy ψl(x)ηx (x)lϕδ (t) и проинтегрировав по ΣL,+, на- ходим: d rr r(∂ν u )2 + (∂ν u )2lψ η 0 rr r ϕ dxdy + 3(∂ν u 0 )2 + 4(∂ν u )2 + (∂ν u )2l(ψ η )1ϕ dxdy = dt x rr r y l x0 δ l xx rr r xy yy l( l x0 δ ) = (∂ν ux)2 + (∂ν uy )2 ψlηx ϕ1 dxdy + (∂ν ux)2 + (∂ν uy )2 b(ψlηx )1 + (ψlηx )111 ϕδ dxdy- 0 δ 0 0 rr - 2 ∂ν f r(∂ν uxxψlηx + ∂ν ux(ψlηx )1 + ∂ν uyy ψlηx lϕδ dxdy, (2.26) откуда следует, что 0 0 0 |D∂ν u| ψ (x) + |D2∂ν u| ψ!(x) � C([δ,T ];L2 l (ΣL,x0 )) L2(δ,T ;L2 l (ΣL,x0 )) � c(δ, x0)r ∂ν f ψ2(x)/ψ!(x) + |D∂ν u| ψl(x) '\. (2.27) L2(δ/2,T ;L2 l l (Σ L,x0/2)) L2(δ/2,T ;L2 (ΣL,x0/2)) ν ψ Суммируя по и применяя индуктивное предположение получаем, поскольку 1 l-1 ∼ ψl, что |Dlu| ψ (x) + |Dl+1u| ψ!(x) � c(δ, x0)r u0 ψ0(x) + C([δ,T ];L2 l (ΣL,x0 )) L2(δ,T ;L2 l (ΣL,x0 )) L2 (ΣL,+) 2 ! + + μ H1/3,1(BT,L) + f0 L1(0,T ;Lψ0(x)(ΣL,+)) + f1 ψ0 (x)/ψ0(x) 2 L2(0,T ;L2 (ΣL,+)) l '\ + '\" |Dj-1f | 2 ! . j=1 L (δ/2,T ;L j (Σ )) ψ (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Лемма 2.5. Пусть для некоторого l � 4 функции ψj (x), 0 � j � l, удовлетворяют условиям 2 леммы 2.4, u0 ∈ Lψ0(x)(ΣL,+), μ ∈ 2 H 2/3,2(BT,L), f ≡ f0 + f1x, где f0 ∈ L1(0,T ; Lψ0(x)(ΣL,+)), ψ2(x)/ψ! (x) j-1,ψ2(x)/ψ! (x) j-3 f1 ∈ L2(0,T ; L2 0 0 2,ψ2(x)/ψ! (x) (ΣL,+)), f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) при 1 � j � 3, ∂x f ∈ L2(δ, T ; H j j (ΣL,x0 )) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0 при 4 � j � l. Тогда (единственное) T,L слабое решение задачи (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: ∂l-3 x u ∈ C([δ, T ]; H 3,ψl(x) (ΣL,x0 )) ∩ L2(δ, T ; H l 4,ψ!(x) (ΣL,x0 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. (2.28) Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. При l = 3 утверждение доказано в лемме 2.4. Пусть l � 4; предположим, что 3 '\" ∂l-k-1 k 4 '\" ! � l-k k ψ x ∂y u C([δ,T ];Lψl-1(x)(Σ )) + ∂x ∂y u l-1(x) k=0 � c(δ, x0)r u0 2 L,x0 + μ k=0 + f0 L2(δ,T ;L2 (ΣL,x0 )) + f1 2 + Lψ0(x) H2/3,2(BT,L) ψ0(x) ψ (x)/ψ! (x) 2 (ΣL,+) L1(0,T ;L2 (ΣL,+)) l-1 min(2,j-1) L2(0,T ;L2 0 0 (ΣL,+)) + '\" '\" ∂j-k-1 k '\ x ∂y f ψ2 ! . j=1 k=0 L (δ/2,T ;L j (Σ )) (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Пусть 0 � k � 2, ν = (l - k - 1, k); аналогично доказательству леммы 2.4 умножив равен- ство (2.6) на 2(-1)l-1∂ν r(∂ν ux(t, x, y)ψl(x)ηx (x))x + ∂ν uyy ψl(x)ηx (x)lϕδ (t) и проинтегрировав по 0 0 ΣL,+, выводим равенство (2.26), откуда, в свою очередь, получаем оценку (2.27). Суммируя по k ψ и применяя индуктивное предположение, получаем, поскольку 1 l-1 ∼ ψl, что О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 525 3 '\" ∂l-k k 4 '\" l-k+1 k ψ! � x ∂y u C([δ,T ];Lψl(x)(Σ ) + ∂x ∂y u l(x) 2 k=0 Lψ0(x) � c(δ, x0)r u0 L,x0 + μ k=0 H2/3,2(BT,L) + f0 L2(δ,T ;L2 (ΣL,x0 ) ψ0(x) + f1 ψ2(x)/ψ! (x) + 2 (ΣL,+) L1(0,T ;L2 (ΣL,+)) l min(2,j-1) L2(0,T ;L2 0 0 (ΣL,+)) + '\" '\" ∂j-k-1 k '\ x ∂y f ψ2 ! . j=1 k=0 L (δ/2,T ;L j (Σ )) (x)/ψ (x) j 2 2 L,x0/2 Лемма 2.6. Пусть для некоторого l � 4 выполнены условия леммы 2.5. Пусть 4 � m � l и для любого j, для которого 4 � j � l, существует набор допустимых весовых функций kj κkj (x), где 3 � k � min(j, m), таких что производные κ1 (x) также являются допустимыми (k-1)j весовыми функциями, κ3j (x) ≡ ψj (x), κkj (x) � c(κ1 κ kj 1 (x))1/2 при k � 4 для некоторой кон- κ! (x) станты c и любого x � 0. Пусть ∂j-k ∂k-1f ∈ L (δ, T ; L (k-1)j (Σ )) для любых δ ∈ (0,T ), x y 2 2 L,x0,y0 x0 > 0, y0 ∈ (0, L/2) при 4 � j � l, 4 � k � min(j, m). Тогда (единственное) слабое решение задачи T,L (2.6), (2.1)-(2.3) u ∈ X ψ0(x)(Π+ ) обладает следующим свойством: при 4 � j � l ∂j-k k κkj (x) δ,x0,y0 x ∂y u ∈ X (ΠT,L ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0 ∀y0 ∈ (0, L/2). (2.29) r 2y '\ r 2L - 2y '\ Доказательство. Положим γy0 (y) ≡ η положим y -1 η 0 y -1 . Пусть 4 � j � l, 4 � k � min(j, m), 0 v(t, x, y) ≡ ∂j-k ∂k u(t, x, y)γy (y). x y 0 Тогда функция v удовлетворяет в ΣL,+ уравнению vt + bvx + vxxx + vxyy = F ≡ ∂j-k ∂k fγy + 2∂j-k+1∂k+1uγ1 + ∂j-k+1∂k uγ11 . x y 0 x y y0 x y y0 Умножим это равенство на 2v(t, x, y)κkj (x)ηx0 (x)ϕδ (t) и проинтегрируем по ΣL,+, тогда d rr v2κkj ηx δ rr 2 2 kj x δ rr 2 kj x δ dt 0 ϕ dxdy + (3vx + vy )(κ rr η 0 )1ϕ dxdy = v κ η 0 ϕ1 dxdy+ rr + v2(b(κkj η)1 + (κkj η)111)ϕδ dxdy +2 Fvκkj ηx0 ϕδ dxdy. (2.30) Заметим, что 1 v2 j-k k+1 2 j-k k 1 2 y � 2 (∂x ∂y uγy0 ) - (∂x ∂y uγy0 ) , L L r r 2 Fv dy = -2 L r ∂j-k ∂k-1f (∂j-k ∂k uγ2 )y dy - 4 ∂j-k+1∂k u ∂j-k ∂k+1u γy γ1 dy- x y x 0 0 y y0 x y x y 0 L r 0 y0 x ∂y u ∂x ∂y u (4(γy0 ) + 2γy0 γy0 ) dy, где - ∂j-k+1 k 0 j-k k 1 2 11 rr - 2 ∂j-k k-1 j-k k 2 rr j-k k+1 2 1 x ∂y f (∂x ∂y uγy0 )y κkj ηx0 ϕδ dxdy � ε (∂x ∂y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy+ rr + (∂j-k k 1 2 1 rr j-k k-1 2 2 κkj x ∂y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy + c(ε) (∂x ∂y f γy0 ) 0 ηx ϕδ dxdy, κ 1 kj rr - 4 ∂j-k+1 k j-k k+1 1 x ∂y u ∂x ∂y u γy0 γy0 κkj ηx0 ϕδ dxdy � 526 А. В. ФАМИНСКИЙ rr � ε (∂j-k ∂k+1 2 1 rr j-k+1 k 2 1 2 κkj x y u γy0 ) κkj ηx0 ϕδ dxdy + c(ε) 0 (∂x ∂y u γy0 ) ηx ϕδ dxdy. κ 1 kj Таким образом, поскольку κ2 /κ1 � cκ1 , κkj � cκ1 , из равенства (2.30) следует, что kj kj (k-1)j (k-1)j ∂j-k k j-k k+1 (x) x ∂y u C([δ,T ];Lκkj (x)(Σ + ∂x ∂y u κ! � )) 2 L,x0,y0 L2(δ,T ;L kj (ΣL,x ,y )) 2 0 0 � c(δ, x0, y0)r ∂j-k ∂k-1f + x y κ! L2(δ/2,T ;L (k-1)j (x) (ΣL,x /2,y /2)) + ∂j-k k (x) 2 0 0 j-k+1 k '\ (x) x ∂y u κ! + ∂x ∂y u κ! . L2(δ/2,T ;L (k-1)j (ΣL,x /2,y /2)) L2(δ/2,T ;L (k-1)j (ΣL,x /2,y /2)) 2 0 0 2 0 0 Заметим, что для k = 4 последние два слагаемых в правой части этого неравенства уже оценены должным образом в лемме 2.5. Тогда индукция по k завершает доказательство леммы. Теперь перейдем к доказательству сформулированных выше теорем уже для самого уравнения Захарова-Кузнецова. Доказательство теоремы 2.1. Хотя этот результат уже фактически установлен в [22], рассмот- рим некоторые из деталей доказательства существования слабого решения, поскольку они будут использоваться далее при доказательстве следующих теорем. При этом ход доказательства бу- дет отличаться от использованного в [22]. Доказательство же единственности здесь приводить не будем. Прежде всего приблизим