Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5075710.22363/2413-3639-2026-72-2-227-236ATNOMTArticlesСтатьиResearch ArticlePartial integral operators with weak singularityЧастно-интегральные операторы со слабой особенностьюhttps://orcid.org/0009-0000-6644-8113581713431002918-8263BaryshevaI. V.БарышеваИ. В.barysheva_iv@mail.ru571954559087119-7653TrusovaN. I.ТрусоваН. И.trusova.nat@gmail.com569080693007044-5867FrolovaE. V.ФроловаЕ. В.lsnn48@mail.ruLipetsk State Pedagogical P. Semenov-Tyan-Shansky UniversityЛипецкий государственный педагогический университет им. П.П. Семенова-Тян-Шанского1606202672222723622062026Copyright ©; 2026, Barysheva I.V., Trusova N.I., Frolova E.V.Copyright ©; 2026, Барышева И.В., Трусова Н.И., Фролова Е.В.2026Barysheva I.V., Trusova N.I., Frolova E.V.Барышева И.В., Трусова Н.И., Фролова Е.В.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/50757

We study a partial integral operator with a weak singularity in Rn in the anisotropic space of continuous functions with values in the space Lp, p ∈ (1,∞). We prove theorems on the uniform boundedness and equicontinuity of the operator under study. These theorems imply a theorem on the mapping of any bounded and equicontinuous set into a precompact set by a partial integral operator with a weak singularity acting from the space of functions continuous in some variables with values in Lp with respect to the other part of the variables to the space of continuous functions.

Исследуется частно-интегральный оператор со слабой особенностью в Rn в анизотропном пространстве непрерывных функций со значениями в пространстве Lp, p ∈ (1,∞). Доказаны теоремы о равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности исследуемого оператора. Из этих теорем вытекает теорема о переводе всякого ограниченного и равностепенно непрерывного множества в предкомпактное множество частно-интегральным оператором со слабой особенностью, действующим из пространства непрерывных по части переменных со значениями в Lp по другой части переменных функций в пространство непрерывных функций.

partial integralpartial integral operatorpartial integral operator with weak singularityanisotropic function spacemixed normuniform boundednessequicontinuityprecompactnesscompactness.частный интегралчастно-интегральный операторчастно-интегральный оператор со слабой особенностьюанизотропное пространство функцийсмешанная нормаравномерная ограниченностьравностепенная непрерывностьпредкомпактностькомпактностьБесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. -М.: Наука, 1975.Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1976.Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами.- Воронеж: ЦЧКИ, 2000.Калитвин А.С., Фролова Е.В. Линейные уравнения с частными интегралами. С-теория.-Липецк: ЛГПУ, 2004.Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.- М.: Высшая школа, 1977.Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул.-М.: Наука, 1974.Трусова Н.И. Весовые частно-интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода в пространствах функций со смешанной анизотропностью // Дисс. к.ф.-м.н. -Казань, 2023.Appell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial integral operators and integro-differential equations.- New York: Marcel Dekker, 2000.-DOI: 10.1201/9781482270402.Benedek A., Panzone R. The space Lp with mixed norm // Duke Math. J. -1961.-28, № 3.- С. 301-324. - DOI: 10.1215/S0012-7094-61-02828-9.Lyakhov L.N., Inozemtsev A.I. Partial integrals in anisotropic Lebesgue spaces. II: Multidimensional case // J. Math. Sci. (N.Y.). -2020.- 247, № 6.- С. 893-899.- DOI: 10.1007/s10958-020-04845-7.Lyakhov L.N., Inozemtsev A.I., Trusova N.I. About Fredgholm equations for partial integral in R2 // J. Math. Sci. (N.Y.). -2020.-251, № 6.-С. 839-849.- DOI: 10.1007/s10958-020-05132-1.