Local renormalized solutions of elliptic equations with variable exponents in unbounded domains

Abstract

In this paper, we consider a second-order quasilinear elliptic equation with variable nonlinearity exponents and a locally summable right-hand side. The stability property is established and, as a consequence, the existence of a local renormalized solution of the Dirichlet problem in an arbitrary unbounded domain is proved.

Full Text

Введение Пусть Ω- произвольная область пространства Rn = {x = (. Для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка с переменным ростом и локально суммируемой функцией f рассматривается задача Дирихле -diva(x,∇u) + b(x,u) = f, x ∈ Ω, (0.1) . (0.2) Понятие ренормализованных решений является мощным инструментом для изучения широких классов вырождающихся эллиптических уравнений с данными в виде меры. Первоначальное определение приведено в работе [6] для уравнения -diva(x,∇u) = μ (0.3) и распространено М.-Ф. Бидо-Верон [4] в локальную и очень полезную форму для уравнения с p-лапласианом, поглощением и мерой Радона μ: -Δpu + |u|p0-2u = μ, p ∈ (1,n), 0 < p - 1 < p0. (0.4) © Л.М. Кожевникова, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 125 В частности, М.-Ф. Бидо-Верон доказала существование в пространстве Rn локального ренормализованного решения уравнения (0.4) c μ ∈ L1,loc(Rn). В монографии [13] Л. Верон обобщил понятие локального ренормализованного решения для уравнения со степенными нелинейностями вида -diva(x,∇u) + b(x,u,∇u) = μ. Следует отметить, что в работе [10] доказана эквивалентность a-супергармонических функций и локально ренормализованных решений уравнения (0.3) в случае неотрицательных мер Радона μ. В настоящей работе понятие локального ренормализованного решения адаптируется на уравнение (0.1) c переменными показателями роста. В качестве примера можно привести уравнение . Автором установлено свойство устойчивости локальных ренормализованных решений задачи (0.1), (0.2). Следствием результата устойчивости является теорема существования локального ренормализованного решения задачи (0.1), (0.2) в произвольной неограниченной области Ω. 1. Пространства Лебега, Соболева с переменными показателями В этом разделе будут приведены необходимые сведения из теории пространств с переменными показателями. Пусть Q ⊆ Ω (Q может совпадать с Ω). Обозначим - , где p- = vrai infx∈Q p(x), p+ = vraisupx∈Q p(x). Пусть p(·) ∈ L+∞(Q), определим лебегово пространство Lp(·)(Q) с переменным показателем как множество измеримых на Q вещественнозначных функций v таких, что: , с нормой Люксембурга . Для v ∈ Lp(·)(Q) справедливы следующие соотношения: . Ввиду выпуклости имеет место неравенство: , x ∈ Q. (1.1) При p- > 1 справедливо неравенство Юнга: , x ∈ Q, (1.2) и неравенство Гельдера . (1.3) с нормой Пространство определим как пополнение пространства по норме. Пространства являются сепарабельными, банаховыми и рефлексивными для p- > 1 (см. [7, Ch. 3, §3.2, §3.4, §8.1]). Интересная особенность пространства Соболева c переменным показателем заключается в том, что гладкие функции не плотны в нем без дополнительных предположений о степени p(·). Это было отмечено В.