On the best mean-square approximation of analytic functions in the Bergman space B₂

Full Text

1. Введение В экстремальных задачах теории приближения функций, как в действительной, так и в комплексной области, одной из наиболее важных задач является задача отыскания точной константы в неравенствах типа Джексона-Стечкина. Известно [1, 19, 36], что под неравенством типа Джексона-Стечкина понимают неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством оценивается сверху через некоторую характеристику гладкости самой функции или ее некоторой производной. Первые точные константы в неравенстве Джексона в пространстве C[0,2π] были выявлены Н.П. Корнейчуком [10], а в пространстве L2[0,2π] Н.И. Черных [23]. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций в пространстве Харди принадлежат К.И. Бабенко [2] и Л.В. Тайкову [20]. Именно работа К.И. Бабенко [2] явилась отправным пунктом для получении точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М. Тихомирова [21] и Л.В. Тайкова [20]. В пространстве Бергмана первоначальные работы, в которых были затронуты вопросы нахождения точных значений поперечников классов аналитических функций, принадлежат С.Б. Вакарчуку [4, 5]. Дальнейшим развитием задач вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина, как в действительной, так и в комплексных областях, занимались и другие математики (см., например, работы [3, 6-9, 11-17, 24-34] и литературу, приведенную в них). В работе [16] А.А. Лигун получил точную оценку величины наилучшего приближения периодической функции тригонометрическими полиномами в пространстве L2 через усреднение ее модуля гладкости и тем самым инициировал новое направление исследований по точным константам в теории приближений. Это направление получило значительное развитие. В работе [33] М.Ш. Шабозов и Г.А. Юсупов нашли общее условие на весовую функцию, при котором справедливы результаты А.А. Лигуна. Позднее в [14] нами была рассмотрена аналогичная в работах [16, 33] задача в весовом пространстве Бергмана B2,γ. В недавно опубликованной работе [30] были обобщены результаты, полученные в [33] на случай аналитических в круге функций, принадлежащих пространству Бергмана B2. В настоящей работе мы продолжим исследование в данном направлении и обобщим некоторые ранее, а также недавно полученные результаты для классов аналитических функций, принадлежащих пространству Бергмана. 2. Основные понятия Пусть N- множество натуральных чисел, Z+ = N ∪ {0}. Пусть далее C - комплексная плоскость, U := {z ∈ C : |z| < 1} - единичный круг в C, A(U) - множество функций, аналитических в круге U. Известно [35], что аналитическая в единичном круге функция (2.1) принадлежит пространству Бергмана B2, если , (2.2) где интеграл понимается в смысле Лебега. Через Pn обозначим подпространство комплексных алгебраических полиномов степени n: n P. k=0 Величину называют наилучшим полиномиальным среднеквадратическим приближением функции f ∈ B2 подпространством Pn. Для произвольной функции f ∈ B2 имеет место соотношение [18] , (2.3) где- частная сумма n-го порядка ряда Маклорена (2.1). Записывая норму (2.2) в более удобном нам виде , символом обозначим разность m-го порядка функции по аргументу t с шагом h. Величину назовем интегральным модулем непрерывности m-го порядка функции f ∈ B2. Для любого r ∈ Z+ обычную производную r-го порядка функции f ∈ A(U) обозначим через . (2.5) Умножим обе части равенства (2.5) на и получим , (2.6) где Всюду далее через обозначим множество функций f ∈ A(U), принадлежащих пространству B , у которых производные также принадлежат пространству B2, т. е. s, . Под весовой функцией на отрезке [0,u] будем понимать вещественную неотрицательную измеримую и суммируемую на этом же отрезке функцию ϕ(t), не эквивалентную нулю, такую, для которой. Введем в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику: K, (2.7) ( ,t)2ϕ( ) ⎠ где- весовая функция на отрезке [0,u]. 3. Точные константы в неравенстве Джексона-Стечкина Теорема 3.1. Если - весовая на отрезке [0,u] функция, то справедливы неравенства {Gm,n,r,s,q(ϕ;u)}-1 K , (3.1) где . (3.2) Доказательство. Применяя формулу (2.4) к функции (2.6), будем иметь: . (3.3) Для установления двойного неравенства (3.1) воспользуемся следующим так называемым «упрощенным» вариантом неравенства Минковского [37, с. 104]: , справедливого при и любом u ∈ R+. С учетом соотношения (3.3) и равенства (2.3) запишем Таким образом, получили следующее неравенство: , откуда следует оценка сверху для величины (2.7): -1 K. (3.4) С целью получения оценки снизу указанной величины введем в рассмотрение функцию f0(z) = = zn ∈ B2s,(r). Для этой функции непосредственными вычислениями получим . Используя два последних равенства, получим оценку снизу для величины Km,n,r,s,q(ϕ,u): K ⎝ ωm z f0 ,t 2 ϕ( ) ⎠ 0 Сравнивая оценку сверху (3.4) и оценку снизу (3.5), получим утверждение теоремы 3.1. Из теоремы 3.1, в частности, при s = r следует результат автора [12, 13], а при s = 0 вытекает результат М.