граничные данные более гладкими. Без ограничения общности можно считать, что μ ∈ H s/3,s(BL). Пусть функции μh ∈ S(BL), h ∈ (0, 1], таковы, что μh → μ в H s/3,s(BL) при h → +0. X β,exp(Π+ Положим gh(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μh)η(2 - x), тогда gh → g при h → +0 в любом пространстве T,L), где функция g задана формулой (2.14). Кроме того согласно (2.13) равномерно по h ∞ gh L2(0,T ;W 1 (ΣL,+)) � c. (2.31) Пусть функции uh ∈ S(ΣL) таковы, что uh → u0 в пространстве Lα(ΣL,+) при h → +0. Положим U0h(x, y) ≡ 0 0 2x h ruh(x, y) - gh(0, x, y)'\ η( 0 1 - 1)η( h 2 +1 - x), u0h(x, y) ≡ U0h(x, y)+ gh(0, x, y). (2.32) 2 Тогда U0h → U0 (функция U0 задана формулой (2.15)), u0h → u0 в пространстве Lα(ΣL,+) при x=0 = μh h → +0. Кроме того u0h t=0 . Воспользуемся результатом из статьи [22], согласно которо- T,L му существует решение uh ∈ X 3,β,exp(Π+ ) ∀β > 0 начально-краевой задачи для уравнения (1.1) с начальными и краевыми условиями u t=0 = u0h, u x=0 = μh и соответствующими краевыми условиями (2.3). Рассмотрим также функции Uh ≡ uh -gh, которые, очевидно, являются решениями задачи для уравнения Ut + bUx + Uxxx + Uxyy + UUx + (ghU )x = Fh ≡ -ghghx - gh (2.33) с начальными и краевыми условиями U t=0 = U0h, U x=0 = 0 и соответствующими краевыми условиями (2.3), где аналогично (2.14) gh ≡ ght + bghx + ghxxx + ghxyy . Заметим, что равномерно по h для любого β > 0 2 Fh C([0,T ];Lβ,exp(ΣL,+)) � c. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 527 Умножив равенство (2.33) (для U ≡ Uh) на 2Uh(t, x, y) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство (которое, разумеется, является аналогом 1-го из законов сохранения (1.3)) d rr dt 2 Uh dxdy + L Uhx x=0 dy + r 2 rr 0 2 rr ghxUh dxdy = 2 FhUh dxdy, из которого с учетом (2.31) вытекают равномерные по h оценки Uh C([0,T ];L2(ΣL,+)) � c, uh C([0,T ];L2(ΣL,+)) � c. (2.34) Далее, умножив равенство (2.33) на 2Uh(t, x, y)ρα(x) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равен- ство U d rr dt h ρα dxdy + L r rr Uhx x=0 dy +3 (3Uhx + Uhy )ρα dxdy- 2 2 0 rr 1 rr 2 2 1 rr rr - U 2(ρ111 1 3 1 1 2 h α + bρα) dxdy - 3 Uh ρα dxdy + (ghxρα - ghρα)Uh dxdy = 2 FhUhρα dxdy. (2.35) α Здесь с учетом уже полученной оценки (2.34) и интерполяционного неравенства (1.6) (для k = 1, m = 0, q = 4, ψ1 = ψ2 ≡ ρ1 ) rr 3 1 rrr 2 '\1/2rrr 4 1 2 '\1/2 Uh ρα dxdy � Uh dxdy Uh (ρα) rr dxdy � rr � ε (U 2 + U 2 )ρ1 dxdy + c(ε) U 2ρα dxdy (2.36) hx hy α h и тогда из равенства (2.35) следует, что равномерно по h T,L) Uh X� α(Π+ 2 � c, uh X� α (Π ) + T,L � c. (2.37) Пусть теперь ψ(x) ≡ 1+ π arctg x. Заметим, что эта функция является допустимой весовой функци- ей на всей оси R, ее производная ψ1 также является допустимой весовой функцией, кроме того, эта функция ограничена на R. Пусть x0 � 0, тогда умножив равенство (2.33) на 2Uh(t, x, y)ψ(x - x0) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство аналогичное (2.35), в котором функция ρα(x) замене- на на ψ(x). Применяя уже полученную оценку (2.34), находим аналогично (2.37), что равномерно по h λ+(|Duh|; T, L) � c. (2.38) На основе полученных оценок (2.37), (2.38) стандартным приемом (см., например, [22]) пре- дельным переходом при h → +0 строим слабое решение рассматриваемой задачи u ∈ X α(Π+ ), λ+(|Du|; T, L) < +∞. w T,L Если α � 1, то рассмотрим построенное решение u как решение соответствующей начально- краевой задачи для линейного уравнения (2.6) при f ≡ -uux. Применим лемму 2.2 для ψ(x) ≡ (1 + x)2α, f0 ≡ 0, f1 ≡ -u2/2. Заметим, что в этом случае ψ2(x)/ψ1(x) ∼ (1 + x)2α+1 � (1 + x)2α-1(1 + x)2α, и согласно (1.6) (для k = 1, m = 0, q = 4, ψ1 = (1 + x)2α-1, ψ2 = (1 + x)2α) T r rr 0 rr u4(1 + x)2α-1(1 + x)2α dxdydt � c ess sup t∈(0,T ) u2ρα dxdy T r rr 0 α (|Du|2ρ1 + u2ρα) dxdydt < +∞. (2.39) T,L Тогда в силу указанной леммы u ∈ X α(Π+ ). T,L). Доказательство теоремы 2.2. Будем использовать те же гладкие решения uh, что и в доказа- тельстве теоремы 2.1. Заметим, что в данном случае gh → g при h → +0 в любом пространстве X 1,β,exp(Π+ 528 А. В. ФАМИНСКИЙ 2 Умножив равенство (2.33) (для U ≡ Uh) на -(2(Uhx(t, x, y)ρα-1/2(x))x + 2Uhyy (t, x, y)ρα-1/2(x)+ Uh (t, x, y)ρα-1/2(x)(x))ϕδ (t) и проинтегрировав по ΣL,+, получим равенство (являющееся аналогом 2-го из законов сохранения (1.3), см. также (2.20)): d rr f U 2 2 1 3\ ρ ϕδ dxdy + rr (3U 2 + 4U 2 + U 2 ) ρ1 ϕδ dxdy+ dt hx + Uhy - 3 Uh L r α-1/2 rr f hxx 1 hxy \ hyy α-1/2 + U 2 ϕδ dy = U 2 + U 2 - U 3 ρ ϕ1 dxdy+ rr ( hxx x=0 0 )( hx hy 3 h ) rr α-1/2 δ + U 2 + U 2 bρ1 + ρ111 ϕδ dxdy - 2 (Uhxx + Uhyy )U 2ρ1 ϕδ dxdy- hx - rr f b hy α-1/2 ρ 3 1 4\ α-1/2 rr h α-1/2 h h U + U 3 4 rr 1 α-1/2 ϕδ dxdy +2 1 rr (ghUh)x(Uhxx + Uhyy )ρα-1/2ϕδ dxdy+ 3 α-1/2 +2 (ghUh)xUhxρ1 rr ϕδ dxdy + 3 α-1/2 (2ghxρα-1/2 - ghρ1 rr )Uh 2 ϕδ dxdy- α-1/2 + U - 2 Fh(Uhxxρα-1/2 + Uhxρ1 L r ( hyy ρα-1/2 )ϕδ dxdy - FhUh ρα-1/2 ) ϕδ dxdy- - 2UhxxUhxρ1 - U 2 ρ11 + bU 2 ρα 1/2 ϕδ dy. (2.40) α-1/2 0 hx α-1/2 hx - x=0 Используем соответствующие аналоги неравенств (2.21), (2.22), (2.36). В частности, поскольку α ρα-1/2(x) ∼ ρ1 (x), из оценки (2.37) следует, что равномерно по h T r rr f 2 2 1 3\ δ dxdy dt � c. Uhx + Uhy - 3 Uh 0 ρα-1/2ϕ1 Кроме того, для сколь угодно малого ε > 0 rr 2 1 rr 2 2 1 rr 4 1 (Uhxx + Uhyy )Uh ρα-1/2ϕδ dxdy � ε |D U | ρα-1/2ϕδ dxdy + c(ε) rr Uh ρα-1/2ϕδ dxdy ≡ rr |D U | ρ ≡ ε rr 2 2 1 2 2 1 α-1/2 ϕδ dxdy + γ1h(t), (ghUh)x(Uhxx + Uhyy )ρα-1/2ϕδ dxdy � ε rr |D U | ρα-1/2ϕδ dxdy+ rr +c(ε) ess sup (1+x)1+ε(g2 +g2 ) (U 2 +U 2)ρ ϕδ dxdy ≡ ε |D2U |2ρ1 ϕδ dxdy+γ2h(t), (x,y)∈ΣL,+ hx h hx h α-1/2 α-1/2 где γjh L1(0,T ) � c. Остальные слагаемые в правой части равенства (2.40) оцениваются аналогич- ным образом, и тогда равномерно по h Uh X� 1,α-1/2(Πδ,+ � c, uh � δ,+ � c. (2.41) T,L) 2 X1,α-1/2(ΠT,L) Заменив в (2.40) ρα-1/2(x) на 1+ π arctg x, получим аналогично (2.38), что λ+(|D2uh|; T, L, δ) � c. (2.42) Из оценок (2.37), (2.41), (2.42) предельным переходом при h → +0 получаем результат o существовании слабого решения рассматриваемой задачи u ∈ X α(Π+ ) X (Π ), 1,α-1/2 δ,+ ∩ λ+(|D2u|; T, L, δ) < +∞. T,L w T,L Пусть α > 1/2, тогда ρ1 α-1/2 (x) ∼ (1 + x)2α-2. В силу интерполяционного неравенства (1.6) (для k = 2, ψ1(x) ≡ (1 + x)2α-2, ψ2(x) ≡ (1 + x)2α) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 529 T r rr u2u2 4α-2 T rrrr 4 1/2 3/2 '\1/2rrr 4 3/2 1/2 '\1/2 x(1 + x) δ dxdydt � δ u ψ1 ψ2 dxdy T uxψ1 ψ2 dxdy dt � � ess suprrr u2ρ (x) dxdy'\ r rr ( D2u 2ρ1 (x)+ u2ρ (x)) dxdy dt < + . (2.43) α t∈(0,T ) | | α-1/2 α ∞ δ δ Применяя лемму 2.2 к функции v(t, x, y) ≡ u(t, x, y)ϕδ (t) (где f0 ≡ -uuxϕδ - uϕ1 , f1 ≡ 0, ψ(x) ≡ T,L (1 + x)2α-1, а тогда ψ(x) � (1 + x)4α-2) получаем, что u ∈ X α-1/2(Πδ,+ ). Наконец, если α � 1, то применим лемму 2.3 для ψ0(x) ≡ (1 + x)2α, ψ1(x) ≡ (1 + x)2α-1, f ≡ -uux, f0 ≡ 0 f1 ≡ -u2/2. Заметим, что в этом случае ψ2(x)/ψ1 (x) ∼ (1 + x)2α � (1 + x)4α-2. 