В. Жиковым [2] в связи с эффектом Лаврентьева. Однако, если модуль непрерывности показателя p(·) удовлетворяет логарифмическому условию: , то гладкие функции плотны в пространстве. В настоящей работе предполагаем, что, где . Для двух ограниченных функций q(·), r(·) ∈ C(Q) будем писать q(·) < r(·), если(x)) > 0. x Лемма 1.1 (см. [8]). Пусть Q ограничена,. Тогда имеет место непрерывное и компактное вложение 2. Предположения и определение ренормализованного решения Условие P. Предполагаем, что функции a(x,s) = (a1(x,s),... ,an(x,s)) : Ω × Rn → Rn, b(x,s0) : Ω × R → R, входящие в уравнение (0.1), каратеодориевы. Пусть существуют неотрицательная функция Φ ∈ , положительные числа a,a такие, что при п.в. x ∈ Ω, для всех s,t ∈ Rn справедливы неравенства: ; (2.1) (a(x,s) - a(x,t)) · (s - t) = t; (2.2) a(x,s) . (2.3) Здесь s , s = (s1,...,sn), t = (t1,...,tn). Кроме того, пусть существуют неотрицательная функция , непрерывная неубывающая функция, положительное число b такие, что при п.в. x ∈ Ω, для всех s0 ∈ R справедливы неравенства: (x); (2.4) . (2.5) При этом предполагаем, что функции Следуя [3, 12], введем обозначения: . Пусть выполнено дополнительное условие . (2.6) Тогда можно определить Определим срезку . Через Lip0(R) обозначим пространство всех липшицевых непрерывных функций на R, производная которых имеет компактный носитель. Определение 2.1. Пусть область Ω ограничена. Измеримая конечная почти всюду функция u : Ω → R называется ренормализованным решением задачи (0.1), (0.2) с f ∈ L1(Ω), если выполняются следующие условия: a) при любом k > 0; b) b(x,u) ∈ L1(Ω); c) ); d) ); e) для любой функции h ∈ Lip0(R) и любой , такой, что ϕh(u) ∈ , имеем x = 0. (2.7) Определим как пространства, состоящие из функций v, определенных в Ω, для которых при любой ограниченной имеет место принадлежность , соответственно. Определение 2.1-loc. Измеримая конечная почти всюду функция u : Ω → R называется локальным ренормализованным решением задачи (0.1), (0.2) c , если выполняются следующие условия: a-loc) при любом k > 0; b-loc) b(x,u) ∈ L1,loc(Ω); c-loc) ); d-loc) ); e-loc) для любой функции h ∈ Lip0(R) и любой с компактным носителем такой, что, справедливо тождество (2.7). Отметим, что в работе [3] впервые для уравнения с p(·)-ростом было сформулировано определение ренормализованного решения и доказано его существование. Пусть u - локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2). Для любого k > 0 имеем . (2.8) Применяя (1.1), из неравенства (2.1) выводим оценку: + Ψ(x) ( с неотрицательной функцией . Из (2.8), следует, что для любого k > 0 . (2.9) Замечание 2.1. Каждый интеграл в (2.7) корректно определен. Пусть suppϕ ∩ Ω = K. Несложно проверить, что поэтому справедливы вложения Wn1(K) ⊂ C(K). Действительно, первое слагаемое конечно благодаря условию b-loc), f ∈ L1,loc(Ω) и принадлежности h(u)ϕ ∈ L∞(K). Поскольку для некоторого M > 0, то второе слагаемое может быть записано в виде . Благодаря (2.8), (2.9) и принадлежности h ∈ Lip0(R), ϕ ∈ C(K) первый интеграл определен и конечен. Поскольку a(x,∇u) ∈ (Lq(·)(K))n для любого q(·) < q2(·) и ∇ϕ ∈ (Lr(·)(K))n для любого , получаем, что произведение a(x,∇u) · ∇ϕh(u) интегрируемо в K. В настоящей работе доказана следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены условия P, последовательность функций сходится к-последовательность локальных ренормализованных решений задачи -diva(x,∇u) + b(x,u) = fξ, x ∈ Ω, (2.10) с краевым условием (0.2). Тогда существует подпоследовательность последовательности {uξ}ξ∈N (обозначим ее так же), сходящаяся почти всюду к локальному ренормализованному решению задачи (0.1), (0.2). Следствием теоремы 2.1 является теорема 2.2. Теорема 