Second-order difference scheme for hyperbolic equations with unbounded delay

Full Text

Введение Во многих областях современной науки и техники естественным образом возникают системы, содержащие запаздывающие члены. Такие системы часто описывают динамические процессы, управляемые дифференциальными уравнениями с запаздыванием, как обыкновенными, так и в частных производных. Эти запаздывания обычно возникают в сложных системах, включающих логические и вычислительные компоненты, в которых для обработки информации требуется ко- нечный временной интервал. Линейная теория дифференциальных уравнений с запаздыванием привлекла значительное внимание учёных и была всесторонне изучена многими исследователями (см., например, [4, 7, 12, 17, 20, 21, 23-25, 28, 29, 38, 39] и приведённые там ссылки). © А. Ашыралыев, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 547 С другой стороны, гиперболические уравнения в частных производных, не включающие за- паздывания по времени, часто встречаются в широком спектре научных и инженерных приложе- ний. К ним относятся, например, электромагнитная теория, электродинамика, термодинамика, гидродинамика, теория упругости, механика жидкости, распространение волн и материаловеде- ние. При применении численных методов для решения таких уравнений вопрос устойчивости становится критически важным. Особенно эффективная модель для исследования устойчивости предполагает использование безусловно абсолютно устойчивых разностных схем, связанных с неограниченными операторами. Со временем операторный метод получил широкое развитие как ценный аналитический инструмент для исследования решений как локальных, так и нелокаль- ных задач, связанных с гиперболическими дифференциальными уравнениями в гильбертовых и банаховых пространствах (см., например, [2, 11, 26, 27, 30, 36]). Значительный объём литературы посвящён разработке разностных схем для гиперболических уравнений в частных производных (см., например, [5, 6, 31-33] и приведённые там ссылки). Во многих из этих работ устойчивость демонстрируется при условии, что временной и простран- ственный шаги сетки, обозначаемые τ и h соответственно, взаимосвязаны. В более абстрактном смысле это означает, что должно выполняться условие τ ×Ah×→ 0 при τ → 0. Однако существует значительный интерес к исследованию абсолютно устойчивых разностных схем, достигающих высокого порядка точности для гиперболических уравнений в частных произ- водных, особенно тех, устойчивость которых сохраняется независимо от каких-либо ограничений на размеры сетки τ и h. Примечательно, что впервые такие неравенства безусловной устойчивости для схем первого порядка точности, решающих гиперболические дифференциальные уравнения, были установлены в [9]. Позднее, в [16], были предложены разностные схемы как первого, так и второго порядка, построенные с использованием целых степеней пространственных операто- ров, в качестве приближений к абстрактной начальной задаче для гиперболических уравнений в гильбертовых пространствах. С использованием операторного подхода были успешно получены оценки устойчивости решений, генерируемых этими схемами. В обзорной статье [14] представлены последние результаты по локальным и нелокальным кор- ректным задачам для