Partial integral operators with weak singularity

Full Text

1. Введение Частно-интегральным оператором (далее ЧИ-оператором), отвечающим ядру k, в Rn называется выражение вида (1.1) где Ωm ⊂ Rm, s = (y,z) ∈ Rm × Rn-m. В случае m = n оператор (1.1) является классическим интегральным оператором. Функция k(y,z,t) называется интегрально ограниченной, если . © И.В. Барышева, Н.И. Трусова, Е.В. Фролова, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 227 Непрерывность и интегральная ограниченность частно-интегральных операторов, как и интегральных операторов в R2 с непрерывными ядрами и в пространстве непрерывных функций двух переменных, изучена в [3, 9]. В лебеговых пространствах функций ограниченные действия частно-интегральных и интегральных операторов имеют принципиальные различия. Это было замечено еще А.С. Калитвиным в книге [3], в которой доказаны теоремы действия для различных случаев перестановки переменных в ядре оператора и различных соотношений сопряженных показателей лебеговых пространств. Там же приведено пожелание доказать аналогичные утверждения в общем виде с использованием только свойств лебеговых пространств. Такой подход был осуществлен в работе [11]. Оказалось, что ограниченное действие частно-интегральных операторов возможно лишь в лебеговых пространствах функций со смешанной нормой. Такие пространства впервые введены в работах А. Бенедека и Р. Панцоне [10], исследовались в работах С.М. Никольского, его учеников и последователей, где эти пространства назывались анизотропными (см. [1, гл. 3]). Изучение частно-интегральных операторов, имеющих различные свойства по разным переменным, что обусловлено применением смешанных sup-Lp-норм, приведено в [8, 12]. В этой работе представлены результаты исследований частно-интегральных операторов со слабой особенностью в пространствах непрерывных функций со значениями в лебеговом пространстве функций Lp, p ∈ (1,∞). Классические интегральные операторы такого вида хорошо изучены, например, см. [2, 6, 7]. Частно-интегральные же операторы со слабой особенностью ранее рассматривались только для классов непрерывных функций двух переменных, принадлежащих R1 × R1 (см. [4]). 2. Частно-интегральные операторы со слабой особенностью Работа посвящена исследованию ограниченности и непрерывности действия частно-интегральных операторов со слабой особенностью. Через обозначим конечный замкнутый параллелепипед в Rn, α, α - мультииндексы, дополняющие друг друга до полного мультииндекса (1,2,... ,n) и D = Dα ×Dα, m - размерность, а d - диаметр параллелепипеда Dα (1 m n). ЧИ-оператором со слабой особенностью называется выражение , (2.1) где , β < m. При m = n ЧИ-оператор (2.1) является классическим интегральным оператором со слабой особенностью. Пусть p . Следуя [1, с. 19], введем пространство , норма в котором определяется равенством . Следуя [5, с. 19], через CLp = C(Dα¯; Lp(Dα)) обозначим пространство непрерывных функций со значениями в лебеговом пространстве функций Lp, p ∈ (1,∞) с нормой , где При m = n норма в CLp совпадает с нормой в пространстве Lp. 3. Равномерная ограниченность ЧИ-оператора со слабой особенностью Напомним, что числа называются сопряженными, если . Для ЧИ-оператора со слабой особенностью справедлива следующая теорема о равномерной ограниченности в CLp. Теорема 3.1. Пусть - две пары сопряженных чисел, число β удовлетворяет неравенству функция. Тогда для ЧИ-оператора справедлива равномерная оценка (3.1) для любых x ∈ Rn и для любых функций u(xα¯,xα) таких, что- площадь поверхности сферы единичного радиуса в Rm. Доказательство. Отметим, что принадлежность u(x) пространству CLp(D) = C(Dα¯;Lp(Dα)) означает выполнение следующих условий: ∀ε1 > 0 ∃δ1 > 0 такое, что из неравенства следует неравенство и . В свою очередь, для функции k(x;tα), принадлежащей пространству, выполнены условия: ∀ε2 > 0 ∃δ2 > 0 такое, что из неравенства следует неравенство и . Рассмотрим ЧИ-оператор со слабой особенностью (2.1). Имеем . Применим