2.2. Пусть , выполнены условия P, тогда существует локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2). В работе [11] в пространстве Rn рассмотрено нелинейное анизотропное эллиптическое уравнение вида (0.1) с переменными показателями нелинейностей и локально интегрируемой функцией f. Ф. Мохтари доказано существование локального слабого решения u уравнения (0.1) в пространстве Rn. Для сравнения сформулируем результат регулярности градиента для изотропного уравнения. При дополнительном ограничении p(·) > 2 - 1/n установлена локальная суммируемость ∇u с показателем, а также при дополнительном ограничении p(·) > 1 + 1/p0(·) установлена локальная суммируемость ∇u с показателем . Заметим, что в настоящей работе аналогичные оценки установлены в утверждении 3.2 (см. (3.17)), причем оценка с показателем q4(·) получена без дополнительных ограничений. 3. Подготовительные сведения Меру Лебега измеримого множества Q будем обозначать meas(Q). Через D+(Rn) обозначим пространство функций с положительными значениями внутри компактного носителя. Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Утверждение 3.1. Пусть u -локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2), положим. Тогда для любых α < 0, φ ∈ D+(Rn) справедливы оценки (3.1) , (3.2) с постоянными, не зависящими от u. Доказательство. Пусть, тогда . Положив в (2.7) h = hρ, применяя оценку (2.1), для ϕ ∈ D+(Rn) будем иметь x = Ω Ω x (3.3) x +. {Ω:|u|>ρ} Далее, используя (1.2), выводим x + Ω Ω . Положим для. Снова - - - применяя (1.2), получаем x + (3.4) . Соединяя (3.3), (3.4), применяя (2.3), (2.5), выводим неравенство x x + x. (3.5) Ввиду условия с-loc), поэтому x = 0. (3.6) {Ω:|u|>ρ} Выполняя предельный переход при ρ → ∞ в (3.5) с учетом (3.6), устанавливаем неравенство x . Применяя (2.5), выводим x . (3.7) Для рассмотрим функцию R+, где K = suppϕ ∩ Ω. Обозначим. Очевидно, непрерывна, монотонно не возрастает по и ограничена снизу. Для любого найдеми зафиксируем . Положим ϕ = φR, тогда из (3.7) следует неравенство x Далее, применяя неравенство (1.2), пользуясь очевидным неравенством, устанавливаем . (3.9) Соединяя (3.8), (3.9), устанавливаем x . (3.10) Для справедлива оценка. Тогда имеем следующую цепочку неравенств: x (3.11) x + 2. {Ω:|u|<1} Ω Ω Соединяя (3.10), (3.11), выбирая ε > 0 достаточно малым, устанавливаем неравенство x . (3.12) Отсюда следует неравенство (3.1) и неравенство (3.2) для 0); длянеравенство (3.2) также справедливо. Введем обозначения:. Будем рассматривать срезающую функцию при Утверждение 3.2. Пусть u -локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2), тогда для любых r,k > 0 верны оценки (3.13) , (3.14) meas({Ω(r) : . (3.15) Кроме того, , и справедлива оценка ; (3.16) , и справедлива оценка , (3.17) а также , и справедлива оценка (3.17). Здесь константы D1-D4, зависят от N, где N -набор a, , , не зависящий от u. Доказательство. Перепишем оценки (3.1), (3.2) c φ(x) = φr(|x|) и фиксированным R, получим неравенства: (3.13), (3.14). Из оценки (3.13) следует неравенство (3.15). Пусть α ∈ (1-p-,0) и v = (1+|u|)β, β = (α+p--1)/p- > 0. Поскольку βp(x) < p(x)-1 < p0(x), ввиду оценки (3.13) имеем . (3.18) Тогда ∇v = β(1 + |u|)β-1 ∇usignu и, согласно (3.14), справедливы неравенства . (3.19) Соединяя (3.18), (3.19), выводим оценку , из которой, ввиду леммы 1.1, получаем . - Отсюда для любого α ∈ (1 - p-,0) следует неравенство . (3.20) Пусть s(·) < q3(·), найдем