The boundary regimes method in solving of the initial-boundary value problem for the wave equation on a geometrical graph

Full Text

1. Введение В настоящей статье осуществлён один из возможных подходов к описанию решения начальнокраевой задачи для волнового уравнения на геометрическом графе Γ при условиях трансмиссии вида \ h∈D(a) h α(a, h; t)u+(a, t)= k(a)u(a, t)+ κ(a)ut(a, t)+ m(a)utt(a, t), a ∈ J, t > 0. (1.1) h h Здесь u обозначает вещественное решение названного уравнения, J - множество внутренних вершин Γ, D(a) - множество единичных векторов, допустимых в точке a относительно Γ, u+(a, t) - правую производную функции u( ·, t) в точке a по направлению h, ut(a, t) и utt(a, t) - первую и вторую производные по временн´ой переменной t от функции u(a, · ); вещественные числа k(a), κ(a) и m(a) для каждой вершины a фиксированы, как и вещественные функции α(a, h; · ) - для каждой пары (a; h). Заметим, что существование правых производных u+(a, t) влечёт непрерывность u( ·, t) в точке a. image © В. Л. Прядиев, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 287 288 В. Л. ПРЯДИЕВ В случае, когда k(a)= 0= κ(a) = m(a) и α(a, h; · ) ≡ const для всех a ∈ J и h ∈ D(a), исследованию такой задачи на топологически произвольном Γ посвящены работы [2, 4, 6, 7], в которых получены разные по форме аналоги формулы Даламбера. При этом в [7] в качестве промежуточного этапа был использован метод Фурье, а в [2, 4, 6] метод Фурье не применялся, а использовалось правило прохождения бегущей волны через узел, представляющее собой, по сути, принцип Гюйгенса. В случае же, когда α(a, h; · ) /≡ const или κ(a) /=0 хотя бы для одной a ∈ J, во-первых, метод Фурье неприменим, а во-вторых, отсутствует принцип Гюйгенса. Эти обстоятельства тем более имеют место, если вдобавок хотя бы одно из чисел k(a) или m(a) отлично от нуля. В этом случае подход, который мы назовём методом граничных режимов, был успешно применён в ситуации, когда α(a, h; · ) ≡ 1, m(a)= 0, и ровно один из коэффициентов κ(a) и k(a) положителен, а другой равен 0 (см. [1, 5]). Метод граничных режимов, если кратко, основан на трактовке функции u(a, · ) для каждой a ∈ J как граничного режима для решений волновых уравнений на примыкающих рёбрах. Этот метод реализован в настоящей статье для любых функций α(a, h; · ) из C1[0; +∞) и чисел k(a), κ(a) и m(a), удовлетворяющих приводимому ниже условию (4.1). Заметим: в случаях, рассмотренных в [1, 5] и имеющих ясную физическую интерпретацию, (4.1) выполняется. 2. Основной объект исследования Пусть Γ - связный геометрический граф из Rn, n ∈ N, понимаемый в соответствии с монографией [3] (см. там п. 3.1.1, первый абзац). Это означает, что Γ есть связное объединение конечного числа интервалов вида (a; b)= {a + λ(b - a) 0 < λ < 1 , называемых рёбрами, и некоторого подimage image image множества J множества всех концов этих интервалов. О рёбрах дополнительно предполагается, что γ1 ∩ γ2 = ∅ для любых различных рёбер γ1 и γ2; здесь и далее: если M ⊂ Rn, то M - замыкание M по евклидовой метрике Rn. Точки из J называются внутренними вершинами Γ. Концы рёбер, не вошедшие в J (а значит, и в Γ), называются граничными вершинами Γ, а их множество обозначается символом ∂Γ. Объединение всех рёбер обозначается R(Γ). Отметим, что Γ= Γ ∪ ∂Γ и Γ ∩ ∂Γ= ∅. Для определения производной от функции, заданной на Γ или на R(Γ), все рёбра Γ ориентируются, а именно, каждому γ = (a, b), являющемуся ребром Γ, ставится в соответствие один из двух векторов единичной длины, коллинеарных вектору b - a. Этот вектор обозначим через hγ . Если вещественная функция w определена в точках ребра γ и x ∈ γ, то производной функции w в точке x называется число w∗(x) = lim ε-1[w(x + εhγ ) - w(x)], т. е. производная w в точке x ε→0 по вектору hγ . Ясно, что w∗∗(x) от выбора ориентации γ (от выбора вектора hγ ) не зависит. Если вещественная функция w определена в вершине c и на примыкающих к c рёбрах, а D(c)= {h ∈ Rn |h| =1 и (c + εh) ∈ Γ для достаточно малых ε > 0 image h § множество допустимых в точке c относительно Γ единичных векторов, то символом w+(c) h обозначим правую производную w в точке c по вектору h. Если существуют w+(c + εh) для достаточно малых ε 0, то w++(c) будет обозначать правую производную от функции w+ в hh h точке c по вектору h. h u++ Если вещественная функция u определена в точках множества R(Γ) × [0; +∞), то ux(x, t) и uxx(x, t) будет обозначать, соответственно, первую и вторую производные функции u( ·, t) в точке x. Если к тому же u определена в точках множества Γ × [0; +∞), и c - вершина Γ, то u+(c, t) и hh (c, t) будут обозначать, соответственно, первую и вторую правые производные u( ·, t) в вершине c по вектору h ∈ D(c). Наконец, для вещественной функции u, определённой в точках множества R(Γ) × (0; +∞) или в точках множества Γ × (0; +∞), символы ut(x, t) и utt(x, t) будут обозначать, соответственно, первую и вторую производные u(x, · ) в точке t. Основной объект исследования в данной работе - это начально-краевая задача для волнового уравнения uxx(x, t)= utt(x, t), x ∈ R(Γ), t > 0, (2.1) при условиях трансмиссии (1.1), начальных условиях image u(x, 0) = ϕ(x) и ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ Γ, (2.2) МЕТОД ГРАНИЧНЫХ РЕЖИМОВ В РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 289 и краевых условиях u(b, t)= 0, b ∈ ∂Γ, t 0; (2.3) image здесь u : Γ × [0; +∞) → R - искомая функция, а вещественные числа k(a), κ(a) и m(a) и вещественные функции α(a, h; · ), ϕ и ψ заданы. Всюду далее J /= ∅, так как при J = ∅ задача (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) есть начально-краевая задача для волнового уравнения на конечном интервале с однородными краевыми условиями первого рода, имеющая хорошо известные эффективные представления решения, и исследование которой поэтому в настоящей статье не предполагается. Решение u задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) понимается классически, а именно, предполагается: image 1. u, ut и utt непрерывны на Γ × [0; +∞), γ [0;+ ) 2. для любого ребра γ выполнено u × ∞ image ∈ C2 (γ × [0; +∞)) . Из выполнения этих требований и уравнения (2.1) вытекает, что uxx( ·, t) при любом t 0, вопервых, непрерывна на R(Γ), а во-вторых, доопределяема по непрерывности на Γ. Но тогда для любой c ∈ J ∪ ∂Γ и любого h ∈ D(c) существуют u+(c, t) и u++(c, t) (при всех t 0). Беря теперь h hh в (2.1) x = c + εh, где c ∈ J ∪ ∂Γ, h ∈ D(c), а ε 0 достаточно мало, и устремляя ε к 0, получим: u++ hh (c, t)= utt(c, t), c ∈ J ∪ ∂Γ, h ∈ D(c), t 0. (2.4) Перейдём к согласованию начальных условий (2.2) с уравнением (2.1), краевыми условиями (2.3) и условиями трансмиссии (1.1). Из требований к регулярности решения задаimage image чи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) следует, что ϕ ∈ C (Γ) и ψ ∈ C (Γ) , а также, что для любого ребра γ image γ выполнены ϕ image image γ ∈ C2 (γ) и ψ ∈ C1 (γ) . Кроме того, беря в (2.4) t = 0, получим ϕ++ ++ hh (c)= ϕηη (c)= utt(c, 0), c ∈ J ∪ ∂Γ, h ∈ D(c), η ∈ D(c). (2.5) Из (2.3) следует, что для любой b ∈ ∂Γ не только u(b, · ) ≡ 0, но и ut(b, · ) ≡ 0 ≡ utt(b, · ), что влечёт и, с учётом ещё и (2.5), ϕ(b)=0= ψ(b), b ∈ ∂Γ, (2.6) ϕ++ hh (b)= 0, b ∈ ∂Γ, h ∈ D(b). (2.7) Наконец, подстановка t = 0+ в условия трансмиссии (1.1) даёт, в сочетании с (2.2) и (2.5), равенства \ α(a, h; 0)ϕ+ (a)= k(a)ϕ(a)+ κ(a)ψ(a)+ m(a)ϕ++(a), a ∈ J, η ∈ D(a). (2.8) h ηη h∈D(a) Если m(a) = 0, то, сначала дифференцируя по t