1 1 T,L Тогда используя оценки (2.39) и (2.43), получаем, что u ∈ X 1,α-1/2(Πδ,+ ). Доказательство теоремы 2.3. Будем использовать те же гладкие решения uh, что и в дока- зательстве теорем 2.1 и 2.2. При этом будем также использовать результат о дополнительной регулярности подобных решений при x > 0 из статьи [23]: ∂nuh ∈ X 3,β,exp(Π0,x0 ) для любых n, x T,L x0 > 0 и β > 0. В частности, ∂nuht, ∂nuhty , ∂n∂j u ∈ L (0,T ; Lβ,exp(ΣL,x )) (при j � 4). Заметим, x x x y h 2 2 0 что тогда из самого равенства (1.1) (для u ≡ uh) следует, что uhtyy ∈ L2(0,T ; Lβ,exp(ΣL,x )). 2 0 Пусть ν = (n1, n2) - произвольный мультииндекс, для которого |ν| = 2. Умножим равен- ство (1.1) на ∂ν (∂ν uh(t, x, y)ρα 1(x)η (x))ϕ (t) и проинтегрируем по Π+ , тогда - x0 δ t,L rr - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + t hx r rr (3(∂ν u 0 )2 + (∂ν uhy )2)(ρ α-1 ηx0 )1ϕδ dxdy dτ = t r rr = 0 - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx δ ϕ1 dxdy dτ + t r rr 0 (∂ν uh )2(b(ρ t α-1 ηx0 )1 + (ρ α-1 ηx0 )111)ϕδ dxdy dτ - r rr - 2 0 - 0 ∂ν (uhuhx)∂ν uhρα 1ηx ϕδ dxdy dτ. (2.44) Заметим, что поскольку ρ1 α-1/2 (x) ∼ ρα-1(x), из оценки (2.41) следует, что 1-й и 2-й интегралы в правой части (2.44) уже оценены равномерно по h. Интеграл от нелинейности преобразуем: rr - 2 ∂ν (uhuhx)∂ν uhρα 1η rr ϕ dxdy = ∂ν (u2 )(∂ν uhρα 1η ) ϕ dxdy � - x0 δ h - x0 x δ 2 1 rr ν 2 1 1 rr ν 2 2 ρα-1 � 2 (∂ uhx) ρα-1ηx0 ϕδ dxdy + 2 (∂ (uh)) ρ 1 α-1 ηx0 ϕδ dxdy+ rr + ∂ν (u2 )∂ν uh(ρα 1η )1ϕ dxdy. (2.45) Очевидно, что h h ∂ν (u2 ) = 2uh∂ν uh + 2∂ν1 uh∂ν2 uh, - x0 δ α-1 где ν1 + ν2 = ν, |ν1| = |ν2| = 1. Так как α > 1, то ρ2 α 1 (x)/ρ1 - (x) ∼ (1 + x)ρα- 1(x) = ρ α-1/2 (x), а тогда rr u2 h(∂ν uh) 2 2 ρα-1 ρ 1 α-1 ηx0 ϕδ dxdy � c sup x�x0/2 h r(1 + x)u2 l rr (∂ν - x0 δ uh)2ρα 1η ϕ dxdy, (2.46) где в силу неравенства (1.6) (для k = 2, m = 0, q = +∞, ψ1(x) ≡ 1, ψ2(x) ≡ (1 + x)2) и оценок (2.37) и (2.41) равномерно по h (1 + x)u2 � c uh 1 uh 2 � c1. (2.47) h L2(δ/2,T ;L∞(ΣL,x0/2)) C[0,T ];L2(ΣL,+)) L2(δ/2,T ;H (ΣL,x0/2)) 530 А. В. ФАМИНСКИЙ Кроме того в силу неравенства (1.6) (для ϕ ≡ uhx или ϕ ≡ uhy , k = 1, m = 0, q = 4, ψ1(x) ≡ ρα-1(x), ψ2(x) ≡ ρα-1/2(x)) и оценки (2.41) равномерно по h T r rr (∂ν1 uh)2(∂ν2 uh)2 T ρ2 r rr α-1 ηx ϕδ dxdy dt � c |Duh|4ρα 1ρα 1/2 dxdy dt � ρ 1 0 0 α-1 2 - - δ/2ΣL,x0/2 2 ∞ � c1 uh L (δ/2,T ;H1,α-1/2(Σ L,x0/2 0 )) uh L2(δ/2,T ;H2,α-1(ΣL,x /2)) � c2. (2.48) Интеграл от функции ∂ν (u2 )∂ν uhρ1 ηx ϕδ оценивается полностью аналогично (и даже про- h ще) (2.46)-(2.48). Наконец, rr α-1 0 rr - 1η x0 |uh|(∂ν uh)2ρα 1 ϕδ dxdy � c rr |uh |(∂ν uh x0 )2η1/2ϕδ dxdy � rr u h � sup 2 x�x0/2 - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + c 1 ΣL,x0/2 rr (∂ν uh )2ϕδ dxdy ≡ ≡ γ1h(t) - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + γ2h (t), rr - 1η x0 |∂ν1 uh∂ν2 uh∂ν uh|ρα 1 ϕδ rr dxdy � c |∂ν1 uh ∂ν2 uh ∂ν uh x0 |η1/2ϕδ dxdy � rr - 0 � (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ rr dxdy + c1 |Duh 4 | ϕδ dxdy ≡ ΣL,x0/2 rr ≡ - 0 (∂ν uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy + γ3h (t), где согласно (2.41), (2.47), (2.48) γjh L1(0,T ) � c равномерно по h. Таким образом, из равен- ства (2.44) следует, что равномерно по h T,L ) � uh X� 2,α-1(Πδ,x0 c. (2.49) Предельным переходом при h → +0 получаем существование решения исходной задачи u ∈ X 2,α-1 δ,x0 w (ΠT,L ) (и обладающего всеми свойствами решения из теоремы 2.2). Для окончания доказательства теоремы применим лемму 2.4 при l = 2, ψj (x) ≡ (1 + x)2α-j , f ≡ -uux. Здесь ψ2(x)/ψ1 (x) ∼ (1 + x)2α-1. Тогда поскольку u ∈ X α(Π+ ) ∩ X 1,α-1/2(Πδ,+ ) ∩ 2,α-1 2 2 δ,x0 T,L T,L X w (ΠT,L ), если |ν| = 2, то аналогично (2.46), (2.47) T r rr (1 + x)2α-1u2(∂ν u)2 dxdy dt � δ ΣL,x0 � T sup f sup r(1 + x)u2l rr (1 + x)2α-2(∂ν u)2 dxdyl. < + ∞, (2.50) δ�t�T а если |ν| = 1, то аналогично (2.48) T x�x0 ΣL,x0 r rr (∂ν u)4(1 + x)2α-1 dxdy dt � δ ΣL,x0 � T sup frr (1 + x)2α-1 Du 2 dxdy rr ((1 + x)2α-2 D2u 2 + (1+ x)2α-1 Du 2) dxdyl. < + . δ�t�T ΣL,x0 | | | | ΣL,x0 | | ∞ (2.51) О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 531 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; H1,ψ (x)/ψ (x)(ΣL,x )). Кроме того, в случае a) (uux) = 2 ! 0 y=0 y=L (uux) = 0, в случае c) (uux) y=0 = 0, в случае d) (uux) y=0 = (uux) y=L . В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 1,ψ2 (x)/ψ2(x)(ΣL,x )). Тогда согласно лемме 2.4 u ∈ X 2,α-1(Πδ,x0 ). 2 ! 0 T,L Доказательство теоремы 2.4. Рассмотрим сначала случай l = 3. Воспользуемся леммой 2.4 при l = 3, ψj (x) ≡ ρα-j/2(x), f ≡ -uux. Заметим, что так как ρα-3/2(x) ∼ (1 + x) 2α-3 � (x), ρ1 (x) α-3/2 c(1 + x)2α-4-ε, где ε = 0 при α > 3/2, ε > 0 произвольно мало при α = 3/2, то ψ2 1 2α-1 3 (x)/ψ3(x) � c(1 + x) Для произвольного мультииндекса ν, |ν| = 2, . (2.52) ∂ν (uux) = u∂ν ux + '\" cν ,ν ∂ν1 u∂ν2 u. (2.53) 1 2 |ν1|=1,|ν2|=2 В силу неравенства (1.6) (для k = 2, m = 0, q = +∞, ψ1(x) ≡ 1+ x, ψ2(x) ≡ (1 + x)3), поскольку 3/2 1/2 0 u ∈ C([0,T ], L2 (ΣL,+)), |D2u|∈ C([δ, T ]; L2 (ΣL,x )), то sup T,L (t,x)∈Πδ,x0 r(1 + x)|u(t, x)|l < +∞; (2.54) тогда, поскольку ∂ν ux ∈ L2(δ, T ; Lα-3/2(ΣL,x )), то 2 0 T r rr u2(∂ν ux)2 ψ3(x)2 ψ1 3(x) dxdy dt � δ ΣL,x0 � r sup δ,x0 T 2 r rr r(1 + x)|u(t, x)|l'\ (1 + x)2α-3(∂ν ux)2 dxdy dt < +∞. (2.55) (t,x)∈ΠT,L δ ΣL,x0 Далее, так как 2α - 1 � 4α - 4 при α � 3/2, то аналогично (2.43) 2 T r rr ψ1 (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2 ψ3 (x) dxdy dt � 3(x) δ ΣL,x0 T r rrr � c (1 + x)4α-3(∂ν1 u)4 dxdy'\1/2rrr (1 + x)4α-5(∂ν2 u)4 dxdy'\1/2 dt � δ ΣL,x0 � c1 sup rrr ΣL,x0 (1 + x)2α-1|Du|2 dxdy'\× t∈(δ,T ) Σ T r rr ( L,x0 ) × δ ΣL,x0 2 (1 + x)2α-3|D3u|2 + (1+ x)2α-1|Du|2 ! dxdy dt < +∞. (2.56) 0 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; H2,ψ3 (x)/ψ3(x)(ΣL,x )). y=0 Кроме того, в случае a) (uux) y=L = (uux) y=0 = 0, в случае b) (uux)y y=L = (uux)y = 0, y=0 в случае c) (uux) y=L = (uux)y y=0 = 0, в случае d) (uux) y=L = (uux) y=0 , (uux)y = (uux)y . В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 2,ψ3 (x)/ψ3(x)(ΣL,x )). Применяя лемму 2.4, находим, что 2 ! y=L 0 T,L ). u ∈ X 3,α-3/2(Πδ,x0 Для l � 4 применим индукцию по l. Пусть сначала рассматривается случай краевых условий b) или d). Используем лемму 2.5 для ψj (x) ≡ ρα-j/2(x), f ≡ -uux. Аналогично (2.52) ψ2 1 2α-l+2 l (x)/ψl(x) � c(1 + x) . 