s(·) < t(·) < q3(·), тогда . Положим t(x) = p∗(x)(α + p- - 1), тогда . Поскольку s(x) < t(x) = p∗(x)β , то ввиду (3.20) p-(p(x) - 1) - - p(x) - 1 оценка (3.16) установлена. Далее, применяя неравенство (1.2), для имеем: (x) (x). (3.21) Ω(r) Ω(r) Ω(r) Первый интеграл в (3.21) оценивается благодаря (3.14), а второй с помощью (3.16) при условии , которое выполняется для 1 при малых α < 0. Кроме того, второй интеграл можно оценить с помощью (3.13) при условии , которое выполняется для 1 при малых α < 0. Таким образом, оценка (3.17) установлена. Следует отметить, что в случае ограниченной области Ω глобальные оценки вида (3.16), (3.17) для энтропийного решения установлены в [12, Proposition 3.2, 3.6, Corollary 3.5, 3.7]. Утверждение 3.3. Пусть u -локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2), тогда при всехсправедлива оценка , (3.22) | с константой D7(N), не зависящей от u. Доказательство. Рассмотрим функцию при при при Положив в (2.7) h(u) = Tk,m(u), ϕ = φr, будем иметь φra(x,∇u) · ∇udx + x + a(x,∇u) · ∇φrTk,m(u)dx =. Далее, используя (2.3), (2.5), выводим x x (3.23) . Соединяя последнее неравенство с (3.17), получаем оценку (3.22). В частности, из (3.22) при m = 0 имеем оценку . (3.24) Утверждение 3.4. Пусть u -локальное ренормализованное решение задачи (0.1), (0.2), тогда для любых k,r > 0 верны неравенства meas(. (3.25) Доказательство. Из оценки (3.24) выводим . (3.26) Положим Φ(k,h) = meas. Выше установлено (см. (3.15)), что . (3.27) Поскольку функция h → Φ(k,h) невозрастающая, то для k,h > 0 справедливы неравенства (3.28) Отметим, что ) = meas. Поэтому из (3.26) следует, что (3.29) Теперь, соединяя (3.27)-(3.29), получаем неравенство Выбирая, добиваемся неравенства . Отсюда, ввиду справедливости вложения, устанавливаем оценку meas(, из которой следует (3.25). Лемма 3.1. Пусть B = Lp(·)(Q) или -такие функции из B, что {vj}j∈N ограничена в B и vj → v п.в. в Q, j → ∞, (3.30) тогда слабо в B, j → ∞. Лемма 3.2. Пусть функции vj, j ∈ N, v ∈ L∞(Q) такие, что {vj}j∈N ограничена в L∞(Q) и имеет место сходимость (3.30), тогда слабо в L∞(Q), j → ∞. Если, кроме того, hj, j ∈ N, h -такие функции из Lp(·)(Q), что hj → h сильно в Lp(·)(Q), j → ∞, то vjhj → vh сильно в Lp(·)(Q), j → ∞. Лемма 3.3 (см. [5, лемма 2]). Пусть meas(Q) < ∞, γ : Q → [0,+∞] -измеримая функция такая, что meas({x ∈ Q : γ(x) = 0}) = 0. Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что неравенство влечет meas(. Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [1, гл. III, §6, теорема 15]). Лемма 3.4. Пусть vj, j ∈ N, v -измеримые функции в области Q, meas(Q) < ∞, такие, что имеет место сходимость (3.30), s = 1 или p(·) и интегралы , равностепенно абсолютно непрерывны, тогда vj → v сильно в Ls(Q), j → ∞. Лемма 3.5 (см. [9, Theorem 13.47]). Пусть vj, j ∈ N, v ∈ L1(Q) такие, что п.в. в Q, имеет место сходимость (3.30) и , тогда vj → v сильно в L1(Q), j → ∞. Определение 3.1. Пусть область Ω ограничена. Измеримая конечная почти всюду функция u : Ω → R называется ренормализованным решением задачи (0.1), (0.2) с f ∈ L1(Ω), если выполняются условия: a)-d) и для любой функции такой, что существуют, почти всюду при u > k, (3.31) почти всюду при u < -k, справедливо равенство x = 0. (3.32) Ω Ω Определение 3.1-loc. Измеримая конечная почти всюду функция u : Ω → R называется локальным ренормализованным решением задачи (0.1), (0.2) c , если выполняются условия a-loc)-d-loc) и для любой функции с компактным носителем и свойствами (3.31) справедливо равенство (3.32). Замечание 3.1. Каждый интеграл в (3.32) корректно определен. Пусть suppw∩Ω = K. Первое слагаемое в левой части конечно благодаря условию b-loc), и принадлежности w ∈ L∞(K). Второе слагаемое можно записать a(x,∇u) · ∇wdx + a(x,∇u) · ∇wdx + a(x,∇u) · ∇wdx. {K:u>k} C одной стороны, из условия c-loc) и неравенства (2.1) следует, что a(x,∇u) ∈ (Lq(·)(K))n для любого q(·) < q2(·); с другой стороны, ∇w = ∇w-∞ п.