Applications of the s-harmonic extension to the study of singularities of Emden’s equations

Abstract

We use the Caffarelli–Silvestre extension to \( \mathrm{R}_+\times\mathrm{R}^N \) to study the isolated singularities of functions satisfying the semilinear fractional equation \( (-\Delta)^sv+\epsilon v^p=0 \) in a punctured domain of \( \mathrm{R}^N \) where \(\epsilon=\pm 1\), \(0 and \(p>1\). We emphasise the obtention of a priori estimates and analyse the set of self-similar solutions. We provide a complete description of the possible behaviour of solutions near a singularity.

Full Text

1. Введение В последние десятилетия появилось много статей, посвященных особому поведению решений следующих классов полулинейных эллиптических уравнений: , (1.1) гдеПервые исследования радиальных решений уравнения Лейна- Эмдена () принадлежат Дж. Лейну и Р. Эмдену, и довольно хорошее изложение можно найти в [7, с. 84-182]. В этой книге большое место также отведено уравнению Эмдена Δv + eu = 0 в B1 \ {0} ⊂ RN. (1.2) Этот дробный аналог этого уравнения не рассматривается в настоящей статье (современное исследование уравнения (1.2) см. в [2]). Уравнение Эмдена-Фаулера () было подробно рассмотрено Р. Фаулером в радиальном случае [13]. Дальнейшие исследования принадлежат Зоммерфельду N + 2 в теории атомов Томаса-Ферми [16, 20]. Случай p = в основном известен из-за его связей N 2 с конформной деформацией римановой метрики св рамках положительной кривизны [17] или в гиперболическом пространстве [18]. © Л. Верон, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 85 Поведение сингулярных решений (1.1) в N-мерной области зависит от трех критических показателей: N N + 2 p1 = , p2 = при при . (1.3) N - 2 N - 2 Основными инструментами анализа поведения решений вблизи изолированной сингулярности являются: 1. Существование универсальной априорной оценки: благодаря конструкции Келлера-Оссермана оценку просто получить при , гораздо сложнее при с помощью метода Бернштейна и неравенства Гарнака, и это только в диапазоне 1 < p < p2. Более того, универсальная оценка невозможна, если p = p3. 2. Асимптотическая радиальность при имеет место благодаря работе Каффарелли, Гидаса и Шпрука [4]. 3. Существование явных радиальных решений в виде для при условии 1 < p < p1 и для при условии p > p1. 4. Методы динамических систем при: функция Ляпунова, характеристика возможных предельных множеств и использование теории аналитических функционалов Л. Саймона при (см. [2, 19]). Для такой задачи уравнение в B1\{0} преобразуется в эллиптическое уравнение в бесконечном цилиндре R- × SN-1 благодаря преобразованию . (1.4) Следовательно, (1.1) превращается в , (1.5) где ,. - - Роль p1 и p2 становится очевидной, поскольку если p = p1, то ΛN,p = 0, и если p = p2, то ΘN,p = 0. Обращение в нуль этих двух коэффициентов кардинально меняет поведение решений (1.5). Работы по полулинейной модели (1.1) дали начало многочисленным расширениям, в которых лапласиан заменяется другим оператором диффузии, таким как p-лапласиан, билапласиан или дробный лапласиан. В этой статье мы представляем случай, когда диффузия смещается дробным лапласианом, и подчеркиваем подход, основанный на гармоническом или s-гармоническом расширении. Многие результаты, представленные ниже, были получены в сотрудничестве с Х. Ченом [11]. Если s ∈ (0,1), дробный Лапласиан (-Δ)s в RN \ {0} определен на функциях v ∈ C2(RN \ {0}) ∩ L1μs(RN), где μs(x) = (1 + |x|)-N-2s, выражением для x ∈ RN \ {0}, (1.6) где. Задача о сингулярности для дробных уравнений Эмдена в проколотой - области Ω, содержащей B1, имеет вид в Ω \ {0}, (1.7) v = 0 в Ωc, где. Мы сталкиваемся с тремя критическими значениями показателя степени p: при N - 2s > 0. (1.8) В случае доказаны следующие расширения оценки Гидаса и Шпрука [15]. Теорема 1.1 (см. [24, 25]). Пусть. Если p1,s < p < p2,s, любое положительное решение (1.7) либо является регулярным, либо удовлетворяет для некоторого универсального c > 0 неравенству . (1.9) Более того, асимптотическая радиальность, как в конструкции Каффарелли, Гидаса и Шпрука [4], также верна в [5]. Теорема 1.2 (см. [5]). Пусть. Если p = p2,s, то имеет место предыдущий результат и существует радиальное решение v¯ уравнения (1.7) такое, что v(x) = ¯v(|x|)(1 + o(1)) при x → 0. (1.10) В