532 А. В. ФАМИНСКИЙ Для произвольного мультииндекса ν, |ν| = l - 1, аналогично (2.53) ∂ν (uux) = u∂ν ux + '\" cν ,ν ∂ν1 u∂ν2 u. 1 2 |ν1|�|ν2|�l-1,|ν1|+|ν2|=l Используя неравенство (2.54) и индуктивное предположение, находим аналогично (2.55), что T r rr δ ΣL,x0 u2(∂ν ux)2 l ψ2(x) ψ1 l(x) dxdy dt � 2 r rr � r sup δ,x0 (t,x)∈ΠT,L δ ΣL,x0 Кроме того, аналогично (2.56), поскольку 2α - l +2 � 4α - l - 1 2 T r rr ψ1 (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2 ψl (x) dxdy dt � l(x) δ ΣL,x0 � c T r rrr (1 + x)4α-2|ν1|-1(∂ν1 u)4 dxdy'\1/2rrr (1 + x)4α-2|ν2|-1(∂ν2 u)4 dxdy'\1/2 dt � δ ΣL,x0 rr � c1 sup t∈(δ,T ) ΣL,x0 ((1 + x)2α-|ν1|(∂ν1 u)2 + rr (1 + x)2α-|ν2|(∂ν2 u)2) dxdy× T r rr ( ΣL,x0 ΣL,x0 × δ ΣL,x0 (1 + x)2α-|ν1|-1|D∂ν1 u|2 + (1+ x)2α-|ν1|(∂ν1 u)2 + (1+ x)2α-|ν2|-1|D∂ν2 u|2+ + (1+ x)2α-|ν2|(∂ν2 u)2) dxdy dt < +∞. 2 ! 0 Таким образом, uux ∈ L2(δ, T ; Hl-1,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x )). Заметим, что j ∂j '\" y y y (uux) = k=0 cjk ∂k u∂j-k ux. Тогда так как в случае b) для нечетных значений j < l - 1 либо ∂k u = ∂k u , ли- y y=0 y y=L y ux y=0 = ∂y ux y=L = 0, поэтому ∂y (uux) y=0 = ∂y (uux) y=0 = 0. В случае же d) бо ∂j-k j-k j j очевидно, что ∂y (uux) y=0 = ∂y (uux) y=0 = 0 для всех j < l - 1. Это означает, что uux ∈ j j 2 ! δ,x L2(δ, T ; H l-1,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x 0 )). Тогда из леммы 2.4 следует, что u ∈ X l,α-l/2 T,L (Π 0 ). Наконец для l � 4 рассмотрим случай краевых условий a) или c). Выберем мультииндекс ν = (n1, n2), такой что |ν| = l-1, n2 � 2. Тогда применяя индукцию по l и дословно повторяя выкладки, 2 ! проведенные для случаев b) и d), находим, что ∂l-3(uux) ∈ L2(δ, T ; H2,ψl (x)/ψl (x)(ΣL,x )), что x 0 3 2,ψ2(x)/ψ!(x) x аналогично l = 3 означает, что ∂l- (uux) ∈ L2(δ, T ; H l приводит к свойству ∂l-3u ∈ X 3,α-l/2(Πδ,x0 ). l (ΣL,x0 )). Применение леммы 2.5 x T,L Доказательство теоремы 2.5. Воспользуемся индукцией по k. Докажем, что если ∂j-k+1∂k-1u ∈ x y Xα-j/2-k+4(Πδ,x0,y0 x ∂k то ∂j-k T,L ) при 4 � j � l, 4 � k � min(j, m) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0, y0 ∈ (0, L/2), α-j/2-k+3 δ,x0,y0) y u ∈ X (ΠT,L ). Воспользуемся леммой 2.6, в которой положим κkj (x) ≡ (1 + x)2α-j-2k+6 (заметим, что 2α - j - 2k +6 > 0, κ3j (x) = (1 + x)2α-j ). Пусть ν = (n1, n2) - мультииндекс, такой что |ν| � j, n2 � k - 1. Тогда ∂ν u ∈ Xα-j/2-k+4 и О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 533 T r rr rr (1 + x)4α-2j-4k+15(∂ν u)4 dxdy dt � sup t∈(δ,T ) (1 + x)2α-j-2k+8(∂ν u)2 dxdy× δ ΣL,x0,y0 T r rr ( ΣL,x0,y0 ) dxdy dt < + × δ ΣL,x0,y0 |D∂ν u|2(1 + x)2α-j-2k+7 + (∂ν u)2(1 + x)2α-j-2k+8 ∞ κ Это свойство означает, что поскольку 1 (k-1)j (x) � c(1 + x)2α-j-2k+7, а 2α - j - 2k +7 � 4α - 2j - 4k + 15, то ∂j-k k-1 ! κ(k-1)j (x) x ∂y (uux) ∈ L2(δ, T ; L2 (ΣL,x0,y0 )). Тогда из леммы 2.6 следует требуемое свойство. Осталось заметить, что при k = 4 ∂j-3 3 α-j/2 δ,x0 по теореме 2.4. ∂y u ∈ X (ΠT,L ) Доказательство результатов с экспоненциальными весами существенно проще, поскольку если ψ(x) ≡ e2αx, то ψ(j)(x) ∼ ψ(x) для любого j, в частности, ψ2(x)/ψ1(x) ∼ ψ(x). Доказательство теоремы 2.6. Искомое решение строим как предел при h → +0 гладких решений uh(t, x, y) таких же, как в доказательстве теорем 2.1-2.3. Оценка (2.34) не изменяется. Используя в качестве весовой функции e2αx вместо ρα(x) анало- гично (2.37) находим, что равномерно по h T,L) uh X� α,exp(Π+ � c. Эта оценка позволяет построить решение исходной задачи u ∈ X α,exp(Π+ ). Очевидно, что для w него автоматически λ+(|Du|; T, L) < +∞. Кроме того, аналогично (2.39) T r rr T,L u4e4αx dxdy dt < +∞, 0 T,L а тогда из леммы 2.2 следует, что u ∈ X α,exp(Π+ ). Если дополнительно известно, что μ ∈ H 2/3,2(BT,L), то аналогично (2.41) находим, что равно- мерно по h T,L) uh X� 1,α,exp(Πδ,+ � c, откуда следует, что u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ ). Кроме того, аналогично (2.43) w T,L T r rr δ xe u2u2 4αx dxdy dt < +∞, T,L а тогда из леммы 2.3 следует, что u ∈ X 1,α,exp(Πδ,+ ). Доказательство теоремы 2.7. Сначала как и при доказательстве теоремы 2.3 устанавливаем ана- логично (2.49), что равномерно по h T,L ) � uh X� 2,α,exp(Πδ,x0 c, и предельным переходом при h → +0 получаем, что u ∈ X 2,α,exp(Πδ,x0 ). Далее, аналогично (2.50) находим, что при |ν | = 2 T r rr w u2(∂ν u)2e4αx dxdy dt < +∞, T,L δ ΣL,x0 534 А. В. ФАМИНСКИЙ а при |ν| = 1, что аналогично (2.51) T r rr (∂ν u)4e4αx dxdy dt < +∞. δ ΣL,x0 0 Это означает, в частности, что uux ∈ L2(δ, T ; H 1,α,exp(ΣL,x )), а тогда из леммы 2.4 при l = 2 T,L следует, что u ∈ X 2,α,exp(Πδ,x0 ). Далее, в случае l = 3 используем равенство (2.53) и находим для мультииндекса ν, для которого |ν| = 2, что аналогично (2.55) T r rr u2(∂ν ux)2e4αx dxdy dt < +∞, δ ΣL,x0 а если |ν1| = 1, |ν2| = 2, то аналогично (2.56) T r rr (∂ν1 u)2(∂ν2 u)2e4αx dxdy dt < +∞. δ ΣL,x0 В итоге, uux ∈ L2(δ, T ; H 2,α,exp(ΣL,x )) и из леммы 2.4 следует, что u ∈ X 3,α,exp(Πδ,x0 ). 