Ш. Шабозова и Х.М. Хуромонова из работы [30]. Далее определим, какими дифференциальными свойствами должна обладать весовая функция чтобы имело место равенство . (3.6) Теорема 3.2. Пусть весовая функция ϕ(t) > 0 дифференцируема на отрезке [0,u], и пусть для всех выполняется неравенство ) . Тогда имеет место соотношение (3.6), и следовательно Доказательство. Используя величину (3.2), введем в рассмотрение функцию натурального аргумента и покажем, что эта функция при является монотонно возрастающей. С этой целью исследуем поведение соответствующей непрерывной функции (3.8) где x n > r s. Из равенства (3.8) имеем ; Далее, пользуясь очевидным тождеством и применением метода интегрирования по частям, получим: . Следовательно, . Соответственно, отсюда вытекает, что . Таким образом,, откуда в силу двойного неравенства (3.1) n получаем (3.7). Теорема 3.2 доказана. Из равенства (3.7) при различных значениях параметров s и q, а также различном виде весовой функции ϕ(t) вытекают некоторые ранее полученные результаты. Например, величины Km,n,r,r,2(1,u), Km,n,r,r,2(sin(πt/u),u), Km,n,r,r,2/m(sinnt,u), Km,n,r,r,q(ϕ,u), Km,n,r,0,2/m(1,u), Km,n,r,0,q(ϕ,u), Km,n,r,0,2(sin(πt/u),u) были рассмотрены в работах [11, 13, 15, 17, 24, 25, 27, 28]. Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия. Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.2 при ϕ(t) ≡ 1 справедливо равенство Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.2 при ϕ(t) = t имеет место равенство 4. Верхние грани классов в пространстве B2 Пусть Φ(u) - произвольная непрерывная возрастающая при u 0 функция такая, что Φ(0) = = 0. Символом обозначим класс функций , для которых имеет место неравенство . Требуется при любых n ∈ N и r,s ∈ Z+ найти точное значение величины E. (4.1) Теорема 4.1. Пусть . Тогда имеет место равенство E Доказательство. Из соотношения (3.9) для любого имеем неравенство En-1(f)2 . (4.3) Используя определение класса , из формул (4.1) и (4.3) получим оценку сверху E С целью получения оценки снизу будем рассматривать функцию . Докажем, что . Так как , то простыми вычислениями из (2.4) получаем . (4.5) Используя равенство (4.5) и определение класса, приходим к следующему выражению: Равенство (4.6) означает, что . Поэтому мы имеем E Так как , то из (4.7) получим E. (4.8) Сопоставляя неравенства (4.4) и (4.8), получаем требуемое равенство (4.2). Теорема 3.2 доказана. 5. Поперечники классов в пространстве B2 Пусть S - единичный шар в пространстве B2, N -выпуклое центрально-симметричное подмножество из B2, Λn ⊂ B2 - n-мерное подпространство, Λn ⊂ B2 - подпространство коразмерности n, L: B2 → Λn - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства B2 в Λn; L⊥ : B2 → Λn -непрерывный оператор линейного проектирования B2 на подпространство Λn. Величины , называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским и проекционным n-поперечниками. Так как B2 является гильбертовым пространством, то между перечисленными n-поперечниками выполняются следующие соотношения [22, с. 239]: . (5.1) Через , где, обозначим класс функций, удовлетворяющих условию. Положим также ' (1 - cos(n - r + s)t)m∗ = (1m-, cos(n - r + s)t)m, еслиесли (n - r + s)t < π, (5.2) 2 Теорема 5.1. Пусть - весовая на [0,u] функция. Тогда справедливо следующее равенство: где σn(·) - любой из вышеперечисленных n-поперечников. Доказательство. Из (3.7) для произвольной функции вытекает неравенство En-1(f)2 . Отсюда, учитывая определение класса , имеем . Из последнего неравенства получим оценку сверху для проекционного n-поперечника Для получения оценки снизу рассматриваемых n-поперечников введем в рассмотрение шар и покажем, что. Для любого pn ∈ Pn имеет место неравенство . (5.5) - Возведем обе части неравенства (5.5) в степень q/2, результат умножим на ϕ(t), и полученное неравенство проинтегрируем по переменной t от 0 до u, после чего согласно условию (5.2) получим Это означает, что . Используя определение бернштейновского поперечника, запишем оценку снизу всех n-поперечников Из сопоставления неравенств (5.4) и (5.6) с учетом соотношения (5.1) получим равенство (5.3). Теорема 5.1 доказана. Из теоремы 5.1, в частности, при вытекает результат, полученный в работе [11].

About the authors

M. R. Langarshoev

Moscow University of Humanities and Technology - Moscow Institute of Architecture and Construction

Author for correspondence.
Email: mukhtor77@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3278-4781
SPIN-code: 6739-7777
Scopus Author ID: 55790260900
Moscow, Russia

References

Supplementary files