в. на множестве {K : u < -k}, поэтому ∇w ∈ (Lr(·)({K : u < -k}))n для любого и, следовательно, произведение a(x,∇u) ·∇w интегрируемо на {K : u < -k}. Таким же образом доказывается интегрируемость a(x,∇u)·∇w на {K : u > k}. Наконец, благодаря (2.9) и принадлежности произведение a(x,∇u)·∇w интегрируемо на . Теорема 3.1. Определения 2.1-loc, 3.1-loc эквивалентны. Эквивалентность определений 2.1, 3.1 в случае данных в виде общей меры доказана в [3], эквивалентность определений 2.1-loc, 3.1-loc устанавливается аналогично. 4. Доказательство теоремы 2.1, начало В этом разделе будут получены некоторые априорные оценки и свойства сходимости последовательности {uξ}. Согласно определению 2.1-loc, для любой функции h ∈ Lip0(R) и любой с компактным носителем такой, что, решение uξ удовлетворяет равенству x = 0. (4.1) Коме того, согласно определению 3.1-loc для любой функции с компактным носителем и со свойствами (3.31) справедливо равенство x = 0. (4.2) Ω Ω Шаг 1: априорные оценки. Здесь r > 0 - произвольное фиксированное. Ввиду сходимости , (4.3) существует положительная константа cr такая, что . (4.4) Применяя оценки утверждения 3.1 с φ = φr (см. (3.1), (3.2)), учитывая (4.4), выводим оценки: , (4.5) и для любого α < 0 . (4.6) Согласно утверждению 3.2, для любых k,r > 0 справедливо неравенство (см. (3.15)) meas(. (4.7) Кроме того, для справедлива оценка (см. (3.16)) ; (4.8) Ω(r) а для - оценка (см. (3.17)) . (4.9) Таким же образом, как в утверждении 3.3, получаем оценку (см. (3.24)) . (4.10) Из оценки (4.10) ввиду произвольности k > 0 устанавливаем неравенство . (4.11) Далее, из оценки (4.10), пользуясь неравенством , выводим , (4.12) . (4.13) Далее, согласно утверждению 3.4, для любых k,r > 0 справедливо неравенство (см. (3.25)) meas(. (4.14) - Здесь и ниже константы Di не зависят от ξ,k. Шаг 2: сходимость подпоследовательности {uξ} почти всюду. Из оценок (4.7), (4.14) имеем meas( равномерно по ξ, h → ∞, (4.15) meas( равномерно по ξ, h → ∞. (4.16) Установим сходимость по подпоследовательности: uξ → u п.в. в Ω, ξ → ∞. (4.17) Пусть α ∈ (1-p-,0), рассмотрим последовательность vξ = (1+|uξ|)β, β = (α+p- -1)/p- > 0. Согласно (4.5), (4.6), справедливы оценки Рассмотрим также последовательности . Очевидно, что . Из оценок (4.18), (4.19) следует ограниченность последовательностей vξ,vξ и, ввиду компактности вложения в пространство Lp(·)(Ω(r)), имеет место сильная сходимость в Lp(·)(Ω(r)) и сходимость п.в. в Ω. Тогда сходимость (4.17) доказана. Применяя лемму Фату и сходимость (4.17), из оценок (4.5), (4.11) выводим . Из (4.17) следует, что для любого k > 0 Tk(uξ) → Tk(u) п.