дифференциальных и разностных уравнений второго порядка. Представ- лены результаты по устойчивости дифференциальных задач для уравнений второго порядка и разностных схем для приближённого решения задач второго порядка. Однако теория устойчивости задач для гиперболического уравнения с неограниченным запаз- дыванием изучена недостаточно. Лишь немногие исследователи интересуются подобными зада- чами. Ограниченные решения нелинейных одномерных гиперболических уравнений с ограничен- ным запаздыванием исследовались в более ранних работах [22, 34, 35, 37]. В работе [10] были установлены существование и единственность ограниченного решения нелинейных гиперболиче- ских дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием. В общем случае решения гиперболических дифференциальных уравнений с неограниченным запаздыванием не являются ограниченными [3]. В статье [19] мы изучили начальную задачу для гиперболического дифференциального урав- нения с неограниченным запаздыванием ⎧ 2 ( \ ⎪⎨ d v(t) 2 dv(t - ω) - dt2 + A v(t)= a + Av(t ω) dt + f (t), t > 0, (1.1) ⎪⎩v(t)= ϕ(t), -ω ::: t ::: 0 в гильбертовом пространстве H с самосопряженным положительно определённым оператором A, A ); δI, δ > 0. Здесь ϕ(t) - непрерывно дифференцируемая абстрактная функция, определённая на интервале [-ω, 0] со значениями в H, а f (t) - непрерывная абстрактная функция, определён- ная на интервале [0, ∞) со значениями в H. Функция v(t) называется решением задачи (1.1), если выполняются следующие условия: v(t) дважды непрерывно дифференцируема на интервале [0, ∞); элемент v(t) принадлежит D(A2) при всех t ∈ [0, ∞), а функция A2v(t) непрерывна на ин- тервале [0, ∞); v(t) удовлетворяет уравнению и начальным условиям (1.1). Установлена основная теорема об оценках устойчивости решения задачи (1.1). В качестве при- ложения получены оценки устойчивости решения четырёх задач для гиперболических уравнений с неограниченным запаздыванием. В статье [18] мы ввели разностную схему первого порядка точности ⎧ uk+1 - 2uk + uk-1 ⎪ + A2uk+1 = a г uk-N - uk-1-N l + Auk-N + fk, ⎪ τ 2 τ ⎪ k ⎨ fk = f (tk), tk = kτ, 1 ::: k < ∞, Nτ = ω, (1.2) u u k+1 ⎪(I + τ 2A2) - ⎪ - uk uk-1 = , k = nN, n = 0, 1,... , ⎪ τ τ ⎩uk = ϕk, ϕk = ϕ(tk ), tk = kτ, -N ::: k ::: 0 для приближённого решения задачи (1.1). Установлена теорема об оценках устойчивости реше- ний данной разностной схемы. На практике доказаны оценки устойчивости решения четырёх задач для гиперболических дифференциальных и разностных уравнений с запаздыванием. При- ведены численные результаты и пояснительные иллюстрации, подтверждающие обоснованность теоретических результатов. Мы заинтересованы в исследовании разностных схем высокого порядка точности, равномерно устойчивых относительно шага по времени для приближённых решений этой начальной задачи. Нам не удалось получить результаты такого типа для решения хорошо известной разностной схемы второго порядка точности, генерируемой оператором A2: ⎧ uk+1 - 2uk + uk-1 ⎪ + A2uk = a г uk-N - uk-1-N l + Auk-N + fk, ⎪ τ 2 τ ⎪ k ⎨ fk = f (tk), tk = kτ, 1 ::: k < ∞, Nτ = ω, u u k+1 ⎪(I + τ 2A2) - ⎪ 2uk = - 3uk-1 + uk-2 , k = nN, n = 1, 2,... , ⎪ τ τ ⎩uk = ϕ(tk ), tk = kτ, -N ::: k ::: 0. В настоящей работе построена разностная схема второго