Dirac geometric structures

Full Text

1. Введение Основными геометрическими объектами лагранжевой и гамильтоновой механики являются расслоения касательных TQ и кокасательных T∗Q гладких конфигурационных многообразий Q. В динамике Дирака [6] связи механических систем описываются как интегрируемые дифференциальные распределения в этих пространствах. Вариационный подход к описанию динамики таких систем, в частности, позволяет рассматривать задачи с лагранжианами, вырожденными по скоростям, что важно в релятивистской механике. Динамика Дирака также описывается в рамках так называемой обобщённой геометрии [4, 7, 8]. Основным геометрическим объектом такого рассмотрения является двойное расслоение TT∗Q ⊕ T∗T∗Q, иногда его называют обобщенным касательным расслоением или расслоением Понтрягина. Геометрические структуры, основанные на этом объекте, корректно описывают механические системы. Такие структуры, получившие название структуры Дирака, были введены Т. Курантом [5] с некоторой мотивацией из механики: систему можно рассматривать в терминах координат и скоростей или координат и импульсов, геометрическое описание тогда происходит на TQ или T∗Q, соответственно. Структуры Дирака вводятся для обеспечения связи этих двух способов описания. В работе [2] динамика Дирака распространена на гамильтоновы системы на симплектических многообразиях, частным случаем которых являются кокасательные расслоения гладких многообразий с естественной симплектической структурой. Связи в динамических системах описываются в общем случае как неинтегрируемые дифференциальные распределения в этих пространствах. © Т.В. Сальникова, Е.И. Кугушев, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 655 Введена операция симплектической проекции гамильтонова векторного поля, позволяющая строить уравнения движения с учетом связей. В случае интегрируемости дифференциальных распределений, описывающих связи, получается гамильтонова динамика Дирака. Для формулировки уравнений, описывающих динамику таких систем, необходимо спроектировать гамильтоновы и лагранжевы векторные поля, описывающие динамику системы без связей, на эти распределения, описывающие связи. Для этого рассматриваются различные операторы проекции (см. [2]). В частности, предлагается метод симплектической проекции гамильтоновых потоков, позволяющий сохранить гамильтонову структуру. Этот метод неявно предложен в [6] для применения в теории относительности и квантовой механике, как способ описания решений задач с вырожденными лагранжианами, приводящий к системам уравнений в гамильтоновой форме с конечными связями. Такая техника также может быть использована и в задах неголономной механики. В невырожденном случае, когда ограничение симплектической структуры на дифференциальное распределение является невырожденной симплектической структурой, в работе [2] доказана единственность такой проекции. В работе [3] дано описание симплектического проектирования в рамках обобщенной геометрии. В настоящем исследовании рассматривается возможность реализации симплектической проекции в некоторых вырожденных случаях. Предлагается метод регуляризации связей, позволяющий обойти вырождение операции симплектического проектирования в случае нечетного количества связей. Он основан на вложении исходной системы в расширенную систему большей размерности с увеличенным количеством связей. В качестве важного приложения это позволяет изучать системы с одной дифференциальной связью. 2. Симплектическое проектирование Пусть на симплектическом многообразии M2n с канонической формой ω2 имеется гамильтоново векторное поле с функцией Гамильтона H : M2n → R, и определено дифференциальное распределение, задающееся в локальных канонических координатах x = (p,q), ξ = (p,˙ q˙) системой дифференциальных 1-форм αi(x,ξ) = 0, i = 1,...,k, (x,ξ) ∈ TM2n. (2.1) Это распределение рассматривается как связи, наложенные на движение гамильтоновой системы. Проектирование осуществляется с помощью симплектической геометрии касательных плоскостей, которая индуцируется симплектической структурой фазового пространства. Используя эту структуру, можно