левую и правую части в условии трансмиссии (1.1) и затем полагая там t = 0+, получим, вдобавок к (2.8): \ fα(a, h; 0)ψ+ (a)+ α∗(a, h; 0)ϕ+ (a)l = k(a)ψ(a)+ κ(a)ϕ++(a), a ∈ J, η ∈ D(a), (2.9) h h ηη h∈D(a) § если, например, дополнительно α(a, h; · ) ∈ C1[0; +∞) при a ∈ J и h ∈ D(a). Все вышеперечисленные условия на ϕ и ψ, а также включения α(a, h; · ) ∈ C1[0; +∞), a ∈ J, h ∈ D(a), ниже предполагаются выполненными. В следующих двух разделах, начиная с леммы 3.1, мы рассматриваем только случай, когда ∂Γ= ∅, а в пятом разделе покажем, как случай ∂Γ /= ∅ можно свести к случаю ∂Γ= ∅. 3. Дифференциальное уравнение с запаздываниями, сводящее в случае ∂Γ= ∅ задачу (2.1), (1.1), (2.2) к набору задач о распространении граничных режимов Вершины a и b из J ∪ ∂Γ назовём смежными, если интервал (a; b) является ребром Γ. Если a и b смежны, то будем писать: a ↔ b. Через h(a, b) обозначается далее вектор |b - a|-1 · (b - a). Поскольку для любой a ∈ J соответствие b 1→ h(a, b) взаимно-однозначно отображает {b b ↔ a} в D(a), то суммирование по всем h ∈ D(a) (см., например, (1.1), (2.8) и (2.9)) можно заменить на 290 В. Л. ПРЯДИЕВ суммирование по всем b, смежным с a; а именно, если a ∈ J и для любого h ∈ D(a) определено число β(a, h; t) (здесь t рассматривается как параметр), то \ h∈D(a) β(a, h; t)= \ b | b↔a β(a, h(a, b); t). (3.1) Этим переходом в суммировании, как в одну, так и в другую сторону, мы будем постоянно пользоваться. a,b Ниже для a ↔ b определим ϕ◦ a,b (y)= ϕ (a + y · h(a, b)) и ψ◦ (y)= ψ (a + y · h(a, b)) , где в обоих случаях 0 y |b - a|, и рассмотрим начально-краевую задачу ⎧ ⎨ zyy (y, t)= ztt(y, t), 0 < y < |b - a|, t > 0, z(0, t)= μa(t), z(|b - a|, t)= μb(t), t 0, (3.2) a,b ⎩ z(y, 0) = ϕ◦ a,b (y), zt(y, 0) = ψ◦ (y), 0 y |b - a|, в которой вещественные функции μa и μb заданы. Классическое решение задачи (3.2) обозначим v( ·, ·; a, b). γ Замечание 3.1. Так как уж´е ϕ image γ ∈ C2 (γ) и ψ image ∈ C1 (γ) для любого ребра γ, то для существования v( ·, ·; a, b) необходимо и достаточно выполнения ещё следующих условий согласования: μa ∈ C2[0; +∞), μb ∈ C2[0; +∞), μa(0) = ϕ(a), μb(0) = ϕ(b), μ∗ (0) = ψ(a), μ∗ (0) = ψ(b), μa(0) = (ϕa,b) (0), μb (0) = (ϕb,a) a b (0). При этом в силу (2.5) ∗∗ ◦ ∗∗ ∗∗ ◦ ∗∗ (ϕ ◦ a,b ηη )∗∗(0) = ϕ++(a), b ↔ a, η ∈ D(a). (3.3) Лемма 3.1. Пусть ∂Γ= ∅, и пусть 1. набор μ = (μa)a∈J вещественных функций, определённых на [0; +∞), таков, что для любой пары смежных вершин a и b существует v( ·, ·; a, b), причём для любой a ∈ J \ α(a, h(a, b); t)vy (0, t; a, b)= k(a)μa(t)+ κ(a)μ∗ (t)+ m(a)μ∗∗(t), t 0. (3.4) a a b | b↔a Тогда функция u, определяемая равенствами u(x, t)= v(|x - a|, t; a, b), a ↔ b, x ∈ [a; b], t 0, (3.5) является решением задачи (2.1), (1.1), (2.2). Верно и обратное: если ∂Γ= ∅, а функция u является решением задачи (2.1), (1.1), (2.2), то для набора μ = (u(a, · ))a∈J выполнено свойство (A), причём если a ↔ b, то v(y, t; a, b)= u(a + y · h(a, b), t) при всех y ∈ [0; |b - a|] и t 0. Доказательство. Доказательство осуществляется непосредственной проверкой. image Следствие 3.1. В случае ∂Γ = ∅ единственность решения задачи (2.1), (1.1), (2.2) равносильна единственности набора μ, удовлетворяющего условию (A) леммы 3.1. Переформулируем теперь условие (A) леммы 3.1, исключая из (3.4) vy (0, t; a, b) за счёт возможности выразить v( ·, ·; a, b) через ϕ, ψ, μa и μb. Зафиксируем пока смежные вершины a и b и договоримся при такой фиксации использовать α вместо |b - a|, а ξ - как общее обозначение для функций μa и μb. Обозначим через ϕa,b нечётную и 2α-периодическую функцию, определённую на R \ (αZ) (Z - множество всех целых чисел) и a,b совпадающую с ϕ◦ a,b на (0; α). Производная ϕ∗ доопределяема по непрерывности в