Применение A-аналитических функций к исследованию задачи Коши для стационарной пороупругой системы

Аннотация

В этой работе нами была получена замкнутая система динамических уравнений второго порядка относительно вектора смещения упругого пористого тела и порового давления в обратимом гидродинамическом приближении. Также была рассмотрена задача Коши для полученной системы пороупругих уравнений в стационарном случае; в том числе для рассматриваемой задачи была построена формула Карлемана.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Теория пороупругости широко используется в геомеханике, биофизике и других областях на- уки и технологий. Теория Френкеля-Био являет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов смещения упругих пористых тел и вытеснения жидкости [12, 15]. Такая система описывает распространение сейсмических волн в пористой сре- де и в изотропном случае содержит четыре независимых параметра упругости. Линеаризованная теория В. Н. Доровского являет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов скорости смещения упругих пористых тел и скорости потока жид- кости [17, 19]. Как и теория Френкеля-Био, линеаризованная теория описывает распространение сейсмических волн в пористой среде, однако в отличие от системы из теории Френкеля-Био в изотропном случае описывается тремя независимыми параметрами упругости. В [18] была по- лучена замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления во временной области. Для частотной области такая система была описана в [21]. В нашей же работе мы получаем замкнутую систе- му динамических уравнений второго порядка относительно вектора смещения упругого пористого тела и порового давления в случае, когда в системе не происходит потерь энергии. Далее мы рассматриваем задачу Коши для стационарной пороупругой системы на плоскости, а затем строим формулу Карлемана для данной задачи. ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ Пусть Ω - это произвольная ограниченная односвязная область на комплексной плоскости C с границей класса C∞, а M ⊂ ∂Ω - объединение конечного числа замкнутых дуг. Рассмотрим Данная работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-01-00729). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 33 задачу Коши для эллиптической системы второго порядка в Ω: ∂2 ∂2 ∂2 n A ∂x2 V + 2B ∂x∂y V + C ∂y2 V = 0, V : Ω → R , (2.1) V (x, y) |M = G (x, y) , P∂ V (x, y) |M = H (x, y) , (2.2) где G(x, y), F (x, y) ∈ C(Ω; Rn) - заданные функции, A, B, C - матрицы постоянных элементов размера n × n, а P∂ - некоторый дифференциальный оператор первого порядка (например, опе- ратор напряжения для системы уравнений Ламе или производная по нормали). Система является эллиптической, т. е. матрицы A, C обратимы, а