в. в Ω, ξ → ∞. (4.20) Кроме того, из сходимости (4.17) вытекает сходимость локально по мере, а значит, и фундаментальность {uξ} локально по мере: meas( при ξ,η → ∞ для любых ν,r > 0. (4.21) Из оценки (4.12) следует ограниченность последовательности в пространстве при фиксированных k,r > 0. Тогда можно выделить слабо сходящуюся в подпоследовательность, причем . Из сходимости (4.20) следует равенство. Таким образом, доказана сходимость в . (4.22) Сначала установим сходимостьШаг 3: сходимость подпоследовательности {∇uξ} почти всюду. ∇uξ → ∇u локально по мере, ξ → ∞. Для ν,θ,h,r > 0 рассмотрим множество (4.23) . Поскольку справедливо включение , то в силу (4.15)-(4.16) выбором h добьемся неравенств meas + measEν,θ,h(r) + meas По условию монотонности (2.2) и известному факту, что непрерывная функция на компакте достигает наименьшего значения, найдется γ(x) > 0 п.в. в Ω(r) такая, что meas({x ∈ Ω(r) : γ(x) = 0}) = 0, и при справедливо неравенство (a(x,s) - a(x,t)) · (s - t) γ(x), x ∈ Ω(r). (4.25) Запишем равенство (4.2) дважды для uξ uη c fξ и fη, соответственно, и вычтем из первого второе, получим . Подставляя пробную функцию w = Tν(uξ - uη)φr(|x|)φh(|uξ|)φh(|uη|), w+∞ = w-∞ = 0, устанавливаем соотношение x = . Используя оценки (4.4), (4.11), выводим x (4.26) Далее, применяя (4.25), устанавливаем x x (4.27) . Соединяя (4.26), (4.27), применяя (1.2), (4.12), (4.13), получаем x (|a(x,∇uξ)| + |a(x,∇uη)|)|Tν(uξ - uη)|dx + (4.28) + x+ Для произвольных θ,δ > 0 при фиксированных h,r выбором ν из (4.28) устанавливаем неравенство Применяя лемму 3.3, для любых θ,ε > 0 выводим meas(Eν,θ,h(r)) < ε. (4.29) Кроме того, согласно (4.21) можно выбрать ξ0(ν,r,ε) такое, что meas(. (4.30) Соединяя (4.24), (4.29), (4.30), в итоге для любых θ,ε > 0 выводим неравенство meas(. Отсюда следует локальная фундаментальность по мере последовательности {∇uξ}, это влечет сходимость (4.23), а также сходимость по подпоследовательности: ∇uξ → ∇u п.в. в Ω, ξ → ∞. Далее, несложно установить сходимость (4.31) ∇Tk(uξ) → ∇Tk(u) п.в. в Ω, ξ → ∞. Из непрерывности a(x,s) по s ∈ Rn и сходимости (4.32) следует сходимость (4.32) a(x,∇Tk(uξ)) → a(x,∇Tk(u)) п.в. в Ω, ξ → ∞. Отсюда, благодаря оценке (4.13), по лемме 3.1 имеем сходимость (4.33) a(x, слабо в . (4.34) Шаг 4: сильные сходимости |uξ|p(x)-1 → |u|p(x)-1 в , (4.35) |∇uξ|p(x)-1 → |∇u|p(x)-1 в , (4.36) a(x,∇uξ) → a(x,∇u) в , (4.37) b(x,uξ) → b(x,u) в . (4.38) Применяя лемму Фату и сходимости (4.17), (4.31), из оценок (4.8), (4.9) выводим принадлежность . Применяя неравенства (1.1), (2.1) и неравенство Юнга, для любого измеримого множества Q ⊂ Ω(r) и любого устанавливаем неравенства x Q ) meas (x, (4.39) где . Поскольку, то Φ ∈ Lq(·)(Ω(r)), q(·) < q2(·). Учитывая абсолютную непрерывность второго интеграла в правой части (4.39), применяя оценку (4.9), для любого ε > 0 найдем такое δ(ε), что: для любого Q такого, что meas (Q) < δ(ε), выполнено неравенство . Отсюда следует, что последовательности {|∇uξ|(p(x)-1)q(x)}, {|a(x,∇uξ)|q(x)} имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы по множеству Ω(r). По лемме 3.4 имеют место сходимости (4.36), (4.37). Сходимость (4.35) устанавливается аналогично, с помощью оценки (4.8). Запишем оценку (3.23) для uξ,fξ для k = 1: a |∇uξ|p(x)d . Ввиду того, что fξ,|∇uξ|p(x)-1 сходятся сильно в, и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (4.15), для любого ε > 0 можно выбрать достаточно большоетакое, что длясправедлива оценка: a. (4.40) Для любого измеримого множества Q ⊂ Ω(r) имеем x x + . (4.41) {Q:|uξ|<ρ+1} Применяя (2.4), выводим: . Ввиду того, что Φ0 ∈ L1(Q), и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, для любого ε > 0 найдется такое α(ε), что для любого Q такого, что meas Q < α(ε), выполнено неравенство . (4.42) Объединяя (4.40)-(4.42), устанавливаем такого, что meas Q < α(ε), ξ ∈ N. Отсюда следует, что последовательность {b(x,uξ)} имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы по множеству Ω(r). По лемме 3.4 устанавливаем сходимость b(x,uξ) → b(x,u) в L1(Ω(r)), ξ → ∞, для любого r > 0. Сходимость (4.38) доказана. Доказательство теоремы будет продолжено в разделе 6. 