точках αZ; это доопределение обозначим через ϕ∗ image . Так же, как по сужению ϕ◦ мы определили только что a,b ϕa,b, определим функцию ψa,b по сужению ψ◦ a,b (a;b) . Всюду далее функции ϕa,b и ψa,b считаются a,b (a;b) доопределёнными в точках из αZ следующим образом: в точках из αN - по непрерывности справа, а в точках из α({0}∪ (-N)) - по непрерывности слева. Такое доопределение согласовано с формулой оператора G£, описывающего распространение правого граничного режима для волнового уравнения на отрезке: ⎧ ⎪⎨ (G£ξ)(y)= σ1(y,£) \ p=0 ξ(y - (2p + 1)α) при y 0, (3.6) ⎩⎪ -(G£ξ)(-y) при y < 0, МЕТОД ГРАНИЧНЫХ РЕЖИМОВ В РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 291 где σ1(y, α) есть целая часть числа (y - α)/(2α). Решение задачи (3.2) представимо в виде: y+t 1 r image v(y, t; a, b)= fa,b(y + t)+ fa,b(y - t)+ 2 1 y-t ψa,b(s) ds, 0 y α, t 0, (3.7) image где fa,b = 2 ϕa,b + F£μa + G£μb, а (F£ξ)(y)= (G£ξ)(α - y), y ∈ R. Покажем, что vy (0, t; a, b)= ϕ∗ (t)+ ψa,b(t)+2 (G£μ∗ ) (t) - ( μ∗ (t - α) - G£μ∗ (t + α), t 0 (3.8) image a,b b G£ a) ( a) (здесь G£ξ∗ обозначает не производную функции G£ξ, а образ производной ξ∗ при действии на неё оператора G£). Для этого сначала заметим, что слагаемые, суммой которых определяется fa,b, дифференцируемы в точках, не лежащих в αZ, и поэтому правую часть (3.7) можно дифференцировать почленно в точках множества Π \ χ, где Π = (0; α) × (0; +∞), χ = {(y, t) (y + t) ∈ αZ ∨ (y - t) ∈ αZ . Далее, если точка (y; t) лежит в какой-либо из компонент связности Ω множества Π \ χ, то те или иные верхние пределы суммирования σ1(t + y, α), σ1(±(t - y), α), σ1(t + (α - y)), α) и σ1(±(t - (α - y)), α), возникающие в (3.7) по применении формулы (3.6), зависят только от Ω, но не зависят от выбора (y; t) ∈ Ω; значит, при дифференцировании внутри Ω функций (G£ξ) (y ± t) и (F£ξ) (y ± t) производные от сумм, определяющих эти функции согласно формуле (3.6), можно вносить под знак этих сумм - ибо количество слагаемых в этих суммах фиксировано для всех (y; t) ∈ Ω. Таким образом, дифференцирование (3.7) по y даёт image 1 image vy (y, t; a, b)= 2 ϕ∗ (y + t) - (G£μ∗ ) (y + t - α)+ ( image 1 μ∗ (y + t)+ ϕ∗ 2 (t - y) - a,b a G£ 1 ) image b a,b 1 (3.9) - (G£μ∗ ) (t - y + α)+ (G£μ∗ ) (t - y)+ 2 ψa,b(y + t)+ 2 ψa,b(t - y), (y; t) ∈ Π \ χ. image image a b Непосредственно проверяется, что предельный переход в правой части (3.9) при (y, t) → (y0, t0) ∈ (Π ∩ χ) ∪ ∂Π, где ∂Π - граница Π, даёт такое же выражение, как и в правой части (3.9), только при y = y0 и t = t0, т. е. в (3.9) вместо примечания (y; t) ∈ Π \ χ можно написать (y; t) ∈ Π. Взяв теперь y =0 в (3.9), получим (3.8). В силу (3.6) (G£μ∗ ) (t + α)= μ∗ (t)+ (G£μ∗ ) (t - α) для любого t > 0. С учётом этого подстановa a a ка (3.8) в левую часть (3.4) даёт image \ α(a, h(a, b); t) Jϕ∗ (t)+ ψa,b(t)+ 2(G μ∗ )(t) - 2(G μ∗ )(t - |b - a|) - μ∗ (t) = b | b↔a a,b |b-a| b |b-a| a a = m(a)μ∗∗(t)+ κ(a)μ∗ (t)+ k(a)μa(t), t > 0, a ∈ J, a a т. е. μ (0;+∞) есть решение следующей системы дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами: ⎛ m(a)ν∗∗(t)+ κ(a)+ \ ⎞ α(a, h(a, b); t) ν∗ (t)+ k(a)νa(t)= a ⎝ ⎠ a b | b↔a J image = \ α(a, h(a, b); t) 2(G ν∗ )(t) - 2(G ν∗ )(t - |b - a|)+ ϕ∗ (t)+ ψ (t) , t > 0, a ∈ J ; b | b↔a |b-a| b |b-a| a a,b a,b (3.10) ν = (νa)a∈J в (3.10) - искомое решение. Принимая во внимание, что μ определён на [0; +∞), а также то, что в дальнейшем для системы (3.10) мы будем рассматривать начальную задачу в точке t = 0, договоримся всегда считать, что решение ν этой системы определено на [0; +∞). Итак, с учётом замечания 3.1, нами доказана следующая лемма. Лемма 3.2. Пусть ∂Γ= ∅. Тогда условие (A) леммы 3.1 эквивалентно тому, что 1) μ ∈ C2[0; +∞), 2. μ является