характеристический многочлен det 1A + 2Bλ + Cλ21 = 0 1 1 не имеет вещественных корней. Известны два классических метода исследования подобных эллиптических краевых задач: метод потенциалов и теоретически-функциональный метод. Фундаментальные результаты относительно решения эллиптических задач общего вида методом потенциалов были получены в [20]. Второй метод основывается на представлении решений эллиптических уравнений через ана- литические функции, что делает возможным сведение нашей задачи к изучению краевых задач с точки зрения теории функций. Для эллиптических уравнений на плоскости с вещественными аналитическими коэффициентами такой метод был предложен И. Н. Векуа [5]; для эллиптических систем с постоянными коэффициентами - А. В. Бицадзе [16] (см. также [8, 11]). Метод, предложенный Бицадзе, основывается на выражении регулярных решений системы (2.1) через аналитические векторнозначные функции и их производные с точностью до определенного порядка [3]. Такое представление существенно упрощается [9], если аналитические функции за- меняются на решения канонических эллиптических систем первого порядка. Для случая эллиптических систем первого порядка (с двумя неизвестными функциями, s = 2) данная теория была описана в работах И. Н. Векуа [6] и Л. Берса [14] и теперь известна как теория обобщенных аналитических функций. В свою очередь, А. П. Солдатов [10] показал, что вышеописанное представление может быть записано в виде V = Re Θu, (2.3) где u : Ω → Cn - А-аналитическая функция переменного zλ = x + λy, где λ - это корень характе- ристического уравнения, элементы матрицы A и Θ выражаются через коэффициенты системы A, B, C, а A - нильпотентная матрица: An = 0. Определение 2.1 (см. [13]). Пусть A - квадратная матрица размерности n. Вектор-функция u (z) ∈ C1 (Ω, Cn) называется A-аналитической функцией в Ω, если ∂¯Au(z) := ∂z¯u (z) - A∂z u (z) = 0, z = x + iy ∈ Ω. (2.4) Таким образом, задача (2.1) становится эквивалентной задаче определения A-аналитической функции, заданной на части границы. В [10] для определения матрицы Θ система (2.1) была представлена в виде эквивалентной ей системы дифференциальных уравнений первого порядка, где затем матрица итоговой системы была сведена к жордановой форме. В [2] для случая n = 2 было показано, что аналогичный результат можно получить с помощью свойств A-аналитических функций. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СМЫСЛЕ СМЕЩЕНИЙ УПРУГОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА И ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ Линеаризованная система уравнений для континуальной теории фильтрации в обратимом при- ближении имеет вид [17, 19]: ρ ∂ui + ∂ h + s ∂t k ik ρs ∂ P = 0, ρ i ∂vi + 1 ∂ P = 0, ∂t ρ i ∂hik + μ (∂ u ( + ∂ u )+ ρs K\ δ divu ρl Kδ divv = 0, (3.1) - ∂t k i i k λ ρ ik - ρ ik ∂P ∂t - (K - αρρs) divu + αρρldivv = 0 В формулах (3.1) ρ = ρs + ρl, а u = (u1, u2, u3) и v = (v1, v2, v3) - векторы смещения упругого пористого тела и жидкости с соответствующими парциальными плотностями ρs = ρf (1 - d ) и s ρl = ρf d0, где d0 - это пористость, P - поровое давление, hik - тензор напряжения, ρf 0 и ρf - l s l физические плотности упругого пористого тела и жидкости, соответственно, λ, μ - константы Ламе, α = ρα3 + K/ρ2 (см. [17, 19]), K = λ + 2μ/3, ρ3 · α3 > 0 - модуль объемного сжатия жидкого ∂ компонента гетерофазной среды, δik - символ Кронекера, ∂i = . Упругие константы K, μ, α3 ∂xi выражаются через скорость распределения поперечной волны cs и две скорости продольных волн cp1 , cp2 по следующим формулам [22]: s μ = ρsc2, 2 ρ ρs ( K = c + c2 8 ρl - c2 - 1 (c2 - c2 )2 - 64 ρlρs \ c4 , 2 ρl p1 p2 3 ρ s p1 p2 ρ2 s 1 ( 2 2 8 ρl 2 1 2 2 2 64 ρlρs 4\ α3 = 2ρ2 cp1 + cp2 - 3 ρ cs + (cp1 - cp2 ) - 9 ρ2 cs . Далее для простоты рассмотрим систему (3.1) с нулевыми начальными условиями. Из второго уравнения системы (3.1) получим формулу: ∂divv ∂t 1 - = ΔP. ρ Исключая дивергенцию смещения жидкости из третьего уравнения системы (3.1) и учитывая четвертое, получаем дифференциальное уравнение ( 2 \ 2 ∂hik + μ (∂ u ∂t k i + ∂iuk )+ K λ - αρ2 δik K divu + αρ2 ∂P δik ∂t = 0. (3.2) Избавимся от смещения жидкости в четвертом уравнении системы (3.1) с помощью второго. В итоге будем иметь дифференциальное уравнение второго порядка относительно порового давления P и смещения упругого пористого тела u: ∂2P ∂u ∂t2 - αρlΔP - (K - αρρs) div ∂t = 0. (3.3) Теперь исключим тензор напряжения из уравнения (3.1), для чего продифференцируем первое уравнение системы (3.1) по времени: ∂2ui ∂hik ρs ∂P ρs ∂t2 + ∂k + ∂i = 0. ∂t ρ ∂t Исходя из этого и принимая во внимание (3.2), получаем следующее уравнение относительно смещений упругого пористого тела u: ∂2u μ Δu - λ + μ - K2/(αρ2) ∇divu - K - αρρs ∂P ∇ = 0. (3.4) ∂t2 - ρs ρs αρ2ρs ∂t Система (3.3)-(3.4) будет замкнутой относительно смещения упругого пористого тела u и порового давления P. Последнее описывает распространение сейсмических волн в пористой насыщенной жидкостью среде в обратимом гидродинамическом приближении. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ПОРОУПРУГИХ УРАВНЕНИЙ Система уравнений пористости (3.3)-(3.4) в стационарном смысле удовлетворяет μΔu + λ˜ + μ ∇divu = 0, (4.1) ΔP = 0, (4.2) где λ˜ = λ - K2/(αρ2). Рассмотрим задачу Коши для заданной стационарной системы пороупругих уравнений относи- тельно (u, p), описывая положение плоской изотропной упруго-деформируемой среды в некоторой области Ω = { z| Imz > 0} ⊂ C: предположим, что на части границы M ⊂ ∂Ω заданы вектор смещения