In a Bergman Hilbert space, we study the problem of estimating the best approximation of an analytic function in the unit disk by algebraic polynomials via averaging its modulus of smoothness. A general condition on the weight function is found that allows us to obtain an exact estimate. This condition is analogous to the Shabozov-Yusupov condition but additionally takes into account the specific features of the Bergman space. The resulting upper bounds are applied to calculating the diameters of certain classes of functions in the Kolmogorov, Gelfand, and Bernstein classes, as well as linear and projection diameters, in the Bergman space.
В гильбертовом пространстве Бергмана изучается задача об оценке наилучшего приближения аналитической функции в единичном круге алгебраическими многочленами через усреднение ее модуля гладкости. Найдено общее условие на весовую функцию, при котором удается получить точную оценку. Это условие аналогично условию Шабозова-Юсупова, но дополнительно учитывает специфику пространства Бергмана. Полученные верхние оценки применены к вычислению в пространстве Бергмана поперечников некоторых классов функций по Колмогорову, Гельфанду и Бернштейну, а также линейных и проекционных поперечников.