решением системы уравнений (3.10), 3. для любой a ∈ J выполнены равенства μa(0) = ϕ(a), μ∗ (0) = ψ(a), μ∗∗(0) = (ϕ◦ )∗∗(0) = ϕ++(a) - при всех b ↔ a и η ∈ D(a). (3.11) a a a,b ηη 292 В. Л. ПРЯДИЕВ Следующая лемма показывает, что список равенств в (3.11) может быть уменьшен до естественного списка начальных условий для системы уравнений (3.10). Лемма 3.3. Пусть ∂Γ= ∅ и |m(a)| + κ(a)+ \ α(a, h; 0) > 0, a ∈ J. (3.12) h∈D(a) Тогда условие (A) леммы 3.1 эквивалентно тому, что μ принадлежит C2[0; +∞) и является решением начальной задачи для системы уравнений (3.10). νa(0) = ϕ(a), a ∈ J, (3.13) a m(a) /=0 ⇒ ν∗ (0) = ψ(a), a ∈ J. (3.14) Всюду далее для каждого a ∈ J левую часть в равенстве (3.10) будем обозначать через (Laν)(t), а правую - через (Maν)(t). Доказательство леммы 3.3. В силу леммы 3.2 достаточно доказать, что если в условиях леммы 3.3 μ есть решение задачи (3.10), (3.13), (3.14), то для любой a ∈ J помимо первого равенства в (3.11) выполнены как второе (в том числе при m(a)= 0), так и остальные. Для любых смежных вершин a и b при достаточно малых t > 0 имеем σ1(t, |b - a|) = -1 и σ1(|b - a|- t, |b - a|) = -1, и тогда из (3.6) следует, что (G|b-a|ν∗ )(t)=0 и (G|b-a|ν∗ )(t - |b - a|)= 0 - b a при таких t. Поэтому из (3.10) вытекает: (Laν)(t)= \ b | b↔a a,b α(a, h(a, b); t) (ϕ∗ (t)+ ψa,b(t)) , t > 0 и достаточно мало, a ∈ J. (3.15) Беря ν = μ в (3.15) и переходя к пределу при t → 0+, получим с учётом (3.1) равенства (Laμ)(0+) = \ h∈D(a) h α(a, h; 0)(ϕ+(a)+ ψ(a)), a ∈ J, (3.16) (Laμ)∗(0+) = \ {α∗(a, h; 0) fϕ+(a)+ ψ(a)l + α(a, h; 0) fϕ++(a)+ ψ+(a)l , a ∈ J. (3.17) h h∈D(a) hh h Допустим пока, что m(a) /=0 для некоторой a ∈ J. Тогда второе равенство в (3.11) выполнено, ибо μ удовлетворяет условию (3.14). С учётом этого (3.16) принимает вид: a m(a)μ∗∗(0) + ⎛ ⎝κ(a)+ \ h∈D(a) ⎞ α(a, h; 0)⎠ ψ(a)+ k(a)ϕ(a)= \ h∈D(a) h α(a, h; 0)(ϕ+(a)+ ψ(a)). (3.18) В силу (2.8) равенство (3.18) эквивалентно тому, что m(a)(μ∗∗(0) - ϕ++(a)) = 0, η ∈ D(a), a ηη откуда ввиду m(a) /=0 следуют и остальные равенства из (3.11). Итак, при m(a) /=0 все равенства из (3.11) выполняются. Пусть теперь m(a)= 0 для какой-то a ∈ J. Тогда (3.16) принимает вид: ⎛ ⎝κ(a)+ \ h∈D(a) ⎞ a α(a, h; 0)⎠ μ∗ (0) + k(a)ϕ(a)= \ h∈D(a) h α(a, h; 0)(ϕ+(a)+ ψ(a)). (3.19) С учётом (2.8) равенство (3.19) эквивалентно тому, что ⎛ ⎝κ(a)+ \ h∈D(a) ⎞ a α(a, h; 0)⎠ (μ∗ (0) - ψ(a)) = 0, МЕТОД ГРАНИЧНЫХ РЕЖИМОВ В РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 293 откуда в силу (3.12) следует второе равенство из (3.11). С учётом него и m(a)= 0, равенство (3.17) принимает вид: \ h∈D(a) ⎛ α∗(a, h; 0)ψ(a)+ ⎝κ(a)+ \ h∈D(a) ⎞ a α(a, h; 0)⎠ μ∗∗(0) + k(a)ψ(a)= = \ {α∗(a, h; 0) fϕ+(a)+ ψ(a)l + α(a, h; 0) fϕ++(a)+ ψ+(a)l . h h∈D(a) hh h Это равенство в силу (2.9) и (2.5) эквивалентно равенствам ⎛ ⎝κ(a)+ \ h∈D(a) ⎞ α(a, h; 0)⎠ fμ∗∗(0) - ϕ++(a)l = 0, η ∈ D(a), a ηη из которых ввиду (3.12) следуют остальные равенства из (3.11). Выполнение равенств (3.11) окончательно доказано, а вместе с этим доказана и лемма 3.3. image 4. Существование решения задачи (2.1), (1.1), (2.2) в случае ∂Γ= ∅ С помощью представления (3.7) при ∂Γ= ∅ леммы 3.1 и 3.3 сводят решение задачи (2.1), (1.1), (2.2) к решению задачи (3.10), (3.13), (3.14). Поэтому естественно выяснить то, как разрешима последняя. Следующая лемма - о том, что в лемме 3.3 изначальные требования к гладкости решения задачи (3.10), (3.13), (3.14) можно понизить. Лемма 4.1. Пусть ∂Γ= ∅ и |m(a)| + κ(a)+ \ α(a, h; t) > 0, a ∈ J, t 0. (4.1) h∈D(a) Тогда решение задачи (3.10), (3.13), (3.14) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0; +∞). Доказательство. Доказательство проведём методом шагов. Для этого рассмотрим множество ⎛ ⎛ ⎞⎞ S = ⎝ I ⎝ I |b - a|N⎠⎠ I 0}, a∈J { b | b↔a которое представимо в виде: S = {s0; s1; s2; ... }, где s0 =0 и si < si+1 (i = 0, 1, 2, ... ). Отметим: si - si-1 ρ = min { b - a| a ∈ J, b ↔ a , i ∈ N. (4.2) | На каждом [0; si), i ∈ N, определим набор вещественных функций μi = (μi ) согласно правилу: 0. μ1 есть решение задачи a a∈J (Laν) (t)= (Maν) (t), t ∈ [0; s1), a ∈ J, (4.3) νa(0) = ϕ(a), a ∈ J, (4.4) a m(a) /=0 ⇒ ν∗ (0) = ψ(a), a ∈ J ; (4.5) [0;si-1) 1. если i ∈ N \ {1}, то μi определён на [0; si), μi = μ - , а μ i 1 i [si-1;si) есть решение задачи - (Laν) (t)= (Maμi) (t), t ∈ [si i-1 1; si), a ∈ J, (4.6) νa(si-1)= μa (si-1-), a ∈ J, (4.7) a m(a) /=0 ⇒ ν∗ (si-1)= (μ i-1 a )∗(si-1-), a ∈ J. (4.8) b Отметим сразу, что все аргументы функций μi a и μi , входящих в правые части (4.6), не превос- μi ходят t - ρ, а значит, в силу (4.2) все эти аргументы лежат в [0; si-1). Это означает, что правые части в (4.6) корректно определены, если существует функция μi-1 - так как по определению [0;si-1) = μ i-1. 294 В. Л. ПРЯДИЕВ Если μ - решение задачи (3.10), (3.13), (3.14), то μ с необходимостью удовлетворяет равенствам - μ(t) = μi(t), t ∈ [si 1; si), i ∈ N; поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать, что для любого i ∈ N набор μi существует, единствен и принадлежит C2[0; si), причём существуют конечные пределы (μi)(q) (si-), q = 0, 2. Это мы докажем индукцией по i. В силу своего определения s1 = ρ, поэтому из t ∈ (0; s1) следует, что σ1(t, |b - a|) = -1 и σ1(|b - a|- t, |b - a|)= -1 для любых смежных вершин a и b, и потому при t ∈ (0; s1) в силу (3.6) выполнены равенства (G|b-a|ν∗ ) (t) = 0 и (G|b-a|ν∗ ) (t - |b - a|) = 0 при любых a ∈ J и b ↔ a - какими бы ни были b (0;s1) νb и νa. Но тогда μ1 a есть решение следующей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений либо второго порядка (если m(a) /= 0), либо первого (если m(a)= 0): ⎛ m(a)ν∗∗(t)+ \ ⎞ α(a, h; t)+ κ(a) ν∗ (t)+ k(a)νa(t)= a = \ b | b↔a ⎝ h∈D(a) image a,b α(a, h(a, b); t) (ϕ∗ ⎠ ) (t)+ ψa,b(t a , t ∈ (0; s1), a ∈ J, (4.9) причём с непрерывно дифференцируемыми на (0; s1) коэффициентами и правыми частями, производные которых являются непрерывно доопределяемыми в точках 0 и s1. Значит, μ1 существует, единственно, принадлежит C2[0; s1) (если m(a)= 0, то надо дополнительно учесть (4.1)) и имеет image конечные пределы (μ1)(q) (s1-), q = 0, 2. База индукции установлена. Укажем ещё одно свойство μ1, которое нам понадобится в дальнейшем: (μ1 )∗(0) = ψ(a) и (μ1 )∗∗(0) = (ϕ◦ )∗∗(0) - для всех a ∈ J и b ↔ a. (4.10) a a a,b Детали его обоснования мы здесь не приводим, так как оно выводится из того, что μ1 есть решение (4.9), точно так же, как при доказательстве леммы 3.3 мы вывели выполнение второго и последующих равенств в (3.11) из того, что μ есть решение (3.15). Предположим теперь, что для некоторого j ∈ N набор μj существует, единствен и принадлежит C2[0; sj ), причём существуют конечные пределы (μj )(q) (sj -), q = 0, 2. Тогда для установления [s ;s ) аналогичных свойств набора μj+1 достаточно доказать, что, во-первых, μj+1 j j+1 существует, единственно и принадлежит C2[sj ; sj+1); во-вторых, существуют конечные (μj+1)(q) (sj+1-), q = 0, 2; и в-третьих, (μj+1)∗ (sj +) = (μj )∗ (sj -) и (μj+1)∗∗ (sj +) = (μj )∗∗ (sj -). (4.11) В силу замечания, сделанного сразу после формулировки задачи (4.6)-(4.8), эта задача при i = j +1 есть задача Коши для системы неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (второго или первого порядка) с непрерывно дифференцируемыми на [sj ; sj+1) [s ;s ) коэффициентами и правыми частями Maμj . Значит, μj+1 j j+1 существует, единственно и принадлежит C2[sj ; sj+1) (опять же, если m(a)= 0, то надо дополнительно учесть (4.1)). Более того, image image при i = j +1 производные коэффициентов и правых частей в (4.6) непрерывно доопределяемы в точке sj+1 слева, поэтому (μj+1)(q) (sj+1-), q = 0, 2, и (μj+1)(q) (sj +), q = 0, 2, существуют и конечны. Остаётся доказать (4.11). Из существования левых частей равенств из (4.11), а также того, что μj+1 есть решение (4.6) при i = j + 1, вытекает существование и равенство пределов (Laμj+1) (sj +) и (Maμj+1) (sj +) для всех a ∈ J. Кроме того, в силу предположения индукции (Laμj ) (sj -) = (Maμj ) (sj -) для всех a ∈ J. Поэтому для любой a ∈ J (Laμj+1) (sj +) - (Laμj ) (sj -)= (Maμj+1) (sj +) - (Maμj ) (sj -). (4.12) Зафиксируем далее a ∈ J и рассмотрим множества B1(a)= {b b ↔ a ∧ sj ∈ |b - a|(2N - 1) и B2(a) = {b b ↔ a ∧ sj ∈ |b - a|(2N) . Пусть σ2(t, α) обозначает целую часть числа t/(2α). Тогда МЕТОД ГРАНИЧНЫХ РЕЖИМОВ В РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 295 правую часть (4.12) можно записать в виде: J ) \ b∈B1 (a) b α(a, h(a, b); sj ) 2(μj )∗(sj - f2σ1 (sj , |b - a|)+ 1l · |b - a| + ψa,b(sj ) - ψa,b(sj -) + + \ b∈B2 (a) ) α(a, h(a, b); sj J a | - 2(μj )∗(sj - f2σ2 (sj , |b - a|)+ 1l · |b - a ) ) + ψa,b(sj ) - ψa,b(sj - . (4.13) Выражение (4.13) равно 0. Действительно, во-первых, аргументы там у (μj )∗ и (μj )∗ равны 0, что b a вытекает из определения σ1(t, α) и σ2(t, α); и во-вторых, в силу определения ψa,b, если b ∈ B1(a), то ψa,b(sj ) = -ψ(b) и ψa,b(sj -) = ψ(b), а если b ∈ B2(a), то ψa,b(sj ) = ψ(a) и ψa,b(sj -) = -ψ(a). В силу чего и получается, если учесть ещё и первое равенство из (4.10), что выражение (4.13) равно 0. Итак, правая часть в (4.12) равна 0. Но тогда, расписывая подробнее левую часть (4.12), получим: ) m(a) r(μj+1)∗∗(s +) - (μj )∗∗(s - + a j a j / \ r (4.14) + κ(a)+ }, α(a, h; sj ) (μj+1)∗(s +) - (μj )∗(s -) = 0, a ∈ J. h∈D(a) a j a j [sj ;sj+1) Если m(a) /= 0, то выполнено первое равенство из (4.11), поскольку μj+1 удовлетворяет условию (4.8) при i = j + 1. Но тогда из (4.14) следует и второе равенство, выписанное в (4.11). Остаётся рассмотреть случай m(a)= 0. В этом случае из (4.14) в силу (4.1) сразу следует первое равенство из (4.11), и остаётся доказать выполнение второго из равенств (4.11) при m(a)= 0. [s ;s ) Подставляя μj j-1 j и μ j+1 [sj ;sj+1) в (4.6) соответственно при i = j и при i = j + 1, получим равенства (Laμj )(t)= (Maμj )(t), sj 1 < t < s , и (L μj+1)(t) = (M μj+1)(t), s < t < s , левые - j a a j j+1 и правые части которых допускают почленное дифференцирование - независимо от того, равно m(a) нулю или нет. Выполняя после этого дифференцирования предельный переход при t → sj - в первом из этих равенств и при t → sj + во втором, придём к равенству (Laμj+1)∗ (sj +) - (Laμj )∗ (sj -)= (Maμj+1)∗ (sj +) - (Maμj )∗ (sj -). (4.15) В силу (3.6) левая часть равенства (4.15) при m(a) = 0 приобретает вид (учитываем также равенство μj+1(sj +) = μj (sj -) и первое равенство в (4.11)): ⎛ ⎝κ(a)+ \ ⎞ α(a, h; sj )⎠ f(μj+1)∗∗(sj +) - (μj )∗∗(sj -)l , (4.16) а правая - a a h∈D(a) \ b∈B1 (a) b Jα∗(a, h(a, b); sj ) r2(μj )∗(0) + ψa,b(sj +) - ψa,b(sj -) + + α(a, h(a, b); sj ) r2(μj )∗∗(0) + ϕ∗∗ (sj +) + ψ∗ (sj +) - ϕ∗∗ (sj -) - ψ∗ (sj -) + b a,b a,b a,b a,b + \ b∈B2 (a) a {α∗(a, h(a, b); sj ) f-2(μj )∗(0) + ψa,b(sj +) - ψa,b(sj -)l + + α(a, h(a, b); sj ) f-2(μj )∗∗(0) + ϕ∗∗ (sj +) + ψ∗ (sj +) - ϕ∗∗ (sj -) - ψ∗ (sj -)l . a a,b a,b a,b a,b Последнее выражение равно 0. Действительно, первая и третья квадратные скобки в нём b равны 0 - это доказывается точь-в-точь такими же выкладками, что равенство нулю выражения (4.13). Вторая и четвёртая квадратные скобки равны соответственно 2(μ1)∗∗(0) - 2(ϕ ◦ a,b )∗∗ a (|b - a|) и -2(μ1 )∗∗ a,b (0) + 2(ϕ◦ )∗∗ (0). Но оба последних выражения - нулевые, в силу второa,b