задающие связи дифференциальные формы преобразовать в векторные поля. Определение 2.1. Симплектическое проектирование гамильтонова векторного поля - это сдвиг этого поля в касательном пространстве вдоль векторных полей, определяемых связями, таким образом, чтобы преобразованное векторное поле удовлетворяло связям, т. е. лежало на дифференциальном распределении. В [2] доказано, что если ограничение симплектической формы ω2 на дифференциальное распределение (2.1) является невырожденной 2-формой, то симплектическое проектирование однозначно определено. В случае нечетного количества дифференциальных связей такое ограничение всегда будет вырожденным. Цель настоящей работы - показать возможность реализации симплектического проектирования в вырожденных случаях. Важным приложением является возможность исследования систем с одной дифференциальной связью - в этом случае симплектическое проектирование всегда невозможно. Для того, чтобы обойти такую ситуацию, мы введем систему с б´ольшим числом степеней свободы, решения которой будут включать в себя все решения исходной системы. 3. О римановых структурах на касательных и кокасательных расслоениях Мы будем рассматривать симплектические многообразия, снабженные некоторой произвольной римановой метрикой. Примером такого объекта является кокасательное расслоение конфигурационного многообразия механической системы. Помимо естественной симплектической структуры на нем существует естественная риманова метрика -метрика Вейля. Опишем ее. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ ДИРАКА Пусть Qn - конфигурационное многообразие механической системы с n степенями свободы. На нем существует естественная кинетическая метрика, в которой квадрат нормы касательного вектора равен соответствующей кинетической энергии системы. На касательном расслоении TQn вводим метрику Сасаки [1], являющуюся расширением кинетической метрики. Фазовым пространством соответствующей гамильтоновой системы является кокасательное расслоение M2n = T∗Qn, на котором задана естественная симплектическая структура. Эта структура позволяет установить следующее изоморфное соответствие f между ковекторами и касательными векторами. Если α ∈ Tx∗Qn - ковектор в точке x ∈ Qn, то ему соответствует касательный вектор f(α) = ξ ∈ TxQn в точке x ∈ Qn такой, что для любого касательного вектора η ∈ TxQn значение на нем ковектора α определяется соотношением α(η) = ω2(η,ξ), т. е. α(η) = ω2(η,f(α)). Соответствие f можно рассматривать как диффеоморфизм f : (x,α) → (x,f(α)) между T∗Qn и TQn. Дифференциал этого отображение позволяет переносить векторы, касательные к T∗Qn, на векторы, касательные к TQn, и является диффеоморфизмом df : TT∗Qn → TTQn. Этот диффеоморфизм естественным образом переносит риманову метрику Сасаки, определенную на TQn, в метрику G, определенную на M2n = T∗Qn, - метрику Вейля. Для пары векторов μ,ν, касательных к T∗Qn, скалярное произведение < ·,· > в метрике Вейля определяется следующим образом: < μ,ν >= (df(μ),df(ν)), где (·,·) - скалярное произведение в метрике Сасаки на TQn. В общем случае, пусть на многообразии M2n с симплектической структурой, заданной канонической 2-формой ω2, задана также произвольная риманова метрика, и обозначает скалярное произведение касательных векторов ξ,η. Эти структуры порождают два естественных изоморфизма между линейными пространствами Ω1(M2n) - C∞-гладких дифференциальных 1-форм на M2n и V(M2n) - C∞-гладких векторных полей на M2n: g : V(M2n) → Ω1(M2n), h : Ω1(M2n) → V(M2n). (3.1) Определим эти изоморфизмы. Пусть α -это 1-форма на M2n, тогда X = h(α) - это векторное поле, такое, что α(·) = ω2(·,X). Пусть Y - векторное поле на M2n, тогда β = g(Y ) - это 1-форма, такая, что . Композиция f = g ◦ h этих отображений является автоморфизмом линейного пространства Ω1(M2n). Рассмотрим на M2n гамильтонову систему с функцией Гамильтона H(r),r ∈ M2n. Считаем, что на систему наложена одна связь γ = 0, γ ∈ Ω1(M2n). 