порядка точности для численного решения абстрактной задачи (1.1). Установлена теорема об устойчивости этой разностной схемы. В приложениях получены доказательства устойчивости разностных схем для четырёх линейных уравнений в частных производных с запаздыванием. Основная теорема об устойчивости разностной схемы второго порядка точности Для приближённого решения (1.1) рассмотрим разностную схему второго порядка точности ⎧ k+1 k k-1 2 г k+1-N k-1-N l ⎪ u - 2u + u 2 k τ 4 k+1 u - u k-N ⎪ τ 2 + A u ⎪ ⎪ + A u = a 4 + Au 2τ + fk, ⎪ fk = f (tk ), tk = kτ, 1 ::: k < ∞, Nτ = ω, ⎪⎨( ) uk+1 - uk k k-1 k-2 I + τ 2A2 = 3u - 4u + u + ⎪ ( τ + τ ⎪ ⎪ -A2uk + fk + a 2 ⎪ ⎪ 2τ ( 3uk-N - 4uk-1-N + uk-2-N 2τ \ \ + Auk-N , k = nN, n = 0, 1,... , ⎪⎩uk = ϕk, ϕk = ϕ(tk ), tk = kτ, -N ::: k ::: 0. (2.1) Теорема 2.1. Пусть ϕk ∈ D(A2), -N ::: k ::: 0 и fk ∈ D(A), k ); 1. Тогда для решения разностной задачи (2.1) справедливы следующие оценки устойчивости при n = 1, 2,... : max 1 1 + max u 1 k 1 A-1 - uk-1 1 ::: 1 1uk 1 1 1 1:::k:::nN 1 1H 1:::k:::nN 1 г τ 1H 1 n ϕk - ϕk-1 1 l n-i iN -1 1 -1 ::: (2b)n max ×ϕk × + max 1 1A-1 1 +2 (2b) A fj 1 τ, -N :::k:::0 1 H -N :::k:::0 1 τ 1H i=1 1 1H j=(i-1)N max 1 1 + max 1 uk - uk-1 1 ::: 1 1Auk 1 1 1 1 1:::k:::nN 1 1H 1:::k:::nN 1 τ 1H г n 1 ϕk - ϕk-1 1 l n-i iN -1 ::: (2b)n max ×Aϕk × + max 1 1 +2 (2b) ×fj × τ, -N :::k:::0 1 1H H -N :::k:::0 1 τ 1 i=1 H j=(i-1)N 1A2 k 1 1 k k-1 1 max 1 u 1 + max 1Au - u 1 ::: 1:::k:::nN 1 г ::: (2b)n 1H max 1 1:::k:::nN 1 1A2ϕk 1 τ + max 1 1H 1 1A 1 1 ϕk - ϕk-1 1 l n + 2 (2b) n-i iN -1 ×fj × τ + -N :::k:::0 1 1 1H -N :::k:::0 1 τ 1H i=1 H j=(i-1)N n ⎧ iN -1 iN -1 1 f f 1 ⎫ + (2b)n-i min ⎨2 ×Afj ×H 1 τ, 3 1f 1 (i-1)N +11H +3 1 j - 1 τ j-1 1 1 τ ⎬ . i=1 ⎩ j=(i-1)N j=(i-1)N +2 1 1H ⎭ Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить следующие оценки при n = 1, 2,... : max 1uk 1 ::: b max ×ϕk × + b max 1 1A-1 ϕ - ϕ 1 N -1 1 + 1A-1fj 1 τ, (2.2) 1 1 1:::k:::N 1 1H -N :::k:::0 H -N :::k:::0 1 1 τ k k-1 1 1H 1 1H j=1 1 k k-1 1 1 1 N -1 max 1A-1 u - u 1 1 ::: b max ×ϕk × + b max 1A-1 ϕk - ϕk-1 1 + 1A-1fj 1 τ, (2.3) 1 1:::k:::N 1 τ 1H -N :::k:::0 1 H -N :::k:::0 1 τ 1 ϕ - ϕ 1 1 1H 1H j=1 1 N -1 max 1 1 ::: b max ×Aϕk × + b max 1 1 + ×fj × τ, (2.4) 1Auk 1 1 k k-1 1:::k:::N 1 1H -N :::k:::0 H -N :::k:::0 1 τ 1 H 1H j=1 N -1 1 uk - uk-1 1 1 ϕk - ϕk 1 1 max 1 1 ::: b max ×Aϕk ×H + b max 1 - 1 + ×fj ×H τ, (2.5) 1 1H 1:::k:::N 1 τ 1 1 -N :::k:::0 -N :::k:::0 1 τ 1 1H j=1 1 1 1A2 k 1 1 2 1 + b max 1Aϕk - ϕk-1 1 + 1:::k:::N 1 1H -N :::k:::0 1 τ H -N :::k:::0 1 ⎧ 1 1H N -1 1 f f 1 N -1 ⎫ H + min ⎨2 ×f1× ⎩ 1 1 +2 1 j=2 1 j - j-1 1 τ 1H τ, ×Afj ×H j=1 τ ⎬ , (2.6) ⎭ 1 k k-1 1 1 1 max 1Au - u 1 1 ::: b max 1A2ϕ 1 + b max 1Aϕk - ϕk-1 1 + 1 1:::k:::N 1 τ 1H -N :::k:::0 1 k 1H ⎧ 1 -N :::k:::0 1 τ N -1 1 f f 1 1H 1 N -1 ⎫ H + + min ⎨×f1× ⎩ 1 1 j=2 1 1 j - j-1 1 τ 1H τ, ×Afj ×H j=1 τ ⎬ , (2.7) ⎭ max 1 1 ::: b max 1 1 + 1uk 1 1uk 1 nN +1:::k:::(n+1)N 1 1H (n-1)N +1:::k:::nN 1 1H 1 k k-1 1 (n+1)N -1 + b max 1 1A-1 u - u 1 + 1A-1f 1 τ, (2.8) 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1H 1 j=nN +1 j 1H 1 k k-1 1 max 1A-1 u - u 1 ::: b max 1uk 1 + 1 nN +1:::k:::(n+1)N 1 1 τ 1H 1 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 1H 1 k