случае несколько результатов были получены Ченом и Вероном [9] при изучении проблемы с мерой μ в правой части (1.11) . Теорема 1.3 (см. [9]). Если 1 < p < p1,s, для любой положительной ограниченной меры существует единственное решение vμ для (1.11). Если μ = kδ0, то vkδ0 = kcN,s|x|2s-N(1 + o(1)) при x → 0. (1.12) Отображение - возрастающее и имеет предел (конечный или бесконечный) v∞δ0. Теорема 1.4 (см. [10]). При предыдущих предположениях: 1. если для всех x ∈ Ω; 2. если p0,s < p < p1,s, то v∞δ0 является положительным решением задачи (-Δ)sv + vp = 0 в Ω \ {0}, v = 0 в Ωc, (1.13) удовлетворяющим (1.14) где . (1.15) Если, то для решения (1.11) необходимы емкостные условия на μ, как в случае s = 1. 2. Продолжение Каффарелли-Сильвестра Определение через продолжение гармонических функций является классическим (см., например, [21]). В 2007 году Каффарелли и Сильвестр ввели в [6] обобщение гармонического расширения через вырожденные эллиптические операторы. С этим расширением задача (1.7) наследует следующую форму: в изучение (1.7) заменяется на div(z1-2s∇u) = 0 в , и v = u(·,0) в RN, так как (-Δ)sv(x) = - lim z1-2suz(x,z) := ∂νsu(x,0). (2.2) в Ω \ {0}, (2.1) в RN \ Ω, z→0 1 Если s = , задача (2.1) сводится к нелинейной задаче Дирихле-Неймана 2 в , в Ω \ {0}, (2.3) в RN \ Ω. В случае это уравнение изучается в [3]. Функция u, определенная в, называется s-гармонической, если она удовлетворяет условию div(. (2.4) Следующая теорема дает важный инструмент, доказанный в [11]. Теорема 2.1. Если 0 < s < 1, то любая положительная s-гармоническая функция, определенная в, допускает след на, который является борелевской мерой такой, что . (2.5) Вторым важным результатом относительно задачи (2.1) является априорная оценка в случае (см. [11]). Метод доказательства объединяет технику blow-up и приведенную выше теорему о следе. Заметим, что в отличие от случая , этот результат не может быть получен путем построения локальных суперрешений. Теорема 2.2. Если, любое положительное решение u уравнения (2.2) с Ω = B1 удовлетворяет с некоторой универсальной константой c > 0 неравенству , (2.6) где. Заметим, что такая оценка невозможна, если 1 < p < p0,s. 3. Самоподобные решения Уравнение (2.2) с Ω = RN инвариантно относительно преобразования подобия Tλ (λ > 0), определяемого формулой для всех. Рассмотрим сферические координаты в, где . Самоподобные решения (2.1) имеют следующий вид: для всех . (3.1) Пусть As - вырожденный эллиптический оператор на N-сфере SN, определяемый формулой (3.2) где С точностью до поворота и соответствующего выбора сферических переменных функция ω в (3.1) удовлетворяет условию As[ω] + ΛN,p,sω = 0 в , (3.3) в SN-1, ∂ где ΛN,p,s определено в (1.15), а s - конормальная внешняя производная на , со- ∂ν ответствующая As, если инвариантная мера dS, полученная изометрическим вложением SN в RN+1, равна Мы называем E (соответственно, множеством решений (соответственно, множеством положительных решений) (3.3). В следующих теоремах, доказанных в [11], мы даем структуру . Теорема 3.1. Пусть. 1. Если. 2. Если . 3. Если -положительное решение (3.3). Доказательство. Используемые методы являются адаптациями s = 1 к дробному случаю. 1. Несуществование по монотонности: если, мы умножаем уравнение на ω, интегрируем пос весовой функцией λs(φ) и используем тот факт, что . 2. Существование получается путем минимизации функционала в пространстве функций w таких, что B[w,w] < +∞, где а γ0 обозначает оператор следа из, отождествляемый с w(0,θ). 3. Для доказательства единственности положительных решений предположим, что ω и ω˜ - два таких решения. Тогда Технические вычисления A и B дают , тогда и , тогда . Поэтому ω = ω.