4. Расширенная система и регуляризация Построим расширенную систему. Объекты расширенной системы будем отмечать волной . Фазовое пространство расширенной системы - это многообразие. Точка s этого многообразия представляет собой тройку s = (r,x,y), r ∈ M2n, x ∈ R, y ∈ R. Введем естественную проекцию так, что π(r,x,y) = r. При помощи дифференциала этого отображения касательные векторы переносятся слева направо, а пространство Ω1(M2n) C∞-дифференциальных форм на M2n переносится справа налево и естественным образом вкладывается в пространство -дифференциальных форм на. Результат такого вложения будем также обозначать тильдой . Симплектическая форма на расширенном фазовом пространстве Функция Гамильтона расширенной системы , где H1(x,y) - произвольная функция на R × R. Для сокращения выкладок мы полагаем зависимость H1 только от новых переменных, поскольку на условие невырожденности симплектического проектирования выбор функции На систему наложены две связи:: , где μ(r,x,y),ν(r,x,y) - произвольные функции на расширенном пространстве. Пусть всюду . Отметим следующую взаимную однозначность. Если (r(t),x(t),y(t)) - гладкая кривая на , удовлетворяющая связям, расширенной системы, то r(t) - кривая, удовлетворяющая связи γ = 0 исходной системы. Обратно, если r(t) - кривая, удовлетворяющая связи γ = 0 исходной системы, то для произвольной зависимости x(t), найдется такая единственная зависимость x(t), y(t), что кривая (r(t),x(t),y(t)) удовлетворяет связям, расширенной системы. Можно использовать и более общее условие , но оно требует более громоздких выкладок. Пусть - гамильтоново векторное поле расширенной системы. Тогда результат операции симплектического проектирования (векторное поле X, удовлетворяющее связям) определяется следующими соотношениями , Теорема 4.1. Если форма γ невырождена, то симплектическое проектирование в расширенной системе невырождено, то есть осуществимо. Доказательство. Условие невырожденности симплектического проектирования локально, поэтому достаточно доказать это утверждение в локальных координатах. Пусть в некоторых локальных канонических координатах x = (x1,...,x2n) матрицы симплектической формы и метрического тензора имеют вид. Будем рассматривать 1-формы на M и на M так же, как и ковекторные поля. Опишем отображения g и h(3.1). Пусть Y = (Y1(q,p),... ,Y2n(q,p)) - векторное поле на M2n. Тогда g(Y ) = β = GY - это ковекторное поле. Пусть β = (β1,...,β2n) -ковекторное поле на M2n. Тогда h(β) = Y = S-1β - это векторное поле. Пусть H - функция Гамильтона исходной системы. Для расширенной системы к функции Гамильтона добавим новое слагаемое . Пусть на систему наложена одна связь α1 = 0, где α1 - ковекторное поле. В расширенной системе добавим связь следующего вида: α2 + μdpn+1 + νdqn+1 = 0, где α2 = g(h(α1)) = GS-1α1. При симплектическом проектировании уравнения движения расширенной системы примут вид x˙ = S-1dH + λ1S-1α1 + λ2S-1α2. (4.1) В канонических координатах (q,p) эти уравнения выглядят следующим образом: ∂H1 q˙n+1 = - λ2μ, ∂pn+1 (4.2) ∂H1 p˙n+1 = - + λ2ν. ∂qn+1 Условия выполнения связей выглядят следующим образом: (α1,x˙) = 0, (α2,x˙) + μp˙n+1 + νq˙n+1 = 0. Подставив в эти выражения (4.1) и α2 = GS-1α1, находим . О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ ДИРАКА Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно λ1,λ2: (α1,λ1S-1α1 + λ2S-1GS-1α1) = -(α1,S-1dH), (GS-1α1,λ1S-1α1 + λ2S-1GS-1α1) = (GS-1α1,S-1dH) + μ ∂H1 - ν ∂H1 . ∂qn+1 ∂pn+1 Поскольку матрицы S и S-1 кососимметрические, то (α1,S-1α1) = 0, (GS-1α1,S-1GS-1α1) = 0. Таким образом, (4.3) λ2(α1,S-1GS-1α1) = -(α1,S-1dH), (4.4) . (4.5) Матрицы G и S-1 невырождены, и, по предположению, ковектор, поэтому , Тогда множители λ1,λ2 определяются однозначно. Теорема доказана. По всей видимости, рассмотренный случай одной связи можно распространить на случай k связей и получить следующее утверждение: Теорема 4.2. Систему с n степенями свободы и произвольным количеством k связей можно вложить в систему с числом степеней свободы n + k, с добавлением k новых связей, при условии независимости всей системы 2k связей, так, что в новой системе симплектическое проектирование будет невырожденным, то есть осуществимым. В качестве примера для изложенного метода возможности осуществления симплектического проектирования рассмотрим задачу о неголономной точке. 