0 T,L Наконец, при l (ΣL,x l-3 x 2 � 4 применяя индукцию по l, находим, что в случаях b) или d) uux ∈ L2(δ, T ; H l-1,α,exp 0 )), а в случаях a) или c), что ∂x (uu ) ∈ L (δ, T ; H 2,α,exp (ΣL,x0 )). При- меняя соответственно лемму 2.4 или лемму 2.5, завершаем доказательство теоремы. Доказательство теоремы 2.8. Доказательство проводим аналогично теореме 2.5. Пусть j � 4, 4 � k � j. Воспользуемся индукцией по k. Уже известно, что ∂j-3∂3u ∈ Xα,exp(Πδ,x0 ). x y δ,x0,y0 T,L Предположим, что ∂j-k+1∂k-1u ∈ Xα,exp(Π ) для любых δ ∈ (0,T ), x0 > 0, y0 ∈ x y T,L (0, L/2). Воспользуемся леммой 2.6, в которой положим κkj (x) ≡ e2αx. Тогда ∂j-k ∂k-1(uu ) ∈ x y x L2(δ, T ; Lα,exp(ΣL,x ,y )) и в силу указанной леммы ∂j-k ∂k u ∈ Xα,exp(Πδ,x0,y0 ). 2 0 0 x y T,L T,L Так как j можно выбрать сколь угодно большим, получаем, что ∂ν u ∈ Xα,exp(Πδ,x0,y0 ) для любо- го мультииндекса α, в частности, ∂ν u ∈ C([δ, T ]; Lα,exp(ΣL,x ,y )). Применяя само равенство (1.1), 2 0 0 чтобы выразить производные решения по t, завершаем доказательство теоремы. Замечание 2.5. Первые результаты о существовании и единственности решений начально- краевой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова на полуполосе ΣL,+ были получены в ста- тьях [37, 40]. В них рассматривалась задача с однородным краевым условием (2.2) и однородными условиями Дирихле при y = 0 и y = L (случай a) условия (2.3) в терминологии настоящей статьи). В обеих статьях применялись экспоненциальные веса на +∞. В терминологии настоящей статьи можно сказать, что в [40] предполагалось, что u0 ∈ H 2,α,exp(ΣL,+) (и некоторые другие усло- T,L вия), было построено глобальное по времени решение из пространства X 2,α,exp(Π+ ) и доказана его единственность. В [37] предполагалось, что u0 ∈ H 1,α,exp(ΣL,+), было построено глобальное по времени решение из пространства X 1,α,exp(Π+ ), под единственностью понималась единствен- w T,L ность среди решений, которые являлись пределами регулярных решений. 2,+ В статье [22] были рассмотрены начально-краевые задачи для уравнения Захарова-Кузнецова в такой же постановке, что и в настоящей статье (а именно, с неоднородным краевым условием (2.2) и любым из четырех условий (2.3) для произвольных T > 0, L > 0). В качестве весов ψ(x) могли быть использованы как степенные функции, так и экспоненты. Для начальных функций из про- странства Lψ(x) были получены результаты о существовании и единственности слабых решений в пространствах X ψ(x)(Π+ ), которые приведены в настоящей статье (см. теоремы 2.1 и 2.6). Кро- w T,L ме того, были получены результаты о существовании и единственности решений в пространствах 1,ψ(x) T,L X w (Π+ ) при u0 ∈ H 1,ψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 2/3,2(BT,L), u0(0, y) ≡ μ(0, y) и T,L X 3,ψ(x)(Π+ ) при u0 ∈ H 3,ψ(x)(ΣL,+), μ ∈ H 4/3,4(BT,L), u0(0, y) ≡ μ(0, y). О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 535 В статье [23] изучались вопросы о дополнительной регулярности решений из пространства X 3,ψ(x)(Π+ T,L), построенных в [22]. В случаях краевых условий b) или d) при u0 ∈ H k,ψ(x) (ΣL,+), μ ∈ H (k+1)/3,k+1(BT,L) для k = 3n или k = 3n + 1, n ∈ N, и выполнении соответствующих условий согласования граничных данных была установлена глобальная корректность в классах X k,ψ(x)(Π+ T,L). В случаях краевых условий a) или c) были получены результаты о внутренней регулярности решений в духе теорем 2.4, 2.5, 2.7 и 2.8, но с регулярностью вплоть до t = 0 (при соответствующей гладкости начальной функции). НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ПОЛУПЛОСКОСТИ В данной части рассматривается начально-краевая задача для уравнения Захарова-Кузнецова в области Π+ = (0,T ) × R2 (T > 0 - произвольно) с граничными условиями T + + u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2 , (3.1) u(t, 0, y) = μ(t, y), (t, y) ∈ BT = (0,T ) × R. (3.2) Проблема выполнения граничных условий типа (2.3) здесь, разумеется, не возникает. Основные результаты данной части получены при b = 0. Определение слабого решения данной задачи аналогично определению 2.1. Определение 3.1. Пусть u0 ∈ L2(R2 ), μ ∈ L2(BT ). Функция u ∈ L (0,T ; L (R2 )) называется + ∞ 2 + + слабым решением задачи (1.1), (3.1), (3.2), если для любой функции φ ∈ L2(0,T ; H2(R2 )), для которой ,φ ,φ ∈ L (Π+), φ = 0, φ = φ = 0, справедливо равенство φt xxx xyy 2 T t=T x=0 x x=0 rrr ru(φ + bφ + φ 1 + φ )+ u2φ dxdydt + rr u φ rr xx dxdy + μφ dydt = 0. (3.3) t x xxx Π + T xyy 2 x 0 t=0 R 2 + x=0 BT Положим для x0 � 0 R2 x0 = (x0, +∞) × R + (тогда R2 0 = R2), для δ ∈ [0,T ) Πδ,x0 2 δ,+ δ,0 (тогда Π+ = Π0,+). T = (δ, T ) × Rx0 , ΠT = ΠT T T Аналогично разделу 2 введем весовые пространства. Пусть ψ(x) /≡ const - некоторая допусти- мая весовая функция на R+. Положим для x0 � 0 Lψ(x) x0 x0 2 (R2 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ1/2 ∈ L2(R2 )} и снабдим это пространство естественной нормой. Для степенных и экспоненциальных весов будем использовать обозначения Lα 2 (1+x)2α 2 α,exp 2 e2αx 2 L0 2 2 (Rx0 ) = L2 (Rx0 ), L2 (Rx0 ) = L2 (Rx0 ) ∀α > 0, 2 2(Rx0 ) = L2(Rx0 ). Определим пространство Hk,ψ(x)(R2 x0 ) = {ϕ(x, y) : ϕψ 1/2 x0 k ∈ H (R2 )} и снабдим его естественной нормой. Введем пространства функций, в которых будем рассматривать решения. Пусть производная ψ1(x) также является допустимой весовой функцией. Положим Xk,ψ(x)(Πδ,x0 j k-3j,ψ(x) 2 T ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ C([δ, T ]; H (Rx0 ))∩ x0 )), j � k/3}, ∩ L2(δ, T ; Hk-3j+1,ψ!(x)(R2 Xk,ψ(x) δ,x0 j k-3j,ψ(x) 2 w (ΠT ) = {u(t, x, y) : ∂t u ∈ Cw ([δ, T ]; H Пусть (Rx0 ))∩ x0 )), j � k/3}. ∩ L2(δ, T ; Hk-3j+1,ψ!