k-1 1 (n+1)N -1 + b max 1 1A-1 u - u 1 + 1A-1f 1 τ, (2.9) 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1H 1 j=nN +1 j 1H max 1 1 ::: b max 1Auk 1 + 1Auk 1 1 1 nN +1:::k:::(n+1)N 1 1H (n-1)N +1:::k:::nN 1 1H 1 uk - uk-1 1 (n+1)N -1 + b max 1 1 + ×fj ×H τ, (2.10) 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1 1H j=nN +1 1 uk - uk-1 1 1 1 max 1 1 ::: b max 1Auk 1 + 1 1H nN +1:::k:::(n+1)N 1 τ 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 1H 1 uk - uk-1 1 (n+1)N -1 + b max 1 1 + ×fj ×H τ, (2.11) 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1 1H j=nN +1 1A2 k1 1 1 1 k k-1 1 max 1 u 1 ::: b max 1A2uk1 + b max 1 1Au - u 1 + nN +1:::k:::(n+1)N 1 1H (n-1)N +1:::k:::nN 1 1 1H (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1H ⎧ (n+1)N -1 1 f f 1 (n+1)N -1 ⎫ H 1 1 + min ⎨2 ×fnN +1× ⎩ +2 1 j=nN +2 1 j - j-1 1 τ, τ 1H j=nN +1 ×Afj ×H τ ⎬ , (2.12) ⎭ 1 k k-1 1 1 k k-1 1 max 1Au - u 1 ::: b max 1 1A2uk 1 + b max 1Au - u 1 + 1 nN +1:::k:::(n+1)N 1 1 τ 1H 1 (n-1)N +1:::k:::nN 1 1 1 1H (n-1)N +1:::k:::nN 1 τ 1H ⎧ (n+1)N -1 1 f f 1 (n+1)N -1 ⎫ H 1 + min ⎨×fnN +1× + ⎩ 1 1 j=nN +2 1 j - j-1 1 τ, τ 1H j=nN +1 ×Afj ×H τ ⎬ . (2.13) ⎭ Мы основываем доказательство этих оценок на методах, разработанных в [19], а также на фор- мулах nN unN +1 = (I + τ 2A2)-1 (I + 1 τ 2A2\ unN + τ (I + τ 2A2)-1 ( 3u 2 - 4unN -1 2τ + unN -2 \ + τ ( + 2 fnN + a ( 3u(n-1)N - 4u(n-1)N -1 + u(n-1)N -2 \ 2τ \ + Au(n-1)N , uk = 1 (Rk-nN -1 (I iτ A \ ( iτ A \\ + Rk-nN -1 I + unN + 2 - 2 2 nN +1 nN + (2iA)-1 (R -1Rk-nN -1 - R-1R k-nN -1\ u - u + τ k-1 + j=nN +1 ( (2iA)-1 Rk-j R k-j \ (a г uj-N +1 uj-1-N 2τ + Au j-N l \1 + fj τ (2.14) для всех nN +2 ::: k ::: (n + 1) N, n = 0, 1,... , где uk = ϕk, -N ::: k ::: 0, для решения разностной задачи (2.1) и оценок ×R×H→H ::: 1, ×τ AR×H→H ::: 1, ×R ×H→H ::: 1, ×τA R ×H→H ::: 1, ×R R-1×H 1 1 → → H ::: 1, ×R R -1×H H 1 ::: 1, 1 1(I ± iτ A)-11 H→H ::: 1, 1τ A(I ± iτ A)-11 H→H ::: 1. Здесь R и R - операторные функции, определяемые формулами 1 -1 ( τ 2 2\- ( τ 2 2\ Ru = Теорема 2.1 доказана. I - iτ A - 2 A u, R u = I + iτ A - 2 A u. Общность данного подхода позволяет рассматривать широкий класс локальных и нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений с неограниченным запаздыванием по времени. В частности, он позволяет установить теоремы об устойчивости для ряда задач с неограниченным запаздыванием. Приложения Сначала рассмотрим начальную задачу для гиперболического дифференциального уравнения с неограниченным запаздыванием и нелокальными условиями относительно пространственной переменной x: ⎧ ( ∂ ⎪u (t, x)+ - ( a(x) ∂· \ \2 + σ· u(t, x)= ⎪ tt ⎪ ∂x ∂x ⎪ ⎨ ⎪ = a ⎪ ( ∂ ut(t - ω, x) - ∂x ( a(x) ∂u (t - ω, x)\ ∂x \ + σ · u (t - ω, x) + f (t, x), 0 <t< ∞, x ∈ (0, l) , ⎪u(t, x)= ϕ(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ [0, l] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩u(t, 0) = u(t, l), ux(t, 0) = ux(t, l), 0 ::: t< ∞, (3.1) где σ > 0 и a(x), ϕ(t, x) и f (t, x) - заданные гладкие функции, удовлетворяющие всем условиям совместности, гарантирующим гладкое решение задачи (3.1). Будем предполагать, что a(x) ); a > 0 и a(l)= a(0). Дискретизация задачи (3.1) осуществляется в два этапа. Дифференциальному оператору A, h