Abel summability of a system of root functions of an even-order differential operator with integral conditions

Full Text

Введение История изучения обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями насчитывает более ста лет, см. [15, 21, 26, 27, 29]. Вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов с нелокальными условиями рассматривались многими авторами в случае, когда в нелокальных условиях присутствовали значения неизвестной функции и её производных на концах интервала и в его внутренних точках, а также интегралы Лебега от неизвестной функции с некоторыми весами. В этом случае область определения соответствующего оператора была плотной в L2(0,1). Авторами рассматривались вопросы об асимптотике собственных значений [12], полноте и базисности системы корневых функций [4-6, 16, 19] и др. © Р.А. Байраш, А.Л. Скубачевский, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 213 В работе [16] было доказано, что собственные и присоединенные функции дифференциального оператора n-го порядка с регулярными краевыми условиями образуют базис Рисса со скобками в пространстве L2(0,1). Отметим также работы [5, 19], в которых изучен спектр оператора, порожденного в пространстве L2(0,1) дифференциальным выражением второго порядка и интегральными условиями, а также исследованы условия полноты системы корневых функций рассматриваемого оператора. В случае многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем возникают более тонкие вопросы о полноте и базисности Рисса собственных и присоединенных функций, см. [22-25, 28] и имеющуюся там библиографию. Постановка задачи, когда нелокальные условия не содержат значений неизвестной функции и ее производных на концах интервала, является принципиально более сложной. Отметим, что обыкновенные дифференциальные операторы с интегральными условиями обладают целым рядом принципиально новых свойств по сравнению с классическими дифференциальными операторами. Например, их спектр может занимать всю комплексную плоскость, оценка на резольвенту имеет меньший порядок убывания при росте спектрального параметра по сравнению с классическими оценками и т. д. В работах [2, 3, 13, 14] получены априорные оценки решений и исследованы спектральные свойства обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с чисто интегральными условиями. Обобщение этих результатов на случай дифференциального оператора четного порядка с переменными коэффициентами было получено в работах [1, 18, 20]. Вопрос суммируемости по Абелю системы корневых функций дифференциального оператора второго порядка с интегральными условиями исследован в [9], базисность Рисса системы собственных и присоединенных функций доказана в [11]. В данной работе рассматривается обыкновенный дифференциальный оператор четного порядка со спектральным параметром. Вместо классических краевых условий, возмущенных интегралами от неизвестной функции и значениями неизвестной функции во внутренних точках, задаются чисто интегральные условия. Доказана суммируемость по Абелю системы корневых функций соответствующего оператора. Доказательство теоремы о суммируемости по Абелю системы корневых функций основано на использовании априорной оценки, полученной в работе [18], а также на методе, изложенном в статье В.Б. Лидского [8] и модифицированном в работах В.В. Подъяпольского [9, 10]. 