˜ Как и в случае s = 1, единственность общего решения сохраняется в небольшом диапазоне показателя p, что можно доказать, убедившись, что ω совпадает со своим сферическим средним (см. [11]). Теорема 3.2. При предположениях теоремы 3.1 относительно существует p∗s ∈ (1,p1,s) такое, что если. Явное значение не является простым, поскольку имеем , но если s = 1, мы восстанавливаем оптимальное значение, полученное в [22], которое равно N . Доказательство теоремы 3.2 длинное и включает несколько различных шагов, которые мы представим ниже. Лемма 3.1. Если , то любой элемент E1 зависит только от азимутальной переменной φ. Доказательство. Обозначим через сферические координаты на , а через ω¯(φ) - функцию, которая является SN-1-средним решения ω, то есть . Усредняя (3.3) по SN-1, мы имеем, что As[ω] + ΛN,p,sω = 0 в , в SN-1, ∂ν где . Используя неравенство Виртингера, получаем . Условие на p подразумевает, что , таким образом, ω = ω. Поскольку при условии решение ω зависит только от переменной φ, естественно ввести соответствующее дифференциальное уравнение, которому оно удовлетворяет. В более общем виде мы доказываем методом Коши-Липшица-Пикара следующую лемму. Лемма 3.2. Пусть . Тогда для любого существует единственная функция ωa, удовлетворяющая в (3.4) Кроме того,. Наконец, если a > 0 и Λ < 0 (соответственно, Λ > 0), то ωa положительна и возрастает (соответственно, убывает). Доказательство теоремы 3.2. Мы рассматриваем только решения, зависящие от φ. Такое решение ω удовлетворяет Поскольку, равенство (3.5) эквивалентно (3.6) Тогда - это параметр метода стрельбы. Поскольку ωa = aω1, задача сводится к поиску a > 0 такого, что . (3.7) Результат следует из того, что является непрерывной, возрастающей, отрицательной при a = 0 и стремится к бесконечности при . Аналогичным образом описываем множество E-1. Теорема 3.3. Пусть. 1. Если. 2. Если p > p1,s, то-положительное решение (3.3), зависящее только от одной переменной. Обратите внимание, что утверждение 2 теоремы 3.3 доказывается не методом леммы 3.1, а адаптацией метода движущихся плоскостей [14]. 4. Сингулярность решений Энергетический метод не зависит от значения . Положим (4.1) и. Тогда w удовлетворяет задаче wtt + ΘN,p,swt + ΛN,p,sw + As[w] = 0 в , (4.2) в R × SN-1, где уже определены в (1.15). . Заметим, что ΘN,p,s = 0 тогда и только тогда, когда p = p2,s (консервативный случай). Определим пространство X и предельные множества траектории как (т. е. сингулярность) и (т. е. поведение на бесконечности). Теорема 4.1. Предположим, что и пусть будет решением (2.1) таким, что при 0 < |x| < 1 (или при |x| > 1) (4.3) для некоторого c > 0. Тогда Γ-[w] (соответственно, Γ+[w]) является непустым компактным связным подмножеством множества E, определяемым уравнением (3.3). Доказательство. Энергетический метод стандартен, мы приводим доказательство при t → -∞ (случай сингулярности). Положим . Тогда w ограничена в и выполняется . (4.4) Так как, то, и мы имеем оценку затухания . Используя равномерную непрерывность, получим, что wt(t,.) → 0. С помощью оценок регулярности и простых манипуляций получаем, что wtt(t,.) → 0. В качестве следствий этого общего результата, с учетом теорем 3.1 и 3.2 получим описание изолированных особенностей положительных решений (2.1). Следствие 4.1 (уравнения Эмдена-Фаулера). Пусть. Если удовлетворяет (2.1) и (4.3), v = u(·,0), и если w определено как (4.2), то при t → -∞ выполняется: 1. Еслиравномерно в, следовательно, функция v ≡ 0 и функция u являются гладкими. 2. Еслисходится равномерно влибо к ω1, либо к 0. 3. Еслисходится равномерно в. 4. Если , то w(t,·) → 0 равномерно в. 5. Пусть . Если w(t,·) → 0 равномерно в, то существует k ∈ R+ такое, что равномерно в . Если k = 0, то функция w ≡ 0 и функция u являются гладкими. Следствие 4.2 (уравнения Лейна-Эмдена). Пусть неотрицательны и удовлетворяют (2.1) и (4.3), v = u(·,0). Пусть w определяется как (4.2). Если, то при t → -∞ выполняется: 1. Если p > p1,s, то w(t,·) сходится в L∞(SN+) либо к ω1, либо к 0. 2. Если 1,s, то ( ·) 0 ( +). 3. Если p > p1,s и w(t,·) сходится к 0, то u является гладкой функцией в тоже. 4. Если 1 < p < p1,s, то существует такое, что равномерно в . Тонкой частью доказательства следствия 4.2 является утверждение 3. Мы адаптируем метод, разработанный в [8], чтобы доказать от противного, что существует такое, что при. Затем технический итеративный «каскадный процесс» позволяет улучшить эту оценку до . Оставшаяся часть доказательства представляет собой просто анализ типа Фурье с оценками компонент w(t,.) на собственных пространствах -ΔSN. В утверждении 2 при p = p1,s скорость убывания w(t,.) может быть уточнена. Если s = 1, аналогичный вопрос решен П. Авилесом в [1]. Следующий результат доказан в [12, 23]. Теорема 4.2. Пусть а функция u неотрицательна, принадлежит и удовлетворяет (2.1), (4.3). Тогда либо u гладкая, либо для некоторой явной константы C(N,s).