упругого пористого тела, тензор напряжения и поровое давление: u |M = G (x) , T∂ u |M = H (x) , ρK - ρsα ρ M 0 ρl P | = P (x) , ∂P ∂ν M = 0, (4.3) где Hj (x) = H˜j (x) - νj P0(x), j = 1, 2, G (x) , H (x) , P0 (x) - это заданные функции, а ρsα ν = (ν1, ν2) - вектор внешней нормали. Необходимо определить функции u(x, y) ∈ C3(Ω; R2) ∩ C2(Ω; R2) и P (x, y) ∈ C2(Ω; Rn) ∩ C1(Ω; Rn). Оператор напряжения определяется как T∂ V |M = σu |m , где σ - это оператор напряжения, элементы которого связаны с вектором смещения u посредством законов Гука: Легко показать, что σxx = λ˜ (∂xu1 + ∂y u2)+ 2μ∂xu1, σyy = λ˜ (∂xu1 + ∂y u2)+ 2μ∂y u2, σxy = σyx = μ (∂y u1 + ∂xu2) . / λ˜ + 2μ υ1 μυ2 \ / μυ2 λ˜υ1 \ T∂ = λ˜υ2 μυ1 ∂x + μυ1 λ˜ + 2μ υ2 ∂y . Переходя от вектора нормали к вектору касательной τ = (τ1, τ2) , можем записать оператор T∂ в виде T∂ = τ1 ( 0 -μ \ ∂x + τ1 / -μ 0 \ ∂y + -λ˜ 0 ˜ 0 - λ + 2μ ( λ˜ + 2μ 0 \ ( 0 λ˜ \ +τ2 μ ∂x + τ2 μ 0 ∂y = = T11τ1∂x + T12τ1∂y + T21τ2∂x + T22τ2∂y . Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть функции u (x, y) ∈ C2 (Ω; R2) ∩ C1 (Ω¯ ; R2) , P (x, y) ∈ C2(Ω; R2) ∩ C1(Ω¯ ; R2) являются решением задачи (4.1)-(4.3). Тогда u (x, y) , P (x, y) могут быть найдены по формуле u = Re Θu˜, P = Re P˜ где ( i i Θ = -1 2k - 1 \ , k = λ +3μ , λ + μ ( 0 -1 \ при этом P˜(z) - аналитическая функция, а u˜ (z) - A-аналитическая для A = 0 0 , принимающая на множестве M значения u˜ |M = f = g + ih. В таком случае функции g (z) , h (z) выражаются из системы ⎛ ( Re Θ - Im Θ \( g (x) \ = ⎜ (x,y) G (x) ⎞ ⎟ Re Θ∗ - Im Θ h (x) ⎝ Г (x0,y0) H (x, y) ds ⎠ , (4.4) где ( 1 2 - k \ Θ∗ = 2μ i . - ik Значения функции u˜ (z) , z = x + iy ∈ Ω, вычисляются по формулам Карлемановского типа: 1 ⎛r ( ( f \ × u˜ (z) = lim N →∞ 2πi ( ⎞ ζ z \( f \ dζ × ⎝ eN (φ0(ζ)-φ0(z)) 1 f2 M (ζ)+ ⎠ N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) + - ζ - z 2 (ζ) 0 ζ - z - r - eN (φ0(ζ)-φ0(z)) M ( f2 0 \ dζ¯ ⎞ (ζ) ⎠ , ζ - z N P˜(z) = ρ lim - 2 - 1 r (ζ z )(z z ) πi dτ P0(τ ) . 2πρli N →∞ M (ζ - z1)(z - z2) ζ - z Доказательство. Запишем систему для u в развернутой форме: ˜ μ (∂xxu1 + ∂yy u1)+ λ + μ ˜ ∂x (∂xu1 + ∂y u2) = 0, μ (∂xxu2 + ∂yy u2)+ λ + μ ∂y (∂xu1 + ∂y u2) = 0. Отсюда выпишем матричные коэффициенты системы: ( λ˜ + 2μ 0 \ ( 0 λ˜ + μ \ ( μ 0 \ . A = 0 μ , 2B = λ˜ + μ 0 , C = 0 λ˜ + 2μ Найдем корни характеристического многочлена: λ˜ + 2μ + μλ2 0 λ˜ + μ λ0 λ det 1A + 2Bλ0 + Cλ21 = = 1 1 0 λ˜ + μ λ0 μ + 0 λ˜ + 2μ 2 2 = λ˜ + 2μ + μλ2 + λ˜ + 2μ λ2 - λ˜ + μ λ2 = = ˜ λ + 2μ μ + λ˜ + 2μ 2 λ2 + μ2λ2 + μ + ˜ + 0 0 λ 2μ λ4 0 ˜ 2 - λ + μ = λ˜ + 2μ ( μ + ˜ + 2μ 2 + μ2 ˜ + μ 2\ - λ λ2 + λ˜ + 2μ μλ4 0 0 0 μ 0 λ 0 0 λ2 = = = λ˜ + 2μ μ + 2λ˜μ + 4μ2 λ2 + λ˜ + 2μ μλ4 = = ˜ λ + 2μ 0 μ (1+ 2λ2 + λ4) 0 = 0. 