1. Постановка задачи и вспомогательные результаты Рассмотрим уравнение (1.1) с интегральными условиями . (1.2) Здесь ai (i = 0,...,2m) - вещественнозначные функции такие, что a1,...,a2m ∈ C[0, 1],f0 ∈ L2(0,1) - комплекснозначная функция, fρk ∈ C (ρ = 1,2, k = 0,...,m- - 1) - константы, а hρkj (ρ = 1,2, j = 0,...,k, k = 0,...,m - 1) - линейно независимые вещественнозначные функции. Введем обозначения, которые будут в дальнейшем использоваться. Cα[a,b] - пространство Гельдера непрерывных функций u(t), t ∈ [a,b], таких, что , где константы. , - пространство Соболева функций из L2(0,1), имеющих все обобщенные производные из L2(0,1) до порядка k включительно. - пространство абсолютно непрерывных функций v(t),t ∈ [a,b], таких, что все производные вплоть до (2m - 1)-го порядка принадлежат L (a,b), т. е. v(k) ∈ L (a,b) (k = ∞ ∞ , где 0 < β < 1/2. Будем предполагать, что . Обозначим W[0, 1] = L2(0,1)×C2m. В пространстве Соболева W22m(0,1) введем эквивалентную норму, зависящую от спектрального параметра: . Эквивалентная норма в пространстве W[0, 1] зависит от порядка производных в условиях (1.2): , где f = (f0,f10,f20,...,f1,m-1,f2,m-1), |λ| 1. Введем определители, зависящие от значений весовых функций при старших производных в интегральных условиях (1.2) в точках 0 и 1: . Пусть , где θ > 0. Рассмотрим линейный ограниченный оператор вида L(λ)u = (Au + λ2mu,B10u,B20u,...,B1,m-1u,B2,m-1u). Введем линейный неограниченный оператор AB : L2(0,1) ⊃ D(AB) → L2(0,1) с областью определения по формуле ABu = Au (u ∈ D(AB)). При указанных выше условиях на весовые функции hρkj и коэффициент a0 при 2m-ой производной в уравнении (1.1) в работе [18] получена следующая априорная оценка. Теорема 1.1. Пусть . Тогда для любого 0 < θ < π/2m существует q > 1 такое, что для λ ∈ ωθ,q любая функция u ∈ W22m(0,1) удовлетворяет неравенству , (1.3) где C > 0 не зависит от Следствие 1.1. Пусть . Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Операторы L(λ) : W22m(0,1) → W[0, 1] и AB : L2(0,1) ⊃ D(AB) → L2(0,1) фредгольмовы и indL(λ) = indAB = 0 для всех λ ∈ C. 2. Спектр σ(AB) дискретный. 3. Для μ /∈ σ(AB) резольвента R(μ,AB) = (μI - AB)-1 : L2(0,1) → L2(0,1) - компактный оператор. 4. Для любого 0 < δ < π все точки спектра σ(AB), кроме, быть может, конечного их числа, принадлежат углу комплексной плоскости |argμ| < δ. 2. Оценка нормы резольвенты Обозначим , где 0 < ε < π,r > 1. Из теоремы 1.1 и следствия 1.1 следует, что резольвента оператора AB R(μ,AB) = (μI - AB)-1 может быть оценена сверху на любом луче arg. Лемма 2.1. Пусть . Тогда для любого ε > 0 существует r > 1 такое, что для μ ∈ Ωε,r справедлива оценка , (2.1) где · - норма оператора, действующего из L2(0,1) в L2(0,1). Доказательство. Из априорной оценки (1.3) следует, что если u ∈ D(AB), λ ∈ ωθ,q (θ и q определены в теореме 1.1), то , то есть . (2.2) В силу следствия 1.1 оператор L(λ) имеет ограниченный обратный L-1(λ):W[0, 1] → W22m(0,1) для λ ∈ ωθ,q. Поэтому оператор μI - AB : L2(0,1) ⊃ D(AB) → L2(0,1) имеет ограниченный обратный (μI - AB)-1 : L2(0,1) → W22m(0,1) для μ ∈ Ωε,r, где ε = π - 2mθ, r = q2m и μ = -λ2m. Тогда неравенство (2.2) примет вид . Положим u = R(μ,AB)f0, f0 ∈ L2(0,1). Тогда . Отсюда следует утверждение леммы. Пусть выполнено условие леммы 2.1. Обозначим через μk собственные значения оператора AB. Пусть z0 ∈ ρ(AB) - некоторая фиксированная точка в резольвентном множестве оператора AB. Введем вполне непрерывный оператор K = (AB - z0I)-1 с собственными значениями νk = 1/(μk - z0). Очевидно, что K-1 = (AB - z0I) = (μ - z0)I - (μI - AB) = (μ - z0)I - R(μ,AB)-1. Тогда - - - - - Таким образом, резольвенты операторов AB и K связаны следующим соотношением: . (2.3) Функция -корневая функция оператора K, соответствующая собственному значению νk, если (K -νkI)jϕ = 0 для некоторого. Как