5. Вспомогательные леммы Чтобы доказать сильную сходимость срезок в, установим вспомогательные леммы. Будем использовать функции вещественной переменной от одного вещественного параметра m > 0: (5.1) . Для положительных вещественных чисел m,ξ обозначим через ω(m,ξ) любую величину такую, что . А через ωm(ξ) обозначим величину такую, что при фиксированном m . Лемма 5.1. Пусть {uξ} -последовательность локальных ренормализованных решений задачи (2.10), (0.2) такая, что имеют место сходимости (4.3), (4.17), (4.22), (4.31), (4.37), (4.38). Тогда для любых m > 0 и φ ∈ D+(Rn) имеем a(x,∇uξ) · ∇uξφdx = ω(m,ξ). (5.2) Доказательство. Зафиксируем m, и пусть ξ стремится к бесконечности. Ввиду сходимости (4.17), непрерывности и ограниченности функции, по лемме 3.2 имеем τm(uξ) → τm(u) п.в. в Ω, ξ → ∞, (5.3) слабо в L∞(Ω), ξ → ∞. (5.4) Очевидно, τm(u) → 0 п.в. в Ω, m → ∞. (5.5) Ввиду ограниченности последовательности функций , по лемме 3.2 имеем слабо в L∞(Ω), m → ∞. (5.6) Теперь в равенстве (4.1) возьмем h = τm(uξ), ϕ = φ ∈ D+(Rn), получим a(x,∇uξ) · ∇uξφdx + x = 0. (5.7) Ω Поскольку φ ∈ D+(Rn), благодаря сходимостям a(x,∇uξ) → a(x,∇u) сильно в (5.8) (см. (4.37)), (5.4), (5.6) имеем . (5.9) Аналогично, используя сходимости (4.38), (4.3), (5.4), (5.6), получаем . (5.10) Соединяя (5.7), (5.9)-(5.10), получаем неравенство a(x,, которое влечет (5.2). Лемма 5.2. Пусть выполнены условия леммы 5.1, тогда для k > 0 и φ ∈ D+(Rn) имеем . (5.11) Доказательство леммы 5.2 разобьем на две леммы. Лемма 5.3. Пусть выполнены условия леммы 5.1, тогда для любых k > 0 и φ ∈ D+(Rn) имеем Доказательство. Выберем h(ρ) = Tk(ρ), ϕ = φ ∈ D+(Rn) в равенстве (4.1), получим: x + x = 0. (5.13) Ω Согласно (4.20), по лемме 3.2 имеет место сходимость слабо в L∞(Ω), ξ → ∞. (5.14) Применяя (5.14), (5.8), устанавливаем: . (5.15) Благодаря (4.38), (4.3), (5.14) устанавливаем . (5.16) Соединяя (5.13), (5.15), (5.16), выводим (5.12). Лемма 5.4. Пусть выполнены условия леммы 5.1, тогда для любых k > 0 и φ ∈ D+(Rn) имеем x = 0. (5.17) Ω Ω Ω Доказательство. Ввиду сходимости (4.17), непрерывности и ограниченности функции, по лемме 3.2 имеем Gm(uξ) → Gm(u) п.в. в Ω, ξ → ∞, слабо в L∞(Ω), ξ → ∞. (5.18) Ввиду ограниченности функции по лемме 3.2 имеем Gm(u) → 1 п.в. в Ω, m → ∞, (5.19) слабо в L∞(Ω), m → ∞. (5.20) Выберем w = Tk(u)Gm(uξ)φ, φ ∈ D+(Rn) в качестве тестовой функции в равенстве (4.2), полагая w+∞ = w-∞ = 0; получим: x + x = 0. (5.21) Благодаря неравенству (4.13) имеет место оценка: . Из непрерывности a(x,s) по s ∈ Rn, Gm(s0) по s0 ∈ R и сходимостей (4.17), (4.32) следует сходимость a(x,∇T2m(uξ))Gm(uξ) → a(x,∇T2m(u))Gm(u) п.в. в Ω, ξ → ∞. Отсюда, по лемме 3.1 имеем сходимость a(x, слабо в . (5.22) Поскольку a(x,∇uξ)Gm(uξ) = a(x,∇T2m(uξ))Gm(uξ), применяя (5.22), (5.20), для m > k имеем Применяя сходимости (5.8), (5.18), (5.20), получаем . (5.24) По лемме 5.1 имеем a(x,∇uξ) · ∇uξφdx = ω(m,ξ). (5.25) Применяя сходимости (4.38), (4.3), (5.18), (5.20), получаем . (5.26) Соединяя (5.21), (5.23)-(5.26), устанавливаем (5.17), поскольку все слагаемые в (5.17) не зависят от ξ и m. Для получения (5.11) достаточно вычесть (5.17) из (5.12). Лемма 5.2 доказана. 