го равенства из (4.10) и того, что (ϕ◦ )∗∗ b,a (|b - a|)= (ϕ◦ )∗∗ (0). Равенство нулю правой части (4.15) влечёт равенство нулю выражения (4.16), что в свою очередь влечёт с учётом (4.1) второе из равенств (4.11). Заявленные свойства наборов μi, i ∈ N, окончательно доказаны, а вместе с ними доказана и лемма 4.1. image 296 В. Л. ПРЯДИЕВ Теорема 4.1. Пусть ∂Γ = ∅ и выполнено (4.1). Тогда решение задачи (2.1), (1.1), (2.2) существует, единственно и определяется равенствами (3.5), в которых v( ·, ·; a, b) определяется формулой (3.7), а (μa)a∈J есть решение начальной задачи (3.10), (3.13), (3.14). Доказательство. Теорема 4.1 есть следствие леммы 3.1, следствия 3.1 и лемм 3.3 и 4.1. image 5. Существование решения задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) в случае ∂Γ /= ∅ Пусть ∂Γ /= ∅. Поскольку величины углов между рёбрами Γ при описании и при решении задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) не играют роли, то можно считать, что, во-первых, к каждой граничной вершине Γ примыкает ровно одно ребро, и во-вторых, существует линейное подпространство L ⊂ Rn размерности n - 1 такое, что ∂Γ ⊂ L и J ⊂ δx0 + L, где x0⊥L, |x0| = 1 и δ > 0. Пусть S - отображение симметрии в Rn относительно L, и рассмотрим сначала геометрический граф Γ1 = S(Γ) с множеством внутренних вершин J1 = S(J ) и с ∂Γ1 = ∂Γ, а затем геометрический граф Γ×2 = Γ ∪ Γ1 без граничных вершин и с множеством внутренних вершин J×2 = J ∪ J1 ∪ ∂Γ. Множество допустимых относительно Γ×2 единичных векторов в вершине a ∈ J×2 будем обозначать D×2(a). Заметим, что в силу построения a ∈ J ⇒ [D×2(a)= D(a) ∧ D×2(S(a)) = S(D(a))] и a ∈ ∂Γ ⇒ D×2(a)= {ha; S(ha)} , где ha - единственный вектор из D(a); при этом S (ha) /= ha. Рассмотрим задачу, получающуюся из задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) «нечётным продолжением» на Γ×2: ωxx(x, t)= ωtt(x, t), x ∈ R(Γ×2), t > 0, (5.1) \ α (a, h; t)ω+(a, t)= k (a)ω(a, t)+ κ (a)ω (a, t)+ m (a)ω (a, t), a ∈ J , t > 0, ×2 h ×2 h∈D×2(a) ×2 t ×2 tt ×2 (5.2) где ω(x, 0) = ϕ×2(x) и ωt(x, 0) = ψ×2(x), x ∈ Γ×2, (5.3) image ( θ(x), если x ∈ Γ -θ ( θ×2(x)= ⎧ S-1 (x)) , если x ∈ Γ1 для θ ∈ {ϕ, ψ}, α ( ⎨ α(a, h; t), если a ∈ J и h ∈ D(a), 1 α×2(a, h; t)= S-1 (a), S - (h); t) , если a ∈ J1 и h ∈ D×2(a), ⎩ 1, если a ∈ ∂Γ и h ∈ D×2(a), ⎧ ζ ( ⎨ ζ(a), если a ∈ J ζ×2(a)= S-1 (a)) , если a ∈ J1 для ζ ∈ {k, κ, m}. ⎩ 0, если a ∈ ∂Γ image Γ [0;+ ) С учётом (2.6) и (2.7), если выполнено (4.1), то к задаче (5.1)-(5.3) применимы все результаты разделов 3 и 4. Обозначая через ω решение задачи (5.1)-(5.3), получим, что сужение ω × ∞ будет решением задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3) тогда и только тогда, когда ω(a, t)= 0, a ∈ ∂Γ, t > 0. (5.4) Заметим: функция z, определяемая равенством z(x, t) = ω(S(x), t) при x ∈ Γ×2 и t 0, является решением задачи (5.1)-(5.3) с той лишь разницей, что вместо ϕ×2 и ψ×2 надо в ней взять -ϕ×2 и -ψ×2 соответственно. Значит, ω(S(x), t) = -ω(x, t) для всех x ∈ Γ×2 и t 0. Отсюда и следует (5.4), поскольку S(a)= a для любой a ∈ ∂Γ. Обратно, если u - решение задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3), то u×2( ·, t) есть решение задачи (5.1)- (5.3), что, в частности, влечёт единственность u как решения задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3). Итак, установлен следующий факт. image Теорема 5.1. Если ∂Γ /= ∅ и выполнено условие (4.1), то сужение на Γ × [0; +∞) решения задачи (5.1)-(5.3) является единственным решением задачи (2.1), (1.1), (2.2), (2.3). При этом если x ∈ Γ, то ω(S(x), t)= -u(x, t).

About the authors

V. L. Pryadiev

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: pryad@mail.ru
Voronezh, Russia

References

Supplementary files