5. Неголономная точка Пусть механическая система состоит из одной материальной точки массы m, с координатами x,y,z в некоторой абсолютной системе координат. Считается, что на точку действуют силы с потенциальной энергией V (x,y,z). Введем канонические импульсы (px,py,pz) и запишем функцию Гамильтона H = κ(p2x + p2y + p2z) + V (x,y,z), κ = (2m)-1. Пусть на движение точки наложена неголономная связь x˙ -yz˙ = 0, которая в дифференциальной форме имеет вид α1 = dx - ydz = 0. Конфигурационное пространство Q = R3. Риманова (кинетическая) метрика на нем имеет постоянную матрицу G3 = diag{κm2,κm2,κm2}. Касательное расслоение TQ = R6. Метрика Сасаки на нем имеет постоянную матрицу G = diag{κm2,κm2,κm2, κm2, κm2, κm2}. В этом случае квадрат нормы вектора, касательного к TQ, равен сумме кинетической энергии точки и ее энергии ускорений. Фазовое пространство гамильтоновой системы T∗Q = R6. Дуальная метрика Вейля на нем имеет ту же постоянную матрицу G. Вложим эту систему в расширенную систему, число степеней свободы которой на единицу больше, а фазовое пространство представляет собой R8. При этом считаем, что симплектическая форма в расширенной системе получается добавлением слагаемого dpw ∧ dw к симплектической форме исходной системы: К исходной функции Гамильтона добавим слагаемое κp2w, так что новая функция Гамильтона . Форма исходной связи в расширенном пространстве α1 = dx - ydz = 0 как ковектор имеет координаты α1 = (0,0,0,0,1,0,-y,0). Тогда g(α1) = Gα1 = (0,0,0,0,κm2,0,-κm2y,0), h(g(α1)) = (κm2,0,-κm2y,0,0,0,0,0). Форма добавленной связи α2 = κm2dpx - κm2ydpz + dpw = 0 как ковектор имеет координаты α2 = (κm2,0,-κm2y,1,0,0,0,0). При симплектическом проектировании, в соответствии с (4.1), получаем уравнения с множителями: p˙x = -Vx + λ1, p˙y = -Vy, p˙z = -Vz - yλ1, x˙ = 2κpx - κm2λ2, w˙ = 2κpw,-λ2 ∂V ∂V ∂V где Vx = , Vy = , Vz = . ∂x ∂y ∂z y˙ = 2κpy, p˙w = 0, z˙ = 2κpz + κm2yλ2, (5.1) Для определения множителей λ1,λ2 используем соотношения α1 = x˙ - yz˙ = 0, α2 = κm2p˙x - κm2yp˙z + p˙w = 0. Подставив в эти равенства выражения скоростей канонических координат из (5.1), получим систему линейных уравнений относительно λ1,λ2: α1 = (2κpx - κm2λ2) - y(2κpz + κm2yλ2) = 0, α2 = κm2(-Vx + λ1) - κm2y(-Vz - yλ1). Откуда λ2 = m2p2x(1 +- 2ypy2z), λ1 = V(1 +x - yyV2)z . Замечание 5.1. Отметим, что в полученной системе уравнений отделяются уравнения для исходной системы. В результате мы имеем замкнутую систему уравнений в исходном фазовом пространстве, что является общим фактом для такого способа регуляризации симплектического проектирования. Теорема 5.1. В системе уравнений движения расширенной системы (4.1) уравнения для исходных фазовых координат отделяются и представляют собой замкнутую систему уравнений в исходном фазовом пространстве, зависящую от параметров исходной системы тогда и только тогда, когда . Доказательство. В системе уравнений движения расширенной системы (4.1) исходные фазовые координаты задаются вектором x. В уравнениях для них (для x˙) добавочные координаты (qn+1,pn+1) могут содержаться только в выражениях для множителей λ1,λ2. Из (4.4)-(4.5) находим . Утверждение теоремы следует из того, что в этих выражениях участвуют функции только от исходных фазовых координат, и добавочные координаты отсутствуют. Замечание 5.2. Отметим, что предлагаемая регуляризация корректна в том смысле, что вне зависимости от выбора регуляризации, если она проведена таким образом, что уравнения для исходных координат полностью отделились, то они всегда одни и те же.

About the authors

T. V. Salnikova

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: tatiana.salnikova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-7039-6977
SPIN-code: 8362-5455
Scopus Author ID: 36890776900
ResearcherId: AAB-1148-2019
Moscow, Russia

E. I. Kugushev

Lomonosov Moscow State University

Email: kugushevei@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-0066-4168
Scopus Author ID: 6603260594
ResearcherId: Q-5737-2018
Moscow, Russia

References

Supplementary files