известно, размерности корневых подпространств конечны. Обозначим через sp(K) замыкание в L2(0,1) линейного пространства, образованного системой корневых функций оператора K. Аналогичным образом определяется корневая функция оператора AB, соответствующая собственному значению μk. Можно показать, что функция ϕ является корневой функцией оператора AB, соответствующей собственному значению μk тогда и только тогда, когда ϕ является корневой функцией оператора K, соответствующей собственному значению νk = 1/(μk - z0). То есть операторы AB и K имеют одинаковые корневые функции. Поэтому в дальнейшем будем исследовать оператор K. Лемма 2.2. Пусть . Тогда для любого κ > 0 существует δ0 = = δ0(κ) > 0 такое, что | , (2.4) где C(μ) - целая функция по переменной 1/μ порядка не выше 1/2m. Доказательство. В силу следствия 1.1, для любого 0 < ε < π существует r > 1 такое, что для μ ∈ Ωε,r получим R(μ,AB)f0 ∈ W22m(0,1) при f0 ∈ L2(0,1). Тогда, применяя тождество Гильберта, получим K = (AB - z0I)-1 = -R(z0,AB) = -R(z0,AB) + R(μ,AB) - R(μ,AB) = = (μ - z0)R(μ,AB)R(z0,AB) - R(μ,AB) = -R(μ,AB)(I - (μ - z0)R(z0,AB)). Следовательно, оператор K : L2(0,1) → W22m(0,1) ограниченный. Поэтому в силу компактности вложения W22m(0,1) в L2(0,1) оператор K : L2(0,1) → L2(0,1) компактный. Применяя теорему A1.1 из [17], получим утверждение леммы. Без ограничения общности предположим, что μ = 0 не является собственным значением оператора AB. Поэтому возьмем z0 = 0. Из (2.1) и (2.3) можно получить оценку нормы оператора (I - μK)-1 на некоторых лучах. Лемма 2.3. Пусть . Тогда для любого ε > 0 существует r > 1 такое, что для μ ∈ Ωε,r выполнена оценка . (2.5) Доказательство. Из представления (2.3) при z0 = 0 следует, что , откуда Тогда, применяя оценку (2.1) к последнему равенству, получим утверждение леммы. 3. Суммируемость по Абелю системы корневых функций В силу теоремы 1.1 и п. 4 следствия 1.1 имеем σ(AB) ⊂ {μ ∈ C : |argμ| < ε} ∪ {μ ∈ C : |μ| < r}, где ε = π - 2mθ, r = q2m (0 < θ < π/2m,q > 1). Сдвинув при необходимости спектральный параметр, можно получить, что спектр оператора AB лежит в угле {μ ∈ C : |argμ| < ε} и вне круга {μ ∈ C : |μ| < r}. Поэтому далее, без ограничения общности, будем считать, что спектр оператора AB лежит в угле, где 0 < ε < π. Рассмотрим многозначную функцию . Очевидно, что при нецелых α > 0 точка μ = 0- точка ветвления, и две различные ветви этой аналитической функции отличаются на множитель ei2πkα, где k ∈ Z. Пусть α > 0, причем αε < π/2. Положим μα := μ αeiαargμ, μ ∈ ωε, так, чтоОчевидно, что при данном выборе α мы имеем |arg Построим систему векторов {ei} (i = 1,2,... ) из жордановых базисов в корневых подпространствах оператора AB. В [8, гл. II, §4] показано, что найдется система векторов {gj} (j = 1,2,... ), биортогональная к системе {ei}. Для некоторого заданного α > 0 введем полиномы относительно параметра t: . (3.1) Пусть f ∈ L2(0,1). Рассмотрим ряд , (3.2) коэффициенты которого вычисляются следующим образом. Если eq - собственный вектор оператора AB, не имеющий присоединенных векторов, то cq(t) = e-μαq tcq, (3.3) где μq - собственное значение, соответствующее собственному вектору , α > 0, cq - коэффициент формального разложения вектора f по системе {ei} (i = 1,2,... ): . Если векторы eq,eq+1,...,eq+k образуют жорданову цепочку, то . (3.4) Определение 3.1. Будем говорить, что ряд (3.2), соответствующий f, суммируем к f по методу Абеля порядка α, если для этого ряда существует подпоследовательность частичных сумм , (3.5) сходящаяся в L2(0,1) при всех t > 0, такая, что , (3.6) Определение 3.2. Будем говорить, что система eq (q = 1,2,... ) корневых функций оператора AB образует базис Абеля со скобками порядка α в L2(0,1), если для любого f ∈ L2(0,1) соответствующий ряд (3.2) суммируем к f по методу Абеля порядка α. Пусть. Рассмотрим интеграл (3.7) где- контур, являющийся границей ωε,r, ориентированный так, что при его обходе указанная область остается справа. Число r выбирается так, что оператор (I - μK)-1 аналитичен внутри круга. Изложим план доказательства суммируемости ряда по корневым функциям, следуя В.