6. Доказательство теоремы 2.1, финал В этом разделе мы завершаем доказательство теоремы 2.1. Напомним, что {uξ}- подпоследовательность ренормализованных решений задач (2.10), (0.2) такая, что имеют место сходимости (4.17), (4.22), (4.31), (4.37), (4.38). Шаг 5: сильная сходимость срезок в. Учитывая (4.32), (4.33), выводим a(x,∇Tk(uξ)) · ∇Tk(uξ) → a(x,∇Tk(u)) · ∇Tk(u) п.в. в Ω, ξ → ∞. (6.1) Поскольку a(x,∇Tk(uξ)) · ∇Tk(uξ) неотрицательны, применяя (5.11), (6.1), для φ ∈ D+(Rn) по лемме 3.5 устанавливаем φa(x,∇Tk(uξ)) · ∇Tk(uξ) → φa(x,∇Tk(u)) · ∇Tk(u) в L1(Ω), ξ → ∞. (6.2) Отсюда следует сходимость a(x,∇Tk(uξ)) · ∇Tk(uξ) → a(x,∇Tk(u)) · ∇Tk(u) в . (6.3) Для любого измеримого множества Q ⊂ Ω(r), используя неравенства (1.1), (2.3), выводим x Q . Ввиду сходимости (6.3) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства, для любого ε > 0 найдется такое δ(ε), что: такого, что meas (Q) < δ(ε). Таким образом, последовательность {|∇Tk(uξ) - ∇Tk(u)|p(x)} имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы по множеству Ω(r). Отсюда, благодаря сходимости (4.32), по лемме 3.4 имеет место сходимость ∇Tk(uξ) → ∇Tk(u) в . (6.4) Далее, применяя неравенства (1.1), (2.1), (2.3), выводим D16 (a(x,∇Tk(uξ)) · ∇Tk(uξ) + a(x,∇Tk(u)) · ∇Tk(u) + Ψ(x)). Отсюда, как и выше, устанавливаем, что последовательность имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Тогда, благодаря сходимости (4.33), по лемме 3.4 имеет место сходимость a(x,∇Tk(uξ)) → a(x,∇Tk(u)) сильно в . (6.5) Шаг 6: предельная функция - ренормализованное решение. Докажем, что предельная функция u удовлетворяет определению 2.1-loc. Условия a-loc)-d-loc) определения 2.1-loc выполнены, это доказано в конце шага 2 и начале шага 4, соответственно. Докажем равенство (2.7). Пусть h ∈ Lip0(R) и ϕ с компактным носителем, , таковы, что (очевидно, что). Поскольку h ограничена и непрерывна, ввиду сходимости (4.17), по лемме 3.2 устанавливаем h(uξ) → h(u) п.в. в Ω, ξ → ∞, (6.6) слабо в L∞(Ω), ξ → ∞, (6.7) ∇ϕh(uξ) → ∇ϕh(u) сильно в . (6.8) Если для M > 0, то для п.в. x ∈ Ω имеем | | | . Тогда, применяя оценку (4.12), получаем ограниченность последовательности {h(uξ)} в пространстве. Отсюда и из (6.6) по лемме 3.1 устанавливаем сходимость слабо в . Тогда, учитывая ϕ ∈ C(K), K = suppϕ ∩ Ω, заключаем сходимость слабо в . (6.9) Напомним, что функции uξ являются локальными ренормализованными решениями уравнения (2.10) в смысле определения 2.1-loc и удовлетворяют равенству вида (4.1). Применяя (4.38), (4.3), (6.7), устанавливаем . (6.10) Учитывая сходимости (6.5), (6.9), имеем . (6.11) Применяя сходимости (4.37), (6.8), получаем . (6.12) Комбинируя (4.1), (6.10)-(6.12), получаем равенство (2.7). Теорема 2.1 доказана. Доказательство теоремы 2.2. Для любого ξ ∈ N существует единственное глобальное ренормализованное решение задачи -diva(x,∇uξ) + b(x,uξ) = f, x ∈ Ω(ξ); (6.13) uξ = 0, x ∈ ∂Ω(ξ), (6.14) где f ∈ L1(Ω(ξ)) (см., например, [3]). Продолжим uξ нулем на область Ω. Очевидно, при каждом ξ ∈ N функция uξ является локальным ренормализованным решением задачи (0.1), (0.2) в области Ω. Тогда, согласно теореме 2.1, существует подпоследовательность последовательности {uξ}ξ∈N (обозначим ее так же), сходящаяся почти всюду к локальному ренормализованному решению u задачи (0.1), (0.2).