неравенство Гельдера с сопряженными показателями. Получим . В этом неравенстве к интегралу вновь применим неравенство Гельдера с сопряженными показателями. Тогда . Следовательно, для ЧИ-оператора (2.1) имеем . Таким образом, . (3.2) Ограниченность частного интеграла (3.3) получается введением сферических координат в пространстве Rm. Действительно, шар Bd с центром в точке xα и радиуса d содержит параллелепипед Dα. Тогда . Перейдем к сферическим координатам по формулам xα - tα = rθ, |θ| = 1, dtα = dS1 rm-1dr, где через dS1 обозначен элемент поверхности сферы S1(m) единичного радиуса в Rm. Имеем Следовательно, (3.2) примет вид . (3.4) Наконец, так как то будет справедливым неравенство (3.1). 4. Равностепенная непрерывность ЧИ-оператора со слабой особенностью на ограниченном и равностепенно непрерывном множестве функций Определение. Будем говорить, что множество M ⊂ CLp(D) равностепенно непрерывно, если ∀ε > 0 ∃δ3 > 0 такое, что для любых u ∈ M из неравенства следует неравенство Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда справедлива Теорема 4.1. Пусть функция k(x;tα) принадлежит пространству, и пусть множество M ⊂ CLp(D) ограничено и равностепенно непрерывно в CLp(D). Тогда множество равностепенно непрерывно в C(D). Доказательство. Требуется доказать, что для каждого ε > 0 найдется такое δ > 0, зависящее только от ε,β, что неравенство выполняется для всехтаких, что и для всех функций из. Рассмотрим Применим неравенство Гельдера с сопряженными показателями. Получим . (4.1) К первому слагаемому в правой части неравенства (4.1) еще раз применим неравенство Гельдера с произвольными показателями и воспользуемся результатом теоремы 3.1. Имеем . Так как u ∈ M, то для произвольного ε > 0 выберем в качестве δ3 = δ3(ε) такое δ3 > 0, чтобы при выполнялось неравенство . (4.2) Теперь рассмотрим второе слагаемое в правой части неравенства (4.1). Воспользуемся тем, что Без ограничения общности будем считать, что. Для произвольного числа η > 0 обозначим. Тогда . Для первого слагаемого имеем . Применяя последовательно неравенство Минковского и неравенство Гельдера с показателями q и q, получим согласно 3.1 . Поскольку разность а функция |xα-tα|β равномерно непрерывна на Dα\g, то для любого ε4 > 0 найдется δ4 = δ4(ε4) > 0 такое, что из неравенствабудет β β следовать неравенство. Тогда , где через V (Dtα\ g) обозначен объем области интегрирования. Осталось подобрать число δ5 = δ5(ε) > 0 так, чтобы δ5 < min{δ2,δ4}, δ5 < η/2 и чтобы при выполнялось неравенство . (4.3) Тогда при δ = min{δ3, δ5} неравенства (4.2) и (4.3) будут выполняться одновременно. Теперь к интегралу применим неравенство Минковского. Имеем . Продолжая к обоим слагаемым применять неравенство Гельдера с показателями, получим . Применяя теорему 3.1 к интегралу по области g, получим . Оценим интеграл . Пусть tα| < η и поэтому r < 3η/2. Следовательно, шар . Отсюда имеем . Из неравенства (4.1) с учетом неравенств (4.2) и (4.3) получим , где - Величину η выберем настолько малой, чтобы выполнялось неравенство . Тогда для всех функций из выполняется неравенство (m) придля любой функции u ∈ M. Следовательно, множество {Kα u : u ∈ M} равностепенно непрерывно в C(D). Из теорем 3.1, 4.1 и теоремы Арцела-Асколи вытекает Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теорем 3.1 и 4.1, тогда множество предкомпактно в C(D).

About the authors

I. V. Barysheva

Lipetsk State Pedagogical P. Semenov-Tyan-Shansky University

Author for correspondence.
Email: barysheva_iv@mail.ru
ORCID iD: 0009-0000-6644-8113
SPIN-code: 2918-8263
Scopus Author ID: 58171343100
Lipetsk, Russia

N. I. Trusova

Lipetsk State Pedagogical P. Semenov-Tyan-Shansky University

Email: trusova.nat@gmail.com
SPIN-code: 7119-7653
Scopus Author ID: 57195455908
Lipetsk, Russia

E. V. Frolova

Lipetsk State Pedagogical P. Semenov-Tyan-Shansky University

Email: lsnn48@mail.ru
SPIN-code: 7044-5867
Scopus Author ID: 56908069300
Lipetsk, Russia

References

Supplementary files