Б. Лидскому [8]. Доказательство будет связано с вычислением интеграла (3.7) с использованием теории вычетов. Сначала в лемме 3.1 будет показано, что lim u(t) = f (для f = Kw, w ∈ L2(0,1)). t→0+0 После этого в лемме 3.2 будут найдены выражения для вычетов подынтегральной функции в полюсах μi оператора (I -μK)-1, что приведет нас к многочленам вида (3.1). То есть мы свяжем интеграл где замкнутый контур Γi, лежащий в угле ωε, охватывает только полюс μi, c многочленами вида (3.1). Затем будет доказано существование уходящей в бесконечность последовательностиконтуров, на которых справедлива оценка вида . Эти утверждения позволят представить интеграл (3.7) в виде сходящегося ряда, членами которого являются вычеты, найденные в лемме 3.2, т. е. получить формулу вида (3.6). Лемма 3.1. Если Доказательство. Заметим, что . Поэтому, если f = Kw, то . Покажем, что I2(t) = 0. Пусть . Определим контур Γ как границу GR. Очевидно, что подынтегральная функция аналитична в GR. Нужно показать, что вклад этого интеграла по дуге при R → ∞ стремится к нулю. Действительно, В силу выбора ветвей функции μα имеем |argμα| < π/2. Тогда существует число β0 > 0 достаточно малое, такое, что |argμα| π/2 - β0, и Re. Тогда правую часть последнего неравенства можно сверху оценить следующим выражением: - . Таким образом, мы получим, что при R → ∞ . Следовательно, по теореме Коши Перейдем к вычислению I1(t). Очевидно, что оператор-функция (I - μK)-1 аналитическая в пересечении дополнения ωε,r с кругом BR = {μ ∈ C : |μ| R}. Кроме того, интеграл I1(t) в силу оценки (2.5) сходится равномерно по t при. Поэтому Замкнем контур Γ по дуге . Внутри области, охватываемой этим контуром (обход совершается против часовой стрелки), нет других полюсов подынтегральной функции кроме μ = 0. Поэтому мы получим, что последний интеграл равен вычету подынтегральной функции при μ = 0. Для его вычисления представим оператор (I - μK)-1 в виде ряда Неймана в окрестности точки . Тогда подынтегральная функция примет вид Поэтому Res μ=0 Таким образом lim u(t) = f. t→0+0 Лемма 3.2. Вычет функции e-μαtK(I - μK)-1f в полюсе μi оператора (I - μK)-1 равен , где eq1,eq1+1,...,eq2 - жорданов базис оператора K в корневом подпространстве Ni, а cq(t) - коэффициенты, вычисляемые по формулам (3.3), (3.4). Доказательство см. в [8, лемма 6]. Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из [10]. Однако для удобства читателя приведем это доказательство полностью. Теорема 3.1. Пусть . Тогда для любого f ∈ D(AB) ряд (3.2) по корневым функциям оператора AB суммируем к f в L2(0,1) по методу Абеля порядка α, где α > 1/2m. Доказательство. Для доказательства теоремы осталось показать, что для любого t > 0 существует сходящаяся подпоследовательность частичных сумм вида (3.5). В силу леммы 2.2 для резольвенты оператора K справедлива оценка (2.4). Относительно переменной 1/μ оценка примет вид: , (3.8) где константа k1 > 0, C(1/μ) - целая функция по переменной μ порядка не выше = δ0(κ) = 1/δ0(κ) > 0. Очевидно, что . Тогда неравенство (3.8) примет вид . (3.9) Для дальнейших рассуждений нам понадобится оценка целой функции конечного порядка снизу (см., например, [7, гл. I, §3, п. 9]). А именно, пусть F(z) - целая функция конечного порядка η и z1,z2,... - ее нули. Тогда вне кружков |z-zm| < |zm|-q,q > η (m = 1,2,...) имеет место оценка снизу |F(z)| > e-rη+κ0 , r > r0(κ0) ∀κ0 > 0. Сумма диаметров исключительных кружков конечна. Пусть R > 0 и 0 < δ < 1. Тогда в кольце (1 - δ)R < |μ| < R найдется окружность на которой верна оценка . (3.10) Подставив κ/4 вместо κ в (3.9) и (3.10), мы получим, что на окружностисправедлива оценка . Отсюда нетрудно получить, что , (3.11) где k2 > 0. Зафиксировав R и δ, рассмотрим монотонно возрастающую последовательность чисел: В каждом кольце Rν < |μ| < Rν+1 , на которой выполнена оценка (3.11). Обозначим через Γν границу пересечения кольца с углом ωε. Контур Γν состоит из двух дуг окружностей (обозначим их через и Bν+1Aν+1, соответственно) и двух отрезков лучей, ограничивающих угол (см. рис. 1). Рис. 1. Контур Γν Fig. 1. Contour Γν Пусть Nν - число полюсов оператора (I - μK)-1 (с учетом их кратности) в круге. В силу леммы 3.2 получим, что . Этот интеграл вычисляется по контуру AνBνBν+1Aν+1 (обход совершается по часовой стрелке). Для того чтобы оценить норму этого интеграла, разобьем его на четыре части. На дуге AνBν, в силу оценки (3.11), справедливо неравенство , где константа k3 > 0. И снова на рассматриваемой дуге для функции μα справедливо неравенство |argμα| < π/2, откуда следует, что существует β0 > 0 такое, что, и Re. (3.12) Учитывая, что получим - . (3.13) Аналогичная оценка справедлива и для интеграла Iν+1 взятого по дуге Bν+1Aν+1. Для интеграла Jν по прямолинейному участку Aν+1Aν с учетом (2.5) получим , где константа k4 > 0. Учитывая, что Rν+1 - Rν = R(1 - δ)-ν - R(1 - δ)-ν+1 = R(1 - δ)-ν+1((1 - δ)-1 - 1) = Rν((1 - δ)-1 - 1), а также (3.12), мы получим . (3.14) Аналогичная оценка справедлива для интеграла по прямолинейному участку BνBν+1. Если положить α > 1/2m + κ/2, где κ > 0 - достаточно малое число, то из оценок (3.13) и (3.14) следует, что ряд сходится при любом t > 0. Следствие 3.1. Пусть . Тогда система корневых функций оператора AB полна в D(AB) в топологии W22m(0,1). Доказательство. В силу теоремы 3.1 система корневых функций оператора AB плотна в D(AB) в топологии пространства L2(0,1). Без ограничения общности будем считать, что μ = 0 не является собственным значением оператора AB. Тогда оператор A-B1 существует и отображает ограниченным образом L2(0,1) в D(AB). Тогда для любой функции u ∈ D(AB) функция g = ABu ∈ L2(0,1). В силу полноты в D(AB) системы корневых функций оператора AB существует последовательность {gk} конечных сумм корневых функций такая, что gk → g в L2(0,1). Тогда A-B1gk → A-B1g = f (k → ∞) (3.15) в топологии W22m(0,1). Кроме того, корневые функции инвариантны относительно A-B1. Тогда {A-B1gk} также является последовательностью конечных сумм корневых функций. Отсюда и из (3.15) следует полнота корневых функций оператора AB в D(AB) в топологии W22m(0,1).

About the authors

R. A. Bayrash

RUDN University; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Author for correspondence.
Email: bayrash-ra@rudn.ru
SPIN-code: 4223-6706
Scopus Author ID: 60165024600
Moscow, Russia

A. L. Skubachevskii

RUDN University; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Email: skubachevskiy-al@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-8385-0139
SPIN-code: 9751-1272
Scopus Author ID: 6602633010
ResearcherId: H-7828-2016
Moscow, Russia

References

Supplementary files