(x)(R2 Xk,α(Πδ,x0 k,ρα(x) δ,x0 k,α δ,x0 k,ρα(x) δ,x0 T ) = X (ΠT ), Xw (ΠT ) = Xw (ΠT ) ∀α � 0, 536 А. В. ФАМИНСКИЙ Будем считать, что T ) = X Xk,α,exp(Πδ,x0 k,e2αx T (Πδ,x0 ) ∀α > 0. Xψ(x)(Πδ,x0 0,ψ(x) δ,x0 ψ(x) δ,x0 0,ψ(x) δ,x0 T ) = X (ΠT ), Xw (ΠT ) = Xw (ΠT ) (с последующими аналогичными уточнениями обозначений Xα(Πδ,x0 ), Xα(Πδ,x0 ) и Xα,exp(Πδ,x0 )). Положим для δ ∈ [0,T ) T x0+1 T w T T r r λ+(u; T, δ) = sup x0�0 δ x0 r u2 dydxdt, λ+(u; T ) = λ+(u; T, 0). R Как и в разделе 2, для описания свойств краевой функции μ будем использовать анизотропные пространства Соболева. Положим Hs/3,s(R2) = μ(t, y) : F-1r(1 + |θ|2/3 + ξ2)s/2μ(θ, ξ)l ∈ L2(R2) (здесь прямое и обратное преобразования Фурье производятся по обеим переменным). Известно, что пространство Шварца S(R2) плотно в Hs/3,s(R2) для любого s. Символ Hs/3,s(BT ) как обычно используется для пространства сужений на BT . Как и в случае задачи на ΣL,+ при исследовании данной задачи нам потребуется обнулять кра- евое условие (3.2). Для этого, следуя [2], рассмотрим алгебраическое уравнение аналогичное (2.8) при b = 0: r3 - ξ2r + iθ = 0. (3.4) При (θ, ξ) /= (0, 0) уравнение (3.4) имеет единственный корень r0 = r0(θ, ξ) с отрицательной действительной частью. Для произвольной функции μ ∈ L2(R2) положим при x � 0 J (t, x, y; μ) ≡ F-1 rer0(θ,ξ)xμ(θ, ξ) (t, y). (3.5) t,y + Как показано в [17, 18] свойства этой функции полностью аналогичны свойствам функции J, введенной формулой (2.9) в части 2 (с естественной заменой ΣL,+ на R2 ). В частности, она бесконечно дифференцируема при x > 0, удовлетворяет уравнению (2.6) при b = 0, f ≡ 0, J (t, 0, y; μ) ≡ μ(t, y) и для нее справедливы соответствующие аналоги оценок (2.10)-(2.13). Перейдем к результатам для рассматриваемой задачи для уравнения Захарова-Кузнецова. Сна- чала рассмотрим случай степенных весов. Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ Lα(R2 ) для некоторого α � 0, μ ∈ Hs/3,s(BT ) для некоторого 2 + s > 3/2. Тогда существует слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u ∈ Xα(Π+), более того, w T λ+(|Du|; T ) < +∞. Если α � 1, то это решение единственно в пространстве Xα(Π+) и, кроме T T того, u ∈ Xα(Π+). Доказательство. Этот результат фактически был установлен в [18] в случае произвольного b. Рассмотрим некоторые из деталей доказательства существования слабого решения при b = 0, в частности, вопрос о построении гладких решений, замыканием множества которых строится слабое решение. Ход доказательства будет отличаться от использованного в [18]. Доказательство же единственности здесь приводить не будем, как и в случае теоремы 2.1. Без ограничения общности можно считать, что μ ∈ Hs/3,s(R2). Пусть функции μh ∈ S(R2), h ∈ (0, 1], сходятся к функции μ в Hs/3,s(R2) при h → +0. Положим gh(t, x, y) ≡ J (t, x, y; μh)η(2 - x). Пусть функции uh ∈ S(R2) приближают функцию u0 в пространстве Lα(R2 ). Определим функ- 0 2 + ции U0h и u0h по формулам (2.32) t=0 Рассмотрим задачу для уравнения (2.33) с граничными условиями U x=0 = U0h, U = 0. T,L Тогда согласно [2] существует решение Uh ∈ Xk,β,exp(Π+ ) для любых k и β > 0. Дальнейшее доказательство практически дословно повторяет доказательство теоремы 2.1. Для α � 1 вместо леммы 2.2 следует воспользоваться соответствующим результатом из статьи [18]. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 537 Теорема 3.2. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα(R2 ) для некоторого α � 1/2, μ ∈ H2/3,2(BT ). Тогда суще- 2 + ствует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (3.1), (3.2), обладающее теми же свойствами, что и решение, построенное в теореме 3.1, и такое, что u ∈ X1,α-1/2 δ,+ + 2 w (ΠT ), λ (|D u|; T, δ) < +∞ ∀δ ∈ (0,T ). Если α > 1/2, то u ∈ Xα-1/2(Πδ,+) ∀δ ∈ (0,T ); если α � 1, то u ∈ X1,α-1/2(Πδ,+) ∀δ ∈ (0,T ). T T Доказательство. Эта теорема была фактически установлена в [2]. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2. Теорема 3.3. Пусть условия теоремы 3.2 выполнены при α � 1. Тогда слабое решение зада- чи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα(Π+) обладает следующим свойством: u ∈ X2,α-1 w T δ,x0 w (ΠT ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. T Если α > 1, то u ∈ X2,α-1(Πδ,x0 ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Эта теорема была фактически установлена в [2]. Ее доказательство во мно- гом повторяет доказательство теоремы 2.3. Укажем на основное отличие ее доказательства от теоремы 2.3, которое позволяет распространить результат на случай α = 1. Для этого введем дополнительное пространство 2 K1(Π+) = {u ∈ C([0,T ]; H1(R2 )) ∩ L2(0,T ; C1(R )) ∩ L2(R+; Cb(BT )), T + b + ∂j x xu ∈ Cb(R+; H(2-j)/3,2-j (BT )), 0 � j � 2}, (символ Cb обозначает пространство непрерывных ограниченных отображений). T В статье [16] (см. также [17]) было доказано, что если b = 0, u0 ∈ H1(R2), μ ∈ H2/3,2(BT ), u0(0, y) ≡ μ(0, y), то задача (1.1), (3.1), (3.3) корректна в пространстве K1(Π+). В ходе доказательстве теоремы 3.2 устанавливается, что аналогично (2.41) равномерно по h справедлива следующая оценка: В частности, T ) uh X1,α-1/2(Πδ,+ +) uh(δ, ·, ·) H1(R2 � c. (3.6) � c. Перенеся начало отсчета времени в точку t = δ, получим, что согласно [16] равномерно по h в частности, T ) uh K1(Πδ,+ T r � c, sup + ∈ (x,y) R2 δ h (u2 + |Duh|2) dt � c. (3.7) + В аналоге равенства (2.44) (здесь интегрирование по пространственным переменным проводит- ся по R2 , и пределы интегрирования, как и в разделе 2, опущены) интеграл от нелинейного слагаемого преобразуем по-другому. Воспользуемся равенством (2.53). Имеем: rr - 0 -2 uh∂ν uhx∂ν uhρα 1ηx ϕδ rr dxdy = (∂ν uh )2(uhx ρα-1 ηx0 + uh (ρα-1 ηx0 )1)ϕδ dxdy. Тогда если |ν1| = 1, |ν2| = 2, то в силу (3.6) и (3.7) rr rr - 0 |∂ν1 uh∂ν2 uh∂ν uh|ρα 1ηx ϕδ dxdy � sup (x,y)∈R2 |Duh|2 (∂ν uh )2ρ α-1 ηx0 ϕδ dxdy+ rr - 0 + (∂ν2 uh)2ρα 1ηx ϕδ dxdy ≡ γ1h rr (t) (∂ν uh )2ρ α-1 ηx0 ϕδ dxdy + γ2h (t), где γjh L1(0,T ) � c. Оставшаяся часть доказательства проводится аналогично теореме 2.3. 538 А. В. ФАМИНСКИЙ Теорема 3.4. Пусть условия теоремы 2.2 выполнены при α � l/2 для некоторого l � 3. Тогда слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα(Π+) обладает следующим свойством: w T u ∈ Xl,α-l/2(Πδ,x0 T ) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Теорема фактически доказана в [2], и ее доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 2.4 для случаев b) и d). В статье [2] на основе свойств фундаментального решения оператора ∂t + ∂3 + ∂x∂2, уста- y новленных ранее в [1, 24], и идеи обращения линейной части уравнения, впервые примененной в [5] для уравнения Кортевега-де Фриза, доказан также следующий результат о существовании непрерывных производных слабого решения и их оценках в нормах Гельдера. Теорема 3.5. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα(R2 ), μ ∈ H2/3,2(BT ) для некоторого α > 3/4 такого, 2 + T что (2α - 1/2) - нецелое, m = [2α - 1/2]. Тогда существует непрерывное в Π+ слабое реше- ние u(t, x, y) задачи (1.1), (3.1), (3.2) из пространства Xα (Π+). Это решение обладает в Π+ w T T непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| � m - 1. При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 > 0 sup δ,x0 |∂ν u(t, x, y)| < ∞, 0 � |ν| � m - 1. (t,x,y)∈ΠT Более того, если |ν| = m - 1, ε = 2α - m - 1/2, то для любых x1, x2 � x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x1, y1) - ∂ν u(t, x2, y2)| � c(|x1 - x2|ε-σ + |y1 - y2|ε-σ ) ∀σ ∈ (0, ε), а если |ν| = m - 1 - j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m - 1/2+ j, то для любых x � x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ], |∂ν u(t, x, y) - ∂ν u(τ, x, y)| � c|t - τ |(ε-σ)/3 ∀σ ∈ (0, ε), где константы зависят от x0, δ, σ, α. Перейдем к экспоненциальным весам. Теорема 3.6. Пусть u0 ∈ Lα,exp(R2 ) для некоторого α > 0, μ ∈ Hs/3,s(BT ) для неко- 2 + торого s > 3/2. Тогда существует единственное слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u ∈ Xα,exp(Π+ T ). Если дополнительно известно, что b = 0, μ ∈ H T ) ∀δ ∈ (0,T ). u ∈ X1,α,exp(Πδ,+ 2/3,2 (BT ), то Доказательство. Первая часть теоремы доказана в [18]. При дополнительном условии теорема доказывается полностью аналогично теореме 2.6. Теорема 3.7. Пусть b = 0, u0 ∈ Lα,exp(R2 ) для некоторого α > 0, μ ∈ H2/3,2(BT ). Тогда 2 + T слабое решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) u(t, x, y) из пространства Xα,exp(Π+) обладает следу- ющим свойством: для любых j и мультииндексов ν ∂j α,exp x0 t ∂ν u ∈ C([δ, T ]; L2 (R2 )) ∀δ ∈ (0,T ) ∀x0 > 0. Доказательство. Доказательство полностью аналогично теореме 2.7. Замечание 3.1. Первый результат о существовании и единственности слабого решения зада- чи (1.1), (3.1), (3.2) из пространства Xα(Π+) при неоптимальных условиях на краевую функцию w T μ был получен в статье [15]. В виде теоремы 3.1 подобный результат содержится в статье [18]. T 2 Глобальная корректность данной задачи при b = 0 в классах более гладких функций установлена в [16, 17]. В частности, в статье [17] доказана корректность в классах аналогичных K1(Π+), а именно, при u0 ∈ Hn(R+), μ ∈ H(n+1)/3,n+1(BT ) для любого натурального n (и выполнении соот- ветствующих условий согласования граничных данных на прямой T t = 0,x = 0) в классе Kn(Π+): m ∂t u ∈ C([0,T ]; H n-3m + (R2 ), m � n/3, l ∂xu ∈ Cb(R+; H (n-l+1)/3,n-l+1 (BT )), l � n + 1, ∂m l j 2 t ∂x∂y u ∈ L2(0,T ; Cb(R+)), 3m + l + j � n, t ∂x∂y u ∈ L2(R+; Cb(BT )), 3m + l + j � n - 1. ∂m l j О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 539 ЗАДАЧА КОШИ Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.1) с начальным условием u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2 (4.1) в области ΠT = (0,T ) × R2 для произвольного T > 0. Наличие в данном случае в уравнении слагаемого bux не приводит к каким-либо принципиальным сложностям в силу возможности пе- рехода в движущуюся систему координат. Определение слабого решения полностью аналогично определению 3.1 с естественной заменой R2 , Π+ на R2, ΠT , отсутствием в аналоге интегрального + T тождества (3.3) слагаемого, связанного с μ, и отсутствием условий на пробную функцию φ при x = 0. x0 Обозначения из части 3 R2 T , Πδ,x0 распространяются на любое значение x0 ∈ R. Положим для α ∈ R Lα 2 α 2 2 (R ) = {ϕ(x, y) : (1 + x+) ϕ ∈ L2(R )}, Lα 2 α 2 2 (Rx0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ L2(Rx0 )}, Hk,α(R2 α k 2 x0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ H (Rx0 )}, T x0+1 T x1+1 r r λ(u; T ) = sup x0∈R 0 x0 r r r u2 dydxdt, λ+(u; T, δ, x0) = sup x1�x0 R δ x1 r u2 dydxdt. R Из результатов статьи [9] (в которой рассматривались уравнения более общего вида) вытекает следующий результат. 2 Теорема 4.1. Пусть u0 ∈ Lα(R2) для некоторого α � 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), такое что 2 u ∈ Cw ([0,T ]; Lα(R2)), λ(|Du|; T ) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 0, то для любого x0 ∈ R x0 u ∈ L2(0,T ; H1,α-1/2(R2 )). Вопрос о единственности подобных решений остается открытым. В статье [24] был рассмотрен вопрос о внутренней регулярности этих решения и доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть условия теоремы 4.1 выполнены для α � 1/2. Пусть k � 2α если α /= 1, k = 1 если α = 1. Тогда слабое решение, построенное в теореме 4.1, обладает следующим свойством: для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R x0 u ∈ Cw ([δ, T ]; Hk,α-k/2(R2 )), λ+(|Dk+1u|; T, δ, x0) < +∞. Если дополнительно известно, что k < 2α, то x0 )). u ∈ L2(δ, T ; Hk+1,α-(k+1)/2(R2 Также в статьях [1, 24] был установлен следующий результат о существовании у слабых реше- ний непрерывных производных и их оценках в нормах Гельдера. Теорема 4.3. Пусть условия теоремы 4.1 выполнены для α > 3/4 такого, что (2α - 1/2) - нецелое, m = [2α - 1/2]. Тогда слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), построенное в теореме 4.1, является непрерывным в ΠT (возможно, после изменения на множестве нулевой меры) и обладает в ΠT непрерывными производными ∂ν u до порядка |ν| � m - 1. При этом для любых δ ∈ (0,T ) и x0 ∈ R sup δ,x0 |∂ν u(t, x, y)| < ∞, 0 � |ν| � m - 1. (t,x,y)∈ΠT Более того, если |ν| = m - 1, ε = 2α - m - 1/2, то для любых x1, x2 � x0, y1, y2 ∈ R и t ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x1, y1) - ∂ν u(t, x2, y2)| � c(|x1 - x2|ε-σ + |y1 - y2|ε-σ ) ∀σ ∈ (0, ε), 540 А. В. ФАМИНСКИЙ а если |ν| = m - 1 - j, j = 0, 1, 2, ε = 2α - m - 1/2+ j, то для любых x � x0, y ∈ R и t, τ ∈ [δ, T ] |∂ν u(t, x, y) - ∂ν u(τ, x, y)| � c|t - τ |(ε-σ)/3 ∀σ ∈ (0, ε), где константы зависят от x0, δ, σ, α. Применение экспоненциальных весов приводит к следующему результату о существовании сла- бых решений, бесконечно гладких при t > 0, но вопрос единственности также остается открытым. Теорема 4.4. Пусть (1 + eαx)u0 ∈ L2(R2) для некоторого α > 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (4.1), такое что (1 + eαx)u ∈ Cw ([0,T ]; L2(R2)), λ(|Du|; T ) < +∞, для любого x0 ∈ R x0 eαxu ∈ L2(0,T ; H1(R2 )), для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R, j и мультииндексов ν t ∂ eαx∂j ν x0 u ∈ C([δ, T ]; L2(R2 )). Доказательство. Доказательство теоремы полностью аналогично теоремам 4.1 и 4.2. Замечание 4.1. Первый результат о существовании глобального по времени решения задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова при u0 ∈ H1(R2) (без единственности) был получен в статье [50] (на самом деле там рассматривались уравнения более общего вида). Существование слабого решения при начальной функции из пространства L2(R2) с весом установлено в [9] (см. T теорему 4.1). Далее в статье [10] (с помощью развития идей из [34] для уравнения Кортевега- де Фриза) были построены классы глобальной корректности задачи (1.1), (4.1) (формально при b = 0) Kn(ΠT ) при любом натуральном n (определение этих классов аналогично классам Kn(Π+), см. замечание 3.1) при u0 ∈ Hn(R2). В статье [42] этот результат был распространен на случай нецелых показателей гладкости u0 ∈ Hs(R2), s � 1 (при s ∈ (3/4, 1) была доказана корректность, локальная по времени). В работах [29, 47] локальная корректность была доказана при s > 1/2. В недавней статье [51] глобальная по времени корректность была установлена при s > 11/13. В весовых пространствах Соболева задача Коши для уравнения (1.1) изучалась в [13]. Вопрос о повышении внутренней гладкости решения задачи Коши для уравнения Захарова- Кузнецова был впервые рассмотрен в статье [41] (там рассматривались уравнения более общие, чем (1.1)). Изначально в [41] предполагалось, что u0 ∈ H6(R2). Повышение внутренней гладкости решений задачи (1.1), (4.1) при меньшей гладкости начальной функции изучалось в [1, 24]. Наряду с описанными выше теоремами 4.2, 4.3 рассматривался случай u0 ∈ H1,α(R2). Тогда аналогичные результаты были получены для решений, входящих в класс корректности K1(ΠT ). Задача Коши для уравнения типа (1.1) с более высокой, чем квадратичная, степенью нелиней- ности изучалась в статьях [12, 25, 26, 28, 33, 42, 43, 49]. В случае 3-х пространственных переменных задача Коши для уравнения Захарова-Кузнецова рассматривалась в [21, 46-48]. В частности, в статье [47] установлена глобальная корректность при u0 ∈ Hs(R3) для s > 1. В работе [21] рассмотрена задача Коши для начальной функции из пространств L2(R3) и H1(R3) со степенными весами при x → +∞ и установлен ряд результатов о существовании и единственности слабых решений (последнее только для H1). Результаты о повышении внутренней регулярности решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в случае трех пространственных переменных (отличные от рассмотренных в настоящей статье) получены в [45]. Некоторые общие свойства регулярности решений задачи Ко- ши для дисперсионных уравнений, в частности, для уравнения Захарова-Кузнецова, содержатся в [14, 35]. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОЛОСЕ В области ΠT,L = (0,T ) × ΣL рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (1.1) с начальным условием u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ ΣL, (5.1) и одним из 4-х краевых условий (2.3) при (t, x) ∈ ΩT = (0,T ) × R. О ВНУТРЕННЕЙ РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАХАРОВА-КУЗНЕЦОВА 541 0 T,L Lα Обозначения из раздела 2 ΣL,x , Πδ,x0 распространяются на любое значение x0 ∈ R. Положим для α ∈ R 2 (ΣL) = {ϕ(x, y) : (1 + x+)α Lα ϕ ∈ L2(ΣL)}, α 2 (ΣL,x0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x0)) ϕ ∈ L2(ΣL,x0 )}, H k,α(ΣL,x 0 α k 0 ) = {ϕ(x, y) : (1 + (x - x )) ϕ ∈ H (ΣL,x0 )}, T x0+1 L T x1+1 L r r λ(u; T, L) = sup x0∈R 0 x0 r r r u2 dydxdt, λ+(u; T, L, δ, x0) = sup x1�x0 0 δ x1 r u2 dydxdt. 0 Понятие слабого решения рассматриваемой задачи полностью аналогично определению 2.1 с есте- T,L ственной заменой ΣL,+, Π+ на ΣL, ΠT,L, отсутствием в аналоге интегрального тождества (2.4) слагаемого, связанного с μ, и отсутствием условий на пробную функцию φ при x = 0. В статье [11] был установлен следующий результат существования слабого решения. 2 Теорема 5.1. Пусть u0 ∈ Lα(ΣL) для некоторого α � 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (5.1), (2.3), такое что 2 u ∈ Cw ([0,T ]; Lα(ΣL)), λ(|Du|; T, L) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 0, то для любого x0 ∈ R 0 u ∈ L2(0,T ; H 1,α-1/2(ΣL,x )). Как и случае задачи Коши, единственность построенных решений остается открытой проблемой. Результаты о повышении внутренней гладкости этих решений наиболее скудны из всех рассмот- ренных в настоящей статье задач. Теорема 5.2. Пусть условия теоремы 5.1 выполнены для α � 1/2. Тогда слабое решение, построенное в теореме 5.1, обладает следующим свойством: для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R 0 u ∈ Cw ([δ, T ]; H 1,α-1/2(ΣL,x )), λ+(|D2u|; T, L, δ, x0) < +∞. Если дополнительно известно, что α > 1/2, то 0 u ∈ L2(δ, T ; H 2,α-1(ΣL,x )). Доказательство. Доказательство аналогично результату из [11], где рассматривался случай u0 ∈ H 1,α(ΣL). Применение экспоненциальных весов не меняет ситуацию. Теорема 5.3. Пусть (1 + eαx)u0 ∈ L2(ΣL) для некоторого α > 0, тогда существует слабое решение u(t, x, y) задачи (1.1), (5.1), (2.3), такое что (1 + eαx)u ∈ Cw ([0,T ]; L2(ΣL)), λ(|Du|; T, L) < +∞, для любого x0 ∈ R для любых δ ∈ (0,T ), x0 ∈ R 0 eαxu ∈ L2(0,T ; H 1(ΣL,x )), 0 eαxu ∈ L2(δ, T ; H 2(ΣL,x )). Замечание 5.1. В статье [44] для случая периодических условий (2.3) была установлена ло- кальная по времени корректность при u0 ∈ Hs(ΣL), s > 3/2. Этот результат был развит в [47], где также в периодическом случае была доказана глобальная корректность при u0 ∈ H1(ΣL). В работе [11] были рассмотрены любые из краевых условий (2.3) (см. теорему 5.1). Там же в случае u0 ∈ H 1,α(ΣL), α � 0, были построены глобальные решения в соответствующих классах, в которых при α � 1/2 была доказана единственность. Случай экспоненциальных весов был рассмотрен в [19]. Начально-краевые задачи на полосе ΣL для уравнения Захарова-Кузнецова с дополнительной параболической регуляризацией изучались в [19, 20, 38, 39]. 542 А. В. ФАМИНСКИЙ В статье [21] начально-краевая задача с однородными краевыми условиями Дирихле для трех- мерного уравнения Захарова-Кузнецова рассматривалась на слое R × Ω для некоторой ограни- ченной области Ω ⊂ R2. Были установлены результаты существования и единственности слабых решений в весовых пространствах (как степенных, так и экспоненциальных) при x → +∞, анало- гичные упомянутым выше результатам для двумерного случая из [11, 19].