порождённому задачей (3.1), сопоставляем оператор Ax, определяемый по формуле Ax K-1 hϕh(x)= {-(a(x)ϕx)x,r + σϕr (x)}1 K и действующий в пространстве сеточных функций ϕh(x) = {ϕr }0 , удовлетворяющих условиям h - h ϕ0 = ϕK, ϕ1-ϕ0 = ϕK -ϕK 1. Известно, что Ax - самосопряженный положительно определённый оператор в L2h = L2([0, l]h). С помощью Ax приходим к начальной задаче ⎧ d2u (t, x) ( duh(t - ω, x) \ ⎨ h x 2uh(t, x)= a + Axuh(t - ω, x) + fh(t, x), 0 <t < ∞, x ∈ [0, l]h, dt2 + (Ah) dt h ⎩uh(t, x)= ϕh(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ [0, l]h. (3.2) На втором этапе мы заменяем задачу (3.2) разностной схемой второго порядка (2.1) ⎧ uk+1 k k-1 2 h (x) - 2uh(x)+ uh (x) ⎪ ( x)2 k τ ( x)4 k+1 ⎪ τ 2 + Ah uh(x)+ 4 Ah uh (x)= ⎪ ( uk+1-N k-N -1 \ ⎪ h x k-N h (x) - u ⎪ (x) = a + A u (x) ⎪ 2τ h h ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + fk,h(x), fk,h(x)= fh(tk, x), tk = kτ, 1 ::: k < ∞, Nτ = ω, x ∈ [0, l]h; ⎨ k+1 k k k-1 k-2 ( 2( x)2\ uh (x) - uh(x) 3uh(x) - 4uh (x)+ uh (x) h I + τ A ⎪ ⎪ г = ( τ k-N + 2τ k-1-N k-2-N \l ⎪ x k h h h x k-N ⎪ τ ( )2 3u (x) - 4u (x)+ u (x) ⎪ + 2 - Ah ⎪ ⎪ uh(x)+ fk,h(x)+ a + A u (x) , 2τ h h ⎪ ⎪ ⎪⎩uk k k k = nN, n = 0, 1, 2,... ; h(x)= ϕh(x), ϕh(x)= ϕh(tk, x), tk = kτ, -N ::: k ::: 0, x ∈ [0, l]h. (3.3) Теорема 2.1 даёт следующий результат об устойчивости. Теорема 3.1. Для решения разностной задачи (3.3) справедливы следующие оценки устой- чивости при n = 1, 2,... : max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1:::k:::nN 1 h1L2h 1:::k:::nN 1 τ 1L2h г 1 1 1 ϕ - ϕ 1 l n iN -1 1 1 1 ::: M (2b)n max 1ϕk,h1 + max 1 k,h k-1,h 1 +2 (2b)n-i 1fj,h1 τ , -N :::k:::01 1L2h -N :::k:::01 τ 1L2h i=1 j=(i- 1 1)N 1L2h max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 2 1:::k:::nN 1 τ 1L2h г 1 1 1 ϕ - ϕ 1 l n iN -1 1 1 1 ::: M (2b)n max 1ϕk,h1 1W + max 1 k,h k-1,h 1 +2 (2b)n-i 1fj,h1 τ , -N :::k:::01 2h 2 -N :::k:::01 τ 1L2h i=1 1 j=(i-1)N 1L2h max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 4 1W 2h 1:::k:::nN 1 τ 2 ϕ - ϕ ::: M (2b)n max 1ϕk,h1 + max 1 1 l + 1 1W -N :::k:::01 1 4 2h - 1 1W N :::k:::01 k,h k-1,h 1 τ 2 2h n iN -1 1 1 1 1 iN -1 1 f - f 1 11 + (2b)n-i min 2 1W 1fj,h1 τ, 31f(i 1)N +1,h1 +3 1 j,h j-1,h 1 τ . i=1 1 2 1 - j=(i-1)N 2h 1L2h 1 τ j=(i-1)N +2 1L2h Здесь и далее M не зависит от h и τ. Во-вторых, мы рассматриваем начально-краевую задачу для гиперболического функциональ- но-дифференциального уравнения с неограниченным запаздыванием и инволюцией ⎧utt(t, x) - (a(x)ux (t, x))x + σu(t, x) - β (a(-x)ux (t, -x))x = ⎪ ⎨⎪ = b(x)ut(t - ω, x)+ c(x)ux (t - ω, x)+ f (t, x), 0 <t< ∞, x ∈ (-l, l) , (3.4) ⎪ u(t, x)= ϕ(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ [-l, l] , ⎪ ⎩u(t, -l)= u(t, l)= 0, 0 ::: t< ∞, где δ > 0 и a(x), b(x), c(x), ϕ(t, x) и f (t, x) - заданные гладкие функции, удовлетворяющие всем условиям совместности, что гарантирует существование гладкого решения u(t, x) для задачи (3.4). Будем считать, что a ); a (x)= a (-x) ); σ > 0 и σ - a |β| ); 0. Дискретизация задачи (3.4) осуществляется в два этапа. Дифференциальному оператору A, h порождённому задачей (3.4), сопоставляем разностный оператор Ax, действующий по формуле Ax K-1 hϕh(x)= {-(a(x)ϕx(x))x,r - β(a(-x)ϕx(-x))x,r + δϕr (x)}-K+1 (3.5) h h }-K -K K в пространстве сеточных функций ϕh(x)= {ϕr K , удовлетворяющих условиям ϕ = ϕ = 0. Известно, что Ax - самосопряженный положительно определённый оператор в L2h = L2([-l, l]h) (см. [1]). С помощью Ax приходим к начальной задаче ⎧ 2 ⎨ d uh(t, x) x duh(t - ω, x) dt2 + Ahuh(t, x)= bh(x) dt + ch(x)ux,h(t, x)+ fh(t, x), 0 <t< ∞, x ∈ [-l, l]h, ⎩uh(t, x)= ϕh(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ [-l, l]h. (3.6) На втором этапе мы заменяем задачу (3.6) разностной схемой второго порядка точности (2.1): ⎧ uk+1(x) - 2uk (x)+ uk-1(x) ( )2 τ 2 ( )4 h h h τ ⎪ 2 ⎪ ( ⎪ A uk A h + h h x (x)+ x 4 h \ uk+1(x)= ⎪ uk+1-N (x) - uk-N -1(x) ⎪ = a h h + Axuk-N ⎪ 2τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ k+1 k h h (x) k k-1 + fk,h(x), fk,h(x)= fh(tk, x), tk = kτ, 1 ::: k < ∞, Nτ = ω, x ∈ [-l, l]h; k-2 ( 2( x)2\ uh (x) - uh(x) 3uh(x) - 4uh (x)+ uh (x) I + τ A ⎪ h ⎪ г = ( τ k-N + 2τ k-1-N k-2-N \l ⎪ x k h h h x k-N ⎪ τ ( )2 3u (x) - 4u (x)+ u (x) ⎪ + 2 - Ah ⎪ ⎪ uh(x)+ fk,h(x)+ a + A u (x) , 2τ h h ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩uk k k k = nN, n = 0, 1,... ; h(x)= ϕh(x), ϕh(x)= ϕh(tk, x), tk = kτ, -N ::: k ::: 0, x ∈ [-l, l]h. (3.7) Теорема 2.1 даёт следующий результат об устойчивости. Теорема 3.2. Для решения разностной задачи (3.7) справедливы следующие оценки устой- чивости при n = 1, 2,... : 1 k k-1 1 max 1 1 + max 1 uh - uh 1 ::: 1uk 1 1 1 1:::k:::nN 1 h1L2h 1:::k:::nN 1 τ 1 ( г 1 1L2h 1 ϕk,h - ϕk 1,h 1 l ::: M (2b)n max ×ϕk,h× + max 1 - 1 + -N :::k:::0 1 L2h -N :::k:::0 1 τ n 1 1L2h iN -1 \ +2 (2b)n-i i=1 j=(i-1)N ×fj,h×L2h τ , (3.8) 1 k k-1 1 max 1 1 + max 1 uh - uh 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 1 1 1:::k:::nN 1 τ ( г 1 1L2h 1 ϕk,h - ϕk 1,h 1 l ::: M (2b)n max ×ϕk,h× 1 + max 1 - 1 + -N :::k:::0 1 W2h -N :::k:::0 1 τ n 1 1L2h iN -1 \ +2 (2b)n-i i=1 j=(i-1)N ×fj,h×L2h τ , (3.9) 1 k k-1 1 max 1 1 + max 1 uh - uh 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 2 1W 1 1 1:::k:::nN 1 τ 1 2h ( г 1 ϕk,h - ϕk 1,h 1 l ::: M (2b)n max ×ϕk,h× 2 + max 1 - 1 + n ( iN -1 -N :::k:::0 1 W2h -N :::k:::0 1 1W τ iN -1 1 1 2h 1 fj,h - fj 1,h 1 1\ + (2b)n-i min i=1 2 j=(i-1)N 2h ×fj,h×W 1 1 τ, 3 1f(i- 1 1)N +1,h1L2h +3 1 1 j=(i-1)N +2 1 1 - 1 τ τ 1L2h . (3.10) В-третьих, пусть Ω ⊂ Rm - ограниченная открытая область с гладкой границей S, Ω = Ω ∪ S. В [0, ∞) × Ω рассматривается начально-краевая задача для многомерного гиперболического дифференциального уравнения с неограниченным запаздыванием ⎧ ( m ( ∂ ( ∂· \ \\2 ⎪utt(t, x)+ ⎪ ⎪ ⎪ r=1 - ∂xr ar (x) ∂xr + σ· u(t, x)= l ⎪ г ( \ + σu(t ω, x)+ u (t ω, x) = f (t, x), ∂ ⎪ = a - - ∂u(t ω, x) a (x) - - ⎨⎪ ∂xr r ⎪ ⎪ ⎪ ∂xr t 0 <t< ∞, x = (x1,... , xm) ∈ Ω, (3.11) ⎪u(t, x)= ϕ(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ Ω, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩u(t, x)= 0, 0 ::: t< ∞, x ∈ S, где σ > 0, a ar (x), ϕ(t, x) и f (t, x) - заданные гладкие функции, удовлетворяющие всем условиям совместности, гарантирующим, что задача (3.11) имеет гладкое решение u(t, x). Будем полагать, что ar (x) ); a0 > 0. Дискретизация задачи (3.11) проводится в два этапа. На первом этапе, здесь и далее, мы определяем сеточное пространство Ωh = {x = xr = (h1j1, ··· , hmjm) , j = (j1, ··· , jm) , 0 ::: jr ::: Nr, Nrhr = 1, r = 1,... , m} , Ωh = Ωh ∩ Ω, Sh = Ωh ∩ S. Введем банаховы пространства L2h = L2(Ωh), W 1 = W 1(Ωh) и W 2 = W 2(Ωh) сеточных функций 2h 2 2h 2 ϕh(x)= {ϕ(h1r1,... , hmrm)} , определённых на Ωh, снабжённые нормами ⎛ ×ϕh×L2h = ⎝ |ϕh(x)|2 ⎞1/2 h1 ·· · hm⎠ , x∈Ωh 2h ×ϕh×W 1 ⎛ = ×ϕh×L2h + ⎝ m 2 |ϕh,xr,jr | ⎞1/2 h1 ·· · hm⎠ и ⎛ ×ϕh×W2h = ×ϕh×L2h + ⎝ x∈Ωh r=1 m 2 (ϕh)xrxr,jr ⎞1/2 h1 ·· · hm⎠ , x∈Ωhr=1 h соответственно. Дифференциальному оператору A, порождённому задачей (3.11), сопоставляем разностный оператор Ax, действующий по формуле Ax huh(x)= - m xr,h r r (ar (x)u )x ,j (3.12) r=1 в пространстве сеточных функций uh(x), удовлетворяющих условиям uh(x) = 0 (∀x ∈ Sh). Известно, что Ax - самосопряженный положительно определённый оператор в L2h. С помощью Ax h приходим к начальной задаче ⎧ d2uh(t, x) h ( duh(t - ω, x) \ ⎪ ⎪ dt2 ⎨ h h h - + (Ax)2 uh(t, x)= a + Axu (t ω, x) dt + fh(t, x), 0 <t< ∞, x ∈ Ωh, ⎪ ⎪ (3.13) ⎩uh(t, x)= ϕh(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ Ωh. На втором этапе мы заменяем задачу (3.13) разностной схемой второго порядка точности (2.1) ⎧ uk+1(x) - 2uk (x)+ uk-1(x) 2 τ 2 4 h h h h τ ⎪ 2 ⎪ ( ⎪ + (Ax) h uk (x)+ 4 h (Ax) h uk+1(x)= ⎪ uk+1-N (x) - uk-N -1(x) \ ⎪= a h h + Axuk-N ⎪ 2τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ h h (x) + fk,h(x), fk,h(x)= fh(tk, x), tk = kτ, 1 ::: k < ∞,N τ = ω, x ∈ Ωh, ⎨⎪ k+1 k k k-1 k-2 ( 2 x 2\ uh (x) - uh(x) 3uh(x) - 4uh (x)+ uh (x) I + τ ⎪ (Ah) τ = 2τ + ⎪ ( ( k-N k-1-N k-2-N \ \ ⎪ x 2 k h h h x k-N τ 3u ⎪ (x) - 4u (x)+ u (x) ⎪ + 2 - (Ah) ⎪ ⎪ uh(x)+ fk,h(x)+ a 2τ + Ahuh (x) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩uk k k k = nN, n = 0, 1,... , h(x)= ϕh(x), ϕh(x)= ϕh(tk, x), tk = kτ, -N ::: k ::: 0, x ∈ Ωh. (3.14) Теорема 2.1 даёт следующий результат об устойчивости. Теорема 3.3. Для решения разностной задачи (3.14) справедливы следующие оценки устой- чивости при n = 1, 2,... : max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1:::k:::nN 1 h1L2h 1:::k:::nN 1 τ 1L2h n iN -1 1 1 J 1 1 1 ϕ - ϕ 1 l ::: M (2b)n max 1ϕk,h1 + max 1 k,h k-1,h 1 +2 (2b)n-i 1fj,h1 τ , -N :::k:::01 1L2h -N :::k:::01 τ 1L2h i=1 j=(i- 1 1)N 1L2h max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 2 1:::k:::nN 1 τ 1L2h n iN -1 1 1 J 1 1 1 ϕ - ϕ 1 l ::: M (2b)n max 1W 1ϕk,h1 + max 1 k,h k-1,h 1 +2 (2b)n-i 1fj,h1 τ , -N :::k:::01 2h 2 -N :::k:::01 τ 1L2h i=1 1 j=(i-1)N 1L2h max 1 1 + max h - h 1 uk uk-1 1 ::: 1uk 1 1 1 1W 2h 1:::k:::nN 1 h 4 1W 2h 1:::k:::nN 1 τ 2 J 1 1 1 ϕ - ϕ 1 l ::: M (2b)n max 1ϕk,h1 1W 1W + max 1 k,h k-1,h 1 + n iN -1 -N :::k:::01 2h 4 -N :::k:::01 1 1 τ 2 2h iN -1 1 f - f 1 + (2b)n-i minJ 1fj,h1 τ, 3 f 1 +3 1 j,h j-1,h 1 τ . i=1 2 1 1 1W 1 1 2 j=(i-1)N 2h 1 (i-1)N +1,h 1L2h 1 τ j=(i-1)N +2 1L2h h Доказательство теоремы 3.3 основано на абстрактной теореме 2.1 и свойствах симметрии раз- ностного оператора Ax, определяемого формулой (3.12), а также на теореме о коэрцитивном неравенстве для решения эллиптической задачи в L2h (см. [8]). В-четвертых, рассмотрим начально-краевую задачу ⎧ ( m ( ( \ \\2 ⎪u (t, x)+ ), - ∂ · ∂ a (x) + σ· u(t, x)= ⎪ tt ⎪ r=1 ∂xr r ∂xr ⎪ г ( \ l - ∂ ⎪ = a - ∂u(t ω, x) a (x) + σu(t - ω, x)+ u (t - ω, x) + f (t, x), ⎨⎪ ∂xr r ⎪ ⎪ ∂xr t 0 <t< ∞, x = (x1,... , xm) ∈ Ω, (3.15) ⎪u(t, x)= ϕ(t, x), -ω ::: t ::: 0, x ∈ Ω, ⎪ ∂ ⎪ ⎪⎩ ∂-→p u(t, x)= 0, x ∈ S, 0 ::: t< ∞ для многомерных дифференциальных уравнений гиперболического типа с запаздыванием. Дискретизация задачи (3.15) осуществляется в два этапа. Дифференциальному оператору A, h порождённому задачей (3.15), сопоставляем разностный оператор Ax, действующий по формуле Ax huh(x)= - m h,xr xr,jr (ar (x)u ) + σuh(x) (3.16) r=1 в пространстве сеточных функций uh(x), удовлетворяющих условиям Dhuh(x) = 0 для всех ∂ x x ∈ Sh. Здесь Dh - аппроксимация оператора ∂-→p . С помощью Ah приходим к начальной задаче (3.13). На втором шаге, заменяя задачу (3.13) разностной схемой второго порядка точно- сти (2.1), получаем разностную схему (3.14). Следовательно, из теоремы 3.3 следует оценка устой- чивости решения этой разностной задачи. Доказательство этой оценки основано на абстрактной h теореме 2.1 и свойствах симметрии оператора симметрии Ax, определяемого формулой (3.12), а также на теореме о коэрцитивном неравенстве для решения эллиптической задачи в L2h (см. [8]). Заключение В настоящей работе установлена основная теорема об устойчивости разностной схемы второ- го порядка точности для численного решения абстрактной задачи для гиперболического уравне- ния с неограниченным запаздыванием. В приложениях получена устойчивость разностных схем для четырёх линейных гиперболических дифференциальных уравнений с запаздыванием. Интерес представляет исследование устойчивости высокоточных разностных схем, построен- ных на основе целочисленной степени пространственного оператора равномерно по размеру шага по времени для приближённых решений этой начальной задачи для гиперболического уравнения с неограниченным запаздыванием, в котором устойчивость установлена без каких-либо предпо- ложений относительно шагов сетки τ и h. Требуется исследовать равномерные двухшаговые разностные схемы и асимптотические формулы для решения задачи о возмущении начальных значений ⎧ 2 ( \ ⎨ε2 d v(t) 2 dv(t - ω) - dt2 + A v(t)= a + Av(t ω) dt + f (t), t > 0, ⎩u(t)= ϕ(t), -w ::: t ::: 0 для линейного гиперболического уравнения с запаздыванием в гильбертовом пространстве H с самосопряжённым положительно определённым оператором A и с параметром ε ∈ (0, ∞) , умно- жающим член старшего порядка [13]. Требуется исследовать абсолютно устойчивые разностные схемы высокого порядка точности для численного решения начальной задачи ⎧ 2 ⎪⎨vtt(t)dt + A v(t)dt = a (dv(t - ω)+ Av(t - ω)dt)+ f (t)dwt, wt = √tξ, ξ ∈ N (0, 1), t > 0, ⎪⎩v(t)= 0, -ω ::: t ::: 0 (3.17) для линейного стохастического гиперболического уравнения с запаздыванием по времени в гильбертовом пространстве H с самосопряжённым положительно определённым оператором A. Здесь wt - стандартный винеровский процесс, заданный на вероятностном пространстве (Q, F, P ) (см. [11]).

About the authors

A. Ashyralyev

Bahcesehir University; RUDN University; Institute of Mathematics and Mathematical Modeling

Author for correspondence.
Email: allaberen.ashyralyev@bau.edu.tr
ORCID iD: 0000-0002-4153-6624
Scopus Author ID: 6602401828
ResearcherId: K-4377-2017
Istanbul, Turkiye; Moscow, Russia; Almaty, Kazakhstan

References

Supplementary files