0 0 Так как система является эллиптической, матрицы A, C обратимы, следовательно, λ˜ + 2μ ⊕= 0, μ ⊕= 0, иначе говоря, корни находятся из уравнения 1+ 2λ2 + λ4 = (1+ λ2)2 = 0. 0 0 0 Тем самым в верхней полуплоскости будем иметь корень кратности 2. Решение системы (4.1), (4.3) находится из [2]: u = Re Θu˜, где функция u˜ (z) - это решение уравнения ( 1 \ ( 1 \ λ ∂x - ∂y 0 u˜ (z) - A λ ∂x + ∂y 0 u˜ (z) = 0 с матрицей ⎛ A = ⎝ 0 i - i - 2i ⎞ ( 0 1 \ ⎠ = 0 0 , или 0 0 ∂¯u˜ (z) = A∂u˜ (z) . Столбцы матрицы Θ определяются из системы [2], которая в данном случае имеет вид (λ + μ) ( 1 i i -1 \ Θ1 = 0, (λ + μ) ( 1 i i -1 \ Θ2 +2 (λ + 3μ) Θ1 = 0. Таким образом, если мы возьмем то ( i \ Θ1 = , -1 ( 1 i \ Θ2 = -2 λ˜ + 3μ ( i \ ( i \ = -2k i -1 и Θ2 = λ˜ + μ -1 -1 ( i \ . -2k - 1 Как было показано в [10], решение системы (4.1) представимо в виде u = Re Θ∗u∗, где u∗ (z) есть A∗-аналитическая функция: A∗ = ( 0 0 \ i/2 0 , Θ∗ = ( i 1 \ -k - 1 i , k = λ˜ + 3μ λ˜ + μ . Если мы возьмем функцию u = Du∗, то ∂¯u = D∂¯u∗ = DA∗∂u∗ = DA∗D-1∂u, что означает, что функция u = Du∗ является A-аналитической функцией с A = DA∗D-1. Если будем иметь D = ( 1/2 -i \ , 1/2 0 A = DA∗D-1 = -2i ( 1/2 -i \( 0 0 \( 0 i \ = 1/2 0 i/2 0 -1/2 1/2 ( 1/2 0 \( 0 i \ ( 0 1 \ = -2i 0 0 = -1/2 1/2 0 0 . В таком случае решение системы Ламе задается формулой u = Re Θ∗D-1Du∗ = Θu˜, где Θ = Θ∗D-1 = -2i ( i 1 \( 0 i \ ( i i \ = , -k - 1 i -1/2 1/2 -1 -2k - 1 ( 0 1 \ При этом u˜ (z) - это A-аналитическая функция с вещественной матрицей A = ли тот же результат, как и в методе, описанном в [10]. 0 0 ; получи- Однако при решении задачи Коши для системы уравнений Ламе, в которой оператор напряжения находится в краевом условии, удобнее будет перейти к A-аналитическим функциям с матрицей ( 0 -1 \ A = 0 0 . В этом случае при вычислении краевых значений A-аналитической функции [2] мы можем использовать матрицы Tij , определенные в операторе напряжения. Действительно, если u = Re Θu˜, где Θ = ( i i \ , -1 -2k - 1 ∂¯u˜ (z) = A∂u˜ (z) , A = то ( 0 1 \ 0 0 , с матрицей V = Re Θ-u- = Re ΘD-1Du При этом ( 1 2 \ D = . 0 -1 ( A- = DAD-1 = и ∂¯u- (z) = A-∂u- (z) , 1 2 \ ( 0 1 \ ( 1 2 0 -1 0 0 0 -1 \ = ( 0 -1 \ 0 0 Θ- = ΘD-1 = ( i i -1 -2k - 1 \( 1 2 0 -1 \ ( i i \ = . -1 2k - 1 ( 0 -1 \ Для определения краевых значений A-аналитической функции u˜ (z) с матрицей A = 0 0 вычислим матрицу Θ∗ из [2]. Имеем A0 (E - A)-1 (E + A) = ( 1 -1 \2 0 1 = ( 1 -2 \ 0 1 0 , A-1 = ( 1 2 \ 0 1 . Таким образом, = ( 0 -μ \( i i 0 T11Θ+ iT12ΘA-1 = \ / -μ 0 ˜ + i \ ( i i \( 1 2 \ = -λ˜ 0 -1 -2k - 1 0 - λ + 2μ -1 2k - 1 0 1 = ( μ -μ (2k - 1) \ / -μ 0 ˜ + i \ ( i 3i \ = -iλ˜ -iλ˜ 0 - λ + 2μ -1 2k - 3 = ( μ -μ (2k - 1) \ / -iμ -i3μ \ + i = -iλ˜ -iλ˜ λ˜ + 2μ - λ˜ + 2μ (2k - 3) Так как / 2μ 2μ (2 - k) \ ˜ ˜ = . i2μ -i λ + λ + 2μ (2k - 3) λ˜+ λ˜ + 2μ (2k - 3) = λ˜+ λ˜ + 2μ то / λ˜ + 3μ 2 λ˜ + μ \ - 3 = λ˜+ λ˜ + 2μ -λ˜ + 3μ λ˜ + μ 2λ˜μ + 6μ2 == λ˜ + μ = 2μk, Аналогично, 0 T11 + iT12ΘA-1 = 2μ ( 1 2 - k \ . i -ik T22Θ - iT21ΘA0 = ( 0 λ˜ \( i i \ ( λ˜ + 2μ 0 \( i i \( 1 -2 \ = = μ 0 -1 2k - 1 - i 0 μ -1 2k - 1 0 1 = 2μ ( 1 2 - k i -ik \ = Θ∗. ( Re Θ - Im Θ \ Теперь найдем det Θ˜ = det Re Θ∗ - Im Θ∗ ; тогда будем иметь ⎛ 0 0 -1 -1 ⎞ Из этого следует, что ⎝ Θ˜ = -1 2μ 0 2k - 1 2μ (2 - k) 0 0 0 -2μ 0 0 ⎠ . 2μk det Θ˜ = 4μ (1 + k)2 ⊕= 0, и краевые значения функции f (z) определяются однозначным образом из начального усло- вия (4.1), (4.3). Следовательно, задача Коши для системы уравнений Ламе эквивалентна задаче A-аналитического продолжения с матрицей A = ( 0 -1 \ . 0 0 Используя полученные значения функций g(x), h(x) на множестве M из начальных условий G(x),H(x), можем восстановить функцию u˜ (z) по формулам карлемановского типа из [2]. Тогда с помощью u˜ (z) найдем решение исходной задачи. Вычислив функцию ΦN (z) из [2] для конкретной матрицы ( 0 -1 \ получим A = 0 0 , φ (z) = φ0 (z)+ ∂φ0 (z) z¯A = и ( φ0 (z) -∂φ0 (z) z¯ \ 0 φ0 (z) Φ-1 N (φ0(ζ)-φ0(z)) ( 1 N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) \ N (z) ΦN (ζ) = e 0 1 . Подставив это значение в формулу Карлемана [13], придем к следующей формуле, которая даст нам решение задачи A-аналитического продолжения: 1 u˜ (z) = lim × ⎛ r (( f \ N →∞ 2πi ( ζ z \( f \ \ × ⎝ eN (φ0(ζ)-φ0(z)) M 1 (ζ)+ f2 × N (∂φ0 (ζ) ζ¯ - ∂φ0 (z) z¯) + - ζ - z 2 (ζ) 0 dζ r N (φ0(ζ)-φ0(z)) ( f2 \ dζ¯ ⎞ × ζ - z - e M ⎠ (ζ) . 0 ζ - z Решение задачи Коши для уравнения Лапласа было получено в [1, 23]. Таким образом, теорема доказана. В таком случае, оценивая интеграл по ∂Ω\M, нетрудно показать, что его можно сделать меньше, чем ε при N > Nε, где 2e Nε = (1 - e) ψ (z) ln \ / πρ∂Ω M (z) ψ2 (z) ε \ , 16ω |∂Ω\M | f ∂Ω\M здесь ω = 2 sup |∂φ0 (z) z¯| , |∂Ω\M | - это длина дуги Ω\M, ρ∂Ω\M (z) - расстояние от точки z до z∈∂Ω множества Ω\M. Из ранее полученных формул Карлемановского типа следует оценка условной устойчивости [4]: u (x, y) � εl (f (z)) + c (ε) f (z) M , где f (z) - это краевое значение функции u˜ (z) , ψ(z)(e-1) (∂Ω M ;C2) l (f (z)) = f (z) , c (ε) = Cε1- c , \ а ψ (z) - гармоническая мера множества M. Если, используя формулу Карлемана, мы приближенно вычислим значение функции uN (x, y) для N > Nε, то ошибка будет оцениваться следующей величиной: u - uN � Θ ε; если же начальные условия G (z) ,H (z) определены с ошибкой, не превышающей ε0, то 2e ε0 � C1ε (e-1)ψ(x) , 2e 2e C1 = ρM (z) ( |∂Ω\M | f ˜ \1- (e-1)ψ(z) ( πψ2 (z)\(e-1)ψ(z) 1 1 1Θ1 . |M | ρ∂Ω\M (z) 8ω 1 1 В [7] при помощи формул Карлемана было получено решение задачи Коши для системы урав- нений Ламе в областях специального вида.